Temario Matematica
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Formula de la Distancia Entre Dos Puntos Para dos puntos P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2), la distancia entre ellos esta dado por: !
Punto Medio
El punto medio de dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) est determinado por la frmula: ! Ej. Cules son las coordenadas del punto medio, entre los puntos P(3, -1) y Q(7, 2)? ! ! ! As el punto medio entre P(3, -1) y Q(7, 2) es (5, 1/2).
Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos P en el plano que estn en una distancia ja r dada llamada radio, de un punto jo C dado, llamado centro. En la gura hemos gracado una circunferencia de radio r centrada en el punto C(h, k) Por la denicin de circunferencia sabemos que un punto P est en esta circunferencia si y solo si d(P, C) = r, (x - h)2 + (y - k)2 = r2. A partir de la ecuacin ordinaria, podemos determinar su centro y el radio, pero si desarrollamos los binomios al cuadrado e igualamos a cero obtenemos la forma general. Ej. Encontrar la forma general, el centro y el radio de la circunferencia determinada por la ecuacin: (x + 3)2 + (y + 7)2 = 36. El centro es (h, k) (-3, -7). Su radio es r !36 = 6. Para encontrar la ecuacin general desarrollamos el binomio al cuadrado:
La Ecuacin de la Circunferencia: Una circunferencia de radio r con centro C(h, k) tiene la ecuacin: Forma Estandar o General: Forma Ordinaria o Cannica:
Elementos
"
""
"
Caso I Dada la ecuacin ordinaria, encontrar los elementos, el centro y el radio. Ej. El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 2x - 14y + 5 = 0 son:
" "
Caso II Dados los elementos, centro y radio, encontrar la ecuacin ordinaria o general. Ej. Cul es la ecuacin ordinaria de la ecuacin cuyo centro est en (-3, 4) y radio 8? Solo sustituimos el centro y el radio en la ecuacin general y en el caso de que soliciten la general, desarrollamos los cuadrados igualamos a cero y simplicamos. ! Desarrollando los cuadrados e igualando a cero: ! ! Caso III Dado el centro y un punto de la circunferencia. Primero debemos calcular el radio, ste se calcula utilizando la distancia entre dos puntos, posteriormente sustituimos el centro y el radio en la ecuacin general, si solicitan la ecuacin ordinaria, desarrollamos los binomios. Ej. Encuentre la ecuacin ordinaria de la circunferencia, si tiene como centro el punto (3, -1) y pasa por el punto (7, 2). Primero calculamos la distancia entre los puntos: ! Posteriormente tomamos el centro de la circunferencia (3, - 1) y el radio 5 y lo sustituimos en la ecuacin general. ! Desarrollando los cuadrados: ! ! Caso IV Dado dos puntos que conforman el dimetro. Al calcular el punto medio de los dos puntos del dimetro, obtenemos el centro; luego calculamos la distancia del centro a cualquiera de los dos puntos para obtener el radio. Ej. Encuentre la ecuacin de la circunferencia cuyo dimetro esta determinada por el segmento que une los puntos A(-4, -10) y B(6, 14). Primero calcularemos el punto medio para encontrar el centro:
! Ahora calcularemos la distancia del centro a cualquiera de los dos puntos dados. ! Con el centro C(1,2) y el radio 13, los sustituimos en la ecuacin general. ! Desarrollando los cuadrados e igualando a cero: ! ! La formula de la circunferencia puede utilizarse para hallar una ecuacin del conjunto de todos los puntos equidistantes del punto dado.
3. Ecuacin de la Recta
Ecuacin: Es una armacin de dos expresiones iguales y una ecuacin se llama identidad cuando sus valores son iguales. Una ecuacin puede escribirse de distintas formas. Las ms comunes son: Forma PendienteOrdenada en el Origen: ! Donde m es la pendiente y b la ordenada en el origen de la grca. Forma Punto-Pendiente de la Recta ! Donde m es la pendiente, x y y son incgnitas y la pareja (x1, y1) son las coordenadas de un punto por el cual pasa la grca de la ecuacin. " ! Donde an es un nmero real distinto de 0. Pendiente: Cualquier par de puntos distinto en el plano determinan una recta nica. Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos tales que x1 # x2, entonces:
Se llama pendiente de la recta determinada por estos puntos. Es comn llamar a y2 y1 incremento en y y a x2 x1 incremento en x. La pendiente de una recta es, entonces:
5. Grca de Funciones
Relaciones y grcas: En general, a cualquier conjunto de pares ordenados de nmeros reales se llama una relacin y al correspondiente conjunto de puntos en el plano se llama grca de la relacin.
Ej. Graque la relacin: S = {(-1, 2), (0, 4), (4, 1), (-3, -1)} En la siguiente gura estn marcados los cuatro puntos que corresponden a los pares ordenados de la relacin S.
Para interpretar y utilizar datos obtenidos de tal funcin, encontramos que es til presentar los datos en forma de grca en un plano. Se dene la grca de un funcin y = f(x) como la grca de la relacin: ! ! {(x, y) | y = f(x), x en dominio de f} La grca de un funcin f es el conjunto de puntos (x, y) en el plano cuyas coordenadas satisfacen y = f(x). Ej. La grca de la funcin f denida por la tabla consta de cuatro puntos mostrados:
x 1 2 6 8
y 3 5 7 7
Intersectos: Para gracar una funcin denida por la ecuacin y = f(x), usualmente es buena idea determinar primero si la grca de f tiene algunos intersectos. Recuerde que el eje y es la recta x = 0. Por tanto, si cero esta en el dominio de f, el intersecto en y de su grca es el numero f(0). De la misma manera el eje x, es la recta y = 0. Por tanto para hallar los intersectos en x de la grca de y = f(x) debemos resolver la ecuacin f(x) = 0.
7. Funciones inversas
Es una regla de correspondencia que invierte la original. (Como el opuesto de las coordinaciones). El funcin inverso de f se llama f-1 o g. f-1 no signica que -1 es el exponente de f. Eso signica que f-1 es el inverso de f. Ej." x 1 2 3 f(x)"" y 3 5 2 " " " x 3 5 2 f-1(x) y 1 2 3
Se dice que una funcin f es una funcin uno a uno si y slo si cada elemento del rango de f est asociado con exactamente un elemento de su dominio x. Sea f una funcin uno a uno, con dominio x y rango Y. La inversa de f es una funcin g con dominio y y rango X para cual: ! f( g(x) ) = x para cada x en Y ! g( f(x) ) = x para cada x en X Tambin se puede escribir: La funcin g es el inverso de la funcin f. Para hallar f-1, intercambie los variables x y y en la ecuacin y = f(x) y resuelva la ecuacin resultante x = f(y) para y. Ej. Halle el funcin inverso de y = 5x-7. " " " ! y = 5x 7 x = 5y 7 5y = 7 x y = 7/5 + 1/5x
Entonces y = 1/5x + 7/5 es el inverso de y = 5x - 7. Para gracar f-1, si (a, b) es un punto en la funcin f, (b, a) es un punto en la funcin f-1. Los dos puntos son simtricos con respecto a la recta y = x.
Funciones Polinomiales y Racionales Tema 2 1. Teorema del Residuo y Teorema del Factor
Hay una relacin entre el residuo r obtenido por la divisin de un polinomio f(x) por x c, y el valor funcional f(c). Teorema del residuo En el teorema ax2 + bx + c = 0, que la divisin de un polinomio f(x) por un polinomio lineal x c da como resultado un residuo constante r: ! f(x) = (x - c) q (x) + r Teorema del residuo: al valuar la funcin pasada con x = c se produce: Cuando un polinomio f(x) se divide ! f(c) = (c - c) q (x) + r por x c, el residuo r es el valor del ! f(c) = (0) q (x) + r polinomio en ! f(c) = r x = c, esto es, f(c) = r. Este resultado se ha establecido como el teorema del residuo. Ej. Determine el residuo cuando f(x) = 4x3 - x2 + 4 se divide por x - 2. ! ! r = f(2) r = 4(2)3 - (2)2 + 4 = 32
Teorema del factor El teorema del factor dice que, si f(a) = 0 en la que f(x) representa un polinomio de x, entonces (x - a) es uno de los factores de f(x). Ej. Tenemos que f(x) = 2x2 - 8. Ya que f(x) = 2(2)2 8 = 0, (x - 2) debe ser uno de sus factores. En realidad, f(x) = 2x2 - 8 = 2(x + 2)(x - 2). Teorema del factor: Un nmero c es una raz de un polinomio f(x) si y solo si x - c es un factor de f(x).
Ej. Determine si x + 1 es un factor de f(x) = x4 - 5x2 + 6x - 1. ! ! f(-1) = (-1)4 - 5(-1)2 + 6(-1) - 1 f(-1) = -11
Tiene 4 races reales distintas, cada una de multiplicidad 1. Ej. Un Polinomio de grado 4: f(x) = x4 -4x3 + 6x2 - 4x + 1 ! (x - 1)2
Tiene una sola raz real de multiplicidad 4. Regla de los Signos de Descartes: Sea f(x) un polinomio que tiene coecientes reales y se organiza en potencias descendentes de x. A partir de esta forma es posible determinar el nmero mximo de races positivas y el nmero mximo de races negativas, examinando las variaciones de signo en f(x). Una variacin de signo se da cuando dos trminos consecutivos tienen signos opuestos. Por ejemplo en el polinomio: ! f(x) = 9x6 - 7x4 - 8x3 + 2x - 14
Regla de los Signos de Descartes Sea f(x) un polinomio con coecientes reales que se organiza en potencias descendientes de x. (i) El nmero de races positivas de f(x) es igual al nmero de variaciones de signo en f(x), o es este nmero disminuido en un entero par. (ii) El numero de races negativas de f(x) es igual al nmero de variaciones de signo en f(-x), o es este nmero disminuido en un entero par. Ceros racionales: Hemos visto que la divisin sinttica es til para determinar si un numero dado es una raz de un polinomio f(x). Cuando el residuo en la divisin de f(x) por x - c es r = 0, hemos hallado una raz del polinomio, puesto que r = f(c) = 0. Ej. 2/3 es un cero de f(x) = 18x3 - 15x2 + 14x - 8, puesto que:
2/3 18 -15 12 18 14 -2 -3 -8 8 12 0=r
Por la divisin sinttica, sabemos que el cociente es q(x) = 18x2 - 3x + 12, por tanto: ! ! ! f(x) = (x - 2/3) (18x2 - 3x + 12) f(x) = (x - 2/3) (3) (6x2 - x + 4) f(x) = (3x - 2) (6x2 - x + 4)
Veamos por tanto, que el denominador 3 de la raz racional 2/3 es un factor del coeciente principal de f(x), y el numerador 2 de la raz es un factor del trmino constante de f(x). Este ejemplo ilustra un principio general, dado en el teorema siguiente, para determinar las races de un polinomio.
Sea p/s un nmero racional con p y s primos entre s (sin factores comunes excepto 1 y-1) y una raz del polinomio f(x)=anxn+an-1xn-1 + + a1x+a0 Donde los coecientes ai, i = 0, 1,, n, son enteros con an " 0. Entonces, p es un factor de a0 y s es un factor de an.
Localizacin de races reales: Sea f(x) un polinomio de grado n con coecientes reales. Si c1, c2,, cm, m ! n, denotan nmeros reales tales que f(ci) = 0, i = 1, 2, , m, entonces existen nmeros reales a y b tales que a ! ci ! b, i = 1, 2, , m. Al nmero a se le llama cota inferior para las races de f(x), y a b se le llama cota superior para las races. En otras palabras, a y b son nmeros que determinan un intervalo [a, b] en el cual se encuentran todas las races reales de f(x). Las cotas para las races reales no son nicas; cualquier nmero que sea menor o igual a la raz menor es cota inferior para las races, y cualquier nmero que sea mayor o igual a la raz mayor es una cota superior. La siguiente regla, la cual presentamos sin demostracin, utiliza la divisin sinttica para hallar las cotas a las races de un polinomio. Cotas Para las Races Reales de un Polinomio Sean un polinomio con coecientes reales y un coeciente principal positivo, y sea k un nmero positivo. (i) Si no hay nmeros negativos en la tercera la de la divisin sinttica de f(x) por x k, entonces k es una cota superior para las races reales de f(x). (ii) Si los nmeros de la tercera la de la divisin sinttica de f(x) por x - (-k) son alternadamente positivos y negativos, entonces -k es una cota inferior para las races reales de f(x). Si el numero 0 aparece en la tercera la, puede considerarse que tiene el signo ms o el signo menos.
Por tanto, f(x) tiene dos races complejas, i y i. Formula cuadrtica: Cuando tenemos un polinomio cuadrtico f(x)= ax + bx + c, y a, b, y c son constantes reales usamos la formula cuadrtica:
Cuando b2 - 4ac < 0, las races de un polinomio cuadrtico f(x) = ax2 + bx + c son nmeros complejos. La ecuacin b2 - 4ac < 0 se llama discriminante de la ecuacin.
! ! ! ! ! Las races de f(x) son: 6 + 2i y 6 - 2i. Pares Conjugados: De los ejemplos dados siempre hay dos races, races complejas. Una raz compleja es la conjugada de la otra. Las races complejas de polinomios con coecientes reales siempre aparecen en pares conjugados. Para probar esto, utilizamos los siguientes resultados concernientes a los conjugados. Si z1 y z2 son nmeros complejos, entonces puede demostrarse que: " z1 + z2 = z1+ z2 y z1n = z1n
Teorema: Sea f(x) un polinomio de grado n>1 con coecientes reales. Si z es una raz compleja de f(x), entonces el conjugado, z es tambin una raz de f(x). Ej. Dado que 1 + 2i es una raz del polinomio cbico " f(x) = x3 + 2x2 - 3x + 20
Se deduce del teorema que 1 - 2i es tambin una raz. Teorema Fundamental Del Algebra: Un polinomio f(x) de grado n>0 tiene exactamente n races, donde una raz de multiplicidad k se cuenta k veces. Es decir, cuando el exponente espor ejemplo2, hay dos races. Cuando el exponente es 3, hay 3 races etc. Podemos hallar todas races a traves de divisin sinttica.
puesto que f(x) es un polinomio de 5to grado, se deduce que hay 5 races y por lo menos una real. Puesto que hay variaciones de signo en f(x), se descartan los nmeros positivos: " p: 4, 2, 1 " s: 2, 1 Entonces las races racionales posibles de f(x) son: " p/s: 2, 4, 1, 1/2 Con estos trminos vamos hallar todas las races:
1/2 2 1 -1 2 0 10 0 10 5 -5 0 8 0 8 4 -4 8 0=r
Por tanto -1/2 es una raz de f(x). Teorema: Sean c1, c2,... (No necesariamente diferentes las n races de la funcin polinomial de grado n: " f(x)= anxn + an - 1xn-1 ++ a1x + a0, n > 0 Entonces f(x) puede escribirse como producto de factores lineales: ! f(x) = an(x - c1)(x - c2) + ... + (x - cn)
Grcas Trasladas: Para k>0 las grcas de ! ! y = a(x + k)n, y = a(x - k)n y = axn + k, y = axn - k
Pueden obtenerse por medio de traslaciones horizontales y verticales, respectivamente, de la graca f(x) = axn Ej.
Sugerencia para gracar una funcin polinomial: 1. Calcule f(-x) para determinar si la grca tiene simetra 2. Calcule el intersecto f(0) en y 3. Factorice el polinomio 4. Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuacin f(x) = 0 5. Trace una recta numrica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicar dnde f(x) > 0 y donde f(x) < 0 6. Graque la funcin utilizando los resultados de los pasos 1-5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario. Ej. Graque f(x) = x3 - x2 - 2x 1. Factorizar el polinomio ! ! f(x) = x(x2 - x - 2) ! f(x)= x(x - 2)(x + 1) 2. Encontrar races (intersectos en x) ! ! f(x) = x(x - 2)(x + 1) ! 0 = x(x - 2)(x + 1) ! x1 = 0 x2 - 2 = 0 x3 + 1 = 0 ! P(0,0) P(2,0) P(-1,0)
(x x-2 x+1
!, -1)
-
(-1,0)
(0, 2)
(2,
!)
+ +
+ + -
+ + + +
Esta tabla indica la forma de la grca. La grca de la funcin empieza por debajo del eje x, lo intersecta en (-1, 0), vuelve a intersectar en (0, 0) para abajo y sube pasando por (2, 0). Tangente al Eje X Cuando la funcin polinomial f(x) contiene el factor (x-k)n , n>1, la grca ser tangente al eje x en x=k. La funcin polinomial necesita ser n es impar para atravesar el eje x. Ej. Graque f(x) = x4 - 4x2 + 4 ! f(-x) = (-x)4 - 4(-x)2 + 4 entonces, f(-x) = f(x) ! Por lo tanto, su grca es simtrica con respecto al eje y ! ! El intersecto en y es f(0) = 4, P(0,4) Factorizar: f(x) = (x2 - 2)2, o f(x) = (x + "2)2 (x - "2)2 La grca es tangente al eje x en x = -"2 y x = "2 Los intersectos en x son -"2 y "2. (-"2,0) y ("2,0).
5. Funciones Racionales
Funciones racionales son grcas. Hay un numerador y un denominador. Cuando el denominador es 0, no es una funcin racional. Las grcas no son parbolas y tienen asntotas. Asntotas: Es una recta la cual limita a la grca de una funcin Hay tres tipos: horizontales, verticales y oblicuas. ! ! ! Oblicuas no toca Verticales no toca Horizontales si toca
Son lneas verticales y horizontales que la funcin no toca, solo se acera. Halla la asntota vertical hacer que el denominador sea 0. Halle x y este es la asntota vertical. Hay una asntota horizontal cuando n<m y la recta es 0. Horizontales: ! Si n = m, y = an/bm es la asntota horizontal ! Si n < m el eje x es asntota horizontal (y = 0) ! Si n > m, no existe asntotas horizontales Para indicar que z se est aproximando a un nmero, utilizamos la notacin: ! x!a- para indicar que x se est aproximando a a por la izquierda, y ! x!a+ para indicar que x se est aproximando a a por la derecha Tambin puede utilizar
! para a
y-
! para a
Se dice que una recta x=a es una asntota vertical para la grca de una funcin f si: ! ! f(x)!
o x!a+, o
+
f(x)! -
Una recta y = c es una asntota vertical para la grca de una funcin si f(x)!c a medida que x!-1 o x!1 Ej. f(x) = 1/x 1. Factorizar el numerador y denominador (factores del denominador determine los asntotas) 2. Hallar cero del numerador y denominador " Denominador: x = 0 3. Intersectos con eje y " No existe
4. Hacer una tabla de valores x -4 -3 -1 -.5 -.3 -.01 -.0001 f(x) -0.25 -0.33 -1 2 -3.33 -1000 -10,000 x 3 2 1 .5 .01 .001 0.0001 f(x) .33 .5 1 2 100 1000 10,000
Estos valores signican que la grca de la funcin f no va a tocar el eje x a la izquierda y que no va a tocar el eje x a la derecha.
Asntotas oblicuas Casi lo mismo de asntotas verticales/horizontales, asntotas oblicuas son en diagonal. Propiedad: Si existe una asntota oblicua en uno u otro sentido de innitud, no existe asntota horizontal en el mismo sentido. S pueden existir una en un sentido y la otra en el otro.
ax + b es la asntota oblicua. Los otros pasos para hallar la grca son iguales de los pasos para las asntotas verticales/ horizontales.
Ej. Resuelve el tringulo con un ngulo A = 350 y con una hipotenusa de 15 cm.
Sabemos que la suma de los ngulos del tringulo es 180 grados. Entonces podemos restar 35 y 90 (los dos ngulos que sabemos) de 180 para hallar B, 55 grados.
Mtodos de Solucin
Hay dos mtodos para solucionar un sistema de ecuaciones. El primero se llama mtodo de sustitucin. Pasos del Mtodo de Sustitucin 1. Usar una ecuacin para expresar un variable en trminos de otro 2. Sustituir esta expresin en la otra ecuacin 3. Resolver la ecuacin del obtenida en el paso 2 4. Sustituir el valor obtenido en la expresin obtenido en el paso 1 Ej. Dado el sistema de ecuaciones encuentre las soluciones del sistema. ! 1. El primer ecuacin ya expresa y en trminos de x. ! 2. Sustituyendo esta expresin en la segunda expresin tenemos: ! ! ! ! 3. Resolviendo esta ecuacin utilizando esta tenemos: ! y 4. Sustituyendo cada valor en la expresin del paso 1 tenemos:! ! ! As y son los soluciones del sistema dado.
El segundo mtodo se llama Mtodo de Eliminacin. Se multiplica una ecuacin por un numero diferente de cero con la intencin de eliminar una variable. Pasos del Mtodo de Eliminacin 1. Multiplicar una ecuacin por un constante diferente de cero 2. Sumar esta ecuacin al otro, eliminando un variable 3. Resolver la ecuacin del paso 2 4. Sustituir el valor obtenido en el paso 3 en la otra ecuacin Ej. Dado el sistema de ecuaciones encuentre las soluciones del sistema. ! 1. Multiplicando la primera ecuacin por 2 tenemos: ! ! 2. Sumando esta ecuacin a la segunda se cancela x2: ! ! + ! 3. Resolviendo la ecuacin obtenido tenemos: ! y 4. Sustituyendo los valores obtenidos para y en la otra ecuacin tenemos: ! ! ! As , , , son los soluciones del sistema.
a!
b!!
Las sistemas de ecuaciones se clasican segn el numero de soluciones que tiene. El sistema es consistente si tiene solucin (guras a y b) e inconsistente si no tiene solucin (gura c). Si el sistema es consistente tambin puede ser independiente si tiene solo una solucin (gura a) o dependiente si tiene innitas soluciones (gura b). Los sistemas de ecuaciones se pueden resolver utilizando el mtodo de sustitucin o de eliminacin. Sistema de Ecuaciones con Dos Variables Tiene la forma:
" Su solucin puede ser el punto de interseccin de las dos rectas o todos los puntos sobre la linea si el solucin es dependiente.
" Su solucin puede es el punto de interseccin o la recta de interseccin de los tres planos.
! 1. Despejando a y en la segunda ecuacin tenemos: ! 2. Sustituimos esa expresin en la primera ecuacin y despejamos x: ! ! ! 3. Para hallar el valor de y evaluamos con x = 1 en la expresin de y: ! ! La nica solucin del sistema es (1. -2).
1. La Parbola:
Una parbola es el conjunto de todos los puntos P equidistantes de una recta ja, llamada directriz, y un punto jo que se denomina foco:
La ecuacin de la directriz est denida por: x= -a. La frmula de la longitud del lado recto siempre estar denida como 4 veces la distancia focal, es decir |4a|=LR
Segn la frmula de la distancia, un punto P(x,y) est en la parbola si y solo si d(P,F) = d(P,P) es decir, si: ! Se elevan ambos miembros al cuadrado y se simplica: ! ! ! ! Al cambiar de posicin las variables x y y en nuestra ecuacin obtendremos igualmente una parbola pero en este caso cncava hacia arriba. ! La Parbola La ecuacin de la parbola cuando la grca es cncava hacia la derecha con vrtice en el origen y foco en (a, 0) se dene por: ! En el caso que la parbola sea cncava hacia la izquierda la ecuacin se representara por: ! En los casos anteriores se puede deducir que la parbola se encuentra situada sobre el eje x. Ej. Encontrar la ecuacin de la parbola con vrtice en (0, 0) y foco en (3, 0). Trazar la graca de la ecuacin. La distancia desde el vertice (0, 0) al foco (3, 0) es , por tanto podemos determinar que la ecuacin de la parabola es: ! !
! Para trazar la grca de esta parbola, resulta til trazar los dos puntos en la graca, arriba y abajo del foco, para trazarlos valuamos con x = 3. Entonces: ! Los puntos de la parbola arriba y abajo del foco son: (3, -6) y (3, 6), vase en la gura. Aqu nos podemos dar cuenta que la distancia entre los puntos arriba y abajo del foco representan al lado recto.
En el momento que una parbola sea cncava hacia arriba, con vrtice en el origen y foco en (0, a) la ecuacin se representara como: ! Para la parbola cncava hacia abajo, con vrtice en el origen y foco en (0,a) la ecuacin se representara como: ! En estos casos la directriz estar dada de la forma: y = -a y se dir que la parbola estar a lo largo del eje y. Ej. Encuentre la ecuacin de la parbola con foco en (0, 4) y directriz en la lnea x = -4. Graque la ecuacin. Una parbola cuyo foco est en (0, 4) y cuya directriz es la lnea horizontal y = -4, tendr su vrtice en (0, 0), (El vrtice est a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz), deduciendo as que la ecuacin de esta parbola esta escrita de la forma x2 = 4ay con a = 4: !
Traslaciones
La parbola no siempre tiene su vrtice en (0,0). Si el vrtice se encuentra en (h, k) entonces la ecuacin de la parbola sera: 1. La ecuacin de la parbola con vrtice en (h, k) y foco en (h + a, k) es: (y k)2 = 4a(x h) 2. La ecuacin de la parbola con vrtice en (h, k) y foco en (h + a, k) es: (x h)2 = 4a(y k) Desarrollando la ecuacin tendremos:" ! y2 + k2 2yk + 4ax 4ah = 0 x2 + h2 2xh + 4ay 4ak = 0
Ej. Analice la ecuacin: x2 + 4x - 4y = 0 Para analizar la ecuacin primeramente completamos el cuadrado de los trminos en x. Es decir: ! ! ! ! Esta ecuacin es de la forma (x h)2 = 4a(y k), con h = -2, k = -1 y a = 1. La grca es una parbola con vrtice en (h, k) = (-2, -1) que se abre hacia arriba. El foco esta en (-2, 0) y la directriz es la lnea y = -2.
2. La Elipse
La elipse es el lugar geomtrico de todos los puntos P(x, y) cuya ubicacin en el plano es tal que, la suma de sus distancias a dos puntos jos de l es constante. Estos dos puntos jos del plano, se llaman focos y se designan por F1 y F2.
La ecuacin de una elipse centro en el origen y con focos en (-c, 0) y (c, 0), y eje mayor a lo largo del eje x, el vrtice en el eje mayor se encuentra en el punto (a, 0) y el vrtice en el eje menor se encuentra en el punto (0, b). Tomando en cuenta que d(P, F) + d(P, F) = 2a esto quiere decir:
La ecuacin de una elipse centro en el origen y con focos en (0, c), y eje mayor verticalmente en el eje y, el vrtice en el eje mayor se encuentra en el punto (0. a), y el vrtice en el eje menor se encuentra en el punto (b, 0).
Ej. Encontrar la ecuacin de una elipse con centro en el origen, un foco en (3, 0) y un vrtice en (-4, 0), trazar la grca. La elipse tiene su centro en el origen, y el eje mayor coincide con el eje x. Un foco esta en (c, 0) = (3, 0), as que c = 3, un vrtice est en (-a, 0) = (-4, 0), as que a = 4. Entonces podemos deducir: ! ! De modo que la ecuacin se representa como: !
Traslaciones
Suponga que el centro de una elipse est en el punto (h, k) y los focos estn situados en (hc, k) y (h+c, k). La forma estndar de la ecuacin de esta elipse es: ! Para esta elipse, el eje mayor es horizontal y el eje menor es vertical. En el caso de la ecuacin de la elipse con centro (h, k) y focos situados en (h, k-c) y (h, k+c) es: !
3. La Hiprbola
Una hiprbola es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano, tales que la diferencia positiva entre las distancias de (x, y) a un par de puntos jos distintos (los focos) es igual a una constante.
Representamos a los focos como F(c,0) y F(-c,0) y a la constante como 2a. Si (x, y) representa un punto de la hiprbola, que se muestra a continuacin:
El eje x que contiene dos puntos de la hiprbola se llama eje transversal; el eje y, eje conjugado. Los puntos (a, 0) del eje transversal son los vrtices, y el punto de interseccin de los ejes (0, 0), se llama centro. Para toda hiprbola existen dos lneas a las que la curva se acerca cada vez ms en sus extremos. A estas rectas se les denomina asntotas. Y su ecuacin esta denida por:
Debemos decir que las parbolas no tienen asntotas, por consiguiente, una hiprbola no es, como podra suponerse al ver diagramas mal trazados, un par de parbolas. Se conoce como excentricidad de la hiprbola a la relacin que existe entre la distancia focal y la distancia entre los vrtices.
La longitud de la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular a la recta focal se llama lado recto. Su ecuacin esta denida por:
La longitud del eje transversal esta denida por: ET = 2a La longitud de su eje conjugado esta denida por: EC = 2b La ecuacin de una hiprbola con centro en el origen y cuyos focos estn en el eje y est denida por: ! Las coordenadas de sus vrtices: V(0, a) Las coordenadas de sus focos: F(0, c) La longitud del eje transversal: ET = 2a La longitud del eje conjugado: EC = 2b La longitud de cada lado recto: La excentricidad: