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    Formulario Tema 13. Combinatoria

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    El documento explica los conceptos básicos de la combinatoria, incluyendo definiciones de factoriales, números combinatorios, el binomio de Newton y diferentes métodos de conteo. Explica las propiedades de los factoriales y números combinatorios y cómo se relacionan en el triángulo de Pascal. También compara el binomio de Newton con el triángulo de Pascal y lista fórmulas para variaciones, permutaciones, combinaciones y métodos de conteo con y sin repetición.

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    Formulario Tema 13: Combinatoria.

    FORMULARIO

    1. FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL

    1.1. Definición
    n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1

    Calculadora científica: Tecla x!

    1.2. Propiedades
    El factorial de cero es uno. 0! = 1
    El factorial de uno es uno. 1! = 1

    1.3. División entre factoriales

    m! m  n! m! m!
    Fórmulas:  si m  n ó  si m  n
    n! n! n! n  m!

    2. NÚMEROS COMBINATORIOS

    2.1. Definición
    m m!
      con m,n єN, tales que n  m
    n  n!(m  n)!
    Se lee “m sobre n” o “número combinatorio m sobre n”.

    Calculadora científica: Tecla nCr


    
    2.2. Propiedades

     m
    1)    m
    1
     m  m
    2)       1
     0   m
     m  m 
    3)     
     n   m  n
    4) Fórmula de Stiefel:

     m   m   m  1 m m 1 m 1


            ó       (*)
     n   n  1  n  1  n  n 1  n 
     m   m   m  1  m   m  1  m 
    ó                 
     n  1  n   n   n  1  n  n 
    
    La Fórmula de Stiefel nos permite obtener el famoso triángulo de Tartaglia, en particular, (*).
    NOTA: Las propiedades de los números combinatorios quedan reflejadas en el llamado
    triángulo de Tartaglia o de Pascal.

    Gema Isabel Marín Caballero Página 1 de 3


    Formulario Tema 13: Combinatoria.

    3. BINOMIO DE NEWTON

    3.1. Definición

    m
     m
    Cálculo de las potencias de un binomio: (a  b) m     a mi   b i
    i 0  i 

    Esta expresión es equivalente a:

     m  m m 
    (a  b) m  a m   a m1b   a m2 b 2  ...   a b m1  b m
     
    1  
    2  m  1 
    NOTA: Los números combinatorios calculan los coeficientes de la potencia de un binomio.
    NOTA: Los números combinatorios coinciden con los coeficientes del Triángulo de Tartaglia o
    de Pascal.

    3.2. Comparativa entre Binomio de Newton y Triángulo de Tartaglia o de Pascal.

    Binomio de Newton Triángulo de Tartaglia o de Pascal

    0
    m=0  
    1
    0
    1   1
    m=1     1 1
    0  1
     2  2  2
    m=2       1 2 1
    0 1   2
    3  3 3  3
    m=3         1 3 3 1
    0 1   2  3
     4  4  4  4  4 1 4 6 4 1
    m=4          
    0 1   2 3  4
    5  5 5  5 5  5 1 5 10 10 5 1
    m=5            
    0 1   2  3  4  5

    NOTA: La suma de los elementos de la fila m-ésima del triángulo de Tartaglia es 2m.

    Gema Isabel Marín Caballero Página 2 de 3


    Formulario Tema 13: Combinatoria.

    4. MÉTODOS DE CONTEO

    ¿Se pueden ¿Se trabaja con


    ¿Influye
    repetir los todos los Fórmula
    el orden?
    elementos? elementos?
    m!
    Variaciones Vm , n 
    sin repetición
    Sí No No m  n!
    con 1 ≤ n ≤ m
    Variaciones VRm,n  m n
    Sí Sí No
    con repetición con n ≠ m
    Permutaciones Pm  Vm,m  m!
    Sí No Sí
    sin repetición con n = m

    Permutaciones PC m1  Pm1  Vm1,m1  m  1!


    Sí No Sí
    circulares
    con n = m

    m!
    Permutaciones PRmn1 ,n2 ,..,nm 
    Sí Sí Sí n1!n2 !...nm !
    con repetición
    con n1 + n2 + … + nm = m
    m V m!
    Combinaciones Cm,n     m,n 
    No No No  n  Pn n!(m  n)!
    sin repetición
    con 1 ≤ n ≤ m
     m  n  1 m  n  1!
    Combinaciones CRm,n      Cmn1,n
    con repetición
    No Sí No n  n!m  1!
    con n ≠ m

    Gema Isabel Marín Caballero Página 3 de 3

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