PROPOSICIONES DE EUCLIDES

Proposicin I.1 Construir un tringulo equiltero sobre una recta finita dada.
Hiptesis: Sea AB el segmento de recta dado.
Tesis: Construir sobre el segmento AB un tringulo equiltero ABC.
Demostracin:
Por el Postulado 3 construimos la circunferencia BCD con centro en A y radio AB.
Por el Postulado 3 construimos la circunferencia ACE con centro

en B

y radio BA.
Por el Postulado 1 podemos trazar el segmento AC desde el
punto de interseccin de las dos circunferencias.}
De igual modo, por el Postulado 1 trazamos el segmento BC.
Por la definicin 15, podemos afirmar que AC=AB por la nocin comn 1, podemos afirmar que AC=BC
Por lo tanto, AB=BC=AC.
Finalmente, por la definicin 20 el tringulo ABC es un tringulo equiltero.
As, sobre un segmento de recta dado se ha construido un tringulo equiltero.

Proposicin I.2 Colocar una lnea recta igual a otra recta dada con un extremo en un punto
dado.
Hiptesis: Sean A un punto, y BC un segmento.
Tesis: A partir del punto A, construir el segmento AL, tal que AL=BC
Demostracin.
Por el Postulado 1, construimos el segmento AB.
Por la Proposicin I.1, podemos construir el tringulo equiltero ADB, sobre el segmento AB.
Por el Postulado 2, sea AE la prolongacin del segmento DA,
Nuevamente, por el Postulado 2, sea BF la prolongacin del segmento DB.

Por el Postulado 3, construimos un crculo CGH, con centro

en B y radio BC.
El punto G es la interseccin del CGH con el segmento BF.
Y puesto que B es el centro del CGH, por la Definicin I.15,
tenemos que BC=BG.
Por el Postulado 1, construimos el segmento DG.
Por el Postulado 3, construimos el GKL con centro en D y
radio DG.
El punto L es la interseccin de GKL con AE.
Como el punto D el es centro del GKL, por la Definicin I.15, tenemos que DL = DG.
Pero,

DL=DA + AL Y DG=DB +BG

Y sabemos que DA = DB, pues el tringulo ADB es equiltero.

Entonces por la Nocin comn 3, tenemos que AL=BG
Luego, por la Nocin comn 1, tenemos que AL=BC
Por lo tanto, el segmento de recta AL es igual al segmento de recta BC y el punto A es uno de los
extremos de AL.

Proposicin I.3 Dadas dos rectas desiguales tomar de la mayor una recta igual a la menor.
Hiptesis: AB y C son segmentos, y

AB > C.

Tesis: Construir sobre AB un segmento AF, tal que AF = C.

Demostracin:
Por la Proposicin I.2, podemos trazar un segmento AE, a partir del punto A tal que AE = C.

Por el Postulado 3, construimos el crculo DEF con

centro en A y radio AE.
El punto F es la interseccin del DEF con el segmento
AB.
Como el punto A es el centro del crculo DEF, por la
Definicin I.15, tenemos que AF = AE.
Pero tambin, AE = C. En consecuencia, concluimos que AF = AE = C.
Por lo tanto, por la Nocin comn 1, AF = C.
Por lo tanto, dados dos segmentos, uno mayor que el otro, construimos sobre el mayor un segmento
igual al menor.

Proposicin I.4 Si dos tringulos tienen dos lados iguales a dos lados respectivamente, y
tienen iguales los ngulos contenidos por los lados iguales, entonces tambin tienen la base
igual a la base, el tringulo igual al tringulo, y los ngulos restantes iguales a los ngulos
restantes respectivamente, a saber aquellos opuestos a los lados iguales.(LAL).
Hiptesis: Los tringulos
Tesis: Demostrar que:

( ABC ) y ()

BC = EF,

son tales que, AB =DE, AC = DF y

( ABC )=() , y ( BAC )=()

( BAC )=( EDF )

( ACB )= (DFE) .

Demostracin.

Demostraremos que los tringulos

( ABC ) y () son iguales, usando el mtodo de superposicin.

Si el tringulo

( ABC ) es superpuesto sobre el tringulo

() , de tal manera que, el punto A es

colocado sobre el punto D y el lado AB sobre DE, como AB = DE, entonces el punto B debe coincidir
con el punto E.
Como AB coincide con DE y como

( BAC )=(EDF ) , el lado AC debe coincidir con DF, puesto

que AC = DF, entonces el punto C coincide con el punto F y por lo tanto, el punto B coincide con el
punto E.
Pero, B coincide con E, en consecuencia el lado BC coincide con el lado EF y por lo tanto, BC = EF.
Por lo tanto, todo el tringulo ABC coincide con todo el tringulo DEF. Y en base a la Nocin comn 4,

tenemos

( ABC )=() .

Y los ngulos restantes del tringulo ABC coinciden con los ngulos restantes del tringulo DEF, a

saber,

( BAC )=()

( ACB )= ( DFE) .

Esto es, los ngulos opuestos a los lados iguales tambin son iguales.
Por lo tanto, si dos lados de un tringulo y el ngulo comprendido son respectivamente iguales a dos
lados y el ngulo comprendido de otro tringulo, entonces los dos tringulos son iguales. (L - A - L).

Proposicin I.5 En tringulos issceles los ngulos de la base son iguales entre s, y, si las
rectas iguales se prolongan, los ngulos debajo de la base sern iguales entre s.
Hiptesis: ABC es un tringulo issceles, donde AB = BC.
Tesis: Demostrar que

( ABC )= ( ACB ) y que ( DBC )=(BCE) .

Demostracin.
Por el Postulado 2, sean BD y CE las prolongaciones de los lados AB y AC, respectivamente. Sea F un
punto arbitrario sobre BD.
Por la Proposicin I.3, podemos trazar sobre AE un segmento AG tal que AG = AF.

Construimos, por el Postulado 1, el segmento FC. Formamos el tringulo

( AFC ) .

Construimos, por el Postulado 1, el segmento GB. Formamos el tringulo

( AGB) .

Segn la Proposicin I.4, como AF = AG y AB = AC

y el ngulo

(FAG)

es comn a ambos tringulos,

entonces
las bases son iguales, FC = GB,
los tringulos son iguales,

( AFC )=( AGB) .

y los ngulos restantes de un tringulo son iguales a los

ngulos restantes del otro.
En particular, los ngulos opuestos a los lados iguales,
son iguales. Por lo tanto,

( ABG ) = ( ACF ) y ( AFC )= ( AGB ) (1)

Por otro lado, tenemos formados otros dos tringulos,

( BFC )=(CGB) , que tienen como base comn el lado BC.

Adems, AF = AB + BF y AG = AC + CG, pero

AF = AG, y por hiptesis AB = AC.

Por lo tanto, BF = CG.

Pero, tambin sabemos que, FC = BG .
Por lo tanto, BF = CG y FC = BG, y

( BFC )= ( CGB ) , y la base BC es comn a ambos

tringulos..

Por lo tanto, nuevamente la Proposicin I.4, los tringulos

( BFC ) y (CGB) , y son iguales, los

ngulos restantes de un tringulo son iguales a los ngulos restantes del otro, a saber aquellos

opuestos a los lados iguales.

Por lo tanto,

( FBG )= ( BCG ) y ( CBG ) = ( BCF ) (2)

Por (1), sabemos que

Pero,

( ABG ) = ( ACF ) .

( ABG ) = ( ABC ) + ( CBG )

Por lo tanto,

( ABC ) + ( CBG )= ( ACB )+ ( BCF ) .

Y por (2), sabemos que

Por lo tanto,

y ( ACF )= ( ACB )+ ( BCF ) .

( CBG )= ( BCF ) .

( ABC )= ( ACB ) , que son los ngulos que estn en la base del tringulo ABC.

Tambin por (2) sabemos que

( FBG )= ( BCG ) , que son los ngulos que estn por debajo de la

base del tringulo ABC.

Esto es, que

( DBC)=( BCE) .

Por lo tanto, en todo tringulo issceles los ngulos en la base son iguales entre s, y si los lados
iguales se prolongan, los ngulos por debajo de la base sern tambin, iguales entre s.

Proposicin I.6 Si en un tringulo dos ngulos son iguales entre s, los lados que subtienden
los ngulos iguales tambin sern iguales entre s.
Hiptesis: El tringulo

( ABC )

es tal que,

( ABC )=( ACB) .

Tesis: Demostrar que el lado AB es igual al lado AC.

Demostracin.
La demostracin la haremos por reduccin al absurdo.
Supongamos que

AB AC ,

entonces uno de ellos

es mayor.
Supongamos que AB >AC.
Segn la Proposicin I.3, podemos trazar sobre AB un
segmento BD, tal que BD = AC.

Por el Postulado 1, construimos CD. Formamos el tringulo

Luego, en los tringulos

( ABC )

( DBC ) .

( DBC ) , tenemos lo siguiente: DB=AC y BC es comn.

Entonces:
los lados DB y BC son iguales a los lados AC y CB, respectivamente,
y

( DBC )= ( ACB ) .

Por lo tanto, aplicando la Proposicin I.4, concluimos que la base DC es igual a la base AB, es

decir, DC = AB, y el tringulo

Por lo tanto, no puede ser que

( DBC ) es igual al tringulo

( ABC ) . lo cual es imposible!

AB AC . Por lo tanto, AB = AC.

Por lo tanto, si dos ngulos de un tringulo son iguales, entonces los lados subtendidos por tales
ngulos, son tambin iguales.

Proposicin I.7 Dadas dos rectas construidas a partir de los extremos de una recta y
encontrndose en un punto, no pueden ser construidas desde los extremos de la misma recta,

y sobre el mismo lado de ella, otras dos rectas juntndose en otro punto e iguales a las dos
primeras respectivamente, a saber cada una igual con aquella que parte del mismo extremo.
Hiptesis: AB un segmento dado, y los segmentos AC y CB levantados del mismo lado de AB a partir
de los extremos de ste. AC y CB se juntan en el punto C.
Tesis: Demostrar que no es posible levantar sobre el segmento AB a partir de los extremos de ste, y
sobre un mismo lado de AB, otros dos segmentos iguales a AC y CB respectivamente, y que se junten
en un punto D distinto de C.
Demostracin.
La demostracin la haremos por Reduccin al absurdo.
Supongamos que podemos levantar sobre AB a partir de sus
extremos y del mismo lado que los primeros, otros dos
segmentos AD y DB tales que AD = AC y DB = CB, pero que se
juntan en un punto D, donde D es distinto de C.
Entonces,
AC =AD y tienen el mismo extremo A.
CB=DB y tienen el mismo extremo B.
Por el Postulado 1, unimos C con D.

En l tringulo

cumple que

Pero,

( ACD) , sabemos que AC =AD, en consecuencia, por la Proposicin I.5, se

( ACD ) =( ADC ) .

( ACD ) = ( ACB ) + (DCB)

Por lo tanto,

( ADC ) > (DCB) .

Por lo tanto,

( ADC ) > (DCB)

(1)

Por otro lado, en el tringulo BCD tenemos que:

Por lo tanto,

( CDB )> ( ADC )

(DCB) = ( ADC )+ ( ADB ) .

(2)

Por (1) y (2) y transitividad, concluimos que

( CDB )> ( DCB ) (3) .

Luego, en el tringulo BCD, sabemos que CB=DB, entonces por la Proposicin I.5, concluimos que

( CDB )= ( DCB ) (4)

Pero, (3) y (4) es imposible!.
Por lo tanto, no es posible levantar sobre AB, otros dos segmentos iguales a los primeros, y que se
junten en un punto distinto al de los primeros.
Por lo tanto, dos segmentos iguales respectivamente a otros dos con los mismos extremos en el
mismo lado de un mismo segmento, no se juntan en dos puntos distintos.

Proposicin I.8 Si dos tringulos tienen los dos lados iguales a dos lados respectivamente, y
tienen tambin la base igual a la base, entonces tambin tendrn los ngulos iguales a aquellos
que estn contenidos por los lados iguales. (LLL).
Hiptesis:

( ABC ) y () son tringulos tales que BA = ED, AC = DF y BC = EF.

Tesis: Demostrar que los tringulos

Demostracin:

( ABC ) y ()

son iguales.

Para demostrar la tesis aplicaremos el mtodo de superposicin.

Si el tringulo

( ABC ) es superpuesto sobre el tringulo

y () , de tal manera que, el punto B

es colocado sobre el punto E y el segmento BC sobre el segmento EF, entonces el punto C coincide
con el punto F, puesto que BC = EF.
Ahora, no puede suceder que los lados BA y AC no coincidan con los lados ED y DF.
Porque si BA y AC no coincidieran con ED y DF respectivamente, seran como dos segmentos EG y

GF tales que
estn construidos sobre el mismo segmento EF,
del mismo lado que los segmentos ED y DF,
y con los mismos extremos de stos,
y EG = ED, GF = DF, pero que se juntan en un punto G distinto del punto D.
Pero, segn la Proposicin I.7, los segmentos EG y GF no pueden ser construidos de la manera que
se indica en el paso
Por lo tanto, no es posible que si la base BC es sobrepuesta a la base EF, los lados BA y AC no
coincidan con los lados ED y DF.

 (BAC )

Por lo tanto estos lados coinciden, as que el ngulo

, y por la nocin comn 4, tenemos que

Por lo tanto, si los tringulos

coincide con el ngulo

(EDF)

(BAC ) = ( EDF) .

( ABC ) y ()

tienen los tres lados de uno respectivamente

iguales a los tres del otro, entonces tambin tienen iguales los ngulos comprendidos por los lados
iguales, y por lo tanto los tringulos son iguales, ( ABC )

() .

Proposicin I.9 Bisecar un ngulo rectilneo dado.

Hiptesis: Sea

(BAC ) el ngulo dado.

Tesis: Demostrar que es posible dividir en dos ngulos iguales el ngulo

(BAC ) .

Demostracin.

Tomemos un punto arbitrario D sobre BA y formamos el segmento AD.

Por la Proposicin I.3, podemos construir el segmento de recta AE sobre AC tal que AE = AD.
Construimos el segmento DE.
Por la Proposicin I.1, podemos construir el tringulo equiltero
Por lo tanto, DE = EF = DE.
Construimos el segmento AF.

( )

sobre DE.

Afirmamos que el ngulo

(BAC ) es bisecado por el segmento AF.

En los tringulos, ( DAF ) y ( FAE) , tenemos que AD = AE, y AF es un lado comn, y la base DF
es igual a la base EF

Por lo tanto, los dos tringulos DAF y FAE son tales que
AD = AE,
AF es lado comn
DF = EF.
Aplicando la Proposicin I.8, concluimos que los tringulos DAF y FAE son iguales,

( DAF )=(FAE) .

Por lo tanto, los ngulos

( DAF) y (FAE) son iguales, esto es ( DAF )=(FAE ) .

Por lo tanto, AF es la bisectriz del ngulo

Y,

(BAC ) .

( BAC )= ( DAF )+ ( FAE ) .

Por lo tanto, el ngulo

(BAC ) es bisecado por el segmento AF.

Proposicin I.10 Bisecar una recta finita dada.

Proposicin I.11 Dada una recta trazar desde un punto en ella una lnea recta que forme ngulos
rectos.