Problemas 1 Bach

et
t.n
Problemas de 1o Bachillerato
a
us
Isaac Musat Hervás
22 de agosto de 2011
m
w.
ww
2
ww
w.
m
us
at.n
et
Índice general
et
t.n
1. Álgebra 5
1.1. Sistemas lineales de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Ecuaciones no lineales y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . 14
a
1.5. Ecuaciones Polinómicas . . . . .
1.6. Varios . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
17
us
2. Geometrı́a 21
2.1. Trigonometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Razones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Resolución de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Geometrı́a analı́tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
m
2.2.2. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
w.
3. Ánalisis 45
3.1. Representaciones gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4. Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
ww
3.5. Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.6. Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7. Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3
4 ÍNDICE GENERAL
et
t.n
a
us
m
w.
ww
Capı́tulo 1
et
Álgebra
t.n
1.1. Sistemas lineales de ecuaciones
Problema 1 Resolver el siguiente sistema:

 a
 2x− y+ 2z = 1
x+ y− z = 3
us

 3x+ 2y+ z=5
Problema 2 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes sis-

temas:  
 x−
 y+ z = 1  x+ y+ z = 1
m

2x+ y− 2z = 2 ; 2x+ y− z = 2

 x+ 2y− 3z = 1 
 2x+ z=3
Problema 3 Resolver y discutir los siguientes sistemas:

w.
 

 x− y+ z = 1 
 x+ y+ z = 4
3x+ y− z = 2 x− y+ z = 2
 
 2x+ 2y− 2z = 1  3x+ y− z = 1
ww

temas:  
 3x−
 y− z=1 
 x+ y− z = 1
x+ y+ z=2 ; 3x− y+ z = 0
 2x− 2y− 2z = −1
 
 x+ y− 2z = 1

temas:  
 x+ 2y−
 z=1 
 x+ y + z = 1
2x− y− z = 0 ; x+ 2y − z = 2

 3x+ 
y+ 2z = 2  2x+ 3y =4
5
6 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA

temas:  
 2x− 2y− 2z = −1
 
 x+ y− 2z = 1
3x− y− z=1 ; 3x− y+ z = 0

 x+ 
y+ z=2  x+ y− z=1
et
temas:  
 2x−
 y− z = 0  2x+ 3y
 =4
x+ 2y− z = 1 ; x+ 2y − z = 2

 3x+ 
y+ 2z = 2  x+ y + z=1
t.n
temas:  
 x+ 2y−
 z=1  x+ y + z = 2

x− 8y+ 5z = 1 ; 2x− y − z = 1
 3x+ y − z = 4

 2x−
a
y+ z = 2


us
temas:
 
 2x−
 y+ 2z = 1 
 x+ y −z = 0
x− z= 2 ; 2x+ y =2
 x− 2y+ 7z = −4
 
 x+ 2y +z = 1
m
Problema 10 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

sistemas:
 
 2x−
 y+ 2z = 1  x+ y −z = 0
w.

x− z= 2 ; 2x+ y =2
x− 2y+ 7z = −4
 
  x+ 2y +z = 1

sistemas:
ww
 

 x− y+ z = 1 
 x− y− z = 2
2x+ z=1 ; 2x+ y− z = 1
 
 x+ 3y− z = 5  x− y+ 2z = 3

sistemas:
 

 x− 2y+ z = 1 
 x+ y+ z = 2
2x+ y− 2z = 2 ; 2x− y− z = 1

 3x− 
y− z = 3  x+ y− 2z = 0
1.1. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES 7

sistemas:  
 x− y−
 z=0 
 x+ y+ z = 1
2x+ y+ z=4 ; 3x− 2y− 2z = 3

 3x− y+ 
z=3  4x− y− z = 8
et
sistemas:  
 x+
 y+ z = 5  x+ y−
 z=3
x− 3y+ z = 4 ; 3x+ y− 2z = 5
t.n

 2x+ 
y− z = 2  2x− z=2

sistemas:
 

 x+ 2y− z = −1 
 x+ y+ z = 3

x− y
 2x+ y−
=1 ;
z=0
a 
x− y+ 2z = 2
 2x+ y− z=4
us
sistemas:
 

 x− y− z = 0 
 x+ y+ z = 2
2x+ y− z = 2 ; 3x− y+ 2z = 3
 
 x− 2y+ z = 3  2x− 2y+ z = 7
m

sistemas:
 
w.
 3x−
 y− z=1 
 x+ y− z = 1
x+ y+ z=2 ; 3x− y+ z = 0
2x− 2y− 2z = −1
 
  x+ y− 2z = 1

sistemas:
ww
 

 x+ 2y− z = 1 
 x+ y + z = 1
2x− y− z = 0 ; x+ 2y − z = 2

 3x+ 
y+ 2z = 2  2x+ 3y =4

sistemas:
 

 x− y =2 
 x− 2y+ z=1
−x+ 2y+ 3z = −1 ; y− z=1

 x+ y+ 6z = 4  3x+ 2y+ z = −1


sistemas:
 

 x− y =2 
 x− 2y+ z=1
−x+ 2y+ 3z = −1 ; y− z=1

 x+ y+ 6z = 4  3x+ 2y+ z = −1

et
sistemas:
t.n
 

 x+ y+ z = 6 
 x+ y− z = 2
x − 2z = −5 ; 2x− y+ z = 0

 2x− y+ 2z = 
6  x− 5y+ 5z = 1
a
us
sistemas:
 

 x+ 3y− z = 0 
 x+ y+ 3z = 2
2x+ y+ 4z = 1 ; 2x− y+ 2z = −1
5y− 6z = −1
 
 3x+ 2y+ 7z =
 5
m

sistemas:
w.
 
 2x+
 y− 2z = 5 
 x− y+ z= 2
x− y− 2z = 0 ; 2x+ y− 4z = −1
−4x− 5y+ 14z =
 
 3x− 2y− 3z = 4  9
ww

sistemas:
 

 x− 2y+ z = 1 
 x+ y+ z = 2
2x+ y− 2z = 2 ; 2x− y− z = 1

 3x− 
y− z = 3  x+ y− 2z = 0
1.2. LOGARITMOS Y EXPONENCIALES 9
1.2. Logaritmos y exponenciales

Problema 25 Calcular:
1. log(x2 + 2) − log x = 1
2. 4x−1 + 2x − 1 = 0
et
Problema 26 Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
1. 3 · 22x−1 − 2x+1 − 2 = 0
2. 3x+2 − 3x+1 − 1 = 0
t.n
Problema 27 Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
1. 3 · 22x+2 − 2x+1 − 6 = 0
2. 5x−1 − 5x+1 + 1 = 0
a
Problema 28 Resolver las ecuaciones:
us
1. ln(1 − x) − ln x = 1
2. log(5 − x2 ) − log x = 1 + log(x + 1)
3. log x − log(x2 − 2) = 1 − log x

m
1. ln x − ln(1 − x) = 1
2. log(7 − x2 ) − log x = 1
w.
3. log(2x + 3) + log x = −1
1. log(x + 1) − log x = 1
ww
2. log(x + 3) + log x = −1
3. log(3 − x2 ) − log(2x) = 1
1. log x − log(x − 3) = log(2x)
2. log x − log(x − 1) = 2
3. log(2 + x2 ) − log x = 1
1. log x2 − log(x + 1) = 1 + log(x − 1)
2. log(3x + 5) − log x = 2
3. log(x + 1) + log(x − 1) = log(25x) − 2
et
1. log(x + 1)2 − log x = 1 + log(2x)
2. log(2x + 1) − log x = 3
t.n
3. log(x + 1) + log(x − 1) = 2 + log x
1. log(x + 3) + log x = 2 log(x + 1)
a
2. log(4x + 1) + log(2x) = 2
us
3. log(3x − 1) − log(x + 2) = 1 + log x
1. log(3x − 1) + log(x − 1) = 1 + log x

m
2. log(4x + 3) − log x = 1
3. log(x − 2) − log(x + 3) = 1 + log x

w.
1. ln(1 − x) − ln x = 1
2. log(5 − x2 ) − log x = 1 + log(x + 1)
3. log x − log(x2 − 2) = 1 − log x

ww
1. ln x − ln(1 − x) = 1
2. log(7 − x2 ) − log x = 1
3. log(2x + 3) + log x = −1
1. log(2 − x) − log(x − 1) = 2
1.2. LOGARITMOS Y EXPONENCIALES 11
2. log(3 − x2 ) − log x = 1 + log(x + 2)
2 −1
3. 4x · 2x+5 = 32x+1
4. 4x−2 − 2x+1 − 3 = 0
et
t.n
1. log(5 − x) − log(x + 1) = 2
2. log(5 − x2 ) − log x = 1 + log(x − 1)
3. 2 log(3 − x) − 1 = log x a
us
2 −1
4. 2x · 4x−5 = 32x+1
5. 9x−1 − 3x+1 − 3 = 0
m

w.
1. log(x + 1)2 − log x = 1 + log(2x)
2. log(2x + 1) − log x = 3
ww
3. log(x + 1) + log(x − 1) = 2 + log x
2 −1
4. 3x · 9x−5 = 27x+1
5. 32x−1 + 3x+1 − 1 = 0
1.3. Inecuaciones
Problema 41 Resolver las siguientes inecuaciones:
x2 − 2x − 15 x−1
≤ 0, ≥0
x−1 x2 + 3x + 2
Problema 42 Resolver las inecuaciones siguientes:
et
3x − 1 x x
1. − ≥1−
2 3 2
x2 − 2x − 15
t.n
2. ≤0
x2 + x − 2
2x − 1 x + 1 x
1. + ≥1−
3 2 2
2.
x2 + x − 2
x2 + 2x − 15 a
≤0
us
x 2x + 1 x−1
1. − ≤
2 6 3
x2 − x − 2
2. ≤0
m
x2 + 2x − 3
x−1 x x+3
1. − ≤
w.
5 10 2
x2 − 2x − 3
2. ≥0
x2 + x − 2
ww
x+1 x+2 x
1. − ≤1−
3 8 12
x2 − 2x − 35
2. ≥0
x2 + x − 6
3x + 1 x x−1
1. − ≤1+
2 3 8
x2 − 2x − 3
2. ≤0
x+5
1.3. INECUACIONES 13
x 3x + 2 2x − 1
1. − ≥2−
2 5 10
x2 − 5x + 6
2. ≤0
x+1
et
x 3x + 2 x+1
t.n
1. − ≤1−
4 3 12
x2 + 3x + 2
2. ≥0
x−1
3x − 1 x x
a
us
1. − ≥1−
2 3 2
x2 − 2x − 15
2. ≤0
x2 + x − 2
m
2x − 1 x + 1 x
1. + ≥1−
3 2 2
w.
x2 + x − 2
2. ≤0
x2 + 2x − 15

ww
5x + 1 x − 3 x−3
1. − ≤1−
3 6 2
x2 − 4x − 21
2. ≥0
x2 + 4x − 12
x2 + 6x − 7
3. ≤0
x2 + 3x + 2
1.4. Ecuaciones no lineales y sistemas

√ √
1. x + 1 − x − 1 = 1
(
x2 − 2y 2 = 1
2.
x+y =2
et
√ √
1. x − 1 − x + 1 = 2
t.n
√ √
2. x + 3 − x + 2 = 1
√ √
3. 2x + 1 − x + 3 = 1

√ √
1. x − 3 + x − 1 = 1
√ √
2. x + 4 − x − 5 = 2
a
us
√ √
3. 3x + 1 + x + 1 = 2
Problema 56 Resolver el siguiente sistema

(
x·y =2
m
2x − y = 3

(
x2 + y 2 = 1
w.
x+y =0

(
x·y =6
ww
x + 3y = 11

(
x2 + y 2 = 1
x + 2y = 0

(
(x + 2)(y + 2) = 9
xy = 1
1.4. ECUACIONES NO LINEALES Y SISTEMAS 15
(
(x + 2)(y − 3) = 5
x · y = 12
et
(
x2 + y 2 = 2
2x − y = 1
t.n
(
x·y =6
a x + 2y = 8
us
(
x·y =2
2x − y = 3
m
(
x2 + y 2 = 1
w.
x+y =0
Problema 66 Resolver los siguientes sistemas:

ww
( (
x·y =2 x2 + 2y 2 = 6
;
3x + 2y = 7 x − 2y = 0
Problema 67 Resolver los siguientes sistemas:
( (
x2 + 2y 2 = 19 x · y = 10
;
3x − y = 0 5x − y = 5
1.5. Ecuaciones Polinómicas
Problema 68 Resolver las ecuaciones polinómicas siguientes:
et
x+1 x 1
1. − =1−
t.n
x2 + 2x − 3 x + 3 1−x
2.
x−3
−
1
a
x2 − x − 2 2 − x
=2−
1
1+x
us
m
Problema 69 Resolver las ecuaciones polinómicas siguientes:

w.
2x + 3 1 1
1. − =2−
x2 + 2x − 15 3 − x x+5
ww
x+5 x x
2. − =2−
x2 − 3x − 4 x + 1 4−x
1.6. VARIOS 17
1.6. Varios
Problema 70 Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones:
1. ln(2 − x) − ln(x + 2) = 1
2. 22x−1 − 2x − 1 = 0
et
2x − 5 x 2
3. −1= −
x2 − 4x − 21 x+3 7−x
x2 − 4x − 21
4. ≤0
x+1
t.n
√ √
5. x + 3 + x = 2

√
1. 2x − 1 = x − 2
2. log(1 − x) − log x = 2
3. 2x−1 + 2x+1 − 1 = 0
a
us
1. log(x2 − 1) + 1 = 2 log(x − 2)
2. 22x−1 + 2x+2 − 1 = 0
m
x−1 1 1
3. − =1−
x2 − 2x − 15 x + 3 x−5
x2 + 2x − 15
≥0
w.
4.
x2 − 8x + 7
√ √
5. x + 4 − x − 1 = 1
√ √
6. 2x − 1 − x − 1 = 2
ww
1. log(x2 − 1) + 1 = 2 log(x − 2)
2. 22x−1 + 2x+2 − 1 = 0
x−1 1 1
3. − =1−
x2 − 2x − 15 x + 3 x−5
x2 + 2x − 15
4. ≥0
x2 − 8x + 7
√ √
5. x + 4 − x − 1 = 1
√ √
6. 2x − 1 − x−1=2
1. log(20x2 + 10) − 1 = 2 log(x + 3)
2. 32x+1 + 3x−1 − 2 = 0
et
1 x−1 1
3. 1 − = −
x2 − 6x − 7 x+1 x−7
x2 − 6x − 7
4. ≤0
x2 − x − 6
t.n
√ √
5. x + 3 + x + 2 = 2
√ √
6. 2x − 1 − x − 1 = 1
a
1. log(x2 + 14x + 14) − 1 = log(x + 1)
2. 32x−1 + 3x+1 − 1 = 0
us
2 1 2
3. − =1−
x2 −x−6 x+2 x−3
x2 + 4x + 3
4. ≥0
x2 − 5x + 6
m
√
5. x2 + 8 − x = 2
√ √
6. x + 1 − x − 2 = 1
w.
1. log(x + 1) − 1 = log(x2 − 1)
2. 52x+1 − 5x − 2 = 0
ww
x 1 1
3. − =1−
x2 + x − 2 x + 2 x−1
x2 + 6x − 7
4. ≤0
x2 + 2x − 15
√
5. x − x2 + 15 = −3
√ √
6. x − 2 + x + 3 = 5
1. log(2 − x) − log(x − 1) = 2
1.6. VARIOS 19
2. log(3 − x2 ) − log x = 1 + log(x + 2)

2 −1
3. 4x · 2x+5 = 32x+1
4. 4x−2 − 2x+1 − 3 = 0
et
a t.n
us
m
w.
ww
et
t.n
a
us
m
w.
ww
Capı́tulo 2
et
Geometrı́a
t.n
2.1. Trigonometrı́a
2.1.1. Razones trigonométricas
a
Problema 78 Sabiendo que tan α = 2, calcular el resto de las razones
trigonométricas; teniendo en cuenta que α pertenece al tercer cuadrante.
us
1
Problema 79 Teniendo en cuenta que sin α = 3 y que α pertenece al
primer cuadrante, calcular:
sin(α + 30o ); sin(α + 45o ); cos(α − 60o ); tan(60o − α)

m
Problema 80 Hallar las razones trigonométricas de α sabiendo que sec α =

3 y α ∈ 4o Cuadrante.
Problema 81 Demuestra que

w.
sin3 x cos x + cos3 x sin x 1

=
sin 2x 2
Problema 82 Sabiendo que csc α = 3 y que α pertenece al segundo cua-
drante, calcular el resto de las razones trigonométricas.
ww
Problema 83 Simplificar:
5π π 7π 11π

sin − α + cos α − + sin + α + cos +α
2 2 2 2
Problema 84 Sabiendo que csc α = 2 y que α pertenece al segundo cua-
Problema 85 Resolver la ecuación trigonométrica siguiente:
sin 2x = 2 cos x
21
22 CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA
Problema 86 Resolver la ecuación trigonométrica siguiente:
cos2 x − sin2 x = 1
Problema 87 Sabiendo que tan α = −4 y que α pertenece al segundo cua-

et
π
Problema 88 Si csc α = 3 y α ∈ 2,π calcula las restantes razones
trigonométricas de α.
2 sin3 x + sin 2x cos x

Problema 89 Demostrar que =1
2 sin x
t.n
Problema 90 Resolver la ecuación trigonométrica
sin 2x cos x + cos 2x = 2 sin x + 1

1
Problema 91 Si cot α = − y α ∈ π2 , π calcula las restantes razones

a
trigonométricas de α.
5
Problema 92 Demostrar que tan α sin 2α + cos 2α = 1

us
Problema 93 Resolver la ecuación trigonométrica
cos 2x + cos x sin 2x = 2 sin x + 1

π

m
Problema 94 Encontrar todas las razones trigonométricas de α ∈ ,π ,

2
3
sabiendo que cot α = −
2
Problema 95 Resolver la siguiente ecuacción trigonométrica
w.
cos 2x + 5 cos x + 3 = 0
1
Problema 96 Demostrar que: cot 2x = (cot x − tan x)
2
ww
3π

Problema 97 Encontrar todas las razones trigonométricas de α ∈ π, ,
2
sabiendo que tan α = 2
π

2
3
sabiendo que tan α = −
2
3 sin2 x + cos2 x + sin x − 2 = 0

2.1. TRIGONOMETRÍA 23
sin 2x
Problema 100 Demostrar que: cos2 x =
2 tan x
Problema 101 Resolver la siguiente ecuación trigonométrica
2 cos 2x + 5 sin x − 3 = 0
π

et
2
1
sabiendo que tan α = −
2
t.n
cos 2x + cos x = 0
3π

2
sabiendo que tan α = 2
a
Problema 105 Encontrar todas las razones trigonométricas de α ∈
1
π
2

,π ,

us
4
8 cos2 x + 2 sin x − 7 = 0
m
Problema 107 Demostrar que:

cos 2x sin 2x −1
− =
cos x sin x cos x
w.
π

2
1
3
ww
−6 cos2 x + sin x + 4 = 0

cos 2α 1
= (cot α − tan α)
sin 2α 2
3π

2
3
sabiendo que tan α =
2
et
6 cos2 x + 7 sin x − 8 = 0
a t.n
us
m
w.
1
cot 2α = (cot α − tan α)
2
ww
2.1.2. Resolución de triángulos

Problema 114 Resolver el triángulo no rectángulo del que conocemos dos
de sus ángulos A = 65o , C = 35o , y uno de sus lados b = 15. Calcular
finalmente su área.
Problema 115 Dos personas separadas por una llanura de 2Km, observan
et
un globo aerostático con ángulos de 30o y 45o respectivamente. Hallar la
altura a la que vuela dicho artefacto.
Problema 116 Dado el triángulo
a t.n
1. Resolverlo sabiendo que a = 3, b = 5 y C = 30o , calcular también su
us
área.
2. Demostrar el teorema del seno.

m
w.
1. Resolverlo sabiendo que a = 4, b = 6 y C = 30o , calcular también su

área.
ww
2. Demostrar el teorema del seno.
Resolverlo sabiendo que a = 5, b = 6 y C = 135o .
Problema 119 Acaban de colocar una antena de 7 metros en lo alto de un

edificio. Observas el extremo superior de la antena con un ángulo de 85o ,
mientras que su base la observamos con 80o . Calcular la altura del edificio
y la distancia que te separa de él.
et
Problema 120 Resolver un triángulo no rectángulo del que conocemos dos
de sus lados a = 10, b = 16 y uno de sus ángulos C = 105o , que no es el
opuesto a ninguno de estos lados.
t.n
Problema 121 Desde el fondo de un desfiladero observamos a Isaac en su
nuevo entretenimiento, el de equilibrista. Tratará de cruzar el desfiladero
por todo lo alto. Le observamos desde abajo con un poco de pesimismo.
Podemos ver un extremo de la cuerda con un ángulo de 80o y el otro con
un ángulo de 70o . Si sabemos que el desfiladero tiene 300 metros de ancho
a
calcular a que altura se encuentra nuestro amigo.
us
Problema 122 A dos puertos, separados longitudinalmente por 20 Km, se
reciben a la vez señales de socorro de un barco que se encuentra en alta
mar. El puerto A recibe la señal con un ángulo de 75o mientras que el B
lo recibe con un ángulo de 60o . También se sabe que el barco está entre los
dos puertos, pero pérdido dentro del mar, y se pide calcular a que distacia
m
se encuentra de ellos.
Problema 123 Resolver un triángulo no rectángulo del que conocemos dos

de sus lados a = 16, c = 9 y uno de sus ángulos B = 115o , que no es el
w.
opuesto a ninguno de estos lados.
Problema 124 Un paracaidista de acrobacias en una exhibición sabe que,

en su caida libre desde el avión tiene que abrir el paracaı́das cuando su
altı́metro le indique que le quedan 300 m. para llegar al suelo. Suponemos
ww
que en el momento que se lanza el avión se encuentra en suspensión (sin

movimiento) y lo observamos con un ángulo de 15o , cuando abre el paracaı́-
das le vemos con un ángulo de 5o . Se pide calcular la altura desde la que se
ha lanzado y la distancia que recorreremos para encontrarnos con él.
Problema 125 Dos destructores detectan un submarino, que se encuentra

sumergido en la lı́nea que separa a ambos, y que es de 5 Km. Uno de ellos
lo detecta con un ángulo de 35o y el otro de 20o . Los tres se encuentran
parados y preparan sus torpedos, tan sólo les queda calcular la distacia
hasta su enemigo, el primero que la calcule será el que sobrevirá. Se pide
que las calcules.
Problema 126 Resolver un triángulo no rectángulo del que se conocen sus

tres lados: a = 4 cm, b = 3 cm y c = 6 cm.
Problema 127 Dos barcos pesqueros que se encuentran faenando y sepa-

rados por una distancia de 100 Km empiezan a recibir una señal de socorro.
Rápidamente se ponen en contacto los capitanes de ambos barcos para si-
tuar el origen de la señal, para ello trazan una lı́nea entre ambos, y sobre
et
esa lı́nea uno de ellos recibe la señal con un ángulo de 70o , mientras que el
otro la recibe con un ángulo de 60o . Calcula las distancias que separan a
estos dos barcos del origen de la señal.
t.n
Problema 128 Resolver un triángulo no rectángulo del que se conocen sus
tres lados: a = 10 cm, b = 4 cm y C = 35o
a
us
m
Problema 129 Dos aeropuertos A y B reciben la señal de un avión, que

está pidiendo un aterrizaje forzoso por la averia de uno de sus motores. El
aeropuerto A recibe la señal con un ángulo de 35o y el B con 20o , ambos me-
didos con la horizontal. Si los aeropuertos están separados por una distancia
w.
de 200 Km, calcular la distancia desde cada aeropuerto al avión.
Problema 130 Resolver un triángulo no rectángulo del que se conocen:

a = 4 cm, b = 6 cm y C = 40o .
ww
Problema 131 Dos amigos aficionados a la astronomı́a y, que se encuen-

tran separados por una distancia de 1000 Km, están observando un foco
de luz que, por una causa desconocida habı́a aparecido en el firmamento
en medio de las estrellas. Ese objeto luminoso se confunde con lo que serı́a
una nueva estrella desconocida, por lo que deciden investigar. Uno de ellos
apunta con su telescopio bajo un ángulo de 85o , mientras que el otro lo hace
con un ángulo de 87o . Calcular la distancia de cada uno de ellos al objeto
en cuestión. ¿Se tratará de una estrella?

a = 5 cm, b = 4 cm y C = 40o .
Problema 133 Dos amigos aficionados a la arqueologı́a se encuentrar a

bordo de un pequeño submarino para investigar un galeotote undido en el
mar Mediterraneo. Se sumergieron con un ángulo de 15o sobre la horizontal,
estubieron trabajando en el fondo, y empezaron el ascenso con un ángulo
de 23o . Cuando salieron a la superficie estaban a 10 Km del lugar donde
iniciaron la inmersión. Calcular los Kms que han recorrido tanto de descenso
como de ascenso.
et
a = 10 cm, b = 4 cm y C = 35o .
t.n
a = 15 cm, b = 33 cm y C = 28o .
a
us
Problema 136 Un barco observa la luz de dos faros de la costa, que se
m
encuentran separados por una distancia de 40 Km, y las luces inciden en

dicho barco con un ángulo de 33o . El capitán sabe que se encuentra a 50
Km del faro más cercano. Se pide, calcular la distancia desde el barco al
otro faro y los ángulos del triángulo formado.
w.
Problema 137 En una llanura inmensa, Esteban y Mario se encuentran se-

parados por una distancia de 20 Km. La aparición de un OVNI suspendido
en el aire en la dirección que los separa les sorprende de forma asombrosa.
Se comunican por sus teléfonos móviles la siguiente información: Esteban
ww
observa el artefacto bajo un ángulo de 15 o y Mario lo observa con un

ángulo de 25o . ¿A qué altura se encuentra el OVNI?

a = 11 cm, b = 23 cm y C = 31o .
Problema 139 Los alumnos de 1o de Bachillerato, del colegio Villaeuropa

de Móstoles, se encuentran de excursión por Aranjuez, donde han ido a mon-
tar en globo aerostático.
Se encuentran en una llanura enorme. Luis acaba de descender del globo

y observa a Tania con unos anteojos, que está subiendo en otro globo en
ese momento; por la lectura de su aparato de observación sabe que entre
ellos dos hay una distancia de 8 Km. Otro globo se encuentra en el aire,
circulando entre ellos dos rectilı́neamente, en él van Cintia y Cristina. Luis
lo ve bajo un ángulo 20o y Tania con un ángulo de 35o .
¿Qué distancia hay desde el globo hasta Tania y hasta Luis?
et
Problema 140 Si seguimos con el enunciado del problema anterior resulta
que en un cierto momento el globo cae verticalmente, pero con suavidad,
hasta llegar al suelo, debido a un problema técnico. Calcular la altura a la
t.n
que volaba el globo, y la distacia a la que se encuentra el globo de Luis y de
Tania, después de ese aterrizaje forzoso.
a = 12 cm, b = 25 cm y C = 36o .
a
us
m
Problema 142 El primer dı́a de clase después de unas vacaciones los alum-
nos de 1o de Bachillerato se cuentan sus aventuras vacacionales. Entre estas
historias hay alguna muy poco creı̀ble, pero hay que demostrarlo. La más
w.
sorprendente fue la de los náufragos: Sergio y Pablo se encuentran separados

por una distancia rectilı́nea de 25 Km en medio del mar. Están alojados en
balsas salvavidas. La suerte se ha aliado con ellos y han sido avistados por
una avioneta que, en estos momentos, se encuentra entre ellos y en esa lı́nea
recta. Sergio observa la avioneta con un ángulo de 65o mientras que Pablo
ww
la ve bajo un ángulo de 55o . Para analizar la situación se pide calcular la

distancia que, en ese momento, hay desde cada uno de ellos a la avioneta.
Problema 143 Seguimos con el enunciado del problema anterior y no te-
nemos en cuenta sus resultados. En un cierto momento la avioneta suelta
un paquete de supervivencia (el único que lleva) que suponemos cae verti-
calmente entre estos dos alumnos. Para analizar la situación se pide calcular
la altura desde la que la avioneta suelta el objeto y la distancia que tienen
que recorrer Sergio y Pablo para llegar al paquete.
Con los datos obtenidos debemos preguntarnos: ¿Nos han contado una trola?
2.2. Geometrı́a analı́tica

2.2.1. Vectores
Problema 144 Hallar todos los vectores perpendiculares a →
−
u = (−3, −4)
que tengan módulo 20.
et
Problema 145 Sean A(−1, −2), B(3, 1) y C(4, 6), cuatro vértices consecu-
tivos de un paralelogramo. Se pide:
1. Calcular el cuarto vértice D.
t.n
2. La longitud de sus lados.
3. Los ángulos que forman.
4. El centro.
−−→
a
5. Encontrar un vector de módulo 7 que sea perpendicular a AB.
Problema 146 Sean A(−1, −1), B(3, −2) y C(5, 3) tres vértices consecu-
us

m
4. Su centro.
−−→
w.
Problema 147 Sean A(−1, 0), B(2, −3) y C(4, 6) tres vértices consecutivos
de un paralelogramo. Se pide:

ww
4. Su centro.
−−→
Problema 148 Sean A(0, −1), B(5, 1) y C(7, 5) tres vértices consecutivos

2.2. GEOMETRÍA ANALÍTICA 31
4. Su centro.
5. El punto simétrico de A respecto de C
et
−−→
6. Dos vectores perpendiculares al AB que tengan módulo 8.
7. Calcular la altura del paralelogramo sobre la base que determinan los

puntos A y B.
t.n
8. Calocular el área del paralelogramo.
9. Calcular las rectas que determinan sus lados.
10. Calcular las rectas de sus diagonales. ¿Se cortaran en el punto que
habı́amos calculado anteriormente?
a
Problema 149 Sean A(−1, −2), B(3, 1) y C(5, 7) tres vértices consecutivos
us

m
4. Su centro.
5. La altura sobre el lado AB.

w.
6. Su área.

−−→
8. Un vector con la misma dirección y sentido que AB con módulo 9.
ww
9. Dividir el segmento AC en tres segmentos iguales.

−−→
10. Calcular un vector perpendicular a BC
Problema 150 Sean A(−1, −1), B(2, −2) y C(4, 5) tres vértices consecu-

4. Decidir de que figura geométrica se trata.
5. Su centro.
6. La altura sobre el lado AB.
7. Su área.
et
−−→
9. Un vector perpendicular a AB con módulo 9.
10. Dividir el segmento AC en tres segmentos iguales.
t.n
2.2.2. Rectas
Problema 151 Dado el triángulo de vértices A(1, 3), B(3, −1), C(−1, 3)
halla la ecuación de sus tres mediatrices y comprueba que se cortan en un
único punto, llamado circuncentro.
a
Problema 152 sean A(−2, −2), B(5, 1) y C(1, 5) los vértices de un triángu-
us
lo, se pide:
1. Las ecuaciones de las rectas que unen sus lados.
3. Las ecuaciones de sus mediatrices.

m
4. El circuncentro.
Problema 153 Calcula la distancia del punto P (2, 3) a la recta r en los

w.
siguientes casos:
1. r : y = 3x − 2
(
x= 1+ 2t
ww
2. r :
y= 2- t
3. r : 3x + 4y − 5 = 0
Problema 154 Calcula el ángulo formado por las rectas:
1.
r1 : 3x − y + 1 = 0
s1 : 2x + 3y + 4 = 0
2.
(
x= 2+ λ x−1 y+2
r1 : r2 : =
y= 2- 3λ 3 2
Problema 155 Los puntos A(−2, −1), B(1, 4) y C(3, 1) forman un triángu-
lo, se pide:
et
1. Calcular el circuncentro (punto en el que se cortan las mediatrices).
2. Calcular sus ángulos y la longitud de sus lados.
t.n
3. Calcular la altura del vertice B.
Problema 156 Calcular el ángulo que forman las rectas

x−1 y+1
a) r : = , s : 2x + y − 1 = 0
−2 3
b) r :
(
x=1−λ
y =2+λ
a
s : 3x + y + 1 = 0
us
Problema 157 Calcular la distancia del punto A(3, −1) a las rectas:
x−1 y+2
a) r : =
3 2
m
(
x=1−λ
b) r :
y = 2λ
c) r : 2x + 3y − 3 = 0
w.
Problema 158 Expresa de todas las maneras que conozcas la ecuación de

la recta que pasa por los puntos A(1, 0) y B(4, 5), calcula después el ángulo
que forma con el eje de abcisas.
Problema 159 Se pide:

ww
(
x=1−λ
1. Calcular la distancia del punto A(3, 7) a la recta r :
y =2+λ
2. Calcular el ángulo que forman las rectas

x+1 y−2
r: = , s : 3x + y − 1 = 0
−1 2
x−3 y+2
Problema 160 Dada la recta = encontrar los puntos de ella
1 2
que distan 3 unidades del origen de coordenadas.
Problema 161 Sean A(−1, −2), B(3, 1) y C(4, 6), los vértices consecutivos
de un triángulo. Se pide:
1. Las ecuaciones de las rectas que determinan sus lados.
2. Las ecuaciones de dos de sus mediatrices.
3. El circuncentro.
et
(
x=1+λ
1. Calcular la distancia del punto A(2, −5) a la recta r :
t.n
y = −1 + λ

x−1 y+1
r: = y s : x − 2y + 1 = 0
2 −1
a
Problema 163 Sean A(−1, 0), B(3, −1) y C(0, 5), los vértices consecutivos
us
3. El circuncentro.
m

x+1 y−2
1. Calcular la distancia del punto A(−1, −4) a la recta r : =
2 1
w.

(
x=1+λ
r: y s : x − 2y + 1 = 0
y = −1 + λ
ww
Problema 165 Sean A(1, 1), B(4, 0) y C(2, 5), los vértices consecutivos de
un triángulo. Se pide:
3. El circuncentro.
Problema 166 Sean A(−1, 1), B(5, 0) y C(3, 4), los vértices consecutivos
3. El circuncentro.
Problema 167 Encontrar todas las ecuaciones de la recta que pasa por los
puntos A(−1, 3) y B(5, 2). Y calcular el ángulo que forma esta recta con el
eje de abcisas.
et
(
x=1−λ
Problema 168 Dadas las rectas r : 3x − y + 2 = 0 y s : ,
y=λ
calcular el ángulo que forman.
t.n
Problema 169 Calcular la distancia desde el punto A(3, 1) a la recta r :
3x − 8y − 5 = 0
Problema 170 Encontrar el punto simétrico de A(1, −1) respecto de la

recta r : x + 3y − 2 = 0.
a
Problema 171 Si los puntos A(1, 0), B(5, −2) y C(4, 6) tres vértices con-
secutivos de un triángulo, encontrar su circuncentro.
us
Problema 172 Sean las rectas r : 3x − y + 3 = 0 y s : x − 3y − 1 = 0.
Comprobar que se cortan y, en caso afirmativo, calcular las rectas bisectrices
de sus ángulos.
Problema 173 Encontrar todas las ecuaciones de la recta cuya ecuación

m
general es 3x + y − 1 = 0. Y calcular el ángulo que forma esta recta con el

eje de abcisas.
Problema 174 Si los puntos A(−1, 0), B(7, 2) y C(3, 6) tres vértices con-
secutivos de un triángulo, se pide calcular:
w.
1. Su circuncentro.
2. La altura de C sobre el lado AB. (Distancia de C a la recta determi-

nada por los puntos A y B.
ww
Problema 175 Sea el punto A(3, 6) y la recta r : x − 2y + 5 = 0. Se pide

calcular:
1. Una recta paralela a r que pase por el punto A.
2. Una recta perpendicular a r que pase por el punto A.
3. El punto A00 simétrico de A respecto de la recta r.

(
x=1+λ
Problema 176 Dadas las rectas r : x + 5y − 2 = 0 y s : , se
y = 2λ
pide calcular:
1. Su punto de corte.
2. Ángulo que forman.
3. Sus bisectrices.
et
Problema 177 Encontrar todas las ecuaciones de la recta cuya ecuación
general es 2x − 3y + 6 = 0. Y calcular el ángulo que forma esta recta con el
eje de abcisas.
t.n
Problema 178 Si los puntos A(−1, 2), B(4, −1) y C(1, 6) tres vértices con-
secutivos de un triángulo, se pide calcular:
1. Su circuncentro.
a
2. La altura de C sobre el lado AB. (Distancia de C a la recta determi-
us
nada por los puntos A y B.
Problema 179 Sea el punto A(5, 1) y la recta r : 3x − y + 2 = 0. Se pide

calcular:
m
1. Una recta paralela a r que pase por el punto A.
2. Una recta perpendicular a r que pase por el punto A.

w.
3. El punto A00 simétrico de A respecto de la recta r.
(
x = 1 + 2λ
ww
Problema 180 Dadas las rectas r : x + y − 2 = 0 y s : , se

y=λ
pide calcular:
1. Su punto de corte.
2. Ángulo que forman.
3. Sus bisectrices.
2.3. CÓNICAS 37
2.3. Cónicas
Problema 181 Calcula la ecuación de la recta tangente a la circunferencia
3x2 + 3y 2 + x − 5y − 2 = 0 en el punto P (−1, 0).
Problema 182 (2 puntos) Calcular la ecuación de la elipse de excentricidad

1
e = y cuya distancia focal es 4.
et
4
Problema 183 Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos A(0, 1), B(2, 0) y C(2, 2), y las ecuaciones de las rectas tangente y
normal en el punto C.
t.n
Problema 184 Encontrar el centro y el radio de las posibles circunferen-
cias:
1. x2 + y 2 − 10x + 8y − 4 = 0
2. x2 + y 2 − 2x − 2y + 15 = 0
a
Problema 185 Calcular la ecuación de una circunferencia que pase por los
us
puntos A(−1, 1), B(2, 2) y C(2, 0).
Problema 186 calcular la ecuación de una elipse de centro C(0, 0), cuyos
focos son F 0 (−4, 0) y F (4, 0), y tiene una excentricidad de 0, 8.
Problema 187 Calcular el lugar geométrico de los puntos P (x, y) que cumplen
m
que, la distancia de él al punto A(1, 1) es igual a la distancia de él a la recta

x + 1 = 0.
Problema 188 Calcular las rectas tangente y normal a la curva

w.
x2 + y 2 − 4x − y + 3 = 0
en el punto A(1, 1).
Problema 189 Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los

ww
puntos A(1, 0), B(5, 1) y C(0,3).
Problema 190 De una hipérbola se conoce su eje principal que vale 10 y

tiene una excentricidad e = 1, 4. Encontrar sus focos, su ecuación general,
sus ası́ntotas y su dibujo aproximado.
Problema 191 Encontrar el lugar geométrico de los puntos P (x, y), que
cumplen que, la distancia de ellos a la recta x − y − 1 = 0 y la distancia
de ellos al punto A(−1, 0), es siempre la misma. Identifica por definición de
que figura geométrica se trata y encuentra una las rectas tangente y normal
a ella en el punto (−8, 1).
Problema 192 Dada una elipse de focos (−3, 0) y (3, 0) con una excentri-
cidad e = 3/5, encontrar la ecuación de una circunferencia cuyo diámetro
coincida con el eje mayor y su centro es el el punto en el que corta esta elipse
y el eje de ordenadas (OY ).
x−1 y+1
2 −1
et
puntos A(−1, −1), B(2, 0) y C(0, 5)
t.n
Problema 195 Dada una elipse de focos (−4, 0) y (4, 0) con una excentri-
cidad e = 4/5, encontrar la ecuación de una circunferencia cuyo diámetro
coincida con el eje mayor y su centro es el punto en el que corta esta elipse
y el eje de abcisas (OX).
a
Problema 196 De una hipérbola se conoce su eje principal que vale 8 y
tiene de excentricidad 1,5. Encontrar sus focos, su ecuación general, sus
us
ası́ntotas y su dibujo aproximado.
cumplan que, la distancia de ellos a la recta x + y = 0 y la distancia de
ellos al puntoA(2, 0), es siempre la misma. Identifica de que figura
√ se trata
y encuentra las rectas tangente y normal a ella en el punto (1, 5).
m
x−2 y+1
1 2
w.
puntos A(2, 2), B(1, 0) y C(0, 3)
Problema 200 De una elipse horizontal y centrada en el origen se conoce

ww
su excentricidad 0,5 y el semieje mayor que es 2 cm. Calcular sus focos,

vértices, ejes, distancia focal y ecuación.
Problema 201 De una hipérbola horizontal y centrada en el origen se

conoce su excentricidad 1,5 y el semieje real que es 2 cm. Calcular sus focos,
vértices, ejes, distancia focal, ası́ntotas y ecuación.
cumplan que, la distancia de ellos a la recta x − y = 0 y la distancia de
ellos al punto A(1, 0), es siempre la misma. Identifica de que figura se trata
y encuentra las rectas tangente y normal a ella para x = 1.
2.3. CÓNICAS 39
Problema 203 De una elipse horizontal y centrada en el origen se conoce

su excentricidad 0,25 y el semieje mayor que es 8 cm. Calcular sus focos,
vértices, ejes, distancia focal y ecuación.
Problema 204 De una hipérbola horizontal y centrada en el origen se

conoce su excentricidad 1,5 y el semieje real que es 4 cm. Calcular sus focos,
vértices, ejes, distancia focal, ası́ntotas y ecuación.
et
cumplan que, la distancia de ellos a la recta x − 2y = 0 y la distancia de
ellos al punto A(1, 0), es siempre la misma. Identifica de que figura se trata
t.n
y encuentra las rectas tangente y normal a ella para x = 1.
Problema 206 Un cuerpo extraño a nuestra constelación ha irrumpido de

forma violenta en ella, penetrando con una velocidad vertiginosa. Diferentes
organismos internacionales dedicados al estudio de la astronomı́a se pusieron
en contacto con el observatorio de las Islas Canarias (en el Teide) , desde
a
donde se dio la alarma de este suceso. Dos jóvenes astrónomos , antiguos
alumnos del colegio Villaeuropa, era los guardianes del cielo. La comuni-
us
cación que dieron a la NASA fué bastante precisa; se trata de un cometa
que arrastra en su cola un gran cantidad de meteoritos de diferentes tamaños.
No existirı́a ningún riesgo para la Tierra si pasase a un distancia mayor de
2 (unidades astronómicas). También han comprobado que los puntos que
recorre este cometa equidistan de la recta r : x + y = 0 y del punto F (1, 0).
Precisan también que cuando la Tierra se encuentre en el punto P 0 (2, 1)
m
será cuando estaremos más cerca del cometa.

La situación ya la tenı́an clara, el estudio de cónicas de 1o de Bachillerato les
bastaba para hacer un primer cálculo de aproximación. Su antiguo y pesado
profesor les preguntarı́a:
w.
1. ¿Que curva describe el cometa?
2. Calcular su ecuación general.
3. Calcular las rectas tangente y normal a esta curva en x = 2

ww
4. ¿La Tierra se encuentra en peligro?
Problema 207 Calcular la ecuación de una circunferencia que pasa por los
puntos A(3, −1), B(1, 0) y C(0, 2). Obtener su centro y su radio.
Problema 208 De una elipse horizontal centrada en el origen se conoce su

1
excentricidad e = y su eje mayor de 24 cm. Se pide:
8
1. Calcular la longitud de sus ejes, la distancia focal, sus vértices y sus
focos.
Problema 209 Sea la recta r : 2x + y − 3 = 0 y sea el punto P (1, 1).

Encontrar los puntos de la recta r que se encuentran a una distancia igual
a 5 del punto P .
x+1 y−1
et
Problema 210 Sea la recta r : = . Encontrar los puntos de la
1 −1
recta r que se encuentran a una distancia igual a 3 del origen de coordenadas
O.
t.n
1
excentricidad e = y su distancia focal 4 cm. Se pide:
2
focos.
a
Problema 212 Sean los puntos A(1, 0), B(5, −2) y C(4, 6) tres vértices
us
consecutivos de un triángulo. Se pide:
1. La ecuación de la circunferencia circunscrita.
2. El circuncentro.
m
Problema 213 Se está trazando una autovı́a y Luis se encuentra preocu-

pado porque su casa se encuentra en la zona de construcción. Para resolver
su incertidumbre se dirige a la oficinas del ingeniero de caminos que lleva el
proyecto. Ante un mapa topográfico le enseña el proyecto, la carretera se ha
w.
dibujado teniendo en cuenta que cualquier punto de la curva equidista de la

casa de Luis, que se encuentra en el punto F (1, 2), y la recta r : x − y = 0.
También se informa de que su casa tiene que tener una separación de la
autovı́a superior a 500 metros por los ruidos.
ww
Su antiguo y pesado profesor le preguntarı́a:
1. ¿Que curva describe el autovı́a?
3. Calcular las rectas tangente y normal a esta curva en x = 1
4. ¿Hay algún motivo de preocupación?
(Nota: los valores de los puntos y representación de las rectas viene dado en
kilómetros)
2.3. CÓNICAS 41

1
excentricidad e = y su eje mayor de 6 cm. Se pide:
8
et
focos.
t.n
Problema 216 Sea la recta r : 3x − y + 2 = 0 y sea el punto P (0, 1).
Encontrar
√ los puntos de la recta r que se encuentran a una distancia igual
a 7 del punto P .
Problema 218 Sea la recta r : a x−1

2
=
y−3
1
y sea el punto P (3, 3).
us
Encontrar los puntos de la recta r que se encuentran a una distancia igual
a 5 del punto P .
Problema 219 Calcular la recta tangente a la circunferencia x2 +y 2 −4x−

4y − 6 = 0 en el punto P(3,1).
m
x2 y 2
Problema 220 Sea + = 1 la ecuación de una elipse horizontal. En-
3 2
contrar todos los datos que la definen y su ecuación general.
w.
Problema 221 De una elipse horizontal conocemos su eje menor que mide
1
4 cm y tiene una excentricidad e = . Calcular los datos que la definen, su
4
ecuación general y las tangentes a esta cónica en los puntos de abcisa x = 1.
Problema 222 Nuestro amigo Pablo ha pasado una temporada con los
ww
aborı́genes australianos. Dice que es un auténtico experto en el lanzamiento

del bumerang. Quiere hacer una demostración lanzándolo alrededor de Glo-
ria, su compañera de clase. Gloria se habı́a situado alejada de él en el punto
A(2, 1) (hace falta tener mucho valor, yo no me pondrı́a). El boomerang
lanzado sigue una trayectoria curva, de forma que la distancia desde Glo-
ria al boomerang es siempre igual a la distancia del boomerang a la recta
r : x − y = 0. Se pide:
1. Identifica de que curva se trata.
2. Calcular la ecuación de esta curva.

3. ¿Se encuentra Gloria en peligro de ser golpeada por este artefacto

sabiendo que las aspas del boomerang miden 50 cm? La escala del
plano en las que hemos tomado las medidas esta determinada por
cuadrados de 50 × 50 cm.
et
a t.n
us
m
w.
ww
2.4. NÚMEROS COMPLEJOS 43
2.4. Números complejos

Problema 223 Halla todas las raices de la raiz cúbica de 27.

1. (2 − 4 i)(1 + i)
et
3−i
2.
5 + 2i
3. (4 + i)2
t.n
Problema 225 calcular y pasar a forma polar y paramétrica
260o
1.
315o
2. 440o · 380o
3. (540o )5
Problema 226 Calcular

√
4
a
z donde z = 1 − 3 i
us
Problema 227 Resolver la ecuación: z 2 − z + 2 = 0
Problema 228 Resolver la ecuación: z 3 + 1 = 0.

m

5+i
1. (−1 + i) · (2 + 3i),
−1 + i
2. Si z1 = 2 − i, z2 = 5 + 2i y z3 = 3 + i son tres números complejos,
w.
calcular z = 2z1 − 3z2 + 5z3
3. (2 − i)10
Problema 230 Resolver la ecuación z 4 + 16i = 0 donde z es un número

ww
complejo.
Problema 231 Si z = 3 − 4i, y w = −2 + i calcular:

1. z + w, z · w y z/w.
2. z 9
√
4
3. las raices de w
Problema 232 Si z = 2 − 4i, y w = −1 + i calcular:

1. z + w, z · w y z/w.
2. z 9
√
4
3. las raices de w
Problema 233 Sean z1 = 3 − 2i y z2 = −1 + 4i. Calcular: z1 + z2 , z1 · z2 y

z1
.
z2
et
Problema 234 Resolver la ecuación z 3 − 2i = 0
Problema 235 Sean z1 = 2 + i y z2 = −1 + 2i. Calcular: z1 + z2 , z1 · z2 y

z1
.
t.n
z2
Problema 236 Resolver la ecuación z 4 + 1 − i = 0
Problema 237 Dados los números complejos z1 = 3 + 2i y z2 = 5 − i. Se

pide calcular:
a
1. z1 + z2 y z1 − z2
2. z1 · z2
us
z1
3.
z2
Problema 238 Resolver la siguiente ecuación de segundo grado:

m
z2 + z + 2 = 0
√
3
Problema 239 Calcular las raices de 3 − 4i
w.
ww
Capı́tulo 3
et
Ánalisis
t.n
3.1. Representaciones gráficas
Problema 240 Calcular
Sea la función
a
f (x) =
x3
x2 + 2x − 15
us
1. Estudiar el dominio, puntos de corte, intervalos de crecimiento y de-
crecimiento, y determinar sus extremos relativos.
2. Calcular sus ası́ntotas.

m
3. Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibujar la gráfica

de la función.
Problema 241
w.
Dada la función f (x) = x3 − 2x + 1 y la recta y = 2x + 1

1. Calcular los extremos relativos de f (x).
2. Estudiar la concavidad de f (x).

ww
3. Dibujar las gráficas de la función, de la recta, y señalar el recinto que

encierran.
4. Calcular el área de dicho recinto.
5. Calcular la recta tangente y la recta normal a f (x) en el punto de

abcisa x = 2.
Problema 242
Sea la función
x3
f (x) =
x2 + x − 12
45
46 CAPÍTULO 3. ÁNALISIS
1. Estudiar el dominio, puntos de corte, intervalos de crecimiento y de-

crecimiento, y determinar sus extremos relativos.
3. Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibujar la gráfica

de la función.
et
Problema 243 Sea la función
x
f (x) =
x2 +4
t.n
Se pide:
1. Calcular el área que encierra esta función el eje OX, las rectas x = 0
y x = 1.
2. Calcular Las rectas tangente y normal a la función en el punto de

abcisa x = 1.
a
Problema 244 Dada la función
us
s
x2 − 1
f (x) =
x2 − 4
1. Calcular su dominio
m

x3
Problema 245 Representar gráficamente la función f (x) =
(x − 1)2
w.
2x2
Problema 246 Dada la función f (x) = Calcular:
x−1
1. Dominio.
2. Puntos de corte con los ejes.

ww
3. Simetrı́as.
4. Ası́ntotas.
5. Representación gráfica aproximada.

2x − 3
x2 − 3x
1. Dominio.

3.1. REPRESENTACIONES GRÁFICAS 47
3. Simetrı́as.
4. Ası́ntotas.
5. Monotonia.
6. Máximos y Mı́nimos.
et
8. Calcular el área encerrada por f (x), las rectas x = 1, x = 2 y el eje

OX.
t.n
9. Calcular la recta tangente y normal a f (x) en x = 2
2x − 1
x2 − x
1. Dominio.
a
3. Simetrı́as.
us
4. Ası́ntotas.
5. Monotonia.
m
8. Calcular el área encerrada por f (x), las rectas x = 2, x = 3 y el eje

OX.
w.
9. Calcular la recta tangente y normal a f (x) en x = 2
x3
x2 − 1
ww
1. Dominio.
3. Simetrı́as.
4. Ası́ntotas.
5. Monotonia.
7. Curvatura y puntos de inflexión

4x2
x−2
1. Dominio.
et
3. Simetrı́as.
4. Ası́ntotas.
t.n
5. Monotonia.
a
Problema 251 Dada la función f (x) = 3x4 −20x3 −6x2 +60x−1 Calcular:
us
1. Monotonia.
3. Curvatura
m
Problema 252 Dada la función f (x) = x4 − 14x3 + 24x − 1 Calcular:
1. Monotonia.
w.
3. Curvatura
Problema 253 Estudiar la monotonı́a, máximos y mı́nimos de las sigu-

ww
ientes funciones
x2 − x − 2
1. f (x) =
x+2
2. f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 7
x2 + 1
Problema 254 Dadas la curva: y = , calcule:
x−2
1. Corte con los ejes y domino de definición.
2. Simetrı́a.
3. Ası́ntotas.
4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
5. Extremos.
6. Curvatura y puntos de Inflexión.
et
7. Representación aproximada.
x2 + 1
Problema 255 Dadas la curva: y = , calcule:
x+2
t.n
2. Simetrı́a.
3. Ası́ntotas.
a
5. Extremos.
us
x3 + 3
Problema 256 Dadas la curva: f (x) = , calcule:
m
x2
2. Simetrı́a.
w.
3. Ası́ntotas.
5. Extremos.
ww
8. Área encerrada entre la función, el eje de abcisas y las rectas x = 1 y

x = 3.
9. Encontrar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a esta gráfica

en el punto de abcisa x = 1
x2 + 3
x2 − 1
2. Simetrı́a.
3. Ası́ntotas.
et
5. Extremos.
t.n

x2 − 1
a x2
us
2. Simetrı́a.
3. Ası́ntotas.

m
5. Extremos.

w.
x+1
x
ww
2. Simetrı́a.
3. Ası́ntotas.
5. Extremos.
Problema 260 Sean la función real de variable real

(x − 2)2
f (x) =
x−1
Se pide estudiar:
1. Dominio de f .
et
2. Puntos de corte.
3. Signo de la función en las distintas regiones en las que está definida.
t.n
4. Simetrı́a.
5. Ası́ntotas.
6. Monotonı́a y extremos relativos.
a
7. Curvatura y puntos de inflexión.
8. Representación gráfica.
us
9. Calcular las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de
abcisa x = 3.
10. Calcular el área del recinto limitado por la curva el eje de abcisas y
las rectas x = 2 y x = 4.
m

x2 + 1
f (x) =
w.
x2 − 1
Se pide estudiar:
1. Dominio de f .
ww
2. Puntos de corte.
4. Simetrı́a.
5. Ası́ntotas.

abcisa x = 3.

x2 − 1
f (x) =
x2 + 1
et
Se pide estudiar:
1. Dominio de f .
t.n
2. Puntos de corte.
4. Simetrı́a.
5. Ası́ntotas.
a
us

abcisa x = 3.
m
x
Problema 263 Sea la función f (x) = . Se pide:
x−1
1. Dominio.
w.
2. Puntos de corte.
3. Signo.
4. Simetrı́as.
ww
5. Ası́ntotas.
6. Monotonı́a y extremos.
8. Representación aproximada de la gráfica.
9. Rectas tangente y normal a la gráfica en x = 2.
2x − 1
(x + 2)2
1. Corte con los ejes.
2. Dominio de definición.
3. Signo de la función.
4. Simetrı́a.
et
5. Ası́ntotas.
7. Extremos.
t.n
a x2 − 1
us
x−2
m
4. Simetrı́a.
5. Ası́ntotas.
w.
7. Extremos.

ww
x2 + 2
x2 − 4
4. Simetrı́a.
5. Ası́ntotas.
et
7. Extremos.
t.n
x3
(x + 1)2
a
us
4. Simetrı́a.
m
5. Ası́ntotas.
7. Extremos.
w.
ww
x2 − 1
x2
4. Simetrı́a.
5. Ası́ntotas.
7. Extremos.
et
t.n
x3
x2 − 1
1. Dominio.
3. Su signo.
4. Simetrı́as.
a
us
5. Ası́ntotas.
6. Monotonia.
m

w.
10. Rectas tangente y normal en el punto de abcisa x = 2
11. Área comprendida entre la función y las rectas x = −1/2, x = 1/2 e

y = 0.

ww
(x − 3)2
f (x) =
x−2
Se pide estudiar:
1. Dominio de f .
2. Puntos de corte.
4. Simetrı́a.
5. Ası́ntotas.
et
9. Calcular las posibles rectas tangentes a f que sean paralelas a la recta
y = −3x + 1
t.n
abcisa x = 0.
(x − 2)3
1. Dominio de f . a x2
us
2. Puntos de corte.
4. Simetrı́a.
m
5. Ası́ntotas.

w.
9. Calcular las posibles rectas tangentes a f que sean paralelas a la recta

y =x+1
ww

abcisa x = 1.
x2 − 1
x
1. Dominio de f .
2. Puntos de corte.
4. Simetrı́a.
5. Ası́ntotas.
et
t.n
abcisa x = 1.
10. Calcular la integral de esta función.
x2 + 1
2x
1. Dominio de f . a
us
2. Puntos de corte.
4. Simetrı́a.
m
5. Ası́ntotas.

w.

abcisa x = 1.
ww
10. Calcular la integral de esta función.
Problema 274 Hallar una función polinómica de tercer grado tal que pasa
por el punto (0, 1), tenga un extremo relativo en (1, 2) y un punto de inflexión
en x = 2
x2 + 2
x2 − 1
1. Dominio de f .
2. Puntos de corte.
4. Simetrı́a.
5. Ası́ntotas.
et
t.n
abcisa x = 2.
10. Calcular una recta tangente a la gráfica de f paralela a la recta de

9
ecuación: y = − x − 1
32
a
11. Calcular el área encerrada por la función, el eje OX y las rectas x = 2
yx=3
us
x2 + 1
Problema 276 Dada la curva: f (x) = , calcule:
x−2
1. Dominio de f .
2. Puntos de corte.
m
4. Simetrı́a.
w.
5. Ası́ntotas.

ww

abcisa x = 1.
10. Calcular el área delimitado por la función, el eje OX y las rectas x = 0

yx=1
4x2 − 1
Problema 277 Dada la curva: f (x) = , calcule:
2x2
1. Dominio de f .
2. Puntos de corte.
4. Simetrı́a.
5. Ası́ntotas.
et
t.n

abcisa x = 1.
10. Calcular el área delimitado por la función, el eje OX y las rectas x = 1

yx=2

a
us
x2 + 3
f (x) =
x−1
Se pide:
m
1. Calcular su dominio.
2. Calcular sus puntos de corte con los ejes coordenados.
3. Calcular su signo.
w.
4. Calcular su simetrı́a.

ww
6. Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, calculando sus

extremos relativos.
7. Calcular sus intervalos de concavidad y convexidad, calculando sus

puntos de inflexión.
8. Calcular las rectas tangente y normal a f en el punto de abcisa x = 2.
10. Calcular el área encerada por la función, el eje OX y las rectas x = 2

y x = 4.

x−3
f (x) =
(x − 1)2
Se pide:
et
t.n

extremos relativos.
a
us

y x = 3.
m

−x + 1
f (x) =
w.
x−3
Se pide:
ww

extremos relativos.


y x = 2.
et
en x = 2
t.n
3x − 1
f (x) =
(x + 2)2
Se pide:
a
us

m

extremos relativos.

w.
ww

y x = 2.

x2 + 2
f (x) =
x+1
Se pide:

et
extremos relativos.
t.n
a

us
y x = 2.

m
2x
f (x) =
x−1
Calcular:
w.
1. Ası́ntotas
2. Extremos relativos
ww

Z
4. f (x) dx
en x = 2.
3.2. LÍMITES 63
3.2. Lı́mites
Problema 286 Calcular los siguientes lı́mites:
3x2 + x − 1
1. lı́m
x−→∞ 2x2 + 1
−3x − 1
et
2. lı́m
x−→∞ x5 + x4 + 1
!2x2 +1
3x2 − 1
3. lı́m
x−→∞ x2
t.n
!2x3
x3 − 1
4. lı́m
x−→∞ x3 + 3
!x3
3x4 + x − 1
5. lı́m
x−→∞ 3x4 + 1
a
!2x−1
us
2x3 + 1
6. lı́m
x−→∞ 3x3 + x2 − 1
!3x
x3 + x + 1
7. lı́m
x−→∞ 2x3 − 1
m
2x
2x − 1

8. lı́m
x−→∞ 2x + 1
x5 + x4 − 3x2 + 4x − 1
w.
9. lı́m
x−→1 x4 − x3 − 2x2 + x + 1
x3 − 2x2 − x
10. lı́m = −1
x−→0 x4 − 3x2 + x
√
ww
x− x+6 5
11. lı́m =
x−→3 x−3 6
x−1 2
12. lı́m √ =
x−→1 x− 2−x 3
Problema 287 Por L’Hôpital:

ln x
1. lı́m
x−→∞ x
ex − cos x
2. lı́m
x−→0 sin x
√
x2 − x
3. lı́m
x−→∞ x2
x2 − x
4. lı́m
x−→0 ex − 1
x4 − x3 + 3x2 − 4x + 1
5. lı́m
x4 − x3 + 3x − 3
et
x−→1
√
x− x+2
6. lı́m
x−→2 x−2
t.n
sin2 x
7. lı́m
x−→0 x2
1 − cos x
8. lı́m
x−→0 sin x
Problema 288 Calcular los siguientes lı́mites
1. lı́m
a
x4 − 3x3 − 2x2 + 7x − 3
x3 − 2x2 − 4x + 3
us
x−→3
√
x2 − 7 − 3
2. lı́m
x−→4 x−4

m
!x2 +1
3x2 + x − 1
1. lı́m
x−→∞ x2 + 1
!x2 /2
w.
x2 + 1
2. lı́m
x−→∞ x2
!2x+1
2x5 + 3x − 1
3. lı́m
x−→∞ 5x5 + 1
ww
3x
3x − 1

4. lı́m
x−→∞ 3x + 2
x3 + 3x2 − 6x − 16
5. lı́m
x−→−2 x4 + 2x3 + x2 + x − 2
3x4 + x3 − 2x2 + x − 3
6. lı́m
x−→1 3x3 + 2x2 − 4x − 1
3x4 + 2x3 − 2x2
7. lı́m
x−→0 x3 + x2 + x
3.2. LÍMITES 65
x5 − 1
8. lı́m
x−→1 2x4 − 2
√
3x2 − 11 − 4 9
9. lı́m =
x−→3 x−3 4
√
13 − x2 − 3
10. lı́m
et
x−→2 x−2
x sin x
11. lı́m
x−→0 1 − cos x
1 − e2x
t.n
12. lı́m
x−→0 sin x
ln(1 − sin x)
13. lı́m
x−→0 ln(1 + sin x)
ex − x − cos x
14. lı́m
x−→0
15. lı́m
sin2 x
ln x a
us
x−→1 x−1
16. lı́m xex = ∞, lı́m xex
x−→∞ x−→−∞

3x3 + 2x − 1
m
1. lı́m
x−→∞ 2x3 + 2
x2 + x + 1
2. lı́m
x−→∞ x3 − 3x − 1
w.
x4 + 1
3. lı́m
x−→∞ x3 + x − 1
!x+1
5x2 − x − 1
4. lı́m
x−→∞ 5x2
ww
! x2 +1
2x3 + x + 1 2
5. lı́m
x−→∞ x3 + 3
!2x
x2 + x + 1
6. lı́m
x−→∞ 2x2 − 1

x4 − x3 + 3x2 − 3
1. lı́m
x−→1 x3 + x2 − x − 1
√ √
2. lı́m x+1− x
x−→∞
√
x2 − 3 − 1
3. lı́m
x−→2 x−2
x3 − 2x2 + x − 2
4. lı́m
x−→2 x3 + x2 − 5x − 2
et
√
x2 + 2 − x
5. lı́m
x−→∞ x+1
√
3 − x2 − 16
t.n
6. lı́m
x−→5 x−5
2x3 + x − 1
1. lı́m
x−→∞ 3x3 + 2
2. lı́m
x−→∞
3x2 + 2x + 1
x5 + 2 a
us
x6 + x − 1
3. lı́m
x−→∞ x4 + 2
!3x2 −1
2x2 + x
4. lı́m
x−→∞ x2 − 1
m
!2x−1
x2 − x − 1
5. lı́m
x−→∞ 2x2
w.
2x
x+1

6. lı́m
x−→∞ x

x3 − 2x2 + 2x − 1
ww
1. lı́m
x−→1 x4 − x3 + 2x − 2
√ √
2. lı́m x−1− x+1
x−→∞
√
2x2 + 1 − 3
3. lı́m
x−→2 x−2
x4 + 2x3 − x2 − x + 2
4. lı́m
x−→−2 x3 + 2x2 − x − 2
√
2x2 + x + 2 − x
5. lı́m
x−→∞ x−1
3.2. LÍMITES 67
√
2 x−1−2
6. lı́m
x−→5 x−2
x5 + x − 2
1. lı́m
x−→1 2x3 − x − 1
et
x3 + 3x − 1
2. lı́m
x−→−∞ −x2 + 2
x−3
2x + 1

3. lı́m
t.n
x−→∞ 2x
√ √
2x2 − 1 − 2x − 1
4. lı́m
x−→1 x−1
1. lı́m
x3 − 1
x−→1 x5 − 1
a
us
√
2x − 1 − x
2. lı́m
x−→1 x2 − 1
2x
x+2

3. lı́m
x−→∞ x
m
x2 + 2x − 1
4. lı́m
x−→∞ −x3 − 2
√
3x3 + 1
w.
5. lı́m
x−→∞ x+2
ex
6. lı́m
x−→∞ x + 2
sin x − ex + 1
ww
7. lı́m
x−→0 1 − cos x
4x5 − x + 1
1. lı́m
x−→∞ 3x5 + 6
5x2 − x
2. lı́m
x−→∞ x6 + x − 1
x7 − 3x2 − x + 1
3. lı́m
x−→∞ −2x4 + 1
! 3x2 −1
3x2 + x + 1 3
4. lı́m
x−→∞ 2x2 − 1
!2x
x2 + x − 1
5. lı́m
x−→∞ x2 + 1
et
!3x−1
x3 + 1
6. lı́m
x−→∞ 2x3
t.n
3x6 + 2x5 − 1
1. lı́m
x−→∞ 5x6 + 1
x5 + x4 + x
2. lı́m
x−→∞ x6 + 2
3. lı́m
x−→∞
x6 + x5 − 2x + 1
−3x4 + 3 a
us
! x2 +3
2x2 + x − 1 2
4. lı́m
x−→∞ x2 + 1
!2x
x2 − x + 1
5. lı́m
m
x−→∞ x2 + 1
!x+2
x4 + 1
6. lı́m
x−→∞ 2x4
w.
3x4 + x5 − x − 1
1. lı́m
x−→∞ 3x4 − 1
ww
3x2 + x + 1
2. lı́m
x−→∞ 2x6 − 2
x5 + 4x3 + 5x + 1
3. lı́m
x−→∞ −9x3 + 2
! x2 −x+3
3x3 + −1 x2 2
4. lı́m
x−→∞ x3 + 1
2x
x+5

5. lı́m
x−→∞ x−1
3.2. LÍMITES 69
!x−2
x3 − x + 1
6. lı́m
x−→∞ 2x3 + 5

2x−1
3x + 2

1. lı́m
x−→∞ 3x − 1
et
x+2
x+1

2. lı́m
x−→∞ x−1
x4 − 3x2 − 4
t.n
3. lı́m
x−→2 x3 − 2x − 4
x5 − 1
4. lı́m
x−→1 x4 − 1
√
2x2 + 1 − 3
5. lı́m
x−→2
6. lı́m
√
x−2
3x2 − 11 − 4
a
us
x−→3 x−3
2x+1
2x + 2

1. lı́m
x−→∞ 2x − 1
m
x−1
x−2

2. lı́m
x−→∞ x+3
x4 − 4x − 8
w.
3. lı́m
x−→2 x3 + x − 10
x6 − 1
4. lı́m
x−→1 x5 − 1
√
x2 + 5 − 3
ww
5. lı́m
x−→2 x−2
√
x2 − 5 − 2
6. lı́m
x−→3 x−3
4x5 − x + 1
1. lı́m
x−→∞ 3x5 + 6
5x2 − x
2. lı́m
x−→∞ x6 + x − 1
x7 − 3x2 − x + 1
3. lı́m
x−→∞ −2x4 + 1
! 3x2 −1
3x2 + x + 1 3
4. lı́m
x−→∞ 2x2 − 1
!2x
x2 + x − 1
et
5. lı́m
x−→∞ x2 + 1
!3x−1
x3 + 1
6. lı́m
t.n
x−→∞ 2x3
3x6 + 2x5 − 1
1. lı́m
x−→∞ 5x6 + 1
2. lı́m
x−→∞ x6 + 2
a
x5 + x4 + x
us
x6 + x5 − 2x + 1
3. lı́m
x−→∞ −3x4 + 3
! x2 +3
2x2 + x − 1 2
4. lı́m
x2 + 1
m
x−→∞
!2x
x2 − x + 1
5. lı́m
x−→∞ x2 + 1
w.
!x+2
x4 + 1
6. lı́m
x−→∞ 2x4

ww
3x4 + x5 − x − 1
1. lı́m
x−→∞ 3x4 − 1
3x2 + x + 1
2. lı́m
x−→∞ 2x6 − 2
x5 + 4x3 + 5x + 1
3. lı́m
x−→∞ −9x3 + 2
! x2 −x+3
3x3 + x2 − 1 2
4. lı́m
x−→∞ x3 + 1
3.2. LÍMITES 71
2x
x+5

5. lı́m
x−→∞ x−1
!x−2
x3 − x + 1
6. lı́m
x−→∞ 2x3 + 5
et
x2 + x − 1
1. lı́m
x−→∞ x3 − 3x2 + 1
3x2 − 2x − 3
t.n
2. lı́m
x−→∞ −x + 2
3x3 − 2x − 1
3. lı́m
x−→∞ 2x3 + 2
√ !
3x2 − x − 1
4. lı́m
x−→∞ 2x − 3
a
! x2 −1
us
3x2 + x − 1 2
5. lı́m
x−→∞ x2 + 3
x+1
x+2

6. lı́m
x−→∞ x−2
m

x3 + 1
1. lı́m
x−→∞ −x + 2
w.
√
x+2
2. lı́m
x−→∞ x + 5
−2x3 + 3x
3. lı́m
x−→∞ 3x3 + 5
ww
2x + 3
4. lı́m √
x−→∞ 5x2 + x − 1
!x2 +2
2x2 + x − 1
5. lı́m
x−→∞ 3x2 − 1
!2x2
x2 − 1
6. lı́m
x−→∞ x2

4x4 + 3x2 − 1
1. lı́m
x−→∞ x3 + 2
√
x2 + x − 1
2. lı́m
x−→∞ −x2 + 2
5x3 + 2x2 − x + 1
3. lı́m
et
x−→∞ 3x3 − x − 1
√
5x4 − 2x2 − 1
4. lı́m
x−→∞ −x2 − 1
t.n
!x2 −1
2x2 − x − 1
5. lı́m
x−→∞ x2 + 2
x−2
2x + 1

6. lı́m
x−→∞ 2x
a
p
3x2 + 1 −
p
3x2 + x

us
1. lı́m
x−→∞
√ √
x2 − 5 − x + 1
2. lı́m
x−→ 3 x−3

m
3x2 + 2x − 1
1. lı́m
x−→∞ −x + 1
x
w.
2. lı́m
x−→∞ x2 +1
3x2 + 1
3. lı́m
x−→∞ −x2 + 3
√ !
2x4 − 3x
ww
4. lı́m
x−→∞ 2x2 − 1
√ !
x+1
5. lı́m
x−→∞ x+3
√ !
x3 + 2
6. lı́m
x−→∞ x−1
!x2 +2
2x3 − 1
7. lı́m
x−→∞ 3x3
3.2. LÍMITES 73
!2x
x2 + 2x
8. lı́m
x−→∞ x2 − 1
!x2 −1
5x3 + x − 1
9. lı́m
x−→∞ 2x3 + 2
x3 − 2x2 + 2x − 4
et
10. lı́m
x−→ 2 x2 − 5x + 6
√
3x + 4 − 4
11. lı́m
x−→ 4 x−4
t.n
√ √
2x − 1 − 3x − 2
12. lı́m
x−→ 1 x−1
p √
13. lı́m ( x2 + 2 − 2x + 5)
x−→ ∞
p p
14. lı́m ( x2 + x −
x−→ ∞
a
x2 − 2)

us
x2 + x − 1
1. lı́m
x−→∞ x3 − 3x2 + 1
3x2 − 2x − 3
2. lı́m
x−→∞ −x + 2
m
3x3 − 2x − 1
3. lı́m
x−→∞ 2x3 + 2
√ !
3x2 − x − 1
4. lı́m
w.
x−→∞ 2x − 3
! x2 −1
3x2 + x − 1 2
5. lı́m
x−→∞ x2 + 3
ww
x+1
x+2

6. lı́m
x−→∞ x−2
x3 + 1
1. lı́m
x−→∞ −x + 2
√
x+2
2. lı́m
x−→∞ x + 5
−2x3 + 3x
3. lı́m
x−→∞ 3x3 + 5
2x + 3
4. lı́m √
x−→∞ 5x2 + x − 1
!x2 +2
2x2 + x − 1
5. lı́m
x−→∞ 3x2 − 1
!2x2
x2 − 1
et
6. lı́m
x−→∞ x2

4x4 + 3x2 − 1
t.n
1. lı́m
x−→∞ x3 + 2
√
x2 + x − 1
2. lı́m
x−→∞ −x2 + 2
5x3 + 2x2 − x + 1
3.
x−→∞
lı́m
√
3x3 − x − 1
5x4 − 2x2 − 1
a
us
4. lı́m
x−→∞ −x2 − 1
!x2 −1
2x2 − x − 1
5. lı́m
x−→∞ x2 + 2
m
x−2
2x + 1

6. lı́m
x−→∞ 2x
w.
p p
1. lı́m ( x2 − x − x2 − 3)
x−→∞
√
x− x2 + 1 + 3
2. lı́m
x−→∞ x−1
6x3 − 3x2 − 4x + 1
ww
3. lı́m
x−→ 1 x3 + 2x2 − 2x − 1
x3 − 2x − 4
4. lı́m
x−→ 2 2x2 − 3x − 2
√ √
2x − 1 − x + 1
5. lı́m
x−→ 2 x−2
√ √
x2 − 5 − x + 1
6. lı́m
x−→ 3 x−3
Problema 313 Resuelve los siguientes lı́mites:
3.2. LÍMITES 75
p p
1. lı́m ( x2 − 2x − x2 − x)
x−→∞
!x3 +2
x2 − x − 1
2. lı́m
x−→∞ 2x2 + x
2x−1
x+3

3. lı́m
et
x−→∞ x−1
x3 − 2x2 + 3x − 2
4. lı́m
x−→ 1 2x3 + 2x2 − 7x + 3
√ √
t.n
2x2 − 2 − x2 + 7
5. lı́m
x−→ 3 x−3
x sin x
6. lı́m
x−→ 0 ex − 1
sin x2
7. lı́m
x−→ π x sin x
a
us
p p
1. lı́m ( x2 + 1 − x2 + x + 1)
x−→∞
x2 − 2x + 1
2. lı́m
x−→ 1 x3 − 1
m
√ √
x2 − 5 − x + 1
3. lı́m
x−→ 3 x−3
√
3x2 − 2x5 + 1 + x − 1
w.
4. lı́m
x−→ ∞ x3 − x + 1
2x3 − 2x2 − 8
1. lı́m
ww
x−→ 2 x2 − x − 2
√ √
x2 − 5 − x + 1
2. lı́m
x−→ 3 x−3
p p
3. lı́m ( x2 − x + 1 − x2 + 1)
x−→∞
√
x3 − 2 x + 1
4. lı́m
x−→∞ 3x3 + x − 1
2x−1
x+1

5. lı́m
x−→∞ x
! x+1
2x2 + 3 2
6. lı́m
x−→∞ 3x2

3x3 + 2x − 1
1. lı́m
x−→∞ 2x3 + 2
et
x2 + x + 1
2. lı́m
x−→∞ x3 − 3x − 1
x4 + 1
3. lı́m
t.n
x−→∞ x3 + x − 1
!x+1
5x2 − x − 1
4. lı́m
x−→∞ 5x2
! x2 +1
2x3 + x + 1
5. lı́m
x−→∞
a
x3 + 3
2
us
!2x
x2 + x + 1
6. lı́m
x−→∞ 2x2 − 1

x4 − x3 + 3x2 − 3
m
1. lı́m
x−→1 x3 + x2 − x − 1
√ √
2. lı́m x+1− x
x−→∞
√
w.
x2 − 3 − 1
3. lı́m
x−→2 x−2
x3 − 2x2 + x − 2
4. lı́m
x−→2 x3 + x2 − 5x − 2
√
ww
x2 + 2 − x
5. lı́m
x−→∞ x+1
√
3 − x2 − 16
6. lı́m
x−→5 x−5
2x3 + x − 1
1. lı́m
x−→∞ 3x3 + 2
3x2 + 2x + 1
2. lı́m
x−→∞ x5 + 2
3.2. LÍMITES 77
x6 + x − 1
3. lı́m
x−→∞ x4 + 2
!3x2 −1
2x2 + x
4. lı́m
x−→∞ x2 − 1
!2x−1
x2 − x − 1
et
5. lı́m
x−→∞ 2x2
2x
x+1

6. lı́m
x−→∞ x
t.n
x3 − 2x2 + 2x − 1
1. lı́m
x−→1 x4 − x3 + 2x − 2
√ √
2. lı́m
x−→∞
x−1− x+1
√

2x2 + 1 − 3
a
us
3. lı́m
x−→2 x−2
x4 + 2x3 − x2 − x + 2
4. lı́m
x−→−2 x3 + 2x2 − x − 2
√
2x2 + x + 2 − x
m
5. lı́m
x−→∞ x−1
√
2 x−1−2
6. lı́m
x−→2 x−2
w.
3x3 + 2x2 − x + 8
1. lı́m
x−→∞ 2x3 + x − 1
ww
x2 + 1
2. lı́m
x−→∞ 2x3 + x2 − x + 1
−3x4 + 2x3
3. lı́m
x−→∞ x2 + 3
!x+8
3x2 + x − 1
4. lı́m
x−→∞ 2x2 − 1
! x+5
x2 + x + 5 2
5. lı́m
x−→∞ 2x2 + 3
x−3
2x + 8

6. lı́m
x−→∞ 2x − 1

√
2x2 − x + 1
1. lı́m
x−→∞ x+2
et
−x3 + 1
2. lı́m√
x−→∞ x+5
s
2x + 1
t.n
3. lı́m
x−→∞ 2x + 3
√
3x3 − 1
4. lı́m
x−→∞ x2 + 2
√
3x3 − 2x2 + 3x − 1 + 5
5. lı́m
x−→∞
6. lı́m
√
2x3 + 5
√
x+5− x−1
a
us
x−→∞
p p
7. lı́m x2 − x + 2 − x2 + 2x − 1
x−→∞
nx
3x − 1

8. Sabiendo que lı́m = 5, calcular n.
x−→∞ 3x
m

3x
2x − 1

1. lı́m
x−→∞ 2x
w.
3x2 − 5x − 2
2. lı́m
x−→∞ x3 − 3x2 + x + 2
√ √
3x − 1 − 2x2
3. lı́m
x−1
ww
x−→ 1
x cos x
4. lı́m
x−→ 0 x + sin x
p p
5. lı́m ( x2 + 1 − x2 + x − 1)
x−→∞
√
3x4 + x − 1
6. lı́m
x−→∞ −x2 + 2
p p
1. lı́m 2x2 + x − 2x2 + 1
x−→∞
3.2. LÍMITES 79
2. Calcular n que cumpla:

!2nx
x2 + x + 1
lı́m =5
x−→∞ x2 + 1
√ √
x2 − 9 − 3x + 1
3. lı́m
et
x−→ 5 x−5
3x3 − 10x − 4
4. lı́m
x−→ 2 x3 + x2 − 7x + 2
t.n
p p
1. lı́m x2 + x + 1 − x2 + 3x − 2
x−→∞

!nx
x2 + 2x + 1
√ √
x−→∞
alı́m
x2 + x − 1
=7
us
x2 + 5 − 4x + 1
3. lı́m
x−→ 2 x−2
x3 − 2x2 + x − 12
4. lı́m
x−→ 3 x3 − 5x − 12
xex − 1
m
5. lı́m
x−→ ∞ ex + 2
x sin x
6. lı́m
x−→ 0 1 − cos x
w.
sin2 x
7. lı́m
x−→ 0 2x2 + sin x
1 + cos x
8. lı́m
x−→ π sin2 x
ww

p p
1. lı́m 3x2 + x − 1 − 3x2 + 2x − 8
x−→∞

!3nx
x2 − x − 1
lı́m =2
x−→∞ x2 + 2x + 1
√ √
x2 − 3 − 4x + 2
3. lı́m
x−→ 5 x−5
3x2 + x − 14
4. lı́m
x−→ 2 x3 + x2 − 6x + 2
e2x + 2x2 − 1
5. lı́m
x−→ ∞ 3e2x + x
cos2 x − ex
6. lı́m
x−→ 0 sin(2x)
et
p p
1. lı́m x2 − x + 1 − x2 + 5x − 1
x−→∞
t.n
x2
x+5

2. lı́m
x−→∞ x−1
x+2
3x + 1

3. lı́m
x−→∞ 3x
4. lı́m
x−→ 0 x sin x
a
x2 + 1 − cos x
us
3x5 + 2x3 − 7x2 + 2
5. lı́m
x−→ 1 x3 + 3x2 − 5x + 1

p p
1. lı́m 3x2 − 1 − 3x2 − x + 5
m
x−→∞
x2 −1
2x − 1

2. lı́m
x−→∞ 2x
w.
2x+1
x+1

3. lı́m
x−→∞ x−3
x2 + 2 − 2 cos x
4. lı́m
x−→ 0 x cos x
ww
5x2 − 12x + 4
5. lı́m
x−→ 2 3x3 + x2 − 10x − 8

p p
1. lı́m 4x2 − x + 1 − 4x2 + 2
x−→∞
2nx
3x + 5

2. Calcular n sabiendo que lı́m =3
x−→∞ 3x − 1
2ex − x2
3. lı́m
x−→∞ 3ex
3.2. LÍMITES 81
ln(cos x)
4. lı́m
x−→ 0 ln(sin x + 1)
√
5x4 − 2x + 1
5. lı́m
x−→ ∞ 2x2 − 2
et
√ p
1. lı́m 5x2 − 5x2 + x − 1
x−→∞
x+2
4x + 8

2. lı́m
x−→∞ 3x − 1
t.n
xex − 2x
3. lı́m
x−→∞ 5x2 + 1
2 sin x + 1 − cos x
4. lı́m
x−→ 0 x sin x + 3x)
5. Calcular n sabiendo que lı́m a x−→∞

3x + 8
3x − 1
3nx
=2
us
5x3 − 2x2 − x − 7
1. lı́m
x−→∞ 2x3 + 5x − 1
x2 + x − 1
m
2. lı́m
x−→∞ 2x3 − 3x2 − x + 1
−3x4 − 2x3 + x − 1
3. lı́m
x−→∞ 3x2 + 3
w.
!3x+8
3x2 − 5x − 6
4. lı́m
x−→∞ 2x2 + x − 1
! x+4
2x2 − 6x + 5 2
ww
5. lı́m
x−→∞ 7x2 + 3
x−3
6x + 7

6. lı́m
x−→∞ 6x − 1

√
2x2 − 3x − 1
1. lı́m
x−→∞ x+2
−x7 + 5
2. lı́m √
x−→∞ 2x + 5
s
5x + 1
3. lı́m
x−→∞ 8x + 3
√
3x3 − 1
4. lı́m
x−→∞ x2 + 2
et
p p
5. lı́m x2 − 2x + 2 − x2 + x − 1
x−→∞
nx
t.n
3x

6. Sabiendo que lı́m = 3, calcular n.
x−→∞ 3x − 5
1. lı́m
2x2 − 5x + 2
x−→ 2 x3 − 3x − 2
a
us
x4 − 5x3 + 3x + 1
2. lı́m
x−→ 1 x3 − 1
√ √
3x2 − 4 − x + 6
m
3. lı́m
x−→ 2 x−2

w.
p p
1. lı́m 3x2 + x − 1 − 3x2 − 5x + 8
x−→∞
√
ww
3x2 + 1
2. lı́m
x−→∞ x+2
2 cos x − 2x − 2
3. lı́m
x−→ 0 5 sin x + x
3nx
3x − 8

4. Calcular n sabiendo que lı́m =2
x−→∞ 3x + 1
3.3. DERIVADAS 83
3.3. Derivadas
Problema 334 Calcular las siguientes derivadas:
!
x2 − 1
1. y = ln
x+2
et
2 −x−1
2. y = ex
2x2 + 1
3. y =
x−1
t.n
4. y = (x2 + 1)(x − 1)

x3 − 2
1. y =
x2 + x − 1
2. y = ln x · cos(x2 − 1)
x3 − x + 1
a
us
3. y = ln
x2 − 1
4. y = log7 (sin x)
5. y = ex cos x
2 −1)
m
6. y = 5cos(x
7. y = arcsin(x2 − 1)
x−1

8. y = arc cos
w.
x
9. y = arctan(ln x)
10. y = ex · sin(x3 − 1)
ww
Problema 336 Calcular las siguientes derivadas

2 −1
1. y = 3x · sin(x + 1)
2. y = arcsin(ex )
2 −1
3. y = arc cos(5x )
4. y = (x2 − 1)(2x + 1)
5. y = x3 ln x
p
6. y = 3
(2x − 1)2
1
7. y = √
2 x
r
x−1
8. y =
x
2 −1
9. y = log3 ex
et
1
10. y =
x3 −x+1
t.n
sin x

a) y = arctan(x2 − 1) b) y = ex (cos x − 1) c) y = ln
x2 + 1
p
d) y = esin x−1 e) y = x2 − 1
Problema 338 Calcular la recta tangente y normal a la función
f (x) =
x2 + x − 1 a
en el punto x = 2.
us
x+3
Problema 339 Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
1. y = (x2 − x + 1)10
2. y = x3 ln x
m

x2 +2
3. y = ln x−1
2 +1
4. y = ex
w.
5. y = 35x−1
6. y = log5 (x2 + 1)
7. y = (x2 + 1)ln(2x)
ww
x2 −3x−1
8. y = x+2
Problema 340 Calcular las rectas tangente y normal a la función f (x) =

x2 − x + 1
en el punto de abcisa x = 0.
x+1
1. y = (x4 − 3x2 + x − 1)14

2 −1
2. y = x5 ex
3.3. DERIVADAS 85

x3 +2
3. y = ln 2x−1
4 +x−1
4. y = ex
3 +x−1
5. y = 5x
6. y = log9 (x3 + 3x − 1)
et
7. y = (x3 + x − 1)ln(2x+1)
x2 −3x−1
8. y = x+2
t.n
2x2 + 3
2x − 1
1. y = (x2 − x)10 (x + 1)5
2. y =
3x2 − x − 1
x+2
a
us
3. y = (3x − 1)2x+1
r
2x + 1
4. y = ln
x+3
√
m
5. y = e x−2
√
6. y = x x

w.
3x − 1
x+2
1. y = arctan(x2 − 1)
ww
2. y = (x2 − 1)2x
3. y = ln(x2 + 1)
2x − 2
4. y =
x2
2 −1
5. y = ex
6. y = sin(2x − 1)
7. y = tan(x2 + 2)

1. y = (x2 − x + 1)11
2. y = x ln x

x2 +x
3. y = ln x2 −1
et
2 −1
4. y = ex
5. y = 55x−1
6. y = log3 (x2 + 1)
t.n
7. y = (x2 − 1)ln(x)
x2 +x−5
8. y = x−3

x2 − 1
x+2 a
us
1. y = (x3 − 2x + 1)11
2. y = x2 ln x

x2 +1
m
3. y = ln x2 −1
2 −1
4. y = e2x
5. y = 34x−1
w.
6. y = log3 (x2 − 1)
7. y = (2x2 + 1)ln(x)
x2 −2x+5
8. y =
ww
x−3

x2 + 1
x+1
Problema 350 Calcula la derivada de las siguientes funciones:
!
3x2 − 2x
1. f (x) = ln
x+1
x2 − 1
2. f (x) = csc
x+2
3.3. DERIVADAS 87
Problema 351 Calcular la derivada de las siguientes funciones
1. y = (x2 + 1)8
2. y = sin(x2 − 1) · (x2 + 2)
ex
3. y =
x2 − 1
et
!
x2 + 1
4. y = ln
x+2
t.n
2 +x−1
5. y = ex
6. y = tan(x2 + x − 8)
Problema 352 Calcular las rectas tangente y normal de las siguientes fun-
ciones
1. f (x) =
x+3
x−1
en x = 2 a
us
3x + 1
2. f (x) = en x = 0
x+2
x2
3. f (x) = en x = 2
2x − 1
m
4. f (x) = (x2 − 1)4 en x = 2
1. y = (cos x)x
w.
cos x + 1

2. y = ln
sin x
3. y = arctan(x3 − 5)
ww
ciones
ex
1. f (x) = en x = 0
x+2
ln x
2. f (x) = en x = 1
x+5
Problema 355 Resuelve las siguientes derivadas:
1. f (x) = (4x2 − 1)10

2. f (x) = esin x
3. f (x) = (sin x)cos x
1. y = (x3 − 2x2 + 1)8
et
2 −3x+1
2. y = ex
3. y = e2x · (x2 + x − 1)
sin(x2 )
t.n
4. y =
e2x
sin x

5. y = ln
x
Problema 357 Calcular las rectas tangente y normal de la siguiente fun-

ción
a x2 + 2
us
f (x) =
x2 − 1
en x = 2

m
1. y = (3x2 − x + 1)8
2. y = sin(2x − 1) · ln(2x − 1)
3. y = ecos 2x
w.
cos x

4. y = ln
x2 + 1
sin(x2 + 1)
5. y =
ex
ww
6. y = tan(x2 + 1)
7. y = 7x sin x
!
x2 − 1
8. y = log5
x+8
9. y = (x2 + 2)x+1
Problema 359 Calcular las rectas tangente y normal de la siguientes fun-

ciones en x = 2:
3.3. DERIVADAS 89
2 −1
1. f (x) = ex
2. f (x) = x2 − x + 1
x2 + 1
3. f (x) =
x2 − 1
et
x2 + 8
1. y =
x−1
2 +5
2. y = ex · sin x
t.n
sin x

3. y = ln
x2
4. y = (x2 + 5)cos x
5. y = (ln x)5
6. y = 2cos x a
us
2 −1
7. y = ex
8. y = log5 (x2 + 2)
ciones
m
2x
1. f (x) = 2 en x = 1
x +5
2. f (x) = ex+1 en x = −1
w.

1. y = ex csc(x2 + 1)
2. y = (x2 + 1)sin x
ww
sin x
3. y = ln
x+1
4. y = ex+1 cos x
5. y = sin10 (x2 + 1)
x2
6. y =
arctan x
ciones
ex + 1
1. f (x) = en x = 1
x
π
2. f (x) = x2 sin x en x =
2
et
1. y = (10x3 + 1)12
2 +1
2. y = e3x
3. y = ex sin x
t.n
x2 + x − 1
4. y =
x2 + 2
!
x2 + 8
5. y = ln
x2 − 3
6. y = 7x
2 +1
a
us
7. y = (x2 + 2)x−1
ciones en el punto de abcisa x = 1
3x
1. f (x) =
m
x2 +2
2 +1
2. f (x) = ex

w.
1. y = (x2 + x − 1)12
2. y = (sin x) ln x
ww
3. y = 2x tan x
!
x2 + 5
4. y = ln
x2 − 2
5. y = arctan(x2 + 2)
2 +5
6. y = 7x
7. y = ex cos 2x
sin x
8. y =
x2 + 1
3.3. DERIVADAS 91
9. y = (x2 − 1)sin x

ción en el punto de abcisa x = 1
et
2x2
f (x) =
t.n
x2 + 1
1. y = (9x2 + 1)7
a
us
2. y = 2x arctan x
m
x2 + 5
3. y =
sin x
w.
4. y = (3x − 1)cos x
ww

ción en el punto de abcisa x = 1
2 −1
f (x) = ex
3.4. Continuidad y derivabilidad

3ax2

− bx + 1 si x ≤ 2



f (x) = 2


ax3 + bx2
et
si x > 2

Calcular los parámetros a y b, de manera que la función f (x) sea continua

y derivable en x = 2.
t.n
(
2kx2 + 2x − 1 si x < 1
f (x) =
x2 − k 2 x − 1 si x ≥ 1
1. Calcular k para que f (x) sea continua R.
a
2. Comprobar si la función es derivable para ese valor de k que hemos
calculado anteriormente.
us
(
2ax2 − bx − 1 si x < 1
f (x) =
ax3 − 3x + b si x ≥ 1
m
Calcular a y b de manera que f (x) cumpla las condiciones del teorema del
valor medio.

w.
(
2x2 − ax + b si x < 1
f (x) =
ax2 − bx + 1 si x ≥ 1
Calcular a y b de manera que f (x) cumpla las condiciones del teorema del
ww
valor medio.
Problema 374 Calcular a y b para que la función siguiente sea continua y

derivable. (
ax3 − 2bx + 2 si x < 1
f (x) =
bx2 − 3x − a si x ≥ 1
Problema 375 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función

siguiente (
ex − 3x2 si x ≤ 0
f (x) = 2
2x + ln(1 + x) + 1 si x > 0
3.4. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 93
Problema 376 Estudiar la continuidad de las funciones siguientes:

1.
(
1
6x2 + x+1 − ex si x < 0
f (x) = 2
2x + x si x > 0
2.
et
(
5x2 + sin 2x si x ≤ 0
f (x) =
x2 + cos 2x si x > 0
Problema 377 Dada la función real de variable real
t.n

 3x − 1 si x < 1
f (x) = 4x − 2
 si x ≥ 1
x
estudiar su continuidad y derivabilidad en el punto de abcisa x = 1.
a
f (x) = |3x − 2|
us
estudiar su continuidad y derivabilidad en R.
Problema 379 Calcular a y b para que la función

(
3ax2 − bx + 1 si x < 1
f (x) =
m
x2 + ax + b si x ≥ 1
sea continua y derivable.
Problema 380 Estudiar la continuidad de la siguiente función:

w.
2x2 + x + 1 si


 x<0




f (x) = (x − 1)2 si 0 < x ≤ 1




x2 + 3x

ww
si x>1

en los puntos x = 0 y x = 1.



 −x + 2 si x<2




f (x) = (x − 2)2 si 2 < x < 3





2x − 5 si x≥3



 3x − 6 si x < 2
f (x) = 4 − 2x
 si x ≥ 2
x
et
f (x) = |2x − 3|
estudiar su continuidad y derivabilidad en R.
t.n
ax2 − bx


 si x < 1
x−2

f (x) =
a



2x2 + 3bx − a si x ≥ 1
us
(x + 1)2 x < −1


 si





x+1
m
f (x) = si −1 ≤ x ≤ 2


 2



x2 + x + 2 si x>2

en los puntos x = −1 y x = 2.
w.



 2x − 3 si x<1



ww

f (x) = 2x si 1 < x ≤ 2





3x − 2 si x>2


(
ax2 −bx+a
x si x ≤ −1
f (x) =
bx2 − ax − 1 si x > −1
calcular a y b de manera sea continua y derivable.

Problema 388 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las siguientes

funciones:
1. f (x) = |x − 5|
2. (
2x2 + x − 1 si x ≤ 0
f (x) =
et
−(2x + 1) si x > 0
Problema 389 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
1.
t.n
 √
2x+7

 si
x x<1
f (x) = 3x si 1 < x≤2
 2

x + 2 si x>2
en los puntos x = 1 y x = 2
2.
f (x) =
a



x2 +2
x
x2 + 2
si x≤1
si 1 < x < 5
us


2x si x≥5
en los puntos x = 1 y x = 5

m


 2x2 + 1 si x<0

(3x − 1)
 2 si 0 < x ≤ 1
f (x) =
 3x + 1
 si 1 < x ≤ 2
2x3 − 1

si 2<x
w.
en los puntos x = 0, x = 1 y x = 2.
Problema 391 Calcular el valor de k para que la función

ww
(
3kx3 − kx + 1 si x < 2
f (x) =
(k + 1)x2 − 2x + k si x ≥ 2
sea continua.

(
3x3 − 2x2 + x − 1 si x < 1
f (x) =
5x2 − 6x + 2 si x ≥ 1


(
2ax3 − bx2 + 5a si x < 1
f (x) =
4bx2 − ax + b + 2 si x ≥ 1
et
(
3ax3 − 2bx2 + 3 si x < 1
f (x) =
ax2 + bx − 1 si x ≥ 1
t.n


x2 − 1 si x<0
a
f (x) =



 2x − 1 si 0 ≤ x < 1


 2

x3 si 1 < x ≤ 2
x + 2 si 2<x
us
en los puntos x = 0, x = 1 y x = 2.

m
x2

si x < 2



 x−1

f (x) =
2x


si x ≥ 2



x−1
w.
en toda la recta real.
Problema 397 Calcular el valor de k para que la función

ww
(
kx2 − sin(x − 1) + k + 1 si x < 1
f (x) =
x3 + kx2 − lnx + 2 si x ≥ 1
sea continua.

(
ax2 − 2bx + 3 si x < 1
f (x) =
x2 + 2ax − b si x ≥ 1

Problema 399 Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente

función, esbozando su representación gráfica:
f (x) = |x2 + 3x − 10|
et
(
ax2 − 2bx + 1 si x < 2
f (x) =
2ax2 + bx + 2 si x ≥ 2
Hallar a y b de manera que f cumpla las condiciones del teorema del valor
t.n
medio en el intervalo [0, 3]. Encontrar aquellos puntos que el teorema asegura
su existencia.
Problema 401 Dada la función f (x) = |x2 + 2x − 3| se pide:
1. Representación gráfica de forma aproximada y su forma como una

función definida por ramas
a
2. Estudiar su continuidad y derivabilidad a la vista del estudio anterior.
us
(
2ax2 − bx + 1 si x < 1
f (x) =
3ax2 + 2bx + 2 si x ≥ 1
m
su existencia.
w.
Problema 403 Dada la función f (x) = |x2 − 4x + 3| se pide:
1. Representación gráfica de forma aproximada y su forma como una

función definida por ramas
ww
2. Estudiar su continuidad y derivabilidad a la vista del estudio anterior.

(
3ax2 − 2bx + 1 si x < 1
f (x) =
bx2 + 2ax − 1 si x ≥ 1
su existencia.
3.5. Integrales
Problema 405
Calcular las siguientes integrales:
ln x
Z
1. dx
x
et
3x2
Z
2. dx
2x3 − 1
Z
3. ex sin ex dx
t.n
2x
Z
4. dx
1 + x2
1
Z
5. dx
1 + x2
6.
Z
2x2 ex
3 −1
dx a
us
Z
2 +1
7. x2x dx
2x + 1
Z
8. dx
x2 +x−1
2x2
m
Z
9. dx
cos2 (x3 )
Z p
10. x x2 − 1 dx
w.
Problema 406 Calcular las siguientes integrales

3 5
Z
1. 2x3 − √ + dx
4x − 8 x
Z
ww
2. x(6x2 + 1)12 dx
2x + 3
Z
3. dx
(x2 + 3x − 1)5
5x2
Z
4. dx
x3 + 8
Z
3 −x
5. (6x2 − 1)e2x dx
Z
6. 5x2 sin(3x3 + 2) dx
3.5. INTEGRALES 99
x2
Z
7. dx
1 + (x3 + 1)2
x2
Z
8. dx
cos2 (x3 + 3)
Problema 407 Calcular las siguientes Integrales:
et
√
x2 + x − 1
Z
1. dx
x
Z
2 −1
2. xex dx
t.n
1
Z
3. x2 − dx
x
x
Z
4. dx
cos2 (x2 − 1)
5.
Z
x3 − 1
x2 + 1
dx
a
us
Problema 408 Calcular las siguientes integrales:
Z
2 −1
1. x e5x dx
m
Z
2. x ex dx
5x
Z
3. dx
x2 +8
w.
Problema 409 Resuelve las siguientes integrales:
x3 + 2
Z
1. dx
x2 − 4x + 3
ww
Z
2. x ln x dx
4x
Z
3. dx
1 + x4
Problema 410 Calcular las integrales siguientes:

Z
2 −1
1. xe7x dx
2x
Z
2. dx
1 + x4
Z
3. x4 ln x dx
√
x3 − x + 5x − 1
Z
4. dx
x2
Problema 411 Calcular las siguientes integrales:
√
et
!
3x2 + x − 2
Z
1. dx
x3
Z
2. x3 + 3x + 5ex dx
t.n
x2
Z
3. dx
5x3 + 1
Z
4. x sin(3x2 + 8) dx
Z
x2 + x − 1
a
!
us
1. dx
x2
Z
2 +3
2. 5xex dx
Z
m
3. x cos x dx
Z
4. xex dx
w.
x3
Z
5. dx
x2 + x − 2
!
3x2 + 2x − 5
Z
ww
1. dx
x2
Z
2 −5
2. 9xe3x dx
Z
3. x sin x dx
Z
4. x2 ex dx
2x3 + 1
Z
5. dx
x2 − 3x + 2
3.5. INTEGRALES 101
√ !
3x − 2 x + 1
Z
1. dx
x2
5x
Z
2. dx
et
cos2 (x2 − 1)
Z
3. x2 ln x dx
t.n
Z
4. x sin 2x dx
x2 + 1
Z
5. dx
x2 + x − 2
a
us
√ !
3x2 − 2 x − 1
Z
1. dx
x
Z
m
2. x cos(7x2 + 1) dx
Z
3. (x2 + 1) ln x dx
w.
Z
4. x2 ex dx
x3 + 3
Z
ww
5. dx
x2 − 2x − 3

Z
2 −1
1. 5x e2x dx
Z
2. x ex dx
3.6. Áreas
Problema 417 Calcular el área que encierran las gráficas de las funciones
f (x) = 2x2 + x − 1 y g(x) = 3x + 3.
et
Problema 418 Calcular el área que encierran la gráfica de la función
t.n
5x2
f (x) =
x3 + 8
el eje de abcisas, la recta x = 0 y la recta x = 2.
a
us
Problema 419 Calcular el área encerrada por las curvas:
f (x) = x3 − 4x − 5, y g(x) = 5x − 5
m
Problema 420 Calcular el área encerrada por las gráficas de las funciones:
w.
f (x) = x2 + 3x − 1 y g(x) = x + 2
ww
Problema 421 Hallar el área encerrada por las funciones f (x) = 2x2 +
3x + 1 y g(x) = x2 + 5x + 4.
Problema 422 Hallar el área encerrada por las funciones f (x) = 2x2 −x+1
y g(x) = x2 + 3x − 2.
3.7. OPTIMIZACIÓN 103
3.7. Optimización
Problema 423 Tenemos 500 metros de alambre para vallar un campo rec-
tangular, uno de cuyos lados da a un rı́o. Calcular la longitud que deben
tener estos lados para que el área encerrada sea la máxima posible.
Problema 424 Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángu-
et
lo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 6 cm.
Problema 425 Determina los puntos de la curva y 2 = 4x que estén a

distancia mı́nima del punto (4, 0).
t.n
Problema 426 Expresar el número 60 como suma de tres ”enteros posi-
tivos”de forma que el segundo sea el doble del primero y su producto sea
máximo. Determinar el valor de dicho producto.
Problema 427 Un solar rectangular de 11250 m2 se divide en tres zonas
a
rectangulares iguales (ver dibujo) para su venta. Se valla el borde del campo
y la separación de las zonas. Calcula las dimensiones del solar para que la
longitud de la valla utilizada sea mı́nima.
us
Problema 428 Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángu-
m
lo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm.
Problema 429 Halla la longitud de los lados del triángulo isósceles de área
máxima cuyo perı́metro sea 60 m.
w.
Problema 430 Un número más el cuadrado de otro número suman 48.

Hallar ambos números para que su producto sea máximo.
Problema 431 Se ha construido un gran depósito cilı́ndrico de 81π m3 de

ww
volumen. La superficie lateral ha de ser construida con un material que

cuesta 30 euros/m2 , y las dos bases con un material que cuesta 45 euros/m2 .
1. Determina la relación que hay entre el radio, r, de las bases circulares

y la altura, h, del cilindro, y da el coste, C(r), del material necesario
para construir este depósito en función de r.
2. ¿Qué dimensiones (radio y altura) ha de tener el depósito para que

el coste de los materiales necesarios para construirlo sea el mı́nimo
posible?.
3. ¿Cúal será, en este caso, el coste del material?.

Problema 432 Determine los puntos de la curva y 2 = 4x que están a

distancia mı́nima del punto (4, 0).
Problema 433 A partir de una cartulina cuadrada de 60cm de lado se

va a construir caja de base cuadrada, sin tapa, a base de recortar cuatro
cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina y doblando después de la
manera adecuada. Un observador indica que la caja de más capacidad se
et
obtendrá si los cuadrados elimininados tienen 10cm de lado. Decidir si la
observación es correcta o no.
Problema 434 Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo
t.n
que: el perı́metro de uno de ellos sea triple del perı́metro de otro, se necesiten
exactamente 1248 metros de valla para vallar los tres y la suma de las áreas
de los tres campos sea la mı́nima posible.
Problema 435 Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perı́metro

8 y área máxima.
a
us
m
w.
ww

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et

Problema 2 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes sis-

Problema 3 Resolver y discutir los siguientes sistemas:

Problema 4 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes sis-

Problema 5 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes sis-

Problema 6 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes sis-

Problema 7 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes sis-

Problema 9 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes sis-

Problema 10 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

Problema 11 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

Problema 12 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

Problema 13 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

Problema 15 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

Problema 17 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

Problema 18 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

Problema 19 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

Problema 20 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

Problema 23 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

Problema 24 Discutir y resolver por el método de Gauss los siguientes

1.2. Logaritmos y exponenciales

2. log(5 − x2 ) − log x = 1 + log(x + 1)

3. log x − log(x2 − 2) = 1 − log x

Problema 29 Resolver las ecuaciones:

Problema 30 Resolver las ecuaciones:

Problema 31 Resolver las ecuaciones:

1. log x − log(x − 3) = log(2x)

Problema 32 Resolver las ecuaciones:

1. log x2 − log(x + 1) = 1 + log(x − 1)

3. log(x + 1) + log(x − 1) = log(25x) − 2

1. log(x + 1)2 − log x = 1 + log(2x)

Problema 34 Resolver las ecuaciones:

1. log(x + 3) + log x = 2 log(x + 1)

Problema 35 Resolver las ecuaciones:

1. log(3x − 1) + log(x − 1) = 1 + log x

3. log(x − 2) − log(x + 3) = 1 + log x

Problema 36 Resolver las ecuaciones:

2. log(5 − x2 ) − log x = 1 + log(x + 1)

3. log x − log(x2 − 2) = 1 − log x

Problema 37 Resolver las ecuaciones:

Problema 38 Resolver las ecuaciones:

2. log(3 − x2 ) − log x = 1 + log(x + 2)

2. log(5 − x2 ) − log x = 1 + log(x − 1)

Problema 40 Resolver las ecuaciones:

1. log(x + 1)2 − log x = 1 + log(2x)

3. log(x + 1) + log(x − 1) = 2 + log x

Problema 48 Resolver las inecuaciones siguientes:

Problema 51 Resolver las inecuaciones siguientes:

Problema 52 Resolver las inecuaciones siguientes:

1.4. Ecuaciones no lineales y sistemas

Problema 55 Resolver las ecuaciones:

Problema 56 Resolver el siguiente sistema

Problema 57 Resolver el siguiente sistema

Problema 58 Resolver el siguiente sistema

Problema 59 Resolver el siguiente sistema

Problema 60 Resolver el siguiente sistema

Problema 61 Resolver el siguiente sistema

Problema 65 Resolver el siguiente sistema

Problema 66 Resolver los siguientes sistemas: