H. J. Martínez & A. M.

Sanabria

1.6. Ejercicios

Antes de hacer los ejercicios que se proponen en esta sección, revise

los conceptos nuevos que se presentaron en este capítulo.
Conceptos Página Conceptos Página
Ecuación 2 Sistemas equivalentes 8
Solución de una ecuación 2 Sustitución hacia atrás 8, 22
Conjunto solución de una Matriz del sistema 10
ecuación 2 Matriz de coeficientes 10
n-upla 2 Matriz aumentada del sistema 10
Ecuación lineal 3 Operaciones elementales entre
Pivote 4 ecuaciones 10
Variable pivotal de una Operaciones elementales entre
ecuación 4 filas 11
Sistema de ecuaciones lineales 5 Matrices equivalentes 12
Sistema homogéneo 5 Eliminación de Gauss 13, 14
Sistema homogéneo asociado 5 Matriz escalonada 13
Solución de un sistema 6 Columna pivotal 13
Conjunto solución de un Variable pivotal de un sistema
sistema 6 escalonado 16
Conjunto solución infinito 7 Variable libre 16
Conjunto solución vacío 7 Matriz escalonada reducida 25
Conjunto solución unitario 7 Matriz aumentada conjunta 29
Sistema consistente 8

1. Dadas las siguientes ecuaciones:

(i) 4x1 + 2x2 + x3 − 2 = 0 (ii) 3x21 − x2 + 5x3 = 2 − x1
3x2 + 5
(iii) 4x1 − 3x2 − 1 = x3 + 5x5 (iv) 4x1 + 2x2 + x3 =
√ 4 − 4x3
π x2
(v) 3x + πy − 12z = 72/3 w (vi) x1 sen 3 + 4 − 3 = 0
a) ¿Cuáles son lineales? ¿Por qué?
b) ¿Cuáles son homogéneas? ¿Por qué?
c) ¿Cuáles son los coeficientes y los términos independientes de
las ecuaciones que usted identificó como lineales?
d ) Escriba las ecuaciones homogéneas asociadas a las ecuaciones
que usted identificó como lineales.
e) ¿Cuáles de las ternas (−1, 2, 2), (2, −1, 2), (2, 2, −1) son so-
lución de la ecuación (i)? ¿Por qué?
√ √
f ) ¿Cuáles de las 4-uplas (1, 1, 1, 1), ( 3, 0, 41 , 0), (12, 0, 3, 0)
son solución de la ecuación (v)? ¿Por qué?
g) ¿Es posible encontrar otras soluciones de la ecuación (i)? De
ser posible, halle al menos otra.

32
 Sistemas de ecuaciones lineales

h) ¿Es posible encontrar otras soluciones de la ecuación (v)? De

ser posible, halle al menos otra.
2. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine sus varia-
bles con los respectivos coeficientes, su término independiente y
su ecuación homogénea asociada. Determine además, si es posi-
ble, dos soluciones y el conjunto solución.
(i) 4x + 2y − x − 3 = 0
(ii) 3x − 2y + z = 2 − x + 2z
(iii) 4x1 − 3x2 − 1 = x3 + 5x5

3. Sean a, b números reales y x la variable de la ecuación ax = b.

a) ¿Es ésta una ecuación lineal?
b) ¿Es siempre posible hallar el valor de x (despejar x) que
satisface la ecuación?
4. Conteste SI o NO a las siguientes preguntas, dando una breve
explicación de su respuesta.
a) ¿Es posible encontrar una ecuación lineal que no tenga solu-
ción?
b) ¿Es posible encontrar una ecuación lineal homogénea que no
tenga solución?
5. Encuentre todos los valores de a para los cuales cada una de las
siguientes ecuaciones
(i) (a − 3)x = 5 (ii) 2x = a
(iii) (a2 − 4)x = 0 (iv) (a2 − 4)x = a + 2
a) tiene exactamente una solución.
b) tiene infinitas soluciones.
c) no tiene solución (es inconsistente).
6. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
x − 2y = 2 x − 2y = −1
(i) (ii)
2x + 3y = −3 −2x + 4y = 2
x − 2y = −1 x − 2y = 0
(iii) (iv)
−2x + 4y = 2 3x − y = 0

33
H. J. Martínez & A. M. Sanabria

a) ¿Cuáles son homogéneos? Por qué?

b) ¿Cuáles son los coeficientes y los términos independientes de
los sistemas?
c) ¿Cuáles de las duplas (4, 1), (0, −1), (2, 2) son solución del
sistema (i)? ¿Por qué?
d ) ¿Cuáles de las duplas (1, 1), (−2, 4), (3, 2) son solución del
sistema (ii)? ¿Por qué?
e) ¿Cuáles de las duplas (1, 1), (−2, 4), (3, 2) son solución del
sistema (iii)? ¿Por qué?
f ) ¿Es posible encontrar otras soluciones del sistema (i)? De ser
posible, halle al menos otra.
g) ¿Es posible encontrar otras soluciones del sistema (ii)? De
ser posible, halle al menos otra.
h) Determine cuáles de estos sistemas son consistentes.
i ) Escriba los sistemas de ecuaciones homogéneos asociados a
los sistemas de ecuaciones lineales dados.

7. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales

3x − 2y − z − 3 = t
x + 3w − 2t = 1
−3x − y + 2z − 3w − t = −2
x+y+z−w = 3 + 2t − w

a) Determine su matriz de coeficientes, sus términos indepen-

dientes y su matriz aumentada. [AYUDA: Defina un orden
para las variables y reescriba cada una de las ecuaciones se-
gún este orden]
b) Determine el sistema de ecuaciones lineales homogéneo aso-
ciado.
c) Determine los pivotes (especifique el tipo de pivotes (del sis-
tema o de cada ecuación) dados en su respuesta).

8. Determine, en cada caso, si los sistemas de ecuaciones lineales

dados son equivalentes:

34
 Sistemas de ecuaciones lineales

(i) x−y = 0 y 2u + 3v = −5
−x − y = 2 u − 2v = 1

(ii) x−y = 0 y x−y+z = 0

−x − y = 2 −x − y + z = 2

(iii) x1 − x2 = 0 2s + 3t = −5
−x1 − x2 = 2 y s − 2t = 1
2x1 − 4x2 = 2

(iv) u + v + w = 1 x+y+z = 1
2v − w = 0 y 2y − z = 0
2x + 3z = 2
9. Dada la ecuación lineal (i) 4x + 2y + 3z = 2 , si multiplicamos
ambos lados de la ecuación por 3, obtenemos la ecuación (ii) 12x+
6y + 9z = 6.
a) Pruebe que la terna (1, 21 , −1) es una solución tanto de la
ecuación (i), como de la ecuación (ii).
b) Halle otra solución de la ecuación (ii) y muestre que también
es solución de la ecuación (i).
c) Demuestre que cualquier solución de la ecuación (i) es tam-
bién solución de la ecuación (ii).
10. Dado el sistema de ecuaciones lineales
i) x − y − z = −1
,
3x − y + z = 1
si a la segunda ecuación del sistema le sumamos la primera mul-
tiplicada por −3, obtenemos el sistema de ecuaciones lineales
ii) x − y − z = −1
,
2y + 4z = 4
a) Verifique que la terna (2, 4, −1) es una solución tanto del
sistema de ecuaciones lineales (i), como del sistema de ecua-
ciones lineales (ii).
b) Halle otra solución del sistema de ecuaciones lineales (i) y
muestre que también es solución del sistema de ecuaciones
lineales (ii).

35
H. J. Martínez & A. M. Sanabria

c) Demuestre que cualquier solución del sistema de ecuaciones

lineales (ii) es también solución del sistema de ecuaciones
lineales (i).
d ) ¿Cuál o cuáles de los tres resultados anteriores permiten con-
cluir que los dos sistemas de ecuaciones son equivalentes?
e) Encuentre las matrices aumentadas asociadas a los sistemas
de ecuaciones lineales (i) y (ii). Verifique que estas matrices
son equivalentes.
f ) Si dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, ¿Son
sus correspondientes matrices aumentadas también equiva-
lentes? [AYUDA: Analice los sistemas iii) y iv) del Ejercicio
8.]
11. Dada la matriz
 
1 −2 1 1
A =  0 0 −1/3 7/3  ,
0 6 −1 −5

a) Escriba un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz au-

mentada sea A.
b) Determine el sistema de ecuaciones lineales homogéneo aso-
ciado al sistema de ecuaciones lineales de la parte a).
12. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, dibuje la
gráfica correspondiente a cada uno de ellos. Determine geométri-
camente si cada sistema tiene solución y, en caso afirmativo, si
la solución es única. Resuelva algebraicamente cada sistema para
confirmar su respuesta.
(i) x − 2y = 1 (ii) x − 2y = −1 (iii) x − 2y = 1
3x + y = −4 −3x + 6y = 3 −3x + 6y = 0
13. Dado el sistema de ecuaciones lineales
2x − y − z + 2w = 0
−4x + 2y + 3z − 3w = −1
− 2y − z + 2w = 1

a) Efectúe operaciones elementales entre las ecuaciones del sis-

tema hasta llevarlo a uno con patrón escalonado.

36
 Sistemas de ecuaciones lineales

b) Escriba la matriz de coeficientes y la matriz aumentada aso-

ciadas al sistema de ecuaciones lineales.
c) Describa las operaciones elementales entre filas correspon-
dientes a las operaciones elementales entre ecuaciones efec-
tuadas en la parte a).
14. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones linea-
les.
(i) x + 2y + 3z = 1 (ii) x1 − 3x2 + x3 = 5
−5y + 2z = 6 x2 − 2x3 = −1
4z = −8

(iii) x = −1
−x + 2y = 5
3x + 4y + 2z = 14
15. Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales encontrados en el
Ejercicio 11.
16. Los siguientes sistemas de ecuaciones son no lineales. Encuentre
sustituciones de las variables que conviertan cada uno de ellos
en un sistema de ecuaciones lineales y utilice este último para
resolver el sistema inicialmente dado.
3 2
(i) + = 0 (ii) −2a + 2(3b ) = 1
x y
4 3
+ = 1 3(2a ) − 4(3b ) = 1
x y

(iii) x2 − y 2 = 3
x2 + 2y 2 = 6
17. Demuestre que, para cada tipo de operación elemental entre filas,
existe una operación elemental que reversa el procedimiento. En
otras palabras, que si la matriz B resulta de aplicar una operación
elemental entre filas a la matriz A, existe otra operación elemental
entre filas que al aplicársela a la matriz B se obtiene la matriz A.
18. Determine, para cada uno de los siguientes casos, si las matrices
dadas son equivalentes [AYUDA: Trate de encontrar una secuen-
cia de operaciones elementales entre filas que al aplicárselas a una
matriz se obtiene la otra.]

37
H. J. Martínez & A. M. Sanabria

   
−2 1 1 −2 1 1
(i) y
2 2 −2 0 1 −1
   
1 −1 1 −1
(ii)  2 1  y  0 −1 
−3 2 0 3

19. Determine cuál o cuáles de las siguientes matrices son escalona-

das. 
0 0 0  
 1 −1 0  0 3 2 1

(i)  √  (ii) (iii) 1 2 3 0
 0 3 2  0 0 0 −3
0 0 π
20. A cada una de las siguientes matrices, aplique el método de eli-
minación de Gauss para encontrar una matriz escalonada equi-
valente a la matriz dada.
 
  2 −1 4
0 2  −4 2 0 
(i)  −1 3  (ii) 
 0

3 −1 
7 −1
2 1 −3
 
0 −1 3 −1
 5 2 −1 2 
(iii) 
 10

3 0 3 
5 1 1 1

21. Dado el sistema de ecuaciones lineales

2x − y + z − 2w = 0
−4x + 2y − z + w = 3 ,
2x − y − 2z + 3w = 2
a) Determine su matriz aumentada asociada.
b) Aplique el Algoritmo de Gauss para llevar la matriz encon-
trada en a) a una matriz escalonada.
c) Identifique los pivotes de la matriz escalonada.
d ) Identifique las columnas pivotales de la matriz escalonada.
e) Identifique las variables pivotales del sistema.

38
 Sistemas de ecuaciones lineales

f ) Identifique las variables libres del sistema.

g) Determine el tipo (vacío, unitario o infinito) de conjunto so-
lución del sistema.
22. Determine las variables pivotales y las variables libres del sistema
de ecuaciones lineales dado en el Ejercicio 7.
23. Cada una de las siguientes matrices es una matriz escalonada
equivalente a la matriz aumentada asociada a un sistema de ecua-
ciones lineales.
 
2 −1 4  
 0 1 3 −2 4
1 2  
(i) 
 0 (ii)  0 0 1 2 
0 0 
0 0 0 −3
0 0 0
 
2 −1 4 1 0
(iii)  0 1 2 3 −2 
0 0 0 2 0

a) Determine el número de ecuaciones y el número de variables

de cada uno de los sistemas.
b) Identifique las variables pivotales de cada uno de los sistemas.
c) Identifique las variables libres de cada uno de los sistemas.
d ) Determine el tipo de conjunto solución de cada uno de los
sistemas.
e) Para los sistemas consistentes, encuentre el conjunto solu-
ción.
24. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
(i) 3x − y = 1 (ii) 2x1 − x2 = x4
2y + z = −2 x3 + x4 = x1
x − 2z = 3 x3 − 2x4 = x2
2x2 + x3 = x1

(iii) 2u − v = z + 2
u+z = v
v − 5z = 4 − u
a) Resuelva cada uno de ellos, aplicando el método de elimina-
ción de Gauss y sustitución hacia atrás.

39
H. J. Martínez & A. M. Sanabria

b) Resuelva cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales ho-

mogéneos asociados.
c) ¿Existe alguna relación entre los tipos de conjunto solución
de un sistema de ecuaciones lineales y su sistema homogéneo
asociado?
25. Encuentre otra forma de escribir los conjuntos solución de los
sistemas de ecuaciones lineales de los Ejemplos 13 y 14.
26. Para cada una de las siguientes situaciones, respecto del tamaño
del sistema de ecuaciones lineales (número de ecuaciones × nú-
mero de variables) y el número de variables pivotales, ¿Qué puede
decirse sobre el tipo de conjunto solución del sistema? Justifique
su respuesta.
Tamaño Número de Tamaño Número de
del sistema variables pivotales del sistema variables pivotales
3×4 3 5×5 3
3×4 4 5×5 4
3×4 2 5×5 5
4×3 3 8×5 5
4×3 4 8×5 4
4×3 2 5×8 6
5×5 2 5×8 4
Trate de generalizar sus respuestas para un sistema de ecuacio-
nes lineales con m ecuaciones, n variables (m × n) y k variables
pivotales.
27. Qué puede decirse del tipo de conjunto solución de un sistema de
ecuaciones lineales donde una de sus ecuaciones es
a) 0 = 0. b) 0 = 5. c) 4 = 0. d) 3 = 3.
28. Si en el proceso de escalonar la matriz aumentada de un sistema
de ecuaciones lineales, se obtiene
 √ 
2 0 3 −1 4 0
 0 2 2 −π −1 1 
 .
 0 0 0 a 1 5 
0 0 0 0 b2 − b b

a) ¿Es el sistema consistente cuando a = b = 0? En caso de

serlo, ¿Es la solución única?

40
 Sistemas de ecuaciones lineales

b) ¿Es el sistema consistente cuando a = 1 y b = 0? En caso de

serlo, ¿Es la solución única?
c) ¿Es el sistema consistente cuando a = 0 y b = 1? En caso de
serlo, ¿Es la solución única?
d ) Si b = 2 y a 6= 0, ¿Qué puede decirse del conjunto solución?
e) Si b = 1 y a 6= 0, ¿Qué puede decirse del conjunto solución?
f ) Si a 6= 0, dé un valor de b (diferente de 0), en caso de que
exista, para que el sistema sea consistente.
g) Si a 6= 0, ¿Para qué valores de b, el sistema tiene infinitas
soluciones?
h) Si a 6= 0, ¿Para qué valores de b, el sistema tiene solución
única?
i ) Si a 6= 0, ¿Para qué valores de b, el sistema es inconsistente?
j ) Si a = 0, ¿Para qué valores de b, el sistema es no tiene solu-
ción?
29. Conteste FALSO o VERDADERO y diga POR QUÉ, a cada una
de las siguientes afirmaciones
a) Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, entonces
cualquier otro sistema de ecuaciones lineales con la misma
matriz de coeficiente también tiene solución.
b) Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única, en-
tonces su sistema de ecuaciones lineales homogéneo asociado
también tiene solución única.
c) Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución siempre que
su sistema de ecuaciones lineales homogéneo asociado tenga
solución.
d ) El tipo de conjunto solución de un sistema de ecuaciones
lineales y el del sistema de ecuaciones lineales homogéneo
asociado siempre es el mismo
e) Todo sistema de ecuaciones lineales con 10 variables y 7 ecua-
ciones tiene infinitas soluciones.
f ) Todo sistema de ecuaciones lineales con 20 variables y 20
ecuaciones tiene solución única.
g) Ningún sistema de ecuaciones lineales con 14 variables y 10
ecuaciones tiene solución única.

41
H. J. Martínez & A. M. Sanabria

h) Un sistema de ecuaciones lineales con 27 variables y 13 ecua-

ciones puede no tener solución.
i ) Un sistema de ecuaciones lineales con 100 variables y 300
ecuaciones puede tener solución única.
j ) Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo con 10 varia-
bles y 7 ecuaciones tiene infinitas soluciones.
k ) Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo con 20 varia-
bles y 20 ecuaciones tiene solución única.
l ) Ningún sistema de ecuaciones lineales homogéneo con 14 va-
riables y 10 ecuaciones tiene solución única.
m) Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con 27 variables
y 13 ecuaciones puede no tener solución.
n) Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con 100 varia-
bles y 300 ecuaciones puede tener solución única.
ñ) Todo sistema de ecuaciones lineales consistente con 10 varia-
bles y 7 ecuaciones tiene infinitas soluciones.
o) Todo sistema de ecuaciones lineales consistente con 20 varia-
bles y 20 ecuaciones tiene solución única.
p) Ningún sistema de ecuaciones lineales consistente con 14 va-
riables y 10 ecuaciones tiene solución única.
q) Un sistema de ecuaciones lineales consistente con 27 variables
y 13 ecuaciones puede tener solución única.
r ) Un sistema de ecuaciones lineales consistente con 100 varia-
bles y 300 ecuaciones puede tener solución única.
30. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
2x − 4z = −1 2x1 − 4x3 = 0
a) x + y − w = 1 x1 + x2 − x4 = 2
y + z − 2w = 0 x2 + x3 − 2x4 = 4
2r − 4t = 6 2z1 − 4z3 = 3
r+s−u = 0 z1 + z2 − z4 = −1
s + t − 2u = −2 z2 + z3 − 2z4 = 2

x − 2y + z = 1 x1 − 2x2 + x3 = 0
b) 2x − y − z = 0 2x1 − x2 − x3 = 3
−3x + 3z = 1 −3x1 + 3x3 = 2

42
 Sistemas de ecuaciones lineales

u − 2v + w = xo
2u − v − w = yo
−3u + 3w = 0
donde (xo , yo, 0) es una solución del primer sistema.
[AYUDA: Observe que, en cada caso, los sistemas dados tienen
la misma matriz de coeficientes.]
31. Utilice un paquete (MatLab, MuPad, Mathematica, etc.) o pro-
grama de computador para resolver los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales.
a) Ejercicio 7
b) Ejercicio 13
c) Ejercicio 24
d ) Ejercicio 30
1
e) A = (aij ), aij = i+j , i, j = 1, 2, . . . , n y b = (bi ), bi =
Pn
j=1 aij , i = 1, 2, . . . , n para n = 3, 5, 10, 20
13

13 La matriz definida en este ejercicio se conoce con el nombre de Matriz de Hilbert

43