GD MATE1 ESO MEC Binario 01 Libro Con Sol
GD MATE1 ESO MEC Binario 01 Libro Con Sol
GD MATE1 ESO MEC Binario 01 Libro Con Sol
Matemáticas I
Objetivos didácticos
• Potencias de exponente natural: cálculo, operaciones y propiedades.
• Conocer los números naturales y los enteros, su ordenación y repre-
• Raíces cuadradas: cálculo por tanteo.
sentación gráfica.
• Operaciones combinadas con potencias y raíces.
• Dominar las operaciones elementales con números naturales y ente-
ros, tanto las más sencillas como las combinadas, con uso de parén- • Utilización de estrategias y técnicas simples en la resolución de pro-
tesis, potencias y raíces. blemas aritméticos sencillos.
• Calcular potencias de exponente natural y base natural o entera, y uti- • Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los pro-
lizar las propiedades de las operaciones con potencias para obtener un blemas.
resultado óptimo.
• Calcular por tanteo raíces cuadradas exactas o enteras de números
pequeños.
• Aplicar los conocimientos sobre los números naturales y los enteros Adquisición de las competencias básicas
para resolver problemas sencillos de tipo aritmético sobre la vida co-
tidiana. 1. Competencia en comunicación lingüística
• Resolver problemas de enunciado sobre la vida cotidiana en que se
utilicen las operaciones elementales con números naturales y enteros.
• Utilizar de manera correcta los cardinales y los ordinales tanto en el
Criterios de evaluación lenguaje oral como en el escrito.
• Utilizar los números naturales y los enteros, sus operaciones (suma, 2. Competencia matemática (desarrollada a lo largo de toda la
resta, multiplicación, división, potencias y raíces) y propiedades para materia)
recoger, transformar e intercambiar información.
3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo
• Valorar la competencia en el uso de operaciones combinadas como físico
síntesis de la secuencia de operaciones aritméticas.
• Aplicar los números enteros a la representación de cantidades de
• Resolver problemas para los que se precisa la utilización de las cuatro nuestro entorno.
operaciones con números naturales y enteros valorando la adecuación
4. Tratamiento de la información y competencia digital
del resultado al contexto.
• Usar la calculadora como elemento motivador para la realización de
operaciones una vez que las hayan afianzado sobre el papel.
5. Competencia cultural y artística
Contenidos • Conocer los sistemas de numeración de otras culturas y épocas como
la romana y la maya.
• Sistemas de numeración romano y maya.
6. Competencia para aprender a aprender
• Nuestro sistema de numeración: posicional y decimal.
• Elegir el método óptimo en tiempo y dificultad para realizar opera-
• Números cardinales y ordinales.
ciones con números naturales y enteros, aplicando las propiedades
• Números naturales: ordenación y operaciones elementales con sus distributiva y de factor común o las propiedades de operaciones con
propiedades. potencias.
• Números enteros: representación gráfica, valor absoluto, ordenación 7. Autonomía e iniciativa personal
y operaciones elementales con sus propiedades.
• Ser perseverante y flexible en la búsqueda de soluciones a los pro-
• Operaciones combinadas con números naturales y enteros. blemas.
4
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:46 Página 5
Recursos didácticos
Competencias
4. En el Congreso hay 162 diputados del partido A, 141 del B, 38 del C y 9 del D. Si en una votación
C1 Unidad 1 Números naturales y enteros
la mayoría absoluta se logra con la mitad más uno, ¿cuántos diputados es necesario que voten en
el mismo sentido para alcanzar la mayoría absoluta?
Competencias Nota
Nombre: básicas
Fecha: Grupo:
6. Para realizar sumas y restas podemos agrupar los números que tengan el mismo signo y luego res-
θ 90 ψ 900 Φ
le resulta más sencilla.
tarlos o ir operando en el orden en el que están escritos.
d) Mi equipo de fútbol está el quince de la liga. Realiza las siguientes sumas y restas de las dos formas y comprueba que se obtiene el mismo resul-
tado.
a) 5 – 3 + 7 + 2 – 6
e) Kennedy fue el treinta y cinco presidente de EE. UU.
b) 13 – 18 + 6 – 9 + 11
2. Los salmones ponen 20 000 huevos a la vez. Si de ellos llegara a la edad adulta la décima parte, de
los cuales la mitad son hembras, ¿cuántos huevos en total pondrían dichas hembras?
c) –6 + 13 + 1 – 14 – 7
d) –8 + 11 – 6 – 2 + 25
3. Los ordenadores usan el sistema de numeración binario que sólo utiliza el 0 y el 1. Ayúdate del
ejemplo para pasar de binario a decimal los números 11001 y 10011.
7. Completa cada símbolo con una cifra para que las operaciones estén realizadas correctamente.
Para pasar el número binario 10110 a decimal, multiplicamos las unidades por 1, las decenas por
3 ◊䊐
䊐3 䊊 3
2, las centenas por 4, etc., y sumamos todos los resultados. 䊐 83 䊊2 3
13 1䊐6
a) 䊊䊐1 b) 3 4 䊊 c) 䊐 d)
2 ◊◊ 1 ◊ 96
1 0 1 1 0 1䊊
⫻ 16 ⫻8 ⫻4 ⫻2 ⫻1 70 䊊
0
16 ⫹0 ⫹4 ⫹2 ⫹0 ⫽ 22
1 2
Refuerzo
9. Completa la siguiente tabla:
R1 Unidad 1 Números naturales y enteros
Dividendo Divisor Cociente Resto
Refuerzo Nota 3 942 27
Nombre:
Fecha: Grupo:
13 206
85 23
41
7
4 Con esta ficha se pretende que el alumnado afiance los contenidos más bá-
10. Representa los siguientes números enteros en una recta y ordénalos de mayor a menor:
1. a) Escribe según la numeración romana los números 58, 94, 276, 1 639.
8, –5, 7, 2, –3, –6, 0, 1, 4, –2 sicos de la unidad con ejercicios breves y sencillos que proporcionan las pau-
b) Escribe los números correspondientes a LXVI, CXXIV, DCLXXXII, MCCCXLVIII.
11. Realiza las siguientes operaciones:
a) 5 + (–6) + 8 – (–3) e) –3 + (–2) – (–5) + 6
tas de los procedimientos para que, posteriormente, puedan intentar realizar
2. Escribe la posición que ocupa la cifra 7 en cada número siguiente:
a) 38 752
b) 4 378
c) 67 385
d) 71 426
b) |–7| + |–1| + |3|
c) (–6) · (–13)
f) |–9 + (–2)|
g) –42 : (–7)
otros ejercicios más complejos.
d) 48 : (–16) h) 1 428 · (–3)
3. Escribe los números siguientes:
12. Realiza las siguientes operaciones:
a) 7 unidades de mil, 3 centenas, 2 decenas, 5 unidades
a) 3 + (–2) · 7 – 3 · (–2)
b) 8 decenas de mil, 4 unidades de mil, 9 centenas, 6 decenas, 1 unidad
b) (–3 + (–2) – 7) : (–4 + 10)
c) 3 centenas de mil, 2 unidades de mil, 5 centenas, 7 unidades
13. Calcula el resultado de las siguientes potencias:
4. Escribe cómo se leen los ordinales siguientes:
a) 83 c) 63 e) 20
a) 18º c) 143º
b) (–2)4 d) (–3)5 f) (–10)3
b) 56º d) 682º
14. Expresa en forma de una única potencia.
5. Completa con < o >.
a) 35 · 37 c) 142 : 72 e) (32)4 : 35
2 7 3 5 18 9 36 62
b) (43)2 d) 57 : 53 f) 67 : (63 · 62)
28 19 34 43 50 48 173 137
15. Completa las siguientes tablas:
6. Realiza las siguientes operaciones:
冑144 冑289 冑676 冑229 冑450 冑928
a) 32 527 + 6 238 – 27 405 d) 4 225 – 38 410 + 34 426
Raíz exacta Raíz entera
b) 483 · 26 e) 623 975 : 25 Resto
c) 3 852 : 6 f) 928 · 34
16. Calcula.
c)冑25 · 23 – (3 + 2)2
7. Aplica la propiedad distributiva para obtener el resultado de las siguientes operaciones:
a) 3 · 52 – 43
d)冑169 ⫺ 25 ⫹ 冇 冑169 ⫺ 冑25 冈
a) 8 · (5 + 7) b) 6 · (8 – 2 + 3)
b) (20 – 3 · 6)3
8. Saca factor común y calcula.
a) 3 · 5 + 3 · 9 b) 5 · 3 + 5 · 9 – 5 · 4
1 2
Evaluación
6. Realiza las siguientes operaciones de números enteros:
E1 Unidad 1 Números naturales y enteros
a) 冠7冡 冠 3冡 冠6冡 冠5冡
Nombre:
Evaluación Nota b) 冠11冡 冠23冡
5. Calcula: 11.Realiza las siguientes operaciones combinadas con potencias y raíces cuadradas:
a) 3 ⫺ 5 ⫹ 1 a) 32 冠冑25 3 冠5 7冡冡
b) ⫺2 ⫹ 7 ⫺ 5 ⫺ ⫺5 ⫹ ⫺3 b) 冑121 32 冠90 103 190冡2
1 2
Material fotocopiable © Editorial Teide Material fotocopiable © Editorial Teide
MATEMÁTICAS 1.º ESO MATEMÁTICAS 1.º ESO
5
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:46 Página 6
Introducción
10
Notas
6
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:47 Página 7
Sugerencias didácticas
7
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:47 Página 8
Ejemplo
! Ideas clave
Numeración romana
• El sistema de numeración romano es adi-
tivo y no posicional.
1 5 10 50 100 500 1 000
• Utiliza letras que codifican números.
• Tiene agrupaciones de 5 en 5, de 10 en
10, etc.
5 000 10 000 50 000 100 000 500 000 1 000 000
• No permite, por regla general, que se re-
pitan grupos de más de 3 símbolos igua- Numeración maya
les consecutivos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
En tu cuaderno
1. Escribe los números 32, 43, 80, 807 y 2 909 en números romanos.
32 = XXXII
–
2. Traduce a notación decimal el número MMX y el MXX.
3. Escribe en notación decimal el siguiente número romano: MMMMCMXLVIII
12
Notas = Solucionario
8
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:47 Página 9
En tu cuaderno
4. 68 es mayor que 20 y menor que 400, así que usaremos dos líneas. Notas
68 = 3 · 20 + 8, que en numeración maya sería:
9
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:47 Página 10
Ejemplo
14
Notas
10
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:47 Página 11
0
Ejemplo
Observa que:
• Con sólo diez símbolos podemos representar cualquier número por grande que sea.
• Un mismo símbolo tiene distinto significado según la posición en la que se en-
cuentra.
• El cero facilita y simplifica la forma de efectuar las operaciones.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
En tu cuaderno
5. Escribe los números 325, 4 172, 300 245, 273 568 según la numeración romana.
6. Indica la posición que ocupa la cifra 2 en cada uno de los números de la actividad anterior.
15
= Solucionario Notas
–– ––––
5. 325 = CCCXXV; 4 172 = IV CLXXII ; 300 245 = CCC CCXLV;
–––––––
273 568 = CCLXXIII DLXVIII
6. Decena; unidad; centena; centena de mil
11
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:47 Página 12
Ejemplo
Número cardinal 23
Número ordinal vigésimo tercero
• En una tienda reparten números para atender a los clientes. Imaginemos
que nos han dado el número 17, en este caso su cardinal es el dieci-
siete mientras que el ordinal (que indicaría nuestro orden en la cola) es
décimo séptimo.
• Imaginemos que la sucesión a, b, c, d, e, representa el nombre por orden
de llegada de los participantes en una competición. En este caso dire-
mos que el elemento a es el que ha llegado primero, b es el segundo,
c es el tercero, d es el cuarto y el elemento e es el quinto.
16
Notas
12
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:47 Página 13
Ejemplo Actividades
Queremos comparar los números 23 456 y 9 387. para la diversidad
El mayor es el que tiene mayor número de cifras y por tanto: Refuerzo: Ficha refuerzo, unidad 1, ejercicio 5
23 456 es mayor que 9 387
23 456 > 9 387
También podemos escribir:
9 387 es menor que 23 456
9 387 < 23 456
En tu cuaderno
= Solucionario Notas
13
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:47 Página 14
0
Ejemplo
9 3 8 7
9 3 7 8
Son iguales Son iguales 8 es mayor que 7
En tu cuaderno
Notas = Solucionario
8.
Ejemplo
! Ideas clave
Tenemos tres balones de fútbol y nos regalan cinco más, ¿cuántos balones de fútbol tenemos después • Concepto de suma, sumandos y resul-
del regalo? tado.
• Propiedades de la suma: uniformidad,
elemento neutro, conmutativa, asocia-
tiva y monotonía.
+ =
3+5=8
Ejemplo
Tenemos siete canicas y compramos cinco más, ¿cuántas canicas tendremos después de la compra?
+ =
7 + 5 = 12
19
Notas
15
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:47 Página 16
P ro p i e d a d e s d e l a s u m a
• Ley uniforme: Si a los dos miembros de una igualdad se les suma el mismo nú-
mero, resulta otra igualdad.
5=3+2 5+7=3+2+7
• Elemento neutro: Es el cero, ya que al sumarlo con cualquier otro número nos dará
el valor de este número.
0+7=7+0 =7
• Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el valor de la suma.
3+2=2+3=5
• Asociativa: Decimos que una suma de tres o más números cumple la propiedad
asociativa porque podemos sustituir dos o más sumandos por su suma.
2 + 5 + 9 = (2 + 5) + 9 = 2 + (5 + 9) = 16
7 + 9 = 16
2 + 14 = 16
4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4 + 11 + 7 + 8 = 9 + 13 + 8 = 9 + 6 + 15 = 30
• Ley de monotonía: Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma un mismo
número, resulta otra desigualdad del mismo signo.
5 < 7 5 + 4 < 7 + 4 9 < 11
En tu cuaderno
a) 7 + 9
b) 12 + 8
c) 43 + 35
15. Aplica esta propiedad a las siguientes sumas siguiendo el ejemplo:
a) 3 + 7 + 9
b) 12 + 4 + 8
c) 17 + 24 + 31
20
Notas = Solucionario
14.
Operación Sumas Resultado
a) 7+9 7 + 9 = 9 + 7 = 16 16
b) 12 + 8 12 + 8 = 8 + 12 = 20 20
c) 43 + 35 43 + 35 = 35 + 43 = 78 78
15.
Operación Suma orden 1 Suma orden 2 Resultado
a) 3+7+9 3 + 7 = 10; 10 + 9 = 19 7 + 9 = 16; 3 + 16 = 19 19
b) 12 + 4 + 8 12 + 4 = 16; 16 + 8 = 24 4 + 8 = 12; 12 + 12 = 24 24
c) 17 + 24 + 31 17 + 24 = 41; 41 + 31 = 72 24 + 31 = 55; 17 + 55 = 72 72
16
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16. Notas
Resta Posible
a) 9–2 7 Sí
b) 12 – 21 No
c) 14 – 11 3 S
17
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:47 Página 18
Actividades
para la diversidad
22
Notas = Solucionario
19. b) 8 + 8 + 8 8 · 3 = 24
c) 12 + 12 + 12 + 12 12 · 4 = 48
d) 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 4 · 7 = 28
e) 6+6+6+6+6+6 6 · 6 = 36
f) 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 23 · 6 = 138
18
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P ro p i e d a d e s d e l a m u l t i p l i c a c i ó n
• Ley uniforme: Si multiplicamos los dos términos de una igualdad por el mismo nú-
mero, obtenemos otra igualdad.
5=5 5·7=5·7
• Elemento unidad: Es aquel que al multiplicarlo por otro número a, el resultado es
el mismo número a. Se trata del número 1.
3·1=3 27 · 1 = 27 5·1=5 7·1=7
• Propiedad conmutativa: En la multiplicación, el orden de los factores no altera el
valor del producto.
6 · 4 = 4 · 6 = 24
• Propiedad asociativa: El producto de varios factores no se modifica si sustituimos
dos o más de ellos por su producto.
3 · 4 · 5 · 6 = 12 · 5 · 6 = 12 · 30 = 360
• Propiedad distributiva respecto de la suma: El producto de un número por la
suma de dos o más números es igual a la suma del producto de dicho número por
cada uno de los sumandos.
3 · (4 + 5) = 3 · 4 + 3 · 5 = 3 · 9 = 27
En tu cuaderno
21. a) 4 · (3 + 7 + 5) b) 7 · (9 – 2 + 4) c) 5 · (2 + 7 – 3 + 4) Notas
19
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:47 Página 20
Actividades
para la diversidad C u ri o s i d a d
La división puede ser exacta o entera. La operación se representa por uno de los si-
guientes símbolos:
En 1659, el suizo Johann
Refuerzo: Ficha refuerzo, unidad 1, ejercicio 6 Heinrich Rahn inventó
para la división el signo ÷.
Ampliación/Competencias: Ficha compe-
tencias, unidad 1, ejercicios 3 y 8
D i v i s i ó n ex a c t a
Es aquella en la que al multiplicar el divisor por el cociente nos da un número igual
que el dividendo. Esto es equivalente a afirmar que el divisor «cabe» un número
exacto de veces en el dividendo.
Dividendo Divisor
36 4
0 9
Resto Cociente
24
Notas
20
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 21
División entera
Es aquella en la que al multiplicar el divisor por el cociente nos da un número menor
que el dividendo. A la diferencia entre estos dos valores le llamamos resto, que es
distinto de cero y ha de ser menor que el divisor.
Dividendo Divisor
47 5
2 9
Resto Cociente
P ro p i e d a d e s d e l a d i v i s i ó n
• Todo número dividido por 1 da como resultado el dividendo.
• Cero dividido por cualquier número da siempre cero.
• No se puede dividir por el número cero.
P ru e b a d e l a d i v i s i ó n
Una división está bien realizada si se cumple:
dividendo = divisor · cociente + resto
Ejemplo
Tipo de
Dividendo = Divisor • Cociente + Resto división
36 = 9 • 4 + 0 exacta
47 = 5 • 9 + 2 entera
En tu cuaderno
22. Calcula:
a) 86 b) 79 c) 25 d) 197 e) 263 f) 1 463
⫻4 ⫻8 ⫻7 ⫻ 25 ⫻ 28 ⫻ 37
––––– ––––– ––––– ––––– –––––– ––––––
23. Calcula:
a) 129 870 : 5 b) 560 784 : 6 c) 255 996 : 36 d) 876 400 : 25 e) 690 255 : 135
24. ¿Qué número dividido por 1 da 129?
Razona la respuesta.
25
= Solucionario Notas
21
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 22
La representación gráfica de números en- Imagina que vas a comprar a la carnicería de tu barrio. El importe de la
teros en la recta nos puede valer como en- compra es de 13 € pero sólo llevas 10 €. El carnicero te dice que no te
lace para la explicación posterior del orden preocupes, que ya le llevarás los 3 euros que le debes.
de los números enteros.
La operación que ha realizado el carnicero es la siguiente: 10 – 13 = –3
El resultado es un número negativo (faltan, o le debes, 3 €).
! Ideas clave Esta operación no se puede hacer en el conjunto de números naturales
ya que el minuendo debe ser mayor que el sustraendo.
• Los números enteros son una ampliación
de los naturales que surge por la necesi-
dad de efectuar restas en las que el mi- Los números enteros están compuestos por números positivos, el cero y números
nuendo es menor que el sustraendo. negativos.
• Representación gráfica de los enteros. El elemento opuesto de un número entero es el mismo número cambiado de signo.
Veamos ahora una resta que no se puede realizar en el conjunto de los nú-
meros naturales.
–7
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
2 – 7 = –5
Nos situamos en el número 2 y nos desplazamos a la izquierda 7 unida-
des, nos hemos detenido en la casilla marcada con –5, por tanto:
2 – 7 = –5
Fíjate: el cero no tiene signo.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
26
Notas
22
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 23
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
U s o d e l o s n ú m e ro s e n t e ro s e n n u e s t ro e n t o r n o
Los números enteros se utilizan, entre otras muchas cosas, para medir la temperatura.
En un termómetro, los números positivos y negativos aparecen marcados por en-
cima y por debajo del cero. El cero es la temperatura en grados centígrados a la que
funde el hielo.
Ejemplo
En tu cuaderno
25. Toma nota de las temperaturas que indican en la televisión de varias capitales de provincia. Anota las
ciudades con mayor y con menor temperatura.
26. Conéctate a Internet y toma nota de las temperaturas en las capitales europeas. Escribe en tu cua-
derno las ciudades con mayor y con menor temperatura.
27
= Solucionario Notas
23
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 24
futuro plantear la relación entre el valor ab- Valor absoluto de –7. |–7| = 7
soluto y las inecuaciones o las distancias.
Valor absoluto de 6. |6| = 6
La ordenación de números enteros resulta
más sencilla si en un principio partimos de
su representación gráfica, para que obser-
ven que cuanto más a la izquierda se sitúe
el número más pequeño es y cuanto más a 8. Ordenación de los números enteros
la derecha mayor es, tal y como ocurría con
los números naturales. Posteriormente se La relación de orden entre números enteros se determina a partir de los siguientes
puede dar la técnica de ordenación según el criterios, que se pueden obtener de la recta de los números enteros:
valor absoluto de los números de que se
• Todo número entero positivo es mayor que cualquier número negativo.
traten.
3 > –7 o –7 < 3
Ideas clave • Entre dos números positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
9 > 4 ya que |9| > |4|
• Valor absoluto definido como número
sin signo o como distancia al origen. • Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor
absoluto.
• Ordenación de enteros: a partir de su
valor absoluto y a partir de la recta. –3 > –8 ya que |–3| < |–8|
En tu cuaderno
27. Ordena, primero de mayor a menor y después de menor a mayor, los siguientes números enteros:
a) –3, 15, +7, –9, –2, 13, –12 c) 99, 36, –15, 2, 136, –99
b) –1, –12, –9, 24, 13, –18, +9, 0 d) 45, –36, –84, 27, 2, –15
28
Notas = Solucionario
24
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 25
En tu cuaderno
28. Calcula:
a) 23 + (–2) + (+6) – (–4) c) 5 – (–10) + (–8) – 4
b) – (+7) – (–9) + 13 d) 3 – (–4) + (–8) + 30 – 15
29
28. a) 23 – 2 + 6 + 4 = 33 – 2 = 31 Notas
b) –7 + 9 + 13 = 22 – 7 = 15
c) 5 + 10 – 8 – 4 = 3
d) 3 + 4 – 8 + 30 – 15 = 14
25
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 26
! Ideas clave El producto o la división de dos números enteros con distinto signo da como resul-
tado un número negativo.
• Regla de los signos.
Positivo · Positivo (+5) · (–5) –25
• Multiplicación y división de números en-
teros. Negativo · Negativo (+5) · (–5) –25
Ejemplo
Efectuamos las siguientes multiplicaciones y divisiones de números enteros aplicando la regla de los signos.
En tu cuaderno
Notas = Solucionario
26
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 27
En tu cuaderno
30. a) 7 + 14 + 48 = 69 b) 36 + 8 – 14 = 44 – 14 = 30 c) 11 · 2 – 12 = 22 – 12 = 10 d) 18 · 5 = 90 Notas
e) 2 · 2 – 15 = –11 f) 0 + 5 · 1 = 5
27
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 28
base 3
! exponente 6
Ideas clave 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36 se lee: 3 elevado a 6
• Operaciones con potencias: potencia de Signo de la base Exponente Signo del resultado
una suma, potencia de un producto, po-
tencia de una potencia. positivo no importa positivo
Notas
28
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 29
• Potencia de un producto
Para hallar la potencia de un producto se pueden utilizar dos métodos:
Multiplicar primero y luego elevar a la potencia.
(2 · 3)3 = (6)3 = 63 = 216
Elevar cada uno de los factores al exponente y después multiplicar.
(2 · 3)3 = 23 · 33 = 216
• Producto de potencias de la misma base
El producto de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y cuyo
exponente es la suma de los exponentes de estas potencias.
46 · 43 = 46 + 3 = 49 73 · 75 = 73 + 5 = 78
• Cociente entre potencias de la misma base
La división de dos potencias de la misma base (la de mayor exponente entre la de
menor exponente) es otra potencia de la misma base que tiene como exponente la
diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor.
47 : 42 = 47 – 2 = 45 78 : 75 = 78 – 5 = 73
• Potencia de otra potencia
La potencia de otra potencia es otra potencia de la misma base cuyo exponente es
el producto de los exponentes.
(25)3 = 25 • 3 = 215 (34)7 = 34 • 7 = 328
P ro p i e d a d e s d e l a s p o t e n c i a s
• Todo número elevado a 1 da como resultado el mismo número: 91 = 9 71 = 7
• Todo número distinto de cero y elevado a 0 es igual a 1: 50 = 1 90 = 1
• Las potencias de 1 son siempre igual a 1: 15 = 1 1250 = 1
• Las potencias de un número natural crecen con el exponente 23 < 24 < 27
• Si dos potencias de números naturales tienen el mismo exponente, es mayor la que
tiene la base mayor: 33 < 53 ya que 3 > 5
En tu cuaderno
= Solucionario Notas
29
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 30
Ejemplo
32 = 9 52 = 25
冪莦
9=3 冪莦
25 = 3
En tu cuaderno
Notas = Solucionario
32. a) 3 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
30
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 31
9 – 8 + 30 =
! Ideas clave
• Orden de prioridad incluyendo las po-
1 + 30 =
tencias y raíces.
Ejemplo
Calculamos: 92 · 52 : 32
Primero las potencias:
81 · 25 : 9
Después las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha:
2 025 : 9 = 225
Ejemplo
En tu cuaderno
33. a) 12 : 2 : 3 · 5 = 6 : 3 · 5 = 2 · 5 = 10 Notas
2
b) 7 = 49
c) 9 · 8 : 2 = 72 : 2 = 36
d) 7 · 9 = 63
e) 9 + 25 · 3 + 2 = 9 + 75 + 2 = 86
f) 2 + 12 · 8 : 8 – 10 + 343 = 2 + 12 – 10 + 343 = 347
31
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 32
PARA PENSAR 1. Cuentan la siguiente historia sobre Gauss: Factores cuyo producto da 36 Suma
Estaba Carl Friedrich Gauss en la escuela, allá
1 1 36 38
por el año 1787. Tenía alrededor de 10 años.
El maestro, para entretener a los niños, les
ordenó que sumaran todos los números del
1 al 100 utilizando la pizarra individual que
llevaban. A los pocos minutos, nuestro pe-
queño genio se levantó del pupitre, y en-
tregó la respuesta correcta: 5 050.
No es que Gauss fuera un calculador ex-
traordinario, sino que hizo lo que todo ma-
temático hace, pensar...
¿Sabrías obtener el resultado sin realizar la
suma de todos los números?
2. Hace muchos años, en un país cuyo nombre
me resulta difícil recordar, había un riquísimo 3. ¿Cuántos cubos hay en cada figura?
y poderoso rey que vivía en un hermoso pa-
lacio, famoso por la belleza y esplendor de
sus jardines.
Este rey tenía tres hijas. A fin de saber sobre
ellas, el príncipe del reino vecino se acercó a
hablar con el rey manifestándole su deseo de
conocer las edades de sus hijas.
El rey le respondió por medio de un enigma:
«El producto de sus edades es 36 y su suma,
casualmente, es igual al número de jardines
de este palacio».
El príncipe averiguó el número de jardines del
palacio pero se dio cuenta que le faltaban
datos y así se lo comunicó al rey.
El rey le contestó: «Tienes razón. Se me pasó
por alto decirte que mi hija mayor está muy
entusiasmada estudiando geometría».
¿Cómo pudo averiguar el príncipe las edades
de las tres hijas del rey?
• Sugerencia: Lo que primero hizo el príncipe
fue averiguar el número de jardines del pala-
cio. A continuación, creó un tabla con todos
los números cuyo producto daba 36.
36
32
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 33
Notas
= Solucionario
1. Gauss observó que si colocaba las cifras de modo Ahora sólo podemos aceptar las siguientes solu-
consecutivo y sumaba la primera y la última le ciones:
daba 101, si sumaba la segunda y la penúltima 1,1, 36 queda descartada ya que la mayor estu-
también le daba 101 ya que era la suma de 2 y dia y no era una edad razonable para estudiar
99, así llegó a la conclusión de que si sumaba dos geometría:
números que equidistaran de los extremos, la 2, 2, 9
suma daba 101. 6, 6, 1 queda descartada ya que no puede ser
Al sumar de dos en dos sólo tenía 50 sumas y que la mayor tenga menos años que las gemelas.
por tanto la suma pedida era 101 (suma de equi- Por tanto, la única alternativa viable es que las
distantes de extremos) multiplicado por el nú- gemelas tengan 2 años cada una y la mayor
mero de sumas que había realizado, que eran 50 tenga 9 años.
101 · 50 = 5050, que es la suma que entregó
3. El número de cubos que hay en el primer dibujo
Gauss
es:
2. Si completas las cuadrículas verás que números 22 (dos capas de 9 cubos y 4 sueltos), mientras
cuyo producto da 36 son: que en el segundo dibujo hay 27 (dos capas de
1,1,36 y su suma es 38. 12 y 3 sueltos).
1,4,9 (queda descartada ya que al haber gemelas,
dos edades han de ser iguales).
33
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 34
Numeración maya y romana 6. Busca dos cumbres que sean más altas que
el Teide y otras dos que sean menores.
1. Escribe, con los símbolos de la numeración
C3 C8
romana, los siguientes números naturales:
a) 45 d) 10 054
7. Completa la siguiente tabla:
b) 79 117 e) 1 023
Unidades de millón
c) 94 f) 5 459 C6
Centenas de mil
Unidades de mil
Decenas de mil
2. Escribe en nuestro sistema de numeración
Centenas
Unidades
Decenas
(decimal) los siguientes números romanos:
a) XXIV f) MMX
b) CCCXLVIII g) MCMLXIX 560 918 5 6 0 9 1 8
–
c) CDXXIII h) XMMMCDXCV
a) 16 307
–
d) XXXVII i) XLVCMLXI
b) 2 345 678
–
e) LMCCLXXIII C6
c) 4 050 302
d) 60 090
3. Escribe en notación maya los siguientes
números:
8. Expresa los siguientes números según el
a) 13 d) 945
ejemplo:
b) 45 e) 4 523
a) 312 645 = 3 · 100 000 + 1 · 10 000 +
c) 156 f) 12 979 C6 + 2 · 1 000 + 6 · 100 + 4 · 10 + 5
b) 6 815 035
4. Escribe en nuestro sistema de numeración
c) 3 825
(decimal) los siguientes números de la no-
tación maya: d) 24 901
a) c) e) 10 290 115
34
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 35
Notas
= Solucionario
b) 45 =
c) 156 =
d) 945 =
e) 4523 =
f) 12979 =
4. a) 39 = 20 + 9
b) 349 = 17 · 20 + 9
c) 127 = 6 · 20 + 7
d) 2315 = 5 · 400 + 15 · 20 + 15
35
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:48 Página 36
10. Escribe en palabras los siguientes números: 16. Ordena las siguientes secuencias de nú-
meros naturales de menor a mayor:
a) 93 415 noventa y tres mil cuatrocientos
quince. a) 13, 23, 62, 36, 18, 47, 2
b) 312 d) 12 345 b) 145, 231, 179, 120, 367
c) 2 003 e) 30 030 C1 c) 123, 97, 103, 65, 32, 132
d) 109, 103, 301, 901, 300
11. Escribe, en palabras, los ordinales de los si-
e) 300, 200, 78, 56, 14
guientes números:
a) 7 = séptimo d) 11
17. Realiza las siguientes operaciones: C1
b) 23 e) 37
a) 4 085 + 3 930
c) 45 f) 258 C1
b) 893 + 717
c) 18 619 + 307 + 12 882
12. Escribe los cardinales correspondientes a
los siguientes ordinales: d) 1 095 + 564 + 29 + 13 470
a) noveno = 9 e) 13 383 + 3 078 + 134 + 7 621
b) septuagésimo quinto
18. Enrique necesita material escolar. Va a
c) vigésimo noveno
comprar unos lápices que le costaran 2 €,
d) tricentésimo cuadragésimo séptimo libretas para los ejercicios con un precio
total de 7 € y unos marcadores de colores
e) décimo quinto
por un precio de 6 €. ¿Cuánto dinero ne-
f) duodécimo C1 cesitará para pagar el material que va a
comprar?
13. En una carrera de 10 000 metros los corre-
dores nacionales han llegado a la meta el 19. Realiza las siguientes operaciones en el
segundo, quinto, décimo sexto y vigésimo conjunto de los números naturales indi-
noveno. Escribe los cardinales correspon- cando si es posible realizarla o no. Justifica
dientes a su orden de llegada. C1 la respuesta. Discútelo en grupo con tus
compañeros.
14. En el telediario de la noche, la locutora lee Posible
Resta (Sí / No)
la siguiente noticia: «Hoy es el quincuagé-
simo séptimo cumpleaños del presidente». 17 – 9 8 Sí
¿Cuántos años cumple el presidente? 23 – 32 No
a) 9 – 5
15. En un pueblo de la costa, hemos visitado a la
b) 16 – 9
mujer más longeva del país. Acudimos a fe-
licitarla en su nonagésimo quinto cumplea- c) 12 – 14
ños. ¿Cuántos años ha cumplido? C1
d) 8 – 5
38
36
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:49 Página 37
Notas
= Solucionario
37
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:49 Página 38
20. En una ascensión al Teide, el último cam- 24. Realiza las siguientes multiplicaciones:
pamento está a 2 300 metros. Si la cima se
a) 627 · 9
encuentra a 3 718 metros, ¿cuántos me-
tros faltan para llegar a la cumbre? b) 524 · 35
c) 4 685 · 72
21. Unos amigos que han ido de acampada
d) 90 465 · 643
han comprado 25 flanes. Si el primer día
han consumido 10, el segundo 9, el tercero e) 22 893 · 914
3 y han ido a comprar 8 más, ¿cuántos fla-
nes tienen en ese momento?
25. María tiene una perrita que ha tenido tres
camadas de cinco perritos. ¿Cuántas crías
22. Una vez realizada la ascensión al pico le han nacido en total?
Mulhacén, que tiene 3 482 metros, hemos
bajado, ya de vuelta, 1 327 m. ¿Cuántos
26. En un supermercado, encontramos los si-
metros nos faltan para llegar a la base?
guientes productos con sus precios corres-
pondientes.
23. Calcula la diferencia entre las temperatu-
• Arroz, paquete de 2 kg: 3 €
ras máxima y mínima de las ciudades es-
pañolas que aparecen en la tabla siguiente • Lata de atún: 1 €
y, a continuación, ordénalas de mayor a
• Manzanas, bolsa de 2 kg: 1 €
menor según el valor resultante.
• Leche, 1 litro: 1 €
Temperaturas
Provincia • Pollo, 1 kilo: 2 €
Máxima Mínima
• Espárragos, manojo: 2 €
A Coruña 33 20
María y Elena han comprado lo siguiente:
Alicante 35 23
2 paquetes de arroz, 5 latas de atún, 2
Almería 35 24 bolsas de manzanas, 3 manojos de es-
Cáceres 38 23 párragos, 6 paquetes de leche y 2 pollos
de 3 kg.
Badajoz 40 21
¿Cuánto dinero habrán de pagar?
Girona 34 20
Ciudad Real 39 22
27. Kilian y Enrique adquieren en una tienda 4
Cádiz 33 24 paquetes de galletas a 1 € cada uno y 2 li-
Guadalajara 37 21 tros de aceite a 3 € el litro. Después de pa-
garlo todo, deciden cambiar dos paquetes
Las Palmas 33 23 de galletas por una barra de pan de 1 € y
Sevilla 40 22 una tableta de chocolate que cuesta 3 €.
¿Cuánto dinero han de añadir para pagar
Zaragoza 37 17
ahora sus compras? C3
C3
39
38
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:49 Página 39
Notas
= Solucionario
Zaragoza, Badajoz, Sevilla, Ciudad Real, Guadalajara, Cáceres, Girona, A Coruña, Alicante, Almería,
Las Palmas, Cádiz.
24. a) 5 643
b) 18 340
c) 337 320
d) 58 168 995
e) 20 924 202
25. 3 · 5 = 15 perritos en total
26.
Cantidad Precio Total
2 paquetes de arroz 3 2·3 =6
5 latas de atún 1 5·1 =5
2 bolsas de manzanas 1 2·1 =2
3 manojos de espárragos 2 3·2 =6
6 paquetes de leche 1 6·1 =6
2 pollos de 3 kg 2 2·3·2 = 12
María y Elena deberán pagar 37 €
39
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:49 Página 40
28. Un grifo que está llenando un depósito su- 37. Efectúa las siguientes operaciones
ministra 2 litros por minuto. Si a las 12:00 (recuerda los criterios de prioridad)
del mediodía había llenado 135 litros,
a) 12 : 2 · 3 : 9 · 8 · 3
¿cuántos litros contendrá el depósito a las
12:15? b) 45 · 2 : 9 : 2 : 5
c) 3 + 4 · 2 – 12 : 3 – 7
29. La distancia entre dos aeropuertos es de
38. María y Karen van a comprar 6 libretas
3 000 km. Si el avión que nos lleva de un
aeropuerto al otro vuela a una velocidad
que necesitan para sus clases. Al ir a pagar,
de 750 km/h, ¿cuántas horas tardaremos
ven que el precio de cada libreta es de
en llegar? C3
2 €. Si entre las dos llevan 10 €, di si tie-
nen suficiente dinero o no. Calcula la can-
30. El cociente de una división es 13 y el divi- tidad que les sobrará o faltará para pagar
sor, 21. Si el resto es cero, ¿cuál es el di- las 6 libretas.
videndo?
39. A María le han regalado 4 muñecas
31. ¿Cuál es el ordinal de 715? rusas, cada una de ellas contiene en su in-
terior seis muñecas. ¿Cuántas muñecas
32. Indica el ordinal de 1 002.
tiene María en total?
40
40
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Notas
= Solucionario
41
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41
42
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Notas
= Solucionario
43
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42
44
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:49 Página 45
Notas
= Solucionario
45
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:49 Página 46
65. Para representar la profundidad, podemos 70. Efectúa las siguientes operaciones en el
utilizar valores negativos. La fosa de las conjunto de los números enteros (⌮) (re-
Marianas estaría a –11 022 m y la fosa de cuerda que el resultado puede ser nega-
las Islas Caimán a –7 680. ¿Cuál es la dife- tivo):
rencia de profundidades entre la fosa de las
a) 627 – 381 e) 475 – 754
Marianas y la de las Islas Caimán? Si pasa-
mos de la profundidad de la fosa de las b) 4 685 – 3 530 f) 35 222 – 18 705
Islas Caimán a la de las Marianas, ¿cuántos
c) 47 – 78 g)1 024 – 2 840
metros subimos o bajamos?
C3 d) 18 619 – 8 882 h)14 604 – 18 087
68. Efectúa:
f) 4 : 2 + 5 + 3 · 8 : 4
g) 3 + 4 + (5 + 6)
a) 294 : (–7) c) (–343) : (–7)
h) 3 · 4 + (8 – 6) · 2
b) –125 : 25 d) –15 : (–5)
46
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Notas
= Solucionario
47
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:49 Página 48
75. Calcula:
c) Cinco al cubo.
d) Ocho elevado a ocho. C1
7 · 3 + [6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · 2] + 9 : 3
–3 + (12 –9) – 3 · 4 · 5 +3 · 4 : 6 + 5 – 9
–6:3 10
44
48
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:49 Página 49
Notas
= Solucionario
73. a) 4 Potencias
b) 16
78. a) 75
c) 79
b) 117
d) 51
c) 314
e) 31
d) 24
74. a) +3 e) 43
b) +20 f) 36
c) +6 g) 57
d) +14 h) 85
e) –26
79. a) 64
f) –21
b) 32
75. 7 · 3 + [6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · 2] + 9 : 3 = c) 53
= 21 + [6 + 2 · (8 : 4 + 6) –14] + 3 = d) 88
= 21 + [6 + 2 · (2 + 6) –14] + 3 =
80.
= 21 + [6 + 2 · 8 – 14] + 3 = Número Cuadrado
= 21 + [6 + 16 – 14] + 3 =
= 21 + 8 + 3 = 32 2 4
76. a) –2 3 9
b) –42
c) –35 4 16
d) –16 5 25
77. –55 6 36
7 49
8 64
9 81
10 100
49
01_mates.qxt:Maquetación 1 31/5/10 09:49 Página 50
81. Calcula las siguientes potencias: 90. Calcula el valor de las siguientes expre-
siones:
a) (3 · 2)3 g) 23 · 24
a) (3 + 5)2 d) 32 + 52
b) (–3)2 h) 52 · 53
b) 3 + 52 e) (2 · 3)3
c) (+2)5 i) 34 : 32
c) 32 + 5 f) (2 · 32)2
d) (–2)3 j) 23 : 27
91. Calcula:
e) (–4)2 k) 52 : 55
2 4 3 2
f) 3 · 3 l) (2 )
a) 23 g) 32
b) (–2)3 h) –32
82. Transforma en producto 56.
c) –23 i) (–3)2
83. ¿Es correcta la siguiente expresión? d) 24 j) 33
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 e) (–2)4 k) (–3)3
f) –24 l) –33
2 2
84. ¿Cuál es el valor de 12 ? ¿Y de 14 ?
92. Calcula el valor de:
85. Calcula el valor de :
a) (–4)3 c) (4)3
3 3
a) (3 – 5) b) (5 – 3)
b) –(4)3 d) –(–4)3
50
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Notas
= Solucionario
51