Tarea6 U4 - Ensayo Eigenvalores y Eigenvectores
Tarea6 U4 - Ensayo Eigenvalores y Eigenvectores
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INGENIERA MECNICA
Grupo: 5V
DESARROLLO
que T es
es
el
vector
una transformacin
obtenido
lineal (lo
al
que
aplicar
la
significa
que
para todos los escalares a, b, y los
vectores v, w).
Considrese
unabase en
ese
espacio
vectorial.
Entonces, T y v pueden representarse en relacin a esa base mediante
una matriz AT y un vector columna vun vector vertical unidimensional. La
ecuacin de valor propio en esta representacin matricial se representa de la
siguiente forma:
, donde la yuxtaposicin es un producto de matrices.
Si A es
una
matriz nn,
mximo n valores propios.
entonces
tiene
grado n y A tiene
como
Propiedades
Multiplicidad algebraica
La multiplicidad algebraica de un valor propio de A es el orden de como cero
del polinomio caracterstico de A; en otras palabras, si es una de las races del
polinomio, es el nmero de factores (t ) en el polinomio caracterstico tras
la factorizacin. Una matriz nn tiene n valores propios, contados de acuerdo con
su multiplicidad algebraica, ya que su polinomio caracterstico tiene grado n.
Un valor propio de multiplicidad algebraica 1 recibe el nombre de "valor propio
simple".
La multiplicidad algebraica tambin puede entenderse como una dimensin: es la
dimensin del espacio propio generalizado (1.er sentido) asociado, que es el
ncleo de la matriz (I - A)k para k suficientemente grande. Es decir, es el espacio
de los vectores propios generalizados (1.er sentido), donde un vector propio
generalizado es cualquier vector que toma valor 0 s I - A se aplica suficientes
veces en sucesin. Cualquier vector propio es un vector propio generalizado, as
que cualquier espacio propio est contenido en el espacio propio generalizado
asociado.
Esto proporciona una demostracin simple de que la multiplicidad geomtrica es
siempre menor o igual a la algebraica. El primer sentido no debe de confundirse
con el problema de valores propios generalizados tal y como se muestra ms
adelante.
Por ejemplo:
El espectro es invariante bajo transformaciones semejantes: las matrices A y PAP tienen los mismos valores propios para cualquier matriz A y cualquier matriz
invertible P. El espectro es tambin invariante a la trasposicin de las
matrices: A y A T tienen los mismos valores propios.
Dado que una transformacin lineal en espacios de dimensiones finitas
es biyectiva si y slo si es inyectiva, una matriz es invertible si y slo si cero no es
un valor propio de la matriz.
Otras consecuencias de la descomposicin de Jordan son:
Todos los valores propios de una matriz hermtica (A = A*) son reales.
Adems, todos los valores propios de una matriz definida positiva son
positivos;
Todos los valores propios de una matriz antihermtica (A = A*) son
imaginarios puros;
Todos los valores propios de una matriz unitaria (A-1 = A*) tienen valor
absoluto uno;
Si A es
una
matriz mn con m n,
y B es
una
matriz nm,
entonces BA tiene los mismos valores propios de AB ms n m valores
propios nulos.
A cada matriz se le puede asociar una norma vectorial, que depende de la norma
de su dominio, el operador norma de una matriz cuadrada es una cota superior del
mdulo de sus valores propios, y por tanto de su radio espectral. Esta norma est
directamente relacionada con el mtodo de las potencias para calcular el valor
propio de mayor mdulo. Para matrices normales, el operador norma (la norma
eucldea) es el mayor mdulo entre de sus valores propios.
CONCLUSIN
Gracias al desarrollo del ensayo tenemos una idea clara de temas antes
desconocidos como son los eigenvalores y eigenvectores y sus distintas
aplicaciones.
Varios de los conceptos aprendidos los pudimos llevar a las aplicaciones como el
crecimiento de una poblacin donde podemos ver cmo va a variar el crecimiento
de una poblacin a lo largo de los aos y formas cuadrticas en la cual podemos
resolver mucho ms fcil y rpidamente las ecuaciones cannicas.
Deberamos tener presente el cuidado que debemos tener a la hora de resolver
los distintos ejercicios ya que es fcil caer en los errores algebraicos sobre todo si
estamos trabajando con nmeros complejos. Adems hay que tener presente
la teora ya que sin esta no podremos trabajar en los distintos ejercicios prcticos.
BIBLIOGRAFA
http://www.ingenierias.ugto.mx/profesores/chema/documentos/An
%C3%A1lisis%20Num
%C3%A9rico/DeterminacionEigenvaloresEigenvectores.pdf
http://www.gridmorelos.uaem.mx/~mcruz//cursos/mn/eigen.pdf
http://galia.fc.uaslp.mx/~rmariela/algebra/L5.pdf
http://www.atmosfera.unam.mx/jzavala/AnalisisDatos/Eigenvalores.pdf