PRUEBA DE TUKEY

La prueba de Tukey es la prueba más aplicada y preferida por los estadísticos, pues controla de mejor

manera los dos errores ampliamente conocidos en la estadística (alfa y beta) (Montgomery, 2004)

Según, M. García; Este método sirve para comparar las medias de los tratamientos dos a

dos, ósea para evaluar las hipótesis:

HO : μ1 = μ2 = μ3 = μ4 (Las medias son iguales)

H1 ∶ μ1 ≠ μ2 ≠ μ3 ≠ μ4 (Las medias son diferentes)

Según, L. Reyes; El análisis de varianza es una técnica para análisis de datos, donde se

prueba la hipótesis nula que “todos los tratamientos son iguales, contra la hipótesis alternativa

que “al menos uno de los tratamientos es distinto a los demás”.

Lamentablemente, el objetivo deseado al realizar el experimento (encontrar el o los

mejores tratamientos), no se puede cumplir. Para ello es necesario realizar un procedimiento

adicional, llamado Prueba de medias.

Existe una gran cantidad de pruebas de medias, pero quizá la más conocida es la prueba

de Tukey. Esta prueba fue desarrollada por John W. Tukey.

Se calcula un valor llamado diferencia honestamente significativa de Tukey, de la siguiente manera:

CME
HSD = q √ (1)
r

Dónde:

HSD: Diferencia honestamente significativa

q: Es una valor que se obtiene de una tabla (Tabla de Tukey), de manera parecida a la tabla de

F. Horizontalmente se colocan los grados de libertad de los tratamientos y verticalmente los

grados de libertad del error. Solamente existen tablas para niveles de significancia del 5% y del

1%.
CME: Es el error estándar de la media y es igual al cuadrado medio del error (obtenido en el

ANDEVA),

r: número de repeticiones.

Si la diferencia entre dos promedios es mayor que la HSD, se concluye que los dos

promedios no son iguales, en caso contrario se concluye que sí son iguales.

Se utiliza el mismo HSD para todos los pares de promedios que se comparan. Pero ésta

fórmula solamente es válida para el caso de experimentos con igual número de

repeticiones (balanceado).

Un experimento puede ser desbalanceado (desiguales repeticiones) por varios

motivos: por causa de los tratamientos, por fallas en el manejo del experimento, o por causas

desconocidas que el experimentador no pudo controlar. El análisis de un experimento

desbalanceado se complica.

En el caso del diseño al completo azar el procedimiento es directo, pero en el de bloques

al azar, cuadrado latino y otros, es necesario estimar los datos faltantes antes de realizar el

análisis.

Lo mismo sucede para la prueba de Tukey. No se puede usar un solo comparador, se deben

calcular varios comparadores para realizar la comparación por pares. Esta variante de la prueba

se conoce como Tukey - Kramer

La fórmula para el cálculo es la siguiente:

CME 1 1
HSD ij = q √ ( + ) (2)
2 ri rj

Donde:

HSD ij = comparador para el par de tratamientos i, j

q = valor de la tabla de Tukey, con grados de libertad de tratamientos y grados de libertad del error
 CME= cuadrado medio del error

ri, rj = son las repeticiones de los tratamientos i, j

EJERCICIO 1 (Garcia, 2014) : Una empresa tiene cuatro plantas y sabe que la planta A satisface los

requisitos impuestos por el gobierno para el control de desechos de fabricación, pero quisiera determinar

cuál es la situación de las otras tres. Para el efecto se toman cinco muestras de los líquidos residuales

de cada una de las plantas y se determina la cantidad de contaminantes. Los resultados del experimento

aparecen en la siguiente tabla. Tabla 1 Cantidad de contaminantes para cuatro plantas de una empresa.

PLANTA
A B C D
1.65 1.7 1.4 2.1
1.72 1.85 1.75 1.95

1.5 1.46 1.38 1.65

1.35 2.05 1.65 1.88
1.6 1.8 1.55 2

El análisis de varianza al 5% de significancia elaborado con Excel es el siguiente:

Análisis de varianza de un valor

RESUMEN
Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza
A 5 7.82 1.564 0.02073
B 5 8.86 1.772 0.04667
C 5 7.73 1.546 0.02533
D 5 9.58 1.916 0.02853
ANALISIS DE VARIANZA

Origen de las Suma de Grados de Promedio de los Valor crítico

variaciones cuadrados libertad cuadrados F Probabilidad para F
Entre grupos 0.470255 3 0.156751667 5.170762549 0.01091168 3.238871517
Dentro de los
grupos 0.48504 16 0.030315

Total 0.955295 19
 Puesto que Fcalc > Fteor se rechaza H0, y se concluye que hay diferencia

significativa (al 5%) entre las cantidades medias de contaminantes para las diferentes plantas.

El valor de la tabla se obtiene con 3 grados de libertad en la horizontal y 16 en la vertical

con un alfa del 5% = 3.65

0.48504
CME = = 0.0303
16

0.0303
HSD = 3.65 √ = 0.2842
5

Los cálculos para la primera comparación (A contra B) se realizan así:

Diferencia: 1.772 – 1.564 = 0.2080

Las comparaciones se realizan así:

r diferencia HSD Conclusión

A contra B 5 0.2080 0.2842
A contra C 0.0180
A contra D 0.3520 Existe diferencias
B contra C 0.2260
B contra D 0.1440
C contra D 0.3700 Existe diferencias

EJEMPLO 2 (Reyes, 2014) : Comparación de 4 concentrados para engorde de pollos. Diseño:

completamente al azar, unidad experimental: pollos machos, de 1 mes de nacidos, de la misma raza y

criados en las mismas condiciones. Se les alimentó con los concentrados en las dosis recomendadas por

los fabricantes por el sistema “ad livitum” (comer todo lo que quieran), y la variable de interés fue:

incremento de peso en 4 semanas (en libras).

Datos finales:

A B C D
2.1 1.5 2 MURIO
1.8 1.4 1.8 1.5
2 1.6 1.9 1.6
MURIO 1.4 2.1 1.6
1.9 1.5 2.1 1.5
2 1.7 2 1.4
 Los animales murieron por causas naturales (no por efecto de los tratamientos) deben ser

excluidos del análisis, por lo que el experimento se convierte en desbalanceado.

El análisis de varianza al 5% de significancia elaborado con Excel es el siguiente:

Análisis de varianza de un valor

RESUMEN
Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza
A 5 9.8 1.96 0.013
B 6 9.1 1.516666667 0.013666667
C 6 11.9 1.983333333 0.013666667
D 5 7.6 1.52 0.007

ANALISIS DE VARIANZA

Valor
Origen de las Suma de Grados de Promedio de los crítico para
variaciones cuadrados libertad cuadrados F Probabilidad F
Entre grupos 1.137878788 3 0.379292929 31.51048951 2.23484E-07 3.15990759
Dentro de los
grupos 0.216666667 18 0.012037037

Total 1.354545455 21
Fcal > F teórico se rechaza H0, Los resultados muestran que sí existe diferencia

significativa entre los concentrados al 5%, por lo que debe procederse a la prueba de medias.

El valor de la tabla se obtiene con 3 grados de libertad en la horizontal y 18 en la vertical

con un alfa del 5% = 3.61

Por ejemplo, los cálculos para la primera comparación (A contra B) se realizan así:

Diferencia: 1.96 - 1.516 =0.4433

0.01203 1 1
Error estándar = √ ( + ) = 0.047
2 5 6

HSD = 3.61 ∗ 0.047 = 0.1696

Las comparaciones se realizan así:

 r1 r2 diferencia error estándar HSD Conclusión

A contra B 5 6 0.4433 0.0470 0.1696 Existe

diferencias
A contra C 5 6 0.0233 0.0470 0.1696

A contra D 5 5 0.4400 0.0491 0.1771 Existe

diferencias
B contra C 6 6 0.4667 0.0448 0.1617 Existe
diferencias
B contra D 6 5 0.0033 0.0470 0.1696

C contra D 6 5 0.4633 0.0470 0.1696 Existe

diferencias

Conclusión: los mejores tratamientos fueron A y C, se debe utilizar el que resulte más económico

Referencias

Facultad de Ciencias Agropecuarias. (5 de abril de 2012). Puntos Porcentuales Superiores de la

Amplitud Estudentizada de Tukey. Recuperado el 28 de Junio de 2018, de

http://www.docentes.unal.edu.co/jarueda/docs/Tablas%20(Duncan%20y%20Tukey).pdf

Garcia, M. (10 de Junio de 2014). Prezi. Recuperado el 28 de Junio de 2018, de

https://prezi.com/gtfrscaw_cnb/prueba-de-tukey/

Montgomery, D. C. (2004). DISEÑO Y ANÁLISIS DE EXPERIMENTOS (Segunda edición ed.). (L.

S.A, Ed.) Arizona, Mexico.

Reyes, L. M. (7 de Mayo de 2014). Blogger. Recuperado el 28 de Junio de 2018, de

http://reyesestadistica.blogspot.com/2014/05/prueba-de-tukey-para-experimentos.html