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    Final Modelo Analisis Matematico

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    Este examen final de cálculo contiene 4 ejercicios. El primero trata sobre un modelo matemático para la eliminación de un sedante del cuerpo y encuentra la función que representa esto. El segundo usa un polinomio de Taylor para aproximar una ecuación y determina puntos de máxima y mínima pendiente de otra función. El tercero calcula el área y volumen de una región y demuestra que dos funciones difieren solo en una constante. El último determina si ciertas proposiciones son verdaderas o falsas.

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    EXAMEN FINAL CALCULO I/ ANALISIS MATEMATICO I

    1 2 3 4
    a b a b a b a b

    Nombre y Apellido…………………………………………..DNI……………………...

    1. a) Se administra media tableta de 2 mg del sedante conocido como Valium, uno de


    los más lentos de eliminar. Se sabe que la rapidez a la que cambia la cantidad de Valium
    en el cuerpo es directamente proporcional a la cantidad de medicamento en el cuerpo. Si
    M (t) representa la cantidad de Valium en el cuerpo (en mg) en el tiempo t (en días), se
    pide:
    a-1) Formular la ecuación que representa este modelo matemático.
    a-2) Hallar M (t) sabiendo que a los 8 días y 8 horas en el cuerpo queda la mitad de la
    dosis inicial.

    b) Inventar una función que tenga una discontinuidad de salto finito en x = -1, evitable
    en x = 0 y de salto infinito en x = 1. Darla en forma analítica y gráfica justificando el
    razonamiento que se hizo para obtenerla. Si tiene asíntotas indicar sus ecuaciones.

    2. a) Utilizando un polinomio de Mac Laurin conveniente hallar aproximadamente la


    solución positiva de la ecuación e x  x3  1

    b) Determinar los puntos de máxima y mínima pendiente de la gráfica de la


    1
    función y  .
    1 x2

    3 a) Sea R la región del primer cuadrante limitada por las curvas y  2 x  x 2 e y  x 3 .


    Calcular:
    a-1) El área de R
    a-2) El volumen del sólido que se obtiene al hacer girar R alrededor del eje x. (Graficar)
    x x2

     
    dt dt
    b) Demostrar sin calcular las integrales que las funciones F ( x)  y G ( x) 
    t 2t
    1 1
    difieren en una constante para x > 1
    4. Determinar si las siguientes proposiciones son V o F. Justificar:
    a) Si lim  f ( x)  lim  f ( x) entonces f es continua en x = a
    x a x a
    b) Si lim f ( x)  b entonces la recta y = b no interseca a la gráfica de f.
    x 
    RESOLUCIÓN

    EJERCICIO 1

    dM dM
    1a)  kM (t )   kdt  int egrando ln M  kt  c  M  e kt  c  e kt .ec
    dt M
    a-1-Para t=0 M=e =2 luego M  2e kt
    c

    a-2- 8días y 8horas = 8,3…días luego M  2e k 8,3..  1  k =-0.083

    Por lo tanto M  2e 0.083.t

    1b) Una función que cumpla con las características dadas puede ser:

    2 x si x  1

    f  x   4x
     si x  1
     x 2  3x
    Ya que:

    • En x=-1 límite por derecha es -1 y límite por izquierda es -2. Por lo tanto, no
    existe límite. Hay discontinuidad esencial de salto finito (salto de 1 unidad).
    4x 4
    • En x=0 lim x0  pero no existe f(0) , por lo tanto hay
    x( x  3) 3
    discontinuidad evitable.
    4x
    • En x=3 lim x3  luego hay discontinuidad esencial con salto
    x( x  3)
    infinito, y existe asíntota vertical x=3

    EJERCICIO 2

    2 a ) Ecuación e x  x 3  1

    Usamos el polinomio de Mac Laurin de grado 3 que aproxima a la función e x


    Calculamos las derivadas sucesivas hasta la tercera y las evaluamos en cero. Todas ellas
    tienen el valor 1.
    1 1
    Luego P(x) = 1+1x+ x 2  x 3
    2! 3!
    1 1
    Reemplazamos en la ecuación 1+x+ x 2  x 3  x 3  1
    2 6
    5 1
    Igualando a cero y sacando factor común se obtiene: x.( x 2  x  1)  0
    6 2
    Cuyas soluciones son x1=0, x2= 1,43, x3=-0,83

    Verificamos gráficamente:
    5

    3 2 1 1 2

    1
    2 b) Sea y= su función derivada indica la pendiente en cada punto del dominio.
    1 x2
     2x
    y  hallaremos máximo y mínimo de la derivada, los cuales indican los
    1  x  2 2

    puntos de máxima y mínima pendiente respectivamente de la curva.


     2  6x 2 1
    Derivamos e igualamos a cero y    0  2  6 x  0  x  
    2

    1  x 
    2 3 3

    Analizamos signo de la derivada y  a izquierda y derecha de estos puntos.


    1
    (, ) y   0  y crece
    3
    1 1
    ( , ) y   0  y decrece
    3 3
    1
    ( , ) y   0  y crece
    3

    1 1
    Luego en x   y tiene máximo y en x  y  tiene mínimo
    3 3

    EJERCICIO 3

    3 a) Gráfico:
    5

    3 2 1 1 2

    10

    15

    20

    25

    1 1
    2x x3 x 4 1 1 5
    A=  (2 x  x  x )dx  ( 
    2 3
     )  1   0  u2
    0
    2 3 4 0 3 4 12

    1 1
    4x3 4x 4 x5 x 7 4 1 1 41 3
    V=  [( 2 x  x )  ( x ) ]dx  (
    2 2 3 2
       )  1   0  u
    0
    3 4 5 7 0 3 5 7 105

    3 b ) Aplicando el Teorema Fundamental del cálculo se tiene :

    1 1 1
    F ( x)  y G ( x)  2
    .2 x  Luego F ( x)  G ( x)
    x 2x x

    Por propiedad “si dos funciones tienen la misma derivada, entonces difieren en una
    constante.” Queda demostrado que F ( x)  G ( x)  k

    EJERCICIO 4

    4 a ) FALSO. La igualdad de los límites laterales sólo asegura la existencia de límite en


    el punto. Para ser continua además hay que verificar que exista f(0) y sea igual al límite.
    Por ejemplo la función del ejercicio 1b)

    x
    4 b) FALSO . Contraejemplo y 
    1 x2
    x
    lim x   0  y  0 es asíntota horizontale interseca a la curva en x=0.
    1 x2

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