2016

GUA DE ESTUDIO DE
MATEMTICAS V
 Preparatoria
Liceo Corregidora
Departamento Psicopedaggico

Santiago de Quertaro, Qro., a _____de ____________ de 20__.

Por medio de la presente
Yo _____________________________________________, estudiante de la preparatoria Liceo Corregidora
del grupo___________ y turno ________________ me comprometo a asistir a las asesoras de la
materia de _____________________________, en un horario de ________ a _________ con el fin de
prepararme para poder presentar el examen extraordinario el da ______________________________.
Asistir a las asesoras bajo los siguientes trminos:
1. Presentar su ficha de inscripcin a extraordinario con el asesor por lo menos tres semanas
antes del da del examen.
2. Asistir puntualmente durante el tiempo establecido a partir de su examen diagnstico:
[especificar das y horas, ejemplo: de lunes a viernes, de 15-16 horas].
3. Ser constante, puesto que durante el periodo que requieran las asesoras, el estudiante
tendr derecho a faltar mximo cuatro veces; si sobrepasa este lmite, se le dar de baja
automticamente, pero podr reinscribirse en otro periodo (en tanto cumpla con lo
estipulado en el punto 1).
4. Mantener una actitud de orden y respeto, lo cual incluye traer su material (gua, apuntes de
clase, libreta, tiles, etc.), prestar atencin al asesor y evitar el uso de celulares.
5. Realizar las actividades y tareas indicadas por el asesor, ya sea en la sesin o en casa, a fin
de reforzar su aprendizaje. Participar activamente.

De no cumplir con alguno de las condiciones estipuladas, el estudiante no ser admitido en las
asesoras.

______________________________ ___________________________
Firma del alumno Firma del asesor

2
TEMARIO
BLOQUE I. ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU
EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES.
Desempeos del estudiante al concluir el bloque.
-Reconoce el campo de estudio del Clculo Diferencial, destacando su importancia en la solucin
de modelos matemticos aplicados a situaciones cotidianas.
-Relacin a los modelos matemticos con su representacin geomtrica para determinar reas y
volmenes en cualquier situacin de su vida cotidiana.

Objetos de Aprendizaje.
-Evolucin del Clculo
-Modelos matemticos: un acercamiento a mximos y mnimos.

TEMA MODELOS MATEMTICOS UN ACERCAMIENTO A MXIMOS Y MNIMOS

REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO 2

Ejercicio resuelto. Traza la grfica de la funcin cuadrtica f(x)=-x2-2x+3; determina las

coordenadas del punto mximo con valores de x de:-3, -2, -1, 0, 1, 2
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? la funcin cuadrtica f(x)=-x2-2x+3 Plano cartesiano
2.- Qu me piden? La grfica y el punto mximo
3.- Desarrollo
x Relacin de f(x) Parejas
correspondencia f(x)= ordenas
2
-x -2x+3
-3 f(-3)=-(-3)2-2(-3)+3=0 0 (-3,0)
-2 f(-2)=-(-2)2-2(-2)+3=3 3 (-2,3)
-1 f(-1)=-(-1)2-2(-1)+3=4 4 (-1,4)
0 f(0)=-(0)2-2(0)+3=3 3 (0,3)
1 f(1)=-(1)2-2(1)+3=0 0 (1,0)
2 f(2)=-(2)2-2(2)+3=-5 -5 (2,-5)
El valor mximo se encuentra en las coordenadas (-1,4).

Ejercicios a resolver. Traza la grfica de la funcin cuadrtica f(x)=-x2-6x-9; determina las

coordenadas del punto mximo con valores de x de: -2, -1, 0, 1, 2,3,4.

Ejercicio resuelto. Traza la grfica de la funcin cuadrtica f(x)=x2-4x-3; determina las

coordenadas del punto mnimo con valores de x de:-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,6.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? la funcin cuadrtica f(x)=x2-4x-3 Plano cartesiano
2.- Qu me piden? La grfica y el punto mnimo
3.- Desarrollo El valor mnimo se encuentra en las coordenadas (2,-7).
x Relacin de f(x) Parejas
correspondencia f(x)= ordenas
-x2-2x+3
-1 f(-1)=(-1)2-4(-1)-3=2 2 (-1,2)
0 f(0)=-(0)2-4(0)-3=-3 -3 (0,-3)
1 f(1)=(1)2-4(1)-3=-6 -6 (1,-6)
2 f(2)=(2)2-4(2)-3=-7 -7 (2,-7)
3 f(3)=-(3)2-4(3)-3=-6 -6 (3,-6)
4 f(4)=(4)2-4(4)-3=-3 -3 (4,-3)
5 f(5)=(5)2-4(5)-3=2 2 (5,2)
6 f(6)=(6)2-4(6)-3=9 9 (6,9)

Ejercicios a resolver. Traza la grfica de la funcin cuadrtica f(x)=x2-2x+1; determina las

coordenadas del punto mnimo con valores de x de:-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3.

APLICACIN DE MODELOS MATEMTICOS DE FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO

3
Ejercicio resuelto. El costo (en pesos) de producir x unidades de un artculo est dado por:
C(x)=0.8x2+750x+1000.
a) Determina C(10)
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? C(x)=0.8x2+750x+100
2.- Qu me piden? C(10)
3.-Desarrollo
Planteamiento del modelo matemtico.
C(x)=0.8x2+750x+100
C(10)=0.8(10)2+750(10)+1000=9300 pesos es el costo de producir 10 artculos

Ejercicios a resolver. El costo (en pesos) de producir x unidades de un artculo est dado por:
C(x)=5x2+50x+100
a) Determina C(5)

Ejercicio resuelto. Deseamos conocer la altura que alcanza un proyectil lanzando verticalmente
con una velocidad inicial de 20m/s despus de 1,2 y 4 segundos. Consideramos que se lanza
desde una posicin inicial igual a cero. En este caso, x equivale al tiempo y f(x) a la posicin. El
modelo matemtico para encontrar la posicin en un tiro vertical es: f(x)= v0x - gx2; en donde
x0=posicin inicial, v0=velocidad inicial y g=gravedad= -9.81m/s2.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? V0=20m/s y x= 1,2 y 4 segundos. Plano cartesiano
2.- Qu me piden? La altura que alcanza el proyectil.
25
3.- Desarrollo
Sustituimos en el modelo matemtico: 20
f(x)=20x-(9.81)x2
f(x)=-4.9x2+20x 15
10
X Relacin de f(x) Parejas
correspondencia 5
ordenas
1 f(1)=-4.9(1)2+20(1) 15.1 (1,15.1) 0
2 f(2)=-4.9(2)2+20(2) 20.4 (2,20.4) 0 1 2 3 4 5
4 f(4)=-4.9(4)2+20(4) 1.6 (4,1.6)

Ejercicio a resolver. Deseamos conocer la altura que alcanza un proyectil lanzando verticalmente
con una velocidad inicial de 10m/s despus de 1,3, y 4 segundos. Consideramos que se lanza
desde una posicin inicial igual a cero. En este caso, x equivale al tiempo y f(x) a la posicin. El
modelo matemtico para encontrar la posicin en un tiro vertical es: f(x)= x0 + v0x - gx2; en donde
x0=posicin inicial, v0=velocidad inicial y g=gravedad= -9.81m/s2.

Ejercicio resuelto. Se va a disear una lata cilndrica de 375ml de capacidad. Cules son las
dimensiones que minimicen el rea?
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? Imagen
2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo r
rea del crculo=AC=r2 Partimos de que la lata se va a
rea del rectngulo=AR=(base=2r)(altura=h) fabricar mediante: dos lminas
Volumen del cilindr=VC=Ab.h=r2h circulares y una rectangular, es por
eso que necesitamos las frmulas h
= del rea.

AT=AR+AC Planteamos que el rea total es la 2r
suma de las reas del rectngulo
ms los dos crculos.
AT(r) =2rh + 2r2 El modelo matemtico se debe
expresar en funcin del radio.
Como tenemos dos variables; el r y La grafica es:
() = ( ) + h, tenemos que despejar la altura
de la frmula de volumen y

4
 sustituirla en el modelo de rea
total. 600
Sustituimos el valor del volumen y 400
() = ( ) + simplificamos la expresin de rea
total. 200
Procedemos a darle valores a r
0
() = ( ) + hasta encontrar el rea mnima
1 2 3 4

r Relacin de correspondencia AT(r) Parejas ordenas

AT(r)=750/r+2r2
2 AT(2)=750/(2)+2(2)2=400.132 400.132 (2,400.132)
3 AT(3)=750/(3)+2(3)2=306.54 306.54 (3,306.54)
4 AT(4)=750/(4)+2(4)2=288.08 288.08 (4,288.08)
5 AT(5)=750/(5)+2(5)2=307 307 (5, 307)
Por lo tanto las dimensiones que minimizan el rea son: r=4cm y

= = .
(. )

Ejercicios a resolver. Se va a disear una lata cilndrica de 500ml de capacidad. Cules son las
dimensiones que minimicen el rea?

REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO 3

Ejercicio resuelto.Traza la grfica de la funcin cbica f(x)=2x2+6x3; determina las coordenadas
del punto mximo con valores de x de:-2,-1, 0, 1, 2.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? Plano cartesiano
2.- Qu me piden? 80
3.- Desarrollo
Factorizamos la funcin para encontrar los valores de x, por donde corta la
funcin por el eje x. 60
f(x)=2x2+6x3= 2x2(1+3x)
Igualamos a cero la funcin y obtenemos los valores de x.
40
2x2(1+3x)=0; separamos el valor de x fuera y dentro del parntesis y
resolvemos.
2x2=0 Despejamos 1+3x=0 Despejamos 20
X2=-1/3
02
1 = = 0
2 0
-4 -2 0 2 4
x Relacin de correspondencia f(x) Parejas
f(x)=2x2+6x3 -20
ordenas
-2 f(-2)=2(-2)2+6(-2)3 -40 (-2,-40)
-1 f(-1)=2(-1)2+6(-1)3 -4 (-1,-4) -40
0 f(0)=2(0)2+6(0)3 0 (0,0)
1 f(1)=2(1)2+6(1)3 8 (1,8) -60
2 f(2)=2(2)2+6(2)3 56 (2,56)

Ejercicios a resolver. Traza la grfica de la funcin cbica f(x)=2x2+4x3; determina las

coordenadas del punto mximo con valores de x de:-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

APLICACIN DE MODELOS MATEMTICOS DE FUNCIONES DE TERCER GRADO

Ejercicio resuelto. A partir de una hoja de papel de 16 cm por 20cm, se desea hacer una caja
cortando cuadrados de longitud x en las esquinas y doblando los lados hacia arriba, como se
muestra en la figura.
1).- Determinar las dimensiones de la caja.
2).- Determinar el volumen mximo.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo?
2.- Qu me piden?

5
3.- Desarrollo x x
= Partimos de la frmula de volumen x x
= ( )() = ()()() 16cm
() = ( )( ) Se construye el modelo matemtico en
trminos de x, la base b es 20-2x porque
se van a quitar los cuadrados sombreados al x x
igual que en la altura h es 16-2x. x x
() = ( + ) Se multiplican cada uno de los trminos del
20cm
() = + modelo matemtico.
() = +
() = ( + ) = Igualando el modelo a cero; tenemos que
factorizar en dos partes:
Primer Segundo caso En el primer caso x1 despejamos y nos da un
caso valor de cero. En el segundo caso tenemos
16-2x
= + = que buscar un nmero que sumado sea igual
( )( ) = a (-18) y multiplicado sea igual a (80)
= =

= = Separamos ambos valores de x2 y x3 y
X2=8 X3=10 despejamos 20-2x
Si x=4 entonces: Los valores de x1,x2 y x3; son los que cruzan
V(4)=4(4)3-72(4)2+320(4)=384 por el eje x; por consiguiente debemos
Es el volumen mximo. encontrar los valores intermedios entre x1=0,
x2=8 y x3=10 siendo 4 y 9.
Si x=9 entonces Se sustituyen en el modelo matemtico
V(9)=4(9)3-72(9)2+320(9)=-36 original () = + para
Es el volumen mnimo encontrar el volumen mximo o mnimo.

Ejercicio a resolver. A partir de una hoja de papel de 8cm por 10cm, se desea hacer una caja
cortando cuadrados de longitud x en las esquinas y doblando los lados hacia arriba, como se
muestra en la figura.
1).- Determinar las dimensiones de la caja.
2).- Determinar el volumen mximo.

Ejercicio resuelto. En una fbrica de helados se vierte helado lquido en los envases de forma
cnica, para despus ponerlos a congelar. S se desea que el volumen mximo de llenado sea de
98 ml. Determinar las dimensiones de la altura h y radio r que debe tener, si la altura H y el
R total son de: 15cm y 3 cm respectivamente.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? Volumen mximo de llenado 98ml Imagen
2.- Qu me piden? la altura h y radio r
3.- Desarrollo
Partiremos de la frmula del volumen de un
=
cono.
Por semejanza de tringulos, tenemos la
=
proporcionalidad entre las alturas y los radios.
Despejando el radio tenemos, y simplificando.
= =

El valor del radio se sustituye en la frmula del
= ( )
volumen del cono.
Simplificamos y queda.
= =

Sustituimos el valor del volumen=98
= =

()
Despejamos la altura h y realizamos
= = . clculos.
.

Ejercicio a resolver. En una fbrica de helados se vierte helado lquido en los envases de forma
cnica, para despus ponerlos a congelar. S se desea que el volumen mximo de llenado sea de
196 ml. Determinar las dimensiones de la altura h y radio r que debe tener, si la altura H y el
R total son de: 30cm y 6 cm respectivamente.

Ejercicio resuelto. El volumen de una clula en forma esfrica crece en funcin de su radio r de
4
acuerdo a la expresin () = 3 3 , donde el radio se mide en micrmetros (1m=10-6m).Halla:

6
a).-El volumen de la clula cuando r=5m.

Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? 4 3
() =
3
2.- Qu me piden? a).-El volumen de la clula cuando r=5m.

3.- Desarrollo
4
a).-Sustituimos r=5 en la ecuacin original (5) = 3 (5)3 = 523.6

Ejercicio a resolver. El volumen de una clula en forma esfrica crece en funcin de su radio r
4
de acuerdo a la expresin () = 3 3 , donde el radio se mide en micrmetros (1m=10-
6
m).Halla:
a).-El volumen de la clula cuando r=15m.

AUTOEVALUACION BLOQUE I

1. Traza la grfica de la funcin cuadrtica f(x)=-x2-2x+1; determina las coordenadas del punto
mximo con valores de x de:-3, -2, -1, 0, 1, 2.

2. El costo (en pesos) de producir x unidades de un artculo est dado por: C(x)=
10x2+550x+1500
Determina C(50)
3. Deseamos conocer la altura que alcanza un proyectil lanzando verticalmente con una
velocidad inicial de 10m/s despus de 1,3, y 4 segundos. Consideramos que se lanza desde
una posicin inicial igual a cero. En este caso, x equivale al tiempo y f(x) a la posicin. El
modelo matemtico para encontrar la posicin en un tiro vertical es: f(x)= x0 + v0x - gx2; en
donde x0=posicin inicial, v0=velocidad inicial y g=gravedad= -9.81m/s2.

4. Se va a disear una lata cilndrica de 200ml de capacidad. Cules son las dimensiones
que minimicen el rea?

5. Traza la grfica de la funcin cbica f(x)=x2+2x3; determina las coordenadas del punto
mximo con valores de x de:-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

6. A partir de una hoja de papel de 8 cm por 10cm, se desea hacer una caja cortando
cuadrados de longitud x en las esquinas y doblando los lados hacia arriba, como se
muestra en la figura.
1).- Determinar las dimensiones de la caja.
2).- Determinar el volumen mximo.

7.En una fbrica de helados se vierte helado lquido en los envases de

forma cnica, para despus ponerlos a congelar. S se desea que el
volumen mximo de llenado sea de 196 ml. Determinar las
dimensiones de la altura h y radio r que debe tener, si la altura H y
el R total son de: 30cm y 6 cm respectivamente.

7
 8. El volumen de una clula en forma esfrica crece en funcin de su radio r de acuerdo a la
4
expresin () = 3 3 , donde el radio se mide en micrmetros (1m=10-6m).Halla:
a).-El volumen de la clula cuando r=5m.

BLOQUE II. RESUELVES PROBLEMAS DE LMITES EN SITUACIONES DE CARCTER ECONMICO,

ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL.

Desempeos del estudiante al concluir el bloque

-Aplica el concepto de lmite a partir de la resolucin de problemas econmicos, administrativos,
naturales y sociales de la vida cotidiana.
-Calcula lmites a partir de la elaboracin de grficas en derive y su interpretacin de las
representaciones grficas de funciones, mostrando habilidades en la resolucin de problemas de
situaciones cotidiana.
Objetos de aprendizaje
-Los lmites: su interpretacin en una tabla, en una grfica y su aplicacin en funciones algebraicas.
-El clculo de lmites en funciones algebraicas y trascendentes.

TEMA. LMITE

Ejercicio resuelto. Consideramos la funcin () = , determina su lmite por la derecha

y por la izquierda; mediante una tabla de valores y grficamente cuando x tiende a 1.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? La funcin
2.- Qu me piden? Los lmites laterales
3.- Desarrollo
Buscamos valores cercanos a 1 por la izquierda y por la derecha.
Grfica
Lmite por la izquierda Lmite por la derecha
x f(x) x f(x)
0.5 2.750 1.5 0.750
0.7 2.510 1.25 1.437
0.9 2.190 1.1 1.79
0.95 2.05 1.05 1.897
0.99 2.01 1.01 1.980
0.999 2.0019 1.001 1.9979

Ejercicios a resolver. Consideramos la funcin () = 4 2 , interpreta su lmite por la derecha y

por la izquierda; mediante una tabla de valores y grficamente cuando x tiende a 1.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo?
2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo

Grfica
Lmite por la izquierda Lmite por la derecha
x f(x) x f(x)
0.5 1.5
0.7 1.25
0.9 1.1
0.95 1.05
0.99 1.01
0.999 1.001

8
Ejercicio resuelto. Determinar los lmites laterales, en los puntos de discontinuidad, de la funcin
definida por:

1.- Qu datos tengo? Imagen

2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo
El punto de discontinuidad se presenta cuando

Luego: y
Observa que el lmite por la derecha (3), es diferente al lmite por la
izquierda (2).

Ejercicios a resolver. Determinar los lmites laterales, en los puntos de discontinuidad, de la

funcin definida por:

1.- Qu datos tengo? Imagen

2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo

Lmites de funciones algebraicas y su solucin mediante grficas.

Ejercicio resuelto. La grfica corresponde a la funcin f(x), justifica si lim () = 3.

2
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? La funcin Imagen
2.- Qu me piden? Justificar el l
3.- Desarrollo

lim () 3 ; porque f(a)L , ya que f(2)=-1

2

Ejercicio a resolver. La grfica corresponde a la funcin f(x), justifica si lim () = 1.

2
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? Imagen
2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo

Ejercicio resuelto. Encuentra el valor de lim 1 2 2 3

2

9
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? La funcin Imagen
2.- Qu me piden? El lmite
3.- Desarrollo

() () = () () = + =

Ejercicio a resolver. Encuentra el valor de + +

+
Ejercicio resuelto. Encuentra el valor de

Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? La funcin Imagen
2.- Qu me piden? El lmite
3.- Desarrollo

+ ()+
= = =

+
Ejercicio a resolver. Encuentra el valor de

Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo?
2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo

Lmites racionales

Ejercicio resuelto
Determina


Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo?
2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo
22 4
lim S sustituimos el valor de x=2, tenemos una indeterminacin.
2 2 2
Tenemos que factorizar los trminos que se puedan realizar, el trmino
( 2)( + 2) x2-4 es un binomio conjugado igual a (x-2)(x+2); el trmino (x-2) se
lim elimina con el denominador.
2 2
lim + 2 = 2+2 = 4 Simplificado queda de la siguiente manera.
2

Ejercicio a resolver

10
Determina

+
Ejercicio resuelto
Determina

+
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo?
2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo
El denominador es un trinomio con trmino comn x2-6x+8; para factorizar, buscamos dos

+ nmeros que sumados nos den (-6) y multiplicados nos den (8); los nmeros son:(-4) y (-2).
Esta funcin puede ser evaluada prcticamente en cualquier nmero real, excepto los
=
( )( ) nmeros 4 y 2, debido a que al sustituirlo se obtiene una divisin entre cero y el cociente no
se encuentra definida.
Simplificando tenemos:
=
( )
Sustituyendo el valor del lmite, tenemos lo siguiente.
= =
( )

Ejercicio a resolver
Determina + +

+

Lmites que se tienen que racionalizar

4 2
Ejercicio resuelto. Determina lim
2= 3 2 +5
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo?
2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo
Si sustituimos directamente el valor de 2, ocurre una indeterminacin
lim = = 0/
+
(4 2 )(3 + 2 + 5) Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador 3 + 2 + 5, para que en
lim el denominador se forme un binomio conjugado (3 + 2 + 5 )(3 2 + 5 )
2 (3 2 + 5)(3 + 2 + 5)
(4 2 )(3 + 2 + 5) Desarrollamos el binomio conjugado
lim (32 ) (( 2 + 5)2 )=9-x2-5
2 (3)2 ( 2 + 5)2
(4 2 )(3 + 2 + 5) Se suman algebraicamente los trminos del denominador.
lim
2 (9 2 + 5)
(4 2 )(3 + 2 + 5) Simplificando 4 x2 del numerador y denominador tenemos.
lim
2 (4 2 )
lim 3 + 2 + 5 Se aplica el lmite.
2
lim 3 + 22 + 5 = 3+4 + 5= 3+9= 3+3 = 6 El resultado es:
2

16 2
Ejercicio a resolver. Determina
4= 3 2 7

Lmites a infinito

Ejercicio resuelto

Determina +

+

Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo?

11
2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo

5 2 + 3 1
Se debe aplicar el concepto de lmite a infinito lim = 0; para esto
lim =
3 2 + 2 1
se debe de dividir toda la expresin entre el trmino con mayor
exponente sin el coeficiente.
5 2 3 Se divide tanto el numerador como el denominador x2.
+
2 2 2
= lim 2
3 2 1
+
2 2 2
1 3 Se aplica el concepto de lmite a infinito.
5+
2 1
= lim 2 1 lim = 0
3 +
2
5+
1

3 Se sustituye el en las x.
2
= lim 2 1
3
+ 2

5+00 5 Se cambia por el cero todas las expresiones que cumplen con el concepto
= lim = de lmite a infinito y tenemos el resultado.
3 + 0 0 3

Ejercicio a resolver
Determina +

+

Aplicaciones de lmites
Los lmites se aplican tanto en las ciencias exactas como en las sociales.
I. En economa
Ejercicio resuelto
El costo en pesos por producir x unidades de cierto artculo es C(x)=0.5x2+x+500. Encuentra.
a).- El costo por producir 10 artculos.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? C(x)=0.5x2+x+500
2.- Qu me piden? a).- El costo por producir 10 artculos.
()(10)
b).- lim
10 10
3.- Desarrollo
a).-Sustituimos x=10 en la ecuacin original C(x)=0.5x 2+x+500
C(10)= 0.5(10)2+ 10 +500=560 pesos.
()(10)
b).- lim
10 10
()(10) Se sustituye el modelo matemtico C(x)=0.5x2+x+500 y el
lim =
10 10 resultado del inciso a
0.5 2 + + 500 560 Se simplifica
lim
10 10
0.5 2 +60 Se factoriza la parte del numerador por agrupamiento
lim =
10 10
0.5( 2 +2120) Tambin se factoriza el trinomio; buscando dos nmeros que
lim =
10 10 sumados den 2 y multiplicados -120.
0.5( 10)( + 12) Se simplifica y se aplica el lmite.
lim =
10 10

lim (0.5)( + 12) = 0.5(10 + 12) = 11 .Este lmite de 11 pesos/unidad se le conoce como costo marginal cuando se
10
producen 10 artculos.

Ejercicio a resolver
I.-El costo en pesos de producir x unidades de cierto artculo es C(x)=200+10x+x2. Encuentra:
a).- El costo por producir 20 artculos.
()(20)
b).-Calcula lim 20
20

12
 II. Fsica
Ejercicio resuelto
El desplazamiento de un automvil que se mueve en lnea recta se expresa con s(t)=16t+t 2,
donde t se mide en segundos y s(t) en metros.
a) Qu tan lejos viajar en 5 segundos?
()(5)
b) Calcula lim 5
5
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? s(t)=16t+t2
2.- Qu me piden? a) Qu tan lejos viajar en 5 segundos?
()(5)
b) Calcula lim
5 5
3.- Desarrollo
a).-Sustituimos t=5 en la ecuacin original s(t)=16t+t2 =s(5)=16(5)+(5)2=105 metros.
()(5)
b)lim 5 .
5
()(5) Se sustituye el modelo matemtico el resultado del inciso a
lim =
5 5 s(t)=16t+t2
16 2 105 Se simplifica
lim
5 5
2 + 16 105 Se factoriza el trinomio; buscando dos nmeros que sumados
lim den 16 y multiplicados -105.
5 5
(+21)(5) Se simplifica y se aplica el lmite.
lim =t+21
5 5

lim( + 21) = (5 + 21) = 26/Este lmite de 26m/s ,se le conoce como la velocidad instantnea.
5

Ejercicio a resolver
El desplazamiento de un automvil que se mueve en lnea recta se expresa con s(t)=16t+t 2,
donde t se mide en segundos y s(t) en metros.
c) Qu tan lejos viajar en segundos?
()(10)
d) Calcula lim 10
10
III. Biologa
Ejercicio resuelto
El volumen de una clula en forma esfrica crece en funcin de su radio r de acuerdo a la
4
expresin () = 3 3 , donde el radio se mide en micrmetros.Halla:
a).-El volumen de la clula cuando r=5m.
()(5)
b).- lim 5
5
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? 4 3
() =
3
2.- Qu me piden? ()(5)
a).-El volumen de la clula cuando r=5m. Y b).-Calcula lim
5 5
3.- Desarrollo
4
a).-Sustituimos r=5 en la ecuacin original (5) = 3 (5)3 = 523.6
()(5)
b).- lim 5
5
() (5) Se sustituye el modelo matemtico el resultado del
lim 4
5 5 inciso a (5) = (5)3 = 523.6
3
4 Se simplifica
3 523.6
3
lim
5 5
4.188 3 523.6 S dividimos ambos miembros del trmino entre 4.188,
lim nos da
5 5
3 125 Se factoriza el numerador como cubo perfecto r3-125
lim =(r-5)(r2+5r+25)
5 5
( 5)( 2 + 5 + 25) Se elimina (r-5) que multiplica y divide.
lim
5 5
lim 2 + 5 + 25 = 52 + 5(5) + 25 = 25 + 25 + 25 = 75m El resultado es:
5

13
Ejercicio a resolver
El volumen de una clula en forma esfrica crece en funcin de su radio r de acuerdo a la
4
expresin () = 3 3 , donde el radio se mide en micrmetros.Halla:
a).-El volumen de la clula cuando r=10m.
()(10)
b).- lim 10
10

Lmites de funciones trascendentes

Ejercicio resuelto. Encuentra el valor de

Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? La funcin
2.- Qu me piden? El lmite
3.- Desarrollo
=

Ejercicio a resolver. Encuentra el valor de

Ejercicio resuelto. Encuentra el valor de

Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? La funcin
2.- Qu me piden? El lmite
3.- Desarrollo

=

Ejercicio a resolver. Encuentra el valor de

AUTOEVALUACIN
1
1. Consideramos lim ; interpreta su lmite por la derecha y por la izquierda; mediante una
1 3
1
tabla de valores.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo?
2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo

Grfica
Lmite por la izquierda Lmite por la derecha
x f(x) x f(x)
0.5 1.5
0.7 1.25
0.9 1.1
0.95 1.05
0.99 1.01
0.999 1.001

2. Determinar los siguientes lmites en los puntos de discontinuidad.

14
3. Determina los siguientes lmites +
+=
2 16
lim =
2 4

lim = +=
0 +1 1

4. Resuelve los siguientes problemas.

El costo en pesos de producir x unidades de ciertoartculo es C(x)=200+10x+x2. Encuentra:
a).- El costo por producir 20 artculos.
()(20)
b).-Calcula lim 20
20

El volumen de una clula en forma esfrica crece en funcin de su radio r de acuerdo a la

4
expresin () = 3 , donde el radio se mide en micrmetros.Halla:
3
a).-El volumen de la clula cuando r=10m.
()(10)
b).-Calcula lim 10
10

El desplazamiento de un automvil que se mueve en lnea recta se expresa con s(t)=20t-5t2, donde
t se mide en segundos y s(t) en metros.
a) Qu tan lejos viajar en 2 segundos?
()(2)
b) Calcula lim 2
2

5. Determina los siguientes lmites trascendentes

a) Encuentra el valor de


b) Encuentra el valor de

BLOQUE III.CALCULA, INTERPRETA Y ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENMENOS

NATURALES, SOCIALES, ECONMICOS y ADMINISTRATIVOS

Desempeo del estudiante al concluir el bloque

Calcula e interpreta el valor representativo de un proceso o fenmeno econmico, social o natural
en funcin del tiempo, mediante la resolucin de problemas del contexto real.
Compara los diferentes procesos algebraicos que determinan una razn de cambio, mediante el
anlisis de casos relacionados en la produccin agrcola, velocidad instantnea y la produccin
industrial existentes en el entorno cotidiano.
Analiza y resuelve problemas matemticos que modelan razones de cambio para cuantificar el
cambio fsico, qumico, biolgico, econmico, entre otros, despus de transcurrido un tiempo.

15
Objeto de aprendizaje
La variacin de un fenmeno a travs del tiempo.
La velocidad, la rapidez y la aceleracin de un mvil en un periodo de tiempo.

TEMA: RAZONES DE CAMBIO.

Aplicaciones de las razones de cambio en el mbito de la produccin agrcola, velocidad
instantnea y la produccin industrial existentes en el entorno cotidiano.
Ejercicio resuelto

La tabla anexa muestra la poblacin P (en miles)de una poblacin de una ciudad, desde el ao 1990 hasta
2000.
Ao 1990 1992 1994 1996 1998 2000
P 592 612 625 680 715 735
a) Encuentra la razn promedio de crecimiento incluyendo las unidades.
1.-De 1996 a 1998
2.-De 1998 a 2000
b) Promedia dos razones promedio de cambio para estimar la razn instantnea de
crecimiento en 1998.
c) Estima la razn instantnea de crecimiento en 1998 trazando la pendiente.

Algoritmo solucin
1.- Qu datos La tabla
tengo?
2.- Qu me Razn promedio, Razn instantnea
piden?
3.- Desarrollo
a).-Razn promedio de:
715680 35
1.-De 1996 a 1998= = =17.5
19981996 2
millones de personas al ao
735715 20
2.-De 1998 a 2000= = =10 mil
20001998 2
personas/ao
b).-17.5+10/2=13.75 mil personas por ao
c).- m=55/4=13.75

Ejercicios a resolver. La tabla anexa muestra la poblacin P (en miles) de una poblacin de una
ciudad, desde el ao 1990 hasta 2000.
Ao 1990 1992 1994 1996 1998 2000
P 592 612 625 680 715 735
a) Encuentra la razn promedio de crecimiento incluyendo las unidades.
1.-De 1990 a 1992
2.-De 1992 a 1994
b) Promedia dos razones promedio de cambio para estimar la razn instantnea de
crecimiento en 1992.
c) Estima la razn instantnea de crecimiento en 1992 trazando la pendiente de la tangente en
ese ao.
d) Ejercicio resuelto
e) La siguiente tabla muestra el valor del dlar el da 1 de agosto de cada ao, durante el
periodo comprendido entre 1999 y 2003.
t(aos) 1999 2000 2001 2002 2003
V(pesos por dlar) 9.3565 9.3667 9.1408 9.7861 10.5243
Determinar la razn de cambio del valor del dlar el da 1 de agosto del 2002.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? La tabla

16
2.- Qu me piden? la razn de cambio del valor del dlar el da 1 de agosto del 2002
3.- Desarrollo
9.78619.1408
Tomamos el intervalo de 2001 a 2002, la razn promedio es = =0.6453 pesos por ao
20022001

10.52439.7861
Luego tomamos el intervalo de 2002 a 2003, y la razn de cambio = =0.7382 pesos por ao
20032002

La razn de cambio al01/08/02, es el promedio de los valores obtenidos (0.6453+0.7382)/2=0.69175 pesos

Ejercicio a resolver
La siguiente tabla muestra el valor del dlar el da 1 de agosto de cada ao, durante el periodo
comprendido entre 1999 y 2003.
t(aos) 1999 2000 2001 2002 2003 2004
V(pesos por dlar) 9.3565 9.3667 9.1408 9.7861 10.5243 10.935
Determinar la razn de cambio del valor del dlar el da 1 de agosto del 2003.

Razn de cambio como funcin La derivada

Ejercicio resuelto
Sea f(x)=3x, sustituyendo en la frmula de definicin de derivada tenemos:
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? La funcin
2.- Qu me piden? La derivada por definicin
3.- Desarrollo

( + ) () Se aplica la frmula de la derivada por definicin:

, () = ( + ) = ( + )
() = ; Se sustituye en la frmula.
( + ) () Se multiplica por 3 tanto el primer como el segundo trminos del numerador.
, () =

+ Se simplifica la expresin del numerador.
, () =

Eliminamos la h que multiplica y la que divide.
, () =

, () = Como no hay valor de h, el lmite se elimina

, () El resultado es 3
=

Ejercicios a resolver
Sea f(x)=5x.

Ejercicio resuelto
Sea f(x)=x2, sustituyendo en la frmula de definicin de derivada tenemos:
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? La funcin
2.- Qu me piden? La derivada por definicin
3.- Desarrollo
( + ) () Se aplica la frmula de la derivada por definicin:
, () = ( + ) = ( + )
() = ; Se sustituye en la frmula.
( + ) Se Desarrolla del denominador; el primer trmino del numerador se desarrolla as: + ()() +
() =


+ + Se simplifica la expresin del numerador
() =

17
 + Se factora por trmino comn la expresin.
() =

()
( + ) Se elimina la h que multiplica y la que divide.
=

() = + Se aplica el lmite.

() =

Ejercicios a resolver
1.-Sea f(x)=2x2, sustituyendo en la frmula de definicin de derivada tenemos:

Ejercicio resuelto
Sea f(x)=x3, sustituyendo en la frmula de definicin de derivada tenemos:
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? La funcin
2.- Qu me piden? La derivada por definicin
3.- Desarrollo
( + ) () Se aplica la frmula de la derivada por definicin:
, () = ( + ) = ( + )

() = ; Se sustituye en la frmula.
+ ( )() + ()( ) + Se Desarrolla del denominador; el primer trmino del numerador se desarrolla as: +
() = ( )() + ()( ) +

()
( )() + ()( ) + Se simplifica la expresin del numerador
=

()
(( ) + () + ) Se factoriza por el trmino comn la expresin y elimina la h que multiplica y la que
= divide.

()
= ( ) + () + Se aplica el lmite.

() = ( ) + ()() + ()

() =

Ejercicios a resolver
1.-Sea f(x)=2x3, sustituyendo en la frmula de definicin de derivada tenemos:

La velocidad como razn de cambio

Ejercicio resuelto
La distancia s (en metros) recorrida por un coche desde un punto est dada por s(t)=t2.
a) Cul es la velocidad promedio del objeto entre t=2 y t=4?
b) Calcula la velocidad instantnea en el tiempo t=3.

t= 0 t= 2 t= 4

Solucin
Algoritmo
1.- Qu datos tengo? La tabla
2.- Qu me piden? Razn promedio, Razn instantnea
3.- Desarrollo
a).-Utilizamos la ecuacin s(t)=t2 para calcular la velocidad promedio
(4)(2) 42 22
= = =6m/s
42 2
(3+)(3) (3+)2 (3)2 9+6+2 9 6+2 (6)
b).-(3) = lim = lim = lim = lim = lim = lim (6 ) = lim (6 0)=6m/s.
0 0 0 0 0 0 0

Ejercicio a resolver
La distancia s (en metros) recorrida por un coche desde un punto est dada por s(t)=t2.
a) Cul es la velocidad promedio del objeto entre t=3 y t=6?
b) Calcula la velocidad instantnea en el tiempo t=5.

18
t= 0 t= 3 t= 6

Derivada por frmula

Derivada de una constante

Ejercicio resuelto Ejercicio a resolver
y=3, encuentra la derivada y=5, encuentra la derivada
Solucin Solucin

=0

Derivada de una funcin identidad
Ejercicio resuelto Ejercicio a resolver
y=2x, encuentra la derivada y=7x, encuentra la derivada
Solucin Solucin

=2

Derivada de la funcin f(x)=xn.

Ejercicio resuelto Ejercicio a resolver
y= x5, encuentra la derivada y=x3, encuentra la derivada
Solucin Solucin
5
= 5 51 = 5 4

Ejercicio resuelto Ejercicio a resolver

y= x-3, encuentra la derivada y=x-6, encuentra la derivada
Solucin Solucin
3 3
= 3 31 = 3 4 = 4

Ejercicio resuelto Ejercicio a resolver

= , encuentra la derivada y=2, encuentra la derivada
Solucin Solucin
1
1 1 2 1
2 1 1 1 1 1
= = 21 = 22 = 2 = 1 =
2 2 2 2
2 2

Derivada del mltiplo constante

Ejercicio resuelto Ejercicio a resolver

= 5 4 , encuentra la derivada = 6 7 encuentra la derivada
Solucin Solucin
5 4
= 5(4) 41 = 20 3

Derivada de una suma algebraica

19
Ejercicio resuelto Ejercicio a resolver
= 5 + 2 3 3 8, encuentra la derivada = 4 7 + 3 4 8 6 encuentra la derivada
Solucin Solucin

( 5 + 2 3 3 8)
= +

( 5 + 2 3 3 8)
= +

La derivada de la funcin f(x)=ax.

Ejercicio resuelto Ejercicio a resolver
y= 5x, encuentra la derivada y=6x, encuentra la derivada
Solucin Solucin
( )
=

La derivada de la funcin f(x)=ex.

Ejercicio resuelto Ejercicio a resolver
y= 4ex, encuentra la derivada y=6ex, encuentra la derivada
Solucin Solucin
4
= 4

Aplicacin de la derivada
I. Agrcola
Ejercicio resuelto
La produccin de un campo de trigo (medida en toneladas por hectrea) es una funcin de la
cantidad x de fertilizante en kilogramos que se utiliza por hectrea, y est modelada por la
ecuacin,
y=3+0.7x-0.05x2
a) Cul es la produccin si utilizan 5kg de fertilizante por hectrea?

b) Encuentra , si se utilizan 5kg de fertilizante por hectrea o sea f(5), indica las unidades e
interpreta el resultado.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? El modelo matemtico
2.- Qu me piden? a) Cul es la produccin si utilizan 5kg de fertilizante por hectrea?

b) Encuentra , si se utilizan 5kg de fertilizante por hectrea o sea f(5), indica

las unidades e interpreta el resultado.

3.- Desarrollo

a) Sustituimos en la ecuacin original y tenemos f(5)=3+0.7(5)-0.05(5)2= 5.25 toneladas por hectrea.

b) Aqu deseamos la razn de cambio de produccin de trigo (derivada) cuando se aplican exactamente 5kg
de fertilizante.
y=3+0.7x-0.05x2

=0.7-0.1x ; por lo tanto f(5)=0.7-0.1(5)=0.2 toneladas por hectrea por kilogramo de fertilizante.

20
Ejercicio a resolver
La produccin de un campo de trigo (medida en toneladas por hectrea) es una funcin de la
cantidad x de fertilizante en kilogramos que se utiliza por hectrea, y est modelada por la
ecuacin,
y=2+0.9x-0.07x2
c) Cul es la produccin si utilizan 15kg de fertilizante por hectrea?

d) Encuentra , si se utilizan 15kg de fertilizante por hectrea o sea f(15), indica las
unidades e interpreta el resultado.

II. Economa
Ejercicio resuelto
El costo (en pesos) de producir x unidades de un artculo est dado por: C(x)=0.8x3 + 750x +100

a) Determinar el C(x) o sea el costo marginal.
b) Encontrar C(10) y C(10) e indica las unidades de cada concepto.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? El modelo matemtico
2.- Qu me piden?
a) Determinar el C(x) o sea el costo marginal.

b) Encontrar C(10) y C(10) e indica las unidades de cada concepto .
3.- Desarrollo

a) Sea C(x)=0.8x3+750x+100 para obtener el costo marginal derivamos =2.4x2 + 750.

b) C(10)=0.8(10)3 + 750(10)+100=9300pesos es el costo de producir 10 artculos.
C(10)=2.4(10)2+750=990 pesos por artculo, es el costo cuando se producen 10 artculos de stos.

Ejercicio a resolver
El costo (en pesos) de producir x unidades de un artculo est dado por: C(x)=0.6x3 + 550x +200

a) Determinar el C(x) o sea el costo marginal.
b) Encontrar C(15) y C(15) e indica las unidades de cada concepto.

III. Biologa
Ejercicio resuelto
Un tumor en el cuerpo de una persona es de forma esfrica, considerando que cuando enradio del
tumor de 0.5cm, su radio aumenta con una rapidez de 0.001cm por da Cul es la tasa de
crecimiento del volumen tumoral en ese momento.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo?
R=0.5cm = 0.001/

2.- Qu me piden? La tasa de crecimiento del volumen tumoral en ese momento.

3.- Desarrollo
Partiremos de la frmula del volumen de
=
una esfera.
Derivamos el volumen con respecto al
= ( )
tiempo.
Simplificamos
= ( )

Sustituimos
= (. )(. ) )(. ) = . .

Ejercicio a resolver
Un tumor en el cuerpo de una persona es de forma esfrica, considerando que cuando enradio del
tumor de 0.7cm, su radio aumenta con una rapidez de 0.002cm por da Cul es la tasa de
crecimiento del volumen tumoral en ese momento.

21
 I. Ingeniera
Ejercicio resuelto

De un embudo cnico sale agua a razn de = (1cm3/s). Sabiendo que el radio de la base es de

4 cm y la altura de 8 cm, calcular el descenso del nivel en la unidad de tiempo ; en el instante en
el que la superficie libre se encuentra a una distancia de 2cm de la base del embudo.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? 1cm3/s, R=4 y H=8
2.- Qu me piden?
en el instante en que hay una h=8 de superficie libre.

3.- Desarrollo
Partiremos de la frmula del volumen de
=
un cono.
Por semejanza de tringulos, tenemos la
=
proporcionalidad entre las alturas y los
radios.
Despejando el radio tenemos, y
= =
simplificando.
El valor del radio se sustituye en la frmula
= ( )
del volumen del cono.
Simplificamos y queda.
= =

Derivamos la funcin.
=

r y h son valores de la superficie del agua

= = =
en el instante t y V el volumen de agua que

contiene el cono y = 1cm3/s
Es negativo porque el agua sale
La altura h =8-2=6 , ya que el 8 es la altura
=
total del embudo y se le resta 2 la
superficie libre.

= . ()


= .

=
.

= . /

Ejercicio a resolver

De un embudo cnico sale agua a razn de = 2cm3/s. Sabiendo que el radio de la base es de


6 cm y la altura de 10 cm, calcular el descenso del nivel en la unidad de tiempo ;en el instante en
el que la superficie libre se encuentra a una distancia de 3cm de la base del embudo.

I. Fsica
Ejercicio resuelto
Una partcula se mueve a lo largo de una lnea recta con la funcin de movimiento () = 3 2 +
1, donde s se mide en metros y t en segundos. Encuentra la velocidad instantnea cuando t=1.5
segundos y su aceleracin.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? La funcin
2.- Qu me piden? La velocidad instantnea cuando t=1.5 segundos y su aceleracin

22
3.-Desarrollo

() = 3 2 + 1 Funcin de distancia
2 La derivada de la distancia con respecto al tiempo es igual a
= 2
la velocidad instantnea.
2
() =
2
2
(. ) = (1.5) 2 = 4.75 /
La derivada de la velocidad con respecto al tiempo, se
=
considera la aceleracin.
() =

(. ) = (. ) =

Ejercicio a resolver
Una partcula se mueve a lo largo de una lnea recta con la funcin de movimiento () = 4 3
6 + 8, donde s se mide en metros y t en segundos. Encuentra la velocidad instantnea cuando
t=2.5 segundos y su aceleracin.

AUTOEVALUACIN BLOQUE III

1. TEMA: Razones de cambio.

i. Resuelva el siguiente problema.
La tabla anexa muestra la poblacin P (en miles) de una poblacin de una ciudad, desde el ao
2000 hasta 2005.
Ao 2000 2001 2002 2003 2004 2005
P 592 612 625 680 715 735

A).-Encuentra la razn promedio de crecimiento incluyendo las unidades.

De 2002 a 2003
De 2003 a 2004
B).-Promedia dos razones promedio de cambio para estimar la razn instantnea de
crecimiento en 2003.
C).-Estima la razn instantnea de crecimiento en 2003 graficando la pendiente de la tangente
en ese ao.

ii. La distancia s (en metros) recorrida por un coche desde un punto est dada por s(t)=t 2.
a) Cul es la velocidad promedio del objeto entre t=3 y t=6?
b) Calcula la velocidad instantnea en el tiempo t=5.

t= 0 t= 3 t= 6
2. TEMA: Definicin de Derivada.
Resuelva los siguientes ejercicios, utilizando la frmula de la definicin de derivada.
a).-f(x)=4x2
b).-f(x) =2

3. TEMA: Derivadas por frmula.

Resuelva los siguientes ejercicios, utilizando la frmula de derivada correspondiente para cada
ejercicio.

y= , determinar . y=ex determinar .

y=x3, determinar . y=a2x determinar .

4. TEMA: Aplicacin de la derivada

Resuelve los siguientes problemas.

23
El costo (en pesos) de producir x unidades de un artculo est dado por: C(x)=0.8x3+750x+100.

b) La derivada del costo se llama costo marginal. Determina

c) Determina C(10) y C(10) e indica las unidades de cada concepto.

5. Un tumor en el cuerpo de una persona es de forma esfrica, considerando que cuando enradio
del tumor de 0.83.-Un tumor en el cuerpo de una persona es de forma esfrica, considerando que
cuando enradio del tumor de 0.5cm, su radio aumenta con una rapidez de 0.0015cm por da Cul
es la tasa de crecimiento del volumen tumoral en ese momento.

6. De un embudo cnico sale agua a razn de 3cm3/s. Sabiendo que el radio de la base es de 12

cm y la altura de 16 cm, calcular el descenso del nivel en la unidad de tiempo ;en el instante en
el que la superficie libre se encuentra a una distancia de 4cm de la base del embudo.

BLOQUE IV.CALCULA E INTERPRETA MXIMOS Y MNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE

OPTIMIZACIN

Desempeos del estudiante al concluir el bloque

-Comprende el volumen mximo y lo aplica a travs del diseo de envases como cilindros, cubos,
prismas, esferas, entre otros.
-Interpreta grficas que representan diversos fenmenos naturales, producciones agrcolas e
industriales, identifica mximos y mnimos absolutos y relativos
- Establece modelos matemticos y representaciones grficas de produccin de diversas empresas
(manufactura, fabricacin y elaboracin de artesanas) para calcular sus mximos y mnimos de
utilidad y emitir juicios sobre su situacin econmica.
-Calcula mximos y mnimos en funciones algebraicas y trascendentes aplicando mtodos
algebraicos.

Objetos de aprendizaje

Producciones, mximos y mnimos.

Variaciones en las producciones, mximos y mnimos relativos.

TEMA PROBLEMAS DE OPTIMIZACION MXIMOS Y MNIMOS

Ejercicio resuelto
Se va a disear una lata cilndrica de 375ml de capacidad. Cules son las dimensiones que
minimicen el rea?
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? Imagen
2.- Qu me piden?
3.- Desarrollo r
rea del crculo=AC=r2 Partimos de que la lata se va a fabricar
rea del mediante: dos lminas circulares y una
rectngulo=AR=(base=2r)(altura=h) rectangular, es por eso que necesitamos las
Volumen del cilindr=VC=Ab.h=r2h frmulas del rea. h

=
2r
AT=AR+AC Planteamos que el rea total es la suma de
las reas del rectngulo ms los dos
crculos.
AT(r) =2rh + 2r2 El modelo matemtico se debe expresar en
funcin del radio.
Como tenemos dos variables; el r y h,
() = ( ) + tenemos que despejar la altura de la frmula
de volumen y sustituirla en el modelo de rea
total.
Sustituimos el valor del volumen y
() = ( ) + simplificamos la expresin de rea total.

24
 Procedemos a darle valores a r hasta
() = ( ) + encontrar el rea mnima

() = + S pasamos la r al numerador pasa como
r-1 ya que en una divisin algebraica los
exponentes de las expresiones se restan.
() = () + Derivamos el modelo

matemtico,
empleamos la frmula: =

() = + Multiplicando por r2 para eliminar la r-2 del
trmino , tenemos lo siguiente.
() = + Igualamos () = ; Cuando el rea total
es mnima
+ = Despejando r tenemos
= Pasamos el -750 despus de la igualdad y
pasa como positivo, el 4 dividiendo y la r3
como raz cbica.

El radio nos da. Y calculamos la altura =
= =3.90 cm

El resultado es.
= = . cm
(.)

Ejercicio a resolver
Se va a disear una lata cilndrica de 255ml de capacidad. Cules son las dimensiones que
minimicen el rea?

Ejercicio resuelto
A partir de una hoja de papel de 16 cm por 20cm, se desea hacer una caja cortando cuadrados de
longitud x en las esquinas y doblando los lados hacia arriba, como se muestra en la figura.
1).- Determinar las dimensiones de la caja.
2).- Determinar el volumen mximo.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo?
2.- Qu me piden? x x
3.- Desarrollo x x
= Partimos de la frmula de 16cm
= ( )() = ()()() volumen
() = ( )( ) Se construye el modelo
matemtico en trminos de x, la x x
base b es 20-2x porque se van a x x
quitar los cuadrados sombreados 20cm
al igual que en la altura h es 16-
2x.
() = ( + ) Se multiplican cada uno de los
() = + trminos del modelo matemtico.
() = +
Derivamos el volumen
= + 16-2x

+ = Igualamos a cero y factorizamos
los coeficientes dividiendo entre
cuatro porque al dividir todos los
trminos son enteros.
20-2x
+ = Como no se puede factorizar el
trinomio, utilizamos la frmula
general para encontrar el valor de
x en una funcin cuadrtica.
() () ()() 2 + + Modelo matemtico
= de una funcin cuadrtica.
()
2 4
=
2
() Se realizan las operaciones que
= se encuentran en la raz cuadrada

() Se saca la raz cuadrada.
=

. Se realiza la operacin del
= numerador primero con el signo

positivo y luego con el negativo.
+ . . Se obtienen los resultados y se
= = ; = = . sustituyen en la funcin original

25
 para determinar el valor mximo y
mnimo.
S x=2.9 entonces: Si x=9 entonces
V(4)=4(2.9)3-72(2.9)2+320(2.9)=420 V(9)=4(9)3-72(9)2+320(9)=-36
Es el volumen mximo. Es el volumen mnimo.
S x=9 entonces:
V(4)=4(9)3-72(9)2+320(9)=-36
Es el volumen mnimo.

Ejercicio a resolver
a).-A partir de una hoja de papel de 8cm por 10cm, se desea hacer una caja cortando cuadrados
de longitud x en las esquinas y doblando los lados hacia arriba,
1).- Determinar las dimensiones de la caja.
2).- Determinar el volumen mximo.

Ejercicio resuelto
Si las funciones de ingresos y costos de una compaa estn dadas por I(q)=35q-q2 y C=7q+20,
donde q son las unidades, en miles, producidas y vendidas.
a).-Cuntas unidades de producto deben venderse para tener una ganancia mxima?
b).-Cul es el costo de produccin.
Algoritmo solucin
1.- Qu datos tengo? Las funciones de costos e ingresos
2.- Qu me piden? Cuntas unidades de producto deben venderse para tener una ganancia mxima?,
Cul es la mxima ganancia obtenida
Cul es el costo de produccin
3.- Desarrollo

a).-Tenemos I(q)=35q-q2
S derivamos la funcin tenemos: I(q)=35-2/2q2-1, I(q)=35-q,

Igualamos a cero la funcin derivada para obtener el nmero crtico; 35-q=0, entonces q=35 por lo tanto el nmero
crtico es q=35.

Sustituyendo q=35 en la funcin original I(q)=35q-q2

Entonces I(35) = 35(35)- (35)2=612.5 es la ganancia mxima.

b).-La funcin costo de produccin es: C(q)=7q+20= C(35)=7(35)+20=265.

Ejercicio a resolver
Si las funciones de ingresos y costos de una compaa estn dadas por I(q)=20q-q2 y C=8q+40,
donde q son las unidades, en miles, producidas y vendidas.
a) Cuntas unidades de producto deben venderse para tener una ganancia mxima?
b) Cul es el costo de produccin.

26
 TEMA. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Ejercicio resuelto
Determinar los mximos o mnimos empleando el criterio de la primera derivada de la funcin f(x) =
x4 - x3.
Deriva la funcin Iguala la derivada a cero y encuentra Escribe los valores crticos.
los nmeros crticos
3 2 2 = 0 x=2 y x=0
f(x) = x - x 4 3 Se factoriza y se considera a x2 como factor comn
tenemos: 2 ( 2) = 0, igualar cada factor a cero.
4
f(x)= 41
3.2
31 , f(x)= 3 2 2 Si x2=0, entonces x=0
4 3 Si x-2=0, entonces x=2 por lo tanto los
nmeros crticos son: x=0 y x=2.

Analiza los valores crticos Mximos y mnimos

Sustituyendo x=0 y en la funcin original
Los nmeros crticos (0,2); se representan en el eje x del plano cartesiano y se seleccionan f(x) = x4-x3tenemos:
otros nmeros cercanos a los nmeros crticos que se encuentren entre los intervalos de : (- Si x=0 entonces f(0) = (0)4-(0)3=0
,0), (0,2)y (2,+), siendo(-1,1 y 4) Si x=2 entonces f(2) = (2)4-(2)3=-4/3
por lo tanto es mnimo porque la derivada
es decreciente y despus creciente.
- -1 0 1
2 4 +
Grfica
La recta se divide en tres intervalos como se muestra en la siguiente tabla.
y
Nmeros Intervalo Nmero Sustituir el nmero Signo de la Derivada de la
crticos selecciona seleccionado en la 1 derivada Funcin: es
do entre 1 derivada creciente (+), es Xx
los decreciente (-).
intervalos 0 2
0 (-,0) -1 f(-1)=-3, f(x)0 Negativo Decreciente
2 (0,2) 1 f(1)=-1, f(x)0 Negativo Decreciente
-4/3
(2,+) 4 f(-4)=32, f(x)0 Positivo Creciente

Ejercicio a resolver
Determinar los mximos o mnimos empleando el criterio de la primera derivada de la funcin f(x) =
x3 - x2.

TEMA. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Ejercicio resuelto
Determinar el punto de inflexin, empleando el criterio de la segunda derivada de la funcin () =
1 3
3
2 3 + 4
Deriva la funcin Iguala la derivada a cero y encuentra los Escribe los valores crticos.
nmeros crticos
1 Hacemos f(x)=x2-2x-3=0 ;factorizamos buscando dos x=-1 y x=3
a) () = 3 2 3 + 4
3
nmeros que sumados nos den -2 y multiplicados nos
3 den 3; (x+1)(x-3); los nmeros crticos son: -1,3.
b) f(x)= 3 2 3 = 2 2
3
3

c) f(x)=2x-2
Analiza los valores crticos Punto de inflexin
Definir los intervalos Si igualamos la segunda derivada f(x)=2x-2=0
Y despejamos a x queda 2x-2=0
0
-
-1 3 + 2x=2 por lo tanto x=2/2=1, x=1
Sustituimos en la funcin original:

Intervalo Nmero Sustituir el nmero Signo de Conclusin acerca () = () () () + = 0.33

s seleccionad seleccionado en la 2 la 2 de la concavidad Las coordenadas del punto de inflexin son:
o entre los derivada derivada (1,0.33).
intervalos
Grfica

27
 (-,-1) -2 f (-2)=2(-2)-2=-6, Negativo Cncava hacia abajo y
f(x)0
(-1,3) 2 f(2)=2(2)-2=2, f(x) 0 Positivo Cncava hacia arriba f)
(3,+) 4 f(4)=2(4)-2=6, f(x)0 Positivo Cncava hacia arriba 5.67

Evaluamos los puntos crticos en la funcin original

x
Mximo 1
(1) = (1)3 (1)2 3(1) + 4= 5.67; Las coordenadas del mximo
3
son: (-1,5.67).
Mnimo 1 -
(3) = (3)3 (3)2 3(3) + 4= -5; Las coordenadas del mnimo son: 5
3
(3,-5)

Ejercicio a resolver
Determinar el punto de inflexin, empleando el criterio de la segunda derivada de la funcin () =
3 3 + 4.

AUTOEVALUACIN BLOQUE IV

TEMA: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN.

I. Se va a disear una lata cilndrica de 475ml de capacidad. Cules son las dimensiones
que minimicen el rea?

II. A partir de una hoja de papel de 8cm por 15cm, se desea hacer una caja cortando
cuadrados de longitud x en las esquinas y doblando los lados hacia arriba, como se
muestra en la figura.
1).- Determinar las dimensiones de la caja.
2).- Determinar el volumen mximo.

III. Si las funciones de ingresos y costos de una compaa estn dadas por I(q)=24q-q2 y
C=6q+32, donde q son las unidades, en miles, producidas y vendidas.
a).-Cuntas unidades de producto deben venderse para tener una ganancia mxima?
b).-Cul es el costo de produccin.

TEMA: CRITRIO 1DERIVADA; MXIMOS Y MNIMOS.

Determinar los mximos o mnimos empleando el criterio de la primera derivada de la funcin f(x)
=1/5x5 -x4.

TEMA: CRITRIO 2DERIVADA; MXIMOS Y MNIMOS.

Utiliza la segunda derivada para determinar los puntos de inflexin de La siguiente funcin:
Determinar el punto de inflexin, empleando el criterio de la segunda derivada de la funcin () =
1 3
2 2 + 3 + 1
3

GLOSARIO

Apndice I

La derivada como funcin

En la definicin anterior, si hacemos que el nmero vare y lo reemplazamos con la variable,
entonces la derivada , ()puede quedar como sigue:
( + ) ()
, () =

Apndice II

28
Frmulas de derivacin

1.- La derivada de una constante f(x)=c es cero.

() =

2.- La derivada de la funcin identidad f(x)=x es 1.

() =

3.- La derivada del mltiplo constante ( )
= .
f(x)= = .

( + )
= +
4.- La derivada de una suma algebraica

5.- La derivada de la funcin f(x)=ax. ( )

=

( )
=
6.- La derivada de la funcin f(x)=ex.

Apndice III

MAXIMOS Y MNIMOS EN RELACIN CON LA DERIVADA

El mximo de una funcin cuyo valor es x=o, existe cuando su pendiente es cero por lo tanto la
derivada de la funcin es cero, al igual que el mnimo.
La pendiente m=0 al La pendiente m=0 al

igual que = 0 ; s igual que = 0 ; s

la funcin crece y la funcin decrece y
luego decrece. luego crece.

TEMA. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Para saber en qu valores del dominio, la derivada no existe, debemos utilizar el criterio de la
primera derivada, para determinar si los puntos crticos son o no mximos o mnimos.
Criterio de la 1 derivada:
a).-S f(x)0 para xa y f(x)0 para xa, entonces x=a, f(x) es un mximo
b).-S f(x)0 para xa y f(x)0 para xa, entonces x=a, f(x) es un mnimo.

TEMA. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

LA CONCAVIDAD EN RELACIN CON LA SEGUNDA DERIVADA
Cuando hay un mximo en una funcin la segunda derivada es negativo y por lo tanto la funcin es
cncava hacia abajo, por consecuencia, si la segunda derivada es positiva la concavidad es hacia
arriba y hay un mnimo.

S = ; s la S = + ; s la
funcin crece y luego funcin decrece y
decrece. luego crece.

29
Mediante el criterio de la segunda derivada podemos calcular los mximos y mnimos de una
funcin.

BIBIOGRAFA
_Jimenez, R. (2011) . Matemticas V :Clculo diferencial . Enfoque en competencias: Mxico, DF:
Pearson.
_Vitutor, SLU (2014). Derivadas.Recuperado el 20 de enero de 2016, de vitutor:
_Galvn, E. Rodrguez, F. (2006). Clculo Diferencial para administracin y ciencias
sociales:Mxico, DF: Pearson.
_Amezola, A. (2016). Cuaderno de trabajo de matemticas V : Quertaro, Qro.

30