Secciones Conicas

SECCIONES CONICAS
PERTENECE A:
ANLLELO STIVEN GONGORA RODRIGUEZ
10°1
DOCENTE
FREDDY ALZATE
I.E.L.C.G.S
CAREPA ANT
AÑO:
2020
HIPERBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia
de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es
constante.
El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la
hipérbola (2a).
La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección

del cono con un plano que no pase por su vértice y que forme un ángulo con el
eje del cono menor que el ángulo que forma con el eje generatriz g del cono.
ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA
Sus elementos son:
 Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
 Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a
cualquiera de los focos.
 Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se
llama eje transverso.
 Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
 Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede
definir como la intersección del eje focal y el transverso.
 Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la
hipérbola (V1 y V2).
 Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota

como F1F2.
 Eje real: es la distancia 2a entre vértices.
 Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1
y B2 se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.
Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal
 Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la
hipérbola en el infinito.
 Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres
regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin
ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se
llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
 Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la

misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del
punto Pi.
 Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el

lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.
 Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso
(D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad por la
Hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal
con las asíntotas (A1 y A2).
ECUACIONES
La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O= (o1, o2)
como:
Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación canónica es:
La ecuación general de la hipérbola:

Siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe
cumplir que los coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente
signo
APLICACIONES
- En arquitectura la forma de hipérbola es utilizada en el diseño de edificios.
- Los satélites
- El radio
- Telescopios
- Microscopios
- El sistema de navegación LORAN
- El reloj de arena
- Reactor nuclear
- Orbita de cometas no periódicos
- Torre de cables eléctricos
ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las
distancias a los dos focos (puntos interiores fijos (F1 y F2) es constante. Es
decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es
constante.
También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la

intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
Los elementos de la elipse son:
 Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de
las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y
d2) es constante.
 Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2=2c. c
es la semidistancia focal.
 Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
 Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es
mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor.
La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es
constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
 Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes
son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que:
Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.

 Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse
(P= (y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF1 y
PF2 (en el dibujo, d1 y d2).
 Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la
recta que pasa por los focos, F1F2, y su perpendicular que pasa por el
centro. Es decir, son los y L puntos I, J, K
ECUACIONES
Los puntos pertenecientes a la elipse (x y) son los puntos del plano que
cumplen que la suma de su distancia a los dos focos es constante. La ecuación
de la elipse es la siguiente:
En el caso de que la elipse esté centrada (el centro es el punto (0,0)), la

ecuación canónica es:
La ecuación general de la elipse es:
Donde y tienen el mismo signo.
APLICACIONES
- Edificaciones con plantas elípticas
- Engranajes
- Rueda excéntrica y biela
- Algunas máquinas de gimnasia
Motores de combustión interna
- Para la generación de piscinas, tanques de agua, y recipientes para

almacenar sustancias.
- En las matrices y moldes para dar forma.
PARABOLA
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada
directriz.
La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto

con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una
generatriz g de la superficie cónica.
El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en

el sentido de que “parecerá” más o menos abierta según sea la distancia entre F
y la directriz). Todas las parábolas son semejantes. Su excentricidad es 1
En todos los casos, solamente varía la escala
ELEMENTOS DE LA PARABOLA
Los elementos de la parábola son:
 Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola

equidistan del foco y la directriz.
 Directriz: es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan
de la directriz y el foco.
 Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de
los puntos de la parábola. Es igual al segmento perpendicular a la
directriz desde el punto correspondiente.
 Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el
foco y el vértice. Es el eje de simetría de la parábola.
 Parámetro: es el vector p, que va desde el foco al punto más próximo

de la directriz.
Es importante el signo del parámetro. En las parábolas verticales,
cuando el parámetro es positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando
p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las
parábolas horizontales, cuando p es positivo, se abre hacia la derecha y
cuando p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.
 Vértice: es el punto V de la intersección del eje y la parábola.
 Distancia focal: distancia entre el foco F y el vértice V. Es igual a p/2.
 Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos
regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman
puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).
 Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la parábola.
 Cuerda focal: una cuerda que pasa por el foco F.
 Lado recto: Cuerda focal paralela a la directriz D y, por tanto,
perpendicular al eje E. Su longitud es dos veces el parámetro (2p, pues
se ven en la figura dos cuadrados unidos iguales de lado p).
ECUACIONES
Ecuación canónica de la parábola

Consideremos una parábola cuyo eje es el eje de ordenadas, su
vértice es el centro de coordenadas V (0, 0) y que está en la parte
positiva de las x. En este caso, el foco estará necesariamente en F
(p/2,0). La ecuación de la recta directriz D será x = –p/2.
Los radios vectores FP y PM, correspondientes a cualquier punto P de
la parábola (que, por definición, son iguales) tendrán la longitud:

Operando y simplificando, obtenemos la ecuación canónica o reducida
de la parábola referida a esta configuración:
La ecuación general de la parábola es:
donde y para las parábolas

horizontales y con para las parábolas
verticales
APLICACIONES
Antenas parabólicas
Cocinas solares
Faros de vehículos y micrófonos parabólicos
Puentes colgantes
En todo deporte en el que se haga un lanzamiento, o al lanzar un objeto
Trayectoria de cuerpos celeste
Reflector parabólico
Haz luminoso
Fuentes de agua
Arco parabólico
Cubiertas de bóvedas parabólicas

Secciones Conicas

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Secciones Conicas

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Secciones Conicas

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

SECCIONES CONICAS

ANLLELO STIVEN GONGORA RODRIGUEZ

La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección

 Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota

 Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la

 Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el

Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación canónica es:

La ecuación general de la hipérbola:

También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la

Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.

En el caso de que la elipse esté centrada (el centro es el punto (0,0)), la

La ecuación general de la elipse es:

Donde y tienen el mismo signo.

- Edificaciones con plantas elípticas

- Para la generación de piscinas, tanques de agua, y recipientes para

- En las matrices y moldes para dar forma.

La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto

El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en

Los elementos de la parábola son:

 Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola

 Parámetro: es el vector p, que va desde el foco al punto más próximo

Ecuación canónica de la parábola

la parábola (que, por definición, son iguales) tendrán la longitud:

La ecuación general de la parábola es:

donde y para las parábolas

También podría gustarte