Capi11 PDF
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Figura 11.1.
363
364 11. Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 × 3
⎛⎞ ⎛ 1 ⎞
1 x − 17 y + 14
3
z
X·U x − 2y + 3z ⎝ 14
PU (X) = P royU X = U= −2 ⎠ = ⎝ − 17 x + 27 y − 37 z ⎠
U ·U 14 3 3 9
3 14 x − 7 y + 14 z
es decir, ⎛ ⎞ ⎛1 ⎞
1 3
x 14 x − 7 y + 14 z
PU ⎝y ⎠ = ⎝− 17 x + 27 y − 37 z ⎠
3 3 9
z 14 x − 7 y + 14 z
Para las proyecciones PE1 , PE2 , PE3 sobre los ejes x, y, z respectivamente se tienen las
siguientes expresiones
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x x 0 x 0
⎝ ⎠ ⎠
PE1 y = 0 , PE2 y = y , PE3 y = 0⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
z 0 z 0 z z
las cuales se pueden obtener sin realizar ningún cálculo, dada la sencillez de su significado
geométrico
Ejemplo 11.2
Como en el ejemplo 11.1, sea L la recta generada por un vector U de R3 , U = O. Deno-
taremos SU la transformación del espacio que asigna a cada vector X de R3 la reflexión
de X respecto a la recta L, entendiéndose dicha reflexión de manera idéntica al caso del
plano (vea figura 11.2).
Figura 11.2.
Ejemplo 11.3
Sean U un vector no nulo de R3 y P el plano que pasa por el origen y con vector normal U.
Para cada vector X de R3 , denotaremos QU (X) la proyección de X sobre el plano P, la
cual se define como el punto donde la perpendicular trazada desde X al plano P intersecta
a este plano, como se ilustra en la figura 11.3. En dicha figura también se muestra la
proyección PU (X) del vector X sobre la recta L generada por U.
Figura 11.3.
Figura 11.4.
Ejemplo 11.4
Sea, como en el ejemplo 11.3, P un plano que pasa por el origen y con vector normal U. Para
cada vector X de R3 , RU (X) denotará la reflexión de X respecto al plano P, es decir,
RU (X) es el otro extremo del segmento de recta trazado desde X perpendicularmente al
plano P de tal modo que su punto medio es la proyección, QU (X) , de X sobre el plano P
(vea figura 11.5).
Figura 11.5.
Así, por definición de RU (X) , el punto medio del segmento de extremos X y RU (X)
es QU (X) , es decir,
1
QU (X) = (X + RU (X))
2
Despejando RU (X) de esta igualdad se obtiene
Observe la similitud entre esta expresión para RU (X) y la expresión para SU (X), la
cual es
SU (X) = 2PU (X) − X
La transformación
RU : R3 −→ R3
X → RU (X) = 2QU (X) − X
Figura 11.6.
Ejemplo 11.5
Sea r ∈ R. Denotaremos Dr (como en el plano) la transformación del espacio que envía
cada vector X de R3 en el vector rX, es decir,
Dr : R3 −→ R3
X → Dr (X) = rX
⎛⎞
x
Es claro que para todo ⎝ y ⎠ de R3
z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x rx
Dr ⎝ y ⎠ = ⎝ ry ⎠
z rz
Ejemplo 11.6
Fijemos un número real θ , −2π < θ < 2π. Denotaremos Rθz la transformación del espacio
3
que rota
⎛ cada⎞ vector de R un ángulo de θ radianes alrededor del eje z. Para cada ⎛ vector
⎞
x0 0
X = ⎝ y0 ⎠ de R3 , esta transformación rota al vector X alrededor del punto ⎝ 0 ⎠ en
z0 z0
el plano z = z0 , un ángulo de θ radianes en el sentido antihorario si θ > 0 y en sentido
horario si θ < 0, entendiéndose que el sentido antihorario en el plano z = z0 corresponde
al sentido en que se curvan los dedos de la mano derecha cuando el dedo pulgar apunta en
la dirección positiva del eje z. En la figura 11.7 se ilustra el efecto de la rotación Rzθ con
θ > 0 sobre un vector X.
Figura 11.7.
⎛ ⎞
x
Así las cosas, para cualquier vector ⎝ y ⎠ de R3 ,
z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x xcosθ − ysenθ
Rθz ⎝ y ⎠ = ⎝ xsenθ + ycosθ ⎠
z z
La transformación Rθz se llamará rotación por el ángulo θ, alrededor del eje z.
De manera similar Rθx y Rθy denotarán las rotaciones por un ángulo de θ radianes
⎛ ⎞
x
alrededor del eje x y del eje y, respectivamente. Para cualquier vector ⎝ y ⎠ de R3 ,
z
se tiene ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x
Rθx ⎝ y ⎠ = ⎝ ycosθ − zsenθ ⎠
z ysenθ + zcosθ
y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x xcosθ + zsenθ
Ryθ ⎝ y ⎠ = ⎝ y ⎠
z −xsenθ + zcosθ
Note que los signos para Rθy son diferentes a los signos para Rθz y Rθx
Ejemplo 11.7
Fijemos un vector U de R3 . Como en el plano, la transformación del espacio que envía
cada vector X de R3 en X + U, se llamará traslación por el vector U y se denotará TU .
11.2. Transformaciones lineales y matrices 369
Es decir,
TU : R3 −→ R3
X → TU (X) = X + U
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x0 x
Si U = ⎝y0 ⎠ entonces para cualquier vector ⎝y ⎠ de R3 ,
z0 z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x x0 x + x0
TU ⎝y ⎠ = ⎝y ⎠ + ⎝y0 ⎠ = ⎝ y + y0 ⎠
z z z0 z + z0
De manera similar al caso del plano, se llaman transformación identidad y trans-
formación nula, respectivamente, las transformaciones
I : R3 −→ R3 y O : R3 −→ R3
X −→ I (X) = X X −→ O (X) = O
En general todo arreglo de números como el que aparece en (11.2) se dirá una matriz
3×3 (se lee “tres por tres”), una matriz de orden 3 o también una matriz de tres filas
y tres columnas; los números a1 , a2 , a3 conforman la primera fila; b1 , b2 , b3 la segunda
fila y c1 , c2 , c3 la tercera fila. Los números a1 , b1 , c1 conforman la primera columna;
a2 , b2 , c2 la segunda columna y a3 , b3 , c3 la tercera columna.
Denotaremos las matrices 3 × 3 mediante letras mayúsculas como A, B, C, . . . ; la
matriz m (I) se denotará I3 y se dirá la matriz identidad de orden 3, y la matriz m (O)
se denotará O y se dirá la matriz nula de orden 3.
Dos matrices ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a1 a2 a3 a1 a2 a3
A = ⎝ b1 b2 b3 ⎠ y B = ⎝ b1 b2 b3 ⎠
c1 c2 c3 c1 c2 c3
se dicen iguales y se escribe A = B si
A cada transformación lineal T del espacio hemos asociado una matriz 3 × 3, la cual
es m (T ) . Por otra parte, toda matriz 3 × 3 como la que aparece en (11.2) es la matriz
de una única transformación lineal del espacio, la cual es la transformación T : R3 −→ R3
definida por (11.1). De manera que la correspondencia
T −→ m (T )
entre transformaciones
⎛ lineales
⎞ del⎛espacio
⎞ y matrices 3 × 3 es biunívoca.
a1 a2 a3 x
Si A = ⎝ b1 b2 b3 ⎠ y X = ⎝y ⎠ , definimos el producto AX de la matriz A por
c1 c2 c3 z
3
el vector X de R así:
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a1 a2 a3 x a1 x + a2 y + a3 z
AX = ⎝ b1 b2 b3 ⎠ ⎝y ⎠ = ⎝ b1 x + b2 y + b3 z ⎠
c1 c2 c3 z c1 x + c2 y + c3 z
T (X) = AX
para todo X de R3 .
⎛ ⎞
Ejemplo 11.8 x
Cualquiera sea X = ⎝ y ⎠ en R3 ,
z
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 0 8 x 2x + 8z
• ⎝4 −3 5⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ 4x − 3y + 5z ⎠
6 7 9 z 6x + 7y + 9z
11.2. Transformaciones lineales y matrices 371
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 0 x x 0 0 0 x 0
• ⎝0 1 0⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ y ⎠ y ⎝0 0 0⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠
0 0 1 z z 0 0 0 z 0
⎛ 1 ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 x − 1y + 3 z ⎞ 14 − 17 3
14 ⎛ ⎞
1 x 14 7 14 ⎜ ⎟ x
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
• Si U = ⎝ −2 ⎠ , PU ⎝ y ⎠ = ⎝ − 17 x + 27 y − 37 z ⎠ = ⎜− 17 2
7 − 37 ⎟ ⎝ y ⎠
⎝ ⎠
3 z 3 3 9 z
14 x − 7 y + 14 z 3
− 37 9
14 14
T (rX + sU ) = rT (X) + sT (U )
cualesquiera sean X, U en R3 y r, s en R.
Se tiene además que:
Si T :⎛R3 −→ 3
⎞ R ⎛es una
⎞ transformación lineal, entonces
0 0
• T⎝ 0 ⎠=⎝ 0 ⎠
0 0 ⎛ ⎞
x
• Para cualquier vector ⎝ y ⎠ de R3 ,
⎛ ⎞ z
x
T ⎝ y ⎠ = T (xE1 + yE2 + zE3 ) = xT (E1 ) + yT (E2 ) + zT (E3 )
z
(Por ⎞ si se conocen T (E1 ) , T⎛(E2 )⎞
⎛ tanto, , y T (E3 ) ya se conoce
x x
T ⎝ y ⎠ , cualquiera sea el vector ⎝ y ⎠)
z ⎛ ⎞ z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a1 a2 a3 a1 a2
⎝ ⎠
• m (T ) = b1 b2 b3 si y sólo si T (E1 ) = ⎝ b1 ⎠ , T (E2 ) = b2 ⎠
⎝
⎛ c1⎞ c2 c3 c1 c2
a3
y T (E3 ) = ⎝ b3 ⎠
c3
372 11. Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 × 3
Ejemplo 11.9
Consideremos la transformación del espacio
3 3
⎛T : R⎞ −→ R ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x 2x − z
⎝ y ⎠ −→ T ⎝ y ⎠ = ⎝ x + z/3 ⎠
z z x − y/2 + 4z
Ejemplo 11.10
Sea S una transformación lineal del espacio tal que
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−2 0 −2
S (E1 ) = ⎝ 3 ⎠ , S (E2 ) = ⎝ −1 ⎠ y S (E3 ) = ⎝ 0 ⎠
4 5 −3
Halle la ley de asignación de S.
Solución:
⎛ ⎞
x
Sea ⎝ y ⎠ un vector cualquiera de R3 . Dado que
z
⎛ ⎞
x
⎝ y ⎠ = xE1 + yE2 + zE3
z
11.2. Transformaciones lineales y matrices 373
⎛⎞
x
Luego, para cualquier vector ⎝ y ⎠ de R3 ,
z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x −2 0 −2 x −2x − 2z
S ⎝ y ⎠ = ⎝ 3 −1 0 ⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ 3x − y ⎠
z 4 5 −3 z 4x + 5y − 3z
T (C) = {T (X) /X ∈ C}
Por tanto,
luego,
Así que T R3 es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores T (E1 ) ,
T (E2 ) , T (E3 ) . Se tiene así que:
• Si T (E1 ) , T (E2 ) , T (E3 ) son vectores L.I. entonces
T R3 = R3
pues en tal caso todo vector de R3 es expresable como C.L. de los vectores T (E1 ) , T (E2 ) ,
T (E3 )
• Si dos de
los vectores T (E1 ) , T (E2 ) , T (E3 ) son L.I. y el otro es C.L. de aquellos
entonces T R3 es el plano generado por esos dos vectores linealmente independientes. A
continuación probaremos esto para el caso en que T (E1 ) , T (E2 ) son linealmente indepen-
dientes y T (E3 ) es combinación lineal de T (E1 ) y T (E2 ) , es decir,
para ciertos escalares r y s. En este caso, toda combinación lineal de T (E1 ) , T (E2 ) y T (E3 )
es también una C.L. de T (E1 ) y T (E2 ) ya que si x, y, z son escalares cualesquiera
Por otra parte, es claro que toda combinación lineal de T (E1 ) y T (E2 ) es también
combinación lineal de T (E1 ) , T (E2 ) y T (E3 ) ya que si x, y son escalares cualesquiera,
De manera que el
3
conjunto de todas las combinaciones lineales de T (E1 ) , T (E2 ) y T (E3 )
(el cual es T R ) es igual al conjunto de todas las combinaciones lineales de T (E1 ) y
T (E2 ) (el cual es el plano generado por estos vectores).
Se deja como ejercicio para el lector completar la prueba de la afirmación 2. y también
probar lo afirmado en 1. y 3.
Ejemplo 11.11
Sea T la transformación lineal del espacio tal que
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 1
T (E1 ) = ⎝ 0 ⎠ , T (E2 ) = ⎝ 1 ⎠ , T (E3 ) = ⎝ 1 ⎠
−1 1 0
Solución:
Comencemos por hallar la ley de asignación de T :
⎛ ⎞
x
Si ⎝ y ⎠ es un punto cualquiera de R3 ,
z
⎛ ⎞
x
T ⎝ y ⎠ = T (xE1 + yE2 + zE3 )
z
= xT (E1 ) + yT (E2 ) + zT (E3 )
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 1
= x ⎝ 0 ⎠ +y ⎝ 1 ⎠ +z ⎝ 1 ⎠
−1 1 0
⎛ ⎞
x+z
= ⎝ y+z ⎠
−x + y
376 11. Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 × 3
b) Se tiene
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 2+4 6
T (P ) = T ⎝ −1 ⎠ = ⎝ −1 + 4 ⎠ = ⎝ 3 ⎠ y
4 −2 − 1 −3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 0+3 3
T (Q) = T ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 1+3 ⎠ = ⎝ 4 ⎠.
3 0+1 1
c) Tenemos
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−5 −5 + 7 2
T (R) = T ⎝ 2 ⎠ = ⎝ 2+7 ⎠=⎝ 9 ⎠ y
7 − (−5) + 2 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−1 −1 + 1 0
T (U ) = T ⎝ −1 ⎠ = ⎝ −1 + 1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠.
1 − (−1) − 1 0
Como T (U ) = O, entonces
⎧⎛ ⎞⎫
⎨ 2 ⎬
T L = {T (R)} = ⎝ 9 ⎠
⎩ ⎭
7
d) Como
P = {tY + rV / t, s ∈ R}
la imagen de P bajo la transformación lineal T es
T (P) = {tT (Y ) + rT (V ) / t, s ∈ R}
entonces ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎫
⎨ 2 4 ⎬
T (P) = t ⎝ 5 ⎠ + r ⎝ 5 ⎠ t, s ∈ R
⎩ ⎭
3 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 4
Por último, como los vectores ⎝ 5 ⎠ y ⎝ 5 ⎠ son linealmente independientes, la
3 1
imagen del plano P bajo T es otro plano, el plano generado por dichos vectores.
e) Como
R3 = {xE1 + yE2 + zE3 /x, y, z ∈ R}
entonces la imagen de R3 bajo la transformación lineal T es
donde
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 1
T (E1 ) = ⎝ 0 ⎠ , T (E2 ) = ⎝ 1 ⎠ y T (E3 ) = ⎝ 1 ⎠
−1 1 0
x−y+z =0
⎛ ⎞
1
Ahora, como el punto T (E3 ) = ⎝ 1 ⎠ satisface esta ecuación ya que 1 − 1 + 0 = 0,
0
entonces T (E3 ) está en el plano generado por T (E1 ) y T (E2 ) y por tanto T (E3 ) es C.L.
de T (E1 ) y T (E2 ) .
En resumen, T (E1 ) y T (E2 ) son linealmente independientes y T (E3 ) es combinación
lineal de T (E1 ) , T (E2 ). ⎛ ⎞
3
1
Se sigue que T R es el plano generado por los vectores T (E1 ) = ⎝ 0 ⎠ y
−1
⎛ ⎞
0
T (E2 ) = ⎝ 1 ⎠ , es decir,
1
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎫ ⎧⎛ ⎞ ⎫
3
⎨ 1 0 ⎬ ⎨ x ⎬
T R = t ⎝ 0 ⎠ ⎝
+s 1 ⎠ t, s ∈ R = ⎝ y ⎠ 3
∈R : x−y+z = 0
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
−1 1 z
378 11. Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 × 3
(T + S) (tX + rU ) = t (T + S) (X) + r (T + S) (U )
Luego,
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x (a11 + b11 ) x + (a12 + b12 ) y + (a13 + b13 ) z
(T + S) ⎝ y ⎠ = ⎝ (a21 + b21 ) x + (a22 + b22 ) y + (a23 + b23 ) z ⎠
z (a31 + b31 ) x + (a32 + b32 ) y + (a33 + b33 ) z
Esta última igualdad prueba que T + S es una transformación lineal del espacio y
además que ⎛ ⎞
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13
⎝
m (T + S) = a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 ⎠
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33
11.3. Operaciones con transformaciones lineales y matrices 379
Se hace uso de esta igualdad para definir una suma entre matrices 3 × 3 así:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a11 a12 a13 b11 b12 b13 a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13
⎝a21 a22 a23 ⎠ + ⎝b21 b22 b23 ⎠ = ⎝a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 ⎠
a31 a32 a33 b31 b32 b33 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33
Se insiste en que, al igual que para matrices 2 × 2, la suma entre matrices 3 × 3 se ha
definido de modo de que ella corresponda a la suma de transformaciones lineales, es decir,
de modo que
m (T ) + m (S) = m (T + S)
De manera similar se demuestra que si T es una transformación lineal del espacio con
m (T ) como en (11.4) entonces rT es una transformación lineal y
⎛ ⎞
ra11 ra12 ra13
m (rT ) = ⎝ra21 ra22 ra23 ⎠
ra31 ra32 ra33
Se define el producto de un escalar por una matriz 3 × 3 en la forma
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a11 a12 a13 ra11 ra12 ra13
r ⎝a21 a22 a23 ⎠ = ⎝ra21 ra22 ra23 ⎠
a31 a32 a33 ra31 ra32 ra33
con lo cual se tiene que
r (m (T )) = m (rT )
Consideremos ahora la compuesta T ◦S de dos transformaciones lineales T y S con m (T )
y m (S) como en (11.4). El lector puede probar que T ◦ S también es una transformación
lineal, sin hacer uso de m (T ) y m (S) .
Cuando T y S son transformaciones lineales, la compuesta T ◦ S también se llama
producto de T y S y se denota T S. Podemos calcular m (T S) de la siguiente manera:
La primera columna de m (T S) es el vector
(T S) (E1 ) = T (S (E1 ))
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
b11 b11
= T ⎝ b21 ⎠ , pues S (E1 ) = ⎝ b21 ⎠
b31 b31
⎛ ⎞⎛ ⎞
a11 a12 a13 b11
= ⎝a21 a22 a23 ⎠ ⎝ b21 ⎠
a31 a32 a33 b31
⎛ ⎞
a11 b11 + a12 b21 + a13 b31
= ⎝ a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 ⎠
a31 b11 + a32 b21 + a33 b31
donde
c11 = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31
y en general, para i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3
b 1j
a i1 a i2 a i3 b 2j = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j
b 3j
m (T ) m (S) = m (T S)
donde los escalares cij se calculan como ya se ha indicado. Por ejemplo (vea los elementos
encerrados en rectángulos en (11.6)),
Observe que en este caso KJ = JK (vea figura 11.8), aunque en general el producto
de transformaciones lineales no es conmutativo.
11.3. Operaciones con transformaciones lineales y matrices 381
Figura 11.8.
⎛ ⎞
Ejemplo 11.13 x
Sean P la proyección sobre el plano xy, Q la proyección sobre el plano yz y X = ⎝ y ⎠
z
un vector cualquiera de R3 . Entonces:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x x 0
P ⎝ y ⎠ = ⎝ y ⎠, Q⎝ y ⎠ = ⎝ y ⎠
z 0 z z
⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x 0 0
(P Q) ⎝ y ⎠ = P ⎝Q ⎝ y ⎠⎠ = P ⎝ y ⎠ = ⎝ y ⎠
z z z 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x x 0
(QP ) ⎝ y ⎠ = Q ⎝P ⎝ y ⎠⎠ = Q ⎝ y ⎠ = ⎝ y ⎠
z z 0 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x x x
(P P ) ⎝ y ⎠ = P ⎝P ⎝ y ⎠⎠ = P ⎝ y ⎠ = ⎝ y ⎠
z z 0 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x 0 0
(QQ) ⎝ y ⎠ = Q ⎝Q ⎝ y ⎠⎠ = Q ⎝ y ⎠ = ⎝ y ⎠
z z z z
Figura 11.9.
Ejemplo 11.14
Considere las transformaciones lineales del espacio T y S definidas por
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x − 2y x x
T ⎝ y ⎠=⎝ x+y+z ⎠ y S⎝ y ⎠=⎝ y+z ⎠
z −3x + z z z
Halle la matriz de transformación lineal (4T + S) T
Solución:
m [(4T + S) T ] = m (4T + S) m (T )
= [m (4T ) + m (S)] m (T )
= [4m (T ) + m (S)] m (T )
Como ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 −2 0 1 0 0
m (T ) = ⎝ 1 1 1⎠ y m (S) = ⎝0 1 1⎠
−3 0 1 0 0 1
entonces
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 −2 0 1 0 0
4m (T ) + m (S) = 4 ⎝ 1 ⎠ ⎝
1 1 + 0 1 1⎠
−3 0 1 0 0 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
4 −8 0 1 0 0
= ⎝ 4 ⎠ ⎝
4 4 + 0 1 1⎠
−12 0 4 0 0 1
⎛ ⎞
5 −8 0
= ⎝ 4 5 5⎠
−12 0 5
y así
Luego, ⎛ ⎞
−3 −18 −8
m [(4T + S) T ] = ⎝ −6 −3 10 ⎠
−27 24 5
Las operaciones suma, multiplicación por escalar y producto, definidas para transfor-
maciones lineales del espacio y para matrices 3 × 3, gozan de las mismas propiedades
algebraicas ya establecidas en el capítulo 4 para dichas operaciones con transformaciones
lineales del plano y con matrices 2 × 2.
En cuanto al producto de una matriz 3 × 3 por un vector de R3 , éste tiene también las
mismas propiedades que tiene su similar para matrices 2×2 y vectores de R2 . En particular
se tiene que:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a11 a12 a13 x
• Si A = ⎝ a21 a22 a23 ⎠ y X = ⎝ y ⎠ entonces
a31 a32 a33 z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a11 a12 a13
AX = x ⎝ a21 ⎠ + y ⎝ a22 ⎠ + z ⎝ a23 ⎠
a31 a32 a33
⎛ ⎞
a11 a21 a31
AT = ⎝ a12 a22 a32 ⎠
a13 a23 a33
⎞ ⎛
x
⎛ ⎞
u
XT U = x y z ⎝ v ⎠ = xu + yv + zw = X.U
w
⎛ ⎞
a11 a12 a13
XT A = x y z ⎝ a21 a22 a23 ⎠
a31 a32 a33
Ejemplo 11.15
Sea L la recta generada por un vector U de R3 , U = O .
a) La proyección PU sobre la recta L no es una transformación invertible. Para ver esto,
basta considerar cualquier recta L perpendicular a L que pase por el origen y dos puntos
X1 , X2 en L con X1 = X2 . Es claro que
PU (X1 ) = O = PU (X2 )
SU SU = I
Figura 11.10.
Ejemplo 11.16
Para r = 0 la transformación Dr es invertible y Dr−1 = D 1 puesto que, como el lector
r
puede verificar,
Dr D 1 = I = D 1 Dr
r r
Ejemplo 11.17
Para cada θ, −2π < θ < 2π, las rotaciones Rxθ , Rθy , Rθz alrededor de los ejes x, y, z
respectivamente, son invertibles y
y
−1 y
(Rθx )−1 = Rx−θ , Rθ = R−θ y (Rθz )−1 = Rz−θ
Ejemplo 11.18
Sea T la transformación lineal del espacio tal que
⎛ ⎞
1 −1 0
m (T ) = ⎝ 0 1 −1⎠
−1 0 1
pues
(x0 − y0 ) + (y0 − z0 ) + (−x0 + z0 ) = 0
Luego, todas las imágenes
3
bajo T de vectores en R3 caen en el plano P cuya ecuación
es (11.7), es decir, T R ⊆ P. Así T no es sobre.
Ahora, como T no es sobre entonces T no es invertible.
386 11. Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 × 3
La prueba de este resultado se deja como ejercicio para el lector. En segundo lugar
tenemos:
es decir, T R3 es el conjunto de todas las C.L. de los vectores T (E1 ) , T (E2 ) , T (E3 ) .
Si probamos que estos vectores son L.I. tendremos que todo vector de R 3 es C.L. de ellos,
Es fácil ver que en la siguiente lista de afirmaciones, cada una (a partir de la segunda)
es equivalente a la anterior:
i) T es invertible
ii) El único vector X⎛de R 3
⎞ tal que T (X) ⎛ = O es X = ⎞O⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x a1 a2 a3 x 0
iii) El único vector ⎝ y ⎠ de R3 tal que ⎝ b1 b2 b3 ⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠ es
z c1 c2 c3 z 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 0
⎝ y ⎠=⎝ 0 ⎠
z 0
iv) Los únicos escalares x, y, z tales que
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a1 a2 a3 0
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x b1 + y b2 + z b3 = ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠
c1 c2 c3 0
son x = 0, y = 0 y z = 0
v) Ninguna de las columnas de m (T ) es combinación lineal de las otras dos (es decir,
las columnas de m (T ) son L.I.)
Así que la primera y la última de las afirmaciones anteriores son equivalentes, como se
quería probar
Otro resultado importante es:
⎛ ⎞
a1 a2 a3
Si T : R3 −→ R3 es una transformación lineal con m (T ) = ⎝ b1 b2 b3 ⎠
c1 c2 c3
entonces
a1 a2 a3
T es invertible si y sólo si b1 b2 b3 = 0
c1 c2 c3
T (X) = O ⇔ X es ortogonal a U, V, y Z
388 11. Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 × 3
En efecto,
⎧
⎨ a1 x + a2 y + a3 z = 0
T (X) = O ⇔ b x + b2 y + b3 z = 0
⎩ 1
c1 x + c2 y + c3 z = 0
⇔ U · X = 0, V · X = 0 y Z ·X =0
⇔ X es ortogonal a U, V y Z
También utilizaremos el hecho ya conocido de que
∆ = U · (V × Z)
Probaremos el resultado en consideración probando que:
• Si ∆ = 0 entonces T no es invertible (11.10)
• Si ∆ = 0 entonces T es invertible (11.11)
Para probar (11.10) partamos de que ∆ = 0, es decir,
U · (V × Z) = 0 (11.12)
Supongamos V × Z = O. De (11.12) vemos que V × Z es ortogonal a U ; por otra parte,
sabemos que V × Z es ortogonal a V y a Z. Luego, V × Z es un vector no nulo ortogonal
a los vectores U, V y Z, es decir, V × Z es un vector no nulo tal que
T (V × Z) = O
X = t (V × Z)
para algún t ∈ R. Como además X es ortogonal a U entonces U · X = 0, es decir,
U · (t (V × Z)) = 0
o, equivalentemente,
t (U · (V × Z)) = 0
Ahora, como U · (V × Z) = 0 entonces t = 0 y así X = O. Luego, el único vector X de
R3 tal que T (X) = O es X = O, y por tanto T es invertible.
Hemos probado así la implicación en (11.11). Finaliza así la prueba del resultado en el
último recuadro.
11.4. Inversa para transformaciones lineales y matrices 389
Ejemplo 11.19
Considere la transformación
3 3
⎛T : R⎞ −→ R ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x −x + 2z
⎝ y ⎠ −→ T ⎝ y ⎠ = ⎝ 4x + y ⎠
z z y − 3z
= − (−3 − 0) + 2 (4 − 0) = 11
Entonces ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
r1 1 r1 1
⎝r2 ⎠ = T −1 ⎝ 0 ⎠ , es decir, T ⎝r2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠
r3 0 r3 0
o equivalentemente,
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
r1 r1 r1
U · r2 ⎠ = 1,
⎝ V · r2 = 0 y Z · r2 ⎠ = 0
⎝ ⎠ ⎝
r3 r3 r3
U · (V × Z) = ∆, V · (V × Z) = 0 y Z · (V × Z) = 0
y como también ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
r1 1
T ⎝ r2 ⎠ = ⎝ 0 ⎠
r3 0
11.4. Inversa para transformaciones lineales y matrices 391
Si T es invertible entonces
V×Z Z×U U×V
1
m T −1 = (11.13)
∆
donde ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a1 b1 c1
U = ⎝ a2 ⎠ , V = ⎝ b2 ⎠ y Z = ⎝ c2 ⎠
a3 b3 c3
Ejemplo 11.20
Considere la transformación lineal T del ejemplo 11.19, de la cual ya sabemos que es
invertible.
a) Halle m T −1
b) Halle la ley de asignación para T −1
Solución:
a) Tenemos que
⎛ ⎞
−1 0 2
m (T ) = ⎝ 4 1 0 ⎠
0 1 −3
y vimos que el determinante ∆ de esta matriz es ∆ = 11. Luego, de acuerdo con la fórmula
(11.13),
V×Z Z×U U×V
1
m T −1 =
11
392 11. Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 × 3
donde ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛
−1 4 0
U = ⎝ 0 ⎠, V =⎝ 1 ⎠ y Z=⎝ 1 ⎠
2 0 −3
El lector puede verificar que
⎞ ⎛
−3
V × Z = −3E1 + 12E2 + 4E3 = ⎝ 12 ⎠
4
⎛ ⎞
2
Z × U = 2E1 + 3E2 + E3 = ⎝ 3 ⎠
1
⎛ ⎞
−2
U × V = −2E1 + 8E2 − E3 = ⎝ 8 ⎠
−1
Por tanto, ⎛ ⎞
−1
−3 2 −2
1 ⎝
m T = 12 3 8 ⎠
11
4 1 −1
b) La ley de asignación para T −1 es :
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
x −3 2 −2 x
1
T −1 ⎝ y ⎠ = ⎝ 12 3 8 ⎠ ⎝ y ⎠
11
z 4 1 −1 z
⎛ ⎞
−3x + 2y − 2z
1 ⎝ ⎠
= 12x + 3y + 8z
11
4x + y − z
⎛ 3 2 2
⎞
− 11 x + 11 y − 11 z
⎜ 12 3 8 ⎟
= ⎝ 11 x + 11 y + 11 z ⎠
4 1 1
11 x + 11 y − 11 z
Volvamos una vez más a las transformaciones lineales del plano. Vimos que si para una
transformación lineal T : R2 −→ R2 existe una transformación lineal S : R2 −→ R2 tal que
ST = I (o T S = I) entonces T es invertible y T −1 = S. Pues bien, exactamente lo mismo
se da para transformaciones lineales del espacio. Es decir, se tiene lo siguiente.
S = SI = S T T −1 = (ST ) T −1 = IT −1 = T −1
Supongamos ahora que T S = I. Entonces, según se acaba de probar, S es invertible y
S −1 = T ; luego ST = I y por tanto T es invertible y S = T −1 .
Pasemos ahora a las matrices 3 × 3. Para ellas la noción de invertibilidad se define
exactamente como lo hicimos para matrices 2 × 2. Veamos:
Sea A una matriz 3 × 3 y consideremos la transformación lineal T : R3 −→ R3 cuya
matriz es A. La matriz
A se dice invertible si lo es la transformación lineal T . Si éste
es
el
caso, la matriz m T −1 se dice la inversa de A y se denota A−1 , es decir, A−1 = m T −1 .
Al igual que para matrices 2 × 2, la matriz A−1 (cuando existe) es tal que
AA−1 = A−1 A = I3 .
Por supuesto, todos los resultados establecidos para transformaciones lineales, rela-
cionados con invertibilidad, pueden trasladarse a matrices 3 × 3. Se tiene así que:
⎛ ⎞
a1 a2 a3
Para cualquier matriz A = ⎝ b1 b2 b3 ⎠ ,
c1 c2 c3
1) Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
• A es invertible
• El único vector X de R3 tal que AX = O es X = O
• Las
columnas de A son L.I.
a1 a2 a3
• b1 b2 b3 = 0
c1 c2 c3
a1 a2 a3
2) Si A es invertible y ∆ = b1 b2 b3 entonces
c1 c2 c3
donde ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a1 b1 c1
U = ⎝ a2 ⎠ , V = ⎝ b2 ⎠ y Z = ⎝ c2 ⎠
a3 b3 c3
3) Si existe una matriz B de orden 3 tal que AB = I3 (o BA = I3 ) entonces
A es invertible y A−1 = B.
De acuerdo con el resultado 1), podemos determinar si tres vectores dados de R3 son
L.I., considerando la matriz A cuyas columnas son los tres vectores dados (en cualquier
orden) y calculando su determinante ∆. Si ∆ = 0, los vectores son L.I. y si ∆ = 0, ellos
son L.D.
394 11. Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 × 3
Ejemplo 11.21
⎛ ⎞
−1 0 2
Sea A = ⎝ 4 1 0⎠
0 1 −3
Vimos en el ejemplo 11.19 que la transformación lineal T cuya matriz es A, es una
transformación invertible, por tanto la matriz A es invertible. Como además
⎛ ⎞
−1
−3 2 −2
1 ⎝
m T = 12 3 8⎠
11
4 1 −1
(vea ejemplo 11.20), entonces A−1 es la matriz que aparece al lado derecho en la igualdad
anterior.
⎛ ⎞
Ejemplo 11.22 2 −1 0
Muestre que la matriz A = ⎝1 1 −1⎠ es invertible y halle su inversa.
0 1 3
Solución:
Para ver que A es invertible basta mostrar que su determinante ∆ es distinto de cero.
2 −1 0
1 −1 1 −1 1 1
∆ = 1
1 −1 = 2
1 3 − (−1) 0 3 + 0 0 1
0 1 3
= 2 (3 + 1) + (3 − 0) + 0
= 11.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 1 0
donde U = ⎝ ⎠
−1 , V = ⎝ 1 ⎠ y Z= ⎝ 1 ⎠.
0 −1 3
Calculando los tres productos cruz que figuran en A−1 se obtiene:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
4 3 1
V ×Z = ⎝ ⎠
−3 , Z × U = ⎝ 6 ⎠ y U ×V = ⎝ 2 ⎠
1 −2 3
Por tanto, ⎛ ⎞
4 3 1
1 ⎝
A−1 = −3 6 2⎠ (11.15)
11
1 −2 3
(Téngase presente que si T es la transformación lineal del
espacio cuya matriz es A
entonces T es invertible, pues A lo es, y además A−1 = m T −1 .
11.5. Ejercicios 395
Ejemplo 11.23
Para cada una de las siguientes colecciones de vectores, determine si ellos son L.I.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 0 1
a) X = ⎝ 0 ⎠ , Y = ⎝ −5 ⎠ , Z = ⎝ −1 ⎠
1 7 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 3 −7
b) X = ⎝ 2 ⎠ , Y = ⎝ −1 ⎠ , Z = ⎝ 7 ⎠
1 4 −10
Solución:
a) Sea A la matriz 3 × 3 con X como primera columna, Y como segunda columna y Z
como tercera columna, es decir,
⎛ ⎞
2 0 1
A = ⎝0 −5 −1⎠
1 7 4
Calculemos su determinante ∆ :
2 0 1
−5 −1 0 −1 0 −5
∆ = 0 −5 −1 = 2 −0 +1 = 2 (−20 + 7) − 0 + (0 + 5) = −21
1 7 4 1 4 1 7
7 4
11.5 Ejercicios
Sección 11.1
2. Considerar el plano P : x − y + z = 0. ⎛
Hallar ⎞
la ley de asignación para cada trans-
1
formación dada y la imagen del vector ⎝ −2 ⎠ bajo dicha transformación.
1
a) Proyección sobre el plano P.
b) Reflexión con respecto al plano P.
3. Para cada literal hallar la ley de asignación de la transformación dada y la imagen
bajo dicha transformación del vector dado.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
√1 1 √ 1
a) Rzπ , ⎝ 3 ⎠ b) Ryπ , ⎝ 1 ⎠ c) Rxπ , ⎝ − 3 ⎠ .
3 4 6
1 1 −1
Sección 11.2
4. Para cada literal determinar si la transformación T definida es una transformación
lineal y, en caso afirmativo, hallar la matriz de T .
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x z x x
a) T ⎝ y ⎠ = ⎝ x ⎠ b) T ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠
z y z y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x x x+y
c) T ⎝ y ⎠ = ⎝ y ⎠ d) T ⎝ y ⎠ = ⎝ y + z ⎠ .
z 1 z x+z
5. Sea P⎛el plano
⎞ con ecuaciones paramétricas x = t − 2s, y = 2t − s, z = −t + s y sea
1
V = ⎝ 1 ⎠ . Hallar:
1
a) La matriz de la transformación proyección sobre el plano P.
b) La proyección del vector V sobre el plano P.
c) La matriz de la transformación reflexión respecto al plano P.
d) La reflexión del vector V respecto al plano P.
⎞ ⎛
3
6. Sea T : R3 −→ R3 la transformación lineal tal que T (E1 + E2 + E3 ) = ⎝ −1 ⎠ ,
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 2
T (−E1 + E2 + E3 ) = ⎝ −3 ⎠ y T (E1 − E2 + E3 ) = ⎝ 1 ⎠ .
0 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x −10
Hallar T ⎝ y ⎠ yT ⎝ −15 ⎠ .
z 25
12. Hallar una transformación lineal T del espacio tal que la imagen de R3 bajo T es el
conjunto descrito en cada literal.
a) El plano con ecuación 2x − y + z = 0
398 11. Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 × 3
⎛
⎞
2
b) La recta generada por el vector ⎝ 4 ⎠ .
−6
Sección 11.3
13. Sean S la reflexión respecto al plano x−y +z = 0 y T la proyección sobre el plano xz.
Hallar la matriz y la ley de asignación de cada una de las transformaciones siguientes:
a) T + S b) 3T − 2S c) T S d) ST e) (2S + T ) S
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x z
14. Sean S y T las transformaciones lineales del espacio definidas por S ⎝ y ⎠ = ⎝ y ⎠
z x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x x
y T ⎝ y ⎠ = ⎝ x + y ⎠ . Hallar la ley de asignación de cada una de las trans-
z x+y+z
formaciones siguientes:
a) T S b) ST c) S 2 d) (2T − 3S) S
⎛ ⎞
1 −1 1
15. Sean T y S las transformaciones lineales del espacio tales que m (T ) = ⎝0 1 2⎠
1 1 −3
⎛ ⎞
−1 0 2
y m (S) = ⎝−1 1 3⎠ . Hallar la matriz de la transformación (5T − 3S) (T + S) .
1 1 1
Sección 11.4
18. Sea U un vector no nulo de R3 y sea P el plano que pasa por el origen y que tiene
a U como un vector normal. Sean QU y RU las transformaciones proyección sobre el
plano P y reflexión respecto al plano P.
a) Probar que QU no es invertible.
−1
b) Probar que RU es invertible y hallar su inversa RU .
11.5. Ejercicios 399
b) Hallar m T −1 .
c) Hallar la ley de asignación de T −1 .
22. a) Para cada matriz dada determinar si es invertible y, en caso afirmativo, hallar su
inversa.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 0 0 1 1 1 2 3
i) A = ⎝ 2 1 1⎠ ii) A = ⎝1 0 1⎠ iii) A = ⎝ 0 1 1⎠
−1 1 2 1 1 0 −1 −1 −2
b) Para cada matriz A dada en el literal a) sea T la tranformación lineal del espacio
cuya matriz es A. Si A es invertible, hallar la ley de asignación para T −1 y si no lo
es hallar la imagen de R3 bajo T .
23. Para cada literal, comprobar que la transformación lineal T es invertible mostrando
que el único vector X de R3 tal que T (X) = O es X = O; además, hallar la ley de
asignación de T −1 .
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
x −x + y + z x 1 3 2 x
a) T ⎝ y ⎠ = ⎝ x − 2z ⎠ b) T ⎝ y ⎠ = ⎝3 2 1⎠ ⎝ y ⎠
z 2x − z z 3 2 1 z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x −2x − z x 1 1 −1
c) T ⎝ y ⎠ = ⎝ −y − 2z ⎠ d) T ⎝ y ⎠ = x ⎝ 1 ⎠+y ⎝ 2 ⎠+z ⎝ −1 ⎠ .
z −2z z 1 6 1
24. a) Probar que si T y S son transformaciones lineales invertibles del espacio entonces
T S es invertible y (T S)−1 = S −1 T −1 .
⎛ ⎞
1
b) Sea T la reflexión respecto a la recta generada por el vector U = ⎝ −1 ⎠ y sea S
0
⎛ ⎞
−1
la reflexión respecto al plano que pasa por el origen y tiene al vector N = ⎝ 0 ⎠
1
como un vector normal. Empleando el resultado en a) hallar la inversa de T S.
400 11. Transformaciones lineales del espacio y matrices 3 × 3