Unidad 5

Graciela García Arana Electricidad y Magnetismo
UNIDAD V
Inducción electromagnética
Experimentos de Michael Faraday
Se ha visto anteriormente que cuando por un conductor fluye corriente se produce un campo
magnético. En 1831, Michael Faraday, en Londres, y Joseph Henry, en Albany, encontraron en
forma independiente que el efecto inverso también es posible. Es decir, que un campo magnético
puede producir una corriente en un circuito cerrado pero debe cumplirse la condición importante de
que el flujo magnético de enlace en el circuito debe estar cambiando.
En la figura 5.1 se muestran algunos dispositivos que utilizó Michael Faraday en sus experimentos
de inducción. El detector más sensible de tales corrientes era el galvanómetro. Consistía en una
aguja imantada pivotada como la de una brújula o suspendida por un hilo delgado entre dos bobinas
de hilo. A veces se usaba otra aguja exterior a la bobina, pero conectada rígidamente a la primera,
para compensar la influencia del campo magnético terrestre (figura 5.1a). Los esquemas en la figura
5.1b hasta 5.1f representan algunos de los dispositivos que uso Faraday en sus experimentos.
Figura 5.1
Inicialmente Faraday estuvo desorientado al hallar que una corriente estacionaria no tenía efecto
detectable en un circuito próximo. Pero en uno de sus experimentos notó una ligera perturbación del
galvanómetro cuando conectaba la corriente y otra cuando la desconectaba. Siguiendo este camino,
pronto estableció que las corrientes se inducen en otros conductores, no por una corriente
estacionaria, sino por una variable.
En la figura 5.2 se muestran algunos de los experimentos que realizó Michael Faraday ya
esquematizados. Cuando se desplaza un objeto y el otro está en reposo, encontramos exactamente la
misma corriente inducida que si el segundo objeto se mueve en la dirección opuesta, con el primer
objeto en reposo. a) Un imán se acerca a una espira. b) Una espira portadora de corriente se acerca a
una segunda espira en reposo. c) La corriente por la bobina del lado izquierdo (primaria) cambia al
cerrar el interruptor y una corriente inducida en la bobina secundaria (es el efecto fundamental del
transformador). d) Al cerrar el interruptor de un electroimán, se modifica el campo entre los polos;
142
observe que se induce una corriente en la espira, incluso cuando el campo magnético en ella es
esencialmente nulo. e) Se hace girar una espira en la región de un campo magnético. f) Se deforma
una espira; en este caso, el flujo magnético cambia porque se reduce el área por la que pasa.
Figura 5.2
5.1 Ley de Faraday

Ley de Faraday de la inducción o ley de Faraday de la inducción electromagnética. Siempre
que exista un movimiento relativo entre un imán y una espira, se generará una corriente en el
circuito. Esto es muy importante en vista de que se crea una corriente, llamada corriente inducida,
y por lo tanto también se produce por una fuerza electromotriz (fem) inducida.
La fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la razón de variación del flujo

magnético a través de un circuito con respecto al tiempo. Este enunciado, conocido como ley de
Faraday de la inducción, se escribir matemáticamente como
ε   dm (5.1)
dt
donde m es el flujo magnético que abarca el circuito
Si el circuito es una bobina constituida por N espiras, todas de la misma área, y si el cambio del
flujo magnético es el mismo en todas las espiras, la fuerza electromotriz se obtiene de
ε   N dm (5.2)
dt
La expresión (5.2) da la fem inducida instantánea. Pero a veces se tiene únicamente la situación
inicial y final del flujo magnético. Por lo que, no se puede calcular la fem inducida instantánea y
únicamente la fem promedio, la cual se define como
ε   N Δm (5.3)
Δt
donde:
m = Cambio del flujo magnético
t = Intervalo de tiempo requerido por el cambio del flujo magnético
143
En la resolución de problemas debe identificarse el origen de la variación del flujo magnético. Éste
puede variar debido a las razones siguientes:

1. La magnitud de B puede variar.
2. El área del circuito puede variar.

3. El ángulo entre B y la normal al plano puede variar.
4. Puede ocurrir una combinación de las tres cosas anteriores.
Ejemplo
Una espira cuadrada de una sola vuelta de 0.20 m de lado se coloca con su plano perpendicular a un
campo magnético constante. Una fem de 18 mV es inducida en la espira cuando el área de ésta
disminuye con una rapidez de 0.1 m 2 / s . ¿Cuál es la magnitud del campo magnético?
Solución
2
  18  103 V , dA  0.1 m
dt s
La fem inducida está dada por la expresión (5.1)
ε   dm   dBA
dt dt
donde el flujo magnético es igual a BA , porque B es perpendicular al plano de la espira. En este
caso lo que varía es el área y el campo magnético puede salir de la derivada pues es constante
ε  B dA
dt
despejamos la magnitud del campo magnético
B
ε
dA
dt
sustituimos valores
18  10-3
B
 0.1
B  0.18 T
Fuerzas electromotrices y campos eléctricos
Se ha visto que un flujo variable induce una fem y una corriente en una espira conductora. Se debe,
en consecuencia, concluir que se genera un campo eléctrico en el interior de un conductor como
resultado del flujo magnético variable. En realidad, la ley de la inducción electromagnética
demuestra que siempre se crea un campo eléctrico mediante un flujo magnético variable, incluso en
el espacio libre donde no existen cargas libres.
Si se considera una espira conductora de radio r situada en un campo

magnético uniforme y perpendicular al plano de la espira (figura 5.3).
Si el campo magnético varia con el tiempo, entonces la ley de Faraday

establece que se induce una fem en la espira, la cual se obtiene de
ε   dm
dt
Figura 5.3
144

La corriente inducida que resulta, implica la presencia de un campo eléctrico E , que debe ser
tangente a la espira puesto que todos los puntos de ella son equivalentes. El trabajo que se realiza
para mover una carga de prueba, q, alrededor de la espira es igual a q . Por otro lado, la fuerza
eléctrica que actúa sobre la carga es qE y el trabajo realizado por esta fuerza al mover la carga una
sola vez alrededor de la espira es qE(2r ) , igualamos las dos expresiones del trabajo
qε  qE(2 π r)
E
ε
2π r
Si se usa este resultado y la ley de Faraday

dm

E dt   1 dm
2π r 2 π r dt
pero el flujo magnético en la espira circular de radio r es
m  Br 2

pues B es perpendicular al plano de la espira. Sustituimos el flujo en la expresión del campo
eléctrico
1 dBπr 2
E
2 π r dt
r dB
E (5.4)
2 dt

El signo negativo indica que el campo eléctrico inducido E se opone al campo magnético. Este
resultado también es valido en ausencia de un conductor cuando el punto está dentro del campo
magnético.
Recuerde que la fem para cualquier trayectoria cerrada puede expresarse como la integral de línea
 
de E d s . En consecuencia, la forma general de la ley de Faraday que se obtiene es
ε   E d s   dm
 
(5.5)
dt
  
El campo eléctrico E de la expresión (5.5) es un campo no conservativo, es decir, la  E d s no es

cero. El campo eléctrico E puede ser variable en el tiempo, por lo que no se puede asociar un
potencial eléctrico. Las líneas de campo eléctrico no se originan ni terminan en cargas eléctricas
pero tienen que ser de todos modos continuas, las líneas de campo eléctrico generado por un flujo
magnético variable son líneas cerradas.
Ejemplo
Un campo magnético dirigido hacia dentro de la hoja cambia con el
tiempo de acuerdo con la expresión B  (2t 3  4t 2  0.8) T , donde t
está en s. El campo tiene una sección transversal circular de radio
R  2.5 cm (figura 5.4).
a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en el punto P1 cuando
t  3 s y r1  0.02 m ? Figura 5.4
145
b) Calcule la magnitud de la fuerza ejercida sobre un electrón colocado en el punto P2 a una

distancia del centro del circulo de 5 cm cuando t  2 s .
c) ¿Para qué tiempo la fuerza es igual a cero?
Solución
B  (2t 3  4t 2  0.8) T , R  2.5 cm
a) r  0.02 m , t  3 s
Como el punto está dentro del campo magnético, la magnitud del campo eléctrico, está dada por la
expresión (5.4)
r dB
E
2 dt
sustituimos la expresión del campo magnético
r d(2t 3  4t 2  0.8) r
E   (6t 2  8t)
2 dt 2
sustituimos valores
0.02
E (6(3) 2  8(3))
2
N
E  0.3 .
C
b) r  0.05 m , q  1.6  1019 C , t  2 s

Como el punto está fuera del campo magnético, se utilizará la expresión (5.5)
ε   dm   dBA
dt dt
Como el campo magnético varía únicamente en el círculo de radio R, la área que se considera es
únicamente la de este circulo de radio R, entonces
ε  A dB   π R 2 dB
dt dt
sustituimos la expresión del campo magnético
ε   π R 2 d(2t  4t  0.8)   π R 2(6t 2  8t)
3 2
dt
Por otro lado, como se desea el campo eléctrico en el punto P2. La fem a partir del campo eléctrico
inducido, está dado por
 
ε   E d s  E2π r
Pues el campo eléctrico es tangente sobre cualquier circunferencia concéntrica al circulo de radio r,
y la integral se hizo sobre está.
Igualamos las dos expresiones de la fem inducida

E 2 π r   π R 2(6 t 2  8t)
despejamos el campo eléctrico
R2 2
E (6t  8t)
2r
146
Entonces la fuerza eléctrica, está dada por

qR 2
F  qE   (6 t 2  8t)
2r
sustituimos valores
(1.6  10-19 )(2.5  10- 2 ) 2
F (6(2) 2  8(2))
2(0.05)
F  8  1021 N  8 zN
c) Igualamos a cero la expresión de la fuerza

qR 2
F (6 t 2  8t)  0
2r
6 t  8t  0
2
factorizamos t
t (6t  8)  0
Los instantes para que la fuerza es cero son:

t  0 s y t  1.11 s
Diferencia de potencial inducida en una barra en movimiento
Considere un conductor rectilíneo de longitud  que se mueve con velocidad

constante v perpendicularmente a un campo magnético uniforme (figura 5.5).
Las cargas libres en el conductor experimentarán una fuerza a lo largo del

 
conductor dada por q v B . Los electrones se moverán hacia el extremo
inferior, dejando una carga positiva en el extremo superior. Entonces se Figura 5.5
produce un campo eléctrico dentro del conductor aumentando hasta que la
fuerza eléctrica qE equilibre la fuerza magnética qvB , es decir
qE  qvB
E  vB
y la diferencia de potencial V , está dada por
V  E  vB
V  vB (5.6)
Debe observarse que la expresión (5.6) es valida bajo las condiciones siguientes: la barra es
perpendicular al campo magnético, la velocidad es constante y perpendicular al campo magnético y
además todos los puntos de la barra tienen la misma velocidad.
Ejemplo
Una hélice rígida conductora de longitud L gira mecánicamente con una
velocidad angular ω alrededor de un eje perpendicular a la barra y a través de
su centro (figura 5.6). Si un campo magnético uniforme existe paralelo al eje
de rotación de la barra, a) demuestre que la diferencia de potencial inducida
entre el centro de la barra y uno de sus extremos es proporcional a L2. b)
Evalúe la magnitud de la diferencia de potencial para L  0.2 m ,   60 rad / s Figura 5.6
y B  1 .2 T .
Solución
L  0.2 m ,   60 rad/s y B  1.2 T
147
a) En este caso todos los puntos de la hélice no tienen la misma velocidad. Por
lo que consideramos un diferencial de longitud de la barra, donde todos los
puntos del diferencial tendrán la misma velocidad, colocándolo a una distancia
r del punto O (figura 5.7). La diferencia de potencial inducida, está dada por
dV  Bvdr
Recuerde que la relación entre la velocidad tangencial y la velocidad angular Figura 5.7
es
v  r
sustituimos la velocidad tangencial en la expresión de la diferencia de potencial
dV  Brdr
Como toda la hélice mide L y se quiere la diferencia de potencial entre el centro y uno de los
extremos. Los límites de integración son de 0 a L/2. Integramos de 0 a L/2
B 2 L2 B   L  
L/2 L/2 2
V   Brdr  B  rdr  r     02 
0 0
2 0 2   2  

B 2
V  L
8
b) Sustituimos valores
(0.2) 2
V  (1.2)(60)
8
V  0.36 V
Fem de movimiento en un circuito
Considere un circuito que consta de una barra conductora de longitud 

que se desliza a lo largo de dos rieles conductores paralelos fijos unidos
por un resistor (figura 5.8).
Se supondrá que la barra móvil tiene una resistencia nula y que la parte
del sistema que está estacionaría tiene una resistencia R. Se aplica un

campo magnético uniforme y constante en magnitud B y perpendicular Figura 5.8
al plano del circuito. A medida que se jala la barra las cargas libres en la barra experimentan una
fuerza magnética a lo largo de la barra, generando una corriente eléctrica inducida en el circuito.
El área del circuito en cualquier instante es x donde x es la distancia del lado que contiene el
resistor a la barra y el campo magnético es perpendicular al plano del circuito, el flujo magnético es
m  Bx
Por la ley de Faraday

ε   d m dBx
  B
dx
dt dt dt
  Bv (5.7)
Como la resistencia del circuito es R, la magnitud de la corriente inducida es

I
ε  Bv
R R
148
Bv
I (5.8)
R
Ejemplo
Considere el arreglo de la figura 5.9. Supóngase que R  6  ,
  1.2 m y que un campo magnético uniforme de 2.5 T está dirigido
hacia dentro de la página. a) ¿Con qué velocidad debería moverse la
barra para producir una corriente de 0.5 A en la resistencia? b) ¿Cuál
es la potencia aplicada en la barra? c) ¿Cuál es la potencia disipada
por el resistor? d) ¿Cuál es la dirección del campo magnético
generado por la corriente inducida?
Figura 5.9
Solución
R  6  ,   1.2 m , B  2.5 T , I  0.5 A
a) La corriente inducida, está dada por la expresión (5.8)
Bv
I
R
despejamos la velocidad
IR
v
B
sustituimos valores
(0.5)(6)
v
(2.5)(1.2)
m
v 1
s
b) Al desplazar la barra hacia la derecha, aparece una corriente

sobre la barra y ésta origina una fuerza magnética sobre la barra que
se opone al movimiento. Para desplazar la barra con velocidad
constante se debe aplicar una fuerza sobre la barra de la misma
magnitud que la fuerza magnética en dirección de la velocidad (ver
figura 5.10).
La magnitud de la fuerza magnética está dada por Figura 5.10

Fm  IB
Y la magnitud de la fuerza magnética debe ser igual a la magnitud de la fuerza aplicada, entonces
Fapl  Fm  IB
Recuerde que la potencia está dada por

P  Fv
sustituimos la fuerza aplicada en la expresión de la potencia
Papl  IBv
sustituimos la corriente inducida dada por la expresión (5.8) en la expresión de la potencia aplicada
Bv B2  2 v 2
Papl  Bv 
R R
sustituimos valores
(2.5) 2(1.2) 2(1) 2
Papl 
6
149
Papl  1.5 W
c) La potencia disipada por el resistor está dada por

PR  I 2 R
sustituimos la corriente dada por la expresión (5.8) en la expresión de la potencia disipada
2
 Bv  B2 2 v 2
PR    R
 R  R
que como podemos observar es igual a la potencia aplicada
d) Al moverse la barra hacia la derecha, los electrones libres sienten

una fuerza magnética hacia abajo. Por consiguiente se genera una
corriente convencional inducida hacia arriba (figura 5.11). Aplicando
la regla de la mano derecha para el campo magnético debido a una
espira, el campo magnético generado por la corriente inducida sale de
la hoja.
Figura 5.11
5.2 Ley de Lenz
La orientación de la fem, de la corriente y del campo eléctrico inducidos se pueden determinar a
partir de la ley de Lenz, la cual la podemos enunciar en la siguiente forma:
La corriente y la fem inducidas actúan en tal dirección que tienden a oponerse a

cualquier cambio en el número neto de líneas de flujo que pasan a través de la sección
transversal del circuito. Es decir, la corriente inducida tiende a mantener el flujo
magnético inicial a través del circuito.
Al aplicar la ley de Lenz, se recomienda observar los siguientes pasos:

1. Fijarse en una superficie definida por una espira por donde atraviesan las líneas de campo
magnético, esto incluye fijar una posición de donde se observa la superficie.
2. Ver cómo es el campo magnético (entra o sale) en la superficie considerada.
3. Ver cual es el cambio del flujo magnético (aumenta o disminuye).
4. Dar la dirección de la corriente o campo eléctrico inducido de modo que el campo
magnético generado por la corriente inducida anule el cambio del campo magnético inicial.
Considerando los siguientes casos:
 El número de x aumenta la corriente inducida debe generar •
 El número de x disminuye la corriente inducida debe generar x
 El número de • aumenta la corriente inducida debe generar x
 El número de • disminuye la corriente inducida debe generar •
Ya sabemos que debe generar la corriente

inducida (puntos o cruces) pero no sabemos la
dirección de la corriente inducida. Para esto
utilizaremos la regla de la mano derecha para
espiras, coloquemos la mano derecha entre la
superficie y el punto de observación indicados en Figura 5.12
el paso 1; si queremos generar puntos debemos
observar el dedo pulgar desde el punto de observación, si queremos generar cruces debemos
observar el dedo menique y en ambos casos los otros cuatro dedos nos indican la dirección de la
corriente inducida (figura 5.12).
150
Ejemplo
Utilice la ley de Lenz para dar respuesta a las siguientes preguntas concernientes a la dirección de la
corriente inducida que pasa por el resistor. a) Si el imán de barra se mueve hacia la izquierda, de la
figura 5.13a. b) Precisamente después de que se cierra el interruptor S en el circuito de la figura
5.13b. c) Si I en el alambre en la figura 5.13c disminuye hasta cero
Figura 5.13
Solución
a) 1. Considere la superficie derecha del tubo donde está enrollada la bobina, viéndola desde
afuera del tubo (figura 5.14.1).
2. El campo magnético en el imán va del polo Norte al polo Sur, se observa que el campo
magnético entra al tubo por esta superficie, es decir hay cruces en la superficie (figura
5.14.2).
3. Al acercarse el imán de la espira el número de cruces que hay en la superficie aumenta
(figura 5.14.3).
4. Aplicarse la ley de Lenz, la dirección de la corriente inducida debe generar puntos para
eliminar el incremento de cruces para que el número de cruces permanezca constante, es
decir, la corriente inducida debe generar un campo magnético dirigido hacia la derecha,
usando la regla de la mano derecha para espiras, se obtiene que la corriente debe circular
hacia abajo por el frente de la bobina o hacia arriba por detrás de la bobina, es decir, de
izquierda a derecha por la resistencia (figura 5.14.4).
Figura 5.14
b) En este inciso primero entenderemos la figura 5.13b. Se

trata de dos bobinas encimadas, una bobina está
conectada a la batería (la bobina de líneas delgadas) y
la otra está conectada a la resistencia (la bobina de
líneas gruesas). El alambre de las bobinas pasan por
enfrente del tubo en la izquierda (figura 5.13 inciso
(b)). Al cerrar el interruptor S, aparece una corriente
(que circula del borne positivo al borne negativo) que Figura 5.15
sube por el frente del tubo y baja por detrás; usando la regla de la mano derecha para bobinas,
el campo magnético generado por la bobina conectada a la batería tiene una dirección de
izquierda a derecha figura 5.15). La corriente que aparece debido a la batería es creciente por
un corto tiempo.
1. Considere la superficie del lado derecho del tubo donde están enrolladas las bobinas,
viéndola desde afuera del tubo (figura 5.16.1).
151
2. Como el campo magnético tiene una dirección de izquierda a derecha, se observa que el
campo magnético sale de la superficie, es decir, hay puntos en la superficie (figura 5.16.2).
3. Al aumentar la corriente, aumenta el campo magnético generado por la bobina. Entonces el
número de puntos aumenta (figura 5.16.3).
4. Al aplicar la ley de Lenz, la dirección de la corriente inducida deber ser de tal modo que el
número de puntos permanezca constante, es decir, la corriente inducida debe generar cruces
para eliminar el aumento de puntos. La corriente inducida debe generar un campo magnético
hacia la izquierda, usando la regla de la mano derecha para bobinas, en la bobina conectada
a la resistencia (figura 5.16.4), se obtiene que la corriente debe circular hacia arriba por
enfrente de la bobina o hacia abajo por detrás de la bobina, es decir, de izquierda a derecha
por la resistencia.
Figura 5.16
c) 1. Considerando la superficie limitada por la espira rectangular, y el punto de observación está

al frente de la hoja, es decir, es tu ojo (figura 5.17.1).
2. Usando la regla de la mano derecha para un alambre recto; se obtiene que el campo
magnético en la espira es saliente, es decir, hay puntos en la superficie (figura 5.17.2).
3. Al disminuir la corriente, disminuye el número de puntos (figura 5.17.3).
4. Al aplicar la ley de Lenz, la dirección de la corriente inducida debe ser de tal modo que el
número de puntos permanezca constante, es decir, la corriente inducida debe generar puntos.
Usando la regla de la mano derecha para espiras (figura5.17.4), se obtiene que la corriente
debe circular en el sentido de las manecillas del reloj, es decir, de izquierda a derecha en la
resistencia.
Figura 5.17
Generadores y motores
Los generadores y motores son importantes mecanismos prácticos

que funcionan gracias a la inducción electromagnética.
Generadores
Un generador de corriente alterna (CA) es un dispositivo que

convierte energía mecánica en energía eléctrica. En su forma más
simple, el generador de CA consta de una espira de alambre que gira Figura 5.18
por algún medio externo dentro de un campo magnético (figura 5.18).
152
A medida que la espira gira, el flujo magnético a través de ella cambia con el tiempo, induciéndose
una fem y una corriente inducida si existe un circuito de carga. Los extremos del alambre están
conectados a anillos colectores que giran con la espira. Las conexiones al circuito de carga se hacen
mediante escobillas estacionarías en contacto con los anillos colectores.
Ahora suponga que en lugar de tener una espira se tiene una bobina de N espiras, todas de la misma
área A, y considere que el circuito gira con una velocidad angular constante ω. Si θ es el ángulo
entre el campo magnético y la normal al plano de las espiras.
El flujo magnético a través de la bobina en cualquier tiempo t es m  Ba cos   Ba cos t ,

suponiendo que   0 cuando t  0 s . En consecuencia, la fem inducida en la bobina es
ε   N dφm   NAB d cos ω t
dt dt
  NABsent (5.9)
Este resultado muestra que la fem varía senoidalmente con el tiempo

(figura 5.19). Observe que el valor máximo de la fem es
Figura 5.19
 máx  NAB (5.10)
Ejemplo
Una bobina circular de 500 vueltas de radio 20 cm , gira con una frecuencia angular   60 rad / s
alrededor de un eje perpendicular a un campo magnético de 0.3 T . ¿Cuál es la función de la fem
instantánea y la fem máxima?
Solución
N  500 , r  0.20 cm ,   60 rad / s , B  0.3 T
Consideramos que el ángulo entre la normal al plano de la espira y el campo magnético es cero en
t  0 s . La fem instantánea, está dada por la expresión (5.9)
(t )  NABsen t  Nr 2Bsen t
sustituimos valores
(t )  (500)[(0.20)2 ](0.3)(60) sen (60t )
(t )  (1130.97 sen 60t ) V
La fem máxima, está dada por la expresión (5.10)
máx  NAB  Nr 2B
sustituimos valores
máx  (500)[(0.20)2 ](0.3)(60)
máx  1130.97 V
El generador de corriente directa (CD) se ilustra en la figura 5.20.
Las componentes son esencialmente las mismas que las que
corresponden al generador de CA, excepto que los contactos a la
bobina rotatoria se realizan mediante un anillo dividido, o
conmutador.
En esta configuración el voltaje de salida tiene la misma polaridad, y

Figura 5.20
153
la corriente es una corriente directa pulsante (figura 5.21).
Una CD pulsante no es adecuada para la mayoría de las aplicaciones.

Con objeto de obtener una corriente CD más constante, los Figura 5.21
generadores comerciales de CD usan muchas bobinas con diferente
orientación entre si en el rotor (parte rotatoria) y conmutadores distribuidos en forma que los pulsos
senoidales de las diferentes bobinas estén fuera de fase.
Motores
Los motores son dispositivos que convierten energía eléctrica en energía mecánica. Esencialmente,
un motor es un generador que trabaja a la inversa.
A medida que la bobina gira, el flujo magnético variable induce un fem en ella; esta fem inducida
siempre actúa reduciendo la corriente en la bobina, llamada fuerza contraelectromotriz. Esta
fuerza contraelectromotriz aumenta en magnitud a medida que aumenta la velocidad de rotación del
rotor.
Se verá el funcionamiento de un motor con respecto al consumo de energía eléctrica.
Cuando un motor arranca, no existe inicialmente la fuerza contraelectromotriz, y la corriente es muy

grande puesto que solamente está limitada por la resistencia de la bobina. Cuando la bobina
empieza a girar, la fuerza contraelectromotriz, se opone al voltaje externo aplicado, y la corriente en
la bobina se reduce. Bajo una carga considerable, el motor disminuirá su velocidad, lo cual hace que
disminuya la fuerza contraelectromotriz. Esta reducción en la fuerza contraelectromotriz aumenta la
corriente en las bobinas y, por consiguiente, la potencia suministrada por la fuente externa de
voltaje aumenta. Por está razón, los requisitos de potencia son mayores para el arranque de un
motor y para accionarlo bajo cargas pesadas.
Corrientes Parásitas
Cuando conductores grandes en movimiento se someten a un campo magnético, tienden a inducirse

corrientes dentro de éste. Estas corrientes fluyen en trayectorias cerradas dentro del conductor. Si
estas corrientes inducidas se oponen a lo que se quiere realizar se conocen con el nombre de
corrientes parásitas (de Foucault o de remolino). De acuerdo con la ley de Lenz, las corrientes
parásitas tienden a oponerse al cambio del flujo magnético que las induce.
Esto se puede fácilmente comprobarse permitiendo que una placa metálica en el

extremo de una barra rígida oscile como un péndulo a través de un campo
magnético (figura 5.22). El metal deberá ser de un material no magnético (no
como aluminio o cobre). A medida que la placa entra al campo, el flujo variable
crea una fem inducida en la placa, la cual a su vez provoca que los electrones
libres en el metal se pongan en movimiento, produciendo corrientes parásitas en
remolino por esta razón, las corrientes parásitas deben producir polos magnéticos
efectivos en la placa, los cuales son repelidos por los polos del imán; el resultado
es una fuerza repulsiva que se opone al movimiento del péndulo.
Figura 5.22
Por otra parte, al jalar una lamina metálica a través del campo de un imán muy intenso se "siente"
una fuerza que se opone al movimiento llamada fuerza retardatriz (figura 5.23).
154
Las corrientes parásitas producen el llamado calentamiento

de Joule en el conductor. La pérdida de energía a causa de
las corrientes parásitas en los núcleos ferromagnéticos de
los dispositivos de corriente alterna, es un factor adicional
de la energía que se pierde en el proceso de magnetización y
desmagnetización. Figura 5.23
Para reducir las corrientes parásitas en los dispositivos de

corriente alterna con núcleo de hierro, se hace normalmente el
núcleo con láminas delgadas o laminaciones de hierro aisladas
eléctricamente una de otra (figura 5.24). Entonces las corrientes
parásitas se limitan a las láminas individuales y se reduce la
pérdida de potencia. Cada lámina en la dirección del flujo
magnético a través del núcleo. Figura 5.24
Para reducir las corrientes parásitas a un mínimo, se usan a veces alambres de hierro en lugar de
láminas.
Ejemplo
Una bobina rectangular con resistencia R tiene N vueltas, cada
una de largo w y altura  (la figura 5.25). La bobina se mueve
 
hacia un campo magnético uniforme B con velocidad v .
¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética sobre la espira: a)
al entrar ésta al campo magnético, b) cuando se está moviendo
dentro del campo, c) ¿al salir del campo magnético?
Solución Figura 5.25
a) Consideremos un sistema de referencia con el origen en

la esquina inferior izquierda del campo (figura 5.26) y en
t  0 el lado derecho de la espira está en el origen.
La fem inducida está dada por

ε   N dm   N dBA
dt dt
Figura 5.26
El área de la espira dentro del campo magnético es x
(figura 5.27), entonces la fem inducida queda como
   NB dA   NB dx   NB dx
dt dt dt
Pero dx / dt es la rapidez de la bobina, entonces

  NBv
Figura 5.27
Y la corriente inducida es
I
ε 
NB v
R R
155
La fuerza magnética de los lados horizontales de la bobina tienen direcciones contrarias y por lo
consiguiente se anulan entre si. La fuerza magnética debida a la corriente inducida, está dada por la
expresión (4.15)
  
F  I  B
y su magnitud
F  IB sen 90  IB
pues los lados verticales de la bobina son perpendiculares al campo magnético.
Sustituimos la corriente inducida en la expresión de la fuerza magnética

 NB v 
F  NBI  NB 
 R 
N 2 B2 2 v
F , cuando la bobina entra
R
b) En este caso la bobina está completamente dentro del campo

magnético, por lo que el área y el campo son constantes (figura 5.28).
Por lo que la fem inducida es cero, y la corriente inducida es cero.
Entonces F  0 .
c) La fem inducida está dada por

ε   N dφm   N dBA Figura 5.28
dt dt
Cuando la espira está saliendo del campo magnético lo que

varía es el área que está dentro del campo magnético (figura
5.29). Si d es el ancho de la región donde está el campo
magnético, entonces el área de la espira dentro del campo
magnético es igual a ( w  ( x  d))  w  x  d ,entonces la
fem inducida queda
ε   NB dA   NB d( w   x   d)  NB dx
dt dt dt
Figura 5.29
Pero dx / dt es la velocidad de la bobina, entonces
ε  NBRv
Y la corriente inducida es
ε NB v
I 
R R
La fuerza magnética debida a la corriente inducida, está dada por
 NB v 
F  NBI  NB 
 R 
N 2 B2 2 v
F , cuando la bobina sale
R
156
5.3 Inductancia
Autoinductancia
Considere un circuito aislado que está constituido por un interruptor, un

resistor y una fuente de fem (figura 5.30).
Cuando se cierra el interruptor, la corriente no sube inmediatamente

desde cero hasta su valor máximo,  / R . La ley de Faraday de la
inducción electromagnética explica esto.
A medida que la corriente aumenta con el tiempo también aumenta el Figura 5.30
flujo magnético a través del circuito, debido a que la corriente crece. Este flujo que aumenta induce
una fem llamada fuerza contraelectromotriz (fuerza electromotriz que se opone a la fem que
origina la corriente en el circuito) que se opone al cambio en el flujo magnético. Por la ley de Lenz,
el campo eléctrico inducido en el alambre debe ser opuesto a la dirección del flujo de la corriente, y
esta fem en oposición da por resultado un incremento gradual en la corriente. Por la misma razón,
cuando se abre el interruptor, la corriente gradualmente decrece hasta cero. Estos efectos se llama
autoinducción, puesto que el flujo magnético variable a través del circuito es generado por el
mismo. La fem que se crea en estas condiciones se denomina fem autoinducida.
El efecto de autoinducción no tiene grandes consecuencias cuando un circuito consiste sólo de una
espira de corriente. Sin embargo, se hace importante cuando el flujo magnético se concentra en una
región relativamente pequeña del espacio, como en una bobina o solenoide.
Para tener una descripción cuantitativa de la autoinducción, primero se debe observar que a partir de
la ley de Faraday la fem inducida se obtiene mediante la razón de variación con signo negativo del
flujo magnético. Ya que el flujo magnético es proporcional al campo magnético, el cual a su vez es
proporcional a la corriente que circula en el circuito, la fem autoinducida siempre es proporcional a
la razón de variación de la corriente con respecto al tiempo. Para una bobina de N espiras muy
juntas, se encuentra
ε   N dm  L dI (5.11)
dt dt
donde L es una constante de proporcionalidad denominada inductancia del dispositivo, la cual
depende de las características geométricas del dispositivo. A partir de esta expresión se observa que
la inductancia de una bobina de N espiras se obtiene de
Nm
L (5.12)
I
también puede escribirse la inductancia como la relación
L
ε (5.13)
dI
dt
esta expresión es la que se usa para definir la inductancia de cualquier bobina. La inductancia es una
medida de la oposición al cambio de la corriente en un circuito.
La unidad de la inductancia en el SI es el henry o henrio (H), es igual a 1 volt-segundo por ampere,

es decir
V s
1 H 1
A
157
Observe que la fem, , de las expresiones (5.11) y (5.13) son fem inducidas y no confundirlas con
la fem que origina la corriente en un circuito.
Un elemento eléctrico que tiene una gran inductancia se llama inductor, su

símbolo geométrico es que se muestra en la figura 5.31.
Figura 5.31
Ejemplo
Una corriente I( t )  (5 sen 120t ) A circula por un inductor cuya inductancia es 10 mH . ¿Cuál es el
valor de la fuerza contraelectromotriz como función del tiempo?
Solución
I( t )  (5 sen120t ) A , L  10  103 H
ε  L dI
dt
sustituimos la expresión de la corriente y el valor de la inductancia
ε  10  103 d5 sen120t  (10  103 )(5)(120) cos120t
dt
  18.85 cos 377t V
Inductancia de un toroide con radio mucho mayor que el radio de la sección
transversal
En la figura 5.32 se muestra un devanado toroidal con N

vueltas de alambre, radio del toroide R y radio de la sección
transversal r en el vacío.
La inductancia está dada por

Nm
L
I
Figura 5.32
Si R >> r, el campo magnético en el interior del toroide es
básicamente igual al de un solenoide muy largo, el cual ha
sido doblado para formar un círculo de radio R. Utilizando el campo uniforme de un solenoide largo
N
B  μ 0 nI  μ 0 I

Pero  es aproximadamente el perímetro del toroide el cual es 2πR, sustituimos

μ NI
B 0
2π R
Entonces el flujo en el toroide es

μ 0 NIA
m  BA 
2π R
sustituimos el flujo magnético en la expresión de la inductancia
μ NIA
N 0
Nm 2π R
L 
I I
158
Finalmente
μ 0 N 2A
L (5.14)
2π R
Ejemplo
Considere un toroide de sección transversal circular con una inductancia 10 mH , con 4000 vueltas ,
radio 2 m . Determina el radio de la sección transversal si éste es pequeño comparado con el radio
del toroide.
Solución
L  10  10 3 H , N  4000 , R  2 m
La inductancia del toroide está dada por la expresión (5.14)
μ N 2A
L 0
2π R
Como la sección transversal es circular, su área es

A  r 2
sustituimos el área en la expresión de la inductancia
μ N 2 π r 2 μ 0 N 2r 2
L 0 
2π R 2R
despejamos el radio de la sección transversal
2LR
r2 
μ0N2
2LR
r
μ0N2
sustituimos valores
2 (10  10-3 )(2)
r
(4 π  10-7 )(4000) 2
r  44.6 mm
Inductancia de un solenoide ideal
Considere un solenoide devanado con N espiras y longitud  . Se supone que  es grande en

comparación con las dimensiones de la sección transversal y que el núcleo del solenoide es aire.
El campo magnético dentro del solenoide es

N
B  μ 0 nI  μ 0 I

el flujo magnético es
N NAI
m  BA  μ 0 IA  μ 0
 
donde A es el área de la sección transversal del solenoide. Entonces
NAI
Nμ 0
Nm 
L 
I I
μ 0 N 2A
L (5.15)

159
El número de espiras, N, es igual a n , donde n es el número de espiras por unidad de longitud.

Sustituimos N  n en la expresión (5.15)
μ (n) 2 A μ o n 2 2 A
L o 
 
L  μ o n 2 A (5.16)
Ejemplo
Un solenoide de inductancia 78 mH . Calcule el número de espiras si el radio de la sección
transversal de es 2.5 cm y su longitud es de 2 m .
Solución
L  78  10 3 H , r  2.5  102 m ,   2 m
La inductancia de un solenoide está dada por la expresión (5.15)
μ N 2A
L 0

El área de la sección transversal es

A  r 2
μ N2π r 2
L 0

despejamos el número de espiras
L
N2 
μ0π r2
L
N
μ0π r2
sustituimos valores
(78  10-3 )(2)
N
(4  10 7 )(2.5  10 2 ) 2
N  7951.38 espiras
Inductancia de un toroide de sección transversal rectangular
La bobina toroidal de la figura 5.33 (se muestra una parte de la

bobina toroidal) está formada con N vueltas y tiene una sección
transversal rectangular, los radios interior y exterior son a y b,
respectivamente.
El campo magnético dentro de un toroide, está dada por la

expresión (4.44) Figura 5.33
 NI
B 0
2 r
160
Como el campo magnético no es uniforme en toda la sección transversal

del toroide, se calculará el flujo magnético en un diferencial de área de
altura h y ancho dr (figura 5.34), el flujo es
 NI
dm  BdA  0 hdr
2 r
Integramos de a hasta b, para obtener el flujo total

b
μ 0 NI
b
μ 0 NIh dr μ 0 NIh μ NIh Figura 5.34
φm   
b
hdr   ln r a  0 ( ln b  ln a)
a
2π r 2π a r 2π 2π
μ 0 NIh  b 
m  ln 
2π a
La inductancia está dada por la expresión (5.12)

N m
L
I
sustituimos la expresión del flujo magnético
μ 0 NIh  b 
N ln 
Nm 2π a
L 
I I
2
μ N h b
L 0 ln  (5.17)
2π a
Ejemplo
a) Calcule la autoinductancia de un toroide con 500 vueltas y con a  10 cm , b  12 cm y
h  1 cm . b) Usa la expresión aproximada para la inductancia de un toroide en donde R  r . Para
ver la exactitud de este resultado, utilice la expresión del ejemplo anterior para calcular
(aproximadamente) la inductancia del toroide en la parte a).
Solución
N  500 , a  0.1 m , b  0.12 m , h  0.01 m
a) La inductancia para un toroide está dada por la expresión (5.17)
μ N 2h  b 
L 0 ln 
2π a
sustituimos los valores
(4 πx10-7 )(500) 2(0.01)  0.12 
L ln 
2π  0.1 
L  91.16 H
b) La aproximación de la inductancia para un toroide está dada por la expresión (5.14)

μ N 2A
L 0
2π R
donde R es la distancia entre el centro del toroide y el punto medio de la sección transversal.
Calculando a R como el valor medio de los radios interior y exterior
ab
R
2
161
sustituimos el radio en la expresión aproximada de la inductancia del toroide

μ N 2A μ N 2A
L o  o
a  b π (a  b)
2π
2
El área transversal del toroide es

A  h (b  a)
μ N 2 h(b  a)
L o
π (a  b)
sustituimos los valores
(4 π  10-7 )(500) 2(0.01)(0.12  0.02)
L
π (0.1  0.12)
L  90.91 H
Comparando los dos resultados vemos que los dos valores de la inductancia son muy parecidos con
una diferencia porcentual de 0.28% .
Inductancia Mutua
Con mucha frecuencia el flujo magnético a través de un circuito varia

con el tiempo debido a corrientes variables existentes en circuitos
cercanos. Esto da lugar a una fem inducida mediante un proceso
conocido como inducción mutua, y llamada así porque depende de
la interacción de dos circuitos, esto es la base del funcionamiento de
un transformador. Considere dos bobinas devanadas en forma muy
estrecha, tal como se muestra en la vista de sección transversal en la
figura 5.35.
Figura 5.35
La corriente I1 en la bobina 1, que tiene N1 espiras, genera líneas de campo magnético, algunas de
las cuales cruzan la bobina 2, que tiene N2 espiras.
El flujo correspondiente a través de la bobina 2 producido por la bobina 1, se representa por 21 . Y
se define la inductancia mutua M 21 de la bobina 2 con respecto a la bobina 1, como
N 221
M 21  (5.18)
I1
El flujo correspondiente a través de la bobina 1 producido por la bobina 2, se representa por 1 2 . Y

se define la inductancia mutua M1 2 de la bobina 1 con respecto a la bobina 2, como
N11 2
M1 2  (5.19)
I2
La inductancia mutua depende de factores geométricos de ambos circuitos y de sus orientaciones

entre si. Evidentemente, a medida que aumenta la separación de los circuitos, la inductancia mutua
decrece puesto que el flujo que enlaza a los circuitos disminuye.
162
Si la corriente I1 varia con el tiempo, se observa, a partir de la ley de Faraday, la fem inducida en la
bobina 2 por la bobina 1 es
ε 2   N 2 d21
dt
despejamos a 21 de la expresión (5.18) y sustituimos
M
21  21 I1
N2
M 21
d I1
N2 M dI
ε 2  N2   N 2 21 1
dt N 2 dt
ε 2  M 21 dI1 (5.20)
dt
En forma similar, si la corriente I2 varia con el tiempo, la fem inducida en la bobina 1 debido a la
bobina 2 es
ε1  M12 dI2 (5.21)
dt
La fem por inducción mutua en una bobina siempre es proporcional a la razón de variación de la
corriente en la otra bobina. Si las proporciones en las cuales las corrientes cambian con el tiempo
son iguales (es decir, si dI1 / dt  dI 2 / dt ), entonces se encuentra que  1
  2
. Esto sugiere que
M12  M 21  M , de manera que
dI1 
ε  M
2
dt 
 (5.22)
dI
ε  M 2 
1
dt 
La unidad de la inductancia mutua en el SI es el henry o henrio.
Ejemplo
Dos bobinas adyacentes, A y B, tienen una inductancia mutua M  28 mH . ¿Cuál es la fem en la
bobina A como función del tiempo cuando la corriente en la bobina B está dada por
I( t )  3t 2  4 t  5 , en donde I está en A cuando t está en s?
Solución
M  28  10 3 H , I( t )  3t 2  4 t  5
ε  M dI
dt
sustituimos la expresión de la corriente
ε  M d(3t  4t  4)  M(6t  4)
2
dt
sustituimos el valor de M
ε  (28  103 )(6t  4)
  (0.168t  0.112) V
163
Ejemplo
Un solenoide largo consta de N1 vueltas con un radio R 1 . Un
segundo solenoide, con N 2 vueltas de radio R 2 ( R 1  R 2 ), de la
misma longitud que el primero y se encuentra completamente dentro Figura 5.36
de éste, y sus ejes coincidan (figura 5.36). a) Suponiendo que por el
solenoide 1 circula una intensidad de corriente I, calcule la inductancia mutua. b) Ahora suponga
que por el solenoide 2 circula la misma intensidad corriente I (y no circula corriente por el
solenoide 1) calcule la inductancia mutua. ¿Se obtiene el mismo resultado?
Solución
a) La inductancia mutua M21, está dada por la expresión (5.18)
N N
M 21  2 21  2 21
I1 I
El campo magnético generado por la bobina 1 (figura 5.37), está dado

por la expresión (4.43)
B1   0 n1I1   0 n1I
como n  N1 /  , sustituimos en la expresión del campo magnético
N
B1  μ o 1 I

El cual atraviesa todo el solenoide 2 y como el campo magnético es Figura 5.37

constante, por lo que el flujo es
N
21  B1A 2   0 1 I((R 22 )

sustituimos en la inductancia mutua
N
N 2 0 1 I(R 22 )
 N
M 21   N 2 0 1 R 22
I 
b) La inductancia mutua M12, está dada por la expresión (5.19)

N N
M12  1 12  1 12
I2 I
El campo magnético generado por la bobina 2, está dado por la expresión (4.43)
N N
B2  μ 0 2 I 2  μ 0 2 I
 
El cual atraviesa sólo el área definida por el solenoide 2 (figura

5.38), por lo cual el flujo es
N
12  B2 A 2  μ 0 2 I(π(π 22)

sustituimos en la inductancia mutua queda
N
N1μ 0 2 I(π(π 22 )
 μ N N π R 22
M12   0 1 2
I  Figura 5.38
Si se obtiene el mismo resultado.
164
Energía de un inductor
Considere un circuito constituido por un resistor, un inductor y una

batería (figura 5.39).
Si el interruptor S se cierra en t = 0, la corriente comenzará a crecer

pero el inductor proporcionará una fem que se opone al aumento en la
corriente. En otras palabras, el inductor actúa como una batería cuya
polaridad es opuesta a la de la batería real que hay en el circuito, esta Figura 5.39
batería se conoce como fuerza contraelectromotriz. La fuerza contraelectromotriz producida por
el inductor se obtiene de la expresión (5.11)
L  L dI
dt
Aplicamos la regla de mallas de Kirchhoff a este circuito

ε  IR  L dI  0
dt
dI
L  IR  ε
dt
multiplicamos por I
dI
LI  I 2 R  Iε (5.23)
dt
esta expresión nos indica que la rapidez con que la batería proporciona energía al circuito, I , es
igual a la suma de la rapidez con que la energía se disipa en el resistor por efecto Joule, I 2 R , y la
rapidez con la cual la energía se almacena en el inductor, LIdI / dt (pues un inductor no disipa
energía). Si se designa por U m la energía almacenada en el inductor en cualquier instante, entonces
la rapidez dU m / dt con la cual se almacena energía en el inductor puede escribirse en la forma
dU m dI
 LI
dt dt
o
dU m  LIdI
integramos
I
1
U m   LIdI  LI2
0
2
1 2
Um  LI (5.24)
2
Ejemplo
Considere el circuito mostrado en la figura 5.40. Si en un instante la
intensidad de corriente tiene un valor de 1.70 A . Calcule en este
instante: a) la potencia suministrada por la fem, b) la potencia
disipada por el resistor y c) la rapidez con que se almacena energía en
el inductor.
Figura 5.40
Solución
  120 V , R  10  , L  50  10 3
H , I  1.70 A
a) La potencia suministrada por la fem está dada por
Pf  I
165
sustituimos valores
Pf  (1.70)(20)
Pf  34 W
b) La potencia disipada por un resistor está dada por

P R  I2R
sustituimos valores
PR  (1.70) 2 (10)
PR  28.9 W
c) La rapidez con que almacena energía el inductor está dada por

dU dI
 LI
dt dt
Por otro lado, de la expresión (5.23)

dI
LI  Iε  I 2 R
dt
entonces
dU dI
 LI  Iε  I 2 R
dt dt
sustituimos valores
dU
 (1.70)(20)  (1.70) 2(10)
dt
dU J
 5.1
dt s
Ejemplo
La energía magnética almacenada en cierto inductor es de 25.3 mJ cuando la corriente es de
62.0 mA . a) Calcule la inductancia. b) ¿Qué corriente se requiere para que la energía magnética sea
cuatro veces mayor?
Solución
U m  25.3  10 3 J , I  62  10 3 A
a) La energía en un inductor, está dada por la expresión (5.24)
1
U m  LI2
2
despejamos la inductancia
2U
L  2m
I
sustituimos valores
2(25.3  10-3 )
L
(62  10-3 ) 2
L  13.16 H
b) U m  4  25.3 mJ  101.2  103 J

Despejamos la corriente de la expresión de la energía
2U m
I2 
L
166
2U m
I
L
sustituimos valores
2(101.2 x10-3 )
I
13.16
I  124 mA
Densidad de energía en un campo magnético
La inductancia de un solenoide, está dada por (5.15)

μ N 2A
L 0

recordamos que n  N /  y que el volumen del solenoide, V, está dado por V  A
μ (n) 2 A
L 0  μ 0 n 2 A

L  μ 0n 2V
El campo magnético dentro del solenoide, está dado por la expresión (4.43)
B   0 nI
despejamos la corriente
B
I
0n
sustituimos L e I en la expresión (5.24)
2
1  B  1 B2 B2
Um  μ 0 n 2 V   μ 0 n 2 V 2 2  2 V
2  μ 0n  2 μ0n 2μ 0
La energía por unidad de volumen o densidad de energía, denotada por u m , almacenada en el

campo magnético del solenoide es
U 
um  m 
V 
 (5.25)
B2
um  2 
2μ 0 
La expresión de u m es valida también para cualquier región del espacio en la cual exista un campo
magnético.
Ejemplo
a) Halle una expresión para la densidad de energía como función de
la distancia radial r de un toroide de sección transversal rectangular
(figura 5.41). b) Por integración de la densidad en energía en el
volumen del toroide, calcule la energía total almacenada en el campo
del toroide. c) Usando la expresión
Figura 5.41
0 N h  b 
2
L ln 
2 a
167
calcule la energía almacenada en el toroide partiendo directamente de la expresión 5.24, y

compárela con la expresión obtenida en el inciso (b).
Solución
a) La densidad de energía, está dada por la expresión (5.25)
U B2
um  m  2
V 2 0
El campo magnético dentro de un toroide, está dado por la expresión (4.44)

μ NI
B 0
2π r
sustituimos el campo magnético en la expresión de la densidad de energía
2
 μ 0 NI  μ 02 N 2 I 2
 
2π r  μ N 2I2
um  
2 2
 4π r  0 2 2
2μ 0 2μ 0 8π r
b) La densidad de energía también está dada por u m  dU m / dV .

Consideremos un diferencial de volumen de forma de un cascaron
cilíndrico de altura h, radio r y grosor dr (figura 5.42), su volumen es
dV  2rhdr y despejamos dU m
Figura 5.42
 N 2I2  N 2 I 2 h dr
dU m  u m dV  0 2 2 (2rhdr )  0
8 r 4 r
Integramos desde a hasta b

b b
μ N 2 I 2 h dr μ 0 N 2 I 2 h dr μ 0 N 2 I 2 h μ 0 N 2I2h
Um   0
4π a r
b
  ln r  ( ln b  ln a)
a
4π r 4π a
4π
así
μ N 2I2h  b 
Um  0 ln 
4π a
c) La energía en un inductor, está dada por la expresión (5.24)

1
U m  LI2
2
Usamos la expresión de la inductancia del toroide dada

μ N 2h  b 
L 0 ln 
2π a
Sustituimos la inductancia en la expresión de la energía

1 μ 0 N 2h  b  2 μ 0 N 2h 2  b 
Um  ln I  I ln 
2 2π a 4π a
Las dos expresiones obtenidas para la energía en el toroide son iguales.
168
Circuito de C.C. con inductancia
Circuito RL
Considere un circuito constituido por un resistor, un inductor y una batería

(figura 5.43).
Si el interruptor S se cierra en t = 0, la corriente comenzará a crecer pero el

inductor proporcionará una fem que se opone al aumento de la corriente.
En otras palabras, el inductor actúa como una batería cuya polaridad es
opuesta a la de la batería real que hay en el circuito. La fuerza Figura 5.43
contraelectromotriz producida por el inductor se obtiene de la expresión (5.11)
ε L  L dI
dt
Aplicamos la regla de mallas de Kirchhoff a este circuito

ε  IR  L dI  0
dt
La solución matemática de esta ecuación diferencial es

ε   Rt 
I(t)  1  e L 
R 
 (5.26)
ε    
t
I(t)  1  e τ  
R 
L
donde la constante τ se conoce como la constante de tiempo del circuito RL,   .
R
Físicamente, τ es el tiempo que tarda la corriente en alcanzar

1  e 1  0.63 de su valor final,  / R . La figura 5.44 muestra el
comportamiento de la corriente con respecto al tiempo. Aunque la
corriente nunca llega a un valor igual a  / R , se considera que en un
tiempo de 3 la corriente ha alcanzado el valor de  / R y la fem
inducida desaparece, aunque todavía existe el campo magnético en el
inductor y éste se comporta como un simple conductor. Figura 5.44
Ejemplo
A una bobina con L  50 mH y R  180  se le aplica súbitamente
una diferencia de potencial de 45 V (figura 5.45). ¿A qué velocidad
está creciendo la intensidad de corriente después de 1.2 ms ?
Solución
L  50  10 3 H , R  180  ,   45 V , t  1.2  103 s Figura 5.45
La corriente en un circuito RL, está dada por la expresión (5.26)
   Rt 
I( t )  1  e L 
R 
169
Derivamos con respecto al tiempo

ε 
Rt

d 1  e L  
 
R 
 ε R  L ε  L
Rt Rt
dI(t) 
   e  e
dt dt RL L
3
Sustituimos valores y evaluamos para t  1.2  10 s
(180 )(1.210 - 3 )
dI(t) 45 
 e 5010 - 3
dt 50x10-3
dI(t) A
 11.97
dt s
Ahora considere el circuito RL (figura 5.46). En este caso el

interruptor es de dos polos que puede conectar al punto a
intercalando la batería al circuito o conectar al punto b eliminando
la batería. Suponga que el interruptor está conectado al punto a y
que la corriente alcanza su valor de equilibrio (valor máximo),
 / R . Si el interruptor pasa al punto b en t  0 . La fem del
inductor tiene el mismo sentido que tenía anteriormente cuando la Figura 5.46
fem de la batería está conectada. Aplicando la regla de Kirchhoff al
circuito que contiene el resistor y el inductor, en esta última situación, se obtiene la expresión
dI
IR  L  0
dt
La solución de esta ecuación diferencial es

ε  
Rt
I(t)   e L
R 
ε  τt 
I(t)  e  (5.27)
R 

t

I(t)  I0e τ 

donde la corriente en t  0 es I0   / R y   L / R . La figura 5.47
muestra el comportamiento de la corriente con respecto al tiempo.
También en este caso, se considera que en un tiempo 3 la corriente en
el circuito es igual a cero.
Ejemplo
Asigne los siguientes valores a los componentes del circuito de la
figura 5.46.   6 V , L  24 mH y R  10 . Suponga que el
Figura 5.47
interruptor S de la figura 5.46 ha estado en el punto a por un lapso de tiempo lo suficientemente
grande para que la corriente alcance su valor "máximo". Si ahora, en t  0 s , el interruptor S pasa al
punto b, ¿en cuánto tiempo alcanzará la corriente, en R, el 25% de su valor máximo?
Solución
  6 V , L  24  103 H , R = 10 Ω
La corriente está dada por la expresión (5.27)
ε
I(t)  e
-
Rt
L
R
170
Como se requiere que I  0.25

 , igualamos
R
I(t) 
εe -
Rt
L
 0.25
ε
R R
Rt
-
e L
 0.25
aplicamos el logaritmo natural
Rt
  ln 0.25
L
Despejamos t y sustituimos valores
L 24  103
r ln 0.25   ln 0.25
R 10
t  3.33 ms
Osciladores en un circuito LC
Considere un circuito constituido por un inductor y un capacitor

(figura 5.48).
Se supondrá que el capacitor tiene una carga inicial Qm y el

interruptor se cierra en el instante t  0 .
Figura 5.48
Cuando el capacitor está completamente cargado, la energía total U
en el circuito se almacena en el campo eléctrico del capacitor y es igual a Q 2m / 2C . En este instante,
la corriente es cero y no hay energía en el inductor. A medida que el capacitor empieza a
descargarse, la energía almacenada en el campo eléctrico disminuye. Simultáneamente la corriente
aumenta y la energía se almacena ahora en el campo magnético del inductor. Cuando el capacitor ha
quedado completamente descargado, no almacena energía. En este instante la corriente alcanza su
valor máximo y toda la energía se almacena ahora en el inductor. Al seguir la corriente en el
circuito, el capacitor comenzará a cargarse, pero los signos de las cargas en las placas del capacitor
son contrarias a los signos iniciales y el campo magnético en el inductor se debilitará, hasta que la
corriente sea cero y el capacitor esté completamente cargado, pero las placas del capacitor tendrán
un signo de carga contrario al del inicio. La energía continua transfiriéndose entre el capacitor y el
inductor en forma indefinida y esto corresponde a oscilaciones en la corriente y en la carga.
Una descripción gráfica de la transferencia de energía se muestra en la figura 5.49. El

comportamiento del circuito es análogo al de un sistema oscilador compuesto por una masa y un
resorte sin amortiguamiento.
Figura 5.49
171
Regresando al circuito de la figura 5.47, en un tiempo arbitrario t después de que el interruptor se ha

cerrado, de modo que el capacitor tiene una carga q y la corriente en el circuito es I. En este instante
ambos elementos almacenan energía, pero la suma de las dos energías debe ser igual a la energía
total inicial U almacenada en el capacitor completamente cargado en t  0 . Es decir,
q2 1 2
U  UC  UL   LI
2C 2
q2 1 2
U  LI (5.28)
2C 2
Puesto que se ha supuesto que el circuito tiene una resistencia nula, no se pierde energía en calor
por el efecto Joule, en consecuencia, la energía total debe permanecer constante en el tiempo.
dU
Entonces  0 , al derivar la expresión (5.28) con respecto al tiempo
dt
 q2 1 2 
d  LI 
dU  2C 2   q dq  LI dI  0

dt dt C dt dt
recordemos que
dq dI d 2q
I y 
dt dt dt 2
sustituimos
q d 2q
I  LI 2  0
C dt
2
q dq
L 2 0
C dt
La solución de esta ecuación diferencial es

q( t )  Q m cos(t  ) (5.29)
donde:
Qm = Carga máxima del capacitor
1
ω = Frecuencia angular,   .
LC
δ = Constante de fase o ángulo de fase.
Observe que la frecuencia angular de las oscilaciones depende únicamente de la inductancia y

capacitancia.
Si se deriva la expresión (5.29) con respecto al tiempo, se obtiene la expresión de la corriente en el

circuito.
dq
I(t)   Q m sen(t  δ)
dt
para determinar el valor del ángulo de fase, hay que considerar las condiciones iniciales. Para este
caso son: t  0 , I  0 y Q  Q m
I(0)  Q m  sen δ  0
así,   0 y
q( t )  Q m cos t (5.30)
172
I(t)  Q m sent 
 (5.31)
I(t)   I msent 
donde I m  Q m es la corriente máxima en el circuito. La figura
5.50 muestra el comportamiento de la carga en el capacitor y la
corriente en el circuito.
Ejemplo
Consideremos el circuito de la figura 5.48, con la carga máxima
en el capacitor es igual a 1.63 C . ¿Cuál es la capacitancia de el
circuito LC si la energía total de 142 J ?
Solución
Figura 5.50
6 6
C  1.63  10 Q , U  142  10 J
Como el capacitor está cargado y el interruptor abierto. La energía total en un circuito LC es la que
está almacenada únicamente en el capacitor y está dada por la expresión (2.10)
1 Q2
U
2 C
despejamos la capacitancia
Q2
C
2U
sustituimos valores
(1.63  10-6 ) 2
C
2(142  10-6 )
C  9.36 nF
Ejemplo
En un circuito oscilatorio LC, L  1.13 mH y C  3.88 F . La carga máxima en el capacitor es de
2.94 C . Calcule la corriente máxima.
Solución
L  1.13  10 3 H , C  3.88  106 F , Q m  2.94  10 6 C
La corriente máxima está dada por
I m  Q m
Y la frecuencia angular ω, está dada por

1
ω
LC
sustituimos ω en la expresión de Im
1 Q
Im  Qm  m
LC LC
sustituimos valores
2.94  10-6
Im 
(1.13  10-3 )(3.88  10-6 )
I m  44.4 mA
173
5.4 Principios del transformador

Los transformadores son dispositivos que tienen una función muy importante en la transmisión de
la energía eléctrica entre las centrales generadoras de energía eléctricas y las comunidades.
También, un transformador es un dispositivo que permite cambiar un voltaje alterno sin pérdida
apreciable de potencia. De este modo puede encenderse una lámpara de 120 V a partir de la red
industrial de 240 V sin más que conectarla a un transformador apropiado; igualmente puede
obtenerse un voltaje de 10 000 V para un aparato de rayos X a partir de la misma red de 240 V con
otro transformador.
El transformador consta de un núcleo de hierro sobre el que están

enrrolladas dos bobinas una bobina primaria con N1 vueltas (espiras)
y otra bobina secundaria con N2 vueltas (figura 5.51).
El propósito del núcleo de hierro es aumentar el flujo magnético que

pasa por las bobinas y proporcionar un medio en el cual casi todo el
flujo magnético que pase por una bobina lo haga a través de la otra. Figura 5.51
Se emplea un núcleo laminado con el objetivo de reducir las pérdidas por corrientes parásitas y se
utiliza el hierro como el material del núcleo por ser una sustancia ferromagnética blanda que reduce
las pérdidas por histéresis. Esto hace que la mayoría de los transformadores comunes tengan
eficiencias de potencia que varían del 90% al 99%. Sin embargo, en un transformador ideal la
eficiencia es del 100%, es decir no hay pérdidas.
El principio de inducción electromagnético es lo que hace que los transformadores trabajen. Cuando
una corriente atraviesa un alambre crea un campo magnético alrededor del alambre. De la misma
manera, si un alambre está en un campo magnético que está cambiando, fluirá una corriente por el
alambre.
En un transformador, la bobina primaria lleva una corriente, esa corriente crea un campo magnético,
y este campo produce una corriente en la bobina secundaria del transformador.
El flujo tiende a quedar confinado dentro del material ferromagnético con lo que la inductancia
mutua de las bobinas es máxima.
Al medir la corriente o voltaje, los multímetros nos dan un valor que representa el valor eficaz o
valor rms (root mean square) de la corriente o voltaje. El significado físico del valor eficaz es
designar un valor de una corriente o voltaje variable por una corriente o voltaje rigurosamente
constante que al circular por un resistor óhmico produciría los mismos efectos caloríficos. De este
modo, se establece un paralelismo entre cualquier tipo de corriente variable y la corriente continua
que simplifica los cálculos con esta última.
Al hablar de la corriente o voltaje alterna, hablaremos del valor eficaz. La relación entre el voltaje
eficaz, Vrms , y la amplitud del voltaje, Vm , en una señal (voltaje) senoidal es
V
Vrms  n (5.32)
2
La relación de transformación de un transformador es

Vrms1 N1
 (5.33)
Vrms 2 N 2
174
donde: N1 es el número de espiras en la bobina primaria, N 2 es el número de vueltas en la bobina

secundaria, V1 voltaje eficaz en el primario y V2 voltaje eficaz en el secundario.
En un ejercicio si dan como dato la amplitud del voltaje, Vm , de las expresiones (5.33) y (5.32)
Vm1
N1 Vrms1 V
  2  m1
N 2 Vrms 2 Vm 2 Vm 2
2
N1 Vm1
 (5.34)
N 2 Vm 2
De las expresiones (5.33) y (5.34), podemos considerar únicamente la relación

N1 V1
 (5.35)
N 2 V2
donde V1 y V2 pueden ser la amplitud o valor eficaz del voltaje. Al aplicar la expresión (5.35) hay
tener cuidado cuando, los valores de V1 y V2 son los valores eficaz o amplitudes del voltaje.
Que es la expresión básica del transformador que relaciona la razón de tensiones en las bobinas
primaria y secundaria a la razón de espiras de los mismos. Cuando N2, es mayor que N1, el voltaje
de salida V2 excede al voltaje de entrada V1, esto se conoce como transformador de subida.
Cuando N2 es menor que N1, el voltaje de salida es menor que el de entrada, y se dice que es un
transformador de bajada.
Un transformador ideal con una carga resistiva es aquél en el cual las pérdidas de energía en el
devanado del transformador y del núcleo se pueden despreciar. En un transformador ideal, la
potencia suministrada por el generador, I1V1 , es igual a la potencia en el circuito secundario I 2 V2 .
Esto es,
V1I1  V2 I 2 (5.36)
donde: los voltajes y corrientes son valores eficaz o amplitud.
La eficiencia de un transformador es igual al cociente de la salida de potencia en la bobina

secundaria dividida entre la entrada de potencia en la bobina primaria, multiplicando dicho cociente
por 100. Es decir:
potencia de salida
Ef  x100
potencia de entrada
O sea:
P2 V I
Ef  x100  2 2 x100
P1 V1 I1
V2 I 2
Ef  x100 (5.37)
V1 I1
donde : E f = eficiencia expresada en porcentaje.
Ejemplo
Un transformador ideal tiene 240 vueltas en el devanado primario y 20 en el secundario. Si el
primario se conecta a través de un generador de 110 V (rms) , ¿cuál es el voltaje rms de salida?
175
Solución
N1  240 , N 2  20 , V1  110 V
La relación entre el voltaje en la bobina 1 y el voltaje en la bobina 2, está dada por la expresión
(5.35)
N1 V1

N 2 V2
despejamos V2 y sustituimos valores
N 20
V2  2 V1  (110)
N1 240
Como nos dan el valor eficaz del voltaje de entrada, el valor eficaz del voltaje de salida es
V2  9.167 V
Ejemplo
Cierto transformador tiene una eficiencia de 95% y el secundario tiene doble de vueltas que las que
tiene el primario. Si por el devanado del primario circula una corriente de 5 A a un voltaje rms de
120 V , ¿cuál es la corriente y voltaje rms en el secundario?
Solución
E f  95% , N 2  2 N1 , I1  5 A , V1  120 V
La razón entre los números de espiras en las bobinas, está dada por
N1 N 1
 1 
N 2 2 N1 2
La relación entre el voltaje en la bobina 1 y el voltaje en la bobina 2, está dada por la expresión
(5.35)
N1 V1

N 2 V2
despejamos V2 y sustituimos valores
N 2
V2  2 V1  (120)
N1 1
V2  240 V
La relación entre la potencia de salida entre la potencia de entrada, está dada por la expresión (5.36)
I 2 V2
 0.95
I1V1
despejamos I 2 y sustituimos valores
IV (5)(120)
I 2  0.95 1 1  0.95
V2 240
I 2  2.375 A
5.5 Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los
fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas
ecuaciones tras años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampère, Faraday y
176
otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los

campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.
Desarrollo histórico de las ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que aparecieron de manera
separada en la publicación de 1861 On Physical Lines of Force por parte del científico James Clerk
Maxwell. El trabajo en sí no era obra sólo de Maxwell, en las ecuaciones notamos la ley de Faraday
(expresión 54 en su trabajo), la expresión 56, div B = 0, de su autoría, la ley de Ampère con
correcciones hechas por él (expresión 112) y la ley de Gauss (expresión 113). Éstas expresan
respectivamente como el cambio de los campos magnéticos producen campos eléctricos, la ausencia
experimental de monopolos magnéticos, cómo una corriente eléctrica y el cambio en los campos
eléctricos producen campos magnéticos y cómo cargas eléctricas producen campos eléctricos. En el
trabajo original de Maxwell se podían encontrar muchas otras ecuaciones pero se llegó a
simplificarlas a estas cuatro.
El aspecto más importante del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el término que

introdujo en la ley de Ampère; la derivada temporal de un campo eléctrico, conocido como
corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the
Electromagnetic Field, modificaba la versión de la ley de Ampère con lo que se predecía la
existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la
velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda
electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo.
Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo
que hizo Maxwell fue reobtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos
usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday.
En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la
notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usó
derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la
 
expresión (54). Ello provocó que se perdiera el término v x B que aparecía en la expresión posterior
del trabajo de Maxwell (número 77). En la actualidad, este término se usa como complementario a
estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz.
La historia es aún confusa, debido a que el término ecuaciones de Maxwell se usa también para un
conjunto de ocho ecuaciones en la publicación de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the
Electromagnetic Field, y esta confusión se debe a que seis de las ocho ecuaciones son escritas como
tres ecuaciones para cada eje de coordenadas, así se puede uno confundir al encontrar veinte
ecuaciones con veinte incógnitas. Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes, a pesar del
término eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones.
Detalle de las ecuaciones
Ley de Gauss
La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se
define como flujo eléctrico (  ) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada.
Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, éste fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a
177

analizar la cantidad de campo eléctrico ( E ) que pasa por una superficie. Matemáticamente se
expresa como:
 
  E(r)  d A .
superficie
La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente
entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad
eléctrica en el vacío (ε0), así:
 
q
   E d A  .
superficie
o
La forma diferencial de la ley de Gauss es

 

 E ,
o
donde ρ es la densidad de carga. Esta expresión es para una carga en el vacío, para casos generales

se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eléctrico ( D ) y nuestra expresión obtiene
la forma:
 
 D   .
Ley de Gauss para el campo magnético
Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe un
monopolo magnético.
Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los

eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las
líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una
superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de
campo, esto expresa la no existencia del monopolo magnético. Matemáticamente esto se expresa
así:
 
 B  0 ,

donde B es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción magnética.
Su forma integral equivalente:

 
 B d A  0 .
superficie
Como en la forma integral del campo eléctrico, esta expresión sólo funciona si la integral está
definida en una superficie cerrada.
Ley de Faraday
La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza
electromotriz en un campo magnético. Esta ley es muchas veces llamada como ley de Faraday-
Lenz, debido a que Heinrich Lenz descubrió ésta inducción de manera separada a Faraday pero casi
simultánea. Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz (  ), si tenemos un campo
178
magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito
eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así:
   d B ,
dt
como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a:
 
B   B d A .
sup erficie
Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se representa
como:
   E d s
 
con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday:

  d  
 E d s   dt sup erficie
 B d A
Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo
eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada
temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado.
La forma diferencial de esta expresión es:


 
B
xE  
t
Esta expresión relaciona los campos eléctrico y magnético, pero tiene también muchas otras
aplicaciones prácticas. Esta expresión describe cómo los motores eléctricos y los generadores
eléctricos funcionan. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el
flujo magnético que atraviesa una superficie dada.
Ley de Ampère generalizada
Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no

varía en el tiempo. La ley de Ampère nos dice que la circulación en un campo magnético ( B ) a lo

largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente ( J ) sobre la superficie encerrada en
la curva C, matemáticamente así:
   
 B d s  0
C  J  n dA
superficie

donde  0 es la permeabilidad magnética en el vacío, n es el vector normal a la superficie.
Pero cuando esta relación se le considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a
cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga. Maxwell corrigió esta expresión
para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada
experimentalmente. Maxwell reformuló esta ley así:
    d  
CB d s  0 superficie
 J  n dA  00 dt superficie
 E n dA
179
En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampère, además confirma
que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y además es
consecuente con el principio de conservación de la carga.
En forma diferencial, ésta expresión toma la forma:


 
E

 x B  0 J  00
t
En medios materiales
Para el caso de que las cargas estén en medios materiales, y asumiendo que éstos son lineales,
homogéneos, isótropos y no dispersivos, podemos encontrar una relación entre los vectores
intensidad e inducción a través de dos parámetros conocidos como permitividad eléctrica y la
permeabilidad magnética:
  
D   E  0 r E
  
B   H   0 r H
Pero estos valores también dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal
cuando la relación entre E/D y B/H es lineal. Si esta relación es lineal, matemáticamente se puede
decir que  y μ están representadas por una matriz 3x3. Si un medio es isótropo es porque esta
matriz ha podido ser diagonalizada y consecuentemente es equivalente a una función ( x , y, z) ; si
en esta diagonal uno de los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anisótropo. Estos
elementos también son llamados constantes dieléctricas y, cuando estas constantes no dependen de
su posición, el medio es homogéneo.
El valor de  y μ en medios lineales no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la
permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas están en medios homogéneos e
isótropos. Los medios heterogéneos e isótropos dependen de las coordenadas de cada punto por lo
que los valores, escalares, van a depender de la posición. Los medios anisótropos son tensores.

Finalmente, en el vacío tanto  como J son cero porque suponemos que no hay fuentes.
En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el vacío y en la forma
más general.
En el vacío Caso general
   
 E  0  D  
   
 B  0  B  0
 
 
B  
B
 E    E  
t t
 
 
E  
D
 x B   o o xH  J
t t
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a
manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:
180
Nombre Forma diferencial Forma integral

Ley de Gauss  
  
q
 E 
o  E 
sup erficie
d A  int
o
Ley de Gauss para el    
campo magnético:  B  0  B d A  0
sup erficie
Ley de Faraday:   
d  
 
 E  
B  E d s    E 
dt sup erficie
d A
t trayectoria
Ley de Ampère     
d  
generalizada:
  
 x B   o J   o o
E  B d s  o
C  J  n dA  oo   n dA
E
dt sup erficie
t sup erficie
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de
fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen
invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son compatibles
1
con la relatividad especial y general. Además Maxwell descubrió que la cantidad c  era
 o o
simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación
electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y
la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla:
Símbolo Nombre Valor numérico Unidad de medida SI Tipo
c Velocidad de la luz en el vacío 2.998x108 metros por segundo definido
o Permitividad 5.854x1012 faradios por metro derivado
o Permeabilidad magnética 4x10 7 henrios por metro definido
181

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Graciela García Arana Electricidad y Magnetismo

5.1 Ley de Faraday

La fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la razón de variación del flujo

Fuerzas electromotrices y campos eléctricos

Si se considera una espira conductora de radio r situada en un campo

Si el campo magnético varia con el tiempo, entonces la ley de Faraday

Si se usa este resultado y la ley de Faraday

b) Calcule la magnitud de la fuerza ejercida sobre un electrón colocado en el punto P2 a una

b) r  0.05 m , q  1.6  1019 C , t  2 s

Igualamos las dos expresiones de la fem inducida

Entonces la fuerza eléctrica, está dada por

c) Igualamos a cero la expresión de la fuerza

Los instantes para que la fuerza es cero son:

Diferencia de potencial inducida en una barra en movimiento

Considere un conductor rectilíneo de longitud  que se mueve con velocidad

Las cargas libres en el conductor experimentarán una fuerza a lo largo del

Fem de movimiento en un circuito

Considere un circuito que consta de una barra conductora de longitud 

Por la ley de Faraday

Como la resistencia del circuito es R, la magnitud de la corriente inducida es

b) Al desplazar la barra hacia la derecha, aparece una corriente

La magnitud de la fuerza magnética está dada por Figura 5.10

Recuerde que la potencia está dada por

c) La potencia disipada por el resistor está dada por

d) Al moverse la barra hacia la derecha, los electrones libres sienten

La corriente y la fem inducidas actúan en tal dirección que tienden a oponerse a

Al aplicar la ley de Lenz, se recomienda observar los siguientes pasos:

Ya sabemos que debe generar la corriente

b) En este inciso primero entenderemos la figura 5.13b. Se

c) 1. Considerando la superficie limitada por la espira rectangular, y el punto de observación está

Los generadores y motores son importantes mecanismos prácticos

Un generador de corriente alterna (CA) es un dispositivo que

El flujo magnético a través de la bobina en cualquier tiempo t es m  Ba cos   Ba cos t ,

Este resultado muestra que la fem varía senoidalmente con el tiempo

En esta configuración el voltaje de salida tiene la misma polaridad, y

la corriente es una corriente directa pulsante (figura 5.21).

Una CD pulsante no es adecuada para la mayoría de las aplicaciones.

Se verá el funcionamiento de un motor con respecto al consumo de energía eléctrica.

Cuando un motor arranca, no existe inicialmente la fuerza contraelectromotriz, y la corriente es muy

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Las corrientes parásitas producen el llamado calentamiento

Para reducir las corrientes parásitas en los dispositivos de

a) Consideremos un sistema de referencia con el origen en

La fem inducida está dada por

Pero dx / dt es la rapidez de la bobina, entonces

Sustituimos la corriente inducida en la expresión de la fuerza magnética

b) En este caso la bobina está completamente dentro del campo

c) La fem inducida está dada por

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Cuando se cierra el interruptor, la corriente no sube inmediatamente

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La inductancia está dada por

Pero  es aproximadamente el perímetro del toroide el cual es 2πR, sustituimos

Entonces el flujo en el toroide es