INTRODUCCIÓN

La geometría es una ciencia que abarca todas las figuras geométricas Con esta
experiencia podemos adquirir un gran conocimiento sobre los triángulos y
observar, sorprendiéndonos, la riqueza de matices y propiedades que rodean a
dichos triángulos. Pretendemos además, a raíz de esto, estar en condiciones de
abordar el estudio de cualquier triángulo y, por ampliación, de cualquier figura que
pueda descomponerse en triángulos, posteriormente.

La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes que

están a normalmente en la vida, aunque no lo parezca. Está en todas partes. En la
prehistoria, con la invención de la rueda se dio inicio a toda la tecnología de hoy
en día, todo gracias a la rueda aunque sea indirectamente, y nuevamente tenemos
aplicaciones de la circunferencia en esta.

Para partir con este amplio e importante tema, primero aclararemos que es la
circunferencia es la línea "imaginaria" que rodea un circulo, todos los puntos de la
línea están a la misma distancia del centro.

1
 TRIANGULO

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos
a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las
rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo.
Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un

nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una
superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía,
sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

El triángulo es un polígono de tres lados.

1 CONVENCIÓN DE ESCRITURA

Un triángulo llamado ABC

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono,
suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C,

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrando

sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los

2
 vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras
posibles corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para
polígonos con más vértices.

Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus
extremos: AB, BC y AC, en nuestro ejemplo.
Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice
opuesto, convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c paraAB.

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten

el extremo O es

También podemos utilizar una letra minúscula, habitualmente griega, coronada por
un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras
mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos
nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un
triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de
ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un
acento circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los
ángulos:

2 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados
o por la amplitud de sus ángulos.
2.1POR LAS LONGITUDES DE SUS LADOS
Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

 como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los
tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)
 como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con
dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se
oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego,
demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así
una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales1 ), y

3
 como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes
diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma
medida).

Equilátero Isósceles Escaleno

2.2 POR LA AMPLITUD DE SUS ÁNGULOS

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

 Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que
conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
 Triángulo obtusángulo : si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de
90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
 Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El
triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

Se llama triángulo oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores son

rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
2.3 CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS LADOS Y LOS ÁNGULOS
Los triángulos acutángulos pueden ser:

 Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos
iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

4
 Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos
diferentes, no tiene eje de simetría.

 Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales;
las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

 Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de
45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los
catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la
hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

 Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y

ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

 Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales

que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

 Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son
diferentes.

Triángulo equilátero isósceles escaleno

acutángulo

5
 rectángulo

obtusángulo

3 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de
tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los
triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.
3.1 Postulados de congruencia

Triángulo Postulados de congruencia

Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)

Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la

misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los
ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la
misma medida.

Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el
lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y
longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos
ángulos es el lado común a ellos).

6
 Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)
Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo
tiene la misma longitud que los correspondientes del otro
triángulo.

3.2 Teoremas de congruencia

Triángulo Teoremas de congruencia

Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no

comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y
longitud, respectivamente.

3.3 Congruencias de triángulos rectángulos

 Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si

la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los
correspondientes del otro.
 Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los
catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos
correspondientes del otro.
 Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si
la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida
que los correspondientes del otro.
 Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el
cateto un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen
la misma medida que los correspondientes del otro.

4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

 Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes

 Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el
ángulo comprendido entre ellos es congruente.

7
 Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.

4.1 Semejanzas de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los
criterios siguientes:

 Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
 Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
 Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

5 PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

Un cuadrilátero con sus diagonales.

Un tetraedro.
Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un
polígono con tres vértices.

Después del punto y el segmento, el triángulo es el polígono más simple. Es el

único que no tiene diagonal. En el espacio, tres puntos definen un triángulo (y un
plano). Por el contrario, si cuatro puntos de un mismo plano forman
un cuadrilátero, cuatro puntos que no estén en el mismo plano no definen un
polígono, sino un tetraedro

Por otra parte, cada polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos
que se forman con una triangulación del polígono. El número mínimo de triángulos
necesarios para esta división es n − 2, donde n es el número de lados del

8
 polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros
polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.

 Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° lo que equivale a π radianes,
en geometría euclidiana.2

La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.

Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de
la siguiente manera: trazamos la paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo
paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales,
codificados en color rojo en la figura de al lado (ángulos alternos-internos). Del
mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos
correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el
ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo
verde y del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). La suma de los ángulos de
un triángulo es 180 °.

Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en

general en la geometría no euclidiana.

 La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud
del tercer lado.

 El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de
dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

9
 Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados
de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El teorema de Pitágoras gráficamente.

 Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que «El
cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos
el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

 Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa

mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

6 CENTROS DEL TRIÁNGULO

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

 Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y

equivale al centro de gravedad
 Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por
los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de
las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los

10
 puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan
por el vértice opuesto.
 Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a
los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de
los ángulos.
 Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.
 Exincentros: son los centros de las circunferencias exinscritas, aquellas que
son tangentes a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de
una bisectriz interior y dos bisectricesexteriores de los ángulos.
El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es
en un triángulo equilátero.

7 CÁLCULO DE LOS LADOS Y LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO

En general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la

medida de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para
calcular los valores de un triángulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en
situaciones más complejas.

Para resolver triángulos utilizamos generalmente el Teorema de Pitágoras cuando

son triángulos rectángulos, o los Teoremas del seno y del coseno.

7.1 Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

11
 Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquí
etiquetado C. Los ángulos A y B puede variar. Las funciones trigonométricas
especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores
de un triángulo rectángulo.

En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la

tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados
desconocidos. Los lados del triángulo son encontrados como sigue:

 La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o definida como el lado más

largo de un triángulo rectángulo, en este caso h.
 El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo en que estamos interesados, en
este caso a.
 El cateto adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo en que estamos
interesados y el de ángulo recto, por lo tanto su nombre. En este caso el cateto
adyacente es b.
7.1.1 Seno, coseno y tangente
El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto con la
longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado

adyacente y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la

longitud del cateto adyacente. En nuestro caso

Observe que este cociente de las tres relaciones anteriores no depende del
tamaño del triángulo rectángulo, mientras contenga el ángulo A, puesto que todos
esos triángulos son semejantes.

Las siglas "SOH-CAH-TOA" son un mnemónico útil para estos cocientes.

12
7.1.2 Funciones inversas
Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los
ángulos internos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados
cualesquiera.

Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del
cateto opuesto y la de la hipotenusa.

Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del
cateto adyacente y la de la hipotenusa.

Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ángulo con la longitud del
cateto opuesto y la del cateto adyacente.

En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin −1, cos−1,

etc., es frecuentemente usada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la
notación de arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde las
funciones trigonométricas son comúnmente elevadas a potencias, pues esto evita
la confusión entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo.

8 ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

8.1 Medianas y centro de gravedad

Medianas y centro de gravedad de un triángulo.

13
 El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se
llama mediana.

Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto, G en la figura,

llamado centroide o baricentro del triángulo. Si éste es de densidad homogénea,
entonces el centroide G es el centro de masas del triángulo.3

Cada una de las tres medianas dividen el triángulo en dos triángulos

de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice son 2/3 de la longitud
de la mediana.

Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.

Demostración: por simetría, para un triángulo equilátero. Un triángulo cualquiera
con sus tres medianas puede transformarse en un triángulo equilátero con su tres
medianas mediante una transformación afín o una transformación lineal.
El jacobiano (el factor por el que aumentan o disminuyen las áreas) de una
transformación afín es el mismo en cualquier punto, de lo que se deduce la
proposición que encabeza este párrafo.
8.2 Mediatrices y circunferencia circunscrita

Mediatrices ycircunferencia circunscrita de un triángulo.

Se llama mediatriz de un triángulo a cada una de las mediatrices de sus
lados [AB], [AC] y [BC].

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto O equidistante

de los tres vértices. La circunferencia de centro O y radio OA que pasa por cada
uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al
triángulo, y su centro se denomina circuncentro.4

 En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro

del triángulo.

14
 En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera
del triángulo.
 En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto
medio de la hipotenusa.
Propiedad
Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es
el punto medio de su hipotenusa.

8.3 Bisectriz y circunferencia inscrita

Bisectrices ycircunferencia inscrita de un triángulo.

Las bisectrices de un triángulo son las tres bisectrices de sus ángulos internos.

Las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes en un punto O.

La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente a los
tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro,
que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.5

8.4 Alturas y ortocentro

Alturas y ortocentro de un triángulo.

Se llama altura de un triángulo a cada una de las tres rectas que pasan por un
vértice del triángulo y que son perpendiculares al lado opuesto del vértice. La
intersección de la altura y el lado opuesto se denomina «pie» de la altura. 6

15
 Estas 3 alturas se cortan en un punto único H llamado ortocentro del triángulo.7

Notas:

 Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértices recto del

triángulo.
 Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del
triángulo.
 Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.
8.5 Recta de Euler
Artículo principal: Recta de Euler

Recta de Euler de un triángulo.

Los tres puntos H, G y O están alineados en una línea recta llamada recta de
Euler del triángulo y verifica la relación de Euler:8

Los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos
medios de los segmentos [AH], [BH] y [CH] están en una misma circunferencia
llamada circunferencia de Euler o circunferencia de los nueve puntos del triángulo.

8.6 Área de un triángulo

El área de un triángulo suele expresarse por una fórmula de lo más sencilla: es
igual al semiproducto de la base por la altura:

16
Esto vale para cualquier triángulo plano.

Cuando consideramos la obtención de triángulos rectángulos con lados enteros se

encuentra la solución general de la ecuación x² + y² = z²:

x = m 2 u.v ; y = m (u² - v²) ; z = m (u² + v²)

En estas fórmulas, u y v son dos enteros positivos arbitrarios de distinta paridad

tales que u > v y son primos entre sí. El entero positivo m es uno cualquiera que
cubre los casos en los que los elementos de la terna pitagórica tienen un factor
común. Cuando m = 1, tenemos las ternas pitagóricas con elementos primos entre
sí dos a dos. Como el lector puede apreciar, aunque estas fórmulas fueron
diseñadas para obtener ternas con lados enteros, al ser una identidad, también
son válidas para lados reales, exceptuando el caso en que ambos catetos son
iguales (que la hipotenusa sea diagonal de un cuadrado).

Si realizamos el cálculo del área en base a las expresiones encontradas para los
catetos, nos queda una forma cúbica:

Los números de la forma , cuando u y v son u > v y enteros

positivos impares y primos entre sí, son números congruentes de Fibonacci,
introducidos en su Liber Quadratorum (1225). No hay razón conocida para que u y
v no puedan ser de distinta paridad. Fibonacci demostró que el producto de un
congruente por un cuadrado también es congruente.

Como el área de cualquier triángulo puede ser descompuesto en la suma o resta

del área de dos triángulos rectángulos, tenemos dos expresiones para el área de
triángulos no rectángulos:

Acutángulo:
Obtusángulo:
Sin olvidar que esto solamente es válido para pares de triángulos rectángulos que
no tengan catetos iguales. Es una forma más complicada de calcular el área de un
triángulo, y también es poco conocida. Pero en algunos casos, su escritura puede
echar luz sobre cuestiones que de otra forma pasan inadvertidas.

17
9. EN EL ESPACIO

Octaedro; poliedrode ocho caras triángulares.

Icosaedro; poliedro de veinte caras triangulares.

El triángulo es la forma de las caras de

muchos poliedros regulares: tetraedro (cuatro caras que son triángulos
equiláteros, es la pirámide de base triangular), octaedro (ocho caras, las pirámides
de Egipto son medio-octaedros), icosaedro (veinte caras) ...

10. HISTORIA

Problemas R49-> R55 del papiro Rhind.

18
Ningún documento matemático del Antiguo Imperio ha llegado hasta nosotros.
Pero la arquitectura monumental de la III Dinastía y la IV Dinastía de Egipto es una
prueba notable de que los egipcios de esa época tenían conocimientos
relativamente sofisticados de geometría, especialmente en el estudio de los
triángulos.

Figura del triángulo representada en el problema R51 del papiro Rhind.

El cálculo del área de esta figura se analiza en los problemas R51 del papiro
Rhind, M4, M7 y M17 del papiro de Moscú, que datan todos del Imperio Medio. El
problema R51 constituye en la historia mundial de las matemáticas, el primer
testimonio escrito que trata del cálculo del área de un triángulo.

Enunciado del problema R51 del papiro Rhind:9

Ejemplo de cálculo de un triángulo de tierra. Si alguien te dice: un triángulo de 10
khet sobre su mryt y de 4 khet de base. ¿Cuál es su área? Calcular la mitad de 4,
que es 2 para formar un rectángulo. Multiplica 10 por 2. Esta es su área.

El término mryt significa probablemente la altura o el lado. Sin embargo, la fórmula

utilizada para calcular el área hace pensar en la interpretación en favor de la
primera solución.10 El escriba tomaba la mitad de la base del triángulo y calculaba
el área del rectángulo formado por ese lado y la altura; es decir

equivalente a la fórmula general utilizada en nuestros días:

El hecho de que un triángulo de lados 3-4-5 es rectángulo también era conocido

por los antiguos egipcios y mesopotámicos.
Euclides, en el Libro I de sus Elementos , hacia el 300 antes de Cristo, enunció la
propiedad de la suma de los ángulos del triángulo.

19
 CIRCULO

Un círculo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya

distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud
del radio. Es el conjunto de los puntos de unplano que se encuentran contenidos
en una circunferencia.

En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera:1 una

superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia
con área definida; mientras que se denomina circunferencia2 a la curva geométrica
plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud.
"Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la
circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."3
11. ETIMOLOGÍA

La palabra círculo proviene del latín circulus, que es el diminutivo de circus y

significa "redondez".4 Según otros autores, "cerco".
11.1 Usos del término círculo
En lenguaje coloquial, a veces, se utiliza la palabra círculo como sinónimo de
circunferencia.5

En castellano, en la gran mayoría de los textos de matemática círculo significa

superficie plana limitada por una circunferencia.

En cartografía se utiliza el término círculo como sinónimo de circunferencia, en

expresiones tales como círculo polar ártico.

Se suele utilizar el término geométrico disco, asociado al concepto círculo, en

textos de topología, una rama de las matemáticas. En algunos textos de topología
que, normalmente, son traducciones del inglés, se utiliza círculo como sinónimo de
circunferencia.
En inglés, la palabra circle6 expresa el concepto de circunferencia (curva cerrada
plana equidistante del centro), mientras que circumference7 significa perímetro del
círculo (la longitud de la circunferencia). Sin embargo, disk8 se asocia al concepto
de círculo (superficie plana limitada por una circunferencia).

20
12. ELEMENTOS DEL CÍRCULO

El círculo, la circunferencia, y sus elementos principales: el centro, el radio, el

diámetro, el arco, etc.

El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:

12.1 Puntos
Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual
equidistan todos los puntos de esta.
12.2 Segmentos
Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia
perimetral.

Diámetro: es el mayor segmento inscrito; pasa por el centro y divide al círculo dos
semicírculos; es la mayor de las cuerdas.

Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.

12.3 Rectas características
Recta secante: es la recta que «corta» al círculo en dos partes.

Recta tangente: es la recta que «toca» al círculo en un solo punto; es

perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.

Recta exterior: es aquella recta que no «toca» ningún punto del círculo.

21
12.4 Curvas
Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella
que lo delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha
circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la
circunferencia de radio máximo.
12.5 Superficies
El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes
elementos:

Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que
contienen sus extremos.

Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.

Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia

exterior.

Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias

concéntricas.

Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.

12.6 Ángulos

Ángulos en el círculo.

22
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son
iguales.

Existen diversos tipos de ángulos singulares en un círculo. Cuando un ángulo

tiene su vértice en el centro del círculo, recibe el nombre de ángulo central,
mientras que cuando los extremos y el vértice están sobre el círculo el ángulo se
denomina inscrito. Un ángulo formado por una cuerda y una recta tangente se
denomina semi-inscrito.

En un círculo de radio unidad, la amplitud de un ángulo central coincide con la

longitud del arco que subtiende, medido en radianes. Así, un ángulo central recto
mide π/2 radianes, y la longitud del arco es π/2 si el radio es la unidad; si el radio
mide r, el arco medirá r x π/2.

La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá

2π x r x α / 360.

Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición
del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre
la cuerda y la tangente (véase arco capaz).

13. ÁREA DEL CÍRCULO

Un círculo de radio , tendrá un área:

; en función del radio (r).
o

; en función del diámetro (d), pues

o

23
 ; en función de la longitud de la circunferencia máxima (C),
pues la longitud de dicha circunferencia es:
Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados
El área del círculo: ,

se deduce, sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es

igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, es

decir: .

Considerando la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados,

entonces, el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro con
la longitud, por tanto:

14. EL CÍRCULO EN TOPOLOGÍA

En geometría y topología, un círculo es la región del plano acotado por

una circunferencia. Se llama cerrado o abierto dependiendo si contiene o no a la
circunferencia que lo limita.
En coordenadas cartesianas el círculo abierto con centro (a,b) y radio R será:

.
El círculo cerrado con el mismo centro y radio es:

Una esfera es la palabra usada para indicar un objeto tridimensional consistente

en los puntos del espacio euclídeo que están a una distancia menor o igual a
una cantidad fija denominada también radio, radio de la esfera.

Lamentablemente, geómetras y topólogos adoptan convenios incompatibles para

el significado de "n-esfera". Para los geómetras, la superficie de la esfera es
llamada 3-esfera, mientras que topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la
indican como .9

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 CONCLUSIONES

1. La Circunferencia es un elemento geométrico de mucha importancia. Esta

muy a diario en todas partes, gracias a este se pueden realizar muchas
técnicas de gran precisión con productos como los Cds, los relojes, etc.

2. Partiendo de la historia de los tipos triángulos, que conozcamos una serie

de conceptos, definiciones, propiedades y teoremas relativos a ellos, para
ver, al final, como podemos utilizarlos en otros problemas más complejos
sobre Triángulos en general y por extensión, en problemas de Polígonos.

3. Siempre existe una circunferencia que pase por los tres vértices del
triángulo. Su centro es el circuncentro, donde se encuentran las
mediatrices.

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 BIBLIOGRAFIA
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

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