073 Algebra
073 Algebra
073 Algebra
MANUAL
ALGEBRA LINEAL
COMPILACION REALIZADA
A SOLICITUD DE LA UMH POR:
LICENCIADO
OSCAR RODRIGUEZ
OCTUBRE 2006
AGE-112
LGEBRA / UMH
AGE-112
LGEBRA / UMH
PRESENTACIN
AGE-112
LGEBRA / UMH
LGEBRA DE MATRICES
CAPITULO 1
1.1
MATRICES
Introduccin
Las matrices aparecen por primera vez hacia el ao 1850, introducidas por J.J.
Sylvester. El desarrollo inicial de la teora se debe al matemtico W.R. Hamilton en
1853. En 1858, A. Cayley introduce la notacin matricial como una forma abreviada de
escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas.
Las matrices se utilizan en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de
ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Adems de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices
aparecen de forma natural en geometra, estadstica, economa, informtica, fsica, etc...
DEFINICIN: Una Matriz es un arreglo rectangular de nmeros reales, encerrados en
grandes parntesis rectangulares. Las matrices por lo general se denotan con letras
maysculas como A, B, C etc.
Algunos ejemplos de Matrices:
AGE-112
LGEBRA / UMH
Matriz cero: Se llama as cuando todos los elementos dentro de una matriz son ceros.
Vase el siguiente ejemplo:
AGE-112
LGEBRA / UMH
Ejemplo:
1 0
A=
2 3
2 3 1
B=
1 2 3
3
C = 1
2
1 2 3
D = 4 5 6
9 8 7
3 4 5
E=
1 0 2
2 1
F=
1 1
G = 4 1 3
H = 1
1.a-. Para los ejercicios anteriores encuentre el valor de los siguientes elementos si se
puede de a11 , a 22 , a13 y a 23 , encuentre la misma posicin para las matrices B, C, D,
E, F, G, y H.
AGE-112
LGEBRA / UMH
1.2
ALGEBRA MATRICIAL
1.2.1Multiplicacin de una matriz por un escalar
La multiplicacin de una matriz por un escalar se refiere a la operacin de multiplicar
una matriz por un nmero real. Para cualquier matriz de tamao mxn y c cualquier
nmero real se puede expresar como el producto cA = [ caij ], multiplicando cada
elemento de A por c.
Ejemplo:
Dado
Desarrolle -3A.
Ejemplo Aplicacin:
Una cadena de distribuidores de madera a nivel nacional distribuye tres diferentes
clases de madera, entre ellos estn el pino, la caoba y el nogal, para esta distribucin
disponen de dos agentes distribuidores y se representa con la siguiente matriz:
Esta es la madera en existencia en el plantel.
Los elementos de la matriz A estn en miles de pie tablar. Si la gerencia establece como
objetivo el aumento en la distribucin de madera en un 50%, presenta la matriz que
representa este aumento.
PROHIBIDA LA REPRODUCCIN DE ESTE DOCUMENTO SIN AUTORIZACIN DE LA UMH
AGE-112
LGEBRA / UMH
Por lo tanto
aij - bij
Ejemplo: Dadas las siguientes matrices A y B encontrar la suma A+B y la resta de A-B:
AGE-112
LGEBRA / UMH
Madera en existencia
en el plantel
Madera distribuida en
el mes de Marzo
Ejercicio: Dadas
AGE-112
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Solucin:
EJERCICIOS 1.2
2.- Construya un ejemplo de una matriz 3x3
4.-
2 4
3
1 3
1 2 3
-2 2 1 4
3
0
2
5.-
2 1 3 0 1 2
1 4 7 + 1 2 8
6.-
1
4 1 2 5
3
2 5 3 - 2 1 4
0 1 2 3 2
1
1 2
2 3
7.- 2
+3
1 3
1 0
8.-
2 1
1 3 - 2
4 7
1 2
2
3
3 0
AGE-112
9.-
LGEBRA / UMH
1 2 3
2 2 1 0 + 3
4 5 6
0 1 2
3
2 4
1 0
3
1 0 3 4
1 - 5
10.- 4 2 1 5
3 2
0 2
3
2 1 2
1 0 3 4
3 1
0 5
(11- a 15.-)Determine los valores de las variables para las cuales las ecuaciones
matriciales siguientes son vlidas.
11.-
x 2
1 2
3 y = 3 4
12.-
z
3 1 y 2
x 0 = 4
t 1
13.-
5
x 2
4
z 6
14.-
2
3
3
x 1
2 x 1 t 1
4
y 1
5 = v 1
3
5
u
4 w 1 2 z 1
1 z 2
15.-
1 1
x
0 2 3 +2
1 y
2
y 3 3 t 1 2 y 5
=
7 4 2
z 1
2 t 0
z 1 1
u 2 v
AGE-112
15.b-
LGEBRA / UMH
1 1
x
6 0 2 3 + 2
1 y
2
2 t 0
z 1 1
u 2 v
16.- (Costos de suministros) Un contratista calcula que los costos (en dlares) de
adquirir y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres
diferentes localidades estn dados por las matrices siguientes (una matriz por cada
localidad).
Escriba en la matriz que representa los costos totales de material y de transportacin por
unidades de concreto, madera y acero cada una de las tres localidades.
17.- (Comercio internacional) El comercio entre tres pases I, II y III durante 1986 (en
millones de dlares estadounidenses) est dado por la matriz A=
representa las exportaciones del pas i al pas j.
0 16 20
A = 17 0 18
21 14 0
AGE-112
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El comercio entre estos tres pases durante el ao de 1987 (en millones de dlares
estadounidenses) est dado por la matriz B.
0 17 19
B = 18 0 20
24 16 0
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P
Q
R
Por con siguiente , el costo de los tres insumos por unidad de producto se obtiene
sumando los costos de 3 unidades de P a un costo de 10 cada una, 2 unidades de Q aun
costo de 8 y 4 unidades de r a un costo de 4 cada una:
3 x 10 + 2 x 8 + 4 x 4 = 62
El anterior es el producto de la matriz fila por la matriz columna A x B y se denota
como AB, este mtodo de producto se aplica a matrices rengln y columnas de
cualquier tamao siempre y cuando m = n, o sea el mismo nmero de elementos.
Ejemplo:
Dadas las matrices siguientes:
KM = 1x4 + 4x3 = 4 + 12 = 16
LN = 1x1 + 4x4 + (-3)x5 + 5x0 = 1 + 16 15 + 0 = 2
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Regla de multiplicacin
AGE-112
LGEBRA / UMH
Ejemplo 2: Dadas
Calcule AB y BA
Solucin: Ambas matrices son de tamaos iguales de 3x3, en consecuencia tanto AB
como BA estn definidas y tendrn tamao 3x3.
AGE-112
LGEBRA / UMH
EJERCICIOS 1.2.3
19.- a 25.- Si A es un matriz 3 X 4, B es 4 X3, C es 2 X 3 y D es 4 X 5, calcule los
tamaos de los productos de matrices siguientes.
19.- AB
20.- BA
21.- CA
22.- AD
23.- CAD
25.- CBA
AGE-112
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26.-
4
2 3
5
28.-
3 0 1
2 4 0
0 2
27.- 2 0 1 1 1
3 0
4
5
6
1 0 2 3 2
1
30.- 0 2 1 2
2 1 0 1 3
32.-
2 3 1 1
1 2 3 2
4 5 6 3
34.-
1 0
1 2 3
3 1
4 5 6 2 4 2 1
0 3
1 2
2
29.- 3 4
0
5
6
2 1 0
2
31.- 1 3
4 0 3
1 0 2
0 2 1
2 1 0
1 0 2 4
2 1 4
3 1 0 1
33.-
5 3 6 0 2 1 3
2 3 1 1
34.b- 10 1 2 3 2
4 5 6 3
2 1 0 1 0 2
2 6 0 2 1
34.c- 12 1 3
4 0 3 2 1 0
1 2
2
34.d.- 15 3 4
0
5
6
AGE-112
LGEBRA / UMH
2 1
35.- Determine A - 5A +2I si A=
yA=
3 2
1 0 0
0 2 1
0 0 3
2 2
35.b Determine A - 5A +2I si A=
1 4
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LGEBRA / UMH
Por consiguiente;
AGE-112
LGEBRA / UMH
Solucin:
Primero se recomienda ordenar el sistema, preferiblemente en orden x, y y z, alineados
en columnas de izquierda a derecha, observe que los trminos faltantes se colocan como
si estuviesen pero acompaados por cero, siempre es recomendable dejar la matris de
valores del lado derecho.
2x + 3y + 4z = 7
0x + 4y 5z = 2
-2x + 0y + 3z = -6
Entonces tenemos que
EJERCICIOS 1.4
36.-
2x + 3y =7
x + 4y = 5
37.-
3x 2y = 4
4x + 5y = 7
38.-
x + 2y + 3z = 8
2x y + 4z = 13
3y 2z = 5
39.-
2x y = 3
3y + 4z = 7
5z + x = 9
40.-
2x + y
-u=0
3y + 2z + 4u = 5
x- 2y + 4z + u = 12
AGE-112
LGEBRA / UMH
En esta matriz, cada regln se refiere a un proveedor y las columnas a los materiales, en
el orden listado arriba. El contratista tiene la poltica de adquirir todos los materiales
requeridos en cualquier obra particular al mismo proveedor a fin de minimizar los
costos de transportacin. Hay tres obras en construccin actualmente: la obra I requiere
20 unidades de madera, 4 de ladrillos, 5 de concreto, 3 de vidrio 3 de pintura; la obra II
requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades, respectivamente; y la obra III requiere 30, 10, 20, 10 y
12 unidades, respectivamente. Disponga esta informacin en un matriz B 5 X 3 y forme
la matriz producto AB. Interprete los elementos de este producto y selos con el
propsito de decidir cul proveedor debera usar en cada obra.
43.-
x + 2y = 1
3y + 2x = 3
44.-
u + 3v = 1
2u v = 9
45.-
3 x1 + 2 x2 +
x =6
2 x - x + 4 x = -4
x + x -2 x = 5
46.-
2u 3v + 4w
=13
u+v+w
=6
x + 2y + z t = 0
48.- 3 x1 + 2 x2 +
47.-
y 2z + 2t = 13
2x + 4y z + 2t = 19
Y z 3t = 0
-3u + 2v + w + 1 = 0
x + x =2
x - x + x + 2 x = -4
2x + x -x + x =1
-x + x + x -x =4
1
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Una vez identificadas las matrices lo construimos como matriz aumentada as:
AGE-112
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a22 deber de
Solo falta el elemento a12 a transformar en cero con la siguiente operacin 2R2 + R1
Ejemplo:
Use el mtodo de los renglones para resolver el siguiente sistema:
2x -3y + 4z = 13
x + y + 2z = 4
3x + 5y z = -4
Solucin:
Entonces tenemos que
2 3 4 x 13
1 1
2 y = 4
3 5 1 z 4
AGE-112
LGEBRA / UMH
3 5 1 4
Aplicamos las operaciones que nos lleven a transformar la parte coeficientes en matriz
identidad.
EJERCICIOS 1.41
Utilice el mtodo de reduccin de renglones para resolver los siguientes problemas:
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50.- (Asignacin de maquinaria) Una empresa produce tres productos, A, B y C, los que
procesa en tres mquinas. El tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad de
cada producto por las tres mquinas est dado enseguida.
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a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)
Es una ecuacin algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite que
los coeficientes
reales.
a11, a12, a13, ... , a1n y el trmino independiente C1, son constantes
SISTEMA DE ECUACIONES
Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultneamente. En los sucesivos
se considerarn nicamente sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, o sea conjuntos
de ecuaciones de la forma:
a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)
Es un conjunto de valores de las incgnitas que verifican simultneamente a todas y
cada una de las ecuaciones del sistema.
De acuerdo con su solucin, un sistema puede ser: Consistente, si admite solucin; o
Inconsistente, si no admite solucin.
1.5.1 MTODO DE GAUSS
El primer mtodo que se presenta usualmente en lgebra, para la solucin de ecuaciones
algebraicas lineales simultneas, es aquel en el que se eliminan las incgnitas mediante
la combinacin de las ecuaciones. Este mtodo se conoce como Mtodo de Eliminacin.
Se denomina eliminacin Gaussiana si en el proceso de eliminacin se utiliza el
esquema particular atribuido a Gauss.
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Como se trata de eliminar procedemos con operaciones matemticas que nos ayuden a
eliminar una variable as.
Multiplicando R1 por 2 y R2 por 3 eliminamos la variable x
AGE-112
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3x 5y = -7
-2x + 3y = 5
5
7
y3
3
x=
5
7
( -1 ) 3
3
x = -4
3x 5y = -7
-2x + 3y = 5
AGE-112
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5
7
x= y3
3
3
5
y2
2
y = -1
Este valor de y se puede sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas
anteriores, aqu se demuestra en la ecuacin 2
x=
3
5
( -1 ) 2
2
3 5
x=- 2 2
x = -4
4x 5 y
x7
=
7
1
Solucin { 8 , 5 }
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EJERCICIOS 1.5
Resuelva por los mtodos de Gauss, sustitucin e igualacin los siguientes sistemas:
59.-
2x -3y = 1
3x + 4y = 10
61.-
2u + 3v 4w = -10
w 2u 1 = 0
u + 2v = 1
60.-
2x y + 3z = -3
x+y+z = 2
3x + 2y z = 2
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INVERSA Y DETERMINANTES
CAPITULO II
2.1
INVERSA
Introduccin
Si la matiz A se somete a ciertos cambios hasta obtener I, sometiendo a I a los mismos
cambios llegamos a la inversa.
DEFINICIN: Sea A una matriz cuadrada de nxn, entonces una matriz B se dice que es
su inversa si satisface las dos ecuaciones matriciales siguientes
AB = I y BA = I
en donde I es la matriz de tamao nxn.
Ejemplo demostracin:
Dadas las siguientes matrices demuestre que AB = I
1 2
A =
yB=
3 4
1
2
3
1
2
2
1
1 2 2
Multiplicamos AB =
3
1 =
3
4
2
2
1 3
A=
2 5
El procedimiento a usar consiste en reduccin simultnea, colocamos la matriz a la cual
se encontrara su inversa y se aumenta por la matriz identidad as:
1 3 1 0
2 5 0 1
AGE-112
LGEBRA / UMH
1 2
A=
2 4
El procedimiento a usar consiste en reduccin simultnea, colocamos la matriz a la cual
se encontrara su inversa y se aumenta por la matriz identidad as:
1 2 1 0
2 4 0 1
a22 en 1,
AGE-112
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Ejemplo 2.1.3:
Dada la siguiente matriz calcule la inversa, encuentre A:
1 2 3
A = 2 5 7
3 7 8
Primero aumentamos la matriz
1 2 3 1 0 0
A | I = 2 5 7 0 1 0
3 7 8 0 0 1
AGE-112
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EJERCICIOS 2.1
53.- a 58.En los problemas siguientes, encuentre la inversa de la matriz dada (si
existe)
53.-
2 5
3 4
55.-
3 2
6 4
57.-
2 1 0
1 0 3
0 2 1
54.-
1 2
3 4
56.-
1 0 2
0 3 1
2 1 0
58.-
2
1
4
1 1 1
1 1 0
0 1
2
1
AGE-112
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3 7 8 z 5
Necesitamos resolver X = A (B ) , empezamos por encontrar la inversa de A:
x
X = y
z
3
B = 6
5
AGE-112
LGEBRA / UMH
1 2 3
A = 2 5 7 en el ejemplo 2.1.3 encontramos la inversa de A o sea A
3 7 8
Nota: La ventaja de utilizar la matriz inversa se hace patente en casos en que debe
resolverse varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes. En
problemas de este tipo, las soluciones de todos los sistemas pueden determinarse de
inmediato una vez que se ha encontrado la inversa de la matriz de coeficientes.
AGE-112
LGEBRA / UMH
EJERCICIOS 2.1
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones determinando la inversa de la
matriz de coeficientes.
59.-
2x -3y = 1
3x + 4y = 10
61.-
2u + 3v 4w = -10
w 2u 1 = 0
u + 2v = 1
62.-
Dadas:
1 3
A=
y B=
2 4
60.-
2x y + 3z = -3
x+y+z = 2
3x + 2y z = 2
2 1
3 1 .
AGE-112
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TABLA 1
Insumos de la
Industria P
Produccin de la industria P
60
Produccin de la industria Q
100
Insumos de la Demandas
industria Q
finales
64
76
48
12
Insumos primarios
40
48
Insumos totales
200
160
Produccin
total
200
160
Totalizando las columnas, advertimos que los insumos totales son de 200 unidades en el
caso de P y de 160 unidades para Q. En el modelo se supone que todo lo que se produce
se consume, o en otras palabras, la produccin de cada industria debe ser igual a la suma
de todos los insumos (medidos en las mismas unidades). As, la produccin total de P
debe ser de 200 unidades y de 160 unidades en el caso de Q.
Consideremos ahora los dos primeros renglones de la tabla 1, en los cuales se advierte
cmo se utilizan los productos de cada industria. De las 200 unidades producidas por P,
60 son utilizadas por ella misma y 64 por Q. Esto deja 76 unidades disponibles para
satisfacer la demanda final; esto es, los bienes que no utilizan internamente las propias
industrias productoras. Estos podran consistir en esencia de bienes producidos para
consumo domstico, consumo del gobierno o exportacin. De manera similar, de las
160 unidades producidas por Q, 100 las utiliza P, 48 no salen de Q y 12 a 60 unidades
se destinan a satisfacer la demanda final.
Suponga que la investigacin de mercado predice que en 5 aos, la demanda final para
P decrecer de 76 a 70 unidades, mientras que el caso de Q, se incrementar de 12 a 60
unidades. La pregunta que surge se refiere a qu tanto debera cada industria ajustar su
nivel de produccin a fin de satisfacer estas demandas finales proyectadas.
Es claro que las dos industrias no operan independientemente una de otra (por ejemplo,
la produccin total de P depende de la demanda final del producto de Q y viceversa).
Por tanto, la produccin de una industria est ligada a la produccin de la otra industria
(u otras industrias). Supongamos que a fin de satisfacer las demandas finales
proyectadas en 5 aos, P debe producir x1 unidades y Q debe producir x2 unidades.
En la tabla 1 advertimos que con objeto de producir 200 unidades, la industria P emplea
60 unidades de su propio producto y 100 unidades del producto de Q. As la elaboracin
60
por parte de la industria P de x1 unidades requiere la utilizacin de
x1 unidades de
200
100
su propio producto y
x1 unidades del producto de Q. En forma anloga, a fin de
200
AGE-112
LGEBRA / UMH
64
160
Produccin total
de la industria P
Unidades
consumidas por P
Unidades
consumidas por Q
+ Demanda final.
Es decir,
60
x1 + 64 x2 + 70
200
160
dado que la nueva demanda final es de 70 unidades.
x1=
De manera similar, de
unidades las utiliza P y
Produccin total
de la industria P
48
160
x2 unidades
100
200
x1
Unidades
consumidas por Q + Demanda final.
Esto es,
X2= 100 x1
200
48
160
x2
+ 60
64
60
200 160
x1
x2 =
100 48
200 160
x1
70
+
x2
60 .
En consecuencia
X = AX + D
En donde
64
60
200 160
x1
70
X = , A =
y D = .
x2
60
100 48
200 160
Llamaremos a X la matriz de produccin, a D la matriz de demanda y a A la matriz
insumo-producto. Los elementos de la matriz A se denominan coeficientes de
insumo-producto.
PROHIBIDA LA REPRODUCCIN DE ESTE DOCUMENTO SIN AUTORIZACIN DE LA UMH
AGE-112
LGEBRA / UMH
64
60
200 160
0.3 0.4
A=
= 0.5 0.3
100 48
200 160
Del ejemplo anterior puede obtenerse directamente de la tabla 1 dividiendo cada nmero
en el rectngulo interior de la tabla ente la produccin total de la industria que encabeza
la columna. Por ejemplo en la primera columna, encabezada por P, dividimos cada
60
elemento entre 200, que es la produccin total de la industria P. As, obtendremos
200
100
y
como los elementos de la primera columna de la matriz insumo-producto.
200
La ecuacin (1), X = AX + D, se conoce como ecuacin insumo-producto. A fin de
encontrar la matriz de produccin X que cumplir con las demandas finales
proyectadas, debemos resolver la ecuacin (1) para X. Tenemos.
X = AX + D
X AX =D.
Podemos escribir esto como
IX AX = D o bien (I A) X = D
Tenemos un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es (I A).
Podemos resolver este sistema por medio de la reduccin por renglones o de forma
alterna utilizando la inversa de la matriz de coeficientes. Suponga que (I A) existe.
Entonces, como en la seccin 9-1, tenemos
(I - A) (I A) X = (I A) D
X = (I A) D.
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LGEBRA / UMH
Por tanto, observaremos que la matriz de produccin X queda determinada una vez que
se encuentra la inversa de la matriz (I A). Esta inversa puede calcularse usando los
mtodos de la seccin 9 1.
En nuestro ejemplo, tenemos
1
29
70 40
50 70 .
En consecuencia,
X = (I A) D
7300
1 70 40 70 29 251.7
=
=
= 265.5 .
29 50 70 60
7700
29
Concluyendo, la industria P debe producir 251.7 unidades y Q debera producir 265.5
unidades con objeto de satisfacer las demandas finales proyectadas en 5 aos.
Puede suceder que un economista no tenga seguridad acerca de sus pronsticos de las
demandas futuras finales. As l o ella podra desear calcular la matriz de produccin X
para diferentes matrices de demanda D. En tal caso, es mucho ms conveniente utilizar
la frmula X = (I A) D, que incluye la matriz inversa, que utilizar la reduccin por
regln para obtener X para cada D diferente.
EJERCICIOS 2.3
AGE-112
LGEBRA / UMH
Tabla 1
Industria
I II
Industria
I
II
Insumos
Primarios
Demandas
finales
20 56
50 8
30
24
22
Produccin
total
100
80
16
20
40
0
40
Demandas
finales
0
40
40 100
80
40
80
40
20
80
Produccin
total
100
200
200
20
AGE-112
LGEBRA / UMH
2.4 DETERMINANTES ( )
, con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i() es la signatura de la
permutacin)
Tambin se suele escribir:
a1 b1
= a1b2 a2b1
a 2 b2
AGE-112
LGEBRA / UMH
Ejemplo 2.4.1:
Evale los determinantes siguientes:
A=
2 3
4 5
B=
3 2
0 4
Solucin:
b1
c1
= a 2 b2 c 2 =
a3 b3 c3
Esta expresin se denomina el desarrollo completo del determinante de tercer orden,
Observe que contiene seis trminos, tres positivo y tres negativos y cada trmino consta
del producto de tres elementos del determinante.
EJERCICIOS 2.3
AGE-112
LGEBRA / UMH
Determine x.
3 1
2
4
AGE-112
LGEBRA / UMH
i j
(1)
veces su menor.
Ejemplo:
Calcule el cofactor y el menor del elemento a21 del siguiente determinante:
2
3 1
= 1 4
3 1
2
4
a21 x (1)
i j
(1)
(1)
=-1
= 1 ( - 1) = -1
El determinante resultante es = 13
A21 = ( -1 ) (13) = - 13
Ahora que esta definido el cofactor planteamos la formula del determinante via matriz
de cofactores:
a1 b1 c1
= a 2 b2 c 2
a3 b3 c3
= aA + bB + cC donde a, b y c son los menores y A, B y C los determinantes
resultantes.
Ejemplo 2.4.2.b
Calcule el determinante utilizando el rengln 1 o sea R1:
2 3 1
= 1 4 2 = a1A1 + b1B1 + c1C1
3 1 4
AGE-112
LGEBRA / UMH
a11 x (1)
i j
(1)
= 2 ( 1) = 2 por lo tanto
(1) = 1
a1 = 2,
2
(1) = -1
a12 x (1) = 3 ( - 1) = - 3 por lo tanto b1 = -3,
Esta claro que a13 = -1 donde i= 1 y j = 3 , entonces i + j = 1 + 3 = 4
Decimos que su menor es = (1) = (1) = 1
a13 x (1) = -1 ( 1 ) = - 1 por lo tanto c1 = -1
Decimos que su menor es =
i j
(1)
i j
i j
i j
4 2
1 2
1 4
+ (-1)
1 4
3 4
3 1
= 2 [ 4(4) 1(2)] 3 [ 1(4) (-3)(2) ] 1 [ 1 (1) (-3)(4) ]
= 2 [ 14 ] 3 [ 10 ] 1 [ 13 ]
= -15
= a1A1 + b1B1 + c1C1 = 2
+ (-3)
AGE-112
LGEBRA / UMH
Determine x.
entonces:
AGE-112
LGEBRA / UMH
7
k1
es la matriz de valores o trminos independientes =
5
k2
x=
y=
7 5
5
3
1
3 7
2 5
1
(7)3 5(5) 21 25
4
=
=
= -4
1
1
1
3(5) (2)(7) 15 14
1
=
=
= -1
1
1
1
2.5.2 Teorema: Regla de Cramer para sistemas de tres ecuaciones y tres variables
Dado el sistema:
entonces:
AGE-112
LGEBRA / UMH
1 2 3
Tenemos la matriz de coeficientes 2 5 7 = -2
3 7 8
k1
k2 = 6
k3 5
x=
y=
3 2 3
6 5 7
5 7 8
2
1 3 3
2 6 7
3 5 8
2
2
= -1
2
4
= -2
2
AGE-112
z=
LGEBRA / UMH
1 2 3
2 5 6
3 7 5
2
4
=2
2
EJERCICIOS 2.5
3x + 2y = 1
2x -
73.-
y=3
74.-
x + y + z = -1
2x + 3y z = 0
3x 2y + z = 4
76.-
x + 3y z = 0
3x - y + 2z = 0
2x 5y + z = 5
75.-
1
1
x+ y=7
3
2
1
1
x- y=1
2
5
2x y + z = 2
3x + y 2z = 9
-x +2y + 5z = 5
PROGRAMACION LINEAL
CAPITULO 3
3.1
DESIGUALDADES LINEALES
AGE-112
LGEBRA / UMH
Introduccin
La desigualdad y > 2x 4, que relaciona las variables x y y, es un ejemplo de lo que
llamamos desigualdades lineales. Para entender mejor este concepto empezaremos
examinando la grfica.
Asumimos la funcin como y = 2x 4, notamos que su intercepto con el eje y es -4 o
sea el punto (0,-4) y luego de despejar x y hace y = 0 encontramos el Ix = 2 o sea el
punto (2,0).
Considere:
Si sustituimos el punto (0,0) se satisface la desigualdad
0>-4
Si sustituimos el punto ( -4, 4) tambin se satisface la desigualdad
4 > -12
Pero al sustituir el punto (-6, 4) notamos que no satisface
-6 > 4 es falso,
Entonces vemos que en las desigualdades existen puntos que pueden satisfacer, lo que
verificamos es que no son de una nica solucin como las igualdades, por lo que las
desigualdades la solucin al sistema se encuentra por regiones de puntos y se colorea la
regin que satisface la desigualdad.
AGE-112
LGEBRA / UMH
y-
AGE-112
LGEBRA / UMH
Figura 3.1
AGE-112
LGEBRA / UMH
Ejemplo 3.1.2
La compaa Midtown Estndar hace platos y tasas de plstico que requieren tiempo por
parte de dos maquinas. Una unidad de platos requiere 1 hora en la maquina A y 2 en la
maquina B. mientras que una unidad de tazas requiere de 3 horas en la maquina A y de
1 en la maquina B. Cada maquina por sus especificaciones no puede operar mas de 15
horas al da. Escriba un sistema de desigualdades que exprese esas condiciones y trace
la grfica de la regin factible.
Solucin:
Es muy aconsejable poder describir primero un a matriz de datos, utilizar las variables x
y y por conveniencia, por eso llamaremos x a los platos y y a las tazas, la informacin la
podramos presentar con la siguiente tabla:
Nota: Dependiendo
de una buena
ubicacin de datos, las
desigualdades son ms
fciles de apreciar
Vea 1x + 3y 15
2x + 1y 15
Es claro tambin que no es posible producir un nmero negativo de platos y tazas por lo
que x 0 y y 0
Con la cuatro desigualdades anteriores podemos graficar la regin factible (vase figura
3.1.2 )
AGE-112
LGEBRA / UMH
Figura 3.1.2
EJERCICIOS 3.1
x+y>1
78.-
2x + 3y < 6
79.-
2x y 4
80.-
3x y 6
81.-
2x + 3 > 0
82.-
4 3y < 0
AGE-112
LGEBRA / UMH
Ejemplo 3.2
Encuentre el punto mximo y mnimo de la funcin objetivo z = 2x + 5y, sujeta a las
siguientes restricciones:
Solucin: a.
3x + 2y 6
-2x + 4y 8
x + y1
x 0 y 0
AGE-112
LGEBRA / UMH
1 9
, ) y (0,1)
2 4
d. Evaluamos los puntos esquina en la funcin objetivo:
Ejercicio:
Un ganadero cra Vacas y Cerdos, quiere criar no mas de 16 animales, pero as no mas
de 10 vacas, gasta $15 para criar una vaca y $45 para criar un cerdo. El tiene disponible
para este proyecto 540$, encuentre la ganancia mxima que puede lograr si cada vaca
produce una ganancia de $7 y cada cerdo de $20.
Solucin: 6 vacas y 10 cerdos con una ganancia de 242$
EJERCICIOS 3.1
x + y > 2, 3x + y < 3
84.-
85.-
0 x 10, 0 y 15, 5 x + y 12
86.-
x 0,
y 0, x y 2, 2x + y 2
AGE-112
LGEBRA / UMH
88.- (Asignacin a mquinas) Una compaa elabora dos productos, A y B. Cada uno
de estos productos requiere cierta cantidad de tiempo, en dos mquinas en su
elaboracin. Cada unidad del producto A requiere 1 hora en la mquina I y 2 horas en la
mquina II; cada unidad del producto B demanda 3 horas en la mquina I y 2 horas en la
mquina II. La compaa dispone de 100 horas a la semana en cada mquina. Si x
unidades del producto A y y unidades del producto B se producen a la semana, d las
desigualdades que satisfacen x y y y represntelas en forma grfica.
Calcule el valor mximo de la funcin objetivo Z sujeta a las restricciones dadas.
89.-
Z = 3x + 2y; x 0, y 0, x + y 5
90.-
Z = 3x + 4y;
x 0, y 0, 2x + y 3
91.-
Z = 3x + 2y;
x 0, y 0, 2x + y 4, x + 2y 5
92.-
Z = 2(x + y); x 0,
y 0, 6x + 5y 17, 4x + 9y 17
Z = x + y; x 0, y 0, x + 3y 6, 2x + y 7
94.-
Z = x + 2y; x 0, y 0, x + y x 5, x + 4y 8
95.-
Z = x 2y; x 0, y 0,
96.-
Z = x 3y, 0 x 3, y 0, x + 2y 6, x + y 5
x y + 1, x + y 2
AGE-112
LGEBRA / UMH
10 en ecuacin,
as:
x + x = 10, donde x 0.
La variable x absorbe cualquier holgura y representa la cantidad por la que x
x
AGE-112
LGEBRA / UMH
Ejemplo 3.3
Maximice
z = 8 x1 + 12 x2
Sujeta a:
40 x1 + 80 x2 560
6 x1 + 8 x2 72
0 y
Solucin:
Agregamos las variables de holgura a cada restriccin.
40 x1 + 80 x2 + x3 = 560
6 x1 + 8 x2 +
= 72
8 12 0 0 1 0
x x x x
1
40 80 1 0 0 560
6
8
0 1 0 72
8 12 0 0 1 0
Columna pivote
AGE-112
LGEBRA / UMH
Rengln pivote
Columna pivote
Pivote
AGE-112
LGEBRA / UMH
7
16
= 14 y
= 8 entonces el segundo rengln se convierte en rengln pivote y 2
0 .5
2
nuestro nuevo pivote.
Repetimos el pivoteo as:
=8y
= 3 y su funcin objetivo es
AGE-112
LGEBRA / UMH
EJERCICIOS 3.3
Utilice mtodo Simplex
99.- Maximice Z = x + 3y + 2z sujeta a x 0, y 0 y z 0,
2x + y + z 5 , x + 2y + z 4
100.- Maximice Z = x + y + z sujeta a x 0, y 0 y z 0,
4x +2y + z 11 , 2x + 2y + 3z 15, x + 2y + 2z 11
AGE-112
LGEBRA / UMH
A : 2 X 2 ; B : 2 X 3 ; C : 3 X 1 ; D : 3 X 3 ; E :2 X 3 ; F : 2 X 2 ;
G:1X3;H=1X1
2.
3.
3 9
2 4 6
4.
6 0 4
2
0 5
5.
0 6 1
2 3 1
6.
3 3 1
4 13
7.
1 6
4 7
8.
9.
10.
18 21
2 1
13
12
12
5 10 21
6 5 22
35
16
17
11. x = 1, y = 4
12. x = 4, y = 1, z = -1, t = 1
13. x = 1, y = 2, z = 8, t = 4
14. x = 2, y = 2, z = 3, t = 1, u = 4, v = 3, w = 0
AGE-112
LGEBRA / UMH
15. x = 0, y = 1, z = 2, t = 1, u = 2, v
20+22+18 35+36+32 25+24+26
8+9+11
10+9+8
6+8+5
0 33 39
17. (a)
(b)
A+B=
35
38
45
30
33
39
35
38
45
30
5(A + B) = 5
(1.5)
88.75
45
14
88.5
20
69
16
26 25
62.5
77.5
= 3, w = 0.16.
60 103
=
28 27
175
= 225
+ (1.25)
A+B + C =
75
19
165 195
0
190
150
0
35
30
26
52
25
18
23
24
32
19. 3 x3
20. 4 x 4
21. 2 x 4
22. 3 x 5
23. 2 x 5
24. CBA es no definida por el numero de columnas (3) en BA .
25. [ 23 ]
26. [ 3 4 ]
27.
18
28
28.
2
6
10
AGE-112
29.
30.
31.
LGEBRA / UMH
4
2
5
2
2
11
6
32
2.
5 7 8 21
14 9 16 41
1
3
2
33.
4 5 6
0
25 14
58 32
A2 5 A + 2I = 0
0
1 0 0
2 0 1 0
0 0 1
1 0 0
= 0 4 5
0 0 9
10
15
34.
2
35.
1
3 x 7
4 y 5
3
36.
4
2 x 4
5 y 7
1 3
=
1 6
17 3
38 2
1
=
1
AGE-112
37.
38.
39.
LGEBRA / UMH
y
4
= 13
z
2
5
x
0
3
4 y = 7
5 z 9
y 0
= 5
z
u 12
x1
40.
x
5
x
-2
x
0
5
= 7
0
650
41. [ 5
42.
B=
550
= 12,650.
10 ]
500
300
20
15
30
10
20
10
12
AB=
233
200
498
242
201
490
248
201
510
43. x = 3, y = 1
44. u = 4, v = 1
AGE-112
LGEBRA / UMH
45. x 1 = 1, x 2 = 2, x3 = 1
46. u = 2, v = 1, w = 3
47. x = 1, y = 3, z = 3, t = 2
48. x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1, x 4 = 2
49. x = 4, p = 17
50. si x son unidades de A, y unidades de B y Z unidades de C producidas.
entonces 3x + y + 2z = 850, x + 2y + 4z = 1200, 2x + y + z = 550.
La solucin es: x = 100, y = 150 y z = 200.
51. Si x ,y , z son unidades de tipo 1,2 y 3 a descargar.
Entonces el total de espacio ocupara: 5x + 2y + 4z = 1050;
total de carga: 2x + 3y + z = 550
total de transporte: 10x + 40y + 60z = 13,500.
Solucin ser: x = 50, y = 100 y z = 150.
52. Si x ,y ,z son horas- hombre para los tres proyectos.
Entonces la solucin ser:
x + y + z = 5000, 8x + 10y + 12z = 53,000 y z = x + y .
donde: x = 1000, y = 1500 y z = 2500.
AGE-112
LGEBRA / UMH
53.
54.
55.
No inversa
56
. (1/11) 2
2
4
1
57
. (1/13)1
1
2
4
58.
59.
2x 3y = 1 y 3x + 4y = 10
x 2
y 3
O sea
60.
2
da :
3
1 4/17
10 3/17
3 x 1
. Esto implica
4 y 10
3/17 1 34/17 2
2/17 10 17/17 1
x = 2, y = 1.
2x y +3z = 3 ; x + y + z = 2 y 3x + 2y z = 8
1
3
1
1
2
da :
3 x 3
1 y 2 . Esto implica
1 z 8
AGE-112
x
y
LGEBRA / UMH
2
1
1
2
3
3
2 (1/13) 4
8
1
5
11
7
4 3 1
1 2 2 .
3 8 1
, x = 1, y = 2, z = 1.
61.
2u + 3v 4w = 10 ; 2u + 0v + w = 1 y u + 2v + 0w = 1
2
1
u
v
3
0
2
2
2
4 u 10
1 v 1 . Esto implica
0 w 1
1
3
4 10
2 8
0
1 1 (1/15) 1
4
2
0 1
1
4
da :
3 10 1
6 1 0.
6 1 3
, u = 1 , v = 0 , w= 3.
62.
1 3
A = 2 4 , B =
1 da
3
2
2
1 1
2 and B1 =
A1 =
1 3 2
AB = 2 4 3
1
B1A1
1 =
7 2
8 2
3
2
1
2
1 1 4
1 1
3 2
gives
4
(AB)1 =
1
7
2
7
2
= (AB)1
AGE-112
63.
LGEBRA / UMH
(a)
20
100
50
A 100
56
80 0.2
8 0.5
80
(b)
0.8 0.7
0. 9 da (I A) 1 =
I A = 0.5
0.7
0.1
1 90
37 50
70
80
90 70 74 250
X =(I A)1 D 1
37 50 80 37 180
250 unidades de la industria I y 180 unidades de la industria II.
(c)
64.
La matriz a introducir es :
0
20/100
A
80/200
0
40/200 1/5 0
100/ 200 2/ 5 1/5
40/ 200 0 2/ 5
1/5
1/ 2
1/5
Queremos invertir (I A ).
0
4/ 5
2/5 4/ 5
( I A | I) 0 2/5
1/5
1/ 2
4/ 5
1 0
0 1 0
0 0 1
1
2 3/2
0 1 0
1/ 2
1
2
0 0 1
La nueva matriz de salida X es :
AGE-112
LGEBRA / UMH
2 3/2 50 350
1
1
2 120 325
X =(I A)1 D = 1/2
65.
67.
69.
71.
72.
25
38
21
x=3
66. 34
68. 32
70. 4
7, 1 7, 2 7
gives
1, y 2 1
73. x = 6, y = 10
74. x = 1, y = 1, z = 1
76. x = 1, y = 1, z = 2
75. x = 2, y = 1, z = 1
AGE-112
LGEBRA / UMH
77.
78.
y
79.
( 0,2)
1
( 2,0)
( 3,0)
x
80.
( 0,4)
81.
y
82.
y
( 0,6)
( 3/2,0)
( 2,0)
( 0,4/3)
x
85.
15
12
5
12
10
86.
2
x
1
AGE-112
87.
LGEBRA / UMH
0 x 70, 0 y 90,
40 x + y 100
x
100
y
100
90
70
70 x
y
120
90 y
P2
40
x
90
40
70
100
88.
89.
Los vrtices de la regin factible son (0, 0), (5, 0) y (0, 5).
Zmax. = 15 en (5, 0).
90.
91.
92.
93.
94.
Los vrtices de la regin factible son (0, 0), (3/2, 0) y (0, 3).
Zmax. = 12 at (0, 3).
Los vertices son (0, 0), (2, 0), (1, 2) y (0, 5/2). Zmax. = 7 en (1, 2).
Los vertices son (0, 0), (17/6, 0), 0, 17/9) y (2, 1). Zmax. = 6 en (2, 1).
Los vertices son (6, 0), ( 3,1) and (0, 7). Zmin. = 4 en (3, 1).
Los vertices son (8, 0), ( 4,1) and (0, 5). Zmin. = 6 en (4, 1).
95.
96.
97.
AGE-112
LGEBRA / UMH
B.
99.
100.