02.-Sol Cinemática y Dinámica PDF
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Cinemtica y dinmica
EJERCICIOS PROPUESTOS
2.1
dr
Para determinar la velocidad se hace la derivada de la posicin: v =
= 375 cos 25 i + (375 sen 25 9,8 t ) j
dt
El movimiento se corresponde con una trayectoria parablica con velocidad inicial 375 m s
de la gravedad de 9,8 m s2.
y una aceleracin
El tiempo de vuelo se obtiene calculando el tiempo para el que y = 0; y = 375 t sen 25 4,9t 2 = 0
Las soluciones son: t = 0 y t =
375 sen 25
= 32,3 s
4,9
2.2
Obtn la expresin del mdulo de la velocidad en un mcu y comprueba que es constante en el tiempo,
por lo que la aceleracin tangencial es cero.
La velocidad de una partcula con mcu cuya posicin viene definida por: r = R cos t i + R sen t j
dr
= R sen t i + R cos t j
Su velocidad es: v =
dt
dv
dt
d(R)
=0
dt
El mdulo de la velocidad no vara con el tiempo, as que la aceleracin tangencial ser nula.
2.3
Del techo de un tren que viaja con mru a una velocidad de 180 km h1, cuelga una lmpara. Cuando el
tren comienza a frenar, el cable que la sujeta forma un ngulo de 10 con la vertical, que se mantiene
constante durante toda la frenada. Qu distancia ha recorrido el tren mientras se detena?
1 2
1
at = 50 28,9 1,73 28,92 = 722 m
2
2
20
Solucionario
ma
mg
2.4
Demuestra que, si el momento de las fuerzas que actan sobre una partcula es cero, su trayectoria
est contenida en un plano.
Si el momento de las fuerzas que actan es cero, se tiene que el momento angular ser constante. Dado
que L = r mv es perpendicular al plano formado por la velocidad y por la posicin de la partcula, se tiene
que la trayectoria no podr salir de este plano.
2.5
Calcula el momento de inercia con respecto al centro de masas de un sistema de cuatro masas
iguales de 5 kg cada una, colocadas en los vrtices de un cuadrado de 4 m de lado.
m r
5 kg
5 kg
i i
8m
2.6
( 8)
= 160 kg m
C.M. 4 m
8m
5 kg
4m
5 kg
Calcula el momento de inercia de una esfera maciza de 20 cm de radio y 275 g que gira en torno a su
eje de simetra.
Aplicando la expresin del momento de inercia de una esfera alrededor de un dimetro, se tiene:
2
2
Iesfera = mr 2 = 0,275 0,22 = 4,4 10 3 kg m2
5
5
2.7
Los ciclistas en algunas pruebas utilizan la rueda tradicional de llanta y radios, que se puede
asemejar a un anillo, pero en otras utilizan la rueda lenticular, ms parecida a un disco. Si ambas
tienen la misma masa, cul ser ms fcil de poner en movimiento?
El momento de inercia de un disco es menor que el de un anillo de igual masa, por lo que la rueda lenticular
ser ms fcil de poner en movimiento.
2.8
Sobre la llanta de una rueda de bicicleta de 200 g de masa y 310 mm de radio, que est girando a
360 rpm, actan las zapatas de freno, de manera que se detiene en 1,2 s. Calcula la fuerza de
rozamiento que la ha frenado.
0
=
Se calcula la aceleracin angular de la rueda teniendo en cuenta que: =
t
2
2.9
0 360
1,2
2
60 = 31,4 s 2
kg m
1,92 10 31,4
= 1,94 N
0,31
Puesto que no hay momentos exteriores, el momento angular del sistema ha de permanecer constante; por
lo tanto, se tiene:
Iplat
Iplat 0 = Iplat + oper f f = 0
Iplat + oper
El momento de inercia de la plataforma es: Iplat =
1
1
mR 2 = 250 32 = 1125 kg m2
2
2
1125
= 3,85 rpm
1755
Solucionario
21
Solucionario
onario
2.10
2
Un patinador sobre hielo, cuyo momento de inercia mximo (brazos en cruz) es de 21 kg m , est
1
girando con una velocidad angular de 6 rad s . Calcula la velocidad de giro cuando adopta una
posicin cuyo momento de inercia es de 5,4 kg m2.
En este sistema se conserva el momento angular, de manera que se cumple la siguiente relacin:
I0 0 = If f f = 0
21
I0
= 6
= 23,3 rad s1
5,4
If
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
CINEMTICA
2.11
Una partcula se mueve a lo largo del eje x, de tal manera que su posicin en cada instante est dada
2
en unidades del SI por la expresin: x = 3t 5t 8. Calcula:
a)
b)
c)
a)
dr
v=
= (6t 5 ) i
dt
Cuando la velocidad se hace igual a 2 m s-1, se tiene: 2 = 6 t 5 t = 1,2 s
b)
c)
dv
2
a=
= 6 i (m s )
dt
2.12
Una partcula que se mueve segn un tiro parablico, tiene la siguiente ecuacin de movimiento:
r = 7t i + (7t 4,9t 2 ) j
Calcula:
a)
b)
a)
dr
v=
= 7 i + (7 9,8t ) j
dt
dv
2
= 9,8 j (m s )
La aceleracin ser: a =
dt
R=
an
22
72
=5m
9,8
Solucionario
2.13
En un movimiento circular de radio r = 6,5 m la velocidad angular viene dada por = 2 + 3t (en
unidades del SI).
a)
b)
c)
Determina la longitud del arco recorrido en los dos primeros segundos del movimiento.
a)
b)
d
= 3 rad s 2
dt
2R2
= 2R
R
Sustituyendo para t = 3 s:
an = (2 + 3 3)2 6,5 = 786,5 m s2
c)
El arco recorrido es igual al producto del ngulo barrido por la longitud del radio: l = R
Donde:
= 0 + 0 t +
1 2
1
t = 0 + 2 2 + 3 22 = 10 rad
2
2
Sustituyendo: l = 10 6,5 = 65 m
2.14
El electrn de un tomo de hidrgeno en estado fundamental describe alrededor del ncleo una
rbita circular de 5 1011 m de radio con un perodo de 1,43 1016 s. Calcula la aceleracin de su
movimiento.
De la expresin de la aceleracin normal, se tiene:
2
an =
2.15
v
4 2
4 2
2R2
=
= 2R = 2 R =
R
R
T
1,43 10 16
5 10 11 = 9,65 1022 m s 2
Un mvil se mueve sobre el eje x de tal manera que su posicin viene dada por la ecuacin:
x = 2,25 + 4t t2
a)
b)
c)
a)
dx
= 4 2t
dt
Solucionario
23
Solucionario
onario
2.16
Una partcula describe una circunferencia de radio R de tal manera que la longitud del arco recorrida
1
en cada instante es l = a 0 t 2 v 0 t , donde a0 y v0 son constantes. Calcula:
2
a)
b)
a)
dv
= a0
dt
an =
b)
2.17
a t a0
=
R
R
r = 5 t 2 i + 2 j + (3t 2 7)k
Estudiando las componentes intrnsecas de la aceleracin, se comprueba que se trata de un
movimiento rectilneo.
Se calcula la velocidad y la aceleracin:
v = 10 t i + 6t k v = 136 t m s1 a = 10 i + 6k a = 136 m s2
La aceleracin tangencial es:
at =
dv
dt
= 136 m s 2
PRINCIPIOS DE LA DINMICA
2.18
Un imn de 25 g de masa y un clip de 0,1 g se atraen con una fuerza que depende de la distancia que
los separa. Si ambos estn sobre un plano horizontal sin rozamiento, cuando estn a 5 cm, el clip se
aproxima al imn con una aceleracin instantnea de 15 m s2. Con qu aceleracin se aproxima el
imn hacia el clip?
Por aplicacin del tercer principio de la dinmica, la fuerza de atraccin entre el imn y el clip es la misma en
los dos elementos interaccionantes. Es decir: Fimn = Fclip. Por tanto: mi ai = mc ac
Despejando y sustituyendo, se tiene:
ai =
mc ac 0,1 15
=
= 0,06 m s 2
mi
25
24
Solucionario
2.19
Una persona de 65 kg de masa permanece sobre una balanza que se apoya en el suelo de un
ascensor que sube con:
1. Velocidad constante.
2. Aceleracin de 1,2 m s2.
3. Aceleracin de 1,2 m s2.
Contesta a las siguientes preguntas, para cada caso anterior:
a)
b)
c)
Cmo las interpreta una persona que permanece en reposo en el exterior del ascensor?
a)
2.20
b)
Las diferencias que observa el viajero las justificar por la presencia de fuerzas de inercia, debido a la
aceleracin a la que est sometido en su sistema de referencia.
c)
Una persona en el exterior las interpretar como el resultado de la aceleracin real a la que est
sometido el viajero, que es la suma de la de la gravedad y la del ascensor.
Un pndulo cuelga del techo de un tranva que viaja a 36 km h1. Qu ngulo formar el hilo con la
vertical si el tranva describe una curva de 50 m de radio?
ma an
=
mg
g
100
= 2 m s 2
50
_ m an
2
Por lo tanto, el ngulo ser: = arctg
= 11,5
9,8
2.21
mg
Sobre una plancha cuadrada rgida actan tres fuerzas, tal y como se indica en la figura. Si F3 = 10 N,
calcula F1 y F2 para que la plancha permanezca en equilibrio.
F2
F1
F3
La condicin de equilibrio es que la suma de las fuerzas y de los momentos sea cero. La suma de los
momentos es cero, puesto que las fuerzas son concurrentes en el centro, de manera que los momentos de
cada una son cero.
Para que la suma de las fuerzas sea cero, es necesario que se cumpla el equilibrio en el eje y:
F2y = F3y, por tanto: F2 = F3
Por otra parte, se tiene que cumplir el equilibrio en la componente x que:
F1 = F3 cos 45 + F2 cos 45 = 2 F3 cos 45 = 2 10 0,707 = 14 N
Por tanto: F2 = 10 N y F1 = 14 N
Solucionario
25
Solucionario
onario
2.22
Un granizo de 1 g de masa se desprende de la nube y comienza a caer con aceleracin constante igual
a g. La fuerza de rozamiento del granizo con el aire va aumentando con la velocidad del mismo, de
manera que, superado un valor mnimo, llega al suelo con una velocidad constante de 30 m s1.
Independientemente de la altura desde la que caiga, cunto vale la fuerza de rozamiento del granizo
con el aire a esa velocidad?
Si el granizo llega con velocidad constante al suelo, independientemente de cual sea la lturo debido a que la
fuerza de rozamiento con el aire iguala al peso del granizo. Por tanto: Froz = mg = 0,001 9,8 = 9,8 103 N
2.23
Una piedra est atada en el extremo de una cuerda de 0,5 m de longitud y gira en un plano vertical con
un movimiento que se puede considerar como circular uniforme. Calcula la velocidad angular mxima
que se puede dar a la piedra si se sabe que la cuerda se rompe cuando la tensin es 10 veces el peso
de la piedra.
El punto ms crtico para la cuerda es el punto inferior, en el que debe soportar el peso de la piedra y adems
proporcionar la aceleracin centrpeta necesaria para el movimiento circular. Luego:
Tmx = m g + FN = 10 m g. Por tanto: Fn = 9 m g y an = 9g
Se tiene, pues:
an =
v2
= 2R mx =
R
9g
= 13,3 rad s1
R
T
mg
2.24
Se dispone de una polea y tres cuerpos de masas m1 = 3 kg y m2 = m3 = 1 kg, dispuestos tal y como
indica la figura. Si se consideran despreciables las masas de las cuerdas y de la polea, y no hay
rozamiento:
a)
b)
c)
a)
b)
R
T
T
A
c)
m2
m1
m1 g
m1 g T = m1 a; T = m1 (g a) = 3 (10 2) = 24 N
T1
m2 g
T = (1 + 1) (10 + 2) = 24 N
Finalmente, para el punto C tenemos la siguiente ecuacin:
T1 m3 g = m3 a; T1 = m3 (g + a) = 1 (10 + 2) = 12 N
26
Solucionario
2.25
Cuando el ascensor suba con una aceleracin igual a 2 m s2 en el sentido del movimiento.
b)
a)
Al subir el ascensor, la aceleracin de la gravedad y la del ascensor se sumarn para aumentar la carga
m (g + a) 3 (9,8 + 2)
aplicada al muelle, de manera que se tendr: l =
=
= 0,7 m l = 2,7 m
k
50
b)
Cuando suba a velocidad constante, la aceleracin ser nula y la longitud del muelle ser:
l =
2.26
mg 3 9,8
=
= 0,6 m l = 2,6 m
k
50
Un pintor de fachadas est subido sobre una plataforma que est sujeta por una cuerda que va a una
polea, como se muestra en las figuras.
B
A
Antes de comenzar a pintar, debe atar el extremo de la cuerda al punto A de la plataforma o al punto
B de la fachada. La cuerda tiene una resistencia de 3500 N y el peso del pintor ms la plataforma es
de 4000 N. Dnde se atara la cuerda, al punto A o al B?
Para resolver este problema, hay que analizar las dos situaciones posibles.
En el caso de la figura A, la ecuacin que indica la tensin es la siguiente:
2 T = m g; por tanto, la tensin es: 2 T = 4000 N T = 2000 N
En este caso, la resistencia de la cuerda de 3500 N es suficiente para que no se rompa.
En el caso de la figura B, tenemos que T = m g = 4000 N, y por tanto se romper.
2.27
a)
b)
a)
b)
dr
dv
1
Se calcula la velocidad y la aceleracin de la partcula: v =
= 4t j (m s ); a =
= 4 j (m s 2 )
dt
dt
p = mv = 4 12 j = 48 j (kg m s1)
Solucionario
27
Solucionario
onario
2.28
Una fuerza variable en el tiempo F = 2 + t 2 i acta sobre un cuerpo de 3 kg de masa que se mueve por el
Calcula cunto vale la variacin del momento lineal del cuerpo en el primer segundo de actuacin.
b)
dp d
dv
=
mv = m
= ma = F
Teniendo en cuenta que en sistemas de masa constante:
dt dt
dt
a)
Luego dp = F dt
b)
2.29
dp = F dt p =
1
0
F dt =
1
0
7
1
(2 + t 2 ) i dt = 2t + t 3 i = i kg m s1
3 0 3
Como el movimiento es rectilneo y a lo largo del eje x, el momento angular es siempre cero, dado que en
todo punto el vector momento lineal es paralelo al vector posicin y. Por tanto: L = r mv = 0 L = 0
Calcula la velocidad de retroceso de un fusil que tiene 2,2 kg de masa cuando dispara un proyectil de
20 g a una velocidad de 700 m s1.
Puesto que no hay fuerzas exteriores al sistema fusil-bala, el momento lineal del mismo se conserva. Como
inicialmente el sistema est en reposo, el momento total ser siempre nulo. Por tanto:
mb v b + mf v f = 0 v f =
2.30
mb v b 0,02 700
=
= 6,4 m s1
mf
2,2
La posicin con respecto al origen de coordenadas de una partcula de 200 g viene dada por el vector
r = 2 i + t 2 j + k . Calcula:
a)
b)
a)
dr
v=
= 2t j m s1 p = mv = 0,2 2t j = 0,4 t j (kg m s1 )
dt
El momento angular con respecto al punto dado ser:
b)
dL
M=
= 0,4 k (N m)
dt
2.31
En la proa de una barca inicialmente en reposo y cuyo rozamiento con el agua despreciamos, se
encuentra una persona que lanza un fardo de 5 kg con una velocidad horizontal de 6 m s1 hacia la
popa, donde la recoge otra persona. La masa total de la barca y las dos personas es de 300 kg. Calcula
la velocidad que adquiere la barca mientras que el fardo est en el aire y cuando la otra persona lo
recoge.
El momento lineal del sistema se conserva en todo momento, de manera que mientras el fardo est en el aire
se tiene:
mb v b = mf v f v b =
mf v f 5 6
=
= 0,1 m s1
mb
300
La barca avanzar hacia proa y cuando la segunda persona lo recoja el sistema volver a su estado inicial en
reposo.
28
Solucionario
2.32
2.33
mp v p + mb v b
mb +p
0,02 300
= 3,95 m s1
1,52
Una avioneta cuya masa total es de 3200 kg se mueve horizontalmente a una velocidad de 600 km h1
cuando lanza una masa de 40 kg con una velocidad (referida a la avioneta) de 600 km h1 en sentido
contrario al de su movimiento. Calcula:
a)
b)
a)
La masa lanzada se encuentra parada respecto a un punto fijo en tierra, as que, del principio de
conservacin del momento, se determina que:
p0 = p f ma +m v a +m = mm v m + ma v a
m
v
mm v m 3200 600
v a = a +m a +m
=
= 607,6 km h1
ma
3160
b)
Dado que la masa inicia su movimiento en reposo, solo sufrir la aceleracin de la gravedad, y su
velocidad tras 5 s ser:
v = g t = 9,8 5 = 49 m s1
2.34
Sobre un determinado cuerpo acta una fuerza cuyo momento respecto del eje es: M = 10 k (N m)
Cul ser la variacin del momento angular del cuerpo si la masa de este es de 1 kg y la fuerza se
aplica durante 1 s?
Dado que el momento de una fuerza es la derivada del momento angular, se puede indicar que:
L =
t1
Mdt L = 10 k dt = 10 k (1 0) = 10 k (N m s)
t0
MOMENTO DE INERCIA
2.35
Sobre la llanta de una rueda de bicicleta de 200 g de masa y 350 mm de radio, se colocan diez
contrapesos de 3 g cada uno equidistantes entre s. Calcula el momento de inercia de la rueda
lastrada con respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro.
El momento de inercia en la rueda lastrada ser igual a la suma del momento de inercia de la rueda ms el
de los lastres colocados.
Considerando a la rueda como un anillo, se tiene:
Isist = Ireueda + Ilastre
2
Solucionario
29
Solucionario
onario
2.36
1
MR2
2
1 2
mr
2
1 2
3
mr + mr 2 = mr 2
2
2
Finalmente, si se tiene en cuenta que las masas del disco y del taladro son: M = R2 y m = r 2 ,
el momento de inercia ser: Itotal =
2.37
1
3
1
R 2 R2 r 2 r 2 = R 4 3r 4
2
2
2
1
1
mdisco R 2 + manillo R 2 Ivolante = 0,2 M R2 + 0,8 M R2 = 0,9 MR2
2
2
2.38
La turbina de un ventilador centrfugo tiene un momento de inercia de 250 kg m2. Calcula qu fuerza se
debe realizar sobre la polea de su eje, de 30 cm de radio, para que, partiendo del reposo, est girando a
1200 rpm a los 3 minutos de ponerlo en marcha.
0
El mdulo de la aceleracin ser: =
=
t
2
60 = 0,7 rad s 2
3 60
1200
30
I
r
250 0,7
= 580 N
0,3
Solucionario
2.39
Para evaluar el momento de inercia del rotor de un motor elctrico se pone este en funcionamiento y,
cuando est girando a la velocidad de rgimen, 1500 rpm, se desconecta y aplica un freno cuyo
momento es conocido con mucha exactitud. Al aplicar un par de frenado de 15,4 N m, el rotor se
detiene a los 23,3 s. Calcula su momento de inercia.
Aplicando la ecuacin fundamental de la dinmica de rotacin:
M = r F = I
Si la fuerza es perpendicular al radio, se tiene:
rF
r F =I I=
0 1500
0
=
=
t
23,3
2
60 = 6,74 rad s 2
2.40
15,4
= 2,28 kg m2
6,74
Un cilindro hueco de material pesado tiene la misma masa y dimensiones que otro macizo de un
material ms ligero. Si ambos cilindros se dejan caer simultneamente por un plano inclinado, cul
llegar antes a la parte baja del mismo?
El cilindro, en el plano inclinado con un ngulo , se encuentra sometido a dos fuerzas, la de la gravedad y
la fuerza de rozamiento que le hace rodar plano abajo sin deslizar. Si aplicamos la ecuacin fundamental de
la dinmica al cilindro, se tiene:
m g sen Froz = ma
donde Froz r = I = I
a
a
Froz = I 2
r
r
mg sen
a
= ma a =
2
I
r
m+ 2
r
2
2
El momento de inercia del cilindro hueco (I = m r ) es mayor que el del cilindro macizo (I = 0,5 m r ) de igual
masa, de manera que la aceleracin del cilindro hueco ser menor.
2.41
Un anillo de 2 cm de dimetro y 3 g de masa se deja caer rodando sin deslizar por un plano inclinado
20 y de 50 cm de longitud. Cunto tardar en recorrerlo?
Aplicando la ecuacin de la aceleracin:
a=
mg sen
I
m+ 2
r
mg sen mg sen 1
=
= g sen
I
2
mr 2
m+ 2
m+ 2
r
r
Sustituyendo, se tiene:
a=
1
9,8 sen 20 = 1,68 m s 2
2
1 2
at t =
2
Solucionario
2d
=
a
2 0,5
= 0,77 s
1,68
31
Solucionario
onario
2.42
La figura muestra una polea, que puede ser considerada a efectos del momento de inercia como un
disco, de radio 0,1 m y masa 500 g. De cada extremo de una cuerda que pasa por su garganta se
cuelgan masas de 3 y 7 kg, y el sistema se deja evolucionar. Calcula:
a)
b)
El momento angular del sistema con respecto al eje de la polea, cuando las masas se muevan con
una velocidad de 5 m s1.
m
M
a)
T2
m
mg
T1
M
Mg
a
Ia
1
a
1
T1 T2 = 2 = mpR 2 2 = mpa
R
2
2
R
R
Sustituyendo:
Mg Ma mg ma =
b)
mp a
2
a=
g (M m)
9,8 (7 3)
a=
= 3,8 m s 2
mp
0,5
+7+3
+M+m
2
2
El momento angular del sistema es igual a la suma del de la polea ms los de las
masas.
El de la polea es Lp = I , mientras el de las masas ser, como se ve en la figura:
R
1
R
2
mv
v
1
1
Mv
Sustituyendo:
1
L = 0,5 + 3 + 7 5 0,1 = 5,1 kg m2 s1
32
Solucionario
2.43
Sobre un disco de 0,12 kg de masa que se encontraba girando a 33 rpm en sentido de las agujas del
reloj, se deja caer vertical y coaxialmente otro disco de igual radio y masa doble y que gira en
sentido
contrario
a
20 rpm. Por rozamiento entre ellos, los discos terminan acoplndose y girando a la misma velocidad.
a)
b)
c)
Durante algn momento del acople, uno de los discos ha debido estar en reposo, puesto que ha
cambiado su sentido de giro. A qu velocidad se mova entonces el otro?
a)
b)
c)
1
El momento angular es: L = (I1 + I2 ) F = m1R2 + m2R2 F = 4,3 10 2 R2 kg m2 s1
2
2
Si el de menor momento de inercia est parado, todo el momento angular lo proporciona el otro, de
manera que:
2 4,3 10 2
1
= 0,36 rad s1
m2R2 2 = 9 10 4 R2 2 =
0,24
2
2.44
Una tabla de 2,5 kg de masa y 1,8 m de longitud puede girar libremente alrededor de un eje
perpendicular a ella que pasa por su cdm. La tabla, inicialmente en reposo, recibe
perpendicularmente a 0,5 m del eje de giro el impacto de un proyectil de 25 g de masa y una
velocidad de 400 m s1 que se empotra en ella. Calcula la velocidad angular que adquiere el sistema.
En el impacto se conserva el momento angular del sistema. Los momentos de inercia son:
Itabla =
Itabla + proyectil =
1
1
ML2 =
2,5 1,82 = 0,675 kg m2
12
12
1
ML2 + mr 2 = 0,675 + 0,025 0,52 = 0,681 kg m2
12
2.45
Lf
5
=
= 7,3 rad s1
It +p 0,681
Sobre un disco de 200 g de masa y 0,2 m de radio se dejan caer verticalmente bolitas de plastilina
que se quedan adheridas al mismo a una distancia de 0,15 m del centro. Cuando han cado 5 bolas,
la velocidad del disco se ha reducido en un 90% de la inicial. Cul es la masa de las bolitas de
plastilina?
Se conserva el momento angular del sistema tras la incorporacin de las bolitas de plastilina al disco:
I00 = If f
1
1
1
1
1
0,2 0,22 0,2 0,22 0,1
2
2
= 0,32 kg
Despejando: m =
5 0,15
Solucionario
33
Solucionario
onario
PROBLEMAS DE SNTESIS
2.46
La plataforma de un tiovivo, que puede considerarse como un disco de 6 m de radio y 500 kg de masa,
est girando a razn de 5 vueltas por minuto.
El encargado de recoger los billetes, de 70 kg de masa, que estaba a 1,5 m del centro, se mueve hasta
el borde de la plataforma.
a)
Calcula la fuerza centrfuga que experimenta el operario cuando est a 3 m del centro.
b)
c)
d)
Calcula el ngulo con que el operario tiene que inclinarse para permanecer de pie en el borde de la
plataforma.
e)
El operario se pone a marchar ahora en sentido contrario al de giro, de tal manera que permanece
en el mismo punto para los observadores exteriores a la atraccin. Cul es el nuevo momento
angular del sistema?
f)
g)
a)
v2
5 2
= m2R = 70
Fc = m
3 = 57,6 N
R
60
b)
Es ms fcil desplazarse hacia fuera dejndose llevar por la fuerza de inercia. Aunque en este caso no
se analiza la energa cintica de rotacin, se puede demostrar que, al desplazarse hacia fuera, el
momento angular de la plataforma disminuye, dado que aumenta el del operario.
c)
d)
5 2
9158
60 = 0,42 rad s1
F =
11520
Para poder mantenerse en pie, el operador debe inclinarse hacia el eje del tiovivo, de manera que parte
del peso acte como fuerza centrpeta, como se muestra en el dibujo. El ngulo se calcula como:
F
57,6
= 0,084 = 4,8
tg = c =
mg 70 9,8
e)
Dado que no existen momentos exteriores, el momento lineal del sistema no puede variar:
5 2
1
f)
Aunque el momento angular se mantenga constante, al estar quieto el operario, todo el momento angular
se debe al tiovivo. Por tanto:
L = I =
g)
4795
L
L
=
=
= 0,53 rad s1
1
1
I
2
2
500 6
mR
2
2
34
L 0 4795
=
= 192 N m
t
25
Solucionario
2.47
b)
c)
d)
e)
a)
Sobre el cilindro actan dos fuerzas, el peso y la tensin de la cuerda. Aplicando la ecuacin
fundamental de la dinmica de rotacin, se tiene:
a
a
r T = I rT = I = I T = I 2
r
r
mg T = ma mg T = ma
2
mg
a
mg
=
= g
mg I 2 = ma a =
1
1
1
3
r
m + I 2 m + mr 2 2
2
r
r
T
P
mg
b)
2
1
1
g = mg = 3 9,8 = 9,8 N
3
3
3
2
gh =
3
4
9,8 3 = 6,26 m s1
3
v 6,26
=
= 78,3 rad s1
r 0,08
1 2
1
mr = 3 0,082 78,3 = 0,75 kg m2 s1
2
2
c)
El momento angular del sistema no se conserva, porque sobre l actan fuerzas exteriores, que son la
tensin y la fuerza de la gravedad. Adems, el momento que generan stas fuerzas no es nulo.
d)
Cuando toda la cuerda est desenrollada, se tiene una energa cintica de rotacin y un momento
angular de rotacin que hacen que la cuerda vuelva a enrollarse en sentido contrario, como sucede en
un yoy. Durante la ascensin, el momento de la tensin se opone al movimiento de giro del cuerpo, lo
que hace que se frene. Desde una perspectiva energtica, la energa cintica se convierte en energa
potencial y, en ausencia de rozamiento, el slido alcanzar la altura desde la que parti.
Solucionario
35