Figura 1

TEMA 2
CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS
1.- Conductores en equilibrio electrosttico
La gran diferencia entre el comportamiento elctrico de los conductores y de los aislantes fue observada
incluso antes del descubrimiento de la conduccin elctrica. Gilbert haba clasificado los materiales de acuerdo
con su capacidad para ser cargados: llam elctricos a los que podan ser cargados fcilmente (aislantes) y no
elctricos a los que no podan ser cargados (conductores). Utilizando slo la sensacin fisiolgica para la
deteccin de cargas, Cavendish compar las posibilidades conductoras de muchas sustancias.
Debido a la enorme variacin en la posibilidad para conducir la electricidad, es conveniente clasificar las
sustancias en superconductoras, conductoras, semiconductoras y aislantes. La facilidad de un material para
conducir se mide por su conductividad: la de un conductor tpico es del orden de 10
15
veces mayor que la de un
aislante tpico. Daremos una definicin precisa de conductividad en el tema 3, cuando estudiemos la corriente
elctrica.
Una propiedad importante de los conductores es la disponibilidad de cargas libres para moverse. La fuente
de esta carga libre en un conductor son los electrones que no estn ligados a ningn tomo: por ejemplo, en un
solo tomo de cobre 29 electrones estn ligados al ncleo por atraccin electrosttica de su carga positiva; los
electrones exteriores estn ligados ms dbilmente que los interiores debido a la mayor distancia al ncleo
positivo y a la repulsin de los electrones interiores (efecto pantalla). Cuando se combina un gran nmero de
tomos de cobre para formar cobre metlico, las ligaduras de los electrones a un tomo simple se sustituye por
la interaccin con los tomos vecinos, con lo que uno o varios de los electrones exteriores de cada tomo dejan
de estar ligados y quedan libres para moverse por todo el metal. Denominamos conductores en equilibrio
electrosttico a aqullos que tienen toda su carga en reposo respecto de un observador inercial. Para los
conductores que cumplan esta condicin, demostraremos que:
a) El campo elctrico en su interior es nulo (tanto si est cargado como si no lo est)
b) Cualquier carga en exceso que posea el conductor debe residir en la superficie del mismo
c) El campo elctrico en la superficie de un conductor cargado y sus proximidades es perpendicular a
dicha superficie y vale
0

d) Todo el conductor (tanto si est cargado como si no lo est) es un volumen equipotencial
a) El campo elctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo
En efecto, si colocamos un conductor en un campo elctrico externo, la
carga libre del conductor se mueve por l hasta crear un campo elctrico tal que
anula el campo exterior en el interior del conductor (Figura 1). Consideremos una
carga en el interior del conductor: si existiera un campo elctrico, , en el int e E

interior del conductor, existira una fuerza sobre dicha carga y, si est int e qE

libre para moverse, se acelerara, en contra de la hiptesis de que el conductor

est en equilibrio. As pues, el campo elctrico en el interior del conductor es
nulo.
El comportamiento de la carga libre de un conductor situado en un campo elctrico es siempre el mismo,
Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 2
Figura 2: La lnea discontinua representa
la superficie gaussiana
Figura 3
sin que importe la forma geomtrica del conductor. El tiempo necesario para alcanzar el equilibrio depende de
la conductividad de la sustancia conductora, pero es del orden de 10
!16
s por lo que, en la prctica, podemos
considerar que el equilibrio se alcanza instantneamente.
b) El exceso de carga se sita en la superficie del conductor.
Para demostrarlo, tomaremos una superficie gaussiana idntica
a la superficie del conductor, situada en su interior e infinitamente
prxima a la superficie del conductor (Figura 2). Como en el equilibrio
electrosttico el campo es nulo en cualquier punto del interior del
conductor, ser nulo en cualquier punto de nuestra superficie gaussiana,
con lo que el flujo a travs de ella ser nulo. Como dicho flujo, segn
la ley de Gauss, es igual a la carga neta encerrada por la superficie
dividida por , llegamos a la conclusin de que la carga neta en el
0

interior del conductor (no olvidemos que nuestra superficie gaussiana

est infinitamente prxima a la superficie del conductor) es nula y, por tanto, la carga neta que posea el
conductor estar distribuida en su superficie.
c) El campo elctrico en la superficie es perpendicular a ella y vale
0

Para hallar el campo elctrico justo en la parte exterior de un
conductor en equilibrio, consideraremos una pequea porcin de la
superficie del mismo (lo suficientemente pequea como para poder
considerarla plana) con una densidad de carga F que tenga una variacin
despreciable en la porcin escogida. Como superficie gaussiana escogeremos
una caja cilndrica con una cara justo en el exterior del conductor y paralela
a su superficie y la otra justo en el interior del conductor (Figura 3). En la
superficie del conductor, el campo ha de ser perpendicular a la misma ya que
si tuviese alguna componente tangencial, sta ejercera una fuerza sobre las cargas de la superficie y las movera:
este movimiento redistribuira las cargas hasta conseguir el equilibrio, es decir, hasta el reposo, con lo que dicha
componente tangencial sera nula. El flujo del campo a travs de nuestra superficie gaussiana es el flujo a travs
de la cara circular del cilindro situada en el exterior del conductor, ya que en la superficie lateral el campo es
perpendicular a la superficie (con lo que ) y en la interior el campo es nulo. As pues,
0 E dS =

d) Un conductor en equilibrio electrosttico es un volumen equipotencial
En efecto, en el tema anterior veamos que el campo es perpendicular a las superficies equipotenciales.
Acabamos de demostrar que el campo en la superficie de un conductor cargado y en equilibrio es perpendicular
a su superficie, luego, la superficie del conductor es una superficie equipotencial.
Por otra parte, puesto que el campo elctrico es nulo en cualquier punto del interior, la d.d.p. entre dos
puntos cualesquiera del interior ser cero, con lo que todos los puntos del interior del conductor
( )
B
A
E d

estn al mismo potencial. Como quiera que la funcin potencial es continua por definicin (ya que es derivable),
el valor del potencial en el interior debe coincidir con su valor en la superficie, con lo que queda demostrado
que el conductor constituye un volumen equipotencial.
{ } { }
i
0
nt
int
0
Teorema de Gauss
B
e
e B
S S
B
B
q
E dS EdS q
S
ES S

= = = = = = = =

0
[2.1] E

=
Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 3
{ }
2 1 2
1 0 1 1 1 0 1 1 2 0 0 2 2
1 2
4 4 * 4
q q
V k q R k R V k k R
R R
= = = = = =
1 2 0 1 1 0 2 2 1 1 2 2
4 4 V V k R k R R R = = =
El hecho de que la superficie del conductor sea equipotencial hace que la carga se distribuya por la misma
en forma inversa a su radio en cada punto. Para razonarlo podemos imaginar dos esferas de distinto radio
cargadas al mismo potencial (con lo que, obviamente, tendrn cargas distintas)
Si ahora ponemos en contacto las dos esferas (a travs de un cable conductor, por ejemplo), no fluir
carga de una a otra debido a que estn al mismo potencial y podemos considerar a las dos esferas como un nico
conductor. La expresin F
1
R
1
= F
2
R
2
nos dice que all donde el radio sea menor, la densidad de carga ser mayor.
Puesto que el campo elctrico en la superficie y en sus proximidades es directamente proporcional a F, dicho
campo es inversamente proporcional al radio de curvatura local de la superficie; si el conductor tiene puntas de
pequeo radio de curvatura, el campo en la superficie de las puntas y en sus proximidades es muy intenso para
potenciales relativamente bajos.
2.- Capacidad de un conductor. Unidades.
Definimos capacidad de un conductor como la relacin entre la carga que adquiere y el potencial
utilizado para cargarlo.
Es de destacar que la capacidad as definida es una magnitud intrnsecamente positiva, pues la carga de
un conductor y su potencial son del mismo signo. Por otra parte, puesto que el potencial de un conductor es
siempre directamente proporcional a su carga, la capacidad no depende ni de la carga ni del potencial: depende
slo de la forma y tamao del conductor. As, por ejemplo, para un conductor esfrico, tenemos:
La unidad de capacidad en el Sistema Internacional es el Faradio, que se define como la capacidad de
un conductor que adquiere una carga de un culombio a un potencial de un voltio. El Faradio es una unidad muy
grande, por eso son mucho ms usados sus submltiplos decimales: :F, nF y pF. (Si queremos que un conductor
esfrico tenga una capacidad de 1 F, su radio ha de ser de 9A10
9
m!, ms de 20 veces la distancia de la Luna
a la Tierra!).
3.- Condensadores
Un condensador es un dispositivo constituido por dos conductores (que suelen denominarse armaduras
o placas) separados por un medio aislante (vaco, aire, vidrio, plstico, ...). Cuando dicho medio aislante no es
el vaco se denomina dielctrico. El condensador se usa para almacenar carga y energa. Al establecer una d.d.p.
entre sus armaduras las placas adquieren una misma carga pero de signos opuestos entre s. Se considera cargada
positivamente la armadura conectada al potencial mayor y negativamente la conectada al potencial menor.
[2.2]
Q
C
V

0 0
0
[2.3]
Q Q R R
C C
Q
V k k
k
R
= = = =
Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 4
Figura 4
V V E d Ed E d Ed

+
+ + +
= = = =



La capacidad de un condensador se define como la relacin entre la carga de una cualquiera de sus
armaduras y la diferencia de potencial establecida entre esa armadura y la otra, para cargarlo. Por lo tanto,
es una magnitud positiva que, evidentemente, se mide en Faradios en el Sistema Internacional.
Puesto que o son proporcionales a la carga de cada armadura, la capacidad de un ( ) V V
+
( ) V V
+

condensador depende slo del tamao, forma y disposicin geomtrica de los conductores, as como del medio
aislante que haya entre sus placas.
3.1.- Capacidad de los condensadores plano, esfrico y cilndrico
Los condensadores ms comunes se componen de dos lminas conductoras, planas paralelas, muy
prximas (Condensador plano), o de dos superficies cilndricas coaxiales (Condensador cilndrico) o de dos
superficies esfricas conductoras y concntricas (Condensador esfrico).
3.1.1.- Condensador plano
Est constituido por dos lminas metlicas, planas, parale-
las, de igual rea S, separadas una distancia d muy pequea, en
comparacin con las dimensiones de las lminas. En estas
condiciones podemos despreciar el efecto de los bordes y
suponer que el campo elctrico entre las lminas es uniforme y
en el exterior es nulo. En efecto, en esta situacin la mayor parte
de la carga se acumula en las caras opuestas de las lminas,
creando cada una un campo de mdulo igual a (F es la
0
2
carga total de la armadura positiva dividida por su rea, o densidad superficial de carga). En la regin exterior
a las lminas los dos vectores son de sentidos opuestos, con lo que el campo total es nulo. En la regin entre las
lminas, ambos vectores son de igual sentido, con lo que el campo valdr (Figura 4),
La d.d.p. entre la placa positiva y la negativa ser:
con lo que la capacidad del condensador vendr dada por:
donde S es el rea de la interseccin entre una de las dos armaduras y la proyeccin de la otra sobre ella:
cambiando el valor de S, podemos variar la capacidad del condensador (Condensador variable).
[2.4]
Q Q
C
V V V V
+
+ +
=

0 0 0
[2.5]
2 2
E


= + =
0 0
0
[2.6]
Q Q Q Q Q
Q
V V Ed S
d d
S
C
d
S

+ + + + +
+
+

= = = = = = =
`

)
Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 5
Figura 5: Condensador cilndrico
0
2k
E
r

=
[ ]
0 0 0 0
2 2 ln 2 ln 2 ln
b
b
a
a
Q Q b b
V V E dr k dr k r k k
r a a

+ +
+
+
| | | |
= = = = = = =
`
| |
\ \ )



Figura 6
0
2
Q
E k
r
=
2
2
1
1
2 1
0 0 0
2
1 2
1
R
R
R
R
R R Q
V V E d k dr k Q k Q
r R R r

+
+

(
= = = =
(

3.1.2.- Condensador cilndrico

Est constituido por un pequeo alambre o cilindro
conductor de radio a y una corteza conductora cilndrica
de radio b (b > a) coaxial con el alambre (Figura 5).
Usualmente el alambre se conecta al potencial ms alto.
El campo elctrico entre las armaduras, consideran-
do que la longitud del alambre, R, es muy grande frente a
la distancia entre las armaduras, viene dado por [1.27]:
siendo r la distancia del alambre al punto, entre a y b, considerado. La d.d.p. entre la armadura positiva y la
negativa ser:
Con lo que la capacidad del condensador es:
3.1.3.- Condensador esfrico
Est constituido por una pequea esfera conductora de radio R
1
y una
corteza esfrica, tambin conductora, concntrica con ella, de radio R
2
(R
2
>R
1
) (Figura 6). Generalmente la esfera interior se conecta al potencial
mayor. El campo elctrico entre las armaduras se debe exclusivamente a la
esfera interior y vale
siendo r la distancia del centro de la esfera interior al punto, entre R
1
y R
2
,
considerado. La d.d.p. entre la armadura positiva y la negativa es
Con lo que la capacidad del condensador vendr dada por:
Es fcil demostrar que si hallamos el lmite cuando R
2
tiende a infinito (con lo que slo contara la esfera
interior y, por tanto, estaramos hablando de un conductor esfrico), la expresin [2.8] se convierte en la
ecuacin [2.3].
[ ]
0 0
2
2.7
2 ln ln
Q Q
Q b V V
k
a
C
b
k
a
+ +
+ +
= = =
| |
|
\
| |
|
\

( )
1 2
0 2
2 1
0
1 2
1
[2.8]
Q Q
R R
V V
k Q
R
R
R
R R
C
k R
+ +
+
+
=

= =
1
Ntese que si no se conecta la asociacin a una d.d.p. para cargarla, seguimos teniendo una asociacin en serie, pero descargada. En tal caso
no podemos decir que tengamos una placa positiva de un condensador unida a la negativa del otro
Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 6
Figura 7
Figura 8
3.2.- Asociacin de condensadores
En algunas ocasiones no se dispone del condensador con la capacidad
adecuada para una aplicacin determinada, o bien resulta conveniente cambiar un
condensador por un conjunto de ellos. As pues, es frecuente utilizar dos o ms
condensadores en combinacin. Y, por tanto, es preciso conocer cul es la
capacidad equivalente de dicha combinacin.
Tres son las formas de asociacin: en paralelo, en serie y mixta.
a) Asociacin en paralelo. La figura 7 muestra dos condensadores
conectados en paralelo. Dos o ms condensadores estn asociados en paralelo
cuando tienen su primera armadura conectadas entre s mediante un conductor
a un determinado potencial y su segunda armadura tambin conectadas entre s
mediante otro conductor a un potencial diferente del mencionado anteriormente.
As, diremos que las placas de cada condensador conectadas al punto de mayor
potencial (punto a en la figura 7) tienen carga positiva, en tanto que la otra placa
de cada condensador, que estar conectada al punto de menor potencial (punto b
en la figura 7), tendr carga negativa. Por tanto, la caracterstica fundamental de
la asociacin en paralelo es que en todos los condensadores que forman parte de
la asociacin, cuando estn cargados, existe la misma d.d.p. entre sus placas.
Si C
1
y C
2
son las capacidades de cada uno de los condensadores y Q
1
y Q
2
la carga que, respectivamente,
almacenan cuando se establece una d.d.p. entre sus armaduras igual a V
a
!V
b
, se cumplir:
Q
t
= Q
1
+ Q
2
[2.9]
Q
1
= C
1
(V
a
!V
b
) * Q
2
= C
2
(V
a
!V
b
)
b) Asociacin en serie. La figura 8 muestra dos condensadores conectados
en serie. Dos condensadores estn asociados en serie cuando tienen una
armadura cada uno conectada entre s mediante un conductor, quedando
una armadura libre a cada condensador para poder realizar la conexin a
una d.d.p. y as lograr cargar el sistema. Cuando se realice la conexin, la
placa libre del condensador conectada al potencial mayor se dice que
adquiere carga positiva, en tanto que la armadura libre del otro condensa-
dor, que estar conectada al potencial menor tendr la misma carga pero
negativa. Debido al fenmeno de carga por induccin, en las placas de los
condensadores conectadas entre s se origina una separacin de cargas.
ste es el motivo por el que, cuando se carga una asociacin de condensadores en serie, las placas conectadas
entre s tienen cargas de distinto signo
1
. La caracterstica fundamental de la asociacin en serie es que los dos
condensadores adquieren exactamente la misma carga, que corresponde adems con la carga de las placas del
extremo y, por tanto, con la carga de toda la asociacin (y del condensador equivalente).
Q = Q
1
= Q
2
[2.11]
( ) ( )
1 2
1 2
[2.10]
a b a b t
a b
q
b
e
a
C V V C V V Q
C
V V
C
V V
C C
+
= = =

+ =

Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 7

Figura 9
La cada de tensin total entre los extremos de la asociacin es igual, evidentemente, a la suma de la d.d.p.
entre los extremos de cada condensador.
(V
a
!V
b
) = (V
a
!V
c
) + (V
c
!V
b
) [2.12]
como (V
a
!V
b
) = Q/C, (V
a
!V
c
) = Q
1
/C
1
= Q/C
1
y (V
c
!V
b
) = Q
2
/C
2
= Q/C
2
, la ecuacin [2.12] se transforma en
es decir, la capacidad equivalente de una asociacin en serie es menor que la de cualquier condensador que
forme parte de la serie.
c) Asociacin mixta. Una asociacin mixta es una mezcla de
combinaciones en serie y en paralelo. Un ejemplo de este tipo de
asociacin se muestra en la figura 9: C
2
y C
3
estn conectados en serie; el
equivalente de esta serie est conectado en paralelo con C
4
y el equivalente
de este paralelo est en serie con C
1
.
As pues, para hallar la capacidad equivalente de una asociacin
mixta, basta con aplicar ordenadamente las leyes de asociacin en serie y paralelo.
4.- Energa electrosttica almacenada en un condensador. Densidad de energa del campo electrosttico
El proceso de carga de un condensador supone la transferencia de carga de un conductor al otro,
aumentando el potencial de la carga transferida. Por tanto, es preciso realizar un trabajo para cargar un
condensador, trabajo que, en parte o en su totalidad (depende del proceso de carga), queda almacenado en el
condensador en forma de energa potencial.
Consideremos el proceso de carga de un condensador cualquiera: al comenzar el proceso, ninguna de las
armaduras posee carga, el campo elctrico entre ellas es cero y tambin lo es la diferencia de potencial. Una vez
que, mediante el proceso adecuado, se ha transferido una carga q de una armadura a la otra, la d.d.p. entre ambas
es V!V'=q/C. Si se transfiere a continuacin una carga elemental dq, la energa potencial del condensador se
ve aumentada (supondremos que el proceso de carga se realiza lentamente, de forma que se pueda considerar
un problema electrosttico, al despreciar la variacin de energa cintica) en una cantidad
dU = (V !V') dq = (q dq)/C [2.14]
El aumento total de energa potencial durante la carga (desde el instante inicial en que la carga y la d.d.p.
son nulas hasta el instante final en que la carga es Q y la d.d.p. es V
A
!V
B
) ser:
que tambin puede escribirse, teniendo en cuenta la definicin de capacidad, en las dos formas equivalentes
siguientes:
En el proceso de carga de un condensador se crea un campo elctrico entre las armaduras, de forma que
podemos considerar que el trabajo realizado al cargar el condensador es el trabajo necesario para crear un campo
1 2 1 2
1 1 1
[2.13]
eq eq
C C C
Q Q Q Q
C C C C
= = + + =
2
0
1
[2.15]
2
Q
q Q
U dq
C C
= =

( ) ( )
2 1 1
[2.15 ]
2 2
A B A B
U Q V V C V V a = =
Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 8
Figura 10
elctrico. Consideremos un condensador plano cargado a una d.d.p. (V
A
!V
B
); el trabajo realizado para cargarlo
(Energa electrosttica almacenada) viene dado por cualquiera de las ecuaciones [2.15]. Despreciando el efecto
de los bordes, el campo elctrico entre las armaduras del condensador plano es uniforme y de valor
E = (V
A
!V
B
)/d. As pues
El producto (Sd) es el volumen de la regin entre las placas (h = Sd) con lo que la ecuacin [2.16] se
puede escribir
Para obtener una ecuacin ms general, definimos la densidad de energa del campo electrosttico
como la energa electrosttica almacenada por unidad de volumen. De la ecuacin [2.17] obtenemos, para ( )
E

nuestro caso en el que el campo electrosttico es uniforme:

Aunque la ecuacin [2.18] la hemos deducido para el caso sencillo de un condensador plano, tiene validez
general para cualquier campo electrosttico. Por ello, podemos afirmar que la densidad de energa en cualquier
campo electrosttico es directamente proporcional al cuadrado del campo elctrico en un punto dado. Si
queremos calcular la energa electrosttica almacenada en una regin en la que existe un campo electrosttico,
deberemos utilizar la expresin anterior en la forma:
5.- Dielctricos. Vector polarizacin
Un material no conductor (vidrio, papel, mica ...) se denomina
dielctrico. Faraday descubri que cuando el espacio entre las armaduras de un
condensador se llenaba totalmente de dielctrico, la capacidad del condensador
aumentaba en un factor caracterstico de cada dielctrico, llamando a
r

permitividad relativa o constante dielctrica. Cmo explicar la aparicin de

este efecto elctrico si los dielctricos son aislantes? Comencemos con el hecho
experimental del aumento de la capacidad y tratemos de ver cmo puede
producirse.
Sea un condensador plano de placas paralelas, cargado y aislado, de rea
S separadas una distancia d. Si al introducir entre ellas un dielctrico la
capacidad aumenta en un factor , la d.d.p. entre las placas debe disminuir en
r

el mismo factor, ya que la carga de las armaduras no ha cambiado (debido a que

hemos supuesto que el condensador est aislado). Ahora bien, si disminuye la
d.d.p., tambin debe disminuir, en la misma proporcin, el campo elctrico entre las armaduras (porque
). ( ) E V V d
+
=
( ) [ ]
0
2
2 2 2
0 0
1 1 1
2.16
2 2 2
A B
A B
S
C S
W U C V V E d E Sd
d
d
V V Ed

=

= = = = =
`

=
)
[ ]
2 2
0 0
1 1
2.17
2 2
U E Sd E = =
2
0
1
[2.18]
2
E
U
E

=
2 1
0 2
[2.18 ]
E
U d E d a

= =

Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 9
Figura 11
Cmo explicar este efecto? Sea el condensador de la figura 10 y consideremos la superficie gaussiana
S' (representada por lneas discontinuas): puesto que el campo elctrico ha disminuido, deducimos que la carga
neta que encierra dicha superficie tambin ha disminuido al introducir el dielctrico y eso slo es explicable si
admitimos que aparecen cargas de signo opuesto en la superficie del dielctrico. Puesto que el campo disminuye
pero no se anula, la densidad superficial de carga en el dielctrico (F
i
) debe ser menor que la correspondiente
a la armadura (F).
Podemos comprender este resultado en funcin de la polarizacin molecular del dielctrico. a) Si las
molculas del dielctrico son polares (presentan momento dipolar elctrico permanente), sus momentos dipola-
res estn inicialmente orientados al azar (figura 11a). En presencia de un campo elctrico externo, los dipolos
sufren un momento de torsin que tiende a alinearlos con dicho campo externo, producindose un campo elctri-
co adicional que se opone al campo aplicado; decimos que el dielctrico se ha polarizado: polarizacin
( )
i E

de orientacin (figura 11b). Este tipo de polarizacin depende tanto de la intensidad del campo elctrico
externo (que favorece la orientacin) como de la temperatura (que la perjudica) b) Incluso en el caso de que las
molculas del dielctrico no sean polares (apolares), figura 11c, el campo elctrico provoca una separacin de
los centros de masas de las cargas positivas y negativas (figura 11d), con lo que se formarn dipolos inducidos
ya orientados en la direccin del campo, y as el dielctrico se polarizar igualmente: polarizacin de
desplazamiento.
As pues, el efecto neto de la polarizacin es la aparicin de una densidad superficial de carga inducida
o ligada F
i
sobre las caras del dielctrico prximas a las placas del condensador. Se denomina carga ligada
porque, a diferencia de la que existe en las armaduras del condensador, no puede desplazarse libremente a
travs del dielctrico y su existencia se debe a las cargas libres de las armaduras (si stas desaparecen, por
descarga del condensador, las de polarizacin tambin desaparecen; pero no porque se desplacen, sino porque
los dipolos desaparecen si eran inducidos, o se reorganizan al azar como antes de que existiera el campo
externo). Sin embargo, estas cargas ligadas crean un campo elctrico opuesto al que exista en ausencia de
dielctrico, por lo que el resultado ser que el campo efectivo ahora se ha debilitado respecto del que exista
Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 10
0 0 0 i i
E E E E E E E E = + = <

Figura 12
antes. Esto es justo lo que habamos deducido a partir de la experiencia de Faraday!!
Con objeto de analizar el efecto macroscpico de la orientacin (o induccin) de los dipolos, definimos
el vector polarizacin, , como el momento dipolar elctrico por unidad de volumen. As, si )N es el nmero P

de dipolos (orientados o inducidos) que existe en un volumen )h de dielctrico y es el momento dipolar p

elctrico promedio de cada uno de esos dipolos, definimos el vector polarizacin en un punto del dielctrico
como:
donde hemos supuesto que un dielctrico en un campo elctrico tiene una distribucin continua de dipolos
infinitesimales, es decir, una polarizacin continua (en realidad, los dipolos son discretos por ser molculas
polarizadas). Dicha suposicin no conduce a ningn error apreciable puesto que se consideran volmenes que
contienen multitud de dipolos (es decir, regiones macroscpicas).
Cuando el vector polarizacin sea uniforme en una regin dada de volumen h donde haya N dipolos, cada
uno de momento dipolar elctrico promedio , podremos utilizar la expresin ms simple: p

Puede comprobarse que la unidad del vector polarizacin

en el S.I. es C/m
2
, es decir la misma que la de densidad superfi-
cial de carga. A continuacin comprobaremos que existe una
relacin entre la polarizacin y la densidad superficial de carga
inducida.
En la figura 12 tenemos un esquema tridimensional del
dielctrico polarizado de la figura 11b, de forma que su volumen
h = S
n
d contendr N = N
x
AN
y
AN
z
dipolos orientados, cada uno de
ellos de momento dipolar elctrico promedio . As, el p q =

mdulo del vector polarizacin vendr dado por:

Si, manteniendo la misma polarizacin, consideramos una superficie S del dielctrico que forme un ngulo
2 con S
n
(figura 13), tendramos:
donde es el vector unitario del vector superficie del dielctrico, (recuerde que como se trata de una superficie
n
u

cerrada su sentido es hacia fuera). As pues, la densidad superficial de carga inducida coincide con la
componente del vector polarizacin normal a la superficie. Adems, la ecuacin [2.20a] permite obtener el
signo de la densidad de carga superficial inducida sobre cada superficie del dielctrico. Ntese que en la cara
con carga inducida negativa los vectores y forman un ngulo obtuso (B/2 < 2 # B), por lo que el resultado
n
u

de su producto escalar tambin ser negativo, en tanto que en la cara con carga inducida positiva los vectores
n
u

0
lim [2.19]
N p
P

[2.19 ]
N p
P a

( )
( )
[ ] 2.20
y z x
x y z
i i
i
n n n n
N N q N
N N N q
N p Q d Q
P
S d S d S d S

= = = = = =

'
cos [2.20 ]
cos
i i i
i n
n
Q Q Q
P P P u a
S S S

= = = = =


Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 11
Figura 13
cos
cos cos
i
i i
i
P
P P



+
+

=

=
`
= =

)
y forman un ngulo agudo (0 < 2 < B/2) por lo que su producto escalar tambin ser positivo. As, podemos P

escribir:
Apliquemos la ecuacin anterior a cada cara con carga
inducida de la figura 13:
Al ser 2 y ( suplementarios sus cosenos son opuestos,
con lo que, efectivamente, la expresin [2.20b] no slo sirve para determinar el mdulo de la densidad
superficial de carga inducida, sino tambin su signo.
Finalmente, debemos indicar que en este desarrollo hemos asumido en todo momento que la polarizacin
del dielctrico era uniforme. En este caso no existe en el interior del dielctrico ninguna acumulacin de carga,
ya que cualquier volumen macroscpico contendr igual nmero de cargas positivas y negativas. Sin embargo,
si la polarizacin no fuese uniforme aparecera una densidad volumtrica de carga de polarizacin (o carga
inducida) en el interior del dielctrico D
i
, adems de la densidad superficial de carga. Aunque no lo
demostraremos, dicha densidad est tambin relacionada con la polarizacin segn .
i
P =

5.1.- Campo elctrico en el interior de un dielctrico
En el espacio libre definimos el campo elctrico como la fuerza por unidad de carga, es decir, el campo
elctrico en el espacio libre es una cantidad mensurable. Sin embargo, es imposible situar una carga en el
interior de un dielctrico para medir la fuerza que el campo ejerce sobre ella y, por tanto, el campo elctrico
en el interior de un dielctrico no es una cantidad mensurable, sino terica. No obstante, centramos la
atencin en los efectos externos del dielctrico, las medidas internas son innecesarias ya que se puede formular
una teora para explicar el comportamiento del dielctrico, que estar acorde con las condiciones externas.
Hemos visto en la ecuacin [2.20] que la densidad superficial de carga de polarizacin es igual al mdulo
del vector polarizacin dentro del dielctrico: esta carga de polarizacin es negativa en una superficie (la que
se encuentra prxima a la armadura positiva del condensador) y positiva en la otra (Figuras 11b y 11d). Sin
embargo, podemos afirmar que existe un campo elctrico en el interior del dielctrico debido a dicha
distribucin superficial de carga de polarizacin, que vendr dado por:
Este campo, como ya hemos razonado, es de sentido opuesto al campo externo existente inicialmente entre
las armaduras y se suele denominar campo local. Por tanto, el campo elctrico existente tras introducir el
dielctrico ser:
Puesto que la polarizacin es debida a la existencia de un campo elctrico en el interior del dielctrico,
resulta lgico pensar que debe existir alguna relacin entre ellos, del tipo . Esta relacin se determina
( )
P P E =

[2.20 ]
i n
P u b =

[ ]
0 0
2.21
i
i
P
E


= =
[ ]
0 0 0
0
2.22
i i
P
E E E E E E

= + = =

Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 12
...
i ij j ijk j k
j j k
P E E E = + +

( )
( )
( )
0
0
0
x xx x xy y xz z
y yx x yy y yz z
z zx x zy y zz z
P E E E
P E E E
P E E E



= + +
= + +
= + +
experimentalmente y suele denominarse ecuacin constitutiva del dielctrico. As, podemos clasificar a los
dielctricos en funcin de su ecuacin constitutiva en:
! Electretos. Se caracterizan por mantener polarizacin elctrica incluso en ausencia del campo elctrico
externo que la origin. Son slidos y se dice que tienen polarizacin permanente. Un ejemplo de este tipo
de material se puede conseguir al dejar solidificar una cantidad de cera fundida a la que se aplica un
campo elctrico intenso. La cera solidificada tendr una polarizacin permanente que se mantendr al
eliminar el campo externo. Su utilidad es limitada porque sus cargas superficiales de polarizacin se
cancelan fcilmente atrayendo cargas libres del aire.
! Dielctricos no lineales. Se caracterizan porque la relacin entre la polarizacin y el campo elctrico
efectivo tiene la forma:
donde los subndices i, j y k se refieren a coordenadas x, y, z. Los valores de los coeficientes "
ij
, $
ijk
, ... dependen
del dielctrico particular de que se trate. El motivo de la denominacin de estos dielctricos se debe al hecho
de la necesidad de los trminos no lineales de segundo orden (segundo sumando) y de orden superior (indicado
con los puntos suspensivos). Un ejemplo de este tipo de materiales son algunas cermicas.
! Dielctricos lineales. En estos materiales la relacin entre la polarizacin y el campo elctrico efectivo
no necesita de los trminos de segundo orden o superior que vimos anteriormente. En este caso las
componentes cartesianas de la polarizacin estn relacionadas con las del vector campo elctrico segn:
donde los factores de proporcionalidad P
ij
reciben el nombre de componentes del tensor susceptibilidad
elctrica. De la relacin anterior se desprende que, en general, el vector polarizacin no ser paralelo al vector
campo elctrico. Por otro lado, la introduccin del trmino se hace para que las componentes P
ij
del tensor
0

susceptibilidad elctrica sean adimensionales.

! Dielctricos lineales, istropos y homogneos (dielctricos perfectos). Estos materiales aaden,
respecto a los comentados anteriormente, el hecho de que las propiedades elctricas del dielctrico en un
punto dado son independientes de la direccin del campo elctrico efectivo. Esta ltima condicin se
denomina isotropa. En este caso el vector polarizacin ser necesariamente paralelo al vector campo
elctrico. As se cumplir: P
ij
= 0 para i j, y P
xx
= P
yy
= P
zz
/ P, de forma que la relacin entre la
polarizacin y el campo elctrico efectivo ser:
En el caso adicional de que el dielctrico sea elctricamente homogneo (propiedades elctricas
independientes de la posicin), P ser una magnitud constante caracterstica del dielctrico llamada
susceptibilidad elctrica. Dicha magnitud es positiva para la mayora de sustancias e indica la facilidad con
que se desplazan las cargas negativas del dielctrico respecto de las positivas al aplicarle un campo elctrico
externo.
A pesar de la multitud de condiciones impuestas en este ltimo caso, los gases y los lquidos, as como
[ ]
0
2.23 P E =

Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 13
muchos slidos las cumplen, por lo que no es una situacin tan especial como podra pensarse. A partir de aqu
consideraremos que tratamos con dielctricos de este tipo.
Susceptibilidades elctricas de algunas sustancias a temperatura ambiente y presin atmosfrica
Material P Material P
vaco 0 polietileno 1,3
aire 0,00054 papel 1 !3
xido de Aluminio 3,5 mica 2 !6
vidrio 4 !9 baquelita 4,7
nylon 2,5 agua 79
As pues, sustituyendo [2.23] en [2.22]
La ecuacin [2.24] indica que, al introducir el dielctrico, el campo inicial se ha hecho ( )
0 0
E =
(1+P) veces ms pequeo. Si hacemos
el descubrimiento experimental de Faraday queda perfectamente explicado, pues, efectivamente, el campo
elctrico ha disminuido en una proporcin .
r

donde g se denomina permitividad dielctrica del material.

Decamos antes que la carga de polarizacin era una consecuencia directa de la carga libre de las
armaduras. Veamos ahora qu relacin existe entre ambas densidades de carga.
Puesto que la ecuacin [2.27] nos dice que F
i
generalmente ser ms pequea que F (tal y como 1
r
>
habamos razonado anteriormente). Por otra parte, si (cosa que slo ocurre en el vaco), F
i
= 0 (lo que 1
r
=
indica que, lgicamente, el vaco no se polariza).
Por otra parte, la relacin entre el campo local E
i
y E
0
podemos obtenerla a partir de [2,27] y ser:
Como es mayor que 1 (salvo para el vaco), E
i
ser ms pequeo que E
0
. Para el vaco , y
r
1
r
= 0
i
E =
el campo efectivo ser igual a E
0
(E = E
0
!E
i
= E
0
!0 = E
0
).
5.2.- Influencia de los dielctricos sobre los condensadores
La introduccin de un dielctrico entre las armaduras de un condensador realiza tres funciones:
( )
[ ]
0 0
0 0
0 0
2.24
1
E E P
E E E E

= = =
+
1 [2.25]
r
= +
0
0
[2.26]
r r
E
E


= = =
0
0 0 0
1
[2.27]
i r
i i
r r
E E E



| |
= = =
|
\
[ ]
0
0 0
1 1
2.28
i r r
i
r r
E E


| | | |
= =
| |
\ \
Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 14
Figura 14
a) Aumenta la capacidad del condensador. Ya hemos relatado cmo Faraday descubri que la capacidad
de un condensador cualquiera aumentaba en un factor caracterstico del dielctrico . La deduccin de esto
r

a partir de la teora expuesta es sencilla: la d.d.p. entre las armaduras del condensador cargado y aislado cuando
introducimos el dielctrico es:
donde hemos llamado a la d.d.p. que exista entre las armaduras antes de introducir el dielctrico. ( )
0
V V
+

La ecuacin [2.29] nos indica algo que ya habamos razonado: la d.d.p. disminuye al introducir el dielctrico
en un condensador cargado y aislado. Puesto que la carga de las armaduras no ha cambiado, la nueva capacidad
del condensador ser:
lo que corrobora plenamente el descubrimiento de Faraday.
b) Proporciona un medio mecnico para separar las armaduras. No olvidemos que las armaduras deben
estar muy prximas si queremos obtener una gran capacidad.
c) Aumenta la resistencia a la ruptura del condensador. Esto es debido a que la resistencia a la ruptura
(o tensin de ruptura) de cualquier dielctrico es superior a la del aire, como puede comprobarse en la tabla
siguiente. La rigidez dielctrica o tensin de ruptura es el campo elctrico que hay que establecer entre las
placas del condensador para que el material aislante que las separa conduzca la electricidad, con lo que
lgicamente el condensador deja de funcionar como tal y se rompe.
Rigidez dielctrica de algunas sustancias
Material E
mx
(kV/mm) Material E
mx
(kV/mm)
Aire 3 papel 16
xido de Aluminio 6 mica 10 !100
Vidrio 9 baquelita 24
Nylon 19 plexigls 40
Polietileno 18
6.- El vector Desplazamiento Elctrico
La figura 14 muestra un condensador plano cargado con
material dielctrico en su interior. En estas circunstancias el
dielctrico est polarizado.
Si utilizamos la ley de Gauss, para lo cual tomamos la
superficie gaussiana en forma de cilindro esquematizada en la
figura 14 mediante la lnea discontinua con dos de sus caras de rea
S
B
paralelas a las placas, nos encontramos con:
( ) { }
( )
0 0
0
0
[2.29]
r r
V V
E
V V Ed d E d V V

+
+ +

= = = = =
( ) ( )
0 0
0 0
[2.30]
r
r
Q Q Q
C C C
V V V V V V

+ + +
+ + +


= = = = =
`


)
( )
'
0
1
[2.31]
i
S
E dS Q Q

= +

Fsica II TEMA 2.- CONDUCTORES, CONDENSADORES Y DIELCTRICOS \ 15

( )
0 0 0 0
1 D E P E E E E = + = + = + =

expresin en la que aparece la carga inducida (o carga ligada) Q
i
. Para facilitar su uso intentaremos sustituir la
carga ligada por una funcin de la polarizacin, ya que sabemos que estn relacionadas.
Como slo hay carga inducida en la base de la superficie gaussiana que est dentro del dielctrico, hemos
podido extender la integral a toda la superficie S.
El signo negativo se debe al hecho de que , que recordemos apunta hacia fuera de la superficie del
n
u

dielctrico, tiene sentido contrario a . Puede entenderse el resultado de la expresin [2.32] porque cuando dS

el flujo de la polarizacin es positivo la carga inducida es negativa, y viceversa (Figura 14).

Sustituyendo Q
i
en la ecuacin [2.31] de la ley de Gauss, llegamos a:
As, ahora estamos calculando el flujo de una nueva magnitud vectorial a travs de la superficie gaussiana.
Y, adems, dicho flujo slo depende de la carga real que tenemos en las armaduras del condensador cargado.
Definimos esa nueva magnitud vectorial, a la que denominaremos desplazamiento elctrico o densidad de
flujo elctrico y simbolizaremos como , D

Por tanto, la ley de Gauss para el desplazamiento elctrico queda en la forma

En el caso de un dielctrico perfecto (lineal, homogneo e istropo) podemos obtener una relacin sencilla
entre y . E

Como conclusin, hemos introducido junto al vector campo elctrico dos nuevos vectores: y . E

De acuerdo con las expresiones [2.31], [2.32] y [2.35] cada uno de ellos est relacionado con un tipo de carga.
As, mientras el vector campo elctrico est relacionado con la totalidad de cargas (libres y ligadas) que originan
el campo, el vector polarizacin est relacionado slo con la carga inducida o de polarizacin y el vector
desplazamiento elctrico est relacionado exclusivamente con las cargas libres.
Por tanto, cuando necesitemos determinar el campo elctrico en el interior de un dielctrico lineal,
homogneo e istropo, podremos sortear la dificultad de la existencia de las cargas inducidas determinando el
vector desplazamiento elctrico para, posteriormente y a travs de la expresin [2.36] obtener la expresin del
campo elctrico. sta es la ventaja primordial que apoya la definicin del vector desplazamiento elctrico!
'
[2.32]
B B B
i i n
S S S S
Q dS P u dS P dS P dS = = = =

( ) 0
' ' '
0
1
[2.33]
S S S
E dS Q P dS E P dS Q

| |
= + =
|
\



0
[2.34] D E P = +

[2.35]
S
D dS Q =

[2.36] D E =