Función de 2do Grado o Cuadrática

Función de 2do grado o función cuadrática
Forma algebráica de una función cuadrática

La forma general de una función de 2do grado es:
f(x) = ax² + bx + c con a ≠ 0

a, b y c son los coeficientes de cada uno de los términos que componen la función, a se le llama
coeficiente principal y c recibe el nombre de termino independiente.
Como ya vimos en las funciones lineales o afines, la f es el nombre de la función y la x es la
variable.
Ejemplos de algunas funciones cuadráticas:
f(x) = x² + 5x - 2 h(t) = 2t² + 70t
y = x² f(x) = 2 (x + 7)² + 2
f(x) = -6x² + 100 y = -2t² - 9
1) Identifique los coeficientes a, b y c de las siguientes funciones cuadráticas.
f(x) = ax² + bx + c
Para hallar la imagen de un determinado número, remplazo la x en la expresión analítica y
realizo las operaciones teniendo en cuenta las prioridades.
Ejemplo 1:
Función: f(x) = x² + 5x – 2 quiero hallar la imagen de x = 4, ósea f(4), para eso sustituyo la x
por 4 en la expresión analítica.
f(4) = 4² + 5 ∙ 4 – 2 hago cuentas,
f(4) = 16 + 20 – 2,
f(4) = 34 (4, 34)
Ejemplo 2
Función: g(x) = 2x² – 3x + 6, quiero hallar la imagen de x = -1
g(-1) = 2 ∙ (-1)² - 3 ∙ (-1) + 6 (-1)(-1)= 1 -3∙(-1)= 3
g(-1) = 2 ∙ 1 + 3 + 6
g(-1) = 2 + 3 + 6
g(-1) = 11 (-1, 11)
2) Completa las tablas hallando las imágenes de las x que se piden en cada caso
Representación grafica de una función cuadrática

Para representar este tipo de funciones todavía no tenemos ningún dato de su forma o como
identificar puntos importantes de la misma. Por eso lo que tendría que hacer en principio es
hallar varios puntos que pertenezcan al grafico, para esto tendría que hallar la imagen de varios
x.
Vamos a trabajar con las tablas de valores que tuvieron que realizar arriba.
Lo hacemos en conferencia.
Analizando el grafico
La forma del grafico es bastante característica como
se aprecia en las figuras.
La forma representada es una parábola
Cuando a es positivo (a>0) Cuando a es negativo (a<0)

f(x)= x² - 3x – 2 (a=1) f(x)= -x² - 3x +4 (a= -1)
Concavidad positiva Concavidad negativa
3) Indica en cada caso como va a ser la concavidad de cada una de las funciones
siguientes:
a. f(x)= 2x² + 3
b. g(x)= 4x + 5x² + 3
c. h(x)= -2x² + 6x – 10
d. m(x)= -x² -4x
Otros elementos importantes de la función cuadrática:
 Eje de simetría
 Vértice
 Corte con el eje x, raíz
 Corte con el eje y, ordenada en el origen
Eje de
simetría
Eje de simetría
Mirando la forma de la parábola se puede observar que la parábola es simétrica respecto al eje
de simetría.
El eje de simetría es una recta vertical, la cual se puede obtener su expresión sabiendo la
expresión analítica de la función.
-b
Eje de simetría expresión x =
2a
Ejemplo:
Observe como hallar el eje de simetría de la función f(x)= x² - 2x – 3
a= 1 b= -2 c= -3
-b
x=
2a
2
Sustituimos en la formula x =
2∙ 1
x= 1
4) Halle el eje de simetría de las siguientes funciones

a. f(x)= x² - 4x + 3
b. g(x)= 12x – 2x²
c. h(x)= -x² - 12x + 3
d. m(x)= 2x² + 6
Vértice de la parábola
Analizando el grafico de la función se puede ver que si la concavidad es positiva el vértice es el
mínimo valor del grafico, en cambio si la concavidad es negativa el vértice es el máximo valor
del grafico.
Las coordenadas del vértice se pueden hallar sabiendo que la x del vértice es la misma que la
del eje de simetría y la f(x), sustituyo en la expresión analítica por el x hallado.
-b -b
V=( , f( ))
2a 2a
Ejemplo:
Calcule las coordenadas del vértice de la función f(x)= x² - 2x – 3,
Como es la misma función que para el calculo del eje de simetría ya sabemos que la x del
vértice es x= 1, ahora sustituimos en la expresión analítica
f(1)= 1² - 2 ∙ 1– 3 1–2-3 f(1)= -4
por lo tanto las coordenadas del vértice son V(1, -4)
5) Halle el vértice de cada una de las funciones siguientes:
a. f(x)= x² - 4x + 3
b. g(x)= 12x – 2x²
c. h(x)= -x² - 12x + 3
d. m(x)= 2x² + 6
Corte con el eje y, Ordenada en el origen
Es el corte de la función con el eje y. Como ya vimos para función afín la x= 0 y la f(x) es igual
al termino independiente, c.
Coordenadas de la ordenada en el origen, OO (0, c)
Ejemplo:
Halla las coordenadas de la ordenada en el origen de f(x)= x² - 2x – 3, c= -3
OO (0, -3)
f(0)= 0² - 2∙ 0 – 3
f(0)= 0 - 0 – 3
f(0)= – 3 OO (0, -3)
6) Halle las coordenadas de la ordenada en el origen de cada una de las funciones
siguientes,
a. f(x)= x² - 4x + 3
b. g(x)= 12x – 2x²
c. h(x)= -x² - 12x + 3
d. m(x)= 2x² + 6
Corte con el eje x, raíz (ceros)
También como se vio con función afín, para hallar la raíz de una función debo igualar su
expresión analítica a cero y resolver la ecuación que se obtiene.
Ejemplo
Halle las coordenadas de las raíces de la función f(x)= x² - 2x – 3,
Primero igualo la expresión a cero x² - 2x – 3 = 0, por lo que me queda una ecuación de 2do
grado, acá la resolveremos por Baskara
a= 1, b= -2, c= -3
Δ= (-2)² - 4∙ 1 ∙ (-3) Δ= 4 + 12 Δ= 16 2 soluciones reales diferentes
2 ± √ 16
x=
2∙1
2±4 2 +4 x1 = 3
x= x1 =
2 2
2-4 x2 = -1
x2 =
2
las raíces son x= -1 y x= 3
Las raíces tienen coordenadas (3, 0) una y la otra (-1, 0)
7) Indique las coordenadas de la ordenada en el origen y las raíces del siguiente grafico.
Considere q cada cuadrado es una unidad.
8) Indique las coordenadas de las raíces de las siguientes funciones

a. f(x)= x² - 4x + 3
b. g(x)= 12x – 2x²
c. h(x)= -x² - 12x + 3
d. m(x)= 2x² + 6
Las raíces nos sirven para saber el esquema del signo de la función cuadrática, esto es decir que
signo van a tener las imágenes.
A la izquierda de -1 los y son positivos a la derecha de 3 también son positivos y entre medio
son negativos. En las raíces el valor de y es cero.
0 0
++++++ ---------- +++++++
+
-1 3
Para poder hacerlo sabiendo la expresión analítica de la expresión, calculamos las raíces, las
ubicamos en una recta numérica, nos fijamos el valor del coeficiente principal (a)y arrancamos
de izquierda a derecha con el signo de a, cambiando si hay una raíz.
9) Realiza el esquema del signo de las siguientes funciones
a. f(x)= x² - 4x + 3
b. g(x)= 12x – 2x²
c. h(x)= -x² - 12x + 3
d. m(x)= 2x² + 6
Las raíces también nos sirven para escribir la forma factorizada de la expresión analítica,
siguiendo la siguiente formula:
f(x)= a (x − α )(x − β) α y β son las raíces de la función

Ejemplo
Como ya vimos la función f(x)= x² - 2x – 3 tiene raíces x= -1 y x =3. a =1
Entonces f(x)= 1 (x – (-1))(x- 3)
f(x)= 1 (x + 1)(x- 3)
El 1 no se coloca
f(x)= (x + 1)(x- 3)
10) Escribe la forma factorizada de las siguientes funciones
a. f(x)= x² - 4x + 3
b. g(x)= 12x – 2x²
c. h(x)= -x² - 12x + 3
d. m(x)= 2x² + 6
Casos especiales
Cuando la función no tiene raíces reales la parábola no corta al eje x, pero si tiene corte con el
eje y. La grafica se asemejara a alguna de las siguientes
Algebraicamente esto lo podemos ver porque cuando calculamos las raíces, el discriminante de
la ecuación resultante da negativo.
Para poder graficar este tipo de función calculamos las coordenadas del vértice, dibujamos el eje
de simetría, ubicamos la ordenada en el origen y vemos la concavidad, toda esta información
nos permitirá graficar la función.
Ejemplo,
Grafique la función f(x)= 2x² + 8x + 9, para eso primero calcule las raíces de la función.
Para calcular las raíces de la función debo igualar la formula de la función a cero
2x² + 8x + 9 = 0 (ecuación de 2do grado)
a= 2, b= 8, c= 9
Δ= 8² - 4 ∙2 ∙9
Δ= 64 – 72
Δ= -8 No tiene soluciones reales
Calculamos por lo tanto las coordenadas del vértice,
-b -8
x= x= x= -2
2a 2∙2
Calculamos f(-2)= 2∙ (-2)² + 8∙ (-2) + 9 f(-2)= 2∙ 4 – 16 + 9 f(-2)= 1
Las coordenadas del vértice son (-2, 1), por lo que el eje de simetría es x= -2
Y las coordenadas de la ordenada en el origen (0, 9).
Como a>0 la concavidad es positiva
11) ¿Te animas a terminar de dibujar el
grafico?
12) Grafique la función f(x)= -x² + 6x -10, para eso primero calcule las raíces de la función.

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Forma algebráica de una función cuadrática

f(x) = ax² + bx + c con a ≠ 0

f(x) = x² + 5x - 2 h(t) = 2t² + 70t

f(x) = -6x² + 100 y = -2t² - 9

1) Identifique los coeficientes a, b y c de las siguientes funciones cuadráticas.

Representación grafica de una función cuadrática

Cuando a es positivo (a>0) Cuando a es negativo (a<0)

Concavidad positiva Concavidad negativa

Otros elementos importantes de la función cuadrática:

4) Halle el eje de simetría de las siguientes funciones

8) Indique las coordenadas de las raíces de las siguientes funciones

f(x)= a (x − α )(x − β) α y β son las raíces de la función

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