PDF Libro Matematicas Financieras PDF

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ATEMATICAS·
INANCIERAS
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. Con ecuaciones de. diferenci'á. ·¡inita :
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A Jaime Andrés,
Martha Catalina
y Juan Daniel
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l=I CONTENIDO
A INTRODUCCION ........ . . .................... 9
A Capitulo 1
FUNCIONES LOGARITMICA
1.1 Introducción . . . . . . . .
Y EXPONENCIAL
. . . . . . . . . . . . .
PROGRESIONES
. . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Función.exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
l==I 1.3 Función logarítmica
Aritmética
. . .
1.4 Progresiones . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .· . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . .
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18
22
22
Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .· t . . . . . . . . . . 23
~ PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Capítulo 2
-
ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA
• ~ 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 33
2.2 Diferencia finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 34
~
fd::fi l
2.3 Ecuaciones de diferencia finita de primer orden
2.4 Ecuación de diferencia lineal de primer orden ....
2.5 Soluciones de ecuación de .diferencia de primer orden
. . .
_,
•
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35
37
39
2.6 Casos especiales ·. .. . . 45
Caso 1 _. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
~
Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1 Caso 4 . . . . . -. . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . 49
~ 1 PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1
FPI
Capitulo 5
SERIES VARIABLES
Capítulo 3 5 .1 Introducción . . -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 155
INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 5.2 Gradiente aritmético . 156
3. l Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5. 3 Gradiente aritmético creciente . . . . . . .· . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3. 2 Interés . . . . . . . . . . . . . . . . ·. . . . . . . . ." . . . . . . . . . . . . . 64 Valor futuro 157
3. 3 Clases de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Simple . 65 5 .4 Gradiente aritmético decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Compuesto · . 66 5 .5 Gradiente aritmético perpetuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3 .4 Diagramas de flujo de caja .........•............... 67 5.6 Gradiente geométrico . 168
3. 5 Valores presente y futuro . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5. 7 Gradiente geométrico creciente . 169
3. 6 .Cálculo del tiempo y la tasa de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Valor futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3. 7 Interpolación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
,3. 8 Tasas de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5. 8 Gradiente geométrico decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3. 8. 1 Tasa de interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5. 9 Gradiente geométrico perpetuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.8.2 Tasa de interés compuesto . 78 5 .1 O Otros casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3. 8. 3 Tasa de mterés efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 PROBLEMAS 186
3.8.4 Tasa dé interés nominal . 80
3.8.5 Tasas equivalentes . 81 Capitulo 6
3.8.6 Tasa de interés discreta . 85 AMORTIZACION Y SALDOS
3. 8. 7 Tasa de interés continuo . . . . . . . . . . :. . . . . . . . . . . 86 6.1 Introducción . . ·. .· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3. 8. 8 Tasa vencida . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.2 Amortización . 205
3.8.9 Tasa anticipada , . 90 Sistemas de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.8.10 Tasa compuesta . . . . . . . . . . 97 6.3 Saldos . 208
3. 8. 11 Tasa de inflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.4 Composición de los pagos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
V alores corrientes y constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.5 Amortización y saldos en el sistema UPAC . 220
3. 8. 12 Tasa de devaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Tasa de corrección monetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3.8.13 Tasa de oportunidad . 103 PROBLEMAS . 228
PROBLEMAS 104 . t·
Capitulo 7
Capítulo VALOR PRESENTE NETO (VPN)
SERIES UNIFORMES 7. 1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 241.
4.1 Introducción . 117 7. 2 Criterio del VPN para un solo proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.2 Series uniformes o anualidades . 118 7. 3 Criterio del VPN para dos o más proyectos . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.3 Anualidad vencida . 118 7 .4 Costo capitalizado . . . . 248
Valor futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . 119 PROBLEMAS 251
Valor presente . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Cálculo de la anualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Capitulo 8
Cálculo del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)
-, Cálculo de la tasa de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8 .1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . :- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.4 Anualidad anticipada . 128 8.2 Cálculo del CAUE . 262
4. 5 Anualidad diferida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 8.3 El CAUE neto . 264
4.6 Anualidad perpetua . 133 8.4 El CAUE en la selección de alternativas . 266
PROBLEMAS 138 PROBLEMAS 270
Capítulo 9
TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)
9. 1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9. 2 La tasa interna de· retomo . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9. 3 Cálculo de la TIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9 .4 Aplicaciones de la TIR en la selección de alternativas . . , . . . . . . 286
PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. · · · · · · · · · · 295
Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Indicé alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · · · 301
INTRODUCCION
El presente libro es el resultado, en primer lugar, del invaluable apoyo, estímulo

y colaboración que siempre he recibido de la Universidad Externado de Colombia
dentro de sus programas de investigación y elaboración de material bibliográfico.
En segundo lugar, al interés mostrado por quienes han sido mis alumnos y a sus
aportes durante el desarrollo de la materia Matemáticas Financieras.
Este texto tiene como principal objetivo, llegar a todas aquellas personas deseosas
y animadas por el estudio de esta materia, con un libro que sin ser demasiado
profundo en el tratamiento de sus temas, les permita el manejo de aquellos tópicos
~ más utilizados de la Matemática Financiera y las capacite con una visión un poco
más allá de lo puramente tradicional, razón par la cual be querido hacer el
l
~ desarrollo del mismo, a partir de las ecuaciones de diferencia finita, herramienta
ésta que permite manejar problemas no contemplados dentro de los modelos
tradicionales de esta cátedra.
• t=FI¡·- Dado el adelanto tecnológico, el uso de la calculadora manual y el computador,
t±.:1
que permiten agilizar los cálculos y realizar las operaciones matemáticas rápidas,
no se incluyen las tablas de interés, que tradicionalmente se presentaban al final
de estos textos.
F.=I "Matemáticas Financieras con Ecuaciones de Diferencia Finita" busca que el

lector, una vez estudie el concepto teórico y práctico de cada uno de los capítulos,
logre dominar el tema correspondiente con seguridad y precisión; por lo anterior,
en los problemas de final de capítulo, sólo se dan las respuestas a los problemas
múltiplos de tres, para que así el lector se vaya familiarizando con estos casos
de la vida real, donde es él quien debe dar la respuesta al problema.
El contenido se puede clasificar en tres partes: en la primera parte que corresponde
a los capítulos 1 y 2, se presentan a nivel elemental, algunos temas matemáticos
básicos necesarios para el desarrollo de los capítulos siguientes; en la segunda
parte que contempla los capítulos 3, 4, 5 y 6, se presentan los temas propios de
la Matemática Financiera y finalmente en la últiina parte, en los capítulos 7, 8
y 9 se desarrolla una de las principales aplicaciones de esta materia como es la
selección de alternativas por los métodos allí expuestos.
Terminados los temas anteriores, el lector quedará en condiciones de iniciar cursos

tales como Evaluación Financiera de Proyectos, Análisis Financiero, Administra-
ción Financiera, Decisiones de Inversión, etc y todos aquellos que requieran de
la herramienta matemática-financiera.
CAPITULO l
Agradezco de manera muy especial, a la señora Luz Marina Bemal de Jiménez,
quien con su labor de transcripción ha contribuido a la presentación de las dos FUNCIONES LQGARITMICA Y
ediciones de este libró. ~ EXPONENCIAL
PROGRESIONES
Jaime A. García
~
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CAPITULO 1
FUNCIONES LOGARITMICA Y EXPONENCIAL.

PROGRESIONES
1.1 INTRODUCCION
No obsfante que la mayoría de las máquinas calculadoras que utilizaremos en el

desarrollo de los temas que aquí se presentan, contienen dentro de sus programas
y comandos las funciones exponencial y logarítmica, es conveniente revisar los
conceptos básicos de estas funciones dada la continua aplicación que de ellas se
hará a lo largo de los ejercicios y problemas. Otro tanto' se hará respecto a las
progresiones y fundamentalmente de las geométricas por su aplicación en las
operaciones financieras con interés compuesto.
El objetivo de este capítulo es que el lector maneje y aplique los conceptos

• matemáticos anteriores en todos aquellos casos que así lo exijan y que esté
capacitado para complementar el trabajo de las calculadoras en aquellos tópicos
que éstas no ejecutan corno son las propiedades de estas· funciones y que son de
tanta importancia en el planteamiento y desarrollo de un problema.
1.2 FUNCION EXPONENCIAL
Definición 1.1
Dado un número real positivo "b", se llama función exponencial en la base "b"
a la función expresada como f(x) = b",
~
18 MATEMATICAS FINANCIERAS FUNCIONES LOGARITMICA Y EXPONENCIAL PROGRESIONES 19
~
En este caso la variable independiente x se llama el exponente y la constante b Del hecho de ser inversas entre sí las funciones exponencial y logarítmica se
la base. desprenden algunas relaciones fundaméntales entre ellas, como son:
~
El dominio de la función exponencial es (-oo, oo) y el recorrido es (O, =). i) y = e" ( ) x = In y
Las propiedades de la función exponencial son las siguientes para b

O, y todo m y n.
> O, a > FI ii)
iii)
e1nt = t
ln e" = u
(1-3)
FI
Con esta breve exposición de las funciones exponencial y logarítmica estamos
en capacidad de entrar a desarrollar algunos casos a manera de ejemplos. Se trata
i) bm >O
bmbn = bm+n de que el lector se familiarice con el manejo de estas funciones ayudado natural-
ii) mente de la calculadora.
iii) b-n = Izb"
iv) bm/bn = b"':" (1-1)
~ Ejempío 1.1
v) (bmr = bmn
vi) ambm = (abyn El valor de venta o de mercado de una cierta maquinaria se puede expresar como
vii) am!bm = (alb)"! V = $ 10.000 e-0:11, donde tes el tiempo de antigüedad de la máquina medido
en años.
Hay dos bases de gran aplicación y son cuando b = e = 2,718281828 y cuando
b = 10. Las funciones respectivas se denotan: é y IOX como aparecen en las Se pregunta: a) cuál será el valor de la máquina al cabo de 8 años y b) en qué
calculadoras. momento la maquinaria tendrá un valor de venta de$ 6.065,3.
Solución
1.3 FUNCION LOGARITMICA
a) El valor de la máquina al cabo de 8 años estará dado por V(8) $ 10.000
Definición 1.2 e-O.HS> = $ 4.493,3
Dado un número real positivo b se llama función logarítmica, en la base b y se

b) En este caso V = $ 6.065,3 representa el valor de la máquina dentro de t
denota logby a la función inversa de y = b".
años, de tal manera que reemplazando en la función de valor de la máquina
este valor, se tiene: · 1-
De tal manera
,, que las funciones exponencial y logarítmica son inversas entre sí.
6.065,3 = 10.000- e-0•11
El dominio de la función logarítmica es (O, oo) y el recorrido es ( - =, =),
o sea e-0•11 = 0,60653
Para las dos bases anotadas anteriormente, las funciones logarítmicas se denotan
así: In si la base es e y se llama logaritmo natural o neperiano y log si la base es 10.
Tomando logaritmo natural en ambos miembros de la. igualdad obtenemos
Las propiedades de la función logarítmica, expresadas para el logaritmo natural, ln e-0•11 = 1n (0,60653)
son las siguientes para M y N positivos.
y aplicando la relación iii) de (1-3) al miembro de la izquierda de esta igualdad,
i) In (M · N) = In M + In N se llega a
ii) In (M/N) = In M - In N
iii) In M" = r In M (1-2) -0,lt = -0,5
iv) In 1 O
es decir, que t 5 años es la respuesta a la pregunta del literal b).
v) ln e = I
FUNCIONES LOGARITMIC~ Y EXPONENCIAL PROGRESIONES 21
20 MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo 1.2
La expresión 3000 [(1 + o,02r - 1]/0,02 representa, como lo veremos en el A la cual a su vez, se puede escribir como
In [3 - 2n!n2] = O
capítulo 4, el valor total acumulado después de n depósitos ~e $ 3000 cada uno
en una cuenta de ahorros que paga un interés del 2% mensual. S1 el total acumulado
asciende a $ 96.090,9, ¿cuántos depósitos se han realizado?
IA y de acuerdo con otra propiedad de la función ln, la expresión anterior es equiva-
lente a decir que
(3 - 2n)ln2 = 1
Solución ~ o sea que
Se tiene que +
F=1I
n2 2n - 3 ,= O
96.090,9 3000 lo,02r - 1110,02 que corresponde a una ecuación de segundo grado cuyas raíces son:
o sea ( 1 ,02r = 1,2640606 n = 1y n = -3
~
Tomando logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad se obtiene Sin embargo Ja solución al problema original es solamente n 1 ya que para
F7t
n = · - 3 no existe el logaritmo.
1 n (l ,02)n = In (1,640606)
El lector debe resolver el mismo problema utilizando otras propiedades de la
por la relación iii) de ( 1-2)
Ffl
y función logarítmica.
n · 1n (1,02) (1,640606) Ejemplo 1.4
en donde
In (1,640606) =
(:::1 Con la expresión P · ein, se calcula el valor total acumulado en una cuenta donde
el interés i% se capitaliza continuamente, y n es el número de años transcurridos
n= 25 1
desde el depósito de la cantidad P. A partir de esta expresión hallar el número
ln(l,02)
(:::::1
de años necesarios para que el total acumulado sea una cantidad F.
. f
Es decir que después de 25 depósitos de$ 3000 cada uno, se tendrá la suma de Solución
f::.1:1
$ 96.090,9 bajo las condiciones del ejemplo.
Se tiene que:
d:a
Ejemplo 1 .3 •
Hallar el valor de n tal que: en la cual debemos hallar el valor de n.
In (3 - 2n) - 2ln(n) O Podemos escribir la ecuación anterior como:
t.=Ft
1
ein = F/P
Solución
La ecuación del problema es equivalente a: y tomando logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad, se tiene que:
~ ln ein = In (F/P)
ln (3 - 2n) - ln(n)2 O
J
MATEMATICAS FINANCIERAS FUNCIONES LOGARITMICA Y EXPONENCIAL PROGRESIONES 23
22
de acuerdo con una de las igualdades de la expresión ( 1-3) se obtiene: Ejemplo 1.5
in = ln (F/P) Un hombre pidió un préstamo a una compañía por$ 36.000, con el acuerdo de
que pagaría tanto el capital como los intereses, en 12 pagos mensuales de$ 4.080
o sea que el primero, $ 3.990 el segundo, $ 3.900 el tercero y así sucesivamente. Hallar
la suma total de los pagos efectuados.
n = 1/í ln' (F/P)
Solución
1.4 PROGRESIONES La sucesión de pagos constituye una progresión aritmética donde:

Existen dos clases especiales de progresiones que son: la progresión aritmética y a = $ 4. 080, h = - 90, n = 12
Ja progresión geométrica, las cuales encontraremos en algunos problemas de
financieras principalmente aquellas de la segunda clase. entonces aplicando la expresión (1-3) se tiene que:
Definición 1.3 s = 1212 [2(4.080) + (12 - 1)(-90)] = $ 43.020

Se llama progresión aritmética a toda sucesión de términos,. dond_~ cad~ uno ?e Se debe tener en cuenta que en este ejemplo se pide hallar únicamente la suma
ellos, a diferencia del primero, se obtiene sumando una cantidad fija al inmedia- total de los pagos, mas no el valor del dinero pagado; este último concepto será
tamente anterior. A esta cantidad fija, que se adiciona a cada término, se le la base de los temas a tratar en capítulos posteriores de este texto.
conoce con el nombre de incremento o diferencia común.
Para determinar si una sucesión dada corresponde o no a una progresión aritmética,
Sea a el primer término y h el incremento o diferencia de una serie aritmética, basta con hallar el· incremento. Este se obtiene calculando la diferencia entre un
entonces los n primeros términos estarán dados por: término cualquiera y el inmediatamente anterior, y luego comprobar que se cumple
o no la definición (l. 3).
a,.a + h, a + 2h, ... , a + (n - l)h
Definición 1.4
Una de las mayores aplicaciones en financieras de la progresión aritmética, es la
suma de los n primeros términos la cual podemos representar por S, es decir que: Se llama progresión geométrica a toda sucesión de términos en la cual la razón
o cociente entre un término cualquiera y el inmediatamente anterior es constante.
S = a + [a + h] + [a + 2h] + ... + [a + (n - l)h]
Esta definición equivale a decir que una sucesión de términos constituye una
Esta expresión equivale a: progresión geométrica, si cada término se obtiene multiplicando el inmediatamente
• anterior por una cantidad fija .
n(n - 1) n
S = na + h _....:...._ _ ___:__ [2a + (n - l)h]
2 2 Entonces dado un primer término "a" y una razón r, la progresión geométrica
correspondiente a los n primeros términos estará dada por:
Es decir, que la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética
está dada por:
1
S = n/2 · [2a + (n - l)h] (1-4) Al igual que en la progresión aritmética, aquí nos interesa especialmente la suma
\n
de los primeros términos de esta progresión. Es decir el valor de S donde
Se debe advertir que la diferencia común puede ser positiva o negativa, originando
así las progresiones aritméticas crecientes o decrecientes, respectivamente. S = a + ar + ar2 + ... + ari~ 1
FUNCIONES LOGARITMICA Y EXPONENCIALPROGRESIONES 25
Si multiplicarnos ambos miembros por r y hallarnos la diferencia entre las dos Ejemplo 1.7
expresiones, llegamos a que:
Una persona recibe el primer día 112, el segundo día 2/4, el tercer día 3/8, el
a(l - ,.'I) cuarto día 4/16 y así sucesivamente, en cientos de pesos. Si en estas condiciones
; sir* 1 estuvo durante 30 días, hallar el valor que recibió el último día y la cantidad
1 - r
s =
(1-5)
total recibida durante este tiempo.
{
. a.n ; sir= 1
Solución
Para determinar si una sucesión de términos constituye o no una progresión
geométrica, basta con hallar la razón correspondiente. Esta se obtiene dividiendo La sucesión formada por las cantidades recibidas es 112, 2/4, 3/8, 4/16, ... , en la
un término cualquiera por el inmediatamente anterior y luego comprobar si se cual los numeradores forman una progresión aritmética y los denominadores una
1
cumple o no la definición (1.4). progresión geométrica. Como podemos observar, no corresponde en total ni a
una progresión aritmética ni a una geométrica. Sin .embargo, sí podemos deter-
Ejemplo 1.6 minar el n-ésimo término, el cual tiene la forma n/2n paran = 1, 2, 3, ... , de
tal manera que el valor que recibió el último día (n = 30) fue 30/230 = 2,7939
Dada la sucesión: 3, -·2, 3/4, - 8/9, ... , hallar el décimo término y la suma de X 10-8.
los 20 primeros términos.
Para hallar la cantidad total recibida, debemos sumar los 30 primeros términos
Solución de esta serie. Es decir hallar el valor de:
Primero debemos comprobar si la sucesión constituye o no, una progresión geo- s = 1/2 + 2/22 + 3/23 + 4/24 + . . . + 30/23º
mé~rica. ~ara ello calculamos una razón dividiendo un término cualquiera por
el inmediatamente anterior; esto nos da que r = - 2/3. Como esta cantidad Si la expresión anterior la multiplicamos por 112 tenemos:
cumple las ~?ndiciones dadas en la definición (1.4), entonces podemos asegurar
que la sucesion corresponde a una progresión geométrica en la cual a = 3 y r - 2/3. ~ (l/2)S = 1122 + 2/23 + 3/24 + 4/25 + ... + 30/231
~
Como el n-ésimo término es a· ,.n- 1,
tenemos que el décimo término es 3( -2/3)9 y ahora si de la primera restamos la segunda, se obtiene:
= -512/6561.
(l/2)S = [1/2 + 1122 + 1/23 + 1124 + ... + .1123º] - 30/231
Aplicando la primera parte de la expresión (1-5), se tiene que la suma de los 20
primeros términos de la progresión geométrica es: La expresión dentro del paréntesis, es la suma de los 30 primeros términos de
una progresión geométrica cuyo primer término es 1/2 y la razón también es 1/2,
3 [l - ( - 2/3)2º] de tal manera que:
• S= 1 - (-2/3) = 1,799458
t:;::I
1:
112 [l - (112)3º]
S=2 -30/23] = 2 (aproximadamente)
[ l - 1/2
Las progresiones geométricas pueden ser crecientes, constantes o decrecientes
según 9ue la razón sea mayor de 1, igual a 1, o menor de 1 pero positiva,
o sea que la cantidad total recibida fue de $ 200, aproximadamente.
respecn vamente.
Algunas veces. se presentan sucesiones de términos tales que una parte de los
f*! Otra aplicación de las progresiones geométricas la podemos encontrar en el con-
cepto económico de la propensión marginal al consumo. Este concepto se define
l*:I
termmos constituye una progresión aritmética y la otra parte una progresión
geométrica. En el siguiente ejemplo veremos la forma de resolver esta clase de como la proporción (porcentaje) de ingreso adicional recibido por los consumidores
problemas. y que se gasta en bienes y servicios.
~
26 MA TEMA TICAS FINANCIERAS FUNCIONES LOGARITMICA Y EXPONENCIAL PROGRESIONES 27
Supongamos que la propensión marginal ál consumo en una cierta economía es PROBLEMAS

del 0.5. Una empresa dentro de esta economía, emplea a uno de los trabajadores
durante algunas horas extras y por esta razón la empresa le paga al empleado 1.1 Si ln x = a y ln y = b, expresar cada uno de los logaritmos siguientes en
$ 1.000 más. términos de a y b.
Se trata de registrar el efecto de este aumento inicial de$ 1.000, en el.gasto total i) ln(x·y) ii) ln (x2 y) iii) ln (xi/)
en toda la economía. Entonces, en primer lugar tenemos que el gasto total aumen-
tará por el incremento de los$ 1.000. En segundo lugar, el trabajador que recibe iv) ln (x2!y3) v) 2 ln (x3• y112)
estos $ 1.000, gastará el 50% de ellos, o sea$ 500. La persona que recibe estos
$ 500, gastará el 50% de ellos, o sean$ 250, y así sucesivamente. De este modo, 1.2 Averiguar en dónde se origina el error del siguiente razonamiento: ComoJ
se genera una sucesión que se puede representar así: > 2 es verdadero, entonces 3 [ln (112)] > 2 [ln (112)]
$ 1.000, $ 500, $ 250, ... , 1000(0,5t-1 o sea In (112)3 > ln (112)2, por lo tanto (112)3 > (1/2)2
y que corresponde a una progresión geométrica cuyo primer término es 1000 y o sea 1/8 > 1/4. Lo cual es falso.
la razón 0.5.
1.3 Resolver para x, cada uno de los casos siguientes:
ii) log , (1 - x) = 2
iii) log; e5 = 5 iv) log (3x2) = 1 + log (9x)
v) ln (3 - 2x) - 2 In (x) O
1.4 Resolver para x, cada uno de los casos siguientes:
i) e -0,05x = o 01 ii) 113 (2)-" = 12

'
iii) (112)1 -2x = 315 iv) (4/5)11x = 3 ·'"
V 2(10)2x-3 = 1/2
1.5 En un determinado país, la población aumenta a una velocidad del 10%

• anual. A esta velocidad, ¿en cuánto tiempo se duplicará la población inicial?
1.6 Explique porqué el número 1 no se puede utilizar como base para logaritmos.
1.7 ¿Cuánto tiempo tardará en triplicarse un capital invertido al 25% de interés

si se supone una capitalización continua?
1.8 SiD = {x!x = 5 + 3 (n - 1); n =l, 2, 3 ... },

encontrar el valor mínimo de n tal que D, > 100, donde D, representa la
suma de los n primeros términos de D.
28 MATEMATICAS FINANCIERAS FUNCIONES LOGARITMICA Y EXPONENCIAL PROGRESIONES 29
1.9 Para cada una de las sucesiones definidas por las funciones siguientes, con 1.16 Una progresión geométrica tiene el siguiente comportamiento: el primer
n = 1, 2, 3, ... , determinar cuáles son progresiones aritméticas y cuáles término es a· = 2 y aumenta con una razón· de r = 2 hasta el 24~ término
geométricas. y de allí en adelante disminuye con una razón de r = 112. Hallar la suma
de los 40 primeros términos de la progresión.
i) f (n) = lln ii) f (n) = n iii) f (n) l/n!
1.17 Una persona se informa de un suceso a las 12 del día. A los 20 minutos ya
lo había contado a otra persona. Las dos personas informadas, a su vez lo
iv) f (n) = (1 + l!n)" v) f (n) = l/2n vi) f (n) 2n contaron cada una a otra .pasados 20 minutos. Cada una de estas cuatro
personas lo cuentan a otra a los 20 minutos siguientes, y así sucesivamente
1.10 Hallar el valor de: hasta las 6 de la tardedel mismo día. Hallar el número de personas que se
informaron a 'las 6 de la tarde y el número total de personas informadas
20 20 10
desde las 12 del día hasta las 6 de la tarde.
ii)~ 1 .. ~ (1 1 )
lll) ~ (- ~
1.18 ¿Es posible repartir$ 75.000 en 15 premios de tal manera que cada premio
"""" 2k
k=O kz2 k =o sea $ 500 meno] que el anterior? En caso afirmativo, hallar el valor de los
premios.
1.11 Hallar la suma de los 1 O primeros términos de la progresión cuyos primeros
J . 19 Hallar el número k de tal manera que k - 2, k + 4 y 3k sean términos
términos son 2, 6, 18, 54 ... consecutivos de una progresión aritmética. ¿Es única la solución?
1.12 Hallar el valor de A sabiendo que:
1.20 Resolver el problema (1.19) si se trata de una progresión geométrica.
1.21 Un empleado acepta trabajar para una empresa por 1 centavo el primer día,
2 centavos el segundo día, 4 centavos el tercer día, 8 centavos el cuarto
día y así sucesivamente durante dos meses (60 días). a) Averiguar cuánto
ha recibido el empleado durante el primer mes y b) Cuánto estaba ganando
el día 60.
1. 13 Una serie de datos tiene la siguiente forma:
1.22 El costo de vida aumentó en un 24% anual en término medio desde 1978.
1, 112, 3, 1/4, 5, 118, 7, 1/16, ... Si un artículo costaba$ 1.540 el lo. de enero de 1978, ¿cuánto costó el 31
de diciembre de 1982?
Hallar la suma de los 50 primeros términos de esta sucesión y el valor del
término No .• so. l.23 Para el problema (1.22), ¿en qué momento el artículo estaba costando
$ 3.540?
1.14 Determinar el valor de n tal que
1.24 Si la propensión marginal al consumo para una economía es de 0,8 el
4797,45 = 30 [
1
o,¿2 J
(1 02)~n1
. ~
gobierno decide aumentar su.gasto en $ 2 millones para un período, ¿cuáles
serán los tres primeros incrementos y el décimo incremento del gasto total,
como términos de una progresión geométrica?
1.15 Determinar el valor de n tal que
1 03)n -
14 241 3 = 530 [(--'----'---
. ' 0,03
g 1.25 Un carro recorre 40 metros el primer segundo, y durante cada uno de los
segundos siguientes recorre los 4/5 de la distancia recorrida en el segundo
inmediatamente anterior. Se sabe además que con un galón de gasolina que
cuesta$ 350, recorre 550 metros, ¿Cuánto ha gastado en gasolina durante

la primera media hora de recorrido?
1.26 Resolver el problema (1.25) para el tiempo en que el carro esté en movi-
miento,
l.27 Sea p el precio unitario de un artículo y sea V(P )= 100e-0•02P la función

de ventas. ¿Cuál debe ser el precio unitario para que las ventas sean de 50
unidades?
1. 28 Analizar las ventas para el. problema ( 1. 27) si el precio aumenta indefinida-
mente.
1.29 Resolver el problema (1.28) para el caso en que la función de ventas esté
~ada por V (,p) ,= ~000 (1 - e-0•02P). CAPITULO 2
l. 30 El número de artículos que se fabrican diariamente, después de n días de ECUACIONES DE
iniciada la producción, está dado por D = 500-500e -u,zsn. ¿En qué momento DIFERENCIA FINITA
el nivel de producción será 475 unidades?
·1
. !
•
CAPITULO 2
ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA
2.1 INTRODUCCION
El estudio de las situaciones donde interviene una variable discreta es de gran

importancia en las Ciencias Económicas, tales como los problemas que relacionan
valores en pesos con cantidades, cuando estas últimas se deben expresar en números
enteros positivos, las relaciones entre las funciones de oferta y demanda cuando
ellas dependen del tiempo medido en días, meses, o años entre otros, elvalor
acumulado de una inversión cuando depende del tiempo medido en períodos de
capitalización, el saldo en un sistema de amortización cuando se pagan cuotas
periódicas, esto para nombrar tan solo algunos casos. Lo anterior justifica el
estudio, así sea a nivel elemental, de las ecuaciones de diferencia finita, donde
la variable independiente debe ser discreta y por lo tanto constituyen una de las
• herramientas matemáticas que se utilizan para resolver esta clase de problemas.
Además con la ayuda de estas ecuaciones podremos resolver una serie de problemas
propios de las Matemáticas Financieras que no se ajustan a los modelos o fórmulas
tradicionales que comúnmente se utilizan ·en esta materia.
Dado que la casi totalidad de problemas que relacionan los valores respecto al
tiempo, propios de las Financieras, siempre consideran el valor en un período
con respecto al del período inmediatamente anterior, esto nos indica que solamente
necesitamos de ecuaciones de diferencia de primer grado. Sin embargo, quien
esté interesado en ampliar sus conocimientos en esta clase de ecuaciones puede
consultar a Goldberg, S. "Introduction to Difference Equations" Science Editions.
34 MATEMATICAS FINANCIERAS ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA 35
También, aun cuando muchas de las fórmulas que se utilizan en Matemáticas De esta manera vemos que l:l.f(t) corresponde al incremento que sufre Y = f(t)
Financieras se pueden obtener a partir de progresiones aritméticas o geométricas, cuando la variable t se incrementa en una unidad. De aquí su aplicación en las
aquí se obtendrán a partir de una ecuación de diferencia finita con el fin de Matemáticas Financieras ya que en ellas se estudia, fundamentalmente, la varia-
familiarizarnos con el manejo de estas ecuaciones y así garantizar un éxito en ción que sufre el dinero al variar el tiempo en un período.
aquellos problemas donde el único camino a seguir es plantear y resolver una de
las tales ecuaciones. Ejemplo 2.1
2.2 DIFERENCIA FINITA

Si Y= f(t) =4t2 6, hallar la diferencia de primer orden.
Definición 2.1
Solución
Sea Y = f(t) una función para valores enteros no negativos de t, o sea para t =
O, 1, 2, 3, ... , se llama primera diferencia, o diferencia finita de primer grado Como Y1 = f(t) = 4t2 - 6, entonces Y1+ 1 = f(t + 1) = 4(t + 1)2 - 6 = 4t2
de Y ·= f(t), a la expresión dada por + 8t - 2. Aplicando la expresión (2-1), se tiene que:
.A J(t) = J(t + 1) -J(t) (2-1)
donde f(t) representa el valor de la función f en el punto t y f(t + 1) el valor de l;,.f(t) = Y1+1 - Y1 = (4t2 + 8t - 2) - (4t2- 6) = 8t + 4.
la función f en el punto t + 1. Como se puede observar, a partir del resultado del ejemplo anterior, l:l.f(t) es una
furición que depende de nuevo de la variable t, por lo tanto se puede hablar de
Con frecuencia se utilizan otras notaciones como son: la primera diferencia de l:l.f(t). Esta se denota por /::,,.2f(t) y se llama la segunda
diferencia de f(t), y así sucesivamente. Pero como ya se dijo anteriormente, uno
Y1 o Ír en vez de f(t) y Y1+ 1 o Ír+ 1 en vez de f(t + 1) de los objetivos en este texto, es la aplicación de las ecuaciones de diferencia a
problemas de Matemáticas Financieras y para ello es suficiente el tratamiento de
Podemos ver gráficamente la interpretación que tiene la primera diferencia de
las diferencias de primer orden.
una función Y = f(J) en la figura (2.1) siguiente:
y 2.3 ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA DE PRIMER ORDEN
y =JU)
. •'
Definición 2.2
Una ecuación que relacione los valores de una función Y = f(t) con una o varias
de sus diferencias finitas, se llama ecuación de diferencia finita en!( t).
En adelante las llamaremos simplemente ecuaciones de diferencia. El orden de

tJ.fit) estas ecuaciones lo determina la diferencia de mayor grado que se encuentre en
la ecuación. Así por ejemplo son ecuaciones de diferencia de primer orden, las
siguientes:
a) Y1+ 1 + 3}'.'1 = O b) Y1+1 = 2Y1 + 5t

1 +l c)Y1+1-Y~=8 d) Y1 - 3Y1+1 = 2t
Figura 2.1. Representación gráfica de ti j(t).

MATEMATICAS FINANCIERAS ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA 37
36
Ecuaciones de este tipo son las que aparecen al plantear los problemas de finan- e+
Y=-----
r(t - o
cieras, donde la variable t estará representando el tiempo medido en períodos 1 2
como días, semanas, meses, trimestres, semestres o años y por lo tanto esta
variable solamente podrá tomar los valores de O, 1, 2, 3, ... , y la variable Y1 estará donde C es una constante arbitraria, es también solución de la ecuación dada en
representando valores en dinero en el tiempo t. el ejemplo (2.2). Esta última función, es la solución general de la ecuación.
Definición 2.3 2.4 ECUACION DE DIFERENCIA LINEAL DE PRIMER ORDEN

Una función Y1 = f(t) = es una solución de la ecuación de diferencia finita, si Definición 2.4
está definida para valores enteros no negativos y satisface la ecuación dada.
Se llama ecuación de diferencia lineal de primer orden con coeficiente constante
Ejemplo 2.2 en Y1 a toda.expresión de la forma:
t(t - 1) (2-2)
Comprobar que la función Y1 = f(t) = --- es una solución de la ecuación
de diferencia siguiente: 2
donde a1, a0 son constantes, y g(t) es una función que depende de t siendo t =
O, 1, 2, 3, ...
Son ejemplos de ecuaciones de esta clase, además de los casos, a, b, e, d, e y

para t = O, 1 , 2, 3, ...
f de la sección (2.3), los siguientes:
Solución
a) 2Y1+ 1 - 3Y1 = 4t2 +6
A partir de la función Y1 dada, se obtiene que
e) 6Y1+ 1 - (3!4)Y1 - (114)t + (115)e-1 + 2
(t + l)[(t + 1) - l] (t + 1 )t
Y1+1 = 2 En el caso de las Matemáticas Financieras, la función g(t) se presenta solamente
2
como una función polinomial o como una función exponencial, de tal manera
Reemplazando los valores de Y1 e Yr+ 1 en la ecuación se llega a: que en adelante no trataremos-sino estos dos casos. · 1-
(t + 1 )t t(t - 1) (t+ l)t-t(t-1) t2+t-t2+t 2t Se debe tener en cuenta que una función polinomial es toda expresión que tenga
--= t la forma:
2 2 2 2 2
•
o sea que la función Y1 = f(t) cumple con la ecuación de diferencia dada en el
ejemplo. '
donde en' en -1 ' ... ' e
1, Co son constantes y n es un entero no negati VO. La
Existen dos clases de soluciones para una ecuación de diferencia finita que son: función exponencial ya se estudió en el capítulo 1.
solución general y solución particular. Se llama solución general aquella función
que teniendo una o varias constantes arbitrarias, cumple con la definición (2.3). Como se puede observar, a partir de la ecuación (2-2), estas ecuaciones son
Se llama solución particular aquella función que no tiene constantes arbitrarias y aplicables siempre y cuando el valor de la función en estudio, en un período
cumple con la definición (2.3). Por ejemplo, la función Y1 = f(t) del ejemplo cualquiera, esté relacionado o dependa del valor de dicha función en el período
(2. 2), es una solución particular de la ecuación dada allí. El lector puede comprobar inmediatamente anterior, además la variable independiente debe tomar los valores
que la función O, 1, 2, 3, ... Para efectos de la aplicación de estas ecuaciones, consideraremos
38 MATEMATICAS FINANCIERAS .ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA 39
siempre el intervalo general de la forma [t, t + 1] y los valores de una función 2.5 SOLUCIONES DE LA ECUACION DE DIFERENCIA 1
Y = flt), como Y1 y Y1+ 1 en los extremos de este intervalo. Sin embargo, se DE PRIMER ORDEN 1
puede presentar otra notación para estas ecuaciones como es la que se obtiene al
considerar el intervalo general de la forma [t - 1, t]. En este caso la ecuación Para hallar la solución de la ecuación de diferencia de primer orden dada en la '1
(2-2) se escribe como expresión (2-2), debemos tener en cuenta dos casos respecto a la función g(t)
que son:
1
i) Cuando g(t) sea constante.
donde a1 y a0 son las mismas constantes de la ecuación (2-2) y g1 (t) es una
función que depende de t relacionada con g(t). El manejo de estas nuevas ecua- ii) Cuando g(t) sea variable.
ciones es idéntico al que haremos para aquellas que tienen la forma de la ecuación
(2.2). Simplemente que Y1 de la primera ecuación corresponde a Yr- i de la Para cada uno de estos casos se utilizan métodos diferentes y se originan soluciones
segunda, y Y1+ 1 de la primera ecuación corresponde a Y1 de la segunda. diferentes.
Veamos con un ejemplo sencillo cómo plantear una ecuación de diferencia, a Caso i) Sea g(t) = K = constante. Entonces la ecuación (2-2) se convierte en
partir del enunciado de un problema.
Ejemplo 2.3 la cual se puede llevar a la forma

Una compañía recibe un ingreso mensualmente el cual cumple con la siguiente
(2-3)
condición: el ingreso recibido en un mes cualquiera, es igual a las tres cuartas
partes del ingreso recibido en el mes inmediatamente anterior, aumentando en
K
$ 2.000. Plantear una ecuación de diferencia· que relacione los ingresos de dos dondeA = y B = --
meses consecutivos. ª1
Solución Para hallar una solución particular de la ecuación (2-3) es preciso conocer Y0, o
un valor YK para k =I= O. Estos son los problemas más comunes en Matemáticas
En este caso el ingreso depende del tiempo. Sea Y1 el ingreso recibido al final Financieras.
del mes t, entonces Y1+ 1 será el ingreso recibido al final del mes siguiente, es . ·'
decir, en el mes t + 1. Si conocemos Y0, el problema se reduce a resolver la ecuación
Esto lo podemos ver en la figura siguiente: Y1 + 1 = AY1 + B, dado Y0
Entonces la ecuación (2-3) va tomando las formas siguientes según el valor de t:
Para t = O, Y1 =
AY0 + B
t t +1 parat = 1, Y2 =
AY1 ·+ B = A2Y0 + B (1 +A)
Según la condición dada en el problema se tiene que: parat = 2, Y3 AY2 -t B = A3 Y0 + B(l + A + A2)
=
paratcualquiera, Y1 = A1 Y0 + B(l + A + A2 + ... + A1-1)
Y1+ 1 = (3/4)Y1 + 2.000
[+=11
-A
y esta es la ecuación de diferencia que, según el enunciado del problema, relaciona = A1Y0 +B ,siA =I= 1
los ingresos de los meses consecutivos t y t + 1. . .
1-A .
40 MATEMATICAS FINANCIERAS ECUACIONES DE J?IFERENCIA FINITA 41
Pero si A = 1, se obtiene que Y, = Y0 + Bt Solución
En resumen se tiene que una solución particular de la ecuación (2-3), conociendo La ecuación del problema se puede escribir como Y,+ 1 = 3Y, + 2
el valor de Y0, está dada por:
en la cual A = 3 y B = 2; como A * 1, aplicamos la parte correspondiente de
l1 - A l la fórmula (2-5) y se obtiene:
t l _ A] , si A * 1
[ l 3]
1
A'Y0 +B
y=
I (2-4) Y, = 3'C + 2 -- = 3'C - [l - 3'] = 31 [C + 1] - 1
[ 1 - 3
Yo+ Bt, siA = 1
Si conocemos es el valor de Yk para k *

O, entonces basta con considerar Y0 =
C donde C es una constante arbitraria. Siguiendo el mismo procedimiento anterior,
donde Ces constante arbitraria. Su valor se puede calcular mediante la condición
r2 = 17' sustituyendo t por 2 en la solución anterior y y 2 por 17 se llega a:
se llega a la solución general:
17 = Y2 = 32 [C + l] - 1
y=
A'C+B
[ 1 -A'j
1 -A
, si A* 1
(2-5)
o sea 18 = 9[C + l] y de aquí se obtiene que C = l. Reemplazando este valor
de C, en la solución hallada anteriormente, se obtiene:
I
[ C+Bt, siA =1 Y, = 2(3') -1
En la expresión (2-5), al reemplazar t por k, y Yk por su valor se halla el valor y esta es la solución de la ecuación del problema, bajo la condición dada.
de C, el cual al sustituirlo en la expresión (2-5) nos da la solución particular
correspondiente. Caso ii) Cuando g(t) sea variable, consideraremos solamente las dos situaciones
siguientes:
Ejemplo 2.4
a) g(t) una función polinomial
Resolver la ecuación 3Y,+ 1 - 6Y, = 1, sabiendo que Y0 = 2/3. b) g(t) una función exponencial.
Solución para ambas situaciones, la solución general de la ecuación (2-2) tiene la forma
siguiente:
Primero debemos escribir la ecuación del problema, en la forma de la ecuación
(2-3). Se llega a que:
•
donde Yh(t) representa la solución general de la ecuación homogénea asociada a
y aquí podemos ver que A = 2 y B = 113; como A *

1, entonces aplicamos
la parte correspondiente de la expresión (2-4) y se obtiene:
la ecuación (2-2) es decir, la solución de la ecuación
Y,= 2' (2/3) + 113 [

l - 2~1 + y se puede hallar aplicando el método visto en el caso i) y más exactamente
l - 2] = 2' (2/3) 113 (2~ - 113 = 2' - 1/3
utilizando la solución dada en la fórmula (2-5.), así sea que se conozca el valor
de Y0• La función Yp(t) representa una solución particular de la ecuación (2-2).
Ejemplo 2.5 Esta solución particular será de la misma clase de la función g(t). Es decir, que
si g(t) es un polinomio, entonces Yp(t) también será un polinomio y del mismo
Resolver la ecuación Y,+ 1 - 3Y, = 2, si Y2 = 17 grado que g(t) y si g(t) es una función exponencial, entonces Yp(t) también será
una 'función exponencial, en .la misma base de g(t). Esta solución particular no y reemplazando en el problema original, Y1 por Yp(t) y Y,+ 1 por Yp(t + 1) esto
debe tener constantes arbitrarias y para hallar esta- función, se utiliza el método nos da:
de los coeficientes indeterminados, que se explicará con los ejemplos más adelante.
2 [a (t + 1)2 + b(t + 1) + e] - 3 [ar + bt + e] = 4r + 1 1
La solución Y1 debe contener una constante arbitraria en la parte correspondiente
a la solución Yb(t), y esta constante quedará determinada si conocemos Y0 o Yk o sea
para k * O. La sustitución de t por O, o por k y de Y0 o Yk, por su correspondiente
( -a)r + (4a - b)t + (2a + 2b -. e) = 4t2 + 1
li
,1
valor, solamente se debe hacer una vez estén sumadas las dos soluciones, es
decir, una vez se tenga la expresión (2-6).
igualando los coeficientes de las respectivas potencias de t, se tiene que
Caso a): Con un ejemplo, veamos la forma de resolver una ecuación del tipo
representado en la expresión (2-2) cuando la función g(t) es un polinomio.
-a.= 4
4a - b =O
Ejemplo 2 .6 2a+2b-c=l
Hallar la solución para el problema siguiente: Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, obtenemos:
2Y1+1 -3Y1 = 4t2 + 1, si Y0 5 a = -4, b = -16, e = -41
Solución
de tal manera que la solución particular es:
Primero hallamos la ecuación homogénea asociada a la ecuación del problema,
esta ecuación es: yp (t) = - 4t2 - 16t - 41
2Y1+1 - 3Y1 = Ü y aplicando la expresión (2-6) se tiene que la solución general es:
A partir de esta ecuación, obtenemos su solución que es Yh(t). Utilizando la Y1 = (3/2)'C - 4r - l6t - 41
fórmula (2-5) del caso i), se llega a:
Como el problema tiene una condición inicial que es Y0 =·~,entonces sustituyendo
Yh(t) = (3/2)1 C t por O y Y0 por 5, en la solución general, se tiene:
donde C es una constante arbitraria, no se debe sustituir en este caso por Y0 5 = Y0 = (3/2)°C - 4(0)2 -16(0) - 41
e
f!
En segundo lugar, debemos hallar la solución particular Yp(t). Como en nuestro o sea que = 46
caso la función g(t) = 4t2 + 1, es un polinomio de segundo grado, entonces
YP(t) también será un polinomio de segundo grado en la variable t y tendrá Ja forma Reemplazando C por este valor en la solución general, obtenida anteriormente,
se llega a que la solución del problema original está dada por:
= ar + +
.f=*I
yp(t) bt e
Y1 = 46 (3/2)1 - 4r - 16t - 41
donde a, b, e son constantes. Estas constantes se pueden determinar hallando
YP (t + l) que en nuestro caso es:
t 1
Si en un problema como el anterior, no se conoce el valor de Y0 sino el de Yk
para k *O, se procede a una forma similar a la anterior, para hallar el valor de
la constante e
Yp(t + 1) = a(t + 1)2 + b(t + 1) + e
~
- MATEMATICAS FINANCIERAS ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA 45
44
'Caso b ): Cuando la función g(t) sea una función exponencial, el procedimiento y de aquí se llega a
para resolver la ecuación (2-2) es bastante similar al anterior.
-2K = 3, o sea K = - 3/2
de tal manera que la solución particular estará dada por:
Ejemplo 2.7
Yp(t) = - 3/2 (2)1
Hallar la solución para el problema siguiente:
Y1+ = 4Y1 + 3(2)1, si Y0 1 Aplicando la expresión (2-6) se tiene que la solución general es:
1
Y1 = C(4)' - 3/2(2)1
Solución
y como el problema tiene una condición inicial que es Y0 = 1, entonces sustitui-
De nuevo, como en el ejemplo (2.6), primero hallamos la ecuación homogénea
remos t por O y Y0 por l. en la solución general anterior y tenemos que:
asociada a la ecuación del problema. Esta ecuación es:
l = Y0 C(4)º - 3/2(2)º
Y1+1 - 4Y1 =O
o sea que e = 512
cuya solución es Yh(t) y está dada por
Reemplazando C por este valor, en la solución general, se llega a que la solución
C(4)' del problema original está dada por:
donde C es una constante arbitraria. Y1 = 25 (4)' -

3
2
Ahora nuestra función g(t) = 3(2)' es una función exponencial en la base 2,
entonces la solución particular correspondiente también será una función exponen- 2.6 CASOS ESPECIALES
cial en la base 2, con coeficiente arbitrario. Es decir que la solución Yp(t) tendrá
la forma: Al igual que en las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes,
en las ecuaciones de diferencia finita, se presentan algunos casos para los cuales
no se pueden aplicar los procedimientos de solución estudiados anteriormente,
sino que hay necesidad de hacerles algunas modificaciones. Veremos los casos
donde k es una constante que debemos calcular de una manera similar a lo más frecuentes dentro de las ecuaciones que estamos estudiando.
estudiado en el ejemplo (2-6).
Caso 1
De esta soluciórr particular se obtiene que
Si la función g(t) en la expresión (2-2), es una combinación lineal entre una
Yp(t + 1) = K(2)'+
1
función exponencial y una función polinomial, entonces la solución particular
Yp(t) también debe ser una combinación lineal de tales funciones y los coeficientes
reemplazando Y1 por Yp(t) y Y1+ 1 por Yp(t + 1) enel problema original se tiene: se determinan por los mismos métodos vistos en los casos a) y b) anteriores.
k(2)1+ 1
- 4K(2)1 = 3(2)1 Ejemplo 2.8
Hallar la solución a la siguiente ecuación de diferencia bajo la condición dada:

o sea que:
2K(2)t - 4K(2)r 3(2)' Y,~ 1 - 2Y1 = 3(4)1 +4t, Si Y0 = 4
r 46
MATEMATICAS FINANCIERAS ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA 47
Caso 2
Solución
Si la ecuación (2-2) tiene la forma:
La solución de la homogénea asociada
Y r+l - 2Y t =O
está dada por la función donde r y a Son constantes, equivalente a decir que el A de la homogénea es
igual a la base de la exponencial, entonces la solución de la homogénea asociada
a esta ecuación es
donde e es una constante arbitraria.
La solución particular Yp(t) será de la forma:

Sin embargo, la solución particular ya no puede ser de la forma
YP(t) = K(4)1 + at + b
YP (t) = Ka'
1 res se determinan, como ya se dijo, por
donde K, a, b son c~nstantes c~yos v~ o A partir de esta función se tiene que como lo puede comprobar el lector al tratar de hallar el valor de K. Por lo tanto,
los procedimientos vistos antenormen e.
en este caso, es decir cuando el vaior aofa1 en la ecuación (2-2), es el negativo
Yp(t + 1) = K(4)1+ _1 + a(t + 1) + .b
. de la base en la función exponencial de g(t), se debe tomar como solución
particular una función de la forma:
Sustituyendo estas dos funciones en el problema original se obtiene:
YP (t) = Kta'
[K(4)1+ 1 + a(t + 1) + b] - 2 [K(4)' + at + b] = 3(4)' + 4t
Se puede ver que la función es solución del problema original para K = ria.
efectuando las operaciones indicadas y simplificando se llega a:
Ejemplo 2.9
2K(4)1 - at + (a - b) = 3(4)' + 4t
igualando coeficientes se tiene:
2K = 3, -a = 4, a - b = O Y1+ 1 - 3Y1 = 12(3)1, si Y0 = :i,¡.

= 312, a = _ 4, b = _ 4, de tal manera que la solución Solución
y esto nos da: K
particular es: • La solución de la homogénea asociada está dada por
Yp(t) = 3/2(4)1 - 4t - 4
y la solución general es
' La solución particular será de la forma
y1 = C(2)' + 3/2 (4)' - 4t - 4
.. , . icial de y =4 se obtiene el valor de C como 13/2 y
A partir de la con d icion im o •
así la solución al problema original está dada por: El lector debe comprobar por qué la solución particular no puede ser la forma
13 3
y = - (2)1 + ( 4 )1 - 4t - 4 Yp(t)- = K(3)r
1 2 2
A partir de nuestra solución particular se tiene que Solución
YP(t + 1) = K(t + 1) · (3)'+

1
La solución de fa homogénea es Yh(t) = C
La solución particular debe tener la forma siguiente:

y sustituyendo Yp(t + 1) y Yp(t) en la ecuación original·se llega a
3K(3)' = 12 (3)t Yp(t) = t(at + b)
igualando coeficientes se obtiene K = 4, y la solución particular es FI El lector debe comprobar, por qué la solución particular no puede ser de la forma:
Yp(t) = at + b.
Yp(t) = 4t(3)'
A partir de nuestra solución particular, se tiene que
J,:¡
~
y por lo tanto la solución general es de la forma
Yp(t + 1) = (t + 1) [a(t +. 1) + b]
Y, = C(3)' + 4t(3)'
Sustituyendo estas funciones en la ecuación original se llega a:
A partir de la condición de Y0 = 2, se obtiene C 2, y entonces la solución
2at + (a + b) = 2t -3
al problema es
Y, = (3)' (4t + 2) ~ igualando coeficientes se tiene que a = 1,b = - 4 y así la solución particular es
J
Yp(t) = t(t - 4)
l!
Caso 3
y la solución general
Si la ecuación (2-2) tiene la forma
Y, = C + t(2t - 5)
Y, = C1 t + C0
J.
Y1+ 1 -
con la condición inicial de Y0 = 4, se obtiene que C = 4, y por lo tanto la
donde C 1 , C 0 son constantes, es decir, cuando el valor de aof a 1 en la ecuación solución al problema es
(2-2) es - 1 equivalente a decir que el valor de A en la homogénea es 1 y g(t) .¡.
es un polinomio de cualquier grado, como en nuestro caso que es de primer Y, = 4 + t(t - 4)

grado, entonces la solución particular no puede tener la forma
Caso 4
Yp(t) = at + b
• Si g(t) es combinación de polinomio y exponencial y si en la homogénea A =
~
t=I
sino que debe ser 1 , entonces para hallar la solución particular, se multiplica por t solamente la
parte correspondiente al polinomio en Yp(t) y no toda la solución particular. Otro
Yp(t) = t(at + b) tanto sucede si A es igual a la base de la exponencial, entonces solamente se
multiplican por t la parte de Yp(t) que corresponde a la función exponencial.
Ejemplo 2. JO Ejemplo 2. 1 J
~
F=I
Hallar la solución de:
Y,+ 1 - Y, = 2t - 3, si Y0 = 4 Y1+ 1 - 3Y, = 4(3)' - 2t; Y0 = 2
~
50 MA TEMA TICA.S FINANCIERAS ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA 51
Solución Con los casos especiales tratados anteriormente, se puede decir que se completa
el estudio de las ecuaciones de diferencia lineales de primer orden que nos
La ecuación homogénea asociada es: prepusimos.
Y,+.1 - 3Y, = O Como se dijo al principio del capítulo, el objetivo es familiarizar al lector con
el manejo de las ecuaciónes de diferencia para que más adelante se puedan aplicar
Se tiene que Yh(t) = 3'C. En este caso A = 3. en. la solución de problemas propios de Matemáticas Financieras; por: tal razón,
los ejemplos y problemas que aparecen en este capítulo, hacen referencia más al
La solución particular .sería de la· forma: aspecto matemático de estas ecuaciones que a las aplicaciones directas en finan-
cieras. Estas últimas aplicaciones se plantearán más adelante una vez se hayan
YP(t) = [K(3)'] + [aJ + b] estudiado algunos conceptos básicos como son por ejemplo los de intereses,
períodos de capitalización, valor presente y futuro, etc.
donde el primer paréntesis angular de la derecha de la igualdad, es la parte de la
solución correspondiente a 4(3)1 de g(t), y el segundo paréntesis angular es la Sin embargo, podemos ver a manera de ejemplos, cómo plantear algunos proble-
correspondiente a la expresión - 2t de g(t). mas en términos de una ecuación de diferencia de primer orden.
Sin embargo como A ~ 3 y la base de la exponencia es también 3, entonces la Ejemplo 2 .12

verdadera solución particular tendría la forma:
Un empleado inicia trabajando en una empresa con un sueldo mensual de$ 15.000.
Y/t) [K(3)' · t] + [at + b] = kt 31 + at + b La empresa aumenta los salarios cada año en un 16%. Establecer la relación entre
el ingreso mensual del empleado en un año cualquiera y el ingreso mensual del
de tal manera que: año inmediatamente anterior. Como podemos observar, el ingreso mensual de-
pende del tiempo. Entonces, sean Y, el ingreso mensual en el año t y Y,+ 1 el
Yp(t + 1) = K(t + 1)31+1+a(t+1) + b = 3Kt(3)1+3K(3)1 + at +a+ b ingreso mensual en el año siguiente, es decir en el año t + 1. En un diagrama
esto se representa como en una figura anterior.
Reemplazando en el problema original se tendrá que:
El ingreso o salario en un mes del año t + 1, que es Y,+ 1, debe ser igual al
[3Kt(3)' + 3K(3)' + at + a + b] - 3[Kt(3)1 + at + b] = 4(3)' - 2t salario mensual del año anterior (t), que es, Y,, más el reajuste del 16% que es
:J:
0.16 YP o sea, que tiene . ;.
Reduciendo e igualando coeficientes de las respectivas funciones se llega:
3K = 4 Y1+1 =Y,+ 0.16Y, = (l,16)Y,
.
-2a = -2
la cual corresponde a una ecuación de diferencia de la clase vista en la expresión
Jt
. a - 2b =O (2-3) con Y0 = $ 15.000.
dedonde:K = 4/3·,a = l,b = 112,detalmaneraquelasoluciónparticulares Ejemplo 2.13
4 1 Usted dispone 'hoy de $ 45.000 y cada día, a partir de mañana, gasta la mitad
Yp(t) = (3)'C + - t(3)' + t +
de lo_ que tenía el día inmediatamente anterior. Establecer una ecuación que le
3 2
d:t
~ permita calcular la suma de dinero que aún Ie.queda cualquier día, después de
pero como Y0 = 2, al reemplazar este valor en la solución general se obtiene C efectuar el gasto correspondiente. Llamemos saldo la suma de dinero que le
= 3/2. Por lo tanto la solución al problema, bajo la condición dada, es: queda diariamente después de efectuar el gasto. Este saldo depende del tiempo;
llamando S, al saldo en el día t, una vez efectuado el gasto, entonces S,+ 1 será
Y, = (3/2) (3)' + (4/3)t (3)' + t + 1/2 el saldo al día siguiente después de hacer el gasto correspondiente. Con la ayuda
~
52 MATEMATICAS FINANCIERAS- ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA 53
de un diagrama, se puede ver que el saldo Sr+ 1 será igual al saldo del día anterior Ejemplo 2.15
(S¡) menos el gasto del día t + 1 que es (1/2) St; o sea, que se tiene
Dadas las fuJ?ciones de oferta y demanda
S,+ 1 = S, - (112) St = (l/2)St
3
S,=,-35+-¡ P,_1 y D,=5-3P,
y S-0 = $ 45.000. Esto corresponde a una ecuación de diferencia de la clase vista
en la expresión (2-3).
encontrar el precio de equilibrio, suponiendo que el valor inicial del precio es
P0 = 10, y calcular P, para t = 6.
Ejemplo 2 .14
El precio de equilibrio se obtiene a partir de la igualdad Sr = D, o sea de - 35
FI
1 40
En el ejemplo (2. f3) supóngase que usted recibe$ 10 el día que efectúe el primer + l,5P,+1 = 5 - 3Presdecirque P, + 2P,_1 = 3·
El valor del
gasto, $ 20 el día en que efectúe el segundo gasto, $ 30 el día del tercer gasto
y así sucesivamente. La pregunta es la misma del ejemplo (2.13). precio de equilibrio p se obtiene tomando P, = P1_ 1 = p en la ecuación anterior,
1 40
En este caso los ingresos diarios tienen la forma de lOt para t = 1, 2, 3, ... , es decir quejí + - p = -- entonces,p = 80/9.
~ 2 3
entonces el saldo en el día t + 1 será igual al saldo del día anterior, menos el
gasto del día t + 1, más el ingreso de este día; es decir: ' Ahora bien, la ecuación de diferencia respecto al precio queda así:
S,+ 1 = S, - (1/2)Sr + lO(t + 1) A P,>

1
--P
2 /-! +- 3
40
o sea
S,+ 1 - (l/2)Sr = lOt + 10

FA o lo que es lo mismo
1 40
y además S0 = $ 45.000, lo cual corresponde a una ecuación de Ía clase vista
Pr+
~ 2 3
en la expresión (2-2), con g(t) un polinomio de primer grado. Por último, debemos
tener en cuenta, que en la casi totalidad de problemas prácticos, se requiere del
:e
y cuya solución es
valor de la función Y, en un punto específico. Este valor se halla tomando la • Jo
-=---
t ~ )'
función Y,, que obtengamos como solución final de la ecuación de diferencia
t+)'
respectiva, y calculándola en el punto específico que pide el problema. Así, par
[ E~)
ejemplo, si en el problema del ejemplo (2.13) anterior, se pide hallar el saldo
dentro de 15 días, es decir, Una vez efectuando el gasto No. 14, entonces debemos P=
t
Po+ ~ -~
resolver primerÓ la ecuación dada allí. Su solución es:
S, = 45.000 (1/2)r; t = O, 1, 2, ...
y así el saldo dentro de 15 días estará dado por
S14 = 45.000 (112)14 = $ 2.75 de tal manera que cuando t = 6, el precio seta
El lector debe resolver este mismo caso, cambiando la remuneración, es decir, p 6 = -10 ~-- 1 )6 +-80 = $ 8 9
denotando con 1 el día de hoy tomando entonces S1 = 45.000, ¿qu.é observa? 9 2 9 '
A
Con este último ejemplo hemos visto cómo manejar una ecuación de diferencia
referida a los períodos t. y t - 1, muy utilizadas en los textos de teoría económica.
¡.1
En la sección de problemas siguientes, el lector encontrará suficientes ejercicios PROBLEMAS
que le permitan reafirmar los conocimientos básicos sobre estas ecuaciones de
diferencia y lo capaciten para el buen uso de las mismas en problemas de aplicación ffl 2.1 Averiguar si la función dada Y = fit) es o no, solución de la ecuación
a las financieras. correspondiente: (K: constante).
A a)f{t) =K
b) fit) = K(2)1
; Yt+I - yl =o
; Y1+1 = 2Y,
c)fit) = K + t(t + 1) ; Y,+, Y, = 2t + 3
d)j{t) = t ; Y,+' - Y,= 1
t(t + 1)
e) fit) = + K ; Y,+ 1 - Y1 = t
2
K
f) f(t) = -- ; Y1+ 1 = 3Y, -1
1 +Kt
y
1
g)f(t) = - [31+ 1
+ 1] ; Y,~ 1 = ---
+
e- -;-y ;
2 1 yl
h) J(t) = 1 + 2Yt+ 1 + Yt - 3 = O
i) j{t) = 3[21- 1
- l] ;' Y,+ 1 = 2Y, + 1
~
2.2 Hallar la solución de cada uno de los problemas siguientes:
a) Y,+1 - Y1= 1 ; Y0 = 3
~
b) 2Y1 + 1 + Y1 = 3 ; Y0 = 1/2
F,:; e) Y,+1 = 2Y,

1
3 Y, -
4
3
; Y0 =4
= 6 ; Y0 = 213
• d) Y1+ 1
e) 4Y, - Y1+ 1 = 1 ; Y0 = 1
~ f) KY1+ 2Y, = 2 ; Y0 = 2; K > 2
1 -
g) 3Y,+ 1 - 2Y, - 3 = O - ; Y0 = 3
~ h) 2Y,+ 1 - Y, = 2 ; Y0 = 4
i) Y1+1 +Y,= -2 ;Y0 = 3
j) 15Y1+ 1 - lOY1 - 3 = 0j Y0 = 1
~ k) 3Y1+ 2Y, - 6 = O ; Y0 = 4
1 -
~
ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA 57
56 MA TEMA TICAS FINANCIERAS
2.3 Hallar la solución de cada uno de los problemas siguientes: 2.9 Una persona tiene hoy$ 40.000, y a partir del segundo día, gasta cada día
la tercera parte de lo que tenía el día inmediatamente anterior. ¿En qué
; Y2 ::;: 112 momento le queda$ 1 aproximadamente?
a) Y,+ 1 3Y, - 1
=
b) 2Y, + 1 - Y, = 2 ; Y1 = 4 2. JO Un est~di~nt~ de inglés, inicia aprendiendo el primer día una palabra y en

e) Y,+ 1 + Y, = O ; Y2= 6 cada día siguiente aprende el doble de las palabras aprendidas el día inme-
1 diatamen~e anterior, más una palabra adicional. Calcular, ¿cuántas palabras
1 Yt - -Y,+
3 - ;Y2 = 6
A
d) -. 1 - O aprendera dentro de 3 meses (90 días) y cuántas habrá aprendido hasta
2 4 ese momento?
e) 4Y,+1 -2Y, = 1
2. 11 Hallar el precio de equilibrio en cada uno de los siguientes casos y calcular
2.4 Hallar la solución de cada uno de los problemas siguientes: . el precio en el tiempo dado.
a) Y1+ +Y,= 2t + 1
1
; Y0 = 6 a) S1 = -10 +2P,_1, D, = 80 - 4p,, P0 = 18, t = 10
b) Y, - 3Y,+ 1 - 10t2 ; Y1 = 4 , D1=80-p1 ,P0=50, t =5
e) Y,+ 1 = Y, + 4t ; Y0 = 1 e) S1 = -20 + 2P,_" D, = 100 -4p, P0 = 60, t = 6
d) Y,+ Y, = 2t2 + t
1 - ; Y2. = 5
2.12 Similar al ejercicio anterior
e) 2Y,+ 1 - 2Y, = 3t - 1 ; Y0 = 2
S1 = - 40 + 3p, .dondejs, = 2P1_1 +
2.5 Hallar la solución de cada uno de los problemas siguientes:
D1 = 140 - 3P,
a) 2Y,+ 1 + 3Y, = 5(2)1 ; Yo= 3
P0 = 40
b) Y1+ 2Y1 = 6(2Y ; Yo= 1
i*ti
1 -
e) Y1+ 1 + 3Y1 = 2(4)' - t ; Yo= 2 2. 13 Sean Y1 la función de ingreso en el período t y C la función de costo en el
d) 3Y1+, + Yr =(1!3Y . y: -- 6
'.o
período t. Si estas funciones se relacionan según el modelo siguiente:
2.6
e) 2Y, - Y1+1 = (4/-1 - 3t + 8; Y, = 4
Resolver las ecuaciones de diferencia obtenidas en los ejemplos (2.12),

l:fl C, = Q'. Y,_1 + j3
Y,= C, + 8
• J-
(2.13) y (2.14) de la sección (2.6).

donde O'., ¡3, 8 son constantes positivas, hallar las funciones Y1 y C, sabiend~
~ que Y(O) = Y0 y C(O) = C0 .
2. 7 Una persona ahorra mensualmente sumas diferentes de dinero en una corpo-
ración de ahorro que abona un cierto interés. Al denotar por F, el valor total
acumulado o saldo existente al final del mes t, y por F1+ 1 el existente al ~ 2.14 Si deno.tamos con PJe~ P
pre~io de ciertas obligaciones en el período t y 1+ 1,
~ el precio de esas obligaciones en el período siguiente, supongamos que
final del mes siguiente, se ha llegado a que la relación entre estos valores es:
-l=t
hemos llegado a un~I expresión de la forma: .
F1+ 1 = F, + 0,03 F, + 100(3/2)'
y además F0 =O. Hallar el saldo existente dentro de 30 meses.

P1+1 =(1-:) +:P1 K
2.8. Para el caso especial 2) de la sección (2.6) comprobar que el valor de K donde: a, b, K son constantes. Si P = h, hallar una expresión de estas
obligaciones en un período t cualqui~fa.
debe ser igual a ria, para que la función Kta'sea solución particular.
.
Fr=I.
R. ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA 59
2.15 Expresar en forma matemática cada una de las siguientes proposiciones: la inversión en el quinto año sabiendo que el gasto del segundo año fue de
a) El ingreso de una compañía en cualquier período es igual al costo más
la inversión en ese período.
A $ 15 millones.
2.23 El saldo en una cuenta de ahorros al final de cualquier mes es igual al saldo
b) El costo en cualquier período es proporcional al ingreso en ese período.
e) La diferencia entre el ingreso en un período t y el ingreso en el período
inmediatamente anterior es proporcional a la inversión en el período t.
A del mes inmediatamente anterior más una cantidad constante. Escribir una
ecuación de diferencia representativa de la situación anterior.
R
· 2.24 Supongamos que un pozo de petróleo produce q, barriles de petróleo anual-
2.16 Si todas las constantes de proporcionalidad del ejercicio anterior son positi- mente donde t = 1, 2; 3, ... , y que al final de cada año se experimenta
vas, resolver el modelo formado por las tres afirmaciones. una disminución en la producción del r%. Determinar el nivel de producción
en el año t sabiendo que q1 = p fue la producción del primer año.
2.17 Se inicia con una suma de dinero de$ 60.000. Por efecto de rendimiento
del mismo, al final de cada año, se tiene el doble de lo que se tenía al final 2.25 Un modeloeconómicoque relacionael consumoC,, el ingreso Yt> y la inversión
/1, en el tiempo t, puede ser el siguiente:
del año inmediatamente anterior pero a su vez se retiran $ 25. 000 cada año
empezando dentro de un año. Hallar la suma de dinero que se tendrá dentro
de 10 años después y antes del retiro respectivo. C, = 70 + (2/3) Y1_ 1
2.18 Resolver el problema (2.17) suponiendo que los retiros son: $ 2.000 el
primer año, $ 4.000 el segundo año, $ 6.000 el tercer año y así sucesiva-
mente. resolver este modelo para los casos: a) /1 = $ 200; b) /1 = $ 300, e) /1 =
$ 500. Observar el comportamiento de las funciones C1 e Y1 a medida que
/1 aumenta.
2.19 Resolver el problema (2.17) suponiendo que los retiros son$ 2.000 el primer
año, $ 4.000 el segundo año, $ 8.000 el tercer año y así sucesivamente.
2.26 Si denotamos por S, el saldo existente al final del mes t de una cierta deuda
2.20 Resolver el problema (2.17) suponiendo que los retiros son: $ 1.000 + 10 que se está cancelando con pagos mensuales, y por S1+ 1 el saldo existente
= 1.010 el primer año, $ 2.000 + 20 = 2.020 el segundo año, $ 4.000 al final del mes t + 1 , entonces supongamos que se cumple la siguiente
+ 30 = 4.030 el tercer año, $ 8.000 + 40 = 8.040 el cuarto año y así relación:
sucesivamente.
S,+1 = S, + 0,02St - 100(! +.1)
2.21 Resolver cada una de las ecuaciones de diferencia siguientes:
y si además la deuda original es de$ 65.000, hallar el saldó pendiente una
vez cancelada la cuota No. 15.
a) S,+ 1 = (l ,03)St - 50 ; S0 = 3.000
b) S1+ 1 - (0,98)St = 5t + 2 ; S0 = 7.000 2.27 Resolver el problema anterior si la relación entre S1 y St+ 1 es
e) F,+ 1 = (1, l)St - 3500 + 3t ; F 1 = 2. 500
d) U,+ 1 = U,+ 2t
e) R, - 3R,+ 1 = 6 - (113)1
; U0 = 250
; R0 = 1.000
S,+ 1 = S, J
+ 0,25 S1 + ( ~ (5/4)1
2.28 El capital invertido en un proyecto N, experimenta un aumento cada año

2.22 La inversión anual que hace una empresa es inversamente proporcional al según la relación siguiente:
gasto en ese año. Además el gasto en que incurre en cualquier año es
directamente proporcional al gasto en el año inmediatamente anterior. Si la
primer constante de proporcionalidad es 10.000 y la segunda es 1,2 hallar R1+ 1 = (~) R1 + lOt
donde R1 representa el capital existente en el proyecto al final del año t. Si la

inversión inicial fue de $ 2,5 millones, hallar el valor del capital existente en el
proyecto al cabo de 12 años.
2.29 Resolver el problema anterior, si la relación entreR1yR1+1 es la siguiente:
R1+ 1 =R1 + lOt
2.30 Las utilidades que recibe una empresa mensualmente dependen de las utili-
dades del mes inmediatamente anterior según la relación.
U,= 2U,_1 + 800
¿De cuánto fueron "las utilidades del primer mes para que al cabo de 2 años
la empresa tenga unas utilidades de $ 11O.000?
2.31 Se invierte hoy la suma de$ 4 millones en una entidad financiera. Al final
IFi=tl CAPITULO 3
de cada semestre el saldo del semestre anterior se aumenta en un 10%, se
retira la suma de $ 100.000 y se hacen depósitos así: $ 50.000 el primer INTERES - VALORES
semestre, $ 60.000 el segundo semestre, $ 70.000 el tercer semestre y así PRESENTE Y FUTURO
sucesivamente. ¿Cuál será el saldo 8 años después de realizada la inversión
inicial?
2. 32 Una cantidad se duplica cada 10 meses, se inició con 85, ¿al cabo de cuantos
meses la cantidad total será de 2.048 veces la cantidad inicial?
2.33 Si denotamos por Y,, C, e I, el ingreso, el consumo y la inversión respectiva,

11*1
en el período t, medido en años, un modelo que relaciona estas funciones
medidas en millones de pesos puede ser el siguiente: • Jo
C, = 10 + 0,2 Y,
•
Si C0 = $ 3, se pide estimar el consumo al cabo de 5 años.

~--~
')
~
~ I
f9
A
A
Fil
FFI
~
FA CAPITULO 3
FA INTERES ~ VALORES PRESENTE Y FUTURO
t:FI
3.1 INTRODUCCION
Debido a que el uso del dinero no es gratuito, como tampoco lo es el uso de una
máquina, una casa o cualquier activo, el usuario de un dinero o de un activo
debe satisfacer los deseos de utilidad de quien proporciona tal capital o activo.
Esta utilidad se mide también en unidades monetarias la cual agregada al capital,
hace que éste cambie el valor con el tiempo y es así como se habla del "valor
l*:I
~ cronológico del dinero".
,, Frases como "el dinero crea dinero", "el dinero tiene un valor en el tiempo", son
consecuencia de estos deseos de utilidad y esto genera el concepto de interés, el
cual lo podríamos definir diciendo que es la compensación pagada o recibida por
~ el uso u otorgamiento del dinero o cualquier otro activo.
l:F:I Como ya se dijo, este concepto se puede cuantificar y medir en unidades monetarias
t:6
como lo veremos más adelante.
;+;.
El concepto de interés constituye la base fundamental no sólo de las Matemáticas
Financieras sino de toda operación financiera particular donde intervengan valores
y tiempos.
64 MATEMATICAS FINANCIERAS INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 65
3.2 INTERES y determinar el rendimiento o variación de esta nueva unidad. Así, $ 100 invertidos
hoy, se transforman en $ 120 al cabo de un año, decimos que la variación fue
Como ya se planteó en el .numeral anterior, el interés corresponde a la renta que de $ 20 por $ 100 invertidos durante un año, y se denota 20% (se lee 20 por
se paga por el uso del capital durante un determinado tiempo. ciento) o 20/ l 00 = 0,2. En general se notará por i% la variación de esta nueva
unidad durante un intervalo de tiempo y se llama la tasa de interés. Así por
De tal manera que si hacemos hoy una inversión de un capital $ P 0, es decir ejemplo, es frecuente oír expresiones tales como: "esta inversión rinde el 36%
prestamos este dinero, después de un tiempo t tendremos una cantidad total anual", "debo pagar unos intereses del 3% mensual'.'; "mis ahorros están ganando
acumulada de $ F y entonces podremos representar el interés allí obteniendo $ I, el 8% trimestral", etc.
mediante la relación siguiente:
Más adelante estudiaremos las diferentes clases de tasas de interés y las relaciones
I = F - Po (3-1) que existen entre algunas de ellas. Pero dada la importancia que tiene la tasa de
interés en la evaluación financiera de proyectos de inversión, se le dedica el
Esta cantidad recibe diferentes nombres comerciales tales como: interés, utilidad, capítulo 9 a la que se conoce como tasa interna de retomo.
variación del dinero en el tiempo t, rentabilidad, etc. Sin embargo algunos de
estos nombres no son los propios· como en el caso de "utilidad" con el cual C?tro concepto básico en el estudio de la variación del dinero es precisamente el
denotamos otro concepto. totalmente diferente. En nuestro caso, utilizaremos el tiempo y es por esto que debemos tener claros los conceptos de: tiempo y período.
nombre de interés.
Tiem_po: es el_ interval? durante el cual tiene lugar la operación financiera en
Con el siguiente ejemplo sencillo se podrá clarificar un poco más el concepto
estudio. La unidad de tiempo es el año.
anterior. Supongamos que depositamos $ 1.000 hoy en una cuenta de ahorros
(invertimos $ 1.000) y al cabo de seis meses retiramos todos nuestros ahorros
Así por ejemplo: "esta inversión es por dos años", "un préstamo debemos cance-
los cuales ascienden a$ 1.194 (suma total acumulada). Como podemos ver, el
larlo dentro de tres años", "refinanciar un saldo a cinco años", "la evaluación de
dinero inicial $ 1.000 sufrió una variación al cabo de un tiempo de seis meses y
este proyecto es a cuatro años y medio", etc.
se transformó en $ l. 194.
La diferencia entre estas dos cantidades, es decir $ 1.194 - $ 1. 000 = $ 194 Per_ío~o: es el inte~alo de tiempo, por lo general submúltiplo del año, donde
es lo que recibe el nombre de interés. capitaliza la tasa de mterés.
La relación dada en (3-1), se puede expresar en términos financieros como: L_os períodos más utilizados son el mes, el trimestre, el semestre o el año,
sin embarg? se pueden_ presen_tar operaciones financieras con otra clase de período
Interés = Suma total acumulada - Inversión inicial. como por ejemplo el día, el bimestre u otros. Es así como-decirnos: una inversión
rinde el 3,5% mensual, debo pagar al banco el 9% trimestral invertí en un
~ certificado al 16% trimestral, el costo del dinero es del 36% anual, o la tasa de
La cual aplicada al ejemplo anterior, nos da el resultado ya conocido.
corrección monetaria es del 0,065% diaria, etc.
~
Una primera intérpretación que podemos dar a estos intereses de $ 194 es la
siguiente: disponer de$ 1.000 hoy es "equivalente" a disponer de$ 1.194 dentro
3.3 CLASES DE INTERES
de seis meses. Esta equivalencia obviamente está sujeta a que la variación del Se tienen dos clases principales de interés que son: interés simple e interés
poder adquisitivo de$ 1.000 sea de$ 194 al cabo de seis meses. Es en este punto ~ compuesto.
donde radica una de las mayores dificultades para la aplicación del concepto de
interés a la verdadera equivalencia entre dos cantidades de dinero, que se encuen- Interés simple
tren en tiempos diferentes, ya que en la práctica, no siempre se cuenta con ~ndices ~
verdaderamente confiables respecto a la variación del poder adquisitivo del dmero. Definición 3.1
Para medir esta variación del dinero respecto a tiempo, se ha convenido tomar como Se llama i_nterés simple aquel en el cual los intereses devengados en un período,
unidad para el capital invertido $ P0, el equivalente a· 100 unidades monetarias no ganan intereses en los períodos siguientes.
~
INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 67
Así por ejemplo, si depositamos hoy la suma de $ 5 .000 en una cuenta que paga Podemos observar a partir de la tabla anterior que los intereses en cada trimestre
el 2% mensual de interés simple, si no retiramos los intereses mensualmente,
se calculan con base en el capital total acumulado hasta ese momento y estos
entonces al cabo de tres meses tendremos un total acumulado de intereses se suman a ese capital para formar el capital base para el período
siguiente, es decir, se capitalizan los intereses.
5000 + 0,02(5000) + 0,02(5000) + 0,02(5000) = $ 5.300
Con esta operación de capitalizar los intereses se está buscando básicamente que
Esta clase de interés tiene, actualmente, la desventaja de que al no capitalizar los
el dinero o capital inicial, conserve por más tiempo su poder adquisitivo, a
intereses, estos pierden poder adquisitivo con el tiempo y al final de la operación
diferencia de lo ocurrido con el interés simple en donde, para lograr este objetivo
financiera se tendrá una suma total no equivalente a la original, o sea, el valor
necesitaríamos de tasas de interés bastante elevadas.
acumulado allí no será "representativo" del valor inicial. Por esta razón hoy en
día esta clase de interés no se aplica y si existe operación donde no se cobran
3.4 DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA
intereses sobre los intereses éstos se deben cancelar periódicamente ya sea al
principio o al final del período. Este caso lo veremos más adelante en el capítulo
Dado que en todas. las operaciones financieras intervienen a lo más dos clases de
6 cuando estudiaremos sistemas de amortización y saldos.
valores a lo largo del tiempo que son, los ingresos y los egresos relacionados
con tal operación, se ha llamado flujo de caja a la secuencia que presentan dichos
Interés compuesto
valores, o lo que es lo mismo, a la secuencia de entradas y salidas de capitales
durante el tiempo de la operación financiera. Por tal motivo es posible registrar
Definición 3.2
dichos valores sobre un segmento de recta que tenga como longitud el tiempo
Se llama interés compuesto aquel que al final del período capitaliza los intereses
devengados en el período inmediatamente anterior.
FA que dure la operación medido en períodos. A esta representación gráfica se le
conoce con los nombres de: diagrama de flujo de caja o diagrama de tiempo-valor,
principalmente. También se ha convenido en que los valores se sepalen con una
Esto equivale a decir que los intereses obtenidos en un período, ganan intereses
en el período siguiente, y por esta razón se habla de intereses sobre intereses, lo
que financieramente se conoce con el nombre de capitalización. La operación
FR flecha, hacia arriba si son ingresos y hacia abajo si son egresos, sin· embargo,
este orden se puede invertir debido a que esto no afecta los resultados.
matemática que se realiza cada período es sumar al capital los intereses y así
forman el total acumulado o nuevo capital para el período siguiente.
Ejemplo 3.1
. ¡.
Si usted deposita hoy$ 50.000 en una cuenta de ahorros que paga un interés del
6% por trimestre vencido, registrar en una tabla el movimiento de la operación Ingresos
de capitalización durante un año.
o 2 3 4 • • •
• ..----t---t---t-----''-------------'
10 meses
Trimestre Intereses Total
o o 50.000
Egresos
1 50.000 (0,06) = 3.000 53.000
2 53.000 (0,06) =3.180 56.180 10.000
El estudiante debe hacer un ejercicio en este momento, de lo siguiente: representar
' 3 56.180 (0,06) = 3.370,8 59.550,8 gráficamente el flujo de caja de un crédito hoy por valor de$ 850.000, sabiendo
4 59.550,8(0,06) = 3.573 63.123,8 que el deudor canceló esta deuda con cinco pagos trimestrales de$ 212.000 cada
uno debiendo cancelar el primero.tres más tarde de contraída la deuda.
3.5 VALORES PRESENTE Y FUTURO Sean F1 = el valor futuro de P al final del período t
F1 + 1 = el valor futuro de P al final del período t + 1
En la sección 3-3 definimos las dos clases principales de interés, que son el
Como la tasa de interés por período es i%, podemos establecer la siguiente
simple y el compuesto. Sin embargo, debido a que en la actualidad el que mayor
aplicación tiene es el interés compuesto, todo el desarrollo siguiente en este libro, relación entre los dos valores futuros anteriores.
se hará con base en esta clase de interés.
Dos de los conceptos básicos en financieras son los que hacen referencia al valor
presente y valor futuro de una o varias sumas de dinero. Debido a la relación y se interpreta como que el valor futuro al final del período t + 1 es igual al
estrecha que existe entre los dos conceptos anteriores, es independiente cuál se valor futuro o cantidad acumulada al final del período anterior (es decir Fr), más
defina primero y es así como de aquí en adelante calcularemos primero el valor los intereses devengados por esta cantidad durante el período. La expresión
futuro y luego el valor presente ya que en la mayoría de. casos utilizaremos las anterior es equivalente a
ecuaciones de diferencia finita y estas ecuaciones operan en el sentido de izquierda F1+1 = (1 + i)F,, con F0 = P
a derecha en el tiempo.
que corresponde a un~ ecuación de diferencia finita cuya solución, según la
Definición 3.3
sección 2. 5, es
Dada una suma de dinero $ P hoy, se llama valor futuro de P al cabo de n FI = P(l + i)'
períodos y con una tasa de interés del i% por período, al valor $ F que en esa
fecha sea equivalente a $ P de hoy. y esta función calculada en el punto n (final de n períodos) nos da
El concepto de equivalencia juega un papel de gran importancia en las Matemáticas F = P(l + i)" (3-2)
Financieras, tanto que en la casi totalidad .de problemas de esta materia lo que
se busca es la equivalencia financiera entre los ingresos y los egresos cuando y corresponde a la fórmula para.hallar el valor futuro de una cantidad P, al cabo
ellos tienen lugar en puntos diferentes. de 11 períodos con una tasa de interés del i% por período.
Este concepto en Financieras es el correspondiente al de "equilibrio" en algunas
otras disciplinas como en Economía, Contabilidad, Física y Ciencias Sociales. El factor (1 + i)" se clen<!>ta por (Ft P, i%, n) y se conoce con el nombre de
"factor de acumulaeién en pago único". Esta expresión se lee: "F dados P,, i%y n".
Vamos a obtener una expresión que nos permita hallar F, cuando se conocen: la
cantidad P, la tasa de interés i% por período y el número n de períodos. Existen las tablas de interés que contienen este factor' calculado para algunos
valores de i% y algunos valores de n; sin embargo, con el uso .de la calculadora,
En el diagrama de flujo de caja de la figura siguiente, se representa el caso general este factor se puede hallar rápidamente para cualquier valor de io/o y de n.
de una suma invertida de$ P hoy y su valor futuro F dentro den períodos. Para
obtener F, analizaremos los valores en un período cualquiera [t, t + l] de tiempo. Podemos entonces expresar la fórmula 3-2 de la manera siguiente
• Fr+I F
F = P(FIP · i%, n)
t+l y esta será la forma como encontraremos representado el valor futuro de aquí en
~· adelante cuando corresponda a un pago único. ·
o 2
n
Ejemplo 3.2
~ Una persona deposita hoy la suma de $ 500.000 en una cuenta de ahorros que
paga un interés del 2% mensual. Hallar la cantidad total acumulada dentro de 5
p años en la cuenta de ahorros.
70 MA TEMA TICAS FINANCIERAS INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 71
Solución Solución
Identificando los datos del problema, tenemos que: Fff Identificando los datos del ejemplo, tenemos que:
F = $ 629.270, i = 2.5% mensual, n = 30 meses, P = ?
P = $ 500.000, i% = 2% mensual, n = 60 meses, F = ?
Aplicando la fórmula (3-3) se tiene que:
Aplicando la fórmula (3-2) obtenemos el siguiente resultado:
P = 629.270 (PIF, 2,5%, 30) = 300.000
F = 500.000 (FIP, 2%, 60) = .$ 1 '640,5151
- Este valor se interpreta diciendo que con una tasa de interés del 2,5% mensual,
que representa la cantidad total (capital más intereses) acumulada al cabo de 5 años. es equivalente para el deudor cancelar hoy$ 300.000 o$ 629.270 dentro de dos
años y medio. Similar equivalencia se tiene para el acreedor.
La interpretación de este resultado es la de que si el dinero rinde el 2% mensual
a lo largo de los 5 años, es equivalente tener hoy$ 500.000 a tener$ 1 '640.515 Desde el punto de vista gráfico y, de acuerdo con el diagrama de la figura anterior
dentro de 5 años. podemos decir que el factor (FIP, i%, n) sirve para llevar una cantidad de izquierda
a derecha n pe.Iodos cuando la tasa sea del i% por período, y el factor (PIF, i%,
Vamos a considerar ahora la situación recíproca, es decir, aquella en que dada' n) para llevar una cantidad de derecha a izquierda bajo las mismas condiciones
una suma futura de dinero, debamos hallar su equivalente hoy. Esto origina el anteriores. ·
concepto de valor presente como se define enseguida.
Cuando en un flujo de caja intervienen varios valores en tiempos diferentes, que
es el caso típico .para el. flujo de caja de un proyecto, el valor presente total se
Definición 3.4 obtiene como la suma de los valores presentes de cada uno de los valores que
intervienen. De manera similar se puede obtener el valor futuro total. Es decir que:
Dada una cantidad de dinero$ F al final den períodos, se llama el valor presente
deF con tasa de interés i% por período, a la cantidad S Pque hoy equivale aF. P101ai I (valores presentes parciales)
F101a1 I (valores futuros parciales)
En el caso del ejemplo (3.3), tenemos que$ l '{)40.515 es el valor futuro de$ 500.000
y según la definición (3.4), $ 500.000 es el valor presente de $ 1 '640.515 en el Observación
tiempo considerado en el ejemplo y a una tasa del 2% mensual.
Como podemos observar, esta definición es la recíproca de la definición (3-3),

i*m· Una de las reglas básicas de las Matemáticas Financier~~· es que solamente se
pueden relacionar ( +, - , =, ;.:;::, ~) cantidades que estén.en el mismo punto.
8*1.
así que según la ecuación (3-~), la cantidad P es igual a:
Ejemplo 3.4
F
• P= = F(I + i) - n (3-3)
(l + it Una persona hace los siguientes depósitos en una cuenta de ahorros que paga el
2,5% mensual: $ 30.000 dentro de tres meses, $ 42.000 dentro de cinco meses
El factor (1 + i)-n se denota por (PIF, i%, n) y se:conoce con el nombre de y $ 28.000 dentro de un año. Se pide:
"factor- de descuento o factor de valor presente para pago único".
a) Hallar la cantidad total acumulada en la cuenta de ahorros dentro .de un año.
Ejemplo 3.3 b) ¿Qué depósito único hoy, es equivalente a los . .tres depósitos realizados?
Una persona tiene una obligación para cancelar dentro de dos años y medio por Solución
valor de $ 629.270 con una tasa de interés del 2,5% mensual .. Si esta. persona
desea cancelar la deuda hoy, ¿cuál es el valor de este pago? El diagrama de flujo de caja para este ejemplo, es el siguiente:
J
72 MATEMATICAS EINANCIERAS INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 73
p F 3.6 CALCULO DEL TIEMPO Y LA TASA DE INTERES
A partir de las expresiones (3-2) y (3-3), podemos hallar los valores de cualquiera
de las variables: F, P, io/o o n. Para hallar las dos primeras de estas variables
basta con aplicar las expresiones antes citadas, y para las variables n e i%, se
Lo 2 3 4__ ~s 6 • •--•-112 meses
utiliza la calculadora en sus funciones logarítmicas y exponencial, o también
mediante el método de interpolación lineal.
Veamos algunos ejemplos, en los cuales, con el uso de la calculadora, podemos

obtener rápidamente el valor de las variables deseadas.
30.000 28.000
Ejemplo 3.5
42.000
a) La cantidad total acumulada dentro de un afio corresponde al valor futuro, en ¿En qué momento, tener$ 100.000 es equivalente a tener$ 58.740 hoy, sabiendo
esa fecha, de los tres depósitos realizados. Entonces con una tasa del 2,5% que el dinero rinde el 3% mensual? ·
mensual, se tiene que:
Solución
F = 30.000(FIP, 2,5%, 9) + 42.000(F/P, 2,5%, 7) + 28.000 = $ 115.390
El diagrama de flujo de caja para este ejemplo es el siguiente:
es la cantidad que la persona tendrá dentro de un afio en la cuenta de ahorros. 100.000
't
1
b) El depósito único hoy (punto O) equivalente a los tres depósitos, es el valor

presente de estos depósitos. De tal manera que tenemos:
P = 30.000 (PIF, 2,5%, 3) + 42.000 (PIF, 2,5%, 5)

+ 28.000 (PIF, 2,5%, 12) = $ 85.799.
. o 2 3 •
Este mismo valor también se puede obtener como el valor presente de$ 115. 390
r----+---+----11---------·-----•----------' n meses
de la parte a); en efecto:

·f
P = 115.390 (PIF, 2,5%, 12) = 85.799
El lector debe justificar la razón por la cual se obtiene el mismo valor.

58.740
A partir del ejémplo anterior, podemos afirmar que son equivalentes las tres
Como la tasa de interés viene dada mensualmente, entonces nuestros períodos
situaciones siguientes:
de tiempo son meses y así la variable estará dada también en meses.
i) Los depósitos de$ 30.000, $ 42.000 y$ 28.000 en sus fechas correspon- Los datos del problema son:
dientes.
ii) El valor de $ 115.390 dentro de un año, y P = $ 58.740, F = $ 100.000, i = 3% mensual, n = ?
iii) El valor de$ 85.799 hoy.
Aquí podemos aplicar independientemente cualquiera de las expresiones (3-2) o
En caso general podemos decir que dado un flujo de caja cualquiera, es indepen- (3-3). Si tomamos la primera, se tiene que:
diente el punto que elijamos para establecer el equilibrio entre ingresos y egresos
siempre y cuando la tasa de interés no cambie. 100.000 = 58.740 (l + 0,03t
INTERES - VALORE;S PRESENTE Y FUTURO 7_5
o sea
o sea
(1,03)n = 100.000/58.740 = 1,7024

(l + i)11 = 110.780/50.000 = 2,2156
Aplicando logaritmo en ambos miembros y mediante propiedades de esta función
Aplicando logaritmo en ambos miembros y utilizando propiedades de esta función se tiene:
se llega a
In (2,2156)
ln(l,7024)
In (l + i) = = 0,07232
11
n= :::;: 18 meses.
ln (1,03)
Aplicando antilogaritmo llegarnos a:
O sea, que tener hoy $ 58.740 es equivalente a tener $ 100.000 dentro de 18
meses, siempre que el rendimiento del dinero sea del 3% mensual. i = 0,075 7 ,5% trimestral
Ejemplo 3.6 3.7 INTERPOLACION LINEAL
Hallar la tasa de interés· trimestral que debe rendir el dinero en una cuenta de En matemáticas existe el método llamado "interpolación lineal" que consiste
ahorros, para que un depósito de$ 50.000 hoy, se convierta en$ 110. 780 dentro básicamente en: dados dos puntos de una curva hallar otro intermedio utilizando
de 33 meses. · la función lineal, es decir, suponiendo que los tres puntos están sobre la misma
recta. Esto se aplica para "aproximar" o "ajustar" puntos que estén sobre una
Solución curva a puntos que estén sobre una recta y de esta manera dar una solución
"aproximada" a una serie de problemas.
El diagrama de flujo de caja para este ejemplo es el siguiente:
110.780
FA Recordemos que si tenemos tres puntos A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c.,
c2), para que estos tres puntos estén sobre -la misma recta, se requiere que la
pendiente entre A y B sea igual a la pendiente entre B y C (o entre A y C), es
decir que se cumpla:
o 2 3 • • •
....-----+---+---+------------------'
11 trimestres • Jo
que en proporciones equivale a decir:
•
50.000
En Matemáticas Financieras se utiliza para calcular una tasa de interés o el
· Como la tasa de interés que se debe hallar es trimestral, entonces nuestros períodos
tiempo en una operación, como más adelante lo encontraremos en el capítulo 9
de tiempo son trimestrales. Los datos del problema son: en algunos problemas. Es de advertir que con las nuevas máquinas calculadoras
podemos acercamos a la respuesta correcta sin necesidad de acudir a la interpo-
P = 50.000, F = 110.780, n = 11 trimestres, i = ? lación lineal.
De la misma manera que en el ejemplo (3.6), podemos aplicar cualquiera de las
Ejemplo 3.7
expresiones (3-2) o (3-3). Con la primera de éstas tenemos:
Resolver el ejemplo 3.6 utilizando el método de interpolación lineal.
110.780 = 50.000 (1 + i)11
aproximadamente: i = 7 ,5%.
Solución
Como se puede observar, en este caso es más exacta la operación con logaritmos.
Según el ejemplo anterior tenemos que:
Ejemplo 3.8
(l + i)11 = 2,2156
Al cabo de cuánto tiempo, una inversión de$ 65.000 se convierte en$ 114.700,
Por tanto para valores de i%, debemos llegar a encontrar dos tasas para las cuales sabiendo que el dinero rinde el 2,5% mensual.
los valores de (1 + i)11 se encuentre el uno.por encima de 2,2156 y el otro por
debajo. Efectivamente, llegamos a que Solución
(1 + 0,07)11 = 2,10485 y (1 + 0,08)11 = 2,33164 Con un diagrama de flujo de caja, de la misma clase al utilizado en el ejemplo
3 .1 pero donde la incógnita es n tenemos
de ta). manera que el valor de i tal que (1 + í)11 = 2,2156 se encontrará entre
7% y 8%, así como 2,2156 se encuentra entre 2,10485 y 2,33164. Para hallar 114.700 = 65.000 (1,025)"
este valor aproximado, podemos recurrir al siguiente diagrama:
de donde
(l,025)" = 114.700/65.000 = 1,764615
7% ---- ---------- --- 22,,211054685] Por tanto llegamos a que
(1,025)22 = 1,72157 y (1,025)24 = 1,808726

i'lc ---- -- - ---------
y con un diagrama de la forma:
n
8'k ------------------ 2,33164
y relacionamos los extremos y el medio con un extremo, diciendo: 22 -- - - - - - - - - - - - - > J '72157
(0,07 - 0,08) es a (2,10485 - 2,333164) como (0,07 - i) es a (2,10485

2,2156) n -------- ----- --- 1,764615
o sea
•
...-~ol
·0,01 - 0,08 0,01 - i 24 -------------- 1,808726
2,10485 - 2,33164 2,10485 - 2,2156
-o.22b?~ -o.uo?r ·~
que corresponde a una proporción similar a la dada para los puntos A, B y C. ~· llegamos a
22 - 24 22- n
A partir de la relación anterior, se llega a =
1,72157 - 1,808726 1,72157 - 1,764615
i = 7,49%
"'.'-"-0.0QLjij:: o.O'J-1. ~
'
-O.O?L1~j: -l x Lr
78 MAt'BMATICAS FINANCIBRAS INTBRES --V Al.ORES l'RF.SENTE Y FUTIJRO 79
de donde n = 23 meses aproximadamente. La gran mayoría de operaciones financieras hoy en día, consideran interés com-
puesto, por esta razón en los temas que se tratarán a continuación en este texto,
El mismo resultado se puede ver utilizando la calculadora en .sus funciones loga- se utilizará el interés compuesto.
rítmicas.
3.8.3 Tasa de interés efectiva
3.8 TASAS DE INTERES Es la tasa de interés que realmente se aplica al final del período para calcular los
intereses que deben sumarse al capital o no según se trate de interés compuesto
La tasa de interés y en general las tasas utilizadas tanto en Mateimticas Financieras o simple respectivamente.
como en Evaluación Financiera de Proyectos, reciben diferentes nombres, por
esta razón se verán en seguida algunas de las más utilizadas. La tasa de interés efectiva se identifica porque solamente aparece la parte numérica
seguida del período de capitalización o liquidación de intereses. Así, por eiemplo,
Sin embargo, dada la importancia que tiene la tasa interna de tetomo como índice se dice: una tasa de interés del 3% mensual, del 9% trimestral, del 15% semestral
de evaluación financiera, se le dedicará el capítulo 9 de este texto para profundizar o del 32% anual. Es de advertir que estas tasas anteriores no son equivalentes
un poco más en su estudio. entre sí. La interpretación es la de que si invertimos por ejemplo $ 100 hoy al
3% mensual, dentro de un mes tendremos:
3.8.1 Tasa de interés simple
100 (1 + 0,03) = 100 (1,03) = $ 103
Es la tasa de interés que, al final de cada período, se aplica únicamente sobre el
capital inicial. que corresponde a:
Esto implica que el capital permanece constante durante el tiempo de la operación 100 + 0,03 (100) = $ 103
financiera así como los intereses devengados al final de cada período.
Al fmal del segundo mes tendremos
En resumen, esta tasa de interés se aplica ·sólo al capital inicial mas no a los
Intereses devengados en cada período. En la actualidad son pocas las operaciones 100 (1,03)2 = $ 106,09
financieras que se realizan con esta clase de interés; un ejemplo es el préstamo que corresponde a:
bancario, cuyo caso .general se tratará más adelante.
100 + 0,03 (103) = $ 106,09
3.8.2 Tasa de interés compuesto
Como podemos observar, la tasa del 3% se aplica cada més al capital.
Esta es la tasa de interés que, al final de cada período, se aplica tanto al capital
anterior como a los intereses devengados en ese período. Esto equivale a decir Al fmal del tercer mes tendremos:
que es la operación en la cual los intereses ganan intereses, y por esto el sistema
se conoce como ''Sistema de capitalización", que quiere decir que los intereses 100 (1,03)3 = $ 109,27
devengados en un período, forman parte del capital (se convierten en capital)
para el período siguiente. Es el caso de la mayoría de inversiones ac~es; así, que corresponde a:
por ejemplo, si invertimos hoy una suma de$ 500.000 a una tasa del 8% tnmestral,
dentro de un año tendremos un total acumulado de 106,09 + 0,03 (106,09) = $ 109,27
. F = 500.000 (1,08)4 = $ 680.244,5 ~\ y así sucesivamente.
y no la suma de 500.000 + 4 (40.000) = $ 660.000 que correspondería al caso Es decir que la tasa del 3% se aplica cada mes al capital existente al fmal del
del 8% trimestral de interés simple durante un año. mes anterior y así obtenemos los intereses reales o efectivos en ese mes.
80 MAIEMATICAS FINANCIERAS INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 81
También podemos ver que al final del tercer mes, los $ 100 invertidos inicialmente Ejemplo 3.9
al 3% mensual se han convertido en $ 109,27 lo que nos muestra que el 3%
mensual no equivale al 9% trimestral ya que con esta última tasa el valor total Supongamo_s_ que. invertimos hoy fa suma de$ 100 en una entidad que paga el
acumulado al final del primer trimestre será de 36% N.T. S1 el tiempo es de un año, determinar el valor total acumulado al final
del año.
100 + 0,09 (100) = 100 (1,09) = $ 109
La tasa trimestral para determinar los intereses es del 9%, de tal manera que al
Se debe advertir también que todas las operaciones financieras se calculan con cabo de cuatro trimestres se tendrá un total acumulado de.
tasa de interés efectiva aun cuando la presentación original de dicha operación
se haga con otra clase de tasa. Esto lo podremos aclarar una vez estudiemos la 100 (1,09)4 = $ 141,16
tasa nominal.
lq' que quiere decir que los $ 100 invertidos inicialmente, ganan un total de
3.8.4 Tasa de interés nominal $ 41, 16 de intereses al cabo de un año, esto es, la tasa de interés efectiva anual
en esta inversión fue del 41, 16%; por esta razón a la tasa del 36% se le llama
Es la tasa de interés que expresada anualmente capitaliza varias veces al año. nominal dado que como cifra es sólo de nombre puesto que la que mide la
rentabilidad realmente es la tasa del 41, 16% anual.
Por esta razón la tasa nominal no refleja la realidad en cuanto a los intereses
devengados anualmente y de aquí su nombre, a diferencia de la tasa efectiva que Se debe tener en cuenta que algunas veces se habla, por ejemplo, del 30% nominal
sí nos indica el verdadero interés devengado por un capital al final del período anual o simplemente el 30% convertible anualmente, para indicar que es una sola
respectivo. Sin embargo, en la mayoría de operaciones financieras se utiliza la tasa que capitaliza una sola vez al año, es decir, que corresponde a una tasa
tasa nominal para expresar el tipo de interés que se debe pagar o cobrar en dicha efectiva anual del 30% · ·
operación. Esto implica que para realizar los cálculos de la operación financiera,
lo primero que se debe hacer es convertir la tasa a efectiva. Esto porque en 3.8.5 Tasas equivalentes
cualquier fórmula financiera que se utilice para determinar un valor, se debe
aplicar la tasa efectiva por período correspondiente. S~ dice que dos tasas so~ equivalente cuando ambas, operando en condiciones
diferentes, producen el mismo resultado.
La forma de denotar una de estas tasas es, por ejemplo, cualquiera de las siguientes
expresiones: En este caso el concepto de "operar en condiciones diferentes" hace referencia a
que ambas capitalizan en períodos diferentes, o que una de ellas es vencida y la
36% nominal anual capitalizable trimestralmente otra anticipada. Así, por ejemplo, decimos que el 3% mensual es equivalente al
36% nominal capitalizable trimestralmente 9,27% trimestral y también al 42,57% anual. ·'
36% nominal trimestral
36% capitalizable trimestralmente. Cu~do es~diamos la tasa nominal, vimos que una inversión por un año al 36%
36% T.V. (T.V.: trimestre vencido) nominal tnmestral, ganaba al año el equivalente a una tasa del 41, 16% efectiva
• anual, de tal manera que estas dos tasas son equivalentes .
La relación que existe entre una tasa nominal j% capitalizable m veces al año y
Una expresión básica en el manejo de tasas equivalentes es la que nos permita
la tasa i% efectiva en cada uno de los m períodos, es la siguiente:
calcular directamente la tasa anual equivalente a una tasa nominal.
. j
i=- (3-4) Sea j% una tasa nominal capitalizable m veces/año y sea i% la tasa anual equiva-
m lente. Se trata de obtener una expresión que nos relacione las dos tasas. Como
Así, por ejemplo, el 36% nominal trimestral corresponde a una tasa efectiva cada tasa tiene su período de capitalización, tomamos el mayor de éstos, en este
trimestral del 9% (36%/4), y es esta la tasa que se debe utilizar cada trimestre caso el año, y asignamos un diagrama de un año para cada tasa; el uno medido
cuando la tasa pactada en la operación financiera sea del 36% N.T. en año y el otro medido en m períodos.
\l
1¡~1
~MATEMATICAS FINANCIERAS INIBRES - VALORES PRESENTE Y FUTURO _83
82
1 +i
(Fl'j Ejemplo (E - E) ¿Qué tasa trimestral es equivalente al 3% mensual? Sea i%
$1 la tasa trimestral que se pregunta; tomando un tiempo de un trimestre para cada
o laño
~Fil una· de las tasas, tenemos:
i%
i---,----------------~·1
o 1 írirnestre
$ 1
o 2 3 .. • • mperíodos o
3%
2 3 meses
Por$ 1 invertido al principio del trimestre, se tendrá al final del primer diagrama
Y decimos que$ 1 invertido a la tasa i% anual, se convierte al final del año en un total de 1 + i y al final del segundo diagrama un total de (1,03)3, de tal
1 + i, y $ 1 invertido a la tasa del j% capitalizable m veces al año, se convierte
al final del año en (1 + jlmr. Para que las tasas sean equivalentes, se requiere
que los resultados al final del año sean iguales, esto es:
IFiti manera que
1 + i = (1,03)3
1 + i'= j)"' !r:t=I o sea i = 9,27% trimestral.
~ + -m (3-5)
Esto quiere decir que el 9,27% trimestral es equivalente al 3% mensual.
Con esta expresión se calcula la tasa anual equivalente a una tasa nominal y
viceversa. Así, por ejemplo, la tasa anual equivalente al 36% nominal trimestral
FR Ejemplo (E - N) ¿Qué tasa nominal trimestral, es equivalente al 18%semestral?
FR
será. Sea j% la tasa nominal trimestral que se pregunta, tomando un tiempo de un
semestre para cada tasa, tenemos:
0:6 18%
1+i- ( 1 + )'
t:Ff; o 1 semestre
o sea i = (1,09)4 1 =0,4116 = 41,16% anual como lo habíamos visto
l*I
- j/4
anteriormente. o 1 · ·'2 trimestres
Se presentan los siguientes casos cuando dada una tasa se trata de hallar otra tasa
l=:I
equivalente: Invirtiendo $ 1 al principio del semestre, e igualando los resultados del final del
0'
semestre, llegamos a
•
Dada Hallar
Efectiva Efectiva 1,18- ~ +
Efectiva Nominal
Nominal Efectiva o seaj = 0,3451 = 34,51% nominal trimestral.
Nominal Nominal
Ejemplo (N - E). ¿Qué tasa mensual es equivalente al 34% nominal semestral?
La idea central en cualquiera de estos casos, es la utilizada para llegar a la Sea i% la tasa mensual que se pregunta; tomando un tiempo de seis meses para
expresión (3-5). Cada uno de estos casos se expresarán con un: ejemplo. cada una de las tasas, tenemos
84 MATEMATICAS FINANCIERAS INTERES - Y ALORES PRESENTE Y FUTURO 85
17% Tomando un tiempo de un año para cada una de las tasas, e igualando los resultados
de final de año por la inversión de$ 1 al principio de año, se obtiene.
:J
o 1 semestre
i%
(3-6)
o 2 • • • 6 meses ~+ :} ~~+
Similar a los ejemplos anteriores, igualando los resultados del final de semestre Aplicando esta expresión al ejemplo de (E - E) anterior, se tiene que: imlm =
i es tasa triniestral que se pregunta o sea que i,/n = 3% mensual, o sea que n
por la inversión de $ 1 al principio del mismo, se tiene que
= 12. Así que
1,17 = (1 + i)6
(1 + i)4 = (1 + 0,03)12
de donde
de donde
i = 0,0265 = 2,65% mensual i = 0,0927 = 9,27% trimestral
Ejemplo (N - N). ¿Qué tasa nominal trimestral es equivalente al 33% nominal El lector debe resolver los demás ejemplos anteriores, aplicando la expresión (3-6).
mensual? Sea}% la tasa· nominal trimestral que se pregunta, tomando un tiempo
de tres meses para cada tasa, tenemos: Finalmente se debe tener en cuenta que cuando una inversión rinde una tasa anual
o, lo que es lo mismo, cuando se ha pactado por la inversión una tasa efectiva
j/4 anual, pero los intereses se retiran cada mes, es decir, no hay capitalización de
o 1 trimestre los intereses, entonces la tasa para calcular los intereses y para la reinversión de
los mismos debe ser la tasa nominal equivalente.
2,75%
o 2 3 meses
AsC por ejemplo, si invertimos$ 1 millón a un año con una tasa del 30% anual,
entonces para calcular los intereses que se causan cada mes los cuales se deben
Igualando los resultados del final de trimestre por la inversión de $ 1 al principio retirar e invertir por fuera, se debe calcular la tasa nominal mensual equivalente,
del mismo con cada tasa, se obtiene que en nuestro caso es del 26,525% cuya tasa mensual correspondiente es
2,2104%.
1 + ~ = (1,0275)3 De tal manera que los intereses mensuales serán de $ 1 '000.000 (l '002104)
$ 22.104,45. Si estos intereses se reinvierten a la tasa del 2,210445% mensual
durante los doce meses tendremos un valor futuro de $ 300.000 para un total al
de donde cabo del año de $ 1 '300.000 (capital + intereses), que corresponden al valor
• j = 0,3391 = 33,91 % nominal trimestral futuro del millón de pesos al cabo de un año a una tasa del 30% anual.
Todos los casos anteriores se pueden reducir, si se quiere, a una sola expresión. 1==1, 3.8.6 Tasa de interés discreta
Como su nombre lo indica, es la tasa de interés que se aplica cuando el tiempo
171
Sean: im: una tasa capitalizable m veces/año.
J
o período de capitalización es un"a variable discreta, es decir, cuando el período
in: una tasa capitalizable n veces/año. esté medido en intervalos fijos de tiempo tales como años, semestres, trimestres,
meses, días u otros. Es el caso de las tasas que se han tratado hasta este momento
de lo anterior tenemos que tanto i,,/m como i,/n son tasas efectivas en cada uno y otras tales como por ejemplo el 42% anual, el 18% semestral, el 8% trimestral,
de los m y n períodos respectivamente. el 3% mensual o el 0,013% diario.
1
1
MATEMA TICAS FINANCIERAS

tFil: INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 87
·86
3.8. 7 Tasa de interés continuo

\FF11 Para que la capitalización sea continua se requiere que !lt - O, de tal manera
[Fff
que se debe cumplir
Se define una tasa de interés continuo r% como aquella tasa cuyo período de
capitalización sea lo más pequeño posible. Así, ,por ejemplo, se habla del 35% C(t + !lt) - C(t)
lunC(t)·r
capitalizable continuamente y significa que es una tasa expresada anualmente y im =
!lt !lt- o
su período de capitalización puede ser 10 más pequeño posible, en términos
matemáticos, esto quiere decir que el número de períodos de capitalización durante
el tiempo de la operación financiera, crece indefinidamente. A diferencia del
¡fA !lt-0
La expresión de la izquierda es la definición de la derivada de C (t) con respecto
'~
interés discreto, en el interés continuo la tasa se presenta siempre en forma nominal. a t, y así tenemos
Vamos a determinar la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro para dC

--= C·r
una inversión única con interés continuo1• Si hoy invertimos una cantidad de $ P, dt
a una tasa de interés continuo del r% capitalizable continuamente durante n años,
vamos a determinar el valor futuro o total acumulado $ F, al final de ese tiempo. iFff esta relación corresponde a una ecuación diferencial de variables separables cuya
solución se plantea así:
Si denotamos por !lt el período de capitalización, por C(t) el capital al final del
tiempo t y por C(t +. !lt) el capital al final del tiempo t + !lt, se tiene que el F n
interés devengado en el período t está dado por
f ~= f rdt
e
e (t) . r : !lt p o
En el siguiente diagrama se puede ver más claramente la relación entre estos para llegar a
valores y el tiempo:
F (3-7)
y también:
(3-8)
t t + fli Las fórmulas (3-7) y (3-8) relacionan el valor prese~tr y el valor futuro de un
pago único eón interés continuo.
Ejemplo 3.10
Una persona deposita hoy una suma de dinero de $ P, en una institución financiera
p " que paga un interés del 27% anual capitalizable continuamente. Si el saldo a
De tal manera que se cumple la siguiente relación: favor del inversionista es de $ 855.000 dentro de 3 años, hallar la cantidad
depositada originalmente.
C (t + !lt) = C(t) + C(t) · r · !lt
Solución:
o lo que es lo mismo
En este caso se tiene:
C(t + !lt) - C(t)
C(t) · r F = 855.000, n = 3años, ro/o= 27% anualcapitalizablecontinuamente,P =?
dt
)'
1
1
MATEMATICAS FINANCIERAS INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 89'

88
Aplicando la fórmula (3-8) obtenemos: a) 30% anual

b) 3'0% nominal semestral
p = 855.000 e<0•27>3 = 855.000 e-0•81 = $ 380.354 e) 30% nominal trimestral
d) 30% nominal mensual
A partir de las expresiones (3- 7) y (3-8), es posible determinar cualquiera de las e) 30% nominal diaria
variables P, F, r o n. Según el caso. f) 30% nominal continuo
Ejemplo 3 .11 Solución
Al cabo de cuánto tiempo una inversión de$ 420.000 se convierte en.$ 1 '465.944, El monto a calcular en cada caso, es el valor futuro al cabo de un año con lit
si el rendimiento del dinero es del 25% nominal capitalizable contmuamente. tasa correspondiente.
· Solución a) F = 100.000 (1,3) = $ 130.000

b) F = 100.000 (1, 15)2 = $ 132.250
En este caso la información nos dice que: e) F = 100.000 (1,075)4 = $ 133.546,9
d) F = 100.000 (1,025)12 = $ 134.488',9
p = $ 420.000,$ F = 1'465.944,r% = 25%capitalizablecontinuamente,n =? e) F = 100.000 (1 + 0,3/365)365 = $ 134.969
f) F = · 100.000 eº·30> = $ 134.985,9
Aplicando la fórmula (3-7)_§e tiene que:
Como se puede observar, con interés continuo, el resultado es bastante similar
1'465.944 = 420.000 e0•25n al obtenido con la tasa capitalizable diariamente, que en la práctica corresponde
a lo que· se llama el interés por "corrección monetaria" que se aplica a los ahorros
o sea en las Corporaciones de Ahorro y Vivienda. De tal manera que el interés continuo
puede llegar con el tiempo a una mayor aplicación cuando en la práctica los
0,2Sn _ 1'465. 944 períodos de capitalización sean de un día o un tiempo menor.
3,49034
e - 420.000
La tasa de interés continuo tiene una propiedad que no tiene la tasa de interés
Tomando logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad se llega a: nominal capitalizable m veces al año, y es que si estamos trabajando con una
tasa, por ejemplo, del 30% capitalizable continuamentey el tiempo de la operación
ln e0•25n = ln (3,49034) financiera es solamente de un semestre, entonces simplemente tomamos como
tasa continua para el semestre el 15% y si el tiempo de la operación financiera
ln (3 ,49034) es de un trimestre, entonces tomamos como tasa continua para el trimestre el
n = 5años
0,25 7 ,5% y así sucesivamente.
Es decir, que al éabo de 5 años, -la inversión original de $ 420.000 se habr:á Ejemplo 3 .13
convertido en la suma de$ 1'465.944, con la tasa de interés dada.
Invertimos hoy$ 100.000 durante 6 meses a una tasa de interés del 30% capita-
Con el siguiente ejemplo podemos ver el comportamiento de una misma tasa de lizable continuamente. Hallar la suma de dinero que se tendrá al final de los seis
interés a medida que el período de capitalización disminuye. meses.
Ejemplo 3.12 Solución
Calcular el monto que se tendrá al cabo de un año, por una inversión de$ 100.000 Tenemos que: P $ 100.000, r = 30% capitalizable continuamente n = 6
hoy, bajo las siguientes tasas: meses, F = ?
MATEMATICASFINANCIERAS INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 91
90
En este caso podemos resolver el ejemplo de cualquiera de las siguientes formas: Por ejemplo, decir que una entidad bancaria paga sobre las inversiones una tasa
de interés del 2,5% mensual anticipada, significa que por la inversión que se
i) Tomando un período de un semestre y entonces la tasa sería 0,3/2 = haga en un determinado momento, se recibirá al principio del mes la suma
15% semestral capitalizable continuamente y por lo tanto aorrespondiente a un interés del 2,5%.
F = 100.000 eº·150) = $ 116.183 A diferencia de la tasa vencida, en esta tasa se debe especificar y en forma
explícita el hecho de que la tasa es por período anticipado, y por eso se habla,
ii) Tomando períodos de trimestres y entonces la tasa sería 0,3/4 0,075 por ejemplo, del 7% trimestral anticipada, del 12% semestral anticipada o del
7 ,5% trimestral capitalizable continuamente y por lo tanto 29% anual anticipada.
Vamos a establecer la relación existente entre una tasa anticipada y su equivalente
F = 100.000 eºm5<2) = $ 116.183
vencida.
iii) Tomando períodos de meses y entonces la tasa sería 0,3/12 = 0,025 = Sea iª la tasa anticipada en un determinado período y sea i; la correspondiente 1
2,5% mensual capitalizable continuamente y por lo tanto tasa vencida equivalente en el mismo período. Si hoy (principio del período) nos
prestan$ 1 a una tasa delia por período anticipado, debemos cancelar hoy mismo
F = 100.000 e0•025<6) = $ 116.183 por concepto de intereses, la suma de iª' de tal manera que solamente recibimos
la suma de 1 - iª y sin embargo al final del período debemos cancelar la suma
Como hemos podido observar, la tasa de interés capitalizable continuamente se de$ l.
puede dividir por cualquier submúltiplo del año para ser aplicada al período
En un diagrama tendremos:
correspondiente, lo que no se puede hacer si se trata de una tasa nominal discreta.
$ 1
Tomar, por ejemplo una tasa del 30% nominal semestral y con las mismas tasas
obtenidas anteriormente, resolver los casos i), ii) y iii) del ejemplo.
3.8.8 Tasa vencida
Es aquella tasa que capitaliza al final del período. ia

--~-~----------------~---iv
o 1 período
Por ejemplo, decir que una inversión está ganando el 3% mensual, quiere decir
que los intereses correspondientes a esta tasa se calculan al final de cada mes. ·f
Por costumbre, cuando no se especifica lo contrario en una tasa de interés, se
sobreentiende que es vencida, de tal manera que se puede denotar de cualquiera
$ 1
de las dos formas siguientes:
lo que significa con una tasa vencida i; el $ 1 del final de período es el valor
i) 3% mensual vencida
l futuro de 1 - iª, es decir:
ii) 3% mensual.
r==I A partir de esta relación obtenemos las expresiones
. i; . ia
l = --- l = --- (3-9)
ª 1 + i; ' V 1 - ia
3.8.9 Tasa anticipada
que relacionan entre sí la tasa anticipada en un período con su equivalente tasa
Es aquella que capitaliza al principio del período. vencida.
I~
92 MATEMATICASFINANCIERAS JNTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 93
Por ejemplo: ¿Qué tasa mensual anticipada equivale al 3,3% mensual vencida? 0,0956
Para esto, aplicamos la expresión que mide la tasa anticipada en función de la = 0,0872 = 8,72%trirnestralanticipada.
1 + 0,0956
tasa vencida:
De tal manera que el 3% mensual anticipada equivale al 8,72% trimestral antici-
0,033
t; = _1_+_0-,0-3-3 = 0,0319 = 3,19mensualanticipada pada.
También es factible pasar una tasa nominal vencida a su equivalente nominal

Y viceversa, una tasa del 3% mensual anticipada, a qué tasa mensual vencida anticipada.
será equivalente. Aplicando la expresión que expresa la tasa vencida en función
de la tasa anticipada, se tendrá Por ejemplo: qué tasa nominal mensual anticipada equivale al 38% nominal
trimestral vencida.
0,03
iv= ---- = 0,0309 = 3,09% mensual vencida Este ejemplo lo desarrollaremos mediante una diagrama de equivalencias y el
1 - 0,03 lector deberá justificar cada uno de los pasos basado en la teoría expuesta hasta
este momento.
Cuando en una operación financiera interviene una tasa anticipada ésta se debe
llevar a su equivalente vencida y luego aplicar las fórmulas correspondientes para 38% nominal trimestral vencida
l
valores futuros y presentes, ya que todas las fórmulas financieras utilizan para
l: 3o/''t
estos fines, solamente tasas vencidas.
9,5% trimestral vencida
La tasa anticipada también se presenta en forma nominal, y es así como se habla,
por ejemplo, del 32% nominal trimestre anticipado, o 32% trimestre anticipada,
o 32% T.A. para indicar que esta es una tasa que expresada anualmente, capitaliza
1
3,07% mensual vencida
cuatro veces al año y al principio de cada trimestre. _También, al igual que la
tasa nominal vencida, la nominal anticipada se divide por el número de períodos
de capitalización al año para obtener la tasa efectiva por período anticipado; así,
por ejemplo, del 32% nominal trimestre anticipado obtenemos el 8% efectiva por
2.18% mensual anticipada
trimestre anticipada (32%/4 = 8%). Las demás expresiones que vimos en las
tasas· vencidas para hallar las tasas equivalentes, solamente se pueden aplicar, al
1
35,76% nominal mensual anticipada
final del período y no al principio, de tal manera que con la ayuda de esas
· I
relaciones y las expresiones (3-9) podemos hacer conversiones en las tasas equi- Es decir, que el 35,76% nominal mensual anticipada, equivale al 38% nominal
valentes entre anticipadas, entre vencidas o entre anticipadas o vencidas y vice- trimestral vencida.
versa.
Como aplicación de estas conversiones de tasas nominales o efectivas y anticipadas
Por ejemplo: Qu¿ tasa trimestral anticipada equivale al 3% mensual anticipada. o vencidas, tenernos las tablas que se encuentran en el mercado bajo los nombres
de "tablas de intereses efectivos anuales", editadas principalmente por instituciones
El 3% mensual anticipado equivale según la expresión (3-9) al financieras donde aparecen: la tasa nominal anual capitalizable mensual, bimestral,
trimestral, etc. , por anticipado o vencida y su correspondiente valor anual efectivo.
0,03
= 0,0309 = 3,09% mensual vencida,
1 - 0,03 Veamos solamente algunos de Íos valores que contienen estas tablas y su forma
tanto de calcularlos como de interpretarlos.
y ésta a su vez equivale a: (1,0309)3 - 1 = 9,56% trimestral vencida, y ésta a
su vez, según la expresión (3-9), equivale a
MATEMATICAS FINANCIERAS INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 95
94
equivalente al 30% nominal mensual anticipada, utilizando el mismo diagrama

11 m de equivalencias visto anteriormente, tenemos:
lpa:r:
1
mes anticipado mes vencido
nomm anual
1 2 3 ... 6 12 1 2 3 ... 6 12 30% nominal mensual anticipado
5%
10%
5,14 5,15 5,16 ...
l0,56 l0,61 l0,66 ... l0,8
5,19 5,26 5,12 5,11 5,09
11,11 l0,47 l0,43 10,38 ...

... 5,06
l0,25
l ..
2,5% mensual anticipa a
d .
...
20% 22,35 22,56 22,77 ...
...
23,46 25,0 21,94 21,74 21,55
38,41 42,86 34,49 34,01 33,55 ...
21,0
32,25
2,l64% mensual vencida
30% 35,5 36,04 36,59
40% 50,2 51,28 52,42 ... 56,25 66,67 48,21 47,29 46,41 ... 44,0 1
35,5% anual
En la primera columna numerada con I, se expresa la tasa nominal anual capita- o sea que el 30% nominal mensual anticipada, equivale al 35 ,5% efectivo anual
lizable en períodos de tantos meses al año como indiquen las columnas numeradas como aparece en la tabla.
con II, si .se trata de capitalización por período anticipado o las columnas nume-
radas con III, si se trata de capitalización por período vencido. De la misma manera si tomamos, por ejemplo el 30% en I y la columna en III
encabezada con 3, vemos que el valor correspondiente que es 35,55% se obtiene
Así, por ejemplo, si en I tomamos el 30% y en U la columna encabezada con 1, así:
esto indica que estamos tomando el 30% nominal capitalizable en períodos de 1
mes y por anticipado, es decir, el 30% nominal capitalizable mensualmente por 30% nominal trimestral vencida
anticipado o 30% mes anticipado. Si tomamos en I el 30% y en III la columna
encabezada con 3, esto indica que estamos tomando el 30% nominal capitalizable
en períodos de tres meses, es decir, el 30% nominal anual capitalizable trimestral-
l
7,5% trimestral
mente y por trimestre vencido, o como lo hemos denotado anteriormente, el 30%
nominal trimestral. La cifra que se encuentra en la fila del 30% y en la columna
encabezada con 1 de la parte U, que es 35,5%, representa la tasa efectiva anual
l
33,55% efectivo anual
·¡ equivalente al 30% nominal mensual anticipado, también en la misma fila y en
la columna encabezada con 3 de la parte III, que es 33,55%, representa la tasa o sea que el 30% nominal trimestral vencido equivale al 33 .s.~.%efectivo anual.
1
"efectiva anual equivalente al 30% nominal trimestral, y de manera similar se

interpretan las demás cifras, así por ejemplo, para la fila del 40% tenemos: el Existen en la práctica varias fórmulas que son equivalentes entre sí, y a partir de
40% nominal mensual anticipado equivale al 50,20% efectivo anual, el 40% ellas podemos obtener los mismos resultados, en lugar de la aplicación individual
nominal bimestral anticipado equivale al 51,28% efectivo anual, el 40% nominal de otras como se ha hecho en los ejemplos anteriores que hemos desarrollado
trimestral anticipado equivale al 52,42% efectivo anual, el 40% nominal semestral por diagramas de equivalencia.
anticipado equivale al 56,25% efectivo anual y el 40% anual anticipado equivale
al 66,67% efectivo anual. Pasando a la parte III tenemos: el 40% nominal mensual Veamos cómo con una sola fórmula podemos establecer la equivalencia entre
equivale al 48,21 % efectivo anual, el 40% nominal bimestral equivale al 47,29% una tasa nominal por período anticipada y la correspondiente anual vencida.
efectivo anual y así sucesivamente.
Sean:
El cálculo de estas tasas se hace a partir de las relaciones que. vimos en tasas
nominales efectivas y equivalentes para tasas vencidas y a partir de las expresiones lav = tasa anual vencida
(3-9) para el paso de anticipada a vencida. Volvamos a la tasa del 30% en l y a
la columna de II encabezada con 1, se trata de hallar la tasa efectiva anual vencida ima = tasa nominal capitalizable m veces al año por período anticipado
i; = tasa efectiva vencida en cada uno de los m períodos 3.8.10 Tasas compuestas
t; = tasa efectiva anticipada en cada uno de los m períodos Una tasa se llama compuesta cuando ella es el resultado de la aplicación simultánea
de dos tasas así éstas operen en condiciones diferentes. Tales son los casos, por
Aplicando las fórmulas (3-5) y (3-9) se obtiene lo siguiente: ejemplo, de las operaciones financieras en el sistema UPAC donde operan simul-
táneamente la tasa de interés y la tasa de corrección monetaria, de las operaciones
con monedas extranjeras donde intervienen tanto la tasa de interés como la tasa
de devaluación o los préstamos con comisiones entre otros.
En cualquiera de los casos se trata de determinar una tasa equivalente a las dos
que se aplican en la operación. Esta tasa así hallada es la que comúnmente recibe
el nombre de tasa real (ir).
Consideremos en primer lugar el caso de un préstamo en moneda extranjera (por

o sea que ejemplo en dólares) donde además de pagar una tasa de interés t, en esa moneda,
. )-m nuestro peso está perdiendo valor frente a esa moneda en un porcentaje del i2%
(
lma
· iav = 1 - --;;;- - 1 (3-10) por período, lo que se conoce como devaluación. Se trata de estimar el costo
real de ese préstamo.
Esta fórmula nos permite calcular directamente todas las tasas de la parte 11 de
Supongamos que esas tasas son anuales y tomemos un tiempo de un año para
la tabla anterior sin necesidad de los pasos iterativos que hemos utilizado. Así,
por ejemplo, el 30% nominal mensual anticipado tiene su tasa efectiva anual dada establecer la relación deseada.
por: Por una unidad monetaria extranjera U que nos presten hoy (cuyo cambio en
pesos sea de $X hoy), debemos pagar dentro de un año una unidad extranjera
i = o3
- -'- )-12 - 1 = 0,355 = 35,5% anual U más los intereses que son t. U, es decir, en total pagaremos U(l + i1) unidades
av ( 12 monetarias extranjeras. Pero si nuestro peso pierde poder frente a esa moneda
extranjera a una tasa del i2% por año, entonces al cabo del año por una unidad
como aparece en la tabla. de esa moneda tendremos que pagar $X (1 + i2), así que por las U(l + i1)
unidades, pagaremos $X (1 + i2) (1 + i1); en conclusión, por haber recibido
De la misma manera, si tomamos por ejemplo el 38 ,41 % anual vencida, Y que- al principio del año $X, tendremos que pagar al final$ x;~(l + i1) (1 + i2). La
remos hallar la tasa nominal semestral anticipada equivalente, aplicando la fórmula lll!' pregunta es: ¿cuál fue el costo real de ese préstamo?
(3-1 O) se llega a:
l=R1'
Si denotamos por ir la tasa real del préstamo, tendremos que
• 0,3841 =
~I
y de aquí obtenemos: de donde:
¡ na = 30% nominal semestral anticipada como aparece en la tabla.
1-:J....A
rc-1'1
(3-11)
De tal manera que para establecer estas equivalencias que encontramos en ~a Esta tasa ir se llama una tasa compuesta y también se puede expresar como
'
tabla, podemos utilizar cualquiera de los procedimientos vistos ya que por medio
de ellos llegamos al mismo resultado. (3-12)
98 MA TEMA TICAS FINANCIERAS INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 99
Por ejemplo: Si adquirimos un préstamo en dólares a un interés del 12% anual, A partir de este concepto podemos estimar el costo de un artículo hacia el futuro
el cambio hoy es de $ 590 por dólar, se estima que el cambio dentro de un año suponiendo que el único factor que incide en su aumento será el de la inflación,
sea de$ 778,8 por dólar. Se pregunta: cuál es el costo en pesos del préstamo. así, por ejemplo, bajo la hipótesis de que la inflación promedio anual sea del 27%
para los dos años siguientes, un artículo que hoy tiene un costo de $ 100 dentro
En este caso: i1 = 12% anual, i2 = 32% anual, de tal manera que aplicando la de dos años costará 1 ÚO (1, 27)2 = $ 161, 29. A este último valor se le conoce
relación (3-11) tenemos: como el valor del artículo en pesos corrientes o inflados; pero también existe la
operación inversa como es la de calcular el valor del artículo al cabo de dos años
ir = (1, 12) (1,32) - 1 = 0,4784 = 47 ,84% anual pero medido en ~esos de ho_y, esta operación consiste en ~uitarle la inflación
durante los dos anos, es decir que tendremos 161,29/(1,27) = $ 100. A este
Y no como equivocadamente se puede pensar que el costo del préstamo haya valor se le conoce corno el valor del artículo dentro de dos años medido en pesos
sido del 12% + 32% = 44% anual. constantes o en pesos de hoy. A esta operación se le conoce con el nombre de
deflactación.
Otro caso de tasa compuesta es la que se encuentra en el sistema UPAC donde Cuando el flujo de caja de uña inversión está dado en pesos corrientes, su análisis
por un préstamo se cobra una tasa de interés i 1 y una tasa de corrección monetaria de evaluación se debe hacer con una tasa de descuento que contenga la inflación
icM• de tal manera que la tasa que realmente mide el costo del dinero, estará dada y ésta se conoce con el nombre de tasa inflada; pero cuando el flujo de caja está
por una expresión similar. a la (3-11) o a la (3-12), es decir, que: dado en pesos constantes, su análisis de evaluación se debe hacer con una tasa
que no contenga la inflación, y ésta se conoce con el nombre de tasa deflactada.
Podemos establecer una relación entre tasa inflada, tasa deflactada y tasa de
Esta tasa y su aplicación se estudiará con mayor detalle posteriormente cuando inflación.
se trate el tema del sistema UPAC.
Denotemos con i¡ la tasa con inflación, id la tasa sin inflación o tasa deflactada
y con i¡ la tasa de inflación. Si hoy invertimos $ 1 a una tasa comercial o inflada
3.8.11 Tasa de inflación del i¡ anual, al cabo de un año tendremos $ (1 + i¡), pero si el dinero durante
ese año perdió poder adquisitivo a una tasa del i., entonces los $ (1 + i¡) que
La tasa de inflación se define como la medida del incremento continuo en los tenemos al final del año comprarán lo mismo que $ (1 + i¡)l(l + i;) de hoy, es
precios de los bienes y servicios a través del tiempo. decir, que $ 1 de hoy con una tasa sin inflación o deflactada del id anual tendrá
dentro de un año un poder de compra equivalente a (1 + id) pesos de hoy, así
La tasa de inflación se calcula sobre el precio inmediatamenteanterior y por esta que tenemos: .f
razón opera como una tasa de interés compuesto. Así, por ejemplo, si dec~0s
que la inflación promedio mensual durante los cinco primeros meses de un cierto
año fue del 2 5% mensual entonces un artículo que al principio del primer mes 1 +id
valía$ 100, tendráun val~r al final de cada uno de los cinco meses siguientes de 1 +i =--
d 1 + i,
$ 102.5, $ 105,06, $ 107,69, $ 110,38 y$ 113,14 respectivamente. Como se l
puede ver, la tasa del 2,5% se aplica a partir del primer valor del artículo, sobre
el valor inmediatamente anterior, de tal manera que sí queremos calcular el valer o sea
al final del quinto mes sin pasar por los anteriores, simplemente hacem?s el
siguiente cálculo: valor al final del quinto mes = 100 (1,025)5 = $ 113,14 igual (3-13)
al resultado anterior, pero aquí aplicando una expresión similar a la utilizada para
el interés compuesto. De la misma manera, si por ejemplo el costo de la canasta
familiar el 31 de diciembre de 1987 fue de$ 36.500, el 31 de diciembre de 1988 o lo que es lo mismo:
fue de$ 46.172,5 y un año más tarde de$ 59.100,8 decimos que la inflación
para el año de 1988 fue del 26,5% anual y para el año de 1989fue del 28% anual. • (3-14)
La interpretación de estas tasas es la siguiente: i¡% representa la pérdida porcentual En la siguiente tabla registramos: el año, el costo de mantenimiento para ese año
por anticipado en pesos corrientes y también en pesos constantes.
anual de poder adquisitivo del dinero, í¡% representa la tasa comercial que encon-
tramos en el mercado y que contiene la inflación y finalmente id% representa la
tasa de rendimiento real, libre de inflación, de nuestra inversión. Así, por ejemplo,
si invertimos una suma de dinero cualquiera aumente durante un año, a una tasa Año Flujo de caja Flujo de caja
($ corrientes) ($ constantes)
de interés del 38% anual, y durante ese año la inflación fue del 30%, se pide
determinar la rentabilidad real, o libre de inflación, de nuestra inversión. o 800.000 800.000
1 1'000.000 800.000
Tenemos que la tasa real o sin inflación para nuestro caso estará dada por:
2 1'250.000 800.000
0,38 - 0,3 1 '562.500
= 0,0615 = 6,15% anual 3 800.000
1+0,3
4 1'953.125 800.000
y no del 8% como equivocadamente se puede pensar.
·Valor
Presente 3'449.701,47 3'449.701,47
Valores corrientes y constantes. Se dice que un valor está representado en pesos
corrientes, o simplemente, que es un valor corriente, si contiene la inflación. En
caso contrario se dice que es un valor en pesos constantes o un valor constante. Para calcular el valor presente del flujo en pesos corrientes se debe utilizar la
Así, por ejemplo, un artículo el 1~ de enero de 1990 tenía un costo de$ 4."700, tasa con inflación, o sea la tasa del 35% anual. Para calcular el valor presente
y durante ese año el costo se incrementó solamente por la inflación que fue del del flujo de caja en pesos constantes se debe utilizar la tasa deflactada, es decir,
32,3% anual, de tal manera que el 31 de diciembre del mismo año el artículo la tasa que no contiene inflación, que en nuestro caso es:
tenía un costo de$ 4.700 (1,323) = $ 6.218,1. Esta última cantidad representa
el valor del artículo medido en pesos corrientes; si deseamos representar el valor 0,35 - 0,25
del" ·artículo el 31 de diciembre pero medido en pesos constantes, simplemente + 0,25 = 0,08 = 8% anual.
1
'l=F
tomamos su valor corriente y le quitamos o descontamos la inflación y así tenemos
que: Cuando se trate de proyectar un valor en pesos corrientes por más de un período,
o deflactar una cantidad también por más de un período, simplemente se utilizarán
6.218,1
$ 4.700 las expresiones similares a las de interés compuesto para .calcular valor futuro y
1,323 presente respectivamente. Así, si denotamos con C la cantidad base y queremos
'~
1 proyectar n períodos en pesos corrientes con una tasa de inflación por período
representa el valor del artículo el 31 de diciembre medido en pesos constantes. del i;%, este valor estará dado por
Esta operación es la que en finanzas se conoce con el nombre de deflactación.
De aquí que una serie de valores pueden estar dados en pesos corrientes o en F = C (1 + i;t
pesos constantes y es así como el flujo de caja de una actividad financiera puede
presentarse para su evaluación en valores o pesos corrientes o en constantes. y viceversa, si tenemos un valor F al cabo de n períodos y queremos deflactarlos
con una tasa de inflación promedio por período del i;%, este valor estará dado por
Por ejemplo, supongamos que el costo de mantenimiento de un activo durante 1,
los próximos cinco años, consiste en egresos por año anticipado los cuales F
aumentarán cada año solamente en la inflación la cual se considerará en un valor
del 25% promedio anual. Supongamos que el primer costo asciende a$ 800.000,
y que la tasa de descuento o de oportunidad de quien realiza los gastos es del
35% anual. Se pide registrar el flujo de caja tanto en valores corrientes como en ~con la diferencia de que esta cantidad estará ubicada en el período n pero medida
constantes y calcular los respectivos valores presentes de cada flujo de caja. en pesos constantes, o como también se le llama "en pesos de hoy". Si la tasa
102 MATEMATICASFINANCIERAS INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 103
de inflación no es la misma para todos los períodos, simplemente se va cargando

o inflando la cantidad cada período con Ja tasa correspondiente y similar si la
operación es deflactación,
3.8.12 Tasa de devaiuación

donde ices la tasa de interés comercial acordada en pesos colombianos, i la tasa
Es la medida de Ja pérdida de valor de la unidad monetaria nacional frente a otra de devaluación e ir es la tasa en dólares sin devaluación. d
moneda extranjera.
Por ejemplo, si disponemos de algunos dólares y los invertimos en Colombia
En nuestro caso la moneda extranjera frente a Ja cual tiene mayor aplicación este sabiendo que el dólar aumenta su valor respecto al peso colombiano en el 27%
concepto es el dólar de los EE.UU. Esta tasa se determina tomando los cambios anual y nuestra inversión en Colombia rinde el 34% anual, entonces el rendimiento
de dólares por pesos colombianos en dos fechas diferentes. Así, por ejemplo, si en dólares será de
el 1 ~ de enero de un año un dólar valía $ 479 y el 31 de diciembre del mismo
año el cambio estaba a$ 637 ,07, quiere decir que la devaluación en ese año fue 0,34 - 0,27
del 33% anual. -;== 0,0551 = 5,51%anual
1+0,27
Cuando estudiamos las tasas compuestas, se trató el caso de la relación entre la
tasa de interés i 1 % de un préstamo en moneda extranjera, la tasa de pérdida de De m~nera similar se maneja esta tasa cuando se trata de cualquier otra moneda
extranjera.
valor de nuestra moneda frente a aquella o sea la devaluación i2 % y la tasa real
del crédito, llegando a la expresión (3-12), de tal manera que si denotamos por
ic : la tasa comercial del crédito en dólares 3.8.13 Tasa de oportunidad

id : la tasa de devaluación
ir : la tasa real del crédito. Por lo general no todas las personas tienen las mismas oportunidades en la vida
Y un caso específico es el que hace referencia a las inversiones que pueden hacer
Obtenemos la expresión siguiente: las personas o entidades. En este sentido cada persona puede tener diferentes
oportunidades de realizar sus inversiones; así, por ejemplo, una determinada per-
sona puede tener acceso a las siguientes tasas en el mercado; 25% anual, 28%
anual, 33% anual y hasta el 35% anual, a las que puede tener acceso sin incurrir
Así, por ejemplo, si hoy obtenemos un crédito por valor de US$ 5.000 a un año. en m~yores riesgos o gastos adicionales. Dentro de esta gama de oportunidades
El cambio hoy es de $ 590 y se prevé que dentro de un año el cambio será de que tiene la persona, a la mayor se le conoce generalmente como la tasa de
$ 772,9. Si la tasa de interés en dólares es del 12% anual,'determinar el verdadero oportunidad (T.O .) de esta persona y que en nuestro caso es la tasa del 35% anual.
costo del crédito.
A la menor, en este caso el 25% anual, se le conoce con el nombre de tasa
Tenemos que la tasa comercial o acordada del crédito es t; = 12% anual y la mínima atractiva de rentabilidad (T.M.A.R.).
tasa de devaluación es 772,9/590 - 1 = 31 % anual, de tal manera que el costo
del crédito, o tasa real que se paga es: C~m~ ~e puede deducir, la t.asa de oportunidad es una tasa netamente personal
o md1~1dual, d~pende e.xclus1~amente de la persona o entidad inversionista y no
ir = 0,31 + 0,12 + 0,31 X 0,12 = 0,4672 = 46,72% anual del flujo de caja de la inversión como sí sucede con la llamada tasa interna de
retomo que se estudiará más adelante.
También se presenta el caso de calcular la rentabÜidad de una inversión en dólares
que se haga en Colombia. El análisis es similar al que se hizo con la tasa de C~~ndo se va~ a evaluar alternativas de inversión, la tasa de descuento que se
inflación y aquí es simplemente cambiar el término de inflación por el de deva- i1I~za es prec1samen~e la ~asa de oportuni~a~ del inversionista porque esto quiere
luación y así obtenemos: · ecir que es la tasa de mteres que deja de recibir por hacer la inversión en estudio.
a)
Periodo Ingreso Egreso

PROBLEMAS
6Y Determinar cuáles de los factores siguientes están bien calculados y cuáles no.
o
1 20.000
100.000
a) (FIP, 3%, 18) = 1,702433061

2 50.000
b) (F!P, 2,5%, 12) = 2,344888824
3 40.000
e) (P!F, 3%, 18) = 0,5873946876
d) (P!F, 3,6%, 12) = 0,654158419 4 40.000
e) (FIP, 2,6%, 10) = 1,292628145
~,:
', 5 25.000
'33) Usted
~-
invierte hoy la suma de $ 850.000 a una tasa d~ interés del 2,5%
mensual, ¿cuánto tendrá acumulado dentro de un año?
m
. '
6
7 40.000
35.000
60.000
,Fa
3. 3 ¿Cuánto tiempo será necesario para que:
b)
a) Una inversión de$ l '200.000 se convierta en$ 1 '950.750 con una tasa
de interés del 27 ,5% anual? ·
b) Una inversión de $ l '000.000 se convierta en $ 2'409.845 con una tasa Período Ingreso Egreso
de interés del 7% trimestral?
o 850.000
t:R1·
3.4 Qué tasa de interés mensual convierte, al cabo de dos años, el valor presente
1 .35.000
P en el valor futuro F, en cada uno de los siguientes casos:
2 25.000
a) P = $ 470.000, F = 950.000
l=R1
3-8 70.000
b) P = $ 2'320.000, F = $ 5'232:000 '·'
';.
e) P $ 755.000, F = .$ 2'485.000 9 50 . .000
3.5
d)P $ 1'205.000, F = $ 2'109.180
Un artículo tiene un valor de contado de $ 158.500, se adquiere a crédito

·~· 10
11
con una cuota inicial del 30% del valor de contado y un pago de$ 140.397
12- 15 45.000
dentro de nueve meses. Hallar la tasa mensual de interés que se cobra por
la financiación.
0b ¿ Qu.é es mejor: i~vertir en ~na ~mpre~a que garantiza triplicar la inversión

al cabo de dos anos y medio o invertir en una cuenta de ahorros que paga
3.8 Hacer el diagrama de flujo- de caja para:
el 3.5% mensual? · a) Los valores correspondientes a los intereses de la tabla del ejemplo (3-1)
(0 Represente en un diagrama de tiempo-valor los siguientes flujos de caja.

b) Los valores correspondientes al total acumulado de la tabla: del ejemplo
(3.1). -
,.
106 MATEMATICAS FINANCIERAS INTERES - VALORES PRESENTE Y FUTURO 107..
(~_) Una empresa deposita hoy $ 700.000 en una entidad que paga una tasa de 3 .17 En el problema 3. 16, suponga que la- empresa no hace un solo depósito sino
interés anual i% variable que depende del tiempo medido en años así: dos depósitos iguales, el primero el día en que el trabajador inicia labores
y el segundo· al cabo de 10 años. Hallar el valor de estos depósitos.
. [0,28 + 0,005t, si r = 1, 2, ... , 6 . ·.
z, = 3.18 Un señor tiene hoy una deuda por valor de$ 650.000 y le cobran un interés
0,32. ,sit=7,8,9,10 del 3% mensual. A su vez, el señor dispone hoy de $ 450.000 los cuales
deposita en una cuenta el 4% mensual. ¿Dentro de cuánto tiempo el monto
La persona retira $ 250.000 dentro de dos años y deposita $ 180.000 tres que tenga en la cuenta le será suficiente para cancelar la deuda existente. en
años más tarde del retiro. Calcular el saldo que tendrá al cabo de diez años. ese momento? .
-( 3~sted deberá cancelar hoy l~ ~urna de$ 820.000, sin embargo su acr~edor 3 .19 O n televisor tiene un valor de contado de $ 295. 000 y sé debe. financiar en
le propone la siguiente operación: incrementar este saldo. en el J5% y quy tres pagos así: $ 100.000 dentro de tres meses, y los otros dos pagos iguales
usted cancele esta nueva suma de dinero dentro de 5 meses. Hallar la tasa a 8 y 12 meses. Hallar el valor de estos pagos si la tasa de interés que se .
de interés mensual real cargada. · paga por la financiación es del 4% mensual.
·@Usted tiene dos alternativas para cancelar una deuda: a) mediante dos pagos
3.11 Resolver el problema 3.6, si en la cuenta de ahorros le hacen un abono a
iguales de $ 130.000 a 3 y 8 meses· con una tasa de interés del 3,75%
la cuenta eq~ivalente al 10% del total acumulado en e~a· fecha,
mensual o b). mediante dos pagos, uno :por$ 150.000 dentro de 4 meses y
otro por $ 110.000 dentro de 8 meses con una tasa de interés del 3,8%
3. 12 La sección de ·ahorros de un banco comercial ofrece una tasa de interés del mensual. ¿Cuál de estas dos alternativas escogería Ud.?
2,15% mensual a sus ahorradores. ¿f\1 cabo de cuánto tiempo el total de
los intereses devengados por una inversión, será igual a la mitad de la suma 3.21 Dentro de cuántos trimestres se tendrá en una cuenta de ahorros un saldo
invertida inicialmente? de $ 910.660 sabiendo que hoy se háce un depósito de $ 400.000 y luego
retiros así: $ 80.000 dentro de 9 meses, $ 120.000 dentro de 12 meses, si
3 .13 El 5 de enero de 1991 usted recibe en calidad de préstamo la suma de la cuenta de ahorros abona un interés del 9,5% trimestral.
$ 385.000 y firma un pagaré por$ 645.000. Si la tasa de interés del préstamo
es del 3,5% mensual, ¿cuál será la fecha del pagaré? 3.22 Una máquina de coser tiene un valor de contado de $ 410.000, se desea.
financiar en tres pagos a 6, 10 y 15 meses, de tal manera que cada pago
l -~n pagaré cuyo valo;paradentro de dos años será de.$ 700.ÓOO, se adquiere sea igual a los 3/4 del pago anterior, hallar el valor de cada pago sabiendo
-. hoy por$ 362.486. Si el comprador gana en otras inversiones el 32% anual, que se cobra un interés del 2,8% mensual sobre saldo.
¿cuánto ganó o perdió el inversionista el día de la compra del pagaré?. ' ,
. :
3. 23 Sustituir dos pagarés uno de $ 3 80. 000 y otro de $ i'ÍO. 000 con vencimientos
@ust~d como director financiero de una empre~a, debe est~blecer u.n fondo a 3 y 5 meses respectivamente, por dos pagos iguales para los meses 4 y
para la liquidación de un empleado al cumplir éste 20 años de trabajo. La 6, suponiendo una tasa de interés del 30% nominal mensual.
Iiquidaci~n equivale a 20 salarios mensuales iguales a los devengados en el
último año de trabajo. Si el empleado inició ganando $ 85.000 mensuales .( 3~-;;pna obligación estaba pactada para ~er cancelada con. tres pagos así:
y el salario se lo reajustan· en el 20% anual, se pregunta: ¿cuánto debe -'-../$ 155.000 hoy, $ 210.000 dentro de 6 meses y $ 180.000 dentro de 15
~)¡
depositar la empresa,' el día en que inicia labores el empleado, en una meses, con un interés del 36% nominal mensual, se desea sustituir por tres
~\
institución que paga un interés del 28% anual, para obtener al cabo de 20 pagos así $ 200.000 dentro de 3 meses, $ 150.000 dentro de un año y un
años la suma necesaria para cubrir la liquidación? . · último pago dentro de un año y medio. Determinar el valor de este último
pago si para este caso la· tasa de· interés es del 3,2% mensual. (Utilice el
3 .16 Resolver el problema anterior sabiendo que el salario se reajustará en el valor presente).
20% anual duranteIos 10 primeros años, y en el 25% anual de allí ~n
adelante, y que la institución pagará el 28% anual durante los 5 primeros j 3.25 Resolver el problema anterior utilizando el vaior futuro. ¿Se obtiene el
~I
a~os y el 30% anual de allí en adelante. ~\ mismo resultado? · (
(\,
1\
\
En caso contrario explicar el porqué de la diferencia ¿qué resultado se debe $ 120.000, un año después de este depósito hace otro porvalor de $ 180.000,
aceptar como respuesta al problema anterior? tres años más tarde de este último depósito, la fercera parte del total acumu-
lado se transfiere a otra cuenta que paga un interés del 29,5% nominal
3.26 Sustituir una obligación de dos pagarés así: uno de$ 450.000 a 3 meses y trimestral. ¿Cuánto dinero se tendrá -en cada una de las cuentas cuatro años
otro de $ 300.000 'a 8 meses y con una tasa de interés del 2,5% mensual, después de la transferencia? ·' '
por su equivalente en 3 pagos a 2, 6 y 10 meses tales que cada pago sea la
quinta parte del inmediatamente anterior, si para este caso la tasa de interés 3.35 En este momento se tiene la suma de$ l '500.000 disponibles para invertir
es del 28% nominal mensual (utilice el valor presente). · por dos años y se pueden depositar en una cuenta de ahorros o en una
corporación. La primera paga el 2,4% mensual y la segunda el 31 % nominal
3.27 ¿Cuánto tiempo tardará un depósito en duplicar su valor, si ha sido colocado trimestral. En la cuenta de ahorros no se pagan impuestos y en la corporación
en una institución financiera que paga una tasa de interés del 32% nominal se deben pagar unos impuestos del 5% de los intereses devengados ese año,
este pago se debe hacer cada año. Determinar la mejor alternativa para
trimestral?
invertir el dinero.
3.28 Una deuda estaba pactada para ser cancelada con un pago de$ 3'000.000 3.36 La señora M. M. deposita$ 100.000 en una cuenta de ahorros que paga un
dentro de 3 años, se acepta cambiar por dos pagos, uno de $ 2~200.000 interés del 28% capitalizable trimestralmente; dentro de 3 años retira la
dentro de 2 años y el otro de$ 1 '300.000 dentro de 4 años. Analizar la tasa tercera parte del total acumulado en. su cuenta, dos años más tarde hace un
de interés (i% ;;,; Ojdeterminando cuándo hay equilibrio en la operación y depósito igual a la 'mitad del saldo existente en ese momento y dos años
cuándo hay pérdida ya sea del .acreedor o del deudor y para qué valor de la después retira la totalidad del dinero existente en esa fecha. Hallar el valor
tasa el deudor tiene su mayor pérdida. de este último retiro.
3. 29 Hallar la tasa efectiva mensual equivalente al: 3. 37 ¿Qué tasa nominal mensual corresponde a cada uno de los siguientes casos?
a) 24% anual b) 31 % nominal mensual a) Una inversión de $ 1 '300.000 que produce un ingreso de $ 2'205.000
c) 30% nominal semestral d) 32% nominal trimestral dos años y medio más tarde.
. e) 10,2% trimestral f) 18 % semestral b) Una inversión de$ 680.000hace dos años convertida hoy en$ 1 '42Q.OOO.
-~ e) Una inversión de$ 970.000 hace 8 meses convertida hoy en$ 1 '455.000.
3.30 Hallar la tasa nominal mensual equivalente al:
a) 3% mensual b) 30% anual 3.38 Cuántos meses se requieren para que:
e) 36% nominal semestral d) 9% trimestral
3.31 ¿Qué tasa nominal trimestral convertirá a$ 380.0QO de hoy en$ 745.000
r.=t1 . ,,
a) Una inversión hoy de $ 450.000 se convierta en$ 594.610, si el dinero
rinde el 26% capitalizable mensualmente.
al cabo de dos años y medio?
f;±:;t b) Una inversión hoy de$ 620.000 se convierta en$ 917.485 sabiendo que
el.dinero rinde el 27% capitalizable trimestralmente. ·
3.32 Por una invérsión de $ l '250.000 hace 26 meses, se tiene hoy una suma
equivalente al 320% de la cantidad invertida. Determinar la tasa nominal 3.39 Sustituir una obligación que consta de tres pagarés de$ 100.000, $ 260.000
~.)
t=b
trimestral de rendimiento del dinero. lr"'J'tttl y $ 560.000 para dentro de 2, 6 y 10 meses respectivamente, por su equi-
valente en dos pagos iguales uno para dentro de 10 meses y el otro a 20
3.33 Se. dispone hoy de una suma de dinero para invertir. Y se presentan.dos meses, sabiendo que la tasa de interés acordada en todos los casos es del
alternativas: la primera es invertir al 29% nominal mensual y la segunda es 32,22% capitalizable mensualmente.
invertir al 30,5% nominal semestral. ¿Cuál se debe aceptar? 1 -
3.40 Resolver el problema anterior para una tasa deinterés 'del 32·,22% capitali-
3.34 Una persona hace un depósito hoy de$ 400.000 en una cuenta de ahorros
que paga el 27 ,5% nominal trimestral. Dos años más tarde deposita f 1; j zable mensualmente durante los 10 primeros meses y del 34% capitalizable
mensualmente de allí en adelante.
MATEMATICAS FINANCIERAS
)1 INTERES - VALORES PRESENTE y FUTURO 111
3.41.Una persona abre una cuenta de ahorros con un depósito inicial de$ 220.000,
- (p;=l\1
operación, en caso contrario determinar quién perdió y de cuánto es esta
hace un nuevo depósito 6 meses más .tarde por valor de $ 95.000, otro pérdida hoy. ·
depósito porS 125 ..000 ·15 meses después del anterior. Mantiene la cuenta
de ahorros durante dos 'años y medio, alfinal de este tiempo retira el total
acumulado. Hallar el valor de 'este retiro, suponiendo que la cuenta de
IFR 1 3 .48 En el problema anterior, determinar en qué porcentaje se debe aumentar la
· suma prestada hace 6 meses para que ese pago hoy equilibrela operación. ·
ahorros abona un interés sobre saldo del 5% trimestral durante el primer
año y el 1°!o trimestral de allí en adelante. · [frt' 3.49 Un señor debería cancelar una deuda mediante tres pagos así: $ 55.000
dentro de 3 meses, $ ·70.000 dentro de 8 meses y $ 128.000 dentro de un
3 .42 Para usted como deudor cuál de las dos alternativas siguientes prefiere para año, con una tasa de interés sobre saldo del 3,3% mensual. El acreedor
cancelar la misma deuda. La primera alternativa es pagar hoy $ 150.00.0, acepta que la deuda de hoy se cancele con único pago dentro de 15 i;neses
dentro de 7 meses pagar $ 83. 000 y dentro de un año pagar $ 115. 000, con y con una tasa de interés del 11 % trimestral. Hallar el valor de este pago único.
una tasa de interés del 7% trimestral .. La segunda alternativa es cancelar
tres pagos iguales de$ 95.000 en los meses 6, 9 y 14 con una tasa del 2,5%
3.50 Un pagaré con un valor de$ 345.000·para dentro de un año y con un interés
mensual. ·
del 28% nominal mensual, lo compró un comerciante hace 5 meses por un
valor de $ 2J\7 .500. Determinar si hay equilibrio en esta operación y en
3.43 Una entidad financiera ofrece dos planes de inversión a sus clientes. El plan
caso contrario quién perdió y de cuánto fue la pérdida el día del endoso del
A que paga un interés del 30% nominal trimestral sin ningún recargo adicional
pagaré.
y el plan B que paga un interés del 32% nominal trimestral pero descuenta
el 3% sobre la inversión inicial; este descuento se hace al final de cada año.
Si usted tiene $ l '200.000 para invertir en esta entidad y durante 3 años, 3. 51 Una institución bancaria le hace un préstamo a uno de sus clientes por valor
¿qué plan escogería? · de $ l '540.000 cobrándole una tasa de interés del 39% nominal mensual y
capitalizando los intereses. La deuda se debe cancelar con dos pagos iguales
3 .44 Cuánto se debe depositar hoy en una cuenta de ahorros que paga un interés. de$ l' 148.314 cada uno; si uno de ellos se hace al cabo de un año, ¿cuándo
del 29,5% nominal trimestral para poder retirar:$ 75.000 dentro de 6 meses, se deberá cancelar el otro?
$ 42.000 dentro de 10 meses, la mitad de Jo depositado dentro de un año
y que aún se tenga un saldo de$ 320.000en la cuenta dentro de 15 meses. 3.52 En el problema anterior, para qué valor de la tasa de interés, los dos pagos
se deben hacer en 6 y 12 meses.
3.45 Una máquina se adquiere financiada para ser cancelada con tres pagos de
$ 60.000, $ 80.000 y $ 100.000 en los meses 6, 8 y 12 respectivamente. 3.53 Sustituir una obligación que consta de tres pagarés así: Uno por$ 100.000
Hallar el valor de contado sabiendo que la financiación contempla una tasa para hoy, otro por $ 150.000 para dentro de cinco me~ys y otro por $ 180. 000
de interés sobre saldo del 2,5% mensual para los 6 primeros meses y del para dentro de un año y medio, todos con un interés del 29% nominal
9% trimestral de allí en adelante. trimestral, por su equivalente en cuatro pagarés a ocho, doce, quince y veinte
meses y tales que cada uno, a partir del segundo, sea igual a la tercera parte .'1
1
3.46 Una persona depositó el 12 de marzo de 1990 la suma de$ 350.000 en una del inmediatamente anterior, sabiendo que para este caso la tasa de interés
cuenta de ahorros que le paga el 28,5% nominal trimestral, el 12 de agosto es del 34% nominal semestral. Hallar el valor de cada uno de estos cuatro
del mismo año depositó la suma de$ 120.000, el 12 de diciembre del mismo pagarés.
año retira de la cuenta la cuarta parte del total acumulado hasta ese momento.
¿Cuál será el saldo en esa cuenta el 12 de septiembre de 1992? 3.54 Determinar el valor de contado de uh artículo sabiendo que financiado se
adquiere con el siguiente plan: Una cuota inicial de$ 50.000, tres pagos de
3.47 Un deudor debe cancelar la suma de $ 725.000 dentro de 10 meses, por $ 60.000, $ 80.000 y$ 90:000 a cinco, diez y doce meses respectivamente,
una deuda contraída hace 6 meses. El acreedor acepta que hoy se le pague· . y un último pago dentro de quince meses equivalente al 30% del valor de
· una cantidad igual al 118% de la suma prestadas hace 6 meses y en esta contado del artículo. La tasa de interés que se carga es del 30% nominal
forma quedan a paz y salvo. Sabiendo que en esta operación se había pactado i trimestral durante los ocho primeros meses y del 33% anual de allí en
un interés del 30% nominal trimestral, averiguar si existe equilibrio en esta adelante.
112
3.55 Una obligación financiera que consta de tres pagarés así: $ 100.000 para 3.62 Una persona debía cancelar una deuda mediante tres pagos así: $ 150.000 -1
dentro de cuatro meses, $ 250.000 para dentro dé un año y$ 300.000 para dentro de tres meses, $ 210.000 dentro de ocho meses y$ 255.000 dentro
dentro de quince meses, se debe sustituir por un solo pagaré para dentro de de un año, todos con un interés del 2,4% mensual. El deudor solicita cancelar
diez meses. Si el interés es del 3% mensual durante el primer año y del la deuda mediante dos pagos iguales a diez y quince meses respectivamente·
3,5% mensual de allí en adelante, hallar el valor de este nuevo pagaré. y estos pagos con un interés del 8,2% trimestral. Se pide hallar el valor de·
estos pagos.
3. 56 A usted como deudorle presenta su acreedor tres alternativas para cancelar
una obligación donde le están cobrando un interés del 3% mensual sobre 3.63 Una obligación que consta de tres pagos así$ 100.000 para hoy, $'250.000
saldo. Determinar la mejor alternativa: para dentro de cinco meses y $ 300. 000 para dentro de un. año, se debe
sustituir por su equivalente en tres pagos iguales a dos, ocho y diez meses.
Si la tasa de interés es del 32% nominal trimestral, hallar el valor de estos
a) Un pago único de $ 850.000 dentro de 8 .rneses, pagos iguales.
b) Dos pagos de $ 400.000 cada uno a 3 y 6 meses respectivamente.
e) Tres pagos así: $ 300.000, $ 400.000 y $ 200.000 a dos, cuatro y doce 3.64 ¿Qué tasa de interés capitalizable continuamente es equivalente a la tasa de
meses respectivamente.' . interés nominal semestral que convierte a$ 310.000 de hoy en$ 787.580
dentro de 25 meses?
3.57 Una persona deposita hoy$ 450.000 en una corporación de ahorro que paga
el 28% nominal trimestral. Tres años después deposita$ 620.000, un año 3.65 Una empresa ha establecido un sistema de ahorro obligatorio para sus em-
más tarde deposita $ 500.000 y dos años después, decide retirar la cuarta pleados. Este plan contempla que cada empleado ahorre el 8% de su salario
parte del total .acumulado hasta ese momento. Hallar el saldo, en la cuenta mensual y la empresa aporta el equivalente al 10% del salario mensual para
cad~ empleado. Estos ahorros se hacen en una entidad financiera que paga
de ahorros cinco meses después del retiro. un mteres del 28% compuesto continuamente. Los depósitos se hacen al
3.58.Cuando usted adquirió un artículo a crédito, se convino el siguiente plan: final del mes y durante el tiempo de trabajo. Además se sabe que el salario
Una cuota inicial de $ 125.000 y tres pagos de $ 85.000, $ 100.000 y se aumenta cada año en un 20%. Si un empleado inicia con un salario de
$ 150. 000 a tres, cinco y ocho meses respectivamente con una tasa de interés $ 35.000 mensuales el primer año, ¿cuánto tendrá acumulado por concepto
del 3,3% mensual. Transcurridos cuatro meses el deudor cancela la mitad de este ahorro al cabo de 8 años; fecha en que decide retirarse de la empresa?
del saldo en esa fecha y el resto lo cancela dos meses más tarde. Determinar
el valor .de cada uno de estos pagos. 3. 66 Obte~ga una fórmula que le permita calcular el valor presente y otra que le
permita calcular el valor futuro de una anualidad de n pagos anuales de
3.59 Cuando se hace una inversión de$ X a una tasa del 28% mensual, ¿al cabo valor $ A cada uno para una tasar% anual capitalizable continuamente.
de cuánto tiempo el monto de los intereses capitalizados asciende al 35% 3.67 Al. cabo de cuántos meses, al hacer una inversión. ~e $ 100.000 hoy y un
de la inversión inicial? retiro de $ 100.000 dentro de dos años, se tiene un saldo a favor del inver-
sion~stade$ 100.000, sabiendo que el dinero rinde el$ 28,55% capitalizable
3.60 Una persona depositó el 12 de febrero de 1988 la suma de$ 400.000 en contmuamente.
una cuenta de ahorros. El 12 de abril de 1989 depositó$ 150.000 y el 12
de octubre de 1989 retiró la tercera parte del saldo existente en ese momento; 3.68 Supongamos gue el valor de un activo dentro de t años esté dado por V (t)
Vi
se pregunta: ¿Cuál fue el saldo en la cuenta de ahorros el 12 de julio de
1990, sabiendo que el dinero rendía el 28% nominal trimestral durante el
= _60.000e 2: . Si la tasa de descuento es constante e igual al 27% capi-
talizable contmuamente, ¿cuándo se deberá vender el activo de tal manera
primer año de tener la cuenta abierta y el 31 % anual de allí en adelante? que el valor presente del precio de venta sea máximo? .
3. 61 Al cabo de cuántos meses se tendrá en una cuenta de ahorros un saldo de 3.69 Un aho~ador,deposita hoy _la ~urna de $ 350.000 en una institución que
$ l '810.000, sabiendo que hoy se hace un depósito de$ 3'653.000 y luego paga un mteres del 29% capitalizable continuamente. Si retira$ 135.900 al
. retiros así: $ 830.000 dentro de cinco meses y $ 2'263.000 dentro de once k cabo de un año y $ 181.600 un año más tarde, ¿qué saldo tendrá en la
meses, si la cuenta de ahorros paga un interés del 2% mensual. cuenta de ahorros un año después del último retiro?
J 14 MATEMATICAS FINANCIERAS .
3. 70 Supongamos que se invierte una cantidad de dinero que produce interés

compuesto continuamente.
a) Si la cantidad original se triplica en tres años, ¿cuál es la tasa de interés

continuo?
b) Si la cantidad original aumenta en un 40% en cuatro meses, ¿cuánto
tardará en duplicarse la cantidad original?
3. 7 1 U na persona debe amortizar una deuda y el acreedor le propone los tres

planes siguientes:
Plan A: 4 cuotas mensuales de $ 45.000 cada una, debiendo cancelar la
primera dentro de 3 meses y un interés del 28% nominal trimestral.
Plan B: tres pagos así: $ 50.000 dentro de dos meses, $ 60.000 dentro de CAPITULO 4
cuatro meses y $ 70.000 dentro de seis meses. Tasa de interés el 30% SERIES UNIFORMES
nominal semestral.
Plan C: cuatro pagos así: $ 50.000 en los meses 3~ y 4~ y$ 40.000 en los
meses 5~ y 6~. Tasa de interés del 27 ,5% capitalizable continuamente.
Usted débe asesorar al deudor sobre el plan que más le conviene.
Ft=I
Frll ·f
~
•
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lFR
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FR CAPITULO 4
FR
SERIES UNIFORMES
4.1 INTRODUCCION
En el capítulo 3 estudiamos los casos en los cuales un flujo de caja constaba de

~ un pago único o de varios pagos diferentes en tiempos también diferentes. Para
esta clase de problemas calculamos tanto el valor presente como el valor futuro
y, para algunos pocos, el tiempo y la tasa de interés. Sin embargo, en la práctica,
~
también se presentan flujos de caja que están formados'jior pagos que tienen la
característica de ser todos iguales y tener lugar en intervalos iguales de tiempo.
.... Tales flujos de caja o conjuntos de pagos reciben los nombres de "series unifor-
mes", "anualidades" o "rentas uniformes''. Son los casos, por ejemplo, de las
~ cuotas de un seguro, cuotas de arrendamiento, el sueldo de un empleado, entre
• otros, bajo las condiciones de que no cambie el valor del pago durante algunos
períodos. ·
~
En este capítulo estudiaremos las clases uniformes o anualidades más comunes,
y por lo tanto, de mayor aplicación en los problemas prácticos de las Matemáticas
Financieras. Al igual que en el capítulo anterior, en este calcularemos valor
~ presente, valor futuro, valor de los pagos, y el tiempo, para la mayoría de
anualidades; sin embargo, el problema general de cálculo de la tasa de interés,
se dejará par¡i ser tratado en el capítulo 9.
~
1, hi"i''I'
MATEMATICASFINANCIERAS SERIES UNIFORMES 119
118
4.2 SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES Así, por ejemplo, el salario mensual de un em_pleado, las cuotas mensuales iguales
y vencidas en la adquisición de vehículos o de electrodomésticos por el sistema
Definición 4.1 de financiación, son casos de anualidades vencidas.
Se llama serie uniforme o anualidad, un conjunto de pagos iguales y periódicos. Vamos a obtener ahora las expresiones que nos determinan el valor presente y
futuro de una anualidad; empezaremos por hallar el valor futuro.
Aquí el término de "pago" hace referencia tanto a ingreso como a egreso. De la
misma manera, el término "anualidad" se utiliza para indicar que los pagos son Valor futuro. Sea una anualidad vencida den pagos de valor$ A cada uno, con
peródicos y no necesariamente cada año. Los períodos pueden ser el día, la una tasa de interés del io/o por período. Se trata de hallar una expresión que nos
semana, la quincena, el mes, el trimestre, el semestre o el año, entre otros. mida el valor futuro de esta serie uniforme. El diagrama del flujo de caja para
este caso se muestra en la figura siguiente:
Utilizaremos la siguiente notación para el tratamiento de las anualidades. P F, F1+1 F
P = valor presente
F = valor futuro
A = valor pago uniforme y periódico
n = número de pagos periódicos
= tasa de interés por período
111
Para una anualidad puede suceder que el período de capitalización de la tasa de 1
I'
interés coincida o no con el período de pago. En caso negativo, se establece una ____ ._ ---
conversión de equivalencia ya sea del período de capitalización al período de -----·---------A.------ --
pago o viceversa; de todas maneras, utilizando las equivalencias entre tasas estu-
diadas en el capítulo 3, es posible obtener una tasa cuyo período de capitalización Figura 4.1. Diagrama del flujo de caja y el valor futuro y presente, de una anualidad
coincida con el período de pago. vencida.
El valor futuro o total acumulado en cualquier momento es una función que

Las principales clases de anualidades son las siguientes: depende del tiempo t, por lo tanto denotaremos por:
a) Anualidad vencida F1: el valor futuro o acumulado al final del período t.
b) Anualidad anticipada F, + 1: el valor futuro o acumulado al final del período t + l.
e) Anualidad diferida
d) Anualidad perpetua Entre estos valores, - y según el diagrama de la figura 4. 1., tenemos la siguiente
También se pueden presentar los casos de combinación de algunas de las anteriores relación:
como, por ejemplo, una anualidad diferida perpetua, etc. Para el estudio de las
clases enumeráías anteriormente, tomaremos como base el estudio que hagamos
de la anualidad vencida, y es así como las expresiones o fórmulas que obtengamos y se interpreta como que el valor total acumulado al final del período t + 1 ,
para esta primera clase de anualidad, las adaptaremos a los demás casos, en después de realizado el pago correspondiente, es igual a la suma acumulada al
cuanto sea posible. final del período anterior (F1), más los intereses devengados por esta suma durante
4.3 ANUALIDAD VENCIDA el período (iF1) más el pago realizado al final del período (t + 1) o sea A.
Definición 4.2 La expresión anterior se puede escribir como_
Se llama anualidad vencida, aquella donde el pago se hace al final del período. Fr+ 1 = (1 + i) F1 + A; con F0 = O
~¡
SERIES UNIFORMES 121

y corresponde a una ecuación en diferencia finita cuya solución se obtiene apli- En este ejemplo, la pregunta hace referencia al valor futuro de la anualidad de
18 depésitos mensuales de valor A = $ 12.000 cada uno. De tal manera que los
cando los métodos vistos en el capítulo 2. Se llega .a:
datos del problema son:
Fr=A
í[
(1 + ¡¡'')t - 1] A = $ 12.000, n = 18 meses, i = 3% mensual, F = ?
para cualquier valor de t = O, 1, 2, 3, ... , n Aplicando la fórmula (4-2), obtenemos que:
Entonces para t = n, se obtiene la expresión F = 12.000 (F!A, 3%, 18) = $ 280.973
Valor presente. El valor presente de la serie representada en la figura 4. l., se

(4-1) puede hallar aplicando el procedimiento utilizado en el capítulo anterior para
pagos únicos, es decir, tomar el valor futuro, calculado anteriormente, y traerlo
a valor prese~te, en este caso al punto O. De esta manera obtenemos:
El factor [(1 + i)n - l]li se denota por (F!A, i%, n) y se encuentra calculado en
las tablas financieras p~a algunos valores den y de i. De este modo, la expresión
o fórmula (4-1) se puede .escribir también como P = F(PIF, i%, n) =A
rL'1 + i)ni - 11J
1
(1 + tv::
F = A (F/A, i%, n) (4-2)
o sea
Por lo tanto, las fórmulas (4-1) y (4-2), nos permiten calcular el valor futuro de
t o-nj"
la anualidad vencida representada en la figura 4.1. y este valor futuro estará l - (1 +
ubicado en el momento en que se realice el n-ésimo pago. P=A . (4-3)
l
Ejemplo 4.1
El factor [1 - (i + i)~n}li se denota por (P./A, i%, n) y también se encuentra
Durante un año y medio, se hacen depósitos por mes vencido de$ 12.000 cada calculado en las tablas financieras, para algunos valores de n y de i. Así que la
uno, en una institución de ahorro que paga un interés del 3% mensual. Calcular expresión o fórmula (4-3) se puede escribir también como
la suma total acumulada en la cuenta de ahorros al final de este tiempo.
P = A (PIA, i%, n) (4-4)
Solución
Por lo tanto, las fórmulas (4-3) y (4-4), nos permiten calcular el valor presente
El diagrama de flujo de caja del ejemplo, es el siguiente: de la anualidad vencida representada en la figura 4.1. y este valor presente estará
ubicado un período antes del primer pago realizado.
F
Ejemplo 4.2
Hallar el valor de contado de un artículo que a crédito se adquiere.con 18 cuotas

de $ 20.000 cada una por mes vencido, sabiendo que se cobra un interés del
2,5% mensual.
Solución
12.000 El diagrama de flujo de caja correspondiente al ejemplo, es el siguiente:

122 MATEMATICAS FINANCIERAS SERIES UNIFORMES 1-2'.3
p Esta expresión nos sirve para hallar el valor de la anualidad cuando se conocen
el valor futuro, la tasa de interés por período y el número de pagos periódicos,
o lo que es lo mismo, el factor (A/F, i%, n) sirve para distribuir un valor futuro,
según lo representado en la figura 4.1.
Aun cuando el factor (AIF, i%, n) también se encuentra en las tablas financieras
para algunos valores de n y de i, para hallar su valor basta con tener en cuenta
su relación con (FIA, i%, n) y con el uso de la calculadora, el cálculo es inmediato.
En resumen, el factor (AIF, í%, n) aplicado a un valor futuro F, lo distribuye

------·--- ----- ---------- --- --- -- --
20.000
financieramente de derecha a izquierda en n pagos iguales de valor A cada uno
dejando el primero donde esté F y los demás hacia la izquierda.
En este caso el valor de contado corresponde al valor presente de las cuotas que.
se pagarían si se adquiere a crédito. Los datos del problema son: Se 1 utiliza este factor, cuando se va a sustituir un valor p9r su equivalente en n
pagos iguales y anteriores a F.
A = $ 20.000, n = 18 pagos, i = 2,5% mensual, P = ?
Ejemplo 4.3
Aplicando la fórmula (4-4) obtenemos:
Se debe reunir la suma de $ 850.000 para dentro de dos años, con tal fin se
P = 20.000 (PIA 2,5%, 18) = 287.067 decide hacer depósitos iguales por mes vencido en una institución que paga el
2,65% mensual. Hallar el valor de los depósitos.
O sea que el valor de contado del artículo es de $ 287 .067
Solución
Debemos tener en cuenta que, de acuerdo con la ecuación en diferencia finita
planteada para hallar el valor futuro de la anualidad vencida, el factor (FIA, i%, El diagrama del flujo de caja correspondiente es el siguiente:
n) al ~smo tiempo que va acumulando los pagos realizados, va acumulando los 850.000
intereses compuestos producidos tanto por el capital como por los intereses ya
devengados. De manera similar, el factor (PIA, i%, n), al aplicarlo a una serie
de pagos iguales, les descuenta los intereses compuestos. Por eso son de gran
aplicación estos factores, ya que en los casos prácticos, los intereses se deben
cargar sobre el saldo existente en un momento determinado y otro tanto sucede,
. ;;.
si se descuentan intereses.
A partir de las expresiones (4-2) y (4-4), podemos calcular nuevos términos tales
como A, n, o, i .•
A
Cálculo de la anualidad. Con base en la expresión (4-2) obtenemos: r--·---------- --- ----------------------------- ---
l J
Los datos del problema son:
A=F
(FIA, lio/o, n) F = $ 850.000, n = 24 pagos; i = 2,65% mensual," A ?
El factor l/(FIA, i%, n), se denota por (AIF, i%, n), y así tenemos que Aplicando la fórmula (4-5) se tiene
A = F (AIF, i%, n) ' (4-5) A = 850.000 (A/F, 265%, 24) = $ 25.792

124 MATEMA'TICAS FINANCIERAS SERIES UNIFORMES 125
El resultado anterior se puede interpretar como que $ 850. 000 dentro de dos años y los datos son:
(24 meses) son equivalentes financieramente a los 24 depósitos de $ 25.792 de
la gráfica, siempre y cuando el dinero rinda el 2,65% mensual. P = $ 48.500, n = 18 cuotas, i = 3% mensual, A ?
A partir de la expresión (4-4), se obtiene: Aplicando la fórmula (4-6) se tiene:
A=P [ l · J A = 48.500 (AIP, 3%, 18) = $ 3.526,4

L (PIA, i%, n) J Es decir, que el saldo financiado, se puede cancelar con 18 cuotas mensuales de
El factor ll(PIA, i%, n) se denota (AIP, i%, n), y así tenemos que $ 3.526,4 cada una.
A = P (AIP, i%, n) (4-6) Cálculo del tiempo. Para esta clase de anualidades, o sea las vencidas, el tiempo
de la operación medido en períodos, coincide con el número de pagos, lo cual
Con esta expresión o fórmula podemos hallar el valor de la anualidad cuando se no siempre se cumple para otras clases de anualidades. De tal manera que en
conocen el valor presente, la tasa de interés por período y el número de pag<?s, nuestro caso, hallar el valor de n equivale tanto a hallar el número de períodos
o sea que con el factor (AIP, i%, n) podemos distribuir financieramente un valor como el número de pagos.
presente hacia la derecha en n cuotas iguales. Es la expresión que se utiliza para
financiar una deuda de hoy en n cuotas periódicas e iguales y con una tasa fija Esta variable se puede calcular a partir de cualquiera de las fórmulas (4-2) o
por período. · (4~4), utilizando la función logarítmica y calculadora. Veamos con un ejemplo la
ventaja que, para estos casos, tiene el manejo de la calculadora y las. funciones
Ejemplo 4:4 logarítmica y exponencial.
Un televisor tiene un valor de contado de$ 63.500. Se desea adquirir a crédito Ejemplo 4.5
así: una cuota inicial de $ 15.000 y el resto financiado a 18 meses con cuotas
mensuales iguales. Si la tasa de interés que se cobra por la financiación es del Se tiene una deuda hay de $ 42.QOO y se debe cancelar en cuotas mensuales de
3% menseal, hallar el valor de las cuotas. $ 2.000 cada una; si la tasa de interés que se cobra. es del 3% mensual, ¿al cabo
de cuánto tiempo se ha cancelado la deuda?
Solución
Solución
Como se paga una cuota inicial de$ 15.000, entonces el saldo a financiar es de
$ 63.500 - $ 15.000 = $ 48.500. De tal manera que el diagrama del flujo de . ,•
El diagrama del flujo de caja es el siguiente
caja correspondiente es:
42.000
48.500
o 2 3
• • • 18 o 2 3
• • • n
A
-- - ---------- - -------- - - --- - - -- - --- -
,
~-- __ ,,_, , ----------------------- ------ -- -
MA TEMATICAS FINAI:-TCIERAS
126
Ejemplo 4.6
y los datos son
P = $ 42.000, A = $ 2.000,, i = 3% mensual, n ,= ?

Un activo, que de contado tiene un valor de$ 3¡.ooo,
se puede adquirir financiado
a 20 cuotas mensuales de$ 2.100 cada una, ¿cuál es la tasa de interés mensual
Como los pagos y la tasa están dados mensualmente; entonces n también estará que se cobra?
dado en meses. Solución
El diagrama del flujo de caja correspondiente es:
Aplicando la fórmula (4-3) tenemos:
32.000
1 - (1,03)-~
42.000 = 2.000 [ 0,03 -J
Después de algunas operaciones llegamos a o 2 3
• • • 20
y aplicando logaritmo en ambos miembros se tiene
- n ln (1,03) = ln (0,37)
-- - _, - --
----------------------------
2.100
n = 33,6364
y los datos son:
Este resultado se puede interpretar diciendo que al cabo de 33,6364 meses, la
dttJ,lda quedará cancelada. Sin embargo, en la práctica no se puede aplicar este
P = $ 32.000, A = $ 2.100, n = 20 cuotas, i% = ?
resultado textualmente, debido a que es un poco difícil el manejo de la fracción Aplicando la fórmula (4-4) tenemos:
aer mes, y por el contrario se utiliza realizar un número entero de pagos, los 32.000 = 2.100 (P!A, i%, 20)
cuales en nuestro caso pueden ser 33 cuotas o 34 cuotas mensuales.
o sea que
Cuando en un problema, como en el anterior, el valor del tiempo es un número 32.000
con parte decimal, ésta representa la parte de la cuota que, al final del último (PIA, i%, 20) = = 15,23.&J
período entero, quedaría pendiente para cancelar en el período siguiente. En 2.100
nuestro ejemplo quiere decir que se pueden cancelar 33 cuotas de$ 2.000 cada
y por interpolación lineal, llegamos a que i = 2,74% mensual.
1;=:I
una y queda un saldo de 63.64% de la cuota, o sea 0,6364 (2.000) = $ 1.27'.2,8
para cancelar al final del mes 34.
,, De la misma ma~era se puede hallar la tasa de interés si se trata de una expresión
Si deseamos pagar solamente 33 cuotas podemos tomar como base el análisis como la (4-2). Sin embargo, dada la importancia que tiene el determinar la tasa
anterior y tendremos 32 cuotas de $ 2.000 cada una y una última, en el mes 33,
por valor de
·~ de interé.s en una o~eración financiera donde la incógnita es precisamente la tasa,
se ha dejado el capitulo 9 exclusivamente para este fin.
2.000 + 1.272,8 (1,03)-1 = $ 3.235,7 ~or último, se debe advertir que- en la práctica, y por lo tanto en el resto de este
libro, cuando no se especifica el momento de realizar el pago en una anualidad
Cálculo de la tasa de interés. Para hallar la tasa de interés, a partir de las ~ se sobreentiende que es vencido y es así como se habla de cuotas uniformes
expresiones (4-2) o (4-4), se debe utilizar el método de interpolación lineal visto
mensuales o trimestrales, o semestrales, etc., para indicar que la cuota se cancela
en el capítulo anterior, o con la ayuda de una calculadora programable, caso en
al final del mes, del trimestre, del semestre respectivamente.
el cual, el re_sultado se obtiene más rápido. ~
~
128 MATEMATICAS FINANCIERAS SERIES UNIFORMES 129
4.4 ANUALIDAD ANTICIPADA b) Ponernos considerar la anualidad total de los n pagos y aplicarle el factor (PIÁ,
i%_, n). Este valor p~esente así obtenido, quedará ubicado un período antes del
Definición 4.3 , 'pnmer pago, es decir, en el punto - 1; por lo tanto, para calcularlo en el punto
O, debemos aplicar el factor (F!P, i%, 1), es decir, mover este valor de izquierda
Se llama anualidad anticipada, aquella donde los pagos se realizan al principio a derecha un período; de esta forma obtenemos la expresión siguiente: ·
del período.
P = A (PIA, i%, n) (F!P, i%, 1) (4-8)
Así, por ejemplo, las cuotas mensuales por concepto de arrendamiento, las cuotas
periódicas de seguros, son casos de anualidades anticipadas, siempre y cuando Se debe tener en cuenta que las expresiones (4- 7) y (4-8) son equivalentes y para
no varíen. fines prácticos, se pueden utilizar independientemente cualquiera de las dos.
Para el cálculo tanto del valor presente como del valor futuro de una anualidad Ejemplo 4.7
anticipada, vamos a utilizar los factores ya estudiados adaptándolos a este caso. ·
F,=I Se tiene una obligación, que en un primer momento se había pactado cancelar.
Valor presente. Sea- una anualidad anticipada de n pagos de valor $ A cada uno en 18 cuotas de $ 1-5.000 por mes anticipado; se decide cancelarla de contado.
R
y con una tasa de interés del i% por período. El valor presente de esta serie será Si la tasa de interés acordada es del 3% mensual, hallar este valor de contado.
el valor, que en el momento de realizar el primer pago, equivalga a toda la serie.
Solución
El diagrama de flujo de caja para esta anualidad anticipada, se representa en la
figura siguiente.
A El diagrama del flujo de caja correspondiente a este ejemplo es:
p
A
o 2
t---+--+--------::.__.=,.._..:..
• • • 17__
_;¡.:. 18
~
. A ·1-
- ----------------------- --
.
. z... __ -- i..·---
~
Figura 4.2. Diagrama de flujo de caja y valor futuro y presente, de una anualidad --~-------------~-------------
y los datos son:
15.000
-
anticipada. •
El valor presente que se muestra en la figura 4. 2., se puede calcular de dos formas ~ A-= 15·.000, n = 18 pagos, i = 3% mensual, P = ?
diferentes:
~ Aplicando la fórmula (4-8) tenemos que .
a) Consideramos el pago del punto O y por separado los n - 1 pagos restantes

y hallamos el valor presente total en el punto O. De esta manera los n - 1 P = 15.000 (PIA, 3%, 18) (FIP, 3%, 1) = $ 212.491
pagos anteriormente, constituyen una anualidad vencida, por lo tanto obtenemos ~'
la expresión siguiente. o sea que el pago de contado de la obligación tiene un valor de$ 212.491.
P = A + A (PIA. i%, n - 1) = A [l + (PIA, i%, n -1)1 (4-7) Es fácil ver que se obtiene el mismo resultado si se aplica la fórmula (4- 7).
~
.¡
Valor futuro. Cuando se trata de una anualidad anticipada, se debe especificar y los datos son:
el punto en el cual se desea hallar el valor futuro, debido a que en la práctica se
presentan básicamente los dos casos siguientes: a) calcular el valor futuro en el A = $ 14.000, n = 24 pagos, io/o = 2,5% mensual, F = ?
momento de efectuar el último pago o b) calcular el valor futuro al final del
Aplicando la fórmula (4-9), ya que la pregunta hace referencia al caso b) anterior,
último período de la operación financiera, es decir, un período después de efectuar tenemos:
el último pago.
F = 14.000 (FIA, 2,5%, 24) (FIP, 2,5%, 1) = $ 464.208
Para estos casos debemos tomar como referencia la gráfica dada en la figura 4. 2.
es decir, que al cabo de dos años de tener arrendada la casa, su propietario .tendrá
Si el valor futuro corresponde al caso a), aplicamos simplemente la fórmula (4-2)
para n pagos y obtenemos lFI 1
ahorrada una suma de$ 464.208. ·
En el ejemplo anterior, ¿cuál será la cantidad total acumulada en el momento de
efectuar el último depósito en la cuenta de ahorros?
¡Fil
Fn-1 = A (FIA, io/o, n) 1
y si el valor futuro corresponde al caso b), aplicamos en un primer momento la 4.5 ANUALIDAD DIJ;fERIDA
fórmula (4-2) y este valor quedará acumulado en el punto n - 1 y luego con el
factor (FIP, io/o, 1), obtendremos el valor futuro enel punto n.Es-decir, obtenemos: Definición 4.4
r, = A (FIA, io/o, n) (FIP, io/o, 1) (4-9) Se pama anuai~dad ~i~e~da, aquella ~?nd~ el primer pago se realiza algunos
períodos despues de iniciada la operacion fmanciera.
Ejemplo 4.8
Así, por ejemplo, una deuda adquirida hoy, se conviene amortizar en cierto
El propietario de una casa, recibe por concepto de arriendo de parte de la misma, número de pagos mensuales iguales y el primer pago se debe realizar dentro· de
la suma de$ 35.000 mensuales, de los cuales deposita el 40% cada mes, en una
corporación de ahorro que paga un interés del 2,5% mensual. Cada depósito se
realiza el mismo día en que se recibe la re.nta del arriendo. Si la casa estuvo
(FI tres meses.
El caso general se puede plantear de la siguiente manera: una anualidad de n

arrendada por espacio de dos años, hallar la cantidad total acumulada en la cuenta pagos iguales de valor $ A cada uno, debiendo efectuar el primero dentro de k
de ahorros al final de los dos años.
Solución
(±1 perío?os, Y. co~ una ta~a de interés del i% por período, corresponderá a una
anualidad diferida k penodos. Vamos a calcular tanto el valor presente coino el
valor futuro de esta anualidad. ·
Bajo el supuesto que el valor del arriendo de un inmueble se debe cancelar por
mes anticipado, y que en nuestro caso, la cantidad depositada cada mes es de
0,4 (35.000) = $ 14.000, el diagrama del flujo de caja del ejemplo es:
¡~ ~l d~agrama del flujo de caja correspondiente, es el que. se muestra en la figura
siguiente:
F F
~1
•
o
o 2 • • • 21 ••• 2 k - 1 k k + l
---+--+-------+-:--+-----=·~-.!•:....__•!_ _ _. k + n
r--+---+-------------------4-~-'24
.
l~t*i1
.~
-------------~----------
A
-------- -------------- 14.000--------- -- . ¡~1 Figura 4.3. Diagrama de flujo de caja de una anualidad diferida k períodos.
• 11
.!L~~
1
11
1 1
132 MATEMATICASFINANCIERAS 1
Valor presente. Para hallar el valor presente en el punt~ indicado e~ e~ diagrama En algunos casos, para estas anualidades, el interés durante el tiempo diferido
anterior, simplemente utilizaremos los factores de anualidad y pago umco respec- no es igual al interés durante el tiempo en que se pagan las cuotas. Para estos
tivamente y obtenemos: casos simplemente se aplican los factores correspondientes con sus tasas respec-
tivas. En los problemas de final de capítulo, encontraremos ejercicios que hacen
P = A (PlA, io/o, n) (PIF, i%,_k -:--- 1) (4-10) referencia a esta situación.
Valor futuro. Para hallar el valor futuro, en el punto indicado en el diagrama, 4.6 ANUALIDAD PERPETUA
simplemente aplicamos la fórmula (4-2). ·
Definición 4.5
Ejemplo4.9
Se llama anualidad perpetua, aquella en la cual no existe el último pago.
Se adquiere hoy un electrodoméstico financiado de la sigui~nte.manera: 18 cu~tas
mensuales de $ 2.600 cada una debiendo cancelar la pnmera dentro de cinco Así, por ejemplo, una cuota fija anual que el gobierno aporte a una institución de
meses y una tasa de interés del 3% mensual. Transcurrido un mes, ~e _opta por beneficiencia o para el mantenimiento de una vía pública y que estos aportes se
cancelar en un solopago el valor de la deuda; hallar el valor de este pago umco. hagan por tiempo indefinido, constituyen anualidades perpetuas.
Solución Aun cuando en la práctica son muy escasos los problemas que se ajusten a una
anualidad perpetua, el objetivo de estudiar esta clase de anualidades es el de
El diagrama del flujo de caja correspondiente al ejemplo, es el siguiente: facilitarnos el estudio de las series perpetuas de pagos variables, que veremos en
el capítulo 5 y que son de mayor aplicación. ·
1
Tomemos el caso general de una anualidad perpetua cuyos pagos tienen un valor
$ A y una tasa de interés del i% por período. Para esta clase de anualidad no
existe el valor futuro y sólo existe el valor presente.
o 2 3 4 5 6 •• • • 22
El diagrama del flujo de ~aja correspondiente, se muestra en la figura siguiente:
p
• 1-
----------------
2.600
+
y
--
los datos son:
o • • • n n
1
1
l
• ••
..
1
= $ 2.600, ns= 18 pagos, i = 3% mensual, P1 = ?

1
A 1
1
1
1
donde P 1 representa el valor del pago único dentro de un mes. 1
1
____ l1 _
Aplicando la fórmula (4-10) tenemos que --- ·- A
Figura 4.4. Diagramadel flujo de caja de una anualidad perpetua.

P1 = 2.600 (PIA, 3%, 18) (PIF, 3%, 3) = $ 32.724,6
Siempre que se trate de una serie perpetua de pagos.. el método para hallar el
y este será el pago único que se debe hacer dentro de un mes - con el fin de valor presente es considerar los n primeros pagos de .la serie, y determinar el
amortizar la deuda. - correspondiente valor presente.
(\'(fl1
:J_: '
~
1
134 MATEMATICAS FINANCIERAS SERIES UNIFORMES ns
Al crecer n se origina una sucesión {P n} que depende de n; el valor presente de Esto quiere decir, que con un depósito hoy de$ 400.000, podremos retirar cada
la serie será igual al límite (si existe) de esta sucesión. año, y a perpetuidad, la suma de $ 120.000.
Para nuestro caso tenemos que P; = A (PIA, i%, n), entonces el valor presente En muchos de los problemas prácticos de una operación financiera se debe tener
P estará dado por en cuenta que la tasa de interés con que se realiza esta operación ne siempre es
constante a lo largo del tiempo de duración, de tal manera que es necesario tener
P = lím Pn en cuenta los posibles cambios que pueda sufrir la tasa de interés.
n-oo Ejemplo 4 .11
o sea FI Usted tiene un contrato que estipula el pago de una deuda mediante 30 cuotas
mensuales iguales de$ 22.000 cada una y un interés sobre saldos del 30% anual
P = límA (PIA, i%, n)

n-oo
= límA
n -oo [
1 - (1 i+ o-nJ =
A
durante el primer año y del 33% anual de allí en adelante. Si usted desea cancelar
hoy este contrató con un pago único, ¿de cuánto es dicho pago?
Solución
Esto nos indica que parala anualidad perpetua representada en la figura 4 .4., el En primer lugar se debe hallar la tasa equivalente a cada una de las tasas anuales
valor presente está dado por la expresión: dadas en el problema. Se tiene que estas son del 2, 12% mensual para el primer
año y del 2,4% mensual de allí en adelante.
A
P= - (4-11)
i El diagrama del flujo de caja es el siguiente:
p
Una anualidad perpetua también puede ser anticipada o diferida; el manejo de
estas clases de anualidades se basa en el uso de la expresión (4-11) de una
anualidad vencida al caso correspondiente, teniendo en cuenta lo hecho con la 2,21% 2,4%
expresión ( 4-4) de una anualidad finita vencida, altratar la anticipada y la diferida. .1 1
T 1
Ejemplo 4. JO
o 1 2 12 13 14 30
Supongamos que el mantenimiento de un activo, de vida útil perpetua, va a tener

• J-
un costo anual de$ 120.000. Se desea constituir un fondo con un depósito único hoy,
en una cuenta de ahorros que paga un interés del 30% anual, de tal manera. que
cada año se puede retirar de esta cuenta, la suma necesaria para cubrir el costo
de mantenimiento. Hallar el valor del depósito.
- --- ---- ----- - -- --- -~ --- -----------------
22.000
• donde P es el valor del pago único a realizarse hoy y que según el flujo de caja
Solución equivale al valor presente de la anualidad.
El diagrama del flujo de caja correspondiente al ejemplo, es similar al de la figura Dado que la tasa de interés no es la misma para los 30 meses, se debe hallar el
(4.4), donde los datos son: valor presente por fracciones, es decir, calculando el valor presente de cada uno
de los grupos de pagos iguales que sólo están diferenciados por la tasa de interés.
A = $ 120.000, i = 30% anual, P ? Se tiene entonces que:
Aplicando fa fórmula (4-11) obtenemos que P =

120.000 = $ 400.000 P = 22.000 (PIA, 2,21%, 12) + 22.000 (PIA, 2,4%, 18) (1,0221)-12
0,3 = $ 474.708
136 MA TEMATICAS FINANCIERAS SERIES UNIFORMES 137
Igualmente se puede tratar el caso de financiar una deuda de hoy mediante un En forma similar se manejan los casos ya sean de cálculo del valor presente o
determinado número de cuotas uniformes y 'periódicas, teniendo en cuenta que de financiación de deudas cuando se trata de cuotas uniformes y tasa de interés
hay cambios en-la tasa de interés que cobra el acreedor. que cambie varias veces durante el tiempo de la operación financiera.
Veamos. también con un ejemplo, cómo manejar estos casos. Otro caso que merece tenerse en cuenta es el de financiar una deuda de hoy a
un cierto plazo con cuotas uniformes debiendo cancelar la primera algunos perío-
Ejemplo 4 .12 dos después de iniciada la operación financiera, sabiendo además que se cobrará
una determinada tasa durante los períodos de no pago de cuotas o período de
Usted debe financiarle a una persona, una deuda por valor de $ 3 millones de gracia y otra tasa para el tiempo donde se están cancelando cuotas.
hoy a 20 meses con cuotas mensuales iguales y un interés del 29% nominal
trimestral durante el primer año y del 34,5% anual de allí en adelante. Ejemplo 4 .13
Solución Financiar $ 1 millón a un año con cuotas mensuales iguales debiendo cancelar
la primera dentro de cuatro meses sabiendo que la tasa de interés será del 3,5%
Igual que en el ejemplo anterior, debemos calcular la tasa efectiva mensual mensual durante los cuatro primerosmeses y del 4% mensual de allí en adelante.
equivalente a-cada una de las tasas dadas en el problema. Tenemos que estas
tasas son del 2,36% mensual para el primer año y del 2,5% mensual de allí en
El diagrama del flujo de caja es el siguiente:
adelante.
1'000.000
3'000.000
2,36% 2,5% 3.5% 4%
). J. A.
....J..
( I l ( T l
o
o 2
••• 12 13 14
••• 20 2 3 4 5
• • • 12
A
____________ ;_/_~----- -----
,. -
Los $ 3 millones corresponden al valor· presente de las cuotas que se deben Vamos a equilibrar el diagrama en el punto O. Para ello nos ubicamos primero
cancelar y al iguql que en el ejemplo anterior, este valor presente sedebe calcular en el punto 4 del diagrama debido a que allí cambia la tasa de interés, esto nos
en forma parcial y así tenemos que: enfrenta a una anualidad anticipada cuyo valor presente estará dado por A (PIA,
4%, 9) (1.04). En seguida llevamos este valor al punto O con la tasa de interés
3'000.000 = A (PIA, 2,36%, 12) + A (PIA, 2,5%, 8) (1,0236)-n mensual correspondiente y allí equilibramos el diagrama. En resumen quedará:
de donde: 11
l '000.000 = A (PIA, 4%, 9) (1.04) (1.035)-4
A = $ 190.297 :~ A = $ 148.397,90
De esta manera con 20 cuotas mensuales de $ 190.297 cada una y con cambio.
en la tasa de interés, se puede cancelar la deuda de $ 3 millones de hoy. ,~JI l. Es decir que bajo las condiciones del problema la cuota mensual será de
$ 148.397,90.
F=k.1
MA TEMA TICAS FINANCIERAS SERIES UNIFORMES 139
138
PROBLEMAS 4.7 Una compañía debe adquirir un terreno para la ampliación de· su planta. Lo
puede adquirir con una cuota inicial de $ 15 millones y 8 pagos de
$ 1 '000.000 cada uno por trimestre, haciendo el primero dentro de un año.
4.1 ·Qué cantidad deberá invertir hoy una persona en una cuenta de ahoi:ros Determinar el valor de contado del terreno sabiendo que en la financiación .
~ue paga un interés del 30% capitalizable mensualmente, para poder retirar se pactó una tasa de interés del 34% nominal trimestral.
la suma de$ 25.000 mensuales durante 3 años?
4.8 Resolver el problema anterior sabiendo que la tasa de interés es del 30%
4.2 Qué series de pagos uniformes serán equivalentes a cada uno de los valores nominal mensual durante el primer año -del crédito y del 34% nominal
siguientes: trimestral de allí en adelante.
a)$ l '600.000 dentro de 8 años, pagos anuales y una tasa de interés del 4.9 El l~ de junio de 1988 se adquirió un negocio con $ 4'000.000 de cuota
8% trimestral. inicial y 10 pagos trimestrales de $ 550.000 cada uno, el primero con
s
b) 3'100.000 dentro de 5 años, pagos semestrales y una tasa de interés vencimiento el te:? de julio de 1991 . ¿Cuál es el valor de contado del negocio
para una tasa de interés del 29% convertible trimestralmente?
del 33% anual.
c) $ 1 '500. 000 de hoy, pagos mensuales durante un año y una tasa de interés
4.10 Se supone que una casa tiene un. valor de contado de $ 28'000.000. Se
del 15% semestral.
'adquiere con una cuota inicial de$ 10'000.000 y el resto en cuotas mensuales
4.3 En una universidad existe la costumbre que cada promoción semestral hace y
iguales durante un año medio; si la tasa de interés de la financiación es
una donación por$ 500.000, diez años después de graduados. Esta costumbre del 35% anual, hallar el valor de las cuotas mensuales.
se inició en junio de 1978 por el grupo que terminó en junio d~ 1~68._ ~i
la universidad invierte estas donaciones semestralmente en una institución 4: 11 El asesor financiero de una empresa se encuentra frente a dos alternativas:
Ff'
financiera que paga un interés del 34% anual se preg~nta ¿cuánt? _tendrá Un empleado que ganará un salario mensual de$ 125.000 o comprar una
acumulado la universidad por concepto de estas donaciones en diciembre máquina por$ 3'450.000 y que realice el trabajo de! empleado. ¿Cuántos
de 1993? meses mínimo debe prestar servicio la máquina para que el asesor se decida
por la compra de ésta, teniendo-en cuenta una tasa de rendimiento del dinero
.4 .4 Cuánto se tendrá al final de tres años y medio por cada una de las siguientes
series de .depósitos uniformes:
a) Depósitos de $ 5.000 mensuales y un interés del 31 % anual.

F1=I del 32% anual?
4. 12 ¿Qué cantidad $ X se debe depositar por trimestre anticipado durante 5 años,

en una corporación que paga el 29% convertible trimestralmente, para que
b) Depósitos de$ 15.000 trimestrales y un interés del 31% anual. a partir del séptimo año se pueda retirar la suma cte/'$ 160.000 por semestre
~ anticipado y durante 3 años?
e) Depósitos semestrales de$ 25.000 y un interés del 2,8% mensual.
Un padre de familia debe reunir la suma de $ 2'300.000 para dentro de 4.13 Usted deposita $ 10.000 cada mes durante dos años, en una entidad que
4.5 ~ paga un interés del 28% nominal mensual. A partir delsegundo año empieza
cuatro años·. Con este fin, abre una cuenta de ahorros hoy con $ 220.000,
en una entidad que paga un interés del 32% convertible mensualmente, Y a retirar S 10.000 por mes vencido y durante un año y medio, y a partir de
esta fecha deposita por trimestre vencido y durante dos años, la suma de
de aquí en adelante cada mes deposita $ R. Hallar el valor de R, de tal
manera que el padre de familia cumpla su objetivo. ~· $ 50.000. Hallar el total acumulado en la cuenta de ahorros, un año más
tarde del último depósito trimestral.
,t=fi
1
4.6 Una persona deposita$ 5.000 mensuales.durante 4 años en una e~tidad que
paga un interés del 30,5% nominal trimestral. Al cabo de. ese tiempo, la 4.14 Un ahorrador deposita $ 15.000 mensuales por mes vencido y durante 4
persona empieza a retirar la suma de$ 5.000 por mes vencido Y durante 4 años, en una cuenta de ahorros que abona un interés del 29,5% nominal
años. Averiguar el saldo que le quedará a la persona en su cuenta al final trimestral. Si a partir de los 4 años retira por trimestre vencido la misma
suma depositada, ¿durante cuánto tieinpo puede hacer retiros?
de los 8 años. ,
_! ',I
MA TEMA TICAS ,FINANCIERAS SERIES UNIFORMES 141
140
4.15 Se está construyendo un restaurante que estará en servicio dentro de un año. 4.23 Un señor deposita$ 22.500 al principio de cada año comenzando en 1990,
Supongamos que las utilidades sean de $ 65~.000 mensuales y durante~ en una institución que paga un interés del 30% convertible trimestralmente,
años de servicio. Si usted desea tomar en arnendo este restaurante, ¿cual siendo ~a~ fechas de capitalización los últimos días de marzo, junio, septiem-
será el valor' en pesos de hoy' que debe ofrecer para que al c~bo de los 5 bre y diciembre, En qué fecha de estas y de qué año, llegará a sobrepasar,
años usted tenga una ganancia adicional de $ 3'000.000, sí su tasa de en la menor cantidad, la suma de $ 520.000.
oportunidad es del 32% anual?
4.24 Se desea reunir la suma de $ 500.000 para dentro de un año y $ 650.000
4.16 Hallar el número mínimo de depósitos de $ 24.000 cada uno y por mes para dentro deun año y medio. Con tal fin se abre una cuenta de ahorros
vencido, para lograr sobrepasar la suma de $ 870.000 en ~l mo~ento de donde se depositarán cantidades iguales cada mes, de tal manera que se
hacer el último depósito, si el dinero rinde el 29% convertible t_nmestral- puedan tener las sumas deseadas en las fechas correspondientes. Si la cuenta
mente. de ahorros paga el 28% nominal mensual, hallar el valor de las cuotas.
4.25 Un activo que tiene un valor de contado de $ 850.000 se puede adquirir

financiado con el siguiente plan: Cuota inicial dé $ 350.000 y 12 cuotas
mensuales iguales debiendo cancelar la primera dentro de 6 meses y un pago
adicional por valor de S 220.000 dentro de 18 meses. Hallar el valor de las
cuotas uniformes sabiendo que el interés para la financiación es del 33%
nominal trimestral. -
4.26 Qué cantidades iguales en los años uno y dos son equivalentes a una. serie
de 18 pagos uniformes de $ 1-5. 000 mensuales si el primero .se realiza hoy
y la tasa de descuento es del 28% anual.
4.19 Resolver el problema anterior suponiendo que la primera cuota se cancela 4.27 Qué depósit~ únic~ debe hacer el gobierno hoy en una corporación que paga
al cabo de 5 meses y el número de cuotas sigue 'siendo de 36. el 29% nommal tnmestral, para que este fondo sea suficiente para cubrir
los g~stos de mantenimiento de una vía pública, de vida útil perpetua, que
4.20 Resolver el problema (4.19) para una tasa de interés del 40% anual durante se estiman en un promedio de $ 400.000 mensuales. _
los 5 primeros meses y del 38% anual de allí en adelante.
4.28 Cuál será el valor de cada pago de una anualidad de ~2 pagos mensuales
4. 21 El dueño de un restaurante desea saber, dentro de un año, la diferencia entre debiendo realizar el primero dentro de 8 meses, equivalente a una serie -
el valor futuro de los ingresos y el de los egresos para un año de funciona- perpetua de $ 300.000 cada 3 años, para una tasa de descuento del 8%
miento de su restaurante y con_ los siguientes datos: paga un arriendo de trimestral.
$ 250.000 por mes anticipado, un seguro al principio del año por valor _de
$ 550.000, por mano de obra y maquinarias$ 150.000 mensuales, ~atenas 4.29 Una suma de 11 '750.000 para dentro de 3 años se debe distribuir en una
primas-para la preparación de los alimentos $ 300.000 cada mes, mgresos serie uniforme perpetua por mes anticipado, sabiendo que el dinero rinde
diarios (30 días al mes) $ 40.000 y la tasa de oportunidad del dueño del el 2,5% mensual durante los 3 primeros años, el 3% mensual durante los 5
restaurante es del 3% mensual. años siguientes y el 30% nominal trimestral de allí en adelante. Rallar el
valor de la serie uniforme.
4.22 Un padre de familia quiere depositar hoy una cantidad de dinero suficiente
para cubrir los gastos de matrícula en bachillerato de su hijo que est_á 4.30 Un puente de una ciudad tiene unos costos de mantenimiento cada 3 años
cumpliendo hoy 5 años e ingresará a bachillerato a la edad de 12 años. Se por _valor de $ l '250.000 ¿cuál será el aporte en cuotas uniformes que el
prevé que para esa época el valor promedio de la matrícula por año anticipado gob1e1!10 d~ la ~iu~ad deberá d~posit~ anualmente en una corporación que
será de $ 300.000. Si el depósito lo hace en una entidad que paga el 29% pagara un mterés del 28% nonunal tnmestral durante los 10 primeros años
anual, hallar el valor del depósito. Y el 32% nominal trimestral de allí en adelante, de tal manera que este
~I
~--W'
fondo sea suficiente para sufragar los gastos de mantenimiento del puente 4.39 Una persona debe cubrir un pagaré por $ 4 millones dentro de tres años,
suponiendo que éste. tendrá vida útil perpetua? con tal fin debe realizar algunas operaciones financieras que le permitan
reunir esa .suma en la fecha indicada. Invierte hoy la suma de $ X en un
4.31 Una serie uniforme perpetua de $ 48.000 por trimestre, debi~ndo realizar papel financiero que le paga un interés del 32% nominal por trimestre
el primer pago dentro de un año, con un interés del 28,5% nommal mens~al, anticipado; estos intereses los retira al principio de cada trimestre y los
1 .
se debe sustituir por otra serie uniforme perpetua con pagos cada 2 anos, deposita en una cuenta de ahorros que paga el 33% nominal trimestral
realizando el primero dentro de 3 años y con una ~asa de interés del 27% (vencido). Hallar el valor de X para que, al final de los tres años, liquidando
nominal mensual. Hallar el valor de esta nueva sene. las dos cuentas, la persona tenga la suma de dinero deseada sabiendo además
que en la cuenta de ahorros hizo un retiro de $ 200. 000 un año y medio
4.32 Cuánto debió depositar usted en una cuenta hace 3 añ.os para que haciendo después del depósito inicial.
depósitos uniformes cada dos meses de$ 10.200 y retiros-de $ 16.000, c~da
' 3 meses el fondo se agote dentro de 4 años, sabiendo que tanto los depósitos
como retiros se iniciarán dentro de 6 meses.
4.40 Resolver el problema (4.39) sabiendo que en la primera cuenta se hacen
dos retiros de$ 350.000 cada uno a los 18 y 24 meses después del depósito
inicial.
4.33 Una cuenta de ahorros se inicia hoy con cuotas mensuales iguales debiendo
,;¡~
m .·
· hacer la última dentro de 18 meses a una tasa de interés del 3% mensual, 4.41 Una familia compra una casa que de contado vale$ 28'600.000. La adquiere
y se harán retiros iguales cada mes de cantidades que sean el doble de la financiada con una cuota inicial equivalente al 35% del valor de contado y
depositada; si el primer retiro se hace dentro de 19 meses, se pregunta: a
el resto 15 años con cuotas mensuales iguales. El interés de la financiación
es del 30, 12% nominal mensual. La familia puede arrendar parte de la casa
\A
¿Durante cuánto tiempo se podrá retirar dinero antes de que se agote el fondo?
para ayudar a cancelar la cuota mensual, ¿cuánto debe recibir por concepto
4.34 Una casa tiene un valor de contado de $ 35'000.000 y se puede adquirir de arriendo mensual anticipado, para que colocado este dinero en una cuenta
financiada con una cuota inicial de $ 8'000.000 y el resto a 15 años con de ahorros que paga el 27,5% nominal mensual, la familia sólo tenga que
cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés sobre saldos que se cobra es aportar al final del mes el 30% de la cuota de amortización?
del 3% mensual durante los 5 primeros años, del 3,5% mensual para los 5
años siguientes y del 4% mensual de allí en adel~~te, ¿a cuánto ~quivale 4.42 Una empresa requiere de la suma de$ 10 millones para ampliar su produc-
en pesos de hoy, el total cancelado entre cuota inicial y cuotas unifo~es, ción. Debido a que no cuenta con esta cantidad de dinero, decide emitir
a una persona que tiene una tasa de oportunidad del 3, 1 % mensual y adquiere bonos por este valor y comprometiéndose a pagar a los beneficiarios un
esta casa? 28% nominal semestral pagaderos al final de cada semestre. Los bonos
vencen en siete años y la empresa debe hacer depósitos trimestrales iguales
4.35 Se deposita' cada mes una cantidad$ A y durante 2 año~, un año más ta:de en una institución bancaria para poder cancelar ta.11.to intereses semestrales
de esta fecha se empieza a retirar mensualmente la cantidad $ (2/3) A; si el como el valor final de los bonos a los beneficiarios. Esta institución bancaria
dinero rinde el 2,5% mensual, averiguar si el fondo se agota o no. En caso paga un interés del 26,5% nominal mensual durante los dos primeros años
afirmativo determinar ese tiempo. y del 27 ,5% nominal mensual de allí en adelante: Hallar el valor de los
depósitos trimestrales.
4 36 ¿Cuántos tr'imestres se debe diferir una serie de 12. pa~~s de $. 1.2:500 por
tr.imestre para que con ella se pueda cancelar u~a obhgac10~ que iru~ialmente 4.43 Un ahorrador deposita$ 100.000 en una cuenta que paga el 28,5% nominal
estaba pactada a 8 pagos de$ 9.564,80por tnmestre vencido, sabiendo que trimestral. Cuatro años más tarde· retira la mitad de su saldo en la cuenta y
( luego hace depósitos mensuales de $ 5.000 cada uno y durante 2 años,
la tasa de interés es del 32% nominal trimestral?
~·----
4:37 Resolver el problema (4.36) si los 12 pagos tienen un valor de $ 15.0('.)0
retirando el total 6 meses más tarde del último de estos depósitos. Determinar
el valor de cada uno de los dos retiros.
cada uno.
4.44 Resolver el problema anterior si la cuenta de ahorros paga un interés del
4.38 Resolver el problema (4.37) si la tasa de interés es del 32% nominal trimestral 28,5% nominal trimestral durante los 5 primeros años y el 31 % nominal
durante el tiempo diferido y del 30% nominal trimestral de allí en adelante. trimestral de allí en adelante.
4.45 Financiar $ 5 millones de hoy a cinco años con: cuotas mensuales iguales El industrial acepta la propuesta y descuenta los flujos de caja a su tasa de
sabiendo que la primera se cancela dentro de .seis meses y la tasa de interés oportunidad que es del 38% anual. Determinar la suma total que la ciudad
que se cobra sobre saldo es del 3% mensual durante los seis primeros meses, recibe en esa fecha.
del 3,5% mensual en los dos años siguientes y del 4% mensual para el resto
de tiempo. 4.51 Cuántos meses se debe diferir una serie uniforme de doce pagos trimestrales
de$ 450.000 cada uno, para que con ella se pueda cancelar una obligación
_4.46 Un estudiante universitario desea costearse por sí solo la carrera que es de que inicialmente estaba pactada a ocho pagos trimestrales de $ 276 .167,
., 1 O semestres académicos y para ello cuenta con unos ahorros que depositará sabiendo que se está cobrando una tasa de interés del 32,31 % -anual.
al principio de enero del año en que comienza la carrera. Este depósito lo
hace en una corporación de ahorros que paga el 29% nominal trimestral. El 4.52 La asociación de exalumnos de una universidad necesita de una casa para
valor de la matrícula es de $ 260.000 por semestre anticipado y los gastos instalar sus oficinas y hacer sus reuniones. Se presentan dos alternativas: La
en libros y otros materiales de estudio ascienden a $ 40. 000 por mes de primera es tomar una casa en arriendo por$ 150.000 por mes anticipado;
estudio anticipado. Si los meses de estudio son febrero, marzo, abril y mayo la segunda es comprar una casa por valor de$ 38'500.000. Los exalumnos
para el primer semestre y agosto, septiembre, octubre y noviembre para el se preguntan: al cabo de cuánto tiempo el valor futuro de lo pagado en
segundo semestre, y la matrícula se debe cancelar al principio de febrero y arriendo será igual al valor futuro de lo invertido en la compr.ade la casa
agosto, se pregunta: ¿Cuál será la cantidad que el estudiante deberá depositar para una tasa de oportunidad del 31 % anual.
de tal manera que ese fondo sea suficiente para sufragar los gastos de estudio?
4.53 El dueño de una mina de arena estima las reservas actuales de la misma en
4.47 Resolver el problema (4.46) suponiendo que la corporación de ahorro paga 2'000.000 de toneladas; la arena se extrae a razón de 100.000 toneladas por
el 29% nominal trimestral durante los 2 primeros años y el 33% nominal año y el precio actual es de $ 5.000 por tonelada; Dentro de 3 añosotra
trimestral de allí en adelante. persona desea tomar en arriendo la mina. Se pregunta: ¿cuánto deberá ofrecer
esta persona por el arriendo anual anticipado si desea obtener una ganancia
4.48 Se hace un depósito hoy por valor de$ 1,5 millones y luego 20 depósitos al final de la vida útil de la mina de $ 1O'000. 000 para una tasa de oportunidad .1
mensuales de $ 250.000 cada uno, en una institución que paga un interés del 32% anual? ·
del 24% nominal trimestral. Si dentro de dos años se empiezan a hacer
retiros de $ 500.000 por trimestre anticipado, se pregunta, ¿durante cuánto 4.54 Una persona tiene hoy una deuda de$ 250.000 los cuales debe cancelar en
tiempo se podrá retirar dinero? cuotas mensuales iguales durante dos años con tasa de interés del 2% mensual
durante el primer año y de 2,5% mensual durante el segundo año.:
4.49 Existe un instituto que financia estudios universitarios. Un estudiante recibe Para amortizar esta deuda, la persona hace depósitos iguales por trimestre
la suma de $ 300.000 al principio de cada semestre académico para pagar anticipado durante dos años en una corporación qe.• ahorros donde gana un
la matrícula y $ 45.000 al final de cada mes de estudio para libros (ver interés del 29% nominal trimestral durante el primer año y del 30% nominal
problema 4.46). durante los 10 semestres de carrera. trimestral durante el segundo año.
~~antelos 5 años de estudio el instituto le cobra un interés del 1 % mensual, De estos ahorros la persona retira cada mes el valor de la cuota para cubrir
. y t.an)pronto corno el estudiante termina la carrera debe empezar a pagar la la obligación, y encaso de tener un saldo en contra, la corporación le cobrará
deuda en cuotas mensuales iguales vencidas durante 5 años y con una tasa un interés igual al que ésta le paga por sus ahorros. Se pide hallar el valor
de interés del 2,6% mensual. Hallar el valor de las cuotas uniformes. de los depósitos trimestrales.
4.50 Una ciudad que acaba de ampliar el sistema suministro de agua, se compro- 4.55 Un matrimonio ha decidido establecer un fondo para financiar la educación
mete a prestar este servicio a un industrial durante 10 años bajo las condi- universitaria de su hijo que hoy cumple 3 años de edad e ingresará a la
ciones siguientes, El industrial se comprometea pagarle a la ciudad la suma universidad cuando cumpla 17 años. El fondo consiste en depósitos iguales
de $ 25'000.000 al principio de cada año y durante los 4 primeros años, y en la fecha de los cumpleaños incluyendo el de hoy y el último a .los 17
IY $ 30'000.000 por año anticipado para los 6 años restantes. Tres años después
de estar en funcionamiento el sistema la ciudad se encontróante una necesidad
años. Si los depósitos se hacen en una corporación que paga un interés del
29,5% anual y la matrícula es de$ 350.000 por semestre anticipado durante
de fondos y solicitó al industrial le pagase la totalidad del contrato restante. los 10 semestres de carrera, determinar el valor de los depósitos.
146
una serie uniforme de pagos mensuales durante los 4 años y con tasa de
4.56 Resolver el problema anterior si el dinero rinde el 29,5% anual durante los
interés del 30% nominal trimestral durante los 2 primeros años y del 31 %
5 primeros años y el 32% anual de ·allí. en adelante Y. la matrí~ula tendrá ~n
nominal trimestral de allí en adelante. Hallar el valor de estos pagos unifor-
costo de$ 350.000 por semestre anticipado los 2 pnmeros anos de estudio
mes. ¿Es equivalente, para este caso, utilizar el valor presente o el valor
y de$ 430.000 de allí en adelante. futuro?
4.57 Se hacen depósitos mensuales iguales de valor $A durante dos ·a~os, ~n
una cuenta de ahorros que paga un interés del 2,5% mensual. Un ano mas 4.63 Una persona debe\ cubrir dos pagarés en sus fechas correspondientes: uno
por valor de$ 2 millones para dentro de un año y el otro por valor de$ 2,5
tarde del último depósitoretira (5/3) A y este mismo retiro se continúa.hacie:°do
millones para dentro de dos años. Con tal fin la persona decide ahorrar
de allí en adelante. Averiguar si el fondo se agota o no y en caso afirmativo,
cantidades mensuales iguales y durante quince meses, en una cuenta de
determinar ese tiempo. ahorros que paga un interés del 36% anual. Determinar el valor de los
4.58 Pedro solicita en calidad de préstamo a un amigo la suma de$ 3'000.000 depósitos mensuales.
comprometiéndose a cancelar la deuda en 15 pagos mensu~les iguales Y .con
4.64 El dueño de una mina de carbón está sacando un promedio de 60 toneladas
una tasa de interés del 2,5%. mensual sobre saldo. Con tal fm Pedro empieza
mensuales, las cuales puede vender a razón de $ 150.000 la tonelada durante
desde hoy a depositar cantidades uniformes al principio del mes en una
los 2 primeros años, aS 185.000 la tonelada durante los 3 años siguientes
cuenta de ahorros que paga el 3% mensual, de tal manera que al final de
y a $ 200. 000 la tonelada dd allí en adelante. Se estima que la mina produzca
cada mes se tenga fa suma necesaria para pagar la cuota del crédito.
Al cabo de 8 meses la cuenta de ahorros aumenta la tasa al 3,5% mensual, carbón por espacio de 10 años y el propietario desea vender la mina 15
meses después· de iniciada la explotación. ¿En cuánto deberá vender estos
sin embargo, Pedrocontinúa haciendo los mismos depósitos. Determinar el
derechos si su objetivo es obtener en esa fecha una ganancia del 10% sobre
saldo en la cuenta de ahorros una vez cancelada la deuda original.
el valor real para una.tasa de oportunidad del 3% mensual en los 5 primeros
años y del 3,5% mensual de allí en adelante?
4.59 Una persona tiene hoy una deuda de $ 2'500.000 y la debe cancelar con
cuotas mensuales iguales durante tres años y a un interés del 2,,8% men~ual
4.65 Una persona adquiere una casa financiada así: cuota inicial financiada~~ 6
durante el primer año y del 3,4% mensual de allí en adel.ante.Para ':ll1:1ortizar
pagos mensuales de$ 800.000 cada uno yel resto a un plazo de cinco años
esta obligación el deudor hace depósitos iguales por tnmestre anticipado y
con cuotas mensuales iguales y un interés sobre saldo del 30% nominal
durante 2 años en una cuenta que abona el 10,5% trimestral durante el
primer año y el 11 % trimestral de allí en adelante. Hallar el valor de cada
depósito trimestral.
FFI mensual. Si la primera cuota se cancela dentro de seis meses, hallar el valor
de las cuotas mensuales sabiendo que la casa tiene un valor de contado de
$ 35 millones.
8
~
~O Un artículo tiene un valor de contado de $ .85.000 y se adquiere con el
Una señora a~quier~ una casa financiada así: <?uot~ Ínicial ?e $ 4 millones
=
~ siguiente plan: una cuota inicial de$ 35.000, doce cuotas mensuales iguales ~
y el resto a cmco anos con cuotas mensuales iguales y un mterés del 34%
debiendo cancelar la primera dentro de cinco meses y un pago adicional de 1 nominal mensual. Si la primera cuota se cancela dentro de un mes, hallar
$ 22.000 dentro de 18 meses. Determinar el valor de las cuotas mensuales
si Ja tasa de interés de la financiación es del 24% nominal trimestral. el valor de las cuotas uniformes sabiendo que la casa tiene un valor de
• contado de $ 25 millones.
4.61 Una obligación que constaba de 15 pagos por mes anticipado con una tasa
4.67 Un industrial desea establecer en una universidad, una beca que lleve el
.de interés del 2,5% mensual, se debe sustituir por Una serie equivalente de
nombre de su empresa. Los aportes del industrial serán de$ 500.000 anuales
22 pagos por mes vencido de $ 18. 500 cada uno debiendo hacer el primer
durante los próximos diez años y de $ 2 millones dentro de doce años.
pago dentro de 5 meses y con una tasa de interés del 2,8% mensual durante ~ La ~niversidad depositará estos aportes en una entidad financiera que pagará
los 6 primeros meses y del 3% mensual de allí en adelante. Hallar el valor
un mterés del 33% anual durante los diez primeros años y del 38% anual
de la primera anualidad. de allí en adelante. Si los estudiantes favorecidos son dos cada año y por
término indefinido, ¿cuánto deberá recibir anualmente cada estudiante beca-
4. 62 Sustituir una deuda que consta de 4 pagatés de $ 200. 000 cada un~ a cancelar
cada año y con un interés del 33% nominal trimestral por su equivalente en do, sabiendo que las becas.. son iguales y empezarán dentro de un año?
MA TEMA TICAS FINANCIERAS
SERIES t!NIFORMES i49
148
4.68 Cuál es el mínimo de meses (entero) durant~ los, cuales una persona debe 4. 75 Un activo se puede adquirir con el siguiente plan: cuota inicial del 30% del
depositar S 20.000 por mes anticipado a un mt:r~s del 3,~o/~ mensual para valor de contado y el resto a 24 cuotas mensuales iguales de $ 6. 850 cada
que dos meses después de haber realizado el ultimo deposito, la per,sona una debiendo cancelar la primera dentro de ocho meses. Determinar el valor
tenga la suma necesaria para comprar de cont~do en esa f~cha un articulo de contado si el interés que se cobra es del 28% nominal mensual durante
que financiado se cancelaría con 8 c~otas ~or tnmestre vencido de $ 60. 000 los ocho primeros meses y ~el 30% nominal trimestral de allí en adelante.
cada una y un interés del 32% nommal tnmestral.
(Q Ina persona ~eb~ reunir $ ,1,.2 millones pata dentro de tres años, con tal
4.69 Un electrodoméstico tiene un valor de contado de $ ~8~ ._OOO Y se puede ~Jfln hace los siguientes depósitos en una cuenta que abona un interés del
adquirir financiado con .el siguiente plan: Una cuota inicial ~or valor de 34% anual: $ 250.000 hoy$ 150.000 dentro de un año y una cantidad$ X
$ 65. 000, doce cuotas mensuales iguales debiend~ cancelar la pnmera dentro cada mes durante el tercer año. Se pide calcular el valor de X.
de seis meses y un último pago dentro de ve~nte meses por $ 8?.000.
Determinar el valor de las cuotas uniformes sabiendo que el al~ac?n que 4.77. Un industrial adquiere·un crédito por$ 20 millones para invertirlo en su
ofrece el artículo cobra un interés del 3,8% mensual durante los sers.pnmeros industria y le cobran un interés del 36% nominal trimestral. En el contrato
meses y del 3,5% mensual de allí en adelante. del crédito se estipula que la deuda total de capital e intereses se cancele al
cabo de cinco años, con un solo pago. Para cubrir esta obligación el industrial
4. 70 Qué cantidad uniforme debe depositarse por mes anticipado ~ pa~ir de hoy debe depositar la mitad de sus utilidades mensuales en una institución finan-
y durante dos años y medio, en una cuenta que abona un ínteres del 3% ciera que paga un interés del 31,5% nominal mensual. .
mensual para poder cancelar de contado dentro de tres _años, una de~da que ¿Cuál será la utilidad mensual que el industrial deberá obtener en su empresa
Ffl
contraída en esa fecha se amortizaría con 18 pagos iguales por tn1~estre . pará poder cumplir en su obligación?
vencido y un interés del 3,3% mensual. ~xpresar el valor de la pnmera
anualidad en función de la segunda. 4. 78 Una obligación que consta de 15 pagos iguales por mes anticipado con tasa
de interés del 2% mensual, se debe sustituir por una serie equivalente de
4. 71 Un señor deposita $ 250. 000 al principio d_e ca~a año, comenz~ndo e.n 1990, 22 pagos por mes vencido deS 27.000 cada uno y debiendo cancelar el
en una corporación financiera que paga un mteres del 32% noT?m~ tnme.stral primero dentro de. cinco meses y con una tasa de interés del 2% mensual
siendo las fechas de capitalización Ios últimos días de marzo, junio, septiem- durante los cinco primeros meses y del 2,5% mensual de allí en adelante.
~ Hallar el valor de la primera anualidad.
bre y diciembre de cada año.
Se pregunta, ¿en qué fecha de estas y de qué año, llegará a sobrepasar en
el mínimo la cifra de$ 6,5 millones? 4. 79 Un empleado se propone hacer depósitos iguales al final de cada año por
valor de S 100.000 cada uno, en una cuenta de ahorros que paga un interés
Ffl
~
4.72 Un ahorrador deposita hoy $ 100.000 en una ~uent~ de ahorro~ que p~ga del 29% nominal trimestral, y durante los veinte, años de trabajo en una
un interés del 24% nominal trimestral. Cuatro anos mas t'.""de, re.tira la mitad empresa, con el fin de poder retirar cantidades iguales mensuales durante
del saldo existente en su cuenta de ahorros y empiez~ a deposi!ar por m:s los diez años siguientes al retiro de la empresa. .
t=fl
vencido, la suma de $ 20.000 y durante tres años mas. Dos anos despues Se pide determinar el valor de Ja cantidad que podrá retirar mensualmente.
del último de estos depósitos, retira todo el saldo de la cuenta de ahorros·
Hallar el.valor de los retiros. 4.80 Se .abre una cuenta de ahorros hoy con un depósito de $ 150.000 y luego
depósitos mensuales de $ 25. 000 cada uno durante los próximos veinte
4.73 Resolver el problema (4.63) si la tasa de interés es del 36% anual durante el meses. Dentro de dos años se empieza a retirar la suma de$ 40.000 men-
~ suales; si la cuenta de ahorros paga un interés del 28% nominal mensual
primer año y del 38% anual de allí en adelante.
durante los dos primeros años y del 32% nominal mensual de allí en adelante,
(@Una deuda que debería amortizarse con $ 300.000 hoy ~ veinte cuotas se pregunta: ¿cuántos retiros se pueden realizar? Determinar el valor del
. s+-: mensuales iguales de $ 20. 000 cada una y cancelando l~ pnmera dentre de último retiro.
tres meses, se debe sustituir por dos pagos iguales, el yru:n_ero dentro de un
año y el segundo dentro de dos años. Si la tasa de mteres acordada para 4. 81 Una deuda de $ 10 millones de hoy se debe financiar a cinco años con
esta deuda es del 35% anual, determinar el valor de cada uno de estos pagos. cuotas mensuales iguales y un interés del 28% nominal mensual durante el
150 MA TEMATICAS FINANCIERAS SERIES UNIFORMES 151
primer año, del 32% nominal trimestral durante los dos años siguientes y 4.87 Una obligación que consta de 18 pagos iguales por mes anticipado y con
del 36% anual de. allí en adelante. Hallar el valor de las cuotas sabiendo una tasa de interés del 2,6% mensual, se debe sustituir por una serie equi-
que la primera se debe cancelar dentro de cinco meses. valente de 24 pagos iguales por mes vencido de $ 3. 500 cada uno y debiendo
cancelar el primero dentro de cuatro meses y con una tasa de interés del
4.82 Se necesita reunir la suma de $ 6 millones para dentro de tres años, con 2,6% mensual durante los tres primeros meses y del 36% nominal mensual
este fin se harán depósitos mensuales iguales durante los tres años, en una de allí en adelante. Se pide hallar el valor de cada pago de la primera
entidad que pagará un interés del 2,8% mensual durante el primer año, del anualidad.
3% mensual durante el segundo año y del 3,3% mensual para el tercer año.
Se pide determinar el valor de cada depósito. ~~:Pn.señor que ~caba de ser pensionado por una empresa, decide comprar un
· taxi para seguir trabajando. Debe pagar de cuota inicial el equivalente al
4.83 Se tiene una obligación que consta de 18 cuotas mensuales iguales de 35% del valor del carro y el resto a cuatro años con cuotas mensuales iguales
$ 12.500 cada una y debiendo cancelar la primera dentro de cuatro meses. y un interés del 2,7% mensual. Al cabo de dos años y medio de estar
Se desea sustituir esta obligación por otra equivalente que conste de dos pagando cuotas, la compañía que financió la deuda, le informa al propietario
pagos, uno por valor de $ 120.000 dentro de un año y el otro para finales del taxi que las cuotas que aún faltan por pagar tienen un valor en esa fecha
del segundo año. Si el tipo de interés convenido es del 30% anual durante de $ 1,85 millones. Determinar el valor de contado del taxi.
ñ=ll
el primer año y del 33% anual de allí en adelante, se pide determinar el
valor del último de Jos pagos de la sustitución. 4.89 Resolver el problema anterior para el caso en que la tasa de interés sea del
4.84 Usted necesita reunir la suma de$ 1 '000.000 para dentro de dos años, por ¡ 2, 7% mensual durante los dos primeros años y del 3 ,2% mensual de allí en
adelante.
lo tanto decide depositar hoy una cantidad $ X en una institución bancaria
que paga un interés del 2,8% por mes anticipado; estos intereses usted los 4.90 Un artículo tiene un valor de contado $ 365.000 pero se puede adquirir
retira al principio de cada mes y los deposita en una cuenta de ahorros que financiado con el siguiente plan: cuota inicial del 35% del valor de contado
promete pagar un interés del 38,4% nominal mensual vencido. Hallar el y el resto en 18 cuotas mensuales iguales debiendo cancelar la primera
valor de X de tal manera que al final de los dos años, reunidos los saldos dentro de cinco meses y un último pago de $ 45. 000 dentro de dos años. ·
de las dos cuentas, usted tenga la suma de dinero deseada. Si la tasa de interés es del 31 % nominal mensual durante los cinco primeros
meses y del 9% trimestral de allí en adelante, hallar el valor de las cuotas
4.85 El gerente de una empresa pide un préstamo de $ 20 millones a un banco mensuales iguales.
comprometiéndose a cancelar esta deuda en 15 pagos mensuales iguales y
con un interés del 3% mensual. Para poder cumplir con esta obligación, el 4.91 Una persona tiene hoy una deuda de$ 6'800.000, la cual debe cancelar en
gerente hace depósitos iguales por mes anticipado en una cuenta de ahorros seis años con cuotas mensuales iguales y un interés.del 28% anual durante
que paga un interés del 2,8% mensual. El valor de cada depósito debe ser
los dos primeros años, del 30% anual durante los dó's años siguientes y 33%
tal que al final del mes se tenga la suma exacta para cancelar la cuota del
anual durante los dos últimos años. Para cumplir con esta obligación, la
banco. Al cabo de ocho meses, la cuenta de ahorros aumenta la tasa de
persona hace depósitos iguales por trimestre anticipado en una cuenta de
interés al 3% mensual y a partir de ese momento el gerente duplica el valor
ahorros que paga el 29% nominal trimestral durante los tres primeros años
de cada den,ósito. Hallar el saldo que tendrá en la cuenta de ahorros una
y del 32% nominal trimestral de allí en adelante de tal manera que cada
vez amortizada la deuda con el banco, sabiendo que en ese momento no se mes se pueda retirar de la cuenta de ahorros la cantidad necesaria para pagar
hace depósito.
la cuota mensual. Hallar el valor de los depósitos trimestrales.
Una familia adquiere hoy un electrodoméstico que de contado costará
$ 485.500, sin embargo, lo adquieren a crédito así: Cuota inicial del 22% 4.92 Resolver el problema anterior bajo los supuestos de que la cuenta de ahorros
del valor de contado y el resto para amortizar en seis cuotas mensuales haga una retención al final de cada año equivalente al 6% del total acumulado
iguales debiendo cancelar la primera dentro de cuatro meses; si el interés en esa fecha antes del depósito y del retiro y además la persona ahorradora
que cobra la casa comercial es del 3,5% mensual durante los cinco primeros desea tener un saldo a favor de$ 2'000.000 al final de los años.
meses y del 3,9% mensual de allí en adelante, se pide hallar el valor de las
cuotas mensuales.
/
CAPITULO 5
SERIES VARIABLES
•I
•
1
lFR
. I,
CAPITULO 5
SERIES VARIABLES
5.1 INTRODUCCION
Dadas las circunstancias que rodean una operación financiera como son la dispo-
nibilidad de efectivo para realizar los pagos, la exigencia del acreedor de captar
lo antes posible el capital, la comodidad para que el deudor amortice una deuda,
l=fl1 entre otras, hacen que los flujos de caja de tales operaciones.financieras no siempre
sean valores iguales a intervalos iguales de tiempo, sino que por el contrario se
presenten y con frecuencia, las series de pagos periódicos o no pero que van
aumentando o disminuyendo a través del tiempo. Además, esta variación se pre-
senta en forma progresivaya sea aritmética o geométrica y creciente o decreciente .
•
El objetivo de este capítulo es llegar a manejar esta clase de series llamadas
"series variables", dentro de las que se cuentan también aquellas que no varían
ni en forma aritmética ni geométrica pero que se pueden ajustar a una ecuación
de diferencia finita y con ésta obtener la expresión propia del problema. Es
· precisamenteen este momento donde, como se dijo en el prólogo, se logre resolver
una serie de problemas propios de las Matemáticas Financieras pero cuyo compor-
tamiento no se ajusta a ninguno de los modelos clásicos existentes ya sea en los
formularios o en las máquinas y programas financieros. Estos problemas los
resolveremos al final del capítulo cuando ya tengamos la suficiente habilidad en
el manejo de las series aritméticas y geométricas.
·~
r 156 MATEMATICAS FINANCIERAS SERIES VARIABLES 157
Encontramos series de pagos variables en casos tales como los costos de combus- Sea una serie de n pagos por período vencido donde el primer pago tiene un valor
tibles, costo de la canasta familiar, costos de materiales de construcción, costos A y a partir de éste, cada tino de los siguientes es igual al del período inmedia-
de la educación, costos de transporte, amortización de créditos en el sistema tamente anterior aumentando en una cantidad positiva G y con una tasa de interés
UPAC, entre otros, cuya importancia en la vida real exige que quien haya cursado i% por período. Esto corresponde al caso general de un gradiente aritmético
Matemáticas Financieras pueda dar una solución adecuada a esta clase de proble- creciente y cuyo diagrama de flujo de caja se muestra en la figura 5.1.
mas. F
p
Para lograr nuestro objetivo, dividiremos las series variables en: gradientes arit-
méticos, gradientes geométricos y otras series diferentes a las anteriores.
A '1
5.2 GRADIENTE ARITMETICO
Definición 5.1 o 1 2 • • • t+ 1 •••

L:....~---1-~~...:r-~-=-~~=-~--=-~~-t--~~¡--~__;;;..;....~~~~--1n
Se llama gradiente aritmético, a una serie de pagos periódicos en la cual cada

pago es igual al del período inmediatamente anterior incrementado en una cantidad
constante de dinero.
1---- ----
--- -
A+G ---------
A+tiJ------
- --
Por ejemplo, pagar una deuda en cuotas mensuales de$ 3.000, $ 3.200, $ 3.400,
$ 3. 600 y así sucesivamente durante un año, o depositar en una cuenta de ahorros
mensualmente las cantidades$ 5.000, $ 4.900, $ 4.800, $ 4.700 y así sucesiva- A + (n - 1) G
mente durante dos años. Figura 5.1. Diagrama de flujo de caja de un gradiente aritmético creciente.
Si el incremento es positivo, se llama "gradiente aritmético creciente" como en Al igual que en el caso de las series uniformes, vamos a determinar los factores
el primer ejemplo y si el incremento es negativo.se llama "gradiente aritmético para hallar tanto el valor futuro como en el valor presente del gradiente aritmético
decreciente" como en el segundo ejemplo. creciente representado en la figura (5.1). Aun cuando el método que utilizamos
aquí para la obtención de estos factores, es por medio de una ecuación de diferencia
En primer lugar trataremos el gradiente aritmético creciente, que puede ser ven- finita, esto también se puede obtener mediante series aritméticas y geométricas.
cido, anticipado, diferido o perpetuo y a partir de éste hacer el planteamiento y El valor futuro. Para hallar el valor futuro consideramos H diagrama general
manejo del gradiente aritmético decreciente, que también puede ser vencido, presertado en la figura (5 .1), donde el análisis se desarrolla en un intervalo
anticipado, diferido o perpetuo. arbitrario [t, t + 1] y donde F1 representa el valor futuro de la serie al final del
período t, entonces tendremos que F1+ 1 será el valor futuro o acumulado al final
Para esta clase de series de pagos se utiliza por lo general la siguiente notación: del período t + 1. La relación existente entre estas cantidades es la siguiente:
•
F : valor futuro F1 + 1 = F1 + iF1 + (A + tG)
P valor presente
A : valor del primer pago y se interpreta como que el valor acumulado al final del período t + 1 (o sea _
G : valor del incremento F1+ 1),
es igual al total acumulado al final del período anterior (F1), más los
n : número de pagos intereses devengados por esta suma-durante este período (iFr) más el pago realizado
: tasa de interés por período al final del período (o sea A + tG).
5.3 GRADIENTE ARITMETICO CRECIENTE La expresión anterior es equivalente a
A continuación se plantea el gradiente aritmético creciente vencido. Fr+I - (1 + i) F1 = Gt +A, con F0 Oy t = O, 1, 2, ... , n - 1
MATEMATICAS FINANCIERAS SERIES VARIABLES 159
158
que corresponde a una ecuación de diferencia finita cimilar a la ecuación (2-2) e) Pata efectos puramente mecánicos de cálculo, se debe tener en cuenta que el
del capítulo 2,. con g(t) = Gt + A, una función polinomial de primer grado primer factor forma parte del segundo. Esto agiliza los cálculos.
donde G y A son constantes. Aplicando el procedimiento allí desarrollado, se
tiene que la solución de la homogénea es d) Esta fórmula acumula en el punto donde se haga el último pago.
Fh (t) = C (1 + i/ Ejemplo 5.1
y la .solución particular es Una obligación que consta de 20 pagos por mes vencido donde el primero tiene
\.
F (t) = -
p .
G
-.
l
t l}A
t + -.
l
-.
t
un valor de $ 15.000 y de aquí en adelante cada pago se aumenta en $ 1.000
respecto al del mes inmediatamente anterior, se conviene en sustituir por un pago
único ,dentro
.
_pago umco.
de 2 años. Si el interés es del 3% mensual, hallar1 el valor
· ·
.
.
de este
··
Sumando las dos soluciones y utilizando la condición F 0 O llegamos a:
. ~1 + 1j +-e [<1 1 - t]
Solución
i)' - + i)' - (5-1) El diagrama de flujó de caja correspondiente al problema se representa en la
F=A
1 i i ' i figura siguiente:
La fórmula (5-1) representa el valor total acumulado o futuro al final del período F
t. De tal manera que al final del período n tendremos que el valor futuro estará
dado por:
F~+l+;·-~ ~ [ (1 + ¡;• - 1 - .J (5-2)
El factor '. l(l + ¡;- - 1

- n] se denota con (FIG, i%, n) y así la 15.000 """:---
.I 6.000--- -
fórmula (5-2) se puede escribir como: 17.000 -- --
--- -- -- - ...
F = A (FIA, i%, n) + G (F/G, i%, n) (5-3) -- 34.000
Esta expresión mide el valor futuro cié un gradiente aritmético creciente de n y los factores son: A = $ 15. 000, G = $ l , 000, n = 20 pagos mensuales, i =
pagos siendo el primero de valor A y un aumento de G por período a una tasa 3% mensual, F = ?
de interés del i% por período. ·
Para equilibrar el diagrama en el punto· 24, primero debemos hallar el valor
Respecto a la fórmula (5-3) debemos tener en cuenta las siguientes observaciones: acumulado o futuro _en el punto 20. Para esto aplicamos la fórmula (5-3) y así
tenemos:
a) La fórmula contiene dos factores que son (FIA, i%, n) y (FIG, i%, n). El
primero visto en el capítulo 4, es el correspondiente al valor futuro de la F20 = 15.000 (F!A, 3%, 20) + 1.000 (FIG, 3%, 20) = $ 632.068
anualidad de valor A y el segundo correspondiente al valor futuro del gradiente
Como el problema pregunta es el valor en el punto 24, entonces, simplemente
aritmético formado por los (n - 1) aumentos, como se muestra en la figura 5 .1.
llevamos el valor anterior a ese punto, y así tenemos: ·: ·
b) Aun cuando sólo existen (n - 1) aumentos, .sin embargo, el segund? de los
factores se debe calcular en el valor de n. · F24 = 632.068 (FIP, 3%, 4) = $ 711.398
1
H 1
160 MATEMATICASFINANCIERAS
R SERIES VARIABLES 161
Esto quiere decir que el pago único dentro de 2 años, que sustituye la obligación,
debe ser$ 711.398. ' . R, Ejemplo 5.2
Financiar $ 2 millones de hoy a un tiempo de dos años con cuotas mensuales

El valor presente. Tomando como referencia la figura 5 .1. y por un.procedimiento que aumenten cada mes en $ s.ooo y con una tasa de interés del 32% nominal
similar al utilizado en las series uniformes para hallar el valor presente, tenemos
en nuestro caso que: fRI, mensual.
Solución
P = F (PIF, i%, n) = F (1 + i)~n
Sustituyendo el valor de F por el dado en la fórmula (5-2) y efectuando las

A El diagrama del flujo de caja correspondiente es el siguiente:
t
2'000.000
A
simplificaciones necesarias, llegamos a:
P ~A 1 - (1 ;+ ;)-" j + ~ ~ - (\+ ;¡-" - (1 : l)" J (5-4)

1
o 2 3
• • • 24
1------5.ooo---- -- ... __
·~·
el factor
·]
n1 sedenotacon(P/G,i%,n)
fil A +
o + o'j A + 10.000 ----
- .. -- --
y de esta manera la fórmula (5-4) se transforma en -- -- -- ---
P = A (PIA, i%, n) + G (P!G, i%, n) (5-5)
donde P $ 2'000.000, G $ 5.000, n 24. pagos, i = 2,667% mensual,
A=?
Esta expresión representa el valor presente de un gradiente aritmético creciente
vencido con n pagos, donde el aumento tiene un valor G y cuyo primer pago es Aplicando la expresión (5-5) para el valor presente de un gradiente aritmético
A y la tasa de interés del i% por período. creciente vencido, se tiene: . ,•
Respecto a la fórmula (5-5), también debemos tener en cuenta lo siguiente: 2'000.000 = A (PIA, 2,667%, 24) + 5.000 (P/G, 2667%, 24)
a) El primer factor (P!A, i%, n) es el correspondiente al valor presente de la renta A = $ 62.663,44

uniforme de valor A y el segundo (P!G, i%, n) corresponde al valor presente
del gradiente aritmético G que se muestra en la figura (5.1). Lo que quiere decir que ·el deudor deberá iniciar pagando$ 62.663,44 el primer
mes y de allí en adelante cada cuota la aumentará en$ 5.000.
b) Aun cuando sólo existen (n - 1) aumentos, sin embargo, el segundo factor
se debe calcularen el valor de n. Ejemplo 5.3
e) El factor (PIG, i%, n) acumula los (n - 1) aumentos, dos períodos antes del Hallar el valor de contado de un activoque se adquiere financiado así: Cuota
primer aumento en tanto que (P!A, i%, n) acumula en un período antes del inicial de $ 35. 000 y el resto a 24 cuotas mensuales de tal manera que la primera,
primer pago, como se puede ver en la figura (.5.1). · que es de $ 2.500, se pague dentro de 3 meses y de allí _en adelante cada cuota
sea igual a la del mes inmediatamente anterior aumentada en $ 250. Tasa de
d) La fórmula (5-5) acumula un período.del primer pago. interés el .2.5% mensual. ·
MA TEMA TICAS FINANCIERAS SERIES VARIABLES 163
162
A
estos pagos, una deuda que hoy tiene un valor de $ 195.200, sabiendo que se
Solución
cobra un interés del 7% trimestral?
I·. El diagrama del flujo de caja correspondiente al problema _se representa en la Solución
..
fM
figura siguiente: El diagrama de flujo de caja correspondiente a este problema se representa en la
p figura siguiente:
195.200
• • • 26 A
=
2 3 4
o
l
o • •
1 2 3 4
• JO
9'-
2.500 ---- ---- -
• 2.750 -------- 36.000 ---
35.000
. --------- ----8.];50 36.000 + G ----------
--- --- ... -- -- --
Ff'
y donde los factores son: A = $ 2.500, G = $ 250, n .r= 24 pagos mensuales,
36.000 + 7G
i = 2,5% mensual, P = ?
donde:
Para hallar el ~alor de P, que será el valor de contado, podemos equilibrar el
diagrama.en el punto O; para esto, primero debemos hallar el valor presente de
la serie. Aplicando la fórmula (5-5) obtenemos el valor presente en el punto 2.
Tenemos entonces que:
A11 P0 = $·195.200,A = $ 36.000;n = 8pagostrimestrales,i = 7%trimestral,
G=?
Aplicando, en primer lugar, la fórmula (5-5), tenemos
P2 = 2.500 (PIA, 2,5%, 24) + 250 (P/G, 2,5%, 24) = $ 90.872 [=RI P2 = 36.000 (PIA, 7%, 8) + G (PIG, 7%, 8) = 214.966,7 + 18,7889 G
Ahora el valor presente P (en O), estará dado por
Ahora para hallar· el valor presente en el plmto cero, simplemente traemos a P2
P = 35.000 + 90.872 (P!F, 2,5%, 2) = $ 121.493 ~ al punto cero como pago único y tenemos ·
De acuerdo con las expresiones dadas para los factores de valor futuro y presente 195.200 = [214.966;7·+ 18,7889G] (1,07)-2
del gradiente aritmético creciente, podemos ver claramente que ellos guardan las
~
relaciones siguientes:
(F!G, i%, n) = (P/G, i%; n) (FIP, i%, n) (5-6)
l = 187.760,3 + 16,4109G
A partir de las expresiones (5-2) y (5-4) podemos calcular cualquiera d~ las

~I . G=453,3
Como podemos ver, el problema anterior corresponde a un gradiente aritmético
variables F, P, A y G en un primer momento; esto lo haremos e? este capitulo \ 1
creciente diferido y al igual que las anualidades diferidas, estos gradientes se
y las otras variables como son i% y n las calcularemos en el capitulo 9. 11 pueden manejar con fórmulas similares a las utilizadas allí. En efecto, para nuestro
ejemplo, el problema lo podemos plantear .también así:
Ejemplo 5.4 1 ~ 195.200 =· [36.000 (PIA,7%, 8) + G (PIG, 7%, 8)] (1.07)-2
¿En qué cantidad uniforme se debe aumentar cada pago trimestral para que,
iniciando con $ 36.000, dentro de tres trimestres se pueda cancelar, con 8 de '~ G = $ 453,3
1é#jl
J1_
164
5.4 GRADIENTE ARITMETICO DECRECIENTE Ejemplo 5.5
Una renta que consta de 10 pagos mensuales, siendo el primero de $ 2.500, el

Definición 5.2
segundo de$ 2.400, el tercero de$ 2.300 y así sucesivamente, se debe sustituir
-Se llama gradiente aritmético decreciente, a una serie de pagos_periódicos donde por un pago único dentro de tres meses. Hallar el. valor de este pago único
cada pago es. igual al del período anterior, disminuido en una cantidad constante. , sabiendo que el dinero rinde el 27% nominal mensual. ·
Por ejemplo, una serie de 10 pagos por mes vencido, do~de el ~rimero es de Solución
$ 4.500, el segundo de $·4.300, el tercero de$ 4.100 y asi sucesivamente.
El diagrama de flujo de caja correspondiente a este ejemplo se representa. en la
Tanto el valor presente como el valor futurÓ de esta clase de gradie11:tes de h~an figura siguiente:
con la ayuda de las fórmulas dadas para un gradiente aritmético creciente Y vistas X
anteriormente. Tomemos· como diagrama general para estos casos, el representado
en la figura siguiente:
p
~F
o,· 2 3 4
• • • 10
---------¡~600 ·
1
--- -- - - -- --- --- --- ----

1
--- ----
-------- A - (n - 1) G
- .. ----2.2oó
.... ---- ----
1 ----
Ffl
~---2.400 2.300 .
A
--,r- -¿-Á -
. .
2G
.
2.500
Figura 5.2. Diagrarria de flujo de caja de un .gradiente aritmético 'decreciente. donde
donde A es el valor del primer pago, G el valor del gradiente, n. el número de

. pagos e io/o la tasa de interés por período. Si al, s_egundo pago ,le sum~os una
·Ff111
.¡
A = $ 2.500, G = $ 100 (gradiente decreciente), n
= 2,25% mensual, X =·?(valor en el punto 3).
=· .lQ pagos mensuales, i
·cantidad G, al tercer pago le sumamos una cantidad 2G y ast sucesivamente,

obtenemos una serie uniforme de valor A.
Para hallar el ~alor futuro, calculamos primero el valor futuro de la serie uni_forme.
t=I Primero, debemos hallar el valor presente P (en el punto O), de la serie mostrada'
en el diagrama. Aplicando la fórmula (5-8) tenemos:
de n pagos de valor A cada uno y le ~estamos el ~alor futuro d~ las c~tld~~es P =' 2.500 (PIA, 2,25%, 10) - 100 (P/G, 2,25%, 10) = $ 18.338
que tuvimos que sumar; pero estas cantidades constituyen un gradiente aritmético
creciente, entonces, tenemos que: Para hallar el valor del pago único X, dentro de tres meses, llevamos la cantidad
anterior a dicho punto, o sea
(5-7). ~
F = A (FIA, io/o, ri) G (F!G, ~%, n)
~I X = 18.338 (FIP, 2,25%, 3) = $ 19.603
Para el valor presente de la serie, de gradiente aritmético decreciente, se hace un
planteamiento similar al anterior y así _tenemos que: El lector debe resolver el ejemplo 5 .4,. hallando el valor futuro en el punto 3 de
.~ los tres primeros pagos y el valor presente, de los 7 pagos restantes en el mismo
P = A (PIA, io/o, n), - G (P!G, io/o, n) punto, y sumando los resultados. · ·
(5-~
..
166 MATEMATICAS FINANCIERAS SERIES VARIABLES 167
Ejemplo 5.6 Al igual que en las series uniformes perpetuas, este caso solamente posee valor
presente. El diagrama del flujo de caja se representa en la figura siguiente:
Sustituir una obligación de 15 pagos mensuales iguales de $ 12.000 cada uno p
por su equivalente en 8 pagos trimestrales que disminuyan en $ 6.000 c~da
trimestre, sabiendo que la tasa de interés que se cobra es del 34% nommal
trimestral.
Solución
En primer lugar el estudiante debe hacer el diagrama de. flujo de caja para cada o 2 3
•••• n
• • •
obligación.
Con una tasa trimestral del 8,5% y una tasa mensual de 2,75%, equilibramos los ,4-- . . __
dos diagramas en el punto cero, y así obtenemos
A+ <J-- --
12.000 (PIA, 2,75%, 15) = A (PIA, 8,5%, 8) 6.000 (PIG, 8,5%, 8)
A+ 2G-----
-- -- -- --
A = $ 44.317 ,6
\A Figura 5.3. Diagrama de flujo de caja de gradiente aritmético perpetuo.
De la misma manera que en las series uniformes perpetuas, para hallar el valor
Quiere decir lo anterior que para una tasa de interés del 34o/~ nominal tri~estral,
Ff1'
de P, primero calculamos el valor presente Pn de los n primeros pagos; este valor
son equivalentes financieramente, una serie de 8 pagos tnmestrales s1en~o el
está dado por la fórmula (5-4) y así el valor de P será el límite de la sucesión
primero de $ 44. 317 ,6 y disminuyendo cada trimestre en $ 6. 000, y una sene de
{Pn} cuando n crezca indefinidamente; entonces tenemos que:
15 pagos mensuales de $ 12. 000 cada uno.
. Con la ayuda de las fórmulas (5-3) y (5-5), podemos resolver problemas de

gradientes aritméticos, vencidos, anticipados o ~iferidos, con sólo ha~er el mi~mo
F¡1 P = límPn =lím[A(P/A,i%,n)
n-oo n-oo
+ G(PIG,i%,n)]
análisis que hicimos en el caso de las rentas uniformes. Debemos sr, determinar
Calculando el límite anterior para lo cual podemos referirnos en parte al caso de
~J
una expresión que nos sirva para manejar los gradientes aritméticos perpetuos.
~ la anualidad perpetua, obtenemos la expresión siguiente: · .J
5.5 GRADIENTE ARITMETICO PERPETUO
R=I , , íL'~ - olJ = ~, [A +

=~ + ~ (5-9)
Ja
P
Para efectos prácticos en la evaluación de un proyecto cuando éste tiene una vida l
útil perpetua, o cuando hay posibilidad de que el proyecto sea a término indefinido,
es necesario manejar expresiones o modelos que nos permitan hacer un estimativo Con esta expresión medimos el valor presente de la serie perpetua de gradiente
lo más exacto posible de cuánto representa el flujo de caja medido en pesos de hoy. aritmético creciente representado en la figura (5.3). ·
t_
-<
Uno de los casos que se pueden presentar es aquel de un flujo de caja donde los Ejemplo 5.7
valores varían en una cantidad fija de dinero en cada período; este caso corresponde
a un gradiente aritmético perpetuo, ya sea creciente o decreciente. Una ciudad desea saber. cuánto debe depositar hoy en una corporación de ahorro
que abona el 28% nominal trimestral, para poder disponer anualmente de los fondos
Tomemos el caso general de una serie perpetua de pagos vencidos, donde el necesarios para cubrir los costos del mantenimiento de las vías públicas de la ciudad,
primero tiene un valor A y de aquí en adelante cada pago sucesivo se aumenta los cuales se supone, tendrán los valores siguientes: $ 5'000.000 el primer año,
en una cantidad fija G y suponiendo que se tiene un interés del i% por período. 6'000.000 el segundo año, $ 7'000.000 el tercer año y así sucesivamente.
168 MA TEMA TICAS FINANCIERAS SERIES VARIABLES 169
1. Solución precios del artículo constituye un gradiente geométrico creciente donde el aumento
mensual es del 2%.
El diagrama del flujo de caja para este problema es similar al de la figura (5.3).
con A = $ 5'000.000, G = $ l '000.000, i = 28% nominal trimestral = 31,08% Tanto un gradiente geométrico creciente como un decreciente, pueden ser venci-
anual. dos, anticipados, diferidos o perpetuos.
Aplicando la fórmula (5-9) para pagos anuales tenemos: Igual que en las anualidades y en los gradientes aritméticos, aquí consideraremos
primero el gradiente geométrico creciente vencido y a partir de éste, deducimos
= 1
]= $ 26,44millones las expresiones o fórmulas correspondientes a los anticipados, diferidos e inclusive
p
o,3108 t
15'000.000 + l'OOO.OOO
o,3108 J para los decrecientes.
o sea que $ 26,44 millones es el valor del depósito único que la ciudad debe Para esta clase de series se utiliza por lo general la siguiente notación:
hacer hoy, para cubrir los gastos anuales de mantenimiento de sus vías públicas
a perpetuidad. F : valor futuro
P : valor presente
A : valor del primer pago
5.6 GRADIENTE GEOMETRICO n : número de pagos
i : tasa de interés por período
Definición 5.3 k : tasa de incremento por período
· Se llama gradiente geométrico, a una serie de pagos periódicos en la cual cada 5. 7 GRADIENTE GEOMETRICO CRECIENTE
pago es igual al del período inmediatamente anterior incrementado en un porcentaje
constante. Sea una serie den pagos, por período vencido, donde el primero tiene un valor
, 1 de A y cada uno de los siguientes, es igual, al del período inmediatamente anterior
Es evidente que esta variación porcentual de cada pago puede ser positiva o aumentado en un porcentaje ko/o y donde la tasa de interés es delio/o por período.
negativa originando así lo que se conoce con los'nombres de gradiente geométrico Se trata de hallar expresiones que nos midan el valor futuro y el presente en esta
creciente o gradiente geométrico decreciente, respectivamente. serie. El diagrama de flujo de caja para esta serie muestra en la figura (5.4)
~
siguiente, donde si el primer pago es A, el segundo será A (1 + k), el tercero A
Por ejemplo, las series' de valores siguientes:
a) 5000, 5500, 6050, 6655, 7320,5, .

R (1 + k)2 y así sucesivamente. En general, el pago n-ésimo será A (1 + k)"-1
P F, F,+1 F
b) 8000, 6400,.5120, 4096, 3276,8, . 1 ~
Corresponden, la primera a un gradiente geométrico creciente, donde la variación l -

positiva o aumento porcentual es del 10%, y la segunda corresponde a un gradiente 1
geométrico decreciente donde la variación porcentual negativa o disminución es

del 20%.
Por ejemplo, supongamos que la inflación promedio mensual en un determinado

año fue del 2% mensual, entonces si un artículo tenía un precio de $ 4.000 al
al final de este mes tendrá un precio de $ 4.080, al
¡~
principio del primer mes,
final del siguiente mes-de $ 4.161,6 al final del siguiente mes de $ 4.244,83 y
así sucesivamente. Como podemos observar, la serie formada por los diferentes 1 Figura 5.4. Diagrama del flujo de caja de un gradiente geométrico creciente.
r
~--------- -----
SERIES VARIABLES 171

F, = A (1. + i)1-1 (5-12)

Valor futuro. Para determinar el valor de la serie representada en la figura
anterior podemos utilizar las ecuaciones de diferencia finita, como lo hemos,
y calculada en el punto t = n, nos da
venido haciendo.
F = nA ( 1 . + i)n - 1
(5-13)
Sean F, = valor futuro al final del período t después del pago correspondiente.
F1+
1
= valor futuro al final del período t + 1 después del pago correspon- Las fórmulas (5-11) y (5-13) también se pueden hallar utilizando simplemente el
diente. álgebra de las progresiones geométricas. ·
Entonces analizando el intervalo [t, t + 1], tenemos que allí se cumple la relación Ejemplo 5.8
siguiente:
Un empleado inicia trabajando en una empresa el 1 ~ de enero con un saÍario
La igualdad anterior se puede transformar en:

==
mensual de$ 220.000 y decide depositar cada año el sueldo de diciembre
de ahorros que paga un interés del 29% anual. Suponiendo que el
lo reajustan cada año en el 25%, averiguar cuánto tendrá acumulado en la
en una
salario
cuenta
de ahorros al cumplir 10 años de trabajo.
F1+ 1
- (1 + i) F, = A (1 + k)', con F0 = O y t = O, 1, 2, ... , n - 1
Solución
Esta expresión corresponde a una clase de ecuación de diferencia finita estudiada
en el capítulo 2, con g(t) = A (1 + kr, quees una función exponencial en base El diagrama del flujo de caja correspondiente se muestra en la figura siguiente:
(1 + k) y coeficiente A. Aplicando el procedimiento para resolver esta clase de
F
ecuaciones llegamos a una solución de la forma:
r, = Ío + iY - o + k)t] (5-10)
~
l - k L
para el valor futuro al final del período t, de manera que, para el valor futuro al
final del período n, tendremos
• J-
220.oo<i"275.M<r34y,7-,0 ...
F= ~
L
~1 + it ~(1 + k)J
J (5-11) _
--- - ... -- --
1-k
Aun cuando se podría establecer una notación para el factor del valor futuro de
--- -- __
.....
un gradiente geométrico, sin embargo no se acostumbra hacerlo y por esta razón Los depósitos forman un gradiente geométrico creciente vencido donde: A
se utiliza directamente la fórmula (5-11). $ 220.000, n = 10 depósitos, i = 29% anual, k = 25% anual, F = ?
Debemos tener en cuenta que la fórmula (5-11) representa el valor futuro al cabo Aplicando la fórmula (5-11), para i -:/= k tenemos:
den pagos, de un gradiente geométrico creciente, pero siempre y cuando i -:/= k.
Para el caso en que i = k, tenemos la ecuación de diferencia siguiente:
F = 220.000
0,29 - 0,25
[ (1 29)1
'
º - (1 25)1
'
º J = $ 18'964.760
F1+ 1 - (1 + i) F1 = A (1 + i)\ F0 = O
Esta cifra representa la cantidad total acumulada por el ahorrador al cabo de 1 O
y t = O, 1, 2, ... , n - l. El lector debe resolver esta ecuación utilizando lo años.
visto en el capítulo 2 como caso especial 2 y llegar a la solución:
Ejemplo 5.9 De acuerdo con el problema general planteado, debemos tener en cuenta que las
fórmulas (5-11), (5-13), (5-14) y (5-15) corresponden a un gradiente geométrico
Resolver el ejemplo 5-8 suponiendo que el salario lo reajustan cada año en el creciente vencido y acumulan los valores correspondientes, en los tiempos seña-
29%. ladÓs en la figura (5.4); de tal manera que para los casos de series anticipados o
. diferidos, procedemos de la misma forma que lo hicimos para las seriés uniformes
Solución o gradientes aritméticos correspondientes.
El lector deberá hacer el diagrama del flujo de caja para este ejemplo, con los Ejemplo 5.10
datos siguientes:
Hallar el valor de contado (Ve) de un artículo que financiado se puede adquirir
A = $ 220.000, n = 10 depósitos, i = 29% anual, k = 29% anual, F = ? así: una cuota inicial equivalente al 30% del valor de contado, y el resto a 15
meses con cuotas que aumenten cada mes en el 2% sabiendo que la primera será .
Como en este caso i% = k%, aplicamos la fórmula (5-13) y así obtenemos: de $ 23.000 y la tasa de interés será del 34% nominal mensual.
F = 10 (220.000) (1,2~) = $ 21 '763.567 que será el total acumulado en la Solución

cuenta de ahorros al cabo de 10 años.
El diagrama de flujo de caja es el siguiente:
Valor presente. El valor presente del gradiente geométrico creciente y vencido
representado en Ja figura (5.4), se puede hallar mediante un procedimiento similar ve
utilizado en los casos anteriores. O sea que el valor P (en el punto O) del diagrama
de la figura (5 .4) es igual a
P = F(PIF, i%, n) = ~
l - k
[o+ it - (1
.
+ kt] (1 + i)~n
o .: 1 2 3
• • • 15
es decir
23 000- - - ---- -
A . 23.460 23.929-.2-- - --- -
---
- --
P= (5-14)
i-k 0,3 (VC)
--......
-- -
· I
..... ,
De nuevo, la fórmula (5-14) sirve para hallar el valor presente del gradiente ....... .
geométrico dado en la figura (5.4), si i +. k. Para el caso contrario (es decir i
k) tendremos que Las cuotas que se cancelan a partir del primer mes, forman un gradiente geométrico
creciente vencido con A =$ 23.000, n = 15 cuotas, i = 2,83% mensual, k =
2% mensual.
o sea . El valor de contado del artículo está representado por el valor presente de todas
nA las cuotas canceladas (incluyend::ª~:om ir!), est::::·~ -
L-
P= (5-15)
1 + i
Esta es la expresión que mide el valor presente del gradiente geométrico creciente
ve = 3º· (Ve) + o,02s3 - 0,02 \1.0283) J
vencido para el caso en que i = k. ve = $ 453.137
174
El problema también se puede plantear diciendo que la suma financiada a 15 A partir de la igualdad anterior se tiene que:
[i~ m(:;~u
meses es el 70% del valor de contado, puesto que se paga una cuota inicial
ve = $ 405.275
equivalente :.:::~: vru:0~~;:: 3~ '] Se debe tener en cuenta que los dos ejemplos anteriores 5.10 y 5 .11 no son
equivalentes, es decir no representa la misma operación financiera, por esta razón
los resultados de los dos no son iguales:
:. ve = $ 453.137
Ejemplo 5 .12
o sea, el mismo resultado obtenido anteriormente. Financiar una deuda de $ 2 millones de hoy a dos años con cuotas por trimestre
anticipado que aumenten en el 5% cadatrimestre, y con una tasa de interés del
Ejemplo 5 .11 9% trimestral.
Resolver el ejemplo 5 .10 suponiendo que la primera cuota mensual de $ 23. 000 Solución
se cancela al cabo de cinco meses.
Solución
2'000.000
ve
o 2
1 . • • • 7 8
o 2 3 4 s 6
• • • 19
23.000 --- --- A'-- - ---------- • ,f

23.460 .......... A (l.05) A (1.05)2 -- - ------ -
......._...._...,
-
<,
..... ...... .._...._
0,3 (VC)
<;
<, ... ... . i'
...
•
Las cuotas mensuales que se cancelan forman un gradiente geométrico creciente
donde: P = 2'000.000, A = ?, n = 8 pagos, i = 9% trimestral, k = 5% trimestral.
diferido.
Con la ayuda de la fórmula (5-14) el problema se plantea así: La serie de pagos corresponde a un gradiente geométrico creciente anticipado.
De nuevo a partir de la fórmula (5-14), llegamos a:
G :~~ J
15]
23 .000 [1 ( 1,02 ) (1,0283)-4 •
ve = 0,3 (Ve) + o,0283 - o,02 - 1,0283
2·000 000 ~ 0.09 ~ o.os [ l _ (1.09)
porque la fórmula (5-14) acumula un período antes del primer pago, en nuestro
caso, aplicada al gradiente, acumula el valor presente en el punto 4. A = $ 283.908
-------=---- ----

SERIES VARIABLES
177
Significa esto que para amortizar la deuda bajo las condiciones del problema, se S.8 GRADIENTE GEOMETRICO DECRECIENTE
debe iniciar hoy con una cuota de$ 283.908.
Definición 5.4
También son frecuentes los casos donde una operación financiera contemple varias
tasas de interés durante el tiempo que tenga lugar esa operación. ·
Ejemplo 5.13
Usted deposita el primer mes la suma de $ 15.000 en una cuenta de ahorros y Esta clase de gradientes también puede ser vencido anticipado diferid
cada mes siguiente aumenta el depósito en el 4%. Si los depósitos los hace durante tuo. ' , o y perpe-
dos años y la cuenta de ahorros le paga el 2,5% mensual durante el primer año
y el 3% mensual de allí en adelante, ¿cuánto tendrá acumulado al cabo de los
El dia~ama del flujo de-caja general para un gradientegeométrico decreciente sera-
dos años?
F
Solución
El diagrama d~I flujd de caja es el siguiente:
F
o 2 3
2,5% 3% • • •
J 1
r y \
o 2 ••• 12 13 ••• 24
(- _ --- - - - - - - ------- -----
A (l -
'
k)n - 1
... - .... --A (1 - k)2

-1.5.600- - - - -- - --
15.000
-- ...... __ A , - - - A (1 - k)
24;0]·5~5... -- - - -
- ..... Figura S.S. Diagrama del flujo de caja de un gradiente geométrico decreciente.
• J.
Como la tasa> de interés cambia al cabo de un año, para hallar el valor futuro de.
Y las expresiones para calcular tanto 1
obtienen a partir de la ecuación de di:er::c~:.1 fu
turo como el valor presente, se
los 24 depósitos, éstos se deben manejar en dos "bloques" diferentes: los corres-
pendientes al primer año y los correspondientes al segundo año, con sus respectivas
F,+ 1 = F, + iF, + A (1 - k)'; F0 =O
tasas de interés. Y así se llega a:
De tal manera que el valor futuro al cabo de los dos años estará dado por:
[o
F= i : k [ (1 + i)n - (1 - k)J
F = 15.000 025)12 - (1 04)12] (1,03)12
i:k[I- (:::)j
0,025 - 0,04 , , (5-16)
P=
+ 24.015,5 í(l ,03)12 - (1,04)12] = $ 786.122
0,03 - 0,04 ~ si k -:/= i.
178
Para el caso de i = k, se reemplaza i por k o viceversa, en las expresiones (5-16), 1 - 0,025) ¡~
De nuevo la fórmula del valor presente anterior, acumula un período antes del
2'500.000 =
0,032
A __
+ 0,025
·[1 -
( 1,032 J (1,032)-3
primer pago. De tal manera que a P,ai:ir de ésta~ podem?s. también ca~cul.ar el : . A = $ 244.578,8
valor presente de un gradiente geometnco decreciente anticipado y el diferido.
Para este ejemplo, son-equivalentes financieramente los dos sistemas de amorti-
Ejemplo 5 .14 zación de la deuda.
Financiar$ 2,5 millones a 18 meses con cuotas mensu~les anticipadas que dismi- 5.9 GAADIENTE GEOMETRICO PERPETUO
nuyan cada mes en el 2,5%, sabiendo que la tasa de mterés que se cobra es del
3,2% mensual. Al igual que en las series uniformes y en los gradientes aritméticos, se presenta
el caso de un gradiente geométrico a perpetuidad. Ejemplos de estos casos pueden
Solución ser aquellas situaciones prácticas tomadas en las series uniformes y gradientes
aritméticos a perpetuidad, con la diferencia de que aquí los pagos varían porcen-
El diagrama del flujo de caja es el siguiente: tualmente respecto al inmediatamente anterior. Como toda serie perpetua, sólo
2'500.000 se puede hallar el valor presente y el método para hallarlo es el mismo utilizado
para los casos ya mencionados.
e:~~ 1
Tomemos en primer lugar un gradíente geométrico perpetuo creciente, de carac-
17 18 terísticas similares al tratado en la sección 5. 7. De ali í sabemos que:
o 2 • •
--- ----- ---~---
-- ~- _.- --- -- -- P"~i~k[I- ,siiH
A"(o,975)2 y por lo tanto el valor presente P del gradiente perpetuo será:
Se busca determinar el valor de la primera cuota. Para esto equilibramos el

diagrama en el punto cero.
P=
lím
n -oo
P; =
lím
n-oo i~k G- c~~)·J
A
+ o.ozs
[' (1 ~ 0,025)
1~
J
Analizando el límite de la expresión
los casos siguientes:
(: : ~) n , tenemos que se presentan
k'iJ - fl
2·500.opo = o,032 1 - 1,032 (1,032)
lím ( 1 + n O,sii>k
.. A = $ 215.625,5
~ro \ 1 + No existe, sii < k
Quiere decir que la deuda se cancelará con 18 cuotas por mes anticipado, empe-
zando hoy con una cuota. de $ 215.625,5 y de aquí en adelante disminuirá cada Así que el valor presente P estará dado por:
mes en el 2,5% respecto a la del mes inmediatamente anterior.
A , sii> k
Resolver el ejercicio anterior si la primera cuota se cancela dentro de cuatro meses.
[ (5-18)
El lector debe hacer el diagrama del flujo de caja, y según ese diagrama, se tendrá p ~ ~:e:iste, si i < k
la igualdad siguiente: ·
180
Significa esto que con un único depósito hoy por valor de $ 21,333 millones en
y para el caso en que i = k, tenemos que utilizar la fórmula (5-15) y se llega a
e~a ~uen~a, la c.iudad dispondrá del ~inero necesario para cubrir esos gastos por
termmo indefinido, o lo que es lo mismo, a perpetuidad.
P=
lím
pn =
lím nA
y este límite no existe i
n--ao n-oo 1 +i El lector de~erá analizar el c~~o del gradiente geométrico decreciente perpetuo y
I~ obtener la formula que permita calcular el valor. presente.
!Ffl
Entonces para este caso, el valor presente no existe.
~as fórmulas vistas ~asta este momento, también Las podemos utilizar para trabajar
Ejemplo 5.15 ciertas clases de flujos de caja que a primera vista no se ajustarían directamente
ni a u?a anualid.ad ni a u~ gradiente, pero que algunas operaciones nos permitirán
Una ciudad debe establecer un fondo para cubrir los gastos de mantenimiento de reducir esos flujos de caja a una de estas series. Son, entre otros, casos de valores
un parque que se supone tendrá vida útil perpetua. Los gastos se estiman en $ 2
millones el primer año y luego aumentarán en un 25% cada año. El fondo consiste
en un único depósito hoy en una cuenta que pagará unos intereses del 33% anual
tFRI cpnstantes durante los meses de un año pero que aumentan cada año ya sea en
una cantidad fija de dinero o en una tasa constante.
durante los diez primeros años y del 36% anual de allí en adelante. Se pide Ejemplo 5. 16
determinar el valor del depósito.
Un~ persona. que devenga un salario de $ 150.000 mensuales el primer año,
~ decide depositar cada mes la décima parte de su salario mensual en una cuenta
Solución
F\11
de ahorros que paga un interés del 2,5% mensual. Si el salario se lo incrementan
El diagrama del flujo de caja es el siguiente: cada año en un 24%, ¿cuánto tendrá ahorrado al cabo de doce años?
X
33%
36%
FR Solución
El diagrama de flujo de caja inicial de los depósitos es el siguiente:
Ff'
A .A F
-....r
2
••• 10 11 •••
• 1
i1
t¡a o 1 2
••• 12 13 14··· 24
••• ••• 144
•
~- F*I --- --15_000
------
+
donde X representa el valor del depósito hoy y los retiros de la cuenta de ahorros, -- -- - -- -
correspondientes al valor del gasto de mantenimiento de ese año, estarán medidos 18.600
en millones de pesos.
F*I
Equilibrando el diagrama en el punto cero (hoy), tenemos:
---------
'º]
159.856,3
Como s~ puede ver, el flujo de caja total no corresponde ni a una anualidad ni a
X 2 [1 (] ,25) + 18,626 (1,33)-'º u~ gradiente g~ométrico ni arit~ético, ya que existen algunos valores iguales.
= 0,33 - 0,25 - 1,33 0,36- 0,25 Sin emba~g.o, si calculamos al fmal de cada año el equivalente financiero de los
~ doce depósitos correspondientes, tenemos que:
$ 21,333 millones
~
\
15.000 (FIA, 2,5%, 12) $ 206.933,3 Ejemplo 5 .17
F2 18.600 (FIA, 2,5%, 12) $ 256.597,3 Usted inicia hoy una cuenta de ahorros con $ 100.000 en una corporación que
paga un interés del 28% nominal trimestral (o 28% anual liquidable trimestralmen-
F3 23.064 (FIA,. 2,5%, 12) = $ 31S.180,6 te). Usted retira cada trimestre la quinta parte del saldo que tenía en el trimestre
inmediatamente anterior. Hallar el saldo. en la cuenta de ahorros al cabo de tres
y así sucesivamente. Como se puede ver, estos valores futuros constituyen un años antes y después del retiro respectivo.
gradiente geométrico donde el incremento o aumento es del 24% cada año. De
tal manera que el primer diagrama de flujo de caja de los depósitos, es financie- Solución
ramente equivalente al siguiente:
Ff'
F 1 En primer lugar el lector puede calcular manualmente los cuatro primeros valores
del saldo; si no encuentra una relación entre ellos, se podrá pensar que continuando
con este procedimiento, en algún momento se llegaría a la solución del problema,
pero lo que aquí se propone es ver si con la ayuda de una ecuación de diferencia
Ffl
finita se puede llegar a la solución sin necesidad de recurrir al procedimiento
iterativo.
Ff'
o 12 Para esto, denotemos con:
2
• • •
S : el saldo al final del trimestre t, después del retiro correspondiente.
206.933,3- - -- - - -. -- -- ....
256.597 ,J -. -._ - -
-- - - ........
.... ........ ......
lFf' Sr+
R,
1
y Rr+ 1 :
el saldo al final del trimestre siguiente (o sea el trimestre t + 1),
después del retiro correspondiente.
los retiros en los trimestres ty t + 1 respectivamente.
Se tendrá la relación siguiente:

donde para hallar el valor futuro, tenemos A = $ 206.933,3, n = 12, k = 24%
.F11
~
anual, i = 34,49% anual (equivalente al 2;5% mensual). De tal manera que el S1+1=S1+iS1-R1+1 ··'
valor futuro total será:
donde i es la tasa de interés trimestral que se aplica al saldo, y R,+ 1 = -1- S1' de tal
F=
206.933,3
0,3~49 - 0,24
~l ,3449)12 - (l ,24)12 J = $ 43'008.770 I~ manera que la igualdad anterior se transforma en:
1
5
F¡I
Cantidad ésta que corresponde al total que Ja persona tendrá ahorrado al cabo de 5
doce años, bajo las condiciones expuestas en el problema.
o sea
5.10 OTROS CASOS
En esta parte se presentarán algunos de aquellos problemas o casos que se anun-

ciaron en la introducción de este capítulo y que corresponden a problemas cuyo
F=Ft Sr+ 1 = (0,87)5" y S0 = $ 100.000
Esta expresión corresponde a una ecuación de diferencia finita estudiada en el
flujo de caja no se ajusta a ninguna de las series ni uniformes ni gradientes vistos capítulo2, cuya solución viene dada por:
anteriormente pero con Ja ayuda de una ecuación de diferencia finita, podemos ~
llegar a la solución del problema. Sr = 100.000 (0,87)1
~/
184
En particular, el saldo al cabo de tres años después del retiro correspondiente, De nuevo esta relación pertenece a una de las clases de ecuaciones de diferencia
estará dado por la expresión anterior calculado en t = 12, o sea finita vistas en el capítulo 2. A partir de la teoría estudiada allí, se tiene:
)
S12 = 100.000 (0,87)12 = $ 18.803,1
y este será el saldo al cabo de tres años después del retiro correspondiente. sp (t) = at + b = 10.000t
1
Ahora, el saldo en esa fecha antes del retiro vendrá dado por: De tal manera que
1 1
18.803,l + 1/5 [100.000 (0,87)11] = $ 23.125,7 Sr = (0,87)'C + 10.000t
o lo que es lo mismo, por: Como S0 100.000, entonces e = 100.000
IÓ0.000 (0,87)11 (1,07) = $ 23.125,7 Así que
El lector deberá interpretar cada una de estas dos últimas expresiones. Sr == 100.000 (0,87)1 + 100.000t
Ejemplo 5 .18 y el saldo al cabo de tres años será
En el ejemplo 5 .17 suponga que cada trimestre ust~d deposita cantidades así: S12 = 100.000 (0,87)12 + 10.000 (12) = $ 138.803,1
$ 10.000 el primer trimestre, $ 11.300 el segundo tnmestre, $ 12.600 el tercer
trimestre y así sucesivamente. Para este ejemplo, el lector debe calcular los saldos en cada uno de los tres
primeros trimestres a partir de las condiciones expresadas en el enunciado y luego
Hallar el saldo al cabo de tres años después del retiro y depósito respectivo. compararlos con los resultados que obtenga al calcular S 1, S2, y S3 con la fórmula
obtenida anteriormente.
Solución
Los ejemplos 5.17 y 5.18 son solamente una pequeña muestra del conjunto de
Aquí denotamos con D, el depósito en el trimestre t y con D1+ 1 el depósito en casos donde el flujo de caja no se ajusta a ninguna de las series vistas anteriormente,
el trimestre siguiente. pero los valores sí guardan una relación entre sí y dependen del tiempo; esto nos
permite utilizar otra herramienta matemática como son las ecuaciones de diferencia
La relación entre las variables que se están tratando es: finita, para hallar la solución correspondiente. Dentro de los problemas que se
presentan al final del capítulo el lector encontrará algunos casos donde necesaria-
• S,+ 1 = S, + i S, - R,+ 1 + D1+ 1 mente deberá utilizar estas ecuaciones para hallar la solución del problema.
· En este caso los depósitos forman un gradiente aritmético creciente, de tal manera
que D, = 10.000 + (t - 1) 1.300 y 01+ 1 = 10.000 + l.300t. .
Así que la igualdad anterior se transforma en:
S,+ 1
= S, + 0,07 S, - 115 S1 + 10.000 + l.300t
o sea
S1 + 1 - (O , 87) S 1 = 1 • 300t + 10 • 000; con S0 = $ 100.000

186
PROBLEMAS de doce meses; a partir de allí disminuirá en otra suma fija de dinero hasta
llegar a $ 7.400 diez meses más tarde. Para una tasa de interés del 32%
5.1 Hallar el valor futuro al final de tres años de la siguiente serie-de pagos: anual, hallar el valor presente de esta serie.
$ l. 000 hoy, $ 2. 000 dentro de dos meses, $ 3. 000 dentro de cuatro meses
y así sucesivamente, para una tasa de· interés del 30% anual. 5.10 Un artículo que de contado vale $ 185.000, se adquiere financiado con
una cuota inicial de$ 40.000, doce cuotas mensuales de$ 8.500 la primera
5.2 Sustituir una serie de 18 cuotas mensuales de$ 6.000 cada una y por mes dentro de cinco meses, $ 9. 000 dentro de seis meses, $ 9. 500 dentro de
anticipado, por su equivalente en 15 cuotas mensuales empez_and_o dentro siete meses y así sucesivamente y una última cuota de $ X dentro de un
de dos meses, de tal manera que cada una de estas cuotas disminuya en año y medio; si la tasa de interés que se cobra es del 2,6% mensual, hallar
$ 1.000 cada mes. Tasa de interés del 3% mensual. el valor de $ X.
5.3 Hallar el valor de contado de un artículo adquirido con el siguiente plan: 5. l l Una máquina fotocopiadora tiene un costo inicial de$ l '455.000, se calcula
Cuota inicial de $ 30.000 y 20 cuotas mensuales siendo de $ 5.500 la que pueda sacar 1O.000 fotocopias al rries a un precio de $ 12 cada una
primera, $ 5.700 la segunda, $ 5.900 la tercera y así suc~sivamente, sa- durante los dos primeros años, de $ 15 cada una durante los dos años
biendo que la tas~ de interés sobre saldo es del 30% nommal mensual. siguientes, de $ 18 cada una durante los dos años siguientes y así sucesi-
vamente. Los costos-de mantenimiento y operación se estiman en$ 10.0QO
5:4 Una persona necesita reunir la suma de$ 6'500.000 para dentro de_ ~inco el primer mes y aumentarán en $ 1. 000 cada mes. Si la vida útil de la
años: con tal fin abre una cuenta de ahorros hoy en una corporacion de ¡..- ..... máquina es de 12 años con un valor de mercado de 3'070.000 se pide
ahorro que abona el 30% nominal mensual. La cuenta de ahorros la inicia hallar el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos
con un depósito hoy de $· 350.000 y luego depósitos as~ $ R dentro d~ para una tasa. de oportunidad del 36% anual.
cinco meses $ 2R dentro de seis meses, $ 3R dentro de siete meses y asr
sucesivamente. Hallar el valor de R par_~ que dentro de cinco años se· tenga 5. 12 El mantenimiento mensual de una fuente de abastecimiento es cíclico y
la suma deseada. tiene los siguientes valores mensuales: $ 120.000, $ 122.000, $ 124.000
y así sucesivamente para un año; si estos valores se repiten en cada uno
5.5 Sustituir una serie de pagos de. $ 30.000_ semestrales a perpetuidad o a de los años siguientes a término indefinido, se pide hallar el costo capita-
término indefinido, por su equivalente en una serie de pagos mensuales lizado o valor presente de esta serie perpetua, para una tasa del 34,5% anual.
también a perpetuidad de tal manera que estos pagos aumenten cada mes
Ff
en $ 300. Determinar la nueva serie de pagos si el dinero rinde el 2,4% 5 .13 En el problema 5 .12 suponga que la tasa sea del 34,5% anual durante los
mensual. diez primeros años y del 39% anual de allí en adelante.
5.6 . Para una serie de pagos mensuales de $ 5. 000 cada mes durante el primer 5.14 La producción de un pozo de petróleo se estima en 600.000 barrilles/año
año, de $ 6.000 cada mes durante el segundo año, de $ 7 .000 cada mes
durante et tercer año y así sucesivamente y por espacio de diez años; se
pide calcular el valor presente teniendo en cuenta un rendimiento del dinero
F=fl y aumentará a razón de 20.000 barriles/año hasta finales del sexto año, y
a partir de esa fecha la producción disminuirá a razón de 30. 000 barriles/año
durante 10 años más. El precio del barril se estima en $ 13. 000 durante
del 3% mensual. los diez primeros años y de$ 18.000 de allí en adelante. Para una tasa de
5.7 Resolver el problema 5 .6 si la serie es a perpetuidad.

~I oportunidad del 33% anual, hallar el valor presente de los futuros ingresos.
1 . 5.15 Una serie de gastos aumenta con el tiempo según la siguiente relación:
5.8 Resolver el problema 5 .6, si la tasa de interés es del 3% mensual. durante $ 100 en el primer mes, $ 400 en el segundo mes, $ 900 en el tercer mes,
los cinco primeros años y del 3,5% mensual durante los cinco años siguien- $ 1.600 en el cuarto y así sucesivamente. Hallar el valor de los gastos en
tes. ~I los meses 25 y 28.
5.9 Una serie de pagos mensuales se inicia hoy con un pago de $ 5 .000 Y
aumentará en una cantidad fija de dinero hasta llegar a $ 11.000 dentro
~j~li 5.16 Una empresa obtiene ingresos así: el primer mes recibe $ 300.000 y de
allí en adelante los ingresos aumentan en el 3% cada mes; a su vez la
'7r'
188
empresa tiene unos gastos de $ 150.000 el primer mes, $ 160.~00 el se- 5. 24 Financiar $ 6 millones de hoy, a tres años con cuotas mensuales que
gundo mes, $ 170.000 el tercer mes y así s~cesivamente. Si en estas aumenten en el 3% cada mes hasta final del 'segundo año y de allí en
condiciones la empresa operó durante cuatro anos, hallar al final de este adelante permanezcan constantes. La tasa de interés será del 2,5% mensual
tiempo la diferencia entre valor futuro de los ingresos y el valor futuro de durante los dos primeros años y del 36% anual de allí en adelante.
los egresos, para una tasa del 3,5% mensual. _
5.25 Una deuda que se debería cancelar en 48 pagos por mes vencido de
5.17 Resolver el problema 5.16 para una tasa de interés del 3% mensual durante $ 12.000, $ 12.500, $ 13.000 y asi sucesivamente, se debe sustituir por
los dos primeros años y del 3,5% mensual de allí en adelante. una serie equivalente de pagos uniformes mensuales y durante el mismo
tiempo de la primera. Hallar el valor de esta anualidad sabiendo que para
5.18 Se desea hacer un depósito hoy en una cuenta de ah~rros que pa~a un ambos casos se utiliza una tasa de interés del 3% mensual durante los tres
interés de 30% nominal trimestral con el fin de poder disponer del dmero primeros años y del 4% mensual para el último año.
necesario para cubrir los siguientes gastos durante tres años: en enero
$ 45.000, en febrero$ 2/3 (45.000), en marzo$ 4/9 (45.000), Y así suce- 5. 26 Resolver el problema 5. 25 si la tasa de interés para ambos casos es del
sivamente hasta diciembre. Si los retiros en la cuenta de ahorros se hacen 3,5% mensual para los dos años siguientes y del 4% mensual para el último
al principio de cada mes y los gastos del primer año se re~iten en cada año.
uno de los años siguientes, hallar la suma que se debe depositar hoy en la
cuenta de ahorros. 5. 27 Una serie a término indefinido de pagos por trimestre vencido de$ 10.000,
$ I0.500, $ 11.000 y así sucesivamente, se desea sustituir por otra equi-
5.19 Resolver el problema 5 .18 suponiendo que se deba hacer un gasto adicional valente y también a término indefinido, de pagos mensuales que .aumenten
·de $ l 00. 000 a los dos años 1:1 que además se tenga un saldo a favor en la en el l % cada mes. Hallar el valor de esta nueva serie de pagos si para
cuenta de ahorros al cabo de los tres años por valor de $ 150.000. ambas series se utiliza una tasa del 8% trimestral.
5.20 Para el problema 5. 19 suponga que no se hace un único depósito hoy sino 5. 28 Resolver. el problema 5. 27 si la tasa de interés es del 1 % mensual.
tres depósitos por año anticipado de tal manera que cada uno de, e~tos
depósitos disminuya en 50% cada año. Hallar el valor de cada deposito. 5. 29 El director financiero de una empresa debe establecer un fondo para amor-
tizar las cesantías de un empleado al cabo de veinte años de trabajo de
5.21 Un obrero está devengando un salario mensual de $ 96,000 y decide ahorrar éste. El fondo consiste en un depósito el día en que el trabajador inicia
en una corporación que paga un interés del 29% nominal trimestral, can- labores y se hace en una institución bancaria que paga un interés del 33%
tidades así: el primer mes la mitad del salario, el s~gund? mes .la cuarta anual. Si las cesantías se liquidan con veinte salarios mensuales iguales a
parte del salario, el tercer mes la octava !?arte del salano,y ast sucesivam~nte los devengados en el último año de trabajo, determinar el depósito que se
por espacio de dos años. Hallar la cantidad que tendra acumulada al fmal debe hacer para un trabajador que empieza devengando un salario mensual
de este tiempo. · de$ 85.000 el primer año sabiendo que gozará de un incremento del 24%
cada año.
5.22 Una per;ona debería cancelar una deuda mediante cuotas mens~ales ~guales
de $ 12.500 cada una y durante cuatro años con una tasa de mteres 36% 5.30 Determinar el valor de contado de un activo, si financiado se adquiere así:
nominal mensual. Desea sustituir los pagos anteriores por cuotas mensuales Una cuota inicial de $ 450.000, diez y ocho cuotas mensuales iguales de
variables que aumenten cada mes en el 2% durante el mismo tiempo, pero $ 40.000 cada una, y luego cuotas trimestrales de$ 150.000 la primera,
para este caso la tasa de interés será del 38% n.ominal .mensu.a~. Hallar el $ 160.000 la segunda, $ 170.000 la tercera y así sucesivamente hasta
valor de las cuotas números 18 y 47 de esta última sene. (Utilice el valor finales del cuarto año, y finalmente seis meses después de la última de
presente). estas cuotas trimestrales, un pago equivalente al 15% del valor de contado.
La tasa de interés es del 36% anual.
5. 23 Resolver el problema anterior suponiendo ambas series a término indefinido
o perpetuidad. 5. 31 Resolver el ejercicio 5. 29 si el salario mensual se le reajusta en el 24%
anual durante los diez primeros años de trabajo y en el 27% anual de allí
190 MATEMATICAS FINANCIERAS 191
SERIES VARIABLES
en adelante, si además la institución bancaria paga un interés del 33% cada mes durante un año. Se pide hallar la cantidad total que tendrá
anual durante los ocho primeros años y del 38% anual de allí en adelante. acumulada en la cuenta de ahorros al cabo de los cuatro años.
'
5.32 En el problema 5.31 asuma que el fondo no consiste en un único depósito 5.38 Se tiene hoy una deuda que debe ser cancelada en 24 cuotas por mes
sino en depósitos mensuales que aumenten en el O, 1 % cada mes. Se pide anticipado así: $ 10.000 la primera, $ 11.000 la segunda, $ 12.000 la
determinar los depósitos mensuales. tercera y así sucesivamente y con un interés del 3% mensual. Se desea
s
5. 33 Financiar una deuda de 8 millones de hoy, en treinta y seis cuotas
sustituir por el equivalente en 30 cuotas por mes vencido, empezando
dentro de tres meses, de tal manera que estas cuotas disminuyan cada mes
mensuales sabiendo que la primera se debe cancelar dentro de seis meses en $ 1.000 y tengan un interés del 3,5% mensual. Determinar la nueva
y de allí en adelante las cuotas aumentarán en el 3% cada mes hasta la serie de pagos.
vigésima cuota y a partir de ese momento las cuotas permanecerán constan-
tes. La tasa de interés sobre saldo será del 3% mensual durante los seis 5. 39 Financiar $ 5 millones de hoy en cinco años con cuotas mensuales que
primeros meses y del 4% mensual de allí en adelante. aumentan en $ 1O.000 cada mes durante los cuatro primeros años y luego
se mantengan constantes. La tasa de interés será del 3% mensual durante
5.34 Un artículo se puede adquirir con una cuota inicial de $ 45.000 y treinta los cuatro primeros años y del 4% mensual de allí en adelante.
pagos mensuales de $ 5.500, $ 5.600. $ 5.700 y así sucesivamente. Se
desea obtener con diez cuotas iguales por mes anticipado. Hallar el valor 5.40 Una persona ahorra$ 10.000 'mensual durante un año en una corporación
de estas nuevas cuotas sabiendo que el interés sobre el saldo es del 32% de ahorro; cinco meses más tarde del último depósito, empieza a retirar
nominal mensual. cantidades mensuales que aumentan cada mes en el 5%. Si la corporación
paga_ un i~terés del 28% nominal trimestral el primer año y el 29,5%
5. 35 El productor de un artículo eléctrico paga bonificaciones por la patente
nommal tnmestral de allí en adelante, y el primer retiro es de $ 22.000,
que está explotando de este artículo. Debe cancelar el valor de $ 300 por determinar el posible número de retiros y el valor del último retiro.
unidad del artículo que fabrica. Estas bonificaciones se deben cancelar al
final de cada año; en el primer año se producen 80.000 unidades, en el
5 .41 Un padre de familia necesita reunir la suma de $ 4 millones para dentro
segundo año 82.000, en el tercer año 84.000 y así sucesivamente. El
de tres años y con este fin abre una cuenta de ahorros hoy depositando
productor está estudiando la posibilidad de solicitar al dueño de la patente
$ 320.000, depósitos mensuales iguales durante el primer año y a partir
que en vez de pagos anuales se realice un único pago hoy o una serie de de esa fecha aumentarán en el 2% cada mes hasta finales del tercer año.
pagos por año anticipado de tal manera que esta nueva serie de pagos
Se sabe que;la cuenta de ahorros pagará un interés del 30% nominal mensual
aumente cada año en un 15% durante la vigencia de la patente. Si el
durante los dos primeros años y del 33% nominal mensual durante el tercer
productor del artículo tiene una tasa de oportunidad del 32% nominal
año. Se pide hallar el valor de los depósitos mensuales iguales y los
mensual, determinar: a) el valor del pago único y b) el valor de la nueva
variables.
serie de pagos, para un período de cinco años.
. .
5.42 Un empleado decide ahorrar la quinta parte de su salario mensual, en una
5. 36 Se debe reunir la suma de $ 1 O millones para dentro de cuatro años y con
cuenta de ahorros que paga un interés del 33% nominal trimestral. El
tal fin se harán depósitos mensuales tales que cada uno sea igual a la mitad
empleado tiene en la actualidad un salario de$ 35.000 mensuales y le será
del anterior durante el primer año; si estos mismos depósitos se repiten en
cada uno de los tres años siguientes determinar el valor del primer depósito aumentado en el 22% cada año. Hallar la cantidad que tendrá ahorrada al
de cada año, suponiendo una tasa de interés del 30% anual. cabo de doce años.
5.37 Un empleado que tiene en este momento un salario mensual de$ 90.000, 5.43 Hallar el valor presente de.la siguiente serie de pagos mensuales: el primer
decide ahorrar, en una cuenta que paga un interés del 28% nominal trimes- pago que es de $ 50.000 se hace dentro de un año y de allí en adelante
tral, cantidades así: el primer mes la mitad del salario, el segundo mes la los pagos aumentarán en una cantidad de dinero constante durante tres
cuarta parte del salario, el tercer mes la octava parte del salario y así años hasta llegar a un valor de $ 96.000 el último pago, y a partir de este
sucesivamente durante tres años y luego cantidades iguales de $ 8.000 momento disminuirán en el 2% cada mes durante dos años. Si se toma
una tasa de descuento del 3% mensual, calcular el valor presente.
5. 44 U na obligación estaba pactada inicialmente para ser cancelada en 20 cuotas

salario mensual de$ 150.000 y le será incrementado cada año en el 24%,
mensuales de$ 50.000 cada una. El deudor solicita que esta deuda le sea
se pregunta: ¿Cuál será el total acumulado al cabo de 8 años, sabiendo
refinanciada a un mayor plazo y es· así como el acreedor acepta que el
que en cada semestre de los últimos cinco años, debió retirar la suma de
tiempo de pago sea de 30 meses pero con cuotas mensuales anticipadas
$ 200.000 por semestre anticipado para pagar la matrícula de uno de sus
iniciando hoy y de tal manera que estas cuotas disminuyan cada mes en
hijos.
$ 8.000. Se pide hallar esta nueva serie de pagos sabiendo que se han
acordado unas tasas de interés para los dos planes. así: 2,8% mensual
5.50 Una corporación de crédito le otorga a usted un préstamo por valor de$ 6
durante el primer año y 3,3% mensual de allí en adelante.
millones y le cobra un interés del 28% nominal mensual y un plazo de
cinco años con cuotas mensuales variables. La primera cuota es de
5 .45 Cuánto vale de contado un artículo electrodoméstico sabiendo que el alma-
$ 125.000 y aumentarán en $ 4.000 cada mes hasta finales del segundo
cén distribuidor lo puede entregar financiado con el siguiente plan: cuota
año. ¿De cuánto deberá ser la cuota N~ 25 de tal manera que si a partir
inicial equivalente al 30% del valor de contado, cuotas mensuales variables
de esa fecha las cuotas se aumentan en el 4% cada mes, la deuda quede
durante. cuatro años empezando con $ 1.000 la primera cuota y luego
cancelada al final de los cinco años?
aumentarán en $ 200 cada mes hasta finales del segundo año y de allí en
adelante disminuirán en $ 100 cada mes, y un último pago por valor de
$ 25.000 seis meses más tarde de la última de las cuotas mensuales. El 5. 51 Financiar $ 4 millones de hoy en cuotas mensuales que aumenten en el
almacén cobrará una tasa de interés del 26% nominal mensual durante el 3% cada mes, sabiendo que la primera cuota es de$ 85.000 y el acreedor
primer año y del 30% nominal mensual de allí en adelante. cobra una tasa de interés del 3,2% mensual ·dentro de los dos primeros
años y del 3,6% mensual de allí en adelante. Determinar el número de
5.46 Una persona adquiere un crédito deS 5 millones para ser cancelados en cuotas y el valor de la última cuota.
cuatro años con cuotas mensuales y un interés del 34% nominal mensual.
La primera cuota será de $ 155.000 y de allí 'en adelante aumentarán las 5.52 El mantenimiento de un edificio por término indefinido, se espera que sea
cuotas en el 1,5% cada mes durante los dos primeros años. ¿Qué valor el siguiente: $ 100. 000 mensuales durante el primer año $ 125. 000 mensua-
deberá tener la cuota N~ 25 para que aumentando, de allí en adelante cada les durante el segundo año, $ 150.000 mensuales durante el tercer año y
mes en $ 3.000, la deuda quede cancelada en el tiempo estipulado? así sucesivamente. La empresa dueña del edificio desea establecer hoy un
' fondo que conste de un único depósito en una entidad bancaria que pagará
5.47 Para cubrir una obligación por valor de S 4 millones dentro de tres años, un interés del 30% anual, de tal manera que cada mes se pueda retirar de
el deudor decide hacer depósitos mensuales iguales durante el primer año, allí el valor necesario para cubrir el costo de· mantenimiento respectivo.
y luego aumentarlos en el 18% cada año. Estos depósitos se hacen en una Se pide determinar el valor . del depósito
.
de hoy. ·I
cuenta de ahorros que paga el 29,5% anual. Determinar el valor de los
depósitos mensuales del primer año para que el deudor logre reunir la suma 5.53 Resolver el problema 5.52 para caso en que la entidad bancaria pague un
de los $ 4 millones al cabo de los tres años. interés del 30% anual durante los 1 O primeros años y el 34% anual de ali í
en adelante.
5 .48 Determiñar el valor de contado de un electrodoméstico si financiado se
adquiere con el siguiente plan: una cuota inicial equivalente al 40% del 5.54 Un artículo se compraría a crédito mediante cuotas mensuales variables
valor de contado y el resto en 24 cuotas mensuales de$ 8.000, $ 7.900, durante cinco años, siendo de $ 2.500 la primera y de allí en adelante
~I
$ 7 .800 y así sucesivamente sabiendo además que la primera cuota se debe aumentarían en el 2% cada mes, hasta finales del tercer año y de allí en
cancelar dentro de dos meses, y por último después de estas cuotas, doce adelante aumentarían en el 3% cada mes. Se desea cancelar mediante dos
pagos mensuales de $ 2.000 cada uno. La tasa de interés sobre saldo es pagos iguales, el primero hoy y el otro dentro de ., tres años. Se pide
del 30% nominal trimestral. determinar el valor de cada uno de estos pagos si la tasa de interés es del
3% mensual.
5.49 Un profesional, que labora en una determinada empresa se fija la condición
de depositar cada mes la sexta parte de su salario mensual en una institución
5.55 Resolver el problema 5.53 para el caso en que cada año se haga un retiro
que paga un interés del 32% anual. Actualmente este empleado tiene un
adicional de$ 600.000 y también por término indefinido.
194
5.56 Una institución financiera le otorga un crédito a usted por valor de $ 10 d) Cuotas que aumenten en el 6% cada trimestre durante el primer año y
millones, bajo las siguientes condiciones: de allí en adelante se mantendrán constantes.
e) Cuotas constantes durante los dos primeros años y luego aumentarán en
a) Tiempo para amortizar la deuda: 4 años. $ 100.000 cada trimestre.
b) Tasa de interés: 29% nominal trimestral. f) Cuotas que disminuyen en$ 200.000 durante el primer año y luego se
c) Cuotas ordinarias mensuales iguales. mantengan constantes.
d) Cuotas extras al final de cada trimestre calendario que aumentan en el 5.60 Un profesional recién egresado de la universidad, se vincula con una
10% cada trimestre y la primera sea el doble de la cuota ordinaria empresa donde empieza devengando un salario mensual de $ 150.000
uniforme. mensuales el primer año; la empresa le garantiza un aumento cada año del
e) Cuotas adicionales al final de cada semestre calendario iguales al doble
de la respectiva cuota trimestral extra.
f) El crédito se otorga el 1 ~ de febrero de 1990. Se pregunta:
FMI 24% y este empleado decide ahorrar cada mes la décima parte de su salario
mensual en u_na inst~tución bancaria que promete pagarle el 2,5% mensual
durante los cmco pnmeros años y el 3,2% mensual de allí en adelante. Se
i) Hallar el valor de las cuotas mensuales uniformes.
1 pregunta ¿cuán{o tendrá ahorrado este profesional al cabo de diez años?
ii) Calcular elsaldo existente el 1~ de febrero de 1992
5.61 Resolver el problema anterior bajo la condición de que el sueldo le sea
5.57 Un empleado abre una cuenta de ahorros hoy con$ 25.000 y dentro-de ~ aumentado en el 27 ,5% anual en los cinco últimos años.
un año empieza a hacer depósitos trimestrales de$ 40, $ 80, $ 160, $ 320
y así sucesivamente. Si la cuenta de ahorros pagael28% nominal trimestral,
hallar la cantidad acumulada que el empleado tendrá en su cuenta dentro
R •• 1 5.62 Una pequeña empr,esa produce y vende ~n determinado artículo. Los ingre-
sos mensuales seran de $ 30.000 el pnmer mes y después aumentarán en
A
de seis años sabiendo además que durante los dos últimos años el empleado 5% cada mes hasta finales del tercer año y de allí en adelante permanecerán
retiró $ 40.000 cada trimestre. const~ntes. Los costos mensuales serán de$ 20.000 durante los tres prime-
ro~ _anos y de $ 25.000 mensuales de allí en adelante. La mitad de las
5.58 Una deuda estaba pactada inicialmente de la siguiente manera: Tiempo utilidades m_ensua~es se depositarán en una cuenta de abonos que pagará
para amortizarla de 48 meses, pagos mensuales así: $ 20.000 durante los ~I el 30% nommal tnmestral durante los dos primeros años y el 33% nominal
seis primeros meses,$ 25.000 durante los seis siguientes,$ 30.000 durante mensual de allí en adelante. Si en estas condiciones la empresa operó
los seis meses siguientes y así sucesivamente. Se trata de sustituirla por durante seis años, se pide hallar el total acumulado en la cuenta de ahorros
30 pagos que aumenten en el 3% cada mes. Hallar el valor de estos nuevos al final de los seis años. • ,¡.
pagos si la tasa de interés pactada para cualquiera de los dos planes es del ~
2,5% mensual. 5.63 En el problema 5. 62 s~poner que los ingresos serán de $ 30. 000 el primer
mes Y luego aumentaran en $ 1 . 000 cada mes hasta finales del cuarto año
5.59 Presentar la tabla de amortización de un crédito de $ 10 millones a tres '~ Y que de allí en adelante serán constantes. Los costos mensuales de$ 22.000
años con cuotas trimestrales para cada uno de los siguientes planes y una en los cuatro primeros años y de allí en adelante serán de$ 25.000 men-
tasa de interés del 8 ,5% trimestral. suales.
L~ tasa de interés será del 30% nominal mensual durante los tres primeros
J.
a) Inicialmente cuotas uniformes proyectadas a los tres años, pero al cabo ~ anos y del 34% nominal semestral de allí en adelante.
de un año se hace un pago adicional . equivalente al 20% del saldo
existente en ese momento y el nuevo saldo refinanciado por el resto de
5.64 Una entid~~ b~n~aria le hace un préstamo a un cliente por$ 15 millones
tiempo en cuotas iguales. para adqumr vivienda y le cobra un interés del 36,6% nominal trimestral
b) Cuotas iguales durante el primer año y de allí en adelante aumentarán sobre saldos. El contrato inicial estipula un tiempo de 15 años para cancelar
en el 6% cada trimestre. la deuda con cuotas mensuales que aumenten cada mes en el 3%, además
e) Cuotas iguales durante los dos primeros años y luego disminuirán en el se acepta que el deudor empiece pagando el primer mes una cuota de
9% cada trimestre. $ 165. 704. Al cabo de dos años el deudor solicita que le sea revisado el
sistema de financiación, y usted debe determinar el valor de la cuota NI? 5. 72 Hallar el valor presente de una serie de 15 pagos mensuales que se inician
25 para que continuamente con el mismo aumento mensual, la deuda quede con $ 5. 000 dentro de un mes y de allí en adelante cada pago es igual a
cancelada al cabo de los 15 años como se había pactado inicialmente. los 3/4 del total acumulado hasta ese momento antes del pago correspon-
diente. Descontar con una tasa del 30% nominal mensual.
5. 65 En el problema 5. 64 si no se hace la revisión del crédito y el deudor
continúa cancelando las cuotas como lo venía haciendo y hasta completar 5. 73 Una persona está en copacidad de depositar cantidades mensuales variables
el tiempo estipulado, se pregunta: ¿habría cancelado el equivalente a qué a una entida-í que paga el 2,8% mensual. Si D1 es el depósito en el mes
deuda inicial? t, se cumple:
5. 66 Financiar una deuda de $ 5 millones de hoy a cuatro años con cuotas que
aumenten en el 3% cada mes durante los dos primeros años y luego dismi- D1 = $ 100 (1,028)1- 1
nuyari en el 2% cada mes, suponiendo Una tasa de interés para el crédito

del 33% nominal mensual. · · Ar para t = 1, 2, ----- 48. Hallar el total acumulado al cabo de.cuatro años.
5.67 Una serie de pagos mensuales a perpetuidad se inicia dentro de 10 meses 5.74 Resolver el problema 5.73 si:
con $ 5.000 y de. allí en adelante se aumentarán cada mes en el 1,5%; se
debe sustituir esta serie por otra de pagos por trimestre anticipado, iniciando
hoy con un pago de $ 10.000 y de aquí en adelante aumentarán en una
F=11· a) D1 = 100 {i,3)1
b) D1 = 100 t + (1,04)1
suma fija de dinero y también a perpetuidad. La tasa de descuento será
del 2,8% mensual. A 5.75 Se inicia hoy un ahorro con un depósito de $ tü.000 y luego depósitos
mensuales de tal manera que cada uno de ellos sea igual a la quinta parte
5.68 Se tiene hoy una deuda con una entidad bancaria por$ 3'600.000; se pactó del total acumulado al final del mes inmediatamente anterior. Si el dinero
inicialmente en amortizar la deuda en 1 O años con pagos mensuales que
aumenten en el 2% cada mes. La entidad cobra una tasa del 30% nominal
mensual. Transcurridos tres años la entidad bancaria decide reajustar la
FI rinde el 2,8% mensual, hallar el total acumulado al cabo de tres años.
5. 76 Se dispone de la suma de $ 800. 000 hoy en una entidad que paga un interés
tasa de interés cada año, sin embargo, 'ta deuda se puede seguir amortizando del 28% nominal mensual. Cada mes -se retira la cuarta parte del saldo
con la misma tasa anterior, pero adicionando a cada cuota de allí en adelante ~i
existente en ese momento, empezando dentro de dos meses, y a su, vez se
una cantidad así:$ 200 a la primera,$ 400 a la segunda,$ 600 a la tercera 1 deposita cada mes la suma de $ 8.000; si el primero de estos depósitos se
y así sucesivamente. Hallar el valor presente de las cuotas totales cancela- hace. dentro de un mes, ¿en qué momento el saldo existente será de
das. · $ 100.000, si los saldos se calculan después de hacet ~I depósito respectivo?
J,
~
5.69 Financiar una deuda de $ 5 millones de hoy a cinco años con cuotas 5. 77 Resolver el problema 5. 76 si los saldos se toman antes de hacer el depósito
mensuales que aumenten en$ I0.000 cada mes durante los cuatro primeros respectivo.
años y luego se mantengan constantes. La tasa de interés es del 3% mensual
durante tos cuatro primeros años y del 4% mensual de allí en adelante. 5. 78 Las utilidades de una empresa son así: cada trimestre recibe como utilidades
Interpretar la respuesta. las tres cuartas partes de las utilidades recibidas en el trimestre inmediata-
mente anterior. La mitad de las utilidades trimestrales la' depositan en una
5.70 Se deposita hoy la suma de$ 600.000 en una corporación que paga un cuenta que paga el 28% nominal trimestral y la otra mitad la depositan en.
interés del 30% nominal trimestral. Cada mes se retira la tercera parte del otra cuenta que paga el 30% anual. Hallar el total acumulado que la empresa
saldo existente al final del mes anterior, y simultáneamente se depositan tendrá en las dos cuentas al cabo de diez años, sabiendo que las utilidades.
$ 10.000 cada mes comenzando dentro de un mes. Hallar el saldo existente de la empresa en el segundo trimestre fueron de $ 72.000.
en la cuenta de ahorros al cabo de tres .años.
5.79 Resolver el problema 5.78 sabiendo que la empresa paga un impuesto al
5. 71 Resol ver el problema 5. 70 si el primer retiro y depósito se hacen ocho gobierno cada año del 9% sobre los intereses devengados ese año en cada
meses después del depósito inicial. una de las cuentas de ahorro.
5.80 Resolver el problema 5.78, si la empresa retira anualmente, de cada cuenta costo en el primer mes· en la compañía A fue de$ 10.000, de S 11.000 el
segundo mes, de$ 12.000 el tercer mes y así sucesivamente.
de-ahorros, la suma de$ 90.000.
5.8 l Una persona hace un depósito hoy por valor de $ 200.000 en una cuenta 5.88 Si Y, representa el ingreso en miles de pesos de una determinadaempresa
de ahorros y Juego cada mes retira una cantidad igual a la mitad de los al final del mes t, y C, representa el costó en miles de pesos al final del
intereses devengados eri ese mes. Si la cuenta de ahorros le paga un interés mes t, se cumple que: ' '
del 2,5% mensual, hallar la cantidad que tendrá acumulada al cabo de
cuatro años.
Y, = 3C, + 1.000
5. 82 Una corporación de ahorros ofrece los siguientes intereses durante el tiempo C,+I = 0,5 Y¡
que se mantenga una cuenta de ahorros: el 2,4% mensual sobre saldos y
cada año un 5% adicional sobre el saldo existente en ese momento después con C0 = $ 100. La mitad del ingreso mensual se deposita en una cuenta
que paga un interés del 3% mensual, hallar el total acumulado en la cuenta
de contabilizados los intereses correspondientes al 2,4%. Hallar el valor
total acumulado dentro de 18 años, en una cuenta que se inicia hoy con de ahorros al cabo de dos años.
1si
$ 100. 000, además cada año se paga un impuesto de $ 5. 600.
5.89 Resolver el problema 5.88, suponiendo que la empresa paga un impuesto
al estado mensualmente, equivalente al·0,8% de los intereses devengados
5.83 Resolver el problema 5.82, si además del depósito inicial, cada mes se
en Ja cuenta de ahorros.
depositan$ 5.000.
5. 90 Se deposita hoy la suma de dos millones en· una institución financiera que
5.84 Se debe reunir la suma de$ 2'700.000 para dentro de cinco años. Con tal
paga un interés del 31 % nominal trimestral. Cadá mes se retira la mitad
fin se abren hoy dos cuentas de ahorros, la primera con un depósito único
de $ 250.000 hoy y en la segunda 45 depósitos mensuales empezando de los intereses devengados en ese mes y a su vez se deposita la suma de
dentro de un mes, de tal manera que cada depósito sea equivalente a la $ 1 O. ()(X) mensuales empezando dentro de un mes. Hallar el total acumulado
en Ja cuenta de ahorros dentro de cuatro años y medio.
décima parte del total acumulado en ese momento en la cuenta antes del
depósito respectivo. Si la primera cuenta paga un interés del 27% nominal
mensual, y la segunda el 28% nominal mensual, hallar el valor del primer 5.91 Resolver el problema 5.90 si Jos depósitos rneasuales son de$ 10.000 el
primer mes y de allí en adelante aumentan en el 3% cada mes.
depósito en la segunda cuenta de ahorros de tal manera que dentrode cinco
años se tenga la suma deseada al reunir los saldos de las dos cuentas. Fi-!M 5. 92 Se tiene la siguiente serie de' pagos mensuales: . ,¡..
~ 1 er mes: $ 400
5.85 Por disposición del gobierno toda inversión en una cierta compañía debe
1 2~ mes: $ 800 + $ 100 = $ 900
cancelar unos impuestos equivalentes al 10% de los intereses devengados
en ese año. Si hoy invertimos $ 2'350.000 en esa compañía que paga un
3er mes: $ 1.600 + $ 200 = $ 1.800
~ ·4!? mes: $ 3.200 + $ 300 = $ 3.500
interés-del 36% anual, hallar el total acumulado por esta inversión al cabo
de 10 años.
y así sucesivamente por espacio de un año y medio. Se pide c~lcular el
valor presente de esta serie· para una tasa de descuento del 2,5% mensual.
5.86 Resolver el problema 5.85, suponiendo que cada trimestre depositamos la
5. 93 La compañía W tiene establecido que cada dos años abona a la cuenta de
suma de$ 50.000. cada inversionista, la tercera parte del total a favor del inversionista en ese
momento, esto como participación de los rendimientos de la compañía.
5.87 Se sabe que los ingresos mensuales de una compañía A son en cualquier
Se sabe también que todo capital invertido en esta compañía gana el 2%
mes iguales a los 5/4 de los costos de ese mes. Las utilidades se reinvierten
mensual. Si usted invierte hoy la suma de $ 10.000 en la compañía W y
en otra compañía B donde el dinero rinde el 34% anual, pero a su vez se
también los rendimientos mensuales y bianuales, ¿cuánto tendrá acumulado
descuentan unos impuestos para pagar al gobierno ·equivalentes al 0,75%
al cabo de 14 años?
mensual sobre las utilidades obtenidas en la compañía B. Hallar el valor
total acumulado en la compañía B al cabo de tres años, sabiendo que el
5. 94 Con el fin de captar mayor dinero, una institución financiera promete pagar 5.101 Un profesional que trabaja en una compañía desde hace algún tiempo,
un interés del 29% nominal trimestral y además abona anualmente a cada dispone en este momento de $ 3 millones para invertirles, así como la
cuenta de ahorros una cantidad igual al 18% de los intereses devengados quinta parte de su salario mensual. En este año su salario mensual es de
en ese año.. Estos abonos se hacen después de contabilizados los intereses $ 180.000 y le será reajustado.en el 21 % cada año. La inversión se hace
correspondientes a la tasa de interés. ¿Cuánto se tendrá al cabo de 10 años en una corporación financiera que le paga un interés del 29% nominal
en una cuenta de ahorros en esa institución si el depósito inicial fue de trimestral y además le abona cada año el equivalente al 5% del total
$ 720.000? acumulado en ese momento; este acumulado se toma después de cargados
los intereses correspondientes. Si la inversión se hace por espacio de 10
5.95 Resolver-el problema 5.94, si además del depósito inicial, cada trimestre años, se pide hallar el total acumulado al final de este tiempo.
se depositan $ 20.000.
5.102 Si usted inicia hoy una cuenta de ahorros con$ 100.000 en una corporación
5.96 Una persona tiene hoy la suma de $ 600.000 en su caja menor, y cada que paga un interés del 28% nominal trimestral, cada trimestre usted retira
mes gasta la ternera parte de lo que tenía en el mes anterior. ¿En qué la quinta parte del saldo que tenía en el trimestra anterior y a su vez deposita
momento le quedará una suma de $ 2.000 aproximadamente? cantidades así: $ 5.000 el primer trimestre, $ 6.000 el segundo trimestre,
$ 7 .000 el tercer trimestre y así sucesivamente; hallar el saldo al cabo de
5.97 Resolver el problema anterior suponiendo que los$ 600.000 están deposi- tres años antes y después del retiro y depósito respectivos.
tados en una cuenta que paga un interés del 36% a~ual.
5. 98 Si una empresa capta dinero como inversión, ofreciendo pagar el 30%

nominal trimestral, pero a su vez cobra el 1 % por trimestre anticipado,
sobre el total acumulado hasta ese momento, esto por concepto de adminis-
tración; hallar el monto existente dentro de 8 años por una inversión hoy
de $ 450.000.
1
A 1
5.99 Usted tiene una deuda hoy con una institución financiera por valor de$ 5
millones, la cual se debe cancelar en un plazo de cinco años con cuotas -~
mensuales variables tales que cada una a partir de la segunda, sea igual a
tres veces los intereses de ese mes, a excepción del último pago que debe
ser$ 250.000. Si la institución cobra un interés del 29% nominal mensual,
¿cuál deberá ser el valor de la primera cuota?
5. 100 Un padre de familia debe cubrir los siguientes gastos: educación de un

hijo, gastos varios del hogar y acumular una suma para su futuro. Con tal
fin inicia una cuenta de ahorros hoy en una corporación que paga el 28%
nominal trimestral. Hace un depósito hoy y luego cada mes nuevos depósitos
tales que cada uno de ellos sea equivalente a la mitad de los intereses
devengados en ese mes. Si la educación del hijo tiene un costo promedio
de $ 350.000 por semestre vencido durante 5 años, y el primero de estos
gastos tendrá lugar dentro de un semestre; los gastos del hogar son de
$ 200. 000 mensuales y además desea tener acumulado para dentro de 5
años la suma de$ 3 millones, se pide hallar la cantidad que debe depositar
hoy el padre de familia para lograr sus objetivos.
~·.
CAPITULO 6
R AMORTIZACION
Y SALDOS
A
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R
A
A
R CAPITULO 6
A AMORTIZACION Y SALDOS
6.1 INTRODUCCION
Otros de los temas de estudio necesarios en las Matemáticas Financieras, son los
que hacen referencia a los planes, métodos y condiciones de amortización de una
deuda cuando hay una tasa de interés de por medio. A partir de este concepto se
desprende otro de frecuente uso y aplicación en las operaciones financieras como
es el del saldo existente en cualquier momento durante el tiempo de amortización
de una obligación.
Dentro de este mismo capítulo se estudiarán, como casos prácticos de aplicación,

los referentes al crédito en el sistema UPAC y créditos bancarios entre otros .
•
6.2 AMORTIZACION
Defmición 6.1
La amortización de una obligación o deuda se define como el proceso por el cual

se 'cancela la misma junto con sus intereses, mediante una serie de pagos y en
un tiempo determinado.
Por ejemplo, la cancelación de cuotas mensuales cuando se adquiere vivienda

financiada, las cuotas que se pagan al adquirir un carro, un electrodoméstico, un
• 1
1
---- - -- -
AMÓRTIZACION Y SALDOS 207

206
Todos los casos anteriores corresponden a sistemas de cuotas mensuales ven-

crédito bancario, etc, cuando parte o toda la deuda original ha sido financiada a cidas donde cada cuota amortiza tanto capital como intereses. Aplicando temas
un cierto plazo. vistos en los dos capítulos inmediatamente anteriores, se pueden establecer los
sistemas correspo?dientes a las series anticipadas y diferidas para los casos
Aun cuando muchos. de estos casos han sido tratados en algunos ejemplos Y
expuestos en los literales a), b) y e) anteriores.
problemas de capítulos anteriores, sin embargo, aquí se es~diai:~ otros a~~ectos
complementarios como son: Sistemas equivalentes de amcrnzacion. selecc~on del
d) También se pu~de presen~ar el caso d~ amortizar el capital, por ejemplo, en
mejor sistema de amortización, diseño de sistemas, entre otros por ahora, ~i_e_ntras cuatro cuotas tnmestrales iguales y los intereses del 8% por trimestre vencido
se estudia el saldo para entrar a tratar otros temas tales como la composicion de
entonces las cuotas totales quedarán así: '
las cuotas, los derechos sobre un activo, la refinanciación de saldos, las tablas
de amortización, etc. Primer trimestre 250.000 + 0,08 (l '000.000) $ 330.000
Segundo trimestre = 250.000 + 0,08 ( 750.000) = $ 310.000
Sistemas de amortización Tercer trimestre = 250.000 + 0,08 ( 500.000) = $ 290.000
Cuarto trimestre = 250.000 + 0,08 ( 250.000) = $ 270.000
Para la amortización de una obligación se pueden presentar varios sistemas, todos
ellos equivalentes desde el punto de vista financiero. · También puede tener lugar el caso similar al anterior pero con interés del 7 4%
por trimestre anticipado, entonces las cuotas totales quedarán así: '
Ejemplo 6.1
Principio primer trimestre 0,074 (1'000.000) = $ 74.000
Una deuda por$ I '000.000 se debe amortizar en un plazo de un año con cuotas
Principio segundo trimestre 250.000 + 0,074 (750.000)
mensuales y un interés del 2,6% mensual. $ 305.500
Principio tercer trimestre 250.000 + 0,074 (500.000)
a) Un sistema puede ser el de cuotas mensuales iguales, este caso corresponde a
= $ 287.000
una anualidad de las vistas en el capítulo 4. Para este caso tendremos cuotas
Principio cuarto trimestre 250.000 + 0,074 (250.000)
mensuales de: $ 268.500
A = $ 98.078,3 Final cuarto trimestre = 250.000
cada una.
Todos ~os sistemas expuestos anteriormente para la amortización de$ 1 '000.000
b) Otro sistema puede ser el de cuotas mensuales que aumente_n, ~~r ejemp~o, en ª.un ano ya sean con cuotas mensuales o trimestrales, son equivalentes finan-
$ 2.000 cada mes. Este caso corresponde a un gradiente arnmenco creciente, cieramente puesto que las tasas de interés respectivas son equivalentes financie-
'donde la primera cuota será de: ramente .
• A = $ 87.689,1 S!n embargo, ~n la práctica un deudor puede preferir un sistema a otro depen-
diendo, por ejemplo, de la dis_ponibilidad de recursos, o de otras ventajas
o cuotas que disminuyan cada mes en$ 2.000, y corresponderá a un gradiente externas a las puramente financieras que el pueda ver en un sistema.
aritmético decreciente cuya primera cuota será de:
~os casos expuestos anteriormente no son los únicos que se puedan presentar
A = $ 108.467,6 smo por lo general, los más comunes. Con la información recibida en los
c~pítulos anterio~es ~~ lector estará en cap~cidad de poder diseñar nuevos
e) Otro sistema puede ser el de cuotas mensuales que aurnenten en una. tasa sistemas de amortización de una deuda y que sean equivalentes a los expuestos.
constante, por ejemplo, del 2% cada mes. Este corresponde a un gradiente
geométrico creciente, cuya primera cuota será de:
A= $ 88.285
208 MATEMATICAS FINANCIERAS AMORTIZACION Y SALDOS
209
6.3 SALDOS El diagrama del flujo de caja será:
Definición 6.2
Para una deuda determinada, se llama saldo al cabo de un tiempo, a la cantidad

o suma que en ese momento aún falta por amortizar.
Lo anterior equivale a decir que el saldo en un determinado tiempo, es el valor

o
que aún se está debiendo en ese momento. 2
• • • t+!
• • • n
Dada la deuda original y el sistema y condiciones de amortización de la misma,

en la mayoría de casos a medida que se hacen abonos o pagos el valor de la
deuda disminuye, es decir, el saldo disminuye sin embargo, existen algunos
sistemas donde el saldo va creciendo en la primera parte del tiempo de amortización
para luego disminuir\h~sta llegar a cero, como sucede por ejemplo con la mayoría
de sistemas de amortización para créditos en Corporaciones de Ahorro y Vivienda
cuando los valores se miden en pesos. Conocer el saldo de una deuda u obligación,
o proyectar el mismo, es de gran importancia en las operaciones financieras,
entre otras para efectos presupuestales,. fiscales, de abonos adicionales, patrimo- donde
niales, y en general de situación financiera de la empresa o persona.
S, Y S,+ 1 representan los.saldos en los períodos t y t+ 1 respectivamente, después
En términos generales y desde el punto de vista del cálculo, se dice que dada de los pagos correspondientes.
una deuda original, el tipo de interés que se cobra, el sistema de amortización y
el tiempo para su cancelación, el saldo en cualquier momento es igual a: La relación entre estos saldos será:
i) El valor futuro en ese momento de la deuda original (o proyección de la S1+ 1 = S, + i S, - P,+ 1

deuda original) menos el valor futuro de las cuotas canceladas hasta ese es decir
momento.
S,+ 1 = (l + i) S, - P1+ 1, con 50 = D0 (6-1)
o • Jo
A partir de la ecuación ( 6- I), podemos determinar el saldo en cualquier momento

ii) El valor presente, en ese momento, de las cuotas que aún faJtan por pagar. (período) t, según sea el sistema de pagos.
,,
Los dos conceptos anteriores son equivalentes siempre y cuando no exista a) Si el sistema de amortización es de pagos iguales, es decir P, = A
otra clase de interés involucrada en la operación, como por ejemplo
intereses de mora y que el deudor ya haya incurrido en estos intereses. entonces la ecuación (6-1) se transforma en:
Veamos cómo llegar a expresiones que, independientemente del sistema S1+ 1 = (1 +i) S; - A, con S0= D0
de amortización de una deuda, nos lleven al cálculo del saldo en cualquier
momento. Y corresponde a una ecuación de diferencia finita estudiada en el capítulo 2 su
solución es '
Sea una deuda original D0, con un sistema de amortización en n pagos
periódicos donde P1 será el pago en el período t, y un interés del 1 % por
período. S, = D0 (1 + i)' - A
(l + i)1 ·- 1 lJ (6-2)
[
210 MATEMATICAS FINANCIERAS AMORTIZACION Y SALDOS 211
o sea Obteniendo así el mismo resultado tanto con la fórmula (6-3) como con la fórmula
(6-4). Sin embargo, esto no implica que en todo problema se pueda aplicar
Sr = D0 (FIP, i%, t) - A (FIA, i%, t) (6-3)
cualquiera de las dos fórmulas indistintamente, puesto que en algunos casos no
se conocen todos los datos necesarios para aplicar una u otra, es el caso por
que corresponden a lo expuesto en el numeral i) anterior. ejemplo cuando no se conoce el número total de cuotas (n), entonces la fórmula
(6-4) no es aplicable.
A partir de la expresión (6-2), vemos que si t = O entonces Sº = Do Y si t_ ~
n entonces S; = O. Ahora, como D0 = A(PJA, i%, n), al sustituirlo en la expresion b) Si el sistema de amortización es de pagos o cuotas variables, por ejemplo que
(6-3) se llega a: aumenten en una cantidad $ G cada período, tendremos que P1+ 1 = Gt + A
Sr = A(P!A, i%, n - t) (6-4)

donde A es el valor de la primera cuota. Reemplazando esta expresión en la
ecuación (6-1), tenemos: ·
La expresión (6-4) corresponde a lo expuesto en el numeral ii) anterior.
Ejemplo 6.2
Esta es otra ecuación de diferencia de las estudiadas en el capítulo 2. El lector
Un electrodoméstico tiene un valor de contado de$ 475.000 y se puede adquirir debe resolver esta ecuación y llegar a la solución siguiente:
con una cuota inicial de $ 52.020 y el resto financiado a dos años con cuotas
mensuales iguales y un interés del 2,5% mensual. Hallar el saldo al cabo de 15
meses.
S, = D0 (1 + i/ - [A (FIA, i%, t) + G (F!G, i%, t)J (6-5)
Solución ésta que hace referencia a lo expuesto en el numeral i) para esta clase
Solución de cuotas. Por un razonamiento similar al utilizado en la parte a), se llega también
a que:
Primero determinemos la cantidad financiada. Esta es: $ 475.000 - $ 52.020
= $ 422.980. Sr = (A + tG) (PIA, i%, n - t) + G (PIG, i%, n - t) (6-6)
El lector deberá dibujar el diagrama del flujo de caja y entonces: y significa que el saldo en el período t es igual al valor presente de las cuotas
que aún faltan por cancelar. ·
Si A es la cuota mensual, se cumple que: .¡.
422.980 = A(P!A, 2,5%, 24) Ejemplo 6.3
es decir Resolver el ejemplo (6-2) suponiendo que las cuotas aumenten cada mes en
• $ 2.000 .
A = $ 23.650
Solución
De tal manera que el saldo al cabo de 15 meses estará dado por:
En primer lugar se debe cumplir la relación
515 = 422.980 (1,025)15 - 23.650 (FIA, 2.5%, 15) = $ 188.511
422.980 = A (PIA, 2,5%, 24) + 2.000 (PIG, 2,5%, 24)
si aplicamos la expresión (6-3).
También lo podemos calcular aplicando la expresión (6-4) y tendremos: Así que
515 = 23.650 (PIA, 2.5%, 9) = $ 188.511 A 3.002,6

AMORTIZACION Y SALDOS 213
212
Solución:
Para calcular el saldo al cabo de 15 meses podemos aplicar cualquiera de las
expresiones (6~5) o (6-6). En este caso se debe cumplir la relación siguiente:
Así, por ejemplo, aplicando la primera de ellas se tendrá:
+ 2.ooo(F!G, 2.5%,lSU
422.980 =
A
0,025 - 0,03
'L.1 _[_1,03
\
_YJ
J
S15 = 422.980(1,0 25) 15
- [3.002,6(F/A, 2.5%,15) 1,025
. = $ 324.204,6
de donde
El lector deberá calcular el saldo utilizando la fórmula (6-6) A = $ 17.071 , 9
e) Si el sistema de amortización consta de cuotas variables que aumenten .rnda Para calcular el saldo al cabo de 15 meses podemos utilizar cualquiera de las
mes en una tasa constante del k%, es decir, que los pagos correspondan a un fórmulas (6- 7) o ( 6-8). Por ejemplo, aplicando la primera se tiene:
gradiente geométrico creciente, entonces tendremos que
S15 = 422.980 (1,025)
. 15 17.071,9 [ (1 025) 15 - (1 03) l~·
P1+1 =A (l+ kY · - -----
0,025 - 0,03 ' '
donde A es el valor de la primera cuota. = $ 238.148,7

Reemplazando esta expresión en la ecuación (6-1), se llega a: De nuevo el lector deberá calcular el saldo utilizando la fórmula (6-8).
S t+ 1
=(l+i)
.
S 1 - A (l+k)1, con S0 =ü;
También como ejercicio adicional, el lector deberá obtener las fórmulas correspon-
dientes al cálculo del saldo cuando el sistema de amortización sea un gradiente
Esta es también una de las ecuaciones de diferencia estud_i~das. en_ el c~pítulo 2. aritmético decreciente o un gradiente geométrico decreciente.
El lector deberá resolver esta ecuación y llegar a la solución siguiente:
A partir del concepto de saldo, es fácil llegar a determinar la parte de la deuda
A cancelada hasta un momento determinado. Si denotamos por C1 la cantidad de la
(6,7) deuda amortizada hasta el momento t, con S1 el saldo existente en ese momento
i-k y con D la deuda original o financiada, se cumple que: f
0
De nuevo esta solución hace referencia a lo expuesto en el n~meral i) para esta (6-9)
clase de cuotas. También con un razonamiento similar a los antenores, se llega a:
Cuando un activo se adquiere a crédito, se dice que el vendedor, en cualquier
• A (1 + k)' (6-8) momento, es dueño o tiene derecho sobre la parte del valor de contado del activo
S, = que aún falta por jlmOrtizar, es decir, tiene derecho sobre St> y por Otra parte el
i- k
comprador tiene derecho sobre la parte ya amortizada, es decir, sobre C,. En esta
y significa que el saldo en el momento t es igual al valor presente de las cuotas relación el valor D0 representa el precio del activo o valor de contado del mismo,
de tal manera a partir de la relación (6-9) se llega a
que aún faltan por pagar. ·
Ejemplo 6.4
o sea que
. Resolver el ejemplo (6-2) suponiendo que las cuotas aumenten cada mes en el 3%.
Precio de venta derechos del comprador + derechos del vendedor
AMORTIZACION Y SALDOS
215
Ejemplo 6.5
Sin embargo, la mayoría de cuotas que se pagan para amortizar una deuda, tienen
Una compañía ensambladora de vehículos vende un automóvil, que tien.e ~~valor dos componentes básicos que son: intereses y amortización a capital. De esto
de contado de $ 6'870.000, para ser cancelado con una cuot~ inicial de consta la composición de una cuota. La razón de conocer cómo está compuesta
$ 2'350.000 y el resto financiado a 30 meses con cuotas mensuales iguales y un una cuota es netamente financiera, por ejemplo, en algunos sistemas de crédito,
interés del 3% mensual. Hallar los derechos del comprador y los derechos de la lo que se pague de intereses. es exento de impuestos.
compañía vendedora sobre el automóvil al cabo de 15 meses una vez cancelada
Ejemplo 6.6
la cuota respectiva.
¡1~ Para el caso del ejemplo (6-5), determinar la composición de la cuota No. 16
Solución
Ff1'
Solución
El diagrama del flujo de caja lo deberá hacer el lector.
Los intereses que se cancelan con la cuota No. 16, son los intereses sobre el
En primer lugar debemos hallar el valor de la anualidad A que amortiza la cantidad saldo existente en el mes f5. De tal manera que como en este caso tenemos que
financiada.
JR=I S1s = $ 2'752.971 y A = $ 203.607, entonces.
Cantidad financiada = 6'870.000 - 2'350.000
cuota mensual de A se obtiene a partir de
4'520.000 = A (PIA, 3%, 30)

$ 4'520.000 y el valor de la
$ Intereses cancelados con la cuota No. 16 = 2'752.971 (0,03) = $ 82.589,13
AmortizaciónacapitalconlacuotaNo. 16 = 203.607 - 82.589,13 = $ 121.017,87
Así que la anterior es la composición de la cuota No. 16.

A = $ 230.607
El saldo al cabo de 15 meses estará dado por

fMI El lector puede calcular, como ejercicio, la composición de las cuotas Nos. 17,
18 y 19 y ver cómo a medida que avanza el tiempo los intereses disminuyen y
la amortización a capital aumenta.
S15 = 230.607 (PIA, 3%, 15) = s 2'752.971
El registro período a período de pago de toda la operación financiera de la
De tal manera que los derechos del comprador son de$ 4' 117 .029 y los derechos cancelación de una obligación; es lo que se conoce con el nombre de tabla de
del vendedor son de$ 2'752.971, al cabo de 15 meses. amortización de la obligación. Existen diferentes modelos.•.• y cada persona o
empresa puede diseñar sus propios modelos. Sin embargo, una de las más utilizadas
Similar se resuelven los problemas cuando. las cuotas de amortización son ~aria- es la que veremos en el ejemplo siguiente.
bles, porque lo básico es llegar a calcular el saldo en e~ momento requendo Y
Ejemplo 6.7
este concepto ya ha sido estudiado para esta clase de senes de pagos.
•
6.4 COMPOSICION DE LOS PAGOS Un electr~d?i_néstico tiene un valor de contado de $ 620.000, se adquiere con
una cuota inicial de $ 125. 000 y el resto financiado a 8 meses con cuotas mensuales
Cuando una deuda inicial u obligación se está amortizando mediante una serie de iguales y un interés del 2% mensual. Hacer la tabla de amortización de la deuda.
pagos y con un interés establecido, es obvio que al final de algún tie~po el saldo Solución
sea cero siempre y cuando por lo menos algunas cuotas cubran los intereses Y
amorticen parte del capital. No es necesario que todas las c~otas cumpla? ~on
esta condición, ya que como lo podemos observar en algunos sistemas d~ crédito, Primero d~b~~os hallar el valor de la cuota mensual uniforme A. Como se paga
· al principio del tiempo de amortización de la deuda el saldo crece y hacia el final una cuota inicial, entonces el saldo financiado es:
el saldo disminuye hasta llegar a cero.
620.000 - 125.000 = $ 495.000
216 MA TEMATICAS FINANCIERAS AMORTIZACION Y SALDOS
217
y entonces se tiene que Tomemos el caso de un préstamo de $ P hoy para ser ca l d

· xíi d d d nce a o en n cuotas
pen? reas on, e ca a cuota amortiza la misma cantidad a ca · 1 · ,
495.ÓOO ;:,; A (PIA, 2%, 8) del 1% por penodo vencido. Se trata de determinar las cuot pita y e 1 lmteres es
as a canee ar.
A = $ 67.572,35 Como se pue~e ver, las cuotas totales (amortización a capital + intereses) no
pueden ser ,umformes dado que la cantidad correspondiente a intereses cambia
en cada penodo.
y así la tabla de amortización es la siguiente:
De~otemos por$ R la sum~ correspondiente a la amortización a capital en cada
penodo, Y por S, el saldo al final del período tuna vez cancelada la cuota respectiva.
Mes Cuota mensual Amortización a Intereses Saldo
capital Se tiene que
o 125.oÓO 125:000 495.000
p
1 67.571.35 57.672,35 9900 437.327,65 R=----
2 67.572\35 58.825,8; 8746,55 378:501,85 n
3 67.572,~5 60.002,31 7570,04 318.499,54
4 67.572,35 61.202,35 6370 257.297,18 y los intereses del período t + 1 serán
5
6
67.572,35
67.572,35
62.426,41
63.674,93
5145,94
3897,42
194.870,77
131.195,84
¡ s1
7 67.572,35 64.948,43 2623,92 66.247,41

De tal manera que si denotamos por C1 + ' la cuota en el período t + 1 , se tiene:
8 67.572,35 '66.247,41 1324,94 o
p
Cl+I = --+ i S,
Una de las.ventajas de una tabla de amortización como la.anterior, es la depoder n
apreciar rápidamente la situación de la operación financiera en un momento dado.
++
De lo anterior se obtiene la relación siguiente:
Ahora bien, para la construcción de una tabla de amortización como la anterior,
se aconseja utilizar una hoja electrónica en un computador ayudado de las fórmulas
correspondientes. Si lo que se desea es solamente conocer los datos para una s,., ~ s,+ ;s,- [ ;s]
determinada cuota, lo mejor es aplicar directamente las fórmulas vistas anterior-
mente y así determinar el valor de la cuota, el saldo y la composición de la cuota .. o sea ."
El lector debe hacer como ejercicio I~ siguiente:

•
Tomar en el ejemplo anterior un mes cualquiera, aplicar las fórmulas de saldo y
composición de la ·cuota y comparar los resultados con los dados en la tabla.
La ecuación de diferencia finita anterior tiene como solución la función
El caso anterior corresponde a cuotas . uniformes;' y como se puede observar, en
la tabla, la amortización a capital aumenta con el tiempo a medida que los intereses p
S1 = P- -- t
disminuyen. n (6-10)
¡I .."
Otro sistema de amortización es . aquel .donde la cantidad correspondiente a· la De tal manera que la cuota del período t será:
++;~ +{t-1~
amortización de capital es constante, este es el sistema más.utilizado en ~l crédito
bancario, por esta razón a continuación se presentará el · caso general· de 'este
sistema. e,~
MATEMATICAS FINANCIERAS AMORTIZACION Y SALDOS 219
218
o sea El caso general se plantea de la siguiente forma:
C,=P 1
-+i+
[ n
-i
n
J ---t iP
n
(6-11)
Supongamos un préstamo hoy por valor de $ P para ser cancelado en n cuotas
periódicas de Ja misma forma del caso anterior, es decir, dondeR =Pin. Tomemos
una tasa de interés del io/o por período anticipado. Se trata de determinar las
cuotas periódicas para esta nueva modalidad. Para ello utilizamos la misma nota-
Como se puede observar, la serie de cuotas constituyen un gradiente aritmético
ción anterior y así tenemos que:
decreciente donde el valor de G es igual a i (Pin) y en este caso las cuotas
disminuyen en el i% de Ja cuota de amortización a capital. p
-;S0 =P
Ejemplo 6.8 n
Una deuda por valor de $ 3 millones de hoy, se debe financiar a un año con
cuotas mensuales tales que la amortización a capital sea la misma en todas las
\R La solución de esta ecuación es
cuotas. Si la tasa de interés es del 2,8% mensual, hallar el valor de las cuotas. p
S, = P- -t
n
Solución
De acuerdo al caso general, la amortización a capital en cada cuota es:
3'000.000
lm
~ y la cuota del mes t (t 1,2,3, ... ,n) estará dada por
R= =º$ 250.000
12
y la cuota del mes t será: Sustituyendo el valor de S, se obtiene

~
e,= 3·000.000 [-1-+ 0,028

12
+
0•028
12
J - 0,028 (3'000.000)
12
t
~
C,~P ~~ +)-i~};r~l,2, ... ,n (6-12)
= 341.000 - 7 .000 t
1~ Para el punto O y n se tiene ."
Así que las cuotas serán de:
$ 334.000, $ 327 .000, $ 320.000, y así sucesivamente, donde la disminución de

mes a mes($ 7 .000) corresponden al 2,8% de la amortización a capital cada mes.
O sea
Jt C0 = iP y
porque la cuota en el punto cero corresponde a los intereses anticipados del saldo
P y la última cuota en el punto n es solamente de amortización a capital sin
J.
intereses.
7.000 = 0,028 (250.000) ~
Ejemplo 6.9
El lector debe calcular manualmente el valor de las primeras cuotas sin tener en
cuenta las fórmulas obtenidas en el caso general. Resolver el ejemplo 8.8 anterior suponiendo una tasa de interés del 2,8% mensual
anticipado.
Veamos ahora un caso similar al tratado anteriormente donde Jo único que cambia
es Ja clase de tasa de interés, y específicamente donde la tasa de interés sea
anticipada. ~
~
Solución La razón del reajuste periódico, se debe al efecto económico de la pérdida de

poder adquisitivo del dinero por efecto de la inflación. Por lo tanto, el· deudor
El valordeR sigue siendo de$ 250.000y la cuota del mes t (t = 1,2, ... ,n) será
del sistema UPAC debe devolver a la entidad, además de los intereses, una suma
-Íz- + 0,02~-
de dinero que tenga el mismo valor real (valor constante) que la suma que recibió
e, ~ 3·000.000 ( o.oze (250.000) 1 en calidad de préstamo.
= 334.000 - 7 .000 t Las entidades responsables de determinar el valor de dicho incremento son en
primer lugar el DANE quien obtiene mensualmente el incremento (%) en el cost~
De tal manera que las cuotas para los meses 1,2,3, ... ,11 serán: de vida para obreros y para empleados y con el promedio aritmético de estos dos
índices fija la base para calcular el valor de la UPAC y el Banco de la República
Cl = $ 327.000, C2 = $ 320.000, C3 = $ 313.000 y así sucesivamente, debe calcular e informar mensualmente el valor diario de la UPAC.
además del primer pago en el punto O que es de 0,028 (3'000.000) = $ 84.000
y del último pago en el mes 12 que será de $ 250.000. Los componentes básicos para el cálculo y operaciones con UPAC son la tasa de
corrección monetaria icM y la tasa de interés i. Tanto la tasa de corrección
En este caso la serie formada por las cuotas de los meses 1,2, ... ,11 constituye monetaria como-Ia tasa de interés vienen dadas en forma anual, de tal manera
un gradiente aritmético decreciente. que lo primero que se debe hacer es pasarlas a tasas diarias tomando el año de
365 días y a partir de esto, hallar la tasa para el período correspondiente tanto
Al igual que en el ejemplo (6.8) el lector debe calcular manualmente las primeras
de abonos como de depósitos.
cuotas del sistema de amortización contemplado en el ejemplo (6.9) compararlas
con las obtenidas a partir de la fórmula. La expresión para calcular la tasa i que combina la corrección.monetaria y los
intereses es: ·
También debe calcular el valor presente de esta serie de valores utilizando para
los pagos 1,2, ... , 11 la fórmula de gradiente aritmético decreciente y la tasa i¡ = (1 + icM) (1 + i) - 1 (6-13)
mensual vencida equivalente al 2,8% mensual anticipada.· · donde i¡ es la tasa o costo- financiero por período según lo sea icm e i. Con esta
tasa se hace la proyección tanto de las cuotas como de los saldos.
6.5 AMORTIZACION Y SALDOS EN EL SISTEMA UPAC
Una de las principales operaciones en el sistema UPAC es el de los créditos al
Dado el uso que hoy en día se está haciendo del crédito en las Corporaciones de público para adquirir vivienda, razón por la cual la mayoría de entidades que
Ahorro y Vivienda por el sistema UPAC, se estima conveniente hacer en este manejan este sistema reciben el nombre de Corporaciones de Ahorro y Vivienda.
capítulo una presentación a grandes rasgos sobre lo que es este sistema y algunas
de las operaciones financieras relacionadas con el saldo que allí se manejan. Para el caso de un crédito se deben conocer los siguientes elementos: el valor
total de la deuda o crédito, el plazo para amortizar la deuda, el costo financiero
El sistema UPt\C (unidad de poder adquisitivo constante) fue creado por decreto que asume el deudor durante el tiempo de la operación financiera o tiempo de
677 de 1972 con el fin de incentivar tanto el ahorro como el préstamo, para ello amortización y la forma de pago del crédito.
cada uno se reajustará periódicamente y así los intereses pactados se liquidarán
sobre el valor del capital reajustado, estas dos operaciones constituyen los prin- A partir de lo anterior debemos estar en capacidad de: determinar el valor de las
cipios filosóficos del sistema. cuotas, composición de cada cuota en abono a capital e intereses y por último
calcular el saldo de la obligación en cualquier momento. Esto se .desarróllará con
Tasa de corrección monetaria algún ejemplo al final, una vez se hayan presentado los diferentes sistemas de
amortización de un crédito.
La.corrección monetaria es la operación utilizada por el sistema financiero colom-
biano de Ahorro y Vivienda para reajustar el valor del dinero con el fin de . Es importante aclarar que las operaciones en este sistema se hacen desde dos
recuperarle, así sea en parte, el poder adquisitivo que pierde diariamente como puntos diferentes .~,rq equivaléntes financieramente y son: presentar el plan de .
consecuencia del aumento en los precios de los bienes y servicios. financiación en la nueva unidad monetaria U:PAC o presentarlo enpesos.
- . ' '
222 MATEMATICASFINANCIERAS AMORTIZACIONY SALDOS 223
Los plazos más utilizados por este sistema para los créditos son de 3) Sistema de cuotas crecientes cada mes en una tasa constante o gradiente geo-
5,6,7,8,10,12,13,15 y 20 años. Los principales sistemas de amortización de una métrico creciente.
deuda en UPAC son los siguientes:
4) Sistema de cuotas mensuales constantes durante el año pero que aumenten
1) Sistema de cuota fija en UPAC. anualmente en una suma fija de pesos.
En este sistema todas las cuotas son iguales en UP AC pero al convertirlas a 5) Sistema de cuotas mensuales constantes durante el año pero que aumenten
pesos resultan cuotas crecientes .. anualmente en una tasa constante.
2) Sistema de abono constante a capital en UPAC. 6) Sistema de cuotas fijas mensuales pero con abonos extraordinarios cada seis
meses o cada año.
En este sistema la cuota en UPAC de amortización a capital es constante, pero
la cuota en UPi\C de abono a capital más intereses es decreciente, sin embargo, A continuación se desarrollará un ejemplo de un crédito por el sistema 3 de
la cuota tota~ en p~sos es creciente. proyección y amortización en pesos.
3) Sistema de cuota en UPAC decreciente en una cantidad fija mensual. Ejemplo 6-10
En este sistema la cuota en UP AC decrece cada mes en una cantidad fija, sin Supongamos que obtenemos un crédito de una Corporación de Ahorro y Vivienda
embargo la cuota mensual en pesos es creciente. por valor de $ l O millones para ser cancelados en un plazo de 15 años con cuotas
mensuales que aumenten en el 0,9% cada mes. La tasa de interés será del 8 5%
4) Sistema de abono a capital en UPAC decreciente geométricamente cada mes. anual y la tasa de corrección monetaria será del 24,5% anual. '
En este sistema las cuotas en UPAC forman un gradiente geométrico decrecien- En este ejemplo calcularemos lo siguiente:
te, sin embargo las cuotas mensuales en pesos son crecientes.
a) Proyección o cálculo de la primera cuota.
5) Sistema de abono o capital en UPAC decreciente enuna cantidad fija mensual.
b) Saldo en cuatro fechas diferentes a saber: a los 5, 10, 12 y 14 años.
En este sistema los abonos a capital en UPAC forman un gradiente aritmético
decreciente, pero sin embargo la cuota mensual en pesos es creciente. e) La composición de las cuotas 1 a. y 145a. . ¡.
6) Sistema de cuotas mensuales fijas en UPAC decrecientes anualmente en una d) Gráfica que represente las cuotas y los saldos respecto al tiempo.
proporcióp geométrica.
~o primero que debernos hallar son: la tasa anual y la tasa mensual que combinen
En este sistema las cuotas en UPAC permanecen constantes durante los doce intereses y la corrección monetaria, para esto aplicamos la expresión (6-13) y
meses del año, pero al año siguiente disminuyen en una tasa constante, sin tenemos:
embargo las cuotas mensuales en pesos son crecientes.
'r = (1,245) (1,085) - 1 = 0,3508 = 35,08% anual
También se tienen los sistemas de amortización de una deuda directamente en
pesos, éstos son principalmente los siguientes: equivalente al: 2,537% mensual.
-1) Sistema de cuota fija mensual o anualidad El diagrama del flujo de caja para este caso es el siguiente:
2) Sistema de cuotas Crecientes cada mes en una cantidad fija o gradiente aritmético
creciente.
W.ATEMATICASFINANCIERAS.
Saldo al final del 120. año:

- 1 o'()()() ()()()
S12 = 10'000.000(1,3508)12
'
-
173.263 ' 30
0,02537 - 0,009
~(1,02537)144 - (1,009)144 J
= $ 17' 154. 247
o 1 2 ••• 60 ••• 145 146

• •• 168
••• 18 o
R Saldo al final del l4o. año
J
A------·
'
-- ----- ------ --- --~.....
---- -- -- --
R=ll s 14 = 10'000.000(1 3508)14
,
-
173.263 30
o ' 02537 - 'o ' 009
~(1 02537)168
'
- (1 009)168
'
a) Como se puede ver, el flujo de caja corresponde a un gradiente geométrico

-- - ........ r::b. = $ 8'890.110
e) Para determinar la composición de cualquier cuota debemos hallar las corres-
'r ~ º]
pondientes tasas mensuales tanto de interés como de corrección monetaria.
creciente, de tal manera que se tiene:
18 F4I Del 8,5% anual se obtiene el 0,682% mensual de intereses.
+
10'000.000 = A - ___:_009 -
'_ ___.
0,02537 - 0,009 1,02537 Del 24,5% anual se obtiene el 1,843% mensual de corrección monetaria.
:. A = $ 173.263,30 Cada cuota debe cancelar el total de los intereses de ese mes y el resto corresponderá
a la amortización de capital.
o sea que para amortizar esta deuda bajo las condicio,nes dadas, se debe inici~
con una cuota el primer mes de$ 173'.263,30 y de allí en adelante se aumentara
·1:;:::::11
'i.
Para la primera cuota tenemos:
en el 0,9% cada mes.
Intereses sobre saldo anterior = 0,00682 (10'000.000) =~ $ 68.200.
b) Para calcular los saldos en las fechas correspondientes, aplicamos cualquiera ~ Corrección monetaria sobre capital e intereses.
_de las expresiones propias para estos casos.
t=:ll
= 0,018843 (10'000.000) (1,00682) = $ -185.556,93
.,:
Saldo al final del 5o. año:
• Total de los costos financieros del primer mes:
173.263,30 [
j
F=:I
6~
'1 S5 ~ 10'000.000(1,3508)5 - 0,02537 _ 0,009 (1,02537)60 -(1,009) $ 68.200 + $ 185.556,93 = $ 253.756,93
1 '= $ l5'5Ó4.431,55 Total saldo al final del primer mes antes de cancelar la cuota:
·), -
Saldo-al final del lOo. año: ~ $ 10'253.756,93
173.263,30
•' ~ - ~ Saldo una vez cancelada la primera cuota:
Slo =' 10'000
' .
000 (1 3508)10
,
- ' . . .-
0;02537 -:- 0,009
' . (1,02537)120
'
- (1,009)12 .
~ 10'253.756,93 - 173.263,30 = $ 10'080.493,63
=· $.19'.318.022,73 '.
~
226 MA TEMA TICAS FINANCIERAS AMORTIZACION Y SALDOS 227
La composición de la primera cuota será:

$
(millones)
Intereses = $ 68.200
Abono a capital = $ 105.063,3
Total = $ 173.263,30
Para la composición de la 145a. cuota, tenemos:
Intereses sobre el saldo anterior = 0,00682 (17'154.247) = $ 116.991,96
Corrección monetaria sobre saldo e intereses:
0,01843 (17'154.247) (1,00682) = $ 318.308,93 FI ,,
F=I
Valor de la cuota No .. 145 = 173,263,3 (1,009)144 = $ 629.556,22 10
De tal manera que esta cuota estará conformado por:
Intereses
Abono a capital
Total
= $ 116.991,96_
$ 512.564,26
$ 629.556,22 Ff'
Como podemos observar en la composición de las dos cuotas anteriores, con la
la. cuota se cancelan todos los intereses pero no toda la corrección monetaria de Fj=I 2
F:I
ese mes, por esta razón, el saldo al final del primer mes después de cancelada
la cuota correspondiente es mayor que el saldo anterior. Con la 145a cuota se
cancelan todos los intereses de ese mes y el abono a capital es superior al valor ------- -- ----- -- --- _ - - -
cuota - -
de la corrección monetaria de ese mes, lo cual nos indica que el saldo ya se ••• s •••
(9=t
10 11 12 ••• años
encuentra en descenso y-no en ascenso como en el primer mes. .¡.
Por último se debe tener en cuenta que por disposición legal, en un crédito se
Como P?demos observ_ar, _el saldo aumenta hasta el lüo. año aproximadamente
debe cobrar la corrección monetaria sobre los intereses pero nunca intereses sobre
intereses. Por-esta razón cualquier cuota debe cancelar la totalidad de iOSíntéreses
de ese mes de tal manera que no queden intereses pendientes para el mes siguiente.
t=:I y de allí en adelante disminuye hasta llegar a cero en el 150. año. No obstante
las cuotas mensuales aumentan durante los 15 años.
e) Es de gran ayuda en las decisiones financieras donde se involucra un crédito

del sistema UPAC, poder visualizar el comportamiento hacia el futuro tanto ~
de la variación de las cuotas como la variación del saldo. En la siguiente gráfica
se representarán estos elementos de la operación financiera correspondiente al
crédito estudiado numéricamente en el ejemplo anterior.
AMORTIZACIONY SALDOS 229
228 MA TEMATICAS FlNANCIERAS
6.8 Una pequeña empresa obtiene hoy un préstamo de un banco por valor de
PROBLEMAS $ 7 millones con la condición inicial de amortizar esta deuda en un plazo
de cuatro años con cuotas mensuales variables que disminuyan cada mes en
6.1 Se tiene una deuda hoy por valor de$ 5'000.000, la cual debe ser cancelada $ 50.000.
en un plazo de cinco años con cuotas mensuales que aumenten cada mes Transcurridos dos años, el gerente de la empresa le propone al banco cambiar
en un 3%. Si la.tasa de interés que se cobra es del 29% nominal trimestral, el sistema de pagos para los dos últimos años por cuotas trimestrales que
,hallar el saldo al cabo de tres años antes de cancelar la cuota correspondiente. aumenten en el 4%. Si la tasa de interés que cobra el banco es del 38%
nominal trimestral, hallar el valor de la primera de las cuotas trimestrales.
6.2 Resolver el problema anterior bajo el supuesto que la tasa de interés que se
cobra sea del 29% nominal trimestral durante los dos primeros años y del 6. 9 Una institución financiera le otorga a Ud. un crédito por valor de$' 6 millon~s
36% nominal mensual de allí en adelante. 1 para ser.- cancelados en un plazo de ocho años con cuotas mensuales que
aumenten cada mes 'en el 1,5%. y un interés del 33% nominal trimestral.
6.3 Para un activo que tiene un valor de contado de$ 158.000 y que se amortiza
con cuotas iguales mensuales, se sabe que el saldo al final del sexto mes
es de$ 102.000; sabiendo que se cobra un interés del 26% nominal mensual
F1I Al cabo de cinco años Ud. solicita que el saldo en esa fecha le sea refinanciado
a cuatro años con cuotas trimestrales iguales. Si para la refinanciación la
tasa de interés es del 34% nominal mensual, hallar el valor de las cuotas
FA
¿cuál es Ja cuota _que se paga mensualmente? uniformes.
6.4 Ud. compra un carro a crédito y cancela hoy el 40% del valor-de contado,
6.10 Un banco comercial le otorga a usted. un préstamo hoy por un milló~ de
esto como cuota inicial. A su vez firma hoy 36 letras por valores iguales y
A
pesos para ser cancelados en un año con pagos trimestrales iguales en
con vencimiento al final de cada mes. El interés que se cobra es el equivalente
amortización a capital y un interés del 34% nominal trimestral anticipado.
al 33% anual.
Hacer la tabla de amortización y el diagrama del flujo de caja con los
Después de canceladas las 22 primeras letras, le informan a Ud. que el saldo
desembolsos totales por trimestre.
pendiente se debe cancelar un mes más tarde y equivaldría a$ 2'200.000
en la fecha de pago. Se pide determinar el valor de contado del carro.
6.11 Resolver el problema anterior para el caso de pagos mensuales y tasa de
6. 5 U na entidad financiera le hace un préstamo a un cliente por $ 1 O millones interés del 33% nominal- mensual anticipado. ¿existe alguna relación entre
y le cobra un interés del 28% nominal trimestral. El deudor tiene 15 años los pagos totales mensuales? -
para amortizar. la deuda con cuotas mensuales variables. La primera cuota
de$ 165.000 se cancela dentro de un mes y de allí en adelante se reajustan 6.12 Usted obtiene un crédito por valor de$ 2 millones el lo. de enero de 1990,
en el 2,4% mensual. para ser cancelado en un plazo de tres años con cuotas mensuales que
Transcurridos cuatro años, y una vez cancelada la cuota correspondiente, aumenten en 3% cada mes y una tasa de interés del 38% anual. Si la primera
el deudor solicita que el saldo pendiente le sea.refinanciado en los once cuota se cancela el lo. de mayo de 1990, determinar el saldo el lo. de junio
añosrestantes en cuotas mensuales iguales. Hallar el valor de esta anualidad. de-1991. • ·
6.6 Una persona tiene una obligación para cancelar en 15 .años con cuotas 6.13 Un agricultor-obtiene un préstamo de$ 6 millones de una entidad crediticia
mensuales de$ 50.000 la primera reajustables en el 2% cada mes. Al final que otorga préstamos para invertir en el sector agrario. Las condiciones de
del quinto año, decide cambiar el sistema de pagos por cuotas mensuales este crédito son:
iguales y terminar dos años antes de lo previsto inicialmente. Hallar el valor
de estas nuevas cuotas sabiendo que el interés sobre saldo es del 2% mensual a) El tiempo total para la amortización de la deuda es de seis años de los
durante los tres primeros años y del 3% mensual para los doce años siguientes. cuales los dos primeros son años de gracia, solamente paga interés.
6.7 Se tiene hoy la suma de$ 600.000 en una corporación de ahorro que paga b) La tasa de interés es del 27 ,5% pagaderos por semestre vencido.
un interés del 30% nominal trimestral, cada mes se retira la quinta parte del e) El capital se amortiza en cuotas semestrales iguales durante los cuatro
saldo existente al final del mes inmediatamente anterior y a la vez se depositan últimos años de plazo.
$ 5. 000. Hallar el saldo existente en la cuenta de ahorros al cabo de cinco Se pide hacer la tabla de amortización del crédito.
años.
230 MATEMATICAS FINANCIERAS. AMORTIZACION Y SALDOS 231
6.14 Si en el problema anterior se estipula una tasa de mora sobre el capital del Meses Factor
12% anual, y el deudor no cancela las cuotas 4a y 5a de capital pero 'sí los !2 0,104563
intereses corrientes. Se pide hacer el flujo de caja especificando en cada. 18 0,076931
pago los abonos a capital, intereses corrientes e intereses por mora. 24 0,063434
36 0,050543
6.15 Un banco comercial hace un préstamo a una empresa por valor de $ 10
millones para ser cancelados en un plazo de cuatro años con cuotas mensuales Se pide:
que aumenten en el 3% cada mes y una tasa de interés del 36% nominal
semestral. Al cabo de dos años y medio la empresa abona la suma de $ 2 a) Justificar e] factor dado por el banco.
millones al saldo existente en ese momento, una vez cancelada la cuota
respectiva. Solicita que el nuevo saldo le sea refinanciado por el tiempo que b) Hacer la tabla de amortización y el diagrama del flujo de caja para un
crédito de $ 2'000.000 a 12 meses.
falta, en cuotas mensuales iguales. Determinar el valor de estas nuevas
cuotas. e) Si un segundo banco le otorga el crédito a una tasa del 50% anual, ¿cuál
de Jos dos es menos costoso?
6.16 Un comerciante adquiere un préstamo de un banco comercial de la ciudad, 6.20 U~ ~ículo tiene val?r. ~e contado de $ 120.000 pero se puede adquirir a
por valor de $ 6,5 millones para ser cancelados en un plazo de tres años. crédito con una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto financiado
Los pagos de amortización a capital son constantes por trimestre vencido, a 30 cuotas mensuales iguales debiendo cancelar la primera dentro de cinco
y la tasa de interés es del 38% pagadero por trimestre anticipado. Al cabo meses, y una tasa de interés del 28% nominal trimestral. Una vez cancelada
de un año, el comerciante hace un abono adicional a capital por valor de la 18a cuota, se solicita que el saldo pendiente en esa fecha sea refinanciado
$ 1 millón por lo tanto los pagos restantes a capital se disminuyen pero en 1 O cuotas trimestrales iguales y para esta refinanciación se cobrará un
siguen siendo constantes. Un año más tarde hace otro abono adici?nal a interés del 3,5% mensual, se pide hallar el valor de estas nuevas cuotas.
capital por valor de $ 800. 000 y de nuevo el resto de pago a capital se
. 1 disminuyen pero son constantes . 6.21 Una persona invierte hoy·la suma de$ 2 millones en una entidad financiera
Se pide elaborar la tabla de amortización de la deuda. donde cada mes retira la tercera parte de los intereses devengados en es~
mes, a su vez la entidad le descuenta mensualmente la suma de $ 15.000
por concepto de administración y seguros. Si la entidad paga un interés del
6 .17 En el problema anterior, una de las cláusulas del préstamo contempla una 33% anual durante los tres primeros años y del 38% anual de allí en adelante
tasa de mora sobre capital del 4% trimestral vencida. Suponga que el comer- se pide determinar el saldo del inversionista al cabo de cinco años. '
ciante no cancela en sus fechas correspondientes las cuotas a capital (pero
sí los intereses corrientes) de los trimestres 5o. y 60; como consecuencia al 6.22 Usted recibe hoy un préstamo de $ 2 millones de ~~a entidad financiera
final del 60. trimestre debe cancelar además de los intereses corrientes, los comprometiéndose inicialmente a cancelarlo con cuotas mensuales variables'.
intereses de mora equivalentes a los dos trimestres en mora y el saldó se le El primer mes debe cancelar una cuota de$ 38.000 y a partir de esa fecha
refinancia por el resto de tiempo en cuotas iguales de amortización a capital. las cuotas aumentarán en el 3% cada mes. Si al cabo de dos años y medio
Se pide hacer la tabla de amortización y el diagrama de flujo de caja para usted quiere cancelar el saldo existente en esa fecha, antes de pagar Ja cuota
valores totales. correspondiente, se pide calcular el valor de ese pago si la tasa de interés
es del 33,6% nominal mensual.
6 .18 Resolver el problema (6-15) si la tasa de interés es del 36% nominal semestral
durante los dos primeros años y del 41 % anual de allí en adelante. 6.23 Usted obtiene hoy un préstamo de $ 7 millones de parte de una entidad
financiera, para ser cancelados en un plazo de cinco años con cuotas men-
6 .19 En la información que suministra un banco comercial sobre un crédito para suales que aumenten en el 4% cada mes. Al cabo de tres años usted solicita
personas naturales, se encuentran textualmente los siguientes datos: a la entidad acreedora que el saldo en esa fecha, después de cancelar Ja
Monto del crédito: desde$ 500.000 hasta$ 6'000.000 . cuota correspondiente, le sea refinanciado a dos años y medio en cuotas
Plazos: 12, 18, 24, 36 meses. trimestrales iguales. Si la tasa de interés que usted paga por el crédito es
AMORTIZACIONY SALDOS 233
232
del 35% nominal trimestral durante los dos primeros años Y del 34,5% en un 8% Hacer la tabla de amortización, sabiendo que el interés es del
nominal mensual de allí en adelante, se pide hallar el valor de las cuotas 30% nominal trimestral.
correspondientes a la refinanciación.
6. 29 U na determinada deuda, se sabe que se está amortizando conpagos mensuales
6.24 Una empresa recibe hoy $ 4,5 millones en calidad de préstamo por parte de tal manera que cada pago, a excepción del último, amortiza$ 3.500 a
de un banco comercial. Esta deuda se debe cancelar en cuotas mensuales capital, el plazo es de 5 meses, el saldo al final del tercer mes es de$ 28.700
iguales durante cuatro años. La empresa a su vez obtiene unas utilidades y la tasa de interés es del 3% mensual. Con estos datos, ¿es posible construir
mensuales de $ 235 .000 por concepto de la venta de sus productos; c?n Ja tabla de amortización?
estas utilidades se cancela cada mes la cuota al banco y el resto. se deposita
en una cuenta que paga un interés del 2,5% mensual. Hallar los saldos en 6. 30 Un activo de contado vale $ 1,5 millones, se adquiere a crédito para ser
el banco y en la cuenta de ahorros dentro de tres años, sabiendo que el cancelado así: cuota inicial el 35% del valor de contado y el resto financiado
banco cobra un interés por el préstamo del 39% anual. a 30 cuotas mensuales iguales cancelando la primera dentro de cuatro meses
y con un interés del 3% mensual. Una vez cancelada la cuota número quince,
6.25 Una deuda estaba pactada a ser amortizada en 24 cuotas mensuales de se solicita que el saldo sea refinanciado en 20 cuotas mensuales iguales y
$ 28.000 cada una y un interés del 3% mensual. Una vez cancelada la una tasa de interés, para la refinanciación, del 3 ,5% mensual. Hallar el valor
décima cuotá, el deudor, por razones personal~s, deja de ca~cela.i: las tres de estas nuevas cuotas.
cuotas siguientes.'por esta razón el acreedor aplica una tasa de mteres, sobre
saldos y durante estos tres meses, del 3,6% mensual ~ a s~ vez ~l nuevo 6. 31 Se está cancelando una deuda de $ 73. 000 mediante una serie de pagos por
saldo, o sea el existente al final de los tres meses, lo refinancia a seis cuotas mes anticipado donde cada pago es igual al del mes anterior disminuido en
iguales por mes vencido y un nuevo interés del 3% mensual. Hallar el valor un 5%. Si la deuda está pactada para ser amortizada con 15 pagos, hallar
la composición del pago No. 12, sabiendo que la tasa de interés es del 28%
de cada una de estas nuevas cuotas.
nominal mensual.
6.26 El plan para cancelar una deuda contemplaba el pago de 25 cuotas men~uales
anticipadas de$ 10.645 cada una. Pero una vez cancelada _la cuota nu_mero 6.32 Una compañía urbanizadora vende una casa con una cuota inicial de
trece se decide refinanciar el saldo en 20 cuotas mensuales iguales debiendo $ 830.000 y el resto financiado a 15 años con cuotas mensuales, siendo la
cancelar la primera de estas cuotas tres meses más tarde. Si la tasa de int~rés primera de $ 135.000 y de aquí en adelante cada cuota se reajusta en el
es del 2% mensual durante el primer año y del 2,5% mensual de alh en 1 %. Si la tasa de interés es del 3% mensual, hallar el derecho que sobre la
adelante hallar el valor de cada una de estas últimas cuotas. casa tiene el comprador al final de S años, y el derecho que la compañía
' tiene sobre la casa al final. de 12 años.
6.27 La empresa donde usted presta sus servicios como asesor financiero, obtiene
un préstamo de una corporación por valor de $ 1 O millones para ser cance- 6. 33 Usted solicita un préstamo a una entidad financiera. ~or $ 30 millones com-
lados en un período de seis años en cuotas mensuales que a~ment~n cada prometiéndose a cancelar la deuda en un plazo de 1 O años y con un interés
mes enel l ,8%. La corporación cobra un interés del 33% nommal tnmestral del 30% nominal trimestral. Las cuotas son mensuales y aumentarán cada
durante los tres primeros años y del 34% nominal mensual de allí en adelante. mes en el 1,5%. Al cabo de 4 años usted solicita que el saldo en esa fecha,
Si al cab~ de cuatro años y medio usted solicitó que el saldo existente en una vez cancelada la cuota correspondiente, le sea refinanciado a 8 años
ese momento le sea refinanciado a 30 cuotas mensuales iguales y la corpo- con cuotas mensuales que aumenten cada mes en 1,6%. Determinar en qué
ración acepta su solicitud pero le cobra un interés del 3 ,3% mensual para porcentaje varió la cuota del mes 49 respecto a la del mes 48.
esta refinanciación, se pregunta: ¿de cuanto debe ser cada una de estas
6.34 Una empresa recibe hoy $ 1.000.000, en calidad de préstamo por parte de
nuevas cuotas?
un Banco Comercial. Esta deuda se debe cancelar en cuotas iguales mensuales
6.28 Se tienen dos pagarés por valor de$ 55.000 el primero, para s~r cancelado durante 3 años. La empresa a su vez tiene ingresos de $ SO. 000 mensuales,
1 1 dentro de un año y por $ 72.500 el segundo a 2 años y medio. Se desea por concepto de la venta de su producto. Con estos ingresos se cancelan las
sustituir esta deuda por su equivalente en una serie de 6 pagos mensuales, cuotas al banco y el resto se deposita en una cuenta de ahorros que abona
de tal manera que cada uno de ellos sea igual al del mes anterior disminuido el 3% mensual. Hallar el saldo de la empresa en el Banco dentro de 2 años
AMORTIZACION Y SALDOS
235
y el valor total acumulado en la ~uenta de aho~os e~ la misma fecha sabiendo

que el banco cobra un interés del 36% nommal tnmestral. en todas las cuotas, el interés del crédito es del 33% nominal mensual
(vencido). Hallar el valor total de la cuota No. 15.
6.35 Un estudiante universitario recibe un préstamo, por parte de una entidad
oficial, que consta de 10 pagos iguales cada año, durante los mese~ de 6.39 Una o~ligació~ que consta ~e 30 pagos iguales por mes anticipado se decide
febrero a noviembre y durante los 5 años de estudio de la carrera. El pnmer amortizar mediante una sene de 36 pagos por mes vencido de tal manera
que sean de la siguiente forma: '
año recibe $ 10.000 por mes,. después cada año se incrementa _el ~0%.
Durante este tiempo, la institución cobra el 1,5% mensual. Una vez fmahzada
la carrera, el nuevo profesional debe empezar a am_ortizar la deuda.~on~,agos Primer pago = $ 200 = 2 (100)
mensuales iguales y durante 4 años. S.i para el tiempo_ de amoruzacion la Segundo pago $ 500 = 5 (100)
tasa de interés es del 2,5% mensual, hallar el saldo existente al cabo de 3 Tercer pago = $ 1000 = 10 (100)
años de estar amortizando la deuda. n-ésimo pago = (n2 + 1) (100)
6.36 Para el problema (6-35) hallar la composición de la cuota número 35 de Sabiendo que la tasa de interés es del 2% mensual, ha1lar el valor de los
amortización. pagos· iguales iniciales.
6.37 Este problema se debe realizar en el computad~r, y consiste en hacer las 6:4.0 Si Ud. no ton:iara el crédito del problema (6-38), entonces podría ahorrar
tablas de amortización de un crédito por $ 1 O millones de pesos y un plazo cada mes el dinero correspondiente a los intereses que dejaría de cancelar
de 3 años con cuotas trimestrales y planes diferentes así:
por no tomar el préstamo. Si estos ahorros ganan el 30% nominal mensual
¿cuánto tendrá acumulado al final de los dos años? '
a) Cuotas uniformes proyectadas para los 3 años, sin embargo al cabo de
un año se hace un pago adicional equivalente al 20% del saldo en esa 6.41 Resolver el problema (6-38) si la tasa de interés es del 32 5% nominal
fecha, el nuevo saldo se debe refinanciar en cuotas uniformes por el resto mensual anticipada. '
del tiempo. La tasa de interés es del 10,5% trimestral.
b) Cuotas iguales durante el primer año y de allí en adelante aumentarán en 6.42 Ud. solicita un préstamo a un banco comercial por valor de $ 6 millones
el 8% cada trimestre. La tasa de interés será del 42% anual. con la condición. de ser can~elados en un plazo de tres años y cuotas trimes-
e) Cuotas iguales durante el primer año y medio y a partir de allí las cuotas trale~ que _amorticen el capital en cantidades iguales y un interés del 34%
disminuirán en el 10% cada trimestre. La tasa de interés será del 36% no~al tnmestral. Al cabo de dos años de ud. estar amortizando la deuda,
nominal mensual. sohc~t~ al ban~o que el ~aldo le sea refinanciado a 24 meses con cuotas que
también amorticen a capital cantidades iguales y un interés del 30% nominal
d) Cuotas que aumentan el 9% cada trimestre durante el primer año y de
me~s.ual antici~ado. Determinar la cuota total cancelada un año después de
allí en adelante permanecerán constantes. La tasa de interés será del 39%
recibido el prestamo y la cuota total cancelada un año más tarde de la
anual . refinanciación.
•
e) Cuotas iguales durante los 2 primeros años y luego aumentarán en
$ 50. 000 cada trimestre. La tasa de interés será del 35% nominal mensual. 6.43 Un ganadero obtiene un crédito por parte de una institución bancaria sernio-
ficial con el fin_ de aumentar su producción en el campo. El crédito es por
f) Cuotas que disminuyan en $ 100.000 cada trimestre durante el primer
valor de $ 20 rmllones y las condiciones estipuladas en el documento firmado
año y luego permanezcan constantes. La tasa de interés será del 38,5% por las J?artes, son las siguientes:
nominal trimestral.
a) Plazo total de seis años de los cuales los dos primeros son años de gracia.
6.38 Un banco Je presta a usted, la suma de$ 5 millones hoy para ser can~e~ados b) Interés del 29% nominal trimestre anticipado.
en un plazo de dos años, con cuotas mensuales. Dentro de las cond1c1?nes
e) Durante los dos años de gracia solamente· se cancela los intereses.
del crédito están las siguientes: la amortización a capital debe ser la nusma
d) Las cuotas de amortización a capital son trimestrales vencidas e iguales.
AMORTIZACION y SALDOS
237
e) En caso de mora en una cuota se cobrará un interés de mora sobre el
saldo de capital del 3% trimestral vencida. Si el señor ganadero en la 6.50 Resolver el problema anterior suponiendo que 1
. l d - as cuotas mensuales son
sexta cuota de los cuatro últimos años, sólo canceló intereses, se pregunta: rgua es urante el ano y se incrementan en el 9,5% cada año.
¿cuál debe ser el desembolso total que debe hacer en el séptimo de estos
trimestres para volver a quedar dentro del plan original de financiación? 6.51 Un señ~r obtiene un crédito d~ una Corporación de Ahorro Vivienda
$ 10 millones para ser amortizados en un plazo de 15 _Y . por
mensuales variables que aumenten cada mes e anos, con cu~t~s
6.44 En el problema anterior, supóngase que en el séptimo trimestre de los cuatro
últimos años, el ganadero además de pagar la cuota total determinada en el ~~bra:n ;ter~s d:l 9 ,5% anual y una corrección 1:n~~~~
ca o e seis anos, el deudor hace un abono d. . 1 1
d~~~~~o~~~~n
.
problema anterior, decide hacer un abono a capital por valor de un millón
pondiente, por valor de $ 4 millones soli 't a rciona a a cuota corres-
de pesos y que el resto le sea refinanciado en el tiempo que falta también
con cuotas de pagos iguales a capital y la misma tasa de interés del problema refinanciado por el resto de tiempo baj~ las :~~~ec~~~~f ;~e:aldo ~e sea
anterior. Determinar la cuota total a cancelar nueve meses más tarde de la Calcular el saldo pendiente tres años antes de finalizar el pl antenores.
azo.
refinanciación.
6.45 Una corporación de Ahorro y Vivienda le otorga a usted un préstamo por

valor de $ 5 millones para ser cancelados en diez años con cuotas mensuales
que aumenten en el 1 % cada mes. La corporación cobra un interés del 6 ,5 %
anual y una corrección monetaria del 23,5% anual.
Determinar el saldo al cabo de cuatro años.
6.46 Una persona adquiere hoy un préstamo de una corporación de Ahorro y

Vivienda por valor de$ 10 millones para ser cancelados en un plazo de 15
años con cuotas mensuales que sean constantes durante el año pero se
incrementen en el 12% cada año. La tasa de interés es de 6,5% anual y la
corrección monetaria del 27 ,5% anual; determinar el valor de las cuotas
mensuales uniformes del primer año.
6.47 En el problema anterior determinar el saldo a cargo del deudor al cabo de

ocho años y cinco meses, una vez cancelada la cuota correspondiente.
6.48 Una corporación de Ahorro· y Vivienda le concede a usted un préstamo por

valor de $ 8 millones para ser cancelados en un plazo de doce años con
...
cuotas mensuales que aumenten cada mes en el 0,85%. Si la tasa de interés
es der 8% anual y la corrección monetaria es del 24,5% anual, se pide
determinar la composición (interés y abono a capital) de la cuota No. 106.
6.49 Una corporación de Ahorro y Vivienda le otorga a usted un crédito hoy por
valor de $ 6 millones para ser cancelados en un plazo de 12 años con cuotas
mensuales que aumenten en el 0,95% cada mes. La tasa de interés será del
7 ,5% anual y la corrección monetarias se estima en el 24% anual durante
los cinco primeros años y del 26% anual de allí en adelante. Usted debe
determinar el saldo que tendrá pendiente con la corporación al cabo de siete
años.
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CAPITULO 7
VALOR PRESENTE NETO
(VPN)
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CAPITULO 7
VALOR PRESENTE NETO

(VPN)
Fii
7.1 INTRODUCCION
Como sabemos, la Matemática Financiera es uno de los requisitos técnicos para

la Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión, y dentro de los métodos más
FI utilizados para esta clase de evaluación están los del valor presente neto (VPN),
costo anual uniforme equivalente (CAUE) y tasa interna de retomo (TIR).
El objetivo de este capítulo es calcular, y aplicar el método de valor presente

neto en algunos casos prácticos sencillos, de tal manera qué el lector domine los
~ conceptos básicos de este método o criterio para luego ampliarlos cuando curse
f:=I.
la asignatura de Evaluación de Proyectos.
• Definición 7 .1
Fii) Dado el flujo de caja de un proyecto o alternativa de inversión, se define su valor

presente neto (VPN) como:
VPN = VP(I ) - VP(E)
~ donde
VP(I) : Valor presente de los ingresos
VP(E) : Valor presente de los egresos
~
li=I
VALOR PRESENTE NETO (VPN) 243
242 . MATEMATICAS FINANCIERAS
1'300.000
Como podemos darnos cuenta, para calcular _el valor p~esente ne~o debemos
conocer: a) el tiempo de duración del proyecto o alternativa conocido como la
--- --- ---

vida útil, b) el flujo de caja, es decir, los ingresos y egresos en el tiempo, e) la
tasa Je descuento o tasa de oportunidad que puede ser constante o variable, d)
en algunos casos el valor de mercado del proyecto, que corresponde al valor
comercial o ingreso que se. obtiene al final de la vida útil del proyecto y e) la
-· ---. -- ----------------
245.000 --------
Matemática Financiera necesaria para calcular tanto el VP(l ) como el VP(E). k = 4%
El VPN del flujo de caja de un proyecto representa el valor equivalente en pesos

de hoy de todos los ingresos y egresos que tengan lugar durante la vida útil del
proyecto. De aquí la interpretación financiera que tiene el VPN de un proyecto. G = 5.000
\
--- -------
H=I
95.000--
Si VPN > O, significa que llevar a cabo ese proyecto, se obtendrá una utilidad --- --- ---
--- -----
------ --
· que medida en pesos de hoy, es igual al valor dado por el VPN de un proyecto.
Si VPN < O, significa que llevar a cabo ese proyecto, se obtendrá una pérdida 3'000.000
que medida en pesos de hoy es equivalente al valor dado por el VPN. La tasa. de descuento mensual será· del 2,6% mensual equivalente al 36,07%
anual, y así se tendrá que:
Si VPN =O, significa que en ese proyecto no .se obtendrá pérdida ni ganancia.
7.2 CRITERIO DEL VPN PARA UN SOLO PROYECTO

VP(l) = 245.000
-----
0,026 - 0,04
~ - (1,04
l,026 )2 J + 1'300.000(1,3607)-2
Cuando se está evaluando un solo proyecto, el criterio del valor presente neto se
aplica, según la teoría generalizada, de la siguiente manera: $ 7'429.237
i) Si VPN > O, entonces el proyecto es aceptable. VP(E) = 3'000.000 + 95.000 (PIA, i,6%, 24) + 5.000. (P/G, 2,6%, 24)
= $ 5'589.473
ii) Si VPN <O, entonces el proyecto no es aceptable.
Por lo tanto se tendrá que:
iii) Si VPN = O, entonces 'es indiferente aceptarlo o no. . .•
VPN = $ 7'429.237 $ 5'589.473 $ 1'839.764
Ejemplo 7.1
Esto quiere decir que llevar a cabo el proyecto equivale a tener una utilidad de
Un proyecto-consiste en una inversión hoy por $ 3 millones y costos mensuales $ 1'839.764 en pesos de hoy.
de $ 95.000 el primer mes y aumentarán en $ 5.000 cada mes. Los ingresos se
estiman en$ 245 .000 el primer mes y aumentarán en el 4% cada mes. El proyecto 7.3 CJUTERIO DE VPN PARA DOS O MAS PROYECTOS
tendrá una duración de dos años con un valor de mercado de$ 1 '300.000 al cabo
de este tiempo; si Ja tasa de oportunidad del inversionista es del 36,07% anual, Dadas dos alternativas de inversión o proyectos Ay B, para compararlos o evaluar-
determinar, utilizando el criterio del VPN, si es rentable o no el proyecto. los con el criterio del VPN, debemos tener en cuenta los dos casos siguientes:
Solución i) Si ambos proyectos tienen vidas útiles iguales.
El diagrama del flujo de caja es el siguiente: i) Si los proyectos tienen vidas útiles diferentes.
2'950.000
Cuando los proyectos tienen vida útiles iguales, el método del VPN se aplica de . .... .....
320.000
la siguiente manera: ..... ....
..... .... .... .. __
a) Tomar un ciclo de vida útil para cada proyecto y registrar los correspondientes
flujos, de caja. - .. -- -------- - ---------- ... ~
b) Calcular el VPN para cada proyecto, sean VPN(A) y VPN(B) los valores presen- k '= 3%
o 2
tes netos de A y B respectivamente. i-----t-----t---------------------~---·=---~·~--~·~----118
e) Comparar los valores presentes netos y de allí deducir cuál es el mejor. Esta
comparación y elección se hace así: -----:------ -- - - ---- --- ---------.- - - - -- -
80.000
Si VPN(A) > VPN(B), se escoge el proyecto A.
Si VPN(A) < VPN(B), se escoge el proyecto B.
Si VPN(A) = VPN(B), es indiferente la elección. .4'000.000
Con una tasa de descuento del 2,72% mensual, equivalente al 38% anual, el valor
Sin embargo, se debeadvertir que la comparación y decisión expresada en e), ¡.............. presente neto de este proyecto es: ·
corresponde a la forma un poco literaria de aplicación de este criterio, porque en
lJ
Ffl
la práctica se pueden encontrar casos donde la relación sea cualquiera de las VPN(A) =
320.000 11 - (_ 1 - 0,03)
indicadas en e) y, sin embargo, la decisión sea la de no tomar ninguno de los
proyectos. La profundización en estos temas corresponde a la Evaluación de
0,0272 + 0,03 C \. 1,0212
Proyectos propiamente dicha. + 2'950.000(1,0272)-18- 4'000.000~80.000(P/A,2,72%,18) = $ 292.858
Ejemplo 7.2
Se tienen dos proyectos de inversión A y B, con la siguiente información: El

proyecto A requiere de una inversión hoy por valor de $ 4 millones, gastos
mensuales de $ 80.000, ingresos de $ 320.000 el primer mes y disminuirán en
el 3% cada mes, una vida útil de un año y medio y un valor de mercado de
·~ El diagrama del flujo de caja del proyecto B es:
---------- -- ---- 450.000
---- - - - -- - --------- -- - -
$ 2'950.000. - o ¡. . 2' •
~ t----'--T~--+----------------=------.!·~--~·------~----~---l18
El proyecto B requiere de una inversión hoy de $ 5 millones, gastos mensuales
de $ 40. 000 el primer mes y aumentarán en $ 3. úOO cada mes, ingresos· de
$ 450.000 mensuales, un valor de· mercado nulo y una vida útil de un año y -- .. ---- G 3.000 =
medio. Si la ta~a de oportunidad del inversionista es del 38% anual, seleccionar 40.000 --
--- -- --- ---
el proyecto más rentable.
---- -- --- .......
Solución
-- - - --- ---
. 5'000.000
El flujo de caja del proyecto A es el siguiente:
Con la tasa del 2,72% mensual, el valor presente neto de este proyectó es:
VPN(B) = 410.000(P/A,Z,72%, 18) - 5'000.000 - 40.üOO(PIA,2,72%, 18)

- 3.000 (PIG, 2,72%, 18) = $ 446,016
246
Como VPN(B) > VPN(A), entonces se concluye que el mejor proyecto es B con VPN1 300.000 (PIA, 3%, 24) + 1'500.000 (1,03)~24 - 5'000.000
$ 818.563
el cual se obtiene una utilidad de $ 446. O 16 en pesos de hoy.
Como este valor de$ 818.563 se repite para cada uno de los dos ciclos siguientes,
Cuando los dos proyectos tengan vidas útiles diferentes, el problema tiene varias
tenemos que el VPN(A) estará dado por
formas de solución.
a) Sean A y B dos proyectos con vidas útiles diferentes. Si en cada ciclo d~ ~ida
VPN(A) = 818.563 + 818.563(1,03)~24 + 818.563(1,03)~48 = $ 1'419.333
útil de cada proyecto, el flujo de caja se repite, entonces ~e toma el m~mmo
Para la máquina B tenemos que el VPN del primer ciclo de vida útil es:
común múltiplo de las vidas útiles y en este tiempo se registran los flujos de
caja de cada proyecto, se hallan VPN(A) y VPN(B) y se comparan como en el
caso anterior. VPN1 = 300.000 (PIA, 3%, 36) + 5.000 (PIG, 3%, 36)
+ 2'000.000 (1,03)~36 -8'000.000 = $ 808.254
b) Cuando los flujos de caja no se repiten en los ciclos de vida útil, un método
es prolongar el ciclo menor hasta igualarlo con el mayor, o acortar el de mayor
duración hasta igualarlo con el menor. Este método requiere de otros conceptos Como este valor de $ 808. 254 se repite para el segundo ciclo de vida útil, entonces
de materias tales como Mercados, Finanzas, Estadísticas, etc., que están fuera tenemos que el VPN(B) estará dada por:
del contenido dé este libro.
VPN (B) = 808.254 + 808.254 (1,03)~36 = $ 1'087.128
Ejemplo 7.3
Usted debe asesorar a una empresa en la adquisición o no de una de las máquinas Ahora bien, como VPN(A) > VPN(B), se debe seleccionar o escoger la máquina
A y B cada una de las cuales produce el mismo artículo pero tienen vidas de A, y esto significa que al escoger esta máquina, se obtendrá una utilidad por un
servicio diferentes. Los flujos de caja son los siguientes y la tasa de descuento tiempo de 6 años y que en pesos de hoy equivale a$ l '419.333, superior a la
es del 3% mensual. que se lograría con la máquina B por el mismo tiempo.
1
Ejemplo 7.4
A B
Suponga que en el ejemplo 7.3, después de un estudio de estimación de los flujos
Costo inicial $ 5'000.000 $ 8'000.000 de caja para los ciclos de vida útil futuros para cada alternativa, se ha llegado a
Beneficios mensuales $ 300.000 $ 300.000 la siguiente conclusión: para la máquina A los costos se incrementan cada ciclo
$ 305.000 de vida útil en el 25% y los beneficios e ingresos en el 2oo/o,
y para la máquina
.
$ 310.000 B los costos se incrementan en el 18% y los beneficios e ingresos en el 25% .
.. Bajo estas condiciones seleccionar la mejor alternativa .
• $ 2'000.000
Solución
Valor de mercado $ l '500.000
Vida útil (años) 2 3 En est~ caso, el flujo de caja de un ciclo ya no se repite en el ciclo siguiente
para nmguna de las alternativas.
Supóngase que el flujo de caja se repite en cada uno de los ciclos de vida útil de
cada proyecto. C~mo complemento del ejercicio, el lector debe hacer el diagrama de flujo de
cap en cada una de las alternativas, en el período de 6 años. .
El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6; entonces tomamos un tiempo de 6 años
para el estudio de cada alternativa. Para la máquina A tenemos que el VPN del Aquí es necesario calcular el VPN de cada uno de los ciclos de vida útil para las
primer ciclo de vida útil es: dos alternativas.
Se debe tener en cuenta que para esta clase de proyectos el valor que se calcula
Para la máquina A tenemos:
como VPN es solamente un estimativo dada la dificultad real para la proyección
VPN1 = $ 818.563, en el punto cero.
tanto del flujo de caja como de la tasa de descuento, por esta razón un método
utilizado frecuentemente es el de hacer evaluaciones periódicas.
VPN2 =360.000 (PIA, 3%, 24) + l '800.000 (1,03)-24 ~ 6'250.000 =
$ 732.275, en el punto 24. Ejemplo 7.5
VPN3 =420.000 (PIA, 3%, 24) + 2'160.000 (1,03)-24 - 7'812.500 = .Un proyecto consiste en. la construcción, mantenimiento y uso de un pequeño
edificio para oficinas cuya vida útil se estima a tiempo indefinido y el flujo de
$ 566.231 en el punto 48.
caja es aproximadamente el siguiente:
Así que el valor presente neto de la alternativa A será:
El costo del terreno es$ 35 millones, el costo de construcción de$ 185 millones,
VPN(A) = 818.563 + 732.275 (1,03)-24 + 566.231 (1,03)-48 el mantenimiento anual es de $ 8 millones el primer año y se incrementará en
$ l millón por año de allí en adelante, los ingresos serán de $ 55 millones el
= $ 1 '315.821
primer año y se incrementarán en un 20% anual aproximadamente, la tasa de
Para la máquina B tenemos: oportunidad del invérsionista se estima en un 33% anual. Bajo estas condiciones
determinar el valor presente neto o costo capitalizado.
VPN1 = $ 808.254 en el punto cero.
Solución
VPN2 = 375.000 (PIA, 3%, 36) + 6.250 (P!G, 3%, 36) + 2'500.000 (1,03)-36
-9'440.000 = $-1'570.318 en el punto 36. El diagrama del flujo de caja es el siguiente: donde los valores están en millones
de pesos.
Así que el valor presente neto de la alternativa B será:
VPN(B) = 808.254 + 1'570.318 (1,03)-36 = $ 1'350.064
Ahora bien, corno VPN(B) > VPN(A), se debe seleccionar la máquina B.
Como se puede observar a partir de los ejercicios (7. ~) y (7 .4), la decisi~n puede ---------
55 --------- --- ---
k = 20%
cambiar dependiendo de las condiciones que determinen el comportamiento d~l
flujo de caja de cada alternativa. El estudio de este tema corresponde a la matena o 2 3 • • •
"Elaboración o Preparación de Proyectos".
G = 1
7 .4 COSTO l:APITALIZADO
g----
'
9---.
----- ---- ----
J _
--- -------- ---

Definición 7 .2 '
Se llama costo capitalizado el valor presente neto del flujo de caja de un proyecto
de vida útil perpetua. 220
En la práctica, cuando un proyecto, tiene vida útil indeterminada, se considera Como la serie de ingresos anuales forman un gradiente geométrico perpetuo y.
que pueda funcionar a perpetuidad, se hace estimativo y proyecci~n del fluj?,de · l~s egresos un gradiente aritmético perpetuo, aplicando las fórmulas correspon-
caja y se calcula el costo capitalizado o valor presente neto para su evaluación. dientes a estas clases de series variables, tenemos: ·
--,1.

MATEMAT.ICAS FINANCIERAS
250
VPN=
55
- 220 -
1
0,33
~ +
1
0,33
d = $ 169,5 millones
PROBLEMAS
0,33 - 0,2
7 .1 Una comparua editorial tiene dos máquinas que tienen un costo de
Es decir, que este proyecto da una utilidad que medida en pesos de hoy, equivale $ 3'700.000 y que se deben reemplazar cada 8 años al mismo costo. La
compañía desea sustituir estas dos máquinas por una sola de otro modelo
a $ 169 ,65 millones.
que tiene: el mismo rendimiento de las dos anteriores y que tiene una vida
Cuando se trate de dos 0 más proyectos a término indefinido, para su ev~lu~ción útil de 12 años. Hallar la suma de dinero que la compañía debe pagar por
selección por el método del VPN, simplemente calculamos·el costo capitalizado esta nueva máquina para que le sean indiferentes las dos alternativas, sabiendo
~ara cada uno de ellos y se hace la ~omparac~ón ~~tre. e_stos valores en forma que la nueva máquina se puede adquirir al mismo precio cada 12 años y
similar al caso de proyectos o alternativas de vida útil finita. que el dinero rinde el 30% nominal trimestral.
Cc-c...l\c.-l,.J <a.. ~nÍiv,~i,c...o f cr-r~\,.)o 7.2 Resolver el problema.? .1 sabiendo que el precio de las primeras máquinas
r7 -1l í 1\ ~ ~ 1
se aumenta en$ 300.000 cada 8 años y el de la segunda máquina se aumenta
A
en un 45% cada 12 años.
7.3 Seleccionar el mejor activo entre A y B si tienen el siguiente flujo de caja

- l y una tasa de descuento del 3% mensual:
6.-c..~tt~Tc. Ge';>mZ"f \'"{e..() r-:.:.rrcT~o A Activo A: costo inicial de$ 600.000, costo mensual de mantenimiento de
$ 20.000 el primer mes y se incrementará en el 3% cada mes, ingresos
\
~ ~\ t » K. mensuales de$ 55.000, valor de mercado de$ 380.000 y una vida útil de
3 años.
? :;
\..- K
Activo B: costo inicial de$ l '000.000, costo mensual.de mantenimiento de
$ 15.000 el primer mes y luego aumentará en $ 1.000 cada mes, ingresos
t\ a t. YI .i\e
t/ L e: K mensuales de$ 90.000, valor de mercado de$ 550.000 y una vida útil de
3 años.
7.4 Resolver el problema (7.3) suponiendo que el activo A tenga una vida útil
de dos años y el activo B una vida útil de dos años y medio.
7.5 En el problema (7.3) suponga que la tasa de descuento es del 3% mensual

durante el primer año y del 3,6% mensual de allí en adelante .
•
l=f'
7.6 El dueño de un supermercado desea seleccionar entre dos clases de carros-ca-
nastas para ser utilizados por los clientes del supermercado donde depositan
los artículos y los transportan hasta las cajas registradoras. El de la clase A
tiene un costo de$ 32.000 cada uno, se le deben cambiar las cuatro ruedas
cada año a un costo de $ 1.200 cada una, tiene una vida útil de 6 años y
un valor de mercado de$ 8.000. El de la clase B tiene un costo de$ 38.000
cada uno, se le deben cambiar las cuatro ruedas cada dos años a un costo
de$ 1.500 cada rueda, tiene una vida útil de 8 años y un valor de mercado
de$ 12.000. La tasa de descuento será del 32% anual.
l
7-1
1

252
La segunda clase consiste en escritorios movibles con un costo inicial de

Resolver el problema (7 .6) suponiendo que la tasa de descue~to sea del 32%
7·7 $ 1 '400.000, mantenimiento mensual por valor de$ 6.000, reparación cada
anual durante los 15 primeros años y del 3.6% anual de allí en adelante.
año por$ 80.000 cada una, una vida útil de 10 años y un valor de mercado
de$ 400.000.
7 6) ·cuál debería ser el valor de mercado del carro-can~sta
7.8 E ne l pro bl em a ( · • l · dif t cualquiera La tasa de oportunidad de la universidad es del 36% anual.
de la clase A, para que al dueño del supermercado 1e sea m 1 eren e
de las dos clases de carros? 7 .13 Resolver el problema (7 .12) suponiendo una tasa de oportunidad del 36%
anual durante los 10 primeros años y del 40% anual de allí en adelante.
7.9 Una compañía dedicada a la construcción de casas está decidiendo. e.ntre
comprar una máquina mezcladora o tomarla en arrien~o. Para adquirir la
máquina en compra debe invertir hoy la suma de $ 2 millones Y un mante- 7. 14 Una fábrica de zapatos puede comprar una máquina cosedora con una cuota
nimierito mensual de $ 50.000 durante el primer año, $ 60.000 mensuales inicial de $ 455.000 que equivale al 30% del valor de contado y el resto
durante el segundo año y continúa aumentando $ 1O.000 mensuales cada financiado a 30 meses con cuotas mensuales iguales y a un interés del 3.2%
año. Se estima una vida de servicio de 6 años y un valor de merca~o de mensual sobre saldo, el costo mensual de mantenimiento de las máquinas
$ 1 millón al final de este tiempo. Por otra parte se puede tomar en amendo es de $ 18.000, requiere de una reparación a los 4 años por valor. de
la mezcladora con un costo de $ 120. 000 mensuales el primer año, $ 140 · 000 $ 160. 000, tiene una vida útil de 6 años y un valor de mercado de $ 680. 000;
durante el segundo año y continúa aumentando $ ~O.O?O mensuales c.ada además se obtienen unos ingresos mensuales de $ 80.000.
año. Seleccionar la mejor alternativa con una tasa de mt~res d~l 28% nomma~ También existe la posibilidad de tomar una máquina en arriendo por el
mensual durante los tres primeros años y del 32% nominal trimestral de allí mismo tiempo de 6 años y donde se deben pagar: unos arriendos así:$ 32.000
en adelante. mensuales el primer año y luego aumentará en$ 4.000 cada año, los ingresos
mensuales serán iguales a los de la primera máquina. Determinar la alterna-
7 10 En el problema (7 . 9), ¿de cuánto debería ser el arriend~ me~sual de la
1 tiva mejor para una tasa de descuento del 30% nominal mensual.
· mezcladora en el primer año para que continu~do con el mismo mcrer:nento
anual, le sea indiferente a la compañía cualquiera de las dos alternativas? 7 .15 Un horticultor desea determinar el cultivo más rentable entre uno de zanahoria
y uno de remolacha, en un terreno de 5 hectáreas de extensión.
7 .11 Un hotel desea sistematizar parte de sus actividades y con tal fin se presentan El cultivo de zanahoria tiene una inversión inicial de $ 10'000.000, costos
dos propuestas: de mantenimiento mensuales por$ 2'000.000, $ 2' 100.000, $ 2'200.000 y
así sucesivamente. La producción en 8 meses se estima en un promedio de
La propuesta A tiene un costo- inicial de $ 3'600.000 y un~s costos de 10 kilos por metro cuadrado, el costo de recolección es de$ 3.000 por cada
asesoría de$ 40.000 mensuales el primer año, luego aumentara en$ 5.000 100 kilos y la zanahoria se vende a razón de$ 180 eJ kilo.
cada año. _ El cultivo de remolacha requiere de una inversión inicial de$ 12'000.000,
La propuesta B tiene -un costo inicial de $ 4'20?.000 y un~s costos de gastos mensuales de mantenimiento de $ 3'000.000, $ 3'100.000,
asesoría de$ 30.000 rnensuales el primer año y se mcrementaran en el20% $ 3'200.000 y así sucesivamente. La producción al cabo de 10 meses se
cada año. estima en un promedio de 8 kilos por metro cuadrado, el costo de recolección
Si el hotel desea utilizar este servicio por espacio de 15 años, seleccionar es de $ 4.000 por cada 100 kilos y se vende a razón de $ 300 el kilo.
la mejor propuesta para una tasa de oportunidad del 34% anual. Seleccionar el cultivo más rentable para una tasa de descuento del 32%
nominal mensual.
7 .12 Una universidad desea seleccionar la más económica de dos clases de escri-
torios para un salón. 7 .16 Resolver el problema (7 .15) suponiendo que el precio de la zanahoria au-
La primera clase consiste en escritorios fijos al piso con_ u~ costo inicial de_ menta cada 8 meses en $ 40 el kilo y el de la remolacha en $ 50 el kilo
$ 2'250.000, costo de instalación de$ 120.000, mantemrmento mensual de cada 10 meses, y con tasa de descuento del 33% nominal mensual durante
$ 10.000, reparación cada 4 años por valor de $ 100.000 cada una, una los dos primeros años y del 36% nominal mensual de allí en adelante.
vida útil de 20 años y un valor de mercadeo de $ 600. 000.
254
La propuesta B requiere de una inversión inicial de $

7 .17 En el problem.a (7 .15) hallar el precio del kilo de remolacha tal que al costos anuales de operación de$ 300 000 _ . 30.000 hoy y unos
A
sean de·$ 600 000 1 · - · por ano, se espera que los ingresos
horticultor le sea indiferente cualquiera de los dos cultivos. . e pnmer ano y aumentarán en $ 40 000 al
el octavo 'año y de allí en adelante perrnaneceran, constantes.
· anu es hasta
7 .18 Una fábrica desea saber qué alternativa le es más favorable entre ampliar
Para la evaluación de las alte ti .
A
sus bodegas o tomar una en arriendo por un tiempo de ocho años. 30% anual. yuna vida útil pe;~;:~ei8~~~~~I~era una tasa de interés del
Si amplía sus bodegas, esto le implica una inversión inicial de$ 12 millones,
un mantenimiento mensual de $ 100.000, reparaciones cada año por valor 7. 22 El dueño de un restaurante desea seleccion 1 . - .
de un millón de pesos cada una y un valor de mercado al final de los ocho comprar una camioneta para trans ortar l ar ª,
mejor alternativa entre:
fFfl
años por valor de $ 15 millones. Si toma en arriendo una bodega debe pagar mercado hasta el restaurante o pagar d. . os artículos desde la plaza de
·bJico. ' ianamente un carro de servicio pú-
la suma de $ 300.000 por mes anticipado el primer año, reajustable en el
18% cada año. La tas-a de oportunidad de la empresa es del 38% anual.
S! compra la camioneta, ésta tiene un costo inicial de $ 3 ill
mensuales de mantenimiento por valor de $ 50 O ~1 ones, costos
7. 19 En el problema anterior, ¿cuál deberá ser el costo mensual del arriendo en por un valor dj$ 150 OOO d . . · 00, reparaciones cada año
· ca a una utilizará la cami t d .
el primer año, para que las dos alternativas sean equivalentes financieramen- años y l_a vende á al cabo de este tiem o . ione a urante crnco
te? puede utilizar vehículos de servicio p~bl~~o$h!~~e~~~ones .. P?r o~ra. parte,
~ plaza (30 días al mes) y pagando$ 3 500 d _ . ~n viaje diario a la
7 .20 Un empleado de una empresa desea determinar _el sistema más económico año, y luego este cost¿ aumentará en eÍ 24efa~:~a ~ vi~e dur~nte el primer
de transporte para asistir a su trabajo durante los próximos tres años. alternativa para una tasa de oportunidad de 1 28,!vo ano .. elec~ionar
nomrnal la mejor
tnmestral.
Un sistema es comprar un carro usado, con una cuota inicial de $ 1,5
millones y tres pagos de$ 850.000 cada uno a 10, 15 y 20 meses. Se supone 7 .23 Usted debe decidir, desde el punto de vista financiero entre:
que el costo de la gasolina aumente en un 23% anual a partir del precio ~
A
· ],
actual de $ 300/galón. Se requiere un galón de gasolina por cada 30 kiló- a) Adquirir un activo con una cuota inicial de$ 480 000 1 . .
metros y se espera que el carro haga un recorrido promedio de 12.000 a 24 meses con cuotas de $ 12.000 eta . y e resto financiado
kilómetros por año. Espera vender el carro al final de los tres años en$ 2,8 operación de $ 15 000 · ca mes, un costo mensual de
\ $ 44 000 , . . ' mgresos mensuales de $ 40.000 $ 42 000
millones.
Un segundo sistema es pagar el transporte en carro de servicio público, y
estima que el costo será de$ 60.000 mensuales el primer año y aumentará
·E=R . y asi sucesivamente un valor d
útil del $ l 0% del valor de co~tad
.
d
º ' .
e .mder~~ al final de la vida
o Y una vr a útil de 5 años.
'
b) To?'1ar en arnendo el activo durante los 5 años con lo . .

arnendo por mes anticipado de $ 85 OOO . , s s1gm:ntes gastos:
un 24% cada año. de $ 120.000 cada d , ·. ' reparaci9y. cada ano por valor
a) Resolver el problema con una tasa de descuento del 3% mensual. una, un eposito de garantía ho 1
~ $. 200.000, cantidad ésta que será devuelta d Y. por ~a or de
b) Determinar, al final de los tres años, cuánto habrá ahorrado el empleado mgresos mensuales son los mismos del caso ªentro de cmco anos ". Los
al elegir el sistema más económico. que se toma para la selección de las altemativ~~L esadtealsa3d5em:oportumdad
. 10 mensual.
~
• jefe de la oficina de Planeación y Recreación de una ciudad,
7. 21 Usted como
7. 24 El jefe de compras de un almacén debe decidí
debe decidir entre dos propuestas para la construcción y administración de La máquina clase A se ad uiere con u r e~t~e.dos clases de máquinas.
contado y el resto financiado a 30 na cuota inicial del 35% del valor de
un parque recreacional.
La propuesta A requiere de una inversión inicial de $ 25 millones hoy y un
~
la primera y luego aumentarán en
d d
~~~e; condcuotas mensuales de$ 30.000
·10 ca a mes Esta máquina d b
costo de ampliación por valor de $ 1 O millones dentro de diez años; se prevé repara a ca a dos años a un costo de $ 200 000 . da . . . , e e ser
que los costos anuales de operación sean de $ 200.000 el primer año, de un costo de mantenimiento de $ 25 000 me . ca reparaeion. Tendrá
$ 240.000 el segundo año, de $ 280.000 el tercer año y así sucesivamente al final de la vida útil del 3091< d 1 . 1 d nsuales y un v~lor de. mercado
útil sea de 5 años. o e va or e contado; se estima que la vida
hasta ei año veinte y de allí en adelante permanecerán constantes. Los
ingresos serán de $ 500.000 anuales durante los primeros quince años y de
allí en adelante aumentarán en $ 50.000 cada año.
\.
VALOR PRESENTE NETO (VPN)
257
La máquina clase B, también tiene una vida útil de cinco años, un valor de
contado de$ 1 '250.000, costos mensuales de mantenimiento así: $ 12.000 eléctriva que tiene una vida útil de tres años un costo . . . l d
el primer mes, $ 13.000 el segundo mes, $ 14.000 el tercer mes y así millones hoy y de$ 3,1 millones dentro de tre ' - micra e $ 2,5
· d $ . sanos, un costo de mantení-
sucesivamente. El valor de mercado al final de la vida útil será de miento e ~º·O?O el pnmer mes y luego aumentará en el 3% mensual
$ 1 '890.000. durante los seis anos, un empleado para operar la máquina con un salario
de$ 85.000 mensuales durante los tres primeros años y de$ 115 000
La selección se hace teniendo en cuenta la tasa de oportunidad del almacén
que será del 2,5% mensual durante los dos primeros años y del 3% mensual su_a11les de allí en adelan~e, ~a máquina tendrá un valor de mercad¿ de
mi ones a los tres y seis anos.
$~ns
'
de allí en adelante.
7. 25 U na fábrica de tejas plásticas afronta el problema de falta de espacio para

almacenar partes de su producción, y en este momento se le presentan dos
La segunda . alternativa es contratar cinco empleados para el ase
c?n un salario mensual de $ 65. 000 para cada uno durante los tres
0
:~~~;s
~nos y de$ 9~.000 mensuales de allí en adelante; los gastos en impkmentos
1
alternativas: tomar en arriendo una bodega, de una fábrica vecina, o cons- e aseo se estunan en $ 200.000 por año anticipado.
truirla en un terreno propio de la fábrica. La construcción de la bodega le
Seleccionar l~ .mejor alternativa con una tasa de descuento del 27% . 1
implicaría una inversión inicial de$ 8 millones, un mantenimiento mensual mensual y utilizando el criterio del VPN. o norrnna
promedio de ~ 25.000 cada mes, reparaciones cada dos años por valor de
$ 100.000 cadauna, y un valor de mercado al cabo de ocho años por valor
de $ 6 millones, impuestos anuales de$ 140.000, $ 150.000, $ 160.000 y
7.28 E? el prodblema anterior, para la segunda alternativa contratando el mismo
numero e empleados con un salario mensual de $ 48 000 d
así sucesivamente. Tomar en arriendo la bodega le implicaría pagar una durante los tre · - · para ca a uno
mensualidad por mes anticipado durante los seis años y un mantenimiento mensu l nif s pn~eros anos, se pregunta: ¿de cuánto deberá ser el salario
mensual de$ 35.000. El arriendo tendrá el mismo valor en los doce meses ª. u orme e cada uno en los tres años restantes ara ue 1 d
alternativas sean financieramente equivalentes? p q as os
de un año pero aumentará cada año en el 20%. El dueño de la fábrica desea
saber cuál sería el valor del arriendo mensual del primer año para que
evaluando las dos alternativas con una tasa del 35% anual, le sea indiferente,
desde el punto de vista financiero, cualquiera de las dos alternativas.
7. 26 Se empieza a construir hoy un pequeño hotel que estará terminado dentro

de dos años y medio y a partir de esa fecha entrará en servicio. La compañía
que lo construye le propone a usted hoy que le compre las utilidades de los
últimos cinco años de servicio debiendo cancelar ese valor en dos pagos
iguales, el primero hoy y el segundo dentro de dos años y medio.
Se estima que las utilidades mensuales en la explotación del hotel serán de
$ 600. 000 mensuales durante el primer año, de $ 550. 000 mensuales durante
el segundo año, de$ 500.000 mensuales durante el tercer año y así sucesi-
- vamente.
a) ¿De cuánto deberá ser cada uno de los pagos que usted cancelará si éstos
se calculan con la tasa de oportunidad de la compañía que es del 36%
anual?
b) Si usted compra estas utilidades cancelando los pagos determinados en.
la parte a), pero su tasa de oportunidad es del 32% anual, determinar
cuál será su pérdida o ganancia al final de los cinco años de servicio del
hotel, ¿compraría o no usted estas utilidades?
7. '27 Para el aseo de un edificio durante seis años, la administración de éste tiene
que decidir hoy entre dos alternativas. La primera es utilizar una máquina
l-1
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R CAPITULO 8
COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE
(CAUE)
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CAPITULO 8
COSTO ANUAL UNIFORME.EQUIVALENTE

(CAUE)
8.1 INTRODUCCION
En el capítulo 7 se estudió el método de evaluación conocido con el nombre de

"valor presente neto". Con él se comparan alternativas de vidas útiles iguales o
diferentes, pero en este último caso cuando el mínimo común múltiplo de ellas
es un número grande, como por ejemplo que dos alternativas que tengan vidas
útiles de 6 y 5 años respectivamente, el m.c.m. es 30, para este intervalo de
tiempo podemos tener serias dificultades para establecer-flujos de caja, tasas de
descuento, valores de mercado, etc., que nos permitan comparar las dos alterna-
tivas en este tiempo y llegar a una conclusión confiable.
El objetivo de este capítulo es presentar y llegar a manejar con alguna propiedad

otro método que nos permita seleccionar la mejor de dos alternativas, así se
encuentren en una situación similar a la descrita en el parágrafo anterior. Este
método se conoce con el nombre del "Costo Anual Uniforme Equivalente" o
CAUE.
Definición 8.1
Dado el flujo de caja de un proyecto durante un tiempo den períodos, se llama

costo anual uniforme equivalente, y se denota por CA UE, a la. cantidad neta
periódica e igual que sustituya financieramente al flujo de caja dado.
-------
--- ---
COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) 263

262
Con frecuencia al CAUE también se le conoce con el nombre de "promedio Sim_ilar al caso anterior, este valor de A corresponde al costo anual uniforme
financiero" del flujo de caja correspondiente. Por esta razón, es la cantidad que eqmvalente al valor futuro F y también se tiene que
financieramente representa el promedio de pérdida o ganancia periódica en un
A= CAUE
proyecto de inversión.
Se debe advertir que aquí el término anual no hace referencia a que el período Ejemplo 8. 1
sea el año, sino simplemente períodos tales como mes, trimestre, semestre o año
Calcular el CAUE del siguiente flujo de caja, para una tasa de interés d 1 301
70
entre otros. mensual e
8.2 CALCULO DEL CAUE o 2 3 4

. 5
• • • 10 meses
A partir del diagrama de flujo de caja en una anualidad vencida de n pagos de

valor A cada uno y con una tasa de interés del i% por período, tenemos que P
= A (P!A, i%, n); donde P es el valor presente ubicado un período antes del
primer pago. De la expresión anterior se obtiene: 10.000
20.000
A=P 1
[ (PIA, io/o, n)
j 30.000
El factor 1/(P/A, i%, n) se denota (A/P, i%, n) de tal manera que:·

40.000
(8-1) Solución
A = P (A!P, io/o, n)
Utilizando el valor presente tenemos:
Este factor (AIP, io/o, n) se le conoce algunas veces con el nombre de "factor de
distribución" de un valor presente y se interpreta como el factor que aplicado a
P = 30.000 + 10.000 (P!F, 3%, 3) + 40.000 (P!F, 3%, 5) + 20.000 (PIF,
un valor presente P, lo distribuye financieramente hacia adelante, en n pagos
3%, 10) = $ 88.537,6
iguales. El valor A de cada pago así obtenido es lo que se llama el costo anual
uniforme equivalente a P y por esta razón se tiene que:
y . ¡.
A= CAUE CAUE = 88.537,6 (AIP, 3%, 10) $ 10.379,3
De igual manera, en el mismo diagrama del flujo de caja anterior, se tiene que Si utilizamos el valor futuro tenemos:
F = A (FIA, io/o~ n) y a partir de esta relación llegarnos a que
a
F = 30.000 (FIP, 3%, 10) + 10.000 (FIP 3% ·7) + 40.000 (FIP, 3%, 5)
+ 20.000 = $ 118.987,2 ' '
A =F l .
[ (FIA, io/o, n)
y
Al factor l/(F/A, io/o, n) denotado por (A/F, i%, n) se le conoce con el nombre
CAUE = 118.987,2 (AIF, 3%, 10) = $ 10.379,3
de "factor de distribución" de un valor futuro. Así que la relación anterior se
puede escribir como Como se puede observar el valor del CAUE es independiente de si utilizamos el
(8-2) presente o el futuro.
A F (A!F, io/o, n)
COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) 265
Para hallar el CAUE (neto) mensual, podemos aplicar cualquiera de las relaciones
Significa el valor anterior que, para una tasa de interés del 3% mensual, el flujo de (8-3). .
de caja de los cuatro pagos mostrado en la figura, es equivalente financieramente
a una serie uniforme de 10 pagos de$ 10.379,3 mensuales. Así, por ejemplo, si aplicamos la primera de esas relaciones, se tiene que:
8.3 EL CAUE NETO CAUE(/) = [1'500.000+850.000(FIA,3,5%,7HAIF,3,5%,12) = $ 555.576
En la mayoría de casos, el flujo de caja de un proyecto está formado por ingresos CAUE (E) = [4'000.000 + 500.000 (PIA, 3,5%, 3) (1,035)-2]
y egresos y no siempre por solos egresos como el flujo de caja dado en el ejemplo (A!P, 3,5%, 12) = $ 549.260
8.1. Por esta razón, y para efectos prácticos, se debe calcular lo que se conoce
como el costo anual uniforme equivalente neto, el cualviene dado por cualquiera
de las operaciones siguientes: de tal manera que el CAUE (neto) mensual será de
a) CAUE (neto) = CAUE(I) -CAUE(E) CAUE = 555.576 - 549.260 = $ 6.316

b) CAUE (neto) = P (AIP, i%, n) (8-3)
Esto quiere decir que llevar a cabo este proyecto, equivale a tener una ganancia
e) CAUE (neto) = F (AIF, i%, n) mensual de$ 6.316.
Ejemplo 8.2 El lector deberá resolver el ejemplo 8.2, utilizando las otras dos relaciones de
las expresiones (8-3).
Un proyecto requiere de una inversión hoy de$ 4 millones, y nuevas reinversiones
en los meses 3, 4 y 5 de $ 500.000 cada una, se obtienen unos ingresos de Se debe _tener en cuenta que para hallar el CAUE podemos aplicar cualquiera de
$ 850.000 mensuales a partir del sexto mes hasta finales del año donde el proyecto las relaciones de (8-3), ~1empre y cuando la tasa de descuento o de oportunidad,
se termina con un valor de mercado de$ 1,5 millones. Si la tasa de oportunidad sea constante a lo largo de la vida útil del proyecto. Si la tasa de descuento varía
del inversionista es del 3,5% mensual, hallar el promedio financiero mensual de el procedimiento para hallar el CAUE es diferente como lo podremos ver en eÍ
pérdida o ganancia, es decir el CAUE mensual. ejemplo siguiente.
Solución ..
Ejemplo 8.3
1'500.000 Resolver el ejemplo 8.2 suponiendo que la tasa de oportunidad delinversionista
se~ del 3 ,5% mensual durante los cinco primeros meses y del 4,5% mensual de
alh en adelante.
----- -----850.000
-- --------- Solución
•
El diagrama del flujo de caja es el mismo del ejemplo (8.2), sólo que en este caso
la tasa de descuento es uno para los cinco primeros meses y otra de allí en adelante.
Debemos calcular en primer lugar el valor presente neto del flujo de caja.
VP(I) = 850.000(PIA,4.5%, 7)(1.035)-5 + 1'500.000(1.045)-7 (1.035)-5

500.000 = $ 5'145.330 . .
VP(E) 500.000 (PIA, 3,5%, 3) (1.035)-2 + 4'000:000 = $ 5'307.679

4'000.000
MATEMATICAS FINANCIERAS COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) 267
266
Así que el valor presente neto será: Se debe advertir que ambos CAUE deben corresponder al mismo período en
ambas alternativas, es decir, ambos deben estar dados mensuales, trimestrales,
VPN = $ 5' 145.330 - $ 5'307 .679 = - $ 162.349 semestrales, etc.
El hecho que se tome solamente un ciclo d~ vida útil para cada alte rnativa, y allí
Ahora se debe distribuir uniformemente esta cantidad durante los 12 meses te-
0
hacer la comparación y la selección, implica que para cada alternativa el flujo

niendo en cuenta las dos tasas. de caja se repite en cada uno de los ciclos de vida útil, por esto el método puede
tener mayor aplicación cuando el flujo de caja se maneja en pesos constantes.
El diagrama del flujo de caja final será:
162.349 Ejemplo 8.4
Seleccionar la mejor alternativa entre A y B utilizando el método del CAUE, si

3,5% 415~% _ la información es la siguiente:
,--~~--~-...._A~~~---~-~~~~~~---/'- ' La alternativa A tiene un costo inicial de$ 600.000, costos mensuales de mante-
o 2 •• • 5 6 7 • • • 12
nimiento de $ 32.000, ingresos mensuales de $ 30.000, $ 32.000, $ 34.000 y
así sucesivamente, un valorde mercado de$ 250.000 y una vida útil de 3 años.
La alternativa B tiene un costo inicial de $ 1 '400.000, costos mensuales de
mantenimiento de $ 65.000, ingresos mensuales de $ 86.000 el primer mes y
-- -- - --~- --- _ l - ----- -- - _ .!:_ ---

De tal manera que
- - - --
luego se reajustarán en un 5% cada mes, valor de mercado de$ 450.000 y una
vida útil de 4 años. '·
La tasa de oportunidad del inversionista es del 3% mensual y se supone que el
162.349 = A (PIA, 3,5%, 5) + A (PIA, 4,5%, 7) (1.035)-5 flujo de caja se repite en cada ciclo de vida útil de cada alternativa.
A= - $17.131 Solución
Este valor de A es el CAUE neto mensual, lo que quiere decir que en estas Tomando un ciclo de vida útil para cada alternativa se tendrá:
condiciones, llevar a cabo el proyecto equivale a tener una pérdida mensual,
Alternativa A: el diagrama del flujo de caja es:
durante un año, de $ 17 .131. .~
250.000
8.4 EL CAUE EN LA SELECCION DE ALTERNATIVAS
Sean A y B dos alternativas con vidas útiles igu~les o diferentes, cuando se.van G = 2.000 ---------
a comparar las dos por el método del CAUE, se siguen los pasos que se descnben 30 . 000
- --- ~-- ------------ - - ----- -
a continuación:
I
i) Tomar un ciclo de vida útil para cada alternativa y registrar en cada uno
r-~;-~~t-~~------~---=·~__:·=-~~·=--~--~~~~~--36
o 2
de ellos el flujo de caja correspondiente.
ii) Hallar CAUE(A) y CAUE(B), cada uno en el ciclo de vida correspon-, .,_ __ - ---- -- - - -----------~~---
32.000
~ ----- - ..
diente.
iii) Comparar los valores obtenidos en ii). Si son diferentes, seleccionar la
de mayorCAUE y si son iguales, es indiferente la selección que se haga. 600.000
,
COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)
269
Calculando el CAUE mensual se llega a: cierto nümero de cuotas periódicas iguales con tasas diferentes como en el ejem 1
(4.12) o el ejemplo (8.3). P0
CAUE(/) = [30.000 (FIA, 3%, 36) + 2.000 (F/G, 3%, 36) + 250.000]
(AIF, 3%, 36) = $ 62.688,5 ~ar~ efectos de decis_ión entre dos o más alternativas, en la mayoría de casos es
indiferente tomar como método de evaluación el VP'N 0 del CAUE
CAUE(E) = 32.000 + 600.000 (AIP, 3%, 36) = $ 59.482 ~-&.. . puesto que
ameos conducen a la misma elección.
Entonces: CAUE(A) = $ 62.688,5 - $ 59.482 = $ 3.206,5 qued~ :ªcriterio del evaluador, y en algunos casos dependiendo de los ciclos de
vida útil, el método a utilizar.
Alternativa B: El diagrama del flujo de caja es:
450.000
-
-------- --- -----
n1 _ ... -
k = 5-10 --- --- -
86.000
---------
65.000
l '400.000
Calculando el CAUE mensual se llega a:
86.000
CAUE(/) = [ 0,03·- 0,05
[(1,03)48 - (l ,05)48] + 450.00~.
(AIF, 3%, 48) = $ 262.496
CAUE(E) = 65.000 + 1 '400.000 (AIP, 3%, 48) $ 120.409

.¡.
Entonces
CAUE(B) = $ 262.496 - $ 120.409 = $ 142.087
Como CAUE(B) > CAUE(A), entonces Ja mejor alternativa es B.
Es de frecuente necesidad tener que calcular un CAUE cuando la tasa de interés

no sea constante durante el ciclo de vida útil sino por el contrario, cuando la tasa.
de descuento o de oportunidad sufra uno o varios cambios durante el tiempo
donde se está calculando el CAUE. Para estos casos no se puede aplicar ninguna
de las relaciones o fórmulas de (8-3); sino que se debe utilizar el mismo proce-
dimiento visto en el capítulo 4 cuando se financiaba una deuda presente en un
270 MATEMATICAS FINANCIERAS COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) 271
PROBLEMAS
por$ 13. 500 por mes anticipado, parqueadero $ 9. 000 mensuales, impuestos
de $ 36.000 al año.
8.1 Un activo tiene un costo hoy de$ 850.000 y debe reemplazarse cada 4 años
al mismo costo. Para una tasa de descuento del 34% anual, hallar el CAUE Hallar el CAUE mensual del carro para una tasa de oportunidad del 2,5%
por años, sabiendo que la renovación debe hacerse a término indefinido. mensual.
'
8.2 Hallar el CAUE mensual para un activo con la siguiente información: se 8.8 Una fábrica de artículos de cuero obtiene ingresos mensuales cada vez
adquiere con una cuota inicial de $ 280.000, y el resto financiado a 24 mayores, inició el primer mes con un ingreso-de $ 1 '200.000, y cada mes
meses con cuotas de$ 30.000 cada mes, costo mensual de la operación de siguiente el ingreso aumentará en el 2%, los costos se estiman en$ 950.000
$ 45.000, ingresos mensuales de$ 40.000, $ 43.000, $ 46.000 y así suce- el primer mesy disminuirán en$ 5.000 cada mes. Hallar el CAUE mensual
sivamente, un valor de mercado igual al 10% del valor de contado del activo para esta fábrica en un tiempo de cuatro años y medio para una tasa de
y una vida útil de 5 años. La tasa de descuento es del 2.8% anual. descuento del 28% nominal mensual.
8.3 Un comerciante compró una máquina por$ 950.000, el costo de manteni- 8. 9 Usted invierte hoy- la suma de $ 6 millones en un proyecto en el cual se
miento se estima en$ 100.000 anuales durante los tres primeros años y de debe hacer además una reinversión por valor de $ 2 millones al cabo de un
$ 11.000 mensuales de allí en adelante, hizo una reparación general de la año. La vida útil del proyecto es de cuatro años y se obtienen unas utilidades
máquina tres años·y medio después de comprada por valor de$ 155.000 y mensuales así: $ 400.000 el primer mes y de allí en adelante aumentarán
vendió la máquina dos años después de la reparación en$ 300.000. Deter- en el 3% cada mes.
minar el promedio mensual de costo o CAUE para una tasa de descuento Determinar el promedio financiero trimestral de pérdidas o ganancias en
del 27% nominal mensual. este p~oyecto, ~sumiendo una tasa de oportunidad del 38% anual para los
dos primeros anos y del 42% anual de allí en adelante.
8 .4 Resolver el problema 8. 3 suponiendo una tasa de descuento del 27% nominal
mensual durante los tres primeros años y del 33% nominal mensual de allí 8.10 Determinar la mejor alternativa entre A y B utilizando el CAUE, y teniendo
en adelante. en cuenta la siguiente información:
8.5 Usted invierte hoy la suma de$ 3 millones en un negocio, el cual además La alternativa A tiene un costo mensual de $ 12.000 durante el primer año,
requiere de unos gastos de $ 50.000 el primer mes y aumentarán en el 2% $ 18.~00 mensuales el segundo año,$ 24.000 mensuales el tercer año y así
cada mes, el negocio se vende al cabo de tres años en $ 1,5 millones. sucesivamente, gastos adicionales de $ 100.000 cada dos años y una vida
¿Cuáles deberán ser los ingresos uniformes mensuales durante los tres años, útil de 7 años.
para que con una tasa de descuento del 3% mensual, usted no tenga pérdidas
La alternativa B tiene costos mensuales de$ 80.000.durante el primer año
ni ganancias en el negocio? y de allí en adelante los costos disminuirán en $ i ..000 cada mes costos
adicionales anuales de $ 80.000, una vida útil de 4 años. '
8.6 Hallar el CAUE mensual para un activo con la siguiente información: se
adquiere con una cuota inicial de $ 2 millones y el resto financiado a 36 La tasa de descuento para la selección de las dos alternativas será del 38%
meses coñ' cuotas de $ 60.000 mensuales, el costo de operación es de anual.-
$ 70.000 mensuales, los ingresos son de$ 120.000 el primer mes y de allí
en adelante disminuyen en $ 1.000 cada mes, el valor de mercado será del 8. 11 Se p~esentan a la gerencia de una empresa, dos propuestas para automatizar
30% del valor de contado del activo, la vida útil es de 6 años y la tasa de un sistema de control.
oportunidad del 2,85% mensual durante los tres primeros años y del 3.2%. La propuesta A tiene un costo inicial de $ 20 millones, un costo anual de
mensual de allí en adelante. operación de $ 3 millones durante los cuatro primeros años y de allí en
adelante se supone que aumentará en $ 200.000 cada año, la vida útil será
8.7 Un carro se adquirió hace 5 años por$ 4.5 millones, se vende hoy por$ 2.8 de 10 años sin valor de mercado al final de este tiempo.
millones. Los gastos fueron: en combustibles $ 28.000 mensuales, taller La propuesta B tiene un costo inicial de $ 35 millones, un costo anual de
$ 40.000 cada tres meses, llantas y repuestos$ 120.000 cada año, un seguro operación de $ 2,5 millones en los tres primeros años y luego aumentarán
MATEMATICASFINANCIERAS COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) 273
272
en $ 250.000 por año, la vida .útil será de 15 años y tendrá un valor de 8. 15 Un proyecto tiene una inversión inicial de 5 millones hoy, los gastos men-
mercado al final de este tiempo de$ 6 millones. suales de operación, comenzando dentro de cuatro meses son de$ 300.000,
$ 310.000, $ 320.000 y así sucesivamente. Los ingresos que se reciben son
Si la tasa de oportunidad de la empresa es del 34% anual, utilice el método de $ 880.000 dentro de un mes y de allí en adelante aumentarán en el 8%
del CAUE anual para seleccionar la mejor propuesta. cada mes. El proyecto tiene una vida útil de tres años y medio, con un valor
de mercado al final de este tiempo de $ 3,6 millones.
8.12 Se adquiere hoy un activo con una cuota inicial equivalente al 30% de su
valor de contado y el resto financiado a tres años con cuotas mensuales Para una tasa de oportunidad del inversionista del 36,07% anual, hallar el
comenzando con $ 2.000 el primer mes y de allí en adelante cada cuota promedio financiero CAUE mensual de pérdida o ganancia del proyecto.
será igual a los 3/4 de la del mes anterior. Los gastos de operación del
8. 16 Un. señor p~nsionado d~ una empresa tiene la oportunidad de adquirir un
activo serán de$ 1.500 mensuales durante el primer año y luego aumentarán taxi y trabajarlo con el fm de obtener unos mayores ingresos mensuales. Se
en el 5% cada mes. Los ingresos mensuales serán de$ 4.000 el primer mes le presentan dos oportunidades: La primera es comprar un taxi nuevo pagando
y luego aumentarán en 200 cada mes hasta finales del segundo año y a partir una cuota inicial de S 3'000.000 y 24 cuotas mensuales de$ 120.000 cada
de· este momento disminuirán en el 2,5% cada mes. El valor de mercado una con un interés del 3,% mensual; los gastos de mantenimiento, conducción
del activo al final de la vida útil, que es de cuatro años, será de un valor e impuestos ascienden a$ 100.000 promedio mensual y lo venden al cabo
equivalente al 40,% de su valor de contado. · de cinco años en $ 4 millones.
Tomando una tasa de oportunidad del 30% nominal mensual durante los También puede adquirir el carro ya usado por valor de $ 4,5 millones de
tres primeros años y del 3% mensual de allí en adelante, determinar el contado, los gastos de mantenimiento, conducción e .impuestos ascienden a
promedio financiero de pérdida o ganancia mensual para este activo. $ 150.000 promedio mensual, una reparación anual por valor de$ 200.000
cada una, este carro se puede vender en $ 2 millones al cabo de cinco años.
8.13 El dueño de una casa desea determinar la clase de tejado más económico,
sabiendo que debe cubrir un área de 480 metros cuadrados. Una alternativa Para una tasa de descuento del 30% anual hallar el CAUE mensual.
es utilizar.tejas clase A, las cuales tienen unaextensión 1,6 metros cuadrados 8. 17 Para el l?roblema (8 .16) suponer que el dueño del taxi obtiene unos ingresos
cada una y un costo de $ 6.400, el costo de instalación de esta clase de promedio mensual de $ 200.000 el primer año y luego aumentarán en el
tejado es de $ 850.000, una reparación anual por valor de$ 50.000 y una 20% cada año, esto para el carro nuevo. En el usado los ingresos serán de
vida útil de 12 años. $ _ 180. 000 mensuales el primer año, de $ 200. 000 mensuales el segundo
La otra alternativa es utilizar tejas clase B las cuales tienen una extensión ano~ de $ 220.000 mensuales el tercer año y así sucesivamente.
de 2,1 metros cuadrados cada una y un costo de $ 12.500, el costo de
instalación es de $ 720.000, una reparación anual de $ 40.000 y una vida 8. 18 El dueño. de un restaurante desea hallar el promedi~ financiero de pérdida
o ganancia (costo anual uniforme equivalente) mensual, durante un año de
útil de 16 años. funcionamiento de su restaurante con base en la siguiente información: se
Qué alternativa debe seleccionar el dueño de la casa si su tasa de oportunidad paga un arriendo de$ 200.000 por mes anticipado, un seguro por valor de
es del 32% nominal trimestral. $ 850.000 al principio del año, alquiler de maquinaria por valor de$ 155.000
mensuales, materias primas para los alimentos por valor de $ 1,2 millones
8. 14 Se ha estimado que el costo de un parque de recreación será de$ 35 millones, mensualmente, diez empleados con sueldo mensual de$ 110.000 cada uno
se espera mejorar el parque durante los cinco años siguientes a un costo de Y por concepto de servicios públicos $ 185. 000 cada dos meses. Los· ingresos
$ 4 millones por año. Los costos anuales de mantenimiento serán de del restaurante ascienden a$ 2,2 millones mensuales y la tasa de oportunidad
$ 1 '200.000 el primer año y aumentarán en $ 100.000 cada año hasta el del dueño del restaurante es del 32% anual.
quinto año y de allí en adelante permanecerán constantes. Se espera recibir
$ 2 millones el primer año, $ l. 8 millones el segundo año, $ 1,6 millones 8.19 Resolver el problema (8.18) para una tasa de oportunidad del 32% anual
el tercer año y así sucesivamente hasta el sexto año y de allí en adelante se durante los primeros cinco meses y del 34% anual de allí en adelante.
mantendrán constantes. ·
Suponiendo una tasa de descuento del 33% anual y una vida útil perpetua 8.20 En el problema (8.18), de cuánto deberán ser los ingresos mensuales uniformes
del parque, hallar el CAUE anual. para que el dueño .no tenga pérdida ni ganancia.
MATEMATICAS FINANCIERAS COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) 275
274
8.21 Una entidad financiera le acaba de aprobar un crédito a una persona c~n el 8.27 Hallar el promedio financiero mensual o CAUE, para un proyecto que tiene
siguiente plan inicialmente: el plazo para amortizar la· deuda es de ,~meo el siguiente flujo de caja:
años con cuotas mensuales que aumenten cada mes en el 1,5% y la pnmera
cuota dentro de un mes tiene 'un valor de$ 84.500. Hoy mismo el deudor Inversión inicial de $ 6 millones, gastos de mantenimiento de $ 30.000 el
solicita que la forma de pago anterior le sea cambiada a un sistema de cuotas primer mes y después aumentarán en el 2% cada mes, hasta finales del
mensuales uniformes durante los mismos cinco' años. ' segundo año y luego permanecerán constantes, gastos adicionales de
Se pide determinar el valor de estas cuotas sabiendo que la entidad financiera $ 150. 000 cada diez meses.
cobra un interés del 2; 5 % mensual durante los dos primeros años y del 3, 1 % Los ingresos serán de$ 90.000 mensuales durante los primeros dos años y
mensual de allí en adelante. medio y de allí en adelante aumentarán en $ 3.000 cada mes, valor de
mercado al final de la vida útil de $ 1.5 millones, vida útil de cinco años.
8.22 En una población se debe instalar una tubería para el acueducto y_para esto La-tasa de oportunidad del inversionista será del 30% nominal mensual.
se prese.ntan dos alternativas:
Una es instalar una tubería de 36 pulgadas por un valor de $ 670 millones,

R 8.28 Resolver elproblema(8.27)para una tasa de oportunidad del 30% nominal
mensual durante los dos primeros años y del 36% nominal mensual de allí
FI
los costos de operación, incluyendo bombeo y mantenimiento serán de$ 1,6 en adelante.
millones el primer año y aumentarán en el 25% cada año.
La otra alternativa es instalar una tubería de 30 pulgadas por un valor de 8.29 En el problema (8.27), ¿de cuánto deberán ser los ingresos mensuales unifor-
$ 480 millones con costos de operación de $ 2 millones el primer año Y mes durante los dos anos y medio para que aumentando en$ 3.000 de allí
aumentará en $ 200.000 anualmente.
Seleccionar la mejor alternativa utilizando el CAUE y suponiendo una vida
A en adelante, el proyecto no tenga pérdidas ni ganancias?
8.30 Usted debe decidir entre: adquirir una cierta máquina nueva o usada. Si la
útil perpetua de cada una de ellas y una tasa de descuento del 33% anual.
FI
maquinaria es nueva, se podrá comprar con una cuota inicial de$ 310.000
y 24 cuotas mensuales de $ 25.908 cada una. Los gastos mensuales por
8. 23 Resolver el problema (8 .22) para una tasa de descuento del 33% anual durante concepto de mantenimiento serán de $ 22.000 el primer mes y después
los 10 primeros años y del 38% anual de allí en adelante. aumentarán en un 2% cada mes hasta finales del tercer año y luego perma-
necerán constantes. Esta maquinaria se podrá vender en$ 480.000 al cabo
8.24 Los gastos del departamento que usted dirige en una empresa son de$ 1.5 de cinco años.
millones al principio de enero y luego disminuyen en un 10% cada mes
hasta principio de septiembre y de allí en adelante permanecerán constantes Si la maquinaria es usada, se puede comprar con tres pagos de $ 250.000
hasta finales de diciembre del mismo año. A usted le solicitan que determine cada uno, el primero hoy, el segundo dentro de s~i~ meses y el tercero
el promedio financiero o CAUE de gastos por mes vencido para los trece dentro de un año. Los gastos mensuales por concepto de mantenimiento
desembolsos de ese año teniendo en cuenta una tasa de descuento o de para esta clase de máquina serán de$ 26.000 el primer mes y luego aumen-
oportunidad del 2,4% mensual durante los cinco primeros meses y del 2,7% tarán en$ 200 cada mes. Esta maquinaria se podrá vender en$ 340.000 al
cabo de cinco años.
mensual de ali í en adelante .
• Determinar la maquinaria más económica teniendo en cuenta una tasa de
8. 25 Los costos mensuales de operación en una empresa guardan siempre la oportunidad del 2% mensual y utilizando el criterio del CAUE mensual.
siguiente relación: Los costos en cualquier mes son iguales a los 4/3 de los
costos del mes anterior, más$ 140.000, si los costos del cuarto mes fueron
de $ 860. 000, calcular el CA UE mensual para un tiempo de dos años y una
tasa de oportunidad del 32% anual.
1
8.26 En el problema (8.25) suponer que cada tres meses se incurre en unos costos
adicionales de $ 200. 000.
CAPITULO 9
TASA INTERNA DE RETORNO
(T.l.R.)
..•
•
-,, 1
A
A
CAPITULO 9
TASA INTERNA DE RETORNO

(T.I.R.)
·~ 9.1 INTRODUCCION
Uno de los índices de evaluación financiera de proyectos de mayor uso es el que

se conoce con el nombre de la tasa interna de retorno.. Dadaesra importancia
que tiene en la selección de alternativas se ha considerado conveniente dedicarle
este capítulo para hacer una breve exposición de lo que es la tasa, los métodos
de calcularla y algunas aplicaciones.
• Aprovechando uno de los métodos para calcular la tasa interna de retomo, se

aplicará también para el cálculo de la tasa de incremento en un gradiente geométrico
y el tiempo o número de períodos y pagos en un gradiente aritmético y de esta
forma quedarán resueltas todas las incógnitas que se presentan en Matemáticas
Financieras, como son P, F, A, G, n, k, i entre otras.
Sin embargo, se debe advertir que el tratamiento que en este capítulo se hace de
la tasa de retorno, es a nivel introductorio como para que el lector tenga el
concepto básico, ya que el estudio a fondo de esta tasa es materia propia de un
curso de evaluación financiera de proyectos.
MATEMATICAS FINANCIERAS TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) 281
480
9.2 LA TASA INTERNA DE RETORNO Sin embargo, si la inversión anterior genera un ingreso al cabo de un añ? .por
valor de $ l '500. 000 y al cabo de dos años de $ 1'659. 200, podemos anticipar
Definición 9 .1 que la TIR para este proyecto es del 36% anual porque el valor presente neto
con esta tasa es nulo.
Se-llama tasa)nterna d~rt:,tomo.·(,T~) del flujo de "Caj~de un proyecto, a la tasa
queequilibra'élwalor presenfe de1os ingresos'cón el valor presenfe de losegresos. Veamos ahora que esta tasa no representa la rentabilidad sobre la inversión inicial ..
En efecto: si hoy invertimos$ 2'000.000, el proyecto nos estará debiendo dentro
La anterior corresponde a la definición matemática de la tasa interna de retomo, de un año, la suma de $ 2'000.000 (1,36) = 2'720.000. Pero en ese momento
ya que lo único que nos proporciona esta definición es la ecuación para el cál~lo el proyecto nos abona $ 1 '500.000, quedando un saldo de $ 1 '220.000. Sobre
de esta tasa. En efecto, a partir de la definición se obtiene que i;P(! = VP(E), este saldo aplicamos la tasa por un año para darnos un valor de 1 '220.000 (1,36)
es decir V.PN = O; y si una tasa anula el valor presente neto, también anula el = $ l '659.200 y en esa fecha el proyecto nos abona esta suma quedando así un
valor futuro neto y el costo anual uniforme equivalente, de tal manera que con saldo nulo. Como se puede ver en este caso la tasa del 36% anual se aplica sobre
cualquiera de estas relaciones: VPN = O; VFN =·o, CAVE = O podemos calcular saldos o dineros no recuperados y no siempre sobre la inversión inicial, indicán-
la TIR, y es precisamente la primera de estas ecuaciones la que se encuentra en donos así que esta tasa no estará midiendo la rentabilidad real ni del proyecto ni
las calcul~d.oras financieras, en las hojas ele~trónicas o en los paquetes financieros de la inversión inicial.
cuando utilizamos 'el computador para el calculo de la tasa mtema de retomo.
Tomemos otro caso donde la tasa interna de retorno puede llevar a conceptos v
Desde el punto de vista financiero, la tasa interna de retomo de un proyecto se decisiones equivocadas.
define como "la tasa que rinden los dineros que al. final de cualquier período,
aún continúan.invertidos en el proyecto..o lo que es lo mismo, la tasa que rinden Supongamos que un inversionista cuya tasa de oportuni~ad~s es de~ 20% anual,
los dineros no recttperados en el proyectó en cualquier período". Esta definición invierte en un proyecto por un tiempo de tres años y con el siguiente flujo de caja:
de la tasa interna de retorno es la que se debe tener en cuenta cuando se evalúa
un proyecto de inversión y se toma la TIR como índice de selección. 3'800.000
1 '980.000
También, a partir de este último concepto de la TIR podemos determinar cuándo
ella representa la rentabilidad de un proyecto y cuándo no.
Ejemplo 9.1
si invert.imos hoy I~ suma de $ 2 millones en un proyecto por espacio de dos

años y obtenemos al .final de este tiempo la suma deS ~'699.200, calcular la
TIR- para esta inversión.
1'000.000
Solución
•
A partir del diagrama de flujo de caja correspondiente se tiene: 4'770.000
' .
3'699.200 = 2'ÓOQ.OOO (1 + i)2_ Después de los cálculos correspondientes Ilegamos a que las tasas que cumplen
con la ecuación VPN = O son: 10%, 20% y 50% aproximadamente, es decir,
. . i = 36% anual que estos valores corresponden a la tasa interna de retorno. Las preguntas que
••r: nos hacemos en un primer. momento son ¿cuál se debe tomar como TIR del
esto quiere. decir que la TIR es del 36% anual, y en este caso .representa la proyecto", ¿las tres tasas representan la rentabilidad del proyecto?, ¿el proyecto
rentabilidad de la.inversión debido a que cada año se carga la tasa del 36% anual aceptará si la tasa TIR es del 50% pero se rechazará si la TIR es del 10% o qué
sobre la inversión inicial y sobre los intereses _correspondientes.· . decisión tomar?
~
1
282 MATEMA TICAS FINANCIERAS TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) 283
Estos y otros interrogantes se pueden presentar y el uso indebido de este índice unas utilidades trimestrales de$ 400.000 durante ~res años recibiendo l?s primero~
puede conducir a decisiones equivocadas. Sin embargo, estas preguntas las resol- seis meses más tarde de la iniciación del negocio. Además el negocio se ~odra
verá el lector cuando llegue a un curso de Evaluación Financiera de Proyecto. vender al final de este tiempo en$ 2,8 millones. Hallar la TIR correspondiente
a este proyecto.
9.3 CALCULO DE LA TIR
Solución
En la actualidad, y gracias al avance en la tecnología computacional, el medio
más adecuado para calcular la TIR de un proyecto de inversión es utilizar desde El diagrama del flujo de caja es el siguiente:
una calculadora financiera hasta una hoja electrónica o programas especiales de 2'850.000
financieras y evaluación de proyectos en el computador.
400.000
Sin embargo, vale la pena exponer y tener en cuenta otro método menos técnico --- - - - ---- - ------ ------------------
y más manual para el cálculo de la TIR, que además lo podemos utilizar para
calcular otras variables como son el valor de k% en el-gradiente geométrico y el o 2 3
nen el gradiente aritmético. Este método es el que se conoce con el nombre de 13 trimestre.
"tanteo e interpolación", o de "tanteo y error".
La forma general de este método es la siguiente: supongamos un flujo de caja

durante n períodos donde conocemos tanto los ingresos como los egresos en los 800.000
tiempos correspondientes, y sea i la tasa interna de retomo de este flujo de caja
y que corresponde a nuestra incógnita. Aplicando Ja definición (9 .1) obtenemos 3'500.000
Sea i la tasa interna de retorno trimestral correspondiente al flujo de caja anterior.
como ecuación básica la siguiente:
Aplicando la ecuación básica de VPN = O, tenemos:
VP(I ) - VP(E) = O
R(z) =-400.000(PIA,i%, 12)(1+i)-1+2'850.000(1 + zr 13 - 800.000_(1 + z)-1
donde el miembro de la izquierda depende solamente de la variable i: denotemos - 3'500.000 =: o -
esta parte por R (i). El objetivo es hallar uno o varios valores de i tal que R (i) Si t, = 6%, entonces R (6%) 245.188,92
= O, para esto tomamos un valor arbitrario de la variable, sea i1 y calculamos
R (i1), este resultado será un valor positivo o negativo (difícilmente este primer Si i2 -= 5%, entonces R (5%) 625.987,9
valor será cero), tomamos otro valor de la variable, sea i2 y calculamos R (i2), • ,<
este valor de nuevo será positivo o negativo pero ya nos indicará si debemos Si i3 = 7%, entonces R (7%) - 95.786,35
aumentar o disminuir el valor de la tasa; c_ontinuando este procedimiento hasta
encontrar dos valores de la variable sean iP e in no muy distantes tales que R (ip) Tomando las tasas del 6% y 7% y sus correspondientes valores en R (i) e inter-
> O y R Un) < O. Interpolando entre estos dos valores obtendremos una tasa lo polando entre ellos, se llega a que i = 6,719% trimestral. Esta tasa hace que
más aproximada'.'posible a la tasa deseada. VPN sea muy cercano a cero, por lo tanto se toma como la TIR del proyecto del
negocio.
Cuando se utiliza un computador para calcular la TIR, obviamente el tiempo es
mínimo y el resultado más cercano al real, pero en caso de no disponer del El lector deberá calcular la TIR del flujo de caja del ejemplo (9. 2), en una calculadora
computador, el método anterior nos permitirá obtener una TIR bastante confiable. financiera o en un computador con el fin de observar las ventajas y exactitud en
la tasa cuando se hace uso de esta tecnología.
Ejemplo 9.2
Cuando necesitamos aplicar el método descrito anteriormente y utilizado en el
Usted invierte hoy en un negocio la suma de $ 3,5 millones y además deberá ejemplo (9.2), podemos simplificar el trabajo y evitamos la interpolación lineal,
reinvertir la suma de $ 800.000 al cabo de tres meses. Este negocio le reportará utilizando la fórmula de Gittinger que es la siguiente:
~'
l
TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) 285
284
Solución
El diagrama del flujo de caja para este ejemplo corresponde al de un gradiente

aritmético creciente donde: ·
o su equivalente
P = $ 1'500.000, A = $ 80.000, G = $ 10.000, i = 3% mensual, n = ?
(9-2)
Al igual que en el ejemplo (9.2), aquí planteamos una ecuación que exprese el
valor presente neto igual a cero:
en las cuales
80.000 (PIA, 3%, n) + 10.000 (PJG, 3%, n) - l '500.000 = O
TIR : tasa interna de retorno
L~a~ando el ~embro.de la izquierda como R (n), y aplicando el mismo proce-
t, : tasa que hace R (ip) >O dímiento antenor, se tiene, después de algunos ensayos, que: .
in : tasa que hace R (i11) <O
Si n1 = · 13, entonces R (13) = - 55.008
R (i) = VP(l) - VP(E)
Si n2 = 14, entonces R (14) = 83.827
En efecto, si en el ejemplo ( 9. 2) aplicamos la fórmula (9-1), tenemos que:
En este caso no hay necesidad de interpolar porque la solución es que la deuda
ip = 6%, in = .7%, R (ip) = 245.188,92, R (in) = - 95.786,35, Y así: se podrá pagar con 13 cuotas mensuales o con 14 cuotas mensuales.
1
.TIR = 0,07 + (0,06 - 0,07)
[ 95.786,35 \
1 -
[245.188,92 + \ - 95.786,35 o. El lector deberá calcular la última cuota para cada una de las dos. opciones
anteriores.
= 0,07 + (- 0,01)
. .
95.786,35
[ 340.975,27
J .
= 0,06719 = 6 , 719m-1otnmes
...
t l
ra .
Ejemplo 9.4
Financia: $ 2 millones ª. tres años con cuotas mensuales que aumenten en un

v.orcentaJe constante sabiendo que la primera cuota dentro de un mes será de
Obteniéndose el mismo valor hallado en el ejemplo (9.2).
$ 50.000 y la tasa de interés del 2,5% mensual. . ,•
El lector deberá resolver el ejemplo (9.2) utilizando la fórmula (9-2).
Solución
Como se dijo al principio de esta sección, el método utilizado anteriormente
también nos p.ermite calcular otras variabl~s financieros como s?n el núme~o. de El diagrama del flujo de caja para este ejemplo corresponde al de un gradiente
pagos en un gradiente aritmético y la tasa de incremento en un gradiente geometnco geométrico creciente donde: '
como lo veremos en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 9.3
P = $ 2'000.000, A = $ 50.000, n = 36 cuotas, i = 2,5% mensual, k = ?
Una deuda de hoy por valor de $ 1,5 millones se deberá cancelar con cuotas De nuevo, a partir del método planteado anteriormente, se tiene:
mensuales que aumenten cada mes en $ 10.000. Si la primera cuota que es de
$ 80.000 se cancela dentro de un mes y la tasa de interés es del 3% mensual, 50.000 (_!_±__!__) 3~
=o
hallar el número de cuotas. 0,025 - k ~- \1,025 J - 2'000.000
286
Llamando R (k) el miembro de la izquierda y después de algunos cálculos, se Sin embargo, supongamos que el inversionista tiene corno objetivo en sus inver-
siones ganarse, en pesos de hoy, por lo menos el 10% de In invertido. Para
llega a que: nuestro caso tenemos que VPN = $ 22.464 a la tasa de oportunidad y este valor
sólo corresponde al 1, 12 % de lo invertido, de tal manera que este proyecto no
Si k1 = 3,2%, entonces R (3,2%) = - 16.827
le conviene al inversionista.
Si k2 = 3,3% entonces R (3,3%) = 18.608
Como se puede observar a partir del ejemplo anterior el criterio de la TIR, al
Interpolando o aplicando cualquiera de las expresiones o fórmulas (9-1) o (9-2), igual que los otros vistos, no se pueden aplicar en forma absoluta sino que la
se llega a que k = 3,248%, y este será el incremento mensual en las cuotas. decisión final dependerá no solamente del valor de los índices de evaluación
sino también de los objetivos que se haya fijado el inversionista. '
9.4 APLICACIONES DE LA TIR EN LA SELECCION
DE ALTERNATIVAS Como ejemplo final se presenta a continuación el caso del funcionamiento y
La tasa interna de retomo es otro de los índices que se utilizan con bastante rentabilidad de uno de los papeles financieros existentes en el mercado como son
frecuencia en la evaluación de alternativas de inversión, hasta el punto que ~lgunas las "Cédulas de Inversión BCH".
clases de proyectos no son tenidos en cuenta si no ti~nen c~lcul~da .1~ tasa mtema
de retomo, como sucede con los proyectos que requieren financiación de algunas Según la información dada por el Banco Central Hipotecario, estas cédulas son
emitidas por este Banco para solucionar el problema de financiamiento de la
entidades semi-oficiales entre otros. vivienda usada. Son títulos valores a la orden con un plazo de redención de 10
En la mayoría de bibliografía de evaluación de proyectos de i.~versión, enc?ntra- años y por un monto hasta del 70% del valor del inmueble.
mos el siguiente criterio para la aplicación de la TIR en la selección de alternativas.
Los rendimientos son variables y en la actualidad están dados así: el 24% nominal
capitalizables trimestralmente o sea el 26,24% efectivo anual para el primer año,
Supongamos que i0 sea la tasa de oportunidad del inversionista, enton~es dado
el 26% nominal trimestral o sea el 28,64% efectivo anual para el segundo año y
el flujo de caja de su proyecto y calculada la tasa interna de retomo se tendra que:
el 28% nominal trimestral o sea el 31,08% efectivo anual del tercer año en adelante. ·1
Si TIR > i0, el proyecto se acepta. El pago de los rendimientos se hace de la siguiente manera: el 3% mensual
Si TIR < i0, el proyecto se rechaza. vencido sobre el valor actualizado de la cédula, además una valorización mensual
Si TIR = i0, es indiferente aceptarlo o rechazarlo. del 0,96% para el primer año, del 1,12% para el segundo año y del 1,28% del
tercer año en adelante. Esta valorización es acumulativa al valor de la cédula.
Sin embargo, igual que los índices anteriores, aquí se· presenta~ los cas~s donde
hay necesidad de tomar una decisión contraria a la correspondiente segun TIR. El reintegro del capital se hace mediante 8 pagos iguales ~ada uno del 12,5% del
valor nominal inicial actualizado, a partir del final del tercer año.
Ejemplo 9.5
Como ya se dijo, estas cédulas son títulos valores a la orden y por lo tanto se
Una persona.invierte en un proyecto la suma de_$ 2'~0.000, y recibe ~nas puede negociar con algún descuento a través de corredores de bolsa, de inversio-
utilidades trimestrales de $ 603.842 durante un ano. S1 la tasa de oportumdad nistas o de deudores del Banco que deseen cancelar cuotas de vivienda usada con
del inversionista es del 7 ,5% trimestral, determinar, a partir de la tasa interna de estas cédulas.
retomo, si debe o no llevar a cabo el proyecto.
Tomemos como ejemplo el caso de un inversionista que adquiere hoy cédulas
Solución en la bolsa por un valor nominal de $ 500.000 .al 80% y que éste sea el primer
año de las cédulas; además supongamos que las conserva en su poder durante un
El lector deberá hacer el diagrama del flujo de caja. año al final del cual las vende al 90%. Hallar la tasa interna de retomo de esta
inversión.
Calculando la TIR para este proyecto, llegamos al 8% trimestral, Y como 8% >
7 ,5% el proyecto se deberá aceptar.
En primer lugar veamos cuál es el flujo de caja de la inversión.

Al igual que el.estudio que se acaba de h~cer de las Cédulas de Inversión B.C.H.,
~e pu~den. ~alizar otros papeles comerciales en Colombia, y esto es ejercicio de
Valor real hoy de las cédulas: $ 500.000 (0,8) = $ 400.000 mvesngacion por parte del lector (ver problema 9.31).
Ingreso al final del primer trimestre:$ 500.000 (1,0096)3 (0,03) = $ 15.436
Ingreso al final del segundo trimestre:$ 514.538 (1,0096)3 (0,03) = $ 15.885 Co~ lo anterior se creen cumplidos los objetivos planteados al principio del
cap1tul~ y e~ g~neral el haber ?~do. al l~ctor unas herramientas básicas y de
Y así sucesivamente. Al final del año se tiene un ingreso adicional correspondiente necesaríaaplícacíón en la evaluación financiera de cualquier alternativa o proyecto
de inversión.
al valor de venta de las cédulas; éste es de
$ 560.740,6 (0,9) = 504.666,5
De tal manera que el diagrama del flujo de caja es el siguiente:
504.666,5
15.436 15.8~5 - - -- --
16.822,2
16.346,9 - - - - -
--
--------- -- -
400.000
Dado que la serie de ingresos trimestrales constituye un gradiente geométrico
J-
donde k = 2,91 % la ecuación básica para el cálculo de la TIR es
[1- ( ·º
·J.
1 291)
504.666,5(1 + i)-4 + lS.436
i - 0,0291 1 +i
400.000 =o
•
Utilizando el método de tanteo visto al principio de este capítulo, llegamos a que
la tasa interna de retorno es de i = 9,68% trimestral o sea una TIR del 44,71%
efectiva anual. ·
Se debe tomar en cuenta que la tasa anual anterior es solamente la TIR del
proyecto de la inversión y no representa la verdadera rentabilidad de éste debido
a que se tienen unos ingresos parciales durante el año. Por lo tanto, la tasa de
rentabilidad verdadera será mayor y su estudio es materia específica de la evalua-
ción de proyectos.
290 MA TEMA TICAS FINANCIERAS TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) 291
PROBLEMAS 9.8· Un carro que tiene un valor de contado de $ 8'500.000, se puede adquirir
financiado así: una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto a
36 meses con cuotas mensuales de $ 308. 550 debiendo cancelar la primera
dentro de 3 meses. Hallar la tasa de interés que se cobra por la financiación.
9.1 Una residencia campestre avaluada hoy en$ 3'800.000, se vende a crédito
para ser pagada durante 4 años con cuotas semestrales de $ 525.000 cada 9.9 Se adquiere hoy un bono por $ 200.000 y se conserva durante 8 años, al
una. ¿Qué tasa de interés nominal trimestral recibió el vendedor en esta cabo de los cuales vence con un valor de $ 250. 000. Durante el período de
los 8 años se reciben$ 6.000 cada semestre. ¿Cuál es la tasa de rentabilidad
operación financiera?
de esta inversión?
9.2 El Hospital S.J. de D. recibió como donación, una renta perpetua de 9 .10 La compañía de seguros "VIVA FELIZ", tiene el siguiente plan: La póliza
$ 500.000 anuales. Debido a las necesidades locativas actuales, las directivas se obtiene con una inversión inicial de $ 35.000 y cuotas por trimestre
del hospital decidieron sustituir dicha renta por la suma de $ 2 millones. anticipado de $ 50.000 cada una y durante los cuatro primeros años. De
hoy. ¿Cuál fue la tasa de interés adoptada para esta operación? allí en adelante el fondo constituido por las cuotas anteriores, producen un
rendimiento y el asegurado no debe volver a pagar más cuotas. Si la compañía
9.3 Un automóvil de contado vale $ 1 '200.000 y se vende financiado así: una devuelve al asegurado la suma de $ 8'000.000 al final de 20 años, hallar
cuota inicial del 40% del valor de contado y el saldo se incrementa en el la tasa de retorno para esta clase de inversión,
20% y se divide por 12 dando así el valor de las cuotas que se deben cancelar
mensualmente durante un año. Hallar la tasa efectiva mensual cargada en 9.11 Un proyecto exige las siguientes inversiones: $ 830.000 hoy, $ 150.000
esta financiación. dentro de tres meses, $ 140.000 dentro de seis meses, $ 130.000 dentro de
nueve meses y así sucesivamente durante la vida útil del proyecto que es
9.4 Una corporación de ahorro ofrece pagar el 29% nominal trimestral. Un de tres años. Si al final de este tiempo se obtiene un ingreso total de $ 2,5
ahorrador hace una serie de depósitos mensuales así: $ 500, $ 520, $ 540 millones, hallar la tasa nominal trimestral del rendimiento del dinero en este
y así sucesivamente. Transcurridos tres años y medio de estarse efectuando proyecto.
estos depósitos, la corporación devuelve al ahorrador la suma correspondiente
al capital depositado, los intereses convenidos y una suma adicional de 9.12 Un señor solicita un préstamo de $ 100.000 a una entidad crediticia y ésta
$ 6.800. Hallar la TIR de esta inversión. otorga el préstamo en las siguientes condiciones: tasa de interés 2,5% men-
sual, período de reembolso 20 meses, interés total de 20 (0,025) 100.000
9.5 Un banco comercial concede un préstamo a uno de sus clientes por valor = $ 50.000, investigación y seguro de crédito $ 20.000, deuda total de
de $ 2 millones cobrando un interés del 8% trimestre anticipado, y un plazo $ 100.00 + $ 50.000 + $ 20.000 = $ 170.000, valor de cada cuota de
de un año para cancelar la deuda. Los intereses· los debe cancelar el cliente $ 170.000/20 = $ 8.500 mensuales. ¿Cuál es la tasa d~ interés real mensual
al principio de cada trimestre y la deuda debe ser cancelada en cuatro cuotas que el prestatario paga a la entidad que le otorgó el préstamo?
de $ 500.000 por trimestre vencido. Cada vez que el banco recibe ya sean
los intereses o las cuotas de amortización de la deuda, invierte estos dineros 9.13 Un estudiante universitario recibe un préstamo para poder adelantar sus
en otra empresa a un interés del 8.5% por trimestre vencido. Hallar la estudios superiores que son de 10 semestres. El préstamo consiste en cuotas
rentabilidad anual para el banco por esta operación al cabo de un año. de $ 50.000 al principio de cada semestre académico. El documento que
garantiza el préstamo contempla una cláusula que exige que el estudiante
9.6 Un inversionista compró una casa por$ 4 millones y la vendió cuatro años amortice la deuda en 30 pagos mensuales iguales de $ 18. 500 empezando
más tarde en $ 7, 3 millones. Los gastos por reparaciones fueron de $ 400. 000 un año después de terminar estudios. Hallar la tasa anual y mensual del
el primer año, $ 300.000 el segundo año y $ 500.000 el cuarto año. Hallar préstamo.
la tasa anual de retorno de esta inversión.
9.14 Una empresa recibe hoy la suma de un millón de pesos de una institución
9. 7 ¿Cuál hubiera sido la tasa de retomo del problema anterior, si el inversionista financiera, y se compromete a cancelar· esta deuda durante dos años con
vende la casa por el mismo precio, pero cinco años más tarde de la fecha cuotas mensuales iguales y una tasa del 3% mensual. La empresa obtiene
de compra? ingresos mensuales suficientes para cancelar las cuotas a la institución y
292
9.22 Un ~lm.a~én distribuidor de máquinas calculadoras, hace una importación

para depósitos en una cuenta de ahorros así: $ 30.000, $ ~5.0~0, $ 40.000 al pnncrpio de un año, por valor de$ 1,5 millones en esta clase de máquinas.
y así sucesivamente. Si la cuenta de ahorros paga un mtere~ del_ ~,5% Las calculadoras se venden todas durante un año y los ingresos mensuales
mensual, ¿en qué momento el saldo en la cuenta de ahorros sera suficiente por este concepto son de $ 125.000 el primer mes, y luego aumentan en
para cancelar el saldo pendiente con la institución financiera? $ 20.000 cada mes. Hallar la tasa interna de retomo de este almacén.
9.15 Una corporación de ahorro le hace un préstamo a usted por la suma de$ 1,8 9. :23 En el problema (9. 22) suponer que al final del quinto mes se hace una nueva
millones y le concede 15 años para amortizar esta deuda con cuotas mensuales inversión de$ 6üp.OOO y de allí en adelante los ingresos mensuales aumentan
variables y un interés del 2,5% mensual; usted paga el primer mes una cuota en$ 45.000. Hallar la tasa interna de retorno para el almacén en esta nueva
de $ 28. 000, el segundo mes $ 29. 000, el tercer mes $ 30. 000 y así suce- situación.
sivamente durante un año. A partir de esta fecha las cuotas se deben reajustar
. en una tasa constante cada mes. ¿Cuál debe ser la tasa de reajuste mensual 9.24 Se tiene hoy una deuda de$ 850.000 y se debe cancelar en cuotas.mensuales
para que la deuda quede cancelada al final de los 15 años?
9.16 Una institución que capta dinero a nivel de inversión, tiene entre sus planes
A así: ~ 40.000 la primera, $ 55.000 la segunda, $ 70.000 la tercera y así
su~es1va~ente. Si el interés que se cobra es del 2,5% mensual, ¿al cabo de
cuanto tiempo se amortizará la deuda? Dar la respuesta en número entero
el siguiente: por una serie de 10 depósitos por mes anticipado de $ 2.000
FI
de meses, así la Ültima cuota no guarde relación con las anteriores, por lo
cada uno que se hagan en la institución, ésta se compromete a otorgar 24 tanto el problema puede tener dos soluciones.
pagos mensuales empezando 15 meses después de iniciada la inve~sión, de
tal manera que cada pago sea igual a la cuarta parte del saldo existente al 9.25 Una corporación le hace a usted un préstamo por$ 1,4 millones los cuales
final del mes anterior. Si al hacer el último pago el saldo que queda es de
$ 2,000, hallar el rendimiento del dinero en esta institución. A ~e deben am~rtizar, inicialmente, en un plazo de 8 años con cuota; mensuales
iguales y un mt~rés del 30% nominal mensual para los cuatro primeros años
y del 34% nommal mensual de allí en adelante. Transcurridos dos años la
9.17 Resolver el problema 9.16 si el primer.pago lo hace la institución un mes corporac!ón ?:cide cambiar el contrato, de común acuerdo con usted, para
después de haber realizado el último depósito. la amornzacion del saldo. Este nuevo contrato estipula que a partir de la
fecha las cuotas se reajustarán en un determinado porcentaje constante cada
9. 18 Un profesional está estudiando la posibilidad de hacer una donación a su mes, de tal manera que conservando las tasas de interés del primer contrato,
universidad que consiste en que ésta pueda disponer de las sumas de la deuda quede cancelada dos años antes de la fecha dada en el primer
$ 60.000, $ 50.000, $ 40.000 y $ 30.000 al final del primero, segundo, contrato. Hallar la tasa de reajuste mensual.
tercero y cuarto trimestre respectivamente de cada año, para· ayuda a otros
estudiantes. El profesional debe efectuar un depósito único hoy _de $ 612. 000,
en una institución financiera y la universidad deberá hacer allí los retiros 9.26 R.esolver el problema (9.25) suponiendo que en el segundo centrado se con-
de las cantidades respectivas, en las fechas correspondientes. ¿Qué tasa de v1~ne que}ª tasa de interés. sea del 32% nominal mensual para los dos
interés nominal trimestral debe pagar la i~stitución financiera para que la pnmeros ~nos, del 34% nominal mensual para los dos años siguientes y del
universidad pueda disponer de estas sumas todos los años a perpetuidad? 36% nommal mensual para los dos últimos años.
9. 19 ¿Para que tasa de interés trimestral, el fondo anterior se agotará dentro de 9.27 Un padr~ de f~~ilia instaló en el garaje de su casa una pequeña cafetería
20 años? con una mversion de $ 860.000. De allí en adelante cada dos meses debe
hacer nuevas inversiones de$ 150.000 cada una; obtiene ingresos semanales
9. 20 Un proyecto de inversión consiste en invertir hoy $ 1,2 millo~es Y. retirar d~I orden de los $ 55_.000. Si este señor mantiene el negocio durante tres
cada mes la mitad de los intereses devengados en ese mes. Si al final de anos, hallar una tasa mtema de retomo bajo estas condiciones.
los dos años, después del retiro correspondiente, se tiene un saldo de$ 1,65
millones, hallar la tasa interna de rentabilidad de este proyecto. 9.28 Un agricultor cultiva 30 fanegadas anuales de maíz. Cada año obtiene dos
cosechas, una en el primer semestre y la otra en el segundo semestre. Las
9.21- En el problema (9.20) suponer que dentro de un año se hace un ret~o,adicional inversiones al principio de cada semestre son del orden de los $ 400.000
de $ 600.000 y que el saldo dentro de dos años sea de $ 1 millón. Hallar por fanegada, los gastos de recolección al final de cada semestre son de
la tasa interna de rentabilidad.
MATEMATICAS FINANCIERAS BIBLIOGRAFIA 295
294
$ 200.000 por fanegada. Los ingresos provenientes de ·ta venta de maíz Y BIBLIOGRAFIA
pastos son de$ 1 '050.000 por fanegada el primer semestre y de$ 750.~
por fanegada para el segundo. Calcular una tasa de retorno para dos anos 1. ALLENDOERFER, C. y C. OAKLEY. Fundamentos de Matemáticas Universitarias
3a, Ed. Me Graw-Hill, 1977.
de esta actividad. 2. B.C.H. Cédulas de Inversión B.C.H. Banco Central Hipotecario, 1984.
3. BUDNICK, F. Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias
9.29 Resolver el problema (9.28) bajo el supuesto que los ingresos en ambos Sociales. Me Graw-Hill, 1982.
semestres del año sean de $ 1 '050.000 por fanegada. 4. BUSH, Y. Fundamentos de Matemáticas Me Graw-Hill, 1980.
5. COOS, R. Análisis y Evaluación de Proyectos de Inversión. Limusa, 1982.
9.30 Un camión tiene un valor inicial de $ '36 millones y tiene ~apacidad para 6. FABRYCKY, W. y G.J. THUESEN. Decisiones Económicas. Análisis y Proyectos
transportar 25 toneladas. Cada mes puede hacer tres recomdos con carga P.H.I., 1981.
completa y se obtienen ingresos de$ 28.000 por t?nelada transportada. ~os 7. GITMAN, L. Fundamentos de Administración Financiera. Harta, 1978.
gastos de mantenimiento y conductor suman ~ 1 500.000 cada me~. S1 al 8. GOLDBERG, S. Introduction to Difference Equations Science Editions, 1961.
final de tres años . el camión se vende en 28 millones, hallar la tasa mterna 9. GOMEZ, H., ORTEGA F. y SANCLEMENTE P. Lecturas sobre Moneda y Banca
en Colombia. Fondo Cultural Cafetero.
de retorno de este proyecto. 10. INFANTE, A. Evaluación Económica de Proyectos de Inversión. 4a. ed. Biblioteca
Banco Popular, 1979.
9. 31 Como ejercicio de investigación, analizar el funcionamiento y rentabilidad 11. LAURENCE, S. Administración Financiera. Me Graw-Hill, 1976.
de los siguientes papeles comerciales: 12. O.N.U. Manual para la Evaluación de Proyectos Industriales. Publicación de las
Naciones Unidas, 1978.
a) Bonos de Desarrollo Económico 13. PORTUS, L. Matemáticas Financieras. la. ed. Me Graw-Hill, 1983.
14. PROTTER, M.H. y MORREY C.B. Cálculo con Geometría Analítica. 3a. ed. Fondo
b) Bonos del I.F.I.
Educativo Interamericano, 1980.
e) Certificado de Abono Tributario (C.A.T.) 15. TARQUIN, A. y BLANK L. Ingeniería Económica. Me Graw-Hill, 1978.
d) Certificado de Depósitos a Término (CD.T.) 16. TAYLOR, G. Ingeniería Económica. Limusa, 1978.
17. THUESEN, H., FABRYCKY W. y THUESEN G. Ingeniería Económica. P.H.I.,
e) Certificado de Cambio 1981.
f) Certificados Cafeteros 18. WADE y TAYLOR. Matemáticas Fundamentales. Lirnusa, 1977.
19. WHITE,J.M.H. AGEEyK.E. CASE. TécnicasdeAnálisisEconómicoenlngeniería.
g) Títulos Financieros Agroindustriales Limusa, 1981 .
h) Títulos de participación del Banco de la República 20. ZARRUK, G. CARLOS A. La corrección monetaria y el crédito en UPAC. Instituto
Colombiano de Ahorro y Vivienda.
i) Depósitos a Término UPAC
•
RESPUESTAS 297
l
1
d) U1 = 250 + t (t-1)
RESPUESTAS
(A los problemas múltiplos de tres)
e) R1 = (1.003 + t) (0r-3
CAPITULO 1 2.24 q1 = p (1-r)1-1 . .
X = e
2.27 Sr = (65.000 + t;)<l ,25Y
1.3 i) X = 5 ii) X = -3 iii)
iv) X = 30 v) X = 1
1.9 i) No es progresión ii) Progresión aritmética 2.30 u, = $799,98
iii) No es progresión iv) ' No es progresión
v) Progresión aritmética vi) Progresión geométrica CAPITULO 3
1.12 A = 574.864
1.15 n = 20 3.3 a) 2 años
1.18 Si. Los premios son: 8.500, 8.000, 7.500, ... , t.500 b) 13 trimestres
1.21 a) l,073Xl09 b) 5,7646 X 1017 3.6 Invertir en la empresa.
1.24 $2'000.000, $1 '600.000, $1 '280.000 y el décimo: $268.435 3.9 $8'670.667
1.27 p = $34,65 ' 3.12 19 meses
1.30 n = 12 días 3.15 $389.667
3.18 38 meses
CAPITULO 2 3.21 14 trimestres
3.24 $284.985
2.3 a)
e)
Y,= 1/2,
Yr = 6 (-1)1
b) Yr = 4 (l/2Y+ 2
d) Y=
t
243
8
E- 4~r
9,.
3.27
3.30
3.33
9 trimestres
a) 36%
La 'primavera
b) 26,52% e) 33,56% d) 34,97%
3.36 ,$664.884
1 3.39 $544.737
e) Y,= 6
(_21)(
\ + 3.42 La segunda alternativa
2
3.45 $189.471
12.6 z.ujr, = 15.000(1,16)1-1 2.12) Sr= 45.000 3.48 15,56%
3.51 13 meses
2.13)Sr = 45.020 t.\ 21)_\ t

+ 20t-20
3.54 $295.518
$3'807.&50
F:ll
3.57
3.60 $652.979
3.63 $212.912
2.9 Al cabo de 26 días.
2.12 $3' 145.743 CAPITULO 4
2.15 a) Y1 = C1 +!1
b) C1 = aY1
4.3 $339,8 millones (
e) Y1+1-Y1=bl1+1
2.18 ' $1 '835.042 1'\ 1 ~I 4.6 $1 '012.506 <
4.9 $5'727.500
2.21 a) $ Sr = _ML (1,03) + -1!L 4.12 $8.801
O,Ol 0,03
4.15 $13'362.500
4.18 $191.010
b)
e)
S, ·= 19.400 (0,98Y
F1 = -32.170 (l,lt1
+ 25ot-12Aoo
-30t + 34.700 ~I 4.21 $6'207.840
F=I
RESPUESTAS 299
MA TEMATICAS FINANCIERAS
298
4.24
4.27
$55.505
$16'945.503
¡ 5.54
5.57
$85.830
$89,916 millones
5. 60 $29, 78 millones
4.30 309.189 5.63 $3,178 millones
4.33 16 meses 5.66 Primera cuota de $130.079
4.36 8 trimestres 5.69 A = -$22.431
4.39 $1'619.876 5.72 $12,324 millones
4.42 $799.376 5.75 $16,26 millones
4.45 -$242.383 5. 78 $4,327 millones
4.48 Por tiempo indefinido 5.81. $363.071
4.51 33 meses 5.84 $6.785,5"
4.54 $38.336 . 5. 87 $993. 304
4.57 41 retiros 5.90 $4,7 millones
4.60 $3.515,7 5.93 $4,744 millones
4.63 229.622 5.96 $Al cabo de 14 meses
4.66 $870.966 5.99 $799.470
4.69 $35.077 5.102 $96.293 antes y $.94.295 después
4.72 $126.941 y $2'051.043 . 1
4.75 $150.110 1'

4.78 $32.064 CAPITULO 6
4.81 $366.857
A.84 $495.026 6.3 $12.940,5
4.87 $3;759 6.6 $360.640
4.90 $17.065 6.9 $880.660
6.12 $1 '727.307
•• CAPITULO 5 6.15 $488.809
6.18 $489.911
5.3 $142.810 6.21 $3'890.395
5.6 $228.298 6.24 $1 '724.081 y $3'670.843
5.9 $149.792 6.27 $429.437
5.12 $5'214.813 6.30 $45.658
5.15 $62.500 y $78.400 6.33 Disminuyó en el 17 ,47% .
5. 18 $295.943 6.36 $26.721 de intereses y $11.035 de capital
5.21 $160.460 6.39 $42.628
5. 24 Primer~•cuota de $167.123 6.42 $882.500 y $108.333,33
5. 27 $3.250 primer pago 6.45 $6'192.890
5.30 $1 '888.380 6.48 Intereses $64.943,6, abono a capital $290.422,5
5.33 Primera cuota de $341.494 6.51 $11'598.824
5.36 $649.283
5.39 Primera cuota de $22.431 CAPITULO 7
5.42 $21'682.486
5.45 $156.318 7.3 VPN(A) = $32.857, VPN(B) = $513.484. Seleccionar el activo B.
5.48 $222.800 7.6 VPN(A) = -$52.527, VPN(B) = -$49.183 = -$Seleccionareldela
5.51 52 cuotas y de $596.160 la última clase B.
53 cuotas y de $219.993 la última
-"' '
300
7.9 VPN(l) = -$4,123 millones, VPN(2) = -$5,279 millones. Seleccionar

la alternativa de comprar la máquina.
7.12 VPN(l) = -$2,794 millones, VPN(2) = -$1,897 millones. Seleccionar
la segunda clase.
7 .15 - VPN(l) = 114,7 millones, VPN(2) = $105 millones. Seleccionar el cul-
tivo de zanahoria.
7 .18 VPN(l) = -$16,688 millones, VPN(2) = -$15,372 millones. Seleccionar
la alternativa de tomar en arriendo.
7 .21 VPN(A) = -$25, 153 millones, VPN(B) = -$28,626 millones. Seleccionar
la propuesta A.
7 .24 VPN(A) = -$2,097 millones, VPN(B) = -$1,897 millones. Seleccionar
la máquina clase B.
1
7.27 VPN(l) = -$10,879 millones, VPN(2) = -$13,59 millones. Seleccionar 1
- 1
la primera alternativa.
CAPITULO 8 INDICE ALF ABETICO

. 1
8.3 Costo promedio mensual de $35.917

8.6 CAUE = -$80.955
. 8.9 CAUE = $1,425 millones de ganancia trimestral
8.12 CAUE = $2.679 A B
8.15 CAUE = $4,34 millones de ganancia mensual
8.18 CAVE= -$633.173 Alternativas: Base:
8.21 A = $119.846 Selección de, 241 De logaritmo, 18
8.24 CAUE = $1,022 millones Por el método de CAVE 266
8.27 CAVE = $134.640 promedio de ganancia mensual Por el método de la TIR' 286 c
8.30 CAUE(N) = -$52.880, CAUE(V) = -$47.007 Por el método del VPN ' 242
1
.comprar la máquina usada. Para un solo proyect¿, 242 Capitalización, 66
Para dos o más proyectos, Cédulas de inversión BCH 287
243 Ciclo de vida útÚ, 242 '
CAPITULO 9 Amortización, 205 Composición de los pagos, 214
Sistemas de, 206 Corporación de Ahorro y Vivienda
9.3 2,922% mensual En el sistema UP AC 220 221 '
9.6 10,2% enual Anualidad, 118 ' Corrientes y constantes, valores, 100
9.9 4, 13% semestral Vencida, 118 Costo anual uniforme equivalentes
9.12 5,69% mensual Cálculo de la anualidad, 122 (CAVE), 261
9.15 0,58% mensual Cálculo de la tasa de interés, 126 Cálculo del, 262
9. 18 30% nominal trimestral Cálculo del tiempo, 125 Neto, 264
9.21 3% mensual Valor futuro, 119 Selección de alternativas utilizando
9.24 9 meses y la última cuota de $250.640, ó 10 meses y la última cuota de Valor presente, 121 el, 266
$92.007 Anticipada, 128 Costo capitalizado, 248
9.27 19,38% mensual Diferida, 131 Crédito bancario, 216,217
9.30 1, 17% mensual Perpetua, 133 Con interés anticipado, 219
INDICE ALFABETICO 303
302
p T
Con interés vencido, 217 G Tabla de amortización 2!5,216
Criterios para la selección de altemati- Tabla
,220 de correcció~ monetana, .
Gittinger Pagos, 205
vas: Composición de Jos 214 89
Regla de, 283
Según el CAUE, 266 Período, 65 ' Tasa deflactada, 99
Gradiente aritmético,
Según el VPN, 242,243 Tasa de devaluación 102
Según la TIR, 286
Creciente, 156
Valor futuro de, 157
Pesos constantes (ver valores constan-
tes), 100 Tasa de inflación, 98
Tasa de oportunidad, 103
Cuotas Valor presente de, 160 Pesos corrientes (ver valores corrien-
Composición de, 214 tes), 100 Tasa de interés, 65
Diferido, 163
De amortización, 206 Progresiones, 22 Anticipada, 90
Perpetuo, 166
168 Aritmética, 22 Compuesta, 97
Gradiente geométrico,
D Geométrica, 23 Compuesto, 78
Creciente, 169
Continuo, 86
Valor futuro de, 170 Promedio financiero, 262
Deflactación, 99, 100 Discreta, 85
Valor presente de, 170 Propensión marginal al consumo 25
Derechos sobre un activo, 212 Proyección de la cuota, 223 ' Efectiva, 79
Decreciente, 177
del acreedor, 212 Equivalente, 81
Valor futuro de, 177
del deudor, 212 Nominal, 80
Valor presente de, 177 R
Diagrama del flujo de caja, 67 Real, 97
Perpetuo, 179
Diagrama de tiempo valor, 67 Simple, 78
Diferencia finita, 34 Vencida, 90
Razón, 23
definición de, 34 I Tasa inflada, 99
Renta
ecuación de, 35 Tasa interna de retorno (TIR),
Uni~orme (ver anualidad), 117
Incremento, 22 279,280
Vanable (ver series variables), 155
E Interés Cálculo de Ja 282
Retorno, tasa mterna de, 279 Selección de 'alternativas con la
Clases de, 65
286 '
Ecuación Compuesto, 66 s Tasa· rruruma
, ·
De diferencia finita, 35 Definición de, 63 atractiva de rentabilidad
Solución de una, 36,39 Simple, 65 (TMAR), 103
Interpolación lineal, 75' Saldo, 208 Tiempo, 65
Solución general de una, 36
Fórmulas para calcular el 209,
Solución particular de una, 36 V .J.
210, 211, 212 ,
Lineal de primer orden, 36
L En el sistema UPAC, 220 Valor constante, 100
Solución general de, 43
Selección de alternativas Valor corriente, 100
Ensayo y error, método de, 75
Logaritmo (ver función logaritma), Por el método del CAUE 266 Valor de mercado, 242
Equivalencia, 68 Por el método de la TIR,' 286
Exponente (ver función exponencial) 18 Valor futuro, 68
Lineal, ~cuación de diferencia, 35 ,37 ~or el método del VPN, 242,243 Valor presente, 70
l
Senes Uniformes, 118 V alo~ pr~sente neto (VPN), 241
F Series variables, 155 Cnteno del VPN para un solo pro-
M Sistemas de amortización, 206 yecto, 242
Factor de distribución, 262
Sistemas de amortización en pesos Criterio del VPN para dos 0 más pro-
Flujo de caja, 67 Método, para la selección de alternati- 222 ' yectos, 243
Función vas Sistemas de amortización en UPAC Definición de, 241
Exponencial,. 17 Del.CAUE, 261 222 ' Interpretación del 242
Propiedades, 18 De la TIR, 279 Sistemas de capitalización, 78 Vida útil, 242 '
Logarítmica, 18 Del VPN, 241
Futuro (ver valor futuro)

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,·

A INTRODUCCION ........ . . .................... 9

l==I 1.3 Función logarítmica

El presente libro es el resultado, en primer lugar, del invaluable apoyo, estímulo

• t=FI¡·- Dado el adelanto tecnológico, el uso de la calculadora manual y el computador,

F.=I "Matemáticas Financieras con Ecuaciones de Diferencia Finita" busca que el

Terminados los temas anteriores, el lector quedará en condiciones de iniciar cursos

FUNCIONES LOGARITMICA Y EXPONENCIAL.

No obsfante que la mayoría de las máquinas calculadoras que utilizaremos en el

El objetivo de este capítulo es que el lector maneje y aplique los conceptos

1.2 FUNCION EXPONENCIAL

18 MATEMATICAS FINANCIERAS FUNCIONES LOGARITMICA Y EXPONENCIAL PROGRESIONES 19

Las propiedades de la función exponencial son las siguientes para b

Dado un número real positivo b se llama función logarítmica, en la base b y se

Hallar el valor de n tal que: en la cual debemos hallar el valor de n.

In (3 - 2n) - 2ln(n) O Podemos escribir la ecuación anterior como:

1.4 PROGRESIONES La sucesión de pagos constituye una progresión aritmética donde:

Definición 1.3 s = 1212 [2(4.080) + (12 - 1)(-90)] = $ 43.020

Supongamos que la propensión marginal ál consumo en una cierta economía es PROBLEMAS

iii) log; e5 = 5 iv) log (3x2) = 1 + log (9x)

1.4 Resolver para x, cada uno de los casos siguientes:

i) e -0,05x = o 01 ii) 113 (2)-" = 12

1.5 En un determinado país, la población aumenta a una velocidad del 10%

1.7 ¿Cuánto tiempo tardará en triplicarse un capital invertido al 25% de interés

1.8 SiD = {x!x = 5 + 3 (n - 1); n =l, 2, 3 ... },

cuesta$ 350, recorre 550 metros, ¿Cuánto ha gastado en gasolina durante

l.27 Sea p el precio unitario de un artículo y sea V(P )= 100e-0•02P la función

ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA

El estudio de las situaciones donde interviene una variable discreta es de gran

2.2 DIFERENCIA FINITA

En adelante las llamaremos simplemente ecuaciones de diferencia. El orden de

a) Y1+ 1 + 3}'.'1 = O b) Y1+1 = 2Y1 + 5t

Figura 2.1. Representación gráfica de ti j(t).

Definición 2.3 2.4 ECUACION DE DIFERENCIA LINEAL DE PRIMER ORDEN

Son ejemplos de ecuaciones de esta clase, además de los casos, a, b, e, d, e y

Ejemplo 2.3 la cual se puede llevar a la forma

Esto lo podemos ver en la figura siguiente: Y1 + 1 = AY1 + B, dado Y0

Entonces la ecuación (2-3) va tomando las formas siguientes según el valor de t:

Pero si A = 1, se obtiene que Y, = Y0 + Bt Solución

Si conocemos es el valor de Yk para k *

y aquí podemos ver que A = 2 y B = 113; como A *

Y,= 2' (2/3) + 113 [

donde C es una constante arbitraria. Y1 = 25 (4)' -

Hallar la solución a la siguiente ecuación de diferencia bajo la condición dada:

La solución particular Yp(t) será de la forma:

2K = 3, -a = 4, a - b = O Y1+ 1 - 3Y1 = 12(3)1, si Y0 = :i,¡.

A partir de nuestra solución particular se tiene que Solución

YP(t + 1) = K(t + 1) · (3)'+

La solución particular debe tener la forma siguiente:

3K(3)' = 12 (3)t Yp(t) = t(at + b)

es un polinomio de cualquier grado, como en nuestro caso que es de primer Y, = 4 + t(t - 4)

Sin embargo como A ~ 3 y la base de la exponencia es también 3, entonces la Ejemplo 2 .12

dedonde:K = 4/3·,a = l,b = 112,detalmaneraquelasoluciónparticulares Ejemplo 2.13

S,+ 1 = S, - (1/2)Sr + lO(t + 1) A P,>

S,+ 1 - (l/2)Sr = lOt + 10

S, = 45.000 (1/2)r; t = O, 1, 2, ...

y así el saldo dentro de 15 días estará dado por

F,:; e) Y,+1 = 2Y,