Álgebra Colegio Saco Oliveros 1° Secundaria
Álgebra Colegio Saco Oliveros 1° Secundaria
Álgebra Colegio Saco Oliveros 1° Secundaria
OPERACIONES EN
1
I.
Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos no fueron aceptados universalmente.
Sin embargo los matemáticos de la India, en el siglo VII, usaban los números negativos para
indicar deudas y los representaban con un circulito sobre el número; admitían soluciones
negativas en las ecuaciones pero no las tomaban en consideración porque decían que “la
gente no aprueba las raíces negativas”.
Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en
su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente.
John Wasllis (1616-1703), en su Arithmetica Infinitorum (1655), “demuestra” la
imposibilidad de su existencia diciendo que "estos entes tendrían que ser a la vez mayores
que el infinito y menores que cero”.
Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal; en su Anteitung Zur Álgebra
(1770) trata de “demostrar” que (–1)(–1)=+1; argumenta que el producto tiene que
ser +1 ó –1 y que, sabiendo que se cumpla (1)(–1)=–1, tendrá que ser: (–1)(–1)=+1.
Hoy, una de las preguntas más repetidas en las clases de matemáticas es ¿por qué
menos por menos es más?
Es difícil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla es puramente
arbitraria y se adopta solo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias
justificaciones claras y aceptables: Equivalente lingüístico: la doble negativa equivale a una
afirmación: No es cierto que Pepito no tenga el libro= Pepito tiene el libro.
Un ejemplo fácil de visualizar es el de la isla Barataria, donde hay ciudadanos “buenos”
los que se asigna el signo +, y ciudadanos “malos” a los que se da el signo–. También se
acuerda que: “salir” de la isla equivale al signo –, y “entrar” a la isla equivale al signo +.
7
Álgebra
II.
JUEGO DEL 100 (4 jugadores, 2 equipos de 2 jugadores)
(3 3)+(2 5)=19
(3+3+2) 5=40
(3 5)–(3 2)=9
(3 2 5)÷3=10
(5–2) 3 3=27
Gana el equipo que ha tachado más números.
¡INTÉNTALO EN GRUPO!
8
Álgebra
III.
Números enteros
Fijate en las temperaturas que marcan estos términos en diferentes épocas del año.
–1 –5 31 17
NÚMEROS ENTEROS
Enteros Enteros
positivos El cero negativos
9
Álgebra
Ejemplo:
5. Elemento inverso aditivo
a. (+200) + (–100) = +100 Todo número entero tiene un opuesto que sume con
b. (+50) + (–30) = +20 dicho número resulta cero.
Ejemplos: (+8) + (–8) = 0
c. (–500) + (+400) = –100
(–200) + (+200) = 0
d. (–300) + (–50) = –350
Propiedades
Axiomas de la adición en 1. Propiedad aditiva
Si ambos miembros de una igualdad, puede ser anulado,
En el conjunto , se cumple las siguientes propiedades:
conservándose la igualdad.
1. Clausura x a x n a n
La suma de dos números enteros es otro entero. Ejemplo:
a y b (a b) x 3 x 8 3 8
a y b a b b a Si x a b a x b
Ejemplo: Ejemplo:
Si x 9 10 9 x 10
(–3) (7) (7) (3) 4
10
Álgebra
a b
b ... b a b
b 5. Multiplicativa del cero (absorbente).- Todo número
" a " veces entero multiplicado por cero, da como producto cero.
a , a 0 0
– a b
b b ... b a b
Ejemplo:
" a " veces
a. 6 · 0 = 0
Regla de signos b. (–8) · 0 = 0
1. (+) · (+) = +
6. Distributiva.- Sean a, b, c números enteros se cumple
2. (+) · (–) = –
que:
3. (–) · (+) = –
a(b + c) = a · b + a · c
4. (–) · (–) = +
a(b – c) = a · b – a · c
a, b, c , (a b) c a b c a c b 5 x 5 (3) x 3
11
Álgebra
La división es la operación inversa de la multiplicación En toda división inexacta hay un cociente, el dividendo
que consiste en lo siguiente: “Dado dos números es igual al producto del divisor por el cociente, más el
enteros llamados dividendo y divisor (éste diferente de residuo.
cero), hallar un tercer número llamado COCIENTE, que
multiplicado por el divisor de el dividendo”. Cociente
D d c d c D ; d 0 D=dc+r Residuo
Donde: Divisor
D: dividendo; d: divisor; c: cociente Dividendo
D d c D d c D c d
2. Si se divide el dividendo y el divisor por un mismo
Propiedad
número diferente de cero, el cociente no varía, pero el
Si el dividendo y el divisor de una división exacta se
resto queda dividido por dicho número.
multiplican o se dividen por un mismo número diferente
de cero, el cociente no varía.
Ejemplo: 70 34
30 17
12 2
3
4
Queda
• Ahora multiplicamos al dividendo y divisor por 5. dividido
70÷2 34÷2 35 2 por 2.
12(5) 60 17 1 17
= = 3 El cociente no
4(5) 20 varía.
12÷2 6
= = 3 El cociente no
4÷2 2 varía.
12
Álgebra
1. Nivel I (primera fase ONEM 2006) 3. Nivel I (primera fase ONEM 2006)
Al simplificar la expresión: Las letras a, b, c, d, e, f, g y h representan números
S=1–(2–(3–(4–5))–(6–(7–(8–(9–10)))) que cumplen:
se obtiene:
a= 100; b= 2 ; c= 3 ; d= 4 ; e= 5 ; f= 6 ;
A) 0 B) –53 C) –15 a b c d e
D) –10 E) –5
7 8
g= ; h=
f g
Resolución:
Hallar el producto abcdefgh.
S= 1–(2–(3–(–1))) – (6–(7–(8–(–1))))
S= 1–(2–4) – (6–(7–9)) A) 480 B) 500 C) 384
S= 1–(–2)–(6–(–2)) 3 3
S= 1+2–(8) D) 400 E) 420
S= 3–8
S= –5
Rpta.: –5 Resolución:
De la segunda relación: ab = 2
2. Nivel I (primera fase ONEM 2005) De la cuarta relación: cd = 4
Efectúa la siguiente operación: De la sexta relación: ef = 6
De la última relación: gh = 8
2
2( 49 + 5 0 ) – 3 8 (4 3 – 5 144 ) 3 2 – 2 121 ÷11– 1 Multiplicando (ab)(cd)(ef)(gh)= 2 4 6 8
= 384
Resolución:
= 2(7+0)2–[2(64–5 12)][9–2 11÷11–1]
= 2(49)–[2(64–60)][9–2 1–1]
= 98 – 8 6
= 98 – 48
= 50
Rpta.: 50
13
Álgebra
ÁLGEBRA - I
que cero. ( )
C) el conjunto –
es igual al 7. Ubicar los siguientes números en la recta numérica:
2. Complete con: 0
–
izquierda - derecha - 0
8. Ubicar los siguientes números en la recta numérica:
A) El conjunto está formado por ..........................
–7; –6; 4; 6; –1; 5; –9
B) Los números positivos se sitúan en la recta
numérica a la .................. del cero.
0
C) Los números negativos se sitúan en la recta
numérica a la ................ del cero.
9. Calcule las siguientes sumas:
A) (+7)+(+8) = ..................
3. Escribe el opuesto de: B) (–4 )+(–9) = ....................
B) +542 ............................
10. Calcule las siguientes sumas:
C) 125 ...............................
D) –505 ............................. A) (–125)+(+100) = ..................
B) (–37)+(–13) = ....................
4. Complete los espacios en blanco: C) (+79)+(–37) = ..................
14
Álgebra
(+10)+(+3)+(+3)+(–5)+(+8) (+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114)
Rpta.: 19 Rpta.: –84
(+3)+(–5)+(–7)+(+9)+(–10) (+106)–(+56)+(+78)–(+94)–(–36)
Rpta.: –10 Rpta.: 70
0 10. Reducir:
(p q ) p q
6. Efectuar:
A) 12 B) 13 C) 11 D) 10 E) N.A. A) –6 B) –2 C) 8 D) –8
15
Álgebra
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Profesor : ______________________________________________________________
(–7–3)–(–3+1)
• –4 +7=
A) 6 B) –7 C) –8
• –3–2= D) 8 E) 7
• –17+20=
7. Calcular el valor de:
(–4–2)–(–16+5)
2. Relacionar con una flecha:
A) –5 B) 5 C) 4
• –4 –8+10 • –11
D) –4 E) 1
• 8–11+3 • 0
• –16+16–11 • –2
8. Efectuar:
(2)(3)(–1)(–4)
3. Efectuar:
(–1+5–6)–7 A) 7 B) 2 C) 23
D) 24 E) –24
A) 5 B) –9 C) 97
D) 9 E) –5
9. Efectuar:
(–5)(4)(–2)
4. Efectuar:
(16–4–20)+1 A) 30 B) 20 C) 10
A) 3 B) 4 C) 7 D) 5 E) 40
D) 1 E) –7
10. Calcule el valor de:
5. Efectuar: (7)(4)(–10)(0)(5)
(–4+2)+(–8+10) A) 0 B) –1 C) –28
A) 0 B) 1 C) 2 D) 27 E) –5
D) 3 E) 4
16
Álgebra
ÁLGEBRA - II
3. Operar:
Rpta.: 1
[(–4)(–2)]+[(+7)(–3)]
4. Operar: Rpta.: –1
[(–2)(–7)(+1)] – [(–12)(–5)(0)]
6. Calcula el valor de N.
N= [(–3+6)(–5+8)+3(–3+6)]÷(–6)
14. Efectuar:
Rpta.: – 3 30
veces
–4 – 4 – 4 – 4 –...– 4
M
7. Reducir:
–3–3– 3– 3–...– 3)
[(+4)–(–6)](–2)+[(–1)+(–3)](+4) 20 veces
Rpta.: 2
Rpta.: –36
17
Álgebra
1. Operar: 7. Efectuar:
A= (+3)–[ (+ 4– 3 )+4–(–5+3)] K = (–3) + (–3) + (–3) + ... 30 veces
A) –4 B) 4 C) 3 A) –60 B) –90 C) –100
D) –3 E) N.A. D) –120 E) N.A.
2. Reducir: 8. Efectuar:
3. Operar:
9. Efectuar:
30 veces
[(–7)(–8)(–9)] – [(–9)(8)(7)]
(5 5 5 ... 5)
A) –8 B) 1 C) –1 (3
3 3 ...
3)
D) 0 E) N.A. 50 veces
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.
4. Reducir:
A) 21 B) –24 C) 13 P= (–40)÷(–4)+(–30)÷(+6)–(–24)÷(–4)
D) 15 E) –8
A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) N.A.
5. Efectuar:
18
Álgebra
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Profesor : ______________________________________________________________
A) 1 B) 7 C) –7
A) 4 B) –5 C) 10
D) 0 E) –1
D) –10 E) 5
8. Simplificar:
2. Indicar el valor de:
(–4)(–8)(–2)
(–7)(–5)+(–3)(2) M
(–4)(–1)(2)
A) 31 B) 29 C) –21 A) 4 B) –8 C) –2
D) 24 E) –29 D) 1 E) –4
III. ÷ (–9)= 5
6. Efectuar:
( –16– 4) ÷( –8+3)
A) –16 B) –4 C) 8
D) 4 E) 0
19
Álgebra
OPERACIONES EN
2
I.
¿Cuál es el origen de
las fracciones?
Origen de las fracciones
La palabra fracción viene del latín “fractio”, utilizada por primera vez en el siglo XII, cuando Juan
de Luna tradujo a ese idioma la Aritmética árabe de Al- Juarizmi.
Para medir
Un segundo motivo por el cual se crearon las fracciones resultó de la aplicación de unidades de
medida de longitud.
En nuestro capítulo anterior de geometría vimos que los trazos se podían medir. Para realizar las
20
Álgebra
II.
Dominó de fracciones
Antes de empezar a jugar escribe algunas fracciones equivalentes a cada una de las fracciones que encontrarás en el juego.
1/6
1/5
1/4
1/3
1/2
¡Listo! Imprime tu dominó y a jugar. Te recomendamos que pegues las fichas en cartón grueso para que sea más fácil usarlas.
1 5 2 2 3 5 4 1 2 5 1 3 5 2
6 30 12 10 8 20 24 3 12 10 6 3 30 14
2 1 5 5 3 5 4 5 3 5 1 5
10 5 25 20 15 15 20 10 15 5 5 35
3 1 2 1 4 3 1 4 5 4
12 4 8 3 16 6 4 4 20 28
21
Álgebra
1 5 4 3 3 2 5 3
3 15 12 6 9 2 15 21
4 1 2 6 1 2
8 2 4 6 2 14
3 6 1
1
3 6 7
1 3
7 21
El siguiente jugador a la derecha puede escoger, para tirar, uno de los dos extremos de la
hilera. Siempre tendrá que tirar una ficha que coincida con el número de alguno de los
extremos.
Cada jugador tirará una sola ficha en su turno y si no tiene ninguna que pueda acomodar
tendrá que pasar.
Gana el primer jugador que coloque todas sus fichas.
Si esto no sucede porque ya ningún jugador puede acomodar fichas, se dice que el juego
está cerrado.
En un juego cerrado, cada jugador deberá sumar todos los números de sus fichas. Ganará el
que menos puntos tenga.
22
Álgebra
contiene a
se representa
Números en
Fracciones o su
enteros representación
decimal Recta numérica
define establece
Clases de
representan equivalencia
Operaciones
como
División
Potenciación
3
a
b
ab ; b 0 ¿Qué significa la fracción
8
?
Gráficamente:
donde: a : numerador
3
b : denominador
8
23
Álgebra
Recordando
2 5 10 2
es equivalente a .
3 5 15 3
1
se lee: _______________________________________
2
2
se lee: _______________________________________ Multiplicando por un mismo número entero al
3
numerador y denominador (amplificación).
6
se lee: _______________________________________
7
1
se lee:_______________________________________ 2. Si tenemos la fracción:
10
9
se lee: _______________________________________
13 5
15
______ se lee “dos veinteavos”. 30 30
24 24
12
______ se lee “cinco doceavos”. 4
24
Álgebra
Simplificar:
24 70 52
a) b) c)
36 80 36
Cuando una fracción es irreductible ésta se forma como
representante canónica del número racional.
80 150 240
25 25 5 5 d) e) f)
Fracción irreductible 48 180 124
10 10 5 2
I. Adición y sustracción
Se pueden dar los siguientes casos: 16 1
3 Número mixto 16 5
A) Para fracciones homogéneas. 5 5 1 3
Ejemplo:
5 3 2 532 6
7 7 7 7 7 2. Reducción a común denominador
Ejemplo: Reducir a común denominador:
II. Multiplicación
¡Analiza bien Para multiplicar números racionales se multiplican los
este ejemplo! numeradores y los denominadores separadamente.
Ejemplo:
7
3 5 9 5 14 7 4 11 5 3
×
4 12 12 12 6
20 8 22 2
÷ 6
MCM(4; 12) = 12 Simplificando:
1 1 1
4 11 5 3 1 1 5 3
Procedimientos importantes 20 8 22 2 5 8 2 2
5 2 1
1. Simplificación
Simplificar una fracción es hallar otra equivalente 1 1 1 3 3
que sea irreductible.
1 8 2 2 32
25
Álgebra
2
2 5
6 3 6 5 10 5
1.
4 5 4
3 4
2 • 5 • 9
3 8
1
4 27
1 1 1 2
2. 4 2
2 4 2
1
3 3 1 3 7 1
5 2 3 2 15 4 7 15 4
14
3 15 14 3
Resolución: 15 2
Operando el paréntesis:
Finalmente:
6 15 1 3 2
1 4 2
10 3 2
2 3 3
Luego: 1
Rpta.: 2/3
9 1 3 27 10 45
10 3 2 30
3. NIVEL I (PRIMERA FASE ONEM 2006)
31
15 1
Si 1
4, entonces es :
Rpta.: –31/15 n+5 n+6
5 4
2. Determinar el valor de: A) 5 B) 4 C) 5
1
D) 3 E) 5
2 1
35 4
1
1 3 Resolución:
15
1 1
Como 4 entonces n+5 , luego
Resolución: n+5 4
Efectuando numerador y denominador del corchete: 1 5
n 6 1 , de donde finalmente deducimos
4 4
10 3
15 4 que 1 4
.
14 n 6 5
3 Rpta.: 4/5
15
26
Álgebra
ÁLGEBRA - I
3. Calcula el valor de M.
11. Efectuar:
1 3
M= – 8 9 5 5 2 5
6 2 –
13 4 7 13 7 4
Rpta.: – 4/3 Rpta.: 3
5. Resolver: 4 2
A= 1+ B= –4
3 3
5 2
A= 3 –1
8 8 Rpta.: –1
Rpta.: 19/8
1 2 11 3
B= 2 3 C= 2+ D= –3
5 5 7 7
Rpta.: 28/5 Rpta.: 1
N= 1
1
–
5
5 2 3 2
M – 3 1 1 – 1
4 12
Rpta.: –4/15
Rpta.: 5/6
8. Calcula el valor de Q. 16. Resuelve:
Q= 2
1 5
–
3 9
N 2–1 – 14
9 3 2 5
13
10
27
Álgebra
2 3 1 3
–
7 7 7 7 3 1 1 2
A= – ; B=
5 2 6 3
A) 9/7 B) 6/7 C) 1 D) 4/7
A) 8/15 B) 14/15 C) 11/15
2. Calcular el valor de N. D) 7/15
3 5
N= – 9. Efectuar:
8 4
3 9 1 2 2 2
A) 7/8 B) –7/8 C) –2/4 D) –1/2 A= –
5 7 3 3 5 7
3. Hallar el valor de A. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
2 4
A= – 10. Efectuar:
5 3
7 2 9 5 2 1
A) –14/15 B) 15/14 C) –15/14 N= –
12 3 5 12 3 5
D) 14/15
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3
4. Resolver:
1 3 11. Efectuar:
R= 3 2
4 4
1– 1
A) 13/4 B) 2 C) 6 2 18
D) 11/4 51
6 9
A) 1 B) 2 C) –2
32 – 12 61 – 23 D) –1/2
1 1 2
M= – ; N= –1
6 2 9
28
Álgebra
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Profesor : ______________________________________________________________
1 1 7 A) 1 B) 12 C) 4
B) ............................................ ( )
5 5 10 D) –7 E) 1/12
3 2 1 7. Efectuar:
C) – ...................................... ( )
12 12 24 1 3
1
4 4
9. Calcular:
3. Efectuar:
1 1 5
1 3 7 5 A=
4 3 3
4 4 4 4
A) 9/7 B) 9/4 C) 9/5
A) 2 B) 3 C) 4 D) 4/5 E) –1/5
D) 5 E) 6
10. Efectuar:
4. Efectuar:
2 1 1
3 20 1 2
– 3 4 5
11 11 11 11
A) 20/7 B) 39 C) 4
A) 1 B) 3 C) 5 D) 39/20 E) 5
D) 6 E) 2
5. Efectuar:
3 1
4 5
A) 19 B) 19/20 C) 20
D) 4/9 E) 2/9
29
Álgebra
ÁLGEBRA - II
1 6
E
1
2
– 2 –
5 1 1
–
3 5 P=
3 5
Rpta.: 7/30 –1 7
Q=
7 3
2. Reducir: –1
R= 3
2
L
2 7
5
–
1 1
–
10 2 5 Rpta.: 1/5
Rpta.: 4/5
7. Efectuar:
1 5 –9
B 8. Efectuar:
5 9 3
Rpta.: –1 3 1 3 4 3
– –
5 3 5 9 4
3 5 –4
M=
5 4 7 9. Calcular el valor de A+B.
9 –8 4 1 4 –2 2 4
N= A ; B
8 3 3 7 9 3 5 15
Rpta.: 6/5
30
Álgebra
10 2 15 1 6
F – 2–1
13 5 4 6 5 4
A= 3 5
1
1– 3
Rpta.: 100/169 15
Rpta.: 2/3
13. Reducir:
16. Calcular el valor de:
1– 1
1 10 3 1
6 2 2 M= – 1 1
5 3 5 10 2
2 1 5
3 12 Rpta.: –41/6
Rpta.: –10/9
14. Efectuar:
13
4 2 7
1–1 3
6 2
Rpta.: –9/4
En un estudio realizado por científicos suecos y húngaros se descubrió que la piel rayada de las
cebras resulta “poco atractiva” , por lo tanto mantiene alejadas a las moscas.
31
Álgebra
1. Resolver: 7. Reducir:
5
8
–5 – 1
8 2
1
2 A= 1
8 –45 101 13 65
A) 0 B) 1/2 C) 1 A) 5/2 B) 7/2 C) 2/5
D) 3/4 D) – 2/5
32
Álgebra
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Profesor : ______________________________________________________________
1. Efectuar: 7. Efectuar:
7 1 1 5 25
– 1
3 2 4 4 16
2. Calcular: 8. Calcular:
7 3 3 9 1
B= –3 –
2 4 7 7 3
A) 5 B) 4 C) 1/4 A) 15 B) 16 C) 19
D) 3/5 E) 5/4 D) 20 E) 0
3. Calcular A. 9. Efectuar:
38 625 3 49 4 16
A= –
125 19 7 9 3 3
4. Calcular:
10. Calcular el valor de B.
25 18
B= –2 36
9 5
5 5
B=
A) 4 B) 3 C) 8 1–1
D) 7 E) 6 2 4
A) 36/5 B) 36 C) 5
5. Efectuar:
D) 36/7 E) 36/8
4 7 7
3
9 4 7
A) 4 B) 9 C) 3
D) 1 E) 1/3
6. Efectuar:
3 5
8 9
4 3
A) 20 B) 21 C) 22
D) 40 E) 42
33
Álgebra
LEYES DE EXPONENTES I
Ahora aprendamos
de una leyenda muy
interesante
La leyenda del ajedrez
Sin embargo, y pese a las diferentes posturas en torno de su verdadero origen, existe una
leyenda muy entretenida.
Cuenta la leyenda que hace muchísimos años, en algún país de oriente vivía un rey que había
perdido a su hijo en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su
castillo y no hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos
del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos, un joven
llamado Sissa, inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreír sino
que se volvió un gran maestro de este juego.
Quedó tan encantando con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él
pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo por la
primera casilla del tablero, dos granos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta,
dieciséis por la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del
tablero de ajedrez. El rey de inmediato, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el
número de granos de trigo que debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos
regresaron con una gran sorpresa:
¡No alcanzaba todo el trigo del reino para pagar el juego de ajedrez!
34
Álgebra
De hecho, no alcanzaría la producción de trigo mundial de la actualidad para hacerlo. Una variación
de la historia sugiere que el Rey furioso por ésta situación mandó a decapitar al joven inventor, pero
hay quienes evitar contar este final infeliz y se contentan con explicar los elementos matemáticos
que están presentes en el relato.
Soulción:
Veamos como se realiza la cuenta del pedido de Sissa.
1+2+4+8+16+32+64+...+...
¡TÚ PUEDES!
Acertijo:
¿Cuáles son los dos números consecutivos de los cuales
la suma de sus cuadrados resulta ser una potencia de 4?
LEYES DE
EXPONENTES
se estudia
a través de
Potenciación en Radicación en
a partir de las
definiciones de
35
Álgebra
LEYES DE EXPONENTES
bn P ; b ; n ; P
8. –24 = – 2×2×2×2 = –16
Donde: b : base 9. 4 = (–2)(–2)(–2)(–2) = 16
2
n : exponente natural El exponente si afecta al
P : potencia signo, porque hay paréntesis.
EXPONENTE Exp. = 5
5 VECES • En: 35 Base = 3
5
2×2×2×2×2 = 2 = 32 POTENCIA
BASE x+5
x+5 Exp. = 3
• En: 2 3 Base = 2
EXPONENTE
4 VECES
4
3×3×3×3 = 3 = 81 POTENCIA
BASE
• En:
Más ejemplos:
1. x6 = x · x · x · x · x · x
2. m50 = m
m
m ...
m x2
En el exponente anterior x , se tiene:
50 factores
2
Exp. = x
3. 29 = 2
2
2 ...
2 512 Base = x
9 factores
(x)32 = x32
36
Álgebra
Ejemplos:
IMPAR
(*) (BASE POSITIVA) =+
• (–1)17 = –1
Ejemplos:
• (–1)5 = –1
• (+2)5 = + 25
n
(iv) 0 0 con n – 0
(2)5 = 32
Ejemplos:
• (+x)17 = + x17
• 017 = 0
(x)17 = x17
• 0120 = 0
PAR
(*) (BASE NEGATIVA) =+ • 01256 = 0
(–x)18 = x18 1
2 =2 1
3 =3 41 =4 51 =5 71 =7
2 2
22 =4 3 =9 42 =16 5 = 25 72 = 49
IMPAR
(*) (BASE NEGATIVA) = 3
2 =8 3
3 = 27 43 =64 3
5 =125 3
7 = 343
5
• (–2)5 = – 25 25 = 32 35 = 243 45 =1024 5 = 3125
26 = 64 36 =729
(–2)5 = – 32
2 7 = 128
• (–x)21 = – x21
28 = 256
29 = 512
Debes tener presente lo siguiente:
210
n
(i) 1 1 con n
• (–1)16 = 1 0
• 3 3 1
• (–1)328 = 1
0
IMP AR 5
(iii) (–1) –1 • 1
2
37
Álgebra
1 1
0 • 3–2 =
0 = Indefinido 3 8
2
“Como número real no existe”.
Ejemplo: 1 1
0 0 • 6–3 =
(9 – 9) = 0 INDEFINIDO 3 216
6
2 2
2 3 9
•
3 2 4
1
1 1 1 1
• • –71 = –7 • 2 1 • 23
2 2 2 3
2
2
3 Si:
• 4 = 49 = 262 144
n ; 0 n no está definido.
0
Es decir:
17 1
2 2 2 –1 –5 –12
3
• 2 3
= 23 =2 = 29 = 512 0 ;0 ;0 ...
no está definido como números reales.
2.4. Exponente negativo
1
b n ; b0
bn
* Caso particular:
n n
a b
; a,b 0
b a
38
Álgebra
0 2008
0 0
M 5 4 2 4
2 37 27
5 6 K2 +2 –1 +3(–1)34
Resolución: Resolución:
• Hallamos por separado cada expresión: 1.o Hallamos:
0 2008
5 1 0 7
0 1
7 3
3 3 3
2 = 2 =2 =2 =8
2 1 1
4
42 16
2. o Hallamos:
1 1 • 2(–1)27 = 2(–1) = –2
4 2
4 2 16
0
6 1
• Ahora remplazamos los valores obtenidos:
1 1 • 3(–1)34 = 3(+1) = 3
M 1 5(1)
16 16
M=1+5
M6
A) 1/2 B) 2 C) 2–1
1
1
D) 2 E) 4
Resolución:
Por exponente negativo.
1 1
2
1 1
–1 2
1
=2
2
Rpta.: 2
39
Álgebra
ÁLGEBRA - I
10. Calcular:
2. Calcular el valor de:
Q= 72+82–53
0 1 0 1
N= 7 9 – 15 – 4 Rpta.: –12
Rpta.: 5
11. Reducir:
3. Calcular:
2 x 0 6( x y)0
E ; x 0
Q= (–20)0+5a0–100+(5a)0 5 x 0 –30
Rpta.: 6
Rpta.: 2
0 0 0 0
R= (–68 ) 7 x – 2 (7 x ) 10 x 0 6( x y )0
M ; x 0
Rpta.: 8 –30 5 x 0
Rpta.: 4
5. Resolver:
13. Determinar el valor de:
0 0 0
A= – (0, 85) – (6 11) ( 2,18 )
M= –(–7)3+(–5)3–(–6)2
Rpta.: –1
Rpta.: 182
6. Resolver:
7. Efectuar:
15. Hallar el valor de:
T= 42+33–25+70
Rpta.: 12 R= (–1)100–(–1)80+(–6)2
Rpta.: 36
8. Efectuar:
16. Hallar el valor de:
Ñ= 52+24– 62– 90
Rpta.: 4 B= –(–1)18–(–1)23–(–6)2
Rpta.: –36
40
Álgebra
A= 70+151–120–91
6m0 (6 m)0 – m0
K= ; m0
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 3(m+3)0 –( 2m)0
Q= –(–2)4+(–3)3+(–5)2
3. Calcular:
0 1 1 0 A) –16 B) –18 C) –20 D) –14
M= 3 50 (–50) – 7 m
10. Calcular:
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 A= (–1)2010–(+1)2009+(–5)2
4. Calcular: A) 25 B) 16 C) 27 D) 26
Q= (–15)0+7m0–120+(7m)0
11. Efectuar:
A) 7 B) 8 C) 9
0 –2 0 –2
D) 10 K= 7 –5 3 2 (–5)
5. Resolver. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5
0 0 0
R= –(7,12) – (5 7 ) (5, 72) 12. Efectuar:
A) –1 B) 0 C) 1
–1 –1
12
D) 2 1 1
– –
M= 1 2 3 8
1
3
6. Efectuar:
T= 53–62–33+70
A) 6 B) 8 C) 10
A) 60 B) 61 C) 62 D) 12
D) 63
7. Calcular:
5 2 0 2 2
2 +3 –4 +5 –1
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12
41
Álgebra
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Profesor : ______________________________________________________________
1. Escribe (V) verdadero o (F) falso donde corresponda: 7. Relacionar con una flecha según corresponda:
I. 050=1 ( ) I. –(–12)2 • –3
1
1
II. 14 =14 ( ) II. (–3) •1
2
III. (–6) =12 ( ) III. –(–1)3 • –144
IV. (–2)3= –8 ( )
8. Calcular el valor de:
2. Relacionar con una flecha según corresponda: Q= (–5)2+1105–021
I. 2(4)2 • –24 A) 25 B) 26 C) 24
10
II. 5(–1) •5 D) 1 E) 0
III. 3(–2)3 •3
9. Calcular el valor de:
3. Completar las siguientes oraciones:
K= (–4)2 – (–2)3
A) Todo número negativo elevado a un número impar
A) 16 B) –8 C) 9
resulta siempre ....................................... .
D) –9 E) 24
B) Todo número elevado al exponente uno resulta
........................................ .
10. Efectuar:
A) –15 B) –6 C) 7
D) 0 E) 1
A) FFFF B) FVVF
C) VVVV D) FVFV
E) FVVV
42
Álgebra
ÁLGEBRA - II
Rpta.: 182
N 12 13 2 1
3
Rpta.: 7
Rpta.: 17
E 15 12 2 1
4 –3
0
Rpta.: 8
3. Efectuar:
11. Reducir:
–1 –1 –1 –1
N=
5
11
5
4
5
3
5
2
M= 7
2008
0
2
1
–3 + 1
–4
2
Rpta.: 4
Rpta.: 14
Rpta.: 4
13. Calcular:
0 2010
7
5. Determinar el valor de: 3 27 34 1
K= 2 – 2(–1) + 3(–1) 10
S= 6–1+3–1+2–1–1–1 Rpta.: 19
Rpta.: 0
14. Calcular:
2 2 30
2 2 (–2) 2
6. Determinar el valor de: P= –3 + (–2) – (–2) 5
–1 –1
7. Calcular: – 1 – 1
1 5 1 3
E= – +1
2–1 3 –1 –1 4 5
P 1
2–1 – 3–1 5
Rpta.: 10 Rpta.: 30
16. Calcular:
8. Calcular: –1 –1
5 – (0,2) 8 – (0,125)
–1 –1 –1 H= (+2) + ( –8)
3 4
Q 1
3 –1 – 4 –1 3 Rpta.: 2
Rpta.: 10
43
Álgebra
1. Efectuar: 7. Reducir:
4. Reducir: A) 12 B) 13 C) 14 D) 15
–3 –2 –2 10. Calcular:
R= 1 2–1 1
2 3 2 121
90
50 77 2
A= 5(–1) + (–1) – 5
A) 6 B) 10 C) 30
D) –5
A) –20 B) –21 C) –22 D) 23
12. Reducir:
6. Indicar el valor de:
A) 20 B) 40 C) 39
A) 0 B) 2 C) 4 D) n
D) 19
44
Álgebra
• Alumno(a) : ______________________________________________________________
• Profesor : ______________________________________________________________
3
50
1 8. Efectuar:
R= 4
6 –1 +3 –1 +2 –1 +5
A) 53 B) 41 C) 24
D) 32 E) 4 A) 4 B) 5 C) 6
D) 2 E) 1
3. Completar las siguientes oraciones:
A) Todo número diferente de cero elevado a la cero 9. Reducir:
es ....................................... .
2–1 – 5 –1
B) Todo número negativo elevado a un número par
2–1 5 –1
resulta ........................................ .
A) 11 B) 7 C) 5
4. Efectuar:
D) 3 E) 2
43 – 170 + (–3)0
10. Reducir:
A) 60 B) 64 C) 1
D) 32 E) 48 5 –1 4 –1
5 –1 4 –1
5. Efectuar:
A) 9 B) 8 C) 20
0
D) 6 E) 3
–16 + 3 – 3 –5
0 2 3
4
6. Reduciendo:
–2 –3
1
1
3 4
A) 70 B) 71 C) 72
D) 74 E) 73
45
Álgebra
46
Álgebra
LEYES DE EXPONENTES II
El primero que colocó el exponente en una posición elevada con respecto a al línea base fue Chuquet en el siglo XV. Sin em-
bargo, se lo colocaba directamente al coeficiente, de modo que 5x2, lo escribía como 52.
En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viète en la que utilizó una notación prácticamente igual a la actual,
salvo en el detalle de utilizar números romanos. Así 5x2, lo escribía como 5xii.
Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos numerales romanos por los indoarábigos. No deja de
ser curioso, sin embargo, que para la potencia cuadrada no utilizase la notación elevada, sino que siguiese escribiendo, como
muchos hasta entonces, x2 como xx.
El docente dibuja en la pizarra una tabla de doble entrada con los datos siguientes: “participante”, “puntos”, “en suma”, “en
multiplicación”. Ejemplo:
PARTICIPANTE PUNTOS
En suma En multiplicación Total
Opcionalmente, a cada participante se le entrega cuatro pelotitas elaboradas de cualquier clase de papel en desuso, asignado a
cada una de ellas 2 puntos.
En un extremo lateral del curso se encuentran cinco cajas de cartón vacías (también pueden ser recipientes, latas, etc.) y frente
a ellas, a una distancia prudente, se ubican los estudiantes que participarán de la prueba.
El docente da la orden para empezar. Inmediatamente los estudiantes tratan de encestar las pelotitas de cartón en las cajas.
Apropiación:
Cuando todos los participantes han terminado de lanzar las pelotitas, se cuenta aquéllas que fueron encestadas y aquéllas que
no, anotándose en el cuadro de la siguiente forma:
47
Álgebra
PUNTOS
PARTICIPANTE
En suma En multiplicación Total
Cada pelotita encestada vale dos puntos que se van sumando en la casilla de “En suma”.
Esta suma es mostrada de otra manera en la casilla de “En multiplicación”, multiplicando el valor individual de cada pelotita (2)
por el número de pelotitas encestadas.
Los resultados de ambas columnas deben coincidir y ser los mismos, mostrándose estos en la columna “Total”.
Aplicación:
Este juego puede repetirse con otros calores individuales pero idénticos que se asigne a las pelotitas. Es decir, las pelotitas ahora
valen 5 puntos; en otro pueden valer 7 puntos, y así sucesivamente.
También puede variar la cantidad de pelotitas que se dan a cada estudiante; pudiendo entregarse ocho, nueve, diez, etc. De esta
manera y con este tipo de juegos los estudiantes alcanzan a comprender que el proceso de la multiplicación abrevia las sumas.
Este hecho se comprueba comparando los resultados finales o totales de las dos primeras columnas. Como un ejemplo adicional
se puede confirmar que la suma de 3+3+3+3+3+3+3+3 da un resultado idéntico a la multiplicación de 3×8; es decir 24.
Si este concepto queda bien consolidado, se pasa al siguiente nivel: multiplicaciones reiteradas; éstas se convierten en poten-
cias.
Para conceptualizar mejor se muestra un cuadro como el siguiente:
4×4×4×4×4 45 1024
5×5×5×5 54 625
3 × 3× 3 63 216
De esta forma el estudiante comprende mejor la potencia, conceptualizándola como la abreviación de factores iguales.
48
Álgebra
LEYES DE EXPONENTES
Potenciación Radicación
a través de
definiciones de
Multiplicación de bases iguales
Natural
División de bases iguales
Potencia de división
Negativo
Potencia de potencia
LEYES DE EXPONENTES II
Aquí mencionamos las leyes que rigen a los exponentes de • ax+1 = ______________
acuerdo a las operaciones usuales que presentan las diversas
• 10a+b+2 = ______________
expresiones.
Ejemplos:
Ejemplos:
2x
• = 2x–5
• x2 · x · x3 = x2+1+3= x6 2 5
49
Álgebra
•
{ ( 2 ) }
3 5
0 −47
= _________________________
Recíprocamente:
Si se tiene: • x3m = (x3)m
m−n
b
= bm−n−( p − q) = bm−n− p + q • 32x = _______________________
b p −q
Luego obtenemos: • a =
15
_______________________
Regla práctica
Si se tiene: ( bm )n = bm⋅n
“La base resultante lleva como exponente una forma ( bn )m = bn⋅m
particular, donde el exponente del numerador mantiene su
n m
exponente, mientras el exponente del denominador va a ⇒ ( bm ) = ( bn )
pasar con signos opuestos”.
Ejemplos: Ejemplos:
x
2 x +1
• ( 2x )3 = ( 23 ) =8 x
• = 2 =2 =4
x+1–x+1 2
2 x −1
•
3 2 x −7
= ________________________ • ( x n )m = __________________
32 x −9
• ( 3 )
x 2
= __________________
7
y4
• = x ⋅ = x5 ⋅ y2
x 2 y2
a15 b8
• = ________________________
b10 a 9
• x 7 yz 4 = ________________________
z7 y 5 x 2
Ejemplos: Ejemplos:
( 2 x 3 y2 )
3
2(1)( 3 ) ⋅ x(3)(3) ⋅ y(2)(3) =8x 9 y 6
• (x3)–5 = x(3)(–5)= x–15 • =
50
Álgebra
Recíprocamente:
5x
x • = ___________________
• 2 · a = (2a )
x x
3x
• 2a · 3a · 5a = _________________________
6a
• a2x · y3x · z4x = _________________________ • = ___________________
3a
4
1 2
3
Ejemplos:
5 5
x2 x 2 ⋅ 5 x10
= =
• y3 y 3 ⋅ 5 y15
2
• x = ___________________
3
3
2 x2
• = ___________________
3a
3
5a 1. En cociente de bases iguales, los exponentes se ...
• = ___________________
2b
2. Cuando el exponente es negativo, la base se ...
( )
2
+ ( –8 ) + 27
2 2 2n+1(20 + 21 + 22 + 23 ) 2n+1
M= 3 = = 2n+1– n+ 4 = 25 = 32
9 2n–4 (23 + 22 + 21 + 20 ) 2n–4
M= 3 + 64 + 3 M=70
M+K= 70+9= 79 Rpta.: C
Rpta.: A
51
Álgebra
ÁLGEBRA - I
1. Calcular M= x · x3 · x4 · x – 7. 8. Simplificar:
Rpta.: x 2010 2011 2001
R= 22008 + 32008 – 61999
2 2 6
2. Reducir:
27 veces
Rpta.: –5
Q= x ⋅ x ⋅ x...x 9. Reducir:
x ⋅ x ⋅ x...x
(n+ 2) veces
25 veces 3 3 3 3
S= x ⋅ x ⋅ x ...x
Rpta.: x 2
x ⋅ x ⋅ x...x
(3n –5) veces
3. Efectuar:
5 Rpta.: x11
A= (m3 · m–1 · m5)
Rpta.: m35 10. Efectuar:
3 2 2 2
4. Reducir: E= x –2 ⋅ (x –3 ) ⋅ x(–3) ⋅ x –3
5 2 Rpta.: x–14
(x 4 ) ⋅ (x 3 )
K= ; ∀ x ≠ 0
2 3
(x 6 ) ⋅ (x 4 ) 11. Efectuar:
3m – 2 p + 2 3n –4 p + 3
Rpta.: x 2 E= 21– 2 p + 3m + 3–4 p +1+ 3n
2 3
5. Reducir: Rpta.: 11
2 3
(x 3 y 2) (x –6 y –2 )(x 4 y 3)
N=
3
(x 2y 3 ) 12. Efectuar:
3 x 2– x
Rpta.: x y
6 2
M= 5 2 2
2 5 5
6. Indicar el exponente final de a al reducir: Rpta.: 5/2
2 2
R= a 4 ⋅ a 3 ⋅ a5 ÷ (a 4 ⋅ a 4 ⋅ a 4 ⋅ a8 )
13. Calcular:
Rpta.: 10 J= 22x –1 ⋅ 16 x – 2 ⋅ 64 2– x
Rpta.: 8
7. Simplificar:
14. Simplificar:
7 5 4
Q= 3 ⋅227 ⋅ 93
81 ⋅ 243
Rpta.: x10
Rpta.: 37
52
Álgebra
3x + 2
Rpta.: 4
Rpta.: 13/3
1. Calcular: 7. Simplificar:
x 2– x 3
A= x3 · x2 · x –4 · x 5 E= 3 3 5
5 5 3
A) x – 2 B) x – 4 C) x 2
D) x 4 E) x 5 A) 1/2 B) 5/3 C) 3/4
D) 1/10 E) 4/2
2. Reducir:
3 2
(a 3b 2 ) (a –7b –4 )(ab3 ) 8. Calcular:
M=
2 3 2
(a b ) x +1
+ 2x + 2
E= 2
2x + 2
A) b B) b 2 C) b 3
D) b 4 E) b 5 A) 1/2 B) 3/2 C) 1/4
D) 3/4 E) 3/5
3. Simplificar:
9. Reducir:
2 3
M= 15 ⋅ 81
9 ⋅ 274
A) x 1 B) x 5 C) x 1 0
D) x 1 5 E) x 4 A) 3 B) 5 C) 25
D) 15 E) 17
4. Simplificar:
2011 2010 2008
R= 52009 + 32009 + 22008 10. Si mm=4, dar el valor de:
5 3 2 m+1
A= mm
A) 25 B) 27 C) 30
D) 32 E) 21 A) 16 B) 216 C) 64
D) 256 E) 412
5. Reducir:
(n+3) veces 11. Efectuar:
2 2 2
Q= x ⋅ x ...x x+2
+ 2x + 3 + 2x + 4
x ⋅
x...
x B= 2 x+2
(2n+5) veces 2 – 2x +1
A) x B) x 2 C) x 3 A) 28 B) 24 C) 16
D) x 4 E) x 5 D) 14 E) 15
53
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Relacionar: 6. Efectuar:
x4 · x5 • • x6 7 2050 + 5402
x ·x
7 –1
• • x9 7 2048 5400
x4 · x2 · x –5 • • x
A) 74 B) 70 C) 64
D) 24 E) 55
2. Completar:
7. Reducir:
•
(n+1) veces
4 4 4
x ⋅ x ...x
• x
⋅
x ...
x
(4 n+ 3) veces
• A) x 2 B) 1 C) 0
D) x E) x 5
20 veces
3. Reducir x ⋅ x...x . 8. Efectuar:
x
⋅
x...x
24 veces 23m+ p +7 + 53n–4 p + 6
23m+ p + 4 53n–4 p + 4
A) x 2 B) x 3 C) x – 4
D) x 2 E) x A) 54 B) 50 C) 33
D) 32 E) 31
4. Efectuar:
9. Simplificar:
3
A= (m4 ⋅ m2 ⋅ m–1) x+2
+ 5 x +1
P= 5 x +1
5
A) m 1 5 B) m C) m 2
D) m 3 E) m 5 A) 7 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3
5. Reducir:
10. Simplificar:
4 5
(x 3 ) ⋅ (x 2 )
; ∀x ≠ 0 5 4
(x 2 )
10 H= 4 11⋅ 279
3 ⋅2
A) x B) x 2 C) 2x A) 6 B) 5 C) 4
D) 10x E) 2 D) 3 E) 2
54
Álgebra
ÁLGEBRA - II
11. Efectuar:
4. Reducir: a+3 a +1 a+2
A= 3 a +1 + 5a –1 + 2a –3
3 4 4 3 5 2
(b5 ) ⋅ (b3 ) ⋅ (b –2 )
W= 2 5 Rpta.: 66
(b4 ) ⋅ (b 2 )
7. Reducir:
15. Calcular:
x +1
P= 2 + 2x + 2 + 2x + 3
2x +1
55
Álgebra
A) m 3 B) m – 3 C) m 1
D) m – 1 E) m 5 A) 3 B) 9 C) 27
D) 44 E) 42
2. Calcular:
2 2 2
M= m4 ⋅ m3 ⋅ m3 ⋅ m2 8. Calcular:
x x +1 x+2
A) m 1 6 B) m 2 1 C) m 3 2 P= 5 + 5 x + 5
5 ⋅ 31
D) m 4 2 E) m 4 5
A) 1 B) 2 C) 3
3. Reducir: D) 4 E) 5
3
x 6 x 4 (x 5 )–2
Q= 9. Efectuar:
( x –3 )3 ⋅ x –4 512 ⋅ 9
R=
25 ⋅ 56 ⋅ 32
2
A) x B) x – 4 C) x – 6
D) x 8 E) x 4 A) 5 B) 25 C) 125
D) 1 E) 7
4. Simplificar:
10. Si aa= 3, calcular:
a a
A=( aa ) + ( a 3 )a
A) x 1 0 B) x 2 0 C) x 3 0
D) x 4 0 E) x 1 1 A) 27 B) 54 C) 3
D) 9 E) 12
56
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Calcular: 6. Simplificar:
–4 –2
H= a4 · a7 · a11 · a–20 M= 3 –5 + 7–3
3 7
A) a B) m a C) a 3
D) a 4 E) a 2
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
2. Reducir:
x 5 ⋅ x 4 ⋅ x7
7. Reducir:
x11 ⋅ x 2
10 veces
3 3 3 n
A) x B) x 2 C) x 4 M= x ⋅ x ... x ⋅ x
x
⋅ x ⋅
x ...
x
D) x 3 E) x 5 (n+8) veces
3. Efectuar: A) x 2 0 B) x 2 2 C) x 2 4
10
M= ( y5 ⋅ y 4 ⋅ y –8 ) D) x 2 6 E) x 2 8
A) y B) y 9 C) y 1 0 8. Efectuar:
D) y 1 1 E) y 8 m+ 4 m+ 6
A= 5m+ 2 + 2m –1
5 2
4. Reducir:
A) 150 B) 123 C) 153
( 4 )3 ⋅ ( b7 )4 ⋅ b10
V= b D) 40 E) 71
( b3 )5 ⋅ ( b7 )4
9. Calcular:
A) b B) b 7 C) b 2 M= 5 2 x –1 ⋅ 25 x – 2 ⋅ 625 –1– x
D) b 3 E) b 5
A) x B) 4 C) 5
5. Simplificar: D) 1/5 E) 1/4
10. Calcular:
x+4
R= 3 + 3 x +1 + 3 x
3x
A) x B) x 2 C) x 4 A) 90 B) 95 C) 70
D) x 3 E) x 7 D) 80 E) 85
57
Álgebra
ORIGEN DE LA RAÍZ
¡Inténtalo!
Esta estrella está formada por dos triángulos, uno invertido respecto al otro.
Coloca los números en los vértices y en el centro de la estrella, de manera que el resultado de las multiplica-
ciones y divisiones de los tres números que están en los vértices de cada triángulo sea igual a la base elevada
al cubo.
Las operaciones con los números de cada uno de los tres segmentos que pasan por el centro de la estrella
también deben dar de resultado la base elevada al cubo.
58
Álgebra
LEYES DE EXPONENTES
Potenciación Radicación
estudia
definición
Raíz de multiplicación
Exponente fraccionario
Teoremas Raíz de división
Raíz de raíz
RADICACIÓN EN
Las siguientes leyes están dadas para la transformación de 4
• 625 = _______________________
expresiones afectadas por el símbolo de una raíz.
1. Radicación 2. Definición
Es aquella operación algebraica, que consiste en
hallar una cantidad llamada raíz, de tal manera que
dicha raíz elevada al valor del índice nos reproduce al
radicando (o cantidad subradical).
Ejemplos:
1
2 2
• 49 = 49 = 7
2
• x 3 = _______________________
x+y
• 2 z = _______________________
x+1
Ejemplos: • 3 2 = _______________________
•
3
8 = 2 ↔ 23 = 8
3. Ley de signos
3
• 125 = ______________________
5
• 32 = _______________________
• 121 = _______________________
59
Álgebra
m
n m
Si b = b n y hacemos m=n, se tendrá:
n
n
n
b = b n = b1 = b
Ejemplos:
Ejemplos:
( )
5
• x3 = x(3)(5) = x15
3
• x3 = x
( 3 xn )
2
= _______________________ x
•
• 3 x = _______________________
( a x 2y )
3
2
• = _______________________ 5 = _______________________
•
( )
7
nn n
y3 = • 5n = _______________________
• _______________________
x
5
• x5 = _______________________
1.a forma:
mk m
nk n
bmk = b nk = b n = bm
2.a forma:
k 1
Ejemplos: nk
bk = b nk = b n = n b
1
2
• 4 = 4 = 2
1
• 27 3 = _______________________
3.a forma:
1 nk
k
• ( − 32 )5 = _______________________ bnk = b k = bn
3
• 81 4 = _______________________
5
• (− 27) 3 = _______________________
60
Álgebra
Ejemplos: Ejemplos:
3x 3 3
• 25 x = 25 = 3 2 3
x7 x7
3 =
2n n y 3 y
• 3 = _______________________ •
6 x xx
x 4 = _______________________ =
• 2 _______________________
•
10 1
• 32 = _______________________ =
• 4 _______________________
3x x x
• xx = _______________________
Recíprocamente:
x
3 3
x
= x
• 4 4
5
x7
=
5
• x2 _______________________
3
500
3
=
• 4 _______________________
Ejemplos:
y
x
x
x x ⋅ yy = x x ⋅ x yy = x ⋅ y x
•
5 10 5 20
• a b c = _______________________
x 2y 8 z = Ejemplos:
• _______________________
• 18 = _______________________
x3 ( x )(3) 3x
• x2 = x2 = x2
5 4 3
Recíprocamente: 2120 =
• _______________________
3
x ⋅ 3 y2 = 3 x ⋅ y2 2 =
• • _______________________
• 2 ⋅ 5 = _______________________ 2 x
16 = _______________________
•
5 5 5
• x 2 ⋅ x 7 ⋅ x 6 = _______________________
Propiedad
3
•
3
a ⋅ b 2 = _______________________
•
mnp (wn+ y) p + z
• b =
Ejemplo:
61
Álgebra
Resolución: Resolución:
1 –1 2 2y 2y 2x 2y
2
⋅ 4 + ( 4 ⋅ 2 ) =
3 3
3 x–y
+3 x–y
3 x–y
3 x–y
2 x+y
= x+y
+ x+y
–2 x–y x–y
1 2 3 3 3 x–y
⋅ 4 3 + (3 8 ) =
2 x+y
3 1 1
= 3 x–y + = 3+
2 2 ⋅(2 2 ) + 22 = x–y 3
x–y
3
22 ⋅ 26 + 22 =
10
28 + 4 = =
3
256+4=
260
Rpta.: B
Rpta.: C
2. (ONEM-2005 NIVEL 2)
Si x>1, simplificar:
x –1
3 x –1 + 4 x –1 + 6 x –1
4 1– x + 6 1– x + 8 1– x
A) 6 B) 12 C) 36
D) 24 E) 3
Resolución:
24 x –1 ( 3 x –1 + 4 x –1 + 6 x –1 )
x –1 1 1 1 (efectuando en el
24 x –1 x –1 + x –1 + x –1
4 6 8
denominador)
24 x –1 ( 3 x –1 + 4 x –1 + 6 x –1 ) x –1
x –1 = 24 x –1 = 24
6 x –1 + 4 x –1 + 3 x –1
Rpta.: D
62
Álgebra
ÁLGEBRA - I
Rpta.: x12y8z7
63
Álgebra
c) –9 = –3 ( ) A) 1 B) 2 C) 4
D) 8
A) V V V B) F F F C) V F F
D) V F V 8. Calcular:
–1 –1 –1
2. Resolver: M= 25 2 + 81 4 – 64 6
5 3
M= 7 5 + 2 3
A) 5 B) 6 C) 8
A) 1 4 B) 9 C) 5 D) 10
D) 2 4
9. Simplificar:
3. Calcular el valor de A+B. 3
R= x 2 ⋅ x 5 ⋅
3
x9
3
A= 64 x 6 y B= 25 x 4
A) x B) x 2 C) x 3
D) x
A) 4x 2 B) 9x 2 C) 5x 2
D) –x 2
10. Simplificar:
4
4. Efectuar: Z= x 3 ⋅ x x 3
3
–27a 25b 17
a 7b 8 17 17 15
A) x 16 B) x 12 C) x 11
A) 3a 2 b 3 B) –3a 2 b 3 C) –3a 6 b 3 7
D) 3a 6 b 3
D) x 12
–5 –11 4 6
a b R= 8 ⋅ 32 ⋅ 2 ⋅ 3 8
R= 6
b a
A) 2 B) 4 C) 0
A) b / a B) a / b C) 1 D) 5
D) a 2 / b
12. Simplificar:
6. Reducir:
2 –1
a a
a
a3 a2 a a4 10 P= 4 a a a
R= xa
A) x B) x2 C) x3 A) 2 B) 2 C) 4
D) 1 D) 1
64
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Relacionar: 6. Calcular:
3
• 8 • 13 B= 8 x 13 ⋅ 2 x 7
5
• 32 + 1 •3
A) 4 B) 4x10 C) x10
• 169 •2 D) 16 E) x20
7. Simplificar:
2. Efectuar:
5 3 5 2a –3
M= 5 7 + 3 3 E= a
5 a –3
A) 8 B) 9 C) 1 1
A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 0 E) 1 2
D) 5 E) 1
A= 25 x 6
3. Efectuar:
3
A= 25 x 6 y B= – x 3 8. Reducir:
luego calcular A+B.
3
B= – x 3
A) 4 B) 4x 3 C) x 3
D) 5x 3
E) 24x 15
A) m B) m4 C) m7
D) m10 E) m3
4. Efectuar:
9. Reducir:
27 x 9 y 19 –1 –1 –2
M= 3 H= 36 2 +64 3 +16 2
x 6y
A) 12 B) 11 C) 10
A) 3x y 6 B) 2x y C) 3x y
D) 9 E) 8
D) 5x y 4 E) 27y 1 9
10. Reducir:
5. Si se tiene 71/4 y (13)3/2, indicar las alternativas que
3 4 24
contengan sus equivalentes. M= x 2 ⋅ x 5 ⋅ x 7 ⋅ x 21
3 3 24 A) x B) x2 C) x4
A) 7 4 y 13 B) 13 y 7
2 D) x7 E) x3
3 1/ 2 3
C) 13 y 7 D) 7 y 13
3
E) 4 7 y 13
65
Álgebra
ÁLGEBRA - II
1. Efectuar: 9. Reducir:
1 1 –15 –7
2 5
A= ( – 64) 3 + 36 2 E= 4
5 2
Rpta.: 2
Rpta.: 25/4
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
3
729 = 9 10. Simplificar:
a) ( )
b) –25 = –5 ( ) x 16
S=
3 3 3
4
12
4 x2 ⋅ x2 ⋅ x2
c) = 2 ( )
6 6 Rpta.: 1
6
Rpta.: VFV
11. Simplificar:
3. Resolver: 5 2 5 2
11 9 E= 3 40
A= 6 11 + 2 ⋅ 5 9
Rpta.: 81
Rpta.: 16
7. Efectuar:
15. Reducir:
32x 12y 17
5
5 3 4
x 2y 7 R= x 4 ⋅ x 2 x 4 ⋅ x –1
Rpta.: x2 y2 Rpta.: 1
8. Efectuar:
16. Reducir:
3
x 2y 2 ⋅ 3 x 5 y 5 m
A=
3 xy
P= ( )
1
x 2m 2m +
2m
x 4m – x ( 1+
1
m ) m+1
Rpta.: x2 y2 Rpta.: x2
66
Álgebra
1. Efectuar: 7. Reducir:
8 –10
1 1 2 7
S= 9 ⋅
A= ( –125 )3 + 49 2 7 2
A) 2 B) 4 C) 3 D) 7
3. Efectuar:
5
32m 18n 12 9. Calcular el equivalente de:
243m 8n 2
3 4
3⋅2 3⋅ 33
2 10 10 2 5 5
A) m n B) m n 24 24
3 3 A)
24
3 B) 32 C) 3 31
2 2 2 2 D) 3
C) m n D) mn
3 3
10. Simplificar:
4. Resolver:
⋅( )
1 2
R= ( )
1 1
3 3 5 5 2 2
x y ⋅ x y 7 7 2 + 25 2
x 4y 4
A) 7 B) 12 C) 2
A) x y B) x 2 y 2 C) x 3 y 3 3
D) 7 E) 7
D) x 4 y 4
11. Reducir:
n +1 n +2 n +2 n +1
5. Simplificar: 2n 22 + 22 3n 33 + 33
+
7 2 7 2 6 12
E= 5 28
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
A) 5 B) 25 C) 125 D) 5
12. Dar el valor de:
6. Reducir:
2⋅ 3 4
A=
M= 10 3 a ⋅ 3 a ... (60 factores) 2⋅3 2
A) a B) a2 C) a3
A) –2 B) 2 C) –1 D) 1
D) a4
67
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Efectuar: 6. Efectuar:
A= (–8)1/3+251/2
8x 10 y 7
3
A) 2 B) 3 C) 1 xy 4
D) 0 E) –1
A) 2x B) 2x3y C) 2y
2. Efectuar: D) 2x3 E) 2y3
2 5
B= 13 + 7 ⋅ 5 3
7. Simplificar:
A) 37 B) 24 C) 11
x8
D) 32 E) 34 M=
3
3
x ⋅ x2
3. Indicar la expresión incorrecta.
A) x 5 B) x 4 C) x 3
5
I.
5 (2y) = 5y D) x 2 E) x
3 3
II. 2x = 2x
4 4 8. Simplificar:
III. (y + 2) = y + 2
3 5 5 3
A) I y II B) I C) II R= 2 30
D) III E) I y III
A) 3 B) 2 C) 4 D) 1 E) 7
4. Calcular: 9. Calcular:
0,5 0,25
n– 2
3 n– 2 ⋅ 5 n– 2 9 81
B= H= 25 0,5 + –
16 256
A) 11 B) 25 C) 13
A) 4 B) 5 C) 3
D) 14 E) 15
D) 2 E) 1
A) 13 B) 2 C) 1 A) x2 B) 2 C) x3
D) 0 E) –1 D) x E) x4
68
Álgebra
ECUACIÓN EXPONENCIAL
ORIGEN DE LA INCÓGNITA
Los árabes, para representar la incógnita, utilizaban el término shay, que quiere decir “cosa”. En los textos españoles se escribió
xay, que con el tiempo se quedó en x.
Los egipcios le llamaban aha, literalmente “montón”. Durante los siglos XV y XVI se le llamó res en latín, chose en francés, cosa
en italiano o coss en alemán.
¡Juega y razona!
Dos matemáticos
el favorito de Cihan Altay
Se eligieron dos números mayores que 1 cuya suma es igual o menor que 100. Al matemático S le hacen saber
sólo la suma de estos números y al matemático P le hacen saber sólo su producto. Más tarde, ambos matemá-
ticos tienen la siguiente conversación telefónica.
69
Álgebra
LEYES DE EXPONENTES
se estudia a través de
Potenciación Radicación
se estudia
Teoremas de potenciación
se aplica en
Ecuación exponencial
Si b x = bn ⇒ x = n ; b ≠ 0 ∧ b ≠ 1 Por principio:
2x + 1 = 5
Ejemplos: 2x = 4
( 12 ) = ( 12 )
3 x
Si 54 = 5x Si x = 4
x = ....... x = ......
2. Resolver:
272x–2 = 81x+1
Resolución:
70
Álgebra
Efectuando: Resolución:
6x – 6 = 4x + 4
Operando:
6x – 4x = 6 + 4
2x = 10
2 · 83+2x = 27x–1
21+9+6x = 27x – 1
Por principio:
10 + 6x = 7x – 1
10 + 1 = 7x – 6x
11 = x
2. Resolver:
x 7
818 = 332
Resolución:
4 · 8x = 327
Llevando a bases iguales:
x 7
22 ⋅ ( 23 ) = ( 25 )
I.b. Ecuación exponencial con exponentes
sucesivos Operando:
Son ecuaciones donde las bases presentan exponentes 22+3x = 235
sucesivos. Para resolverlas debemos transformarlas
hasta conseguir bases iguales. Por principio:
Ejemplos: 2 + 3x = 35
1. Hallar x. 3x = 33
3+ 2 x 7 x −1
48 = 22 x = 11
71
Álgebra
Ejemplos:
1. Resolver:
( 33 ) x+ 2 = 243
Resolución:
( 33 ) x+ 2 = 35
33 x+ 6 = 35
4
x=
3
I.d. Ecuación exponencial con adición o
multiplicación de bases iguales
Resolución:
Ejemplos:
Aplicando raíz de raíz:
1. Hallar x en:
3( x −1) 3
5 3 x −1 = 52
2 x + 5 − 2 x + 3 − 2 x +1 = 176
3 x −1 2
5 3 x −3 = 5 3 Resolución:
9x – 3 = 6x – 6 2 x ( 25 − 23 − 2 ) = 176
2x(22) = 176
3x = –6 + 3
2x = 8
3x = –3
2x = 23
x = –1
72
Álgebra
x=3
2. Resolver:
( 9 x −1 ) ( 27 x +1 ) = 81x + 3
Resolución:
( 32 ) x −1 ⋅ ( 33 ) x +1 = ( 34 ) x + 3
3 2 x − 2 ⋅ 33 x + 3 = 34 x +12
35x+1 = 34x+12
Por principio:
5x + 1 = 4x + 12
x = 11
23x – 6 = 7x – 2 Es de la forma:
Resolución:
2. Resolver:
( 12 ) ( 13 )
x+3 3 x +9
=
73
Álgebra
xx=27 x = 17
Resolución:
4. Resolver:
En el 1.er miembro la base es igual al exponente,
( )
entonces buscamos la misma relación en el 2.º ( x −10 ) x −10
( x − 10 ) = 24
miembro.
Resolución:
xx=27
xx=33
Por comparación:
x=3
2. Hallar x en:
xx = 256
Resolución:
5. Resolver:
2 9 −1
(a 2 ) a 1
=
9
Resolución:
74
Álgebra
Resolución:
Resolución: 4. Resolver:
a+3
Busquemos en el segundo miembro la misma relación aa = 232
que se da en el 1.er miembro.
Resolución:
x 4 x +1 = 3 12 + 1
Por comparación:
⇒ x = 3
2. Hallar a en:
a3a+2 = 517
Resolución:
5. Hallar el valor de b.
1
−
bb = 5 5
Resolución:
75
Álgebra
1 Métodos de resolución
b
b = ( 5 −1 ) 5
1.er Método
1
15 Trabajando el 2.º miembro:
bb =
5 6
xx = 6
Por comparación:
6 6
Pero 6 es igual a 6 y así tenemos:
1
b= 666
5 6
xx = 6
6
Por comparación:
5. Hallar el valor de a.
6
1
x= 6
−
a
a = 10 10
2.º Método
Resolución:
Aplicando la propiedad:
n
x
xx = n ⇒ x= n
n
6
xx = 6 ; n=6
2. Calcular el valor de a.
8
aa = 8
Ejemplos:
1. Hallar x en:
6
xx = 6
76
Álgebra
3. Calcular el valor de x.
7
. .x
x.
x = 7
Resolución:
1/ x 3 n
3 n
– =–
4
x 341
8 24
=
x x
n=9
n+3 n + 3 9 + 3 12
hallar el valor de . Piden: = = =3
4 4 4 4
A) 9 B) –9 C) 1 Rpta.: E
D) 2 E) 3
2. (ONEM 2006 NIVEL 2)
Resolución: Halle los valores enteros de m y n que cumplen:
Operando por partes: 2m+3n= 3n+2–2m+1
Dar como respuesta el valor de m+n.
4 x –1 4 –1 3 –1 4 ⋅3⋅2 (–3–1)2–1
• x –1 ⋅ 3 = x ⋅ x ⋅ x –1 = x A) –1 B) 0 C) 1
x
D) 2 E) 4
4 x –1 4 –1 3 –1 4 ⋅3⋅2 (–3–1)2–1
x –1 ⋅ 3 = x ⋅ x ⋅ x –1 = x Resolución:
x
–
3 • 2m+2 · 2m= 3n · 32 – 3n
24
= x –9 = x 8
3· 2m= 8 · 3n
n 2m 3n
34
x –n =
2⋅3⋅4
x –n = x
–
24 3
= ⇒ 2 m –3 = 3 n –1
• 2 31
77
Álgebra
si x>1. ∴ n = 1
A) 1/2 B) 3/2 C) 1
Rpta.: C
D) 5/2 E) 1/3
ÁLGEBRA - I
1. Resolver: 7. Al resolver:
a2
49 = 75x–3 aa =2
calcular (5a)2.
Rpta.: VFF
Rpta.: 50
2. Calcular el valor de x.
8. Hallar el valor de x.
253 = 55x–4
Rpta.: 2 3 8 –1
3 x 1
(x ) =
8
3. Calcular el valor de a. Rpta.: 1/2
125 a+2
=25 2a–2
78
Álgebra
3 13 ÷ [ 3 3 ÷ 3 x ] = 3 33
x+3 x
22 = 48
calcular E= x2 – 1. Rpta.: 23
Rpta.: 0
16. Hallar x.
14. Resolver:
3x+1+3x+2+3x+3=351
9 x –1 3 x+ 2 Rpta.: 2
2 =8
Rpta.: 5
64=42x–3 (m–2)(m–2)=1446
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 A) 12 B) 14 C) 16 D) 18
A) 3 B) 109 C) 32 D) 11
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3
10. Resolver y dar el valor de x.
4. Al resolver: 2x–5 · 4x+1 · 8x–1 =20
3
xx
x =3 A) 1 B) 0 C) –1 D) 2
calcular (2x) .3
11. Reducir:
A) 10 B) 3 C) –24
D) 33 4 2x +5 ⋅ 2 2x + 2
E=
4 3x+4
5. Calcular el valor de a.
5
x–2
= 25 A) 2 B) 4 C) 8 D) 16
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 A) 25 B) 28 C) 37 D) 42
79
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
2. Hallar el valor de x.
8. Calcular el valor de x.
2 2x +4 2 x +7
3 =3 5x–2 3 x –8
11 m = 11 m
A) 7 B) 4 C) 1
A) 4 B) –2 C) –3
D) 2 E) 3 D) –1 E) 0
A) 15 B) 12 C) 16 A) 2 B) 1 C) 7
D) 13 E) 14 D) 3 E) 0
5. Hallar el valor de x.
2 x –5 x–2
73 = 73
A) 1 1 B) 7 C) 10
D) 3 E) 4
6. Hallar el valor de x.
x2 4 –1
2 1
(x ) =
4
A) 1/3 B) 1/2 C) x
D) 1/4 E) 1/7
80
Álgebra
ÁLGEBRA - II
2x+2x+1+2x+3= 44
3. Resolver: Rpta.: 2
85= 32x–2
Rpta.: 5 12. Resolver:
2
. ( x –1)
4. Resolver: .
.
( x – 1) ( x –1)
1252x+4= 6252
Rpta.: –2/3 Rpta.: 2 +1
7. Al resolver: x5x–6= 16
Rpta.: 2
5
xx
x =5
16. Resolver:
calcular (2x)5.
3x+3x+1+3x+2+3x+3+3x+4= 363
Rpta.: 160
Rpta.: 1
8. Hallar el valor de m.
1
–
mm = 8 8
Rpta.: 1/8
9. Calcular el valor de a.
3
5 a –4 = 125
81
Álgebra
9n–2= 81 m3m–2= 16
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
7. Resolver:
3
. (m – 2)
..
(m – 2)
(m – 2) (m – 2) =3
3
A) 3–3 B) 3 +2 C) 3 –2
D) 3
3+2
82
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Calcular el valor de x.
9m–2=27 7. Calcular el valor de b.
4. Calcular x.
10. Resolver y calcular x.
273x= 35x–2 x +1 2x +4
33 = 27 3
A) –1/2 B) 1/4 C) 11
D) 1/3 E) 1/27 A) 4 B) –4 C) 7
D) –7 E) 5
5. Calcular x.
xx+2= 16
A) 4 B) 12 C) 7
D) 2 E) 5
6. Al resolver:
x4
xx =4
calcular (2x) .4
A) 11 B) 5 C) 60
D) 63 E) 64
83
Álgebra
84
Álgebra
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
7
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Reconoce e identifica a las expresiones algebraicas.
Estrategias motivadoras
SABÍAS QUE ...
Cuenta la historia que a mediados del siglo XVI los estados españoles estaban muy distanciados y para comunicarse sin que sus
mensajes pudiesen ser conocidos por sus enemigos, empleaban una serie de caracteres desconocidos. Durante los desórdenes
de la unión, su código secreto estaba compuesto por unos 500 caracteres diferentes y aunque sus mensajes eran frecuentemente
interceptados, no podían ser descifrados. Mandadas estas cartas a Viète las descifró sin mayores problemas. Esto desconcertó
a los españoles durante dos años que pensaron que el rey lo había descubierto a través de un mago. Este mago, que era solo
un matemático, había aplicado sus inventos de escrituras y notaciones matemáticas. Estos trabajos están publicados en el libro
El ‘Álgebra nueva’ donde Viète muestra el enorme interés que tiene para las matemáticas (y otras ciencias) el efectuar cálculos
con letras en lugar de con números.
UN POCO DE HISTORIA
Una de las causas por las que las matemáticas no avanzaron suficientemente hasta el siglo XVI fue sin duda la carencia de unos
símbolos que ayudaron a los matemáticos a expresar sus trabajos de una manera más simple y que permitieran su lectura con
mayor facilidad.
Desde los babilonio (1700 a. C.) hasta Diofanto (250 d. C.) las operaciones se relataban con el lenguaje ordinario (Período
retórico o verbal). Así, por ejemplo, en el papiro de Rhind (1650 a. C) se puede leer para describir un problema: “Un montón
y un séptimo del mismo es igual a 24”. Con la palabra “un montón” designaban la incógnita; un par de piernas andando en la
dirección de la escritura era el signo (+) y en contra el signo (–). ¿Cómo se escribía hoy esta ecuación?
A partir de Diofanto y hasta comienzos del siglo XVI se comienzan a utilizar algunas abreviaturas (Período abreviado o sincopa-
do). Así, por ejemplo, para expresar la ecuación 3x2– 5x+6= 0, Regiomontano (1464) escribía:
3 CENSUS P 6 DE 5 REBUS AE 0
A partir del siglo XVI, con Viète y Descartes sobre todo, se empieza a utilizar un lenguaje simbólico bastante parecido al actual
(Período simbólico). Por ejemplo, la ecuación anterior era expresado así:
Vieta (1591): 3Q – 5 N +6 ae 0
85
Álgebra
JUGANDO
Aquí se relaciona cada símbolo que aparece con las variables que aparecen en las expresiones algebraicas.
Cada símbolo representa un dígito diferente del 1 al 9. Se muestra el valor de la suma de los elementos de cada columna y cada
fila. ¿Cuál es la suma de la diagonal que va desde la parte superior izquierda a la inferior derecha?
20
18
23
26
16 27 28 16
?
Organizador visual
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
es
se clasifican de
acuerdo al
Irracionales Racionales
pueden ser
Enteras Fraccionarias
86
Álgebra
La representación de alguna situación matemática, mediante constantes y/o variables con exponentes racionales, relacionados
con un número finito de operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación)
o una combinación de éstas.
Ejemplos:
1
3 5 1
4 x + 2 x + x 3 y 2 xy 2 − 9 x 3 + 2 x 5 − 7 son expresiones algebraicas.
2
La expresión:
2 3 5
5x + 4x −y
87
Álgebra
Notación algebraica
Es una representación simbólica de una expresión algebraica, con el fin de distinguir entre las letras, a las variables y las
constantes.
Monomio
88
Álgebra
Ejemplos:
G(x) = 1 + x + x2 + x3 + ...
Ejemplos:
Ejemplos:
Polinomio: Es una expresión algebraica racional entera que consta de dos o más términos.
Notación:
P(x) → Indica la representación de un polinomio o cuya única variable es x se lee “P de x”.
F(x; y) → Indica la representación de un polinomio o cuyas variables son x e y se lee “F de x; y”.
Ejemplos:
89
Álgebra
1 2 3 F( x) = x n + x 5– n – x 2
A) 1 + + +
x x2 x3
es racional entera?
B) 1 x + 1 x 2 − 1 x 3
2 3 4 A) 0 B) 1 C) 2
1 D) 3 E) 4
C) x +5y −
3
Resolución:
D) 2 x 5 − 3 + x 2
n debe ser entero positivo → n= 1, 2, 3, 4, ...
Resolución:
4
A) Es una EARF porque la variable está en el ∈ + , n ≠ 5
denominador. 5–n
B) Es una EARE porque los exponentes de las Tabulando n= 1 , n= 3 y n= 4 .
variables son enteros positivos. ↓ ↓ ↓
C) Es una EAI porque la variable está afectada de un 4 4 4
=1 =2 =4
radical. 4 2 1
D) Es una EARE porque los exponentes de la variable
son enteros positivos. Existen 3 valores.
Rpta.: D
2. Calcule ab si la expresión:
1
P( x) = (2a – 1)x –4 + (b + 4)x 2 + x 4
es racional entera.
A) 8 B) 2 C) 1
8
–1
D) 1 E) 1
16 4
Resolución:
• 2a – 1= 0 → 2a= 1
a= 1
2
• b + 4= 0 → b= –4
–4
a b = 1 = 16
2
Rpta.: D
90
Álgebra
ÁLGEBRA - I
Rpta.: 2, 4, 3, 1, 4
4. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas:
A) x2+2x5+1 ( ) 8. Complete.
Rpta.: 3, 1, 4, 4, 1
91
Álgebra
P(x)= 5x2–2x+8
es:
Rpta.: 5
P(x)= ax3+bx2+c
es:
Rpta.: a
Sabías que...
Londres, abril 2006.- Hace 10 años cuando Hannah Clark tenía 2 años, fue sometida a un peculiar trans-
plante de corazón ya que su órgano no fue retirado, permaneciendo desconectado junto al corazón donado. Sin
embargo, en noviembre pasado, los médicos británicos notaron que Hannah estaba rechazando el corazón injer-
tado por lo que decidieron intentar reactivar el corazón de la niña. En una operación inédita retiraron el corazón
trasplantado y reconectaron el suyo.
92
Álgebra
NIVEL I NIVEL II
1. Señale cuáles de las siguientes expresiones son 5. Dada la expresión, indique la suma de coeficientes.
algebraicas.
P(x)= –8x2+5x3+4x–x4
I. 5x +3x +6x
–2 3 –1
1
A) 0 B) 1 C) 2 D) –1
II. 7xy+ 2x 2
+ 3x 3 +5
6. Dado el polinomio
III. 2+3x2+5x3+...
P(x; y)= 3ax2–5ax3+9ax4
A) I y II B) I y III C) solo I halle la suma de coeficientes.
D) III
A) 3a B) 4a C) 7a D) –3a
4. Señale cuál de las siguientes expresiones es 11. Clasifique la siguiente expresión algebraica.
irracional. 1
–
2 9 0
1 2 3 (a – b) (a – b)3 (a – b)3
I. 1 + + +
x3 x2 x3 A) EARE B) EARF C) EAI
1 D) No es EA.
II. 2 x + x 2 – 4 x 3
3
1 12. Clasifique la siguiente expresión:
III. x +5y –
3 3 7 5 3
a b c ab 2c 3
5
IV. 2 x + x – 3 2
A) EARE B) EARF C) EAI
A) I B) II C) III D) No es EA.
D) IV
93
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
C) 4x2–7x3
( ) P(a)= 3a3+ma2–3b3+7m
2x
D) 2 x 4 – 5 x 7 + ( ) A) 3a 3 B) ma 2 C) –3b3+7m
13
D) 7m
3. Complete (monomio, binomio, trinomio, polinomio).
a+b+c+d+f
9. Calcule el valor de a si la expresión es racional
2m+n – p
entera.
P(x)= 3x2+(a –4)x – 3+8x+1
4. Complete:
A) 4 B) 5 C) 6
Expresión Número de D) 8
algebraica términos
a+b–c+d+f 10. Calcule a b si la expresión no es racional fraccionaria.
2+y P(y)= 9y4+(a–5)y –2+5y+(b+1)y –1
3x+4y –7z
A) 9 B) 5 C) –5
ab D) –9
3
c
2x+3y + 4 z + 7
5. Dado el monomio:
2 3 2
M( x; y) = – ax y
3
94
Álgebra
ÁLGEBRA - II
NIVEL I
II. 9 x – 7 x 2 – 4
1. Escriba verdadero (V) o falso (F). III. 5x+4
IV. –7x2+2xy–5
A) x+2y+3x2 es una expresión
Rpta.: 2
algebraica. ( )
IV. 7 + 2 – 7x –5
2. Escriba verdadero (V) o falso (F). x
Rpta.: 1
A) Un monomio es un polinomio. ( )
B) –7 es el coeficiente del monomio 7. Dado el polinomio.
–7x4z3.
( )
C) 7x –2x+4 es un monomio.
3
( ) P(x)= ax2+2ax5 –5ax4+10a
D) 3 es el término independiente del complete:
polinomio 3x3 – 4x+5. ( )
A) variables _____________________________
Rpta.: VVFF B) coeficientes ___________________________
C) suma de coeficientes ___________________
3. Relacione: D) término independiente _________________
I. 6x4/3–2x+7 a. EARE
Rpta.: x - a; 2a; –5a; 10a - 8a - 10a
3
II. 2+3x + x
2
b. EAI
2 8. Dado el polinomio:
III. 2x–1+7x+4 c. EARF P(a; b)= 3xa2b+2xab2 – 4x
Rpta.: Ib, IIa, IIIc complete:
A) variables _____________________________
4. Relacione: B) coeficientes ___________________________
I. 5 + 3 x 2 – 5 x 7 a. EARE C) suma de coeficientes ___________________
D) término independiente _________________
II. 5 + x 3 + y + xy 4 b. EARF
Rpta.: a; b - 3x; 2x; –4x - x - –4x
III. 2 + 7 + 5x 4 c. EAI
x2 x NIVEL II
Rpta.: Ia, IIc, IIIb
9. Dado el polinomio:
5. Diga cuántas de las siguientes expresiones algebraicas 1 2 1 7
F( x; y) = x y + xy 3 +
son polinomios. 2 3 6
halle la suma de coeficientes.
I. 3 – 2 x + 7
x Rpta.: 2
95
Álgebra
11. Calcule el valor de a+b si la expresión es adicional 15. Señale verdadero (V) o falso (F).
entera. P(x)= 2x12–5x19–7x+18
3x2+(a–1)x–2+(b+2)x–3+3x
Rpta.: –1 A) Su término independiente es 18. ( )
B) Uno de sus coeficientes es 7. ( )
C) La suma de coeficientes es 32. ( )
12. Calcule a b si:
Rpta.: VFF
15 x 8 + (a – 2) x + xy –2 – (b + 3) y
es una EARF. 16. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda
Rpta.: –6 respecto la polinomio.
Rpta.: EARE
2. Relacione:
4. Dado el polinomio:
3
I. 2x + y + y a) EAI P(x; y)= 2axy2+5axy – 4a
complete:
II. 2 7 3
x+x – b) EARF A) variables _____________________________
3 2
B) coeficientes ___________________________
III. 2x–4+7x–3+2x c) EARE C) suma de coeficientes ___________________
D) término independiente _________________
96
Álgebra
5. En el polinomio: 5 x 6y 3
F( x; y) =
L(x; y)= 2x– 3x y5+6z+9y2+6z
2 x –1y –5
indique el término independiente.
A) EARE B) EARF
A) 3 B) –9 C) 3z C) EAI D) No es EA.
D) 9z
10. Clasifique la expresión algebraica:
6. El coeficiente principal de:
1 1
L( x; y) = 5 x 6 y 4 +
P(x)= (a–3)x3+5x 2– 2x+a x y
es 6. Calcule el valor del término independiente.
A) EARE B) EARF
A) 2 B) 5 C) 7 C) EAI D) No es EA.
D) 9
DESAFÍO
7. Calcule el valor de a b si la expresión no es irracional.
11. Clasifique la siguiente expresión algebraica:
P(x)= 3x+(a– 5) x +6x+(b –1) 3 x
( )
3
M(a; b)= 5a3+3b2+ b2
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6
A) EARE B) EARF
C) EAI D) No es EA.
NIVEL III
12. Dado el polinomio:
8. Dado el polinomio 2
A( x) = 15(m + n) x + 2 x(n2 – 9) + 5(m – 1)x 2 / 3
L(x)= 3x+(5+a)x +6x +(b–2)x
–1 3 –3
Calcule el valor de m+n si n>0.
halle el valor de a+b.
A) 0 B) 1 C) 2
A) 1 B) –1 C) 3 D) 4
D) –3
Sabías que...
Brasilia, marzo de 2008.- Joao Victor Portelinha de Oliveira, presentó el examen la semana pasada: un test de
opcion múltiple y una prueba de redacción, y resultó aprobado. Inmediatamente, sus padres pagaron la matrícula
para que el niño comience sus estudios. La Universidad Paulista (UNIP) reconoció que Joao Victor pasó el exa-
men, pero no aceptará su ingreso por no cumplir el requisito de haber cursado la escuela secundaria. El ministro
de Educación, por su parte, determinó la apertura de una investigación sobre el bajo nivel de exigencias de ese
centro de estudios.
97
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
A) F V V B) F F F C) V F F
D) F V F 7. En el polinomio:
A) a B) 11a C) 11
D) 1 10. Clasifique la expresión:
7 x 2,5 y7
5. Dado el polinomio: P( x; y) = 1
P(x)= ax –2ax +5ax –10a
2 3 4 x 2y2
complete:
A) EARE B) EARF C) EAI
A) variables _____________________________ D) No es EA.
B) coeficientes ___________________________
C) suma de coeficientes ___________________
D) término independiente _________________
98
Álgebra
GRADOS DE POLINOMIOS
8
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Identifica los grados absolutos y relativos de los polinomios.
Estrategias motivadoras
Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para
determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.
La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione
del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin cono-
cer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de fórmula de Cardano, porque otro matemático
llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y Del Ferro, luego
fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado Girolamo Cardano
‘Ars Magna’.
De esta forma es como surgió el polinomio así como muchas de las ecuaciones que hoy conocemos.
¡TÚ PUEDES!
1.
4.
2. 3.
99
Álgebra
Organizador visual
POLINOMIO
es
son
Absoluto Relativo
El grado es la principal característica de una expresión Se determina ubicando el exponente de la variable referida
racional entera, el cual viene dado por los exponentes que en dicha expresión.
afectan a sus variables.
Ejemplos:
Clases de grado • Sea el monomio:
P( x , y ) = 3 x 2 y 5, donde:
• Grado relativo (GR): Toma en consideración sólo a
una de las variables. * Grado relativo grado relativo a x.
GR(x) = 2 (de 2.º grado)
• Grado absoluto (GA): Toma en consideración a todas * Grado relativo grado relativo a y.
sus variables. GR(y) = 5 (de 5.º grado)
• Sea el monomio:
GRADOS DE UN MONOMIO
M(a, b) = 3 a 2bz , donde:
2
Monomio
* Grado relativo a.
Es la expresión algebraica racional entera de un sólo término. GR(a) = __________________
La notación de un monomio se da de la siguiente forma. * Grado relativo b.
GR(b) = __________________
•
100
Álgebra
Se determina sumando todos los exponentes de las GR(x) = 7 (por ser el mayor exponente de x)
variables.
GR(y) = 5 (por ser el mayor exponente de y)
Ejemplos:
• En el monomio: * En el polinomio:
GA=3+5=8 P ( a, b ) = 5a 2b5 x + 3 xa 3b 4 − ab 2
M ( x, y ) = 7 x 3 y 5 ( de 8.º grado )
( Grado del monomio igual a 8 ) Se tiene:
GR(a) = ___________________________
• En el monomio:
GR(b) = ___________________________
GA=_________
2 4 5
M ( x, y ) = 6a x y ( de ___ grado )
Grado del monomio igual a __
( ) Grado absoluto de un polinomio (GA)
Ejemplos:
* En el polinomio:
Para referirnos al grado absoluto de un monomio
P ( x, y ) = 3 7 2
x
2 4
xy + 3
y –5 5 2
x
y
podemos decir, simplemente, grado del monomio.
GA=9 GA=6 GA=7
Mayor
∴ GA = 9
GRADO DE UN POLINOMIO
Polinomio
* En el polinomio:
Es una expresión algebraica racional entera que consta de la
suma finita de monomios. H ( x, y ) =
x 2y5 + ab
2 3
xy
–b
3 4 2
x
y
GA= GA= GA=
Sabemos que el polinomio se representa de la forma:
GA = ____________
101
Álgebra
1. Si el grado del polinomio es 12, halle n5. * El mayor de los grados de los términos es 10.
GA = 10
* El grado relativo con respecto a x es el mayor
P ( x ) = n + x n+1 + 2 x n+ 3 – 7 x n+10
exponente.
GR(x) = 7
Resolución:
* El grado relativo con respecto a z es el mayor
exponente.
GR(z) = 5
• Elegimos el mayor de los grados absolutos de los Calculando: GA
términos, en este caso es n + 10. GR ( z ) – GR ( x )
• Entonces: n + 10 = 12 10 10
• Despejamos n: n + 10 = 12 Reemplazando: = =5
5 – 7 −2
n = 12 – 10 Rpta.: –5
n = 2
• Hallamos: n5
3. Determine el grado del monomio:
• Reemplazamos: 25 = 32
Rpta.: 32 M ( x, y ) = 5 2 x n–4 yn+ 2
Resolución:
Cuando sólo mencionan grado se refiere al grado
* En el monomio M ( x, y ) = 5 2 x n–4 yn+ 2 el grado
absoluto.
relativo de x es 1.
n–4=1
n = 1 + 4
2. En el siguiente polinomio: n = 5
P ( x, z ) = x 4 y 2z 5 + 3 xy 3 z 2 – 5 x 7 y 2z 3
* Ahora hallamos el grado del monomio que quiere
calcule GA . decir GA.
GR ( z ) – GR ( x )
GA = n – 4 + n + 2 (Suma de los
exponentes de
Resolución: = 2n – 2 las variables)
102
Álgebra
ÁLGEBRA - I
3. Si el monomio M(x)=4xa+7 es de grado 10, señale el 12. Calcule el GR(y) si el GR(x)= 10 en:
valor de a. P(x; y)= 7xa+6ya+2 –2xa+3ya
Rpta.: 3 Rpta.: 6
103
Álgebra
–8x3y5 A) 11 B) 18 C) 1 D) 8
calcule:
N= [GA – GR(x)][GR(y)–GR(x)] NIVEL III
A) 2 3 B) 2 5 C) 2 7 8. Calcule el GA en:
D) 2 9 Q(a; b)= 3a3n–5bn+5 – 8a3n+6bn+3
calcule:
9. Si se tiene que: GR(x)= 1
GA
GR(y) – GR( x) GR(y)= 10
en el monomio:
A) 9 B) 1 / 2 C) –5
20 x a – b y b +7
D) 2
calcule ab.
3. Si el monomio.
A) 12 B) 64 C) 11 D) 81
3
M( x; y; z) = x 2ny 5nz 3n
4 10. Si se tiene que: GR(x)= 20
es de GR(x)= 20, calcule el valor de n. GR(y)= 10
en el monomio:
A) 12 B) 10 C) 8
D) 14 5 x m + ny n+ 5
calcule (m–n)2.
4. Si el monomio:
A) 110 B) 120 C) 121 D) 100
7
P(a; b; c) = a 4 mb 2nc 3 p
5 DESAFÍO
es de GR(b)= 18, hallar el valor de n.
11. Dado el polinomio:
A) 11 B) 5 C) 7 1 2a + 2 b
D) 9 P( x; y) = x 2a y b – 2 + 3 x 2a –1y b + 5 – x y + 24 x 2a –3 y b +1
5
1
NIVEL II P( x; y) = x 2a y b – 2 + 3 x 2a –1y b + 5 – x 2a + 2y b + 24 x 2a –3 y b +1
5
5. Si el GA del polinomio es 15, calcule n2+20. halle el grado relativo a y si el grado absoluto es 24 y
P(x)= 5x n+2
+3x +7
n+5 el grado relativo a x es 18.
A) 120 B) 15 C) 7 A) 6 B) 9 C) 12 D) 14
D) 40
12. Si el polinomio P(x; y) se verifica que la diferencia
6. Si el grado del polinomio es 20, calcule n2+100. entre los grados relativos a x e y es 5 y además que el
menor exponente de y es 3, halle su grado absoluto.
P(x)= 7xn+7–12xn+8–3xn+10
P( x; y) = x m+ n– 2y m –3 + x m+ n+ 5 y m–4 + x m+ n–6 y m+ 2
A) 25 B) 100 C) 200
D) 125 A) 5 B) 15 C) 17 D) 18
104
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
2. Si el monomio: A) 60 B) 7 C) 15
M(x)= 7x 2a+3 D) 8
P(x)= 33xm+2+52xm–3+4xm+4 A) 9 B) 5 C) 4
D) 15
A) 3 B) 25 C) 6
D) 5 10. Del polinomio:
P(x; y)= 2xa+2 – 4xayb+1+3xa+1yb+3
5. Si el monomio: se sabe que:
3n 2n 5n
N( x; y; z) = 7 x y z GR(x)= 4
GR(y)= 6
es de grado 10, calcule el valor de n.
Calcule a+b.
A) 2 B) 7 A) 5 B) 4 C) 6
C) 10 D) 1 D) 2
6. En el polinomio:
A) 13 B) 28 C) 26
D) 39
105
Álgebra
ÁLGEBRA - II
2. En el monomio:
NIVEL II
7a 5 + mb m+ 2c 5– m
9. Halle el grado del monomio.
calcule el grado absoluto. 3 2( xy 3a 2 )( x 2 )3 (y 3 )2 a 3
Rpta.: m+12
Rpta.: 21
Rpta.: 9
12. El grado de P(x) es 60. Calcule el valor de m.
5. En el siguiente polinomio:
P(x)= (xm+1)(xm+2)(xm+3)
P(x; z)= x4y2z5+3xy3z2–5x7y2z3 Rpta.: 20
calcule:
2
NIVEL III
GA
GR( x) – GR(z) 13. En el polinomio:
Rpta.: 25 P(x; y)= 5xa–2y2a –7xa+1y2a+3
106
Álgebra
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 A) 6 B) 8 C) –6 D) –8
NIVEL II A) 2 B) 5 C) 7 D) 17
5. Sea el polinomio
DESAFÍO
P(x; z)= 6x y z +3x y z – 2 x yz
7 3 2 4 7 5 3 3 4
11. Halle n si el grado de P(x) es 272.
calcule: nn nn nn
GR(x) – GR(z)+GA P( x) = ( x n + x + 1)n ⋅ ( x + 2)n
A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 A) 1 B) 2 C) 4 D) 16
6. Calcule el valor de n para que el grado del siguiente 12. Qué valor debe asignarse a n en la expresión:
monomio sea 10. (xn+2+xn+1yn+yn+1)n
N(x; y)= (5xn+2y)2 de modo que su grado absoluto excede en 9 al grado
relativo de y.
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
107
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. En el monomio: 6. En el monomio:
7 x 7 +by 3+ 4b 2 3x 8 y 2 z 6
calcule el grado absoluto. calcule:
GA–[GR(x)+GR(y)]+GR(z)
A) 10 B) 5b C) 10+5b
D) 7 A) 2 B) 16 C) 12
D) 20
2. Si el monomio:
7a
–3 7. Halle el grado del monomio.
M( x) = 12 x 2
2 2 3
5 7( x 2yz 3 ) ( x 3 ) (y 4 )
es de grado 18, determine el valor de a.
A) 4 B) 6 C) 5 A) 20 B) 30 C) 5
D) 12 D) 25
A) 6 B) 2 C) 4 A) 10 B) 3 C) 7
D) 3 D) 30
108
Álgebra
POLINOMIOS ESPECIALES
9
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Reconoce e identifica los diferentes tipos de polinomios según sus características.
Estrategias motivadoras
... así que mi vida, precisamente, termina hoy, día 21 de septiembre del año de 1576. No
todos podrán precisar con exactitud matemática el día de su muerte y hasta la hora y el
minuto como yo, que para eso soy un gran astrólogo más amigo de las estrellas que de los
hombres, que ellas iluminan la noche y no traicionan. Así pues, adiós; me despido de una
vida plena como pocos mortales la han disfrutado, que yo sí, pues lo puedo asegurar y por
lo tanto, lo aseguro.
Y así lo firmo en el citado día 21 de septiembre del año 1576, en la ciudad de Roma.
Gerolamo Cardano.
El anciano dejó la pluma sobre la mesa, bajó la tapa del tintero, metió las cinco hojas de papel que había llenado con una letra
pulcra y ordenada en una carpeta de cuero repujado y se levantó al comprobar que la luz de la tarde había comenzado a decaer.
Después de una última ojeada a las nubes que aparecían teñidas de rojo por los últimos rayos del sol, al bosque cercano que tan-
tas veces había recorrido en busca de hierbas para sus pócimas y ungüentos y al descuidado jardín que en su día estuvo cuidado
pero tampoco tanto, cerró las cortinas considerando que ya se había despedido suficientemente del paisaje.
—¡Imponente!— le dijo a su imagen reflejada en el espejo. Y repitió imponente al imaginarse que así los verían al día siguiente el
notario y el alguacil del distrito y el cardenal, con la intención de que lo descubrieran yaciendo elegantemente ataviado sobre el
adornado lecho y se encargaran de divulgar las noticia de que aquel hombre sabio, o sea él, Gerolamo Cardano, había muerto
en el día y hora predichos. Que por esta premonición y cálculo astrológico —pensó, aún ante el espejo— mis admiradores me
admirarán aún más, y me tendrán en adelante por aún mejor mago de lo que ya me consideran en la vida al haber adivinado la
fecha exacta de mi muerte mediante la astrología y la adivinanza y los cálculos matemáticos, ciencias éstas en las que soy maes-
tro. Aunque es de suponer que mis detractores, que también los tengo, y muchos, para denigrarme una vez más harán correr la
voz que, por no dar mi brazo a torcer y no fracasar en mi augurio, ayudé a la muerte en su intento en el día y hora asegurado
ingiriendo cañaheja, que como saben todos los que lo saben, es tan venenosa como la cicuta, en fin.
Y se predije que moriría tres días antes de cumplir los 75 años pues moriré, que además de ser un gran mago, adivino, científico
y matemático soy un hombre de palabra.
109
Álgebra
¡Inténtalo!
O O
R B C D M M N P X Y R
D O P Q O P Z R M N D • P(x)=3+2x+x2 es un polinomio:
O D
H A B D C L D E M L E
M E
N R B R M T E B H X A
R O absoluto.
X X X S R T S O P Q O
Organizador visual
POLINOMIOS ESPECIALES
pueden ser
110
Álgebra
I. Polinomio ordenado
Ejemplos:
1. P(x)= 3x9+3x7–x4 –8
Está ordenado en forma decreciente. Es lo mismo decir creciente o ascendente, también
decreciente o descendente.
2. P(x; y)= 7x2y11+3x5y9–x8y3– 8
Está ordenado en forma creciente respecto a x.
Está ordenado en forma decreciente respecto a y.
111
Álgebra
2. Si se cumple que:
P(x) ≡ Q(x)
halle a + b + c, donde:
El polinomio completo no necesariamente se da en
forma ordenada. P(x)= 4x3–9x–5
Q(x)= (a+1)x3+3bx+c –1
3. Polinomio homogéneo Tenemos:
•a+1=4
Ejemplo:
a=3
Sea el polinomio P(x; y)= 3x4y5+2x3y6–xy8. • 3b = –9
Hallamos el grado absoluto de cada término. b=–3
• c – 1 = –5
P ( x, y ) = 3 4 5
y +
x
3 6
2 x xy 8
y –
c=–4
G A =9 G A =9 G A =9
Luego:
a + b + c
Es un polinomio homogéneo por tener el grado ↓ ↓ ↓
absoluto de sus términos iguales entre sí. 3 + (−3) + (–4) = –4
P ( x, y ) =
x my 5 − 8
x 6 y + 3
x 2y n
Resolución: G A =m+ 5 G A =6
+1 G A = 2+ n
7
Debemos observar que el orden será del exponente
menor a mayor. Recuerda que por ser homogéneo:
Por lo tanto, iniciamos con el término de menor grado,
o sea, el polinomio ordenado es: * m+5 = 7 * 2+n = 7
m = 2 n = 5
P(x)= 8xa –1–2xa+9x a+3
Calculando:
2. Calcule el valor de m+n si el polinomio es
homogéneo. m+ n
↓ ↓
P(x; y)= xmy5– 8x6y+3x2yn 2+5 = 7
112
Álgebra
ÁLGEBRA - I
Rpta.: x9–x6+2x3–x+7y5
12. Si el polinomio es homogéneo, determine el valor
de q3.
5. Ordene el polinomio en forma ascendente respecto a x.
P(x; y)= 5x5y3–3x2yq+x7y
P(x; y)= 7x5y7–5xy4+3x6+2y9
Rpta.: 216
Rpta.: 2y9–5xy4+7x5y7+3x6
113
Álgebra
12. Si el polinomio:
6. Si el polinomio es ordenado, calcule el valor de n10.
P(x)= (a+2)xa–1+(b–1)xb –(c+2)xc+1+dxd+5
P(y)= y +3y
4
–6y +1
n+2 2
es completo y ordenado, determine la suma de
A) 1 B) 1024 C) 343 coeficientes.
D) 10
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13
114
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Relacione con una flecha según corresponda. 6. Si el polinomio es completo, halle el valor de m2.
4. Ordene el polinomio en forma ascendente con 10. Si los polinomios son idénticos, calcule el valor de
respecto a y. a+c.
(a–3)x2+4x+2 ≡ 2x2+cx+2
P(x; y)= 3x4y7– 5xy4+2x5+3y8
A) 3 B) 4 C) 11
Rpta.: __________________________
D) 9
5. Si el polinomio es ordenado, determine el valor de a.
A) 5 B) 9 C) 7
D) 8
115
Álgebra
ÁLGEBRA - II
M(x)= 7xa–1+2xa–7–4xa–5
NIVEL III
Rpta.: 2xa–7–4xa–5+7xa–1
13. Si el polinomio es ordenado y completo, calcule
6. Ordene el polinomio en forma decreciente. a+b+c.
116
Álgebra
14. Si el polinomio es completo y ordenado, calcule 16. Si H(x) ≡ Ñ(x), calcule m+n+p sabiendo que:
a+b+c. H(x)= 7x2+3x–2
P( x) = 4 x a –3 + 5 x c + 2 – 3 x b –5 + 2 Ñ(x)= (m+4)x2+(n–3)x–p
Rpta.: 11
Rpta.: 12
NIVEL I A) 8 B) 2 C) 6 D) 12
P(x)= 2+xa–1+3xb–3+7xc+1
2. Ordene el polinomio en forma creciente.
A) 9 B) 11 C) 13
H(x)= 3xa–1+5xa–5–6xa–3
D) 7
Rpta.: __________________________
9. Se tiene los polinomios idénticos, determine m .
3. Si el polinomio es ordenado, determine el valor de a. b
(m–7)x2+3bx–9 ≡ 9x2 –12x–9
P(x)= x8–3xa–2+5x6–2
A) 4 B) –4 C) 16
A) 7 B) 9 C) 5 D) –8
D) 11
NIVEL II DESAFÍO
A) 4 B) 6 C) 10
6. Si el polinomio es homogéneo, halle el valor de
D) 11
m+n.
A) 1 B) 4 C) 5 D) 9 P(x)= (n–2)xm–3+(m–1)xn–2+(2p+1)xq–3+(q+1)xp+1–4
si es completo y ordenado.
7. Si el polinomio es completo y ordenado, calcule el
A) 12 B) 11 C) 10
valor de a+b.
D) 9
Q(x)= 5xa+3x4– 6xb–x2+x+8
117
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Escriba verdadero (V) o falso (F). 6. Si el polinomio es homogéneo, halle el valor de p2.
4. Si el polinomio es ordenado, halle el valor de b–10. 9. Halle a–b+c si los polinomios son idénticos.
P(x)= 4x5–8x+5
P(x)= 9x11+xb–2x9+8
Q(x)= (a+2)x5+4bx+c
A) 1 0 B) 9 C) 0
A) 9 B) 5 C) 7
D) 7 D) 8
118
Álgebra
AUTOEVALUACIÓN I AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4 1 2 3 4
A B B C - C - -
5 6 7 8 5 6 7 8
A C D D C A B B
9 10 11 12 9 10 11 12
B C A C B C C C
AUTOEVALUACIÓN II AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4 1 2 3 4
- C C - - - B B
5 6 7 8 5 6 7 8
D D C D C C A A
9 10 11 12 9 10 11 12
A A A D B B B A
CLAVES CAP. 8
AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4
B C B D
5 6 7 8
A C D A
9 10 11 12
B D B C
AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4
D B B B
5 6 7 8
D A A C
9 10 11 12
D D B C
119
Álgebra
120
Álgebra
VALOR NUMÉRICO
10
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Identifica y halla el valor numérico de una expresión.
Estrategias motivadoras
Subir el cero
Materiales
121
Álgebra
Tabla de resultados
Comencemos:
3a + 2
2 2x– 4c– 2t –
y 3y + 2
+2 3c– 2 x–1
2 x+3
d+4 2
2
3u
p+2 u+ b– 5t– 10 x–
0
r+3
2
4r–
x+3 x–3
3u + 5
2 2 m+3
2
122
Álgebra
Organizador visual
Expresión algebraica
Grados Polinomios
en
Elementos Términos
semejantes Valor
Notación
numérico
Reducción
VALOR NUMÉRICO
cuando x = 2. Ejemplo:
P(x) = 7
Resolución: Si x = 2 ⇒ P(2) = 7
Reemplazaremos x por 2. Si x = 3 ⇒ P(3) = 7
Debes notar que los valores que se asignan a x no afectan
Así:
a P(x).
P(2)= 3(2)2+3(2)+5
PROPIEDADES
P(2)= 3(4)–6+5
1. Para determinar la suma de coeficientes de un
P(2)= 12–6+5 polinomio, se asigna a la variable el valor 1, es decir,
para x = 1.
P(2)= 11
123
Álgebra
Ejemplo: Ejemplos:
P(x)= 4x2 – 7x + 3
Resolución:
Resolución: Reemplazamos x por –4:
∑ coef . P ( x ) = P (1) P(–4) = 2(–4)2 – 3
Reemplazamos x por 1: P(–4) = 2(16) – 3
P(1) = 4(1)2 – 7(1) + 3 P(–4) = 29
P(1)= 0
3x – 8 – 3x + 5 −3
2. Para determinar el término independiente de un = = = −1
3 3
polinomio, se asigna a la variable el valor cero, es
decir, para x = 0.
3. Si H(x) = x2 – 2, calcule:
TI [P(x)]=P(0)
124
Álgebra
P(w)= 2w–9
3x = 6
Regresemos a la variable x.
x=2
x= 2: H(3×2–1)= 2×23–1
H(5)= 15
• Tercer caso
Ejemplos:
Resolución:
1.o x – 3 = z
Despejamos x.
x=z+3
125
Álgebra
P(–2) = 12 – 2 – 3 M(z+1)= 3z –5
P(–2) = 7
* M(1 – z)
* P(4) = 3(4)2 + (4) – 3 x+2=1–z
P(4) = 48 + 4 – 3 x = 1 – z – 2 x = – z – 1
P(4) = 49 Reemplazamos:
M(1 – z) = 3( – z – 1) – 2 = –3z – 3 – 2
P ( 5 ) – P ( –2 ) 77 – 7 70
∴ S= = =
P (4) 49 49 M(1– z)= –3z –5
∴ M ( z + 1) + M ( 1 − z )
10
S= 3 z −5 −3 z − 5
7
Rpta.: 10/7
3z −5 − 3z −5
Resolución:
126
Álgebra
ÁLGEBRA - I
NIVEL I NIVEL II
1. Si se tiene que P(x)= 5x3+4, halle P(2). 9. Si P(m–3)= 2m–1, calcule P(8).
Rpta.: 44 Rpta.: 21
2. Si se tiene que M(x)= 2x4–62, halle M(3). 10. Si Q(y–2)= 2y2–5, calcule Q(3).
Rpta.: 16
3. Si Q(x)= 2x2+6, halle Q(–3).
Rpta.: 24
12. Si F(2x–1)= 3x3–4, determine F(7)+ F(9).
Rpta.: 115
4. Si N(x)= 5x3+500, calcule N(–5).
Rpta.: –125
NIVEL III
Rpta.: 14 Rpta.: 6
8. Si M(x)= x3+2x3–8, calcule M(2)+M(–2). 16. Sabiendo que P(m)= m 80–9m 78+3m–1, calcule
E= P(1)+P(0)+P(3).
Rpta.: 0
Rpta.: 1
127
Álgebra
A) 21 B) 20 C) 13
D) –21 E) 15 DESAFÍO
A) 40 B) 35 C) 51
D) 27 E) 32
A) 8 B) 6 C) 10
D) 12 E) 14
NIVEL III
A) 3 B) 4 C) 5
D) 7 E) 2
A) 5 B) 6 C) 1
D) 4 E) 2
128
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
129
Álgebra
ÁLGEBRA - II
NIVEL I NIVEL II
Rpta.: 25 Rpta.: 5
Rpta.: 25
Rpta.: 11
Rpta.: – 22
Rpta.: 3
Rpta.: 2
Rpta.: –26
130
Álgebra
A) 4 B) 6 C) 5 D) 1 E) 0
DESAFÍO
Sabías que...
Napoleón Bonaparte calculó que las piedras utilizadas en la construcción de las pirámides de Egipto,
serían suficientes para construir un enorme muro alrededor de Francia.
131
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
A) –1 B) 3 C) 2 8. Si Q( 4 x – 2 2 ) = x 2 + 1, determine Q( 2 2 ) .
D) 1 E) 4
A) 4 B) 3 2 C) 11
3. Si P(y)= 5y2–5y, determine P(–1)+P(1).
D) 3 E) 5 2
A) 11 B) 12 C) 7
D) 10 E) 9 9. Si J(x–2)= 3x+7, calcule T(x).
A) 3x+5 B) 3x+13 C) 3x
4. Si R(a)= 4a2+a3+1, calcule R (–1) + R ( 2) .
29 D) 3x–9 E) 3x+7
A) 6 B) 7 C) 8
D) 5 E) 9
A) 10 B) 11 C) 6
D) 10 E) 7
132
Álgebra
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE
POLINOMIOS
11
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Reconoce e identifica a los términos semejantes.
Estrategias motivadoras
La frase siguiente fue escrita en una tableta de arcilla por matemáticos babilonios unos 2000 años a. C.
“El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres términos: el primero es el cuadrado del primer término, el
segundo es el doble del producto de los dos números y el tercero es el cuadrado del segundo número”.
Los matemáticos griegos, unos 500 años a. C., explicaban geométricamente esto mismo con esta figura:
Esta última expresión es más concisa, más general, clara y sencilla que las anteriores, y cualquier estudiante de escuela secundaria
la entiende y la sabe usar.
Los matemáticos babilónicos, egipcios, griegos, hindúes y árabes escribían las matemáticas en sus propios idiomas y progresaban
muy lentamente. En el siglo XVI de nuestra era y progresaron muy lentamente. En el siglo XVI de nuestra era, cuando las
matemáticas tuvieron que resolver los problemas cada vez más complicadas planteados por el desarrollo de la ciencia y del
comercio, el simbolismo y el uso generalizado de las variables empezó a invadir las matemáticas y a cambiar su lenguaje; este
fue un momento clave en la historia de las matemáticas.
Juguemos
7+2x–(2x–1) 8+3x–3x
4x+(x+2)
1 2 3 5x+2
5
15x+4 –(15x–1) 3x+2+2(x–1)
5x+4–4
3x+2x
2x–x
4 5 6
2x+5 3+2(x+1)
133
Álgebra
El enunciado del lado de una ficha debe coincidir con el lado de la otra ficha.
¡Comenzamos!
Organizador visual
Término algebraico
tiene tiene
Coeficiente Parte
literal
tiene tiene
signo
variables exponentes
términos tienen
semejantes igual
se pueden
reducir
134
Álgebra
TÉRMINOS SEMEJANTES
Ejemplos:
x 2y 3 , 5
• 7 xy 4 ,
x 2y 3 ,
2 x 4 y 4 , 3
x 2y3
/ 8
t t t t t
1 2 3 4 5
Ejemplos:
a) Los términos t1, t3 y t5 tienen la misma parte
• M(x) = 3x2
variable, ___________, por lo tanto, son términos
• N(x; y) = − 6x 3 y 2
___________.
• E(a; b; c) = __________________
• M(m; n) = __________________
b) Los términos t2 y t4 no tienen la misma parte variable,
• 4 a 3b 4 , 5
b 4 a3 , 1
/ 3
2a 2 4
b , a b , πb 4 a3
t t t t t
_______________________________ 1 2 3 4 5
Ejemplos:
• Reduzca:
Resolución:
K = (3 – 2 + 7 – 1)ab2
K = 7ab2
135
Álgebra
• Reduzca:
(Reduciendo
términos
Resolución:
semejantes)
Agrupando los términos semejantes.
Rpta.: 6x
M= (–4+1)x2y+x2y+(6–1) x2y
M= –3x2y+5x2y+(6–1) x2y
Ejemplo 2:
Símbolos de agrupación o colección
Suprima los paréntesis en la expresión algebraica:
Los símbolos de agrupación más utilizados son de tres:
3a+5c+(2a–b)+(–3a–2b)+c
a. Paréntesis ordinario ( )
Resolución:
b. Paréntesis angular o corchete [ ]
c. Las llaves { }
Ejemplos:
A) a–(a–b)
B) a+(x+y)–(–x+y)–a
C) 3a–{–x+a–1}–{a+x–2}
D) [–5x–{y+[–x+(2x–y)]–(x)}+x]
E) –(–6a+3b)–(a–b)
F) 2m − ( n + 3m )
n+m Rpta.: ____________
Ejemplo 3:
Reglas para eliminar símbolos de colección
Reduzca:
m2+{–7mn+[–n2+(–m2+3mn–2n2)]}
Resolución:
m2+{–7mn+[–n2–m2+3mn–2n2]}
m2+{–7mn–n2–m2+3mn–2n2}
Ejemplo 1: m2+{–4mn–3n2–m2}
(Reduciendo
Suprima los paréntesis en la expresión algebraica:
m2–4mn–3n2–m2 términos
semejantes)
x+2y+(3x–y)+(2x–y)
Resolución:
Rpta.: –4mn – 3n2
Teniendo en cuenta la regla N.º 1 obtendremos:
136
Álgebra
Ejemplo 6:
Simplifique la expresión:
–[–3a–{b+[–a+(2a–b)–(–a+b)]+3b}+4a]
Resolución:
Comenzando por los más interiores que son los paréntesis
Ejemplo 4: ordinarios, tenemos:
Reduzca: –[–3a–{b+[–a+2a–b+a–b]+3b}+4a]
–(2x+y)+(–2x – 3y) – (– x+2y)+6x Ahora eliminamos los corchetes que están en el interior
teniendo en cuenta la regla N.º 1.
Resolución:
–[–3a–{b–a+2a–b+a–b+3b}+4a]
Teniendo en cuenta la regla N.º 2 obtenemos:
–[–3a–b+a–2a+b–a+b–3b+4a]
–(2x+y)+(–2x–3y)–(–x+2y)+6x
(Teniendo en cuenta la regla N.º 2)
(Reduciendo
–2x–y–2x–3y+x+2y+6x términos 3a+b–a+2a–b+a–b+3b–4a
semejantes)
(Reduciendo los términos semejantes)
Rpta.: 3x – 6y Rpta.: a+2b
Ejemplo 5:
Simplifique la expresión: Los corchetes y las llaves tienen la misma utilidad que los
–(2a+3b)–(–3a–b)–(2a+5b) paréntesis y se usan en los casos en que una expresión
algebraica que ya contiene signos de agrupación se
Resolución: incluye dentro de otro signo de agrupación.
Rpta.: ________________
137
Álgebra
Resolución: t2 = –5x7y2n+2
Rpta.: x+y
2. Reduzca:
2 2a 2 + 5 3b − 9 2a 2 − 4 3b
Resolución:
2 2a 2 − 9 2a 2 + 5
3−4 3
bb=
−7 2a 2 + 3b
Rpta.: –7 2a 2 + 3b
138
Álgebra
ÁLGEBRA - I
NIVEL I NIVEL II
1. Reduzca: 9. Reduzca:
A= 3a+7b–2a+2b A= 2 2a + 3 2a – 5 2a
Rpta.: a+9b Rpta.: 0
B= 3x+7y–x–5y B= 3 2b + 5 2b – 7 2b – 2b
Rpta.: 2x+2y Rpta.: 0
M= m2n+n2m+5m2n–3n2m L= 8(x+8)–(x–1)–7(x+7)
Rpta.: 16
Rpta.: –2n2m+6m2n
12. Calcule:
4. Reduzca:
D= 2(y+z)+3(y–z)–4(z–y)–9y+3z
E= 5a2b – 4ab2 – 3a2b+2ab2
Rpta.: –2z
Rpta.: 2a2b–2ab2
NIVEL III
5. Reduzca:
13. Calcule el valor de n si los siguientes términos son
3 4 semejantes.
L= x + 4 y + x – 2 y
7 7
3 2 x 2y10 y – 5y 3n +1 x 2
Rpta.: x+2y
Rpta.: 3
6. Reduzca:
14. Calcule el valor de m+n si los términos son
I= 9 a – 4 a 2 – 2 a + 7a 2 semejantes.
7 7
Rpta.: 3a2+a 3 5 x m –1y5 y – 2 x 6 y 2n –1
5
7. Elimine los signos de colección: Rpta.: 10
A) –(2x–5y+4z)= ____________________________
15. Calcule el valor de A+B si:
B) +(–2a+ab–2c)= ___________________________
A= 2x+3y–4
Rpta.: –2x+5y–4z, –2a + ab – 2c B= 5y–2x+4
Rpta.: 8y
8. Elimine los signos de colección:
16. Calcule el valor de 3P+Q si:
A) +[–(3m+n)]= _____________________________
P= 5a–8m–4
B) –[–(–2m+1)]= ____________________________
Q=24m–15a+13
Rpta.: –3m–n, –2m+1 Rpta.: 1
139
Álgebra
2. Reduzca: A) 10 B) 8 C) 11
D) 5 E) 4
E= 6mn+5mn2+3mn–mn2
3. Reduzca: 5 x10 yb + 3 y – 7 x a + 5 y5
3
L= 4 x + 4 y + 1 x – 3y
5 5 A) 7 B) 10 C) 13
D) 5 E) 8
A) y+x B) 5x–y C) 2x+y
D) 12x+y E) 3x–2y
10. Efectúe 3M+N si:
4. Suprima los signos de colección: M= 3x2–2x+1
I= –[–(–2–x)–1] N= x– 4+9x2
NIVEL II
DESAFÍO
5. Reduzca:
A) 10 B) 13 C) 14
6. Suprima los signos de colección:
D) 15 E) 20
W= –(x+y)–(x–y)–(–2x)
A) x+y B) –x C) 0
12. Determine la suma de los términos semejantes.
D) –y E) –x–y
t1= (b+a)xb–1yc–3
7. Reduzca:
t2= (c–a)y7–cx5–b
T= 2(12x –4)–3(8x – 3)
7 7
A) 2xy B) 4x2y2 C) 8x2y2
A) 1 B) 2 C) 3x 7
D) 8xy2 E) 7x2y
D) 0 E) x7
140
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Reduzca: 6. Calcule:
A= 7x+3y–5x+4y Z= 5(x+3)–(2x–4)–3(x+2)
3. Reduzca:
7 2 x 3 y9 y – 4 y5 a –1 x 3
A= 2m2n+2n2m+8m2n–6n2m
A) 10m2n2 – 4m B) 10m2n– 4 A) 1 B) 4 C) 0
C) 5m2n– 10mn D) 10m2n– 4n2 m D) 2 E) 6
E) 4n2 – 10m2n
R= 7 x + 5y + 5 x – 4 y –2 x 3m – 5 y9 y 7 x 4 y 2n + 5
12 12 4
A) x+y B) 2x–y C) 4 A) 5 B) 3 C) 9
D) 19 E) 18 D) 4 E) 6
141
Álgebra
ÁLGEBRA - II
2. Reduzca:
11. Reduzca:
S= 1 x + 1 y + 1 x + 1 y
2 2 3 3
Rpta.: 5 x + 5 y A= x 3 + 1 + 2(x 3 + 4) + 3(x 3 + 9) – 3(2 x 3 )
6 6
Rpta.: 6
3. Reduzca:
P= 8 2a 2 – 4 2a + 2 2a 2 + 2a 12. Calcule:
M= 8(x + 8) + 9(x + 9) – 17 x – 1
Rpta.: 10 2a 2 – 3 2a
4. Reduzca: Rpta.: 12
I= 3 3a + 7 3b + 2 3a – 9 3b
NIVEL III
Rpta.: 5 3a – 2 3b
13. Suprima los signos de colección.
5. Reduzca: B= 3a5–(2a5–b5)–(a5+3b5)+b5
N= 15nx –20nx +13x n–3x n
3 3 3 3
Rpta.: –b5
Rpta.: 5x3n
14. Suprima los signos de colección.
6. Reduzca:
R= a–(b–a)+(–b+a)–(–b–a)–(–b)
O= 15a2b–6ba2– 4ab2+2b2a
Rpta.: 4a
Rpta.: 9a2b–2ab2
15. Efectúe M–N si:
7. Reduzca: M= –4m2n+5mn2+3a–8
3a – (b + 2a) B= 6+5mn2 – 4nm2–7a
Z= Rpta.: 10a–14
b–a
Rpta.: –1
16. Efectúe 4M–2N si:
8. Calcule: M= 4b+2a–1
N= 3b+8b–3
5 x – (y + 4 x )
8 7 8
A= Rpta.: 8a– 6b+2
x 8 – y7
Rpta.: 1
NIVEL II
142
Álgebra
NIVEL I 7. Efectúe:
1. Reduzca 5 m + 9 n + 2 m + 3 n . 3a2–(2a2–b2)–(a2+3b2)+2b2
7 12 7 12
A) 1 B) 4 C) –1 D) 0 E) –4
A) m+n B) 2n+4 C) 2n–5
D) 2m E) m–n
NIVEL III
A) 3 5a – a 2 B) 3 5a + a 2 –2(a+b)–2(a–b)–2(–2a)
C) 3 5a 2 + 2 5a D) 3 5a 2 – 5 A) 4a B) 1 C) 0 D) 5a E) –1
E) 3 5a – 2a
2
R= 7x2y+9yx2–6xy2+4y2x M= 3ab2–5ab+7
N= 20–15ab+9ab2
A) 20x2y+4x B) 16x2–2y2 C) 4x2y+4x
D) 16xy–2xy2 E) 16x2y –2xy2 A) 0 B) 4 C) 9ab2 D) 1 E) ab
NIVEL II DESAFÍO
5. Calcule el valor de m+n si los términos son 11. Halle a · b si los términos son semejantes.
semejantes.
t1= 5x2a+by3a–4b–8
3m –1 9
t1= –3 5 x y t2= 3 x
a – b + 4 a – 3b
y
t2= 7 x 8 y 2n – 3 A) 0 B) 1 C) 2
4
D) 3 E) 4
A) 16 B) 9 C) 7 D) 11 E) 15
12. Reduzca:
6. Reduzca:
– {4xm–(2xm+4)+[3(–xm+2)–2]}
A= –[(–x7–(3–x7)]+2
A) 4x B) xm C) x
A) 4 B) 7 C) 11 D) 5 E) 2 D) xm E) 3xm+1
143
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
t1= 3 5 x 4 m – 5 y 3
2. Reduzca: 7
A= 2 a + 5 b + 5 a + 4 b
19 2n – 5
t2= 2 x y
7 9 7 9
A) 9 B) 13 C) 12
A) a–b B) a+b C) a–2b D) 10 E) 11
D) 2a E) –2b
9. Reduzca:
3. Reduzca: A= 5( x 2 + 3) + 4(x 2 – 3) – 9 x 2 + 6
Q= 4 2 x + 2 x + 3 2 x
7 7 A) 2 B) 1 C) 3
D) 4 E) 0
A) 2y – 2 B) 2y
C) 2 2x D) 2y – x
10. Efectúe 3M – 2N si:
E) 2 x – 2
M= 2b+3a –4
4. Reduzca: N= 3b –2a +6
–(6a + 3b) – (–7a + b)
A) 13a B) a–24 C) 13b –24
a – 4b
D) – 24 E) 13a–24
A) 0 B) 4 C) 6
D) 1 E) 5
5. Reduzca:
7b – (6b + a)
a–b
A) 0 B) 4 C) –1
D) 5 E) –4
6. Reducir:
M= –6m+2–(5m+3 )+1
A) –11m B) 10m C) 3m
D) 11m E) – 4m
144
Álgebra
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
12
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Realiza multiplicaciones entre polinomios de uno a más términos.
• Aplica operaciones entre números reales utilizando además propiedades de leyes de exponentes.
Estrategias motivadoras
Aquí mostraremos que a lo largo de la civilización las cantidades se representaban de diferentes formas y en diferentes
sistemas.
Ejemplos:
Los números mayores que 20 se escribían en columnas y se leían de arriba abajo empezando por el orden más alto, por ejemplo:
1351.
7 grupos de 20 = 140
11 unidades = 11
Total: 1351
Los aztecas también usaban un sistema vigesimal. El 1 se representaba con un punto o un círculo, el 20 con una bandera
estilizada, la unidad inmediatamente superior era 400 (20×20) y se representaba mediante una figura parecida a una pluma.
La unidad más alta que usaban los aztecas era 8000 (20×20×20) y la representaban con una bolsita, similar a las que los
sacerdotes usaban para el copal.
100 bolsas de
1 20 400 8000 plumas blancas
Los aztecas solo usaban el principio aditivo, representaban los otros números repitiendo esos cuatro signos todas la veces
que fuera necesario. Para indicar 100 bolsas de plumas blancas, dibujaban una bolsa de plumas blancas y cinco banderitas
( 5×20= 100).
145
Álgebra
Utilizando estas herramientas y por necesidad es que nacen las diversas operaciones matemáticas como la multiplicación.
Por ejemplo:
En la India, se multiplicaba.
2 4 3 × 2 4 3 ×
0
1 1
3
1
5 5
5
2 4 3 × 2 4 3 ×
0 0 0 0 0 0
1 1
2 4 3 2 4 3
1 2 1 1 2 1
5 3 5
0 0 5 0 0 5
En la China, se multiplicaba.
Los chinos multiplicaban con varillas de bambú. Las varillas se disponen en forma horizontal las que corresponden al
multiplicando y en forma vertical las que corresponden al multiplicador.
123 × 31
1 2 3 1 2 3
3 3
3
1 1
7 11 3
1 2 3
3
1
7 11 3
123 × 31= 3813
3 8 1 3
146
Álgebra
Organizador visual
Expresión algebraica
Término Términos
algebraico semejantes
Clasificación de Reducción
expresiones algebraicas de términos
semejantes
Polinomios
- Adición, sustracción
- Multiplicación
Para multiplicar dos potencias de una misma base, se Se efectúa el producto de los coeficientes y las
escribirá la base elevada a la suma de exponentes. potencias de igual base.
bm · bn = bm+n
Ejemplos:
• x 5 ⋅ x 9 = x 5 + 9 = x14
• ( xy 3 )( x 2y 4 )( x 5 y 2 ) = x1+ 2+ 5 ⋅ y 3 + 4 + 2
8 9
= x y
147
Álgebra
1.
8 1. =
= 3 4 x
= 3 · 2x8
= 6x8 am + an + ap + bm + bn + bp
2. (2x2+6x–2)(3x–4)=
2. Producto de un polinomio por un monomio
(2x2)(3x)–(2x2)(4)+(6x)(3x)–(6x)(4)
Se multiplica cada uno de los términos del polinomio (–2)(3x)–(–2)(4)
por el monomio, sumando los resultados obtenidos. 6x3–8x2+18x2–24x–6x+8
(a − b + c − d) ⋅ m = am − bm + cm − dm
Reduciendo términos semejantes:
Ejemplos:
6x3+10x2 –30x+8
Efectúe en cada caso.
1.
( 3 x 2 ) ( 4 x 2y ) – ( 3 x 2 )( 2 x 5 ) + ( 3 x 2 ) ( 3 )
12 x 4 y – 6 x 7 + 9 x 2
2.
( – ab ) ( a ) – ( – ab ) ( b ) − ( – ab ) ( c )
2 2
−a b + ab + abc
3.
( 2x ) ( 8 x 4 ) + ( 2x ) ( 2x 5 ) − ( 2x ) ( 3 x 2 )
16 x 5 + 4 x 6 − 6 x 3
4 x 5 + 2x 6 − 6 x 3
148
Álgebra
1. Efectúe:
3. Efectúe:
K=
(2 2 x 2y ) ( 2y ) + ( 3 x ) ( 2 xy 2 )
25 x 4 y 4 M=
( 5 x 2y )( 6 x 4 y5 − 2 x 3y 2 ) − (10 x 5y3 )( 3 xy3 )
( 2 xy ) ( − x 4 y 2 )
Resolución:
Resolución:
Multiplicamos los coeficientes, luego las bases
• Aplicamos la ley distributiva:
iguales:
30 x 6 y 6 − 10 x 5 y 3 − 30 x 6 y 6
2 2 ⋅ 2 x 2y 2 + 6 x 2y 2 M=
K= −2x 5 y 3
5 x 2y 2
4 x 2y 2 + 6 x 2y 2 −10 x 5 y 3
K= M=
5 x 2y 2 −2 x 5 y 3
(dividiendo)
Rpta.: 2
2. Si se tiene que:
P( x) = 2 x 5 − 5 x 2 − 7 x + 4
Q( x) = −3 x 2 − 4
Resolución:
–6 x 7 – 8 x 5 + 15 x 4 + 20 x 2 + 21x 3 + 28 x – 12 x 2 – 16
–6 x 7 – 8 x 5 + 15 x 4 + 21x 3 + 8 x 2 + 28 x – 16
–6 – 8 + 15 + 21 + 8 + 28 – 16 = 42
Rpta.: 42
149
Álgebra
ÁLGEBRA - I
NIVEL I NIVEL II
1. Efectúe: 9. Efectúe:
2. Efectúe:
10. Efectúe:
E= (2a b z)(–3ab)(5a z )
2 3 3 2
(–7xy)(–2x2y+3y2–5x3y)
Rpta.: –30a6b4z3
Rpta.: 14x3y2 –21xy3+35x4y2
3. Reduzca:
11. Efectúe:
L= 3 x 6 yz 3 – 7 xy 2z 4 2 xyz
4 3 7 A= (a+b)(a+b)
8 4 8
Rpta.: a2+b2+2ab
Rpta.: x y z
2
12. Efectúe:
4. Efectúe:
B= (x+5)(x+5)
I= – 1 ab 2c 6 a 4 bc 10 a 3b
2 5 3 Rpta.: x2+10x+25
Rpta.: –2a8b4c2
NIVEL III
15. Efectúe:
7. Efectúe:
T= (a+b)(a2–ab+b2)
U= ( 5a b )( 5ab ) + (7a b)(a b )
3 2 3 2 2 4
Rpta.: a3+b3
Rpta.: 12a4b5
16. Efectúe:
M= (x–3)(x2+3x+9)
8. Efectúe:
Rpta.: x3 – 27
( 2a b)( 2ab ) + (8a b)(b )
2 2 3 2
T=
(5ab)(a 2b 2 )
Rpta.: 2
150
Álgebra
NIVEL I 7. Opere:
NIVEL III
2. Efectúe:
8. Efectúe:
B= – 3 ab 2 5 a 3b – 7 ab
5 7 6
(m–5)(m–5)
A) 2a5b4 B) –2a5b4 C) 1/2a5b4 A) m2–25 B) m2–10m–25
D) –1/2a5b4 E) ab4 C) m2+25 D) m2–10m+25
E) m2+10m+25
3. Efectúe:
(x+1)(x2–x+1)
A) 3x3y3 B) 10x3y3 C) 10x6y6
D) 10xy E) 7x3y3 A) x2+1 B) x2–1 C) x3+1
D) x3–1 E) x3–x2+x–1
NIVEL II
5. Multiplique: DESAFÍO
151
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
I. (2x5)(3x) b) x9 A) –6x3+12
I. ( 2 x3)(5x6) c) 2x9 B) –6x3y –12x2y
5 C) –12x2y–2xy3
A) Ib, IIc, IIa B) Ic, IIa, IIIb C) Ic, IIb, IIIa D) –6x3y+12x2y–2xy3
D) Ia, IIb, IIIc E) Ib, IIa, IIIc E) –6x3y–2xy4
2. Efectúe: 7. Multiplique:
R= (m+a)(m+a)
N= (–5a3b4)(–7a2b)
A) 2m+2a
A) 35a b 5 4
B) 35a b 5 5
C) 35a 4 B) m2+2am+a2
D) 35a4b2 E) 5b5 C) m2–a2
D) 2m+a
3. Efectúe: E) m2+a2
E= 5 m3n4 – 7 mn3
7 2 8. Efectúe:
I= (x+9)(x–6)
A) –7m4n2 B) –35m2n7
C) m4n7 D) –5/2m4n7 A) x2+3x–54 B) x2–54
E) –7mn4 C) 2x–15 D) 2x–3
E) 2x+3
4. Complete:
9. Opere:
A) x4 · x5 · x= _________________________________
A= (m+2)(m2–2m+4)
B) (–2a2)(–5a3)= ____________________________
C) ( 2 x 5 )( 2 x) = ___________________________ A) m3–2m2+8 B) m3–8m+1
C) m3–8 D) m3+8
5. Efectúe: E) m3–7m–4
152
Álgebra
ÁLGEBRA - II
1. Efectúe: P= (2a+5)(2a–3)
N= 7 x 2y 3 – 9 xy 3 – 5 x 2y Rpta.: 4a2+4a–15
5 3 9
Rpta.: 7 x 5 y7
3 11. Si:
P(x)= 2x+3y4
2. Efectúe:
Q(x)= 5x2–y
E= 3 x 5 y6 – 2 x 6 y (2 xy)
4 3 determine P(x) · Q(x)
Rpta.: –x12y8
Rpta.: 10x3+15x2y4 –2xy –3y5
3. Efectúe:
12. Si:
L= x(x 2 – 1) – 2( 2 x 3 – 2 2 x)
M(x)= x–y
Rpta.: –x3+3x N(x)= x2+xy+y2z
4. Efectúe: determine M(x) · N(x).
Rpta.: 9
Rpta.: 24 –94x
8. Si: P(x)= x+7
Q(x)= x– 4
determine P(x) · Q(x). 16. Efectúe:
Rpta.: x2+3x–28 (x2+x)(x+2)(x+3)–6x(x2+1)
Rpta.: x4+11x2
NIVEL II
9. Efectúe:
S= (3x2–1)(3x2– 4)
153
Álgebra
2. Efectúe: 8. Efectúe:
A) –2 B) 2 C) 4 D) –4 E) 0
A) 54a6b7 B) –54a6b7 C) a6b7
D) –a6b7 E) 27ab7
9. Efectúe:
N= (x+2)(x+3)(x+4)
3. Efectúe:
A) x3+9x2 –26x–24 B) x3+9x2 +12x+24
A= x2(x3–5)–x5
C) x3+9x2 +26x+24 D) x3–9x2 –26x–24
A) 5x2 B) x2 C) –5x2 D) –x2 E) 0 E) x3+2x2 +5x–17
5. Efectúe: DESAFÍO
6. Efectúe:
12. Multiplique e indique la suma de coeficientes del
A= (x2+3)(x2–1) producto.
2 x 2y (9 x 3 – 12 xy + 3y5 )
A) x2+3 B) x4–3 C) x4+2x2–3 3
D) x2+2x+3 E) x4–2x2 –3
A) –1 B) 0 C) 1 D) 3 E) 9
154
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Efectúe: 7. Multiplique:
A= 2 a 2b 7 ab 2 – 5 ab A= (x+5)(x–7)
7 5 4
A) x2–x–7
A) 7a b
4 2
B) –2a b 8 4
C) –a b 4 2
B) x2–x–2
D) –1/2a4b4 E) –a4b2 C) x2–3x–35
D) x2–2x–7
2. Efectúe:
E) x2–2x–35
N= x (3x +3)–3x +5–3x
3 2 5 3
A) 6 B) 7 C) 5 8. Efectúe:
D) 6x 2
E) 3x 2
E= (n–1)(n2+n+1)
3. Efectúe: A) n3+3n+1
E= (a+4)(a+4) B) n3+3n2+1
C) n3–1
A) a +8a+16
2
B) a +16
2
C) a –16
2
D) n3
D) 2a+8 E) 2a+4
E) n3+1
L= (x3+1)(x3–5) D) 3x3–5x2+3
E) x3–2x2–14x+3
A) x6– 4x3–5 B) x3 – 4
C) x 3+4 D) x6–5x4+1
10. Efectúe:
E) x –4x +1
3 2
(a–b)(a–b)(a–b)
6. Multiplique:
I= (3m+1)(3m+2) A) a3 –2b2–3ab+7
B) a3 –3a2b+3ab2–b3
A) 9m2+27m
B) 9m2–27m C) a3 –7
C) 9m2+m+2 D) a3 –b3
D) 9m2+9m+2 E) a3 –3ab+3a2b2+b3
E) 9m +2 2
155
Álgebra
AUTOEVALUACIÓN I AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4 1 2 3 4
C D C D A C B B
5 6 7 8 5 6 7 8
E E A B E B C D
9 10 11 12 9 10 11 12
D C B E B C E D
AUTOEVALUACIÓN II AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4 1 2 3 4
B D A B E A C D
5 6 7 8 5 6 7 8
D C B C D C E B
9 10 11 12 9 10 11 12
E D D A C E D B
CLAVES CAP. 11
AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4
D A A E
5 6 7 8
C C A A
9 10 11 12
A C C C
AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4
A C B E
5 6 7 8
B D D C
9 10 11 12
B D A D
156
Álgebra
PRODUCTOS NOTABLES I
13
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Reconoce la forma de los productos notables estudiados.
Estrategias motivadoras
Los ejemplos siguientes conocidos desde tiempos inmemorables muestran claramente el uso de las áreas de figuras geométricas
para demostrar los productos notables o también llamadas identidades algebraicas.
a b ab ab
b
a b2
a+b = a a2 + + +
a a2
a
a+b
(a+b)2= a2+ab+ab+b2
(a+b)2= a2+2ab+b2
¡INTÉNTALO!
a–b b
b
a =
a–b
a2–b2=(a+b)(a–b)
157
Álgebra
¡INTÉNTALO!
M N O P Q S A A X X T U V W A B P P U R
M P R O D U C T O N A B M U L T I M M N
M N O P Q R S T A I R T E M O E G U V W
C A R M E N A B O M N R O C I O O P Q S
P E D R I T O I A B C D E F D H I J K A
B H P Q S U M N P A C C D A A L L I M A
C A E P T O M O O B B C D A L M N P O D
A B B O N V A D Q B T I U W X G A B C D
V M S I W A A B B C T A B C E E E B D E
I T R N B R A B C N B C M N O P H B J K
T T T M D D E H E A A H O R A T U M R L
U U U A D B C D A B C H O B A H U E S A
B Q U T U B I M C E V I C H E E C S A B
I C M N A B A Q U E N O P Q R B A C K U
R S S T M A B E R O T C E F R E P P Q B
T E S T U D I A T U P U E D E Z A B C D
S M A R C E L O T U P U E D E S A B C D
I A B C N O I C A C I L P I T L U M A N
D P R A C T I Q U E M O S T U T U T U T
N L E G E N D R E A B C D E M N A B C W
A B C P Q P E R S O N S E L B A T O N U
P R O M E S A P R A C T I C A M A S N T
• Producto • Perfecto
• Identidad • Legendre
• Multiplicación • Geometría
• Álgebra • Distributiva
• Trinomio • Notables
• Cuadrado • Tú puedes
158
Álgebra
Organizador visual
PRODUCTOS NOTABLES
(Identidades algebraicas)
(a±b)2=a2 ±2ab+b2
Identidad de Legendre
• (a+b)2+(a–b)2=2(a2 +b2)
Ejemplos:
Principales productos notables
• (x–4)2 = (x)2+2(x)(4)+(4)2
I. Binomio elevado al cuadrado
= x2+8x+16
(Trinomio cuadrado perfecto)
• (4x4+5)2 = ________________________________
= ________________________________
• ( 3 + 2)2 = ______________________________
= ______________________________
(a+b)2 =(a+b)(a+b)
= a2+ab+ba+b2
159
Álgebra
* Equivalencias de Legendre
= a2–ab–ba+b2
Son equivalencias que se obtienen de los binomios al
= a2–ab–ab+b2
cuadrado. A estas se le conoce como “las identidades
⇒ (a–b)2= a2 –2ab+b2 de Legendre”.
Producto notable
TCP
(a+b)2+(a–b)= 2(a2+b2)
Ejemplos:
2
• (x3–2)2 = (x3) +2(x3)(2)+(2)2 (a+b)2–(a–b)2= 4ab
= x6– 4x3+4
2
3 x – y4 Ejemplos:
• = ( )2+2( )( )+( )2
2
= ______________________________
• (3x+2)2+(3x–2)2= 2((3x)2+(2)2)
2
• (a–a–1) = _________________________________ = 2(9x +4)
2
= _________________________________
= 18x2+8
2
• ( 5 – 2) = ______________________________
• ( 5 + 3) + ( 5 – 3) = 2[( )2+( )2]
2 2
= ______________________________
= 2[ + ]
= ____________________
(a +b)2= a2+2ab+b2
o también:
(a+b)2= a2+b2+2ab
o a la vez:
(a+b)2 = 2ab2+a2+b
160
Álgebra
1. Desarrolle:
3. Si x + 1 = 6 , calcule el valor de x 2 + 12 .
2 x x
(5 2 + 3)
Resolución:
Resolución: En el dato:
Como es un binomio suma al cuadrado efectuamos:
x+ 1 =6
2 x
(5 2)2 + 2(5 2)( 3) + 3 =
Elevamos al cuadrado:
25(2) + 10 6 + 3 =
50 + 10 6 + 3 = x 2 + 12 + 2 x 1 = 6 2
x x
∴ (5 2 + 3)2 = 53 + 10 6 2 1
x + 2 + 2 ⋅ 1 = 36
x
Rpta.: 53 + 10 6
x + 12 = 36 – 2
2
x
2. Reduzca:
∴ x + 12 = 34
2
2 2 x
1 x + 3 – 1 x – 3
3 3
Rpta.: 34
Resolución:
Observamos que la expresión presenta la forma de la
2.a equivalencia de Legendre. Por lo tanto:
= 4 1 x (3) = (2 x)(3)
2
2 2
∴ 1 x + 3 – 1 x – 3 = 6 x
2 2
Rpta.: 6x
161
Álgebra
ÁLGEBRA - I
(2x+5)2
11. Efectúe directamente:
Rpta.: 4x2+20x+25
( 5 + 3)2 + ( 5 – 3)2
2. Efectúe directamente:
Rpta.: 16
(3x–6)2
Rpta.: 9x2 –36x+36
12. Efectúe directamente:
( 5 + 3)2 – 2 15
Rpta.: 8
NIVEL II
Rpta.: 56m
162
Álgebra
NIVEL I 7. Efectúe:
(3x– 4)2 A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
A) 6x2–24x+16 B) 9x2–24x+16
C) 9x2+24x+16 D) 9x2+16
E) 3x2–24x+16 NIVEL III
9. Efectúe:
3. El desarrollo de (3x2+5)2 es:
(2a + 3b)2 – (2a – 3b)2
A=
A) 9x +30x +25
4 2
B) 6x +30x+25
2 12ab
C) 3x2+30x+25 D) 6x2+15x+25
A) 0 B) 2 C) 2ab
E) 9x4+15x2+25
D) 3ab E) 4
4. Efectúe directamente:
10. Simplifique:
2
3x – 1
2
(2a + b)2 – (2a – b)2
2(2ab)
A) 3x2–3x+1/4 B) 9x2–3x+1/4 C) 3x2–1/4
D) 6x2–3x+1/4 E) 9x2–1/4 A) 1 B) ab C) 2ab
D) 2 E) –2ab
NIVEL II
5. Efectúe: DESAFÍO
(4x+3y)2–(4x–3y)2
11. Si x – 1 = 4 , halle x2+x–2.
A) 48xy B) xy C) 24xy x
D) 32x2+18y E) 8x
A) 13 B) 14 C) 15
D) 12 E) 18
6. Efectúe:
A) 22 B) 42 C) 21 A) 9 B) 26 C) 13
D) 44 E) 2 105 26 9 2
D) 5 E) 1
2
163
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
NIVEL III
3. Efectúe:
(7x3–2)2 8. Efectúe:
2m + 1
2 ( 2 + 1)2 + ( 2 – 1)2
2 3
A) 4m2+m+1/4 B) m2+m+4 A) 2 B) 4 C) 1
C) 4m2–m–4 D) 4m2+1/4 D) 3 E) 0
E) 4m2+2m+1/4
10. Simplifique:
5. Efectúe:
(2a + 5)2 – (2a – 5)2
( 3 + 5)2 – 2 15 10a
A) 16 B) 2 15 C) 8 A) 4a B) 3a C) 2
D) 4 15 E) 2 D) 4 E) 2a
164
Álgebra
ÁLGEBRA - II
NIVEL I 8. Reduzca:
2 2
1. Calcule el área del cuadrado, cuyo lado mide 3 +2. x + 16 – x – 16
2 x 2 x
Rpta.: 32
3 +2
NIVEL II
Rpta.: 7+4 3 9. Si a+b=7 y ab= 2, calcule a2+b2.
Rpta.: 45
2. Calcule el área del cuadrado, cuyo lado mide 5 –3.
(3 5 + 2 3)2 Rpta.: 8
Rpta.: 57+12 15
Rpta.: 8x2
14. Si x–x–1=5, calcule x2+x–2.
6. Reduzca: Rpta.: 23
( 5 + 3)2 + ( 5 – 3)2 1
– 15. Si: x2+y2=10
48 3
x+y=4
Rpta.: 0 halle xy.
Rpta.: 3
7. Calcule el valor de:
16. Calcule el valor de m en:
(x + 3)2 – (x – 3)2
A= (4m+3n)2–(4m–3n)2= 12n
(x + 6)2 – (x – 6)2
Rpta.: 1/4
Rpta.: 1/2
165
Álgebra
A) 23 B) 36 C) 32
1. Calcule el área del cuadrado, cuyo lado mide 11 + 3 .
D) 40 E) 34
7. Si: m+n= 9
11 + 3 mn= 8
calcule m 2 + n2 – 1 .
A) 3 B) 7 C) 5
A) 20+6 11 + 3 B) 20+ 66 D) 8 E) 9
C) 20+18 11 + 3 D) 20+2 33
E) 14+6 11 + 3 NIVEL III
8. Si: a2+b2= 10
2. Desarrolle: a+b= 6
calcule ab.
(2 7 – 1)2
A) 13 B) 2 C) 5
A) 14 – 4 7 B) 29–4 7 D) 6 E) 7
C) 14+4 7 D) 29+4 7
9. Si x+x–1= 2, calcule x2+x –2.
E) 14 – 28
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
3. Reduzca:
NIVEL II A) 4 B) 2 C) 0
D) 8 E) 1
5. Efectúe:
2 2 12. Si ab= 1 , calcule el valor de:
y 8 y 8 10
4 + y –4 – y
W= (5a+3b)2 –(5a–3b)2
A) 2 B) 3 C) 4
A) 2y B) 4 C) 6
D) 5 E) 6
D) 8 E) 8y
166
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
D) 2 E) 6
A) 5+ 5 + 7 B) 12+ 5 + 7
C) 2+7 5 + 7 D) 35+12 5 + 7 7. Efectúe:
E) 54+14 5 + 7 (4x+1)2–(4x–1)2
A) x2 B) 16x C) 4x
2. Coloque verdadero (V) o falso (F).
D) 2x 2
E) 8x
• (x+2)2= x2+2x+4 ( )
• (x+3)2= (3+x)2 ( )
• (a–1) = (1–a)
2 2
( ) 8. Si x+x–1= 7, calcule x 2+x –2.
A) VFF B) FFV A) 47 B) 49 C) 50
C) FVV D) VVV D) 35 E) 42
E) FFF
9. Si: m+n= 10
mn= 4
3. Desarrolle (4x+2)2.
calcule m2+n2.
A) 16x +16x+4
2
B) 8x +4x+4
2
A) 80 B) 68 C) 76
C) 16x +8x+4
2
D) 4x2+8x+4
E) 16x2+8x+4 D) 92 E) 90
5. Reduzca:
( 11 + 2)2 + ( 11 – 2)2
–1
13
A) 2 B) 9 C) 6
D) 7 E) 1
167
Álgebra
PRODUCTOS NOTABLES II
14
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Reconoce y aplica la diferencia de cuadrados en la resolución de ejercicios.
Estrategias motivadoras
Sabemos que...
Tenemos que demostrar que (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3, si los valores de ambas letras a=5, b=3 dan como resultado 512.
a3=5×5×5= 125
b3=3×3×3= 27
512
168
Álgebra
PUPILETRAS
T U G A N A S P R A C T I C A L O
S E J E E T A Z R E U F S E R C I Busca la respuesta de:
C I O S M E J O R A R A B R C H O • 23= _________________________
S A U T O C O N T R O L O A T E B • 34= _________________________
I O C H O P R A C T I D A B C D E
• (–2)4= _______________________
E B C C D E H K M N A B C D E F G 1
M A F L M E I L A N E S F U E R Z • 9 2 = ________________________
R C M B H T N O U P C R I S T O T • Ganador
T A L C N L M T T U P U E D E S A • Triunfarás
E R K E I K I T U P U E D E S S S
• Tú puedes
A P H K L V D R D E N O R D E N E
B C H O A P E D R O A B C D E F R
O O H O H A B C D E F G H I J K T
Organizador visual
PRODUCTOS NOTABLES
(Identidades algebraicas)
Identidad de Cauchy
(a±b)3=a3± b3±3ab(a± b)
169
Álgebra
(a+b)(a–b)=a2 –b2
Ejemplos:
Multiplicación Producto
indicada notable
1.
Deducción
(a+b)(a–b)=a2–ab+ba–b2
= a2–b2 2.
(a+b)(a–b)= a2–b2
3. ( 7 – 2 )( 7 + 2 ) = ............................
Ejemplos:
Efectúe:
(x+4)(x–4)= x2 –42
= x2 –16
= 5–1
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=4
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)(a–b)= a2 – b2 Donde:
(b+a)(a–b)= a2 – b2
a: 1.er término
(b–a)(a+b)= a2 – b2
b: 2.º término
170
Álgebra
Ejemplos:
= ____________________________
Ejemplos:
= ____________________________
• Si x+y= 5 y xy= 2 , calcule el valor de x3 + y3.
(a–b)3=a3–b3 –3ab(a–b)
• Si x3 – y3 = 30 y x – y = 2, calcule xy.
Ejemplos: Resolución:
• (x+2) = (x) +(2) +3(x)(2)(x+2)
3 3 3
(x–y)3 = x3–y3 –3xy(x–y)
= x +8+6x(x+2)
3 23 = 30 – 3xy(2)
8 = 30 – 6xy
= x3+8+6x2+12x
6xy = 22
• (3x–1)3= ________________________ xy = 22
6
= ________________________
xy = 11
= ________________________ 3
1. Simplifique: 2. Calcule:
4 4 8 8 8 8
( a + b )( a + b )( a + b )( a – b ) + b 16 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) + 1
Resolución:
Resolución:
= ( a + b )(4 a + 4 b )(
8 a + 8 b )(8 a – 8 b ) + b
8 a2 –8 b2 16
(22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) + 1
4 a + 4 b )(4 a – 4 b ) + b
= ( a + b )( (24–1)
4 a2 –4 b2 (28–1)
= (
a + b )( a – b ) + b (216–1)
2 2
a – b 16 16 16 16
2 –1+1 = 2
=a– b + b = 2
=a
Rpta.: 2
Rpta.: a
171
Álgebra
ÁLGEBRA - I
NIVEL I 7. Simplifique:
Rpta.: 5
5. Reduzca:
(x+4)(x–4)–x2
12. Efectúe directamente:
Rpta.: –16
(5 + x)(5 – x) + (x + 4)(x – 4)
6. Simplifique:
(3 + a)(3 – a) + a 2 Rpta.: 3
Rpta.: 3
172
Álgebra
NIVEL III
15. Si: m+n= 5
13. Desarrolle:
mn= 2
(3x–4)3
calcule m3+n3.
Rpta.: 27x3–108x2+96x–64 Rpta.: 95
NIVEL I 7. Desarrolle:
(7 + b)(7 – b) + b 2 A) x B) x2 C) x3 D) 8 E) –8
A) 7 B) 14 C) 49 D) 6 E) 2 9. Si: a+b= 7
ab= 2
Calcule a3+b3.
4. Simplifique:
A) 343 B) 301 C) 385 D) 272 E) 127
( 7 + 1)( 7 – 1) + ( 11 + 1)( 11 – 1)
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 1 B) 0 C) 3 D) 2 E) –1
173
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
A) 11 B) 7 C) 3
D) 5 E) 8
174
Álgebra
ÁLGEBRA - II
NIVEL I NIVEL II
1. Reduzca: 9. Desarrolle:
(a–7)(a+7)+49 (2x+3)3
Rpta.: a 2
Rpta.: 8x3+27+36x2+54x
2. Reduzca:
10. Desarrolle:
(2x+3)(2x–3)+9
(5x–1)3
Rpta.: 4x2
Rpta.: 125x3+1–75x2+15x
3. Calcule el valor de:
11. Si: x+y= 6
Q= ( )(
3 +1 )
3 –1 + 3 2 xy= 4
2
calcule x3+y 3.
Rpta.:(3
4 2 – 2) Rpta.: 144
4. Calcule el valor de:
12. Si: m–n= 3
R= ( )(
11 + 2 11 – 2 – 7 ) mn= 1
Rpta.: 0 calcule m3–n3.
5. Calcule mentalmente: Rpta.: 36
301 × 299 + 1
Rpta.: 140
7. Reduzca:
15. Si x2+x–2= 4, calcule x6–x –6.
E= (x+2)(x–2)(x2+4)+16
Rpta.: 52
Rpta.: x4
Rpta.: x
175
Álgebra
NIVEL I 7. Desarrolle:
(1–x)3
1. Reduzca:
(d–15)(d+15)+225
A) 1–x2+3x2–x3 B) 1–x3–3x+3x2
A) d
2
B) 30 C) 125 D) 225 E) –d C) 1+x3–3x–3x2 D) 1+x2+3x2–x3
E) x3–1
2. Reduzca:
(3x+5)(3x–5)+25
NIVEL III
A) 3x2 B) 6x2 C) 9x2 D) 9x E) 25
8. Si: a+b= 3
2x–4
9. Si: x–y= 5
xy= 3
A) 4x2–16 B) 2x2–16 C) 2x2+16 calcule x3–y3.
D) 4x2+16 E) x2–16
A) 125 B) 170 C) 80 D) 225 E) 128
DESAFÍO
701 × 699 + 1
12. El resultado del producto:
A) 100 B) 700 C) 300 D) 900 E) 500
(1 + 3 + 5 + 15)(1 – 3 – 5 + 15)
6. Reduzca: es:
4 A) 8 B) 6 C) 4
(x + 1)(x – 1)(x 2 + 1) + 1
D) 5 E) 10
A) x B) x
2
C) x
3
D) x
4
E) 1
176
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Reduzca: 6. Reduzca:
(m–9)(m+9)+81 4
(m + 1)(m – 1)(m2 + 1)(m4 + 1) + 1
A) 2m B) m2+81
A) 4m B) 2m2 C) m2+1
C) m 2
D) m2–81
D) m2 E) m4
E) m –9
7. Desarrolle:
2. Calcule el valor de:
(x–3)3
R= ( 5 + 3)( 5 – 3)
A) x3–3x2+9x–27
A) –4 B) 2 C) 8 B) x3–27x2+27x–3
D) 22 E) –2 C) x3–6x2+9x–6
D) x3–2x2+3x–27
E) x3–9x2+27x–27
3. Calcule el valor de:
R= ( 7 + 1)( 7 – 1) – 6
8. Desarrolle:
A) 6 B) 0 C) 8 (2x+2)3
D) 1 E) 7
A) 4x3+2x2+x2+4
B) 8x3+24x2+24x+8
4. Calcule: C) 8x +4x +2x+8
3 2
D) 6x3+6x2+4x+2
61 × 59 + 1
E) 8x3+4x2+8x+8
A) 62 B) 58 C) 60
D) 61 E) 59 9. Si: a–b= 4
ab= 3
5. Efectúe: calcule a3–b3.
A) 1 B) 3 C) 4
D) 2 E) 5
177
Álgebra
15
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Utiliza la identidad de Steven para reducir cálculos en la resolución de ejercicios.
Estrategias motivadoras
SABÍAS QUE...
a+b
b (a+b)(a–b)= 2b(a–b)+(a–b)2
b b2 b(a–b)
SIGAMOS
x a+b
x x2 ax bx
a b
x+b
b bx ab (x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
De donde:
(x+a)(x+b)=x2 +(a+b)x+ab
x a
x+a
178
Álgebra
Responda y complete
En los espacios vacíos, coloque los números primos que conozcas y ganaste.
+ – ∅
∉
(–4)(–2)
(+)(–)
(a+b)2
(a+b)(a–b)
Organizador visual
PRODUCTOS NOTABLES
(Identidades algebraicas)
179
Álgebra
Así tenemos:
Suma de cubos
Donde:
a y b: términos no comunes
x: término común
Ejemplos:
Reconocimiento de los factores:
• (x + 1)(x + 2) = x2 + (2 + 1)x + (2)(1)
• El factor (a + b) es un binomio suma.
= x2 + 3x + 2
• El factor (a2–ab+b2) es un trinomio de signos
alternados.
• (x2 + 1)(x2 + 5) = (x2)2 + (1 + 5)x2 + (1)(5) • Luego el producto es notable y su resultado se llama
= x + 6x + 5
4 2 suma de cubos (a3+b3) y lo hallamos elevando al
cubo cada uno de los términos del binomio.
Los términos no comunes a y b pueden llevar signos El reconocimiento es similar que el caso anterior,
(+) o (–), por ello es necesario saber identificar a cada considerando que:
término con su respectivo signo.
• El factor binomio es ahora una diferencia: (a – b).
180
Álgebra
• (x–1)(x2+x+1)=x3–1
Ejemplos:
•
• (7x2m–1)(49x4m+7x2m+1)
= (7x2m)3–13= 343x6m–1
Rpta.: 4
Hallemos por diferencia de cuadrados:
E= x2+9x+14 –(x2–9)–23
Resolución:
E= x2+9x+14–x2+9–23
E= 9x+ 23 – 23 Desarrollando el cuadrado:
E= 9x
(3 2 – 1)(3 4 + 23 2 + 1)
Rpta.: 9x
= (3 2 – 1)(3 4 + 3 16 + 1)
= (3 2 – 1)(3 4 2 + 3 4 + 1)
3
2. Calcule: = 3 2 – 1
= 2–1
Q = ( 2 + x ) ( 4 – 2x + x 2 ) + ( 2 – x ) ( 4 + 2x + x 2 ) = 1
Resolución: Rpta.: 1
Por suma de cubos:
181
Álgebra
ÁLGEBRA - I
Rpta.: x2–4x–77
2. Calcule los siguientes productos notables:
A) (z–2)(z+5)= ________________________________
NIVEL II
B) (a–4)(a–3)= ________________________________
C) (a+7)(a–10)= _______________________________ 9. Reduzca:
(a+4)(a2–4a+16)–64
3. Efectúe los siguientes productos notables: Rpta.: a3
A) (a+2)(a2–2a+4)= ____________________________
10. Reduzca:
B) (m–1)(m2+m+1)= ___________________________
(a–3)(a2+3a+9)+27
C) (x2–3x+9)(x+3)= ____________________________
Rpta.: a3
4. Efectúe los siguientes productos notables:
11. Calcule:
A) (a+1)(a2–a+1)= _____________________________ A= m3–(m–1)(m2+m+1)
B) (m–2)(m2+2m+4)= __________________________ Rpta.: 1
C) (x2+5x+25)(x–5)= ___________________________
12. Calcule:
5. Simplifique: E= x3–(x+3)(x2–3x+9)
Rpta.: –27
(x + 4)2 – (x + 3)(x + 5)
13. Reduzca:
6. Simplifique: (m+4)(m+6)–(m+8)(m+3)
Rpta.: –m
(x + 3)2 – (x + 4)(x + 2)
14. Reduzca:
Rpta.: 1
(x–5)(x+8)–(x+2)(x+1)
7. Calcule el área de la siguiente figura: Rpta.: –42
x+6
15. Reduzca:
3
(m2 + 6m + 36)(m – 6) – m3
x–8
Rpta.: –6
16. Reduzca:
Rpta.: x2–2x– 48 6
(x 2 + 3)(x 4 – 3 x 2 + 9) – 27
Rpta.: x
182
Álgebra
NIVEL I 7. Calcule:
2. Efectúe:
NIVEL III
A) (b–6)(b2+6b+36)= _________________________
8. Reduzca:
B) (2+a)(4–2a+a2)= __________________________
(n+7)(n+2)–(n+4)(n+5)+8
3. Simplifique:
A) 1 B) 2 C) 3
A= (m + 2)2 – (m + 3)(m + 1)
D) 4 E) –2
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4 9. Reduzca:
(a–5)(a+9)–(a+7)(a–3)
4. Calcule el área de la siguiente figura: A) –22 B) –24 C) 33
x+9
D) –33 E) 22
x+3
10. Reduzca:
11. Simplifique:
m–7
(x2+7x+11)2–(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
A) 5 B) 4 C) 3
A) m2–4m–21 B) m2+4m+21
D) 2 E) 1
C) m2–10m+10 D) m2+21m–10
E) m2–10m+21
12. Efectúe:
6. Reduzca:
(x+1)(x+2)+(x+3)(x+4)–2x(x+5)
(b–7)(b2+7b+49)+343
A) b3 B) b2 C) 686 A) 15 B) 14 C) 13
D) b E) 1 D) 12 E) 11
183
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Relacione: 6. Reduzca:
I. (a+5)(a–4) a. a2+12a+20 (x+9)(x–3)–(x+5)(x–5)
II. (a+10)(a+2) b. a2–100
III. (a+10)(a–10) c. a2+a–20 A) 2x–3 B) 5x–3 C) 3x–9
D) 6x–2 E) 4x–8
A) Ib, IIc, IIIa B) Ia, IIc, IIb
C) Ic, IIa, IIIc D) Ic, IIb, IIIa
7. Calcule:
E) Ib, IIa, IIIc
(x+1)(x2 –x+1)–x3
2. Efectúe los siguientes productos notables:
A) 1 B) 2 C) 3
• (m+3)(m2–3m+9)= _________________________ D) x E) x 2
8. Calcule:
3. Simplifique:
E= x3–(x+5)(x2–5x+25)
(x + 5)2 – (x + 6)(x + 4)
A) –125 B) 120 C) –625
A) 5 B) 10 C) 2 D) 100 E) –75
D) 3 E) 1
9. Reduzca:
4. Calcule el área de la siguiente figura: (a+4)(a+6)–(a+8)(a+3)
x+8
A) a2 B) –24 C) a–1
x– 4 D) –a E) a+2
10. Reduzca:
A) x2–32 B) x2+2x+4
R= (5+x)(25–5x+x2)–(x–3)(x2+3x+9)
C) x2+4x+8 D) x2+4x–32
E) x2–4x+16 A) 150 B) 152 C) 160
D) 125 E) 100
5. Reduzca:
(a+2)(a2–2a+4)–8
A) 1 B) a2 C) a3
D) 3a E) 2a
184
Álgebra
ÁLGEBRA - II
1. Efectúe: 3x+5
(x+3)(x2–3x+9)–x3
Rpta.: +27 3x–3
2. Efectúe:
(x–10)(x2+10x+100)+1000
Rpta.: 9x2+6x–15
Rpta.: x3
11. Reduzca:
3. Calcule:
(x+7)(x–3)–4x+21 (2 + x)(4 – 2 x + x 2 ) – (x – 1)(x 2 + x + 1)
Rpta.: x2
Rpta.: 3
4. Calcule:
12. Reduzca:
(x–8)(x+10)–x2–2x
pta.: –80 (4 + x)(16 – 4 x + x 2 ) – (x – 2)(x 2 + 2 x + 4) – 8
Rpta.: 36
5. Simplifique:
(x–5)(x+4)–(x+10)(x–2)
Rpta.: –9x NIVEL III
13. Simplifique:
6. Simplifique:
P= x3 + 8 + x3 – 8
(m+4)(m–3)–(m+2)(m–1)
x – 2x + 4 x 2 + 2x + 4
2
Rpta.: –10
Rpta.: 2x
7. Reduzca:
14. Simplifique:
(x + 2)(x + 8) – (x + 5)2 + 10
A= x 3 + 125 + x 3 – 125
Rpta.: 1
x – 5 x + 25 x 2 + 5 x + 25
2
8. Reduzca: Rpta.: 2x
(a + 4)(a + 2) – (a + 3)2 + 2
15. Calcule:
Rpta.: 1
(x + y)(x 3 – y 3 )
N= + y2
x 2 + xy + y 2
NIVEL II
Rpta.: x2
9. Calcule el área de la figura.
Rpta.: 4a2+6a–4
185
Álgebra
1. Efectúe: 5x–3
(x+1)(x2–x+1)–x3
5x–5
A) x B) 1 C) x 4
D) x
2
E) x 3
A) 25x2–40x+15 B) 25x2–80x+15
2. Calcule:
C) 5x2–40x+15 D) 5x2–8x+15
(x+5)(x– 4)–(x+5)(x–2)
E) 25x2+15
A) 20 B) 10 C) –18 D) –15 E) 30
NIVEL III
3. Reduzca:
8. Calcule:
(a + 6)(a + 2) – (a + 4)2 + 5
Q= (1 + x)(1 – x + x 2 ) + (1 – x)(1 + x + x 2 )
A) 3 B) 2 C) 5 D) 4 E) 1
A) 11 B) 7 C) 2 D) 3 E) 5
4. Simplifique:
(x+6)(x–6)–(x+9)(x–4) 9. Efectúe:
D) –3x E) 5x
A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 8
NIVEL II
10. Reduzca:
5. Calcule:
E= a 3 + b3 + a 3 – b3
E= (x+5)(x+4)–(x+3)(x–3)–29 a – ab + b 2 a 2 + ab + b 2
2
A) 9x B) 8x C) 7x A) a B) 2b C) 2a D) b E) 3
D) 5x E) 6x
DESAFÍO
6. Calcule el área de la figura.
11. Si x = 1 + 3 y y = 1 – 3 , determine E= x3 –y3.
2m+7 2 2
2m–6
A) 3 B) 3+ 3 C) 3 D) 3– 3 E) 3 3
2 2 2
186
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Efectúe: 7. Efectúe:
(m+2)(m –2m+4)–m
2 3
(x+1)(x3–x+1)–(x–1)(x2+x+1)
A) 8 B) 4 C) 1 A) 3 B) 4 C) 5
D) 2 E) 0 D) x –1
2
E) 4x –1
2
2. Calcule:
8. Calcule el área de la siguiente figura:
(x–2)(x+3)–x2–x
x–1
A) –2 B) –5 C) –6
D) x E) 2x x–12
D) 6 E) 2
9. Efectúe:
10. Simplifique:
5. Simplifique:
(m + 5)(m + 1) – (m + 3)2 + 5 R= x3 + 1 + x3 – 1
x2 – x + 1 x3 + x + 1
A) 6 B) 2 C) 3
A) 3x B) x C) –5x
D) 1 E) 5
D) x2 E) 2x
2x–1
A) 4 B) 0 C) 2
D) x –1
2
E) 4x –12
187
Álgebra
AUTOEVALUACIÓN I AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4 1 2 3 4
B B A B - - B A
5 6 7 8 5 6 7 8
A D D B E A B B
9 10 11 12 9 10 11 12
B D E B B A E B
AUTOEVALUACIÓN II AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4 1 2 3 4
A B A A B E E B
5 6 7 8 5 6 7 8
D E D A A A A C
9 10 11 12 9 10 11 12
B C A E C C E C
CLAVES CAP. 14
AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4
- A A B
5 6 7 8
C C A C
9 10 11 12
C B A B
AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4
A C A D
5 6 7 8
B A B A
9 10 11 12
B C D A
188
Álgebra
DIVISIÓN ALGEBRAICA I
16
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Divide polinomios de más de un término con monomios.
Estrategias motivadoras
A A B C H M A B C D E F G M N O O O A B C
F C G H R F Y I P D D C B G F I U M K J M
B K L M N S E D E U P U T M N N O P Q R S
B O T A B C D H M N B C C I A B C H D H M
C P U O N M Z Y X W V T F S R Q P D I A B
H Q V P O N M Z Y X W F J I K L M N V D C
K A X P S V B E E H U D C B A A E E I D C • Monomio
L S X Q T W C P A R C C D E A B G C S K L • Polinomio
M M O N O M I O B B C E K Ñ S Ñ G M I R T
• Términos
H M N B C C I L B C H D H O A B A D O M N
• División
Y X W V T F S I Q P D I T U O N N Z N X W
• Horner
Z Y X W F J I N L M N E D V P O A M Z Y X
E E H U D C B O A E L I D X P S D B E E H • Ruffini
P A R C C D E M B P C S S X Q T O C P A R • Complejos
H F J I K F B I M O P O T F N O R I O B B • Ordenados
M E D R A R M O O P N T F J P Y T R E J H
• Tú puedes
Y T R P O P C J Y I K R G F D T K I Y T V
• Ganador
P U Y D T D E G M J N H F R W Q K J H N M
M T L L D G R R D U Y R O B F D E L H F D
W K D A R O E O A M Z Y X R U Y S E K G D
P H R P D T M S D B E E H L N T R E H M Ñ
I A I A M A S T O C P A R P U E L Ñ R E D
G K N Y U X S O R I O B B P R V R M G R D
K A H G T E V Y T R E J H P U Y T V D F L
G R T D F U J G B M N I U Y T R E V G H B
189
Álgebra
Organizador visual
División algebraica
Métodos de Guillermo
Horner
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Sea: D: dividendo
Es decir:
d: divisor
q : cociente
R : residuo
Es decir:
Es decir:
D≡ d · q+R
190
Álgebra
Decimos:
q(x) → El cociente a obtener tendrá como mayor
Propiedad del grado de una división
exponente a 2.
Si se representa por:
R(x) → El residuo a obtener tendrá como mayor
[D]°: grado del dividendo exponente a 3.
[d]°: grado del divisor
Casos de la división
[q]°: grado del cociente
1. División de monomios.
[R]°: grado del residuo
2. División de un polinomio entre un monomio.
Recordemos que el grado es el mayor exponente de la
variable. 3. División de polinomios.
Ejemplos:
Se tiene:
6
D(x)= 3x6–5x4+x2–x+2 → [D(x)]° = 6 8 x 3 = 4 x 3
d(x)= x4 –2x+3 → [d(x)]° = 4 2x
7
−106a = −2a
5a
191
Álgebra
Resolución:
Sea el polinomio:
Tercer caso: División de polinomios P(x)= 6x4+1–x3+3x2
Es la operación que nos permite encontrar unas expresiones Como faltan términos y no esta ordenado, colocando ceros
llamadas polinomios cociente y residuo de otras llamadas
y ordenando tendremos:
polinomios dividendo y divisor.
P(x)= 6x4–x3+3x2+0x+1
192
Álgebra
División por el método de Horner 8. Para obtener los coeficientes del residuo se reducen
directamente cada una de las columnas que pertenecen
Se emplea para dividir dos polinomios de cualquier grado.
al residuo.
Aquí, se hará uso del siguiente diagrama:
Ejemplo:
Dividir:
6 x 4 + 13 x 3 + 5 x 2 + 6 x + 1
2x 2 + 3 x – 1
Resolución:
[q(x)]° = 4 – 2 = 2
El procedimiento es el siguiente:
máx[R(x)]° = 2 – 1 = 1
1. Se colocan los coeficientes del dividendo (horizontal)
y divisor (vertical).
Siguiendo el procedimiento descrito tenemos:
2. Se escriben los coeficientes del divisor en una columna,
el primero de ellos con su propio signo y los restantes
con signos cambiados.
193
Álgebra
Resolución: Resolución:
÷
1 1 2 – 1 3 5 –2 4
+ + + +
1 3 – 4 – 1 5 1
2 2 –3 4
–2 –6 3
–3 8 –12 16
1 20 –10
4 8 –12 16
÷ – 44 22
3 –16 22 – 49 23 6 –9 7
q
1 4 4 3 15 5 11
2x 5 – x 4 – 3 x 3 + 4 x 2 – 5 x – 9
x 3 + 2x 2 – 3 x – 1
Resolución:
÷
1 2 – 1 – 3 4 –5 –9
–2 –4 6 2
3 10 –15 –5
1 ÷ – 26 39 13
2 –5 13 – 35 29 4
q
Rpta.: 29
194
Álgebra
ÁLGEBRA - I
NIVEL I NIVEL II
1. Efectúe la siguiente división: 9. Efectúe la siguiente división:
6
– 60 x4 20 x 3 – 10 x 6 + 5 x 4
2x
5x2
Rpta.: – 30x2
Rpta.: 4x – 2x4 + x2
2. Efectúe la siguiente división.
32y 4 10. Efectúe la siguiente división.
2 40 y15 – 36 y10 + 28 y12
– 4y
4 y8
Rpta.: – 8y2
Rpta.: 10y7– 9y2 + 7y4
3. Divida: – 8 x 5 y6
11. Luego de dividir, indique la suma de coeficientes del
2 xy 2 cociente:
4 x 6 y12 + 8 x 5 y 6 – 2 x 2y 4
Rpta.: – 4x4y4
– 2 xy 2
4. Divida: Rpta.: – 5
9 4
15a b
3a 6b 3 12. Luego de dividir, indique la suma de coeficientes del
cociente:
Rpta.: 5a3b 6m12n8 – 12m19n10 – 18m15n4
– 3m10n2
5. Divida: Rpta.: 8
30 x 6 y7 z10
– 6 x 6y6 z 8
NIVEL III
Rpta.: – 5yz2
13. Luego de dividir, se obtiene kaxmynz. Indique el valor
6. Divida: de k+x+y+z.
Rpta.: 2
– 25m4 n7 p12
5m3np10 – 32 x 3 y 4 z 6
14. Luego de dividir ; se obtiene kxaybzc.
6 2 2 3
Rpta.: – 5mn p – 8 xy z
Indique el valor de k+a+b–c.
7. Efectúe la siguiente división. Rpta.: 4
6 x 3 y7 z 5
15. Luego de dividir:
7
8 xy 5 z 2 12 x 4 y – 20 x 5 y12 + 8 x 2y7
14 – 4 x 2y
Rpta.: 3/2 x2y2z2 Se obtiene Ax2+Bx3y10+Cy6, indique el valor de A+B+C.
Rpta.: 0
8. Efectúe la siguiente división.
5 m 2 y7 z 3 16. Luego de dividir:
6 12a7b8 c 4 – 30a 5b 4 c 2 – 18 a 3b7c 3
10 my 5 z
6a 3b 4 c 2
15
Indique la suma de coeficientes del cociente.
Rpta.: 3/4 my2z2 Rpta.: – 6
195
Álgebra
A) – 6 B) – 8 C) 8
3. Efectúe la siguiente división:
D) – 12 E) 12
NIVEL II DESAFÍO
5. Divida: 11. Si se cumple que:
24 x 3 y 5 z 6
2 / 5 x7y3z 4 = Ax mynz p
2
(4 x)(3 xyz)
4 / 10 x 7 y 2 z 4
Calcule m+n+p.
A) y B) 1/2 y C) 2y
D) y2 E) 3y A) 5 B) 7 C) 0 D) 12 E) 8
D) 12y2x E) 12x2y2
A) 11 B) 0 C) 17 D) 15 E) –5
196
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Divida: 6. Efectúe:
4 2
16 x y 8b 4 + 4 b 2
8 x 2y 2b
2. Efectúe: 7. Efectúe:
3 8
– 4x y
a 4 – a 2 + a6
8
– 2 xy a2
3. Efectúe: 8. Efectúe:
5x4 + 3x 2 – m4 8 6
+ m + 3m
x4 x2 m2 m6
9. Efectúe:
4. Efectúe.
16 x 4 + 12 x 3 – 4 x
16b 4 a – 21a 5b 4
2x
8b 3a 7a 4 b 4
10. Divida:
5. Indique el valor de:
100 x 6 – 25 x 4 + 20 x 3
x4 + x2
40 x 2
x
197
Álgebra
ÁLGEBRA - II
NIVEL I
9 7. Divida e indique el cociente.
1. Si M= 12a
3a7
4 x 4 + 10 x 3 + 4 x 2 – 4 x – 2
11
N= 20a x2 + x – 1
– 5a 9
calcule M + N. Rpta.: 4x2 + 6x + 2
Rpta.: 0
8. Divida e indique el cociente.
13
2. Si A= 18 x10 x3 + 5x2 + 6x – 7
6x
x 2 + 3x – 2
7
B= 8 x 4
– 4x Rpta.: x + 2
calcule A + B.
NIVEL II
Rpta.: x3
9. Luego de dividir, indique el residuo.
3. Luego de dividir, indique la suma de coeficientes del
cociente. 2x 3 – 6 x 2 + 6 x – 3
x2 + x + 1
36 x 4 y 3 – 40 x 5 y12 + 16 x 2y7
Rpta.: 12x + 5
– 4 x 2y 3
Rpta.: – 3 10. Luego de dividir, indique el residuo.
+ 12 x 9 – +
8 x 4 + 12 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 6
5 2
= 5 + 4 x – 8x + 6x 2x 2 – x + 3
3x4
Rpta.: 0
Rpta.: 15x4, 24x5, 18x6
12. Indique el término independiente del cociente luego e
6. Complete en los rectángulos en blanco. dividir:
+ 15a 4 – + 6 x 4 – 8 x 3 + 21x 2 – 7 x – 4
= 2a 5 + 3a 2 – 5a 4 + 1
5a 2 3 x 2 + 2x + 1
198
Álgebra
6 x 3 + 8 x 2 – 2x + 1
x 2 – 3x + 2
Rpta.: 32
4 16 20 6 10 –2
1 4 –4
–1 6 –6
b –2
m 6 2 6 –4
Rpta.: 6
– 30 x 8
1. Si A= – 27m3n4 + 18mn4 – 3m5n2
– 3x4
– 3mn2
6
B= –12 x
– 6x2
A) 9m2n2 – 6n2 + m4 B) 9m2n3 + 6n2 – m4
calcule A–B. C) 9mn – 6n + m D) 18m2n2 – 6mn+ n4
E) 24m2n2 – 15m2 + m
A) 8x4 B) –12x4 C) – 8x4
D) 12x4 E) 8x2
4. Complete en los rectángulos en blanco.
2. Luego de dividir, indique la suma de coeficientes del
cociente. + – – 15 x 3 y 2
= 4 xy – 2 x 2 + 3y 3 + 5
– 3 x 3y 2
12a 4 b7 – 16a 2b 3 – 32a7b 4
– 4 a 2b 2 A) 12xy; 6xy; 9xy B) 12x; 6y; 9x
C) 12x4; 6x5y; – 9xy D) –12; – 6; 9x
A) 9 B) 8 C) – 4 E) –12x4y5; 6x5y2; 9x3y5
D) –7 E) 7
199
Álgebra
8. Divida e indique la suma de coeficientes del cociente. 12. En el siguiente esquema de Horner, halle el valor de
a + b + c + d + e , si:
6 x 3 + 8 x 2 + 2x – 2 2
2x 2 + 2x – 2
3 6 2 –6 e 0
A) 3 B) 4 C) 5
2 c d
D) 6 E) –2
a 4 2
0 0
9. Divida e indique la suma de coeficientes del residuo.
b 2 0 1 0
9x4 + 3x3 – 9x 2 + x + 1
3x 2 + x – 2 A) 2 B) 4 C) 8
D) 5 E) 12
A) 1 B) 2 C) 3
D) –1 E) –2
200
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
x 2 + 2x + 1 A) 9 B) 7 C) 5
x +1 D) 3 E) 4
A) 6x+3 B) 6x C) 3
D) 6x–3 E) 6x+2 D(x) d(x)
R(x) q(x)
5. Indique el término independiente del cociente luego
de dividir:
2
4 x 4 + 6 x 3 + 2x + x + 3
2x 2 – x + 3
10. Complete.
A) 1 B) 2 C) 0 A) Para dividir polinomios usando el método de
D) 4 E) –1 Horner, el dividendo y el divisor deben ser
____________ y _____________ con respecto a
6. Indique el término independiente del residuo, luego una misma variable.
de dividir:
2 B) En una división cuando el residuo resulta cero
2 x 4 – 4 x 3 + x – 40 x – 30
decimos que es una división ________________.
x 2 – 3x – 5
A) 54 B) 50 C) 55
D) 48 E) 41
201
Álgebra
DIVISIÓN ALGEBRAICA II
17
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Aplica el método de Horner en la resolución de diversos ejercicios.
Estrategias motivadoras
a b – 1 x x3 a D O C E m x x2 x3 x4 x5 d
2 2 3 4 5 6 7 8
2 x + 3 x y x f f f a a a a a a a C
b b c c c s e e e e l l l l l l l c
3
4 b c c 0 c c c d d d d a b k k k b
x a b D 2 2 2 4 5 5 a b a b 7 a b b
2
2 x + 1 a b 3 a b a b a b + 1 4 a
x e e e e e y3 V t s r q p 0 n m l a
2 3 3 2 4
x a b c d a y a x 3 d e f g h i k a
x a b c d a a a d 8 7 6 5 4 8 4 4 x
a b x + 4 + 2 + 5 b + 4 – x a b a x
x y f a b c d – 3 d + 4 y2 + 5 a2 b x
2
1 2 x – 2 x h g f e d c b a m n m x
x2 x2 x2 x2 x a b c – 3 a + 4 x c d n x
T R E C E x4 + 2 x3 + 3 7 x2 – 3 x y z
O N C E Q U I N C E x a b c d e f m
El resultado de:
4 x 4 y5 4 2
• = ___________ • 30 x – 10 x = ___________
4 5 2
2x y 15 x 5x
5 xy7
• = ___________ • 4 x + 2 = ___________
4
5xy 2
– 32 x 2y7 2 2
• = ___________ • a b + ab = ___________
– 4xy 5 ab
202
Álgebra
Organizador visual
División algebraica
Métodos de Horner
203
Álgebra
• d(x)= x2+1–3
ordenando
d(x)= x2 – 3x – 1
÷
3 2
Q(x)= 3x +x +3x+5
1 2 1 – 2 6 4
R(x)= 11
3 6 –2
Ejemplo 2: –1 21 –7
Divida: 51 –17
3
x + 27 2 7 17 50 –13
x+3 q R
x 3 + 0 x 2 + 0 x + 27 Ejemplo 2:
x+3
Al dividir:
6x5 + x4 – 4 x3 + 7
• x + 3 = 0
2 + 3x3 – x 2
x= – 3
Resolución:
• D(x)= 6x5+x4– 4x3+7
D(x)= 6x5+x4– 4x3+0x2+0x+7
• d(x)= 2+3x3 – x2
d(x)= 3x3 –x2+0x+2
÷
Q(x) = x – 3x + 9
3 6 1 – 4 0 0 7
R(x) = 0
1 2 0 –4
0 1 0 –2
MÉTODO DE HORNER
–2 –1 0 2
Debes tener en cuenta que los polinomios dividendo y
2 1 –1 –5 –2 9
divisor deben estar completos y ordenados. Si faltaran
q R
coeficientes deberás completar con ceros.
204
Álgebra
0 0 –9 6 x= 1 1 3 4 5 5 5 5 5 5 8
–3 0 0 0 1 3 4 5 5 5 5 5 5 8 9
2 ÷
q
3 0 –10 6 2
a b c Suma de coef. del q= 1+3+4+5+5+5+5+5+5+8
= 8+30+8
b + c – a = 18 = 46
Rpta.: 18
Rpta.: 46
4 2
2. Determine ab si la división 4 x – 32 x + ax + b deja
2x + x – 3
como resto 2x+9.
Resolución:
÷
2 4 0 – 3 a b
–1 –2 6
3 1 –3
–2 6
2 –1 2 2 9
R(x)=2x+9
a–3–2=2→a=7
b+6=9→b=3
ab= 21
Rpta.: 21
205
Álgebra
ÁLGEBRA - I
4. Divida e indique el cociente y el residuo. 12. Divida e indique el término independiente del
cociente.
9 x 3 + 9 x + 6 x 2 + 21 (5x4+3x2+5x+7+4x3)÷(x+1)
3x 2 + 3 Rpta.: 1
Rpta.: q(x)= 3x+4
R(x)= 15 NIVEL III
13. Divida e indique el residuo.
5. Divida e indique la suma de coeficiente del residuo.
5x5 – x4 + 6x3 – 7x + 3
4 2
2x + 3 x + 4 5x2 – 6x + 2
x 2 – 2x + 1
Rpta.: x – 1
Rpta.: 9
14. Divida e indique el residuo.
3x3 + x – 1
6. Divida e indique la suma de coeficiente del residuo. x 2 + 2x – 1
Rpta.: 16x – 7
3x3 + x – 1
x 2 + 2x – 1 15. Divida e indique la suma de coeficientes del cociente.
Rpta.: 9 2x 4 + 2
2x 2 – 2x + 4
7. Determine el valor de K para que la división sea Rpta.: 1
exacta.
16. Divida e indique la suma de coeficientes del cociente.
6 x 3 – 2x 2 – 6 x + K
3 x 2 + 2x – 1 2x 5 + 2x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 + 2x + 4
x4 + 2
Rpta.: – 2
Rpta.: 4
206
Álgebra
4 x4 + 6x2 + 8 2x 6 – x 5 + 3 x 3 – 4 x – 5
x 2 – 2x + 1 x 4 – 2x 3 + 3 x – 1
A) 28 B) 31 C) 32
D) 29 E) 30 A) 5 B) 4 C) 3
D) 1 E) 2
3. Divida e indique la suma de coeficientes de residuo.
9. Divida e indique la suma de coeficientes del residuo.
4 x3 + 3x – 2
x 2 + 2x – 1 12 x 4 + x 3 – 24 – 12 x
4x2 – x – 5
A) 13 B) 14 C) 15
D) 11 E) 12 A) –7 B) – 6 C) –5
D) 6 E) 7
4. Determine el valor de m para que la división sea 10. Determine el valor de A+B si la división es exacta.
exacta.
15 x 4 + 41x 3 + 71x 2 + ax + b
3x3 – x 2 – 3x + m 3x 2 + 4 x + 5
3 x 2 + 2x – 1
A) 89 B) –89 C) 87
A) 7 B) 0 C) 1 D) 88 E) –87
D) 6 E) 4
DESAFÍO
NIVEL II 11. Si la división deja como resto mx+n. Calcule m+n.
5. Determine el valor de b para que la división.
x 5 + (a + 1)x 4 + (a + b)x 3 + (b + 1)x 2 + ax + b
2x 4 + x 3 – 7 x – 6 x 2 – b x 2 + ax + b
x2 – x – 2
A) 2 B) 5 C) 0
D) 3 E) 7
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
12. Calcule (m–n–p) si el resto es 5x2+7x+8 en:
6. Divida e indique la suma de coeficientes del residuo.
8 x 5 + 4 x 3 + mx 2 + nx + p
5 4 2
6x – 4 x + 1 – 7x – 4 x
2x 3 + x 2 + 3
x 2 + 3x3 + 1 + 4 x
A) 20 B) 38 C) 0
A) 9 B) 10 C) 11 D) 8 E) 18
D) 2 E) 18
207
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
x 5 + x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 2
3 x 3 + 2x 2 + 3 x + 7
x4 + 2
x2 + 1
A) 3 B) 4 C) 7
A) 5 B) 4 C) 3 D) 1 E) 0
D) 2 E) 6
7. Indique el resto.
2. Indique el residuo.
(38x4 – 65x3+27)÷(2x2 – 5x+3)
3 2 5 4 2
(2x +6x+3+3x +x +x )÷1+x+x
A) 1 B) 0 C) 2
A) 3x B) 2x C) 2x+1 D) 4 E) 5
D) 3x+1 E) 4
8. Indique el término independiente del cociente.
3. Indique el término independiente del cociente. (x3+10x+10+5x2)÷(x2+2x+1)
(13x+x5+x2+x3+6x4)÷(1+x2+6x)
A) 1 B) 6 C) 5
A) 6 B) 0 C) 4 D) 4 E) 3
D) 2 E) 1
9. Halle la suma de coeficientes del residuo.
4. Indique el resto de: (4x4 –2x2 –5x3+3x –1)÷(x2 – 2x –1)
(36x5+2+3x2+6x–3x3)÷(6x+3)
A) 1 B) 29 C) 28
A) – 4 B) –1 C) 0 D) 24 E) 20
D) 1 E) 4
10. Halle la suma de coeficientes del cociente.
5. Indique el residuo de:
5 + 3x5 + 6 x 2 + x4 + x3
3 2
(x –20+x )÷(5+x) 1 + 3x 2 + x
A) –8 B) –100 C) –120 A) 7 B) 4 C) 3
D) –10 E) –20 D) 5 E) 2
208
Álgebra
ÁLGEBRA - II
NIVEL II
Rpta.: 4x2+12x+10
9. Determine el valor de a si la división es exacta.
2. Divida e indique el cociente. (3x6–x2+3x+a)÷(x–1)
8 x 3 + 2x 2 + 4 x + 2 Rpta.: – 5
x–2
10. Halle el valor de K, si la división es exacta.
2
Rpta.: 8x +18x+40 (5x4+16x3–8x+K)÷(x+3)
Rpta.: 3
3. Divida e indique el resto.
11. Determine el valor de n para que la división sea
x 3 + 3 x 4 + x + 3 – 12 x 2 exacta.
x–2
2 x 3 + x 2 + 5 x + (n – 7)
Rpta.: 13 x+2
Rpta.: 9
4. Divida e indique el resto.
NIVEL III
3 2
1 – 10 x + 2 x + 4 x 13. Del esquema calcule m+n+p.
x+5
Rpta.: 16 8 14 4 6 2
x= 1 8 22 p 32
6. Divida e indique la suma de coeficientes del cociente.
m n 26 32 34
– x + 2x 3 + 2 – 2x 2
Rpta.: 56
x+2
Rpta.: 7
14. Del esquema, calcule a+b+c.
x= –3 b 18 –24 12
3x5 – 7x 2 + 6
x –1 4 –6 c –4 24
Rpta.: 2
Rpta.: 16
209
Álgebra
15. Del esquema calcule a+b+c+d. 16. Del esquema calcule m+n+p+q.
2 m –10 n 3 1
1 3 2 –4 a d
x= 2 4 p –4 –8 Q
x= –3 –3 b c 30 –81
2 4 –2 –4 –5 9
1 0 2 –10 29 3
Rpta.: – 2
Rpta.: 81
7 x 4 – 12 x 3 + 6 x 5 + x 2 + 13 x + 6 A) 3 8 4 m 16
x+2 B) 4
x= –1 –8 4 –12
C) 0
A) 6 B) 3 C) 4 D) 7 E) 5 D) 2 8 n 12 4
E) 1
NIVEL II
DESAFÍO
5. Divida e indique la suma de coeficientes del cociente.
11. Divida y de la suma de coeficientes del cociente.
(x3–27)÷(x–3)
(2x4–5x3–3x2+1)÷(x–2)
A) 12 B) 14 C) 15 D) 11 E) 13
A) 18 B) 16 C) 11 D) 15 E) 8
210
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
A) 22 B) 21 C) 20
2. Indique término independiente del cociente.
D) 9 E) 10
(4x3+x2+2x+1)÷(x – 2)
8. Del esquema calcule p – q.
A) 20 B) 21 C) 4
D) 8 E) 2 4 2 q 8
–1 –4 2 – 6
3. Indique el resto de (5x2–3x+1)÷(x–3).
4 p 6 2
A) –37 B) 37 C) 1/37 A) 1 B) –6 C) 9
D) 4 E) 3 D) 4 E) 3
4. Indique la suma de coeficientes del cociente. 9. Indique la suma de coeficientes del cociente.
7x3 – 4 x2 + x + 2
3 x 4 + 2x 3 – x 2 + x + 1
x–4
x–3
A) 64 B) 60 C) 128
A) 144 B) 142 C) 141
D) 100 E) 140
D) 143 E) 140
5 x 3 + 4 x 2 + 2x + 3 7x2 – x – 1
x +1 x+5
A) 0 B) –1 C) –4
A) 170 B) 179 C) 24
D) –2 E) 5
D) 39 E) 180
4 7 2 3 8
1 4 11 c 16
a b 13 16 17
A) 30 B) 29 C) 24
D) 27 E) 28
211
Álgebra
18
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Aplica la regla de Ruffini en la resolución de diversos ejercicios.
Estrategias motivadoras
A B I K L M B C C A B C D E F G H
B R E S T O S N O P Q R I J K L M
A Z Y X W V T G R H A G B F E C N • Resto
D D G G H I F O F G H H I A A B O
• Residuo
I E A B E D S G H C I K N B I K M
• Cociente
V F D C C I M L O F E D I C B B O
• Dividendo
I C D E V G H C G M I O F I J K N
S T E I Z M I N N G D R F M N O I • Divisor
I T D X Y R E S I D U O U Q E O C • No mónico
O S U W N A I W E V T V R T K K O • Ruffini
N R K T C S B D A W D I N I S O R • Finalidad
D Q E L I B I A B C T E N D E F U
• División
O P M V N V O P Q R I S M L K I F
C B I C D D E F G C I E K L M N F
I D A D O N M L O W U R T S R Q I
N A M L M N O C Q R T U W W A B N
O N O K A B F I N A L I D A D K I
M B C I H G G F E D C B A W V T S
O D E J O D N E D I V I D M N O P
N E F G G H I A B C D E F J L Y T
212
Álgebra
Organizador visual
Método de Horner
Teorema del Resto
La finalidad del teorema es
obtener el residuo.
Regla de Ruffini
REGLA DE RUFFINI
Es decir, si:
D( x)
ax + b Q(x) = 5x2 + x – 1
R(x) = 3
Ejemplo: 2x 4 + x 3 – 8 x 2 – 3 x + 7
2x – 3
Dividir:
10 x 3 + 3 x 2 – 6 x + 4 Resolución:
5x – 1
• Aplicando el método de Ruffini:
Resolución:
• 2x – 3 = 0
• Aplicando el método de Ruffini:
• 5x – 1 = 0
3
x=
2
1
x=
5
213
Álgebra
Luego:
R= P – B
A
5 x 4 – 20 x 2 – x + 3
x+2
EL TEOREMA DEL RESIDUO
Resolución:
x+2 = 0 ⇒ x = – 2
El objetivo es hallar el resto de una división sin efectuarla.
R(x)= 5(–2)4 – 20(–2)2 – (–2)+3
R(x)= 5(16) – 20(4) +2+3
Enunciado
R(x)= 80 – 80 + 5= 5
En toda división de la forma P(x)÷(Ax+B), el residuo es
B 2. Calcule el residuo de dividir:
igual al valor numérico de P(x) cuando x = – .
A
( x + a)7 – x 7 – a7
Es decir:
x + 2a
P( x) B
⇔ resto= P = –
Ax + B A Resolución:
x+2a = 0 ⇒ x = – 2a
Prueba:
R(x)= (– 2a+a)7 – (–2a)7– a7
Sean los polinomios:
R(x)= – a7–(–128a7) – a7
P(x): dividendo
R(x)= – a7+128a7– a7
d(x): Ax+B: divisor
q(x): cociente R(x)= – 2a7+128a7=126a7
R(x): R: residuo o resto
3. Indique el resto:
Por identidad fundamental de la división: x2+2 = 0 ⇒ x2 = – 2
P(x)≡ (Ax+B)q(x)+R(x) Resolución:
4 2
Si hacemos que x = – B , se tiene: R(x)= (x2) – 2(x2) – 7(x2)+5
A
R(x)= (– 2)4 – 2(– 2)2 –7(–2)+5
R(x)= 16 – 8 +14+5
P – B = A – B + B q – B + R
A A A R(x)= 8+19
R(x)= 27
⇒ P – B = (–B+B)q – B + R
A A
214
Álgebra
Resolución: Resolución:
k+3 Reemplazando:
del esquema: 5– = –2
2 R = 34 – 33 – 32+3+2k ⇒ R = 81 – 27 – 9+3+2k
k+3
7= ⇒ k+3 = 14 R = 48+2k ; pero R =72
2
k = 11
48+2k = 72
Rpta.: 11 2k = 24
k = 12
2. En la división:
el residuo es:
Resolución:
Reemplazando:
x = 3: R = (6)(5)(4)(3)2(1)0(–1)...(–7)+32–1
0
∴R=8
Rpta.: 8
215
Álgebra
ÁLGEBRA - I
NIVEL I NIVEL II
216
Álgebra
DESAFÍO
NIVEL II
11. Calcule a, si la división es exacta.
5. Divida e indique el residuo.
24x3 – 50x2+44x – 25 2x5+3x4 – 2x3+2x2+x+a
3x – 1 2x – 1
A) 24 B) –42 C) 30
A) –1 B) –2 C) 1
D) –15 E) 12
D) 3 E) 4
217
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
A) 0 B) 2 C) 6 A) 3 B) 7 C) 5
D) 1 E) 4 D) 4 E) 1
A) 6 B) 5 C) –6
A) 6 B) 5 C) 4 D) –3 E) 3
D) –2 E) 3
218
Álgebra
ÁLGEBRA - II
NIVEL I NIVEL II
NIVEL III
5. Halle el resto en:
6x3 – 7x2+4x – 9 13. Calcule el resto.
x+1 (x – 3)(x – 2)(x+1) – x
Rpta.: –26 x+1
Rpta.: 1
6. Calcule el residuo.
x4+2x3 – x2+x+7 14. Calcule el resto.
x+1
(x+4)(x+5)(x+3)+x
Rpta.: 4 x+3
Rpta.: –3
7. Calcule el residuo.
2x3 – 3x2+x – 4 15. Indique el resto en:
x+2
(x – 3)2000+3
Rpta.: –34 x–4
Rpta.: 4
8. Calcule el residuo.
x4 – 2x2+3x+3 16. Indique el resto en:
x+1
(x – 5)2010+4x+5
Rpta.: –1 x–5
Rpta.: 25
219
Álgebra
A) 3 B) 4 C) 5 A) 2 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7 D) 1 E) 6
DESAFÍO HELICOIDAL
220
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
A) 6 B) 5 C) 4 es m. Calcule m.
D) 3 E) 5 A) –3 B) 3 C) 4
D) –4 E) 5
2. Indique el resto de:
(x – 4)200+3 7. Indique el residuo.
x–4 x4 – 4x2+2x+5
x+2
A) 2 B) 5 C) 3
D) 1 E) 4 A) –4 B) –1 C) 6
D) 0 E) 1
3. Indique el resto de:
8. Calcule el resto en:
2x41 – 3(x – 1)7+1
x–1 (x–3)(x – 2)(x+1) – x
x+1
A) 1 B) –4 C) 4
D) –3 E) 3 A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
4. Indique el resto de:
9. Indique el resto de:
(x+1)4+4x – 2
x (9x3+3x2+x – 1)
3x+1
A) 0 B) 7 C) 12
D) –1 E) 1 A) 1 B) 2 C) 0
D) 4 E) 5
5. Indique el resto de:
10. Indique el residuo.
(5x – 4)2+3x
x–2 2m7 – 3m2+6
5m+5
A) 41 B) 42 C) 43
D) 45 E) 47 A) –1 B) 4 C) –4
D) 1 E) 5
221
Álgebra
AUTOEVALUACIÓN I AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4 1 2 3 4
B B A A C C A C
5 6 7 8 5 6 7 8
A E D C A B D A
9 10 11 12 9 10 11 12
B C B A A A C D
AUTOEVALUACIÓN II AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4 1 2 3 4
A A A E C E A B
5 6 7 8 5 6 7 8
B A E B C C A B
9 10 11 12 9 10 11 12
A A A B C B A D
CLAVES CAP. 18
AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4
C D C B
5 6 7 8
D A B E
9 10 11 12
C B A C
AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4
B C A E
5 6 7 8
C A B E
9 10 11 12
B A B C
222
Álgebra
FACTORIZACIÓN I
19
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Reconoce el proceso de factorización.
Estrategias motivadoras
Lectura
Sabías que Gauss nació en Alemania el año 1777 y murió en 1855; y corregía a su padre cuando este realizaba mal los cálculos
de contabilidad con solo 3 años.
Estudió astronomía y se hizo famoso por predecir la fecha del paso de un asteroide que meses antes había pasado por la
ciudad.
Responda
1. El grado de 4x5y9 es _________________________________________________
223
Álgebra
Organizador visual
Factorización
Factor primo
Factor algebraico
Polinomio irreductible
Utiliza criterios:
Ejemplos Ejemplos
• x2+x – 30 = (x – 5)(x+6)
FACTORIZACIÓN
Factores x–5
• x2+5x= x(x+5) primos x+6
Polinomio Producto
de factores
primos • a2+5a+6 = (a+3)(a+2)
Factores a+3
x es un factor de x2+5x. primos a+2
(x+5) es un factor de x2+5x.
* Entonces podemos decir que la factorización es un
proceso contrario a la multiplicación.
FACTORIZACIÓN
• x +8x+12= (x+6)(x+2)
2
Polinomio Producto
de factores
primos
224
Álgebra
Tipos Resolución
A. Factor común monomio * Calculo del MCD(2, 4, 2) = 2
* Factor común: 2mn
Ejemplos
* Factorizando:
Factorice: P(m, n)= 2mn(mn2+2m2n–1)
1. P(x, y)= xy+xn+xa
Resolución
* Ubiquemos el factor común: x
* Entonces tenemos: Como habrás podido observar en los dos ejercicios
P(x, y)= x(y+n+a) anteriores, si existen coeficientes numéricos tienes que
calcular el MCD (máximo común divisor), luego seguir
2. P(x, y)= x2z+x2y–x2 los pasos para factorizar.
Resolución
* Ubiquemos el factor común: x2 B. Factor común polinomio
* Tener presente: Cuando existen un polinomio contenido en todos los
x2a + x2y – x2 · 1 términos del polinomio considerado.
* Factorizando tenemos:
P(x, y)= x2(a+y–1) Ejemplos
Factorice los siguientes polinomios:
3. P(x)= px3–qx 4+mx7
1. P(x, y)= (x–y)m+(x–y)n
Resolución
Resolución
* Ubiquemos el factor común: x3
* Factor común: (x – y)
* Factorizando tenemos:
* Factorizando:
P(x)= x3(p – qx+mx4)
P(x, y)= (x–y)(m+n)
¡Observa que la variable común es reti-
rada con el menor exponente!
225
Álgebra
226
Álgebra
2. Factorice: 3. Factorice:
2a(x–y)+8b2(x–y) a 2 + 1 a + 3a + 1
3
A) (2x–y)(a–b) B) (x–y)(a+b)
C) 2(x–y)(a+4b2) D) (x+y)(a2+b2 ) 1
A) a + (a+1) B) (a–1)(a+2)
E) (x+y)(a+b2) 3
1
C) (a+2)(a+3) D) a + (a+3)
3
Resolución E) (a+1)(a+3)
2a(x–y)+8b2(x–y)= 2(x–y)( + ) = a a + 1 + 3 a + 1
3 3
Dividimos:
2a(x–y)÷2(x–y)= a Sacamos factor común
Dividimos: 1
8b2(x–y)÷2(x–y)= 4b2 = a + (a+3)
3
Finalmente: 1
Finalmente: a 2 + 1 a + 3a + 1 = a + (a+3)
2a(x–y)+8b2(x–y)= 2(x–y)(a+4b2) 3 3
Rpta.: C Rpta.: D
ÁLGEBRA - I
227
Álgebra
NIVEL I A) a2y5
2 5
B) 4 2a y C) a
1. Factorice ym+yn+yz. D) a2 E) y5
A) y(m+n+z) B) z(m+n+1) C) y(m–n–z)
D) z(m–n–z) E) n(y+n–z)
NIVEL III
8. Factorice A= (m+n)a+(m+n)b–5(m+n).
2. Factorice m3n2+m2n–m4n3.
A) m2n2(mn+m–n2) B) mn(mn+1–m2n) A) (m+n)(a+b–5) B) (m+n)(a+b+5)
C) m2n(mn+1–m2n2) D) m2n(n+m–mn) C) (m+n)(a–b–5) D) (a+b+5)(m–n)
E) m n(mn+n–m n )
2 2 2
E) (m–n)(a+b)
3. Factorice ab+ac–ad–a.
9. Factorice (a+4)x+y(a+4)+(a+4).
A) a(b+c–d–1) B) a(b+c–d+1)
A) (a+4)(x+y+1) B) (a+4)(x+y–1)
C) a(b+c+d–1) D) a(b+c+d–a)
E) a(b+c–d–a) C) (a+4)(x+y) D) (x–y)(a+4)
E) (a+4)(x–y–1)
4. Factorice 2x3y+3xy2+5xy3.
A) xy(2x2+3y+5y2) B) xy(2x+3y+5y) 10. Factorice (y3+2)m+n(y3+2)–(y3+2)
C) x2y(2x+3y+5y2) D) xy(x+y+y2) A) (m+n+1)(y+2) B) (m+n–1)(y+2)
E) 2xy(x+y–5y )
2
C) (y+2)(m+n) D) (y3+2)(m+n)
E) (y3+2)(m+n–1)
NIVEL II
5. Factorice 40x3y2+96x4y3 –24x2y.
A) 8x2y B) x2 DESAFÍO
C) 8y2x(5xy+12x2y2–3) D) 8xy(5xy+12y–4) 11. Dé como resultado uno de los factores de:
E) 8x y(5xy+12x y –3)
2 2 2
A(a, x)= 21a2x5 –6a2x3+3ax4
228
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
B) 3 xy ( 5 x – 4 y – 2 x 2 )
E) x y(xy–y +x)
2 3
C) 2 xy ( 5 x – y – 4 x )
2
3. Factorice ax3+bx3–cx3–x3.
D) x y ( 5 x – 4 y – 2 x )
2 2
A) x(a+b+c)
B) x3(a+b–c) E) 3 xy 2 ( 5 x – 4 y – 2 x )
C) x(a+b–c)
D) x3(a+b–c–1)
8. Factorice A= (p+q)x–y(p+q)–2(p+q)
E) x(a+b–c–1)
A) (p+q)(x–y)
4. Factorice 20m4n2+28m3n3–12m2n. B) (p+q)(x–y–z)
C) (p+q)(x–y–p)
A) 4m2n(5m2n+7mn2–3)
D) p(x–y–p)
B) 4mn(5m2n+7mn2–3)
E) q(x–y)
C) 4m(5m2n+7mn2–5)
D) 4n(5m2+7mn2–3)
9. Factorice B= (m–2)a+b(m–2)+(m–2).
E) 4m2n
A) (m–2)(a–b) B) (m–2)(a+b–1)
5. Factorice 30p q – 42p q+18p q.
3 2 2 4 C) m(a+b) D) m(a+b–1)
E) (m–2)(a+b+1)
A) 6pq(5pq–7+3p2)
B) 6p2q(5pq–7+3p2)
10. Factorice (x3–7)a+b(x3–7)–(x3–7).
C) 6pq(5p–7+3p2)
D) 5pq(6p–7+3p2) A) (x3–7)(a+b) B) (x3–7)(a+b–2)
E) 6pq C) x3(a+b) D) (x3–7)(a+b–1)
E) x3(a+b–1)
229
Álgebra
ÁLGEBRA - II
3. Factorice x(a+b)–y(a+b)+a+b.
12. Factorice 2a2+2b–a2p–bp.
Rpta.: (a+b)(x–y+1)
Rpta.: (2–p)(a2+b)
4. Factorice a(x+y+z)–b(x+y+z)+x+y+z.
Rpta.: (x+y+z)(a–b+1)
NIVEL III
5. Factorice a(x+8)+b(x+8)–x–8.
13. Factorice E= am–bm+ay–by, luego indique uno de
Rpta.: (x+8)(a+b–1) sus factores primos.
Rpta.: (a+b+c)(x–y–1)
14. Factorice R= ab+qp–bp–pa, luego indique uno de
Rpta.: a2+x–1
NIVEL II
16. Factorice 2a2x+2ax+2x–a2–a–1.
9. Factorice B= 4mx– 4nx+m–n, luego indique uno de
sus factores primos. Rpta.: a2+a+1
Rpta.: 4x+1
230
Álgebra
A) (x+y)(m–1)
2. Factorice n(a+b)+m(a+b)+a+b. B) (x–y)(m+n)
A) (a+b)(m+n) C) (x–y)(n–1)
B) (a+b)(n+m+1) D) (x+y)(m+n)
C) (a+b)(n+1) E) xy(m+n)
D) (a–b)(–m–1)
E) (a–1)(m+n+1) 9. Factorice N= p2m+p2n+r2m+r2n, luego indique un
factor primo.
3. Factorice p(m+n+p)+q(m+n+p)–m–n–p. A) m2+n2 B) m+n C) p+q
A) (m+n)(p+q–1) D) p2–q2 E) m+p
B) (m+n+p)(p+q–1)
C) (n+p)(p+q–1) 10. Factorice x3+2x2+x+2.
D) (m+n+p)(q–1) A) (x2–1)(x+2)
E) (p+q+1)(m–n) B) (x+1)(x–1)(x+2)
C) (x2–1)(x+3)
4. Factorice A= (x+y)(a+b)–5(x+y)+(x+y)2. D) (x+2)(x+5)
A) (x+y)(a+b+x+y) E) (x+2)(x2+1)
B) (x+y)(a+b–5+x+y)
C) (x+y)(a+b) DESAFÍO
D) (x+y)(a+b)(x+y)
11. Dé el factor común monomio de xny2m–x2nym+n–
E) (x+y)(a+b–x–y)
xm+nym.
NIVEL II A) xnym B) xm+nyn C) xm+nym+n
D) xm+ny2n E) x2ny2m
5. Factorice e indique uno de sus factores primos.
3mx+m+3nx+n
12. Factorice ax3+bx2+cx+2ax2+2bx2+2bx+2c– ax2–
A) 3x–1 B) m+n C) m–n bx–c.
D) 2x+1 E) m–3x
A) (ax2+bx+c)(x+1)
B) (ax2+bx+c)(x–1)
6. Factorice ma–m–a+1 e indique uno de sus factores
C) (ax2+bx+c)(x+2a–1)
primos.
D) (ax2+bx+c)(x–a–1)
A) a–1 B) a+1 C) m+1 E) (ax+bx+c)(ax–bx)
D) a–2 E) m–2
231
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
4. Factorice m3(x+y+z)+n2(x+y+z)–x–y–z.
9. Factorice ax2+by2+ay2+bx2.
A) (x+y+z)(m +n ) 3 2
A) (a+b)(x2–y2)
B) (x+y–z)(m3+n2–1)
B) (a+b)xy
C) (x+y–z)(m3+n2+1)
C) (a+b)(x–y)
D) (x+y+z)(m3+n2–1)
D) (x–y)(a–b)
E) xyz(m3+n2–1)
E) (a+b)(x2+y2)
5. Factorice R= (a+2)(p+q)–2(p+q)+(p+q)2.
10. Factorice m3+3m2+m+3.
A) (a+2)(p+q+a)
A) (m+3)(m2+1)
B) (a+2)(p+q–a)
B) (m+3)(m+1)
C) (p+q)(a+p+q)
C) (m+3)(m–1)
D) (p+q)(a+p)
D) (m–3)(m–1)
E) (p+q)(a+q)
E) (m+3)(m2–1)
232
Álgebra
FACTORIZACIÓN II
20
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Utiliza el criterio de identidades para factorizar un polinomio.
Estrategias motivadoras
Pierre de Fermat fue abogado y miembro del parlamento de Toulousse, su ciudad natal al suroeste de
Francia. Hasta el día de su muerte cumplió con su trabajo de funcionario público con esmero, seriedad
e integridad. Fermat desarrolló su genio matemático en su tiempo libre y logró importantes resultados
en varios campos de las matemáticas pero su mayor influencia se debe al llamado "último teorema de
Fermat", el más famoso de los problemas matemáticos no resueltas.
Pierre de Fermat
Factorigrama
¿CUÁL SERÁ?
233
Álgebra
Organizador visual
FACTORIZACIÓN
A. Diferencia de cuadrados
Am Bn
FORMA GENERAL
2(Am)(Bn)
A – B = (A +B )(A –B )
2m 2n m n m n
factores
Según la regla práctica se le extrae la raíz cuadrada
a los extremos; si el doble producto de los resultados
Am Bn obtenidos es igual al término central, entonces la
factorización procede (esto representa la forma de
reconocer un TCP).
Según la regla práctica, se extrae la raíz cuadrada
a los dos términos, siendo los factores: la suma y la Ejemplo explicativo
diferencia de los resultados obtenidos.
• Sea:
Ejemplo explicativo
P(x,y)= x 2 +8xy+16y 2
• Sea:
Q(x,y)= 64x2 –25y2
x 4y
8x 5y
2(x)(4y)= 8yx
Por lo tanto:
Por lo tanto:
Q(x,y)=(8x+5y)(8x–5y) P(x, y)=(x+4y)2
234
Álgebra
Este criterio se utiliza para factorizar trinomios de la forma: B. Criterios del aspa simple para trinomios de la
forma:
Ax2m +Bxmyn+Cy2n
ax2m+bxmyn+cy2n
Ax2n+Bxn+C
• Regla práctica:
Ax2+Bx+C
ax2m+bx myn+cy2n=(dxm+fyn)(exm+gyn)
A. Criterio del aspa simple para trinomios de la
dxm fyn efxmgn
forma: +
exm gyn dgxmgn
Ax +Bx +C
2n n
bxmyn
Consiste en descomponer los términos extremos de
tal manera que la suma de los productos en aspa nos
dé el término central. Los factores se toman en forma Ejemplo explicativo
horizontal.
• Sea:
Ejemplo explicativo
P(x, y)= 6x 2–xy–2y 2
• Sea:
3x –2y –4xy
P(x)= 3x 2 +2x – 5 +
2x +y 3xy
3x +5 5x
+ –xy
x –1 –3x
2x ∴ P(x, y)= (3x–2y)(2x+y)
∴ P(x)= (3x+5)(x–1)
A) (5x+1)(5x–2) B) (5x–2)2
C) (5x+2)(5x–2) D) (5x–1)(5x+2) 5x 2
E) (5x+1)(5x–1) 2(5x)(2) → 20x
Vemos que es un TCP.
Resolución
∴ 25x2–20x+4= (5x–2)2
25x2 – 4
Rpta.: E
235
Álgebra
ÁLGEBRA - I
NIVEL I NIVEL II
1. Factorice 16x –9y .
2 2
9. Factorice 36a b –c d e indique un factor primo.
4 8 2 8
236
Álgebra
237
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
E) (8a3+7)(8a3–7)
A) 3 B) 1 C) 5
D) 0 E) 2
238
Álgebra
ÁLGEBRA - II
5. Factorice x2+11x+30.
Rpta.: (x+6)(x+5)
6. Factorice a2+11a+28.
Rpta.: (a+7)(a+4)
7. Factorice m4–2m2–3.
Rpta.: (m2–3)(m2+1)
8. Factorice a4 –4a2–5.
Rpta.: (a2–5)(a2+1)
NIVEL II
Rpta.: 3x–1
Rpta.: 5m–2
Rpta.: (3x+4y)(x+y)
Rpta.: (3x+5y)(x+y)
239
Álgebra
7. Factorice 20x2–23xy+6y2.
A) (5x+2)(5x–3) B) (4x+2)(4x–3)
C) (5x–2)(4x–3) D) (5x–2y)(5x+3y)
E) (5x–2y)(4x–3y)
240
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
3a2+5ab–12b2
A) 3x2+1 B) –1 C) 3x2–1
D) 9x6+1 E) 3x A) a–3b B) 3a–1 C) 2a+5b
D) 5a–2b E) a+3b
4. Factorice x –8x+12.
2
D) a–5 E) a+1
241
Álgebra
ECUACIONES
21
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Reconoce qué es una ecuación.
Estrategias motivadoras
Se le dice al compañero, escribe un número sin que yo lo vea, duplícalo, agrega 5 al resultado, multiplica el número que tienes
ahora por 5, suma 10, multiplica por 10 y resta 350.
Ecuagrama
¿CUÁL SERÁ?
A H R S T U V A B B B C D E T Calcule x.
B O R A T U V T R E S A A R S
• 4x+3= x+17
C D E O A B C E O A B C D W T
T M O N C E A B B C C D T W V • 3x–5= 2x+17
V E N O S T U E O A B C T V S • 2x+1= x+19
T E A A A T C U H B B U A W O
• 3x–2x= 11
V D B B A R C D C C B A A W D
W C C C O A B T O T A T B U I • 4x= x+9
A B D T A B W V I V W R B T T
• 5x–x=16
B A A V W A B C C H I D C U N
C C T W W A B X E X X X S T I
D A W Z Y X X W I T T S S R E
E E A A B B C D D A B M N O V
242
Álgebra
Organizador visual
ECUACIÓN
Determinada
Compatible
Indeterminada
Incompatible
TEORÍA DE ECUACIONES
ECUACIÓN
5x= 10
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la 1.
er
2.o
que al menos presente una variable que ahora recibirá el miembro miembro
nombre de incógnita.
5x: primer miembro 10: segundo miembro
Ejemplos
1) x = 3y – 2
2) 5x + 7 = 2
3) x2 – 5x + 6 = 0
Toda ecuación consta tan sólo de dos miembros, el
1. MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN primero y el segundo; pero cada miembro puede tener
uno o más términos; así:
En cada ecuación se distinguen dos partes llamadas
miembros de la ecuación, que se encuentran de uno y
3x = 10 (Esta ecuación consta
otro lado de la igualdad (=).
de dos términos)
Llámese primer miembro, la parte de la ecuación que
está a la izquierda de la igualdad. 5x +x= 18+6 (Esta ecuación
consta de cuatro
Llámese segundo miembro, la parte de la ecuación términos)
que está a la derecha de la igualdad, o sea en:
243
Álgebra
244
Álgebra
(Ecuación lineal)
4. Despejamos la incógnita.
x =–b
a
1. Resuelva: 2. Resuelva:
14x–(3x–2)–[5x+2–(x–1)]= 0 3 x – 1 + 2x = 5 – 3 x
4 5 4 20
A) 1/3 B) 1/5 C) 1/2
A) 1/3 B) 1/2 C) 1/5
D) 1/7 E) 1/9
D) 1/6 E) 1/4
Resolución
Resolución
Eliminamos los signos de colección: Obtenemos el MCM de todos los denominadores.
14x–3x+2–[5x+2–x+1]= 0 MCM= 20
Rpta.: D x = 29 → x = 1
58 2
Rpta.: B
245
Álgebra
3. Resuelva: Resolución
x –1 + x – 2 – x – 3 = x – 5 MCM(2, 3, 4, 5)= 60
2 3 4 5
⇒ 30(x–1)+20(x–2)–15(x–3)= 12(x–5)
A) 35/29 30x–30+20x–40–15x+45= 12x–60
B) –35/23 35x–25= 11x–60
C) 35/23 23x= –35
D) 23/21
∴ x = –35
E) –35/29 23
Rpta.: B
ÁLGEBRA - I
9. Calcule el valor de m.
Rpta.: –13
6. Resuelva 5x+3–7x= 8x–18+2x.
4(3x–6)+2(2x–5)= 7(2x–4)
7. Determine el valor de x.
Rpta.: 3
–6x–12–x= 4–6x
Rpta.: –16
246
Álgebra
NIVEL III
15. Resuelva x – 1 = 2 x – 3 .
13. Resuelva 2 x + 1 = x – 1 . 2 4
6 4 Rpta.: {1/4}
Rpta.: {–5}
16. Resuelva x – 1 = 3 x – 1 .
14. Resuelva x – 4 = 3 x + 2 . 3 6
Rpta.: {–1/12}
4 5
Rpta.: {–4}
A) 5 B) –5 C) {5} 3 x + 5 = 5 x + 20
D) {2} E) –2 4 2
A) –3 B) –5 C) –2
2. Resuelva 6m –8= 4m–10. D) 5 E) 7
A) –1 B) {–1} C) 1
D) {2} E) {–2} 9. Determine el valor de x.
NIVEL II A) 8 B) –8 C) {8}
5. Determine el valor de x. D) {–8} E) 21
–3x–12–x= 7–5x
DESAFÍO
A) –19 B) 19 C) {–19}
D) –2 E) 2 11. Resuelva la ecuación 2(x+2)–3(5–x)= x+5(x–3).
A) –2 B) 2 C) {–4}
6. Determine el valor de x. D) 4 E) {4}
6(m–5)= 5(m–8)
12. Resuelva:
A) 10 B) –10 C) 5
2 x + 6 = 3 ( x – 2) + 7
D) –5 E) –70
3 4
A) 7 B) –7 C) {7}
D) –2 E) –13/5
247
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Calcule x. 7. Calcule x.
x +1 = x +7
3x+4= 2x+7 4 5
A) 4 B) 2 C) 3
A) 80 B) 100 C) 140
D) 5 E) 1
D) 120 E) 60
2. Calcule x.
8. Resuelva:
3x–4= 4x– 2
5x – 2 = x + 1
A) –3 B) 3 C) 2 4 4
D) 5 E) –2
A) 4 B) 3 C) 5
D) 6 E) 7
3. Calcule x.
A) 8 B) 7 C) 6 2x + 1 = x + 2
D) 4 E) 5 5 4
A) 2 B) 4 C) {2}
4. Resuelva: D) {2} E) {4}
2(x–3)+4(x+1)= 3
10. Calcule x.
A) {5} B) {5/6} C) 5 x + x + x = –x + 1
D) {6} E) 6 3 2 6 4
A) 6 B) –1 C) 1
D) 4 E) 0
6. Calcule y.
3y + 1 5 y
=
2 3
A) 3 B) 4 C) 5
D) 7 E) 6
248
Álgebra
ÁLGEBRA - II
Rpta.: {6}
2. Resuelva 7x–15= 4x–18.
Rpta.: {–1} 11. Calcule el valor de m.
m+4 –5 = 2+ m–5
3. Resuelva 6x–18+4x= 2x+6.
3 2
Rpta.: {3}
Rpta.: –19
4. Resuelva 10x+12–2x= 6x–4.
15. Resuelva:
8. Resuelva: x+x+1= x+3
6x – 8 = x + 4 4 2 5 2 5
4 2
Rpta.: {8/5}
Rpta.: {10}
16. Resuelva:
NIVEL II 3x + 5 = x – 2
5 2
9. Resuelva:
x –1 + x +1 = 1 Rpta.: {–7}
2 3
Rpta.: {7/5}
249
Álgebra
A) 2 B) {2} C) –2 a + a + a = 3+a
D) 1/3 E) {1/3} 4 3 2
A) 36 B) –36 C) –2
2. Resuelva 5x–4= x+12. D) {36} E) {–36}
A) {4} B) –4 C) 2
D) –2 E) {2} 9. Determine el valor de y.
y +1
= 2y – 5
3. Resuelva 7x–31= 9+5x. 4
A) –11 B) {–11} C) {11} A) –3 B) 3 C) {–3}
D) 2 E) 4 D) {3} E) 2/3
NIVEL II A) 10 B) –10 C) –2
D) 4 E) –2
5. Calcule el valor de a.
A) {10} B) 10 C) –10
D) –1/3 E) {–10}
250
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Calcule y. 6. Calcule x.
x +1 + x –1 = 1
3y+8= 4y–1 2 3
A) 8 B) 9 C) 6 A) 0 B) 4 C) 6
D) 4 E) 3 D) 1 E) 5
2. Calcule x. 7. Resuelva:
x – 4 + x +1 = 2
4x+5+3x= 5x+7 3 4
A) 1 B) 2 C) 3 A) 37/7 B) 37 C) 7
D) 5 E) 4 D) –1/7 E) 30/7
3. Calcule x. 8. Calcule x.
3x – 1 + x – 3 = 4
8x–4–x= 3x+6 4 3
A) 3 B) 5 C) 4
A) 4/3 B) 13/5 C) 13
D) 7 E) 5/2
D) 63/13 E) 63
4. Calcule x.
5x – 3 = x + 1 9. Resuelva: x + x + 1 = – x +1
4 2 3 2 4 3
A) 13 B) 15 C) 16/3 A) 19 B) 14 C) 17
D) 12 E) 13/3 D) {9/14} E) 13
A) –12 B) 5 C) 6 A) –7 B) –6 C) 4
D) {13} E) 7 D) 5 E) –4
251
Álgebra
AUTOEVALUACIÓN I AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4 1 2 3 4
A C A A B A C B
5 6 7 8 5 6 7 8
E E C A C E A D
9 10 11 12 9 10 11 12
A E C D A C D D
AUTOEVALUACIÓN II AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4 1 2 3 4
A B B B B C C E
5 6 7 8 5 6 7 8
B A A D D A E D
9 10 11 12 9 10 11 12
B E A A A A D E
CLAVES CAP. 21
AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4
C B B C
5 6 7 8
B B B B
9 10 11 12
C C E A
AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4
B A B A
5 6 7 8
B C B A
9 10 11 12
B A A A
252
Álgebra
22
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
Estrategias motivadoras
Sustitución monoalfabética
A cada letra del alfabeto se le asigna un signo distinto, que puede ser otra letra o cualquier otra cosa. Por ejemplo, según la tabla
siguiente, la palabra matemáticas se transformaría en 9XD?9XD3RXM.
a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t u v w x y z
X 5 R A ? P 2 U 3 Ñ $ * 9 E 6 I W ¿ & M D 7 Z T 4 B @
Está claro que lo mejor es que la tabla sea completamente aleatoria, pero esto obliga a conocer la tabla completa. Una alternativa
es la utilización de una clave para formar las equivalencias. Por ejemplo, si la clave es EPSILON se escribirían a continuación
el resto de las palabras del alfabeto en su orden habitual pero sin repetir las ya utilizadas. La tabla quedaría de la siguiente
manera:
a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t u v w x y z
E P S I L O N Ñ Q R T U V W X Y Z A B C D F G H J K M
253
Álgebra
Crucigrama
Análisis de la frecuencia
¡Juguemos!
Ubique los números 2, 3, 4 y 5 utilizando los signos más (+) o menos (–) de tal manera que el resultado sea el dado en cada fila
y columna. Los cálculos son de derecha a izquierda, y de arriba hacia abajo.
4 =9
+ =5
+ = 15
+ 5 = 13
= = = =
6 12 10 12
Organizador visual
Abierto
Acotado
tipos Cerrado
Intervalos
No acotado
254
Álgebra
Es aquella comparación que se establece entre dos números A. Intervalo abierto: No se consideran sus extremos.
reales mediante los símbolos:
< , > , ≤ , ≥ x
–∞ –1 7 +∞
Ejemplos
x
–∞ –10 20 +∞
2≤x<3
C. Intervalo semiabierto o semicerrado: Uno de los
Se lee: x mayor o igual a 2 y menor que 3.
extremos es abierto y el otro cerrado.
x
Intervalo –∞ 3 30 +∞
Ejemplos x
–∞ –2 18 +∞
Intervalo
Se denota: x ∈ –2, 18 ó –2 ≤ x<18
–∞ –5 4 +∞
cota cota
superior inferior D. Intervalos no acotados: Cuando uno de los
extremos es “+∞” o “–∞”.
–∞ 3 5 +∞
x
–∞ 0 +∞
Es un intervalo que comienza después del 3, es decir, en
3,000 ........ 1 y termina en 5. Se denota por: x < 0 ó x ∈ –∞, 0
255
Álgebra
Resolución
En la recta numérica real: –∞ b 0 a +∞
–∞ –4 3 +∞ A) 11 B) 12 C) 10
D) 13 E) 9
I= –2, 5 Rpta.: B
A) 3 B) 8 C) 7
D) 5 E) 6
Resolución
–∞ –2 –1 0 1 2 3 4 5 +∞
Sí toma No toma
al –2 al 5
–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4
7 elementos enteros
Rpta.: C
ÁLGEBRA - I
a) –5 –12 b) 0 –625
b) –1/2 1 c) 5 2
c) 3 2 d) – 3 – 2
d) –121 0
Rpta.: <, >, >, <
Rpta.: >, <, >, <
256
Álgebra
3. Ubique los siguientes expresiones en la recta 8. Represente gráficamente los siguientes intervalos:
numérica:
a) x ∈ –2, 4
–4, 2, 2, 5 , –1/2, –3/2
–∞ +∞
–∞ 0 +∞
b) x ∈ –1/2, 3
c) x ∈ –9, –2
–∞ 0 +∞
–∞ +∞
a) x ∈ –3, 7
b) 3/4≤ x<2
–∞ +∞
–∞ +∞
b) x ∈ 5, 10
⇒_______________________________________
c) –10<x ≤ –3
–∞ +∞
c) x ∈ – 1 , 0
2 –∞ +∞
⇒_______________________________________
–∞ +∞
257
Álgebra
a) –7< x ≤ –3
–∞ +∞
–∞ +∞
⇒_______________________________________
⇒_______________________________________
b) x ∈ –2, +∞
b) 2 <x<2
–∞ +∞
–∞ +∞
⇒_______________________________________
⇒_______________________________________
Nivel III
c) –2 ≤ x< 9
13. Represente gráficamente.
a) x ≥ 2
–∞ +∞
⇒_______________________________________ –∞ +∞
b) x< –3
11. Represente gráficamente los siguientes intervalos e
indique qué tipo de intervalo es.
a) x ∈ –∞, 4 –∞ +∞
c) x >1/4
–∞ +∞
–∞ +∞
⇒_______________________________________
14. Represente gráficamente.
a) x ≤ –7
b) x ∈ –3, +∞
–∞ +∞
b) x< 5
–∞ +∞
⇒_______________________________________
–∞ +∞
c) x ≥ –4
12. Represente gráficamente los siguientes intervalos e
indique qué tipo de intervalo es.
–∞ +∞
258
Álgebra
15. Indique cómo se denota cada intervalo. 16. Indique cómo se denota cada intervalo.
a) x x
a)
–∞ –5 10 +∞ –∞ –5 +∞
Se denota:
Se denota:
x ∈ _______ ó _________
x ∈ _______ ó _________
x x
b) b)
–∞ –1/2 +∞ –∞ –1 5 +∞
Se denota: Se denota:
A) >, <, >, < B) <, <, >, > C) >, >, <, <
4. Indique qué gráfica representa al intervalo:
D) <, >, >, > E) <, <, <, <
–4, 9
D)
D) –∞ 4 9 +∞
–∞ –5/3 –3 2 3 1/5 +∞
E) E)
–∞ –3 –5/3 2 3 1/5 +∞ –∞ 4 9 +∞
259
Álgebra
5. Indique qué clase de intervalo es –2, 5 . 8. Indique qué clase de intervalo es: 7, +∞
A) cerrado B) abierto C) no acotado A) abierto
D) semiacotado E) semiabierto B) semiabierto
C) cerrado
6. Represente gráficamente e indique qué clase de
D) semicerrado
intervalo es 7≤ x ≤17.
E) no acotado
A)
–∞ 17 +∞ 9. Relacione según corresponda.
⇒ Acotado (cerrado)
I. 44, +∞ a. cerrado
II. –1/4, –2 b. no acotado
B)
III. 2, 1 c. abierto
–∞ 7 17 +∞
⇒ Acotado (Abierto)
A) Ia, IIb, IIIc
B) Ic, IIb, IIIa
C)
–∞ 7 17 +∞ C) Ia, IIc, IIIb
D) Ic, IIa, IIIb
⇒ Acotado (semiabierto)
E) Ib, IIc, IIIa
D)
–∞ 7 7 +∞ 10. Indique cómo se denota al siguiente intervalo:
⇒ Acotado (semicerrado)
x
E) –∞ 7 10 +∞
–∞ 7 +∞
⇒ No acotado A) x∈ 7, 10 ó 7≤x<10
B) x∈ 7, 10 ó 7< x<10
7. Indique qué gráfica representa al siguiente intervalo: C) x∈ 7, 10 ó 7<x ≤10
D) x∈ 7, 10 ó 7≤ x ≤ 10
–2, +∞
E) x∈ 7, 10 ó 7<x ≤ 10
A) DESAFÍO
–∞ –2 +∞
11. Indique cuántos elementos enteros tiene el intervalo:
B) –1/4, 3
–∞ –2 +∞
A) 3 B) 2 C) 1
C) D) 4 E) infinitos
–∞ –2 +∞
260
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
Es un intervalo _____________________________
–∞ 0 +∞
x
B)
3. Indique como se leen las siguientes desigualdades: –∞ –1 9 +∞
a) – 4 > –6, se lee ____________________________
b) 0 < 7, se lee ____________________________ Es un intervalo _____________________________
c) 3 <x ≤ 7, se lee ____________________________
d) – 2 ≤ x ≤ 0, se lee ____________________________
Es un intervalo _____________________________
–∞ +∞
6. Represente gráficamente e indique qué tipo de
intervalo es.
B) x∈ –2, 1
a) –1≤ x <5
–∞ +∞
–∞ +∞
C) x∈ 7, 10
⇒_______________________________________
–∞ +∞
261
Álgebra
A) x ∈ 4, +∞
–∞ +∞
–∞ +∞
⇒_______________________________________ B) x ∈ –∞, 7
c) –3≤ x< 0
–∞ +∞
–∞ +∞
10. Indique cómo se denota cada intervalo.
⇒_______________________________________
A) x
–∞ 7 +∞
7. Represente gráficamente.
Se denota _________________________________
A) x ≥3
B) x
–∞ +∞ –∞ –3 +∞
B) x ≤–2
Se denota _________________________________
–∞ +∞
8. Represente gráficamente.
A) x <7
–∞ +∞
B) x >–8
–∞ +∞
262
Álgebra
ÁLGEBRA - II
Nivel I Nivel II
1. Indique cuántos elementos enteros tiene el siguiente 9. Si x ∈ 3a, m–1 es representado en el gráfico:
intervalo: 4, 11 .
x
Rpta.: 7
–∞ –30 2 +∞
2. Indique cuántos elementos enteros tiene el siguiente
intervalo: – 4, 2 . calcule a+m.
Rpta.: –7
Rpta.: 6
10. Si x ∈ 2a–3, m+4 es representado en el gráfico:
3. Indique la suma de elementos enteros que tiene el
siguiente intervalo: –3, 5 .
x
Rpta.: 7 –5 5
–∞ +∞
x
16. Si x∈ –1, 145 , indique la suma de valores enteros
–∞ 2 13 +∞ que toma x.
263
Álgebra
A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 10
Nivel III
2. Indique cuántos elementos enteros tiene el siguiente 8. Indique cuántos elementos enteros tiene el siguiente
intervalo: –5, 2 . intervalo: – 37 , 1 .
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) 7 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10
Nivel II DESAFÍO
5. Si x ∈ – n+1, 3 es representado en el siguiente 11. Si x ∈ m2, +∞ está representado en el siguiente
gráfico: intervalo:
x
x
–∞ m 0 9 +∞
–∞ –4 3 +∞
calcule el valor de m.
calcule n2.
A) 3 B) 2 C) –3 D) –2 E) 9
A) –5 B) 5 C) –4 D) 4 E) –6
6. Si x ∈ –a2, m+3 está representado en el siguiente 12. Si x ∈ –7, n2 está representado en el siguiente
gráfico: intervalo:
x
–∞ –9 2 +∞ –∞ –7 n 0 4 +∞
calcule –n.
calcule a+m.
A) 2 B) –2 C) 0 D) 1 E) –4
A) 1 B) 3 C) 5 D) 2 E) 4
264
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
1. Indique cuántos elementos enteros tiene el siguiente 7. Si x ∈ 2a, m–1 es representado en el gráfico:
intervalo: 3, 10 .
A) 13 B) 12 C) 14 x
D) 7 E) 8
–∞ 8 10 +∞
x
10 10. Indique cuántos elementos enteros tiene el intervalo:
–∞ 2 +∞
–1/2, 4
calcule m2.
A) 3 B) 5 C) 6
A) 11 B) 100 C) 81
D) 4 E) 2
D) 1 E) 121
x
–∞ –1 5 +∞
calcule a3.
A) 27 B) 3 C) 4
D) 5 E) 9
265
Álgebra
23
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Reconoce e identifica una inecuación.
• Resuelve una inecuación de primer grado.
Estrategias motivadoras
SABÍAS QUE...
=
603 602 601 600
1 10+1 50–3= 47 40–2= 38
266
Álgebra
Crucigrama
Ubique los números 2, 5, 6 ó 9 utilizando los signos más (+) o menos (–) de tal manera que el resultado sea el dado en cada
fila y columna. Los cálculos son de derecha a izquierda, y de arriba hacia abajo.
9 + = 12
9 – = 18
+ = 18
9 = 22
= = = =
18 10 18 12
Organizador visual
INECUACIÓN
Inecuación de primer
grado con una incógnita
Desigualdad
Propiedades
Resolución de una
inecuación de primer
grado
267
Álgebra
Es aquella relación de orden que se establece entre dos Dados dos números reales a y b.
cantidades “reales”.
⇒ b es menor que a si y sólo si b está ubicado a la
Su representación se da mediante los símbolos: izquierda de a en la recta numérica.
Ejemplos
Luego la nomenclatura a emplear es:
–2 5
Ley de la tricotomía
Dados dos números reales a y b entre ellos será posible Porque 5 está ubicado a la derecha de –2 o
establecer una y sólo una de las siguientes relaciones: también:
5 > –2 ⇔ 5– (–2) > 0 (la diferencia debe ser
a >b ∨ a =b ∨ a<b positiva)
7 > 0 (cumple)
–10 –3
Si se tiene: Porque –10 está ubicado a la izquierda de –3 o
a ≥ b, que se lee: “a es mayor o igual que b”. también:
a ≤ b, que se lee: “a es menor o igual que b”. –10 < –3 ⇔ –10–(–3) < 0 (la diferencia debe ser
negativa)
–10 + 3 < 0
Se cumple:
–7 < 0 (cumple)
• a ≥ b ⇔ a > b ∨ a = b
Propiedades generales de las desigualdades
• a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b
Sean a, b y c tres números reales:
268
Álgebra
ax + b < 0
a ⋅m < b⋅m
⇒ Donde:
a < b
m m • a≠b y a, b son números reales.
• x es la incógnita.
El sentido de la desigualdad si cambia.
• a y b son coeficientes.
Ejemplos
⇒ ax > – b
En la recta real:
b
⇒ x > –
⇒ Se observa 10>–15 a
–15 2 10
Luego el conjunto solución CS es:
2. Si 5 > –8 ∧ m=2 (número positivo).
⇒ ax < – b
3. Si 10 > –2 m=5 (número positivo).
Es una desigualdad condicional de dos expresiones reales, 2) Si hubiese fracciones en la inecuación reducirlos a
es decir, aquella relación que se verifica sólo para ciertos través de un común denominador.
valores de sus incógnitas. 3) Reunir las incógnitas en un miembro y los términos
Inecuación de primer grado (Inecuación lineal) que no están afectados por ella en el otro miembro.
Son aquellas que al reducir las expresiones toma una de las 4) Reducir los términos semejantes.
formas siguientes: 5) Despejar luego la incógnita.
269
Álgebra
x ≥ –3
x + x – 1 + 5 ≥ 2x + 1 – x
2 3 6 En la recta numérica:
Resolución
CS= –3, +∞
⇒ 6 x + x – 1 + 5 ≥ 6 2 x + 1 – x
2 3 6
⇒ 3x + 2x – 2+30 ≥ 2x+1 – 6x
⇒ 5x + 28 ≥ –4x+1
Resolución A) –1 B) –2 C) 2
x2 –x–20 ≤ x2 – 4 –20 D) 4 E) 3
–x–20 ≤ –24
–x ≤ –4 Resolución
x≥4
x2–x–6 > x2+5x+4
∴ CS= 4; +∞
–x–6 > 5x+4
Rpta.: E
–10 > 6x
2. Resuelva:
x< – 10
3x – 4 + x ≥ 5x + 2 6
4 2
A) 8, +∞ B) 4, +∞ C) –3, +∞
D) –8, 8 E) 8, +∞
–3 –2 –5 +∞
3
270
Álgebra
ÁLGEBRA - I
1. Resuelva 2x–5<x+6.
13. Resuelva 2 x – 5 ≥ x + 10 .
Rpta.: –∞, 11 3 3
Rpta.: 7, +∞
2. Resuelva 3x+5<2x+9.
14. Resuelva 5x–2 ≤ x –1.
Rpta.: –∞, 4 2
Rpta.: –∞, 2/9
3. Resuelva 2x–6>3x–2.
15. Resuelva:
Rpta.: –∞, –4 x +5 ≥ x +9
2 3
4. Resuelva 5x – 12<6x– 8.
Rpta.: 24, +∞
Rpta.: –∞, –4
16. Resuelva:
5. Resuelva –3x+8+4x<7x–10. x –2 ≤ x +3
Rpta.: 3, +∞ 4 12
Rpta.: –∞, 30
6. Resuelva –2x+4+5x>7x–12.
Rpta.: –∞, 4
3x–14 ≤ 7x–2
Rpta.: –4, +∞
5x–3 ≤ x+5
Rpta.: –∞, 2
Nivel II
9. Resuelva 2(x–3)<3(x+1).
Rpta.: –9, +∞
Rpta.: –∞, 10
Rpta.: 8, +∞
271
Álgebra
A) 2, +∞ B) –2, +∞
C) –5, +∞ D) –∞, 5 10. Resuelva:
E) 5, +∞ x+x+1≤ x+5
2 3 6 6 6
4. Resuelva:
A) 48, +∞ B) –∞, 1
4x+9–3x ≤ 3x–3
C) –∞, 2 D) –∞, –1
A) –6, +∞ B) –∞, 6
E) –∞, –2
C) 6, +∞ D) –∞, 6
E) –6, 6
DESAFÍO
Nivel II
11. Resuelva:
5. Resuelva 4(x+5) ≥ 6(x–1). x + x – 4 ≥ 3x – 1
A) –∞, 13 B) –∞, 13 2 3 4
C) –13, +∞ D) 12, +∞ A) –4, +∞ B) 4, +∞
E) 13, +∞
C) –∞, 4 D) 4, +∞
A) –∞, 4 B) –∞, 4
C) –∞, –4 D) 4, +∞ 12. Resuelva:
E) 4, +∞ 2x – 1 + 3 x – 2 ≤ 2x + 1 + 2
5 6 4 3
7. Resuelva la inecuación x–2+17x+13 ≥ 3x–9+20x
A) –17, +∞ B) 4, +∞
A) –∞, –4 B) –∞, 4 C) –∞, –17 D) –∞, 17
C) –4, +∞ D) –∞, 4 E) –∞, 2
E) 4, +∞
272
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
E) 4
2. Resuelva 8x+2 ≥ 6x+12
A) 3, +∞ B) 5, +∞
C) –5, +∞ D) –5, +∞ 8. Resuelva:
E) 5, +∞ 2(x+4)–(x–2) ≤ 2x–8
A) 18, +∞ B) 18, +∞
3. Resuelva 3x–7 ≤ 4x+1.
C) –∞, –9 D) –∞, 9
A) 4, +∞ B) –∞, 3
E) –∞, 9
C) –8, +∞ D) 3, +∞
E) 8, +∞
9. Resuelva:
4. Resuelva –2x+7+3x>–4+2. x +3 > x –7
4 2
A) –9, +∞ B) 9, +∞
C) –∞, 9 D) –∞, 9
A) –∞, 41 B) –∞, 40
E) 9
C) 40, +∞ D) –∞, 39
–3x+8+5x ≤ 7x–7
A) 3, +∞ B) 7, +∞ 10. Resuelva:
C) –∞, –7 D) –3, +∞
5x – 3 > x + 2
E) 3, +∞ 4 3
A) –∞, 4 B) –∞, –4
6. Resuelva la siguiente inecuación:
60
C) , +∞ D) –∞, 4
2(x+4) < x+10 11
A) –∞, 3 B) 2
C) –∞, 2 D) –∞, 3 E) 60 , +∞
11
E) –∞, 4
273
Álgebra
ÁLGEBRA - II
Nivel II
274
Álgebra
Nivel I 7. Resuelve a – 4 ≤ 3a + 2 .
4 5
1. Resuelva 3x+5>4x–8.
A) 3, +∞ B) –3, +∞
C) –∞, 1 D) 3, +∞ 9. Resuelva 3 x – 9 ≤ x + 1 .
2 4
E) 3, +∞
A) 8, +∞ B) 8, +∞
4. Halle el conjunto solución de la inecuación sabiendo
C) –∞, 8 D) –∞, 18
que pertenece al conjunto de los números naturales.
E) –∞, 8
3(x–6) < 2(x–5)
A) {0, 1, 2, 3,... 7}
10. Resuelva x + 1 + x – 1 ≤ 1 , luego indique la suma de
B) {0, 1, 2, 3,... 8} 3 2
C) {0} los valores enteros positivos que toma x.
D) {8} A) 1 B) 2 C) 3–2
E) {–8, –7, –6, ... 8} D) 4 E) 5
Nivel II
DESAFÍO
5. Luego de resolver la inecuación, indique el mayor
11. Resuelva (x–1)2–7>(x–2)2.
valor entero de x.
A) x>5 B) x<5 C) x ≥ 5
2(x–5)+3(x–2) > 8
D) x ≥–5 E) x<–5
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 D) 6 E) –6
275
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
E) 14 , +∞
5 7. Resuelva x – 1 ≥ 2 x – 1 .
2 7
2. Resuelva 3x+2x+7<4x–2.
A) 5/2, +∞ B) –∞, 2
A) –∞, 6 B) –∞, 7
C) –∞, 5 D) –5, +∞
C) –∞, 8 D) 9, +∞ E) 5/3, +∞
E) –∞, –9
8. Resuelva 3 x < x + 1 .
4 7
3. Resuelva 3(x–2) > 2x+4.
A) –∞, 2 B) –∞, 2
A) 10, +∞ B) 10, +∞
C) 2, +∞ D) –∞, 1/2
C) –10, +∞ D) –10, 0
E) –∞, 1
E) –10, +∞
C) 5/7, +∞ D) –∞, 7 A) 7 B) –5 C) 5
E) 5/7, +∞ D) 6 E) –11
276
Álgebra
RELACIONES Y FUNCIONES
24
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
• Reconoce una función mediante su definición y en forma práctica.
• Aplica la idea de función en su contexto diario.
Estrategias motivadoras
Si expresamos algunas funciones matemáticas podemos obtener un comportamiento fractal, donde una forma se repite mientras
va aumentando de tamaño. Una artista que conoce bien este tipo de comportamientos matemáticos en su versión artística es
la alemana Karin Kuhlmann (fotógrafa profesional y de diseño gráfico), a quien pertenece el cuadro que preside este post y que
lleva el bombre de Oktopus (Fraktal Bild).
Crucigrama de Hipatia
El crucigrama que aquí encontrarás fue hecho pensando en una de las más grandes matemáticas de la
historia: Hipatia de Alejandría. Ella vivió toda su vida en la ciudad de Alejandría que está en Egipto;
nació en el año 370 y murió en el 415. Desde muy joven investigó y enseñó prácticamente todas las
ramas de las matemáticas, por eso, para recordarla, te proponemos que completes este crucigrama
resolviendo problemas de aritmética, geometría y lógica.
Hipatia
277
Álgebra
Horizontales Verticales
1. Beatriz es 8 cm más alta que Jaime. Toña es 12 1. ¿Cuántos cuadrados hay en este dibujo?
cm más baja que Beatriz. Jaime mide 1 metro y 25
cm. ¿Cuánto mide Toña? (La respuesta debe ir en
centímetros).
c) 1 < 1 d) 3 > 1
9 7 4 2
e) 7 × 9 = 63 f) 0,001×0,1= 0,11 A
5 3 15 36º 80º
278
Álgebra
1 2 4
3 6
7 8
12 9
10 11
Organizador visual
FUNCIONES
“A cada elemento del dominio le
corresponde un único elemento del
rango”.
Plano cartesiano
Relaciones binarias
Dominio
Diagrama
sagital
Rango
Gráfica de una
relación
Relaciones y
funciones
279
Álgebra
RELACIONES BINARIAS
En el transcurrir de cada día a través del lenguaje cotidiano, Es un conjunto de dos elementos tal que a uno de ellos
es frecuente el uso de las frases como: se considera el primer elemento y al otro el segundo
elemento.
“respecto a”,
“depende de”, Si los elementos son a y b, el par ordenado se presenta por
“está en relación con”, (a, b).
“es menor que”,
Luego:
“es igual a”, etc. , es decir, son frases que significan
nexo, enlace, correspondencia, etc., entre dos
(a, b)
objetos.
segunda componente
Por ejemplo
primera componente
• Luis depende de sus padres.
• 10 es igual a 2+8.
R: A → B (Eje Y)
Y
Se lee, “R es una relación de A en B” y su gráfica se ilustra
así:
A B
París • • Francia
Tokio • • España
• Alemania X
Madrid •
• Italia (Eje X)
280
Álgebra
A={1,3} y B={4, 5, 6}
Resolución
A × B={(1, 4); (1, 5); (1, 6); (3, 4); (3, 5); (3, 6)}
A= {–1, 0, 1, 2, 3} y B= {1, 2, 3}
B ⇒ n(A)=5 ∧ n(B)=3
6 ∴ n(A×B)= 5·3= 15
5
4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN PRODUCTO
CARTESIANO
A={2, 4, 6}
B × A={(4, 1); (4, 3); (5, 1); (5, 3); (6, 1); (6, 3)} B={3, 7}
B
Propiedades
1. A×B≠ B×A 7
(2, 7) (4, 7) (6, 7)
2. A×B= B×A ⇔ A= B
3
3. n(A×B)= n(A)·n(B) (2, 3) (4, 3) (6, 3)
Ejemplo:
A×B={(2, 3); (2, 7); (4, 3); (4, 7); (6, 3); (6, 7)}
1. Dados los conjuntos:
A = {2, 4, 6}
Diagrama del árbol
B = {a, b}
Sean los conjuntos:
halle A×B y B×A
A={1, 3, 5} y B={a, b, c}
Resolución
A×B={(2, a); (2, b); (4, a); (4, b); (6, a); (6, b)} A×B={(1, a); (1, b); (1, c); (3, a); (3, b); (3, c); (5, a);
B×A={(a, 2); (a, 4); (a, 6); (b, 2); (b, 4); (b, 6)}
281
Álgebra
a (3, a)
3 b (3, b)
c (3, c)
Si A×B tiene n elementos entonces existen 2n
a (5, a) subconjuntos contenidos en A×B en consecuencia
5 b (5, b)
tendrá 2n relaciones.
c (5, c)
1. Calcule la relación R.
⇒ A es el conjunto de partida
Resolución
B es el conjunto de llegada
Cálculo de A×B:
A×B = {(1, 2); (1, 7); (2, 2); (2, 7); (3, 2); (3, 7)}
Tener presente que en una relación se tiene:
1. un conjunto de partida
En la relación:
2. un conjunto de llegada
R={(x, y)/(x, y) ∈ A×B con x+y<8}
3. una regla de correspondencia
Se tiene:
282
Álgebra
de los pares ordenados que conforman el producto cartesiano 2. Sean los conjuntos:
A×B para que sean elementos de la relación R. A = {2, 3, 4, 5, 7}
B = {a, b, c, d}
Así tenemos: R = {(1, 2); (2, 2); (3, 2)}
Se tiene una relación de A en B.
Dado que:
Si (1, 2) ⇒ 1+2<8
Cumplen la condición: R
Si (2, 2) ⇒ 2+2<8 A B
Si (3, 2) ⇒ 3+2<8 x+y<8
2
a
3
Dominio de R: Dom(R)= {1, 2, 3} b
4
c
5
Rango de R : Ran(R)= {2} d
7
Conjunto de Conjunto de
Representación gráfica de una relación partida llegada
La representación gráfica de una relación permite visualizar R={(3, a); (3, b); (4, a); (5, b)}
claramente las condiciones de las componentes de los pares
ordenados.
3. Diagrama cartesiano:
1. Diagrama sagital
De la definición de una relación R del conjunto A al B
A×B
conjunto B; R: A → B ; el conjunto A se llama conjunto 7
de partida y el conjunto B de llegada.
R
R 2
A B
1 2 3 A
x y
Se observa que:
R es un subconjunto del producto cartesiano A×B,
Conjunto de Conjunto de
partida llegada R⊂A×B.
FUNCIONES
Ejemplo
Definición
1. Dados los conjuntos:
A={1, 2, 3} y B={2, 7} Dados dos conjuntos A y B no vacíos, una función f se define
como aquella correspondencia f: A→B que asigna a cada
R elemento x∈A a lo más un elemento y∈B. Luego podemos
decir que si para x∈A existe un y∈A , éste es único; entonces
A B si (x, y)∈f se tendrá que y es la IMAGEN de x a través de f
lo cual se denota: y=f(x), simbólicamente:
1•
•2
2•
•7 f={(x, y) ∈ A×B/ y=f(x)}
3•
283
Álgebra
Un conjunto f de pares ordenados (x, y) tomados Toda función es una relación, pero no toda relación es
de A×B se denomina función f de A en B si y sólo una función.
si dos pares distintos no tienen la misma primera.
componente.
Ejemplo
m+1= 8 ∧ n+2= 5
f
m= 7 ∧ n= 3
A B
4 ∴ m+n= 10
1
5
2
6
3 7
f ={(1, 6); (2, 4); (3, 5)} No deben existir 2 o más pares ordenados diferentes con
el mismo primer elemento.
2. g representa una función ya que el conjunto A tiene su En caso exista de acuerdo a la definición, los componentes
correspondiente en B. tendrán que ser iguales, sino es así entonces no es función
g simplemente será una relación.
A B
1 Regla de correspondencia
3
2 Es la relación que existe entre los elementos del dominio y
4
3 los del rango.
Sea f: A → B, entonces:
g={(1, 4); (2, 3)}
y = f(x)
284
Álgebra
x y= x2+1
Resolución 2 5 → (2, 5)∈ f
a. La función f está formada por los pares ordenados (x, y) 4 17 → (4, 17)∈ f
donde x∈A e y∈B tal que satisfacen la condición: 6 37 → (6, 37)∈ f
c. Diagrama sagital:
Ejemplo:
f
A B f(5)=52
•1 f(4)=42
1•
•3
4• f(3)=32
•5
6• •9
f
Conjunto de Conjunto de A B
partida llegada
5 9
4 16
2. Dados los conjuntos:
3 25
A= {2, 4, 6}
B= {3, 5, 17, 37, 40} Conjunto de Conjunto de
partida llegada
halle:
a. f: A → B/y= x2+1 Entonces: f(x)= x2; x ∈ {3, 4, 5}
b. Dominio y rango de f
Función real de variable real
c. Su diagrama sagital
Sea f: A→B diremos que f es una función real de variable
Resolución real, si A, B son subconjuntos de los reales, es decir, A ⊆
∧ B⊆ .
a. Como: y= x2+1
285
Álgebra
Dom(f)= ∧ Ran(f)= X
x y= f(x)= 2x+1
es función
0 1
–1 0
2 Y
Y
y= 2x+1
X
– 1 , 0 (0, 1)
2
X
es función
X
Si f: → , entonces toda recta paralela al eje Y corta
a la gráfica a lo más en un punto, dicha gráfica será la
representación de una función. no es función
286
Álgebra
ÁLGEBRA - I
1. Determine el valor de a+b si se cumple que: H= {(3, 4); (4, 6); (5, 6); (6, 7)}
8. Halle el rango de P.
3. Del siguiente diagrama:
P= {(3, 4); (5, 4); (2, 7); (8, 7)}
Rpta.: {4, 7}
H
A B
Nivel II
1 a
9. Sabiendo que:
3 b
F= {(2, a); (5, b); (7, a); (9, c)}
5 c
es una función, determine su dominio y rango.
Q= {(3, a); (7, b); (5, b); (9, c); (1, d)}
R
A B es una función, determine su dominio y rango.
6 p
11. Dados los conjuntos:
A= {2, 4, 6}
B= {1, 3, 5}
halle los pares ordenados de las relación de A en B.
¿cuáles de las siguientes relaciones son funciones?
Rpta.: {(2, m); (2, p); (4, n); (6, p)}
R1= {(2, 1); (4, 3); (6, 5)}
5. Halle el dominio de F. R2= {(2, 1); (4, 5); (2, 5); (6, 3)}
R3= {(4, 1); (4, 3); (4, 5)}
F= {(1, 2); (2, 2); (3, 3); (4, 5); (5, 7)}
R4= {(2, 5); (4, 3); (6, 1)}
Rpta.: {1, 2, 3, 4, 5} Rpta.: R1 y R4
287
Álgebra
12. Dados los conjuntos: 14. De las siguientes gráficas, indique cuáles no representan
una función.
A= {3, 6, 7}
B= {9, 10, 8}
Y
¿cuáles de las siguientes relaciones son funciones?
A)
R1= {(3, 8); (6, 10); (7, 9)}
R2= {(3, 9); (6, 10); (3, 10)}
R3= {(7, 9); (6, 10); (3, 8)} X
R4= {(6, 8); (3, 9); (6, 10)}
Rpta.: R1 y R3
Y
Nivel III
B)
13. De las siguientes gráficas, indique cual no representa
una función.
X
A) Y
C)
X
X
B)
Y
X D)
X
Y
C)
Rpta.: C y D
X
15. Indique el valor de a+b+c en la siguiente función:
F= {(0, 5); (1, –2); (0, a+1); (5, –3); (1, b+c)}
Rpta.: 2
Y
Q= {(2, 7); (3, –4); (2, a+2); (4, 8); (3, b+c)}
X
Rpta.: 1
Rpta.: A y D
288
Álgebra
A) Dom(F)= {3, 7}
halle los pares ordenados de la relación de A en B.
Ran(F)= {a, b, c}
A) R= {(1, 6); (1, 8); (2, 4); (3, 6)} B) Dom(F)= {3, 7, 8, 5}
B) R= {(1, 6); (1, 8); (2, 6); (3, 4)} Ran(F)= {a, b}
C) R= {(1, 6); (1, 8); (1, 4); (4, 3)} C) Dom(F)= {3, 7, 8}
D) R= {(4, 2); (6, 1); (6, 8); (6, 3)} Ran(F)= {a, c, b}
E) R= {(6, 1); (8, 1); (4, 2); (6, 3)} D) Dom(F)= {3, 5, 7, 8}
Ran(F)= {a, b, c}
3. Halle el dominio de F. E) Dom(F)= {3, 5, 7}
F= {(2, 3); (3, 4); (5, 4); (7, 3)} Ran(F)= {a, c}
A) {3, 4, 5, 6, 7} A) R1 B) R2 C) R3
B) {2, 5, 6} D) R1 y R2 E) R2 y R3
C) {5, 6, 7}
D) {2, 5, 6, 7}
E) {3, 4, 5, 6} Nivel III
5. Sabiendo que: N= {(9, 1); (2, 3); (9, a); (5, –4); (2, 3b–3)}
F= {(3, 1); (2, 4); (4, 6); (5, 1); (6, 5)} A) –1 B) –3 C) 1 D) 3 E) 4
es una función, determine su dominio y su rango. 9. Halle el valor de a+b en la siguiente función:
A) Dom(F)= {2, 3, 4, 5, 6} Q= {(3, 7); (2, 9); (3, 1+b); (4, 5); (2, a–1)}
Ran(F)= {1, 4, 5, 6}
A) 10 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18
289
Álgebra
Y
11. Calcule f (2) + f (3) , a partir del siguiente diagrama
f (1)
A) sagital, donde f es función de A en B.
f
A B
X
1 16
2 8
3 4
Y
B)
A) 2 B) 6 C) 12
D) 4 E) 24
X
12. Si f= {(2, 6); (5, 8); (6, 7); (3, 8)}, calcule f (5) + f (3) – f (6).
f (2) – 3
A) 1 B) 3 C) 6
D) 9 E) 12
Y
C)
D)
A) A y B B) B y C C) A y C
D) B y D E) A, B y C
290
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
A) 7 B) 6 C) 5 A) {5, 3, 6}
D) 3 E) 4 B) {10, 17, 37}
C) {10, 17}
2. Determine el valor de m+n si se cumple que: D) {3, 4, 37}
E) {10, 17, 6}
(3m–2, 11)= (7, n–2)
A) 1 B) 18 C) 20 6. Halle el rango de P.
D) 2 E) 16
P= {(5, 6); (3, 6); (4, 9)}
halle los pares ordenados de la relación A con B. es una función, determine su dominio y rango.
A) {(2, a); (5, d); (7, b)} A) Dom(M)= {3, 4, 5}; Ran(M)= {a, b, c}
B) {(3, a); (d, 5); (7, b)} B) Dom(M)= {3, 4, b}; Ran(M)= {a, b}
C) {(a, 2); (d, 5); (b, 7)} C) Dom(M)= {3, 4}; Ran(M)= {b, c}
D) {(2, a); (5, d)} D) Dom(M)= {3, 5}; Ran(M)= {b}
E) {(7, b); (5, d)} E) Dom(M)= {3, 5}; Ran(M)= {c}
291
Álgebra
9. De las siguientes gráficas, indique cuál no representa 10. Indique el valor de a+b en la siguiente función:
una función.
M= {(1, 7); (2, 13); (1, b–4); (2, 2a–1)}
Y
A) 17 B) 15 C) 14 D) 18 E) 13
A)
Y
B)
C)
Y
D)
292
Álgebra
ÁLGEBRA - II
1. Halle los pares ordenados de la relación A en B. M= {(2, 3); (1, 4); (5, 8)}
5 8 f
A B
1 a
Rpta.: {(3, 9); (5, 8); (5, 7)} 2 b
3 c
2. Halle los pares ordenados de la relación de A en B.
4 d
5 7 Q
A B
6 x
Rpta.: f= {(1, 5); (2, 2); (5, 7)} 7 w
8 y
3. Determine la suma de los elementos del dominio y el
9 z
rango de H.
293
Álgebra
calcule:
f (1) + f (5) + f (7)
M=
f (3) – f (1)
Rpta.: 3
294
Álgebra
Nivel I Nivel II
H= {(1, 2); (2, 6); (3, 7); (4, 6)} 6. Dada la función:
A) 4 B) 6 C) 16 D) 8 E) 12 7. Dado el diagrama:
295
Álgebra
D) f(a)= a f(b)= b f(c)= c f(e)= e f= {(3, 16); (n, 5); (4, 7); (3, n2)}
E) f(a)= 1 f(b)= 2 f(c)= 5 f(e)= 0 A) –4 B) 4 C) 3
D) –3 E) 1
9. Halle el valor de a+b+c en la siguiente función:
12. Halle el valor de a+b2 en la siguiente función:
f= {(0, 8); (7, –5); (4, –9); (0, a+2); (7, b+c)}
f= {(–7, 2); (47, a+5); (3, 6); (4, –10); (–7, 4b)}
A) 10 B) 14 C) 15
A) –60/4 B) –59/4 C) 21/4
D) 16 E) 18 D) –59/2 E) 59/4
f(m)= ___
f(n)= ___
f(p)= ___
296
Álgebra
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Profesor : ____________________________________________________________________
A) 9 B) 8 C) 10 D) 4 E) 6 8. Si H es una función:
H= {(4, 6); (5, 15); (4, m–1); (5, 3p)}
4. Dada la función:
indique el rango de R.
M= {(3, 7); (4, 9); (5, 7)}
A) {6, 4} B) {6, 15, –1} C) {m–1, 3p}
determine la suma de los elementos del dominio D) {6, 15} E) {6, 15, m–1, 3p}
menos la suma de los elementos del rango.
indique el rango de M.
5. En el siguiente diagrama, calcule las imágenes
A) {4, 8} B) {4, 13} C) {53, –1}
respectivas.
__ D) {5, 53} E) {5, 50}
f
A B
__ 10. Sea A el conjunto de partida y B el conjunto de
m• •–3 llegada: A={0, 3, 4, 5} B={5, 14, 17, 11}
__
n• •4 y la función f: A → B, tal que y= 3x+2.
Halle su dominio y su rango.
p• •7
A) Dom(f)= {3, 4} Ran(f)= {11, 14}
B) Dom(f)= {0, 3, 4, 5} Ran(f)= {5, 14, 17, 11}
f(m)= ____ f(n)= ____ C) Dom(f)= {0, 3, 4} Ran(f)= {5, 14, 17}
D) Dom(f)= {0, 4, 57} Ran(f)= {5, 17}
f(p)= ____
E) Dom(f)= {3, 4, 5} Ran(f)= {11, 14, 17}
297
Álgebra
AUTOEVALUACIÓN I AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4 1 2 3 4
A A - C A B E C
5 6 7 8 5 6 7 8
E A A E B A D E
9 10 11 12 9 10 11 12
E A A E B B B A
AUTOEVALUACIÓN II AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4 1 2 3 4
A B B E A E E A
5 6 7 8 5 6 7 8
B D C A B C A B
9 10 11 12 9 10 11 12
C C C A B A A C
CLAVES CAP. 24
AUTOEVALUACIÓN I
1 2 3 4
C A A B
5 6 7 8
A D B D
9 10 11 12
D A B B
AUTOEVALUACIÓN II
1 2 3 4
A B A A
5 6 7 8
C B A B
9 10 11 12
E B A B
298