Taller Oscilaciones 0
Taller Oscilaciones 0
Taller Oscilaciones 0
k
11. Se superponen dos oscilaciones armonicas perpendicula-
res de tal manera que la oscilacion horizontal tiene una
frecuencia doble que la vertical. Cual de las siguientes
gracas corresponde a esta situaci on?
1
-1 0 1
-1
0
1
-1 0 1
-1
0
1
-1 0 1
-1
0
1
-1 0 1
-1
0
1
12. Se cuelga una esfera solida uniforme de radio R del ex-
tremo de un hilo. La distancia del pivote al centro de
la esfera es L. Determine el periodo para las peque nas
oscilaciones.
13. Dos partculas de igual masa m est an unidas por un
resorte de constante elastica k. Una de las partculas
est a unida al techo por otro resorte identico, tambien
de constante elastica k, y la otra partcula cuelga libre-
mente. Considere movimiento vertical solamente.
a) Escriba las ecuaciones de movimiento para este sis-
tema.
b) Calcule las frecuencias propias del sistema.
c) Determine los modos normales del sistema y
descrbalos cualitativamente.
14. Un anillo de radio R tiene una carga uniformemente
distribuida Q. Si una carga -q se coloca a una distancia
x, desde el centro del anillo, a lo largo de su eje muestre
que el movimiento de la carga -q, cuandox << R, es
armonico simple.
15. Hallar el periodo de oscilacion de un pendulo simple,
de longitud L, que cuelga del techo de un cami on que
avanza con una aceleraci on constante a = a
i
16. Un cilindro macizo de densidad uniforme y masa toral
M rueda sin deslizar sobre una supercie circular de
radio R, como se ve en la gura. Si el radio del cilindro
es r, muestre que el movimiento del centro de masa
del cilindro es oscilatorio para peque nas amplitudes del
movimiento descrito por el centro de masa. Determine
la frecuencia angular.
R
r
17. Una varilla delgada uniforme de longitud L y masa m
esta suspendida libremente en posicion vertical en un
punto O, situado a una distancia d (d < L/2) de su
extremo superior. La varilla se desplaza ligeramente a
partir de su posicion de equilibrio y se deja oscilar libre-
mente alrededor del punto O. Muestre que la frecuencia
angular del movimiento esta dada por
2
0
=
12gh
L
2
+ 12h
2
,
siendo h la distancia desde el punto O al centro de masa
de la varilla.
18. Para el sistema mostrado en la gura determine los mo-
dos normales de vibracion.
2
19. Una partcula esta sometida simult aneamente a tres
movimientos armonicos simples de la misma frecuen-
cia y en la misma direcci on. Si las amplitudes son de
0.25, 0.20 y 0.15, en milmetros, respectivamente, y la
diferencia de fase entre el primero el segundo es de /4,
y entre el segundo y el tercero es de /6, Determine si
el movimiento resultante es armonico y cual es la am-
plitud resultante.
20. Dos vibraciones en la misma direcci on est an descritas
por
y
1
(t) = Acos(10y), y
y
2
(t) = Acos(12t).
Determine si se observa un fenomeno de pulsacion (ba-
tido), y cuales son las frecuencias promedio y de pulsa-
cion.
21. Para el sistema mostrado en la gura determine la fre-
cuencia de las oscilaciones armonicas si la masa se des-
liza sobre una supercie sin friccion.
M
k
1
k
2
22. Una plataforma horizontal esta pivotada en uno de sus
extremos, su masa es m = 2,0kg y su longitud es de L =
1,0m, un resorte de constante elastica k = 1000N/m es-
ta sujeto del otro extremo, como se observa en la gura.
Muestre que el tablon realiza un movimiento armonico
simple y determine la frecuencia de las peque nas osci-
laciones.
23. Para un pendulo simple determinar la posicion angular
para la cual su energa cinetica es igual a su energa
potencial.
24. Una pelota de masa m esta conectada a dos bandas
de caucho de longitud L, cada una de las bandas esta
sometida a una tensi on T. La pelota se desplaza una
peque na distancia y << L, perpendicular a la longi-
tude de las bandas. Suponiendo que la tensi on de las
bandas no cambia a causa del peque no desplazamiento
de la pelota, muestre que el movimiento resultante des-
crito por la pelota es un movimiento armonico simple y
determine la frecuencia del mismo.
L L
y
25. Supongase que la energa potencial de una molecula
diatomica se puede expresar como U(r) = Ar
5
Br
3
siendo r la separacion entre los atomos. Hallar:
a) La distancia de equilibrio entre los dos atomos.
b) La constante elastica que describe la interacci on
entre los atomos.
c) La frecuencia de vibracion de los atomos si estos
tienen igual masa.
26. Una partcula ejecuta un movimiento armonico simple
con una amplitud de 3,0cm. En que posicion es su
rapidez igual a la mita de su rapidez maxima?
27. Muchos resortes reales son mas faciles de estirar que de
comprimir. Es posible representar este caso mediante
una fuerza restauradora dada por la funci on:
F(x) =
K
1
x, si x > 0,
K
2
x, si x < 0
Una masa M se une al resorte y se estira una distancia
A > 0 y posteriormente se libera. Determine:
a) El maximo desplazamiento negativo de la masa.
b) Es el movimiento resultante periodico, si su res-
puesta es armativa, cual es el periodo del mo-
vimiento?, Es armonico simple el movimiento re-
sultante?
c) Considere los dos puntos anteriores en el caso
K
2
= 2K
1
28. Encontrar la trayectoria del movimiento resultante de
la combinaci on de dos movimientos armonicos simples,
perpendiculares, cuyas ecuaciones son: x(t) = 4 sin(t)
y y(t) = 3 sin(t + ), cuando = 0,
2
, . Construya
un graco para la trayectoria en cada caso. Si alguna
de las trayectorias es elptica que angulo se encuentra
rotada dicha elipse respecto al eje x.
29. En un circuito LC, en un instante determinado la carga
en el condensador es q
0
/3. Para este mismo instante
cual es la energa almacenada en el inductor? La capa-
citancia es C
30. Una masa m est a unida al extremo de una barra unifor-
me de masa M y longitud l, la barra puede girar en su
parte superior. Determinar para peque nas oscilaciones
el perodo del movimiento para los casos: a) con la masa
m unida a la barra, b) sin la masa, c) si la masa unida a
la barra es igual a la masa de la barra, d) despreciando
la masa de la barra M.
3
31. La fase inicial de una vibracion armonica es igual a cero.
Cuando la elongaci on del punto es x
1
su velocidad es
igual a v
1
y cuando le elongaci on es x
2
su velocidad es
v
2
. Encontrar le ecuaci on que determina el movimiento,
x(t).
32. Una masa unida a un resorte oscila con amplitud A.
Cuando el desplazamiento respecto del equilibrio es
A
3
que fracci on de la energa total es cinetica y que frac-
cion es energa potencial?
33. Un oscilador armonico tiene un periodo de 4s. Si en
t = 0, su posicion y velocidad son 4/
3 cm y 2 cm/s,
respectivamente, cuanto demora el oscilador en alcan-
zar por primera vez:
a) La amplitud maxima
b) La rapidez maxima
34. Un resorte de masa despreciable y constante de fuerza
K esta unido a un cilindro de masa M y radio R de tal
forma que puede rodar sin deslizar sobre una supercie
horizontal sin friccion. Si el sistema se suelta desde el
reposo en una posicion en la que el resorte esta estirado,
muestre que el centro de masa del cilindro realiza un
movimiento armonico simple. Cu al es la frecuencia de
dicho movimiento?
35. Se perfora un t unel peque no a traves de la Tierra, mues-
tre que una partcula de masa m situada en el t unel
realiza un movimiento armonico simple, cual es el pe-
riodo del movimiento?
x
r
R
T
M
T
36. Considere un circuito RLC, determinar la ecuaci on di-
ferencial que rige el comportamiento de la carga en el
circuito.
37. Considere un sistema masa-resorte en el cual la masa es
de 16 g y su constante elastica es de K = 7,5 N/m. El
sistema se pone a oscilar en un medio en el cual experi-
menta una fuerza disipadora dada por
f = 0,26 v
i. El
sistema inicialmente se estira una longitud de 0,01 m.
Determinar:
a) La ecuaci on de movimiento
b) El decrecimiento logartmico de la amplitud
38. De un muelle colgado verticalmente se suspende un pe-
so que produce un estiramiento de 9,8 cm. Despues se le
hace oscilar desplazando el peso hacia abajo y soltando-
lo. Cuanto valdra el coeciente de amortiguamiento
para que:
a) Las oscilaciones cesen practicamente al cabo de
10 s
*
.
b) El peso vuelva a su posicion original sin oscilar
periodicamente.
c) El decrecimiento logartmico sea igual a 6.
39. Un pendulo con longitud de 1 m se suelta desde un
angulo inicial de 15
o
. Despues de 1000 s, por efectos de
la friccion, su amplitud se a reducido a 5.5
. Determine:
a) Cu al es el valor del factor y la frecuencia de
las oscilaciones amortiguadas.
b) Cuanta energa perdio en la primera oscilacion?
c) Cuanta energa perdio al cabo de los 1000
40. Un oscilador armonico amortiguado, cuya frecuencia es
f =
7,5
s
1
y cuyo par ametro de amortiguamiento es
= 9 s
1
, se halla inicialmente en reposo en la posicion
de equilibrio. En el instante t = 0 recibe un impulso
que lo pone en movimiento con una rapidez de 60 cm/s.
Determine:
a) El maximo desplazamiento a partir de la posicion
de equilibrio.
b) El tiempo que transcurre para que las oscilaciones
amortiguadas hayan reducido su amplitud al 0,1 %
de su valor inicial.
41. Un oscilador amortiguado tiene una frecuencia de osci-
lacion que es tan solo el 85 % de su frecuencia natural
(sin amortiguamiento). En que factor se disminuye su
amplitud y su energa en cada oscilacion?
42. Un cuerpo de 2 kg oscila con una amplitud inicial de
3 cm esta acoplado a un muelle de constante K =
400 N/m. Si su energa disminuye en 1 % en cada perio-
do, hallar la constante de amortiguamiento b y el factor
de calidad Q.
43. Una maquina posee una parte rotatoria (motor electri-
co), el cual se puede esquematizar como se aprecia en la
gura, sea M la masa total de la maquina, y m una ma-
sa equivalente excentrica (incluida en la masa total M)
*
En la practica se puede considerar que las oscilaciones cesan cuan-
do la amplitud se han reducido al 1 % de su amplitud inicial
4
situada a una distancia R del eje de rotacion, de modo
que la maquina se pone en funcionamiento se produ-
cen vibraciones cuya frecuencias son iguales a las de la
rotacion del motor. Determine:
a) Una expresion para la amplitud de las vibraciones
verticales de la maquina en funci on de la rapidez
de rotacion de la maquina, , y de las constantes
k y b.
b) La amplitud de las vibraciones en resonancia.
c) La fuerza transmitida al piso.
M R
K
m