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065 Calculo V-2007
065 Calculo V-2007
065 Calculo V-2007
VICERRECTORIA ACADEMICA
SISTEMA UNIVERSITARIO DE EDUCACION PRESENCIAL PERIODICO
(SUEPP)
MANUAL
CALCULO
COMPILACION REALIZADA
A SOLICITUD DE LA UMH POR:
PRIMERA VERSION
INGENIERO CIVIL
OSCAR MAURICIO RODRIGUEZ CORRALES
VERSION ACTUALIZADA
INGENIERO INDUSTRIAL
PEDRO RAMON GONZALEZ MARTINEZ
OCTUBRE 2007
CALCULO VED / UMH
INDICE
CONTENIDO PAGINA
INTRODUCCIÓN GENERAL
CAPITULO I
LIMITES…………………………………………………………………………
Diagnóstico parcial de entrada………………………………………………
Introducción…………………………………………………………………….
Objetivos específicos…………………………………………………………..
Temas y subtemas……………………………………………………………..
1. LÍMITES……………………………………….……………………………..
1.1 Introducción al cálculo de los límites………………………..…………..
1.2 Estimación numérica de los límites………………………………………
1.3 Lectura de gráficos…………………………………………………………
1.4.1 Definición formal de Límite……………………………………………..
1.4.2 Cálculo de Límites………………………………………………………
0
1.5 Forma Indeterminada …………………………………………………
0
1.6 Límites al infinito…………………………………………………………..
1.7 Forma indeterminada ………………………………………………….
1.8 Teoría de Asintotas………………………………………………………..
1.8.1 Asintotas Verticales……………………………………………
__________________________________________________________________________________
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CALCULO VED / UMH
CAPITULO II
LA DERIVADA…………………………………………………………………
Diagnóstico parcial de entrada………………………………………………
Introducción……..……………………………………………………………...
Objetivos específicos………………………………………………………….
Temas y subtemas…………………………………………………………….
2. LA DERIVADA……………………………………………………………...
2.1 Incrementos y tasas……………………………………………………….
2.2 Definición de Derivada ……………………………………………………
2.3 Interpretación Geométrica………………………………………………..
2.4 Reglas de Derivación……………………………………………………..
2.5 Regla de la cadena………………………………………………………..
2.6 Aplicaciones de la derivada………………………………………………
Trabajo práctico sugerido……………………………………………………..
Glosario…………………………………………………………………………
Evaluación formativa………………………………………………………….
Diagnóstico parcial de salida…………………………………………………
CAPITULO III
LA INTEGRAL…………………………………………………………………
Diagnóstico parcial de entrada………………………………………………
Introducción…………………………………………………………………….
Objetivos específicos………………………………………………………….
__________________________________________________________________________________
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CALCULO VED / UMH
Temas y subtemas…………………………………………………………….
3. LA INTEGRAL……………………………………………………………...
Glosario………………………………………………………………………..
Evaluación formativa…………………………………………………………
I. LÍMITES……….…………..………………………………………………
II. LA DERIVADA……………………………..……………………………..
III. LA INTEGRAL…………………….………………………………………
BIBLIOGRAFÍA….…………………………….…………………………….
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CALCULO VED / UMH
INTRODUCCION
Son varias las herramientas matemáticas con las cuales podemos resolver
infinidad de problemas, sin embargo cada una de esas maneras de resolver
tendrán siempre un tronco común “El Calculo Analítico”, esta valiosa
herramienta matemática ha dado como resultado la creación de software
dedicados a la formulación y solución de problemas que pudiesen
representarse de manera matemática, y el análisis formará parte siempre del
calculista.
presencial_umh@yahoo.com
CAPITULO I
LIMITES
DIAGNOSTICO DE ENTRADA
1) ¿Qué condiciones debe cumplir una función para que ésta exista?
2) ¿Explique qué esta sucediendo en una función, cuando nos acercamos por la
izquierda o por la derecha de un numero?
3) ¿Explique la siguiente notación?
lim
F(x) = L
xa
INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
TEMAS Y SUBTEMAS
1. Limites
1.1 Introducción al cálculo de los límites
1.2 Estimación numérica de los límites
1.3 Lectura de gráficos
1.4.1 Definición formal de Límite
1.4.2 Calculo de Límites
0
1.5 Forma Indeterminada
0
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1. LÍMITES
Cabe mencionar que existen métodos matemáticos con los que se pueden resolver
problemas en los que el denominador sea cero, los que se estudiaran a medida se
avance en este capitulo.
Ejemplo1.1
1
3
Sea F(x) = x
x 1
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Al despejar encontramos que el valor prohibido para F(x) es (1), entonces podemos
decir que el dominio de la función es:
Dom = {1}
Lo anterior quiere decir que la función existe si se utilizan los números reales
excepto el número 1 al que llamaremos valor prohibido de la función F(x).
La grafica de F(x) quedaría de la siguiente manera:
Note que cuando nos acercamos a 1 por la izquierda F(x) se acerca cada vez mas a
3, y lo mismo sucede cuando nos acercamos a 1 por la derecha se acerca cada vez
mas a 3,
Sabemos que “x” no puede tomar el valor de 1 pero arbitrariamente se puede
acercar a 1en consecuencia decimos que se acerca a 3.
Escrito en la notación que emplearemos decimos que F(x) es 3 cuando “x” tiende a
1 y se escribe como:
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lim
F(x) = L
xa
1.2 Estimación numérica de los límites
Ejemplo 1.2
x
F(x) =
x 1 1
x 1 1 Despejando (-1)
(X + 1) = (1) Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad
para eliminar el radical.
X+1=1 despejando (-1)
X=1–1 evaluando
x=0 valor prohibido del dominio de F(x).
(X + 1) argumento de F(x)
(X + 1) 0 planteando para valores iguales o mayores que cero
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X -1 despejando
Podemos apreciar en la tabla que cuando los valores se aproximan a (0) por la
izquierda el limite tiende a ser 2 y si nos acercamos a (0) por la derecha apreciamos
que se acercan a 2 por lo tanto podemos decir que:
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Analice lo siguiente:
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Fig. 1
Observe que a partir de la fig. 1 la lectura de límites consiste en partir del eje x hacia
el trazo de la función, note que el límite es esa distancia que separa el valor en x
hasta que alcanza el trazo de la función. Pero en el siguiente figura 2 tenemos un
valor prohibido, entonces no llega a un límite el valor de a, no tiene límite, por eso se
concluye que no tiene límite.
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Fig. 2
Fig. 3
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A medida que nos acercamos a a por la derecha el valor de L crece y decimos que
tiende a + .
Fig.4
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Fig. 5
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Fig. 6
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Fig. 7
A medida que los valores de a aumentan es decir tienden a infinito, los valores de y
decrecen y se aproximan cada vez a 0. (fig. 7)
NOTA: El evaluar límites consiste en apreciar sus tendencias, la fig. 1 Nos mostró
que si los valores de la función son definidos el límite tiende a un valor, si por el
contrario no esta definida en ese punto de observación encontramos en la figura 2
que no esta definido lo que decimos que no esta definido, cuando evaluamos las
aproximaciones encontramos que pueden tender a valores fijos pero que en ciertos
casos esos epsilon nos pueden mostrar que esas tendencias suelen crecer y
tienden a valores infinitos como en la figura 3 al igual que en la figura 4.
La figura 5 no muestra que el valor de x también puede tener tendencias y en este
caso el mismo valor de x es una tendencia al infinito. Lo mismo puede ocurrir del
lado negativo de las x y encontramos tendencias al infinito como en la figura 6.
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lim F(x) =
lim F(x) =
lim F(x) =
x 4 x
7 x 4
3
lim F(x) =
lim F(x) =
lim F(x) =
x 4 x
7 x 4
3
lim F(x) =
lim F(x) =
x 0 x 0
Hemos visto de las funciones anteriores evaluadas en sus puntos críticos, donde no
existen en el Dominio, que acercándonos por ambos extremos derecha e izquierda
el límite tiende a ser un valor L, dicho de otra manera en notación
lim
F(x) = L
xa
Del ejemplo 1.2 anterior observe que nos acercamos con valores pequeños, es
decir que se aproxima a a con pequeños incrementos y decrecimientos, esto se
observa mejor cuando revisamos las flechas de tendencia sobre cada tabla de
valores.
F(x) = x² en x= 2
Suponga un = 0.01
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F(2) = ( 2 )² = 4
lim
De donde podemos decir que X²= 4
x2
TEOREMA 1.1
lim lim
F ( x) = F ( x) = L
xa x a
TEOREMA 1.2
TEOREMA 1.3
lim lim
f(x) = L y g(x) = K
xa xa
lim
1. Múltiplo escalar: [ c f(x) ] = cL
xa
lim
2. Suma o Diferencia: [ f(x) ± g(x) ] = L ± K
xa
lim
3. Producto: [ f(x) g(x) ] = LK
xa
lim
f ( x) L
4. Cociente: = ; siempre y cuando K ≠ 0
x a g ( x) K
lim n n
5. Potencias: [ f(x) ] = L
xa
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Ejemplos 1.4.1
lim 2x 3
1) = El primer paso consiste sustituir la
x 4 x 1
Variable “x” por 4.
2(4) – 3 = 5
lim 2x 3 5
= evaluando la función
x 4 x 1 3
4–1=3
lim
2) 4 x – 2 x2 +5 =
x0
0 0
lim
4 x – 2 x2 +5 = 5
x0
lim x5
3) =
x 1 x 2
- (-1)+5 =6
lim x5
=6
x 1 x 2
-1+2=1
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lim
4) x2 1 =
x0
1
lim
x2 1 = 1
x0
lim
5) x2 4 = 4 =
x0
lim
x2 4 = 4 =2
x0
4
lim
6) 3
2x 2 8 = 3
8 =
x0
lim 3
2x 2 8 = 3
8 = -2
x0
-8
lim 4 x 2 3 x 18
7) =
x 4 2 x 2 5 x 10
70
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lim x3 x 8
8) =
x 2 x 2 2
-2
lim x3 x 8
= -1
x 2 x 2 2
2
limln( x) 1
9) =
x 1 x 3
0 -1
limln( x) 1 ln( x) 1 1
= =-
x 1 x 3 x3 4
4
lim
10) 5=5
x 1
lim
11) 5x = 5(1) = 5
x 1
lim
12) 5x² = 5(1)2 = 5
x 1
lim x
13) 5 = 51 = 5
x 1
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lim 5
14) x = 15 = 1
x 1
lim
1)
x0
e x
=
e0= 1
lim
x0
e x
=1
0
1.5 Forma Indeterminada
0
Ejemplo1:
lim
x 2 +x-6 = 0
x 3
lim x2 x 6
x 3 x3
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lim
X+3 = 0
x 3
lim x 2 x 6
x 3 x 3
(X + 3) = 0
Desde luego con una simple inspección notamos que el numerador lo podemos
factorizar:
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lim ( x 3)(x 2)
= Factorizando el numerador
x 3 x3
lim ( x 3)(x 2)
Cancelando factores comunes
x 3 x3
lim
x – 2 = -5 Evaluando de nuevo el límite
x 3
Ejemplo 2:
0
Como aparece la forma indeterminada , sabemos que existe un factor que
0
debemos eliminar, aplicamos el mismo procedimiento para encontrar el factor:
X 0
x = 0, se encuentra directamente, entonces para darle solución al límite debemos
encontrar el factor x en el numerador pues en denominador ya lo tenemos.
En este caso para extraer esa variable “x” del radical debemos racionalizar:
lim x 1 1 x 1 1
= se toma el numerador con signo opuesto
x0 x x 11
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lim ( x 1) 2 (1) 2
= resolviendo lo anterior se obtiene una diferencia
x 0 x( x 1 1)
de cuadrados en el numerador.
lim x 11
= simplificando la raíz cuadrada con la potencia 2
x 0 x( x 1 1)
lim x
= Podemos simplificar la variable “x”
x 0 x( x 1 1)
lim 1 1
= evaluando el limite.
x0 x 1 1 2
1
0
Nota: La forma indeterminada la podemos eliminar con los siguientes casos de
0
factorización: Factor común, por agrupación de términos, diferencia de cuadrados
perfectos, diferencia de cubos perfectos, suma de cubos perfectos, trinomio de la
forma ax 2 + bx + c cuando a = 1, trinomio de la forma ax 2 + bx + c cuando a ≠ 1,
formula cuadrática, productos notables y división sintética.
Además hemos visto que la forma indeterminada también la podemos eliminar
cuando se trate de radicales por racionalización, aunque debemos tener cuidado
con los radicales ya que no siempre será este el camino a tomar, tal y como vemos
en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3:
Resolver el siguiente límite: (Intente aplicar racionalización)
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limxx
x0 x x
Solución:
Son aquellos límites cuya tendencia tiende a valores grandes, decimos que tiende a
valores infinitos, x .
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x
F(x) = , si evaluáramos valores a partir de 1 tendríamos:
x2
1
Si x = 1 ⇒ F(1) = =1
12
2 2 1
Si x = 2 ⇒ F(2) = 2
= = = 0.5
2 4 2
3 3 1
Si x = 3 ⇒ F(3) = 2
= = = 0.33
3 9 3
4 4 1
Si x = 4 ⇒ F(4) = 2
= = = 0.25
4 16 4
5 5 1
Si x = 5 ⇒ F(5) = 2
= = = 0.20
5 25 5
10 10 1
Si x = 10 ⇒ F(10) = 2
= = = 0.10
10 100 10
1
Si x = 100 ⇒ F(100) = = 0.01
100
Observe que a medida que se incrementa “x” la imagen de esa función tiende a
valores cada vez más pequeños, tan cercanos a los epsilon, así podemos decir
que:
lim x
=0
x x 2
1
Si simplificáramos la función tenemos: F(x) =
x
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TEOREMA 1.4
lim 1 1
= 0, ó bien =0
x x
x
F(x) = , evaluar a partir de valores entre 0 y 1.
x2
1 1
F(1) = = =1
12 1
0.9 0.9
F(0.9)= 2
= = 1.1111
0.9 0.81
0.75 0.75
F(0.75) = 2
= = 1.3333
0.75 0.5625
0.5 0.5
F( 0.5) = 2
= =2
0.5 0.25
0.25 0.25
F(0.25) = 2
= =4
0.25 0.0625
0.10 0.10
F(0.10) = 2
= = 10
0.10 0.01
0.01 0.01
F(0.01)= 2
= = 100
0.01 0.0001
Note que a medida que nos acercamos a 0, es decir situados a epsilon de cero la
función tiende a crecer, x entonces F(x) según sea su signo.
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TEOREMA 1.5
lim
1 lim 1 lim 1
= , es decir = + o bien = -
x x x 0 x x 0 x
Se puede leer así; un numero grande entre un numero pequeño tiende a cero.
Ejemplo 1.6.1
lim
x = +∞
x
lim
x 2 = +∞
x
lim
x 2 +1= +∞
x
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TEOREMA 1.6
lim
X ± c = + ± c = +
x
lim
x 2 + 100 = +∞
x
lim
x 2 - 100 = +∞
x
+∞ +∞
lim lim
x 2 + 4x = x 2 + 4x = +∞
x x
TEOREMA 1.7
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lim
X + X = (+∞) + (+∞) = +∞
x
lim
x = -
x
+ +
lim lim
x² - x = x² - x = +
x x
TEOREMA 1.8
lim
x ± c = - ± c = -
x
lim
x - 225 = -
x
lim
X + 1200 = -
x
Ejemplo 1.6.2
Evaluar el siguiente límite:
+ -
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lim lim
x² - x = (+ )² - ( + ) = +∞ - ∞ = indeterminada
x x
No se puede decir que esas tendencias son iguales, por lo tanto: +∞ -∞, es una
forma indeterminada.
lim
X2 - x = + - (+ ) = indeterminada
x
lim 1
X² (1 - )= factorizando
x x
0
lim 1
X² (1 - ) = + (1 – (1/ + )) evaluando
x x
lim 1
X² (1 - ) = (+ ) (1) = +∞ respuesta.
x x
1
Nota: recuerde que =0
Ejemplo 1.6.3
Evaluar el siguiente limite:
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lim
- 3x² + 4x =
x
-∞ +∞
lim
- 3x² + 4x = -∞ + (+∞) = -∞ +∞ (forma indeterminada).
x
lim
- 3x² + 4x = -∞ +∞ (forma indeterminada).
x
0
lim 4
X² (-3 + )= factorizando y evaluando
x x
lim 4
X² (-3 + ) = (+∞) (-3) = -∞ respuesta.
x x
Ejemplo 1.6.4
Evaluar el siguiente limite:
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lim 1 2
- x³ + x =
x 4 3
+∞ -∞
lim 1 2
- x³ + x = (indeterminado)
x 4 3
lim 1 2 lim 1 2
- x³ + x = x3 (- + )=
x 4 3 x 4 3x 2
1
-∞ -
4
lim 1 2 1
X³ (- + ) = (-∞) (- ) = +∞
x 4 3x 2
4
1.7 Forma indeterminada
Ejemplo 1.7.1
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2
x 2 (8 )
lim x2 = Podemos eliminar x² factorizando.
x 4
x (4 2 )
2
x
0
2
lim
8
x2 8
= = 2
x 4 4
4
x2
0
Ejemplo 1.7.2
Evaluar el siguiente límite:
+∞
lim 2 x 12 lim 2 x 12
= = (indeterminado)
x 4 x 3x
2
x 4 x 2 3x
+∞
12
lim x(2 )
x Factorizando
x 3
x 2 (4 )
x
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12
lim x(2 )
x = Eliminando un factor “x”
x 3
x (4 )
2
x
0
12
lim (2 )
x (2)
= Volvemos a evaluar a =
x 3 x(4)
x(4 )
x
0
2
12
lim (2 )
x = 0 respuesta.
x 3
x(4 )
x
+∞
Ejemplo 1.7.3
Evaluar el siguiente límite:
+∞
lim x 2 2x limx 2 2x
= = (indeterminado)
x x 1 x x 1
+∞
2
lim x 2 (1 )
x = factorizar y eliminar el factor “x”
x 1
x(1 )
x
2
lim x (1 )
x = cancelando
x 1
(1 )
x
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CALCULO VED / UMH
0
2
x (1 )
lim (1)
x = evaluando; = = +∞
x 1 1
(1 )
x
0
f ( x) lim
Dado , a es asintota si g(x) = 0
g ( x) xa
Ejemplo 1.7.1
Encuentre las ecuaciones de las asintotas verticales de la siguiente función:
x2 1
F(x) =
x2 1
Solución:
x2 - 1 = 0 factorizar
(X – 1) (X + 1) = 0 factorizado
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x -1 = 0 x+1=0
x=1 x = -1
lim x2 1
= Factorizar el denominador
x 1 x2 1
lim x2 1
Factorizado
x 1 ( x 1)( x 1)
2
lim x2 1 2
=
x 1 ( x 1)( x 1) (0 )( 2)
0 2
1 < 1
Si restáramos;
1 -1 = 0.001 y es este un epsilon positivo o sea que
0.001 0
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CALCULO VED / UMH
Entendámoslo así:
0.002 sigue siendo un epsilon positivo, pues es tan pequeño como queramos,
0.002 0
2
lim x2 1 2 2
=
= evaluando
x 1 ( x 1)( x 1) (0 )( 2) 0
0+ 2
TEOREMA 1.9
c c
= + y = -
0 0
TEOREMA 1.10
c c
= - y = +
0 0
2
lim x2 1 2 2
=
= = +
x 1 ( x 1)( x 1) (0 )( 2) 0
0+ 2
2
lim x2 1 lim x2 1 2 2
= = = = -
x 1 x 1
2
x 1 ( x 1)( x 1) (0 )( 2) 0
0 2
Grafica de F(x):
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Ejemplo 1.7.2
3
Dado F(x) = encontrar si tiene valor prohibido o asintota:
x2
Solución:
x+ 2 = 0
x = -2 -3
lim 3 lim 3 3
=
= = +
x 2 x 2 x 2 x 2 0
0
-3
__________________________________________________________________________________
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lim 3 lim 3
=
= -
x 2 x 2 x 2 x 2
0
NOTA: todos los valores de las asintotas verticales son valores prohibidos, pero no
todos los valores prohibidos son asintotas verticales. Las asintotas verticales no
pueden ser interceptadas, es decir; nunca serán atravesadas por el trazo de una
gráfica.
Ejemplo 1.7.3
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CALCULO VED / UMH
x2 1
Dado F(x) = encuentre si tiene valores prohibidos y ecuaciones de
x 1
asintotas verticales.
Solución:
x–1=0
x=1
0
lim x2 1 lim x 2 1 lim ( x 1)(x 1) lim
=
=
= x+1 = 2
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
0
Grafica de F(x)
lim lim
F(x) = L y F(x) = L
x x
Ejemplo 1.7.2
Encuentre la asintota horizontal de la siguiente función:
x 1
F(x) =
x 1
Solución:
Para encontrar la asintota horizontal aplicamos los límites hacia el infinito.
-
lim x 1 lim x 1
= = (indeterminada)
x x 1 x x 1
-
1
lim x (1
)
x = factorizando y cancelando
x 1
x (1 )
x
0
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1
lim 1
⇒ x = 1 =1 evaluando
x 1 1
1
x
0
+ 1
1 1
x (1
) 1
limx 1 lim x 1 lim x = lim x =
= =
x x 1 x x 1 x 1 x 1
x (1 ) 1
x x
+ 1
1
⇒ =1
1
Las asintotas oblicuas solamente pueden aparecer cuando el grado del numerador
es mayor en un grado del denominador.
H ( x) ax n bx n 1 ..... c
Y = mx + b si F(x) = si donde m > n en 1 grado.
G ( x) ax m bx m 1 .... c
H ( x)
Si una función definida F(x) = tal que:
G ( x)
H ( x ) ax n cx n 1 ..... c a
= n = m entonces la asintota es horizontal Y =
G ( x ) bx m dx m 1 .... c b
H ( x ) ax n cx n 1 ..... c
= n < m entonces la asintota horizontal es y = 0
G ( x ) bx m dx m 1 .... c
H ( x ) ax n cx n 1 ..... c
= n > m entonces la asintota es oblicua Y = mx + b
G ( x ) bx m dx m 1 .... c
Polinómica.
Ejemplo 1.8.1
Encontrar la asintota oblicua de la siguiente función:
x2 1
F(x) =
x
Solución:
Sabemos que F(x) tiene una asintota oblicua puesto que el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador.
c c
n
Siempre tendera a cero, n 0
x x
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Ejemplo 1.8.2
Encontrar la asintota oblicua de la siguiente función:
F (x) = X2 – X + 6
X+3
Solución:
Sabemos que F(x) tiene una asintota oblicua puesto que el grado del numerador es
mayor que el grado del denominador.
X - X +6 X +3
X - 3X X -4
- 4X + 6
4X + 12
18
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Grafica de la F(X)
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CALCULO VED / UMH
Hacer grupos de cinco alumnos, para resolver los problemas planteados de los
temas del capitulo I, presentar un informe completo y claro del trabajo realizado con
los problemas resueltos. A continuación se presentan los problemas a resolver.
Ejercicios 1.4
Calcular los siguientes límites:
lim 4 lim
1. x 8. (X + 3)2
x 1 x 3
lim lim x 1
2. (2x – 1) 9.
x0 x3 x4
lim lim
3 x) x4
2 3
3. ( x 10.
x 3 x4
lim lim
(2 x 4 x 1)
2
4. 11. (2x – 1)³
x 3 x0
lim 1 lim 2 x 2 15
5. 12.
x 1 x x 1 x 16
4x 2
lim x3 lim 6 x 2 x 4 x 8
2
6. 13.
x 1 x2 4 x 0 2x 4 4x 2 4
2 x 2 3x 16
lim 5x lim
7. 14. 3
60 x
x7 x2 x4
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Ejercicios 1.5
0
Forma Indeterminada :
0
lim x2 x 6 lim x 1 2
17. 22.
x 3 x 2 9 x3 x3
Ejercicios 1.6
Limites al infinito:
lim 2 lim
25. (1 - ) 30. 8 2 3 x
x x x
lim 1 lim
1000x
2
26. (3 + ) 31. -1000 x
x 3x 2 x
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lim lim
3x 2 2 x 6 1000x
2
27. 32. x
x x
lim lim 1
28. 3x 2 2 x 6 33. (3 + )
x x 3x 2
lim lim 2
29. x 3 x 5 34. (1 - )
x x x
Ejercicios 1.7
Forma indeterminada :
lim x 1 lim 2x 2 3
35. 40.
x 2 x 3 x 3 x 2 2
lim3x 5 lim5 3x 2 x 2
36. 41.
x 5 x 2 x 3x 2 4
lim 5 2x lim x 1
37. 42.
x 3x 7 x x 2 1
lim3 2x lim1 x2
38. 43.
x 2 3x x 4 x 3
lim x 2 2x 4 lim x2 4
39. 44.
x x2 1 x 3x 7
Ejercicios 1.8.1
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Asintotas Verticales
Encuentre los valores prohibidos y asintotas verticales de las
siguientes funciones:
1 2
45. F(x) = 48. F(x) =
x2 x 4
2
x3 x2
46. F(x) = 49: F(x) =
x3 x2 1
2 2 x 2 10 x 12
47. F(x) = 50. F(x) =
x2 x 2 4x 3
Ejercicios 1.8.2
Asintotas horizontales
Dadas las siguientes funciones encuentre las ecuaciones de las
asintotas horizontales:
x3 x2
51. F(x) = 2 53. F(x) = 2
x 4 x 1
x 1 2 x 2 4 x 12
52. F(x) = 54. F(x) =
2x 3 x 2 4x 3
Ejercicios 1.8.3
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Asintotas oblicuas
Encuentre las ecuaciones de las asintotas oblicuas de las siguientes
funciones:
2x 2 4x x 4 16
55. F(x) = 58. F(x) =
x 1 x3
5x 2 x2 x 6
56. F(x) = 59. F(x) =
x3 x3
3 x 3 4 x 2 10 x 4
57. F(x) =
3x 2 2 x 2
GLOSARIO
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Función: Es una regla que relaciona dos conjuntos de tal manera que a cada
elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo
conjunto.
Dominio: Es el conjunto mas grande de números reales, con los cuales la función
esta definida en el eje “X”.
Rango: Es el conjunto de números reales, con los cuales la función esta definida en
el eje “Y”.
Limite: Valor fijo al cual puede acercarse, cada vez más, una cantidad, sin llegar a
igualarlo.
EVALUACION FORMATIVA
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CALCULO VED / UMH
1) ¿Qué condiciones debe cumplir una función para que ésta exista?
2) ¿Explique qué esta sucediendo en una función, cuando nos acercamos por la
izquierda o por la derecha de un numero?
lim
a. F(x) = L
xa
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EVALUACIÓN 01
lim
1) Dada la función F(x) = 2x -1 , entonces f(x) = 1/5 __________ ( )
x
3 – 10X
lim
2) Cuando 1/ x-3 = - , entonces a = 3 _____________________ ( )
xa
lim
3) Cuando el 5x +2 = 22, entonces a = -4 ______________________ ( )
xa
lim
5) Del problema anterior F (x) / (G (x) -3) = -4 ___________________ ( )
xa
TIPO PRÁCTICO
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lim x 2 5x 4
a)
x 4 x 2 2x 8
lim 2 x 2
b)
x0 x
lim
c) 3x 2 2 x 6
x
lim 5 3x 2 x 2
d)
x 3x 2 4
x3
F(x) =
x3
CAPITULO II
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CALCULO VED / UMH
LA DERIVADA
d n n 1
6) Sea; ax =anx , ¿Qué teorema representa esta expresión?
dx
d
7) Identifique la siguiente expresión; [ f ( g ( x ) ) ] = f'(g (x)) g'(x)
dx
INTRODUCCIÓN
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CALCULO VED / UMH
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
TEMAS Y SUBTEMAS
2. La derivada
2.1 Incrementos y tasas
2.2 Definición de Derivada
2.3 Interpretación Geométrica
2.4 Reglas de Derivación
2.5 Regla de la cadena
2.6 Aplicaciones de la derivada
2. LA DERIVADA
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CALCULO VED / UMH
Sea “y” una variable que depende de “x” tal que y = f(x) está definida para
todo valor de “x” entre x y x . Cuando x = x , y tiene el valor de y
1 2 1
= f( x1 ).
1
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∆y = y - y
2 1
= f( x1 ) - f( x2 )
Ejemplo 2.1.1
El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del
precio por litro. Si p es el precio por litro en centavos, se encuentra que el
volumen de venta q (en litros por día) está dado por
q = 500(150 – p)
Solución:
Aquí, p es la variable independiente y q la función de p. El primer valor de p
es p
1
= 120 y el segundo valor es p 2
= 130. El incremento de p es:
∆p = p - p = 130 – 120 = 10
2 1
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CALCULO VED / UMH
__________________________________________________________________________________
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CALCULO VED / UMH
∆y = f( x1 + ∆x) – f( x1 )
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escribir:
∆y = f( x1 + ∆x) – f( x1 )
y + ∆y = f( x1 + ∆x)
Ejemplo 2.1.2
2
Dada f(x) = x , calcule ∆y si x = 1 y ∆x = 0.2
Solución:
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Ejemplo 2.1.3
En el caso de la función y = x , determine ∆y cuando x = 1 para cualquier
2
incremento ∆x.
Solución:
2
2 2
Como antes.
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Ejemplo 2.1.4
de “x” y “∆x”.
Solución:
2
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y f ( x x) f ( x)
=
x x
Ejemplo 2.1.5
(Costo, ingresos y utilidades) Un fabricante de productos químicos advierte
que el costo por semanas de producir x toneladas de cierto fertilizante está
dado por C(x) = 20,000 + 40x dólares y el ingreso obtenido por la venta de x
toneladas está dado por R(x) = 100x – 0.01 x . La compañía actualmente
2
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Solución:
El primer valor de x es 3100 y (x + ∆x) = 3200
∆C = C(x + ∆x ) - C(x)
= C(3200) – C(3100)
= 20,000 40 (3200 ) - 20,000 40 (3100 )
= 148,000 – 144,000
= 4000
∆R = R(x + ∆x ) - R(x)
= R(3200) – R(3100)
= 100 (3200 ) 0.01(3200 ) - 100 (3100 ) 0.01(3100 )
2 2
= 217,600 – 213,900
= 3700
= 69,600 – 69,900
= -300
Así pues, la utilidad decrece en $300. La tasa de cambio promedio de la
utilidad por tonelada extra es:
P 300
= = -3
x 100
dy lim y
=
dx x 0 x
0 bien;
dy lim f ( x x) f ( x)
=
dx x 0 x
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Ejemplo: 2.2.1
Solución:
0
lim f ( x x) f ( x) lim ( x 2 x) 2 x 2
=
x 0 x x 0 x
0
Como aparece la forma indeterminada de tiene que eliminar el factor que la
produce;
2 xx (x) 2 x
2 2
lim x lim 2 xx x 2
=
x 0 x x 0 x
Factorizando:
0
lim x(2 x x) lim
= 2 x x = 2x
x 0 x x 0
d df d
1) (y) 2) 3) (f) 4) y' 5)f '(x) 6) d x y
dx dx dx
7) D x f
dy
Cada una de las anteriores denota lo mismo que .
dx
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Ejemplo 2.3.1
2
Encuentre la ecuación de la recta tangente a F(x) = x en x = 2
Solución:
Para encontrar la ecuación de una recta cualquiera necesitamos: la
pendiente y un punto conocido o bien 2 puntos conocidos. En este caso para
aplicación de la derivada no conviene utilizar la pendiente y un punto.
F ' (x) = 2x
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y- y =m(x- x)
1 1
ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA
Al sustituir resulta:
Despejando para y;
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Teorema 2.1
dy
c=0
dx
Ejemplos:
Solución:
F' (x) = 0
Solución:
F '(x) = 0
Teorema 2.2
Teorema de la Potencia
d n n 1
ax =anx
dx
Ejemplos:
Solución:
1
F(x) = x 2 es preferible expresarlo como potencia,
1 1
1 2 1 1 2 1 1
F '(x) = x = x = 1
=
2 2 2
2 x
2x
F '(x) = 2x – 6
3
5) Dada f(x) = encuentre su derivada
x4
Solución:
Primero rescribir como potencia
4
F(x) = 3 x luego derivamos con la formula de la potencia
41
F '(x) = 3(-4) x
5
F '(x) = -12 x
12
F '(x) = 5
x
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Teorema 2.3
d
[ f(x) g(x) ] = f '(x) g(x) + g'(x) f(x)
dx
4 4
F '(x) = 36 x + 54 x
4
F '(x) = 90 x
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Al derivar se obtiene:
51
F '(x) = 18(5) x
4
F '(x) = 90 x
Teorema 2.4
d f ( x) f ´( x) g ( x) g´( x) f ( x)
=
dx g ( x ) [ g ( x)] 2
Ejemplo:
2
3x
Dada la siguiente función F(x) = 3
6x
2 3
Diremos que f(x) = 3 x y que g(x) = 6 x
36 x 4 54 x 4 18 x 4 1
= 6
= 6
=-
36 x 36 x 2x 2
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Teorema 2.5
Teorema del Logaritmo
d 1
Ln (x) =
dx x
Teorema 2.6
Teorema de la Exponencial
d x x
e = e
dx
dy dy du
=
dx du dx
o bien;
d
[ f ( g ( x ) ) ] = f'( g (x) ) g'(x)
dx
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n
Si y = [U(x)] , donde u es una función derivable de x y n un número racional
entonces;
dy n 1 du
= n [ U(x) ]
dx dx
o bien:
d n n 1
[u ]= nu u'
dx
Ejemplo:
Solución:
Sea u = 3x – 2x 2 u' = 3 – 4x
F(u) = u³
F'(u) = 3u² u'
F'(x) = 3(3x – 2x 2 )² (3- 4x
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Ejemplo 2.5.1
La demanda actual de cierto artículo x al precio p dólares se puede encontrar
por la relación de sus ventas u oferta al mercado, para el caso se tiene que si
se vendiera un artículo en $10 se venderían 900 artículos, pero también se
encontró que si se vendiera ese mismo artículo a $20 se venderían 450
artículos.
El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto
es de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes.
¿Que precio por unidad deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener
una Utilidad Máxima mensual?
Solución:
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I(p) = 1350 p – 45 p²
La Utilidad esta dada por la ecuación de los ingresos menos los costos:
U=I–C
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Igualando 0 = - 90 p + 1575
despejando para p
p = $17.5
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CALCULO VED / UMH
__________________________________________________________________________________
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Ejercicios 2.1
Determine los incrementos de las funciones siguientes para los intervalos dados.
1) F (x) = 2x 7; x = 3, ∆x = 0.2
x 4 2
2) G (x) = ; 1, x 2
x2
500
3) P (t) =2000 + ; t 2, t 1
1 t2
2
4) F ( x) x ; xax x
x
5) f ( x) 03 7 x; x 2, x 0.5
x 92
6) g ( x) ; x 2, x 0.5
x 3
7) f (t ) 4 t; t 5, t 1.24
8) G (t ) t t; t = a a a + ∆x
3
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a) t = 3 y t = 5 años
b) t = 3 y t = 4 años
1
c) t 3 yt 3 años
2
1
d) t 3 yt 3 años
4
e) tyt t años
Ejercicios 2.3
Encuentre la derivada por definición y la ecuación de la recta tangente a la
función en x = 1 de:
11. F(x) = 2x -1
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CALCULO VED / UMH
13. F(x) = x + 1
15. F(x) = x³
16. x 2
1
17.
t3
1
18.
5u 5
1
19.
3
x2
20. 4 x 3 3x 2 7
21. 3x 4 7 x 3 5x 2 8
22. 2 x 2 / x
23. 3x 4 (2 x 1) 2
24. (u 1)(2u 1)
x 1
3
25.
3
( x 1) 2
26.
x
(2t 3) 2 (2t 3) 2
27.
4t
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Ejercicios 2.6
(27-36) Determine los vértices de las siguientes parábolas.
(37-40) Determine el valor mínimo o máximo según sea el caso, de las siguientes
funciones.
42. (Utilidad máxima) La utilidad P(x) obtenida por fabricar y vender “x” unidades
de cierto producto esta dada por:
43. (Ingresos y utilidad máximas) Una empresa tiene costos fijos mensuales de
$2000 y el costo variable por unidad de su producto es de $25.
44. (Costo mínimo) El costo promedio por unidad (en dólares) al producir x unidades
de cierto articulo es C(x) = 20 – 0.06x + 0.0002x². ¿Qué número de unidades
producidas minimizarían el costo promedio? ¿Cuál es el correspondiente costo
mínimo por unidad?
45. (Cercado) Un granjero tiene 500 yardas de cerca con la cual delimitara un corral
rectangular. ¿Cuál es el área máxima que puede cercar?
47. (Agricultura) Si las plantas de arroz se siembran con una densidad de x plantas
por pie cuadrado, la producción de arroz en cierta plantación es de X (10 – 0.5x)
bushels por acre. ¿Qué valor de x maximiza la producción por acre?
48. (Decisiones sobre cultivos) Si los manzanos se plantan con una densidad de 30
por acre, el valor de la cosecha producida por cada árbol es de $180. Por cada árbol
adicional que se planta en un acre, el valor de la cosecha disminuye en $3. ¿Cuál es
el número de árboles que deben plantarse por acre con objeto de obtener el valor
máximo de la cosecha? ¿Cuál es este valor máximo por acre de la cosecha?
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CALCULO VED / UMH
49. (Fijación del precio de un libro) Si un editor fija el precio de un libro en $20 cada
uno, venderá 10,000 ejemplares.
Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 copias.
¿Qué precio debería fijar a cada libro de modo que el ingreso sea máximo?
¿Cuál es el valor de este ingreso máximo?
El costo (en dólares) de producir “X” unidades esta dado por C(x) = 200 + 6x
¿Qué precio “p” por unidad deberá fijarse al consumidor con objeto de que la utilidad
sea máxima?
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GLOSARIO
Ingreso: Caudal que entra en poder de uno, y que le es de cargo en las cuentas.
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EVALUACIÓN FORMATIVA
Con la intención de conocer el nivel de conocimiento adquirido, después del
desarrollo de este capitulo, conteste en forma clara las preguntas que a
continuación se le presentan.
d n n 1
6) Sea; ax =anx , ¿Qué teorema representa esta expresión?
dx
d
7) Identifique la siguiente expresión; [ f ( g ( x ) ) ] = f'(g (x)) g'(x)
dx
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CALCULO VED / UMH
EVALUACIÓN 02
TIPO PRÁCTICO
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CALCULO VED / UMH
1) H(x) = 5x4 + 6
2) G(z) = z3 - 4z
3) 2[(x2 + 1) / 3]3
4) (x + 6)2 / (-2x)
CAPITULO III
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CALCULO VED / UMH
LA INTEGRAL
x n 1
+ C (n 1)
n
3) Identifique la siguiente formula de integración. Sea x dx =
n 1
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CALCULO VED / UMH
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
TEMAS Y SUBTEMAS
3. Integración
3.2 Integrales indefinidas
3.2 Métodos de sustitución
3. LA INTEGRAL
Integrales indefinidas
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CALCULO VED / UMH
f(x) dx = F(x) + C
3x 2 dx = x 3 +C
d
dx
[ f(x) dx ] = f(x)
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CALCULO VED / UMH
Primero considere x 2 dx. Debemos buscar una función cuya derivada sea x 2 .
1 3
Como vimos antes, la derivada de x 3 es 3x 2 . Por tanto, la derivada de x es
3
1 1 3
3
(3x 2 ) = x 2 . Así que x 2 dx =
3
x +C
Ahora considere x 3 dx, que representa a una función cuya derivada es x 3 . Pero
1 4 1
la derivada de x 4 es 4x 3 y por consiguiente, la derivada de x es (4x 3 ) = x 3 .
4 4
1 4
Por tanto. x 3 dx =
4
x +C
x n 1
x n dx =
n 1
+ C; con (n 1) (Formula de la potencia)
d x n 1 1 d n 1 1
( )= (x ) = (n+1)x n = x n
dx n 1 n 1 dx n 1
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CALCULO VED / UMH
x 31 x4
3
(a) x dx = +C= +C (n=3)
3 1 4
x 2 1 x 1 1
x dx =
2
(b) +C= +C=- +C (n= -2)
2 1 1 x
1 t 1 / 2 2 1
(c) t
dx = t 1 / 2 dx =
1
+C=2 t +C (n=-
2
)
1
2
x 01
(d) dx = 1dx = x 0 dx =
0 1
+C=x+C (n = 0)
x n 1 u n 1
n n
1. x dx = = +C (n ≠ -1) ó u du = +C
n 1 n 1
1 1
2. x
dx = 1n |x| + C ó u du = 1n |u| + C
e x dx= e x +C e du = e u + C
u
3. ó
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CALCULO VED / UMH
d d 1 1
ln |x| = ln (-x) = (-1) =
dx dx ( x) x
TEOREMA 3.1
La integral del producto de una constante de una función de x es igual a la
constante por la integral de la función. Esto es, si c es una constante.
cf ( x)dx = c f (x) dx
EJEMPLO 3.1.2
x3
3x dx = 3 x dx = 3 · + C = x3 + C
2 2
(a)
3
2e e dx = 2e x + C
x x
(b) dx = 2
(c) 5 dx = 5 1 dx = 5x + C
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CALCULO VED / UMH
d d
[c (x) dx] = c
dx
[ f (x) dx ] = cf(x)
dx
palabras:
cf (x) dx = c f (x) dx
Como resultado de este teorema, se sigue que podemos extraer cualquier constante
multiplicativa del interior del signo de integral.
Precaución: Las variables no pueden extraerse del signo de integral. Por ejemplo:
xe e
x x
dx ≠ x dx
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CALCULO VED / UMH
TEOREMA 3.2
La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus integrales.
EJEMPLO 3.1.3
Calcular la integral de f(x) = (x – 3/x) 2
Solución:
Desarrollamos (x – 3/x) 2 con objeto de expresar el integrado como una suma de
funciones con potencia.
3 2 9
(x x
) dx = (x 2 - 6 + 2 ) dx
x
desarrollar el cuadrado.
6dx 9x
2
= x 2 dx - dx separar las funciones.
= x 2 dx - 6 1dx 9 x 2 dx extraer constantes del integral.
x2 1 x 2 1
= - 6x + 9 +C integrar.
2 1 2 1
9
= 1/3 x3- 6x - +C respuesta.
x
EJEMPLO 3.1.4
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CALCULO VED / UMH
3 5t 7t 2 t 3
Encuentre la antiderivada de
t2
Solución:
3 5 t 7t 2 t 3 3 5
t 2
dx = ( 2 -
t t
+ 7 + t ) dt dividir entre t2.
1
= 3 t 2 dt 5 t dx 71dt t dt separar funciones y
extraer constantes.
t 21 t 11
=3 - 5 ln | t | + 7t + +C integrar.
1 2
3 t2
= - - 5 ln | t | + 7t + +C respuesta.
t 2
d d d
dx g (x) dx ] = [ f (x) dx] +
dx
[ f (x) dx + [ g (x) dx]
dx
definición de antiderivada:
f (x) +
g(x) dx = f (x) dx + g (x) dx
EJEMPLO 3.1.5
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CALCULO VED / UMH
Solución:
Desarrollando los paréntesis, obtenemos f ´( x) 4 x 3 3 x 2 4 x 3 Utilizando los
teoremas anteriores, la antiderivada es:
1 1 1
f ( x) 4( x 4 ) 3( x 3 ) 4( x 2 ) 3x C
4 3 2
= x 4 x 3 2 x 2 3x C
f ( x) x 4 x 3 2 x 2 3x 6.
C´( x) 25 0.02x
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Solución:
El costo marginal es la derivada de la función de costo. En consecuencia, La función
de costo se obtiene integrando la función de costo marginal.
x2
25 x (0.02 ) K 25 x 0.01 x 2 K
= 2
C (200) C (150)
Por consiguiente;
R´( x) 15 0.01x
Determinar:
(a) La función de ingreso.
(b) Encuentre la relación de demanda para el producto de la empresa.
Solución:
a) La función de ingreso R´(x) es la integral de la función de ingreso marginal. Así
que:
x2
= 15 x 0.01 K 15 x 0.005 x 2 K
2
0 15 (0) 0.005 (0 2 ) K
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CALCULO VED / UMH
R ( x) 15 x 0.005 x 2
No todas las variables pueden integrarse en forma directa usando las integrales
estándar expuestas en la sección previa. Sin embargo, muchas veces la integral
dada puede reducirse a una integral estándar ya conocida mediante un cambio en la
variable de integración. Tal método se conoce como método de sustitución de
variable y corresponde a la regla de la cadena en derivación.
f (x) dx = F ( x) C
f (u) du = F (u ) C
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TEOREMA 1
f g (x) ]g ´(x) dx = F g ( x) C
Se ilustra este teorema con algunos ejemplos antes de demostrarlo. Se Inicia con la
fórmula de la potencia.
u n 1
u du = C ( n 1)
n
n 1
g ( x)
n 1
f g ( x) g ( x) n y F g ( x)
n 1
g ( x) C
n 1
g ( x) g´( x)
n
dx = (n 1)
n 1
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CALCULO VED / UMH
En este resultado, g (x) puede ser cualquier función diferenciable que no sea
( x 2 1) 4 1
( x 1) 2x dx = C
2 4
4 1
( x 2 1) 5
( x 1) x dx = C1
2 4
10
(ln x) 2 (ln x) 3
dx C
x 3
Es claro que al elegir diferentes funciones f (x) y g (x) , pueden evaluarse una gran
cantidad de integrales. Cuando en realidad usamos este método de sustitución con
objeto de evaluar una integral dada, es necesario reconocer cómo elegir estas
funciones de tal forma que la integral dada, se exprese en una forma f (u) du
cuando sustituimos u = g (x) , con f una función lo bastante simple para que una
nueva integral pueda evaluarse con facilidad.
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CALCULO VED / UMH
F g ( g ) f (u ) g ´ ( x) f g ( x) g´( x)
d d d du
F (u ) F (u )
dx dx du dx
f g ( x) g´( x) dx F g ( x) C
Como se requería.
EJEMPLO 3.2.1
(x 3x 7) 5 (2 x 3)dx .
2
Evalúe
Solución:
Observamos que la diferencial de x 2 3x 7 es igual a (2 x 3)dx, que aparece en
la integral. Por lo tanto:
u6
( x 3x 7) (2 x 3)dx u du C
2 5 5
En donde se sustituye el valor de
6
u otra vez.
1
= ( x 2 3 x 7) 6 C resultado.
6
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EJEMPLO 3.2.2
1
Calcular; x ln x dx
Solución:
La integrada dada es;
1 1 1
x ln xdx ln x x dx
1 1 1 1
x ln xdx ln x x dx u du ln u C
EJEMPLO 3.2.3
e
x 2 5 x (
Evalúe (2 x 5)dx
Solución:
Observe que (2 x 5) dx aparecen en la integral y esta cantidad es la diferencial de
e (2 x 5)dx = e u du e u C =e x
x 2 5 x ( 5 x
C.
2
e (2 x 5)dx eu du eu C e x
5 x 5 x
C
2 2
x
EJEMPLO 3.2.4
x e
2 x 3 1
Calcule dx
Solución:
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CALCULO VED / UMH
1
du. Así
3
1 1 1 1 3
x e dx e u ( du) e u du e u C e x 1 C
2 x 3 1
3 3 3 3
EJEMPLO 3.2.5
Encuentre 2 x 3dx
Solución:
1
Escribiendo u =2x+3, encontramos que du =2dx, es dx = du se sigue que:
2
1 1 1
2x 3 dx = u du u 2 du
2 2
1 2 3 2 3
= u C 1 / 3(2 x 3) 2 C.
2 3
El ejemplo 5 es uno de un tipo especial de sustitución denominada sustitución
lineal. En el teorema 1 elegimos u =ax +b, en donde a y b son constantes (a 0) .
f (ax b) a dx F (ax b) C
1
Si f ( x) F ( x) C , entonces f (ax b)dx a F (ax b) C
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CALCULO VED / UMH
fin de integrar f (ax b), manejamos (ax b) como si fuera una sola variable,
después dividimos la integral resultante entre a, el coeficiente de x.
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CALCULO VED / UMH
Tabla 2
x n 1 1 (ax b) n 1
x dx C (n 1)
1. (ax b) n dx C
n
1. .
n 1 a n 1
1 1 1
2. xdx 1n x C 2. ax bdx a .1n ax b C (a 0)
e ax b
e dx
ax b
3. e x dx e x + C 3. C (a 0)
a
Con; (a 0, n 1)
EJEMPLO 3.2.6
(3x 7) dx.
5
Evalúe
Solución:
Por el primer resultado general de la tabla 2,
(ax b) n 1
(ax b) dx C.
n
a (n 1)
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EJEMPLO 3.2.7
e
53 x
Calcule dx
Solución:
Haciendo a = - 3 y b = 5 en la fórmula 3 de la tabla, obtenemos
e 53 x 1
e dx
53 x
C e 53 x C.
(3) 3
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CALCULO VED / UMH
EJEMPLO 3.2.8
Evalúe x 1 x dx
Solución Nuevamente este ejemplo puede resolverse por medio de una sustitución
lineal, aunque no es difícil hacerlo directamente como en los ejemplos 6 y 7.
x 1 x dx (1 u ) u (du) (u 12 u 3 2 )du
2 2 5
u 3 (1 x 2 C
3 2 5
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CALCULO VED / UMH
Problemas 3.1
Encuentre la antiderivada de las siguientes funciones planteadas.
1. x 7 2. 3
x 3. 1 / x 3 4. 1 / x
e3
5. 7 x 6. 1 n 2 7. 8. x 1n 3
x
1 1 7 3
9. 10. 3x 11. 3 12. 3x 2 5 x 2e
x1n 2 3x x
1 7
13. ( 2 x 3) 2 14. ( x ) 3 15. x 2 ( x 1) 2 16. x 7 7 x 7
x x
1 1 2 2
17. ( x ) 2 18. ( x + )( x ) 19. e x 1n 3 20. x 2 ( x
x x x x
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Problemas 3.2
Resolver las siguientes integrales planteadas utilizando el método de sustitución de
variables.
4x 1
(2x 1) dx 2x
7
21. 27. dx .
2
x 1
22.
1
(2 5t ) 2 dt
28. x x 2 1 dx
x
29. x 2
1
dx
1
23. 2 y 1dy t2
30. 3
t3 8
dt
2u 1
24. 4u du ( x 7) 5
1
2
31. dx
x
e
3 x 2 x
25. dx 32. e x x
dx
e5
26. e x dx
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CALCULO VED / UMH
GLOSARIO
Reciproco: Correspondencia mutua entre dos cosas.
Ingreso: Caudal que entra en poder de uno, y que le es de cargo en las cuentas.
Arbitrario: Forma que no obedece a principios dictados por la razón, la lógica o las
leyes.
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CALCULO VED / UMH
EVALUACIÓN FORMATIVA
Con la intención de conocer el nivel de conocimiento adquirido, después del
desarrollo de este capitulo, conteste en forma clara las preguntas que a
continuación se le presentan.
x n 1
3) Identifique la siguiente formula de integración. Sea x n dx =
n 1
+ C (n 1)
EVALUACIÓN 03
1) Sea; ʃ x3 dx = x4 / 4 + c ________________________________________ ( )
TIPO PRÁCTICO
__________________________________________________________________________________
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CALCULO VED / UMH
2) ʃe0 dx
3) ʃ(3x – 7)5 dx
4) ʃ( x2 + 9)2 dx
Capitulo I
Límites
1. Solución: de izquierda a derecha.
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CALCULO VED / UMH
__________________________________________________________________________________
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CALCULO VED / UMH
1
22.
6
1
23.
4
1
24. -
9
25. 3x 2
26. 1
27. 3
28. -∞
29. -∞
30. -∞
31. +∞
32. -∞
33. +∞
34. 3
35. 1
1
36.
2
3
37.
5
2
38. -
3
2
39.
3
40. 1
2
41.
3
2
42. -
3
43. 0
44. 0
__________________________________________________________________________________
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CALCULO VED / UMH
45. +
46. x = 2 es una asintota vertical
47. x = -3 es una asintota vertical
48. x = 2 es una asintota vertical
49. x = 2 y x = -2 son asintotas verticales
50. no tiene asintotas verticales ni valores prohibidos
51. x = 1 es un valor prohibido y x = 3 es una asintota verticales
52. y = 0 es una asintota horizontal
1
53. y = es una asintota horizontal
2
54. y = 1 es una asintota horizontal
55. y = 2 es una asintota horizontal
56. y = 2x - 6
57. y = 5x – 15
2
58. y = 3x +
3
59. y = x
60. y = x + 4
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Capitulo II
La Derivada
1. 0.40
2. g(x) no esta definida en el intervalo completo de x a x + x
3. -50
4. x 2x / x( x x)
5. -7
6. 1
7. 0.1613
3ah h 1
2 2
8. 3 a
9. a =40, b=160, c= 220, d=250, e = 1000 -240t -120 t
0.3 0.6
10. a. p = e e = 0.1920 y b. p / t = 0.064
20. 12x² - 6x
21. 12x³ - 21x² + 10x
1 1
22. -
x x3
23. 12x³ + 8x – 4
24. 4u + 3
( x 1) 2
25.
9
( x 1)(x 1)
26.
x2
27. 0
28. (0,-3)
CALCULO VED / UMH
29. (0,-1)
30. (-1,1)
3 21
31. ( ,- )
2 4
1 17
32. (- , )
4 8
33. (-1,1)
3 17
34. (- , )
4 8
35. (2,4)
1 37
36. (- , )
6 12
37. (-2,-12)
38. f min = f (3/2) = (3/2)2 – 3(3/2) = – 9/4
39. f min = 1/5
40. f max = 5/4
41. f min = – 13/12
42. $3600
43. 900 unidades
44. C(x) = 25x + 2000, 3000 unidades y $90,000 ingreso,1750 unidades para
la utilidad máxima de $28,625
45. 150 unidades minimizan el costo promedio y la utilidad es de $15.50
46. 15,625 yardas cuadradas
47. Densidad de 10 árboles
48. 10 plantas por pie cuadrado
49. 15 árboles por acre, y el valor de la cosecha $6075
50. Precio de libro de $22.50 y el ingreso será de $202,500
51. $29
52. renta de $175 y el ingreso máximo es de $6125
53. fijar un precio de $27 y la utilidad máxima es de $3107.50
54. (h,k)
Capitulo III
La Integral
CALCULO VED / UMH
2
1. x 8 /8 C 2. (3/4)x 4 /3
C 3. x /( 2) C 4. 2 x C
7x 2 x 2 ln 3
5. C 6. x ln 2 C 7. e 3 ln x C 8.
2 2
ln x
C 3x 2 ln x C
9. 10 . .
ln 2 2 3
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19. ex ln 3 + C
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
CALCULO VED / UMH
29.
30.
31.
32.
BIBLIOGRAFÍA