Control Estadistico de La Calidad y Seis Sigma
Control Estadistico de La Calidad y Seis Sigma
Control Estadistico de La Calidad y Seis Sigma
Unidad 1
Evidencia 2
*Nota: Todo trabajo igual o similar a los demás equipos en automático tendrán 0 puntos para todos los integrantes.
Niveles de
Excelente (100) Notable (90) Bueno (80) Suficiente (70) Deficiente (0)
desempeño INDICADOR
10 9 8 7 0
Identificación de
datos, fórmula o Identifica y presenta ordenadamente Identifica y presenta sin orden los Identifica y presenta parcialmente Le cuesta identificar y presentar los No identifica
método los datos de los ejercicios. datos de los ejercicios. los datos de los ejercicios. datos de los ejercicios.
10 8 6 4 0
Procedimiento Resuelve los ejercicios siguiendo un Resuelve los ejercicios con algún No culmina los pasos al resolver los Le cuesta resolver los ejercicios No realiza procedimiento ordenado.
de los ejercicios proceso ordenado y da la respuesta desorden u omisión de algunos ejercicios. siguiendo un proceso ordenado.
correcta. pasos.
10 9 8 7 0
La terminología y notación correctas La terminología y notación correctas La terminología y notación correctas Hay poco uso o mucho uso No utiliza terminología y notación
Terminología y
fueron siempre usadas haciendo fueron, por lo general, usadas fueron usadas, pero algunas veces inapropiado de la terminología y la
notación
fácil de entender lo que fue hecho. haciendo fácil de entender lo que no es fácil entender lo que fue notación.
fue hecho. hecho.
20 19 18 17 0
Solución de los
Todos los ejercicios fueron Todos menos 1 de los ejercicios Todos menos 2 de los ejercicios Todos menos 3 de los ejercicios Más de 4 de los ejercicios no fueron
ejercicios
resueltos. fueron resueltos. fueron resueltos. fueron resueltos. resueltos.
Competencias a evaluar
7 6 5 4 0
Conclusiones
Muestra conclusiones detalladas,
claras y entendibles, sobre el
Muestra conclusiones claras y
entendibles.
Muestra conclusiones breves y
entendibles.
Muestra conclusiones breves y no
son entendibles.
No concluye A
problema.
8 7 6 5 0
_____
No hay errores ortográficos o de Presenta máximo 2 errores Presenta de 3 a 4 errores Presenta de 5 a 6 errores Presenta más de 7 errores
Ortografía y
puntuación ni gramaticales. ortográficos o de puntuación. ortográficos o de puntuación. ortográficos o de puntuación. ortográficos o de puntuación.
puntuación
Presenta máximo 2 errores Presenta máximo 3 a 4 errores Presenta de 5 a 6 errores Presenta más de 7 errores
gramaticales. gramaticales. gramaticales. gramaticales.
10 9 8 7 0
Desarrollo en Las fórmulas y operaciones están Las fórmulas y operaciones están Las fórmulas y operaciones están Las fórmulas y operaciones están Las fórmulas y operaciones están
editor desarrolladas en el editor de desarrolladas en el editor de desarrolladas en el editor de desarrolladas en el editor de desarrolladas en el editor de
ecuaciones 3.0 al 100%. ecuaciones 3.0 al 95%. ecuaciones 3.0 al 90%. ecuaciones 3.0 al 85%. ecuaciones 3.0 al 80%.
10 9 8 7 0
Puntualidad del
El trabajo es entregado a las 19:00 El trabajo es entregado a las 19:01 El trabajo es entregado a las 19:02 El trabajo es entregado a las 19:03 El trabajo es entregado como
trabajo
horas. horas. horas. horas. máximo a las 19:30 horas.
15 14 13 12 0
Todos los integrantes tienen los Todos los integrantes menos uno Todos los integrantes menos dos Todos los integrantes menos tres Más de 4 integrantes no tienen los
Trabajo en
problemas escritos en su libreta, en tienen los problemas escritos en su tienen los problemas escritos en su tienen los problemas escritos en su problemas escritos en su libreta, en
equipo
forma clara, precisa, sin manchas, libreta, en forma clara, precisa, sin libreta, en forma clara, precisa, sin libreta, en forma clara, precisa, sin forma clara, precisa, sin manchas,
borrones, etc. manchas, borrones, etc. manchas, borrones, etc. manchas, borrones, etc. borrones, etc.
100 90 80 70 0
Exposición
Primera oportunidad de exposición Segunda oportunidad de exposición Tercera oportunidad de exposición Cuarta oportunidad de exposición Nadie resuelve el problema frente a B
(un alumno pasa al frente a explicar (un alumno pasa al frente a explicar (un alumno pasa al frente a explicar (un alumno pasa al frente a explicar pizarrón
aleatoria
el problema de acuerdo a criterios el problema de acuerdo a criterios el problema de acuerdo a criterios el problema de acuerdo a criterios __
del docente). del docente). del docente). del docente).
Ejercicio 1
Las medidas de tendencia central son medidas descriptivas de una muestra o población de
datos que nos presenta las características de un proceso, estas son de suma importancia ya que
con esta, se puede llegar a una toma de decisiones y la variabilidad son cambios que modifican
un proceso o un conjuntos de datos, que posteriormente afectan al producto o al análisis de datos
b) Represente de manera gráfica y mediante curvas de distribución, dos procesos con la misma
variabilidad pero diferente tendencia central
Figura 1.1. Grafica de distribución de dos curvas con misma desv.Est. Pero con diferente
media
e) Elabore la gráfica de dos procesos con la misma media pero diferente dispersión.
Figura 1.2. Grafica de distribución de dos curvas con misma media. Pero con diferente Desv.Est.
Ejercicio 2
2. Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su media es =29.9;
entonces, ¿se tiene buena calidad, se cumple con las especificaciones?
Existe una buena calidad ya que como se menciona que la calidad debe de estar en 30 y
esta se encuentra en 29.9, esta se encuentra dentro del rango que se menciona y cerca del valor
estimado por lo que se demuestra que la producción cuenta con una buena calidad, ya que los
datos están en la tolerancia de los rangos especificados.
Ejercicio 3
3. ¿De qué manera afectan los datos raros o atípicos a la media? Explique su respuesta.
Afectan de manera drástica ya que al mostrarse un dato atípico este nos da la desconfianza
de que la medición de una muestra o una población no es certera, por lo cual al tener más de uno
se manda a medición, estos afectan directamente en la media ya que al tener datos atípicos la
media no mostrara un dato claro ya que este puede salir de los parámetros establecidos, por lo
que esta tendría mucha variación en comparación con la mediana y moda por lo cual pierde
representatividad.
Ejercicio 4
4. Un grupo de 30 niños va de paseo en compañía de tres de sus maestras. la edad de los niños
varía entre 4 y 8 años, la mitad tiene 5 años o menos. la edad que se repite más es la de 4. la
edad de las tres maestras es diferente pero es cercana a los 30 años. Con base en lo anterior,
incluyendo a las tres maestras, proponga un valor aproximado para la media, la moda y la
mediana de la edad de los 33 paseantes. Argumente sus propuestas.
n
xi
x i 1
8
n
~
x6
^
x4
Ejercicio 5
5. En una empresa se llevan los registros del número de fallas de equipos por mes; la media es
de 4 y la mediana de 6.
a) Si usted tiene que reportar la tendencia central de fallas, ¿qué número reportaría? ¿Por qué?
El número reportado seria el 6 ya que este al ser el dato medio se sabe que el 50% de fallas es
menor a 6, así como el 50% restante es mayor. Por lo que no es tan recomendable usar el
promedio, porque, si los datos están dispersos, esta no tendría la misma certeza que la mediana.
b) ¿la discrepancia entre la media y la mediana se debió a que durante varios meses ocurrieron
muchas fallas?
Sí, porque como se menciona, en el problema, al tener varios meses con muchas fallas, se
entiende que en otras no, por lo cual, al tener una media, esta no es tan representativa ya que los
datos tienen mucha variación. A diferencia de la mediana que esta muestra un valor medio de la
muestra, por lo cual esta muestra un percentil 50% de lo ocurrido en la empresa.
Ejercicio 6
6. De acuerdo con los registros de una empresa, el ausentismo por semana del personal de
labor directa es de 25 personas en promedio, con una desviación estándar de 5. Con base en
esto, conteste:
a) ¿Entre qué cantidad se espera que usualmente varíe el número de personas que no
acuden a trabajar por semana?
De acuerdo al promedio de 25 y una desviación estándar de 5 se sabe que el ausentismo
en la empresa oscila entre 20 y 30, siendo este, la variación en el número de personas que no
acuden a trabajar por semana.
b) Si en la última semana hubo 34 ausencias, ¿significa que pasó algo fuera de lo normal,
por lo que se debe investigar qué sucedió y tomar alguna medida urgente para
minimizar el problema?
Al tener 34 ausencias, se encuentra fuera del rango establecido de entre 20-40 ausencias,
por lo cual, se entiende que hubo una anormalidad, al ser este dato un dato atípico, afecta
considerablemente el valor de la media ya que si se utiliza en ajustes posteriores, esta media
perdería veracidad y representatividad, por lo cual, si es recomendable tomar cartas sobre el
asunto para así aminorar el problema.
Ejercicio 7
7. En una empresa se lleva un registro semanal del número de empleados que acuden a la
enfermería de la empresa a recibir atención médica. De acuerdo con los datos de los primeros
seis meses del año se tiene que el número promedio por semana es de 16, y la desviación
estándar es de 3.S. Con base en esto conteste los siguientes dos incisos:
a) ¿Entre qué cantidades se espera que varíen usualmente el número de empleados que acuden a
la enfermería por semana?
datos formula
X 16 X KS , X KS
S 3 .5 K 1, 2, 3
Solución:
b) en esa semana no pasó nada fuera de lo usual porque el dato 25 (personas que acudieron a la
enfermería) está dentro del rango establecido que es de 5.5 a 26.6.
Ejercicio 8
8. De acuerdo con cierta norma, a una bomba de gasolina en cada 20 L se le permite una
discrepancia de 0.2 L. En una gasolinera se hacen revisiones periódicas para evitar infracciones
y ver si se cumplen las especificaciones (El = 19.8, ES= 20.2}. De acuerdo con los resultados de
15 inspecciones para una bomba en particular, la media y la desviación estándar de los 1 S
datos son 19.9 y 0. 1, respectivamente. De acuerdo con esto, ¿se puede garantizar que la bomba
cumple con la norma? Argumente su respuesta.
La bomba no cumple con las especificaciones que marca la norma, por lo tanto el proceso
es inadecuado. Los límites que se representan en la gráfica anterior nos muestran que el proceso
es inadecuado por la izquierda.
Ejercicio 9
196.6 198.4 198.7 199 199.3 199.7 200.3 200.6 201 201.2 201.5
En cuanto a la regla empírica se afirma que en muchos de los datos que surgen en la práctica se
ha observado por la experiencia que:
• Entre X 2S y X 2S está 95 %.
Todos los intervalos anteriores son válidos sólo para los datos muéstrales y no necesaria mente
para toda la población o proceso.
Ejercicio 10
10. Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de hule,
cuya longitud ideal es de 200 mm, con una tolerancia de 3 mm. Al final del turno un
inspector toma muestras e inspecciona que la longitud cumpla especificaciones. A continuación
se muestran las últimas 110 mediciones para ambas máquinas.
197.8 198.5 198.7 199 199.4 199.8 200.4 200.7 201 201.3 201.5
197.9 198.5 198.8 199 199.5 199.9 200.5 200.7 201 201.3 201.6
198.1 198.5 198.8 199 199.6 200 200.5 200.7 201 201.4 201.7
198.2 198.5 198.8 199.1 199.6 200.1 200.5 200.7 201 201.4 201.7
198.2 198.6 198.9 199.1 199.6 200.1 200.5 200.7 201.1 201.4 201.8
198.3 198.6 198.9 199.2 199.7 200.2 200.5 200.8 201.2 201.4 201.8
198.3 198.7 198.9 199.2 199.7 200.3 200.5 200.8 201.2 201.4 202
198.4 198.7 199 199.2 199.7 200.3 200.6 200.9 201.2 201.4 202
198.4 198.7 199 199.2 199.7 200.3 200.6 200.9 201.2 201.5 202.1
a) Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la tendencia central
del proceso es adecuada.
b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales. A partir de éstos
decida si la variabilidad de los datos es aceptable.
x1 x2 .... xn
xi
x i 1
n n
196.6 198.4 ... 198.7
a) Promedio x
110
x 199.97
Mediana: x 200.1
Moda: x 199
Al realizar el análisis de los datos y calculas su promedio, mediana y moda nos pudimos
dar cuenta de que estos datos están muy cercanos a la longitud ideal de las tiras de hule, la cual es
de 200 mm. El promedio esta solo 0.03 mm por debajo de la medida ideal, lo cual representa que
la variación no es muy notable. De igual modo la mediana tiene un valor de 200.1 demuestra que
la distribución esta 50% de cada lado de este valor y el valor más frecuente es representado por la
moda la vual tiene un valor de 199 mm
Formula
( x1 x) 2 ( x2 x) 2 ... ( xn x) 2
S
n 1
b) Desviación estándar:
(196.6 199.7) 2 (197.8 199.7) 2 ... (202.1 199.97) 2
S
109
S 1.20
S 1.20
Coeficiente de variación: CV (100) (100) 0.60
x 199.97
Formula
Limites reales:
x 3S
LS x 3S
Límite Real superior: 199.97 3(1.20)
203.57
LI x 3S
Límite Real Inferior: 199.97 3(1.20)
196.37
Al obtener una medida de variabilidad de 0.60% se puede determinar que los cortes realizados
por la maquina no mantienen mucha variación entre uno y otro.
Pero al analizar desde los límites reales inferior y superior se determina que los límites se
encuentran fuera del rango establecido, por lo tanto se determina que no se está cumpliendo con
las especificaciones de cortes las cuales tenían una tolerancia de 3 mm.
c) Histograma
Las medidas de las tiras de hule no están bien distribuidas, por tal motivo existen errores
en el proceso de corte.
d) se puede determinar que el proceso no está bien realizado porque existe mucha variabilidad en
la medida de los cortes de las tiras de hule, esto debido a que ya está comprobado que los cortes
están fuera de los límites establecidos, por lo tanto seria considerable hacer alguno ajustes en la
máquina de corte, como calibrar las medidas o capacitar al operario que la utiliza.
n
n ( xi x) 3
i 1
(n 1)(n 2) S 3
e) Sesgo:
(110)(32.40) 3564 3564
0.17
(110 1)(110 2)(1.20) 3
(109)(108)(1.73) 21542.76
Sesgo estandarizado:
Sesgo 0.17
0.73
6 6
n 110
n
n(n 1) ( xi x) 4
3(n 1)
i 1
(n 1)(n 2)(n 3) S (n 2)(n 3)
4
Curtosis
24
Curtosis estandarizado n
2.77
5.93
24
110
El dato de la curtosis determina que la mayoría de los datos se encuentra en el centro del
histograma, por lo tanto el resultado de la curtosis es de 5.93 lo que determina que estará más
picuda en el centro y será una distribución normal.
Ejercicio 11
11. En el caso del ejercicio anterior considere que los primeros 55 datos (ordenados por renglón)
corresponden a una máquina, y los últimos 55 a otra. Ahora conteste lo siguiente.
a) Evalué las dos máquinas en cuanto a su centrado (tendencia central) y con respecto a la
longitud ideal (200).
b) Analice la dispersión de ambas maquinas utilizando la desviación estándar y la regla
empírica.
a)
x1 x2 .... xn
xi
x i 1
n n
200.3 200.4 200.5 ... 202.1
Promedio: x
55
x 200.96
x 201
Mediana: ~
Moda: xˆ 201.4
( x1 x) 2 ( x2 x) 2 ... ( xn x) 2
S
n 1
(200.3 200.96) 2 (200.4 200.96) 2 ... (202.1 200.96) 2
S
Desviación estándar 54
S 0.61
x1 x2 .... xn
xi
x i 1
n n
197.8 197.9 198.1 ... 200.5
Promedio: x
55
x 199.03
x 199
Mediana: ~
Moda: xˆ 199
( x1 x) 2 ( x2 x) 2 ... ( xn x) 2
S
n 1
(197.8 199.03) 2 (197.9 199.03) 2 ... (200.5 199.03) 2
S
Desviación estándar 54
S 0.65
Maquina 1 Maquina 2
Media 200.96 199.03
Mediana 201 199
Moda 201.4 199
Desv. Est. 0.61 0.65
Al realizar los cálculos anteriores se pude demostrar que la distribución de los datos de la
máquina 1 está aproximadamente distribuidos en 50% de ambos lados respecto a la mediana y el
promedio está en 200.6 lo cual muestra que los datos no tienen mucha variación entre sí. Por tal
motivo los datos no están muy dispersos.
LS x 3S
200.96 3(0.61)
Límite Real superior 202.79
LI x 3S
200.96 3(0.61)
Límite Real Inferior 199.13
LS x 3S
Límite Real superior 199.03 3(0.65)
200.98
LI x 3S
Límite Real Inferior 199.03 3(0.65)
197.08
Se determina que utilizando la regla empírica se obtiene que los datos de los cortes están
dentro de los limites superior e inferior para la maquina 1, pero para la maquina 2 solo varia en el
límite inferior porque los datos se salen un tanto.
c) Máquina 1
Máquina 2
n
n ( xi x ) 3
Sesgo i 1
(n 1)(n 2) S 3
(55)(5.5742) 306.58 306.58
0.47
(55 1)(55 2)(0.61) 3
(54)(53)(0.23) 658.26
Sesgo 0.47
Sesgo Es tan darizado 1.42
6 6
n 55
(n 1)(n 2) S 3
(55)(7.3439) 403.91 403.91
0.52
(55 1)(55 2)(0.65) 3
(54)(53)(0.27) 772.74
Sesgo 0.52
Sesgo Es tan darizado 1.57
6 6
n 55
Con respecto a los histogramas anteriores y los resultados del sesgo se obtiene que la
máquina 1 esta sesgada a la izquierda por el valor del sesgo estandarizado que es de -1.42,
tomando en cuenta que por el hecho de ser negativo su sesgo es hacia la izquierda. Por lo
contrario la máquina 2 esta sesgada a la derecha ya que su sesgo estandarizado es positiva con un
valor de 1.57.
d) El problema para ambas maquinas es el tamaño de la longitud de las tiras de hule, pero en
la máquina 1 se debe a que las tiras están con un tamaño mayor al establecido, pero aun
así se mantienen dentro de los limites. Por lo contrario la máquina 2 sus medidas de corte
están por debajo de la medida establecida y esta si esta fuera de los límites establecidos.
e) Lo más probable es que las maquinas no estén calibradas con la misma exactitud, por lo
tanto sería necesario realizar algún ajuste a ambas y verificar que los operarios también
cumplan su función adecuadamente porque este pudiera ser otro factor.
f) Amabas máquinas están sesgadas, un a la derecha y otra a la izquierda, pero solo la
segunda es la que esta fuera del límite inferior, por lo tanto es la que necesariamente
necesita un ajuste aunque también la primera pero esta aun así está dentro de los límites
establecidos.
Ejercicio 12
12. En un área de servicios dentro de una empresa de manufactura se realiza una encuesta para
evaluar la calidad del servicio proporcionado y el nivel de satisfacción de los clientes internos. La
encuesta consiste de 10 preguntas, y cada una de ellas evalúa diferentes aspectos del servicio
proporcionado. Las respuestas para cada pregunta es un número entre O y 10. Para hacer un
primer análisis de los resultados obtenidos se suman los puntos obtenidos de las 10 preguntas
para cada cuestionario. A continuación se muestran los puntos obtenidos en 50 cuestionarios.
78 78 82 85 81 86 80 73 84 78
68 84 75 78 76 76 82 85 91 80
70 87 77 82 84 48 49 39 39 43
35 42 34 44 49 34 30 31 31 34
41 42 45 42 35 38 39 43 43 29
a) Calcule las medidas de tendencia central, de dispersión a los datos anteriores y dé una
primera opinión acerca de la calidad en el servicio.
b) Realice el histograma e interprételo con cuidado.
c) ¿Qué es lo más destacado que observa en el histograma?
d) ¿Tendría alguna utilidad hacer un análisis por separado de cada una de las preguntas?
Explique.
e) ¿Hay normalidad en los datos? Argumente.
a) Medidas de tendencia.
Limites reales aproximados:
n
x x .... xn x i
x 1 2 i 1
n n
78 78 ... 29
Promedio: x
50
x 59.58
x 58.5
Mediana: ~
Moda: xˆ 78
LS x 3S
Límite superior 59.58 3(21.37)
123.047
Li x 3S
Límite Inferior 59.58 3(21.37)
3887
El histograma demuestra que los datos están distribuidos en dos partes, una que está por el
límite superior y otro en el límite inferior. La mayoría de los datos se encuentran en 2 puntos, los
primeros entre 29 a 37. Por la otra parte se encuentran entre 73 a 82. La distribución que se
presenta en este histograma es binomial.
c) en el histograma se observa que los datos esta divididos en dos grupos. Cada uno de ellos
tiene una diferente inclinación. Este histograma se llama distribución binomial por tener dos
crestas.
d) Si, porque de esta forma se podría ver y determinar en qué partes del servicio es donde más se
están viendo afectados los clientes y así poder enfocarse en mejorar el servicio de esa área,
porque de lo contrario no se sabe específicamente en que área o que puntos son los que generan
este disgusto reflejado en las encuestas.
e) La distribución no es normal, ya que se tiene un diagrama binomial y por lo tanto los datos
están dispersos en dos partes dentro del histograma y también dentro de los limites. La grafica
contiene dos picos y dos tendencias centrales diferentes.
Ejercicio 13
13. En una fábrica de piezas de asbesto una característica importante de la calidad es el grosor de
las láminas. Para cierto tipo de lámina el grosor óptimo es de 5 mm y se tiene una discrepancia
tolerable de 0.8 mm, ya que si la lámina tiene un grosor menor que 4.2 mm se considera
demasiado delgada y no reunirá las condiciones de resistencia exigidas por el cliente. Si la lámina
tiene un grosor mayor que 5.8 mm, entonces se gastará demasiado material para su elaboración y
elevarán los costos del fabricante. Por lo tanto, es de suma importancia fabricar las láminas con el
grosor óptimo, y en el peor de los casos dentro de las tolerancias especificadas. De acuerdo con
los registros de las mediciones realizadas en los últimos tres meses se aprecia un proceso con una
estabilidad aceptable, el grosor medio es f.L = 4.75, la mediana 4.7, y la desviación estándar CJ =
0.45.
a) De acuerdo con la media y la mediana, ¿el centrado del proceso es adecuado? Argumente.
b) Si considera sólo la media y la mediana, ¿puede decidir si el proceso cumple con las
especificaciones? Explique.
c) Calcule los límites reales, haga la gráfica de capacidad y señale si el proceso cumple con
especificaciones. Argumente su respuesta.
a) No, debido a que las piezas se encuentran muy cercanas a los límites inferiores establecidos y
se tiene cierta variabilidad; por lo tanto, el 50% de los datos son de especificación de espesor
inferior.
b) no es posible llegar a una conclusión determinada debido a que no se sabe si éstas cumplen
con las especificaciones de los límites de la lámina. Solo se podría dar un estimado pero con alto
grado de error para los datos.
0.45
c) CV (100) 9.47%
4.75
L.R.S=6.1 mm.
L.S=5.8 mm.
4.47
mm.
L.I=4.2 mm. L.R.I=3.4 mm.
Con base al resultado de los límites reales demuestran en el grafico anterior que las
medidas de los datos están por fuera de los límites establecidos, porque el límite superior real
está más alto que el establecido, y lo mismo pasa con el límite inferior, está muy por debajo de lo
establecido, por lo tanto seria considerable realizar algunos ajustes en su proceso porque la
variación en el grosor es demasiado.
Ejercicio 14
14. En el problema anterior, con el propósito de mejorar la calidad que se tenía en cuanto al
grosor de las láminas, se implementó un proyecto de mejora siguiendo la metodología Seis Sigma
(vea el capítulo 16). Varios de los cambios implementados fueron relativos a mejora y
estandarización de los procedimientos de operación del proceso. Para verificar si el plan tuvo
éxito, se eligieron láminas de manera aleatoria y se midió su grosor. Los
120 datos obtenidos durante tres días se muestran a continuación:
4.8 4.3 4.8 5.1 4.9 4.6 4.9 4.6 5.0 4.9 4.8 4.5
4.7 5.7 4.5 5.3 4.4 5.1 4.6 4.9 4.2 4.6 5.3 5.2
4.7 4.1 5.1 5.0 5.0 4.9 4.6 4.9 5.2 4.8 4.7 5.1
4.9 4.8 4.7 5.1 5.1 5.3 5.1 5.0 5.3 5.0 5.1 5.2
4.7 5.0 5.0 5.3 5.1 5.1 4.5 5.2 4.1 5.1 4.9 4.9
4.6 5.0 4.6 4.8 4.7 4.9 4.4 4.5 5.3 5.3 4.4 5.0
4.2 4.5 5.3 5.1 4.8 4.4 4.7 5.3 5.1 4.7 4.7 4.8
5.0 5.0 4.9 5.2 5.6 5.1 5.2 4.5 4.6 5.2 4.9 5.0
5.3 4.9 5.0 4.4 4.9 4.7 4.6 5.3 4.8 4.7 4.6 5.1
4.4 5.0 4.5 5.0 5.2 4.7 5.0 5.3 5.6 5.0 5.0 4.5
a) Calcule la medía y mediana de estos datos, y compárelas con las que se tenían antes del
proyecto, decida si con los cambios se mejoró el centrado del proceso.
b) Calcule la desviación estándar y, con ésta, obtenga una estimación de los nuevos límites reales
y decida si la variabilidad se redujo.
c) Construya un histograma, inserte las especificaciones e interprételo.
d) De acuerdo con todo lo anterior, ¿el proyecto dio buenos resultados? Argumente.
f) Sí se observaron mejoras, ¿son suficientes para garantizar un producto dentro de
especificaciones?
n
x x 2 .... x n x i
x 1 i 1
n n
4.8 4.3 ... 4.5
a) Promedio: x
120
x 4.88
x 4.9
Mediana: ~
Moda: xˆ 5
Se puede observar una mejora porque ahora los datos de media, mediana e incluso la
moda se encuentran más cercanos al centro del rango establecido por los límites del fabricante.
Las medidas no varían en mucha cantidad, pero aun así, se habla de calidad y de material y
entonces lo más mínimo es considerable ya que se refleja en la producción de láminas.
( x1 x) 2 ( x 2 x) 2 ... ( x n x) 2
S
n 1
(4.8 4.88) 2 (4.3 4.88) 2 ... (4.5 4.88) 2
b) S
Desviación estándar 119
S 0.316
LS x 3S
Límite superior 4.88 3(0.316)
5.83
LI x 3S
Límite Inferior 4.88 3(0.316)
3.94
c)
Los datos aparentan una distribución normal porque el pico está ubicado en el centro, pero
también se aprecia que la mayoría de los datos están concentrados en límite inferior. Pero la
mayoría está en la medida de 490 mm y 510 mm aproximadamente
d) El proyecto si mostro mejoras muy considerables ya que los limites se redujeron un tanto
favorables, de tal modo que ahora ya se encontraban casi en su totalidad dentro del rango
establecido. Con esto se mejora la calidad de las láminas respecto a su grosor, además se
aprovecha la materia determinada para cada una.
e) Si se mostraron mejoras en el grosor de las láminas, ya que en el ejercicio anterior los límites
estaban entre 6.1 y 3.4, con esto se demuestra que estaba por afuera de rango de ambos lados.
Con la mejora que se realizó los limites fueron 5.83 y 3.94, que de igual forma los limites se
encuentran fuera de especificación, pero aun así la variabilidad es menor y los grosores estarán
más cercanos a la medida determinada.
Ejercicio 15
15. En la elaboración de envases de plástico primero se elabora la preforma, para la cual se tienen
varios criterios de calidad, uno de ellos es el peso de ésta. Para cierto envase se tiene que el peso
debe estar entre 28.00 0.5g. A continuación se muestran los últimos 112 datos obtenidos
mediante una carta de control para esta variable.
a) Obtenga las medidas de tendencia central y señale si la tendencia central de las mediciones es
adecuada.
b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales y con base en éstos
decida si la variabilidad de los datos es aceptable.
a)
x1 x2 .... xn
xi
x i 1
n n
27.72 28.39 ... 27.94
Promedio: x
112
x 27.976
x 27.96
Mediana: ~
Moda: xˆ 27.94
Las medidas de tendencia central no son las esperadas, pero aun así están muy cercanas al
28, que era el dato esperado. Por lo tanto las medidas de tendencia central no son las adecuadas,
lo que significa que al proceso del plástico le hace falta algún ajuste.
b)
( x1 x) 2 ( x2 x)2 ... ( xn x) 2
S
n 1
(27.72 27.976) 2 (28.39 27.976)2 ... (27.94 27.976) 2
S
Desviación estándar 111
S 0.158
LS x 3S
Límite superior 27.976 3(0.158)
28.446
LI x 3S
Límite Inferior 27.976 3(0.158)
27.497
Con el análisis de lo anterior se puede determinar que los límites reales no son los mismos
que los establecidos de 0.5 g. lo cual se demuestra en el límite real inferior que es de 27.497
cuando por límite tenía que ser de 27.5.
c)
R 0.75
Amplitud 0.094
K 8
n
n ( xi x)3
0.055 0.055
sesgo i 1
0.0014
(n 1)(n 2) s 3
12210 * 0.158 48.16
El histograma nos muestra que los datos tienen una distribución descentralizado con poca
variabilidad y que los datos están dentro de los límites establecidos. El pico muestra donde está la
mayor concentración de datos esta entre 27.82 a 27.91, por lo tanto nos damos cuenta de que esta
más concentrada en el límite inferior.
d) Basándonos en el histograma se puede apreciar que si es adecuado ya que todos los datos están
dentro de los parámetros establecidos respetando el 0.5 g. al 28. El proceso esta correcto y no
necesita alguna modificación porque la desviación estándar aún está dentro del parámetro
establecido para los datos.
e) No, porque en el histograma se muestra como está la distribución, además de que todos están
dentro de lo establecido. Pero si se nota que esta distribución esta descentralizada.
Ejercicio 16
16. Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad, y un componente que influye en
ésta es la cantidad de arenas que se utilizan en su elaboración. La cantidad de arena en la formulación de
un lote se controla por medio del número de costales, que según el proveedor contienen 20 kg. Sin
embargo, continuamente se tienen problemas en la densidad de la pintura que es necesario corregir con re-
trabajo y re-procesos adicionales. En este contexto se decide investigar cuánta arena contienen en realidad
los costales. Para ello se toma una muestra aleatoria de 30 costales cada lote o pedido (500 costales). Los
pesos obtenidos en las muestras de los últimos tres lotes se muestran adelante. Las especificaciones de los
costales de arena son de 20 0.8 kg.
3 20.0 19.7 20.8 19.7 19.7 20.4 19.8 20.5 20.0 20.0
20.2 19.7 20.0 19.6 19.7 19.8 19.9 20.3 20.4 20.2
x
i 1
i
(18.6 19.2 19.5....20.3 204 20.2)
x 19.562
n 90
El promedio obtenido demuestra que efectivamente existe un poco margen de variabilidad entre
los 90 datos debido a que el promedio se encuentra dentro de las especificaciones requeridas de los
costales de arena.
x 19.6 V Percentil 50
~
P50 19.6
50% 19.6
50% 19.6
El percentil cincuenta o mediana indica que de acuerdo a las especificaciones requeridas de los
costales, esta indica que existen valores que son menores a 19.6 kg de peso y también existen valores que
son superiores a 19.6 kg.
De esta manera se establece que el centrado del proceso no es adecuado puesto existe variabilidad
en él, es decir, no se está alcanzando la especificación requerida establecida.
xˆ 19.7
De acuerdo a la moda obtenida indica que hubo 9 costales que tenían un peso de 19.7, casi
alcanzando el estándar normal, sin embargo se establece que efectivamente los costales no están
completamente llenos con la cantidad de arena para la elaboración de pinturas.
(x
i 1
i x) 2
S 0.651
n 1
S 0.651
CV 0.033(100) 3.328%
x 19.562
De acuerdo a la desviación estándar indica que entre cada costal existen un margen de 0.651 kg.
De diferencia, de esta manera se interpreta una variabilidad de 3.328% de todos los costales muestreados
dando como resultado que efectivamente la variabilidad es mucha en el proceso para la elaboración de
pinturas.
c) Obtenga un histograma para los 90 datos, inserte las especificaciones e interprételo con detalle.
3.200
Amplitud 0.457
7
Tabla 16.2 Limites
K Limites Frecuencia
1 17.8 x 18.26 1
Figura 16.3 Histograma de distribución normal con el peso de los costales en Kg.
De acuerdo al histograma realizado con 90 costales muestreados, se logra apreciar que presenta
una distribución normal, mas sin embargo se encuentra sesgada hacia la izquierda lo que representa
variabilidad en los parámetros de 19.5-21.0.
De acuerdo a los datos estadísticos analizados anteriormente se logra apreciar que los bultos si
cumplen con el peso especificado, sin embrago existe una variabilidad entre ellos, puesto se determina
que no están completamente llenos, y es necesario que el proveedor rectifique esta variación acerca de
estos bultos, debido a que puede afectar de manera significativa la fabricación de pinturas.
e) Haga un análisis de cada lote por separado y con apoyo de estadísticos y graficas señale si hay
diferencias grandes entre los lotes.
El histograma representa una mejor visibilidad acerca del lote 1, puesto en él se aprecia una
variabilidad enorme puesto que los valores de 18.5 y 19.5 incurren a los pesos en que se mantuvo los
costales muestreados, por tal motivo presenta un sesgo hacia derecha.
En este histograma se logra interpretar con más visibilidad el comportamiento del lote 2, debido a
que en este lote se observa una distribución normal, ya que sus datos se encuentran en los parámetros
de 18.0 a 20.0, de esta manera se observa que es más aceptable este lote, pues no existe tanta
variabilidad entre los pesos debido a que la mayoría de los datos se encuentran cerca del peso
estandarizado es decir, 19.0 y 19.5.
En el lote 3 de acuerdo con el histograma este representa una distribución normal, ya que la
mayoría de sus datos se encuentran en el estándar de peso establecido por el proveedor que es 20 Kg.
De esta manera en este modelo es más aceptable porque los costales se encuentran casi llenos y así no
puede afectar tanto en la validad de fabricación de pintura.
f) ¿Las diferencias encontradas se podrían haber inferido a partir del histograma del inciso c?
No, debido que al separar por lotes y analizar los datos de cada uno, se logra observar que el lote
más aceptable, es el lote 3, debido a que sus datos se encuentran cerca del peso estandarizado por el
proveedor, de esta manera se considera que al realizar la división entre ellos permitió obtener un dato
estadístico más aceptable y más concreto acerca de los pesos de cada costal.
Ejercicio 17
17. En una empresa que fabrica y vende equipo para fotocopiado utilizan como un indicador
importante de la calidad en el servicio posventa, el tiempo de respuesta a solicitudes de apoyo
técnico debido a fallas en los equipos. Para problemas mayores, en cierta zona del país se
estableció como meta que la respuesta se dé en un máximo de 6 horas hábiles; es decir, de que
habla el cliente solicitando apoyo, y que si el problema se clasifica como grave no deben pasar
más de 6 horas hábiles para que un técnico acuda a resolver el problema. A continuación se
aprecian los tiempos de respuesta en horas para los primeros nueve meses del año (65 datos).
a) Calcule las medidas de tendencia central y con base en éstas, ¿cree que se cumple con la
meta?
x i
348.8
x i 1
5.366
n 65
De acuerdo al promedio obtenido de 5.366 horas se logra observar que existe una cierta
variabilidad en el proceso pero sin embargo se considera que si se cumple con la meta puesto que
existen datos mucho menores a 5.366, lo cual determina una cierta variabilidad en venta de
equipo de fotocopiado.
x 5.5hrs V Percentil 50
~
P50 5.5hrs
50% 5.5hrs
50% 5.5hrs
xˆ 5.4
La moda me indica que hubo 5 clientes que su tiempo de cliente posventa duro 5.4 horas, casi
xi x 2 (1.7 5.366) 2 (2.0 5.366) 2 (2.3 5.366) 2 ...... (7.9 5.366) 2 (8.3 5.366) 2
(8.9 5.366) 2
n
(x i x) 2
S i 1
1.618
n 1
S 1.618
CV 0.302(100) 30.153%
x 5.366
LI x 3S
LI 5.366 3(1.618) 0.512
LS x 3S
LS 5.366 3(1.618) 10.220
10.220 horas
6.00 horas
0.512 horas
7.200
Amplitud 1.029
7
K Limites Frecuencia
1 1.7 x 2.72 3
De acuerdo al histograma se determina que el muestreo con los 65 datos se observa que tiene
una distribución normal, pero sin embargo, esta se encuentra sesgada a la izquierda en donde los
datos se encuentran entre los parámetros de 5.82 a 8.90.
d) A partir del análisis que se ha realizado, ¿qué recomendaciones daría para ayudar a
cumplir mejor la meta?
Argumente.
Ejercicio 18
18. los siguientes datos representan las horas caídas de equipos por semana en tres líneas de
producción.
a) Analice los datos para cada línea y anote las principales características de la distribución de los
datos.
Línea 1:
n
x (7.7 6.8 8.5 8.6 ..... 5.0 5.0 5.4 7.5 6.0)
x 6.872
i
i 1
n 25
De acuerdo al dato obtenido, se logra observar que en la línea 1 existe variabilidad ya que
existen valores muy lejanos al promedio de 6.872, que representa a las horas caídas de
producción.
x 7.1hrs V Percentil 50
~
P50 7.1hrs
50% 7.1hrs
50% 7.1hrs
Este dato obtenido de la mediana demuestra que en la línea 1 existen datos que son
superiores a 7.1 pero también influyen valore que son menores a 7.1, pero sin embargo no se
considera que exista mucha variabilidad en esta línea.
xˆ 7.3
En el caso de la línea 1 se observan en los datos obtenidos que el valor de 7.3 fue el que se
repitió 3 veces, es decir, que 7.3 horas represento 3 veces a la caída de producción de una semana
en esta línea 1.
i
i 1
(x
i 1
i x) 2
26.450
S 1.050horas
n 1 24
S 1.050
CV 0.153(100) 15.279%
x 6.872
Empirismo
LI x 3S
LI 6.872 3(1.050) 3.722
LS x 3S
LS 6.872 3(1.050) 10.022
10.022 horas
5.00 horas
3.722 horas
Línea 2
x (6.6 5.2 7.2 9.2 ..... 6.9 8.4 5.0 7.5 7.4)
x 6.996
i
i 1
n 25
De acuerdo al dato obtenido, se logra observar que en la línea 2 existe variabilidad ya que
existen valores muy lejanos al promedio de 6.996, que representa a las horas caídas de
producción.
x 6.9hrs
~ V Percentil 50
P50 6.9hrs
50% 6.9hrs
50% 6.9hrs
Este dato obtenido de la mediana demuestra que en la línea 2 existen datos que son
superiores a 6.9 pero también influyen valores que son menores a 6.9, sin embargo la mayoría de
los datos se encuentran muy arriba de este valor.
xˆ 7.4
En el caso de la línea 2 se observan en los datos obtenidos que el valor de 7.4 fue el que se
repitió 3 veces, es decir, que 7.4 horas represento 3 veces a la caída de producción de una semana
en esta línea 2, cabe mencionar que está muy relacionado con la línea 1, puesto que el valor de
esa línea fue de 7.3.
i
i 1
(x
i 1
i x) 2
24.030
S 1.001horas
n 1 24
S 1.001
CV 0.143(100) 14.308%
x 6.996
Empirismo
LI x 3S
LI 6.996 3(1.001) 3.993
LS x 3S
LS 6.996 3(1.001) 9.999
9.999 horas
5.0 horas
3.993 horas
En la distribución obtenida de la línea 2, se logra interpretar que entre cada dato existe un
margen de separación de 1.001 horas obteniendo de esta manera un porcentaje de 14.308% de
variabilidad, comparando con la línea 1 la variabilidad disminuye un 0.971%.
Línea 3
n 25
De acuerdo al dato obtenido, se logra observar que en la línea 3 existe variabilidad ya que
existen valores muy lejanos al promedio de 7.312, que representa a las horas caídas de
producción.
x 7.5hrs V Percentil 50
~
P50 7.5hrs
50% 7.5hrs
50% 7.5hrs
Este dato obtenido de la mediana demuestra que en la línea 3existen datos que son
superiores a 7.5 pero también influyen valore que son menores a 7.5, sin embargo la mayoría de
los datos se encuentran muy arriba de este valor.
xˆ 8.1
En el caso de la línea 3 se observan en los datos obtenidos que el valor de 8.1 fue el que se
repitió 4 veces, es decir, que 8.4 horas represento 4 veces a la caída de producción de una semana
en esta línea 3, cabe mencionar que está muy relacionado con la línea2, puesto que el valor de esa
línea fue de 7.4
i
i 1
(x
i 1
i x) 2
26.450
S 1.001horas
n 1 24
S 1.001
CV 0.143(100) 12.008%
x 7.312
Empirismo
LI x 3S
LI 7.312 3(0.878) 4.678
LS x 3S
LS 7.312 3(0.878) 9.946
9.946 horas
5.0 horas
4.678 horas
En la distribución obtenida de la línea 3 se logra interpretar que entre cada dato u hora
existe un margen de 0.878, de esta manera se observa la vialidad que se tiene con un porcentaje
obtenido de 12.008%.
Ya obtenido los datos de las 3 líneas de producción se determina que existen diferencias
realmente significativas por cada semana, puesto que existe mucha variabilidad entre estas tres,
esta variabilidad se determina con l desviación obtenida, ya que para la línea 1 existe un margen
de dato y dato de 1.050, para la línea 2 un margen de 1.001 y para la línea 3 un margen de 0.878,
ya que como se observa en la línea 3 tiende a disminuir, cabe resaltar que lo mismo sucedió con
el porcentaje de variabilidad de las 3 líneas, es decir, la línea 3 fue la que obtuvo un menor
porcentaje.
Ejercicio 19
19. Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración de grasa.
En una industria en particular se fijó 3.0% como el estándar mínimo que debe cumplir el
producto que se recibe directamente de los establos lecheros. Por medio de muestreos y
evaluaciones en cierta época del año se obtuvieron los siguientes 90 datos sobre concentración de
grasa en cierta región.
x
i 1
i (2.7 3.4 3.5 4.0 ..... 3.0 3.2 3.2 3.3 3.8)
x 3.178%
n 90
x 3.2%
~ V Percentil 50
P50 3.2%
50% 3.2%
50% 3.2%
xˆ 3.3%
El dato obtenido demuestra que el 3.3% fue el porcentaje que incurrió más veces, superando
con .3% el margen establecido.
i
i 1
(x
i 1
i x) 2
S 0.338%
n 1
S 0.338
CV 0.106(100) 10.636%
x 3.178
Empirismo
Límite x 3S
LI x 3S
LI 3.178 3(0.338) 2.164
LS x 3S
LS 3.178 3(0.338) 4.192
4.192 %
3.00%
2.164 %
2.00
Amplitud 0.286
7
K Limites Frecuencia
1 2.0 x 2.29 2
(x
i 1
i x) 3
Sesgo 0.521
(n 1)(n 2) S 3
De acuerdo al histograma se interpreta que si existe una distribución normal entre los 90 datos
de porcentaje de la grasa en la leche, sin embargo esta presenta un sesgo hacia la izquierda, en
donde los datos se encuentran entre los parámetros de 3.14- 4.0.
Cabe resaltar que mediante el cálculo del sesgo se obtiene un valor negativo, que explica que
efectivamente el histograma con los 90 datos tiene una distribución normal pero sesgada a la
izquierda con un valor negativo de -0.521
Ejercicio 20
20. En la elaboración de envases de plástico es necesario garantizar que cierto tipo de botella en
posición vertical tenga una resistencia mínima de 20 kg fuerza. Para garantizar esto, en el pasado
se realizaba una prueba del tipo pasa-no-pasa, donde se aplicaba la fuerza mínima y se veía si la
botella resistía o no. En la actualidad se realiza una prueba exacta, en la que mediante un equipo
se le aplica fuerza a la botella hasta que ésta cede, y el equipo registra la resistencia que alcanzó.
¿Qué ventajas y desventajas tiene cada método?
Fácil medición
La decisión está basada o tomada en pruebas experimentales
Resultado confiable
Es metódico
Desventajas método pasa-no-pasa
Es confiable
Es exacto
Es preciso
Desventajas método exacto
Es más complejo
Ejercicio 21
21. En el caso del problema anterior, a continuación se muestran 100 datos obtenidos en las pruebas
destructivas de la resistencia de botellas.
x
i 1
i (28.3 26.8 26.6 26.5 ..... 29.5 26.4 25.8 26.7)
x 27.095
n 100
El dato obtenido demuestra el promedio que hay entre la resistencia de las botellas, empleando la
prueba exacta, lo cual demuestra que si hay una cierta variabilidad en los datos pues este demuestra una
resistencia más alta a la estandarizada.
x 27.00 V Percentil 50
~
P50 27.00
50% 27.00
50% 27.00
Este dato obtenido de la mediana demuestra que existen datos que son superiores a 27.00 nivel de
resistencia pero también influyen valores que son menores a 27.00, sin embargo la mayoría de los datos se
encuentran muy arriba de este valor.
xˆ 27.700
La moda representa a que hubo 7 botellas que lo cual soportaron la resistencia de 27.700
kilogramos por medio del método exacto.
i
i 1
(x
i 1
i x) 2
S 1.389
n 1
S 1.389
CV 0.051(100) 5.126
x 27.095
b) Estime los límites reales y comente si las botellas cumplen la resistencia mínima que se desea
garantizar.
Empirismo
Límite x 3S
LI x 3S
LI 27.095 3(1.389) 22.928
LS x 3S
LS 27.095 3(1.389) 31.262
31.262 kg
22.928 kg
De acuerdo a los límites reales ya obtenidos se observa que el promedio se encuentra en 27.095 kg, de
esta manera se observa que el promedio está muy por encima del límite central o estandarizado, lo cual
determina que si existe una cierta variabilidad en la elaboración de envases de plástico
c) Obtenga un histograma, inserte una línea vertical en el valor de la resistencia mínima e intérprete de
manera amplia.
K Limites Frecuencia
1 23.7 x 24.54 3
Rango 6.700
Amplitud 0.838
k 8
d) Con base en los análisis anteriores, ¿considera que el proceso cumple con la especificación
inferior?
Si cumple, debido a que se observa que las resistencias que se están obteniendo son superiores a la
resistencia de fuerza en kilogramos, lo cual determina que las botellas están siendo elaboradas con calidad
puesto que tienen a soportar una mayor fuerza ejercida.
Ejercicio 22
22. En una empresa que elabora productos lácteos se tiene como criterio de calidad para la crema
que ésta tenga un porcentaje de grasa de 45 con una tolerancia de ± 5. De acuerdo con los
muestreos de los últimos meses se tiene una media de 44 con una desviación estándar de 1.3.
Haga un análisis de capacidad para ver si se está cumpliendo con la calidad exigida, represente
gráficamente los datos y comente los resultados obtenidos.
Datos
__
x = 44
S = 1.3
Para conocer si la crema cumple con las especificaciones del porcentaje de grasas se hace el
análisis de Chebyshev.
__
x 1S
__
x 2S
__
x 3S
__
Para el análisis se toma x 3 S ya que este existe el 99.7% de los datos.
__
L.I x 3 S 44 (3)(1.3)
L.I = 44 3.9 40.1
__
L.S x 3 S 44 (3)(1.3)
L.S 44 3.9 47.9
Ejercicio 23
23. El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 310 y 330 ml. De acuerdo con los
datos históricos se tiene que = 318 y = 4. ¿El proceso de envasado funciona bien en cuanto
al volumen? Argumente su respuesta.
No porque este proceso de envasado se encuentra por debajo del límite establecido, Para lograr
identificar si el proceso de envasado funciona bien es necesario hacer el análisis de límites con
los datos proporcionados mediante la fórmula de Chebyshev.
__
x 3S
__
L.I x 3S
L.I= 318 – (3) (4)
L.I= 306
__
L.S x 3S
L.S= 318 + (3) (4)
L.S= 330
De acuerdo al principio de chebyshev se logra demostrar que no se está produciendo dentro de las
especificaciones ya que los datos están por debajo del límite inferior, por esto no se está
produciendo con calidad.
Ejercicio 24
24. En la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de CO2 (gas) esté entre
2.5 y 3.0.
2.61 2.62 2.65 2.56 2.68 2.51 2.56 2.62 2.63 2.57 2.6 2.53
2.69 2.53 2.67 2.66 2.63 2.52 2.61 2.6 2.52 2.62 2.67 2.58
2.61 2.64 2.49 2.58 2.61 2.53 2.53 2.57 2.66 2.51 2.57 2.55
2.57 2.56 2.52 2.58 2.64 2.59 2.57 2.58 2.52 2.61 2.55 2.55
2.73 2.51 2.61 2.71 2.64 2.59 2.6 2.64 2.56 2.6 2.57 2.48
2.6 2.61 2.55 2.66 2.69 2.56 2.64 2.67 2.6 2.59 2.67 2.56
2.61 2.49 2.63 2.72 2.67 2.52 2.63 2.57 2.61 2.49 2.6 2.7
2.64 2.62 2.64 2.65 2.67 2.61 2.67 2.65 2.6 2.58 2.59 2.65
2.5 2.65 2.57 2.55 2.64 2.66 2.67 2.61 2.52 2.65 2.57 2.52
2.56 2.6 2.59 2.56 2.57 2.66 2.64
Fuente: Control estadístico de la calidad y Seis Sigma, De la Vara R. (2013)
(x
i 1
i x )2
S 0.056
n 1
S
CV __
0.056
CV (100) 2.155%
2.599
x 3S
__
L.I x 3S
L.I 2.599 3 (0.056)
L.I 2.49
__
L.S x 3S
L.S 2.599 (3)(0.056)
L.S=2.767
Rango=2.73-2.48= 0.25
Clase ( K ) 7.862 8
R
Amplitud=
K
0.25
Amplitud= 0.031 0.03
8
k limites frecuencia
1 2.48 x 2.51 8
2 2.51 x 2.54 11
3 2.54 x 2.57 23
4 2.57 x 2.60 19
5 2.60 x 2.63 19
6 2.63 x 2.66 20
7 2.66 x 2.69 11
8 2.69 x 2.72 3
9 2.72 x 2.75 1
Total de datos 115
Conclusión
De acuerdo al coeficiente de variación se puede decir que no existe mucha variabilidad de un
dato a otro ya que este fue de un 2.15%, además se puede observar en la desviación estándar que
este valor no tiene mucha variación con respecto a la media es decir entre cada dato la variación
no es muy alta, sin embargo se logra identificar en los límites que los datos están muy acercados
al límite inferior, e incluso el L.I obtenido está por debajo de la especificación.
Histograma de porcentaje de
CO2
25
Frecuencia
20
15
10
5
0
2.50 2.53 2.56 2.59 2.62 2.65 2.68 2.71 2.74
Porcentaje de CO2
Sesgo = -0.030
0.030
Sesgo estandarizado= 0.131
6
115
De acuerdo al histograma y al sesgo, se puede decir que los datos están sesgados a
la izquierda, además al identificar que el valor del sesgo estandarizado es de -0.030 se
puede afirmar que los datos provienen de una distribución normal.
d) Con la evidencia obtenida antes, ¿cuál es su opinión acerca de la capacidad del proceso
referido?
Se puede decir que el porcentaje de CO2 está demasiado cerca al límite inferir, por lo que
se considera que no cumple con las especificaciones, por lo que se recomienda realizar un
análisis de por qué el porcentaje de CO2 es menor a las especificaciones.
e) ¿Se cumple el supuesto de distribución normal?
Si se cumple ya que el sesgo estandarizado obtenido está dentro del rango en donde se
considera como una distribución normal.
Diagrama de Pareto
Ejercicio 1
Ejercicio 2
botas se mandan a la segunda, se obtienen los siguientes datos, que corresponden a las últimas 10
semanas:
Al representar los datos de las botas por medio de una gráfica, con las barras ubicadas de
izquierda a derecha en forma decreciente, de acuerdo con la frecuencia, se obtiene el diagrama de
Pareto de la figura 17.2, donde la escala vertical izquierda está en términos del número de botas
rechazadas y la vertical derecha en porcentaje. La línea que está arriba de las barras representa la
magnitud acumulada de los defectos hasta completar el total. En la gráfica se aprecia que el
defecto piel reventada es el más frecuente (de mayor impacto), ya que representa 50% del total de
los defectos. En este problema es preciso centrar un verdadero proyecto de mejora para
determinar las causas de fondo, y dejar de dar la "solución" que hasta ahora se ha adoptado:
mandar las botas a la segunda. (Gutiérrez y De la Vara, 2013).
Lo que sigue es no precipitarse a sacar conclusiones del primer Pareto, ya que al actuar de
manera impulsiva se podrían obtener conclusiones erróneas; por ejemplo, una posible conclusión
"lógica", a partir del Pareto de la figura 17.2, sería la siguiente: el problema principal se debe en
su mayor parte a la calidad de la piel, por lo que se debe comunicar al proveedor actual y buscar
mejores proveedores. Sin embargo, es frecuente que las conclusiones reactivas y "lógicas" sean
erróneas. Por lo tanto, después del Pareto para problemas, el análisis debe orientarse
exclusivamente hacia la búsqueda de las causas del problema de mayor impacto. Para ello es
preciso preguntarse si este problema se presenta con la misma intensidad en todos los modelos,
materiales, turnos, máquinas, operadores, etc., ya que si en alguno de ellos se encuentran
diferencias importantes, se estarán localizando pistas específicas sobre las causas más
importantes del problema.
En el caso de las botas, lo que se hizo fue clasificar o estratificar el defecto de piel
reventada de acuerdo con el modelo de botas, y se encontraron los datos que aparecen en la tabla
de la derecha.
principalmente en el modelo de botas 512, y que en los otros modelos es un defecto de la misma
importancia que las otras fallas. Entonces, más que pensar en que los defectos de reventado de la
piel se deben en su mayor parte a la calidad de la piel, es mejor buscar la causa del problema
exclusivamente en el proceso de fabricación del modelo 512.
Para que el análisis por modelo que se realizó sea útil es necesario que la frecuencia con
la que se produce cada uno de los modelos sea similar, como fue el caso de las botas. Si un
modelo se produce mucho más, será lógico esperar que haya más defectos Cuando este último
sea el caso, entonces de la producción total de cada modelo se debe calcular el porcentaje de
artículos defectuosos debido al problema principal, y con base en esto hacer el Pareto de segundo
nivel.
El ejemplo 6.1 revela que en la solución de problemas una pista o una nueva información
deben llevar a descartar opciones, así como a profundizar la búsqueda y el análisis en una
dirección más específica, para de esa forma no caer en conclusiones precipitadas y erróneas. El
análisis de Pareto encarna esta idea, ya que la técnica sugiere que después de hacer un primer
diagrama de Pareto en el que se detecte el problema principal, es necesario realizar un análisis de
Pareto para causas o de segundo nivel o más niveles, en el que se estratifique el defecto más
importante por turno, modelo, materia prima o alguna otra fuente de variación que dé indicios de
dónde, cuándo o bajo qué circunstancias se manifiesta más el defecto principal.
Figura 6.2: Pareto para causas: defecto principal por modelo de botas.
Ejercicio 3
Ejercicio 4
4. A partir de los datos de la hoja de verificación de los defectos en válvulas del ejemplo 6.4
efectúe lo siguiente:
Razón de
Frecuencia Porcentaje %
defecto
Porosidad 76 52.414
Llenado 44 30.345
Maquinado 16 11.034
Ensamble 9 6.207
Ʃ 145 100.00
120 80
100
Percentaje
Frecuencia
60
80
60 40
40
20
20
0 0
Razón de defecto Porosidad Llenado Maquinado Ensamble
Frecuencia 76 44 16 9
Percent 52.4 30.3 11.0 6.2
Cum % 52.4 82.8 93.8 100.0
Modelo del
Frecuencia Porcentaje %
producto
A 10 25
B 9 22.5
C 8 20
D 13 32.5
Ʃ 40 100.00
40 100
80
30
Percentaje
Frecuencia
60
20
40
10
20
0 0
Modelo del producto D A B C
Frecuencia 13 10 9 8
Percent 32.5 25.0 22.5 20.0
Cum % 32.5 57.5 80.0 100.0
c) En resumen, ¿cuáles son las principales pistas para reducir la cantidad de piezas
defectuosas?
El diagrama de Pareto de problemas indica que predomina la porosidad con una
frecuencia mayor en la zona 3 independientemente del modelo. Por otra parte el diagrama de
Pareto para causas del defecto de porosidad cuneta con una diferencia de solo cinco
imperfecciones entre los modelos.
Ejercicio 5
5. En una empresa del ramo gráfico durante dos meses durante dos meses se ha llevado el registro
del tipo de defectos que tienen los productos finales, y se obtuvieron los siguientes problemas con
sus respectivos porcentajes: fuera de tono, 35%; manchas, 30%; fuera de registro, 15%; mal
corte, 12%; código de barras opaco, 8%. De acuerdo con el principio de Pareto, ¿se puede afirmar
que el problema vital, desde el punto de vista estadístico, es fuera de tono?
Fuera de tono 35
Manchas 30
Fuera de registro 15
Mal corte 12
Código de barras opaco 8
80 80
Percentaje
Porcentaje
60 60
40 40
20 20
0 0
Tipo de defecto o s ro te
ton ha ist or s op
c g c
de an re a l rr a
er
a M de M ba
u a de
F er o
Fu ódig
C
Porcentaje % 35 30 15 12 8
Percent 35.0 30.0 15.0 12.0 8.0
Cum % 35.0 65.0 80.0 92.0 100.0
¿Se puede afirmar que el problema vital, desde el punto de vista estadístico, es fuera de tono?
Ejercicio 6
6. Liste las principales actividades que realiza y, de acuerdo con el tiempo que les dedica a cada
una de ellas, haga un Pareto.
80
Percentaje
20
15 60
10 40
5 20
0 0
Actividades es r e ir er
las baja c las rm th
a
c
Tr
a tra Do O
tir ex
sis de
s
A da
i
c tiv
A
Tiempo (horas) 8.0 8.0 5.0 4.0 1.3
Percent 30.4 30.4 19.0 15.2 4.9
Cum % 30.4 60.8 79.8 95.1 100.0
Interpretación:
Del diagrama anterior podemos concluir que existen dos actividades que se realizan con
la misma cantidad de tiempo, las cuales son: asistir a clases y trabajar, ambas con un porcentaje
del 30.418% y una duración de 8 horas, siendo estas las de mayor porcentaje. Las actividades de
menor porcentaje, los cuales se ilustran en otros son: Hacer ejercicio y actividades domésticas.
Ejercicio 7
7. Mediante un análisis, en una empresa se detectaron seis tipos básicos de quejas de los clientes,
pero cada tipo de queja causó diferente grado de insatisfacción o molestia para el cliente. La
escala que se utilizó para medir el grado de molestia es el siguiente: máxima molestia (10
puntos), mucha insatisfacción (8), molestia moderada (6), poca (4), muy leve (2). Además, en el
análisis se determinó la frecuencia con la que ocurrieron en el último semestre las distintas
quejas. En la siguiente tabla se sintetizan los resultados de tal análisis:
Frecuencia de
Tipo de queja Grado de molestia
ocurrencia
A 4 12%
B 8 5%
C 2 40%
D 6 25%
E 4 10%
F 8 8%
a) Realice un análisis de Pareto para determinar sobre qué tipo de queja se deben dirigir
los esfuerzos para atender sus causas. Aplique la recomendación 2 del diagrama de
Pareto.
80
Grado de molestia
25
Percentaje
20 60
15
40
10
20
5
0 0
Tipo de queja B F D A E C
Grado de molestia 8 8 6 4 4 2
Percentaje 25.0 25.0 18.8 12.5 12.5 6.3
Cum % 25.0 50.0 68.8 81.3 93.8 100.0
Figura ¡Error! Utilice la pestaña Inicio para aplicar 0 al texto que desea que aparezca aquí.1
Diagrama de Pareto sobre el tipo de quejas.
Datos:
Frecuencia ocurrida: A 12%, B5%, C40%, D25%, E10%, F 8%
Grado de molestia: A4, B8, C2, D6, E4, F 8
Operación:
Frec. ocurrida * Gdo. molestia
A 12% 4, B5% , 8 C 40% 2, D25% 6, E 10% 4, F 8% 8
centrarse sobre este tipo de queja (D) y de esta manera poder satisfacer las
especificaciones del cliente.
Ejercicio 8
De acuerdo con la información de una hoja de verificación en una línea del proceso de envasado
de tequila, en el último mes se presentaron los siguientes resultados en cuanto a defectos y
frecuencia:
Tabla 8.1 Resultados de una hoja de verificación en una línea del proceso del tequila.
4000 80
Frecuencia
Percentaje
3000 60
2000 40
1000 20
0 0
Defectos de envasado
et
a sa ell
a ta pa er
it qu iv gu t ue Ta th
E Bo et iq O
s in ra
et ll
a nt
Co
Bo
Frecuencia 1823 916 804 742 715 102
Percent 35.7 18.0 15.8 14.5 14.0 2.0
Cum % 35.7 53.7 69.4 84.0 98.0 100.0
Conclusión:
Se logra apreciar que el defecto de envasado de botellas de tequila no es tan elevado por
lo que únicamente el estudio es realizado en el nivel 1; siendo el defecto en la etiqueta el de
mayor frecuencia y obteniendo menos del 50% del total de productos con defectos. Si este
defecto hubiese pasado al segundo nivel, habría que investigar cual es la raíz principal del
problema, por lo que se tendría que implementar nuevas estrategias de mejora con la intención de
disminuir el número de defectos no solo en la de etiqueta sino también en el de los demás puntos.
Sería recomendable aplicar la técnica empleada en la empresa TOYOTA, la cual es Six Sigma
para mejorar la calidad del envasado de botellas.
Ejercicio 9
En una empresa procesadora de carnes frías mediante una inspección al 100% se detectó
problemas en las salchichas. En la tabla 9.1 se muestran los resultados de una semana.
A 10 600 27.66
B 10 100 26. 36
C 17 620 45. 98
30000 80
Número de paquetes
Percentaje
60
20000
40
10000
20
0 0
Máquina empacadora C A B
Número de paquetes 17620 10600 10100
Percent 46.0 27.7 26.4
Cum % 46.0 73.6 100.0
A 1 350 47. 47
B 820 28. 83
C 674 23. 70
4000 100
80
Número de paquetes
3000
Percentaje
60
2000
40
1000
20
0 0
Máquina empacadora C A B
Número de paquetes 1455 1350 1200
Percent 36.3 33.7 30.0
Cum % 36.3 70.0 100.0
Se logra apreciar que la máquina C es la principal productora de los paquetes que contiene
manchas verdes, siendo este una cantidad de 1455 paquetes y un porcentaje de 36.33%. Logra
apreciarse que no existe tanta variabilidad entre los datos.
A 1 350 47. 47
B 820 28. 83
C 674 23. 70
2500
80
Número de paquetes
2000
Percentaje
60
1500
40
1000
500 20
0 0
Máquina empacadora A B C
Número de paquetes 1350 820 674
Percent 47.5 28.8 23.7
Cum % 47.5 76.3 100.0
Resumen:
Después de haber analizado los tres diagramas anteriores, se logró observar que existen
tres problemáticas de mayor interés, los cuales son: falta de vacío en la maquinaria empacadora
b) Con respecto al problema vital, haga Paretos de segundo nivel (causas) tanto para
máquina como para turno.
De acuerdo con las Paretos realizados anteriormente se pudieron obtener los problemas
vitales de las maquinarias empacadoras, en donde se pudo distinguir que las problemáticas son
las siguientes: falta de vacío en la maquinaria C, mancha verde existente en la maquinaria C y la
problemática de mancha amarilla en la maquinaria empacadora A.
100
Número de paquetes
15000
80
Percentaje
60
10000
40
5000
20
0 0
Turno 2 1
Numero de paquetes 9120 8500
Percent 51.8 48.2
Cum % 51.8 100.0
En la presente gráfica se puede notar que la causa principal del problema de falta de vacío
se originó en mayor porcentaje en la maquina C, en el turno II, teniendo 9120 paquetes
defectuosos.
Análisis del problema de la mancha verde en la máquina C
Número de
Turno Porcentaje
paquetes
I 800 54.98
II 655 46.02
Total 1455 100.00 %
1200
Número de paquetes
80
1000
Percentaje
60
800
600 40
400
20
200
0 0
Turno 1 2
Numero de paquetes 800 655
Percent 55.0 45.0
Cum % 55.0 100.0
Figura 9.4 Diagrama de Pareto de segundo nivel del problema de la mancha verde
Mediante el análisis del diagrama de la figura 9.4 se puede decir que en la maquina C
existe una cantidad considerable de números de paquetes que contienen la mancha verde, el
mayor número con este defecto se dio en el turo I teniendo un porcentaje del 55% de defectos y
una cantidad de 800 paquetes de salchichas defectuosas.
Análisis del problema de la mancha amarilla en la máquina A.
Percentaje
800 60
600
40
400
20
200
0 0
Turno 1 2
Numero de paquetes 700 650
Percent 51.9 48.1
Cum % 51.9 100.0
Figura 9.6 Diagrama de Pareto de segundo nivel del problema de la mancha amarilla
c) Vuelva a realizar los análisis anteriores, pero considerando que la gravedad del
problema desde el punto de vista del cliente es la siguiente: falta de vacío (6), mancha
verde (1 0), mancha amarilla (8).
Tabla 9.7 Gravedad desde el punto de vista del cliente.
Número de
Problema Porcentaje
paquetes
Falta de vacío 6 25
Mancha verde 10 41.67
Mancha amarilla 8 33.33
Total 24 100.00 %
20 80
Percentaje
Gravedad
15 60
10 40
5 20
0 0
Problema Mancha verde Mancha amarilla Falta de vacio
Gravedad 10 8 6
Percent 41.7 33.3 25.0
Cum % 41.7 75.0 100.0
En la figura 9.7 se muestra la gravedad del problema desde el punto de vista del cliente,
del cual podemos resaltar que la mancha verde es el punto de mayor gravedad, por lo tanto se
requiere de un análisis más profundo para identificar el causante que genera la mala calidad en el
producto e implementar estrategias de mejora para que de esta manera el problema de vacío,
mancha verde y amarilla en las salchichas se corrijan y poder cumplir con estándares de calidad.
Ejercicio 10
10. Con el propósito de enfocar mejor los esfuerzos del área de mantenimiento se analiza el
tiempo muerto por fallas del equipo de impresión en 11 líneas de producción de una
empresa de manufactura. Los datos se obtuvieron durante cuatro meses y hubo un total de
cien fallas, vea la tabla siguiente.
a) Realice un análisis de Pareto para las líneas de producción en función del tiempo
acumulado de falla. Reporte los aspectos más relevantes.
Se puede notar que en esta gráfica de Pareto la línea de producción con más fallas es la
línea de producción C la cual a diferencia de las demás lleva un tiempo acumulado mayor al 20%
total en tiempo acumulado de falla, por lo que cabe a mencionar, dicha línea debe ser enviada a
revisión, posteriormente se puede notar que la línea G,D,A,E también tienen un alto tiempo
acumulado de falla en contraste con las líneas I,F,K, por lo cual es recomendable desarrollar
estrategias que aminoren el tiempo acumulado de fallas llegando a un nivel menor como se ve en
las líneas I,F,K.
b) Haga el análisis anterior pero ahora considerando el tiempo promedio por falla.
De acuerdo a lo analizado se puede demostrar mediante esta grafica de Pareto que la línea
de producción con más tiempo promedio por falla es H siendo que a diferencia con el tiempo de
duración era C lo cual demuestra que la duración de las fallas es mayor en las líneas H, J, G pero
con menor número de fallas que las líneas C, G, D, A, por lo cual se recomienda planificar
estrategias que aminoren el número de fallas y el tiempo de estas.
c) De acuerdo con los dos análisis anteriores, ¿sobre cuál o cuáles líneas habría que hacer un
esfuerzo especial de mantenimiento?
Las líneas con las cuales debe haber un tratamiento especial de acuerdo al número de fallas y al
tiempo de estas es C, G, E, D, A ya estas al contar con un promedio alto de tiempo de fallas y
estas se encuentran con un constante tiempo de falla deben de planearse mantenimientos
periódicos o reajustar la línea, para así aminorar el índice de fallas con su duración
Ejercicio 11
11. En una fábrica de aparatos de línea blanca se han presentado problemas con calidad de las
lavadoras. Un grupo de mejora de la calidad decide revisar los problemas de la tina de las
lavadoras, ya que con frecuencia es necesario retrabajarla para que ésta tenga una calidad
aceptable. Para ello, estratificaron los problemas en la tina de lavadora por tipo de defecto, con la
idea de localizar cual es el desperfecto principal. A continuación se muestra el análisis de los
defectos encontrados en las tinas producidas en cinco meses. Realice un análisis de Pareto y
obtenga conclusiones.
Defecto Frecuencia
Mal soldada 40
Total 1950
Conclusiones:
Ejercicio 12
Ejercicio 13
13. En el área de finanzas de una empresa, uno de los principales problemas son los cheques sin
fondos de pago de los clientes. Por ello, dudan si aplicar medidas más enérgicas con todos los
pagos con cheques o sólo hacerlo con ciertos clientes. ¿Cómo utilizaría la estratificación para
tomar la mejor decisión?
Primeramente se clasificarían los clientes por qué pagan con cheques sin fondo, si es con
intención o simplemente no son conscientes de ello. Después se determinaría que tipo de adeudos
son los que son pagados con cheques sin fondo y representar los datos de ambos y con base en la
tabla de registro verificar si la información se inclina hacia algún lado en específico, de lo
contrario buscar más posibles causas raíz, y enfocarse más en esa para limitar esos pagos con
cheque. De esta forma se estará protegiendo la economía de la empresa y se estarán evitando
gastos que pudieran ser innecesarios, como los de estar pagando por un proceso legal para que
sus clientes cubran sus adeudos
Ejercicio 14
14. En un área de servicios dentro de una empresa de manufactura se realiza una encuesta para
evaluar la calidad del servicio y el nivel de satisfacción de los clientes. La encuesta consiste en 10
preguntas, y cada una de ellas evalúa diferentes aspectos del servicio proporcionado. Las
respuestas para cada pregunta es un número ente 0 y 10. Para hacer un primer análisis de los
resultados obtenidos, se sumas los puntos obtenidos de las 10 preguntas para cada cuestionario.
A continuación se muestran los puntos obtenidos en 50 cuestionarios.
78 78 82 85 81 86 80 73 84 78
68 84 75 78 76 76 82 85 91 80
70 87 77 82 84 48 49 39 39 43
35 42 34 44 49 34 30 43 31 34
41 42 45 42 35 38 39 42 43 29
Departamento 1
78 78 82 85 81 86 80 73 84 78
68 84 75 78 76 76 82 85 91 80
70 87 77 82 84
Promedio
x x2 .... xn x i
x 1 i 1
n n
78 78 ... 29
x
25
x 80
Mediana: x 80
Moda: x 78
( x1 x) 2 ( x2 x) 2 ... ( xn x) 2
Desviación estándar: S
n 1
Coeficiente de variación:
S 5.370
CV (100) (100) 6.713
x 80
Límites: x 3S
LS x 3S LI x 3S
80 3(5.370) 80 3(5.370)
96.110 63.890
L.S=96.110
L.S=91
80
L.I=68
L.I=63.89
0
Figura 14: Grafica de control del servicio al cliente.
Rango
R 91 68 23
Clase
Amplitud
R 23
3.833 4
k 6
Departamento 1
Límites.
K
L.I. DES. L.S. Frecuencia
1 68 x 71.833 2
2 71.833 x 75.666 2
3 75.666 x 79.499 7
4 79.499 x 83.332 6
5 83.332 x 87.166 7
6 87.165 x 90.998 1
25
n
n ( xi x ) 3
Sesgo i 1
(n 1)(n 2) S 3
(25) (68 80) 3 (70 80) 3 ....(91 80) 3
0.300
(24)(23)(5.370) 3
Departamento 2
48 49 39 39 43 35 42 34 44 49
34 30 43 31 34 41 42 45 42 35
38 39 42 43 29
Promedio
x x2 .... xn x i
x 1 i 1
n n
48 49 ... 29
x
25
x 39.6
Mediana: x 50
Moda: x 42
Básicamente el valor del promedio muestra que existe variabilidad en el resultado de las
encuestas aplicadas para evaluar la calidad y satisfacción del cliente, así como también es notable
que dicho valor sea bajo, esto quiere decir que los clientes en su mayoría no tienen satisfacción
del servicio brindado en el departamento 2.
( x1 x) 2 ( x2 x) 2 ... ( xn x) 2
Desviación estándar: S
n 1
Coeficiente de variación:
S 5.679
CV (100) (100) 14.341
x 39.6
Límites: x 3S
LS x 3S LI x 3S
39.6 3(5.679) 39.6 3(5.679)
56.637 22.563
L.S=56.637
L.S=49
39.6
L.I=29
L.I=22.563
Rango
R 49 29 20
Clase
Amplitud
R 20
3.333 4
k 6
Departamento 2
Límites.
K
L.I. DES. L.S. Frecuencia
1 29 x 32.333 3
2 32.333 x 35.666 5
3 35.666 x 38.999 1
4 38.999 x 42.332 8
5 42.332 x 45.666 5
6 45.666 x 48.998 3
25
n
n ( xi x ) 3
Sesgo i 1
(n 1)(n 2) S 3
(25) (29 39.6) 3 (30 39.6) 3 ....(49 39.6) 3
6.106
(24)(23)(5.679) 3
Conclusión
El departamento 2 tiene una mala calidad del servicio, se debe estratificar los datos y
buscar los factores que ocasionan esto para así implementar mejoras que tengan un buen impacto
en el cliente en cuanto a su nivel de satisfacción.
Ejercicio 15
15. ¿Cómo aplicaría la estratificación con el fin de orientar mejor la estrategia para disminuir la
inseguridad de una ciudad?
Como primer punto se agruparían y se clasificarían los datos para ver que factor es el que
altera más la inseguridad, una vez estratificados ayuda a entender mejor cual grupo o
clasificación, así mismo influye de manera considerable en la situación problemática en este caso
la clasificación de la inseguridad los factores serian: fallas, quejas, métodos de trabajo, turnos.
Como ya están agrupados (estratificados) ,es una manera fácil de identificar que clasificación es
la que tiene más erros, quejas o turnos y proporciona una pista a cerca de donde centrar los
esfuerzos de mejora, los cuales son las causas vitales.
Ejercicio 16
16. En una empresa se tiene el problema de robo de materiales, componentes y equipos por parte
de los empleados. ¿Cómo aplicaría la estratificación para orientar mejor la estrategia de
disminución de tales robos?
Posteriormente ya que los datos se hallan colocado en cada una de las clasificaciones, ver
cual clasificación o estratificación tiene mayor índice de robos y así poder hacer o modificar
dicho factor ya sea el turno en que se estén llevando a cabo los robos o en qué departamento es en
el que suceden más o cambiar al jefe del área donde suceden más robos.
Ejercicio 17
Es un formato construido para colectar datos, de forma que su registro sea sencillo y
sistemático y se puedan analizar visualmente los resultados obtenidos.
Ejercicio 18
Ejercicio 19
19. Diseñe una hoja de verificación para analizar la distribución del grosor de las láminas de
asbesto, considerando que el espesor ideal es de 5 mm con tolerancia de ±0.8. (Vea el ejemplo
6.5).
Para analizar la distribución del grosor de las láminas de asbesto, tomando en cuenta el
espesor central de 5 mm con una tolerancia de 0.8mm se diseñó la siguiente hoja de
verificación, en donde se colocan más datos por el hecho de que se pueden presentar laminas con
un grosor mayor o menor a los límites de tolerancia, así como un apartado de las observaciones
que se puedan presentar.
40
F
r
e
c 30
u
e
n
c 20
i
a
10
Grosor (mm) 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6 6.1
EI E.C ES
Obsevaciones:
Ejercicio 20
20. En una fábrica de válvulas, en cierta área de maquinado existen tres máquinas para fabricar
roscas, las cuales son utilizadas por cinco trabajadores. Se han tenido problemas con el número
de piezas defectuosas en tal área. Los directivos presionan a los trabajadores y los culpan de los
problemas de calidad. Los trabajadores, por su parte, le expresan a los directivos que las
máquinas son demasiado viejas y que por eso ocurren los problemas. ¿Qué haría específicamente
para aclarar la situación?
Fecha:
Departamento: Responsable:
Especificaciones:
Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Total
Defectos
Total
Observaciones:
Ejercicio 21
21. En una empresa que fabrica colchones se tienen los siguientes defectos: plisado, hilvanado,
fuera de medida y manchados. El trabajo se hace por medio de cinco máquinas. Diseñe una hoja
de verificación para registrar los defectos cuando se realiza la inspección.
Fecha: Especificaciones:
Inspector:
Tipo de Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Maquina 4 Maquina 5 Total
defecto: Frecuencia
Plisado
Hilvanado
Fuera de
medida
Manchados
Total:
Observaciones:
Ejercicio 22
22. En el proceso de envasado de tequila los defectos principales son los siguientes: botella, tapa,
etiqueta, contraetiqueta, botella sin vigusa, otros. Diseñe una hoja de verificación para registrar
estos defectos.
Fecha: Especificaciones:
Inspector:
Tipo de defecto: Frecuencia Total
Botella
Tapa
Etiqueta
Botella sin Vigusa
Total:
Observaciones:
Ejercicio 23
23. ¿Cuál es el propósito del diagrama de Ishikawa?
Ejercicio 24
24. ¿Cuáles son los diferentes métodos de construcción del diagrama de Ishikawa?
Equipo 4: Existen 3 tipos básicos de diagramas de Ishikawa, los cuales dependen de cómo se
buscan y se organizan las causas en la gráfica las cuales son el método de las 6M, flujo del
proceso y Estratificación.
Ejercicio 25
25. Recuerde cuáles son algunas de las causas o situaciones asociadas a cada una de las 6 M.
Métodos de trabajo y mano de obra, las cuales se encarga del conocimiento, entrenamiento
habilidad y capacidad de los trabajadores. Los materiales, en la cual se conoce la variabilidad, los
cambios de este, los proveedores y tipos que se manejan. La maquinaria, la cual mide la
capacidad, calidad, condiciones, herramientas, ajustes y mantenimiento. También se menciona la
medición, la cual mide la calibración, disponibilidad, tamaño de la muestra, Repetibilidad, entre
otras y por último el medio ambiente la cual observa los ciclos y la temperatura.
Ejercicio 26
26. Elija dos de los siguientes problemas y aplique, de preferencia en equipo, un diagrama de Ishikawa.
a) ¿Cuáles son los obstáculos principales para que una persona baje de peso?
e) ¿Cuáles son los problemas principales para lograr una verdadera transformación hacia la calidad?
e) ¿Cuáles son las causas por las que una persona llega tarde a una cita?
El efecto que se desea analizar son las causas posibles que afectan a un ser humano para no bajar de peso,
analizando las posibles causas para que este efecto ocurra. Por lo que a continuación se dan las posibles
causas mediante el método de estratificación.
1. Nutricionales
Exceso de calorías
Exceso cantidad de comida
Exceso de azucares en alimentos
2. Genéticos
Familia obesa
Metabolismo lento
Retención de líquidos
3. Psicológicos
No tener horarios
Estrés laboral
Ansiedad
Comer de manera compulsiva
4. Costumbres
De acuerdo al diagrama de Ishikawa, se observa que las recomendaciones para que una persona pueda
bajar de peso, son que este, desarrolle una dieta, cambie su vida sedentaria, entre otras situaciones que
pueden mejorar su estado de vida.
El efecto que se desea analizar en este diagrama son las causas que pueden afectar en el ausentismo de la
empresa, por lo que se lleva a analizar dicho efecto mediante las 6M.
1. Mano de obra
Problemas familiares
Conducta del hombre
Problemas personales
Falta de compromiso
Enfermedad
2. Maquina
Accidentes vehiculares
Accidentes de trabajo
3. Material
Falta de transporte
Falta de recursos
Sueldo mínimo
4. Método
Políticas de empresa
Horario de trabajo
Contrato colectivo
5. Medición
Edad
Peso
Características físicas
6. Medio ambiente
Desastres naturales
Fenómenos naturales
Estas posibles causas nos muestran cómo se llega al incremento del ausentismo en una empresa, por lo
cual se debe tener constantes capacitaciones y llevar a un ajuste en cuestión con el personal de dicha
empresa.
Ejercicio 27
27. ¿Cuál es el propósito de un diagrama de dispersión?
El propósito del diagrama de dispersión es analizar la forma en que dos variables (x-y)
están relacionadas, así como evaluar el comportamiento que una tiene una sobre otra.
(Gutiérrez y de la Vara, 2013).
Ejercicio 28
28. En una empresa del área electrónica se desea investigar la relación entre la cantidad de
flux (ml/min) y la cantidad de cortos en las tarjetas. El resto de las variables del proceso
(soldadora de ola) se mantuvieron constantes, entre ellas el tiempo que operó el proceso
en cada condición. Los datos obtenidos se muestran en la tabla:
Flux (ml/min) 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
Número de cortos 6 5 4 5 4 4 2 3 2 2 1 0 0 1
¿Qué tipo de relación existe entre estas variables? Apóyese en el diagrama de dispersión y
coeficiente de correlación.
5
Número de cortos
3 r= 0.943
0
0 10 20 30 40
Flux (ml/min)
Cálculos para x
x 10 12 14 ... 32 34 36 322
x
x 322 23
n 14
x 2
S x x 910
Cálculos para y
y 6 5 4 ... 0 0 1 39
y
y 39 2.786
n 14
y 2
S y y 48.956
Regresión lineal
Sx y 199
1 0.219
Sx x 910
0 y 1 x
0 2.786 0.21923 7.823
Yˆ 0 1 x
Coeficiente de correlación
Sx y
r
Sx x.S y y
Análisis de varianza
Datos:
n 14
S 199
xy
S 48.956
yy
1 0.219
Suma de Grados de P.
Fuente de var. Cuadro medio F0
cuadrados libertad Evaluación
Total S y y 48.956 13
Prueba de hipótesis
H 0 : 1 0
H1 : 1 0
Conclusión
Mediante el diagrama de dispersión se puede observar que existe una relación
lineal con una correlación negativa entre los datos estudiados (flux y número de cortos),
por lo que se puede decir que cuanto menor sean los flux (ml/min) empleados el número
de cortos es mayor, es decir, cuando una variable aumenta la otra disminuye y viceversa;
siendo de esta manera, se podría decir que el número de cortos en las tarjetas (y) depende
de la cantidad de Flux (x).
Por otra parte, mediante el coeficiente de correlación se ha observado que sí existe
relación entre la cantidad de flux y el número de cortos en las tarjetas, teniendo como
valor de dicho dato 0.943. La relación lineal negativa existente tan bien es aceptada
estadísticamente, por lo que el modelo utilizado es confiable.
Ejercicio 29
29. En cierta empresa es usual pagar horas extras para cumplir con los tiempos de entrega. En
este centro productivo, un grupo de mejora de calidad está tratando de reducir la
proporción de piezas malas. Con este propósito deciden investigar la relación que existe
entre la cantidad de horas extras, X, y el porcentaje de artículos defectuosos, Y. A
continuación se muestran los datos obtenidos.
Horas Porcentaje de
Semana
extras defectuosos
1 340 5
2 95 3
3 210 6
4 809 15
5 80 4
6 438 10
7 107 4
8 180 6
9 100 3
10 550 13
11 220 7
12 50 3
13 193 6
14 290 8
15 340 2
16 115 4
17 362 10
18 300 9
19 75 2
20 93 2
21 320 10
22 154 7
a) Obtenga el diagrama de dispersión para estas variables.
16%
14%
12%
Porcentaje de defectuosos
10%
8%
6%
4%
2%
0%
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Horas extras
c) Con base a lo anterior, ¿puede concluir con seguridad que cuando se trabaja tiempo extra
se incrementa el porcentaje de defectuosos porque ocurren factores como calentamiento
de equipo, cansancio de obreros, etc., que causan mayores problemas en la calidad de las
piezas?
Ejercicio 30
30. Para investigar la relación entre la presión de las escobillas y la altura de la pasta en la
impresión de tarjetas electrónicas, se imprimieron 10 tarjetas con diferentes presiones.
Los datos obtenidos se muestran a continuación:
Presión (kg) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Altura
(milésima de 11 12 11.5 11.3 10 8 8 7.9 8.1 8
pulgada)
a) ¿Qué tipo de relación existe entre estas variables? Apóyese en diagrama de dispersión
y coeficiente de correlación.
El diagrama de dispersión no muestra el tipo de relación existente entre la
presión (x) y la altura de las pastas (y) debido a que no es evidente una relación entre
ambas variables, pero se podría decir que existe una correlación fuerte entre los datos,
siendo este de 0.888
Se podría mencionar que para haber obtenido dicha reacción representada en el
diagrama, posiblemente influyeron ciertos factores al momento de realizar la
impresión de las 10 tarjetas.
14
12
0
0 5 10 15 20
Presión
Cálculos para x
x 8 9 10 ... 15 16 17 125
x
x 125 12.5
n 10
x 2
S X X 82.5
Cálculos para y
y 2
S y y 27.196
Altura
Presión
(milésima de xx x2 y y y2 Sx y
(kg)
pulgada)
Modelo de regresión
Sx y 42.100
1 0.510
Sxx 82.500
0 y 1 x
0 9.580 0.51012.5 15.955
Yˆ 0 1 x
Coeficiente de correlación
Sx y
r
Sx x. S y y
42.1 42.1 42.1
r 0.888
82.527.196 2243.670 47.367
Análisis de varianza
Datos:
n 10
S 42.1
xy
S 27.196
yy
1 0.510
Tabla ¡Error! No hay texto con el estilo especificado en el documento..1. Análisis ANOVA
Suma de Grados de P.
Fuente de var. Cuadro medio F0
cuadrados libertad Evaluación
S y y 27.196
Total 9
Prueba de hipótesis
H 0 : 1 0
H1 : 1 0
Yˆ 0 1x
Yˆ 15.955 0.5108 11.875
De acuerdo a lo anterior la presión de la escobilla en la impresión de tarjetas electrónicas debe ser
de 11.875 kg.
b) Considerando que la altura ideal de la pasta es de 8, ¿Cuál es la presión que deben
tener las escobillas?
Si se considera una altura de la pasta de 8 y se desea conocer la presión que las escobillas
deben ejercer, se debe sustituir la altura de la pasta en el siguiente modelo de regresión:
Yˆ 0 1x
Yˆ 15.955 0.5108 11.875
De acuerdo a lo anterior la presión de la escobilla en la impresión de tarjetas electrónicas debe ser
de 11.875 kg.
Ejercicio 31
31. En una fábrica de pintura se quiere reducir el tiempo de secado del barniz. Los siguientes datos
corresponden al tiempo de secado del barniz (horas) y a la cantidad de aditivo con el que se intenta lograr
tal reducción.
Cantidad Tiempo
de de
aditivo secado
0 14
1 11
2 10
3 8
4 7.5
5 9
6 10
7 11
8 13
9 12
10 15
En base al diagrama de dispersión, se logra analizar y observar que existe un poco relación entre
ambas variables, es decir, entre el tiempo de secado y la cantidad de aditivo, ya que en los parámetros de
0-4 el tiempo de secado tiende a disminuir y sin embargo en los parámetros de 5-10 el tiempo de secado
aumenta a medida que se le agrega cantidades de aditivo.
b) Con base en la relación, ¿alrededor de qué cantidad de aditivo recomendaría para reducir el
tiempo de secado?
Es verdaderamente recomendable colocar cantidad de aditivos entre los parámetros de 0-4 ya que en
este parámetro el tiempo de secado es más rápido, puesto que no es recomendable agregar cantidades de
aditivos en los parámetros de 5-10 porque el tiempo de secado es más lento.
x (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10)
x 5
i
i 1
n 11
x i x (0 5) 2 , (1 5) 2 , (2 5) 2 ,......, (8 5) 2 , (9 5) 2 , (10 5) 2
2
n
S XX ( xi x) 2 25 16 9 ..... 9 16 25 110
i 1
n
S YY ( y i y) 2 9.72 0.002 0.912 ..... 4.182 1.092 16.362 57.245
i 1
n
S XY ( xi x)( y i y) (5)(3.045) (4)(0.045) ..... (4)(1.045) (5)(4.045) 26.500
i 1
S 26.500
1 XY 0.241
S XX 110
1 0.241
0 9.750
yˆ 0 1x
yˆ 9.750 0.241x
En este modelo se logra entender que por cada 0.241% de cantidad de aditivo que se le agrega a la
pintura el tiempo de secado en el barniz aumenta un 9.750% casi un 10%.
S XY 26.500
R 0.334
S XX S YY 110 57.245
R 0.334
d) Al parecer, el coeficiente de correlación lineal es muy bajo. ¿Quiere decir que el tiempo de secado no
está relacionado con la cantidad de aditivo?
No existe relación, ya que el valor de la correlación fue muy bajo lo cual determina que no existe
relación entre ambas variables, es decir entre la cantidad de aditivo y el tiempo de secado.
Ejercicio 32
32. En varias ciudades de Europa se recopilaron datos sobre el número de cigüeñas que anidan y
el número de nacimientos de bebés. Cada pareja de datos reportados en la siguiente tabla
representan los totales observados en nueve localidades con cierto tamaño poblacional.
Número de
cigüeñas (X 15.65 18.52 19.00 19.52 21.52 23.50 25.90
1000)
Número de
nacimientos
5.10 5.42 5.80 5.80 6.21 6.55 6.70
(X 100
000)
n 7
x x
i
2
(15.65 20.520)2 , (18.52 20.520)2 ,......, (23.50 20.520)2 , (25.90 20.520)2
n
S XX ( xi x) 2 23.717 4.00 2.310 ..... 1.00 8.880 28.944 69.851
i 1
n
SYY ( yi y)2 0.706 0.270 0.020 ..... 0.073 0.372 0.578 2.039
i 1
n
S XY ( xi x)( y i y ) (4.870)(0.840) (2.00)(0.520) ..... (2.980)(0.610) (5.380)(0.760)
i 1
S XY 11.661
S 11.661
1 XY 0.167
S XX 69.851
1 0.167
0 2.513
yˆ 0 1x
yˆ 2.513 0.167.x
S XY 11.661
R 0.977
S XX S YY 69.851 2.039
R 0.997
b) ¿Esta evidencia es suficiente para respaldar la fábula tradicional de que las cigüeñas traen
a los niños? Argumente.
De acuerdo a los datos ya analizados se puede constatar que si existe una relación entre ambas, es
decir, entre el número de cigüeñas que anidan y el número de nacimientos de bebes de esta
manera se respalda la famosa fabula popular de que las cigüeñas traen a los niños.
Ejercicio 33
33. Como parte del análisis del problema de ausentismo se decide investigar la relación entre
edad del empleado y días que faltó a laborar en el año. Los datos del último año se muestran a
continuación.
Figura 33: gráfica de dispersión entre edad del empleado y ausentismo laboral
y (6 5 0 8 6 9 ..... 4 4 6 7 3 6)
y i 1
5.375
i
n 40
xi x2 (29 30.600) 2 , (33 30.600) 2 ,......, (40 30.600) 2 , (31 30.600) 2
n
S XX ( xi x) 2 2.560 5.760 88.360 ..... 12.960 88.360 0.160 1591.600
i 1
n
S XY ( xi x)( yi y ) (1.600)(0.0625) (2.400)(0.375) ..... (9.400)(2.375)
i 1
(0.400)(0.0.625) 265.000
S 265.000
1 XY 0.166
S XX 1591.600
1 0.166
0 10.470
yˆ 0 1x
yˆ 10.470 0.166.x
Correlación
S XY 265.000
R 0.443
S XX SYY 1591.600 225.249
R 0.443
De acuerdo a la correlación ya obtenida se interpreta que si existe una relación entre las
variables, sin embargo el valor obtenido es negativo y a este tipo de correlación se le denomina
correlación negativa de tipo moderada ya que se encuentra entre los datos -0.4- a -0.69 esto
determina que mientras una variable disminuye conforme otra aumenta.