Capitulo 12 - Sistemas de Ecuaciones Lineales 3 X 3
Capitulo 12 - Sistemas de Ecuaciones Lineales 3 X 3
Capitulo 12 - Sistemas de Ecuaciones Lineales 3 X 3
401
402 12. Sistemas de ecuaciones lineales 3 × 3
o equivalentemente,
⎧⎛ ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫
⎨ x −2 1 ⎬
P= ⎝ y ⎠ ∈R3 ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠ +y ⎝ 1 ⎠ +z ⎝ 0 ⎠
⎩ ⎭
z z 0 0 1
Ejemplo 12.2
a) El conjunto solución de la ecuación
0x + 0y + 0z = 0
⎛ ⎞
x0
es todo R3 , pues todo vector ⎝ y0 ⎠ de R3 la satisface.
z0
b) Si u = 0, el conjunto solución de la ecuación
0x + 0y + 0z = u
⎛ ⎞
x0
es φ, pues ningún vector ⎝ y0 ⎠ de R3 la satisface.
z0
Consideremos ahora un sistema de dos ecuaciones lineales con tres variables (o incóg-
nitas):
a1 x + b1 y + c1 z = u1
(12.3)
a2 x + b2 y + c2 z = u2
⎛ ⎞
x0
Una solución del sistema (12.3) es un vector ⎝ y0 ⎠ de R3 que sea solución de cada
z0
una de las dos ecuaciones. El sistema (12.3) se dice soluble o consistente si tiene al
menos una solución; en caso contrario se dice no soluble o inconsistente. El conjunto
de todas las soluciones del sistema se dirá su conjunto solución. Dos sistemas del tipo
(12.3) se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Si en el sistema
⎛ (12.3)
⎞
0
se tiene u1 = 0 y u2 = 0, el sistema se dice homogéneo; en tal caso el vector ⎝ 0 ⎠ es
0
una solución del sistema, la cual es llamada la solución trivial.
Ejemplo 12.3
a) El conjunto solución del sistema
0x + 0y + 0z = 3
x − 2y + 3z = 5
0x + 0y + 0z = 0
x − 2y + 3z = 5
12.1. Definiciones y algunos resultados básicos 403
Figura 12.1.
Para un sistema
a1 x + b1 y + c1 z = u1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a2 x + b2 y + c2 z = u2
a1 a2
con ⎝ b1 ⎠ = O y ⎝ b2 ⎠ = O, se da uno y sólo uno de los siguientes casos
c1 c2
Caso 1. El conjunto solución es un plano.
Caso 2. El conjunto solución es φ.
Caso 3. El conjunto solución es una recta.
404 12. Sistemas de ecuaciones lineales 3 × 3
Nótese que si el sistema es homogéneo, entonces sólo se dan los casos 1 y 3 : El conjunto
solución es un plano que pasa por el origen o es una recta que pasa por el origen. Lo primero
ocurre cuando los planos con ecuaciones
a1 x + b1 y + c1 z = 0 y a2 x + b2 y + c2 z = 0
5y − 5z = −3
x − 2y + 3z = 2
(12.6)
5y − 5z = −3
⎛ ⎞
x
En este sistema se observa que si ⎝ y ⎠ es una solución de él entonces, despejando y de
z
3
la segunda ecuación, se tiene y = − 5 + z, y sustituyendo este valor en la primera y luego
12.1. Definiciones y algunos resultados básicos 405
⎛ ⎞
x
despejando x se obtiene x = 2 + 2 − 35 + z − 3z = 4
5 − z. Así, toda solución ⎝ y ⎠ del
z
sistema (12.6) es de la forma
⎛ ⎞ ⎛ 4 ⎞
x 5 −z
⎝ y ⎠ = ⎝ −3 + z ⎠ (12.7)
5
z z
⎛ ⎞
x
Recíprocamente, todo vector ⎝ y ⎠ de la forma anterior es solución del sistema (12.6),
z
lo cual puede comprobarlo el lector sustituyendo x por 45 − z y y por − 35 + z en el sistema
(12.6). Luego, el conjunto solución del sistema (12.6), y por tanto el del sistema (12.5), es
la recta
⎧⎛ ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 4 − z ⎞⎫
⎨ x 5 ⎬
L = ⎝ y ⎠ ∈ R3 ⎝ y ⎠ = ⎝ − 35 + z ⎠
⎩ ⎭
z z z
o, en forma equivalente,
⎧⎛ ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 4/5 ⎞ ⎛ ⎞⎫
⎨ x −1 ⎬
L = ⎝ y ⎠ ∈ R3 ⎝ y ⎠ = ⎝ −3/5 ⎠ + z ⎝ 1 ⎠
⎩ ⎭
z z 0 1
Pasemos ahora a considerar un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
a1 x + b1 y + c1 z = u1
a2 x + b2 y + c2 z = u2 (12.8)
a3 x + b3 y + c3 z = u3
Para estos sistemas, los conceptos de solución, conjunto solución, sistema soluble,
sistemas equivalentes, sistema homogéneo y solución trivial se definen exactamente
como para los sistemas del tipo (12.3).
Caso 1. P1 = P2 = P3
En este caso P1 ∩ P2 ∩ P3 = P1 .
Caso 2. Dos de los planos coinciden y son paralelos al otro, el cual es distinto de los
dos primeros.
En este caso P1 ∩ P2 ∩ P3 = φ.
Caso 3. Dos de los planos coinciden y el otro, el cual es distinto a los primeros, los
corta.
En este caso P1 ∩ P2 ∩ P3 es una recta.
Caso 4. Los tres planos son paralelos pero distintos dos a dos.
En este caso P1 ∩ P2 ∩ P3 = φ.
Caso 5. Los tres planos son distintos dos a dos, dos de ellos son paralelos y el otro los
corta.
En este caso P1 ∩ P2 ∩ P3 = φ.
Caso 6. Los tres planos son distintos y no paralelos dos a dos, siendo la intersección
de cualesquiera dos de ellos una misma recta.
En este caso P1 ∩ P2 ∩ P3 es una recta.
Caso 7. Los tres planos son distintos y no paralelos dos a dos; además, la recta in-
tersección de cualesquiera dos de ellos es paralela al otro plano sin estar contenida en
él.
En este caso P1 ∩ P2 ∩ P3 = φ.
Caso 8. Los tres planos son distintos y no paralelos dos a dos; además, la recta inter-
sección de cualesquiera dos de ellos no es paralela al otro plano y por tanto lo corta en un
punto.
En este caso P1 ∩ P2 ∩ P3 es un conjunto con un solo punto.
Figura 12.2.
408 12. Sistemas de ecuaciones lineales 3 × 3
Para un sistema
a1 x + b1 y + c1 z = u1
a2 x + b2 y + c2 z = u2
⎛ ⎞ ⎛a3 x +⎞b3 y + c3 z =⎛u3 ⎞
a1 a2 a3
con ⎝ b1 ⎠ = O, ⎝ b2 ⎠ = O y ⎝ b3 ⎠ = O
c1 c2 c3
se da uno y sólo uno de los casos siguientes:
Caso 1. El conjunto solución es φ.
Caso 2. El conjunto solución es un conjunto con un único punto.
Caso 3. El conjunto solución es una recta.
Caso 4. El conjunto solución es un plano.
Dejamos al lector determinar cómo es el conjunto solución de un sistema del tipo (12.8)
si es nulo al menos uno de los vectores
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a1 a2 a3
⎝ b1 ⎠ , ⎝ b2 ⎠ , ⎝ b3 ⎠ .
c1 c2 c3
Ejemplo 12.7
Resolvamos el sistema
x+y+z = 3
2y − z = 7
2z = 6
De la tercera ecuación se observa que la única opción para z es z = 62 = 3; sustituyendo
en la segunda ecuación z por 3 y despejando y se obtiene que y sólo puede tomar el valor
y = 12 (7 + 3) = 5. Finalmente, sustituyendo en la primera ecuación z por 3 y y por 5 se
obtiene, como ⎛ ⎞ posible para x, x = 3 − 5 − 3 = −5. Por tanto, la única solución
único valor
−5
del sistema es ⎝ 5 ⎠
3
El procedimiento empleado en el ejemplo anterior para resolver el sistema también se
incluye en lo que hemos llamado sustitución regresiva.
Ejemplo 12.8
Consideremos el sistema
x − 2y + 3z = 2
5y − 5z = −3 (12.9)
0x + 0y + 0z = 0
Puesto que el conjunto solución de la tercera ecuación es todo R3 , entonces el conjunto
solución del sistema (12.9) es el mismo del sistema
x − 2y + 3z = 2
(12.10)
5y − 5z = −3
12.2. Método de eliminación de Gauss 409
Ahora, dada la forma de este sistema, él se puede resolver mediante sustitución regre-
siva. Esto se hizo en el ejemplo 12.6. Su conjunto solución ( y por tanto el del sistema
(12.9)) es la recta con ecuación
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 4/5 −1
⎝ y ⎠ = ⎝ −3/5 ⎠ + z ⎝ 1 ⎠
z 0 1
Ejemplo 12.9
Resuelva el sistema
2x − y + z = 4
2x + 2y + 3z = 3 (12.11)
6x − 9y − 2z = 17
Solución:
Nuestro primer propósito es eliminar la incógnita x en la segunda ecuación, lo cual se
consigue sumando a dicha ecuación, la primera multiplicada por (−1). La nueva segunda
ecuación es
3y + 2z = −1
Ahora eliminamos x en la tercera ecuación. Para ello sumamos a esa ecuación, la primera
multiplicada por −3. El resultado es
−6y − 5z = 5
2x − y + z = 4
3y + 2z = −1 (12.12)
−6y − 5z = 5
410 12. Sistemas de ecuaciones lineales 3 × 3
Ejemplo 12.10
Resuelva el sistema
x + 2y + 3z = 4
x + 3y + 4z = 5 (12.14)
−x − z = −2
Solución:
Conservamos la primera ecuación y empezamos por eliminar la incógnita x en las otras
dos ecuaciones. Esto se consigue sumando a la segunda, la primera multiplicada por −1
(o equivalentemente, restando la primera ecuación de la segunda) y sumando a la tercera
ecuación la primera. En esta primera etapa se obtiene el sistema
x + 2y + 3z = 4
y + z = 1 (12.15)
2y + 2z = 2
x + 2y + 3z = 4
y + z = 1 (12.16)
0z = 0
x + 2y + 3z = 4
(12.17)
y + z = 1
y =1−z
x = 4 − 2 (1 − z) − 3z = 2 − z
12.2. Método de eliminación de Gauss 411
Luego,⎛ las ⎞soluciones del sistema (12.17) (y por tanto del sistema (12.14)) son los
x
vectores ⎝ y ⎠ de la forma
z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 2−z
⎝ y ⎠=⎝ 1−z ⎠ (12.18)
z z
o equivalentemente, de la forma
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 2 −1
⎝ y ⎠ = ⎝ 1 ⎠ + z ⎝ −1 ⎠ (12.19)
z 0 1
⎛ Así
⎞ que, el conjunto
⎛ ⎞solución del sistema (12.14) es la recta que pasa por el punto
2 −1
⎝ 1 ⎠ y tiene a ⎝ −1 ⎠ como vector director.
0 1
Ejemplo 12.11
Resuelva el sistema
x− y+ z = 1
2x − 2y + 2z = 2 (12.20)
3x − 3y + 3z = 3
Solución:
Es evidente que las tres ecuaciones del sistema representan un mismo plano, así que el
conjunto solución de este sistema es el plano con ecuación
x−y+z =1 (12.21)
x=1+y−z
es decir, de la forma
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 1 1 −1
⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠+y⎝ 1 ⎠+z⎝ 0 ⎠
z 0 0 1
En los ejemplos 12.9, 12.10 y 12.11 eliminamos incógnitas de una manera metódica y con
un propósito claro; en realidad aplicamos el método de eliminación de Gauss. A conti-
nuación precisaremos en qué consiste este método y lo presentaremos en forma simplificada,
omitiendo las incógnitas y los signos = en las ecuaciones. Necesitamos introducir antes
algunas notaciones y definiciones.
En primer lugar, es claro que el sistema
a1 x + b1 y + c1 z = u1
a2 x + b2 y + c2 z = u2 (12.22)
a3 x + b3 y + c3 z = u3
es decir, en la forma
AX = U (12.23)
con ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a1 b1 c1 x u1
A = ⎝a2 b2 c2 ⎠ , X =⎝ y ⎠ y U = ⎝ u2 ⎠
a3 b3 c3 z u3
Nos referiremos a la matriz A como la matriz de coeficientes, al vector X como
vector de incógnitas, al vector U como vector de términos independientes y al
arreglo ⎛ ⎞
a1 b1 c1 u1
⎝a2 b2 c2 u2 ⎠ (12.24)
a3 b3 c3 u3
como la matriz aumentada o ampliada del sistema (12.22). En lugar de (12.24) es-
cribiremos ⎛ ⎞
a1 b1 c1 | u1
..
⎝a2 b2 c2 | u2 ⎠ o A.U
a3 b3 c3 | u3
En general, un arreglo de números como el que aparece en (12.24) se dice una matriz
de 3 filas y 4 columnas o más brevemente, una matriz 3×4.
Ejemplo 12.12
a) En el ejemplo 12.9, la matriz aumentada del sistema inicial (12.11) es
⎛ ⎞
2 −1 1 | 4
⎝2 2 3 | 3⎠
6 −9 −2 | 17
12.2. Método de eliminación de Gauss 413
2 −1 1 | 4
0 3 2 | −1
0 0 −1 | 3
(12.25)
(12.26)
1 −1 1 | 1
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
(12.27)
Obsérvese que en (12.25), (12.26) y (12.27) del ejemplo anterior, las matrices confor-
madas por las tres primeras columnas tienen una forma especial, tienen forma escalonada.
En general, una matriz 3 × 3 se dice una matriz escalonada si cumple las siguientes
condiciones en las que llamamos pivote al primer número distinto de cero de cada fila no
nula:
• Primero están las filas no nulas (si las hay).
• Debajo de cada pivote, en la columna correspondiente a él , todos los números son cero.
• Cada pivote está a la izquierda del pivote de la siguiente fila hacia abajo, si ésta es no
nula.
Un sistema cuya matriz de coeficientes sea una matriz escalonada se dirá un sistema
escalonado.
Ya podemos precisar en qué consiste el método de eliminación de Gauss: En trans-
formar un sistema dado, mediante operaciones elementales sobre sus ecuaciones, en un
sistema equivalente escalonado. A continuación mostramos que tal transformación siempre
es posible:
414 12. Sistemas de ecuaciones lineales 3 × 3
a1 x + b1 y + c1 z = u1
b2 y + c2 z = u2 (12.29)
b3 y + c3 z = u3
• Supongamos que b2 = 0 o b3 = 0. Podemos asumir (intercambiando las dos últimas
ecuaciones si es necesario) que b2 = 0. Sumando a la tercera ecuación en (12.29), la se-
b
gunda multiplicada por − 3 , se elimina la incógnita y en la tercera ecuación en (12.29),
b2
obteniéndose un sistema equivalente al sistema (12.29) de la forma
a1 x + b1 y + c1 z = u1
b2 y + c2 z = u2
c3 z = u3
a1 x + b1 y + c1 z = u1
c2 z = u2 (12.30)
c3 z = u3
En la figura 12.3 se ilustra lo expresado en este último resultado, en los casos en que
SH es una recta o un plano.
12.3. Otros resultados básicos 417
Figura 12.3.
Los ejemplos que siguen a continuación hacen referencia a los resultados anteriores.
Ejemplo 12.14
Consideremos el sistema del ejemplo 12.9,
AX = U
en el cual ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 −1 1 4
A = ⎝2 2 3⎠ y U =⎝ 3 ⎠
6 −9 −2 17
El lector puede comprobar que la matriz A es invertible y que
⎛ ⎞
23 −11 −5
1
A−1 = − ⎝ 22 −10 −4⎠
6
−30 12 6
⎛ ⎞
u
Sabemos que este sistema es soluble si y sólo si el vector ⎝ v ⎠ es C.L. de las columnas
w
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 −3 2
⎝ 1 ⎠, ⎝ −3 ⎠ , ⎝ 2 ⎠ (12.32)
1 −3 2
Ejemplo 12.16
Consideremos el sistema
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 2 x u
⎝−1 1 −5⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ v ⎠ (12.33)
2 3 −5 z w
y
⎛denotemos
⎞ por A su matriz de coeficientes. Este sistema es soluble si y sólo si el vector
u
⎝ v ⎠ es C.L. de las columnas de la matriz A, es decir, de los vectores
w
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 2
⎝ −1 ⎠ , ⎝ 1 ⎠, ⎝ −5 ⎠ . (12.34)
2 3 −5
12.4. Método de Gauss-Jordan 419
El lector puede comprobar que el determinante de la matriz A es cero y por tanto los
vectores en (12.34) son L.D. Ahora, se observa que los dos primeros vectores en (12.34)
son L.I. luego debe tenerse que la tercera columna en (12.34) es C.L. de la dos primeras.
Así las cosas, las C.L. de las tres columnas en (12.34) son, en realidad, las C.L.
⎛ de⎞las
1
dos primeras, es decir, son los vectores del plano P generado por los vectores ⎝ −1 ⎠ y
2
⎛ ⎞
0
⎝ 1 ⎠.
3
Se deja al lector comprobar que una ecuación para dicho plano P es
5x + 3y − z = 0 (12.35)
⎛ ⎞
u
En resumen, el sistema (12.33) es soluble si y sólo si el vector ⎝ v ⎠ es C.L. de los
w
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 u
vectores ⎝ −1 ⎠ y ⎝ 1 ⎠ , es decir, si y sólo si ⎝ v ⎠ ∈ P.
2 3 w
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
u 1
Por ejemplo, si ⎝ v ⎠ = ⎝ 1 ⎠ entonces el sistema (12.33) es soluble puesto que
w 8
este
⎛ vector
⎞ ⎛ pertenece
⎞ al plano P ya que él satisface la ecuación (12.35). Por otra parte, si
u −1
⎝ v ⎠ = ⎝ 2 ⎠ entonces el sistema no es soluble ya que este vector no pertenece al
w 6
plano P pues no satisface la ecuación (12.35). ⎛ ⎞
u
Es de resaltar que en este caso los vectores ⎝ v ⎠ de R3 para los cuales el sistema
w
(12.33) es soluble, conforman un plano que pasa por el origen, el cual es el plano P.
Ejemplo 12.17
Consideremos el sistema
2x − y + z = 4
2x + 2y + 3z = 3
6x − 9y − 2z = 17
420 12. Sistemas de ecuaciones lineales 3 × 3
2 −1 1 | 4
0 3 2 | −1
0 0 −1 | 3
Continuemos ahora con el proceso de eliminación hasta obtener una matriz escalonada
reducida.
Para tener 1 en el lugar de los pivotes 2, 3 y −1, multiplicamos la primera fila por 12 ,
la segunda fila por 13 y la tercera fila por −1. Se obtiene así la matriz
⎛ ⎞
1 −1/2 1/2 | 2
⎝0 1 2/3 | −1/3⎠
0 0 1 | −3
Ahora sumamos a la primera fila, la segunda multiplicada por 12 , con lo cual obtenemos
la matriz ⎛ ⎞
1 0 5/6 | 11/6
⎝0 1 2/3 | −1/3⎠
0 0 1 | −3
Por último, sumamos a la segunda fila, la tercera multiplicada por − 23 y a la primera
fila, la tercera multiplicada por − 56 . Se obtiene así la matriz
⎛ ⎞
1 0 0 | 13/3
⎝0 1 0 | 5/3 ⎠
0 0 1 | −3
en la cual las tres primeras columnas conforman una matriz escalonada reducida. El sistema
correspondiente a la matriz aumentada anterior es:
x = 13/3
y = 5/3
z = −3
⎛ ⎞
13/3
Es claro que la única solución del sistema es el vector ⎝ 5/3 ⎠
−3
Obsérvese en el ejemplo anterior que:
• La matriz que se obtuvo al aplicar el método de eliminación de Gauss-Jordan es
.. ∗
I3 . U
b) Si A es invertible
entoncesal aplicar el método de eliminación de Gauss-
.
Jordan a la matriz A .. U se obtiene siempre una matriz de la forma
.. ∗
I3 . U donde U ∗ es la única solución del sistema AX = U .
⎛ ⎞
1 b1 c1 | u1
.
A .. U = ⎝0 b2 c2 | u2 ⎠ (12.37)
0 b3 c3 | u3
⎛ ⎞
1 0 c1 | u1
.
A .. U = ⎝0 1 c2 | u2 ⎠ (12.38)
0 0 c3 | u3
422 12. Sistemas de ecuaciones lineales 3 × 3
La matriz A en (12.38) es invertible; para ver esto basta dar el mismo argumento que
se dio para mostrar la invertibilidad de la matriz A . Afirmamos que en dicha matriz A ,
c3 = 0 (Si fuese c3 = 0, la tercera columna de A sería C.L. de las dos primeras columnas
en A , pero ello no ocurre ya que las columnas de A son L.I. por ser A una matriz
invertible). Siendo c3 = 0, podemos conseguir ceros en los puestos
correspondientes a c1
.
y c , sumando a la primera y segunda filas de A .. U múltiplos apropiados de la
2
tercera fila. Si luego de ello dividimos por c3 la tercera fila obtendremos, finalmente, una
matriz de la forma ⎛ ⎞
1 0 0 | u∗1
.. ∗
I3 . U = ⎝0 1 0 | u∗2 ⎠ (12.39)
0 0 1 | u3∗
Así que resolviendo estos sistemas encontraremos las columnas de A−1 y por tanto, la
matriz A−1 .
Ya sabemos que si aplicamos el método de Gauss-Jordan a las matrices aumentadas
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
| 1 | 0 | 0
⎝A | 0 ⎠ , ⎝A | 1 ⎠ , ⎝A | 0 ⎠ (12.41)
| 0 | 0 | 1
de los sistemas en (12.40), obtendremos matrices
. . .
I3 .. U1∗ , I3 .. U2∗ , I3 .. U3∗ (12.42)
siendo U1∗ , U2∗ , U3∗ la primera, segunda y tercera columna de A−1 , respectivamente. Así,
∗
−1 U1 U2∗ U3∗
A =
| | |
Ahora, es claro que el paso de (12.41) a (12.42) puede hacerse simultáneamente, par-
tiendo del arreglo (matriz) ⎛ ⎞
| 1 0 0
⎝ A | 0 1 0⎠
| 0 0 1
12.4. Método de Gauss-Jordan 423
..
es decir, partiendo de A . I3 y realizando operaciones elementales sobre sus filas hasta
obtener una matriz de la forma
I3 | U1∗ U2∗ U3∗
| | | |
Al terminar tendremos que
∗
U1 U2∗ U3∗
A−1 =
| | |
En resumen, el procedimiento para calcular A−1 usando operaciones elementales sobre
las filas es:
..
• Se forma la matriz A . I3
..
• Se realizan operaciones elementales sobre las filas de la matriz A . I3 hasta obtener
.
I3 .. B
• La matriz B es A−1
Ejemplo 12.18
Consideremos la matriz
⎛ ⎞
2 −1 3
A = ⎝1 1 0⎠
4 −3 2
la cual es invertible, pues su determinante es distinto de cero. Hallemos ahora su inversa
empleando el método de Gauss-Jordan.
Partimos de la matriz
⎛ ⎞
2 −1 3 | 1 0 0
..
A . I3 = ⎝1 1 0 | 0 1 0⎠
4 −3 2 | 0 0 1
Para facilitar el proceso de eliminación intercambiamos la primera y segunda filas, con
lo cual obtenemos la matriz
⎛ ⎞
1 1 0 | 0 1 0
⎝2 −1 3 | 1 0 0⎠
4 −3 2 | 0 0 1
Sumando a la segunda fila la primera multiplicada por −2, y a la tercera fila la primera
multiplicada por −4, se obtiene la matriz
⎛ ⎞
1 1 0 | 0 1 0
⎝0 −3 3 | 1 −2 0⎠
0 −7 2 | 0 −4 1
Ahora sumamos a la tercera fila, la segunda multiplicada por − 73 , y a la primera la
segunda multiplicada por 13 , obteniéndose la matriz
⎛ ⎞
1 0 1 | 1/3 1/3 0
⎝0 −3 3 | 1 −2 0⎠
0 0 −5 | −7/3 2/3 1
424 12. Sistemas de ecuaciones lineales 3 × 3
3
Sumando a la segunda fila la tercera multiplicada por 5, y a la primera la tercera
multiplicada por 15 obtenemos la siguiente matriz
⎛ ⎞
1 0 0 | −2/15 7/15 1/5
⎝0 −3 0 | −2/5 −8/5 3/5⎠
0 0 −5 | −7/3 2/3 1
Por tanto,
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−2/15 7/15 1/5 −2 7 3
1 ⎝
A−1 = ⎝ 2/15 8/15 −1/5⎠ = 2 8 −3⎠
15
7/15 −2/15 −1/5 7 −2 −3
12.5 Ejercicios
Sección 12.1
2x + y − 3z = 3 x + 2z = 0
c) d)
−x − 12 y + 32 z = 2 x − 2y − z = 1
√
x−y+z = 0 3x − 2y + 2 3z = 1
e) f) √ √ √
3
x+y+z = 0 3x − 23 3y + 2z = 3
Sección 12.2
x − 52 y + 2z = −3/2 2x + 3y − 4z = 1
i) x − y + z = 5 ii) 4x + 5y − 9z = 4
x − 4y + 5z = 1 −2x − y + 4z = −5
x + 2y − z = 5 3x + y − z = 0
iii) 2x + 3y + z = −2 iv) 2x +z = 0
−7x − 9y − 8z = 25 x − y + 3z = 0
x + 2y − 5z = 2 x − 5y + z = −4
v) 3x + 4z = −1 vi) −2x + 10y − 5z = 2
2x − 2y + 9z = −2 2x − 10y + 3z = −6
3. Hallar la intersección de los planos P1 , P2 y P3 descritos en cada literal, planteando
y resolviendo un sistema apropiado de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
a) P1 : x − y + z + 5 = 0, P2 : 3x + y − 5z − 10 = 0 y P3 : 7x + 5y − 17z = 40
⎛ ⎞
−7/3
b) P1 : x + y − 8z = −7, P2 es el plano que pasa por el punto ⎝ 0 ⎠ y tiene
0
⎛ ⎞
3
vector normal ⎝ 1 ⎠ y P3 es el plano que pasa por el origen y es perpendicular al
−8
x
recta = y = −z.
3
⎛ ⎞
0
c) P1 : 2x − y + 5z = 0, P2 es el plano que pasa por ⎝ 0 ⎠ y tiene vector normal
5
⎛ ⎞
−4
⎝ x z
2 ⎠ y P3 es el plano que contiene las rectas L1 : x = y = z y L2 : = −y = .
2 2
−10
4. Resolver el problema planteado en cada uno de los siguientes literales, empleando
sistemas de ecuaciones lineales.
1
a) Hallar una ecuación para la parábola que pasa por los puntos P = ,
4
−1 2
Q= ,R = y es tal que su eje focal es paralelo al eje y.
6 9
b) Hallar
⎛ una
⎞ ecuación
⎛ para ⎞ el plano que pasa por el origen y por los puntos
1 2
P = ⎝ 1 ⎠ y Q = ⎝ −1 ⎠ .
−1 3
1
c) Encontrar el polinomio cúbico tal que su gráfica pasa por los puntos P = ,
1
−1 −2
Q= yR= .
5 7
d) Calcular los números a, b y c tales que los polinomios (a + 3) x2 +(2a − 2c + 10) x+
6c y −2bx2 − 3bx + (a − 4b + 9) sean iguales.
uno de dichos puntos es el promedio de las temperaturas de los cuatro puntos más
cercanos a él entre los señalados en la figura.
6. Una empresa editorial produce tres clases de libros: Con pasta rústica, con pasta dura
y con pasta de lujo. Para los de pasta rústica la empresa gasta 5 dólares en papel,
2 dólares en ilustraciones y 3 dólares en pastas. Para los de pasta dura los gastos
son de 10, 4 y 8 dólares en papel, ilustraciones y pastas respectivamente. Para los
de pasta de lujo, se gastan 20, 12 y 24 dólares para el papel, ilustraciones y pastas
respectivamente. Si el presupuesto en dólares de la empresa es de 2350 para papel,
1100 para ilustraciones y 2000 para pastas. ¿Cuántos libros de cada clase se pueden
producir con este presupuesto?
7. Una nutricionista está planeando una dieta que proporcione ciertas cantidades de
vitamina C, calcio y magnesio, y que utilice los comestibles I, II y III. La siguiente
tabla muestra el número de miligramos de cada nutriente que aporta una unidad de
cada tipo de comestible.
Comestible I Comestible II Comestible III
Vitamina C 10 20 20
Calcio 50 40 10
Magnesio 30 10 40
Suponiendo que el paciente requiere diariamente de un total de 100 mg de vitamina
C, 290 mg de calcio y 180 mg de magnesio, determinar el número de unidades diarias
de cada comestible que la nutricionista debe sugerir para que la dieta contenga los
nutrientes requeridos.
mostrar que los cosenos de los ángulos α, β y γ, y los lados a, b y c del triángulo
12.5. Ejercicios 427
c cos α + a cos γ = b
b cos α + a cos β = c
c cos β + b cos γ = a
2x + 3y − z = a
x − y + 3z = b
3x + 7y − 5z = c
2x − y + 3z = a
3x + y − 5z = b
−5x − 5y + 21z = c
Sección 12.3
10. Sea A una matriz de orden 3 y U un vector no nulo de R3 . Para cada uno de
los siguientes literales, hallar el conjunto solución S del sistema AX = U y expre-
sarlo como una traslación del conjunto solución SH del sistema homogéneo asociado
AX = O, sabiendo que X0 es una solución particular del sistema AX = U.
⎛ ⎞ ⎧⎛ ⎞ ⎫
1 ⎨ x ⎬
a) X0 = ⎝ −1/2 ⎠ , SH = ⎝ y ⎠ ∈ R3 2x − 3y + z = 0
⎩ ⎭
3 z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 1
b) X0 = ⎝ 3 ⎠ , SH es la recta generada por el vector ⎝ −3 ⎠
−5 6
⎛ ⎞ ⎧⎛ ⎞⎫
0 ⎨ 0 ⎬
c) X0 = ⎝ 1 ⎠ , SH = ⎝ 0 ⎠
⎩ ⎭
−3 0
Sección 12.4