Mathematics">
Cuadernillo Matematica
Cuadernillo Matematica
Cuadernillo Matematica
UNIDAD 1
TEORÍA DE CONJUNTO
1.1 Introducción
La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y
relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en
sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la
formulación de cualquier teoría matemática.
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y
estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; gracias a
las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos de aquella.
Ejemplo1:
Los conjuntos se escriben entre llaves o por medio del diagrama de Venn
A = { a , e} a
e 1
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
2
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
a) ( ) B⊂ A
b) ( ) B⊆ A
c) ( ) C⊆ A
d) ( )A⊂ C
e) ( ) B⊂ C
f) ( ) C⊆B
Solución
Solución
3
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Ejemplo : A={x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este conjunto está
formado por 8 elementos. En efecto, A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}
1.8.2Conjunto vacío
Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y algunos definen
como un conjunto sin elementos. Este último concepto se presta para confusiones cuando se
dice “conjunto sin elementos”. El conjunto vac+io se denota por la letra 𝜙 o simplemente {}
Observación:
No es correcto decir, “un conjunto vacío”; debe decirse siempre “el conjunto vacío”
porque este conjunto es único.
No confundir 𝜙 con { 𝜙} ; pues este último es un conjunto vacío.
Solución
Escribimos por extensión , el conjunto A
A = { - 2 , 2}
Por tanto el conjunto A tiene 2 elementos, es un conjunto binario
4
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Solución
Ejemplo: El conjunto de los números naturlaes pares y el conjunto de los números naturales
impares.
El nombre de conjunto potencia proviene del hecho de que si un conjunto A tiene n elementos,
la cantidad de subconjuntos que se pueden formar con los elementos de A es 2 n. Este conjunto
también se conoce como conjunto de partes de un conjunto.
Sean A y X conjuntos cualesquiera; el conjunto formado por todos los subconjuntos de A de
denomina conjunto potencia y se denota por P(A). Simbólicamente: 𝑃 (𝐴) = {𝑥/𝑥 ⊆ 𝐴}
Ejemplo: Sean A y B conjuntos definidos como A = {2} ; B = {1,2,3} ; C = { }.
Halle P(A) ; P(B) y P(C)
Solución
P(A) = {∅, {2}}
P(B) = {∅ , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
P( C ) = {∅}
5
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Solución
n(A) = 3 n(B) = 0
Solución
n(A) = 3 n(B) = 3
Los conjuntos A y B tienen el mismo número de elementos, por tanto son equipotentes
o coordinables.
ACTIVIDAD N° 1
1. Expresa por extensión los siguientes conjuntos:
c) A = { x / x = ( n – 1 )2 , n 𝜖 Z , - 1 ≤ n < 4 }
5−𝑛
d) B = { x / x = 𝑛−3 , n 𝜖 Z , 0 ≤ n ≤ 5 }
6
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
e) C = { x / x = n2 – 3 , n 𝜖 Z , - 3 ≤ n ≤ 3 }
f) F = { x / x 𝜖 Z , - 4 ≤ x < 8 , es par}
g) J = { x / x = n2 + n , x𝜖 Z , - 1 ≤ n ≤ 4 }
i) A = { x / x2 – 25 = 0, 𝑥𝜖 𝑍 }
7
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
j) B = { x / x 𝜖 Z , x es positivo y negativo}
k) A = { x / x2 = 4, 𝑥𝜖 𝑍 }
l) B = { x/x – 2 = 5 , 𝑥𝜖 𝑍 }
m) C = { x / x es positivo , x es negativo}
a) A = { a , e , i , o , u}
b) M = { 4 , 6 , 8 , 10 , ……}
8
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
g) El B = { 2 , 4 , 6, 8, ,……..}
i) El conjunto D = { 3 }
j) Sea E los presidentes Nicanor Duarte Frutos, Fernando Lugo, Federico Franco,
Horacio Cartes, Mario Abdo Benitez
g) x no pertenece a A ……………..
h) R es un superconjunto de S ………….
i) d es elemento de F ………….
j) F no es subconjunto de G …………
k) H no incluye a D ………….
9
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
a) 2 ___ {1,3,5,7}
b) 5 ___ {2,4,5,6}
d) 2 ___ {4,5,6,7}
f) 0 ____ Ø
h) 12 / 8 ______ N
A = { r , s , t} B = { s , t , r , s} C = { t , s , t , s}
D = { s , r , s , t}
d) D = { a , c , o , t}
a) { 0}
b) ∅
c) { ∅ }
10
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
8. SeaT={ x∈ Z /4x=12 }. .Es T=3 ? .Por qué? ¿ Qué clase de conjunto es?
9. Si A = { x/2x = 6} y b = 3 , ¿es b = A?
10. Sea M = { r , s , t}. Determina si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.
En caso que sea Falsa, explicar porque
a) r 𝜖 M ………… --------------------------------------------------------------
---
b) r ⊂ M ………… --------------------------------------------------------------
---
d) { r } ⊂ M ……….. --------------------------------------------------------------
----
11. De entre los siguientes conjuntos, señala los que sean conjuntos vacíos:
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} ………………..
11
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
14. Sea M= {r , s ,t } . Dígase cuales de las afirmaciones siguientes son correctas. Si alguna es
incorrecta, decir el porque:
a) a∈M ………………………………………………………………………
b) r⊂M ……………………………………………………………………..
c) {r }∈M ……………………………………………………………………..
d) {r }⊂M ……………………………………………………………………….
15. Si E={1,0}, razona cuales de las afirmaciones siguientes son correctas y cuales no:
a) {0}∈E ………………………………………………..
b) {0}⊂E ………………………………………………..
c) 0∈E ……………………………………………….
d) 0⊂E ……………………………………………….
a) c∈A ……………
b) {r , c ,m}⊂A ……………
c) {m}⊂A ……………
12
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
18. Justifica razonadamente que el conjunto A={2,3, 4,5} no es un subconjunto del C={x∈ N / x
es par}.
a) M= {r , s ,t }
b) B={a , b}
13
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
c) C= {𝑐 , 𝑑, 𝑒 , 𝑓}
21. Resolver:
a ) Si los conjuntos A = {2 𝑎−1 , 3𝑏+1 } 𝑦 𝐵 = {16 , 27} son iguales, hallar la suma de los
elementos de C = {𝑥 2 ∕ 𝑥𝜀 𝑁 ; 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎}
22. Si el conjunto A tiene 5 elementos, el conjunto B tiene 3 elementos, y además se sabe que
23.Dado que el conjunto A esta definido como: A = { (a, b) / a ∈ ΙN, b ∈ ΙN y a + b = 12} .Cuál es
la cardinalidad del conjunto A ?
14
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
g) 𝑃 ( ∅ ) = {∅} ………………..
UNIDAD 2
15
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Solución
La solución por simple inspección se determina buscando los elementos comunes que tienen
los conjuntos A , B y C ; en efecto : 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {9}
Para determinar la solución gráfica:
1°) Buscamos los elementos comunes a A , B y C , en este caso 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {9}
2°) Buscamos los elementos comunes entre pares, es decir:
𝐴 ∩ 𝐵 = {1,9} ; 𝐴 ∩ 𝐶 = {4,6,9} ; 𝐵 ∩ 𝐶 = {2,9}
Observamos que el 9 se repite en las intersecciones, entonces el dato ponemos en la
intersección de los tres y completamos las intersecciones de pares de conjuntos con los datos
faltantes de esas intersecciones
3°) Completamos los conjuntos dados con los datos faltantes.
4°) Subrayamos el área correspondiente, donde están los elementos obtenidos por simple
inspección y ese es el resultado
16
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Solución
Por simple inspección, la solución se obtiene poniendo primero los elementos comunes y
luego se ponen los elementos no comunes, sin repetir elementos. En efecto,
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {9,1,4,6,7,2,3}
Para la solución gráfica, se procede tal como se halló la intersección del ejemplo anterior
Ejemplo : determine gráficamente y por simple inspección los conjuntos C-B dado que
B={1,2,9,5}, C={2,4,6,9} y U={1,2,9,5,4,6,8,7}.
Solución
Por simple inspección C-B={4,6} y gráficamente
17
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Solución
Por simple inspección B – C = {1,5} y C – B = {4,6}
Por Tanto B△ C = {1,4,5,6}
18
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Ejemplo: Determine gráficamente y por simple inspección los conjuntos ( B∩ C)´ dado que :
𝐵 = {1,2,9,5} ; 𝐶 = {2,4,6,9} 𝑦 𝑈 = {1,2,9,5,4,6,8,7}
Solución
Para obtener la solución por simple inspección determinamos primero la intersección entre B y
C
𝐵 ∩ 𝐶 = {2,9}
Ejemplo: Dados los conjuntos A={2,3,5,7} y B={2,4,6,8} y C={1,9}, halle n(𝐴 ∪ 𝐵) , n(𝐴 ∪ 𝐶)
Solución
Hallamos la unión y la intersección entre los conjuntos A y B
𝐴 ∪ 𝐵={2,3,5,7,4,6,8} 𝐴 ∩ 𝐵={2}
Los conjuntos A y B no son disjuntos, entonces
n(𝐴 ∪ 𝐵) = 7
19
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
ACTIVIDAD N° 2
1. Consideremos U={a , b , c , d , e} como conjunto universal y los subconjuntos
A={a , b , d } , B={b , d , e} y C={a ,b , e }. Halla por extensión y luego represéntalos en
el diagrama de Venn:
a) A∪B =
b) A∪C =
c) A∩B =
d) A' =
e) C−A =
f) B−C =
20
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
g) A∩C' =
h) A∪A' =
i) A'∪C ' =
j) B'−A'=
a) A∪B =
b) A∪C =
c) A∩B =
21
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
d) A' =
e) C−A =
f) B−C =
g) A∩C' =
h) A∪A' =
i) A'∪C ' =
j) B'−A'=
22
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
a) A ∪ B=
b) A∩C=
c) (A ∪ B) ∩ C' =
d) A – B =
e) C – D =
f) B△D=
a) A – B =
b) A´- B´ =
c) A ∆ B
23
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
d) P ( A ) ∩ P ( B ) =
a) Una encuesta realizada a excursionistas de la ciudad de Medellín entre los últimos 4 años
acerca de los que habían visitado a Argentina, Bolivia y Canadá arrojó la siguiente información:
48% había ido a Argentina , 46% había ido a Bolivia , 30% había ido a Canadá , 26% había ido a
Argentina y Bolivia , 15% había ido a Bolivia y Canadá ,13% había ido a Argentina y Canadá , 10%
había ido a los tres países
24
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Se quiere saber:
a) El porcentaje que no ha ido a ninguno de los tres países
Solución
Tomamos como recurso el diagrama de Venn para graficar el problema, luego las operaciones
de conjuntos lograremos la solución.
En efecto, veamos la gráfica del problema:
Designemos A: Argentina, B: Bolivia y C: Canadá y U: 100% de los encuestados
Para graficar tenemos en cuenta, que se inicia primeramente con las instrucciones que indican
intersección (de pares de conjuntos y de los tres); que se completan los conjuntos dados y que
el total, por ningún motivo, debe ser mayor que 100.
Solución de a: según la gráfica, el porcentaje que no ha ido a ninguno de los tres países es 20%.
Observe que está ubicado por fuera de los tres conjuntos.
Solución de c: La palabra “al menos” significa “mínimo”; en nuestro problema, donde se pide
hallar los que mínimo han ido a dos país, es similar a que estén solicitando los que han ido a 2 ó
3 países:
10%+16%+3%+5%=34%
25
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Solución de d: Los que han ido exactamente a uno de estos países son aquellos que viajado
únicamente a Argentina o únicamente a Bolivia o únicamente a Canadá. En efecto son:
15%+19%+12%=46%
ACTIVIDAD N° 3
1. El equipo de futbol-sala de la 3a clase del instituto Megalio está formado por Pedro, Diego,
Hugo, Carlos, Roberto, Rolando y Edgar. El equipo de Olimpiadas de Matemáticas de dicha
clase está formado por Andrea, Diego, Cristina, José, Rolando y Edgar.
olimpiadas? .
26
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
2.Laura tiene discos de diferentes géneros musicales: pop, rock, punk, gothic, clásica y jazz. Su
amiga Diana tiene discos de salsa, gothic, hip-hop, pop, metal e industrial. Luis, un amigo
común, quería escuchar la música que le gusta a cada una de ellas, así que le prestaron un
disco de cada uno de los géneros.
b) Si Luis se decide a oír primero los discos que le gustan a ambas, .que discos ha de oír?.
3. En una encuesta realizada a 100 viviendas de un barrio , se obtuvo que: 60 casas tenían TV
plasma, 30 casas tenían equipo de sonido, 20 casas tenían DVD, 21 casas tenían TV plasma y
equipo de sonido , 15 casas tenían TV plasma y DVD , 4 casas tenían equipo de sonido y DVD.
27
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican solo futbol, 12 practican futbol y natación
; 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua :
a) el número de padres que practican natación, el numero de ellos que solo practican
natación
6.Se pregunto a 11 profesores del instituto acerca de sus preferencia por dos marcas de café
instantáneo A y B y se obtuvieron los siguientes resultados: 7 prefirieron solo una de dichas
marcas; el número de personas que prefirieron ambas marcas fue igual al número de personas
que no prefirió ninguno de las dos; 3 personas manifestaron que no prefieren la A pero si la B.
Se desea saber: a) .Cuantas personas prefirieron la marca A?
28
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
7.Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de
refrescos, Vinea y Kofola y se obtuvieron los siguientes resultados: todos admitieron que les
gusta alguno de los dos refrescos, 3 estudiantes manifestaron que les gusta Vinea pero no
Kofola, 6 dijeron que no les gusta Kofola. Se desea saber:<
8.Se hizo una encuesta entre 1000 personas de Bratislava para determinar el medio de
comunicación empleado para conocer las noticias del dia ; 400 respondieron que se enteran
de forma regular de los sucesos del dia a traves de la televisión, 300 lo hacen a través de la
radio. De las cantidades anteriormente mencionadas, 275 corresponde al numero de personas
que utilizan ambos medios para estar al día en los acontecimientos del mundo.
29
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
9.A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales 65
aprobaron el examen de Matemáticas, 25 el de Matemáticas y Física y 15 aprobaron solo el de
Física. Cuántos no aprobaron ninguno de los exámenes mencionados?
10.De un total de 60 alumnos del primer curso del I. B. Todo estudiado: 15 estudian solamente
ruso, 11 estudian ruso e inglés, 12 estudian solo alemán; 8 estudian ruso y alemán; 10 estudian
solo inglés; 5 estudian inglés y alemán; y 3 los tres idiomas.
30
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
11.Se pregunto a unas cuantas madres de alumnos de nuestro instituto sobre si leen o no
alguna de las revistas “La Marqueza”, “Solo Para Mujeres” y “Buena Comida” y se obtuvieron
los siguientes resultados: 48 leen “La Marqueza“, 40 leen “Solo Para Mujeres”, 34 leen “Buena
Comida”, 25 leen “La Marqueza” y “Solo Para Mujeres”, 14 leen “Solo Para Mujeres” y “Buena
Comida”, 23 leen “La Marqueza” y “Buena Comida” y 3 madres leen las tres revistas. Se pide
ilustrar el problema con un diagrama de Venn, el numero de madres entrevistadas, y .cuantas
de ellas leen solo una de las tres revistas?
12.En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y
C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el
producto B, 50 consumen únicamente el producto A, 30 solo el producto B, el número de
personas que consumen solo B y C es la mitad del número de personas que consumen solo A y
C, el número de personas que consumen solo A y B es el tripe del número de las que
consumen los tres productos y hay tantas personas que no consumen los productos
mencionados como las que consumen solo C. Determina:
31
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
a)Cuántas personas practican solo un deporte? .cuántas practican solo dos deportes?
deportes?
32
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
15.Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que medio utilizan
para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias en forma
regular por TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias
por ambos medios.
a.-. Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TV?
b.-. Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Radio?
16.Se realizó una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A
y B. Obteniéndose lo siguientes resultados:
33
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Se desea saber:
17.Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de
refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteniéndose lo siguientes resultados:
Se desea saber:
34
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
18.Determina el número de alumnos de una clase, si se sabe que cada uno participa en al
menos una de las tres seminarios de ampliación de las asignaturas Matemáticas, Física o
Química. 48 participan en el de Matemáticas, 45 en el de Física, 49 en el de Química, 28 en el
de Matemáticas y Física, 26 en el de Matemáticas y Química, 28 en el de Física y Química y 18
en los tres seminarios.
con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban te o leche y 150
35
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
20. Un hotel recibe 60 visitantes, de los cuales 37 permanecen como minimo 1 semana,
visitantes permanecieron como minimo una semana, gastaron como minimo 30.000 €
satisfechos.?
36
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
automóvil. 30 de los encuestados que son mujeres son propietarios de una casa. 5
de los encuestados que son mujeres son solamente propietarios de una casa. 15
UNIDAD 3
LOGICA MATEMATICA
1.1 INTRODUCCIÓN
La palabra “lógica” etimológicamente, proviene del griego logos, que tiene varios
significados: pensamiento, inteligencia, razón, facultas de apresar el que de las cosas,
estudio, etc.
Para Aristóteles, la lógica era “Organon”, la introducción a cualquier ciencia. Para Santo
Tomás, la lógica, es la ciencia por excelencia, pues es obra de la razón y tiene como objeto
de estudio la razón.
37
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la
demostración e inferencia válida.
Con el estudio de la Lógica se persigue llegar a ser preciso y cuidadoso. La Lógica tiene
lenguaje exacto. Es necesario redactar un conjunto de reglas que sean perfectamente
claras y definidas.. La Lógica nos ayuda a aprender una forma de razonar que es exacta y a
la vez útil.
38
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
1.3 PROPOSICIONES:
Para comunicarnos, ya sea de forma escrita o verbal, usamos enunciados. Los enunciados son
las unidades mínimas del lenguaje que pueden transmitir un mensaje. Un enunciado( o
proposición no lógica) es una expresión del lenguaje que puede ser falso o verdadero o no serlo.
Dichos enunciados pueden ser interrogativos o prescriptivos, ya que a éstos no puede asignarse
un valor de verdad.
Ejemplo : son enunciados por ejemplo, coma carne de res, tome vino tinto seco.
Los siguientes son ejemplos de los diferentes tipos de enunciados:
39
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Proposición Valor de
verdad
1+1=2 V
5 * 9 = 59 F
Las primeras cuatro proposiciones son verdaderas y se dice que su valor es V, mientras que las
últimas dos son falsas y su valor es F . Dentro de las proposiciones verdaderas, la última
(1+1=2) no representa ninguna palabra o frase, sin embargo es una expresión matemática
verdadera. Y lo mismo pasa con la proposición (5*9=59), cuyo valor lógico es falso. No es
necesario que una proposición sea una expresión verbal, simplemente necesitamos poder
determinar el valor de verdadero o falso.
Conclusión:
Son proposiciones lógicas las oraciones aseverativas, las leyes científicas, las fórmulas
matemáticas, las fórmulas y/o esquemas lógicos, los enunciados cerrados o claramente
definidos. No son proposiciones lógicas las opiniones y suposiciones; los proverbios,
modismos y refranes; los enunciados abiertos no definidos; las oraciones interrogativas,
exclamativas, imperativas, desiderativas y dubitativas; las interjecciones en general.
Proposición atómica: son las proposiciones lógicas de forma simple, es una proposición
completa sin términos de enlace.
Ejemplos:
40
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Ejemplos:
En los dos ejemplos anteriores, las proposiciones simples se unieron por términos de enlace.
En el primer ejemplo el término de enlace fue la conjunción y, mientras que en el segundo la
condicional sí, ..... entonces.
1.3TERMINOS DE ENLACE:
Los términos de enlace de proposición o simplemente concetores son las palabras “y”, “o” ,
“no”, “si... entonces”, “si y sólo si”, que sirven para enlazar proposiciones atómicas y
convertirlas en proposiciones moleculares. ... entonces”, “si y sólo si” se usan para enlazar dos
proposiciones.
Se denomina disjunción ( o )
Ejemplos:
41
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Generalmente se cree que las proposiciones atómicas son proposiciones cortas, pero
también algunas de las proposiciones atómicas del lenguaje corriente son largas. En
Lógica se afronta este problema utilizando símbolos en lugar de las proposiciones
completas.
Los símbolos que utilizaremos para representar proposiciones, son letras mayúsculas.
Ejemplos:
Simbolizar las proposiciones moleculares siguientes :
* Los patitos no se transforman en cisnes
OBSERVACIÓN:
Al simbolizar una proposición que tiene el término de enlace “no”, la palabra no se
pone delante del símbolo que sustituye a la proposición atómica. El término de enlace,
no es una parte de la proposición atómica y por tanto la palabra “no” debe separarse
de la proposición atómica.
Expresiones en el Simbolización
lenguaje natural
No P −𝑃
Es falso que
No es cierto que
PyQ
P sin embargo Q 𝑃 ∧𝑄
P no obstante Q
P a pesar de Q
O P o Q o ambas cosas
Al menos P o Q 𝑃∨𝑄
42
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Como mínimo P o Q
O P o Qara P 𝑃𝑤𝑄
Exclusivo
Si P entonces Q
P solo si Q 𝑃→𝑄
Q si P
Q es necesario para P
P es suficiente para Q
No P a menos que Q
No P o Q
P si y solo si Q
P es necesario y suficiente para Q 𝑃↔𝑄
Q es necesario y suficiente p
Actividades N° 3
1. De los enunciados siguientes, señalo cuales son proposiciones lógicas y cuales no
lógicas:
1) Los flamencos son aves. ( )
2) ¡Oh, América inmortal! ( )
3) Todos los postres de chocolate están riquísimos. ( )
4) La casa de la pradera. ( )
5) ¡Esta es una desgracia! ( )
6) ¿Son cuadriláteros, todos los paralelogramos? ( )
7) Algunos crímenes son ejecutados involuntariamente. ( )
8) Ninguna estrella es un satélite. ( )
9) Los Aztecas edificaron su capital, Tenochitlán. ( )
10) Estudiamos Informática. ( )
11) El cielo es rojo. ( )
12) Miguel Cervantes es el autor de “El Quijote”. ( )
13) El Taguá es un animal en peligro de extinción ( )
14) La circunferencia trigonométrica es la que tiene radio igual a la unidad. (
)
15) Déjenme sola. ( )
16) La lógica enseña a pensar. ( )
17) Todas las ballenas son mamíferos. ( )
18) ¡Sopla, sopla el viento de invierno!. ( )
19) Estudia con ahínco. ( )
20) Un triángulo equilátero no es un polígono. ( )
43
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
44
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
( )
5) Cristhian Barnard fue el primero que realizó un transplante de corazón
humano.
( )
6) La unidad de medida de velocidad es de metro/segundo. ( )
7) Un triángulo es escaleno, si y solo si sus tres lados son desiguales. (
)
8) Roberto Koch descubrió el bacilo de la tuberculosis en 1882 y Fleming la
penicilina en 1 928. ( )
9) Voy a ir de campamento este fin de semana. ( )
10) Si x es un múltiplo de 4, no es menor que 3. ( )
11) La democracia bien aplicada tiene sus ventajas. ( )
12) Si está lloviendo , entonces no iremos al cine. ( )
13) Voy, si y solo si hace calor. ( )
14) Estela está en el primer semestre de la Universidad y Carlos en el 4º semestre.
( )
15) El continente americano fue descubierto en el año 1 492. ( )
16) El diámetro de la circunferencia es el doble del radio, si y solo si el radio es
igual a la mitad del diámetro. ( )
17) Algunas mujeres no son tiernas. ( )
18) La música es muy suave o la puerta está cerrada. ( )
19) El sol calentaba y el agua estaba muy agradable. ( )
20) El triángulo es equilátero si y solo si los tres ángulos interiores son iguales.(
)
8. Utilizo los conectivos ( no repetir los conectivos), para formar otras proposiciones
lógicas a partir de las dadas.
1. Los delincuentes comenten las malas acciones.
45
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
46
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
47
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………
11. Forma 5 proposiciones moleculares utilizando una o dos proposiciones escritas, con
un término de enlace. Utiliza cada uno de los conectivos una sola vez, de modo que
cada una de las proposiciones tenga distintos términos de enlace.
Proposiciones atómicas
a) Pablo podría ganar fácilmente.
b) El viento sopla fuerte.
c) La fuerza mejor conocida es la gravitatoria.
d) El ser humano adquiere su energía, cuando corre.
e) Me gustan mucho las estadísticas.
f) Estaré recabando datos importantísimos.
g) Los anfibios se desplazan por el agua.
h) El amigo de Raúl es un gran atleta.
i) Analizaremos que planes hay para mañana
j) Estamos exhaustos por la veloz carrera emprendida
k) La lluvia puede ser la causa de que se suspenda el partido.
Proposiciones moleculares
a) ………………………………………………………………….
b) ………………………………………………………………….
c) ………………………………………………………………….
d) ………………………………………………………………….
e) ………………………………………………………………….
48
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
49
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
13. Subrayo los conectivos utilizados en cada una de las proposiciones moleculares y
escribo sus nombres
1) Si Carlos tiene aptitud para las matemáticas, entonces participará en las
Olimpiadas. ……………………..
2) x = 3 o y + z = 2 ……………………..
3) y = 2 y z = 8 ……………………..
4) Si y = 3, entonces y + 2 = 5 ……………………..
5) No ocurre que la lógica sea difícil. ……………………..
6) x + 4 = 9 , si y solo si x = 5 ……………………..
7) No me agradan los alumnos irresponsables. ……………………..
8) No ocurre que x + y > 2 ……………………..
9) Si hace frío entonces el lago se congelará. ……………………..
10) Si me gusta la matemática, entonces me gusta la física. ………….
11) Juan vive en nuestra calle. ……………………..
12) El primer grupo social es la familia y ésta es el núcleo fundacional de toda
sociedad. ……………………..
13) El carbón es un fósil p este combustible tiene alto poder calorífico.
14) Si x2 = 81, entonces x = 9. ……………………..
15) Todo atómo está formado por el núcleo y la corteza, si y solo si en el núcleo
reside la carga positiva. ……………………..
16) El hierro es un metal sólido o es un metal orgánico. ……………………..
50
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
15. Dadas las proposiciones, escribo la negación de cada uno de ellas, utilizando los
términos más convenientes. Luego las simbolizo
a) El hidrógeno es un gas pesado.
……………………………………………………………………..
b) La cebra es un animal omnívoro.
……………………………………………………………………..
c) El oro es un metal blanco.
……………………………………………………………………..
h) Los factores bióticos de un ecosistema son los seres inertes que viven en él.
………………………………………………………………
i) El elemento infaltable es una combustión es el dióxido de carbono
………………………………………………………………………….
j) La sede de la ONU está en Washington
………………………………………………………………………….
51
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
la proximidad al Ecuador
d) En los polos, el día dura 6 meses …..La cascada más alta
del mundo no es el
Niágara
e) La casacada más del mundo es …..El Brasil no es uno
El Niágara de los países más
Comerciales de Sudamérica
52
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
e) El camalote vive en el agua …. Las plantas que viven en el agua son acuáticas.
f) Todos los cuerpos se contraen por la acción del frío …..todos los cuerpos se
contraen por la acción del calor.
19. Escribo si tiene sentido inclusivo o exclusivo cada una de las siguientes
disyunciones:
a) El joven vive en un ambiente hostil o le importa poco el estudio.
( )
b) El acepta la clonación humana o tiene formado fuertes principios religiosos.
( )
c) Los jóvenes estudian más o los profesores están más capacitados.
( )
d) Su piel presenta una quemadura solar o una química. ( )
e) Le gusta la matemática o la física. ( )
f) Los próceres de mayo consiguieron revelarse con valentía o los españoles tardaron
en reaccionar. ( )
g) Esta oración es enunciativa, afirmativa o es interrogativa. ( )
h) Aprendo mejor solo/a con mis compañeros. ( )
i) Debemos tener un botiquín de primeros auxilios o nos veremos en apuros.
( )
j) La proposición dada es atómica o molecular. ( )
k) Thales de Mileto fue el primer geómetra helénico o el más antiguo.( )
l) Las sustancias son compuestos orgánicos o compuestos inorgánicos.( )
m) Una especie es un conjunto de seres vivos que poseen rasgos muy semejantes o
capaces de producir descendencia fecunda. ( )
n) Los vertebrados con sangre roja son los ovíparos o los vivíparos.
( )
o) Estudio las partes de una planta o las partes de una hoja. ( )
20. Escribo la proposición atómica que falta para formar una disjunción , de modo que
la proposición escrita tenga relación con la dada.
a) Los gases se dilatan o …………………………………………………
b) El ecosistema está formado por factores bióticos o …………………………
c) El aire es una mezcla de varios gases o ………………………………………
d) El agua o …………………….es agente geológico causante de la erosión.
e) El marrano es un animal omnívoro o …………………
f) Los abetos se encuentran preferentemente en terrenos ricos o ……………
b) Toda vez que un cuerpo caiga libremente, entonces posee energía cinética.
53
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
e) Toda vez que midamos la distancia entre un punto cualquiera de la tierra y la línea
del Ecuador, entonces medimos la latitud geográfica.
i) Si x = 2, entonces x + 1 = 3
54
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
23. Escribo el antecedente, a cada una de las proposiciones condicionales, de modo que
tenga relación con el consecuente.
a) Si………………………………, entonces es la fórmula del agua.
b) Si……………………, entonces producirá la mortandad de muchos peces.
c) Toda vez que…………………………….., aumenta el ingreso al fisco.
d) Si…………………, mejorará la cosecha del algodón.
e) En el caso que…………………………………….., entonces es un cuadrilátero
f) Si………………., entonces me quedará gélido.
24. Completo con proposiciones atómicas los siguientes conectivos de modo que resulte
una proposición condicional.
a) Si…………………………………………………., entonces ………………………………………………….
b) Entonces……………………………………………..si,………………………………………………………..
c) Toda vez que………………………………………………, entonces…………………………………….
d) Siempre que………………………………………..,entonces…………………………………………….
e) Si………………………………………………………..,entonces……………………………………………..
f) En el caso que…………………………………….., entonces……………………………………………
55
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
26. Completo la proposición que falte de modo que resulte una proposición
bicondicional y tenga relación con la otra.
a) La suma de los ángulos agudos de un triángulo es igual a 180º si y solo
si……………………………………………………………………………………
b) Las dimensiones son largo y ancho si y solo si…………………………………
c) Tres puntos forman un plano si y solo si ………………………………………
d) Los resultados son creíbles si y solo si…………………………………………
e) Los ángulos consecutivos suman 180º si y solo si……………………………
27. Aparear cada una de las palabras de la izquierda con los ejemplos o definiciones en
la lista de la derecha
a.Disjunción ( )P→Q
b.Negación ( )–(P.Q)
e.Antecedente ( )_P
f.Consecuente ( ) P en la proposición
P→Q
g.Conjunción ( )P.Q
( ) Cualquier proposición
Con un término de enlace
( ) Cualquier proposición
Sin términos de enlace
28. Dadas las proposiciones atómicas, escribo en lenguaje corriente las proposiciones
moleculares simbolizadas
A: El sol es el centro del sistema solar.
B: La Tierra tiene dos movimientos.
C: Los rayos solares excesivos causan daño .
D: Son nueve los planetas del sistema solar.
56
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
a) A . B …………………………………………………………………………………………………………..
b) – C: …………………………………………………………………………………………………………..
c) A v C …………………………………………………………………………………………………………..
d) – D: …………………………………………………………………………………………………………..
e) A . – D …………………………………………………………………………………………………………..
f) – C v – D …………………………………………………………………………………………………………..
g) – A…………………………………………………………………………………………………………..
h) – A v C …………………………………………………………………………………………………………..
i) – A . - B…………………………………………………………………………………………………………..
j) – ( A . B) …………………………………………………………………………………………………………..
k) - ( A v C) …………………………………………………………………………………………………………..
57
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
AGRUPAMIENTOS Y PARENTESIS
Es frecuente utilizar proposiciones que tienen más de un término de enlace. Los términos de
enlace pueden unir o pueden ser usados con proposiciones moleculares de la misma forma
que con las proposiciones atómicas. En todos estos casos uno de los términos de enlace es el
dominante, porque es el que actúa sobre toda la proposición.
Los paréntesis son los símbolos de puntuación de la Lógica, muestran como están agrupados
una proposición y por tanto señalan cual es el término de enlace dominante.
El bicondicional es el término de enlace más potente, mientras que la negación es el más débil
que cualquiera de los otros términos de enlace. La conjunción y la disjunción son igualmente
fuertes. Es por eso que cuando en una proposición se encuentran ambas es necesario colocar
los paréntesis para indicar cual es el dominante.
Por tanto, para mayor facilidad se adopta el siguiente convenio: una proposición que no
contenga conjunción, disjunción ni la condicional, no necesita colocarse entre paréntesis. Pues
los paréntesis son los símbolos de puntuación de la Lógica. Muestran como está agrupada una
proposición y por tanto señalan cuál es el término de enlace dominante.
Ejemplo 5:
P Q
O Juan es el más pequeño y Pedro es el más alto o Pedro es el más bajo y Juan es el
grande.
58
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
( A B) ( M N )
En este caso la proposición molecular lleva paréntesis, pues al empezar la proposición se hace
hincapié de que el término de enlace dominante es o, pues empieza con ese término,
habiendo dos términos de enlace igualmente potentes.
ACTIVIDAD N° 4
7. Bicondicional Q R S 8. Conjunción T S Q
15. Bicondicional P Q R
59
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
c) No todas las regiones de Africa tienen un clima cálido y húmedo y no toda el Africa
ecuatorial es una tierra de vegetación espesa y exuberante.
j) Si son las diez entonces la sesión de la asamblea General ha empezado, y ahora el reloj
señala las diez.
VERACIDAD Y VALIDEZ
60
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Otro ejemplo:
TABLAS DE CERTEZA
Hace frío F
Se dan a continuación las tablas básicas de certeza (tablas de verdad), para los cinco términos
de enlace de proposiciones; además en estas tablas se hallan resumidas todas las reglas, de
manera que puedan ser utilizadas como tablas de referencias.
P Q P∧Q
V V V
61
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
V F F
F V F
F F F
P Q P𝒗Q
V V V
V F V
F V V
F F F
P Q P𝒘Q
V V F
V F V
F V V
F F F
P _p
V F
F V
P Q P→Q
62
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
V V V
V F F
F V V
F F V
P Q P↔Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Sea “n” la cantidad de proposiciones diferentes que contenga la expresión proposicional. Para
cada proposición existen dos valores de verdad ( verdadero y falso). En general 2n . es la
cantidad de posibles combinaciones .El método para la formación de la tabla de certeza se
empieza poniendo todas las combinaciones de certeza o falsedad debajo de las proposiciones
atómicas. Luego se determina los valores de certeza para todas las premisas y de la conclusión
del razonamiento. El valor de certeza de las proposiciones moleculares depende de los valores
de certeza de las proposiciones.
Para determinar como se irán organizando los valores de verdad para cada proposición se
divide entre 2 hasta que no se pueda y así 2n – 1 grupos de verdadero y falso corresponderán
a p.
Ejemplo:
Solución
63
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
P Q -Q P v -Q
V V F V
V F V V
F V F F
F F V V
Ejemplo
Solución
Se va dividiendo entre 2 y la primera vez se obtiene 4 ( para P), luego 2 ( para Q) y por último 1
( para R)
P Q R P∧ Q (P∧ Q)↔R
V V V V V
V V F V F
V F V F F
V F F F V
F V V F F
F V F F V
F F V F F
F F F F V
Razonamiento válido
64
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
El paso siguiente es ver las líneas en las que todas las premisas del razonamiento son
verdaderas. Para indicar en las tablas que las premisas son simultáneamente verdaderas se
encierran en círculos. Puesto que una inferencia válida requiere que en todos los casos en que
las premisas son verdaderas, la conclusión también es verdadera, entonces el razonamiento es
válido, si hay alguna línea para la que todas las premisas son verdaderas y la conclusión falsa,
entonces el razonamiento es no válido. En la tabla se pone un cuadrado alrededor de la
asignación de certeza la conclusión en cada línea en la que todas las premisas sean ciertas.
Ejemplo :
AB
B
A
Solución
Como cada proposición atómica puede ser verdadera o falsa hay 2 4 combinaciones de
2
certeza, por tanto 4 líneas en la tabla de certeza. Dividimos entre 2 , se obtiene 2 ( para A) ,
luego 1 ( para Q)
A B A→ 𝑩 -B -A
V V F F
V
V F F F
V
F V F V
V
F F V
V V
El razonamiento es válido
Ejemplo :
Si 𝑥 = 0 y 𝑦 = 𝑧 entonces 𝑦 > 1
𝑦≯1
Por tanto, 𝑦 ≠ 𝑧
65
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Solución
Q yz
R y 1
Como cada proposición atómica puede ser verdadera o falsa hay 2 8 combinaciones de
3
Simbolizando: PQ R
R
Q
P Q R P∧ Q P∧ Q→ R -R -Q
V V V V F F
V
V V F V F F
V
V F V F F V
V
V F F F V
V V
F V V F F F
V
F V F F F
V V
F F V F F V
V
F F F F V
V V
Razonamiento no válido
Tipos de proposiciones
TAUTOLOGIA
Una proposición es una tautología si y solo sí permanece cierta para todas las combinaciones
asignadas de certeza atribuidas a cada uno de sus distintas proposiciones atómicas.
66
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
a) P ∨-(P ∧ Q)
P Q P∧ Q -(P ∧ Q) P ∨-(P ∧ Q)
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
tautolog ía
b)P ∨ Q → P
P Q P∨Q P∨Q→P
V V V V
V F V V
F V V F
F F F V
Es una contingencia
ACTIVIDAD N° 5
67
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
1. Mostrar por medio de una tabla de certeza cual de los siguientes razonamientos es
“válido” o “no válido” .
3. P Q. Q R. P. Por tanto R
4. P Q R. R. P. Por tanto Q
5. P Q R. R. Por tanto Q
68
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
6. ( P Q) Q. Por tanto P
7. P Q. Q. Por tanto P
8. ( P Q) ( P R). P
69
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
2. Simbolizar las premisas y la conclusión, luego mostrar por medio de una tabla de
certeza cual de los ejemplos es válido. Escribir la tabla de certeza completa y escribir
la palabra “válida” o “no válida”.
70
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
71
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Por tanto, un átomo de hidrógeno tiene un protón en cada núcleo si y solo sí el número
atómico del hidrógeno es uno
72
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
6. x 3. Por tanto y 0 x 3
7.
x 2 4 x 2.( x 2 x 2 4). Por tanto x 2 x 2
73
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
3. Decidir mediante tablas de certeza cuales de las proposiciones siguientes son una
tautología, contingencia o contradicción.
1. P (Q P)
2. P Q Q P
74
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
3. P ( P Q)
4. P Q P R
5. [ (P Q) Q] P
6. P Q (P Q R)
75
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
7. P Q ( P Q)
8. P ( P Q) R
9. ( P Q) (Q P)
10. ( P Q) Q P
76
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
EQUIVALENCIA DE PROPOSICIONES
Dos expresiones proposicionales son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad en su
tabla
Ejemplo: 𝑃 → 𝑄 con −𝑃 ∨ 𝑄
P → Q -P ∨ Q
V V V F V V
V F F F F F
F V V V V V
F V F V V F
Anterior
P → Q ↔ -P ∨ Q
V V V V F V V
V F F V F F F
F V V V V V V
F V F V V V F
ACTIVIDAD N° 6
1. −𝑄 → 𝑃 con 𝑄 ∨ 𝑃
77
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
2. −(𝑃 ∧ 𝑄) con − 𝑃 ∨ −𝑄
3. −(𝑃 ∨ 𝑄)con − 𝑃 ∧ −𝑄
4. 𝑃 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) con (𝑃 ∧ 𝑄) ∨ (𝑃 ∧ 𝑅)
5. 𝑃 ∨ ( 𝑄 ∧ 𝑅) con (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅)
VARIANTES DE LA CONDICIONAL
La condicional no es una operación conmutativa.
78
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
V V F F V V V V
V F F V F V V F
F V V F V F F V
F F V V V V V V
Observando la tabla vemos que para la condicional 𝑃 → 𝑄, existen tres variantes que son
−𝑃 → −𝑄 llamada inversa
Observación:
ACTIVIDAD N° 7
79
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
CONDICIONAL ASOCIADO
El Condicional asociado es un mecanismo que se emplea para determinar si un razonamiento
es correcto (válido) o no, es decir, sirve para verificar mecánicamente la validez ( corrección) o
no de un razonamiento
Si existen dos o más premisas, se las une por la conjunción y se les abarca, si es necesario, con
símbolos de agrupación (corchetes , paréntesis).
Ejemplo:
El dinero no da la felicidad, pero existen personas que no quieran dinero. Luego, no existan
personas que no quieran dinero.
Solución
80
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
(-P ∧ -Q ) → -Q
F F F V F
F F V V V
V F F V F
V V V V V
ACTIVIDAD N° 8
81
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
11. Los jardines bien cuidados adornan la casa y son necesarios para alegrar la vista. Los
jardines bien cuidados no adornan la casa. Por consiguiente son necesarios para
alegrar la vista
UNIDAD 4
REGLAS DE INFERENCIA
Conocidas las formas de las proposiciones y teniendo los instrumentos de simbolización a
nuestro alcance, podemos adentrarnos en la inferencia y deducción.
Cuando usamos la lógica proposicional para analizar un problema no solo queremos describirlo
en términos de afirmaciones y conectivas lógicas. También queremos obtener información
nueva. Esta información puede incluir el determinar si una afirmación es una conclusión válida
a partir de los datos proporcionados en la especificación del problema o saber que información
podemos deducir a partir de las premisas que nos proporcionan. Para lograr esto los sistemas
lógicos necesitan al menos una regla de inferencia. Las reglas de inferencia son construcciones
de un sistema que permiten determinar información nueva a partir de la información ya
existente.
Las reglas de inferencia se modelan como implicaciones, donde el antecedente de la
implicación está compuesto de una conjunción de proposiciones llamadas premisas y el
consecuente se llama conclusión. Su aplicación a un conjunto de premisas para llegar a una
conclusión se llama argumento y consideramos que es válido si la conclusión es
necesariamente verdadera cuando las premisas son verdadera.
El objeto es utilizar reglas de inferencia de manera que conduzcan a otras fórmulas que se
denominan conclusiones. El paso lógico de las premisas a la conclusión es una deducción. La
conclusión que se obtiene es una consecuencia lógica de las premisas si cada paso que se da
para llegar a la conclusión está permitido por una regla .Si las premisas son verdaderas,
entonces las conclusiones han de ser verdaderas.
El nombre Modus Ponendo Ponens significa: método ( modus) , que afirma (ponens) el
consecuente, afirmando ( ponendo) el antecedente.
a) P Q b) P Q c) P Q
P P P
Q Q Q
Ejemplo :
82
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Si usted está en el primer semestre, entonces deberá realizar un test diagnóstico. Usted está
en el primer semestre. Por tanto , deberá realizar un test diagnóstico.
Premisa 1: M N
Premisa 2: M
Conclusión: N
OBSERVACIÓN.
Cuando se usa una regla de inferencia para pasar de un conjunto de proposiciones a otra
proposición se demuestra que la última es consecuencia lógica de las otras. Colocando a la
derecha la regla de inferencia utilizada.
ACTIVIDAD N°
1. ¿Qué conclusión se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas
aplicando la regla del Ponendo Ponens,?. Luego simbolizarlos.
Luego, ………………………………………………………………………………………………………………….
c) Si esta planta no crece, entonces o necesita más agua o necesita abono. Esta planta no
crece.
Por consiguiente,
…………………………………………………………………………………………………………..
Por consiguiente,
…………………………………………………………………………………………………………..
83
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
e) Si Nicolás está en el partido de fútbol, entonces Nicolás está en el estadio. Nicolás está
en el partido de fútbol.
Luego, …………………………………………………………………………………………………………..
Por consiguiente,
…………………………………………………………………………………………………………..
g) Si x = 0, entonces x + y < 1. x = 0
Por consiguiente,
…………………………………………………………………………………………………………..
Luego, ………………………………………………………………………………………………………………………..
i) A la vez x = y y y = z. Si x = y y y = z, entonces x = z.
a) (1) A B b) (1) P R
(2) A (2) P
84
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
c) (1) R P Q d) (1) A
(2) R (2) A B C
3. En cada uno de los siguientes grupos de premisas deducir una conclusión, cuando sea
posible, por el modus ponendo ponens. Si la regla modus ponendo ponens no se puede
aplicar a las premisas indicarlo poniendo “ no PP”
a) ( 1 ) P . Q → R d) ( 1 ) S
(2)R (2)S→-P
b) ( 1 ) Q → R v S e) ( 1 ) S → T . U
(2)Q ( 2 )T . U
a) Demostrar: A b) Demostrar: C
(1) R S (1) A B D
(2) R (2) B D C
(3) S Q (3) A
(4) Q A
c) Demostrar: P d) Demostrar: A B
(1) B Q (1) C A B
(2) B (2) D E C
(3) Q P (3) D E
85
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
e) Demostrar: 3 0 f) Demostrar: y + 1 = 2
(3) y + 1 = 2 x = y
g)Demostrar: -N i) Demostrar: B
(2)R (2) E→ K
(4) Q → - N (4) K → - L
(5) – L→ M
(6) M → B
5. Poner una “C” junto a cada ejemplo en el que la conclusión es correcta, según el modus
ponendo ponens. Poner una “I” junto a cada conclusión incorrecta.
C I
a) Premisas: A y A → B ; conclusión : B
b) Premisas: M → N y M ; conclusión: N
c) Premisas: P → Q y Q ; conclusión: P
d) Premisas: A y A → M ; conclusión: A
86
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
e) Premisas: P . Q y P . Q → M ; conclusión: M
f) Premisas: S y S → T ; conclusión: T
g) Premisas: T → V y T ; conclusión: V
h) Premisas: P → Q y Q ; conclusión: P
i) Premisas: - P y - P → Q ; conclusión: Q
b) x + 1 = 2
Si x + 1 = 2 , entonces y + 1 = 2
Si y + 1 = 2 , entonces x = y
Por tanto ,x = y
c) Si x + 0 = y , entonces = y.
X+0=y
Si x = y , entonces x+ 2 = y + 2
Por tanto, x + 2 = y + 2
87
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Si los plaguicidas llegan a nuestro organismo por medio de productos agrícolas o por el
aire, entonces no está prohibida la utilización de insecticidas órganoclorados en
cultivos frutihórticolas.
88
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Los plaguicidas llegan a nuestro organismo por medio de productos agrícolas o por el
aire
Es una regla simple que permite pasar de una premisa única a la conclusión.
Ejemplo
La conclusión que se puede sacar de esta premisa es: José tiene 10 años.
P
P
La regla de doble negación , también actúa en sentido contrario.
P
El uso de la doble negación permite demostrar una conclusión como consecuencia lógica de
una premisa:
89
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
a) P P b) - - A P c) - - ( P ∧ Q) P
--P DN A DN P∧Q DN
ACTIVIDAD N°
1. Qué conclusiones se puede sacar de cada una de las proposiciones siguientes por la
doble negación
a) Todos los caballos son animales de sangre caliente.
(1) S → T P (1) R → - - ( P ∨ Q) P
(2) S P (2) R P
c)Demostrar: B d)Demostrar: - - N
(1) - 𝐴 → - - B P (1) M → - P P
(2) - A P (2) - P → N P
(3) M P
90
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
e)Demostrar: G f)Demostrar: Q
(1) H P (1) J P
(2) H → - - G P (2) J → K ∧ M P
(3) K ∧ M → - - Q P
La regla de Inferencia que tiene el nombre latino modus tollendo tollens se aplica también a
las proposiciones condicionales. Negando (tollendo) el consecuente, se puede negar también
el antecedente de la condicional (tollens)
Simbolizando:
𝑃→𝑄
−𝑄
-P
Por tanto, la regla del Tollendo Tollens, permite pasar de dos premisas, una condicional y una
proposición que niega el consecuente, a una conclusión que niega el antecedente.
91
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
ACTIVIDAD N°
1.Qué conclusión se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas ,
aplicando la regla de Tollendo Tollens?
e) Si está preparado para todas las circunstancias de la vida , entonces nada te tomará
por sorpresa. Es falso que nada te tomará por sorpresa.
f) Si llovió la noche pasada, entonces las pistas se han limpiado. Las pistas no se han
limpiado.
92
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
3. Dar una demostración del siguiente conjunto de premisas, aplicando la regla del
Tollendo Tollens
a) (1) P→ R P b) (1) – P → Q P
(2) – R P (2) – Q P
c) (1) A → B P d) (1) – (T ∧ S) P
(2) – B P (2) - R → (T ∧ S) P
e)(1) Q → - P P f) (1)P ∨ Q → R P
(2) - - P P (2) – R P
c)Demostrar: - D d)Demostrar: C
(1) A → B P (1) – B P
(2) B → C P (2) A → B P
(3) - C P (3) – A → C P
(4) – A→ - D P
e)Demostrar: R f)Demostrar: F
(1) P → - Q P (1) G→ H P
(2) Q P (2) – G → - - F P
93
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
(3) - P → R ∧ S P (3) – H P
g)Demostrar: - -A h)Demostrar: - S
(1) -A → - C P (1) P → Q P
(2) B→ C P (2) Q→ R P
(3) B P (3) S → - R P
(4) P P
i)Demostrar: A j)Demostrar: - A
(1) - A→ - B P (1)A → B P
(2) – B → - C P (2) B→ C P
(3) C P (3) C → D P
(4) – D P
k)Demostrar:𝑥 ≠ 0 l)Demostrar: 𝑥 = 0
(1)𝑥 = 0 → 𝑥 = 𝑦 p (1) 𝑥 ≠ 0 → 𝑥 + 𝑦 ≠ 𝑦 p
(2)𝑥 = 𝑧 → 𝑥 = 𝑦 p (2) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 P
(3) 𝑥 = 𝑧 p
m)Demostrar: 𝑥 = 0 n)Demostrar: 𝑥 ≠ 𝑦
(1)𝑥 ≠ 0 → 𝑦 = 1 p (1) 𝑥 = 𝑦 → 𝑦 = 𝑧 p
(2)𝑥 = 𝑦 → 𝑦 = 𝑤 p (2) 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑤 P
(3) 𝑦 = 𝑤 → 𝑦 ≠ 1 p (3) 𝑦 = 𝑤 → 𝑦 = 1 P
(4) 𝑥 = 𝑦 P (4) 𝑦 ≠ 1 P
94
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
Si ambas premisas son verdaderas, entonces la conclusión tendría que ser verdadera. La regla
que permite pasar de dos premisas a la conclusión se llama Adjunción.
Se Simboliza:
De las premisas: P
Se concluye: P∧Q
Ejemplos:
De esta premisa se pueden sacar dos conclusiones. La primera: Las clases empiezan el lunes
La regla que permite pasar de una conjunción a cada una de las dos proposiciones que están
unidas por “∧ “ se denomina regla de simplificación.
95
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
De la premisa: 𝑃 ∧ 𝑄
Se puede concluir P
O se puede concluir : Q
Ejemplos
ACTIVIDAD N°
(2) – R P
2.Probar que las conclusiones siguientes son consecuencia lógica de las premisas dadas. Dar
una conclusión completa
96
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
a) Demostrar: - B b)Demostrar: Q ∧ R
(1) A → (- B ∧ C) P (1) P → Q P
(2) A P (2) R P
(3) P P
c) Demostrar: - S d)Demostrar: - M ∧ N
(1) – R ∧ T P (1) M→ P P
(2) S→ R P (2) N P
(3)- P P
e) Demostrar: B ∧ - D f)Demostrar: - - Q
(1) C → B P (1) P ∧ Q P
(2) C P
(3) D → - E P
(4) E P
g) Demostrar: - S ∧ Q h)Demostrar: A → C
(1) – S → Q P (1) A ∧ - C P
(2) – ( T ∧ R) P (2) – C → B P
(3) S →( T ∧ R) P
97
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
i)Demostrar: - ( M ∧ N)
(1) H→ S P
(2) S ∧ N→ - (M ∧ N) P
(3) – R
La disjunción se usa en forma inclusiva. La disjunción inclusiva significa que por lo menos uno
de los miembros de la disjunción o ambos debe ser verdadera
Ejemplo:
Los periodistas entran por el acceso N° 2 o los fotógrafos entran por el acceso N° 2.
Simbolizando:
Premisa 1 : P v Q
Premisa 2: - P
Conclusión: Q
Ejemplos
98
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
ACTIVIDAD N°
1.Con la ayuda de la regla del Tollendo Ponens saca una conclusión válida para cada una del
conjunto de premisas siguientes:
99
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………
2. Dar una conclusión, usando la regla del Tollendo Tollens, para el siguiente
conjunto de premisas
a)(1) P v – Q P b)(1) ( P →Q) v N P
(2) Q P (2) - N P
C)(1) – T v – S P d)(1) – A v – B P
(2) S P (2) - - B
c)Demostrar: - P d)Demostrar: - ( S v T)
(1) – R P (1) P → Q P
(2) P → - Q P (2) P P
(3) - Q → R P (3) (S v T) → - Q P
e)Demostrar: - P f)Demostrar: T
(1) T P (1) M P
(2) (Q ∧ 𝑅) → (- P ∧ 𝑇) P (2) N →T P
100
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
(3) T → (Q ∧ 𝑅) P (3) M →( N ∧L L) P
g)Demostrar: P h)Demostrar: A ∧ C
(1) - Q P (1) B P
(2) -- T P (2) A v D P
(3) T → ( P v Q) P (3) B → - D P
(4)
i)Demostrar: - - H b)Demostrar: S
(1) S v ( H v G) P (1) – ( R ∧ S ) → Q P
(2) - S P (2) – Q v S P
(3) – G P (3) – S P
b) A la vez, 1 + 1 = 2 y 2 + 1 = 3
O 3 – 2 = 1 o no ocurre que 2 – 1 = 1
Si 1 + 1 = 2 entonces2 – 1 = 1
c) O x = 0 o x = y
Si x = y entonces x = z.
No es x = z
Por tanto, x = 0
101
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
d) Si x = y entonces x = z
Si x = z entonces x = w
Ox=yox=0
Si x = 0 entonces x + u = 1
No es x + u = 1
Por tanto, x = w
e) Si 0 ≠ x entonces x ≠ y
Ox=yox=z
x≠z
Por tanto x = 0
DEDUCCIÓN PROPOSICIONAL
La demostración es el juego y las reglas del juego son precisamente las reglas de inferencia. Se
puede hacer cualquier movimiento, dar cualquier paso que está permitido por una regla y se
ha de poder justificar cada paso dado indicando la regla seguida. El propósito de cada
movimiento, es avanzar un paso acercándose al objetivo. La posición de partida con la que se
inicia el juego es un conjunto de premisas. Las premisas están justificadas por la regla de las
premisas que es: Una premisa puede ser introducida en cualquier punto de una deducción.
102
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Ejemplo
Si la ballena es una mamífero, entonces toma oxígeno del aire. Si toma su oxígeno del aire,
entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por tanto, no
necesita branquias
Lo que se quiere demostrar , es decir la conclusión es “no tiene branquias”. La palabra, por
tanto, pone de manifiesto que la proposición final es la conclusión del razonamiento.
R:necesita branquias
S:vive en el océano
Entonces
Primera premisa: P → Q
Segunda premisa: Q→ - R
Tercera premisa: P ∧ S
Conclusión: -R
La demostración formal:
Demostrar: - R
(1)P → Q P
(2)Q→ - R P
(3)P ∧ S P
(4) P S3
(5) Q PP1,4
(6) – R PP2,6
Ejemplo:
103
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Si Tomás tiene 17 años, entonces Tomás tiene la misma edad que Juana.
Si Joaquín tiene distinta edad que Tomás, entonces Joaquín tiene distinta edad que Juana.
Por tanto, Joaquín tiene la misma edad que Tomás y Tomás la misma edad que Juana
Premisas: P→Q
-R → - S
P∧S
Conclusión: R∧Q
Demostrar: R ∧ Q
(1)P → Q P
(2)-R → - S P
(3)P∧ S P
(4) P S3
(5) Q PP1,4
(6) S S3
(7) R TT2,6
(8) R ∧ Q A5,7
ACTIVIDAD N°
104
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
b) O esta es una roca ígnea o es una roca sedimentaria. Esta roca es granito. Si esta roca
es granito entonces no es una roca sedimentaria. Por tanto ,esta es una roca ígnea.
105
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
e) Si Juan es más alto que Pedro, entonces María es más baja que Juana. Si Juan y Luis
tienen la misma estatura, entonces Juan es más alto que Pedro. Por tanto Juan y Luis
no tienen la misma estatura.
106
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
f) Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vió partir el auto de
Andrés. Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vió partir el auto de Andrés. O
Andrés dice la verdad o estaba en el edifico en el momento del crimen. El reloj está
adelantado. Por tanto, Andrés estaba en el edifico en el momento del crimen
a)Demostrar: S b)Demostrar: - T
(1) – T v R P (1) P → S P
(2) - S → - R P (2) P ∧ Q P
(3) T P (3) (S ∧ R) → - T P
(4) Q → R P
c)Demostrar:- R d)Demostrar: S ∧ T
(1) Q ∧ S P (1) P → S p
(2) 𝑄 ∧ T P (2) P → T P
(3) T → - R P (3) P P
107
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
(4) y ≠ z ∧ x ≠ z P (4) y = 5 P
La ley de adición expresa el hecho que si se tiene una proposición verdadera, entonces la
disjunción de aquella disjunción y otra cualquiera ha de ser verdadera.
Es una premisa verdadera y por lo tanto podemos afirmar que la disjunción de cualquier
proposición con la primera es siempre verdadera. Por lo que podemos concluir: estamos en el
verano o amaneció nublado. En ambos casos la disjunción sigue siendo verdadera porque
basta con que uno de los miembros sea verdadero para que el conjunto sea verdadero.
Simbolizando:
P: Estamos en verano
Q: Amaneció nublado
Por tanto: P v Q LA
108
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Ejemplos:
d)(1) ( P ∧ Q) P
(2) ( P ∧ Q) v ( T v R) LA
ACTIVIDAD N°
a) El etanol es soluble
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
b) El hierro es un bioelemento
………………………………………………………………………………………………………………………………………
c) Algunos juegos son fáciles de aprender
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
d) El Paraguay es un país mediterráneo
……………………………………………………………………………………………………………………………………
e) El Dr. José Gaspar Rodríguez de Francia participó de la gesta de la Independencia
………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Si las conclusiones son consecuencia lógicas de las premisas, en los ejemplos que siguen,
escribir la palabra “válido”. Si es válido, completar la demostración
a)(1) P P b)(1) Q P
c)(1) P P d) (1) – P P
Por tanto, R
109
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
e)(1) T P f)(1) P P
Por tanto, Q P
g)(1) R ∧ S → T
(2) R
Por tanto, T
a)Demostrar: R → T b)Demostrar: P ∧ Q
(1) – Q v ( R → T) P (1) R → S P
(2) - L → Q P (2) – S P
(3) L→ - P P (3) R v ( P ∧ Q) P
(4) P P
c)Demostrar: - L d)Demostrar: T v S
(1) S → Q P (1) Q v T P
(2) – Q v T P (2) Q → R P
110
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
(3) L → - T P (3) – R P
(4) S P
e)Demostrar: R v - S f)Demostrar: T v Q
(1) S ∧ Q P (1) S → P ∧ Q P
(2) T → - Q P (2) S P
(3) – T → R P (3) P ∧ Q → T P
g)Demostrar: U h)Demostrar: - S
(1) P ∧ - T P (1) P v Q P
(2) S → T P (2) – S v – P P
(3) S v Q P (3)- Q P
(4) Q v P → U P
111
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Se puede concluir, Si Carlos está en la Universidad, entonces tendrá como materia Matemática
I
Simbolizando
Premisas: P→Q
Q→R
Conclusión: P→𝑅
Es una regla de inferencia que en su expresión plantea un caso hipotético, por lo cual puede
tener términos válidos o no.
Ejemplo:
R: me resfriaré
P→ Q
Q→ R
P→R
Ejemplos:
a)(1) P → - R P b)(1) ( P v Q) → T P
(2) – R→ T P (2) T → S P
112
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
c)(1) T → R P d)(1) S → ( P ∧ T) P
(2) S → T P (2) ( P ∧ T) → R P
ACTIVIDAD N°
1. Qué conclusión se puede sacar, por la ley del Silogismo Hipotético, de los conjuntos
de proposiciones siguientes?. Luego , traducir los razonamientos en símbolos lógicos,
y demostrar que su conclusión es consecuencia lógica de las premisas
Luego, ………………………………………………………………………………………………………………
c) Si un haz fino de fotones penetra en un gas en una cámara de niebla, entonces los
fotones expulsan electrones de los átomos de gas. Si los fotones expulsan
electrones de átomos de gas, entonces la energía de la luz se convierte en energía
cinética de los electrones.
Luego, ………………………………………………………………………………………………………………
113
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
2. Utilizar la ley del Silogismo hipotético, en una demostración formal para obtener una
conclusión de los siguientes conjuntos de premisas.
1. (1) Q → - P P 3. (1) S v T → R v S P
(2) – P → R P (2) R v Q → - P P
2. (1)P → R ∧ – S P 4. (1) S → - T P
(2) R ∧ – S → T P (2) – T → - R P
a)Demostrar: - T b)Demostrar: P
(1) (Q → R) ∧ P P (1) – R P
(2) R → T P (2) – P → Q P
(3) (Q → R) P (3) Q → R P
114
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
c)Demostrar: Q d)Demostrar: T v L
(1) - R → S P (1) P v – Q P
(2) S → P∧ Q P (2) Q P
(4) – T P
(1) P → Q P (1) P → Q
(2) Q → R P (2) Q → - R
(3) R → T P (3) P v ( T ∧ S)
(4) P P (4) R
g)Demostrar: R v T h) Demostrar: - T ∧ - P
(1) P → S P (1) – S v – R P
(2) P P (2) – R → - T P
(3) – S v Q P (3) – S → - T P
(1) y = 4 ∧ x = y + 3 P (1) 5 x – 4 = 3 x + 4→ 5 x = 3 x + 8 P
115
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
(3) y ≯ 2 → x ≯ 2 P (3) 5 x = 3 x + 8 → 2 x = 8 P
(3) y ≠ 5 v x = 6 P (3)2 x = 6 → - ( 5 x – 3 = 17 →x = 4) P
La ley del Silogismo disyuntivo, empieza con una disjunción y dos condicionales
Qué concluimos?
Simbolizando:
P: llueve hoy
Premisas: PvQ
116
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
P→R
Q→S
Conclusión RvS
Para aplicar la ley del Silogismo Disyuntivo, lo primero es hacer una inspección generalizada
para comprobar si se tienen las dos condicionales y la disjunción requerida. Luego, se
comprueba que los dos antecedentes de las condicionales son precisamente los miembros de
la disjunción. Por último se forma como conclusión una disjunción, donde los miembros de
ésta corresponde a los dos consecuentes de las condicionales.
Ejemplos
a)(1) P V Q P b) (1)- T v R P
(2) P → R P (2) – T → - S P
(3) Q → T P (3) R → W P
b)(1) – P v – Q P d)(1) P v Q P
(2) – P → T P (2) P → - S P
(3) – Q→ S P (3) Q → - T P
ACTVIDAD N°
Qué conclusión se puede sacar, por la ley del Silogismo Disyuntivo, de los conjuntos de
proposiciones siguientes?. Luego , traducir los razonamientos en símbolos lógicos, y
demostrar que su conclusión es consecuencia lógica de las premisas
1. O Juan tiene mayoría o Pedro tiene mayoría. Si Juan tiene mayoría, entonces Pedro
será el tesorero. Si Pedro tiene mayoría, entonces Juan será el tesorero.
117
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Luego, ……………………………………………………………………………………………………………….
3. O la planta es una planta verde o es una planta no verde. Si es una planta verde,
entonces fabrica su propio alimento. Si es una planta no verde, entonces depende de
las materias de otras plantas para su alimento.
Luego, …………………………………………………………………………………………………………………………
2. Utilizar la ley del Silogismo hipotético, en una demostración formal para obtener una
conclusión de los siguientes conjuntos de premisas.
a)(1) P v – Q P b)(1) – T v – S P
(2) P → S P (2) – S → P P
(3) – Q → T P (3) – T → Q P
c)(1) Q v T P d)(1) (P ∧ Q ) v – R P
(2) Q → L P (2) (P ∧ Q ) → S P
(3) T → - R P (3) – R → T P
C)Demostrar: d) Demostrar
118
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
P →R
REGLAS DE INFERENCIA
119
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
120
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
TERMINO:
Ejemplo 7:
Término: Brasil
b) Sócrates es sabio
Término: Sócrates
PREDICADO:
Ejemplo 8:
a) Juan es nadador
121
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Predicado: es nadador
Para simbolizar la expresión se utiliza una sola letra para todo el predicado y se usa con letras
mayúsculas, mientras que los términos se simbolizan con letras minúsculas.
Ejemplo 9:
a) María canta
Por tanto: Am
Por tanto: Hm
EJERCICIO 3 - 8
122
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
4. Julio es un estudiante
7. Australia es un continente
20. El budismo es una religión que se originó en la India, pero que tuvo más difusión en la
China.
123
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Se llama así porque utiliza la variable x para afirmar que cada cosa en el universo tiene una
cierta propiedad. El símbolo para el cuantificador universal es una letra A al revés y se
simboliza : x
Cuantificadores universales son: para cada x, para todo x, cualquiera, todo, ningún, ninguna,
nada, no
Ejemplo 10:
Todo es alto
Simbolizando: (x) Lm
EJERCICIO 3 - 9
124
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
TERMINO:
Ejemplo 7:
Término: Brasil
125
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
b) Sócrates es sabio
Término: Sócrates
PREDICADO:
Ejemplo 8:
a) Juan es nadador
Predicado: es nadador
Para simbolizar la expresión se utiliza una sola letra para todo el predicado y se usa con letras
mayúsculas, mientras que los términos se simbolizan con letras minúsculas.
Ejemplo 9:
a) María canta
126
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Por tanto: Am
Por tanto: Hm
ACTIVIDAD N°
127
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
50. El budismo es una religión que se originó en la India, pero que tuvo más difusión en la
China.
Se llama así porque utiliza la variable x para afirmar que cada cosa en el universo tiene una
cierta propiedad. El símbolo para el cuantificador universal es una letra A al revés y se
simboliza : x
Cuantificadores universales son: para cada x, para todo x, cualquiera, todo, ningún, ninguna,
nada, no
Ejemplo 10:
Todo es alto
128
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
Simbolizando: (x) Lm
EJERCICIO 3 - 9
129
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
1.
Bibliografía
https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/capítulo-7-teoria-de-conjuntos
130
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
https://www.ecured.cu/Proposici%C3%B3n_l%C3%B3gica
https://es.wikiversity.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_proposicional/Proposiciones&actio
n=edit§ion=1
PROCESO
Señalar cada proposición atómica con una A y cada proposición molecular con una M.
Escribir junto a cada proposición molecular el término de enlace utilizado.
Completar las proposiciones siguientes eligiendo de entre las palabras escritas al final laque
está definida por la proposición dada
131
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
7. Bicondicional Q R S 8. Conjunción T S Q
15. Bicondicional P Q R
132
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
133