Módulo de Matemáticas
Módulo de Matemáticas
Módulo de Matemáticas
DE
MA TEMA TIC
1
U n i d a d 1
Docentes:
Carina Jovanovich
Emilce Casteta
Juan Carlos Fernandez UNIVORStDAO
Liliana Franchece TECNOLOGICA NACtONAL
FACUtTAOjieOIONAL
RESISTENCIA
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA]
Los N ú m e r o s reales
Los n ú m e r o s naturales son aquellos que se usan para contar y numerar. Este conjunto
n u m é r i c o presenta el 1 como primer elemento, pero no tiene ú l t i m o elemento.
Los N ú m e r o s enteros
Propiedades Importantes:
Los N ú m e r o s racionales
A( conjunto formado por los n ú m e r o s enteros y los fraccionarios se lo llama conjunto de los
n ú m e r o s racionales y se lo designa con el s í m b o l o
S e m i n a r i o U n i v e r s i t a r i o jU.T.N. - F.R.RE
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA] 1
Para escribir expresiones decimales como expresiones fraccionarias podemos utilizar los
siguientes m é t o d o s :
j j p l Los N ú m e r o s irracionales
Son n ú m e r o s irracionales:
Las raices de í n d i c e par de n ú m e r o s naturales que no dan como resultado un n ú m e r o
natural. Por ejemplo: V3 , VS
> Las r a í c e s de í n d i c e impar de n ú m e r o s enteros que no dan como resultado un n ú m e r o
entero. Por ejemplo: v i , V — 2 1
> N ú m e r o s de gran importancia en M a t e m á t i c a , como el n ú m e r o Jt, que se utiliza para
calcular la longitud de la circunferencia; el n ú m e r o base de los logaritmos naturales;
etc.
Los N ú m e r o s reales
-7/4 -I O t.'2 l 2 3
Potenciación
Radicación
si y s ó l o si
S e m i n a r i o U n i v e r s i t a r i o lU.T.N. - F.R.RE
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T I C A ] 1
Si e s impar;
n e s par:
Conmutativa: a + b = b + a
Opuesto aditivo: cada n ú m e r o real a t i e n e su opuesto aditivo (-a ) t a l que a -fr (-a )= O
Asociativa: (a . b ) . c = a . (c . d)
l l a l l i ^ ^ ^ [
o bien
c-
V .
S e m i n a r i o U n i v e r s i t a r i o lU.T.N. - F.R.RE
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA]
Conjuntos N u m é r i c o s
1) Marcar con una cruz el conjunto n u m é r i c o o los conjuntos n u m é r i c o s a los que pertenece
cada uno de ¡os siguientes n ú m e r o s .
3 -1 0,5 0 1
3
3 4
4) ( 1 2 - 4 . 3 ] ' = - + —- i 6)fi ' VlOO-36 -2 =
4 3
2
„ 15 32 210
7) 7 -r - — -(- 8] --2
' (6-1 2 7 3 )
V^/.5
3;
Í0,5 - 0,34 -
I) (2.5)"' + (0,3):9 - - + 0,2 = 2)
1,1 -(1-0,5)
4) (0,14-0,2)"- ' - 0 , 6 2 5 + - =
(0,4)"' V 4
\
d.
a. (,r +
b. i/íí + 6
c.
,3 -51
a.
L2'2
b.
3 - t .(3-5)2
C.
5)-
(3 - 9 . 27)^
d.
< 3-2 7 • . 81
f.
7) Aplicar ias propiedades adecuadas y encontrar la forma m á s simple posible para expresar
el resultado de:
_¿ Vr
/|-^-'
-"t 25"
b. + --C X • v5y
3
5
c.
i/flú" • -Ja"
r _!_> h-
Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de llevarlos a su m í n i m a e x p r e s i ó n .
S¡ ios radicales no son semejantes, se deben extraer factores fuera de radical, para obtener radicales
semejantes.
Vb \
a) V2-V2 = V 2 ^ ^ ^ = t ? X / ? = V V 7 = 'V?
R a c i o n a l i z a c i ó n de denominadores.
Para transformar estas fracciones en otras equivalentes pero con denominadores racionales, se us
un procedimiento ¡ ( a m a d o r a c i o n a l i z a c i ó n ,
A c o n t i n u a c i ó n se r e c o r d a r á n algunas reglas para racionalizar denominadores, aunque actualmente
se utiliza cada vez menos este procedimiento debido a que se cuenta con calculadoras y
computadoras que facilitan los c á l c u l o s .
Se c o n s i d e r a r á n los siguientes casos:
a. El denominador es un radical ú n i c o irreducible de í n d i c e 2,
Ejemplo:
V i 2
S e m i n a r i o U n i v e r s i t a r i o - U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T I C A ]
= ~ 4 - ( ^ 1 + V3)
- V25Í
2V50 =
d.
V54+ 5
5 -
v
d. V 2 4 ) + V98 =
¿ 3 =
d.
Racionalizar
3) 4)
" V V3
7) 8)
3V2 -16v
9) 10)
V5
5) Indicar si las siguientes igualdades son correctas o incorrectas. Justificar en cada caso la
respuesta.
S e m i n a r i o U n i v e r s í f a r i o - U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T I C A ]
a. = 4+ 2 > í
2 + d.
b.
e. — =
3
= V2
V6
5 + 4^6
El intervalo es abierto porque no contiene los extremos 5 y 10, lo que se indica con el uso de
paréntesis.
En la siguiente tabla se muestran algunas desigualdades con los correspondientes intervalos.
Tipo d e
Desigualdades Intervalo Representación Gráfica
intervalo
e Abierto
r
Cerrado
Semiabierto — f ) —
infinito — I ^
.xe(-a,a) Abierto ~ í ) —
U n i ó n de
i f
¡ X1 a « = i ,v < -d2 X G ( - a > , - o ] u j [ a . - f o o ) Intervalos
infinitos
En la n o t a c i ó n (a,b], el p a r é n t e s i s " ( " indica que a no pertenece ai intervalo, mientras que el corchete
" ] " indica que b s í pertenece al intervalo.
1) Establecer una r e l a c i ó n entre las desigualdades > (mayor), < (menor), > (mayor o igual), <
(menor o igual] y los siguientes Intervalos, escribiendo en cada caso X í a, x < b, x > c, etc.
i-
< ) < f —
5 3
2) a) Representa en la recta rea) los siguientes intervalos (cada uno en una recta distinta)
b) Indicar el t i p o de intervato.
K3)
a.
d.
Notación científica.
C x 1 0
Repasando
• Sí la coma se corre hacia la DERECHA el exponente "n" s e r á NEGATIVO y su valor s e r á ¡gua! a la
cantidad de lugares que se c o r r i ó la coma para que 1 < C <10.
Si la coma se corre hacia la IZQUIERDA el exponente "n" s e r á POSITIVO y su valor s e r á igual a la
cantidad de lugares que se c o r r i ó la coma para que 1 < C <10.
Suma y resta
Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata
de una resta), dejando !a potencia de 10 con e! mismo grado. En caso de que no tengan el mismo
exponente, debe convertirse el coeficiente, m u l t i p l i c á n d o l o o d i v i d i é n d o l o per 10 tantas veces como
se necesite para obtener eí mismo exponente.
Multiplicación
(4xlD^>(2xlO*) =8x10^^
División
(4SxlO'^'')/{12xlO"^) = 4x10''
Potenciación
(3x10^)^ = 9 x 1 0 " .
Radicación
Se debe extraer la r a í z del coeficiente y se divide el exponente por ei í n d i c e de la raíz.
v ^ 2 7 - 1 0 1 ^ = 3 .10'^
,10
N o t a c i ó n científica.
0,000000000345
0,0006789
3456000000000
2300000000
0,0205
0,12
8670340000000000000
355
0,000000000000000002
23098
0,0iü2 1
1054678
0,00! 0 0 0 3 4
15487056
2) Expresar los siguientes valores que fueron obtenidos en n o t a c i ó n científica
6,03
8x10*'
6,023 X 10'
5.6x10''
2,45 X ] 0''
9,206 X 10'"
S , 1 3 4 x 10"
Resolverlas siguientes operaciones expresando los resultados en n o t a c i ó n c i e n t í f i c a :
a. 0,0000035+ 1,24 X 10'* =
b. 8567900 *4,S x 10 * =
c. 0,OD24 / 1230 =
d. 3 , 5 x 1 0 ' - 8 9 0 3 4 5 6 =
e. 7 , 0 7 8 x 1 0 * * 3 , 2 1 x 1 0 =
f. 0,0012 - 0,0003 =
g 1 / 6,023 X 10"=
h. 1,4 X 10^* * 4,7 X 10'** =
4560000000000 + 98OOOD0OOO0O =
Triángulos.
> En todo t r i á n g u l o la longitud de cada lado es menor que la suma de ias longitudes de los
otros dos, V mayor que el m ó d u l o de su diferencia. Esta r e l a c i ó n se denomina
desigualdad triangular.
Recuerden que
Perímetro _
Triángulo Equilátero , v Triángulo Isósceles. :• ; ( T^^^
;§7"^§------:§'F'(^'2T+
Área
Triángulo rectángulo.
a : hipotenusa de! t r i á n g u l o r e c t á n g u l o
: cateto
c : cateto
A esta r e l a c i ó n se te llama r e l a c i ó n p i t a g ó r i c a .
Cuadriláteros
Lados: a,
/ •'^ \
V é r t i c e s : A,
Diagonales:
Á n g u l o s : a, S, y, p
La base media de un trapecio es el segmento que une los puntos medios de los dados no paralelos,
es paralela a las otras bases e igual a la semisuma de tas mismas.
MAf =
P o l í g o n o s Regulares
360"
C l a s i f i c a c i ó n d e p o l í g o n o s s e g ú n el n u m e r o de lados
Nombre N o m b r é + • Ns de
4rr;r/r|:^qs/,+/
trígono, triángulo dodecágono
cuadrilátero j;/!'tri;án|uíó7í/;i;S^^^
pentágono 5 tetra d e c á g o n o 14
hexágono bf 3ílé cago hó;//; T /;
heptágono hexadecágono 16
octógono u octágono hept ade c á ¿ o Í(p^-:1Ñ'T/^
eneágono o nonágono octodecagono 18"
decágono
endecágono o undecágono Icoságono
correspondiente.
correspondiente.
Ti.(n-3)
El numero t o t a l de diagonales es igual a
180'.Cn-~2)
^ El valor de cada á n g u l o interior ex es igual a
360
tr- Et valor de cada á n g u l o exterior es igual a
71-í
La Superficie del p o l í g o n o es igual a
Circunferencia y circulo.
Cuerda
Longitud de la circunferencia:.7i
diámetro
Z.n.r.ct
Longitud de un arco: á n g u l o central
360"
radio
,2
Superficie del tírculo:
dos puntos en c o m ú n [ r e c t a A)
Cuerpos Poliedros.
Los cuerpos poliedros son aqueilos cuyas caras son p o l í g o n o s y se clasifican en prismas y p i r á m i d e s .
El un poliedro cuyas caras laterales son paraleiogramos y ¡as bases son p o l í g o n o s paralelos
e iguales.
La es una sola base y un v é r t i c e o c ú s p i d e en el que concurren todas ias caras menos una,
que es ia base.
Prisma
Pirámide
- Base
Cara Alhira
lateral ; - \ — - Apotema
Base —
- Base
Base = 8
Altura = H
Apotema = Ap
P e r í m e t r o de la Base = PB
Superficie de la Base = SB
V- P r i s m á x « t o ; f ^ ^
Superficie t o t a l
Cuerpos circulares.
Los cuerpos que tienen alguna cara no plana se llaman cuerpos redondos.
Cilindro
Bases
Superficie lateral: . J i . r. h
"Altura
Superficie t o t a l :. 7 i . r . h +. 7 i . r ^
Genetratriz
Volumen: . r^ . h
Radio de la
base.(r) .
Vértic
Superficie lateral: ;i.r .g /X - Altura
Volumen:
Radio de la
Base
Ltí^"-base{r)
Esfera
Superficie t o t a l : 4 . ;i,
Círculo
máximo
Volumen: Radio í r ) - ^ ^
S e m i n a r i o U n i v e r s i t a r i o - U.T.N. - F . R . R E
[MÓDULO DE MATEMÁTICA] UNIDAD 1
a) La longitud de ab
b) El p e r í m e t r o de los t r i á n g u l o s abe y
bcd.
c) La superficie del triangulo abe
a.
DC — 8 m
—: _ 3 —
GG
Dado el cuadrado ABCD, determinar el valor de! lado BC en cada una de las siguientes
situaciones:
a. El d i á m e t r o de la circunferencia = 17 cm.
b. El p e r í m e t r o de la circunferencia = 15nm.
c. Ei á r e a de la circunferencia = 225nm'.
c) ac = 8 cm
1 Vi
f c
7) Calculen para cada uno de los siguientes poliedros las superficies lateral y total, y el volumen
a) aó = b] 9
A
i \
S e m i n a r i o U n i v e r s i t a r i o - U.T.N. -F.R.RE
[MÓDULO DE MATEMÁTICA] /UNIDAD 1
Ni
8) Calculen para cada uno de los siguientes las superficies lateral y t o t a l , y el volumen
a) El p e r í m e t r o de ia base = 31,4 cm b 1) h = - r g = — c m
* 3 18
b.2) superficie d e la base = 78,5 cm
4
IS crrí
c) Longitud de la circunferencia m á x i m a d] o í = 10 cm
21,98 cm H = A i
S e m i n a r i o U n i v e r s i t a r i o - U.T.N. -F.R.F
[MÓDULO DE MATEMÁTICA] |PAD 1
Un n u m e r o cualquiera X
El siguiente de un n ú m e r o x"+ "l
Et cuadrado de un n ú m e r o x^
" l '
La m i t a d de u n n ú m e r o
2
Un n ú m e r o par 2x
Un n ú m e r o impar 2x+ 1
El anterior ,del doble de un n ú m e r o - i
El doble, del anterior de un n ú m e r o
La suma de tres n ú m e r o s consecutivos
x + ( x + l ) + (x + 2)
La suma de tres números naturales ! (x — 1) + X + (x + 1)
consecutivos, si el dei centro es
R e s o l u c i ó n de problemas.
1.
Explora c u á l es el problema. ¿ Q u é i n f o r m a c i ó n t e ofrece? ¿ Q u é sabes del problema?
• l é e l o cuidadosamente para e n t e n d e r í o .
Determina sí el problema tiene suficiente i n f o r m a c i ó n y selecciona un m é t o d o apropiado
para r e s o l v e r í o .
3.
• Lleva a cabo los c á l c u l o s con cuidado para resolver eí problema.
Simplifica o resuelve el problema y coteja la s o l u c i ó n . ¿ Q u é obtuviste?
• Prepara los datos con el resultado.
4.
Comprueba el m é t o d o utilizado y comunica el resultado.
E v a l ú a el proceso que has realizado para resolvere! problema.
¿Es correcto lo que hiciste? ¿ Q u é aprendiste?
Ganancia año X
El 2^ a ñ o g a n ó el doble del 1^ 2x
x s+ 2x
El a ñ o gano tanto como en los dos a ñ o
anteriores juntos
El 19 a ñ o gano: X = 5000
El 29 a ñ o gano: 2x = 10000
El a ñ o gano: x + 2 = 5000 + 10000 = 15000
Si sumamos los tres montos obtenemos 30000.
líi
El 19 a ñ o gano: 5000 d ó l a r e s
El a ñ o gano: 10000 d ó l a r e s
El 39 a ñ o gano: 15000 d ó l a r e s
Para Profundizar
V4 ' V9
iV
3)
3 .
[6
6)
^ 6 3
4.yÍ44 - 3^81
(-3)" • (-3)*
/ 3
16 -
)ó 2
{ h-
b. Radicales
1)/vT 3) 4) 5)
Í7
7) 8) 9)
1)) V 5 . ( V 5 -2V32)
^liS2 10) - 1 8
¡f
4)
10
4)
5) 6) 8)
Racionalizar
10) II)
—
mm
Actividades
Unidad 2
Expresiones algebraicas: Definición. Valor n u m é r i c o .
Clasificación, Valor n u m é r i c o . Operaciones; suma, resta,
multiplicación y división. Regla de Ruffini. Raíces de un
polinomio. Teorema del resto .Divisibilidad de polinomios.
Factorización. Factor c o m ú n .Diferencia de cuadrados.
Trinomio cuadrado perfecto. Suma y Resta de potencias de
igual exponente. Expresiones algebraicas fraccionarias.
Operaciones básicas.
Seminario
Universitario
Coordinadora :
Ing. C l a u d i a R. G a r c í a
Docentes:
Carina Jovanovich
Emilce Castelan
Juan Carlos Fernandei FACULTAD R E G í O N A l
L i l i a n a Oe F r a n c e s c o RESISTENCIA
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T I C A ] ^ ^ ^ ^ UNIDAD
^^^^P 2
¿ Q u é es uns e x p r e s i ó n algebraica?
í y + y \-; V. -
x'
+ /x'
"TTT
Expresiones Fraccionarias
T' ,
Rad á ñ a l e s Irracionales
No hay letrE
s afectadas por et Hay por lo menos una letra
sig l o radical afectada por el signo radical
Ejemplo: Vjr +
r
Fraccionarías Enteras
Hay por lo menos una letra en e! No hay letras en el divisor
divisor Ejemplo: 2x^y + 7
Ejemplo:
En el monomio^ y
El n ú m e r o 2 recibe e) n o m b r e de coeficiente,
constituye la parte litera!.
El m o n o m i o 2x:^y es de grado 3.
Ejemplo:
y son monomios semejantes.
Los monomios semejantes pueden sumarse o restarse dando por resultado otro monomio
semejante a los anteriores.
Ejemplo:
= (2 + =
El exponente del monomio de mayor grado de un polinomio nos indica el grado de ese
polinomio.
C a r a c t e r í s t i c a s de los polinomios.
• El coeficiente del m o n o m i o de mayor grado es el coeficiente principal
• El polinomio es m ó n i c o cuando su coeficiente principal es uno {a^ =1).
• Al t é r m i n o ao se io llama t é r m i n o independiente.
• Un polinomio esta ordenado cuando los monomios que lo componen e s t á n escritos en
forma creciente o decreciente s e g ú n sus grados. Nosotros ordenaremos los polinomios
en forma decreciente.
polinomio P(x) = ar,x" + a„.iX + ... + a jX ' + a +ao llene asociada una f u n c i ó n
p o l i n ó m i c a f con dominio y codominio en R, definida por la formula:
La suma de dos polinomios P{x) y Q(x) es el polinomio P{x} + Q(x} que se obtiene sumando los
monomios semejantes que se encuentran en P(x) y Q(x).
Para sumar polinomios resulta conveniente ordenarlos s e g ú n potencias decrecientes de x y
completar ¡os t é r m i n o s que faltan escribiendo dichos t é r m i n o s con coeficiente cero.
P(x)= 3x'+2x
Q í x ) = 5x' + Ox'~7x+8
P(x) + Q(x( = Sx'+ 3x' - Sx +9
La resta de dos polinomios P(x} y Q(x) es el potinomio P(x) - Q(x) = P(x) + (-1). Q(x)
Dados P{x) = -2x* + 5x' - 3x + 1 y Q(x) = 3x' - 6x' - Sx - 2 Calcular P(x) - Q(x)
Diferencia de cuadrados
Cuadrado de un binomio
Cubo de binomio
Recordamos la d i v i s i ó n con n ú m e r o s
Dividendo 13 Divisor
Resto Cociente
Para dividir dos polinomios, el grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual, al grado
el polinomio divisor, y é s t e debe ser distinto de cero.
Resto Cociente
S i m b ó l i c a m e n t e : P í x ) = Q [ x ) . C(x) + R í x )
^Tecuerda£-ifeeesanb=ordeíTa^ l a s í p G t e n c i ^ í ^ d e e ^ e o e n t e s : de&x,^y:
c o m p l e t a c l o j t é r j p i n o s q u e f a l t a n escrjoiendodichQst-errpmos) n x o e f i c i é ^
+4A+4 (resto]
4) Se comprueba
Regla de Ruffini
-2
4
coeficiente del dividendo y se lo multiplica 3 -2 0 - 9
por y se al resultado se lo coloca debajo de!
segundo coeficiente.
3 pT) 0 -9
+
Coeficientes de C(x)
El resto es - 4 1 . Los valores 3, -8 y 16 son los coeficientes de cociente C{x) = 3 x' -8x + 15, cuyo
grado es una unidad menor que el polinomio dividendo.
S e g ú n el algoritmo de la d i v i s i ó n , podemos escribir:
P[x) = Q(x). C(x) + R(x)
Sí = a resulta
Para calcular el resto de la d i v i s i ó n entre P[x] = 6x* - Í 7 x ' + 15x - 8 y Q í x ] = x - 1 basta con
determinar el valor n u m é r i c o de P(x) en x = 1.
P{l) = 6 , [ l ) * - 1 7 . ( l ) ' + 1 5 . [ l ) - 8 = -4
P(l)=-4
El resto es R = -4.
Divisibilidad de p o l í n ú m i o s
Expresiones Algebraicas
1) 6=1 ; c =3
x = ; >=-l
2 1
3 '
l)P(x)=3.c* - 2 x ' +
4 2
2)) =' - 2 x = -3
3
2
3. Determinar el polinomio resultante de las siguientes operaciones. Cuando corresponda
emplear la Regla de Ruffini.
) { 5 - 8 ) + (-2 + 8 )
1 1 ^ fl , i
3)
8 24>
16
^ '7 15 , 12 ,)
v2 4 15 .
1,2 4 5 ,
6) ( 3 v ' - 9 > + 1 5 ) . f 2 y - + 3 )
5) ( 2 x ' + 4 x + l ó . c
7)) . ( - 2 ) . ( ' - 5 ) í,-r' +2-(;'+2
8)
2J
10) I I ) (n,3y + 0,8>-')'
2
Seminario Universitario ~ U.T N. -F.R.RE
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T I C A ] > UNIDAD 2
5. Plantear y r e s Q Í v e r :
a. Hallar el valor de k tal que dividido por (x + 2) tenga resto = 0.
b. Cuando se divide por (x + 2), et resto es 7. Calcular el valor de k
c. Calcular el valor de "m" d e l polinomio P(x)= para que al dividirlo
entre (x+2) tenga de resto - 4 0 .
d- Encontrar el valor de k para que {x + 2)sea un factor de (x* —
e. Encontrar el valor de k para que (x - 1 } sea un factor de
f. Sea P(x) = (2x^ — un polinomio que cuando lo divido por (x ~ 1} el
resto es y es divisible por (x + 1). Calcular a y completando con estos resultados el
polinomio.
6. Tenemos que construir un tanque de forma cilindrica, cuya altura sea tres veces el radio, y
queremos saber:
1} La e x p r e s i ó n p o l i n ó m i c a que nos permita calcular el volumen en f u n c i ó n del radio (V{r)).
2) C u á n t o debe valer el radio para que el volumen V(r} sea de 1600 litros, expresando el
resultada en cm y redondeando a centesimos.
3) La e x p r e s i ó n p o l i n ó m i c a de V(r) si se aumenta el radio del tanque en dos metros.
F a c t o r i z a c i ó n de Polinomios
X = 3 es raíz de
porque
Fíjcíorrzacídn
Se recuerda que una diferencia de cuadrados puede expresarse como producto del siguiente
modo:
J:^ -¡3^-
• X -25 =
- . v ^ -36 =
6 = x
=:(x~ü)^
Un trinomio cuadrado perfecto consta de tres términos que cumplen ias siguientes
condiciones:
> Dos de los t é r m i n o s son cuadrados perfectos.
El t é r m i n o restante es el duplo del producto de las bases de los cuadrados perfectos.
Si este t é r m i n o es negativo, entonces es negativo uno de los t é r m i n o s del binomio.
a) P(x) = x * ~ 1 6 2*
Si se buscan las r a í c e s de P[x) = x* - 16 entonces |x| = 2 entonces x^ = 2 y X; = -2
Por el teorema de! resto: P(2) = O entonces (x - 2) es divisor de P{x)
P{-21 = O entonces (x + 2) es divisor de P[x)
X * - 16 = l x - 2 } . ( x * + 2 x ' + 4 x + 8)
Volvemos a aplicar la Regla de Ruffini con el segundo factor, (x* +2x' + 4x + 8):(x+2)
1 2 4 8
-2-2 0-8
1 0 4 0
16 =íx-2).(x*+2x'+4x48)=ix-2).(x+2),{x'+4)
Estos tres ú l t i m o s factores son polinomios primos irreducibles, por lo t a n t o
X* - 1 6 ={x-Z).(x + 2 j . ( x ' + 4 )
PRÁÍCnCA F a c t o r i z a c i ó n de Polinomios.
1. Factor c o m ú n
a. + Sx* +
b. 2x* - +
c. - 4 x ^ - 8x3 y 4
d. 2x*-x3-6x3
e. -x3+2x^
2. Diferencia de cuadrados
a. x3 - 25
b. x*-36
c. X* - 9x3
d. X* - 16x3
d. X*
81
7- Casos Combinados
a. X* — 2x3 + x3
b. x 3 - 3 x 3 - 4 x 4 12
c. x3 — 3x3 _ 3
d. x3 4 x 3
3) 9 í £ - I 2 a 3 - 9 a + 12= 4)
7) I 4 4 a ' - 4 8 a ¿ 4 = 8) 9ü'ni'+12cí/ií' + 4m
25 5 9 27 8i
81
Donde P(x) y Q(x) son polinomios de una solo indeterminada x, y Q(x) no nulo.
-36
con
3x-~18x
^ ^ SI .V 3 y X 3i - 3
x^ + X - - • (X + 3) - (X ~ 3) + 1
Sean dos o m á s polinomios cada uno de ellos expresado como producto de factores primos o
irreducibles, el M Í N I M O C O M Ú N M Ú L T I P L O entre ellos .es el producto de los factores primos
comunes y no comunes con su mayor exponente.
Eyemplo.-
Encontrar el m.c.m. de los siguientes poiinomios:
; S|'xy=/-4x + 4
Primero factoreamos:
P/x; = / ~ 4 = (x - +
= x' - 4x + 4 = [x -
Luego el m.c.m. es
-+2.1- + 3 x - 3 _ + 2x + l ] + ( - 3 . r ] - ( 3 x - 3 )
X--5X + x
para dexerminar el m.c.m. de los denominadores, debemos factorizarlos:
x
{..-4K;c-l)!x-2}(x-l)
el denominador c o m ú n s e r á :
(x-4Kx){x-l)
luego se utiliza el mismo procedimiento que para lasuma y resta de fracciones, quedando:
x x + (x- + (x _ x^ - + x^ -
(x-l)'"(x).(x-í) " ( x ) . ( x ) . { x - l )) ( x ) ( x ~ l )
2x^ -
-l) con l
^+2x).(x3
'21 + 2 " 2 2
^+2x-+2x
P ( x ) . s(x) ^ p ( £ ) r ( x )
(-^5
a)
+2
Zr3+9A + 9
1) 2 0+ 2 5 ; x'+Í25
2) x'-3x3+3x-l ; x^-Zx +l ;
3) x*+27 ; x'-S ;
3>-5 2-r 5
,v- - 4 2 - x+ 2
5-x 3x-l x + 4
--25 25-x3 x'+2x-3 x'-9
2
8)
>' + 3 >•-! /+2v-3
x^-í6 x^-4x
10)
x' x^-x-12
x^ Í>(x-I) 1
12)
•x'-l " 2tiAx'
x^-4 . •v-2
13) 14)
.v+4
nt
/ + 7 y + IO , /-3y-lO
15) 16)
2y-4 ' y-2
. x + .v 8/+2? , 4y- - 9
17) 18)
(x-y)' 64/-I " I6y-+4y + l
9m'^-6m*+l ^ ( 3 m * - l ) *
9x^+6x + I • (3x + l)^
3. Resoh/er las operaciones combinadas y especificar en cada ejercicio c u á l e s son los valores
que no puede tomar la variable:
3 I+x i-x
1) - 1
4x 4 t~x 1+x
3)
a(¿i + l) + ü ( £ i tj^ + l
4) ( 1 + -8 1r. 1 - • 2 /
- x - 6 - 2 5' + 5 6
5) 6)
'+25''-4-5'
-81 4 2
+
a*-100 - 5+ 2
8)
¿+9 2x 3
+
a--10 ' -3A-10 x - 5
Para Profundizar
x' f 3x' - 2x + 6
Í\6x' ~ 5x' - 36
1 2x* 2x'
i 1 \
f
3. Para cada una de las siguientes figuras, escribir una f ó r m u l a que permita hallar la
medida d e d conociendo las d e m á s medidas s e ñ a l a d a s ,
a) b) c)
n ©)
5. Calcular la e x p r e s i ó n del v o l u m e n de los siguientes cuerpos.
6. Con un cuadrado de c a r t ó n cuyos lados miden 30 cm. queremos construir una caja
abierta recortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados
restantes. Si x es ei lado del cuadrado que hay que recortar;
a. Encontrar una e x p r e s i ó n que permita calcular el volumen de la
caja, dependiendo de la longitud x del cuadrado que se
recorta en cada esquina.
b- ¿ Q u é volumen t e n d r á la caja si se recortan cuadrados de 4 cm.
de lado?
c. ¿ C u á n t o debe medir ei lado del cuadrado a recortar para que
el volumen de la caja sea exactamente de 1.944 cm* ?
a.
b.
Unidad 3
Ecuaciones de
primer grado. Ecuaciones de segundo grado. Conjunto
solución. Propiedades. Clasificación de ecuaciones de
acuerdo al conjunto s o l u c i ó n . Ecuaciones racionales.
Inecuaciones: Concepto. Conjunto s o l u c i ó n .
Propiedades.
Coordinadora:
Ing. C l a u d i a R. G a r c í a
Docentes;
Carina Jovanovich
EmIlceCastela
Juan Carlos Fernandez
FACULTAD REGIONAL
Liliana Franchece RESISTENCIA
[MÓDULO DE MATEMÁTICA]
j ^ É ^ Ecuaciones algebraicas
Ejemplo
Ei:x + 3 = 8 E2;x'-1=3 E3:x + y = 9
En una competencia Internacional, los nadadores deben nadar tres estilos. De la longitud t o t a l
{medida en metros) que deben nadar para completar la prueba: ~ lo deben hacer en estilo
mariposa, - en croll y 700m en espalda. ¿ C u á n t o s metros recorren los nadadores que completan la
prueba?
- . x + - . x + 700m=x
3 3
con
Para resolver una e c u a c i ó n de este tipo, es decir, para encontrar el ú n i c o valor de que la satisface
(llamado t a m b i é n es necesario tener en cuenta ias siguientes
propiedades de la r e l a c i ó n de igualdad:
Propiedad u n i f o r m e
Si sumamos o restamos un mismo n ú m e r o o e x p r e s i ó n algebraica a los dos miembros de una
e c u a c i ó n , obtenemos una e c u a c i ó n equivalente a la dada.
Si multiplicamos o dividimos por un mismo n ú m e r o o e x p r e s i ó n algebraica [distinta de cero) a ios
das miembros de una e c u a c i ó n obtenemos una e c u a c i ó n equivalente a la dada.
t:^—= _
Propiedad cancelattva
Si sumamos y restamos un mismo n ú m e r o o e x p r e s i ó n algebraica a un m i e m b r o de una e c u a c i ó n
obtenemos una e c u a c i ó n equivalente a la dada.
Si multiplicamos y dividimos un t é r m i n o de una e c u a c i ó n por un n ú m e r o distinto de cero
obtenemos una e c u a c i ó n equivalente a la dada.
Se recuerda que se llaman aquellas que tienen el mismo conjunto
solución.
a+c=ó+c:rí»í2=ó — = — r=>a = 6
700m = x
8 3
Con la finalidad de reunir en e) primer m i e m b r o todos los t é r m i n o s en los que figura la i n c ó g n i t a
y dejar en el segundo miembro s ó l o el t é r m i n o independiente, se suma a ambos miembros de la
igualdad la e x p r e s i ó n - x - 700m
7 0 0 m -- 7 0 0 = x - x - 700m
= ' 700m
Operando, resulta:
700m
Comprobación:
Para verificar si el valor de x obtenido es efectivamente la s o l u c i ó n del problema, se reemplaza
dicho valor en la e c u a c i ó n original comprobando si satisface la igualdad.
- . 2 4 0 0 m + - . 2 4 0 0 m + 700m = 2400m
8 3
\y + 22 = ->•
Sumamos a ambos miembros y , y -22
- ] I y = -22
.(2-3.x)-Í-(-^-4)=4(l+3x)
x+ 3 = 4
3 4 2 2
Se agrupan en un miembro todos los t é r m i n o s que contienen la i n c ó g n i t a x y en el otro, todos los
t é r m i n o s independientes-
3 , 1 2 ,
3
4 2
4 ^ 6
Se despeja la i n c ó g n i t a o b t e n i é n d o s e la s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n .
l a s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n es x = j
Comprobación:
2-3- 3 ±-4 1 +
0 . 1 = 4 - 2
2 2
5 _5
2"2
Primer caso:
A- + = A-i
A - A =
OA =
Segundo Caso:
3C4-2.t) =-2(3x-6)
12-6x = -6x+12
- 6 x + 6x = I 2 - 1 2
Ox = 0
En este caso la e c u a c i ó n tiene infinitas soluciones ya que la identidad se satisface para cualquier
valor de x.
S e m i n a r i o Universitario - U T . N . - F . R . R E
[MÓDULO DE MATEMÁTICA] UNiDAp'3/
Veamos un ejemplo:
Las cantidades de l í q u i d o que se extrajo y la cantidad final que queda: 1500 iitros.
La i n c ó g n i t a es la capacidad dei d e p ó s i t o que la podemos llamar x.
Al ser la i n c ó g n i t a una sola podemos plantear una e c u a c i ó n lineal para lo cual traducimos a
lenguaje algebraico la d e s c r i p c i ó n del problema
» Capacidad del d e p ó s i t o : x
E x p r e s i ó n de la e c u a c i ó n X = - X+^{x-7 X) + 1500
correspondiente
Resolución d é l a ecuación:
X r - ) ( + _ x - - x + 1500
4 2 8
2X+4X-X
X =
8
X - + 1500
8
X - 150O
8
1500
8
X 4000
Ecuaciones lineales
a.
b. ( x ^ l O ) - ( x - 2 ) = 4 (x-l)
c. + 3x-2 =
3
d,
e. 3^ /
2x-3 x-l + 4
4x + 3(x + 5} _
g
6 ~ ~
4.t-6 3 - 8 _ 2 - 9- 4
h.
12 4 ~ 3 ' 8
lifi ni
O. El s e ñ o r L ó p e z r e t i r ó el 2 5 % de sus ahorros para comprarse una campera cuyo
costo es de $250. ¿ C u á n t o s pesos t e n í a ahorrados?
p. Se vende m e r c a d e r í a en $77,60 perdiendo el 3 % de lo que c o s t ó . ¿ C u á l es el costo?
Ecuaciones c u a d r á t i c a s
A" + = 360cm
El doble signo que aparece en la f ó r m u l a proporciona las dos soluciones y que tiene la
ecuación.
Las soluciones Xi y X; se llaman t a m b i é n raíces de la e c u a c i ó n c u a d r á t i c a .
A'
Donde a = l , b = 9 y c = 350, podemos utilizar entonces la formula
-9cm ±
S e m i n a r i o Universitario - U T . N . ~F,R RE
[MÓDULO DE MATEMÁTICA]
Tenemos entonces
-gcm+VlSZlcm
-9+39
= — 15
-9 - 39
Xi = = — 2 4 c m
- 4fí!C < 0 La e c u a c i ó n no t e n d r á s o l u c i ó n
^/|/¿"+Só i ú í i qñes+/r¿í)
-5±V49
ó^ - 4 ü c = 25 - 4 • 2 • ( - 3 ) = 49 > 0 4 -
y = -3
2±V4~4
-4rtc = 4 - 4 1 1 = 0
Al = = 1
No tiene soluciones
- 4 x + ]3 = 0 £í^-4rtc = l 6 - 4 - M 3 = l 6 - 5 2 = - 3 6 < 0
reales
Fcucíciones
Para que ax^ + ó x + c = O sea una e c u a c i ó n de segundo grado, debe ser a ^ O, pero puede faltar
el t é r m i n o lineal, o el t é r m i n o i n d e p e n d í e n t e . Esto da lugar a ecuaciones incompletas de fácil
solución.
7 Si b = O, se tiene ax^ + c = O
3
= V2
7 Si c = O, se tiene ax^
X.
Esta igualdad se cumple sí
X
Soluciones
x^ = X2 = 4
.{x Cx + o
xi = X2
Si se aplica Ja propiedad distributiva obtenemos la f o r m a p o l i n ó m i c a de la e c u a c i ó n c u a d r á t i c a .
Ecuaciones c u a d r á t i c a s
1. Calcular los valores de x, v, t o z que satisfacen cada una de las siguientes ecuaciones.
/ ^2
a. 2x + 8 = 0
4
b.
4 3/
^-3+
V
c.
k. = 3 x
d. 2.i:^ - 1 2 x = 0
, i"7~r'3 .
e. (i' + 7 X v - 3 ) = 0 I. -,|25j- + - = 5
5 V 4
f. 4x' f 4 x + l = 0
m. - + 3 = 1
3 .
g. 5.v^ - 3 . Í + 1 = ü
h. 2 x ' - - x = 0
a. 4 x ^ - 9 = 0
b. x^ - V 2 . v - 4 = 0
c. x-3 = 0
d. 2 ( . v - 2 ) ^ = - 4
e. 2 í ^ - 4 / + l = : 0
f. 2x^ + x + 9 = (x + 4 ) . ( x + l )
1 ]
)=0
d. Calcular !a edad d e Lorena si sabemos que el cuadrado de su edad menos las tres
cuartas partes de! cuadrado de lo que va a tener el a ñ o que viene es igual a la edad
que t e n í a el a ñ o pasado m á s 43 a ñ o s .
e. Una s e c c i ó n de un piso de madera mide 450 cm' d e á r e a . Esta s e c c i ó n e s t á formada
por 5 piezas rectangulares i d é n t i c a s ubicadas como indica la figura. Calcular las
dimensiones de cada pieza
x+1cm x+7cm
c. d.
x+lcm
x-7cm x+4cm
e.
x+9cm 2x-5cm
x+11crn
"'•sis'
A=90cm'
Ecuaciones F r a c c i o n a r í a s
Dados dos polinomios Q(x) y P(x) tales que Q(x) * O, se denomina e c u a c i ó n fraccionaria a toda
e x p r e s i ó n del t i p o :
1 ^ 1 1
X-1 X" 2x
Como sabemos ia d i v i s i ó n por cero no es posible, por lo que excluiremos como posibles soluciones
a los valores que anulan e! denominador. En el caso de nuestro ejemplo x # O y
Resolvemos:
igualamos a cero
I - J -
X-1 x' ~ 2x
1 1 1 Obtenemos el denominador
= 0.
X-1 X c o m ú n Y operamos
2 x' + 2 x -2 + x ' -X
2x' (x-1 )
3 X ~ + X - 2 ¿ C u á l s e r á la s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n ?
Los valores que anulen at numerador
2 X ' ( X - 1 )
- l + 7(-l.3.(-2)
Como puede observarse no es necesario descartar ninguna de las soluciones obtenidas, ya que son
distintas de O y ! valores de la i n c ó g n i t a que al comenzar el ejemplo dijimos que anulan el
denominador,
Resolver
A+ 1 A - 1
Los valores que no se pueden t o m a r como s o l u c i ó n porque anulan al denominador son x = 1 y x= - 1 .
1
+ - = 1
1
+ - - 1 = 0
1) 1) - (x + 1). 1)
+1).C-1)
1 1
C 1).C-1)
1).(-1)
2=0
Absurdo p o r lo t a n t o ia e c u a c i ó n no tiene s o l u c i ó n .
Ejemplo:
1 3 1
+ ~~—= 0
4 x + 1 4
Los valores que no se pueden t o m a r como s o l u c i ó n porque anulan al denominador son x = - 1
(x + 3 ) . ( x + 1) - 4C 1) + ( 1 - x ) . (x + 1)
_ _ _ _ _ -= O
(x + 3 ) . ( x + 1) - 4C 1) + ( 13 . ( 1)
= O
4(x+"l)
Inecuaciones
En ía vida cotidiana utilizamos desigualdades. Al planear una compra, sea d e una prenda de
vestir, un regalo o un a u t o m ó v i l , no determinamos previamente c u á r i t p / y a t r i p s a gastar con
exactitud, establecemos l í m i t e s . p a r a ese gasto..: , . .. .
7 Por ejemplo, la e x p r e s i ó n "voy a comprar ü ñ á remera, pero s ó l o ter>gQ"$*30", si llamamos x
al precio, equivale a la desigualdad: X < 30.
•7 bien, "compraremos un regalo, podemos gastar entre $30 y $50' llamando x al precio,
equivale a la desigualdad: 30 < x < 50. — .
A diferencia de las ecuaciones que se traducen mediante igualdades, las inecuaciones se traducen
mediante desigualdades, es decir que ambos miembros e s t a r á n relacionados p o r medio de los
signos mayor [>), mayor o igual { ) > , menor [<} o menor o igual ( } á .
Las soluciones de una i n e c u a c i ó n son todos los n ú m e r o s reales que hacen que dicha i n e c u a c i ó n sea
cierta.
Resolver
3.c-2< 1
Despejando Aplicando propiedades
3 X - 2 < 1
3 .V < 1 + 2 3X-2-Í-2 < l + 2
3x <3
x<3:3 3 3
x < l x < l
S o l u c i ó n S = (-co;l)
lea
R e p r e s e n t a c i ó n grafi
Ejemplo 2
Resolver
x+í
>4
Despejando 'es
Aplicando propiedad
1
>4
2 x
.2 > 4.2
> 4.2
x+ 1 > 8 .v+ 1 > 8
X > 8- 1 • + ! + (- I ) > S + (- 1)
X > 7 7
S o l u c i ó n S = (7;+oo)
R e p r e s e n t a c i ó n g rca
áfi
Resolver
X >. 1
3 - i . f 3 ) x >. H )
3
Solución S = ; +co)
Representación gráfica;
-I 1 i. 2
3
furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta v a c í a y e' peso de la carga
que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿ c u á n t o puede
pesar, como m á x i m o , cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?.
En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje s i m b ó l i c o , llamamos x al peso de cada c a j ó n y
planteamos ia siguiente i n e c u a c i ó n :
no es menor que 415 k g
Peso de ía furgoneta - peso de 4 cajones
j L
I ^
875 - 4.x > 415
Esto significa que el peso de cada c a j ó n no p o d r á superar los I I S kg. A d e m á s , como se trata de un
peso, x> 0.
Entonces, ia s o l u c i ó n e s t é formada por todos los n ú m e r o s reales pertenecientes al intervaio
¡0,115], Graficamos la s o l u c i ó n en la recta real:
115
l 2 A--5
a. + = — —
c,— = 1
-12 3x-+6x + 3
4.V-4 3x^-3
e.
x^+4x^+4x
2 7
1 7
5x- 2-lx^ (- 3) + 4 — X + —> O
O 3x-12 < 3 V 2 4.
3 h) 3 . ( 4 - x ) > 18x+5 n)
S e m i n a r i o Universitario - U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA] 3
cm
6 cm
l) -6X + 2A = - 5 X + 5 2) 5 j c + [ 5 + 4 x + 2 - 2 x = 3 . r + 2 0 + 5
2.(x~i)
3) 4)
2 3 2--6 4
6) = 6 ( 2 x + 2 ) + l00
5) • + = + —
^ 3 5 7 5
45
7) 8 ) - ~ ^ + ^
.r + 1 i_j.. 5(.v+l) .v + 3
7.r~3 X _3x
9 ) ^ + 3 = ID) - + 2 = 0
4.C-1 2x-2 x + l X +2
3-2.X
.1 + 1 X - 1
8x-5<7 -~->x + l
3x - fC
< ÍU
b. Una empresa de t e l e f o n í a cobra mensualmente $33 en concepto de abono y
$0,045 por cada m i n u t o que se utilice el servicio. ¿ C u á n t a s minutos puede hablar, a
lo sumo, una persona que no quiere pagar m á s de $50 mensuales?.
Adriana dispone de $50 para comprarse ropa. No le alcanza para comprarse dos
pantalones, pero si compra dos remeras del mismo precio y un p a n t a l ó n que cuesta
$29 te sobra. ¿ C u á l puede ser, como m á x i m o , el precio de cada remera?
d. Roberto trabaja como persona! de maestranza en una editorial. Tiene que bajar
paquetes con libros en un montacargas en el q u e puede cargar hasta 500 kg.
Sabiendo que Roberto pesa 85 kg y que cada paquete de libros pesa 25 kg,
¿ C u á n t o s paquetes puede bajar, a lo sumo, en cada viaje?
Unidad 4
Funciones: Definición de f u n c i ó n . Dominio e Imagen.
Interpretación gráfica. Fundón lineal. Concepto.
Representación gráfica. Pendiente, Credmiento y
decrecimiento. Condición de paralelismo y perpendicularidad.
Funciones cuadrática. Concavidad. Desplazamientos verticales
de la gráfica. V é r t i c e . Ordenada al origen. Discriminante.
Raices. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Gráfica.
Ciasificación de funciones.
Sistemas de ecuaciones: Sistemas de ecuaciones lineales con
dos incógnitas. Clasificación de acuerdo al conjunto solución.
I n t e r p r e t a c i ó n gráfica. M é t o d o de resolución an^ftica:
sustitución, i g u a l a d ó n , determinantes.
UNrvetsHuo
FACULTAOREGiONAL
RESISTENCIA
Coordinadora:
Ing. C l a u d i a R. G a r c í a
Docentes;
Carina Jovanovich
Emilce Castelan
Juan Carlos Fernandez
Liliana Franchece
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA] UNIDAD 4
AItman, Silvia ,Comparatore, Claudia , Kurzrok, Liliana (2003) . " M a t e m á t i c a ; Funciones 1". Editorial
Longseller .Buenos Aires
Pablo J.Kaczor, Ruth A. Schaposchnik, Eleonora Franco, Rosa A. Cicala, Bibiana H. Diaz, (2000).
" M a t e m á t i c a I". Editorial Santlllana.
Boceo, Monica, (2010). "Funciones Elementales para construir modelos m a t e m á t i c o s " . C o l e c c i ó n las
Ciencias Naturales y (a M a t e m á t i c a . INET.
D e f i n i c i ó n de f u n c i ó n
Gonzalo es guardavidas de una playa de Villa Gesell. Como ya se acerca el desafio "interbalneario" se
entrena, con mayor intensidad, todas las m a ñ a n a s muy temprano.
Con sus amigos, y en un bote, se alejan de la costa, para que Gonzalo pueda realizar su
entrenamiento: resistencia bajo ei agua, velocidad de nado en distintos estilos, etc.
La r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a te muestra la altura h (en c e n t í m e t r o s sobre el nivel del mar) a ta que se
encuentra Gonzalo durante algunos minutos t de su entrenamiento.
Ahora bien has analizado la r e l a c i ó n entre dos magnitudes o variables; tiempo (t), altura (h)
¿ P o r q u e son magnitudes?
Pero la altura [h) a la que se encuentra Gonzalo depende del tiempo (t). Por eso:
;(E|^+/T;¡:;/f//+/^
|^t^^W|/^//f)L/g?/!^|^^
decir: a
En s í m b o l o s m a t e m á t i c o s :
xRye+xGA, y e s
y relacionado con y s e g ú n R
En s í m b o l o s m a t e m á t i c o s :
e A /
e A / extíCe x ii y }
En s í m b o l o s
En este caso
.,y.-+é'suna várfaialé •
Diagrama Sagital
Se denomina diagrama sagital al que se construye para representar las funciones utilizando dos
conjuntos ( l í n e a curva cerrada q u e contiene sus elementos, y que se conocen con el nombre de
diagramas de Venn) para indicar el conjunto dominio y el conjunto de llegada. Los elementos que se
relacionan por la f u n c i ó n se unen con una flecha.
1) Dom f = ( };
2) l m g f = { };
3) el valor d e f ( 3 ) = ;
4) el elemento del dominio cuya imagen es la letra d: x= , que escribimos f ( ) = d;
5) la imagen del n ú m e r o 4: y=: que escribimos f (4) =
Tablas
Cuando se representa una f u n c i ó n mediante una tabla, se puede observar en la primera columna los
elementos del dominio y, en la segunda columna, los elementos de la imagen. En esta forma de
r e p r e s e n t a c i ó n , ta correspondencia de cada elemento con su imagen se observa en cada fila de la
tabla.
LUMNOS MATHCULADOS EN E I
OUMODAL/EDIO ENRGENTINA^
Afío Total Alumnos
• 2001 1.640.278
; 1.649.332
2003 1.644.694
2004 1.575.653- —
2005 1.545.992
Gráficos
Una f u n c i ó n se representa en un g r á f i c o en el sistema de coordenadas cartesianas: en el eje
horizontal, llamado eje de las abscisas o eje x, se representa la variable independiente, y en el eje
vertical, que se llama eje de las ordenadas o eje y, la variable dependiente.
De esta manera, cada elemento del dominio y su correspondiente imagen se pueden expresar
mediante un punto que se denomina par ordenado(x, f(x)) en el plano coordenado.
En el punto (x, y) que se marca en el plano para obtener el g r á f i c o de una f u n c i ó n importa ei orden,
de allí ei nombre de par ordenado, es decir la primer coordenada x es el valor de la variable
independiente y la segunda coordenada y verifica y = f (x).
El g r á f i c o de una f u n c i ó n f e s t á formado por todos los puntos (x,y), y para estos pares ordenados ,
/la'priméra^^riábje X eÍ,ejGóei!iáiyábsasásJ^
/ípíÍ;^ÑisüiáÍjíj j i j e d é d 3 s í ^ r d e ^ ^.'Ylvk^'^ií-i s ! : ^ S í & í : - | f í ^ | í l | Ñ / i § Í / £ ^ / t ^ ^ p i S Í > i ^
40.
C
•
1 10 !8 io ío M 60 n M so IX tio
Formulas
Todo f e n ó m e n o que se pretenda modelizar necesita ser cuantificado, a s í las variables relacionadas
pueden considerarse como, pertenecientes a conjuntos de n ú m e r o s , en este caso hablamos de
funciones n u m é r i c a s .
PRÁCTICA/;. Funciones
1) Indicar c u á l e s de los siguientes diagramas sagitales definen una f u n c i ó n . En caso de no ser una
f u n c i ó n , especificar la o las condiciones de la d e f i n i c i ó n que no se verifican:
T
E
_ 4 _ V -
i
Realizar el g r á f i c o de una f u n c i ó n P.
X- ]
b)
5
c) d)
X- 2
e) y =
X- 5
S e m i n a r i o Universitario - U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T I C A ]
F u n c i ó n Uneat
El agua ocupa el 7 1 % de la superficie del planeta. Sin embargo, es necesario comprender que no
toda el agua es adecuada para el consumo humano. S ó l o e) 0,8% de su volumen es aprovechable por
los seres humanos. El agua que puede beber el hombre proviene de reservas naturales de agua dulce
(como los lagos, r í o s y lagunas), reservas artificiales {diques y azudes) y acufferos s u b t e r r á n e o s . La
creciente escasez de aguas lleva a que la sociedad debe concientizarse con su uso y cuidado.
Si observamos la parte central de la factura de agua que la empresa proveedora del servicio e n v í a a
nuestra domicilio, por la p r o v i s i ó n del agua potable cada mes, encontraremos los siguientes
conceptas:
A partir de estos datos completar la siguiente tabla que muestra el costo aproximado en $ en f u n c i ó n
del consumo de agua para otras situaciones.
C o r i s u m ü . m e n s ú é l de á g u a (rh*)' /''- • 0 10 20 30 50
Total apagar f a c t u r á Á g u a s C ó r d p b e s a s - ( $ )24
::: 30,05 í
60 CÍS)
50
•'"n[l:48,1BÍ
40
30
Í0:2<t
70
10
0 5 to 20 75 JO 35 40 45
1) y = 2 x - 1 en este caso a= 2 y b= - 1
3) v= 5 en este caso a= O y b= 5
C(x) = 0,604Sx+ 24
0,6045 x+ 2 4 = 4 0
w j • . 40-24
Y despejando
^ ' 0,6045
o bien x= 26,47 m3
Representamos por medio de un g r á f i c o las rectas que se definen mediante las siguientes f u n d o n e s
lineales:
f(x) = 2x g(xf = 2 x + l h(x)=2x-3
4.
in.il/
0 3 4
/i-iii
Todas las funciones lineales son de la forma f (x) = 2.x+ by se observa que:
7 En todos los g r á f i c o s se observa que el valor de b corresponde a la imagen del origen x= O
í f í O ) = b),
7 Para valores positivos b, la recta Y= ax+ b corta al eje y positivo,
7 Para valores negativos b, la recta y= ax+ b corta al eje y negativo,
7 Si b= O, la recta v= ax+ b pasa por el origen de coordenadas.
Entonces:
Representamos en un g r á f i c o las rectas que se definen mediante las siguientes funciones lineales:
/ -I
En este ejemplo, todas fas funciones lineales son de la forma y = ax, y se observa que en los g r á f i c o s
7 para valores positivos de a{a> 0), la f u n c i ó n lineal y= ax es creciente,
7 para valores negativos de a(a< 0), la f u n c i ó n lineal y= ax es decreciente.
Las funciones lineales y = b tienen pendiente cero (y= Ox+ b), que se corresponde con su tipo
g r á f i c o : una recta horizontal [sin i n c l i n a c i ó n } , en este caso decimos que la f u n c i ó n es constante.
Ffx) = 4
En la r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a de la f u n c i ó n lineal f { x )
= 2x observamos dos puntos pertenecientes a la
misma como son el (0;0) y el (1;2), vemos que
cuando la variable x avanza una unidad, la variable
y s u b e 2 unidades.
Vi = axi + b
= ax, + b
Restando ambas igualdades m i e m b r o a miembro, obtenemos:
Y i = í a x i + b) - a x j + b
Yi-Vz = b - ax, - b
Vi-Vi =a.(xl-x2}
Veamos un ejemplo;
Conocemos los puntos que pertenecen a! g r á f i c o de la f u n c i ó n lineal, luego, para encontrar dicha
f u n c i ó n linea! que modeliza los ingresos que Frave obtuvo por las ventas, debemos encontrar los
valores de la pendiente o y de la ordenada al origen Es decir; f (x) = ax+ b. A partir de los datos
anteriores podemos escribir;
x = l - * f ( l ) = 53.990
x= 2 -+ f (2) = 56.020
Entonces, los pares ordenados (1;53 990) y i2;56.020) pertenecen a la recta que representa la
f u n c i ó n lineal,
La pendiente de í a recta que contiene a los puntos conocidos se obtiene a partir de:
Calculamos:
56.020 - 5 3 . 9 9 0
- - — = 2.030 a = 2.030
Para la empresa Frave podemos afirmar que un modelo lineal, para sus ingresos por ventas, e s t á
representado por la f u n c i ó n :
Esta f u n c i ó n permite responder la pregunta del problema: ¿ e n c u á n t o se estiman los ingresos por
ventas del 49 trimestre?
Algunos ejemplos
f(x) = b o b Í e n y=b f (x) = a . x o bien y = a.x
f(x) = 4 f (x) = 3.x
y
s
íl -
.7,
3
-1 -1 -! I 2 J 1
2
-t -J -! -1 0 l ! J J
-4
¥=3>tí4
-j
y -[ n 1 2 3 4
y-3x •
-12
Representamos los puntos (x,y) en un eje cartesiano y ios unimos con una recta.
Grafiquemos la f u n c i ó n / ( x )
-» Z
B 1 5
Si se grafican cada una de las funciones lineales definidas respectivamente por l(x) = 2x +2 y
g(x) = 2x - ! se puede observar que las rectas que resultan son paralelas.
/ i -?i t í ' 2
ÍÍ21
/ y_ / •'
/ i i
(í. -I) : :
Oj y Oj respectfvo/nffnte,
Si se grafican cada una de las siguientes funciones lineales se puede observar que las rectas que
resultan son perpendiculares.
""^^'-^.^ • - • • i • - -
: • • X
1 •--• •
. . . a o;
/ • •
, • •
' • : • T -7
S e m i n a r i o Universitario - U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA] UÑIDÁM-
Funciones Lineales
— . v + -
2 2
2) - 2 y + 4x=:|
3) - 4 y + 1 = -.r + l = 2 y
A partir de la i n f o r m a c i ó n anterior;
a) ¿ c u á l es la f u n c i ó n lineal que permite modelizar el costo que t e n d r á tomar un taxi, de
acuerdo a los metros recorridos a partir d e marzo de 2008?;
b) indicar la pendiente de la f u n c i ó n lineal definida en a) ¿ Q u é indica la pendiente en el
contexto de la s i t u a c i ó n real?;
S e m i n a r i o Universitario - U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA]
Función Cuadrática
ISiti
Cantero 1
Cantero 2
Las dos opciones de canteros propuestas, dan como resultado distintas superficies cercadas, aun
teniendo igual p e r í m e t r o :
P e r í m e t r o cantero 1 : 40 m y p e r í m e t r o cantera 2: 40 m.
Superficie cantero 1 : 19 m2 y superficie cantero 2: 96 m2
Nuestro objetivo es encontrar ¡as dimensiones del cantero, es decir la medida del largo (x) y ancho
(y), que pueda contener la mayor superficie posible, a fin de plantar una cantidad considerable de
rosales. Sabemos que:
A q u í , . la superficie depende de dos variables, x e y. Usando los datos del problema podemos
reescribir la misma para transformarla en una f u n c i ó n .
Por el enunciado de! problema conocemos una r e l a c i ó n entre x e y :
Este t i p o de funciones se l í a m a n / u n c / o n e s
Retomemos el problema;
Se dispone de 40 m de aiambre para rodear un cantero rectangular donde se va a realizar la
p l a n t a c i ó n de rosales en un parque p ú b l i c o . ¿ C u á l e s deben ser las dimensiones del cantero para que
la superficie con c é s p e d resulte la m á x i m a posible?
Si construimos una tabla que nos muestre la superficie del cantero en f u n c i ó n de algunos valores del
largo del mismo, a partir de la f u n c i ó n c u a d r á t i c a S[x) = -x'+ 20x, obtenemos:
5 3 10 17 1 20 "
75 36 too 84 51 0
Si ubicamos en un sistema de coordenadas los pares ordenados (x, y) que verifican esta f u n c i ó n
c u a d r á t i c a S, y adicionamos algunos m á s para
ayudarnos a determinar la forma, obtenemos el
siguiente g r á f i c o :
Como cualquier valor de n ú m e r o real entre O y 20
s e r í a posible para el largo de! cantero, es correcto
conectar los puntos con una curva continua,
todos tos puntos de esta f u n c i ó n c u a d r á t i c a
pertenecen a ía curva que se denomina p a r á b a l a .
Parece que la g r á f i c a alcanza su m á x i m o valor en
el par ordenado (10;100), que indica que el
cantero con un largo de 10 m tiene el á r e a mayor,
100 m'.
Pero si el largo del cantera tiene 10 m entonces
su ancho es t a m b i é n de 10 m, asi que ei cantero
U.T.N.-F.R.RÉ :
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA]
• ..-3::/
-2 .;
0 i 0
1 1
2 4
3 9
16 :
1) O o m f = R;
En eí g r á f i c o se representa la f u n c i ó n f[x) = V
se indican las ramas, el eje de s i m e t r í a y el
v é r t i c e de la p a r á b o l a c u a d r á t i c a . \
_j .
-2 lo
•IJ
Si a > 0
2) Alcanza su valor m í n i m o en el v é r t i c e .
3) El eje de s i m e t r í a es el eje y.
Si a < O
2) Alcanza su valor m á x i m o en el v é r t i c e .
3) El eje de s i m e t r í a es el eje y.
\
-J 6 i' Z 1
\ -!
-í¡
-(
SioO
3) El eje de s i m e t r í a es el eje v-
y
- -fW
Una f u n d ó n continua es creciente en un cierto intervalo de su
dominio cuando al aumentar los valores de la variable / - . ;
_ " í', :
independiente, aumentan los valores de la variable dependiente.
x, /fxj > / í x J
• - i -
1
Si a > D, la f u n c i ó n :
1
7 Alcanza un m í n i m o en el v é r t i c e de la p a r á b o l a . .... 1.
7 Decrece en el intervalo (-'^.Xv). 1
7 Crece en el Intervalo (Xv;+~'). 'Jtcrefí'
"^,. .
SI a < O, la f u n c i ó n : y
7 Alcanza un m á x i m o en el v é r t i c e de la p a r á b o l a .
7 Crece en el intervalo (-
• : i
± V£»2 _ 4flc
Planteamos una e c u a c i ó n
-x' + 2x + 3 = O donde a = - l b = 2 y c = 3
_4.C-l).3
2.C-1)
- 2 + VT6
Xt = -2
X, = - 1
-4.("l).3
-2-Vl6
X2 = 3
i-
r;_t¡
J,
/i
(
/
-J
-j.
Discriminante
Para calcular los puntos donde la p a r á b o l a , que representa una f u n c i ó n c u a d r á t i c a , corta a! eje x
hemos encontrado una f ó r m u l a que incluye una r a í z cuadrada:
••\ A
\
\._
-b -iQb
X,, = — X,
V, 2a 2.C-2)
.'. V é r t i c e = í - , -
X =-
2
- 1 0 ± 7 l Q ' - 4 . ( - 2 ) . (-B)
?-(~2)
- 1 0 1 V36
x,x.
-4
-1016
-4
F u n c i ó n Inyectiva
Una f u n d ó n inyectiva es aquella para la cual elementos diferentes del dominio se relacionan con
elementos diferentes de la imagen.
Simbólicamente:
es inyectiva í=>J C A ' , e ,4 : XJ /(T)
F u n c i ó n Inyectiva F u n c i ó n no Inyectiva
Ejemplo 1
La f u n c i ó n f(x) = 3x + 1 es inyectiva ya que sí se define el dominio como todos los reales y la imagen
como todos los reales, entonces se t e n d r á que a diferentes elementos del dominio les corresponden
diferentes elementos de la Imagen.
Ejemplo 2
Sea la f u n c i ó n f(x)= x' cuyo dominio son todos los n ú m e r o s reales. Esta f u n c i ó n tiene los siguientes
puntos:
-3 -2 -1 1 2 3
f(xí 9 4 1 1 4 9
Como puede verse para dos puntos distintos como son x= -2 y x= 2 se obtiene la misma imagen, lo
m i s m o pasa en x= -3 y x=3 y en los puntos mostrados. Es este caso dos elementos distintos del
dominio tienen la misma imagen, entonces se trata de una f u n c i ó n que n o es inyecttva.
F u n c i ó n Sobreyectiva
Una f u n c i ó n es sobreyectiva si para todo y perteneciente al conjunto de llegada existe un x
perteneciente al dominio tal que y = f(x)
Simbólicamente:
e s sobreyectiva < = > V Ñ e ¿ f , 3 x G
Ejemplo 4
Sea la f u n c i ó n definida con dominio igual al conjunto de los n ú m e r o s reales y t a m b i é n
como Imagen igual ai conjunto de los n ú m e r o s reates. Determinar si la f u n c i ó n es sobreyectiva.
En este caso se ve que todo n ú m e r o real es imagen de a l g ú n otro n ú m e r o real bajo la f u n c i ó n / .
Esto significa que todos los elenrientos de la imagen son correspondidos con un elemento del
dominio mediante la f u n c i ó n y por lo tanto la f u n c i ó n dada es sobreyectiva.
Ejemplos
Sea la f u n c i ó n definida con dominio igual al conjunto de los n ú m e r o s reales y t a m b i é n como
imagen igual al conjunto de ios n ú m e r o s reales. Determinar si la f u n c i ó n es sobreyectiva.
En este caso se ve que todo n ú m e r o real es imagen de un n ú m e r o real positivo o cero bajo la f u n c i ó n - . ;
/, Esto significa que no todos los elementos de ia Imagen son correspondidos con un elemento del—'
dominio mediante la f u n c i ó n y por lo tanto la f u n c i ó n dada no es sobreyectiva.
Para esta misma f u n c i ó n , si definimos e la imagen como todos los n ú m e r o s reales mayores o iguales
cero, entonces f u n c i ó n se convierte en sobreyectiva, porque todos ios elementos de la imagen -
s e r á n correspondidos con elementos de dominio mediante la f u n c i ó n . .
F u n c i ó n Biyectiva
Una f u n c i ó n es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
S e m i n a r i o Universitario ~ U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA]
Funciones C u a d r á t i c a s y c l a s i f i c a c i ó n de funciones
1. Para cada f u n d ó n c u a d r á t i c a :
a) Indicar el sentido de las ramas de la p a r á b o l a . Justificar.
b) Indicar el p u n t o de corte de la p a r á b o l a con el eje y (Ordenada al origen).
c) Indicar las coordenadas del v é r t i c e de la p a r á b o l a .
d) Indicar, si existen, el o los puntos de corte de la p a r á b o l a con el eje x ( r a í c e s ) .
e) Indicar tos intervalos de crecimiento y decrecimiento.
f) Indicar Dominio e Imagen.
g) Realizar el g r á f i c o de la misma.
1
ij / = ii) = -2x-^ + 2
tv) + 1 = + - 4
2. Calcular el o los valores de para los cuales las siguientes funciones tienen do5(2) r a í c e s reales
iguales, escribir su f ó r m u l a y verificarlas:
3. ¿ C u á l e s pueden ser los valores de h para que la siguiente e c u a c i ó n tenga dos soluciones?
-3x-+5x + A = 3
4. La siguiente es i n f o r m a c i ó n que publica la S e c r e t a r í a de Agricultura, G a n a d e r í a , Pesca y
Alimentos en su p á g i n a web http://www.sagpva.gov.ar/
La trucha arco iris (cuyo nombre d e n t í f í c o es Oncorhynchus mykiss) perteneciente a ta familia
salmonidae y en Argentina se encuentra en r í o s y lagos de la Patagonia, redes h i d r o g r á f i c a s de Cuyo y
NOA; son poblaciones provenientes de siembras. Se trata de una especie e x ó t i c a , nativa de la costa
este del P a c í f i c o y fue introducida en el país durante los primeros a ñ o s del siglo XX, por acciones
emprendidas por el gobierno nacional, que c r e ó para la o b t e n c i ó n de desoves y alevinos, una
E s t a c i ó n Base en San Carlos de Bariloche. Se la considera una especie c a r n í v o r a , siendo su
a l i m e n t a c i ó n de tipo variado y consistente principalmente en invertebrados, fundamentalmente
larvas de insectos y c r u s t á c e o s . Como su m a n u t e n c i ó n es por siembras, su pesca comercial e s t á
prohibida. Dentro del proceso iniciado de sembrado de truchas, en 1990 se introdujeron 100
individuos de esta especie en un lago ubicado en la zona cordillerana de Argentina, en el cual no
h a b í a registros de su existencia. Al principio ía p o b l a c i ó n c o m e n z ó a crecer r á p i d a m e n t e , pero luego
distintos factores, entre ellos la falta de alimentos, d e t e r m i n ó un decrecimiento. El n ú m e r o de estos
s a l m ó n i d o s para cada a ñ o t si consideramos t= O al ano 1990, se puede modelizar por:
S{t) = - l ( t + S){t - 2 0 )
a) Graficar la f u n c i ó n desde t = -10 hasta t = 30 ¿ Q u é a ñ o s calendarios representan estos
valores de t?
b) Indicar, a partir dei g r á f i c o , el dominio de la f u n c i ó n S para este problema.
c) ¿ E n q u é a ñ o la p o b l a c i ó n de truchas fue m á x i m a ? En dicho a ñ o , ¿ c u á n t o s ejemplares
había?
d) ¿ E n q u é ano c o m e n z ó a decrecer la p o b l a c i ó n de truchas?
e) ¿ E n q u é a ñ o se puede estimar que se e x t i n g u i r á la p o b l a c i ó n de truchas en el lago?
5. Un pub abre a las 20 h y cierra cuando todos los clientes se han ido. A partir de registros
mensuales se obtuvo una f u n c i ó n c u a d r á t i c a permite modelizar el n ú m e r o de personas que hay
en el pub thoras d e s p u é s de su apertura, la misma es:
P(t) = 60t- l O t '
2xtScfn:
a. La diagonal de un r e c t á n g u l o tiene una longitud de 13 cm; si la altura es 7cm mayor que la base,
¿ c u á l es la superficie del r e c t á n g u l o ?
9. SI ei p e r í m e t r o de un r e c t á n g u l o es 26 cm y su superficie es 40 cm', hallar la longitud de su
diagonal.
10. Dadas las siguientes funciones:
• Graficarlas
• Clasificarlas
-~jc~l
/ y = 4 =-;f-3
Como tenemos u n par de ecuaciones lineales con dos i n c ó g n i t a s [en nuestro ejemplo x e y) que
consideramos s i m u l t á n e a m e n t e , decimos que f o r m a n un sistema.
7x + 4,50y = 153
" l,50x +2,50y = 63,50
Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos i n c ó g n i t a s significa hallar, si es que existen, todos
los puntos que tienen en c o m ú n las rectas del sistema.
Existen varios m é t o d o s para resolver sistemas de ecuaciones lineales, pero en este capitulo s ó l o se
v e r á n los siguientes: m é t o d o de i g u a l a c i ó n , m é t o d o de s u s t i t u c i ó n y m é t o d o de r e d u c c i ó n .
M é t o d o de i g u a l a c i ó n
Sea el sistema
[ ^-->' = 2
[ 3-1=2
Gráficamente:
y = -2x + 7 es la e c u a c i ó n de la recta r^
y = x - 2 es la e c u a c i ó n de la recta rj
Las dos rectas tienen en c o m ú n el punto P = [3,1). Ese punto
representa g r á f i c a m e n t e la s o l u c i ó n del sistema,
Se vio que si al representar g r á f i c a m e n t e las dos ecuaciones lineales de un sistema, las rectas que
resultan se cortan en un punto, entonces el sistema tiene ú n i c a s o l u c i ó n .
Sin embargo, hay sistemas que tienen infinitas soluciones y otros que no tiene s o l u c i ó n .
Los ejemplos que siguen muestran estas situaciones
Ejemplo 1 :
7 Se despeja y de la primera e c u a c i ó n
;c-2v = 6 = —-c + ñ
Sea
2 = 12 + 4>-
(I)
Se despeja y de la segunda e c u a c i ó n .
Se observa que las expresiones (t) y {II) son iguales. Esto significa que las ecuaciones del sistema
corresponden a la misma recta. Cada punto (x.y) de esa recta es s o l u c i ó n del sistema. •
El sistema tiene infinitas soluciones.
El conjunto s o l u c i ó n es
Gráficamente:
Seminario Universitario'+,U.T;R;-RR;RE"
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA] +gÑ)Í^^A-
Ejemplo 2
7 Se despeja y de ia primera e c u a c i ó n .
Í2.r + _>' =~3 .V = - 2 r ~ 3 (I)
Sea
2y 2 7 Se despeja y de la segunda e c u a c i ó n .
(II)
Las expresiones (I) y (11) corresponden a las ecuaciones de dos rectas que tienen igual pendiente,
pero distinta ordenada al origen. Esas rectas son paralelas y no tienen n i n g ú n p u n t o en c o m ú n .
El sistema no tiene s o l u c i ó n .
El conjunto s o l u c i ó n es v a c í o :
.? = 0 y !5| = 0.
Gráficamente:
-\
\
\1
Compatibles I h c o m p a t i b i é s -,
Tienen s o l u c i ó n ' No denen s o l u c i ó n
Determinados Indeterminados
^ Unica s ó l ü c i ó h - Infinitas .solücidries.
M é t o d o de s u s t i t u c i ó n ,
Se a p l i c a r á ei m é t o d o de s u s t i t u c i ó n para resolver el sistema ya resuelto
anteriormente por el m é t o d o de i g u a l a c i ó n . [
- 7 + 2
M é t o d o de r e d u c d ó n
El sistema
se r e s o l v e r á t a m b i é n aplicando el m é t o d o de r e d u c c i ó n .
Este m é t o d o consiste e n :
7 Multiplicar cada e c u a c i ó n del sistema por un n ú m e r o no nulo, de modo que los coeficientes
de una de las i n c ó g n i t a s sean iguales en las dos ecuaciones.
7 Luego, se restan las ecuaciones obtenidas para eliminar esa i n c ó g n i t a y poder despejar la
otra.
- h > = 7
7,T-2v = 4
29) Se restan miembro a miembro las dos ecuaciones que forman el sistema.
0.x + 3 y = 3
Se resuelve la e c u a c i ó n que q u e d ó .
S e m i n a r i o Universitario ~ U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T I C A ]
3y = 3
. = ¿ ^ = 3
2
El conjunto s o l u c i ó n es S ={(3,1) }, el mismo que se obtuvo cuando se r e s o l v i ó eí sistema por los
otros m é t o d o s .
Dado el sistema:
+ ¿,7 = Ci
«2
í-'i. ^1
= CiAj-cjA, llamado d e f e r n i r n a n í e de "x'
+"i llamado
Sea e! sistema
.t+3y = 2
2x + 4 y = - 4
ai 4 3
A = = 4 . 4 - 2 . 3 = 1 6 - 6 = 10
¿2 2 4
-^1 ¿4 2 3
= 2 . 4 - ( - 4 ) . 3 = 8 + í 2 = 20
62 -4 4
-^I 4 2
= 4.f-4;-2.2=-76-4=-20
«2 <-2
' 2 -4
At 20
A 10
Mientras que ei valor de y es:
Aj' -20 ^
y = — = = -2
A 10
La s o l u c i ó n e s S = [ ( 2 , - 2 ) }
Sistemas de ecuaciones
1. Dado el sistema
2) 3)
[ - 2 x + 2 > ' = 16
- -1 x + 2 v = 2,2
4) 5) 6)
|3x + 3,v = 2 |~2y = ~3x + 5,í |.v + 9 7 = 33
£ + ^ = 8
2 > - + - x = 14 2 3 - 4
7) 3 8) 9) 3 5
l2x + 2 y - 8 4 = : 0 4 j -4
6
= 4 ~ 4JC - y =
- 3 y = 19
10) H) 12)
4x = 6 y + 38
— = í +
S e m i n a r i o U n i v e r s i í a r i o - U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T I C A ] UNIDAD 4
Un diagramador esta definiendo las dimensiones que t e n d r á una revista. Necesita que el largo sea 10
cm mayor que eí ancho y que la superficie de cada p á g i n a resulte de 600 cm'. ¿ C u á l e s son las
medidas que cumplen ambas condiciones?
7. Clasifiquen y grafiquen las siguientes funciones:
a. f : R - * E + / f ( x ) = 3x + 8
b. g : l R - » R / g ( x )- 1 6
c. h: IR-^-*IR+ / h ( x ) = - 16
d.
a. Para los sistemas de ecuaciones lineales que figuran a c o n t i n u a c i ó n :
i) interpretar g r á f i c a m e n t e cada uno de ellos y clasificarlo
ii) En cada caso, indicar si el sistema tiene s o l u c i ó n o no, y si t i e n e s o l u c i ó n establecer si es ú n i c a
o no.
iit) Si el sistema tiene s o l u c i ó n ú n i c a , resolverlo mediante un m é t o d o a n a l í t i c o . Escribir el
conjunto s o l u c i ó n .
a.
£ + Z _ 2
c.
ru =
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5
Unidad 5
Á n g u l o s . Sistemas de m e d i c i ó n angular. Funciones
t r i g o n o m é t r i c a o circular. Relaciones fundamentales.
Valores n u m é r i c o s de á n g u l o s particulares. Valores de
las funciones t r i g o n o m é t r i c a s en cualquier cuadrante.
G r á f i c a s de las funciones trigonométricas.
Identidades t r i g o n o m é t r i c a s . Pendiente de una recta.
Á r e a de un t r i á n g u l o . R r e s o l u c i ó n de T r i á n g u l o s
r e c t á n g u l o s . Teoremas del seno y del coseno. Problemas
de a p l i c a c i ó n
Coordinadora:
Ing. Claudia R. García
Docentes:
Carina Jovanovich
Emilce Gástela
Juan Carlos Fernandez FACULTAD REGIONAL
Liflana De Francesco RESt^TENOA
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T I C A ] U N Í DAD 5
Trigonometría
Lado final
Lado inicial
Si consideramos el á n g u i o situado en el plano con el sistema de coordenadas cartesianas,de modo tai qu
ei lado inicia) coincida con el semieje x p o s i í i v o , el lado final puederotar en dos direcciones, si lo hace en
sentido anti-horario decimos que el á n g u l o a e s p o s i t í v o y sí ia r o t a c i ó n es en sentido horario se dice que e
á n g u l o aes negativo:
•
1
-í 4 4 .1 \l
1' 6 0 "
0,2 -> x"
0,2'.60'/
Entonces x= -+ X = 12"
S e m i n a r i o Universitario - U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T I C A ] UNipÁas;
-L.;./ÁnguÍd.Recío;^
/ v/^ ÁdgulqÜaíriá :
ülmportante!!
Al utilizar la calculadora se puede trabajar con los dos sistemas de medidas, que en lacalculadora
I se presentan como modos: .
P= (x, y) donde el lado final del mismo corta a la circunferencia unidad, A s í , asociamos al á n g u l o a el
n ú m e r o real t que da la medida del arco de circunferencia comprendido entre el par ordenado Í 1 ; 0 ) y
dicho p u n t o P.
Observar:
7 Como la circunferencia completa { á n g u l o de un giro) mide 2Tr radianes, si el n ú m e r o real t verifica
t > 2-n, al trazar el arco desde el par ordenado {1;0) al punto P, se r e c o r r e r á m á s de una vuelta
completa de la circunferencia. En este caso el n ú m e r o t r e p r e s e n t a r á un á n g u l o de m á s de u n
giro.
7 En f o r m a similar, si t G R es un n ú m e r o negativo, el á n g u l o que se asocia al mismo s e r á un á n g u l o
cuyo lado fina! se obtiene realizando una r o t a c i ó n en sentido horario desde el semieje x positivo
que representa el lado inicial.
Para definir las funciones t r i g o n o m é t r i c a s lo haremos primero trabajando con á n g u l o s cuyo lado inicial
coincide con el semieje x positiva y su v é r t i c e se encuentra en el origen del sistema de coordenadas, y
consideraremos como referencia a la circunferencia unidad.
Uria c i r c u n f e r e n c i á centrada en el ongen del sistema de coordenadas cartesianas que tiene radio 1 se.
Hemos definido el seno, el coseno y la tangente, pero entre los tres lados de un t r i á n g u i o r e c t á n g u l o se
pueden establecer otras tres razones: cosecante (cosec), secante (sec) y cotangente (cotg), que se
definen:
tuporenusa
calcio opuesto
hipolenusa O.W
cateto adyacente
cateto adyacente
CDtagor = -
caícloc^Lirsio
sena _ t g a sena
luego
eos a 1 cosa
; sen^a + cos^ a = 1
b= = a* + c'
a] Conocidos un á n g u l o y la hipotenusa
Para hallar los catetos de un t r i á n g u l o r e c t á n g u l o dei que se la altura dei monte.
Calcular
conocen las medidas de la hipotenusa y de un á n g u l o agudo,
pensaremos en el t r i á n g u l o :
que multiplicamos por la hipotenusa
sen a
eos a
c•eos a
b) Conocidos un á n g u l o y u n cateto
tg a
Resolver
Para hallar el otro lado del triangulo se a p l i c a r á el teorema de ef triánguio.
P i t á g o r a s , el á n g u l o se d e t e r m i n a r á como el arco cuya tangente es
hipotenusa = = ¿149 j
Con la calculadora:
Y el otro ángulo: 90o-3S°=5S°
S e m i n a r i o Universitario ~ Ü . T . N - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA]
5Jcofgcr=-7~
2 . =l-cüsa;
+cüsor = 1
coso;" =
a) .Síf/ííí.cotg « - c a s « es una i d e n í i c a d
Para verificsrta reemplazarnos
col eos
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[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA] UÑibAD 5
Diferendads cuadrados
V
1- = 2 £2
1 = 2 -sec
eos"
. Ííe«*£3r-1 = í e n * £ r - l + z r e / i * o ;
sfisacaad.
cos^
•-—r " = 2-sec"
cos^í3r~(l-costar) _ j
^ = 2-scc-
eos c f - I + c o s ' í y
= 2 - s e c or
cos^
5 = 2-sec^af
eos
2 - — ^ = 2-sec^£í
eos eos" a
2 ~ sec^ sec" a
E n símbolos:
¡Importantel
En el enunciado del Teorema del seno aparece un cociente, debemos entonces asegurar que los
denominadores son distintos de cero, por ser ios á n g u l o s de todo t r i á n g u l o mayores que 0^ y menores
que 1809. Esta a f i r m a c i ó n es siempre verdadera (verificar d e f i n i c i ó n de seno de un á n g u l o ) .
i Importante!
Ei Teorema del coseno, si se aplica a un t r i á n g u l o r e c t á n g u l o , resulta el enunciado del Teorema de
Pitágoras.
Por teorema del coseno en el t r i á n g u l o de la figura conocemos que: •^^"^^
Se define f u n c i ó n tangentede una variable numérica real a ia que resulta de aplicar la razón
t r i g o n o m é t r i c a tangentea los distintos valores de dicha variable. Esta f u n c i ó n se expresa g e n é r i c a m e n t e
como: siendo x ía variable independiente expresada en radianes.
Propiedades de la f u n c i ó n tangente
7 La f u n c i ó n tangente es una f u n c i ó n p e r i ó d i c a , de periodo u
.r e 2? / .c :+ (2 í +1 e .?
S e m i n a r i o Universitario - U.T.N. - F . R RE
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA] /iíÑiDAD 5
7 La f u n c i ó n tangente no e s t á acotada, t g x = E
7 Es s i m é t r i c a con respecto al origen, ya que t g - x = - t g x
7 Et g r á f i c o corta al eje x en todos los puntos (kTt,0) con k G 2
7 El g r á f i c o corta al eje y en (0,0)
Sen
2 2
Cos
2 2 2
Tg Ú 1
Problema 1
£1 edificio Empire State es el edificio m á s alto de Nueva York, situado al sur dei barrio de Manhattan, en la
Quinta Avenida. Desde el mismo se puede disfrutar de las mejores vistas de Manhattan y otras zonas
c a r a c t e r í s t i c a s de Nueva York (Nueva Jersey,
T Pennsylvania, Connecticut y Massachussets).
j E! Empire State fue inaugurado en mayo de 1 9 3 1 ,
I V cuenta con 102 pisos, 6.500 ventanas, 73
I ascensores, 1.860 p e l d a ñ o s y su superficie es de
14' ! 204,385 m2. Este edificio fue declarado
381 m I monumento Histórico Nacional en 1936, y
i d e s p u é s de )a c a í d a de las Torres Gemelas, es
I nuevamente el m á s alto de Nueva York. Este
j edificio tiene 3 8 1 metros de hasta el
I ú l t i m o piso que es el 102. Si se incluyen los 62
379.40 m
x=1.52!69m
En eí m o m e n t o planteado A g u s t í n se encuentra sobre la caile a 1.521,7 m aproximadamente, observando
el edificio.
Problema 2
Silvina se encuentra en la ventana de su departamento que esta situadaeloa y9 observa
m del su la parte
Inferior del edificio con un á n g u l o de d e p r e s i ó n de 709.
¿ C u á l es el ancho de la calle que divide el edificio donde vive
Silvina y el edificio de enfrente?
Para el problema planteado, la r e p r e s e n t a c i ó n g e o m é t r i c a y tos
datos e i n c ó g n i t a s son:
Datos:
7 distancia de la ventana de Silvina al suelo
á n g u l o de d e p r e s i ó n b = 409
Incógnita:
ancho de la calle a = 0/
En el t r i á n g u l o OlV conocemos la longitud del lado 170 = 9 m, y ei
valor del á n g u l o con v é r t i c e en V que es de 509 ya que ta suma de
los á n g u l o s interiores del t r i é n g u l o es igual a 1809.
S e m i n a r i o Universitario - U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T Í C A ]
ts 50» =
9m
rg 50»
07 = t0.73m
A partir de ios c á l c u l o s podemos afirmar que el ancho de la calle es de 10,73 m.
Problema 3
Virginia y Julia observan un globo a e r o s t á t i c o . La distancia entre ellas es de 4 km. pero mientras Virginia
observa et globo con un á n g u l o de e l e v a c i ó n de 4 6 ! Julia lo hace
con un á n g u l o de e l e v a c i ó n de 529,
A partir de la i n f o r m a c i ó n anterior, c u á l es la respuesta de las
siguientes preguntas.
1) ¿ C u á l es la altura del globo a e r o s t á t i c o en el momento
de la o b s e r v a c i ó n ?
2) ¿ Q u é distancia hay desde el globo al punto sobre la
superficie de la tierra donde se encuentra ubicada
Virginia? ¿Y d ó n d e se encuentra Julia?
Para dar respuesta a fas preguntas anteriores, planteamos g e o m é t r i c a m e n t e la s i t u a c i ó n :
G
Daios; Incógniu:
• suma de las bases de los triiiigdos
' distancia del globo a Virginia = longitud VG
GVOyJOG = 4km
- distancia del globo a Julia = longitud Gj
• j • ángulo a 3?.»
' ángulo ¡3 = 46" • altura del gk>bo = longitud OG
4 km
1) Para obtener la distancia del globo a Virginia establecemos dos Igualdades a partir de ia f u n c i ó n
t r i g o n o m é t r i c a tangente, que relaciona el dato de la base de los dos t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s
170 = 4 km) y la altura de los mismos que es coincidenle;
vrj
52".- íl)
Y ta.'Tilbéf!:
ífT '+1' --
^• -+ 177
(4- (2)
Como en tas dos igualdades (1) y (2) anteriores el t é r m i n o de ia derecha OG, que representa la altura de
globo es el mismo, entonces podemos igualar ambas identidades y obtenemos;
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA]
5 2 » = ( 4 - 46*
1,280= ( 4 - V Ü ) , 1 , 0 3 6
W,1,280= 4.H4- ra.1.036
ra.l,2S0+ra.1,036= 4,144
ra.(l,2«0+ 1,036)- 4,144
2,316 ra -4,144
IJ9 km
52"
ra = 2.91 km
La distancia entre el globo y Virginia, medida en línea recta, es de 2,91 km
2) Para obtener la distancia del globo a Julia, conocemos que = 2,21 km, y como dicha distancia
es la longitud de ia hipotenusa del t r i á n g u l o GOJ, se puede calcular utilizando la f u n c i ó n
t r i g o n o m é t r i c a que relaciona la medida del segmento con la hipotenusa;
46" =
2.2 Item
46"
52" =
=. 52».2,91 km
= 2.29 km
En el m o m e n t o en que Virginia y Julia e s t á n observando, el globo a e r o s t á t i c o se encuentra
a 2.290 m o 2,29 km del suelo.
Problema 4
Se necesita conocer el costo que I n s u m i r á el transporte de la p r o d u c c i ó n de una empresa embotelladora
de gaseosa, desde su establecimiento "COCI"
hasta la ciudad de Charata en Chaco. Por rdatos
obtenidos utilizando el sistema de I Charata
posicionamiento global GPS y viajes anteriores,
se conoce la siguiente i n f o r m a c i ó n :
Sabiendo que el costo por k i l ó m e t r o recorrido
del transporte es de $ 1,30, y que cada viaje se
r e a l i z a r á por la ruta que une ambos destinos en UcrVÑ
forma directa, es decir sin pasar por el punto M Establee imie rito
de i n t e r s e c c i ó n de rutas, ¿ c u á l es et costo de COCI
cada viaje?
S e m i n a r l o Universitario - U.T.N. - F . R . R E
[ M Ó D U L O DE MATEMÁTICA]
Notemos que el t r i á n g u l o que determina los datos del problema no es r e c t á n g u l o ya que los á n g u l o s
conocidos no son rectos y la suma de los mismos supera 909 [ g r á f i c o 7.54). Entonces, para hallar la
s o l u c i ó n debemos completar el estudio de las funciones t r i g o n o m é t r i c a s con el siguiente teorema.
Datos:
7 distancia de la i n t e r s e c c i ó n de rutas M a Charata 105 km
7 á n g u l o en la i n t e r s e c c i ó n de rutas M a = 55^
7 á n g u l o en la I n t e r s e c c i ó n de rutas E |3 = 4 0 ^
Incógnita:
7 distancia de la embotelladora a Charata d =
Como los datos son dos á n g u l o s de un t r i á n g u l o no r e c t á n g u l o y eí lado opuesto a uno de ellos, aplicando
el Teorema del seno planteamos:
p —-
40" 55"
, 105 55"
40"
S33.81
Como el costo dei viaje es de $ 1,30 por k i l ó m e t r o y la distancia a recorrer desde el establecimiento COCI
a la ciudad de Charata es de 133,81 km, el costo total del transporte de ia p r o d u c c i ó n s e r á de $ 173,96
por cada viaje.
Problema 5
Ejemplo 3 1 . Se desea construir una a u t o v í a para unir en forma directa las localidades de Esperanza y
Buena Vista, para eso se realiza un puente sobre
la laguna Azul. En ia actualidad, se llega a la
ciudad de Buena Vista siguiendo el trayecto
Esperanza - Costa Verde - Buena Vista.
En el g r á f i c o se muestran los datos existentes.
Nos preguntamos, ¿ e n c u á n t o s k i l ó m e t r o s se
d i s m i n u i r á eí viaje con la nueva red vial?
El t r i á n g u i o que determinan los datos del
problema no es rectángulo, y tampoco
aparecen como i n f o r m a c i ó n ios á n g u l o s de
tos lados opuestos conocidos, io que
p e r m i t i r í a utilizar el teorema del seno.
Necesitamos conocer la distancia a cubrir can la a u t o v í a y el puente, que se deben construir, para unir en
forma directa las localidades de Esperanza y Buena Vista, a partir de la i n f o r m a c i ó n conocida. Lo que
p e r m i t i r á obtener en c u á n t o s k i l ó m e t r o s se d i s m i n u i r á el viaje luego de construida la nueva red vial.
G e o m é t r i c a m e n t e ios datos e i n c ó g n i t a s son:
Seminario l i n i v e r s i í a r i o - Ü . T . Ñ . -F.R.RE
[ M Ó D U L O DE M A T E M Á T I C A ] UNIPAD'5
Datos;
7 distancia de Esperanza a Costa Verde 5 C = 120 k m ; c
7 distancia de Buena Vista a Costa Verde F C = 180 k m ;
7 á n g u l o en Ía i n t e r s e c c i ó n de rutas 1009.
Incógnita:
7 distancia de Esperanza a Buena Vista = EB.
Como los datos son dos lados de un t r i á n g u l o no r e c t á n g u l o y el á n g u l o comprendido por ellos, aplicando
el Teorema del coseno planteamos:
Cuando la nueva estructura vial permita conectar en forma directa Buena Vista y Esperanza se
a h o r r a r á n 66,98 km, aproximadamente, ya que el recorrido actual es de 300 km.
PRÁúflCA Trigonametría
1) Completar la siguiente tabla
47r Jt
Radianes T
7 3 6 4
Calcular el valor exacto de x sin utilizar calculadora, m e d í a n t e los valares de las funciones
t r i g o n o m é t r i c a s de los á n g u l o s notables:
5en30°-se>i60' -.fe/i45*/ + 2 . c o 5 4 5 °
2) . t - .
.vc;r50'+cos 60° eos 60'
2 20 cm 52*
3 120 km 72»
4 200 m 300 m
5 120 cm ISOcm
4) Verificar las siguientes identidades t r i g o n o m é t r i c a s :
1) t 3 r í j + coí_r = — =2
íe/rT.cos.t
(l + C0S-CÜSx1 4 * 4 *
5) 6) CDs^a - s e n * a + í = 2cos*fl-
10)
S} Problemas
Se necesita instalar una t o r r e de 50 m de altura.
a. Calcular la longitud de la cuerda que une et extremo superior de la t o r r e con el punto de
amarre (A) situado a 80 m de la base.
b. Hallar el á n g u l o que forma ta cuerda con ía horizontal.
Ii. Resolver el siguiente problema utilizando las razones t r i g o n o m é t r i c a s fundamentales. Una
persona desde el punto A observa el extremo de un edificio con un á n g u l o de 309. s¡ avanza 30 m
en línea recta hacia la base d e l edificio, observa el mismo extremo con un á n g u l o de 50^.
a. ¿ Q u é altura tiene el edificio?
b, ¿ C u á l es ía distancia desde la m e d i c i ó n del ú l t i m o á n g u l o hasta la base del edificio?
S e m i n a r i o Universitario - U.T.N. - F . R . R E