Separata de Elementos Finitos - MSC Ing Luis Carlos Rojas Torres
Separata de Elementos Finitos - MSC Ing Luis Carlos Rojas Torres
Separata de Elementos Finitos - MSC Ing Luis Carlos Rojas Torres
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Introducción a la Teoría de los
Elementos Finitos a través de ANSYS
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WORKBENCH
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Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Mecánica
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2017
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Contents
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1 Introducción 1
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2 Análisis Unidimensional: Elemento BARRA 3
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Interpolación C0 y Funciones de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
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2.3 Métodos Variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.2 Principio de la Energía Potencial Estacionaria P.E.P.E . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.3 Aplicación del P.E.P.E para problemas con varios grados de libertad . . . . 7
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2.3.4 Método de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Formulación del elemento BARRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
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2.5 Estudio de Caso en Ansys Workbench . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.1 Módulo Engineering Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
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2.5.2 Módulo Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.3 Módulo Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Interpolación C1 y Funciones de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Estudio de caso en Ansys Workbench . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1 Módulo Design Modeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
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CONTENTS
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List of Figures
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1.1 Análisis de viga lineal VS análisis no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
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2.1 Falta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Interpolación lineal y funciones de forma N1 y N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Configuración inicial y final de un resorte linear con constante de rigidez k . . . . . 6
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2.4 Sistema de resortes con tres grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Barra con carga axial y gráficos de u vs x y σx vs x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Barra con carga axial y obtención de la ecuación de gobierno . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Puente como estructura plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8
2.9
2.10
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Interfase principal del ANSYS WORKBENCH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interfase del módulo Engineering Data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definición de nuevo material y especificación de propiedades mecánicas. . . . . .
13
13
14
2.11 Definición de propiedades en el módulo Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
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2.12 Modificaciones en la grilla de diseńo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.13 Dibujo de la estructura con el comando Line. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.14 Obteniendo lineas a partir de un Sketch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.15 Generando un Line Body a partir un conjunto de lineas. . . . . . . . . . . . . . . . 16
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5
6 LIST OF FIGURES
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3.8 Menu View. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.9 Line Body de la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.10 Menu del Cross Section. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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3.11 Dimensión de la sección transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.12 Estructura con las secciones transversales visibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.13 Vigas mal alineadas en la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.14 Disen̂o finalizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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3.15 Vision inicial del software Mechanical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.16 Generación de malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.17 Malla de elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.18 Soportes fijos en la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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3.19 Menu de Line Pressure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.20 Carga distribuida en las vigas de la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.21 Sistema con geometria, cargas y condiciones de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.22 Campo de deformaciones de la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
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3.23 Campo de esfuerzos en la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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2.1 Comparación entre solución exacta u y aproximada û. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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7
8
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LIST OF TABLES
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Chapter 1
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Introducción
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Esta separata tiene el propósito de ser una guia para el curso de Introducción a la Teoría de los Ele-
mentos Finitos en Estructuras con Ansys Workbench . El enfoque dado es estructural y está dirigida
.R
a todos los alumnos que culminaron los cursos de: Estática, Cálculo Vectorial y Resistencia de
Materiales.
Serán explicados en este guía casos estático lineales.
Que quiere decir esto? Cuando un cuerpo es submetido a una fuerza repentina tiende a oscilar
sA
()fenomeno estudiado en cursos de vibraciones) devido a los efectos de la masa y su fuerza
restauradora (efectos llamados de inerciales). Para que esto no ocurra se asume que la fuerza
fue colocada lentamente. Como aproximación si una estructura es sometida a una fuerza cíclica
cuya frecuencia sea menor a un cuarto de la menor frecuancia natural de la estructura, entonces
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el problema puede analizarse como estático.
Por otro lado cuando una estructura es lineal se asumen 2 cosas:
1. Linealidad del material: Las propiedades del material se mantienen constantes bajo el efecto
Ca
2. Linealidad geométrica: Significa que las deformaciones son pequen̂as lo suficiente para que
las ecuaciones de gobierno antes y después de la deformación sean las mismas 1.1.
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Para el cálculo del comportamiento mecánico de una estructura se requiere que los esfuerzos
σ y las deformaciones ε sean determinadas, estas variables se encuentran relacionadas por las
siguientes ecuaciones:
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1
2 CHAPTER 1. INTRODUCCIÓN
es
o D.C.L.
2. Ecuaciones Constitutivas: Describen la relación entre esfuerzo y deformación, utilizando
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para ello parámetros propios del material. El ejemplo mÃas ˛ conocido es la ecuación del
material elástico para el caso unidimensional σ = Eε donde σ = esfuerzo, E = módulo de
Young y ε
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3. Ecuaciones Cinemáticas: Calculan las deformaciones ε en el cuerpo a partir de los desplaza-
mientos u generados por los esfuerzos. En el caso de una barra sometida a tracciÃşn de
longitud L la ec. cinemática correspondiente es ε = ∆l
L.
4. Ecuaciones de Compatibilidad: Son las relaciones entre las deformaciones en cada dirección
oja
del cuerpo a fin de no producir discontinuidades en el cuerpo. Es un sistema de 6 ecuaciones
conocidas como ecuaciones de Saint-Venant.
5. Condiciones de Contorno: Son los valores prescritos de tensión y esfuerzo en puntos ge-
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ométricos conocidos.
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los esfuerzos, sin embargo realizar esto de manera exacta es posible solo para geometrias muy
simples, para formas más complejas se deve utilizar métodos numéricos.
El Método de los Elementos Finitos es una técnica numérica para resolver problemas de campo.
Primero se discretiza la estructura en pequen̂os partes de forma simple, estos elementos finitos
estarán unidos mediante nodos formando una malla, devido a las propierdades de esta y sus
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funciones de interpolación implicitas las ecuaciones diferenciales de la estructura serán transfor-
madas en un sistema de ecuaciones algebraicas que al resolverse un campo de desplazamientos
"aproximado"
El curso está divididos en 4 capítulos:
Ca
Capítulo 1: Se describe a grandes rasgos el método de los elementos finitos, el alcance de este
curso y los diferentes tipos de ecuaciones que rigen una estructura.
Capítulo 2: Comienza el estudio unidimensional con el elemento BARRA o TRUSS, son presen-
tadas las dos diferentes formas obtención de las matriz de rigidez: los Métodos Directos y mÃas ˛
uis
importantes aú los Métodos Variacionales que son la base del MEF (Método de los Elementos
Finitos).
Capítulo 3: Estudio unidimensional con el elemento VIGA interpolación de funciones Hermi-
tianas.
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Análisis Unidimensional: Elemento
BARRA
oja
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2.1 Introducción
Para propositos didacticos se utilizará la nomenclatura siguiente:
Vector fila: bc
Vector columna: { }
Matriz Cuadrada: [ ]
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2.2 Interpolación C0 y Funciones de Forma
El propósito de interpolar es hallar una función aproximada que cumpla con condiciones pre-
scritar en cierto numero de puntos. Al interpolar sobre una malla de elementos finitos estos
Ca
φ= ∑ ai xi = bXc{a} (2.1)
i =0
El vector con los valores de la función en los nodos está expresado en la Ec. 2.3 con [ A] siendo el
vector bXc evaluado en cada nodo.
El polinomio de interpolación puede entonces expresarse en función de los valores nodales según
c.
la Ec. 2.4.
φ = bNc{φnodal } (2.4)
MS
3
4 CHAPTER 2. ANÁLISIS UNIDIMENSIONAL: ELEMENTO BARRA
es
bNc = bXc[ A]−1 (2.5a)
bNc = b N1 , N2 , · · · , Nn c (2.5b)
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Grado de Continuidad entre elementos
Al interpolar se pretende aproximar un campo en una malla de elementos, por lo tanto la con-
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tinuidad de la función aproximada está garantizada. Sin embargo esto no necesariamente ocurre
en la frontera entre elementos, es por ello que se debe profundizar en este aspecto.
Un campo es C m contínuo si sus derivadas "hasta e incluyendo" el grado m son continuas en las
fronteras de los elementos de la malla. Un ejemplo de esto se observa en la Figura 2.8 donde se
oja
tienen las funciones φ1 y φ2 continuas C0 y C1 respectivamente, la primera al ser del tipo C0 es
dφ dφ
en la frontera φ1 continua y dx1 discontinua, diferente de la segunda que siendo C1 tiene φ2 y dx2
d2 φ2
continuas pero dx2
discontinua.
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Ca
Interpolación C0
Teniendo ya conocimiento sobre el grado de continuidad de funciones se procederá a analizar
para el caso lineal la interpolacíon entre los puntos ( x1 , φ1 ) y ( x2 , φ2 ).
.L
Siendo
φ1
{φ} =
φ2
1 x1
[A] =
1 x2
c.
a0
{a} =
a1
MS
2.3. MÉTODOS VARIACIONALES 5
Invirtiendo la matriz [ A]
es
−1 1 x2 − x1
[A] == (2.8)
x2 − x1 −1 1
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Finalmente con 2.5a se obtiene el vector de las funciones de forma 2.9
x2 − x x − x1
bNc = bXc[ A]−1 = b , c (2.9)
x2 − x1 x2 − x1
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oja
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2.3.1 Introducción
Es introducido el concepto de funcional y su importancia en el análisis por elementos finitos. Un
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funcional es una expresión integral que implicitamente contiene la ecuación de equilibrio del
sistema, en estructuras el funcional más utilizado es la energía potencial Π p .
Cuando se tienen disponibles las ecuaciones de gobierno mÃas ˛ las condiciones de contorno se
dice que el problema está definido en su forma fuerte o strong form.Por otro lado si un funcional
Ing
es definido con las ecuaciones de gobierno implícitas en él, entonces el problema está en su forma
débil o weak form. Aunque el nombre de "fuerte" o "débil" puede dar una idea de inferioridad en
como el problema ha sido establecido ambas formas son equivalentes sim embargo es la forma
débil que dio origen a los elementos finitos.
La energía potencial Π p en una estructura por lo general contiene integrales que se expanden por
c.
todo el dominio del problema, después de algunas manipulaciones numéricas se convierte en una
expresión algebraica. Ahora bien en el caso del análisis de un elemento simple como el elemento
BARRA la energía potencial no requiere tanta sofisticación.
MS
6 CHAPTER 2. ANÁLISIS UNIDIMENSIONAL: ELEMENTO BARRA
es
Antes de comenzar con la explicación del principio primero se deben definir los siguientes con-
ceptos:
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1. Sistema: Es la estructura en si, incluyendo los soportes y las fuerzas aplicadas a ella.
sT
3. Sistema conservativo: Se llama así si el trabajo realizado por las fuerzas internas y el tra-
bajo realizado por las fuerzas aplicadas, ambos son independientes de la trayectorio y solo
dependen de las posiciones inicial y final. En una estructura elástica por ejemplo el trabajo
realizado por las fuerzas es igual a la magnitud de la energía de deformación. La energia
oja
potencial de la estructura contiene tanto la energia de deformación como los potenciales de
las fuerzas aplicadas.
4. Condiciones de contorno esenciales o principales: Son los valores del campo φ en los nodos.
.R
5. Condiciones de contorno no esenciales o naturales:Son los gradientes del campo φ en los
nodos.
Figure 2.3: Configuración inicial y final de un resorte linear con constante de rigidez k
.
c.
Πp = U + Ω (2.10)
MS
2.3. MÉTODOS VARIACIONALES 7
es
1 2
U= kD (2.11a)
2
Ω = − FD
orr
(2.11b)
Si solo los desplazamientos en el eje x son permitidos, entonces la configuración admisible está
determinada por D. Aplicando el principio de la energia potencial estacionaria para pequen̂as
variaciones de D (Eq. 2.12).
sT
dΠ p = (KDeq − F )dD = 0 (2.12)
De lo que se obtiene que (KDeq − F ), hallando Deq = F/K.
oja
2.3.3 Aplicación del P.E.P.E para problemas con varios grados de libertad
Sea n el número de grados de libertad de un sistema y {D} el vector de sus desplazamientos re-
.R
spectivos. Asumiremos que los soportes y condiciones de contorno están definidas de esta forma
valores arbitarios del vector desplazamientos siempre resultará en configuraciones admisibles.
Siendo que el potencial Π p una función de Di es decir, Π p ( D1 , D2 , · · · , Dn ) aplicamos el P.E.E
obteniendo:
dΠ p = 0 =
sA
∂Π p
∂D1
dD1 +
∂Π p
∂D2
dD2 + · · · +
∂Π p
∂Dn
dDn (2.13)
Observamos que para cualquier pequen̂a variación de dDi el valor de dΠ p siempre será cero. En-
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tonces si por ejemplo solo dD1 es cero o solo dD2 u otro dDi para todos y cada uno se debe cumplir
que dΠ p = 0. Esto solo es posible si todos los coeficientes de dDi desaparecen separadamente, así
la Ec. 2.13 es transformada en la Ec. 2.14.
Ca
∂Π p
=0 (2.14)
∂Di
1 1 1
Πp = k D2 + k2 ( D2 − D1 )2 + k3 ( D3 − D2 )2 − F1 D1 − F2 D2 − F3 D3 (2.15)
2 1 1 2
MS
2
8 CHAPTER 2. ANÁLISIS UNIDIMENSIONAL: ELEMENTO BARRA
es
k1 D1 − k2 ( D2 − D1 ) − F1 = 0 (2.16a)
k2 ( D2 − D1 ) − k3 ( D3 − D2 ) − F2 = 0 (2.16b)
orr
k3 ( D3 − D2 ) − F3 = 0 (2.16c)
Acomodando convenientemente se obtiene el sistema de ecuaciones algebraicas (Ec. 2.17) que
determinan los desplazamientos en el sistema.
sT
k1 + k2 −k2 0 D1 F1
−k2 k2 + k3 −k3 D2 = F (2.17)
2
0 −k3 k3 D3 F3
oja
2.3.4 Método de Rayleigh-Ritz
Es útil cuando se conoce la función potencial de la estructura en función de los desplazamientos
Π p (u). Se asume que el desplazamiento es una combinación lineal de funciones f i de la forma:
.R
n
u= ∑ ai f i (2.18)
i =1
sA
De esta forma la energía potencial se vuelve función de los coeficientes ai y es posible utilizar el
principio de la energia potencial estacionaria.
Ejemplo: Barra en tracción
Se tiene una barra (Figura 2.5) sometida a carga axial distribuida a lo largo de su eje q = cx y
potencial Π p determinado por la Ec. 2.19
rlo
Z LT Z LT
1
Πp = Eu20 x Adx − ucxdx (2.19)
0 2 0
Ca
Para n=1, u = a1 x:
AEL T 2 cL3T
Πp = a1 − a (2.21)
2 3 1
Aplicando el P.E.P.E se obtiene:
.L
cL2T
a1 = (2.22a)
3AE
Ing
cL2T
u= x (2.22b)
3AE
cL2T
σx = Eu0 x = (2.22c)
3A
Para n=2, u = a1 x + a2 x2 :
c.
a1 cL T 7L T
= (2.23a)
a2 12AE −3
MS
2.3. MÉTODOS VARIACIONALES 9
cL T
u= (7L T x − 3x2 ) (2.23b)
12AE
es
cL T
σx = Eu0 x = (7L T − 6x ) (2.23c)
12A
orr
sT
oja
.R
Figure 2.5: Barra con carga axial y gráficos de u vs x y σx vs x.
Du − f = 0 (2.24)
R = D û − f (2.25)
el residuo sea el menos posible. Según la teoría de los métodos residuales los valores mejores
valores de ai deben cumplir con la siguiente expresión de la equación de gobierno en su forma
débil.
Z
Wi RdV = 0 (2.26)
c.
es
ecuación de gobierno se puede obtener la solución exacta:
orr
sT
oja
.R
Figure 2.6: Barra con carga axial y obtención de la ecuación de gobierno
P cL2T c 3
sA u( x ) =
AE
x+
2AE
x−
6AE
x
Vamos a pretender que no conocemos este resultado pero lo utilizaremos posteriormente para
(2.27)
2
d û cx
R R
partes ( f dg = f g − gd f ) con f = Wi y dg = dx2 + AE , obteniéndose:
dû LT
Z LT
Wi dû cx
− + Wi dx + Wi =0 (2.29)
0 dx dx AE dx 0
uis
Hasta aquí tienen en común todos los métodos variacionales, resolviendo por el método de
Galerkin asumiremos una función aproximada de dos términos û = a1 x + a2 x2 , por tanto W1 = x,
W2 = x2 y dW1 /dx = 1, dW2 /dx = 2x. Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior para
i = 1 y luego para i = 2, se tiene:
.L
Z LT h
cx i P
(−1)( a1 + 2a2 x ) + x dx + L T =0 (2.30a)
0 AE AE
Ing
Z LT h cx i P
(−2x )( a1 + 2a2 x ) + x2 dx + L2T =0 (2.30b)
0 AE AE
Al integrar ambas ecuaciones se obtiene que:
P 7cL2T
a1 = + (2.31a)
c.
AE 12AE
cL
a2 = − T (2.31b)
MS
4AE
2.4. FORMULACIÓN DEL ELEMENTO BARRA 11
es
P 7cL2T cL T 2
û = x+ x− x (2.32a)
AE 12AE 4AE
orr
P 7cL2T cL
σ̂ = Eû0 x =
+ − Tx (2.32b)
A 12A 2A
Las comparaciones entre los desplazamientos y esfuerzos de las soluciones obtenidas por inte-
gracion y por el método de Galerkin presentadas en la tabla siguiente.
sT
Table 2.1: Comparación entre solución exacta u y aproximada û.
Variable Sol. Exacta Met. Galerkin
u( x ) para x = L T /2 0.2292 0.2292
oja
u( x ) para x = L T 0.3333 0.3333
u( x )0 x para x = 0 0.5000 0.5833
u( x )0 x para x = L T /2 0.3750 0.3333
u( x )0 x para x = L T 0 0.0833
.R
2.4 Formulación del elemento BARRA
sA
La formulación de las matrices de rigidez en elementos finitos deriva de una modificación al
método de Galerkin.
û = bNc{d} (2.33a)
rlo
L−x x
bNc = b N1 , N2 , · · · , Nn c = b , c (2.33b)
L L
{ d } = b u1 , u2 , · · · , u n c T = b u1 , u2 c T (2.33c)
Ca
∂û
Wi = = Ni (2.33d)
∂di
bBc = bN0 x c (2.33e)
uis
AE 1 −1
[k] = (2.37)
L −1 1
MS
12 CHAPTER 2. ANÁLISIS UNIDIMENSIONAL: ELEMENTO BARRA
es
Descripción del Problema
En la Figura 2.7 se presenta la siguiente estructura plana construida en madera (E = 13.1GPa
orr
e v = 0.29) y con área transversal cuadrada (lado=6cm). Determinar la defleción en cada junta
dadas las condiciones de carga.
sT
oja
.R
Figure 2.7: Puente como estructura plana
Solución
sA
Al entrar al programa lo primero que se observa es la pantalla de presentación. Para este prob-
rlo
lema utilizaremos análisis del tipo estático. Toolbox > Analysis Systems > Static Structural. Se
obtiene ese una tabla con el nombre de static structural, está compuesta de los módulos siguiente:
• Engineering Data: Define los tipos de material que serán utilizados y especifica sus propiedades
Ca
mecánicas. Cuenta una gran biblioteca de materiales donde se incluye isotropismo, anisotropismo,
plasticidad, hiperelasticidad, modelos de fluencia y curvas de fatiga.
• Geometry: Define la estructura, o partes de esta através del programa Design Modeler. Tam-
bién cuenta con la posibilidad de importar geometrías generadas de las principales her-
uis
ramientas de CAD.
• Model: Activa el software Mechanical donde se selecciona el tipo y taman̂o de elemento y se
genera la malla de elementos finitos.
.L
• Setup: Aplica las cargas y condiciones de frontera del sistema al modelo de elementos finitos.
• Solution: Determina el incremento de paso de tiempo computacional, y el tiempo total del
análisis.
Ing
1. El acero estructural (structural steel) es el material por defecto, para crear un nuevo mate-
rial esbribimos su nombre en la fila vacia más proxima, en este caso llamaremos "Nuevo
Material".
MS
2.5. ESTUDIO DE CASO EN ANSYS WORKBENCH 13
es
orr
sT
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.R
Figure 2.8: Interfase principal del ANSYS WORKBENCH.
sA
rlo
Ca
uis
.L
Ing
2. Seleccionamos el tipo de material elástico lineal desde Toolbox > Linear Elastic > Isotropic
Elasticity. En la tabla inferior se definen el módulo de Young (Young’s Modulus) E = 1.31E10
c.
y el coeficiente de Poisson (Poisson’s Ratio) v = 0.29. Hecho esto podemos cerrar la ventana
del programa.
MS
14 CHAPTER 2. ANÁLISIS UNIDIMENSIONAL: ELEMENTO BARRA
es
orr
sT
oja
.R
Figure 2.10: Definición de nuevo material y especificación de propiedades mecánicas.
es
orr
sT
oja
.R
Figure 2.12: Modificaciones en la grilla de diseńo.
3. Teniendo la grilla de ayuda dibujamos la estructura con Sketching Toolboxes > Draw >
Line. Figura 2.13
sA
rlo
Ca
uis
.L
Ing
4. En la parte Modeling seleccionamos Sketch1, Tree Outline > A: Static Structural > XY-
Plane > Sketch1 y Concept > Lines from Sketches > Apply Figura 2.14
c.
es
orr
sT
oja
.R
Figure 2.14: Obteniendo lineas a partir de un Sketch.
sA
rlo
Ca
uis
.L
7. Se crea un área transversal, Concept > Cross Section > Rectangular. Figura 2.17.
9. En Details View > Details of Line Body > Cross Section seleccionamos el área transversal
que acabamos de crear, y cerramos el Design Modeler. Figura 2.19.
MS
2.5. ESTUDIO DE CASO EN ANSYS WORKBENCH 17
es
orr
sT
oja
.R
Figure 2.16: Line Body de la estructura.
sA
rlo
Ca
uis
Figure 2.17: Barra de herramientas para la creación de áreas transversales de forma cuadrada, I,
L, C y formas customizadas.
Al hacer Doble Click > Model entramos en el software Mechanical, donde se asocian los mate-
riales a la estructura, se seleciona el tipo de elemento finito se define el taman̂o de la malla, se
aplican cargas y se establecen las condiciones de frontera.
Ing
1. Lo primero a ser notado en la Figura ??es que por default el material seleccionado es acero
estructural.
2. Por lo tanto Details of "Line Body" > Material > Assignment > Nuevo Material. Figura
2.21.
c.
3. El siguiente paso será generar la malla para esto seleccionamos desde Outline > Model(A4)
> Mesh y en Details of "Mesh" > Sizing > Element Size = 10.m. Figura 2.22.
MS
18 CHAPTER 2. ANÁLISIS UNIDIMENSIONAL: ELEMENTO BARRA
es
orr
sT
oja
.R
Figure 2.18: Propiedades del área transversal.
sA
rlo
Ca
uis
.L
5. Ya con la malla generada el siguiente paso es definir las condiciones de contorno, Outline
> Model(A4) > Static Structural (A5) > Insert > Fized Support. Figura 2.24.
6. Seleccionamos los nodos de los extremos de la estructura y Details of "Fixed Support" >
c.
7. Aplicamos las fuerzas tambiém mediante um proceso análogo Outline > Model(A4) >
MS
2.5. ESTUDIO DE CASO EN ANSYS WORKBENCH 19
es
orr
sT
oja
.R
Figure 2.20: Interfase del software Mechanical.
sA
rlo
Ca
uis
Static Structural (A5) > Insert > Force. Seleccionamos los 3 nodos respectivos y en De-
tails of "Force" > Scope > Geometry > Apply. Luego en Details of "Fixed Support" >
Definition > Define by: Components > Y Component: -90 000N. Figura 2.26.
Ing
8. Lo siguiente es configurar la solución o mejor dicho la salida de datos, en este caso pre-
cisamos e la deformación total de la estructura. Outline > Model(A4)> Solution > Insert
> Deformation > Total. Figura 2.27.
9. El paso que restaria seria llamar al solver del programa. Outline > Model(A4)>Click Dere-
c.
es
orr
sT
oja
.R
Figure 2.22: Selección de taman̂o del elemento.
sA
rlo
Ca
uis
.L
tura.
c.
MS
2.5. ESTUDIO DE CASO EN ANSYS WORKBENCH 21
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 2.24: Menu de condiciones de contorno.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 2.26: Aplicación de fuerzas.
rlo
Ca
es
orr
sT
oja
.R
sA
rlo
Ca
uis
es
orr
sT
oja
.R
sA
rlo
Ca
uis
.L
Ing
c.
MS
es
orr
Chapter 3
sT
Análisis Unidimensional: Elemento
VIGA
oja
.R
3.1 Introducción
Siendo ya de conocimiento los métodos variacionales de Raleigh Ritz y Galerkin para el caso
sA
unidimensional, la obtención de la matriz del elemento viga se obtiene por procedimiento simi-
lar. Este elemento posee 4 funciones de forma dos para los desplazamientos de cada nodo y los
restantes para las rotaciones respectivas de estos.
rlo
3.2 Interpolación C1 y Funciones de Forma
De las ecuaciones del capítulo anterior (Ec.3.1) tenemos el vector campo {φ} con desplazamientos
y pendientes (Ec. 3.2):
Ca
n
φ= ∑ ai xi = bXc{a} (3.1)
i =0
φ
1
uis
φ0 x1
= [ A]{a} (3.2)
φ
2
φ0 x1
donde finalmente obtenemos las funciones de interpolación:
.L
1 0 0 0
0 1 0 0
A= 1 L L2 L3
(3.3c)
0 1 2L 3L2
1 0 0 0
0 1 0 0
c.
A −1 = − 32 − L2 3 (3.3d)
− L1
L L2
2 1
− L23 1
MS
L3 L2 L2
25
26 CHAPTER 3. ANÁLISIS UNIDIMENSIONAL: ELEMENTO VIGA
donde
es
bNc = bXc[ A]−1 (3.4a)
bNc = b N1 , N2 , · · · , Nn c (3.4b)
orr
3x2 3
N1 = 1 − L2
+ 2xL3
2 3
N2 = x − 2xL + Lx 2
2 3 (3.4c)
N3 = 3x − 2x
sT
L2 L3
2 3
N4 = − xL + Lx 2
Asi la matriz de rigidez queda determinada por
oja
Z LT
[k] = bBc T EI bBcdx (3.5)
0
.R
12 6L −12 6L
EI 6L 4L2 −6L 2L2
[k] = 3 (3.6)
L 12 −6L 12 −6L
6L 2L2 −6L 4L2
3.3
sA
Estudio de caso en Ansys Workbench
rlo
Descripción del Problema
En la Figura 3.1 se presenta un portico de de dos pisos fabricado en acero estructural con vigas
de perfil I. Determinar la deformacion y el esfuerzo en la estructura cuando el segundo piso es
Ca
Solución
es
Al ser el material utilizado acero estructural no es necesario entrar al módulo de Engineering Data
orr
1. Entrando en el Sketching editaremos la grilla con las mismas características del estudio de
caso anterior, para después dibujar la cara frontal de la estructura como en la Figura 3.2.
sT
oja
.R
sA
rlo
2. En Modeling seleccionando Concept > Lines from Sketches > Apply Figura 3.3.
3. Para generar la parte faltante se moverá una copia del primer dibujo. Concept > Body
uis
4. Selecionamos Tree Outline > A: Static Structural > Traslate, en Details of "Traslate" >
Preserv Body: YES, seleccionamos la geometría Details of "Traslate" > Bodies: APPLY,
.L
Details of "Traslate" > Direction Definition: Coordinates y Details of "Traslate" > FD5, Z
Offset: -6m
5. Para conectar las dos estructuras utilizamos el comando Concept > Lines from Points.
Ing
Figura 3.6.
7. En la Figura 3.8 podemos observar que la sección transversal aún no ha sido definida.
8. Seleccionaremos el perfil I, Concept > Cross Section > I-Section. Figura 3.9.
MS
28 CHAPTER 3. ANÁLISIS UNIDIMENSIONAL: ELEMENTO VIGA
es
orr
sT
oja
.R
Figure 3.3: Lineas desde Sketches.
sA
rlo
Ca
uis
.L
9. La geometría de la sección transversal será editada através de Details View > Dimensions:
6. Figura 3.11.
c.
W1 = 0.1715m
W2 = 0.1715m
MS
3.3. ESTUDIO DE CASO EN ANSYS WORKBENCH 29
es
orr
sT
oja
.R
Figure 3.5: Configuración del comando Traslate.
sA
rlo
W3 = 0.3356m
t1 = 0.0073m
uis
t2 = 0.0073m
t3 = 0.0115m
10. Seleccionamos entonces la nueva sección tranversal definida anteriormente para nuestro
.L
11. Podemos observar que algunas de las vigas en la estructura están mal alineadas. Esto se
Ing
soluciona seleccionando cada una de ellas y Details View > Line Body Edges:8 > Rotate:
90 como se muestra en la Figura 3.13.
1. En la Figura 3.15 ya tenemos la estructura lista, con acero estructural definido como material
por defecto.
MS
30 CHAPTER 3. ANÁLISIS UNIDIMENSIONAL: ELEMENTO VIGA
es
orr
sT
oja
.R
Figure 3.7: Estructura completa.
sA
rlo
Ca
2. Generamos la malla con un taman̂o de 0.20m y Outline > Project > Static Structural >
Mesh: Generate Mesh. Figura 3.16.
3. La Figura 3.17 muestra la malla de elementos finitos de la estructura.
.L
4. Aplicamos Fixed Supports en los nodos en contacto con el suelo. Figura 3.18.
5. Ahora aplicaremos la carga distribuida a lo largo de la viga con el comando Line Pressure,
Outline > Project > Static Structural > Click Derecho > Insert > Line Pressure.Figura
3.19.
Ing
6. Seleccionando cada una de las vigas sen̂aladas en la Figura 3.20 se aplicara una carga de
−50000N/m.
7. Las cargas y condiciones de contorno se verán como en la Figura 3.21:
8. Al ejecutar el solver obtendremos las deformaciones de la estructura.
c.
9. Esfuerzos en la estructura.
MS
3.3. ESTUDIO DE CASO EN ANSYS WORKBENCH 31
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 3.9: Line Body de la estructura.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 3.11: Dimensión de la sección transversal.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 3.13: Vigas mal alineadas en la estructura.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 3.15: Vision inicial del software Mechanical.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
Figure 3.17: Malla de elementos finitos.
sA
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 3.19: Menu de Line Pressure.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 3.21: Sistema con geometria, cargas y condiciones de contorno.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
sA
rlo
Ca
uis
sT
Análisis Bidimensional: Elemento
oja
Triángulo y Cuadrado
.R
4.1 Introducción
4.2
sA
Esfuezo Plano y Deformación Plana
Esfuezo Plano
rlo
Ca
uis
.L
σ11
ε 11
σ ε
22 22
σ33 ε 33
= [E]3D (4.1a)
c.
σ12
ε 12
σ ε 23
23
MS
σ31 ε 31
39
40 CHAPTER 4. ANÁLISIS BIDIMENSIONAL: ELEMENTO TRIÁNGULO Y CUADRADO
1−v v v 0 0 0
v 1−v v 0 0 0
es
1−v
E v v 0 0 0
[E]3D = 1−2v
(4.1b)
(1 + v)(1 − 2v) 0 0 0 2 0 0
1−2v
0 0 0 0 0
orr
2
1−2v
0 0 0 0 0 2
Para esfuerzo plano se tiene que σ33 = σ23 = σ31 = 0, entonces la Eq. ?? queda reducida a la Eq.
4.2.
sT
σ11 1−v v 0 ε 11
E
σ = v 1−v 0 ε (4.2)
22 ( 1 + v)(1 − 2v) 1−2v 22
σ12 0 0 2
ε 12
oja
Deformación Plana
.R
sA
rlo
Ca
uis
Para obtener las deformaciones en función de los esfuerzos se invierte la matriz constitutiva
obteniéndose la Eq. 4.3a.
.L
ε 11
σ11
ε 22
σ22
ε 33 −1 σ33
= [E]3D (4.3a)
ε 12 σ12
Ing
ε σ
23 23
ε 31 σ31
1 −v −v 0 0 0
−v 1 −v 0 0 0
−1 1 − v − v 1 0 0 0
[E]3D = (4.3b)
c.
E 0 0 0 2 + 2v 0 0
0 0 0 0 2 + 2v 0
0 0 0 0 0 2 + 2v
MS
4.2. ESFUEZO PLANO Y DEFORMACIÓN PLANA 41
es
ε 11 1 −v 0 σ11
1
ε 22 = −v 1 0 σ (4.4)
orr
22
E
0 0 2 + 2v
ε 12 σ12
Ecuaciones Cinemáticas
sT
Tambien conocidas como relaciones deformación-desplazamiento son:
∂u
ε11 = = u0 x (4.5a)
oja
∂x
∂v
ε22 = = v0 y (4.5b)
∂y
.R
∂w
ε33 = = w0 z (4.5c)
∂z
∂u ∂v
2ε 12 = + = u0 y + v0 x (4.5d)
∂y ∂x
sA
2ε 23 =
∂v ∂w
∂z
+
∂y
= v 0 z + w0 y (4.5e)
rlo
∂w ∂u
2ε 31 = + = w0 x + u 0 z (4.5f)
∂x ∂x
Otra manera de expresarlas es:
Ca
∂
∂x 0 0
ε 11 0 ∂
0
uis
ε ∂y
22
u
0 ∂
ε 33
0
= ∂ ∂
∂z v (4.7a)
ε 12
∂y ∂x 0 w
ε 23 ∂ ∂
0
∂z ∂y
.L
ε 31 ∂ ∂
∂z ∂x
∂
0
ε 11 ∂x u
∂
= 0
Ing
v (4.7b)
ε 22 ∂y
∂ ∂ w
ε 12
∂y ∂x
es
Forma
4.3.1 Elemento Triángulo
orr
Elemento para campos escalares
a1
φ = b1, x, yc
sT
a (4.9)
2
a3
oja
φ = [A] a (4.10)
2 2
φ3 a3
Donde:
1 0 0
.R
A= 1 x2 0 (4.11)
1 x3 y3
Obteniendo el campo en funcion de los valores nodales, se calcula las funciones de forma:
sA
φ = bNc
φ
φ1
= b1, x, yc[ A]−1
φ1
φ (4.12)
2 2
φ3 φ3
rlo
Con:
1 0 0
−1 1
A −1 = 0 (4.13)
x2 x2
Ca
x3 − x2 − x3 1
x2 y3 x2 y3 y3
φ1
φ0 x
= [B] φ (4.14)
φ0 y 2
φ3
∂/∂x
[B] = bNc (4.15a)
∂/∂y
Ing
−1
" #
1
0
0 1 0
[B] = [ A ] −1 = x2
x3 − x2
x2
− x3 1 (4.15b)
0 0 1 x2 y3 x2 y3 y3
Z
[k] = [B] T [κ ][B]tdA (4.16)
MS
4.3. INTERPOLACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA PARA 2D Y FUNCIONES DE FORMA 43
es
Aproximamos los desplazamientos en X (u) y en Y (v) como :
a1
orr
u = b1, x, yc a (4.17a)
2
a3
sT
a4
v = b1, x, yc a (4.17b)
5
a6
oja
u1
v1
ε1
u2
.R
ε = [B] (4.18a)
2 v2
ε 12
u
3
v3
[B] =
−1
x2
0
sA 0
x3 − x2
1
x2
0
0
− x3
0
0
0
1
(4.18b)
x2 y3 x2 y3 y3
x3 − x2 −1 − x3 1 1
rlo
x2 y3 x2 x2 y3 x2 y3
a3
2 2
u = b1, x, y, x , xy, y c (4.20a)
a4
a5
Ing
a6
a7
a
8
a9
v = b1, x, y, x2 , xy, y2 c (4.20b)
a
c.
10
a11
a12
MS
44 CHAPTER 4. ANÁLISIS BIDIMENSIONAL: ELEMENTO TRIÁNGULO Y CUADRADO
es
Elemento Rectángulo Bilineal
a1
orr
a2
u = b1, x, y, xyc (4.21a)
a3
a4
a5
sT
a6
v = b1, x, y, xyc (4.21b)
a
7
a8
oja
ε x = a2 + a4 y (4.22a)
ε y = a7 + a8 x (4.22b)
ε xy = ( a3 + a6 ) + a4 x + a8 y (4.22c)
.R
( a − x )(b − y)
N1 = (4.23a)
4ab
sA N2 =
( a + x )(b − y)
4ab
( a + x )(b − y)
(4.23b)
N3 = (4.23c)
4ab
rlo
( a − x )(b + y)
N4 = (4.23d)
4ab
u1
Ca
v1
u
2
u v2
= [N] (4.24a)
v u3
uis
v3
u4
v4
N1 0 N2 0 N3 0 N4 0
.L
[N] = (4.24b)
0 N1 0 N2 0 N3 0 N4
La matriz [B]:
Ing
−(b − y) 0 (b − y) 0 (b + y) 0 −(b + y) 0
1
[B] = 0 −( a − x ) 0 −( a + x ) 0 (a + x) 0 (a − x)
4ab
−( a − x ) −(b − y) −( a + x ) (b − y) ( a + x ) (b + y) ( a − x ) −(b + y)
(4.25)
Calculando la matriz de rigidez [k]
c.
Z b Z a
[k] = [B] T [E]2D [B]tdxdy (4.26)
−b − a
MS
4.4. ESTUDIO DE CASO EN ANSYS WORKBENCH 45
es
a1
a2
a
3
orr
a4
2 2 2 2
u = b1, x, y, x , xy, y , x y, xy c (4.27a)
a5
a6
a7
sT
a8
a9
a10
oja
a11
a12
v = b1, x, y, x2 , xy, y2 , x2 y, xy2 c (4.27b)
a13
a14
a
.R
15
a16
sA
ε y = a11 + a13 x + 2a14 y + a15 x2 + 2a16 xy
(4.28c)
rlo
4.4 Estudio de caso en Ansys Workbench
.
Ca
Solución
es
4.4.1 Módulo Design Modeler
1. Al ser utilizado un material nuevo (INOX) lo primero es definirlo en el módulo Engineereing
orr
Data con E = 1.93E11Pa y v = 0.27.)
sT
oja
.R
sA
rlo
Figure 4.4: Definición de nuevo material INOX.
2. Lo siguiente es realizar las modificaciones en las propiedades del Design Modeler para poder
Ca
3.
4.
uis
5.
6.
.L
7.
8.
Ing
9.
2.
3.
MS
4.4. ESTUDIO DE CASO EN ANSYS WORKBENCH 47
es
orr
sT
oja
.R
Figure 4.5: Configuración de propiedades para análisis de esfuerzo plano.
sA
rlo
Ca
uis
.L
4.
5.
c.
6.
7.
MS
48 CHAPTER 4. ANÁLISIS BIDIMENSIONAL: ELEMENTO TRIÁNGULO Y CUADRADO
es
orr
sT
oja
.R
Figure 4.7: Dibujo y dimensionado de forma principal.
sA
rlo
Ca
uis
.L
8.
9.
c.
10.
11.
MS
4.4. ESTUDIO DE CASO EN ANSYS WORKBENCH 49
es
orr
sT
oja
.R
Figure 4.9: Abertura de la llave.
sA
rlo
Ca
uis
.L
12.
c.
MS
50 CHAPTER 4. ANÁLISIS BIDIMENSIONAL: ELEMENTO TRIÁNGULO Y CUADRADO
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 4.11: Obtención de superficie a partir del sketch.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
Figure 4.13: Configuración para esfuerzo plano y definición de material.
sA
rlo
Ca
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 4.16: Definición de tamaño de elemento.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 4.18: Insertando soportes fijos en el sistema.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 4.20: Adicionando presión en el sistema.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
sA
Figure 4.22: Configuración de la solución.
rlo
Ca
uis
.L
Ing
es
orr
sT
oja
.R
sA
rlo
Ca
uis