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Autor
Revisión
Unidad 1
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
Unidad 2
Unidad 3
Unidad 4
Unidad 1
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
Números Reales
Exponentes y radicales
Factorización
Fracciones Algebraicas
Unidad 2
Ecuaciones cuadráticas
Inecuaciones
Aplicaciones de inecuaciones
Unidad 3
Razones
Proporciones
Interés simple
Interés compuesto
Anualidades
Amortizaciones
Tercer corte:
Unidad 4
Función lineal
Función cuadrática
* Todas las gráficas de esta unidad han sido realizadas con Geogebra –
Dynamic Mathematics for Everyone – License free
DERECHOS RESERVADOS
RESPECTO A LA PRIMERA
EDICIÓN A LA UNIVERSITARIA
AGUSTINIANA. © 2012.
CONCEPTOS BÁSICOS
Teoría de conjuntos
Ejemplo
Ejemplos
1
Ejemplo
Pertenece a...
No pertenece a...
... y ...
Pertenencia
Ejemplo
No pertenencia
Si un objeto x no es, un elemento del conjunto A, se lee x no pertenece a A y se
expresa x A.
2
Ejemplo
Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos, es decir, si
todos los elementos de uno de los dos conjuntos pertenecen al otro y viceversa.
Ejemplo
A = {2, 4, 6, 8, 10…}
A B ( x A x B)
Subconjunto
3
Figura N° 1.
Ejemplo
Tipos de Conjuntos
Ejemplos
{ 3} Conjuntofinitocuyo únicoelementoes 3
4
Conjunto unitario
Ejemplo 1
Figura N° 2.
A es un conjunto unitario.
A = {5}
El único número que cumple las condiciones de ser primo y a la vez par es el
número 2, por lo tanto E = {2} es un conjunto unitario.
5
U = Conjunto universal. Contiene todos los elementos y subcojuntos
pertenecientes a la familia de objetos en particular.
Diagramas de Venn
Figura N° 3.
A Conjunto A
B Conjunto B
U Conjunto universal
Unión de Conjuntos: Es el conjunto formado por todos los elementos tanto del
conjunto A como los elementos del conjunto B. Simbólica y gráficamente se
expresa:
A B { x / x A x B}
6
Figura N° 4.
Ejemplo
Si A 1, 2, 3, 4, 5 B 2, 4, 6, 8, 10
Si A B 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10
Se simboliza así:
Si A B x / x A x B
Figura N° 5.
Ejemplo
Si A 1, 2, 3, 4, 5 B 2, 4, 6, 8, 10
Si A B 2, 4
7
Diferencia entre Conjuntos: Es aquel conjunto formado por todo los elementos
del conjunto A que no están o no pertenecen al conjunto B.
A B { x / x A x B}
Figura N° 6.
Figura N° 7.
8
Ejemplo
A B 1,3,5
B A 6,8,10
AB { x / x ( A B ) x ( A B}
AB ( A B ) - ( A B )
Ejemplo
9
Figura N° 8.
A ' x / x U x A
U
A
Figura N° 9.
A’= {1, 3, 5, 7, 9}
10
Conjuntos disyuntos
Conjuntos disyuntos: son aquellos conjuntos cuyos elementos que los componen
son completamente diferentes (no tienen ningún elemento en común).
Se simboliza matemáticamente así:
Sean A B
(x A x B) (x B x A)
Ejemplo
A B son disyuntos
A B
A B son disyuntos
Conjuntos intersecantes
Ejemplo
11
A B A A
A B
A A
( A B) C A ( B C )
A U U
A ( A B)
A B C ( A B) C A ( B C )
A
A U A
A B A B A
A ( B C ) ( A B) ( A C )
A A' U
U'
' U
A A'
( A' )' A
( A B)' A ' B '
Simbología matemática
Propiedades
Si A, B y C son conjuntos, se cumple que:
n( A B) n( A) n(B) - n( A B)
n( A B C ) n( A) n( B) n(C ) - n( A B) - n( A C ) - n( B C ) n( A B C )
12
Ejemplo
n ( A) 10; n ( B) 5; n ( A B) 4
n ( A B) 10 5 4 11
A B {( x, y ) / x A y B}
Ejemplo
A {1, 2}
B {4, 5}
A B {(1 4), (1 5),(2 4),(2 5) }
Figura N° 10.
13
1. Determinar la operación correspondiente al área sombreada
Figura N° 11.
Figura N° 12.
14
Figura N° 13.
Área común entre B y C es B C
Figura N° 14.
Figura N° 15.
Área de la unión de A, B y C es ( A B C )
15
Figura N° 16.
Figura N° 17.
16
1. Indique la operación que señala el área sombreada
Figura N° 18.
a. A – B
b. A’
c. B – A
d. B’
Figura N° 19.
a. ( A B)
b. A’
c. ( A - B) ( B - A)
d. B’
17
3. Indique la operación que señala el área sombreada
Figura N° 20.
a. A – B
b. A’
c. A' B
d. B’
Figura N° 21.
a. B’
b. ( A B)
c. (A – B) (B – A)
d. A’
18
5. Indique la operación que señala el área sombreada
Figura N° 22.
a. ( A B)
b. (A – B) (B – A)
c. A’
d. B’
Figura N° 23
a. A B'
b. ( A B)'
c. B’
d. ( A - B) ( B - A)
19
7. Indique la operación que señala el área sombreada
Figura N° 24.
a. U - ( A B)
b. ( B A)
c. A - B
d. A’
20
CONTENIDOS DE LAS UNIDADES
Unidad 1
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
Unidad 2
Unidad 3
Unidad 4
21
CONTENIDO
Primer corte:
Unidad 1
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
Números Reales.
Exponentes y radicales
Factorización
Fracciones Algebraicas
Unidad 2
Ecuaciones cuadráticas
Inecuaciones
Aplicaciones de inecuaciones
22
Los números reales (designados por ) incluye a los números racionales e
irracionales, que a su vez, el primero, incluye a los números enteros y
fraccionarios. Los números enteros incluyen a los números naturales, los cuales
equivalen a la unión entre los enteros positivos y el 0. Los números complejos son
entonces la unión entre el conjunto de los números reales y el de los imaginarios.
Números naturales
Definición
Corresponde al número que se utiliza para contar los elementos de un conjunto,
reciben ese nombre debido a que fueron los primeros números empleados por el
hombre para contar objetos.
23
Se representan con la letra N.
Ejemplos
Definición
24
Operaciones con los números enteros
Definición
La adición de dos o más números enteros está definida como la operación que los
relaciona obteniendo otro número entero, de tal forma que se cumple lo siguiente
25
a, b Z ab c cZ
Es importante aclarar que a b es igual a a b , donde –b es el opuesto de b
Ejemplo 1
3 + 5 = 8
Ejemplo 2
4 + (– 7) = – 3
26
Ejemplo 3
– 3 + (– 5) = – 8
Ejercicios propuestos
COLUMNA A COLUMNA B
– 4 + 13 –9
–3 + (–1) + 8 3
– 4 + (– 1) + (– 3) + 11 –2
12 + (– 14) 4
– 7 + (– 2 ) 9
Definición
27
a, b Z ab c c Z
Además del producto de las cantidades se tienen en cuenta los signos, de acuerdo
a la siguiente tabla.
+ X + = +
- X - = +
+ X - = -
- X + = -
Ejemplos
3 × 15 = 45
–3 × –15 = 45
–8 × 3 = – 24
5 × –6 = – 30
28
Ejercicios propuestos
Indique la propiedad de los números reales que se aplica en cada uno de los
ejercicios.
Ejercicios Propiedad
–3+3=0
(– 6)(7) = (7)(– 6)
Números racionales
Definición
29
Ejemplo
Definición
La adición de dos o más números racionales está definida como la operación que
los relaciona obteniendo otro número racional, de tal forma que se cumple lo
siguiente
a, b Q a b c c Q
30
a c
Si , Q, entonces
b d 3 2 2 3 7
Conmutativa
a c a c 4 3 3 4 12
b d b d
a a
Si Q, existe Q 3 3 3 (3) 0
Existencia del b b 0
2 2 2 2
elemento opuesto a a
0
b b
Definición
La adición de dos números racionales con igual denominador, es un número racional cuyo
numerador es la suma o resta de los numeradores y cuyo denominador es el
denominador común.
a c ac a c ac
;
b b b b b b
Ejemplo 1
7 12 19
9 9 9
Ejemplo 2
5 4 1
3 3 3
31
Adición de fracciones con diferente denominador
Definición
Para adicionar números racionales con diferente denominador es necesario hallar
el M.C.M. entre los denominadores.
Definición
Dado tres números a, b, c. El mínimo común múltiplo de a, b, c, como su nombre
lo indica, es aquel número que es múltiplo de todos, además es el menor entre
todos sus múltiplos comunes.
Hallar el M.C.M de 2, 3 y 4
2 3 42
1 3 22
Factores primos 2 2 3 12
1 3 13
M.C.M. 12
1 1 1
Ejemplo 1
1 5 7 10 3
2 7 14 14
14 2 7 7 1 7 14 7 2 2 5 10
Ejemplo 2
4 2 7 28 6 7 27
3 7 21 21 21
21 3 7 7 4 28 21 7 3 3 2 6 21 21 1 1 7 7
32
Ejemplo 3
1 5 3 14 20 21 15
2 7 4 28 28
28 2 14 14 1 14 28 7 4 4 5 20 28 4 7 7 3 21
33
a
Si Q, 1 Q
Existencia del b a 3
1 3 2 1
elemento inverso b 2 3 2 3
a b 2
1
b a
Multiplicación de fracciones
Definición
El producto de dos o más fracciones se halla multiplicando los numeradores y los
denominadores entre sí; éste producto se debe simplificar si es posible.
a c ac
b d bd
Ejemplo 1
5 4 20 10
6 7 42 21
Ejemplo 2
6 5 1 30 5
3 4 2 24 4
Esta operación cumple las mismas propiedades del cociente de números enteros,
sin embargo se hará énfasis en la división de fracciones para complementar el
tema.
34
División de fracciones
Definición
En esta operación existen dos métodos para realizarla.
Ejemplo
8 4 8 7 56
7
2 7 2 4 8
Ejemplo
3
3 7 3 2 6 3
4
4 2 7 4 7 28 14
2
Ejercicios propuestos
1 5 3 1 1
a. e.
2 2 4 2 3
8 7 3 1 8
b. f.
15 5 5 15 25
35
9 3 2 1 3
c. g.
8 2 3 8 4
5 5 6 7 8
d. h.
16 18 7 8 9
1. Un Gerente repartió 20.000 euros entre sus tres mejores empleados: 2/4 para
Diana, 2/5 para Cesar y el resto para Natalia. ¿Cuánto dinero recibió cada uno?
3. Se reparte una herencia entre tres hermanos. Sabiendo que el testamento dice
que el menor de ellos deberá recibir el doble del segundo y éste a su vez el triple
del mayor, que recibió 35.500 euros, ¿a cuántos euros asciende la herencia y
cuánto les corresponde a los otros hermanos?
1
4. Gasté de mi dinero, si aún me quedan $510 ¿Cuánto dinero tenia?
2
Números reales
Definición
Los números reales son los números enteros o decimales, incluyendo aquellos
que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales
contiene todos los números enteros, positivos y negativos; las fracciones y los
números irracionales.
36
El conjunto de los números racionales se simbolizan con la letra .
Definición
Ejemplo
34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
37
5. Para dividir potencias que tengan la misma base se deja la misma base y se
restan los exponentes.
LEYES EJEMPLOS
1 x0 1 4 0 1, (-2) 0 1, - 2 0 1
1 1 3
2 x n 4 3 , 3 x 5
xn 43 x5
1 1 4
3 n
xn 3
53 , 5 4 x 5
x 5 x
4 x m x n x m n 5 2 53 55
5 xm 85
x mn 82
xn 83
6 x
m n
x mn (3 2 ) 3 36
7 xy n x n y n (4 3) 3 4 3 33
n
8 x xn 54
4
5
4
y yn 3 3
38
Radicación de números reales
Definición
• b es la solución raíz.
PROPIEDADES EJEMPLOS
m
xm x
n 2 4
x2 x 3 , 84 8
n 3 3 3
1
x m (n x ) m 84 (3 8 ) 4 24 16
n 3
2
n
x x 27 3 27 3
n
3
3 y n
y
64 3 64 4
4
n
xy n x n y 64 25 1.600 40
39
5
n m
x nm x 3 4
5 12 5
6
a a
n n
8 8, (
3 3
5 )2 5
7
n
a n a, si a 0 3
23 2, 52 5
n
a n a, si n es impar 3
(2) 3 2, 5
(2) 5 2
8
1. Toda raíz se puede representar por una potencia fraccionaria, tomando como
numerador de la fracción la unidad y como denominador el índice de la raíz.
5. Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se
conserva la cantidad subradical o radicando.
40
Errores en las operaciones con radicales que no se pueden
cometer
Ejemplos
3 2 4 2 25 5 3 4 7
4 9 13 4 9 5
Simplificación de radicales
Ejemplo 1
12
x8
Solución
8
12
x x 8 12
Por la propiedad1 de los radicales
8 2
x 12
x 3
Simplificando el exponente
Ejemplo 2
41
Solución
(8) (2)
3
5
5
(2) 5 32
Ejemplo 3
3
Expresar la potencia 81 4 como una raíz
Solución
3
(81) 4 4 (81) 3 Por la propiedad 1 de los radicales
4
(81) 3 (81)
4
3
Por la propiedad 2 de los radicales
(81)
4
(3)
3
4 4
3
(81)
4
(3)
3
3
(3) 3 27
Racionalización
Definición
42
numerador y el denominador por una expresión adecuada, de forma que al operar,
se elimine la raíz.
Ejemplos
Racionalizar el denominador
2
5
Solución
2 5
5 5
2 5 2 5
=
5 5 5
Racionalizar el denominador
6
3
3
Solución
3
Hay que multiplicar numerador y denominador por 32 , de la siguiente forma
3 3
6 32 6 32
3 3 3
31 32 33
43
Después se despeja la raíz cúbica del denominador ya que la cantidad subradical
que es 3 elevada a la suma de los exponentes correspondientes puede eliminar o
despejar la raíz
63 9
3
Simplificando
23 9
Ejemplo
4
5 3
4 5 3
5 3 5 3
4 5 3 4 5 3
2
5 32 53
4 5 3
2
Simplificando
2 5 3
44
Ejercicios propuestos
3
a. (16) 2
2
b. (8) 3
c. (81) 0.75
d . (8) 0.3
a. 64
b. 4
c. 27
d. 2
x 2 y 2 7x 2
a. b. 2 x 1 x 3 c. (3t ) 2 d. 3 e. 5
x 2 y 3 z 10
2 4
z x
4
x 2 y 6 z 2 3 4
f. g. 3 2 ( 27) 3 h. t
1
xy
45
Respuestas a los ejercicios anteriores
x2z2 2 1 x 2 / 5y 3/ 5
a. b. c. d. (7 x 2 )1/3 e.
y2 x4 9t 2 z2
xz 2 1
f. g. h. t 2/3
5 9
y
a. 27 5 3
b. 15 12 5 27
c. 12 12a 10 3a
a. 8 3
b. 15 3
c. 14 3a
3
a.
5 2 3
7 2
b.
7 2
46
Respuestas a los ejercicios anteriores
3 ( 5 2 3)
a.
7
51 14 2
b.
47
a. 2 12 3 75 27
b. 24 5 6 486
c. 2 5 45 180 80
d. 3
54 3 16 3 250
a. -8 3
b. 6 6
c. 7 5
d. 632
47
Término algebraico
Definición
• Signo: por omisión es positivo, en caso contrario debe aparecer antes del
coeficiente.
Expresiones algebraicas
Definición
Ejemplos
5a 6b ; 2ax 2 ; 6 xy 2 5 x 2 y ; 9 x 2 7 x 12
48
Clasificación de los polinomios según el número de términos
Ejemplos
Son monomios
3a ; 5b ; x2 y
4n 3
Son binomios
2x y ; 3x 2 x
a b ; 3
4y 5m
Son trinomios
a b 2c x 2 xy y 2 z 2 5z 1
Grado de un polinomio
Definición
49
Ejemplo
Solución
Esta expresión tiene cuatro términos, por lo tanto es un polinomio, las letras
distintas que poseen los términos, son las tres variables, luego es un polinomio de
tres variables. Los grados en cada variable son:
Ejercicios propuestos
3. x 2 8x 16
4. t 6 s 6 1
Términos semejantes
Definición
50
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplos
9 x3 10 x3 19 x3
4 x5 7 x5 11x5
5m 2 , 12m 2 (5 12)m 2 7m 2
51
Ejercicios propuestos
1. 9m 2 n 3 , 15m 2 n 3
2. 18x 3 , 12 x 3
3. 19 x 2 , 23x 2
Es importante recordar que si antes de un paréntesis hay un signo positivo (+), los
signos de los términos que están dentro del paréntesis quedaran iguales al
destruirlo, pero si el signo antepuesto al paréntesis es negativo (–), todos los
signos de los términos que están dentro del paréntesis serán automáticamente
opuestos al destruirlo.
Ejemplo
5x 3 y 2xy 1 6x 3 y 2x 3xy 7
5x 3 y 2 xy 1 6x 3 y 2 x 3xy 7
Agrupando y ordenando
52
5x 6x 2x 2xy 3xy 3 y 3 y 7 1
9 x 5xy 6
Adición de polinomios
Para realizar una operación de adición (suma o resta) se debe tener en cuenta la
reducción de términos semejantes y la eliminación de los signos de agrupación.
Ejemplo 1
4 x² 7 x 2 xy 2 y² 3x² 6 xy 5 y²
(4 x 2 3x 2 ) (2 xy 6 xy ) (2 y 2 5 y 2 ) 7 x
7 x² 4 xy 3 y ² 7 x
53
Ejemplo 2
Solución
5x² 3xy y ³ 2 x² 4 xy 1
3x² 7 xy y ³ 1
Multiplicación de polinomios
Establece que al multiplicar una adición de términos por otra expresión, se obtiene
el mismo resultado que multiplicar cada sumando por la expresión y después
adicionar todos los productos.
Ejemplo
7 6 (5) 7 5 6 5
54
13 (5) 35 30
65 65
Ejemplo 1
Solución
Ejemplo 2
Solución
(3x² 2 y)( 2 x² 5xy y³) 3x² (2x² 5xy y³) 2 y (2x² 5xy y³)
55
3x²(2 x² 5xy y ³) 2 y(2 x² 5xy y ³) 6 x 4 15x³ y 3x² y ³ 4 x² y 10 xy ² 2 y 4
Entonces
División de polinomios
División polinómica
Dados dos polinomios p(x) y q(x) con q( x) 0 , al dividir p(x) (dividendo) por q(x)
(divisor) se obtiene el polinomio c(x) (cociente) y otro polinomio r(x) (residuo),
que cumple el siguiente teorema:
Ejemplo
p ( x ) 4 3 x 2 x ² 3 x ³ 6 x 4 q ( x) x 1 4 x ²
Para realizar la división, se debe tener en cuenta la siguiente regla. Los términos
de cada uno de los polinomios dados (dividendo y divisor) deben ordenarse en
forma descendente con respecto al exponente de la variable x en cada uno de
ellos. Además si llegasen a faltar términos en el polinomio, de acuerdo al orden
lógico descendente, estos espacios correspondientes deberán ser llenados con 0.
56
p ( x) 6 x 4 3 x ³ 2 x ² 3 x 4 Dividendo
q( x) 4 x ² x 1 Divisor
6x 4 3x 3 2x 2 3x 4 4x 2 x 1
6x 4
3 3
3 3 3 31
x x² x² x
2 2 2 8 32
3 3 7
x x² 3x
2 2
3 3 3 3
x x² x
2 8 8
31 21
x² x 4
8 8
31 31 31
x² x
8 32 32
115 159
x
32 32
Donde el cociente es
3 3 31
c( x) x² x
2 8 32
y el residuo es
115 159
r ( x) x
32 32
57
Ejercicios propuestos
2. 9m²n³ 15m²n³
3. ( x 11x 28) ( x 4)
2
5. 7a 3b 2 6a 3b 2
División sintética
Ejemplo
(2 x 4 6 x³ 9 x 5) ( x 2)
2 6 0 9 5
58
En la tercera posición se agrega el 0 por cuanto no hay términos de segundo
grado. Luego al tomar c del divisor.
2 -6 0 9 5 2
2 -6 0 9 5 2
4
2 -2
Para continuar con el proceso se repite el paso anterior, hasta terminar con el
último coeficiente que representa el residuo.
2 -6 0 9 5 2
4 -4 -8 2
2 -2 -4 1 7
59
Reduciendo en uno el exponente mayor del dividendo p(x), y se va ordenando en
forma descendente el exponente de x, con el fin de establecer el resultado final.
Cociente 2 x³ 2 x² 4 x 1
7
Residuo
x2
Ejercicios propuestos
1. (4 x 3 2 x 2 7 x 9) ( x 1)
2. (2 x 2 x 1) ( x 1)
3. ( x 3 x 2 x 3) ( x 3)
Factorización
Definición
Factor común
60
Ejemplo 1
8x 4 y 2 6 x 3 y 3 2 xy 4
Solución
Para hallar el segundo factor se divide término a término el polinomio por el factor
común
8x 4 y ² 2 xy ² 4 x³
6 x³ y ³ 2 xy ² 3x² y
2 xy 4 2 xy ² y ²
Entonces
8x 4 y ² 6 x³ y ³ 2 xy 4 2 xy ²(4 x³ 3x² y y ²)
Ejemplo 2
Factorizar
4a 3b 2c 8a 5b3c 2 5a 2b3c 3 3a 4b 4c 4
61
Solución
Factorización de binomios
Definición
Definición
Es una expresión algebraica que se caracteriza porque los términos del binomio
tienen raíz cuadrada exacta. Su factorización se realiza hallando el producto de la
suma de la raíz cuadrada de cada término, por su diferencia.
a² b² (a b)(a b)
Ejemplo 1
Factorizar
x 4 y²
62
Solución
x 4 y 2 ( x² y)( x² y)
Ejemplo 2
Factorizar
9
x6
25
Solución
9 3
x6 x3 ;
25 5
9 3 3 3 3
x6 x x
25 5 5
Definición
Es una expresión algebraica que se caracteriza porque los términos del binomio
tienen raíz cúbica exacta. Su factorización se realiza hallando las raíces cúbicas
de los términos y relacionándolas por el signo correspondiente. Para hallar la
segunda expresión se eleva la primera raíz hallada al cuadrado seguida del
producto de las dos raíces halladas, y como tercer término el cuadrado de la raíz
del segundo término. Es importante tener en cuenta que si el binomio es una
63
“suma” la primera expresión lleva el mismo signo, y el segundo término de la
segunda expresión es “ ”, de igual manera, si el binomio es una “diferencia” la
primera expresión tendrá el mismo signo “ ” y todos los signos de la segunda
expresión son positivos.
a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 ) Suma
a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 ) Diferencia
Ejemplo 1
Factorizar
8x 3 27 y 6 2 x 3 y 2 4 x 2 6 xy 2 9 y 4
Ejemplo 2
Factorizar
64 z12 125 4 z 4 5 16 z 8 20 z 4 25
Ejercicios propuestos
1. 6 x 12
2. 24a 12ab
3. 14m²n 7mn
4. 8a³ 6a²
5. b4 b³
6. 14a 21b 35
7. 20 x 12 xy 4 xz
64
8. 10 x² y 15xy ² 25xy
9. 9a² 25b²
10. 4 x8 1
11. 36m²n² 25
9 2 49 2
13. a b
25 36
Factorización de trinomios
Definición
Un trinomio es un polinomio formado por tres términos. Los más conocidos son el
trinomio cuadrado perfecto, el trinomio de la forma x 2 bx c y el trinomio de la
forma ax 2 bx c , la factorización se puede obtener a partir de la división de
polinomios, sin embargo, hay otros procedimientos para su factorización como se
verá a continuación.
Definición
65
comprobar que el otro término cumpla las condiciones anteriormente mencionadas.
El signo a tomar en cuenta es el que tiene el doble producto.
Ejemplo
Factorizar
9 x 2 30 x 25
9 x 2 3x
25 5
Se comprueba que el otro término sea el resultado del doble producto de las
raíces halladas
30 x 2 (3x) (5)
30 x 30 x
Por lo tanto
9 x 2 30 x 25 3x 5
2
Trinomio de la forma x bx c 2
Este trinomio se identifica fácilmente, por cuanto la variable cuadrática tiene como
coeficiente 1, además el segundo término tiene como grado la mitad del primero, y
el tercer término es un factor independiente, después de ser ordenados
descendentemente por el exponente de la variable. Su factorización es fácilmente
realizable, por cuanto se deben hallar dos números cuya adición sea el resultado
del coeficiente del segundo término (b), y su producto debe ser igual al término
independiente(c); es importante tener en cuenta que el mayor de los números va
en el primer paréntesis. El signo del segundo término va en el primer paréntesis, y
el producto de los signos del segundo y del tercer término va en el segundo
paréntesis.
66
Ejemplo 1
Factorizar
x 2 7 x 10
Solución
Como los signos de los paréntesis son iguales (signo del segundo término “+” y el
producto de los signos “+”) se deben encontrar dos números cuya suma sea 7 y
su producto 10, entonces se tiene que 5 + 2 = 7 y 5 x 2 = 10
Entonces x 2 7 x 10 ( x 5)( x 2)
Ejemplo 2
Factorizar
x 2 x 12
Solución
Como los signos de los paréntesis son diferentes (signo del segundo término “ ” y
el producto de los signos “+”) se deben encontrar dos números cuya adición sea 1
y su producto 12, entonces se tiene que 4 + 3 = 1 y ( 4) × 3 = 12
Entonces x 2 x 12 ( x 4)( x 3)
Trinomio de la forma ax 2 bx c
Otro trinomio que es de carácter más general que el anterior, es el que tiene la
forma ax 2 bx c , que se diferencia del anterior en el coeficiente de x 2 , que en
este caso es a el cual debe ser siempre diferente de 1. Existen varias formas de
realizar la factorización de este tipo de polinomios, pero uno de los métodos más
conocidos y utilizados, consiste en multiplicar y dividir el polinomio por el
coeficiente a de x 2 .
a(ax 2 bx c)
,
a
67
Efectuando el producto indicado en el numerador aplicando la propiedad
distributiva de la multiplicación y ordenando en forma adecuada, se obtiene la
siguiente expresión:
(aa) x ² b(ax) ca
a
(a ²) x ² b(ax) ca
a
(ax) b(ax) ca
2
Ejemplo 1
4x2 6x 4
Solución
4(4 x 2 ) 6(4 x) 16
4
(4 x) 2 6(4 x) 16
4
(4 x 8)(4 x 2)
4
68
Simplificando
( x 2)(4 x 2)
4 x 2 6 x 4 ( x 2)(4 x 2) .
Ejemplo 2
Factorizar
2 x² 5 x 3
Solución
2 2 x 2 52 x 32
2
(2 x) 2 52 x 6
2
2 x 32 x 2
2
Simplificando
(2 x 3)( x 1)
2 x² 5x 3 (2 x 3)( x 1)
69
Ejercicios propuestos
1. p 2 4 p 3
2. x 2 6 x 9
3. x 2 5x 24
4. y 2 15 y 50
5. y 2 6 y 8
6. 2 x 2 12 x 16
7. 9 z 2 24 z 16
8. 6 y 2 13 y 2
9. 4 y 2 8 y 3
10. 2 x 2 7 x 15
Fracción algebraica
Definición
70
Simplificación de fracciones
Se simplifican hasta donde sea posible, de tal manera que se obtengan fracciones
donde el numerador y el denominador no tengan factores comunes. El principio
básico para simplificar fracciones es la siguiente relación.
xz x
si z 0
yz y
Ejemplo
Solución
correspondientes
x 2 ( x 2)( x 2)
x 2 ( x 2)( x 1)
( x 2)( x 2)( x 2)
( x 2)( x 2)( x 1)
( x 2)
( x 1)
Entonces
71
x 2 x 4 x 2
2
2
x 2 x x 2 x 1
Ecuaciones lineales
Definición
Ejemplos
3x 2 y 10
3a 472b 10b 37
3x y 5 7 x 4 y 3
Las ecuaciones lineales de una sola variable, la cual puede repetirse en varias
oportunidades en la misma ecuación, tiene una única solución.
Ejemplo
72
Solución
2 x 7 x 6 3
5 x 3
5x 3
5 5
3
x
5
Definición
Ax By C 0
73
La pendiente de la recta es el coeficiente de la variable x una vez puesta en forma
explícita, es decir, cuando en la ecuación general se ha despejado la variable y.
A C
y x
B B
A
Luego se concluye que la pendiente m
B
Método gráfico
2. Se construye una tabla de valores para cada ecuación, dando valores a una de
las variables.
Si las rectas se cortan en todos los puntos, es decir, coinciden, se dice que el
sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.
74
Ejemplo 1
x y 1 (1)
2 x y 1 (2)
y x 1
y 2x 1
2. Se hallan los valores de las intersecciones con los ejes haciendo a cada una de
las variables igual a 0.
x 0 1 x 0 1/2
y 1 0 y 1 0
3. En este caso como las rectas se cortan en un solo punto, entonces el sistema
tiene única Solución.
75
4. Para establecer analíticamente la solución de un sistema de ecuaciones
lineales se pueden utilizar cualquiera de los métodos siguientes:
Igualación
Sustitución
Eliminación por suma y resta
Determinantes
Haciendo uso del método de igualación, como ya están despejadas las variables y
de las ecuaciones dadas, se igualan sus resultados de la siguiente forma:
x 1 2x 1
x 2 x 1 1
x 2
x2
2 y 1
2 1 y
3 y
Ejemplo 2
Solución
76
y
x 1
2
y
x 1
2
2( x 1) y
2x 2 y
2x y 2
2x 2 y
Ejemplo 3
2 x y 3 (1)
x y 1 (2)
2
Solución
77
2x y 3
2x 3 y
y
x 1
2
y
x 1
2
2( x 1) y
2x 2 y
Tabulando
x 0 3/2 x 0 1
y -3 0 y 2 0
78
Este sistema de ecuaciones no tiene solución debido a que las rectas son
paralelas.
Método de sustitución
Ejemplo1
3x y 22 (1)
4 x 3 y 1 (2)
22 y
x (3)
3
2. Se sustituye la ecuación (3) en la ecuación (2), para que ésta quede expresada
en términos de la variable y
22 y
4 3 y 1
3
79
22 y
4 1 3 y
3
422 y 3(1 3 y)
88 4 y 3 9 y
88 3 9 y 4 y
91 13 y
91
y
13
7 y
22 y
x (3)
3
22 7 15
x
3 3
x 5
x5 y7
Ejemplo 2
3x y 11 (1)
5 x y 13 (2)
80
y 11 3x (3)
2. Se sustituye la ecuación (3) en la ecuación (2), para que ésta quede expresada
en términos de la variable x
5x (11 3x) 13
5 x 11 3 x 13
5 x 3 x 13 11
8 x 24
24
x
8
x3
y 11 3 x (3)
y 11 3(3)
y 11 9
y2
x3 y2
Ejemplo 3
Solución
x Largo.
81
y Ancho.
P Perímetro.
x y 12
P 2 x 2 y 96
x y 12 (1)
2 x 2 y 96 (2)
x y 12
2( y 12) 2 y 96
2 y 24 2 y 96
4 y 24 96
4 y 96 24
4 y 72
72
y
4
y 18
x y 12 (1)
x 18 12
x 30
2 x 2 y 96
2(30) 2(18) 96
60 36 96
82
Se concluye entonces que el largo de la cancha es de 30 m y el ancho es de 18 m.
Ejemplo 4
Para asistir a una función de teatro, se tiene dos tipos de entradas, el preferencial
vale $4.500 y el popular vale $3.000, si se vendieron 450 boletas para un recaudo
de $1.819.500 ¿Cuántas boletas de cada clase se vendieron?
Solución
x = preferencial
y = popular
R = recaudo
x y 450
R 4.500 x 3.000 y 1.819.500
x y 450 (1)
4.500 x 3.000 y 1.819.500 (2)
x 450 y (3)
83
4.500(450 y ) 3.000 y 1.819.500
1.500 y 205.500
205.500
y
1.500
2055
y
15
y 137
x 450 y (3)
x 450 137
x 313
Verificando
84
Se concluye entonces que en preferencial se vendieron 313 boletas y en popular
se vendieron 137 boletas.
Método de igualación
Ejemplo 1
x 2 y 22 (1)
4 x y 7 (2)
Solución
x 22 2 y
85
7 y
x
4
7 y
22 2 y
4
422 2 y 7 y
88 8 y 7 y
88 7 y 8
81 9 y
81
y
9
y9
2 y 22 x
22 x
y
2
4x 7 y
22 x
4x 7
2
22 x 2(4 x 7)
22 x 8 x 14
22 14 8 x x
36 9 x
86
36
x
9
4x
x4 y 9
Ejemplo 2
3x y 11 (1)
5 x y 13 (2)
Solución
y 11 3x
y 5 x 13
11 3x 5x 13
3. Transponiendo términos
11 13 5 x 3 x
24 8 x
24
x
8
x3
87
3 x 11 y
11 y
x
3
5 x y 13
5 x 13 y
13 y
x
5
11 y 13 y
3 5
5(11 y ) 3(13 y )
55 5 y 39 3 y
55 39 3 y 5 y
16 8 y
16
y
8
2 y
x3 y2
88
nuevos coeficientes de la variable elegida en las dos ecuaciones resultantes
de la multiplicación realizada sean iguales y de signo opuesto.
Ejemplo 1
2 x 4 y 20
3x y 10
Solución
(2 x 4 y 20) 1
(3x y 10) 4
2 x 4 y 20
12 x 4 y 40
2x 4 y 20
12 x 4 y 40
10 x 20
Despejando la variable x
89
10 x 20
20
x
10
x2
Multiplicando la primera ecuación por (3) y la segunda ecuación por (-2) para
eliminar la variable x
(2 x 4 y 20) 3
(3x y 10) 2
6 x 12 y 60
6 x 2 y 20
6 x 12 y 60
6 x 2 y 20
10 y 40
Despejando la variable y
10 y 40
40
y
10
y4
x2 y4
90
Ejemplo 2
3x y 11 (1)
5 x y 13 (2)
Solución
Como en este caso se tiene que la variable y en ambas ecuaciones tiene el mismo
coeficiente que es 1, pero el signo de sus terminos son diferentes, se pueden
adicionar las ecuaciones miembro a miembro en forma inmediata como se
muestra a continuación
3x y 11
5 x y 13
8x 24
Despejando la variable x
8 x 24
x3
Multiplicando la primera ecuación por (5) y la segunda ecuación por (-3) para
eliminar la variable x
(3x y 11) 5
(5 x y 13) 3
15 x 5 y 55
15 x 3 y 39
91
15 x 5 y 55
15 x 3 y 39
8y 16
Despejando la variable y
8 y 16
16
y
8
y2
x3 y2
Ejercicios propuestos
Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones por cada uno de los métodos
(gráfico, sustitución, igualación y eliminación por suma y resta), comprueba que
las soluciones de cada sistema de ecuaciones deben ser iguales para cada caso:
5 x 2 y 2 x y6
1. 4.
7 x 3 y 6 5 x 4 y 12
2 3
4 x 3 y 10 x y 1
2. 5.
9x 4 y 1 4 7
1
x y
5x 3 y 0
3.
7 x y 16
92
Aplicaciones de ecuaciones lineales
Ejemplo 1
Solución
2 p 20 180
2 p 180 20
2 p 160
160
p
2
p 80
2 p 20 180
2(80) 20 180
160 20 180
180 180
93
Ejercicios propuestos
4. Descomponer el número 149 en dos partes tales que el cociente entero entre
dichas partes sea 4 y el resto 4. (Rta. 120 y 29).
7. Una fábrica de agua lavandina ofrece dos tipos de producto. Uno de ellos
(lavandina A) contiene 12% de materia activa, y el otro (lavandina B) 20% de
materia activa. ¿Cuántos litros de cada uno deben utilizarse para producir 100
litros de agua lavandina con 15% de materia activa? Rta. 62,5 litros de lavandina A
y 37,5 litros de lavandina B.
94
9. Para entrar a un centro recreacional, 7 adultos y cinco niños pagan un total de
$44.400. ¿Cuáles son las tarifas que maneja el centro, si una familia de 3 adultos
y 5 niños cancelan $27.600?
10. A una obra de teatro asisten 200 personas y cierto número de ellas compraron
abonos por lo cual obtuvieron un descuento en el valor de la boleta. Si el número
de personas que no compraron abonos excede en 20 al triple de los que
obtuvieron descuento. ¿Cuántas personas compraron abonos.
11. Luis y Javier comparan sus salarios mensuales. Luis dice que en un año gana
el triple de lo que recibe Javier en 8 meses y que el 20% de su sueldo mensual es
inferior en $40.000 al 50%del salario mensual de Javier. ¿Cuál es el salario
mensual de cada uno?
12. Tengo 30 monedas, unas son de $500 y otras de $100. ¿Puedo tener en total
$7.800? (Justifique su respuesta).
15. Las tres quintas partes del Ingreso Total semanal en una empresa equivale a
$238.000 ¿Cuál es el ingreso semanal en esta empresa?
16. Una persona tiene x cantidad de dinero en un banco, si quisiera retirar todo el
dinero le harían un descuento de dos por mil equivalente a $7.000 ¿Cuánto dinero
tiene en el banco?
Ecuaciones cuadráticas
b b 2 4ac
x
2a
95
En la ecuación 2 x2 5x 3 0 a 2 b 5 c 3 . Para resolverla se utiliza la
fórmula anterior
5 52 4(2)(3) 5 25 24 5 49 5 7
x
2(2) 4 4 4
De donde
57 1 5 7 12
x1 x2 3
4 2 4 4
Se grafica la función 2 x 2 5x 3 y
Ejercicios propuestos
1. y 2 x 2 5x 18 4. y x 2 4x
2. y 3x 2 x 2 5. y x 2 6x 5
96
3. y x 2 4x 5 6. y 4 x 2 10 x 6
Inecuaciones
Definición
1) x a x a x a
2) x a x a x a
3) Dados dos números reales a y b, siempre se cumple una y solo una de las
siguientes condiciones:
4) Si a, b a b b a
5) Si a, b, c a b a c b c
6) Si a, b, c a b c 0 ac bc
7) Si a, b, c a b c 0 ac bc
8) Si a, b ab 0 a 0 b 0 a 0 b 0
9) Si a, b ab 0 a 0 b 0 a 0 b 0
1
10) Si a a 0 0
a
11) Si a, b, c a b b c a c a b b c
97
Intervalos
Definición
1. Cerrado a, b x / a x b
A este intervalo pertenecen todos los números reales que están entre los extremos
a y b incluyéndolos a ellos.
2. Abierto a, b x / a x b
A este intervalo pertenecen todos los números reales que están entre los extremos
a y b, sin incluirlos a ellos.
A este intervalo pertenecen todos los números reales que están entre los extremos
a y b, incluyendo a “b” solamente.
98
A este intervalo pertenecen todos los números reales que están entre los extremos
a y b incluyendo a “a” solamente.
Resolver una inecuación es hallar los valores de la variable que hacen cierta la
desigualdad; al conjunto de dichos valores se le llama conjunto solución.
Ejemplo 1
Resolver la inecuación 3x 6 9
Solución
3x 6 9
3x 9 6
3 x 15
15
x
3
x5
99
Ejemplos
1. (-4, 0]
Solución gráfica
2. [2, ∞)
Solución gráfica
Ejercicios propuestos
a) 3x 6 5x 4
b) 2 x 4 5x 8
c) 5x 6 3x 7
x x 1
d) 10
2 3
3 4
e) x x 1
4 5
f) 6 5x 10 7 5x
100
Inecuaciones cuadráticas
Ejemplo
Resolver la inecuación x² 3x 4 0
Solución
x² 3x 4 0 ( x 4)( x 1)
x40
x4
x 1 0
x 1
101
En los intervalos ,1 y 4, el producto de los signos es positivo por lo tanto el
conjunto solución será.
S x / x ,1 4,
S ,1 4,
Ejemplo
1 5x 0
1
1 5x Multiplicando a ambos miembros de la inecuación por
5
1 1
x Entonces x
5 5
La solución de la inecuación dada está formada por los valores reales de x que
1
son menores que
5
1
La solución en notación de intervalo se escribe x - ,
5
102
A continuación se presenta una lista de enunciados y su interpretación algebraica
que puede ayudar a modelar la inecuación.
Enunciado Expresión
verbal algebraica
Es mayor que >
Es a lo más <
Es al menos >
Ejemplo
103
Ejemplo 1
Para una compañía que fabrica termostatos, el costo combinado de mano de obra
y material es de US$5 por termostato. Los Costos Fijos (los costos de un periodo dado
sin importar la producción) son de US$60.000. Si el precio de venta de un
termostato es de US$7. ¿Cuántos debe venderse para que la compañía obtenga
utilidades?
Solución
5 q + 60.000
Entonces
7 q – (5 q + 60.000) > 0
De donde
2 q - 60.000 > 0
2 q > 60.000
Entonces
q > 30.000
104
Por lo tanto se deben vender al menos 30.001 termostatos para que la compañía
obtenga utilidades.
Ejemplo 2
Solución
450
(50 0,10q ) 54
q
450
50 0,10q 54 0
q
450 0,10q ² 4q
0
q
105
0,10q ² 4q 450
0
q
4 16 180
q
0,20
4 14
q
0,20
4 14 18
q1 90 extremo del intervalo
0,20 0,20
4 14 10
q2 50 extremo del intervalo
0,20 0,20
(q 90)(q 50)
0
q
Analizando la inecuación por el método gráfico
106
El diagrama de signos nos muestra que la solución de la inecuación es
(, 90) (0, 50) . Debido a que no es posible tener un número negativo de
estudiantes, se infiere que el grupo debe tener más de 50 estudiantes para que el
Costo Total por persona sea menor de US$54.
Ejercicios propuestos
1. 7 x 1 10 x 4
2. 6 2 x 3 1
3. 3x 1 0
4. Una fábrica paga a sus vendedores US$10 por artículo vendido más una
cantidad fija de US$500. Una segunda fábrica paga US$15 por artículo vendido
más una cantidad fija de US$300. ¿Cuántos artículos se deben vender para que la
segunda fábrica obtenga una mayor ganancia?
5. Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de US$60 cada
artículo. Gasta US$40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y
tiene costos adicionales fijos de US$3.000 a la semana en la operación de la
planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para
obtener una utilidad al menos de US$1.000 a la semana.
6. Una playa de estacionamiento tiene capacidad para 60 coches; pero solo hay
cierto número de coches estacionados en ella. Si el número de coches se redujera
a la sexta parte se ocuparía menos de la décima parte de la capacidad del
estacionamiento; pero si se tratara de duplicar el número de coches; más de ocho
coches no podrán ser estacionados por falta de espacio. ¿Cuántos coches hay en
el estacionamiento?
107
7. En un galpón había x número de gallinas. Se duplicó el número de gallinas y se
vendieron 27 quedando menos de 54. Después se triplicó el número de gallinas
que había al principio y se vendieron 78 quedando más de 39. ¿Cuántas gallinas
había al principio?
Valor absoluto
Definición
x si x 0
x
x si x 0
a a
ab a b
a a
con b 0
b b
108
Ecuaciones con valor absoluto
ax b c
Si ax b c entonces para todo a, b, c
ax b c
Ejemplo
3x 2 5
Solución
3x 2 5 3 x 2 5
3x 5 2
3 x 5 2
3x 3
3 x 7
3
x 7
3 x
x 1 3
Lo anterior quiere decir que la variable x dentro del valor absoluto puede tomar los
valores de 1 y -7/3 y la igualdad se cumple.
Inecuaciones con valor absoluto
Propiedades
Si a 0, entonces
1. x a es equivalente a a x a
2. x a es equivalente a x a x a
109
Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de inecuaciones,
es:
3. x y es equivalente a x² y ²
Ejemplo 1
Resolver la inecuación 3 4 x 7
Solución
Utilizando las propiedad (1) de las inecuaciones de valor absoluto y los axiomas
de orden, se halla la solución del ejercicio a través del proceso que se describe a
continuación.
3 4x 7
7 3 4x 7
3 7 3 3 4 x 3 7
10 4 x 4
10 4 x 4
4 4 4
5
x 1
2
5
Por lo tanto, la solución de la inecuación es el intervalo S 1,
2
110
Ejemplo 2
Resolver la inecuación 5x 14 10
Solución
5 x 14 10 (1)
5 x 14 10 (2)
5 x 14 10
5 x 10 14
5 x 4
4
x
5
5 x 14 10
5 x 10 14
5 x 24
24
x
5
Es decir
111
4 24
x x
5 5
Ejemplo 3
2x 1
Resolver la inecuación 3
x3
Solución
2x 1
3
x3
2x 1
3
x3
2x 1 3 x 3
2 x 12 9( x 3) 2
2 x 12 9( x 3) 2 0
x 10(5 x 8) 0
112
Elaborando un diagrama de signos
8
Se observa que la solución de la inecuación es 10,
5
Ejercicios propuestos
a. 4 x 1 5
x
b. 2 2
3
x 1
c. 1
x5
2x 3
d. 2
1 x
3x
e. 1 4
4
4 x
f. 3
3x
113
x2
g. 4
x 1
h. 3x 1 4 0
a. 2x - 1 > 3
x
b. 3 2
2
x 1
c. 5
5 2
x
d. 1 1
3
e. x - 3 > 1
f. 3 - 2x < 7
2x 1
g. 1
x3
h. 3 - 2x < x + 4
x 1
i. 2
x2
3x 5
j. 2
x
3x 1
k. 3
x7
114
2x 1
l. 3
1 2x
m. 2 x 5 x 4
3x 5 1
n.
x 1 2
x3 1
o.
5x 3
115
Contenido
Segundo corte:
Unidad 3
Razones
Proporciones
Interés simple
Interés compuesto
Anualidades
Amortizaciones
116
Una de las aplicaciones más interesantes y de gran utilidad que tienen las
matemáticas, es la relacionada con el campo de las finanzas, con temas de gran
interés especialmente para la gente de negocios, o de estudiantes de programas
relacionados con las finanzas, como contaduría, administración de empresas,
negocios internacionales, etc.
Razones
Definición
a Antecedent e
b Con sec uente
Ejemplo 1
117
Antecedente $100.000
4 Razón
Consecuente $ 25.000
• Por cada $ 4 que los dueños o socios de la empresa invierten, los proveedores
o acreedores aportan $ 1
• Cada $ 1 del pasivo total está garantizado por $ 4 del activo total.
Ejemplo 2
$600.000
6
$100.000
Proporciones
Definición
a c
b d
medios
extremos
118
Propiedad de la proporciones
ac
b d
a d b c
extremos medios
a x
xc
x d b x
Ejemplo
Solución
288 48
x 288
48 x 2882
82.944
x
48
x 1.728
119
Tercera proporcional geométrica
ac
xb
x a b d
Ejemplo
Los dos primeros términos de una proporción continua son 288 y 48. Calcular el
cuarto término.
Solución 1 Solución 2
288 48 48 288
x 288 x 48
48 x 288 2
288 x 48 2
82.944 2.304
x x
48 288
x 1.728 x8
Ejemplo
Los tres primeros términos de una proporción son 84, 35 y 48. Calcular la cuarta
proporcional geométrica.
120
x 35 x 48 x 84
84 48 35 84 48 35
48 x (35) (4) 84 x (48) (35) 35 x (48) (84)
48 x 2.940 84 x 1.680 4.032
x
2.940 1.680 35
x x
48 84 x 115,2
x 61,25 x 20
Tipos de proporcionalidad
Directa
Inversa
Proporcionalidad directa
Definición
3. Existe una constante de proporcionalidad entre las dos magnitudes, dada por el
cociente entre ellas, es decir,
k xy
Ejemplo 1
121
Solución
km horas
240 3
x 2
240 3
x 2
240 2 3 x
240 2
x
3
x 160 km
Ejemplo 2
Km galones
135 3
1.080 x
135 3
1.080 x
135 x 1.080 3
122
1.080 3
x
135
3.240
x
135
x 24 galones
Ejemplo 3
Por 5 días de trabajo he ganado $ 390.000. ¿Cuánto ganaré por 18 días de trabajo?
días $
5 390.000
18 x
5 $390.000
18 x
5 x 18 390.000
18 390.000
x
5
7.020.000
x
5
x $1.404.000
Proporcionalidad inversa
Definición
123
En la proporcionalidad inversa, entre dos magnitudes, se cumplen las siguientes
condiciones:
3. Existe una constante de proporcionalidad entre las dos magnitudes, dada por el
producto entre ellas, es decir: k xy
Ejemplo 1
Se quiere pintar una casa y para ello se contratan 2 obreros. Ellos estiman que
podrán pintar la casa completamente en una semana. Como se necesita el trabajo
con mayor urgencia, se decide contratar 4 obreros más (6 en total).
Solución
obreros días
2 7
6 x
2 x
6 7
14 6 x
14
x
6
x 2,33 días
124
Ejemplo 2
Si tardo 2 horas en llegar a Bogotá con una rapidez de 100 Km/h. ¿Cuánto
demoraré si llevo una rapidez de 120 km/h?
Solución
horas rapidez(km/h)
2 100
x 120
x 100
2 120
120 x 2 100
2 100
x
120
x 1, 6 horas
x 1hora 40 minutos
Ejemplo 3
125
tiempo grifos
30 2
x 3
x 2
30 3
3 x 60
60
x
3
x 20 minutos
Regla de tres
Definición
Regla de tres simple: Se da, cuando se relacionan dos magnitudes, de las cuales
se conocen tres datos y se busca el valor del cuarto dato. La regla de tres, se dice
que es simple directa, cuando se establece una relación directamente proporcional
entre las dos magnitudes involucradas. La regla de tres, se dice que es simple
inversa, cuando entre las dos magnitudes involucradas se puede establecer una
relación inversamente proporcional.
126
Ejemplo 1
Solución
km horas
160 2
x 5
160 x
2 5
2 x 160 5
160 5
x
2
800
x
2
x 400 km
Ejemplo 2
127
Solución
Entre estas dos magnitudes se da una relación inversamente proporcional, debido
a que entre más obreros contratados, menos días emplearán en realizar la obra.
obreros días
6 20
10 x
6 x
10 20
6 20
x
10
120
x
10
x 12 días
Ejemplo 3
Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han proporcionado cierta cantidad
de agua que tiene un costo de $20.000. Averiguar el costo del agua de los 15
grifos abiertos durante 12 horas diarias
Solución
grifos horas $
9 10 20.000
15 12 x
128
9 10 20.000
15 12 x
20.000 15 12
x
9 10
x $40.000
Ejercicios propuestos
2. ¿Cuál será la altura de una columna que produce una sombra de 4,5 m
sabiendo que a la misma hora una varilla vertical de 0,49 m arroja una sombra de
0,63 m? Rta. 3,5 m
129
9. Un comerciante compró 33 kg de heno a razón de $62 el kg. Si el kilogramo
aumenta $ 4, ¿cuántos kg de heno podría comprar con el mismo dinero? Rta. 31
kg
10. Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para
terminarlo es de 30 días. ¿Cuántos obreros deberán aumentarse? Rta. 32 obreros
14. Se han pagado $144.000 a 24 obreros que han trabajado 8 días, 8 horas
diarias, ¿Cuánto se pagará a 15 obreros que deben trabajar 12 días, 9 horas por
día? Rta. $15.1875
16. Una pileta se llenó en 3 días dejando abiertos 2 grifos que arrojan 20 litros por
hora, durante 6 horas diarias. ¿Cuántos días se precisarán para llenar la misma
pileta si se dejan abiertos 4 grifos que arrojan 18 litros por hora durante 5 horas
diarias? Rta. 2 días
130
19. Un coche recorre 240 km en 3 horas. ¿Qué distancia recorre en 2 horas? Rta.
160 km.
20. El dueño de una papelería ha pagado 290 euros por la compra de 580
bolígrafos. Al tiempo vuelve a comprar bolígrafos y la factura asciende a 590 euros.
¿Cuántos bolígrafos ha comprado? Rta. 1.180 bolígrafos.
22. Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado $ 60.000 ¿Cuánto cobrará por 8
horas? Rta. $ 160.000.
25. Cuatro máquinas que fabrican latas para envase, trabajando 6 horas diarias,
han hecho 43.200 envases en 5 días. Se detiene una de las máquinas, cuando
falta hacer 21.600 envases, que deben ser entregados a los 2 días. ¿Cuántas
horas diarias deben trabajar las máquinas que quedan para cumplir el pedido?
Rta. 10 horas
26. Se necesitan 3 bobinas de papel de 350 kg cada una para imprimir 5.000
ejemplares del primer tomo de una obra. ¿Cuántas bobinas de 504 kg de papel de
igual calidad y ancho que el anterior se necesitará para imprimir 9.600 ejemplares
del segundo tomo de esa obra, sabiendo que el número de páginas de éste es
igual al número de páginas del primer tomo? Rta. 4 bobinas
131
Logaritmos
Definición
Los logaritmos están restringidos solamente al conjunto de los reales positivos, por
lo tanto el logaritmo de un número negativo no existe.
Ejemplo
Solución
Log3 9 2 porque 32 9
Ejemplo
132
2. El logaritmo del cociente de dos números positivos y y z es igual a la diferencia
de los logaritmos de ambos. Es decir:
Ejemplo
125
Log 5 Log 5 125 Log 5 50
50
Ejemplo
Log 15
Log 2 15
Log 2
Ejemplo
Log 5 5 1 porque 51 5
Ejemplo
9 Log9 81 81
133
6. Logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base
Log x y z zLogx y
Ejemplo
Ejemplo
( Log2 5)3 Log23 5
Ejemplos
1. Simplificar
2Loga 5 Loga 4 Loga 10
Solución
52 4 100
Loga Loga Loga10
10 10
Entonces
134
2. Simplificar
Solución
12
Loga12 Loga 6 Loga Loga 2
6
Entonces
Ejercicios propuestos
a) Logb Log a a
b) Logc 1 Logbb n Logd d n
c) Logb1 Log a a
d) Logb bc Logb (bc)
e) 3Log p p 4
f) Log s a 3 Logb b 5
g) Log a (ac) Log p p 3 Logb b Log a c
h) Log b 3 b Log c 4 c
i) Log10108
135
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Ecuaciones exponenciales
Definición
Ejemplos
1. Resuelva la ecuación
3x 1
Reemplazando el valor de x
3x 1
30 1
2. Resuelva la ecuación
Solución
136
Como las bases son iguales, se igualan los exponentes
(9 x 3) ( x 2)
9x 3 x 2
9x x 3 2
8x 5
5
x
8
Ecuaciones logarítmicas
Definición
Ejemplos
Log ( x) 2
Log (3x 1) Log ( x 2)
Ejemplo 1
Solución
Log20 x 3
137
Entonces
Log10 20 x 3
103 20 x
1.000 20 x
1.000
x
20
50 x
Ejemplo 2
Resolver la ecuación
Solución
Igualando a 0
x 2 4 x 12 0
b b 2 4ac
x
2a
Por lo tanto
138
4 16 48
x
2
4 64
x
2
48
x
2
Luego
4 8 12
x1 6
2 2
48 4
x2 2
2 2
Entonces
x1 6
x2 2
Ejemplo 3
Resolver la ecuación
Logx 3 Log 6 2Logx
Solución
139
3Logx Log 6 2Logx
Transponiendo términos
3Logx 2Logx Log 6
Logx Log 6
Ejemplo 4
Resolver la ecuación
4 x1 8
Solución
Ejemplo 5
Resolver la ecuación
2 x 127
Solución
140
Log 2 x Log 127
Despejando x
Log127 2,103809
x 6,988684
Log 2 0,301029
Ejercicios propuestos
b) Log( x 5) Log(3x 8)
a) 3 x 2 2 4.374
c) 3 x 2 2 x 1 1.125
141
d) 4 x 3 5 2 x 7 0,8
e) x
2· x 3 2 324
f) 5 2 x 3 6 4 x 1,44
x 3 x2
g) 5 3
·4 5
100
1
h) 3 5 4x 3x
9 5 x2
2
Interés simple
Definición
I = Pin
F=P+I
= P + Pin
= P (1+ in)
Ejemplo 1
¿Cuál es el interés que paga un banco, si un cliente deposita 1.500 dólares con
una tasa del 8,5% simple anual durante 2 años?
142
Solución
8,5
La tasa de interés i es 8,5% 0,085
100
I 255 dólares
Ejemplo 2
Calcular el valor final obtenido al invertir 2.300 dólares durante 5 años a un interés
simple anual del 10,3%.
Solución
10,3
La tasa de interés i es 10,3% 0,103
100
Reemplazando los valores F (2.300 dólares)1 (0,103)(5)
Operando F (2.300 dólares)1,515) 3.484,5 dólares
Ejemplo 3
Solución
La fórmula es I = Pin
143
5
La tasa de interés i es 5% 0,05
100
Reemplazando los valores
I ($10.000.000)(0,05)(12)
I $ 6.000.000
Ejemplo 4
Hallar el interés producido durante cinco (5) años, por un capital de $30.000, al 6%
efectivo anual.
Solución
La fórmula es I = Pin
6
La tasa de interés i es 6% 0,06
100
I ($30.000)(0,06)(5)
I $ 9.000
Ejemplo 5
Un capital de US$ 300.000 invertido a una tasa de interés del 8 % anual durante
un cierto tiempo, ha generado unos intereses de US$ 48.000. ¿Cuánto tiempo ha
estado invertido?
Solución
La fórmula es I = Pin
144
Despejando n
I
n
Pi
8
La tasa de interés i es 8% 0,08
100
US $48.000
n
US $300.000 0,08
US $48.000
n
US $24.000
2n
Ejemplo 6
Solución
Para hallar la tasa de interés se debe primero hallar el interés causado
La fórmula a utilizar es F = P + I
Despejando I
F – P= I
145
I
i
Pn
2.400
i
20.000 1
i 0.12
i 12%
Ejercicios propuestos
Interés compuesto
146
Variables del interés compuesto
Valor Futuro: Es el valor final del crédito o depósito. Se conoce también como
Monto y de simboliza con la F
Periodo: Tiempo o plazo durante el cual se pagará el crédito (un año, seis meses,
etc.) n
Valor futuro
F P(1 i) n
Si los intereses a una tasa nominal r por año se componen p veces al año sobre
un capital P, la tasa de interés simple por período de conversión es
r
i
p
Ejemplo 1
147
Solución
P = $10.000.000
i = 3% = 0,03
n=4
F $10.000.000(1 0.03) 4
F $10.000.000(1,12550881)
F $11.255.088,10
Ejemplo 2
Si la tasa de interés nominal es del 12% por año y el interés es compuesto por
trimestre, entonces el interés por periodo de conversión es
Solución
r
La fórmula es i
p
12
La tasa de interés anual r es: 12% 0,12
100
0,12
Reemplazando los valores: i 0,04 4%
3
Ejemplo 3
Si se invierten 800 dólares con una tasa del 8,2% anual compuesta, hallar la
cantidad acumulada después de 4 años, capitalizable así:
a) Diariamente
b) Mensualmente
c) Trimestralmente
d) Semestralmente
148
e) Anualmente
Solución
0,082
i 0,000225
365
n p t (4)(365) 1.460
F (800)(1 0,000225)1.460
n p t (4)(12) 48
149
0,082
i 0,0205
4
n p t (4)(4) 16
F (800)(1 0,0205)16
0,082
i 0,041
2
n p t (4)(2) 8
F (800)(1 0,041) 8
0,082
i 0,082
1
150
n p t (4)(1) 4
F (800)(1 0,082) 4
Realizando operaciones
Ejercicios propuestos
7. Si recibí hoy $ 7.560.000 por una inversión que realicé hace 12 trimestres y la
tasa de interés es del 3% mensual simple, determinar el valor invertido.
Rta. $ 3.634.616,38.
151
9. Si por un préstamo de $7.000.000 se canceló $10.500.000 y la tasa de interés
fue del 2% mensual simple, calcular el plazo del préstamo. Rta. 25 meses.
10. ¿Cuánto dinero se recibirá en 5 años si se invierte hoy $4.000.000 a una tasa
de interés compuesto del 3% mensual? Rta. $ 23.566.412,42.
11. Hoy se recibió US$ 6.691,13 por una inversión que se realizó hace 5 años a
una tasa de interés del 6% anual compuesto. ¿Cuál fue el valor del dinero
invertido? Rta. US$ 5.000.
12. Se reciben $ 3.450.000 por una inversión que se realizó hace 3 meses con una
tasa de interés del 2% mensual compuesto. ¿Cuál es la inversión inicial? Rta.
$ 2.415.549,84.
Valor presente
Definición
Es aquel que calcula el valor que una cantidad a futuro F, tiene en este instante, a
partir de una tasa de interés i en n periodos de capitalización. La fórmula para
calcular el valor presente es
P F (1 i) n
Ejemplo 1
Se han capitalizado 52.752,25 dólares durante 3 años con una tasa de interés del
10,2% por año compuesto semestralmente. Hallar el valor presente.
152
Solución
10,2
La tasa de interés es 10,2% 0,102
100
6
P (52.752,25)(1 0,051)
Ejemplo 2
Solución
Despejando de la fórmula P F (1 i) n
P
(1 i) n
F
P 1
F (1 i) n
153
Por transposición de términos
F
(1 i) n
P
F
Ln(1 i) n Ln
P
8
La tasa de interés es 8% 0,08
100
Hallando los valores que i tiene en un año (6 bimestres)
0,08
i 0,013
6
Ln(23.000) Ln(15.000)
n
Ln(1 0,013)
Realizando operaciones
Ejercicios propuestos
154
2. Se invierten hoy 7.500 dólares al 9% efectivo anual compuesto. Calcule la
cantidad acumulada después de 6 años.
3. ¿Cuánto tiempo se requiere para que una inversión inicial de US$ 5.000 se
triplique si la inversión genera un interés del 18% anual compuesto
mensualmente?
Anualidades
Definición
Anualidad cierta: está dado por un intervalo de tiempo fijo que comienza en cierta
fecha pero se extiende indefinidamente.
1 i n 1
S=R
i
Entonces
S = valor futuro
155
R = pago o cuota por periodo
Ejemplo
Solución
10,4
La tasa de interés es 10,4% 0,104
100
Hallando los valores que i tiene en un año (12 meses)
0,104
i 0,0086
12
1 i n 1
S R
i
1 0,008612 1
S (250)
0,0086
1,008612 1
S (250)
0,0086
156
0,1082
S (250)
0,0086
Definición
Es el valor actual de una serie de pagos periódicos iguales que se realizan durante
cierto tiempo. El valor presente P de una anualidad de n pagos de R cantidad de
dinero, pagadera al final de cada periodo de inversión que genera interés con tasa
i por periodo. La fórmula para calcular el valor presente de una anualidad es.
1 1 i n
PR
i
Ejemplo
Solución
9,5
La tasa de interés es 9,5% 0,095
100
Hallando los valores que i tiene en un año (6 bimestres)
0,095
i 0,0158
6
157
1 1 i n
P R
i
R 200
n 12
i 0,0158
P ?
1 1 0,0158
12
P (200)
0,0158
Realizando las operaciones correspondientes
1 1,015812
P (200)
0,0158
1 ,8285
P (200)
0,0158
0,1715
P (200)
0,0158
Ejercicios propuestos
158
Amortización
Definición
Pi
R n
1 1 i
Entonces
R = pago periódico
i = tasa de interés
n = periodos a amortizar
Ejemplo
Solución
9,2
La tasa de interés es 9,2% = = 0,092
100
159
0,092
i= = 0,092
1
Pi
R n
1 1 i
100.0000,092
R 6
1 1 0,092
9.200
R
1 0,590
9.200
R
0,410
R = 22.425,06 dólares
Ejercicios propuestos
160
Contenido
Tercer corte:
Unidad 4
Función lineal
Función cuadrática
161
Sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares
El plano coordenado
Así como en la recta real se ubican los números reales, en el sistema coordenado
se ubican las parejas ordenas (a, b) donde a y b pertenecen a los números reales;
este sistema fue creado por Descartes y luego ampliado y mejorado a través del
tiempo, hasta llegar a nuestros días; el cual consiste en dos rectas
perpendiculares ortogonales, es decir una horizontal y la otra vertical, que se
cortan en un punto denominado origen, el cual tiene coordenadas ( x, y).
Coordenadas de un punto
162
Ejemplo 1
Ejemplo 2
163
En la gráfica se determina que los puntos P,
Q, y R, son los vértices de un triángulo
rectángulo con hipotenusa PQ y catetos PR
y QR ; de acuerdo al teorema de Pitágoras
PQ 2 PR 2 QR2 .
d 2 x2 x1 y2 y1
2 2
d x2 x1 y2 y1
2 2
Por lo tanto la distancia entre dos puntos es igual a la raíz cuadrada de la suma de
los cuadrados de la diferencia de las abscisas y las ordenadas.
Ejemplo
Solución
PQ 2 PR 2 QR 2
d 2 x2 x1 y2 y1
2 2
d2 7 3 6 3
2 2
d2 4 3
2 2
d 2 | 16 9 |
164
d 2 | 25 |
d 2 | 25 |
d 5
PQ 5
Punto medio
Definición
x x2 y1 y2
P.M . 1 ,
2 2
Ejemplo
Hallar el punto medio del segmento comprendido entre los puntos P (6,4) y
Q (14,10)
Solución
x x2 y1 y2
P.M . 1 ,
2 2
6 14 4 10
P.M . ,
2 2
20 14
P.M . ,
2 2
P.M . (10,7)
165
Función y notación de funciones
Relación
Definición
Ejemplo 1
En la anterior gráfica se observa que la relación existente entre los elementos del
conjunto A y los elementos del conjunto B, está dada por:
166
Ejemplo 2
En la anterior gráfica se observa que la relación existente entre los elementos del
conjunto A y los elementos del conjunto B, está dada por
Ejemplo 3
167
En la anterior gráfica se observa que la relación existente entre los elementos del
conjunto A y los elementos del conjunto B, está dada por
Función
Definición
Una función es una relación entre dos conjuntos, que debe cumplir con las
siguientes características.
168
La figura de la izquierda es una función porque cumple la condición, no importa
que en el Codominio sobre uno o más elementos sin relacionar. En la figura de la
derecha no existe función por que la condición no se cumple, se puede observar
que el elemento e del Dominio, no se relaciona con ninguno de los elemento del
Codominio.
169
el Rango corresponde a x en la función ƒ. El Dominio de ƒ se nota (Dƒ) y el Rango
de ƒ se nota (Rƒ).
Ejemplo 1
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25}
Solución
f (1) (3)(1) 3
f (2) (3)(2) 6
f (3) (3)(3) 9
170
f (4) (3)(4) 12
f (5) (3)(5) 15
Solución
f (1) (1) 2 1
f (2) (2) 2 4
f (3) (3) 2 9
f (4) (4) 2 16
f (5) (5) 2 25
El Rango de la función g(x) es el conjunto integrado por todo los valores obtenidos
Rg = {1, 4, 9, 16, 25}
Solución
h(1) (2)(1) 1 3
h(2) (2)(2) 1 5
h(3) (2)(3) 1 7
171
h(4) (2)(4) 1 9
h(5) (2)(5) 1 11
Ejemplo 2
Solución
Ejemplo 3
10
Sí g ( x) , es una función en los . Determinar su Dominio realizando la
x 5
respectiva gráfica.
Solución
172
10 10
g (2) 3.33
25 3
10 10
g (1) 2,5
15 4
10 10
g (0) 2
05 5
10 10 5
g (1) 1,66
15 6 3
10 10
g (2) 1,43
25 7
10 10
g (5)
55 0
Se observa que
x -2 -1 0 1 2 5
y
10
5
5
10
2
7 3 2 3
10
Al graficar g ( x) , se observa que la función está definida para todos
x 5
los valores de x, con x 5 0
173
Ejercicios propuestos
A = {0, 2, 4, 6}
Las funciones f ( x) x 3
g ( x) 5x
x 1
A. f ( x) B. f ( x) 3x 5 C. f ( x) 3x 2 x 2
x 9x
3
Apuntes importantes
Para realizar correctamente la gráfica de una función se unen todos los puntos
(x,y), siempre y cuando x pertenezca al Dominio de la función.
En caso de tener la gráfica se establece que es una función, si al trazar una línea
vertical sobre ésta la toca en un punto y si lo hace más de una vez, deja de ser
una función; por ejemplo:
174
Es una función de x No es una función de x Es una función de x
Sin embargo es útil antes de graficar una función tener un bosquejo aproximado
de las funciones reales analizando el exponente de la variable independiente, de
la siguiente forma:
f ( x) x
Lineal
Exponente 1
f ( x) x ² Cuadrática, o de segundo
Exponente mayor 2 Grado
f ( x) x ³
Cúbica o de tercer grado
Exponente mayor 3
1
f ( x)
x Racional
Variable en el
denominador
175
f ( x) x
Raíz Cuadrada
Exponente racional
f ( x) x Valor Absoluto
Ejemplos
f ( x) x 3 3
g ( x) 3x 3 5x² 2 x
h ( x) 4 x 4
Ejemplo 1
Solución
176
f (4) (2)(4) 3 3 (2)(64) 3 128 3 125
x -2 -1 0 1 2 3 4
y -19 -5 -3 -1 13 51 125
177
Ejemplo 2
Graficar la función y = x4 + 3x 2 - 5x – 8
Solución
x y
3 85
2 10
1 -9
0 -8
-1 1
-2 30
-3 115
178
Al no tener una restricción para graficar, el Dominio de la anterior función serán
todos los reales (-∞, ∞) y el Rango será desde el vértice de esa parábola hasta el
infinito 9,8 ,
Ejercicios propuestos
1. y 3x
2. y 4 x 5
1
3. y x3
2
4. y 2 x 2 x 4
5. y 5x² 10
6. y x³
7. y x 4 6 x
8. y x 7 5
179
Desplazamiento vertical c unidades hacia arriba Desplazamiento horizontal c unidades hacia la
derecha
Definición
Sean dos funciones f(x) y g(x) definidas en los reales, se pueden combinar de
diferentes maneras para obtener una nueva función, al operarlas por medio de la
adición, la multiplicación y la división, o al realizar una composición de funciones.
180
La operación de funciones es una combinación aritmética de ellas, la cual se
explica a continuación.
Ejemplo 1
Halle f(x) + g(x) si f ( x) x 2 4 x 3 g ( x) x 2 9
Solución
( f g )( x) x 2 4 x 3 x 2 9
x 2
4x 3 x 9
2
2x 4x 6
2
Ejemplo 2
Solución
( f g )( x) x 2 4 x 3 x 2 9
x 2
4x 3 x 9
2
4 x 12
Multiplicación de funciones
Es importante tener en cuenta la propiedad distributiva y las leyes de los
exponentes.
f ( x) g ( x) ( f g )( x)
181
Ejemplo
Halle f ( x) g ( x) si f ( x) x 2 4 x 3 g ( x) x 2 9
Solución
( f .g )( x) x 2 4 x 3 x 2 9
x 2 ( x 2 9) 4 x( x 2 9) 3( x 2 9)
x 4 9 x 2 4 x 3 36 x 3x 2 27
x 4 4 x 3 6 x 2 36 x 27
División de funciones
p
Debe tenerse en cuenta la definición de los números racionales con q 0
q
f ( x)
( f / g )( x) con g ( x) 0
g ( x)
Ejemplo
Halle f ( x) / g ( x) si f ( x) x 2 4 x 3 g ( x) x 2 9
Solución
( x 2 4 x 3)
( f / g )( x)
( x 9)
2
182
Factorizando
( x 3)( x 1)
( x 3)( x 3)
Simplifica ndo
x 1
x3
Definición
El Dominio de ( f g ), ( f g ), ( f .g )( x) es : AB
El Dominio de ( f / g )( x) es A B, con g(x) 0
Composición de funciones
Definición
f ( g ( x)) ( f g )( x) y g ( f ( x)) ( g f )( x)
183
Ejemplo 1
Halle f ( g ( x)) si f ( x) x 2 4 x 3 g ( x) x 2 9
Solución
Ejemplo 2
Halle g ( f ( x)) si f ( x) x 2 4 x 3 g ( x) x 2 9
Solución
( g f )( x) g ( f ( x)) ( f ( x)) 2 9
( g f )( x) g ( f ( x)) ( x 2 4 x 3) 2 9
( g f )( x) g ( f ( x)) ( x 4 8 x 3 22 x 2 24 x 9) 9
( g f )( x) g ( f ( x)) x 4 8 x 3 22 x 2 24 x 9 9
( g f )( x) g ( f ( x)) x 4 8 x 3 22 x 2 24 x
Ejemplo 3
184
motorizados es de x unidades de millar. Un estudio independiente estima que
C (t ) ( g f )(t )
C (t ) g ( f (t ))
C (t ) 0,01(0,2t ² 4t 64) 2 / 3
Partes por millón.
185
Función lineal
Definición
Una función lineal es una función cuyo Dominio (todos los valores que puede
tomar x en la función para los cuales este definida y) son todos los números reales,
y el Rango (todos los valores que puede tomar y en la función para los cuales este
Ejemplos
a ( x) 2 x 7 b( x) 4 x 3 f ( x) 2 x 5
Ejemplo
Solución
186
Tabulando los datos:
f (3) 3(3) 10 9 10 1
x y
f (2) 3(2) 10 6 10 4 3 -1
2 -4
f (1) 3(1) 10 3 10 7 1 -7
0 -10
f (0) 3(0) 10 0 10 10 -1 -13
-2 -16
f (1) 3(1) 10 3 10 13 -3 -19
Definición
m tan ( )
187
entre los valores de abscisas (valores en x) de estos mismo dos puntos. También
se define como la razón entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento
horizontal, de tal forma que la pendiente, conocido dos puntos está entonces:
y 2 y1 y
m
x 2 x1 x
Ejemplo 1
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A = (3,6) y B = (1,3)
y 2 y1 y
m
x 2 x1 x
36 3
m
1 3 2
3
m
2
La pendiente es positiva.
Ejemplo 2
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (2,9) y B (4,3) :
y 2 y1 y
m
x 2 x1 x
39 6
m
42 2
m 3
La pendiente es negativa.
188
Ecuación general de la función lineal
pendiente y b es la intersección de la recta con el eje y. Para trazar una línea recta
es suficiente encontrar dos puntos diferentes de ésta. El Dominio de esta función
son todos los números reales y su Rango será también todos los reales. Si m = 0
significa que no hay inclinación en la recta, por tanto, esta será paralela al eje x, y
se le denomina una función constante.
Si l 1 // l 2 m1 m2
189
En conclusión, si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales. Pero
además de las rectas paralelas existen rectas intersecantes que forman ángulos
rectos, es decir son perpendiculares, y el producto de sus pendientes es igual a -1.
Es así como se llega siguiente teorema:
1
Si l1 l2 m1 m2 1 m2
m1
Costos
Definición
Los costos en una empresa se calculan cuando se quiere saber cuánto cuesta
fabricar un producto o vender un servicio, se averigua cuánto se gasta en todos
los materiales, mano de obra y demás recursos utilizados para ello. A cada
recurso utilizado en el proceso de producción y ventas va asociado un costo.
Expresado en forma matemática el Costo Total es:
C (q) qk CF
Ejemplo
190
A. Exprese el Costo Total C como una función lineal de q.
B. Calcule el Costo Total de confeccionar 30 camisetas.
C. Calcule C(50).
D. Grafique la función C(q).
Solución
Del enunciado
C (q) qk CF
191
D. La función C (q) 10q 1800 presenta pendiente positiva (m = 10), y el
intercepto con el eje vertical es 1800 (b =1800). Dado que q representa la
cantidad de camisetas producidas se toma el intervalo de recta ubicada en el
primer cuadrante, tal como se muestra a continuación:
Ingreso
Definición
Los ingresos de una empresa son obtenidos por la venta de sus artículos (o la
prestación de un servicio). Se calculan multiplicando el precio unitario de venta de
cada artículo por la cantidad de artículos vendidos.
Ejemplo
192
A. Exprese el Ingreso del fabricante I como una función lineal de q.
Solución
Del enunciado
I (q) qp
I (q) 70q
I (40) 70(40)
I (40) 2.800
C. Se halla I (64)
I (64) 70(64 )
I (64) 4.480
193
Utilidad
Definición
U I ( q) C ( q)
Ejemplo
194
B. Exprese el Ingreso I de la compañía obtenido por la producción como una
función lineal de q.
Solución
A. Del enunciado:
B. Del enunciado:
U (q) I ( q) C ( q)
Sustituyendo valores
U (q) 6,5q (2,5q 14.000)
U (q) 6,5q 2,5q 14.000
U (q) 4,0q 14.000
195
Punto de equilibrio
Definición
196
I (q) C (q)
6,5q 2,5q 1.4000
6,5q 2,5q 1.4000
4q 14.000
q 14.000 / 4
q 3.500
al punto de corte (punto de intersección) de las gráficas del Ingreso I(q) y Costo
197
Para la cantidad de artículos q = 4.800 el Ingreso de la empresa es 31.200 dólares
y el Costo Total es 26.000 dólares. Esto muestra que la venta de 4.800 unidades
genera un Ingreso mayor que el Costo Total de producirlos, por lo que la Utilidad
es positiva (ganancia).
Ejercicios propuestos
1. La empresa CALIMA, fabrica filtros para agua, tiene Costos Fijos por $20.000,
costos de producción de $20 por unidad y un precio de venta unitario de $30.
Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancias para CALIMA.
2. Para decidir sobre la apertura de una nueva fábrica de juguetes, los analistas
de la empresa han establecido que una función razonable para el Costo Total de
producir x artículos es:
198
Función cuadrática
Definición
Ejemplos
1 2
f ( x) x 2 3 ; g ( x) 5 x 2 2 ; a( x) x 1
2
Ejemplo 1
Solución
199
x y
2 13
1 7
0 5
-1 7
-2 13
-3 23
-4 37
1
Realizar la gráfica de y x ²
2
Solución
Reemplazando valores de x en y
1 1 17
f (3) (3)² 9 8,5
2 2 2
1 1 7
f (2) (2)² 4 3,5
2 2 2
1 1 1
f (1) (1)² 1 0,5
2 2 2
1 1 1
f (0) (0)² 0 0,5
2 2 2
1 1 1
f (1) (1)² 1 0,5
2 2 2
200
1 1 7
f (2) (2)² 4 3,5
2 2 2
1 1 17
f (3) (3)² 9 8,5
2 2 2
x -3 -2 -1 0 1 2 3
17 7 1 1 1 7 17
y
2 2 2 2 2 2 2
Graficando la función
A partir de la gráfica se observa que el Dominio va a tomar todos los valores de los
números reales desde menos infinito hasta infinito y el Rango parte desde el
vértice de la parábola, hasta infinito negativo.
D ,
1
R ,
2
201
Intersecciones con los ejes, vértice y gráficas
Definición
f ( x) a ( x h)² k
Donde se completa al cuadrado para hallar las intersecciones con los ejes y su
vértice. La grafica es una parábola con vértice (h, k). Si a 0 la parábola abre
hacia arriba y si a 0 abre hacia abajo. El vértice (h, k), también puede escribirse
b
como V (Vx , Vy ) donde Vx y Vy f (Vx )
2a
Ejemplo 1
Solución
f ( x) 2( x² 4 x) 3
f ( x) 2( x² 2 x 1) 3 2
f ( x) 2( x 1)² 1
202
Para la cual, el vértice de la parábola es (-1,1), abre hacia arriba, es de la forma
y x² se desplaza 1 unidad hacia la izquierda, se alarga por un factor de 2 y se
mueve 1 unidad hacia arriba.
La gráfica es
Ejemplo 2
Solución
f ( x) 3( x² 4 x) 15
f ( x) 3( x² 4 x 4) 15 12
f ( x) 3( x 2)² 3
203
Para graficar, la parábola abre hacia arriba por ser positiva, es de la forma y = x2,
tiene como vértice (2,3), se desplaza 2 unidades hacia la derecha, se alarga por
un factor de 3 y se mueve 3 unidades hacia abajo.
La grafica es
Ejercicios propuestos
1. f ( x) 2 x ² 6 x
2. f ( x) x ² 4 x 3
3. f ( x) 2 x² 20 x 57
4. f ( x) 4 x² 16 x 3
5. f ( x) 6 x² 12 x 5
Definición
Si el vértice de una función cuadrática es (h, k), entonces ésta tiene un valor
mínimo en el vértice si abre hacia arriba y un valor máximo en el vértice si abre
hacia abajo.
204
Si una función cuadrática está en la forma estándar f ( x) a ( x h)² k .
Entonces, el valor mínimo o máximo de la función ocurre en x = h, teniendo en
cuenta que:
Sí a 0 , entonces el valor mínimo de f es f (h) k
Sí a 0 , entonces el valor máximo de f es f (h) k
Ejemplo 1
f ( x) 4 x ² 8 x 7
Solución
f ( x) 4( x² 2 x) 7
205
f ( x) 4( x² 2 x 1) 7 4
f ( x) 4( x 1)² 11
Despejando
x h x 1
x x h 1
0 h 1
1 h
4( x 1)² 11 0
4( x 1)² 11
11
( x 1)²
4
11
x 1
4
11
x 1
4
Sin embargo vale la pena aclarar que los resultados de una raíz par son dos, uno
positivo y uno negativo, entonces
206
x 1,6583 1
x1 1,6583 1 0,6583
x 2 1,6583 1 2,6583
Ejemplo 2
Los precios de la canasta familiar (índice de alimentos) en un país entre los años
2.000 y 2.008, está dada por la función I (t ) 0,072t ² 0,205t 100,5
Donde t se mide en años, con t definido en el intervalo 0 t 8 . Halle el tiempo en
el cual los alimentos fueron más caros y el precio de éstos.
Solución
La función es de la forma I (t ) at ² bt c
El coeficiente de t2 es - 0,072 y el coeficiente de t es 0,205, y c = 100,5 entonces
b
El valor máximo o mínimo ocurre en t
2a
Remplazando valores t
0,205
2 0,072
0,205
Realizando las operaciones indicadas t 1,423
0,144
Como a < 0, la función tiene un valor máximo.
207
Entonces, se observa que 0 t 8 , es decir, a los 1,423 años los alimentos se
encarecen, esto será para el mes de mayo del 2.001 y el precio máximo de ellos
será de 100,65 unidades monetarias.
Ejemplo 3
Solución
208
b
El valor máximo o mínimo ocurre en n
2a
Remplazando valores n
900
2 9
900
Realizando las operaciones n 50
18
Como a < 0 la función tiene un valor máximo.
Reemplazando el valor de n en la función
A(n) 22.500
En una fábrica que elabora bolas de beisbol, para realizar las pruebas de
desplazamiento se lanza una bola hacia arriba, su altura en pies después de t
segundos recorridos está dada por y 16t ² 40t
¿Qué altura mínima debe alcanzar la bola para pasar la prueba?
¿A qué rapidez?
Solución
209
El valor de a es -16 y b es 40
b
El valor máximo o mínimo ocurre en t
2a
Remplazando valores t
40
2 16
40
Realizando las operaciones t 1,25
32
Como a < 0 la función tiene un valor máximo.
f (1,25) 25 50
f (1,25) 25
d 25
rapidez 20 ft/s
t 1,25
210
Ejemplo 5
Una fábrica de filtros para agua tiene Costos Fijos mensuales de U$ 10.000 y
costos variables dados por la función g ( x) 0,0001x² 10 x ( 0 x 40.000)
Solución
C ( x) f ( x) g ( x)
C ( x) 10 .000 (0,0001 x ² 10 x)
C ( x) 0.001 x ² 10 x 10 .000
b) La ganancia total obtenida por la fábrica al elaborar y vender los filtros de agua
por mes es la diferencia entre el Ingreso Total y el Costo Total. Así la función de
ganancia total está dada por
211
G ( x) I ( x) C ( x)
G( x) (0.0005 x ² 20 x) (0.0001x ² 10 x 10.000)
G( x) 0.0004 x ² 10 x 10.000
Ejercicios propuestos
C (t ) 0,06t 0,0002t ²
212
Dónde t es el tiempo en horas gastado en confeccionar una docena de camisas.
¿Cuál es la cantidad mínima producida?
213
8. Un artesano puede vender sus productos a 3,5 dólares cada uno. Se sabe que
le cuesta 1,5 dólares producir cada artículo y mantiene unos Costos Fijos de 400
dólares. Calcule:
a. El Costo total de producir 300 artículos.
b. El Ingreso obtenido por la venta de 300 artículos.
c. Si se producen y venden 300 artículos, ¿cuál es la Utilidad?
d. El nivel de equilibrio.
3) Calcule(n) el o los valores de k para los cuales las siguientes funciones tienen
dos raíces reales iguales.
a) f(x)= x 2 +2 k x + k
b) f (x) = x 2 +( k -1) x - k
214
BIBLIOGRAFÍA
Steiner, Erich (2005) Matemáticas para las ciencias aplicadas. Barcelona. Reverté,
S.A.
215
STERART James. Matemáticas para el Cálculo. 5 Edición. 2007. Cengage.
Editores S.A.
http://www.vitutor.com
http://www.youtube.com/watch?v=NYz6PEEdY4M
http://www.youtube.com/watch?v=nJ234FDIBrE&feature=related
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