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    Derivadas de Orden Superior

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    Demian Barrera
    Este documento explica las derivadas parciales de orden superior de funciones de varias variables. Indica que es posible calcular segundas, terceras y otras derivadas parciales siempre que existan. Define las cuatro derivadas parciales de segundo orden y provee un ejemplo para calcular las derivadas parciales de segundo orden de la función f(x, y) = 3xy^2 - 2y + 5x^2y^2 y evaluar fxy(-1, 2). Finalmente, establece el teorema de igualdad de las derivadas parciales mixtas y

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    Derivadas de Orden Superior

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    Demian Barrera
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    Este documento explica las derivadas parciales de orden superior de funciones de varias variables. Indica que es posible calcular segundas, terceras y otras derivadas parciales siempre que existan. Define las cuatro derivadas parciales de segundo orden y provee un ejemplo para calcular las derivadas parciales de segundo orden de la función f(x, y) = 3xy^2 - 2y + 5x^2y^2 y evaluar fxy(-1, 2). Finalmente, establece el teorema de igualdad de las derivadas parciales mixtas y

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    derivada orden superior

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    derivadas de orden superior

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    Este documento explica las derivadas parciales de orden superior de funciones de varias variables. Indica que es posible calcular segundas, terceras y otras derivadas parciales siempre que existan. Define las cuatro derivadas parciales de segundo orden y provee un ejemplo para calcular las derivadas parciales de segundo orden de la función f(x, y) = 3xy^2 - 2y + 5x^2y^2 y evaluar fxy(-1, 2). Finalmente, establece el teorema de igualdad de las derivadas parciales mixtas y

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    Derivadas de orden superior

    Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc., derivadas
    parciales de una función de varias variables, siempre que tales derivadas existan. Las derivadas de
    orden superior se denotan por el orden al que se hace la derivación. Por ejemplo, la función z = f(x,y)
    tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden.

    1.- Derivando dos veces con respecto a x:

    𝜕 𝜕𝑓 𝜕2 𝑓
    𝜕𝑥
    (𝜕𝑥 ) = 𝜕𝑥
    = 𝑓𝑥𝑥

    2.- Derivando dos veces con respecto a y:

    𝜕 𝜕𝑓 𝜕2 𝑓
    𝜕𝑦
    (𝜕𝑦) = 𝜕𝑦
    = 𝑓𝑦𝑦

    3.- Derivando primero con respecto a x y después con respecto a y:

    𝜕 𝜕𝑓 𝜕2 𝑓
    𝜕𝑦
    (𝜕𝑥 ) = 𝜕𝑦𝜕𝑥
    = 𝑓𝑥𝑦

    4.- Derivando primero con respecto a y y después con respecto a x:

    𝜕 𝜕𝑓 𝜕2 𝑓
    𝜕𝑥
    (𝜕𝑦 ) = 𝜕𝑥𝜕𝑦
    = 𝑓𝑦𝑥

    El tercer y cuarto casos se llaman derivadas parciales mixtas.

    1
    Ejemplo:

    Encuentre las derivadas parciales de segundo orden de

    𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 2 − 2𝑦 + 5𝑥 2 𝑦 2

    y determine el valor de fxy(-1,2)

    empiece por hallar las derivadas parciales de primer orden respecto a x y y.


    𝜕 𝜕 𝜕
    𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = (3𝑥𝑦 2 ) − (2𝑦) + (5𝑥 2 𝑦 2 ) = (3(1)(𝑦 2 )) − 0 + (10𝑥𝑦 2 ) = 3𝑦 2 + 10𝑥𝑦 2
    𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
    𝜕 𝜕 𝜕
    𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = (3𝑥𝑦 2 ) − (2𝑦) + (5𝑥 2 𝑦 2 ) = (6𝑥𝑦) − 2(1) + (10𝑥 2 𝑦) = 6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥 2 𝑦
    𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦

    Después, derive cada una de estas con respecto a x y respecto a y.


    𝜕
    𝑓𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) = (3𝑦 2 + 10𝑥𝑦 2 ) = 0 + 10 (1)(𝑦 2 ) = 10𝑦 2
    𝜕𝑥
    𝜕
    𝑓𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦) = (6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥 2 𝑦) = (6𝑥(1)) − 0 + 10𝑥 2 (1) = 6𝑥 + 10𝑥 2
    𝜕𝑦
    𝜕
    𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) = (3𝑦 2 + 10𝑥𝑦 2 ) = 6𝑦 + 20𝑥𝑦
    𝜕𝑦
    𝜕
    𝑓𝑦𝑥 (𝑥, 𝑦) = (6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥 2 𝑦) = 6(1)𝑦 − 0 + 20𝑥𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦
    𝜕𝑥

    Evaluando fxy(-1,2) se tiene fxy(-1,2) = 6 (2) + 20 (-1)(2)= 12-40 = -28

    Observe que las dos derivadas parciales mixtas son iguales, esta situación dan conclusión en el
    teorema siguiente:

    Teorema. Igualdad de las derivadas parciales mixtas

    Si f es una función de x y y tal que fxy y fyx son continuas en un disco abierto R, entonces, para todo
    (x,y) en R.

    𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦𝑥 (𝑥, 𝑦)

    2
    Consultar los siguientes videos de derivadas parciales:

    https://www.youtube.com/watch?v=eLNtudqZ6gk

    https://www.youtube.com/watch?v=Onx678fKpvs

    https://www.youtube.com/watch?v=KWK4IIp-8q0

    https://www.youtube.com/watch?v=keA4VUuFMTg

    https://www.youtube.com/watch?v=WHq9UAsmMY0

    Para mañana les envío los ejercicios de derivadas parciales sucesivas y se define la manera de entrega.
    Saludos.

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