School Work y probabilidades estadisticas poisson normal binomial hipergeo">
Probabilidad Estadistica
Probabilidad Estadistica
Probabilidad Estadistica
DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES
1. INTRODUCCIN
La teora de las probabilidades tuvo su origen en los problemas relacionados con los juegos de azar (dados, barajas,
etc.). Ms tarde el concepto de probabilidad, convenientemente modificado, se ha aplicado a los seguros y a los
problemas de inferencia estadstica. Estos ltimos poseen numerosas aplicaciones en la fsica moderna, la biologa,
la agricultura, la industria, las ciencias sociales y la economa. De aqu que la teora de las probabilidades tenga hoy
gran inters prctico y terico y constituya una rama importante de la matemtica, ingeniera y de las ciencias
sociales.
2. CLASES DE EXPERIMENTOS: DETERMINSTICO Y ALEATORIO
Un experimento es determinstico cuando, conocidas las condiciones en que se produce, los resultados que se
obtienen estn sujetos a dichas condiciones. En general, este tipo de conclusiones corresponden al campo de la
fsica y qumica. Por ejemplo: Combinando una molcula de oxgeno (O) con dos de hidrgeno (2H), se obtiene la
molcula de agua (H2O) indefectiblemente, si se usa como catalizador una chispa elctrica.
Los datos para una variable pueden obtenerse no solo por experimentos determinsticos, sino tambin mediante
experimentos aleatorios. Un experimento aleatorio se define como aqul que se puede producir de manera
indefinida, con las mismas condiciones, sin la posibilidad de determinar de antemano el resultado de una prueba, en
observacin a dichas condiciones. Ejemplo: fabricacin de un bien estndar o defectuoso, lanzar una moneda o un
dado, observar un nacimiento y ver el sexo, determinar el da en que una mquina va a fallar, etc. En todos estos
ejemplos no se puede saber el resultado preciso antes de realizar los experimentos.
3. EXPERIMENTO ALEATORIO
3.1. Caractersticas
Un experimento aleatorio, tiene las siguientes caractersticas.
Se puede repetir de manera indefinida, esto asegura que los resultados sean simtricos y que el elemento del
experimento sea homogneo.
Los resultados del experimento son numerables y registrables.
No es posible determinar el resultado exacto de un experimento aleatorio antes de que ocurra, pero si obtener
una lista de los posibles.
Por el principio de la regularidad estadstica (Ley de los grandes nmeros) es posible estimar la probabilidad de
un resultado cualquiera del experimento cuando este se haya realizado muchas veces.
Por extensin
Por comprensin
Los espacios muestrales pueden ser finitos o infinitos. Es finito cuando se trata de un conjunto numerable, como por
ejemplo los resultados posibles que existen al elegir un nmero de la lotera de entre 100000 boletos. Es infinito
cuando es continuo no numerable, como por ejemplo los resultados posibles que se pueden dar al elegir una
persona de entre todas las que hay en el mundo.
3.3. Determinacin del espacio muestral
Dado un experimento aleatorio, los resultados posibles o imaginables a que da lugar dicho experimento pueden
determinarse utilizando:
48
Se observa el tipo de experimento: Se trata de un experimento aleatorio, porque es posible efectuar la extraccin
de dos billetes, uno tras otro elegidos al azar, de manera permanente y bajo las mismas condiciones, observar
los resultados y registrarlos.
Se determina el espacio muestral: Los resultados posibles o imaginables de dicho experimento pueden ser
obtenidos mediante un arboligrama, mostrado en la figura 4.3.1.
Figura 4.3.1. Arboligrama de sacar 2 billetes con reposicin
2a extraccin
1a extraccin
10
20
50
10
10
20
50
20
10
20
50
50
10
20
50
10
20
50
10 10
20 10
10 20
20 20
10 50
20 50
2a
10
20
49
50
50 10
50 20
50 50
No se trata del mismo experimento aleatorio del ejemplo 1, porque en este caso se extraen los billetes uno tras
otro, pero sin reposicin.
Los resultados posibles o imaginables de dicho experimento pueden ser obtenidos mediante un arboligrama (ver
figura 4.3.2).
Figura 4.3.2. Arboligrama de sacar 2 billetes sin reposicin
1a extraccin
2a extraccin
20
10
10
20
50
50
10
20
50
10
50
20
10
20
50
X
20 10
50 10
10 20
X
50 - 20
10 50
20 50
X
10
20
50
Ejemplo: Si el experimento aleatorio consiste en lanzar al aire una moneda tres veces y observar los resultados
conjuntos, un evento puede ser:
E1 = obtener tres caras en 3 lanzamientos.
E1 = E (c c c)
Otro evento, obtener 3 sellos en tres lanzamientos: E2 = E (s s s), etc.
Un evento es un resultado o varios resultados de un espacio muestral en los que se est interesado, con el propsito
de estudiarlos o analizar los resultados.
3.5. Clases de eventos
a) Sucesos simples y compuestos: Los eventos o sucesos aleatorios pueden ser simples o compuestos, segn
puedan o no descomponerse en otros resultados del experimento. Ejemplo: al lanzar una moneda sale cara o cruz,
estos resultados son simples. Al lanzar una moneda 2 veces: cs, cc o ss, se originan eventos compuestos.
b) Sucesos ciertos e imposibles: Un suceso es cierto cuando los resultados que se obtienen cumplen las
condiciones del experimento. Ejemplo: al lanzar una moneda, los sucesos ciertos son cara o cruz. El suceso
imposible se da cuando el resultado del experimento no cumple las condiciones esperadas. Ejemplo: cuando la
moneda cae de perfil.
c) Sucesos mutuamente excluyentes o no: Dos o ms sucesos son mutuamente excluyentes cuando la
ocurrencia de uno de ellos excluye la aparicin de los otros. Ejemplo: al lanzar un dado la aparicin de 5 excluye la
aparicin de 1, 2, 3, 4 y 6. Sin embargo, si se lanzan dos dados dos sucesos que no son mutuamente excluyentes
son el evento que sumen 10 y el evento que en uno de ellos aparezca un 4.
d) Sucesos igualmente posibles o no: Dos o ms eventos son igualmente posibles cuando ninguno tiene mayor
posibilidad de ocurrencia que el otro. Ejemplo: al lanzar una moneda hay la misma posibilidad que salga cara o sello
si sta est bien hecha. Las monedas cargadas originan sucesos que no son igualmente posibles.
e) Sucesos dependientes e independientes: Un suceso es dependiente de otro cuando la ocurrencia de uno
afecta al resultado del otro. Ejemplo: si se tienen 3 bolas rojas y una azul en una urna y en la primera extraccin se
eligi al azar una bola roja, el suceso que se extraiga una bola roja en la segunda extraccin es dependiente de la
primera. Sin embargo, si la bola roja extrada se repone a la urna, la segunda extraccin ser independiente de la
primera.
4. PROBABILIDAD
4.1. Introduccin
La probabilidad es una medida del riesgo o de la incertidumbre. Se dice que existe riesgo cuando se conoce el
espacio muestral y la probabilidad de aparicin de los sucesos. La situacin que indica incertidumbre, desconoce la
presencia del espacio muestral, la probabilidad de los sucesos o ambos.
Por medio de la probabilidad, podemos medir si un suceso es probable e improbable: el resultado de una eleccin
presidencial, los efectos colaterales de un nuevo medicamento, la durabilidad de una pintura para exteriores, etc.
La probabilidad puede clasificarse en tres tipos.
4.2. Probabilidad a priori o clsica
Es la manera ms antigua de medir el riesgo o la incertidumbre de un evento.
La probabilidad de ocurrencia o xito de un suceso simple A, es el nmero que se determina mediante el cociente de
los casos favorables de la ocurrencia del evento y el nmero de casos posibles.
P(A)
n
Nmero de casos posibles
51
En la aplicacin de esta regla, los trminos favorable y xito se aplican a cualquier clase de resultado que el
investigador est interesado. As, favorable puede significar que un televisor no funcione, ya que el inters es
detectar los que estn defectuosos.
Algunas propiedades que presentan los sucesos, al hablar de sus probabilidades a priori son:
Bien revuelto significa que cada carta tiene la misma probabilidad de salir, de modo que se puede aplicar el
concepto clsico de probabilidad.
Dado
que
hay
P(sacar un as)
ases
entre
52
cartas,
la
probabilidad
de
sacar
un
as
sera
de:
4
1
0.077
52 13
Existe una probabilidad de que en 13 extracciones, una sea un as, o existe una probabilidad del 7.7% de sacar un as
al elegir una carta.
Ejemplo 2: Supongamos 3 nacimientos. Cul es la probabilidad de que nazcan 2 varones?
Determinar el sexo del recin nacido, es un experimento aleatorio (Suponiendo que no se cuenta con un
ecgrafo).
Los resultados del experimento cuando se observa el nacimiento uno tras otro, en la determinacin del sexo se
los determina por medio de un arboligrama (Ver figura 4.4.1):
Figura 4.4.1. Arboligrama del sexo de 3 nacimientos
P. conjunta = P. Marginal * P. condicional
1
2
1
2
1
2
1
2
P. marginal
P. condicional
1
2
M
H
1
2
1
2
M
1
2
1
2
M
1
2
H
1
2
1
2
1
2
H
M
1
2
P. condicional
S=S (HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM)
52
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
Se calcula la probabilidad del evento E 1 de que hayan exactamente 2 nacidos hombres (suma de tres
probabilidades conjuntas).
P(E1) = P (H,H,M) + P (M,H,H) + P (H,M,H)
Para el anlisis de dichas probabilidades es necesario recurrir a eventos simples: Probabilidad conjunta es la
multiplicacin de una probabilidad marginal por varias condicionales.
P ( H , H, M ) P ( H ) P ( H / H ) P ( M / H, H )
1
2
1
1
8
2
1 1 1 3
P(E1 )
8 8 8 8
Ejemplo 1: Segn datos histricos se sabe que 20 de 100 taxis sufren choques muy fuertes al ao en Cochabamba
Cul es la probabilidad de que se suba a un taxi y ste sufra un choque muy fuerte?
Resolucin
P(A)
Esta es una probabilidad a posteriori, y se la calcula mediante la frecuencia relativa:
Existe una probabilidad del 20% de que el taxi al que se subi sufra un choque fuerte.
20
*100 20%
100
.
Ejemplo 2: Si los registros de una aerolnea demuestran que (en los ltimos 6 meses) 468 de 600 de sus jets de
Cochabamba a Santa Cruz llegaron a tiempo, cul es la probabilidad de que si este fin de semana Ud. est yendo
a Santa Cruz, llegue a la hora correcta?
Resolucin
468
0.78
Ejemplo: Un estudiante no realiz ningn esfuerzo en su preparacin para rendir su examen de estadstica. No
fotocopi el texto de la materia, no hizo las prcticas, no estudi los ejercicios propuestos y no atendi al docente en
las clases dirigidas. Por lo tanto, subjetivamente se puede decir que tiene muy pocas probabilidades de pasar el
examen.
5. VARIABLE ALEATORIA
Es una funcin que permite transformar los diferentes resultados del espacio muestral en puntos del conjunto de los
nmeros naturales. Puede ser continua o discreta.
Ejemplo: Supngase el espacio muestral del sexo de 3 recin nacidos (Ver la figura 4.4.1).
S = S (HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM)
Corresponde a la situacin de observar 3 nacimientos uno tras otro.
Si interesa el nmero de hombres recin nacidos se puede observar la siguiente relacin entre la variable definida y
el espacio muestral.
La variable aleatoria es discreta y estara definida como: X = Nmero de hombres recin nacidos, generando as los
valores de la tabla 4.5.1.
Tabla 4.5.1
Valores de la variable aleatoria: nmero de hombres recin nacidos
Casos del espacio
muestral
MMM
MMH, MHM, HMM
MHH, HMH, HHM
HHH
P(xi)
1/8
3/8
x3 = 2
x4 = 3
3/8
1/8
P(x ) 1
i
Para determinar si una funcin es de cuanta debe cumplir con las condiciones anteriores. Para evaluar la segunda
condicin: La suma de la funcin de cuanta en el recorrido de la variable debe sumar la unidad, es necesario
incorporar una variable de trabajo k, tal que:
f (x ) 2x 1
Para x = 0, 1, 2, 3.
k (1 3 5 7) 1
k (16) 1
1
16
La funcin propuesta no es de cuanta porque no cumple la segunda propiedad. Por lo tanto debe modificarse.
P(x)
a) Entonces la nueva funcin es:
2x 1
16
P( x 2) P( x 0) P( x 1)
b) Se pide:
para x = 0, 1, 2, 3.
1
3
4
0.25
16 16 16
Respuesta: Que la variable x tome un valor menor que dos, ocurre en un 25% de los casos.
c) Se halla la funcin de distribucin y se verifica.
55
1
(2x + 1 )
i = 0 16
P (x ) = P ( xi ) =
i=0
Se sabe que:
1
4
* (2x + 1 ) =
16
x = 0 16
P (x < 2 ) =
donde:
P(x)
Distribucin de cuanta de la funcin:
xi
0
1
2
3
P(xi)
1/16
3/16
5/16
7/16
16/16
2x 1
16
para x = 0, 1, 2, 3.
Pac(xi)
1/16
4/16
9/16
16/16
P(x)
Diagrama de barras para la funcin:
1
(2x 1)
16
para x = 0, 1, 2, 3.
50%
40%
30%
P(xi) [%] 20%
10%
0%
0
xi
f ( x ) dx 1
La evaluacin de una funcin de densidad se efecta determinando el cumplimiento de las condiciones anteriores.
La segunda condicin requiere incorporar la variable de trabajo k.
Se consideran las condiciones introducidas para el valor de k, a fin de determinar si la funcin propuesta es de
cuanta.
Ejemplo: Se ha descubierto que el tiempo de espera (en minutos) para que una persona pueda acceder a
conectarse a internet sigue la siguiente funcin de densidad:
f ( x ) x 2 6x 10
para
0.25 x 1.5
f ( x ) dx 1
1. 5
0.25
( x 2 6 x 10) dx 1
x3
k
3x 2 10x
3
1355
1
192
1.5
1
0.25
192
1355
Se verifica que la funcin no era de densidad, y haba que corregirla, del siguiente modo:
f (x)
192( x 2 6 x 10)
1355
para
0.25 x 1.5
192( x 2 6 x 10)
192 x 3
P( x 1)
3x 2 10 x
dx
0.25
1355
1355 3
a)
0.7107
0.25
Existe una probabilidad de 71.07% de que una persona se conecte al internet en menos de un minuto.
P( x 1)
b)
1.5
192( x 2 6 x 10)
192 x 3
3x 2 10 x
dx
1355
1355 3
1.5
0.2893
1
Existe una probabilidad de 28.93% de que una persona espere para conectarse al internet un minuto o ms tiempo.
57
EJERCICIOS DE CLASE
Experimento aleatorio y determinstico
1. Determine cules de los siguientes experimentos son determinsticos o aleatorios.
a) Un alumno realiza un examen de opcin mltiple, en el cual cada pregunta consta de 3 respuestas, de las
cuales slo una es correcta. Cada pregunta es elegida mediante bolos. El examen consta de 2 preguntas. Se
sabe que el alumno no estudi para este examen. Cul es la probabilidad de que responda correctamente
las dos preguntas?
b) Una empresa que fabrica cereales de distinto tipo, quiere probar si su nuevo cereal es significativamente
diferente en sabor que los anteriores que ha producido. Para ello, realiza una prueba con varios clientes. A
cada uno se les da a probar 5 cereales, de los cules uno es el nuevo. De 7 clientes, 6 acertaron al nuevo
cereal. Cul es la probabilidad de que de 3 clientes, uno acierte al nuevo cereal?
c) Se sabe que una mquina para envasar cierto producto lquido, no llena el 100% de las latas con la cantidad
de lquido debida: de 20 latas (que constituyen la produccin diaria), 4 estn mal llenadas. Si se escogieron 4
latas al azar de la produccin del da de hoy, qu probabilidad hay que encuentren por lo menos una que
est mal llenada?
Determinacin del espacio muestral
2. Determine el espacio muestral de los experimentos de la pregunta 1, que sean aleatorios.
Determinacin de una distribucin de variable aleatoria discreta
3. Halle la distribucin de probabilidades para los experimentos de la pregunta 1 que sean aleatorios y determine
las probabilidades que se piden.
4. En La UPB, el jefe de Ciencias Exactas quiere contratar a docentes para que se hagan cargo de los paralelos de
Matemticas para Ingeniera II y para Matemticas II (ambas se imparten en el mismo horario) en el prximo
mdulo. Se han presentado 8 personas y obtuvieron el mismo puntaje en la clase magistral: 2 son doctores, 5 son
masters y uno es licenciado en Matemticas.
a) Construya la distribucin de probabilidad, donde la variable aleatoria sea el nmero de masters contratados para
las ctedras.
b) Halle la probabilidad de que por lo menos una de las ctedras sea cubierta por masters.
c) Halle la probabilidad que ninguna de las ctedras sea cubierta por licenciados.
5. El docente de Estadstica tiene un problema de lmite de alumnos en su materia este semestre. Tiene 40
alumnos y quiere transferir a 3 alumnos a la clase de la tarde. 30 alumnos no pueden asistir a la clase de la tarde
por imposibilidad en sus horarios. Para resolver este asunto, el docente elegir al azar de los 10 alumnos que no
tienen excusa para la transferencia. Sabe que en ese grupo existen 6 personas repitentes.
a) Presente la distribucin de probabilidades del nmero de repitentes.
b) Cul es la probabilidad de que el docente elija a por lo menos un repitente?.
6. Un estudiante se presenta a un examen oral, que consiste de 2 preguntas. El profesor prepar el examen para
que el alumno eligiera entre 5 preguntas de distribuciones discretas de probabilidad, 3 preguntas de
distribuciones de frecuencia y 4 de distribuciones continuas de probabilidad.
a) Halle la probabilidad de que el alumno tenga que contestar al menos una pregunta sobre distribuciones
discretas de probabilidad.
b) Halle la probabilidad de que el alumno tenga que contestar 2 preguntas sobre distribuciones de frecuencia.
Funcin de cuanta
7. Sea la siguiente funcin de cuanta:
f (x) e x
Corrija la funcin, de modo que cumpla las propiedades de una funcin de cuanta.
Halle la distribucin de probabilidad.
Realice el diagrama de barras de probabilidades.
Realice el diagrama acumulado de probabilidades.
Halle la probabilidad de que la demanda del artculo sea de 4 unidades.
Halle la probabilidad de que la demanda del artculo sea de a lo ms 3 unidades.
Halle la probabilidad de que la demanda del artculo sea de al menos 2 unidades.
Funcin de densidad
f (x) e
x
2
Corrija la funcin, de modo que cumpla las propiedades de una funcin de densidad.
Halle la distribucin de probabilidad.
Realice el histograma de probabilidades.
Realice la ojiva de probabilidades.
Halle la probabilidad de que el precio del artculo sea de al menos 3.5 $us.
9. La duracin de una batera est dada por la siguiente funcin (en aos):
2
x x2
f ( x)
e
2
59
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. D una lista de los posibles resultados que se consiguen al lanzar dos dados uno tras otro. Dibuje el arboligrama
y un cuadro de doble entrada.
2. Cules de los siguientes resultados son mutuamente excluyentes en el lanzamiento de dos dados?
a) Un total de 5 y un 5 en un dado.
b) Un total de 7 y un nmero par de puntos en ambos dados.
c) Un total de 10 puntos y un 4 en un dado.
3. Una pastelera ofrece pasteles con decoracin especial para cumpleaos, bodas y otras ocasiones. Tambin
tiene pasteles normales en su tienda. En la tabla que sigue se proporciona el nmero total de pasteles vendidos
al da y las probabilidades correspondientes.
N de pasteles
vendidos/da
12
13
14
15
Probabilidad
0.25
0.40
0.25
0.10
f ( x ) 3x 2 5 x 4
Para 0 x 3
6. El Ministerio de Informaciones sobre asuntos polticos emite 17 de cada 20 noticias para evitar la disminucin de
imagen del gobierno que representa. Se seleccionan 3 noticias emitidas por dicho Ministerio al azar.
a) Cul es la probabilidad de que se encuentren 2 noticias que vayan en desmedro de la imagen del gobierno?
b) Cul es la probabilidad de que puedan encontrarse a lo ms 2 noticias que cuiden la imagen del gobierno?
7. En Alke se acaba de recibir un embarque de 10 aparatos de TV. Poco despus de recibirlos, el fabricante llam
para informar que por descuido haban enviado tres aparatos defectuosos. Se decidi probar dos de stos. Cul
es la probabilidad de que ninguno de los dos est defectuoso?
8. Un profesor tiene un conjunto de 15 preguntas de opcin mltiple referente a Estadstica I. Cuatro de estas
preguntas se relacionan con distribuciones de probabilidades. Cul es la probabilidad que al menos una de
estas preguntas sobre distribuciones de probabilidad aparezca en el examen de tres preguntas del prximo
lunes?
9. En un da veraniego muy caluroso, 10% de los trabajadores de produccin de una empresa estn ausentes del
trabajo. Se van a seleccionar al azar 3 obreros para un estudio especial a profundidad sobre el ausentismo.
60
El consejo directivo de su empresa est formado por 12 integrantes, 3 de los cuales son mujeres. Se va a
redactar un nuevo manual de polticas y procedimientos para la empresa. Debe seleccionarse un comit de 3
en forma aleatoria entre el consejo, para que escriban el manual.
a) Cul es la probabilidad de que todos los integrantes del comit sean hombres?
b) Cul es la probabilidad de que al menos un elemento del comit sea mujer?
c) Halle la probabilidad de que por lo menos 2 personas sean mujeres.
12. El tiempo de produccin en horas, para fabricar un zapato de vestir para varn est dado por la siguiente
f ( x)
ecuacin:
entre 2 y 5 horas.
10
x4 8 x2 5
3
x
.
61