Conic As
Conic As
Conic As
También
se les llama Secciones Cónicas, porque son el
resultado de intersectar con un plano un cono de
revolución.
Elementos principales
Focos : son los puntos de contacto de la sección con las Circunferencia focal : de radio igual al eje mayor, y
esferas tangentes al plano que la produce e inscritas en centro en uno de los focos. En la Parábola el elemento
el cono. Correspondiente es la recta Directriz.
Diámetros : rectas que pasan por el centro geométrico. Circunferencia principal (o circunscrita): tiene como
Dos diámetros son conjugados cuando cada uno pasa diámetro el eje mayor. Una recta tangente a una elipse
por la polar del outro. se corta en ella con las perpendiculares que se tracen
Ejes : mayor (o focal) y menor. Son los únicos diá- desde los focos.
metros conjugados perpendiculares. Radios vectores : segmentos que unen un punto de la
Vértice : cualquier punto del eje mayor sobre la curva. curva con los dos focos.
Teorema de Apolonio : La suma de los cuadrados de dos diámetros conjugados en una elipse (la diferencia,
en el caso de la hipérbola) es constante e igual, por tanto, a la suma de los cuadrados de los ejes.
circunferencias focales
D
Eje menor eje mayor
1 2 3 4
A B
F1 F2
Construcción dados los focos y el eje mayor:
F1 F2
En el primer caso se utiliza el teorema de Thales para A B
relacionar las dos medidas diametrales, y trasvasar las Trazado de envolventes
semicuerdas perpendiculares de la circunferencia
correspondiente al eje menor, al eje mayor.
En el tercer método se traza un rectángulo que tiene los
En la figura central se colocan las circunferencias de los ejes como medianas. Se divide desde el punto medio
diámetros mayor y menor concéntricas, que son afines uno de los ejes en el mismo número de partes iguales
a la elipse. Se localizan puntos de la curva trazando que el lado paralelo al otro. Los extremos de este último,
primero varios radios comunes. alineados con las divisiones, darán los puntos buscados.
C C
0
C 1
4
B
A B A B A
4 3 2 1 0
Proporcionalidad entre
los ejes mayor y menor Afinidad Cruce de proyecciones
C'
C
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 P
5
d
4
d
3
V F 2
1 V e
F
e
V
-1
-2
-3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
P
A B 1 2 3 A B
F1 F2 F1 F2 A B
F1 F2
-1
-2
-3
-4
-5
Propiedades de las curvas cónicas : En la hipérbola, los reflejos formarán un haz divergente
Cualquier recta trazada desde un foco a una elipse será polarizado por el foco contrario.
reflejada en dirección al otro foco. Las estructuras convexas basadas en curvas cónicas
En la parábola todos los reflejos serán paralelos al eje. presentan una muy buena resistencia a las presiones
Así, las antenas parabólicas permiten la emisión o exteriores, siendo utilizadas, entre otras cosas, en la
recepción unidireccional de las ondas. construcción de arcos y puentes.
tx a
F e
F2 F1 F2
F1
TANGENTES Y NORMALES
nr nr d
P
a
P a
a F
tx a
F1 F2
F1 F2 nr
a
a
tx P
tx
Tangente y normal en un punto P de la curva: son las la Hipérbola es inversa que en la Elipse. En la Parábola
bisectrices de los ángulos producidos por las rectas que se considera el segundo foco en el infinito.
pasan por P y por cada uno de los focos. Su posición en
d tx 1
1 E T1
1
tx 1 2
cf T1
F1 F2
E E
T2 F
F1 F2 1
2 2
T2
T2 T1
tx 2
tx 2
tx 1
tx 2
Tangentes desde un punto exterior a la curva: Trácese son las mediatrices de los segmentos definidos por cada
una circunferencia con centro en E que pase por uno de intersección entre los dos arcos y el primer foco. Los
los focos, y a circunferencia focal con centro en el otro puntos de tangencia están alineados con los de
(recta Directriz, en la Parábola). Las rectas tangentes intersección y el centro de la circunferencia focal.
1
dr
d
tx 1 tx
tx 1
T1
T
1
dr 2
F1 F2
T1
1
cf F1 F2
F e
tx 2
T2 T2
dr
tx 2
Tangentes paralelas a una dirección dada: Trácese por tangentes (una en el caso de la Parábola) y los puntos de
un foco una perpendicular a la dirección dada, y la tangencia quedan definidos de la misma manera que en
circunferencia focal con centro en el otro foco. Las el caso anterior.
INTERSECCIÓN CON RECTA
1
1
P
I1
I1
F’1
F’1
A F1 F2 B
A F1 F2 B
C M
Cr M
cf
cf I2
I2
2
r
2
r
Se conocen el eje AB y los focos F1 y F2 de la elipse, así traza una tercera circunferencia que corta a la focal en
como la recta secante r. Mediante una perpendicular, se los puntos 1 y 2. Uniendo cada uno de ellos con F2, se
localiza el simétrico del foco F1 respecto de la recta: F’1, obtienen en r las intersecciones I1 e I2.
Se traza una circunferencia que pase por los dos puntos Un método algo más breve consiste en escoger
simétricos con centro en cualquier punto P de r, con tal cualquier punto C en la recta F1 F’1 y trazar la
que corte a la focal de F2. Se traza el eje radical de circunferencia de diámetro F2 C. Las mediatrices de los
ambas pasando por los puntos de corte, y se localiza en segmentos F’1 1 y F’1 2 dan en la recta r los puntos de
centro radical donde corte a la prolongación de F1 F’1. intersección.
Se une el centro Cr con F2 y desde el punt o medio M se
Cr d r
r T
er
I1
F’1 1
M
I1
P A
F’
1
2
C e
F
F1 A B F2
P
I2
B
I2
2
Se conocen el eje AB y los focos F1 y F2 de la Se conocen el eje e de una parábola, el foco F y la recta
hipérbola, así como la recta secante r. Mediante una directriz d, así como la recta secante r. Mediante una
perpendicular, se localiza el simétrico del foco F1 perpendicular, se localiza F’, simétrico de F respecto de
respecto de la recta: F’1, Se traza una circunferencia que r, y se prolonga hasta cortar la directriz en P. Se traza una
pase por los dos puntos simétricos con centro en circunferencia con centro en C que tiene como diámetro
cualquier punto P de r, con tal que corte a la focal de F2. P’, así como la cuerda perpendicular A B que pasa por F.
Se traza el eje radical de ambas pasando por los puntos Con centro en P se traza otra circunferencia que pase
de corte, y se localiza en centro radical donde corte a la también por A y B, que corta a la directriz en los puntos
prolongación de F1 F’1. Se une el centro Cr con F2 y 1 y 2. Trazando por ellos paralelas al ej e tendremos en r
desde el p unto medio M se traza una tercera los puntos de intersección.
circunferencia que corta a la focal en los puntos 1 y 2.
Uniendo cada uno de ellos con F2, se obtienen en r las
intersecciones I1 e I2.