Geo 2
Geo 2
Geo 2
El punto H es el ortocentro.
BARICENTRO.
El punto donde concurren las tres medianas se llama
BARICENTRO.
Caso: Lado-Lado-ngulo (LLA)
Dos lados y el ngulo opuesto al mayor de los lados.
PROPIEDADES
CONGRUENCIA DE TRINGULOS
Caso: ngulo-Lado-ngulo (ALA)
Un lado y los ngulos adyacentes a dicho lado.
TRINGULOS NOTABLES
A)40
B)50
D) 30
E) 55
5. En la figura mostrada, calcular x
C)45
A)140
B)150
D) 108
E) 155
6. En la figura mostrada, si AF = FC, calcular 5.
C)145
PROBLEMAS
1. En la figura adjunta a + b + c + d = 250. Hallar A + B +
C.
A)41
B)40
C)45
D) 30
E) 65
7. En la figura mostrada, si m + 2n = 230; calcular x.
A) 180
B) 90
D) 210
E) 70
2. En la siguiente figura determinar el valor de x.
A) 8
B) 18
D) 10
E) 15
3. En la figura, calcular x.
A)37
B)53
D) 30
E) 15
4. En la figura mostrada, calcular
C) 200
A)10
B)25
D) 20
E) 35
8. En la figura mostrada, calcular x.
C)15
A)140
B)150
D) 130
E) 115
9. En la figura mostrada, calcular.
C)145
C) 16
C)45
A)10
B)15
D) 16
E) 20
19. Calcular x del grfico.
C)14
A)72
B)74
D) 100
E) 105
20. En la figura, calcular x, si = 2 + 3.
C)75
A)70
B)75
C)65
D) 60
E) 45
10. En un ABC, se traza la ceviana AE cuya prolongacin
interseca en F a la bisectriz exterior del ngulo C. Si m R
BAE - m R EAC = 20 y m R EFC = 30, calcular m R ABC.
A)40
B)51
C)55
D) 50
E) 57
11. En la figura mostrada si BD = 4 y BC = 6, hallar AD.
A)10
B)20
C)35
D) 30
E) 45
12. En un ABC, se ubica el punto D en AC tal que AB = BD
= DC y AC = BC. Calcular m R
A)36
B)37
C)45
D) 38
E) 40
13. En un tringulo ABC, recto en B, se traza la altura BH y
la bisectriz BD del ngulo HBC, tal que AB = 7 y AC = 10.
Hallar DC.
A)4
B)5
C)6
D) 3
E) 9
14. En un ABC, recto en B, se traza la altura BH y la
bisectriz interior del ngulo A que interseca a BH en E y a BC
en F de manera que BF = 5 y BH = 8. Hallar HE.
B)3
C)6
E) 9
15. Exteriormente a un ABC (AB = BC) se construye el
tringulo equiltero BEC. Calcular m R EAC.
A)30
B)36
C)45
D) 38
E) 40
16. Calcular, si AB = BC y AC = CE = ED.
A)40
B)50
C)45
D) 30
E) 60
21. En la figura. Si AB = AC = CD, calcular x, adems + =
2
A)2
D) 8
A)16
D) 18
17. Calcular
A)140
D) 130
18. Calcular m-n.
B)17
E) 14
B)100
E) 120
A) 60
B)50
D) 30
E) 60
22. En la figura: AB = BP = QC. Calcular x.
C)45
A) 60
B)50
D) 70
E) 80
23. En la figura mostrada, calcular .
C)45
A) 6
D) 7
24. Calcular.
C)5
C)15
B)9
E) 8
C)145
A)26
B)19
D)2 7
E) 28
25. Calcular x, si: AD = 1, DC = 7 y BD = 5
A)37
B)45
D)53
E)60
26. Si BM = 12, calcular PQ.
A) 10 m
B)11m
D) 13 m
E) 14 m
27. En la figura, si FC = 18 m. Calcular AB.
C)15
C)48
C)27
A) 20
B)12
D)16
E)N:A
En la figura, hallar DC si BC = 10
C)15
A) 8
B)6
D)12
E)N:A
32. En la figura, si AH = 3 y HC = 8. Calcular x
C)10
A) 30
B) 60
D) 37/2
E) N:A
33. Calcular, si + = 24:
C) 53/2
C)12m
A)18m
B)9m
C)9,5 m
D) 10 m
E) 10,5 m
28. En la figura, si AD = 11 m y DC = 3 m, calcular BD.
A)7m
B)6m
C)4m
D)5m
E)8m
29. En la figura, BC + BM = AM y AN = NC. Hallar x.
.A)60
B)30
D37
E)45
30. En la figura, DC = 2AB. Hallar x.
.A) 22.5
B)30
D)37
E)45
31. En la figura, AB = 9. Hallar BD.
A) 24
B)14
C)25
D)2 7
E) 38
34. En la figura AM = CE = CF. Calcular el valor medio y en
tero de .
C)53
A) 26
B)16
C)27
D) 30
E) 30
35. Calcular AE del grfico, si AB = CE y AB + DE =15.
A) 7.5
8)15
C) 5
D) 10
E) 12,5
2. Hallar a + b + c.
A) 16
B)17
D) 31
E) 15
36. En la figura, si AD = 24, hallar MD.
C)27
A) 200
B) 250
C) 265
D) 270
E) 280
3. Segn el grfico, AN=AT, BM=BR y CS=CP Calcule +
+ .
A) 12
B) 17
D) 19
E) 20
37. En la figura mostrada, si MC = 20, hallar AB.
C)18
A) 360 B) 270
C)135
D) 180 E) 300
4. Segn el grfico a+b+c+d = 420 calcule
A) 20
B) 16
C)17
D) 18
E) 30
38. En la figura. AC = 4NT, AB = NB y m R C =15 Calcular
la m
R MAB.
A) 15
B)75
D) 80
E) 81
39. Del grfico calcular , si AB = CD.
A) 27
D) 30
B) 28
E) 35
C)70
A) 25
B) 15
D) 18
E)20
5. Segn el grfico, calcule x.
C)10
A) 15
B) 6
D) 12
E) 18
6. En la figura mostrada, calcular x.
C) 9
A) 20
D) 70
7. Calcular x.
C)20
C)53
EJERCICIOS
1. En el grfico mostrado BD = 5 y m R DBC = 6,
entonces AC es:
B)10
E) 30
A) 15
B)16
D) 17
E) 18
8. Calcular , si AB = CD y BC AD.
C)20
A) 16
B)10
D) 9
E) 3
9. Del grfico, calcular .
C)7
A) 26
B) 28
C)27
D) 30
E) 35
13. En un ABC, se traza la mediana CP en el BPC se
traza la mediana BM que 12; luego se traza P//BM (N en
AC) Hallar NP.
A) 6
B) 16
C)7
D) 8
E) 10
14. En la figura mostrada, si BM es mediana y PB = 10,
hallar MH.
A) 6
D) 8
B) 5
C)7
E) 10
15. En la figura mostrada, si AB = 9 y AC = 17, hallar AH.
A) 18
B)16
C)17
D) 20
E) 30
10. Se tiene un tringulo equiltero ABC en el cual se trazan
las cevianas interiores CN y BM que forman un ngulo cuya
medida es 60 Si BN = 3 y MC = 7, hallar AB.
A) 20
B)16
C)27
D) 10
E) 21
11. En la figura: AH = HR y BH = HP. Si m R APR = 18.
A) 6
D) 8
B) 5
C)4
E) 3
16. En la figura mostrada, si PB = 9 y PC = 15, hallar AB.
Calcular la m R BAR.
A) 16
B) 17
C)7
D) 18
E) 20
17. En la figura mostrada, si AB = 10, BC = 8 y PB = 1, hallar
MP.
A) 26
B)28
D) 30
E) 31
12. En la figura, calcular , si AB = CD.
C)27
A) 4
D) 8
B) 6
E) 10
C)7
B) 16
C)7
E) 10
19. En la figura mostrada, si AM = MC, AB = 4, BC = 6, y
MH//AB hallar HM.
A) 6
D) 8
A) 6
D) 8
A) 6
D) 8
B) 5
C)7
E) 10
24. En la figura, si AB = DC = 8, AM = MD y BN = NC, hallar
MN.
B) 1
E) 2
20. Calcular x, si HM = 3 y AH = 8
C)7
A) 6
D) 9
B) 4
E) 10
25. Calcular , s AB = DE; AE = CD
C)8
A) 26
D) 30
21. Calcular X.
C)53
A) 25
B) 28
D) 30
E) 55
26. Hallar CD, si AD = 1 y BD = 4.
C)53
A) 2
D) 9
C)8
B) 28
E) 35
A) 26
B) 28
D) 30
E) 35
22. Si AM = MB y BC = 2PM, calcular x.
C)27
A) 16
B) 18
D) 30
E) 31
23. Si AB = BC, PQ = 8 y QC = 3, hallar AP.
C)27
B) 4
E) 5
27. Si BM = 12, hallar PQ.
A) 16
B) 14
C1)8
D) 19
E) 12
28. En un tringulo ABC recto en B, la bisectriz exterior del
ngulo A y la prolongacin de la altura BH se intersecan en F
tal que: AB + AH = 4; HF = 3 Calcular BH.
A) 2
B) 4
C)8
D) 9
E) 5
A) 16
B) 18
D) 12
E) 10
31. En la figura si AB = PC y PH 3PB. Calcular x.
C)27
A) 6
D) 3
32. Calcular .
C)7
A) 16
D) 30
33. Calcular x, si m
B) 8
E) 9
B) 18
E) 37
ABD = 60 -
A) 20
B) 18
D) 30
E) 31
34. Calcular , si AF = BC.
A) 50
B) 18
C)27
D) 30
E) 53
36. El ngulo A de un ABC mide 30. Se traza la ceviana
BF con la condicin que: AF = BC y BF = FC. Calcular la m
R FBC.
A) 16
B) 18
C)27
D) 20
E) 31
37. Calcular 10, si BP = AC y m R BAP =m R PAC.
A) 45
B) 18
C)27
D) 30
E) 20
38. Hallar x, si es mediana, adems AB = 3, BM = 2 y BC
=5
C)27
A)37
B)53
D) 30
E) 15
39. Si BH = AC, hallar x
C)45
A) 115
D) 125
CI 105
C)27
B) 100
E) 135
CUADRILATEROS
A) 16
B) 18
D) 20
E) 31
35. Si AC = BC = AD, calcular x.
C)10
Definicin
Dados cuatro puntos coplanares A, B, C y D, tal que tres de
ellos no son colineales, se denomina cuadriltero a la unin
de los segmentos AB, BC, CD, y DA, los cuales son los lados
del cuadriltero y los puntos A, B, C y D son los vrtices.
Es (no convexo) si tiene un ngulo interior que mide
ms de 180 (cuadriltero MNPQ).
TEOREMAS FUNDAMENTALES
La longitud del segmento que une los puntos medios de los
lados no paralelos de un trapecio (mediana) es igual a la
semisuma de las longitudes de las dos bases.
TRAPECIO
Exactamente dos lados opuestos son paralelos.
PROBLEMAS
1. En un paralelogramo de 10 cm y 5 cm de lados se traza
la bisectriz del ngulo obtuso B. Calcular la mediana del
trapecio formado BCDE.
A) 7,5
D) 7,0
B) 8,0
E) 6,5
C)8,5
A) 110
B) 120
D) 75
E) 150
3. Si AD = DC = BC. Calcular x, en la figura.
C)130
A) 92
B) 88
C) 98
D) 95
E) 85
Los ngulos de un cuadriltero ABCD; rn R A = 90, m R B =
D) 7 m
E) 8 m
8. La diferencia de la mediana y el segmento que une los
puntos medios de las diagonales de un trapecio es 16 m,
hallar la longitud de la base menor.
A) 16 m
B)12m
C)8m
D) 4 m
E)10m
9. La suma de la mediana y el segmento que une los
puntos medios de las diagonales de un trapecio es 46 m,
hallar la base mayor.
A) 23 m
B)46m
C)30m
D) 32 m
E) 40m
10. En la figura calcular x si ABCD es un cuadrado y ADE es
un tringulo equiltero.
A) 75
B) 80
C)100
D) 105
E) 110
11. En la figura calcular x si ABCD es un cuadrado y BEC es
un tringulo equiltero.
A)10
B)11
D)13
E)14
4. En la figura BC//PQ//AD Calcular PQ.
C)12
A) 10
B) 11
C)12
D) 13
E) 15
5. En un trapecio issceles la mediana mide 12 m la
diagonal mide 13 m. Calcular la altura del trapecio.
A)5m
B)6m
C) 7 m
D) 8 m
E) 9 m
6. En un trapecio las bisectrices de los angulos adyacentes
a la base menor se cortan en un mismo punto de la base
mayor, calcular la longitud de la base mayor si los lados no
paralelos suman 12 m.
A) 8 m
B) 9 m
C)10m
D) 11 rn
E) 12 m
7. En la figura BC//PQ//AD Calcular PQ: si AB =5m, BC =
4m y AD =15m,
:A) 45
B) 65
C)70
D)75
E) 50
12. Las diagonales de un rombo miden 30 m y 16 m.
Calcular la longitud de su lado.
A) 17
B)18
C)16
D) 20
E) 24
13. En un paralelogramo ABCD: AB = 18 m. Se une A con un
punto P de . I corta a 15 en Q. Hallar PD, si BQ = 3(QD).
A) 2 m
B) 4 m
C)6m
D) 8 m
E) 10 m
14. En el siguiente cuadriltero hallar x.
A) 80
B) 70
C)
D) 95
E) 105
15. En el trapecio ABCD, AD = BC + CD. Hallar .
90
A) 100
B) 170
C)90
D) 95
E) 115
16. En el grfico mostrado, hallar: OQ si BM + NC = 23 m,
O es centro del rectngulo ABCD.,
A) 4 m
B) 5 m
C)6 m
10
D )2 m
E) 8m
POLIGONOS
A)6m
B)4m
C)2m
D)3m
E)7m
17. En el grfico mostrado PM=MQ, RP = 4m, QS = 6 m.
Calcular MN.
A) 5 m
B) 6 m
C)7m
D) 8 m
E) 9 m
18. Del grfico, ABCD es un rombo y CD = DE. Hallar x.
Definicin:
Se denomina polgono a la figura geomtrica que resulta de
unir por medio de segmentos de recta no secantes, tres o
ms puntos contenidos en un plano.
La regin del plano que determina, se llama regin poligonal.
ELEMENTOS
1. Vrtices: A, B, C, D, E y F
2 .lados: AB, BC, CD, etc.
3 .ngulos: interiores R A, R B, etc.
4. Angulo. Exterior: R TCD
5 .diagonal: BE
6. diagonal media: MN.
OBSERVACON Un polgono de n lados tendr n vrtices
y n ngulos interiores
A) 12
B) 15
C) 20
D) 30
E) 18
19. En el grfico mostrado, AB = AE, BC =CF, y EM = MF.
Hallar MN, si AC = 12m.
A6m
B) 8 m
C)10m
D 12 m
E) 18m
20. En un trapecio ABCD, (AD// BC), en AD y en CD se
ubican los puntos M y N respectivamente, tal que: CN = ND
Y m R NBC = m R NMD. Si la distancia de B a MN es 10,
calcular la distancia del punto medio de BM a BN.
A6m
B) 4 m
C)10m
D2m
E) 8m
21. En un cuadrado ABCD se ubica el punto medio E de
AD, luego se ubica un punto F en CE tal que AF = AB.
Calcular: m R EFD.
A) 45
B) 65
C)70
D)75
E) 70
22. Del grfico AM = ME, AB = BC, CD = DE y BD = 6.
Calcular: MH.
CLASIFICACION:
A )3 m
B) 4 m
C)1m
11
1.
2.
n d n 3
Ejemplo:
En la figura: n = 12; a = 5
S = 180 (12- 2(5)) = 360
S S int . 180 (n 2)
3.
N D
4.
n(n 3)
2
N Dm
n(n 1)
2
5.
6.
S R int . 360
(m 1)(m 2)
N d mn
2
7.
N dm mn
m(m 1)
2
1.
1S int .
2.
180 ( n 2)
n
1S ext.
3.
360
n
1S centr.
4.
PROBLEMAS
Numero de diagonales
360
n
S S centrs 360
SUMA DE LOS NGULOS INTERIORES DE UN
POLGONO ESTRELLADO
Si n es el genero de un polgono estrellado y a es el nmero
de espacios entre un lado y los vrtices (especie), entonces
la suma de los ngulos de las puntas es:
A) 10
B) 12
C) 15
12
D) 18
E) 20
9. Desde cuatro vrtices consecutivos de un Polgono
convexo se trazan 25 diagonales.Hallar el nmero de lados.
A) 16
B) 10
C) 12
D) 20
E) 24
10. Al disminuir en 2 el nmero de lados de un polgono
convexo, se obtiene otro polgono con 15 diagonales menos.
Hallar el nmero de lados del polgono original.
A)10
B)12
C) 14
D)16
E)18
11. Calcular la diferencia entre el nmero de diagonales
medias y el nmero de diagonales de un polgono en el cual
el nmero de diagonales es igual a su nmero de lados.
A)4
B)5
C) 6
D)7
E)8
12. Las medidas de los ngulos interiores de dos polgonos
regulares difieren en 10 uno de ellos tiene 6 lados menos
que el otro. Hallar el mayor nmero de lados.
A) 16
B) 19
C) 17
D) 18
E) 20
13. Cul es el polgono convexo cuyo nmero de
diagonales excede al nmero de vrtices en 18?
A) tringulo
B) cuadrilteros C)pentadecgono
D) nongono
E) Icosgono
14. Quince veces el ngulo interior de un polgono regular
equivale al cuadrado de su ngulo exterior. Cul es ese
polgono?
A) Pentgono regular
B) Cuadrado
C) Tringulo equilteros
D) Octgono regular
E) Decgono regular
15. En un polgono regular, el mximo nmero de sus
diagonales es igual a 170. Hallar la medida del ngulo central
de dicho polgono.
A) 12
C) 15
B) 16
D) 18
E) 20
16. Segn la figura ABCDEF y NBKLS son Polgonos
equingulos y BC = BK. Calcular el valor de x.
A) 12
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
17. En un heptgono convexo, 5 ngulos consecutivos
suman 680. Calcular el mayor ngulo que forman al
intersectarse las bisectrices interiores de los dos ngulos
restantes.
A) 100
B) 115
C) 110
D) 95
E) 125
18. Hallar x
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
19. Si el nmero de lados de un polgono regular aumenta
en 6, cada ngulo interior del nuevo polgono es 5 mayor
que cada ngulo interior original. Cuntos lados tiene el
polgono original?
A)12
B)15
C) 16
D) 17
E) 18
20. Se tiene 2 polgonos regulares de manera que uno de
ellos tiene 5 lados menos que el otro, pero el ngulo exterior
de uno de ellos mide 12 menos que la medida del ngulo
exterior del otro. Hallar la suma del nmero de sus lados de
dichos polgonos.
A)25
B)28
C) 22
D)30
E)24
B) 9
E) 8
calcular la distancia de
C) 10
13