Algebra Lineal
Algebra Lineal
Algebra Lineal
Aznar
Dpto. de lgebra
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1. Sistemas de ecuaciones lineales. 4
Ejemplo 1 4 Contenido
Definicin 1 5
Ejemplo 2 6 JJ II
Definicin 2 6
J I
Definicin 3 7
Definicin 4 7 Pgina 1 de 30
Definicin 5 8
Lema 1 8 Atrs
Corolario 1 21
Atrs
6. Ejercicios. 22
Ejercicio 1 22 Pantalla grande/pequea
Ejercicio 2 22
Ejercicio 3 22 Cerrar
Ejercicio 4 23
Ejercicio 5 23
Enrique R. Aznar
Ejercicio 6 23 Dpto. de lgebra
Ejercicio 7 24
Ejercicio 8 24
Ejercicio 9 25
Ejercicio 10 25
7. Test de repaso. 26
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Pgina de Abertura
Contenido
JJ II
J I
Pgina 3 de 30
Atrs
Pantalla grande/pequea
Cerrar
Enrique R. Aznar
1. S ISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES . Dpto. de lgebra
a1 x1 + + an xn = b
Es costumbre denotar las soluciones como colecciones o vectores. As, las Contenido
soluciones anteriores las denotaremos como las parejas (1, 1), (0, 5/3).
JJ II
Definicin 1. A un conjunto de m ecuaciones lineales con n incgnitas cada
uno, lo llamaremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas. J I
Pgina 5 de 30
a 11 x 1 + + a 1n x n = b1
.. .. ..
. . . Atrs
a m1 x 1 + + a mn x n = b m
Pantalla grande/pequea
Llamaremos solucin del sistema a cada asignacin de valores a las incg- Cerrar
nitas, digamos x 1 = k1 , ..., x n = kn que sea solucin de todas las ecuaciones
del sistema. Esto es, que haga verificarse todas las igualdades simultnea-
mente.
Enrique R. Aznar
Se dice tambin que (k1 , . . . , kn ) es solucin del sistema. Se llama solucin Dpto. de lgebra
general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema.
Dos sistemas se dice que son sistemas equivalentes si tienen igual solucin
general. Esto es, si tienen exactamente las mismas soluciones.
Ejemplo 2. Es fcil de comprobar que el sistema
x+y = 2 Pgina web personal
xy = 0
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admite por solucin la pareja (x, y) = (1, 1) y que esta es nica.
Por otro lado, claramente el sistema Contenido
x+y = 1 JJ II
x + y = 1
no puede tener solucin. Mientras que el sistema J I
x+y = 1 Pgina 6 de 30
2x + 2y = 2
Atrs
admite infinitas parejas solucin de la forma (x, y) = (, 1 )
Pantalla grande/pequea
Definicin 2. Una coleccin finita y ordenada, (a1 , . . . , an ), de elementos en
un cuerpo K lo llamaremos un vector o n-tupla en K . Cerrar
As, puede haber vectores que sean parejas, ternas, cuaternas, etc de elemen-
tos en un cuerpo.
Enrique R. Aznar
Las posibles soluciones a los sistemas del ejemplo anterior son parejas de Dpto. de lgebra
nmeros (vectores de longitud 2) que podemos buscar en Q, R o C.
Segn su nmero de soluciones clasificaremos los sistemas de ecuaciones
lineales de la siguiente forma.
(
compatible determinado si tiene solucin nica
Sistema indeterminado si tiene mas de una
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incompatible si no tiene solucin
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Definicin 3. Un sistema es compatible si tiene alguna tupla solucin, com-
patible determinado si tiene una nica tupla solucin, compatible indetermi- Contenido
nado si tiene ms de una tupla solucin e incompatible si no tiene ninguna
tupla o vector solucin. JJ II
a 11 ... a 1n b1 Cerrar
. ... .. ..
(A|B ) = .. . .
a m1 . . . a mn b m
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Ejemplo 3. El sistema Dpto. de lgebra
3x + 6y 5z = 0
x + y + 2z = 9
2x + 4y 3z = 1
Recordemos que existe un algoritmo para obtener una matriz escalonada por Cerrar
Puesto que el proceso inverso de una transformacin elemental es otra trans- Pgina de Abertura
formacin elemental del mismo tipo. Esta relacin es simtrica. En realidad,
dadas dos matrices A y B de la misma dimensin con coeficientes en el Contenido
Reflexiva: A f A . Pgina 11 de 30
Simtrica: A f B si y slo si B f A .
Transitiva: A f B y B f C implican que A f C . Atrs
Pantalla grande/pequea
Por induccin, sobre el nmero de columnas, se puede demostrar el resultado
siguiente. Cerrar
2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1
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1 1 2 9 1 1 2 9 1 1 2 9 Contenido
f 0 3 11 27 f 0
1 4 10 f 0
1 4 10 f
0 2 7 17 0 2 7 17 0 0 1 3 JJ II
1 1 2 9 1 1 0 3 1 0 0 1 J I
f 0 1 0 2 f 0 1 0 2 f 0
1 0 2
Pgina 12 de 30
0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3
Atrs
0 0 1 3
Pantalla grande/pequea
Entonces, el sistema correspondiente
Cerrar
x = 1
y = 2
z = 3
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es equivalente al original. Por tanto, ambos sistemas son compatibles deter- Dpto. de lgebra
minados con una solucin nica
(x, y, z) = (1, 2, 3)
J I
Demostracin: Por su propia definicin, el rango de A es menor o igual que
el nmero de filas de A , r (A) m . Pgina 15 de 30
Por otra parte, si r (A) = r . Entonces, en cada una de las r filas, no nulas, de
su forma normal de Hermite habr un 1 como pivote. Por tanto, H y tambin Atrs
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3x + 6y 5z = 0
x + y + 2z = 9 Contenido
2x + 4y 3z = 1
JJ II
que tiene como matriz matriz ampliada
J I
3 6 5 0
(A|B ) = 1 1 2 9 Pgina 19 de 30
2 4 3 1
Atrs
su forma normal de Hermite, que calculamos antes, se puede ver como el Pantalla grande/pequea
producto matricial
Cerrar
11 2 17 3 6 5 0 1 0 0 1
7 1 11 1 1 2 9 = 0 1 0 2
2 0 3 2 4 3 1 0 0 1 3
Enrique R. Aznar
Tambin, se puede comprobar que el sistema de ecuaciones original, escrito Dpto. de lgebra
matricialmente A X = B es equivalente4 al sistema (P A) X = P B . O sea,
1 0 0 x 1
(P A) X = 0 1 0 y = P B = 2
0 0 1 z 3
que es el sistema reducido
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x = 1
y = 2 Pgina de Abertura
z = 3
Contenido
ya obtenido anteriormente.
Por tanto, resolver el sistema equivale matricialmente a encontrar la matriz JJ II
regular P que es la que da el cambio al sistema reducido.
J I
1
Observamos que en el ejemplo anterior la matriz regular, P = A , es la in- Pgina 20 de 30
versa de la matriz, A , del sistema original.
Este caso, es un ejemplo tpico de sistema compatible determinado que lla- Atrs
maremos de Cramer.
Pantalla grande/pequea
Definicin 11. Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incgnitas.
Decimos que es un sistema de Cramer cuando la matriz del sistema A es Cerrar
2x + y 2z = 1
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Escribe la matriz del sistema y la ampliada. Calcula los rangos mediante Contenido
transformaciones elementales. Razona que es compatible y encuentra las
posibles soluciones mediante producto de matrices. JJ II
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x + y = 0.65
2x = 0.26
Atrs
2y = 1.04
4x + 4y = 2.6
Pantalla grande/pequea
Escribe la matriz del sistema y la ampliada. Calcula los rangos mediante Cerrar
Escribe la matriz del sistema y la ampliada. Calcula los rangos mediante Pgina 24 de 30
transformaciones elementales. Razona que es compatible y encuentra las
posibles soluciones mediante producto de matrices. Atrs
Contenido
Escribe la matriz del sistema y la ampliada. Discute el sistema y encuentra
las posibles soluciones mediante producto de matrices. Es un sistema de JJ II
Cramer?
J I
Ejercicio 10. Dado el sistema
Pgina 25 de 30
d 1x + d 3y + d 6z = 1 Atrs
2d 1x + 2d 3y + 2d 6z = 2
d 2x + d 4y + d 8z = 0 Pantalla grande/pequea
Cerrar
Escribe la matriz del sistema y la ampliada. Discute el sistema y encuentra
las posibles soluciones mediante producto de matrices. Es un sistema de
Cramer?
Enrique R. Aznar
7. T EST DE REPASO . Dpto. de lgebra
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(a) Un sistema lineal de ecuaciones siempre tiene admite la solucin triv- Cerrar
ial.
(b) Un sistema lineal de ecuaciones tiene solucin cuando hay mas ecua-
ciones que incgnitas.
Enrique R. Aznar
(c) Un sistema lineal de ecuaciones tiene solucin cuando es numrico. Dpto. de lgebra
(d) Un sistema lineal de ecuaciones es compatible cuando hay mas in-
cgnitas que ecuaciones.
infinitas soluciones.
Cerrar
Contenido
JJ II
J I
Pgina 30 de 30
Atrs
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