2 Evaluación 11 - 12.resuelto
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2ª EVALUACIÓN.
En un comercio se vende café con dos tipos de mezcla, M1 y M2. La mezcla M1 lleva
dos partes de café natural y una de torrefacto, y la mezcla M2, una parte de café natural
y dos partes de torrefacto.
Por cada kilo de M1 se obtiene un beneficio de 1,10€, y por cada kilo de M2 se obtiene
un beneficio de 1,30€.
Se cuenta con 35kg de café natural y 40kg de café torrefacto para mezclar.
¿Cuántos kilos de cada mezcla se deben preparar para que las ganancias sean máximas?
x ay z 2
Dado el sistema de ecuaciones lineales: x ay z 0
ax y z 2a
a) Discutirlo según los valores de a.
b) Resolverlo para a = 1.
1
RESOLUCIÓN
Ejercicio 1.
a)
5
dom( f )
2
f ( 0) 20; (0, 20)
f ( x) 0 x 2 (2,0)
Asíntotas verticales:
225 5
lim f ( x) x es asíntota vertical.
x 52 0 2
Asíntotas horizontales:
lim f ( x) 25; y 25 es asíntota horizontal por la derecha y, por ser una función racional,
x
también lo es a la izquierda.
Asíntotas oblicuas no tiene por tener horizontales.
Crecimiento y decrecimiento:
450
f ( x) 0 x La función es siempre creciente.
(2 x 5) 2
2
b) La empresa deja de tener pérdidas cuando las ganancias dejan de ser negativas, es decir a
partir del 2º año. (x = 2).
c) Los beneficios están limitados y el límite es 25000€. (asíntota horizontal).
Ejercicio 2.
f ( x) x2 6x 8
a) La bisectriz del primer cuadrante es la recta b : y x . Su pendiente mb 1.
Si la recta tangente tiene que ser paralela a la recta b, tiene que tener la misma pendiente, por lo
que: mt f (x) 1
7 3 7 3
f ( x) 2x 6 1 x ;y ; el punto pedido es P( , )
2 4 2 4
f (0) a
lim (2 x 2 3 x a) a a a 1
x 0
lim ( x 2 bx 1) 1
x 0
4 x 3 si x 0 f (0 ) 3
Calculamos la función derivada: f ( x) b 3
2 x b si x 0 f (0 ) b
Por tanto f(x) es derivable en x = 0 si a = 1 y b = - 3
3
Ejercicio 3.
Restricciones:
x 0
x 0
y 0
2 1 y 0
x y 35
3 3 2x y 105
1 2 x 2 y 120
x y 40
3 3
Región factible.
4
Solución: Se deben preparar 30kg de mezcla M1 y 45kg de M2, para obtener el máximo
beneficio, que es de 91,5€
Ejercicio 4.
1 a 1 1 a 1 2
A 1 a 1 A* 1 a 1 0
a 1 1 a 1 1 2a
a) Discusión según los valores de a:
A 2a(1 a)
A 0 a 0; a 1.
Para a 0 y a 1 ran(A) = ran(A*) =3 Sistema compatible determinado. Solución única.
a=0
1 0 1 1 0 1 2
A 1 0 1 A* 1 0 1 0
0 1 1 0 1 1 0
1 0 2
1 0
0 ran( A) 2; 1 0 0 0 ran( A*) 3
0 1
0 1 0
Si a = 0 el sistema es incompatible. No tiene solución.
a = 1.
1 1 1 1 1 1 2
*
A 1 1 1 A 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 2
1 1 2
1 1
0 ran( A) 2; 1 1 0 0 ran( A*) 2
1 1
1 1 2
Si a = 1 es sistema es compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones.
b) Resolución para a = 1.
x 1
x y 2
y 1
x y
z