TALLER DE ARTICULACIÓN 2017

MATERIAL TEÓRICO DE

MATEMÁTICA
Unidad 1.2
Función lineal
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MATEMÁTICA. AÑO 2017.

Función lineal
Introducción
Analicemos el siguiente ejemplo:

Un automóvil sale de una ciudad situada a 50km de la nuestra alejándose a 120km/h. Se

quiere conocer la distancia del auto a nuestra ciudad a medida que transcurre el tiempo.

Podríamos comenzar nuestro análisis confeccionando una tabla de valores en la que se

relacionen las variables “distancia a nuestra ciudad” y “tiempo transcurrido”

𝑥 (ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠) 0 1 2 2,5 5

𝑦 (𝑘𝑚) 120.0 + 50 = 50 120.1 + 50 = 170 120.2 + 50 = 290 120.2,5 + 50 = 350 120.5 + 50 = 650

En 𝑥 horas la distancia, en km, a nuestra ciudad será

𝑦 = 120. 𝑥 + 50

Esta es la expresión algebraica de la función que relaciona las variables: distancia a

nuestra ciudad con tiempo transcurrido.

Esta expresión tiene sentido si la variable independiente, tiempo transcurrido, toma

valores no negativos, es decir

𝐷𝑜𝑚𝑓 = [0, +∞)

Graficando los puntos anteriores tenemos:

UNIDAD 1.2. FUNCIÓN LINEAL. 2

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A simple vista podemos observar que todos los puntos están sobre una línea recta.
Debido a la naturaleza de las variables, es posible unir los puntos obtenidos para tener la
gráfica del problema.

Las funciones de este tipo se encuadran dentro de las funciones polinómicas de primer
grado, más conocidas como funciones lineales y su gráfica siempre es una recta.

Definición de función lineal.

Una función 𝑓: ℝ → ℝ, es lineal si existen números reales 𝑚 y 𝑏 de tal manera que su

fórmula es de la forma

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏

En nuestro ejemplo 𝑚 = 120 que representa la distancia en kilómetros que recorre por
cada hora transcurrida, mientras que 𝑏 = 50 representa la distancia inicial en kilómetros.

Significado de los valores 𝒎 y 𝒃

Dado que una función lineal es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏; resulta natural preguntarnos
qué significado tienen 𝑚 y 𝑏 para la función.

Como

𝑓(0) = 𝑚. 0 + 𝑏, esto es

𝑓(0) = 𝑏

El número 𝑏 es la ordenada al origen de la función lineal.

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Para analizar el número 𝑚 tomemos dos valores diferentes 𝑥1 y 𝑥2 del dominio y

llamemos 𝑦1 e 𝑦2 , respectivamente, a sus imágenes, esto es

𝑦1 = 𝑚𝑥1 + 𝑏

𝑦2 = 𝑚𝑥2 + 𝑏

La variación de la variable dependiente es

𝑦2 − 𝑦1 = (𝑚𝑥2 + 𝑏) − (𝑚𝑥1 + 𝑏)

𝑦2 − 𝑦1 = 𝑚𝑥2 + 𝑏 − 𝑚𝑥1 − 𝑏

Cancelando 𝑏 y extrayendo factor común 𝑚

𝑦2 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥2 − 𝑥1 )

Despejando 𝑚 obtenemos
𝑦2 − 𝑦1
𝑚=
𝑥2 − 𝑥1

Podemos observar que m es la razón entre la variación de la variable dependiente y la

variación de la variable independiente y no depende de los valores elegidos del dominio
de la función. Este valor recibe el nombre de pendiente y está asociado con la inclinación
de la recta.

Definición de pendiente.

La pendiente de una función lineal es el cociente entre la variación de la variable

dependiente y la variación de la variable independiente entre dos puntos cualesquiera de
la gráfica, esto es,
𝑦2 − 𝑦1
𝑚=
𝑥2 − 𝑥1

Siendo 𝑃 = (𝑥1 ; 𝑦1 ) y 𝑄 = (𝑥2 ; 𝑦2 ) dos puntos de la gráfica de la función lineal.

En nuestro ejemplo inicial, si tomamos dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función

𝑃 = (𝑥1 ; 𝑦1 ) y 𝑄 = (𝑥2 ; 𝑦2 ) y supongamos que 𝑥2 > 𝑥1 , la diferencia 𝑥2 − 𝑥1 representa
el tiempo transcurrido entre los dos instantes 𝑥2 y 𝑥1 y la diferencia 𝑦2 − 𝑦1 representa la
distancia que se recorrió en dicho tiempo.

En este caso la pendiente tiene un significado especial

𝑦2 − 𝑦1 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑚= = = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = 120𝑘𝑚/ℎ
𝑥2 − 𝑥1 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
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Como nos muestra la gráfica, si tomamos

dos puntos de la recta y realizamos el
cociente entre las variaciones,
obtenemos siempre el valor 120. Este
valor es la velocidad, en 𝑘𝑚/ℎ, con la
que se desplaza el automóvil.

Características de las funciones lineales

 Las funciones lineales son monótonas, esto es, son crecientes, decrecientes o
constantes en todo su dominio, de acuerdo al valor de la pendiente.

 Si 𝑚 > 0, es decir la pendiente es positiva, a valores

mayores de 𝑥 le corresponden mayores imágenes, esto es la
función es creciente.

 Si 𝑚 < 0, es decir la pendiente es negativa, a valores

mayores de 𝑥 le corresponden menores imágenes, esto es la
función es decreciente.

 Si 𝑚 = 0, es decir la pendiente es nula, a cualquier valor

de 𝑥 le corresponde siempre la misma imágen, esto es, la
función es constante.

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 SI la función es constante, es decir 𝑓(𝑥) = 𝑏, la imagen está formada por un único

valor, 𝐼𝑚𝑓 = {𝑏}.

 Si la función no es constante, la función tiene como imagen al conjunto de los

números reales 𝐼𝑚𝑓 = ℝ.

 Si 𝑏 = 0 la gráfica es una recta que pasa por el origen y recibe el nombre de

función de proporcionalidad directa.

¿Cómo se obtiene la gráfica de una función lineal?

Si deseamos construir el gráfico de una función lineal, sabiendo que su gráfica es una
recta y que por dos puntos pasa una única recta, nuestro objetivo será encontrar dos
puntos de la gráfica de la función para luego trazar la recta que pasa por ellos.

Analicemos las diferentes posibilidades al trabajar con el siguiente ejemplo:

2
Representar gráficamente 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 − 4

1º opción: con una tabla

Elegimos dos valores al azar de la variable independiente y calculamos sus imágenes

2
𝑥 𝑦= 𝑥−4 (𝑥; 𝑦)
3
2
−3 𝑦 = . (−3) − 4 = −6 (−3; −6)
3
2
9 𝑦 = .9 − 4 = 2 (9; 2)
3

Marcamos los puntos un sistema de ejes cartesianos y trazamos la recta que pasa por
ellos.

UNIDAD 1.2. FUNCIÓN LINEAL. 6

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Podemos observar que, en este caso, la ordenada al origen es −4 y al ser la pendiente,

2
𝑚 = 3, un número positivo la función es creciente.

2º opción: con la pendiente y la ordenada al origen.

En primer lugar marcamos la ordenada al origen que en este caso es −4. Luego, desde la
ordenada, siempre en sentido hacia la derecha se corren tantos lugares como indique el
denominador de la pendiente (en nuestro ejemplo es 3); luego se corren hacia arriba o
hacia abajo (dependiendo del signo de la pendiente) tantos lugares como indique el
numerador de la pendiente (en este caso son 2 lugares hacia arriba porque es positiva).

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3º opción: con la intersección de los ejes

Para pensar: ¿todas las funciones
Como las raíces de una función son los valores de x tales lineales tienen intersección con el eje
de las abscisas?
que 𝑓(𝑥) = 0 igualando la función a cero esto es:

2
𝑥−4=0
3
y resolviendo la ecuación determinamos que la raíz es 𝑥 = 6.

Esta recta corta al eje x en el punto (6; 0) y al eje 𝑦 en(0; −4). Marcamos estos dos
puntos y graficamos

Ecuación de la recta
Sabemos que la gráfica de una función lineal es una recta, Para pensar: toda función lineal tiene
por lo tanto es natural intentar asociar a cada recta, no como gráfica una recta, pero ¿toda
recta es la gráfica de una función
vertical, del plano una función lineal, es decir, conociendo lineal?
cierta información de una recta podríamos encontrar una
función lineal que tenga a ésta como su gráfica. En ese caso decimos que la fórmula de la
función lineal es la ecuación de la recta.

Definición de ecuación de la recta.

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Al valor 𝑚 se lo conoce como pendiente de la recta y al valor 𝑏 como ordenada al origen.

UNIDAD 1.2. FUNCIÓN LINEAL. 8

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Conociendo la pendiente y un punto de la recta

Hagamos un ejemplo
1
Determinar la ecuación de la recta que tiene pendiente 2 y que contiene al punto
𝑃 = (−2,4).

Tomando la ecuación de una recta

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Se debe hallar la ordenada al origen ya que:

1
𝑦 = 𝑥+𝑏
2
Pero si 𝑃 = (−2,4) es un punto de la recta, entonces satisface su ecuación, esto es, si
𝑥 = −2, entonces 𝑦 = 4

1
4= (−2) + 𝑏
2
Luego, despejando la ordenada resulta 𝑏 = 5

La ecuación de la recta es

1
𝑦= 𝑥+5
2
Conociendo dos puntos de la recta

Veamos el siguiente ejemplo Recordemos que la pendiente de la

recta que pasa por los puntos
Determinar la ecuación de la recta pasa por los puntos 𝑃 = (𝑥1 ; 𝑦1 ) y 𝑄 = (𝑥2 ; 𝑦2 ) es
𝑦 −𝑦
𝑃 = (2, −3) y 𝑄 = (5; −1) 𝑚= 2 1
𝑥2 −𝑥1

Deseamos determinar 𝑚 y 𝑏 para encontrar la ecuación de la recta

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Podríamos designar las componentes de cada punto como

𝑥1 = 2, 𝑦1 = −3, estas son las componentes del punto 𝑃 y

𝑥2 = 5, 𝑦2 = −1 las componentes del punto 𝑄.

Para calcular la pendiente:

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−1 − (−3) 2
𝑚= =
5−2 3
Luego, tomando uno de los puntos, es posible calcular la ordenada al origen en

2
𝑦 = 𝑥+𝑏
3
Eligiendo a 𝑃 = (2; −3), por lo tanto:

2
−3 = . 2 + 𝑏
3
13
𝑏=−
3
Entonces la ecuación de la recta es:

2 13
𝑦= 𝑥−
3 3

Relaciones entre rectas

Rectas paralelas

Para Identificarlas tenemos: dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.

Por ejemplo, las rectas 𝑦 = −3𝑥 + 6 y 𝑦 = −3𝑥 − 4 son paralelas porque ambas
tienen pendiente −3, como observamos en el gráfico dichas rectas no se cortan.

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Rectas secantes

Dos rectas son secantes si se cortan en algún punto. Las rectas secantes son las que tienen
pendientes diferentes.

Como caso particular de rectas secantes tenemos las rectas que se cortan formando
ángulos de 90º, estas rectas se denominan perpendiculares.

Para Identificarlas tenemos: dos rectas son perpendiculares si la multiplicación entre las
pendientes da como resultado -1.
4 5
Como ejemplo tenemos las rectas 𝑦 = − 5 𝑥 + 6 y 𝑦 = 4 𝑥 + 1 que son
4 5
perpendiculares ya que − 5 . 4 = −1

Podemos observar que las pendientes de rectas Para pensar: ¿hay alguna recta
perpendiculares tienen distinto signo y, dadas en forma de perpendicular a 𝑦 = 2?
fracción, los numeradores y denominadores están
“invertidos”.

Para aplicar los últimos conceptos resolvamos el siguiente ejercicio:

Dada la recta 𝐿: 𝑦 = 4𝑥 + 5

a) Hallar la ecuación de la recta paralela a 𝐿 que pasa por 𝑃 = (1, −1) .

b) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a 𝐿 que pasa por el origen.

UNIDAD 1.2. FUNCIÓN LINEAL. 11

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La resolución podría ser de esta manera

a) Para hallar la ecuación de la recta debemos conocer su pendiente. Como la recta

es paralela a 𝐿, ambas pendientes son iguales, es decir si la ecuación de la recta es

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Debe ser 𝑚 = 4

Luego la ecuación de la recta paralela es

𝑦 = 4𝑥 + 𝑏

Para hallar 𝑏, reemplazamos las coordenadas del punto 𝑃

−1 = 4.1 + 𝑏

𝑏 = −5

Por lo tanto, podemos afirmar que la ecuación de la recta paralela a 𝐿 que pasa por 𝑃, es

𝑅: 𝑦 = 4𝑥 − 5

b) Para hallar la recta perpendicular debemos recordar la relación entre las

pendientes de dos rectas perpendiculares, con lo cual si la ecuación de la recta que
deseamos determinar es

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
1
Debe ser 𝑚 = − 4

Luego como la recta pasa por el origen de coordenadas,

1
0 = −4.0 + 𝑏

Resulta que 𝑏 debe ser cero

Por lo tanto la ecuación de la recta perpendicular a 𝐿 que

pasa por (0,0) es,

1
𝑆: 𝑦 = − . 𝑥
4
En el gráfico de la derecha podemos observar las rectas
𝐿, 𝑅 y 𝑆.

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Estudio analítico de funciones lineales

Analicemos los siguientes ejemplos de funciones lineales:

i) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 7

El dominio de la función es

𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ

Su pendiente es 𝑚 = −2, al ser negativa, indica que es decreciente en todo su dominio y,

dado que no es una función constante,

𝐼𝑚𝑓 = ℝ

La ordenada al origen es 𝑓(0) = 7.

Para calcular 𝐶 0 , el conjunto de ceros, igualamos la función a cero, esto es:

𝑓(𝑥) = 0

−2𝑥 + 7 = 0

−2𝑥 = −7

7
𝑥=
2
7
Por lo que 𝐶 0 = {2}

Para calcular el conjunto de positividad, 𝐶 + , resolvemos la inecuación 𝑓(𝑥) > 0, esto es:

𝑓(𝑥) > 0

−2𝑥 + 7 > 0

−2𝑥 > −7

−7
𝑥<
−2
7
𝑥<
2
Por lo tanto la función es positiva para todos los valores de x menores que 7/2 y, de la
misma manera, se puede determinar que es negativa para los mayores que 7/2, es decir:
7 7
𝐶 + = (−∞; 2) y 𝐶 − = (2 ; +∞)

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Podemos observar la información extraída en la gráfica de la función:

ii) 𝑔(𝑥) = 6

El dominio de la función 𝑔 es,

𝐷𝑜𝑚𝑔 = ℝ

Pero al ser la pendiente 0 resulta que la función es constante, es decir toma únicamente
el valor 6, en consecuencia la imagen está formada sólo por ese valor

𝐼𝑚𝑔 = {6}

La ordenada al origen es 𝑔(0) = 6

La función nunca vale cero de modo que

𝐶0 = ∅

Y como toma siempre el valor6, que es

positivo, resulta que: 𝐶 + = ℝ y
𝐶− = ∅

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Función de proporcionalidad directa

Se desea relacionar el peso de una persona en la Luna conociendo su peso en la Tierra,
sabiendo que una persona que en la Tierra pesa 60 𝑘𝑔𝑓 en la Luna su peso es 10 𝑘𝑔𝑓.

Podríamos comenzar construyendo una tabla que relacione las variables “peso en la
Tierra” y “peso en la Luna”, siendo la última dependiente de la primera.

Peso en la Tierra (kgf) 60 120 30 6 1

Peso en la Luna (kgf) 10 20 5 1 1/6

Podemos observar que si el peso en la tierra se duplica o se triplica, el peso en la Luna

también lo hace y si el peso en la Tierra disminuye a la mitad o a la décima parte, ocurre
lo mismo con el peso en la Luna.

En general si una de las dos variables aumenta la otra aumenta en la misma proporción y
si una disminuye la otra disminuye en la misma proporción, esto es, las variables se
relacionan de manera directamente proporcional.

Si llamamos 𝑦 al peso en la Luna y 𝑥 al peso en la Tierra, observamos que

𝑦 10 20 5 1 1/6
= = = = = = 0,16̂
𝑥 60 120 30 6 1
1
El valor 0,16̂ (6expresado en fracción) es lo que se conoce como constante de
proporcionalidad y la fórmula que relaciona las variables es

1
𝑦= 𝑥
6

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Definición de función de proporcionalidad directa.

Una función 𝑓: ℝ → ℝ, es de proporcionalidad directa si existe un número real 𝑘, distinto

de cero, de tal manera que su fórmula es de la forma

𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥

Como mencionamos anteriormente, las funciones de proporcionalidad directa, son un

caso particular de las funciones lineales en las que la ordenada al origen es cero, el valor
𝑘, la pendiente de la recta, es la constante de proporcionalidad.

Modelización de situaciones con funciones lineales

Las funciones nos sirven para modelizar y resolver situaciones de la vida real, y dar
respuesta a problemas concretos. En los siguientes ejemplos la modelización se hará
utilizando funciones lineales.

1) La boleta de gas se factura a razón de $0,35 por 𝑚3 consumido, más $50 de abono
mensual.
a) Escribir la expresión que permite calcular el dinero que se deberá pagar en
función del volumen, en 𝑚3 , de gas consumido.
b) Si una familia consumió 170 𝑚3 ¿cuánto pagará?
c) ¿Cuál fue el consumo de una familia que gastó $91,44?

a) El dinero a abonar y el volumen de gas consumido corresponden al modelo lineal.

Llamamos a

𝑥: Volumen de gas consumido (𝑚3 )

𝑦: Dinero a pagar ($)

Para determinar la fórmula, que por ser lineal es de la forma

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Debemos hallar 𝑚 y 𝑏.

En este caso, la pendiente es 0,35 debido a que es el costo por 𝑚³ de gas consumido.

Si no se consume nada, de igual manera se deben abonar $50, por lo que la ordenada al
origen es 50. La fórmula viene dada por

𝑦 = 0,35𝑥 + 50

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b) Si la familia consumió 170𝑚³, sustituyendo en la ecuación anterior a 𝑥 por 170 se

obtiene:

𝑦 = 0,35 . 170 + 50

𝑦 = 109,5

Es decir que si una familia consume 170 𝑚³, deberá pagar $109,5

c) SI la familia gastó $91,44 se conoce el valor de la variable 𝑦, con lo cual se debe

calcular el valor de 𝑥 que se corresponde con él.

Como

𝑦 = 0,35𝑥 + 50

Siendo 𝑦 = 91,44

91,44 = 0,35𝑥 + 50

Despejando 𝑥, resulta

𝑥 = 118,4

Es decir que si una familia paga $91,44 consumió 118,4 𝑚³ de gas.

2) Un carpintero que fabrica sillas calcula que el costo diario por producir 3 sillas es
de $100 y $200 si produce 11. Determinar la ecuación del costo diario, suponiendo
que la relación es lineal.

Consideremos las variables

𝑥: Cantidad de sillas producidas

𝑦: Costo diario

Siendo el costo diario dependiente de la cantidad de sillas producidas.

Sabemos que si produce 𝑥1 = 3 sillas, el costo es 𝑦1 = 100 y, si produce 𝑥2 = 11

entonces el costo es 𝑦2 = 200, considerando los pares ordenados

𝑃 = (3; 100) y 𝑄 = (8; 200)

La pendiente de la recta es:

𝑦2 − 𝑦1 200 − 100 100

𝑚= = = = 12,5
𝑥2 − 𝑥1 11 − 3 8

UNIDAD 1.2. FUNCIÓN LINEAL. 17

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Sustituyendo en la fórmula:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑦 = 12,5𝑥 + 𝑏

Tomando el punto (3; 100) y despejando 𝑏

100 = 12,5 . 3 + 𝑏

𝑏 = 62,5

Por lo tanto la función costo diario es

𝑦 = 12,5𝑥 + 62,5

Es importante notar que el gráfico de esta función no

es una recta, sino un conjunto infinito de puntos
alineados ya que, al ser la variable independiente
cantidad de sillas producidas, la fórmula tiene sentido
en el problema sólo para números naturales. Esto es

𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℕ

A MODO DE RESUMEN

En este apunte trabajamos las funciones lineales, El número 𝑏 es la ordenada al origen y es el valor
aquellas funciones cuya fórmula es de la forma donde la recta corta al eje 𝑦.
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, es decir, un polinomio de primer
grado. Todas las funciones lineales tienen como Si la ordenada al origen es cero función lineal, de
gráfica una recta. la forma 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 con 𝑘 ≠ 0, es una función de
proporcionalidad directa, en ellas si una variable
El número 𝑚 se llama pendiente y está aumenta o disminuye, la otra también lo hace en
relacionado con la inclinación de la recta. la misma proporción.

Si la pendiente es positiva la función es creciente, La ecuación de una recta no vertical tiene la

si es negativa es decreciente y si es cero la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, si conocemos la pendiente y
función es constante. las coordenadas de un punto de la misma es
posible determinar su ecuación.
Si la función es constante la imagen está formada
por un único valor, si no es constante es ℝ. De la misma manera si conocemos las
coordenadas de dos puntos de la recta, vimos

UNIDAD 1.2. FUNCIÓN LINEAL. 18

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que es posible determinar su pendiente con la rectas perpendiculares, estás son las que se
𝑦2 −𝑦1
fórmula 𝑚 = y luego su ecuación. cortan en un punto formando ángulos rectos.
𝑥2 −𝑥1

En las rectas perpendiculares el producto de las

Las rectas paralelas son las que tienen la misma
pendientes es igual a −1, de manera equivalente,
inclinación, es decir las pendientes iguales.
las rectas perpendiculares son las que tienen las
Las rectas que no tienen la misma pendiente, las pendientes de distinto signo y, en forma de
rectas secantes, se cortan en un punto. Como fracción, están invertidos su numerador y
caso particular de rectas secantes vimos las denominador.

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