Algebra 3

17
Desigualdades
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
RELACIN DE ORDEN
Es una comparacin que se establece entre dos elementos de un conjunto que pertenece al campo de los nmeros
reales.
El campo real es un campo ordenado.
SMBOLO DE LA RELACIN DE ORDEN
> : "Mayor que"
< : "Menor que"
: "Mayor o igual que"
: "Menor o igual que"
DESIGUALDAD
Se conoce con el nombre de desigualdad a toda proposicin donde aparece la relacin "<", ">", "" y "".
DESIGUALDAD ABSOLUTA
Es aquella que se verifica para todos los valores reales de las letras que intervienen en ella.
Ejemplo: (a - b)2 > -1
Es cierta para todos los valores reales de "a" y "b", ya que el cuadrado de todo nmero real es un nmero positivo o
cero.
DESIGUALDAD CONDICIONAL
Es aquella que solo es cierta para determinados valores de las letras.
Ejemplo:
x-5>3
Solo es verdad para "x" mayor que 8.

*
*
Las desigualdades a > b y c > d son del mismo sentido.

Las desigualdades a > b y x < y son de sentido contrario.
LEY DE TRICOTOMIA
Si: a IR b IR, entonces una y slamente una de las siguientes relaciones se cumple:
ab
LEY TRANSITIVA
Si: a b y b > c , entonces: a > c
Organizacin Educativa TRILCE
173
Desigualdades
DEFINICIONES
"a" es positivo a > 0
"a" es negativo a < 0
a > b a - b > 0
a b a = b
a b a b, se tiene:
a+c>b+c
y a -c>b-c
Lo mismo se puede decir de los simbolos <, y .

Por consiguiente, para pasar un trmino de un miembro a otro de una desigualdad no hay ms que cambiarle de
signo. (a - b > 0)
TEOREMA 2:
El sentido de una desigualdad no se altera si se multiplica, o divide, por un mismo nmero real positivo a sus dos
miembros.
Ejemplo:
Si: a > b y k > 0, se tiene: ka > kb
y:
a b
k k
Lo mismo se puede decir de los smbolos <, y .

TEOREMA 3:
El sentido de una desigualdad se invierte cuando se multiplica, o divide, por un mismo nmero negativo a sus dos
miembros.
Ejemplo:
Si: a > b y k < 0, se tiene: ka < kb
y:
a b
k k
Lo mismo se puede decir de los smbolos <, y .

Ojo: Podemos multiplicar por cualquier nmero excepto por cero.
174
Tercer Ao de Secundaria
LGEBRA
TEOREMA 4:
Si: a > b y "a", "b", "n" son positivos se tiene: an > bn , pero: a-n < b-n.
Ejemplo:
3
5 > 4; se tiene: 5 > 4 125 > 64

-3
-3
Pero: 5 < 4
1
1
125 64
1
1
2
16 > 9, se tiene: 16 9 2 4 > 3
Pero: 16
1
2
1
2
1 1
4 3
Ejercicios bsicos
En una misma recta, grafica los puntos correspondientes a los siguientes nmeros:
3; -5;
2 4
;
;
3
5
* Coloca V o F entre los parntesis segn la proposicin sea verdadera o falsa:

a) 0 < -5
b)
7 >
c) x < 3,7 <
17 x <
d) x < -1 (1 + x) R
e) x > 1 (1 - x) R
17
.................................... (
.................................... (
.................................... (
.................................... (
.................................... (
INTERVALOS
Si representamos la desigualdad a < b sobre una recta numrica:
* El punto "A", representa al nmero "a", est a la izquierda del punto "B" que representa al nmero "b".
* Tambin podemos afirmar que existen nmeros reales entre "a" y "b" o tambin que existen nmeros que estn antes
de "a" y despus de "b".
175
Desigualdades
DEFINICIN:
Los intervalos son subconjuntos de los nmeros reales, que grficamente son segmentos de recta o semirecta y sus
elementos satisfacen ciertas desigualdades.
INTERVALO ACOTADO
Se denomina as al intervalo cuyos extremos son nmeros reales, estos a su vez sern:
* Intervalo cerrado
Si "a" y "b" son nmeros reales tales que a b, se denomina intervalo cerrado al conjunto de todos los nmeros
reales "x" para los cuales: a x b.
[a; b] = {x IR / a x b}
Nota:
Si: x [a; b] a x b
Si: a = b [a; b] = {a} o {b}
Ejemplo:
El intervalo cerrado de extremos -3 y 2 que se denota por [-3; 2], es el conjunto de nmeros reales "x", tales que:
-3 x 2.
Grficamente:
[-3;2]
-3
R
Vemos que el intervalo [-3; 2], es un segmento de recta de longitud 5 unidades y que incluye a los nmeros -3 y 2.
* Intervalo abierto
Si "a" y "b" son nmeros reales tales que a < b, se denomina intervalo abierto al conjunto de todos los nmeros reales
"x" para los cuales: a < x = {x IR / a < x < b}
NOTA:
x <a; b> a < x =
Ejemplo:
El intervalo abierto de extremos -3 y 2 que se denota por <-3; 2>, es el conjunto de nmero reales "x", tal que:
-3 < x < 2.
Grficamente:
<-3;2>
-3
R
Vemos que el intervalo <-3; 2> es un segmento de recta de longitud 5 unidades y NO incluye a los nmeros -3 y 2.
176
LGEBRA
* Intervalo semiabierto por la izquierda
Si "a" y "b" son nmeros reales tales que a b, se denomina intervalo semiabierto por la izquierda al conjunto de
todos los nmeros reales "x" para los cuales: a < x b.
<a; b] = {x IR / a < x b}
x <a; b] a < x b
Ejemplo:
El intervalo abierto en -3 y cerrado en 2 es el conjunto de nmeros reales "x" tales que: -3 < x 2.
<-3;2]
Grficamente:
-3
2
R
Vemos que el intervalo <-3; 2] es un segmento de recta de longitud 5 unidades que no incluye al nmero -3 y s
incluye al nmero 2.
* Intervalo semiabierto por la derecha.
Si "a" y "b" son nmeros reales tales que a b, se denomina intervalo semiabierto por la derecha al conjunto de todos
los nmeros reales "x" para los cuales: a x < b.
[a; b> = {x IR / a x < b}
Si: x [a; b> a x , es el conjunto de nmeros reales "x" tales que:
-3 x < 2.
Grficamente:
[-3;2>
-3
+
2
R
Es un segmento de recta de longitud 5 unidades, que incluye al nmero -3 y no incluye al nmero 2.
NOTA: Un conjunto se dice que es acotado s y slo s es acotado superior e inferiormente a la vez.
177
Desigualdades
INTERVALOS NO ACOTADOS
Se denomina as, si por lo menos uno de los extremos es + -; estos intervalos son de la forma:
* Intervalo acotado inferiormente
<a; +> = {x IR / x > a}
[a; +> = {x IR / x a}
Ejemplo
* Nmeros reales mayores que -3, que se denota por <-3; +> es el conjunto de nmeros reales "x" tales que: x > -3.
<-3;+>
Grficamente:
-3
R
* Nmeros reales mayores o iguales que -3 se denota por [-3; +> es el conjunto de nmeros reales "x" tales que: x -3.
[-3;+>
Grficamente: -
-3
R
* Intervalo acotado superiormente
<-; a> = {x IR / x < a}
<-; a] = {x IR / x a}
Ejemplo:
* Nmeros reales menores que -3
Se denota por <-;-3> es el conjunto de nmeros reales "x" tales que: x < -3
<--3>
Grficamente:
-3
R
NOTA:
La notacin , que se lee "infinito" no es un nmero real, sino un smbolo que se utiliza para indicar que a partir de
un nmero "x" hay nmeros tan grandes como se quiera, por la derecha (+) o por izquierda (-).
* <-; +> = {x IR / x IR}
178
R
-
+
LGEBRA
Ejercicios bsicos
* Grafica los siguientes intervalos:
a) 1 < x < 5
d) x -3
b) 2 x < 4
e) x < -7
c) -3 < x 7
f) x 3
* Expresa cada grfica en notacin de intervalo.
a) -
b) -
c) -
-3
d) -
e) -
* Escribe V o F entre los parntesis, segn sea verdadero o falso en cada enunciado.
a) 3 [2 ; 3]
............... ( )
d)
<0; 3] [0; 2>
............... ( )
b) -2 <-5; 2>
............... ( )
e)
1 <0; +>
............... ( )
c) 4 <4; 5>
............... ( )
f)
3 <-; 3>
............... ( )
OPERACIONES CON INTERVALOS

Siendo los intervalos subconjuntos de los nmeros reales, es posible realizar con ellos las propiedades operativas de
los conjuntos (interseccin, unin, diferencia y complementacin).
CONJUNCIN E INTERSECCIN
Cuando dos o ms enunciados se unen por medio del conector "y" para formar un enunciado compuesto, el nuevo
enunciado se llama conjuncin.
Ejemplos:
La luna es roja
la noche es fra
x+y=5
x-y=2
-2 = x
x<1
179
Desigualdades
Para que una conjuncin sea cierta, todos los enunciados individuales deben ser ciertos
Ejemplo:
Sean:
A = {x / -2 < x}
B = {x / x < 1}
-2
Para que un nmero sea

solucin de la conjuncin,
debe pertenecer
a ambos conjuntos.
AB = {x / -2 < x
La conjuncin -2 < x
x < 1} -
-2
x < 1 se puede abreviar - 2 < x < 1.
Los elementos de dos o ms conjuntos que son comunes a todos ellos forman un conjunto llamado interseccin.
Dados dos conjuntos "A" y "B" podemos representar su interseccin por medio de A B. Si los conjuntos no tienen
elementos en comn, la interseccin es el conjunto vaco, que se representa por medio del smbolo . El conjunto
solucin de -2 < x y x < 1 es la interseccin de los conjuntos solucin.
A = {x / -2 < x} B = {x / x < 1}
En conclusin:
A B = {x IR / x A x B}
Smbolo que representa la conjuncin.
Ejemplo: Representa grficamente -3 x < 4. El conjunto solucin es la interseccin de los conjuntos solucin
individuales.
A = {x / -3 x}
B = {x / x < 4}
La grfica es la interseccin de las grficas individuales.
Grfica de A = {x / -3 x}
Grfica de B = {x / x < 4}
-3
Grfica de la interseccin:
A B = {x / -3 x < 4 }
180
-3
LGEBRA
DISYUNCIN Y UNIN
Cuando dos o ms enunciados se unen por medio del conector "o" para formar un enunciado compuesto, el nuevo
enunciado se llama disyuncin.
Ejemplo:
Est lloviendo o sopla el viento.
Para que una disyuncin sea cierta, al menos uno de los enunciados individuales debe ser cierto.
Ejemplo:
Sean:
A = {x / x < -3} -
-3
B = {x / x 3} -
Si un nmero pertenece a
alguno o a ambos de los
conjuntos solucin, tambin
pertenece al conjunto
solucin de la disyuncin.
A B = {x / x < - 3 o x 3}
-3
Se llama unin al conjunto que se obtiene al reunir los elementos de dos o ms conjuntos. Para dos conjuntos "A" y
"B", su unin se denota A B.
El conjunto solucin de x < -3
o x 3 es la unin.
A = {x / x < -3} B = {x / x 3}
En conclusin:
A B = {x IR / x A v x B }
Ejemplo: Representa grficamente x 2 o x 5
Smbolo que representa la disyuncin
Solucin: el conjunto solucin consiste en la unin de los conjuntos solucin individuales.

A = {x / x 2} B = {x / x 5}
La grfica es la unin de las grficas individuales:
Grfica de A = {x / x 2}
0 1 2 3 4 5
181
Desigualdades
-
Grfica de B = {x / x 5}
A B = {x / x 2 v x 5}
0 1 2 3 4 5 6 7
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
DIFERENCIA
La diferencia de dos conjuntos "A" y "B" se define como el conjunto de todos los elementos del conjunto "A" que no
pertenecen al conjunto "B". Dados dos conjuntos "A" y "B" podemos representar su diferencia por medio de A - B.
Ejemplo:
Sea:
A = {x / -3 < x 12}
B = {x / -7 < x 9}
12
-3
-7
Los elementos que no pertenecen al conjunto "B":
-7
{x / -3 < x 12 } {x / x -7 v x > 9}
-7
-3
12
A - B = {x / -3 < x < 9}
En conclusin:
A - B = {x IR / x A x B}
COMPLEMENTO
Si "A" y "B" son conjuntos cualesquiera, tales que "A" es subconjunto de "B", la diferencia B - A se llama complemento
de "A" con respecto de "B". Podemos representar el complemento de A por medio de A'.
c
A' CA A
182
LGEBRA
Ejemplo:
Sea:
A = <-3; 12]
A' = <-; -3] <12; +>
Conclusin:
12
-3
-3
12
A' = {x IR / x A}
Ejemplos:
Si: A = <-3; 8] y B = [4; 12>
Hallar: A B y A B
Solucin:
AB=[4; 8]
-3
12
AB=<-3; 12>
A B = <-3; 8] [4; 12> = <-3; 12>
A B = <-3; 8] [4; 12> = (elementos comunes de "A" y "B")
A B = [4; 8]
Si: A = <-3; 6] y
B = <-2; 5]
Hallar: A - B y A'
Solucin:
B
A
-
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
183
Desigualdades
I. A - B = <-3; 6] - <-2; 5] = <-3; -2] <5; 6]
A
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
II. A' = <-; -3] <6; +>
Ejercicios bsicos
I. Efecta las operaciones siguientes:
a) -; 2] [1; 5 :
___________________________________
b) 3; 5 [4; 9]
___________________________________
c) -; 4] [0; 3
___________________________________
II. Halla el complemento de los siguientes conjuntos:
a) M = -; 2
___________________________________
b) A = 4; +
___________________________________
c) T = -2; 5]
___________________________________
APLICACIN DE INTERVALOS
I. Para expresar el conjunto solucin de inecuaciones.
II. Para expresar el dominio y rango de una relacin de R en R.
III. Para expresar la "vecindad de un punto X0".
IV. Para "acotar".
184
LGEBRA
Test de Aprendizaje
1. Complete con la relacin adecuada (>; =; <)
a) 7
b) -5
-8
c)
2. Complete con la relacin adecuada (>; =; <)

a) A > B
A+5
B+5
b) B < C
2B
2C
c) x > 5
-4x
-20
3. Expresar mediante desigualdades los intervalos:

a) x <5;9>
__________________________________________________
b) x [-2;4>
__________________________________________________
c) x <-;3] __________________________________________________
4. Graficar los intervalos:
a) <-7;4>
b) [0;9]
5. Representar mediante intervalos:

a) -
b) -
c) -
10
-2
x ___________________
x ___________________
x ___________________
185
Desigualdades
6. Dados: A = <-6;4]; B = [0;5>
Hallar:
a)
A B : _________________
b)
A B : _________________
7. Si: x <2;5>, hallar el intervalo al que pertenece: M = 2x + 4
8. Si: x <1;5>, hallar el intervalo de variacin de: M = 4 - x
9. Si:
2x 1
<5;11>; entonces "x" pertenece a:
3
10.Si: x [7;12> y sabiendo que: a
186
x3
b ; hallar "a + b"
5
LGEBRA
B
Ejercicios
A
d) -
Bloque I
1. En cada caso, halla A B

3. En cada caso, hallar: A - B y B - A
B
A
a) -
-2
B
1
a) -
-1
A
b) -
b) -
-3
A
c) -
c)
B
B
A
A
d) -
d) -
-2
4. En cada caso, halla el complemento de los siguientes

intervalos.
2. En cada caso, halla A B.

a) -
-3
A
a) -
-1
+
b) -
A
b)
c) -
d) -
B
c)
A
-
187
Desigualdades
14.Si: x <1;5>; entonces:
5. Si: M = <-2;6] y N = [5;7>

hallar:
a) M N
b) M N
A qu intervalo pertenece:
2
?
4x 3
c) M - N
15.Si: x <-2; 1]; entonces:
6. Si: M = [-4;5> y N = <-2;+>

hallar:
a) M N
b) M N
c) M - N
16.Si: x [-1;4>, entonces:
7. Si: P = <-5;1] <2;8]

Q = <-;0> [5;9>
hallar:
a) P Q
b) P Q
c) P - Q
b) <0;1>
e) <-1;2>
2x 1
?
3x 2
1
1, entonces:
3x 2
A qu intervalo pertenece "x"?
17. Si: -2
8. Siendo: A = <-2;1>; B = [-1;2]; C = [-3;0>

hallar: A B C
a) <-2;-1]
d) [-1;0>
5
?
2 3x
3x 8
1, entonces:
x5
A qu intervalo pertenece "x"?
c) [-3;2>
18.Si: -1
9. Simplificar los siguientes conjuntos:

19.Dado: -8 < x - 10 < 6; calcular: "ab - 2"
a) (<-2;3] <0;4>) - [2;6]

b) (<-2;3] <0;4]) - [2;6]
10.Se dan los conjuntos en IR:
Si: a <
A = <-3;8>
B = <-;3]
C = [6;+>
20.En qu intervalo se encuentra: x2 + 6x + 12?

Si: x <-5; -2>
Indicar verdadero (V) o falso (F), segn corresponda:

I. (A B) <-; 7]
II. (A C)B = <- -3><6; 8>
III. (C - A) = [8;+>
IV. A' = <-;-3][8;+>
Bloque II
11. Si: -1 x 3 entonces:
A qu intervalo pertenece: 3x + 2?
12.Si: -6 x 2; entonces:
A qu intervalo pertenece: 5 - 2x ?
13.Si: 2x - 1 [-5; 4>; entonces:
A qu intervalo pertenece: 3 - 4x?
188
..........
..........
..........
..........
3x 4
<b
2
(
(
(
(
)
)
)
)
Bloque III
21.Si: 0 < x < 1, entonces:
a) 0 < x2 < x3 < 1
c) 0 < x3 < x6 < 1
e) 0 <
b) 0 < x < x2 < 1

d) 0 < 2x < 3x < 1
x
x
<
<1
3
2
22.Sabiendo que: a < b, donde: a; b IR. Cul (es) de las

siguientes proposiciones se cumple siempre?
I. (a + b) (a - b) < 0
II. (a - b) (a2 + ab + b2) < 0
III. (a - b) (a2 + b2) < 0
a) I y II
d) I, II y III
b) I y III
e) Solo II
c) II y III
LGEBRA
24.En qu intervalo se encuentra 5x + 7 - x2?
Si: -5 < x 2.
23.Si: a, b, c, d son nmeros reales tales que:

a<b<c<d;y
x = (a + b) (c + d)
g = (a + c) (b + d)
z = (a + d) (b + c)
25.Si: 3 x2 - 2x + 3 11, entonces, a qu intervalo

pertenece "x"?
Podemos afirmar que:
26.Si: 1 x2 - x +
a) x > y > z
c) z > x > y
e) z > y > x
b) y > z >x
d) x > z > y
13
4, entonces, a qu intervalo
4
pertenece "x"?
Autoevaluacin
1. Sabiendo que:
s
i :
6
1
1; ; hallar "a.b"
x8
2
<a;b>
a) -2
d) -8
b) -4
e) -10
c) -6
2x 6
x 1
a) <-;4]
d) [4;6>
3.
i :
(a
>
(b
d) <0;
b) <a;2b>
1
>
2
c) <0;1>
e) <2a;2b>
5. Si: -10 < a < -5; -2 
)
1 2b x b b
1 2a x a a
a) <a;b>
2. Si: x <3;5], indicar el intervalo de variacin de:
f (x)
4. Si: b > a > 0, hallar "x" en:
entonces:
c) [6;+>
>
>
R+
ab
est comprendido entre:
c
a) -10 y -1
d) 2 y 20
b) -10 y 1
e) 1 y 10
c) 2 y 10
entonces se cumple:
a) a + b < 3m
c) (a + b)2 < 9m2
e)
b) a - m > 2m - b
d) -a - b < -3m
ab
m
6
2
189
Desigualdades
Tarea domiciliaria
1. En cada caso, hallar A B.
B
A
c) -
A
a) -
-3
2
B
-6
-7
4. En cada caso, halla el complemento de los siguientes

intervalos.
A
b) -
-4
-2
a) -
B
c)
A
-
b) -
c) -
2. En cada caso, halla AB.
B
A
a) -
5. Si: M = <-2; 1] y N = [0; 4>

Hallar:
a) M N
b) M N
c) M - N
B
A
b) -
a) M N
B
c)
A
-
-1
6. Si: M = [-6;4> y N = <-4;+>

hallar:
b) M N
c) M - N
7. Si: P = <-10;4] <0;6>

Q = <-;0> [2;+>
hallar:
a) P Q
b) P Q
c) P - Q
3. En cada caso, halla: A - B y B - A.

8. Siendo:
A = <-5;+>; B = [-3;6>; C = <0;8]
hallar: A B C
B
A
a) -
-3
a) <0;+>
d) <0;6>
b) <-5;+>
e)
c) [-3;8>
B
A
b) -
190
-2
-1
9. Dados los conjuntos:

F = <-;-8] <0;5>
G = [-32;-7> <-1;3]
hallar: (F G) - (F G)
LGEBRA
10.Se dan los conjuntos en IR:
A = <-3; 7> - {2}
B = <-; 2]
C = [4; +>
21.Determinar el valor de verdad de las siguientes

afirmaciones:
I. a 
III. (C - A) =<-3; -1]
IV. A' =<-; -3] [4; +>
...........
...........
...........
...........
(
(
(
(
)
)
)
)
11.Si: -2 < x < 7, entonces:

A qu intervalo pertenece: 4x +1 ?
12.Si: -2 < x 4, entonces:
A qu intervalo pertenece: -2 - x?
13.Si: 4x - 3 <1; 5], entonces, a qu intervalo pertenece:
5 - 2x?
3a b
4
II. a2 < b2 a 
y
x
14.Si: x <0; 3>, entonces, a qu intervalo pertenece:

a) Slo I es falsa
c) Slo III es falsa
e) Todas son falsas
4
?
2x 5
15.Si: x <2;3> entonces:

4 ?
2 3x
16.Si: x <-7;-5>, entonces; A qu intervalo pertenece:

4 x 13
?
x3
17. Si: 2
1
3, entonces; a qu intervalo pertenece
2x 3
"x"?
18.Si: 2
4x 3
3, entonces, a qu intervalo pertenece
x2
"x"?
19.Hallar el mayor "a" y el menor "b" tal que para todo
23.Si: a, b IR y a < 0 < b, escribe entre los parntesis

verdadero (V) o falso (F), segn corresponda:
I.
ab
< -1
b
................ (
II. ab - a2 > b2 - ab ................ (
III.
1 1
a b
IV. a (a - b) > 0
................ (
a) -1 < x2 < x3 < 0

b) -1 < x3 < x6 < 0
a 10 x 2 b.
10 x 3
d) -1 < 4x < 5x < 0
................ (
24.Si: -1 < x < 0, entonces:
1
x ; 1 se verifique:
2
20.En qu intervalo se encuentra: x2 + 4x + 7?

Si: -3 < x < -1
b) Slo II es falsa
d) Slo I y II es falsa
c) -1 < x < x2 < 0

x
x
e) -1 < 2 <
<0
3
191
Desigualdades
25.Dada la relacin: a(b c) > 0 donde: a, b, c ZZ, cul
c
de las siguientes proposiciones es correcta?
27.
i e
<
<
IR cules de las
siguientes proposiciones se cumple siempre?

I. (a + b) (b - a) > 0
a) a > 0 b > 0 c > 0
II. (a + b) (a2 - ab + b2) < 0
b) b < 0 a > b
III. (a + b) (a2 + b2) < 0
c) a > 0 c > 0 b > - c

d) a < -c b > 0
a) I y II
b) I y III
e) a + c > 0 b < 0
d) I, II y III
e) Slo II
26.Indique verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:
c) II y III
28.En qu intervalo se encuentra: x2 - 8x + 3?

Si: 2 x 4.
I. En el intervalo [-3; -1> existen 3 valores enteros.

II. El mayor valor entero en el intervalo <-5;3> es 3.
III. La suma de todos los elementos enteros de <-5;5]
29.En qu intervalo se encuentra: 1 - 2x - x2?

Si: -1 x < 1
es 5.
30.Si: 1 x2 - 6x + 10 26, entonces a qu intervalo
pertenece "x"?
192
18
Inecuaciones lineales
o de primer grado
INECUACIONES
Se denomina inecuacin a toda desigualdad condicional que contiene una o ms cantidades desconocidas, llamadas
incgnitas, y que slo es verdadera para determinados valores de dichas incgnitas.
Forma general de las inecuaciones:
P(x) > 0, P(x) < 0, P(x) 0, P(x) 0
SOLUCIN PARTICULAR
Es aquel valor (o valores) de la incgnita (o incgnitas) que verifica la inecuacin.
Ejemplo:
* En la inecuacin 2x + 3 > x + 5, una solucin particular es x = 5 pues 2(5) + 3 > 10 es cierto.
* Tambin en la inecuacin: x + y 2
Para x = 1 e y = 1, la inecuacin se verifica, pues: 1 + 1 2 es cierto.
Luego (1; 1) es una solucin particular.
CONJUNTOSOLUCIN
Es aquel conjunto que agrupa a todas las soluciones particulares (si existen) de una inecuacin.
INECUACIN LINEAL O DE PRIMER GRADO
Una inecuacin lineal o de primer grado en una variable "x", es una desigualdad de la forma:
P(x) = ax + b > 0
P(x) = ax + b < 0
P(x) = ax + b 0
P(x) = ax + b 0
Siendo: a y b IR , a 0
La tcnica para resolver una inecuacin lineal es muy sencilla y anloga a la solucin de una ecuacin lineal con una
incgnita. Se basa en la aplicacin de axiomas de orden y de teoremas aplicados en aquellos, en lugar de los postulados
de igualdad.
193
Inecuaci ones lineales

INTERPRETACIN GEOMTRICA
P(x) = ax + b
ax + b > 0
x>-
ax + b = 0
b
a
x <-
; a>0
ax + b < 0
b
a
x=-
x<-
b
; +>
a
x <-; -
P(x)
b
a
P(x)
x<-
x >-
b
a
b
a
el grfico de la recta
b
a
es la interseccin de la
P(x) esta por encima
recta P(x) con el eje "x".
Para los "x" con x > -
b
a
b
a
b
>
a
P(x)
b
a
b
a
La raz real x = -
Para los "x" con x < -
b
a
el grfico de la recta
se encuentra debajo del
de "x".
eje "x".
Esto significa: P(x) > 0
Esto significa: P(x) = 0
Esto significa: P(x) < 0.
En la prctica, para resolver

la ecuacin lineal se transponen
todos los trminos que contienen
la variable "x" al primer miembro
y los trminos independientes
al segundo miembro.
Ejemplo:
* Hallar el conjunto solucin de:
2x + 3 > x + 5
Solucin:
Pasando los trminos de "x" a la izquierda con signo cambiado, e igualmente los trminos independientes a la
derecha, con signo cambiado:
2x - x > 5 - 3
Reduciendo trminos semejantes:
194
x>2
x <2; +>
LGEBRA
* Hallar el conjunto solucin de: 7 - 4x < 5 + 2x
Solucin:
Pasando los trminos de "x" a la izquierda con signo cambiado, e igualmente los trminos independientes a la
derecha, con signo cambiado:
-4x - 2x < 5 - 7
Reduciendo trminos semejantes:
Por (-1)
Si al final el coeficiente de la
incgnita es negativa (-),
se multiplica por menos 1 (-1)
a toda la expresin, ya que
para hallar el intervalo solucin
la incgnita debe tener
coeficiente positivo (+).
6x > 2
x>
Simplificando:
-6x < -2
x>
2
6
1
3
1
3
x<
1
; +>
3
OBSERVACIONES
Si al reducir los trminos desaparece la variable y la desigualdad que queda es verdadera, el conjunto solucin est
conformado por todos los nmeros reales.
Ejemplo:
3(x + 4) + 3x > 4x - 5 + 2 (x + 3)
3x + 12 + 3x > 4x - 5 + 2x + 6
3x + 3x - 4x - 2x > -5 + 6 - 12
0 > - 11 (es verdadera)
x IR
En caso contrario si la desigualdad es falsa, no hay solucin.
Ejemplo:
3(x + 2) + 2x < - 8 + 5x
3x + 6 + 2x < - 8 + 5x
3x + 2x - 5x < - 8 - 6
0 < -14 (es falsa)
x
Ejercicios bsicos
* Resuelve:
* Determina si el nmero indicado es una solucin de la
desigualdad:
a) 2x - 5 > - 10 ; 3
c) 6 - y < 9; -3
b) 5y - 2 > 3y + 8; 8
a) x + 8 > 3
b) x + 5 > 2
c) y + 3 > 2
d) y + 4 < 9
e) a + 9 -12
f) a + 7 -13
g) t + 4 9
h) x - 9 10
* Representa grficamente:
a) x 4
c) x > 5
b) y < -1
d) x -2
195
Test de Aprendizaje
1. Resolver:
7x - 15 > 6
2. Resolver:
5x - 4 x + 8
3. Resolver:
2x - 1 < 3 + 4x
4. Resolver:
3(x + 2) - (x - 1) 8 + x
5. Resolver:
(x + 5) (x + 4) > x2 + 2
196
LGEBRA
6. Resolver:
x 3 x 1
2
4
3
7. Luego de resolver: 2(x + 1) - 3(2x - 5) < 4(-x + 3)

podemos afirmar:
a) "x" toma cualquier valor (x IR)
b) "x" no toma ningn valor (x )
8. Cul es el menor valor entero que satisface?

2x 7 x 5
5
3
9. Calcular la suma de valores enteros que verifican:

3x 1 7
x 5 3
10.Un nmero es tal que, al disminuirlo en 5 y al resultado dividirlo por 3, no llega a 7. Hallar el mayor valor entero que
toma este nmero.
197
Practiquemos
8. Resolver:
Bloque I
a) 2x -
1. Resuelve las inecuaciones siguientes:

a) 2x + 9 > 23
b) 8 - 3x < -5x + 12
c) 1 - 5x > 12 + 6x
b) (x - 3)(x + 4) < (x - 5)(x + 7)
c)
x3
5
x
+ <
3
4 12
9. Hallar "m" si es el mayor entero que cumple x > m y la

balanza esta desequilibrada tal como se muestra en la
figura.
a) 5x - 2 - 22
b) 15 - 4x -6x + 7
c) 3x + 16 x
3. De qu inecuacin, 3 es un elemento del conjunto
solucin?
a) 7 x + 4x < 15 + x
b) 12 + 5x 3x + 18
c) 2x + 4 > 17 - x - 1
a) -3 < 2x + 7 < 15
b) -1
b)
x2 x
+ 2
7
5
x
2 5
+
2
3 6
7. Conecta con una lnea las inecuaciones con sus

correspondientes conjuntos solucin:
198
x 1
<4
3
c) x - 3 < 2x - 5 < x + 1
6. Halla el conjunto solucin de:
a)
b)
c)
d)
e)
c) x > 1
11.Resuelve los siguientes sistemas:
a) 2(x - 3) + 3(x - 1) > 11

b) 3(x + 2) + 7(x - 4) 3x - 1
c) 4(x - 3) - 5(x - 2) 1
c)
b) x < 0
e) x
Bloque II
5. Resolver las inecuaciones siguientes:
3 5
<
2 4
10.Resolver: (x + a)(x + b) > x2 + ab

si: a + b < 0
a) x > 0
d) x < 1
8x - 9 7x - 11
4x + 50 12x -30
4x - 7 5x -9
5x + 6 7x + 2
a) x +
25 - 3x
4(x+2)+3
4. Halla las inecuaciones cuyos C.S.: [2; +>

a)
b)
c)
d)
1
x
+2
2
3
(x + 4) (x + 3) < (x + 4) (x - 3)
(x + 1)2 - 4 > (x - 1)2
(x + 3)2 + (x - 3)2 > x(2x + 9)
(2x + 1)2 + 4(1 - x) (3 + x)>9
3x(x - 2) - 21 > x(3x + 1)
I. <-; -3>
II. <-; -4>
III. <-; 1>
IV. <1; +>
V. <-; 2>
12.Resuelve la siguiente inecuacin:

x x
x
1 ;c>b>a>0
a b
c
a) <
abc
;+ >
ab bc ac
b) <
abc
;+ >
ab bc ac
c) <
abc
;+>
ab bc ac
d) <
abc
;+>
ac bc ab
e) <
abc
;+>
ab bc ac
LGEBRA
13.Determine el costo mnimo C (en dlares) dado que
5(C - 2,5) 1,75 + 2,5 C.
14.Determine la ganancia mxima P(en dlares) dado que
12(2P - 320) 4(3P + 240).
20.En IR definimos la operacin * por:

a*b=
ab
; segn esto,
2
resolver:
(2 - x) * 1 (2 * x) *
15.Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento

deportivo con sus hijos. Si toma entradas de 50 soles,
le falta dinero y si toma de 40 soles le sobra dinero. El
nmero de hijos es:
a) 5
d) 8
b) 6
e) 9
c) 7
3
4
b)
5
6
d) 1
e)
6
5
a)
3
(3 + 2x) * 5
4
c)
3
2
Bloque III
16.Cuntos nmeros enteros mayores que 1 cumplen con
la condicin de que la tercera parte del nmero ms 15
sea mayor de su mitad ms 1?
a) 81
d) 84
b) 82
e) 85
c) 83
22.Qu valor deber tomar m(m>0) para que la

desigualdad: 2x + 3 <
17. Hallar el intervalo solucin para "x" en:

3
4x
a) <-;5]
d) <5;+>
5
3
4( 4
3)
b) <-;-5>
e) <-5; 5>
b) 16
e) 36
............
............
............
............
a) 52
d) 32
c) 25
3x
a)
6
13
b)
5
17
d)
17
4
e)
9
13
c)
19
4
(1)
(2)
(3)
(4)
c) 41
1 1 3a 4
4
1
<M 1
4
2
a) 2 M < 4
b)
c) 1 M 1
2
4
d) 1 M 1
4
2
e)
y
z
b) 48
e) 27
Tenga como solucin: <3; +>?
M=
Indicar:
Ex
3 x 4m
m
23.Entre que lmite vara la siguiente expresin:
19.Si: {x; y; z} IN; resolver:

2y < x
4y > 72
x - 4 < 2z
z < 20
c) <-5;+>
18.Resuelva en ZZ +.
5x - 3y > 2
2x + y < 11
y>3
Indique: x2 + y2
a) 4
d) 9
21.Determinar para que valor de "k", la inecuacin

(x + k) (x + 3) > (x + 2k)(x + 2)
Tiene un conjunto solucin: S = {x IR / x < -2}
1
1
M<
4
2
24.Un automvil se renta por $13,95 diarios ms $ 0,10

por kilmetro. Tu presupuesto diario para la renta de
automviles es de $ 76,00. Para qu kilometraje te
puedes mantener dentro del presupuesto?
25.Vas a invertir $25 000, una parte al 14% y otra al 16%.
Cul es la mxima cantidad que puedes invertir al 14%
para hacer que el pago de intereses al cabo de un ao
sea al menos de $3600?
199

26.Se sabe que el nmero de patos que cra Jos es tal que
el triple, disminuido en 5 es mayor que 33, y el cudruple
aumentado en 9 es menor que 65. Calcula el nmero de
patos.
29.Pepe tiene cierta cantidad de dinero, gasta S/.10 y lo

que queda es ms que los 2/3 de lo que tena inicialmente,
gasta luego la mitad y el saldo es menor que S/.11.
Cunto tena inicialmente?
27. Cul es el menor nmero tal que su triple aumentado

en 40 es menor que el nmero aumentado en 90; y el
doble disminuido en uno es mayor que este aumentado
en 22?
30.Un nmero es tal que la diferencia de los cuadrados de

su posterior y anterior es mayor que 48. Calcula el menor
nmero entero que cumple est condicin.
28.Determina el peso de un paquete, si:

-
Tres paquetes iguales pesan menos que un paquete

ms 16 kilogramos.
Dos paquetes iguales pesan ms que un paquete ms
6 kilogramos.
Autoevaluacin
1. Resolver:
(x2 +x + 4) (x2 + x + 2) < (x2 + x + 3)2 + x
a) x < -1
d) x > 4
b) x > -1
e) x < 0
c) x
xy
; si:
z
"x", "y", "z" son enteros positivos que satisfacen las
siguientes desigualdades.
4. Hallar el valor de: M
2x + 3y + 5z > 23
2x - y + 5z < 13
y-z>1
y<4
2. Resolver:
ax b bx a
b
a
si: 0 < a 0
2ab
d) x 2
a b2
c) x < -ab
2ab
e) x 2
a b2
3. Resolver el sistema:
x - 4 < 2x + 7 < x + 2
indicando la cantidad de enteros que lo verifican.
a) 9
d) 6
200
2
5
d) 1
a)
b) 8
e) 5
1
2
e) 2
b)
c) 0
5. Cuando nac, pap tena ms de 20 aos; hace 10 aos

el doble de mi edad era mayor que la de l. Si tengo
menos de 33 aos, qu edad tiene l?
a) 32
d) 54
b) 53
e) 45
c) 52
c) 7
LGEBRA
Tarea domiciliaria
a) 5x + 21 > 2x
b) 7 - 4x > 13 + 2x
9. Hallar "m" si es el mayor entero que cumple x > m y la

balanza esta desequilibrada tal como se muestra en la
figura.

a) 4x + 18 2x
b) 13 - 2x 48 + 3x
3. De qu inecuacin es 5 un elemento del conjunto

solucin?
a)
b)
c)
d)
3x + 2 > 11 - x - 3
2x - 11 -3x + 4
x + 5 < 2x
2x - 4 + x -x + 18
3(x+3)+1
10.Resolver: (ax + 1)(bx + 1) < abx2 + 1
Si: a < b < 0
4. Hallar las inecuaciones cuyo conjunto solucin es:

<-; 3]
a)
b)
c)
d)
12.Determina el costo mnimo C (en dlares) dado que:

2(1,5C + 80) 2(2,5 C - 20)
5. Resolver las inecuaciones siguientes:
13.Determina la ganancia mxima P (en dlares) dado que:

6(P - 2500) 4(P + 2400)
a) 3(x + 2) + 2(x - 1) > 14

b) 3(x - 1) - 4(x - 3) 3
14.Juan vende 1 000 libros y le quedan ms de la mitad de

los que tena. Si luego vende 502 le quedan menos de
500. Cuntos libros tena?

2 5x 1
<
7 14 2
d)
2x 1
x
5 3
15
15.Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la

semana cobrndoles $4 por corte, por cada incremento
de $ 0,50 en el precio, el peluquero pierde 8 clientes.
Qu precio mximo deber fijar para obtener ingresos
semanales por lo menos de $ 520?

a)
b)
c)
d)
e)
(x + 5) (x + 3) < (x + 5) (x - 2)
(x + 2)2 - 8 > (x - 2)2
(x + 4)2 +(x - 4)2 > x(2x + 8)
(3x + 1)2 + 9(1 - x) (2 + x)>1
4x(x - 3) + 17 > x(4x + 5)
8. Resolver:

x x
x
1 ; a > b > c > 0
a b
c
3x + 20 7x - 40
4(x+5) >3(x - 4) + 7
-1 + 4x + 3 5x + 8 + 2x
-8 + 3x + 2 5x - 12
a)
15-2x
I. <1; +>
II. <-; 6>
III. <-; 1>
IV. <-; -5>
V. <-; 4>
16.Resuelve los siguientes sistemas:

a) -15 < 2x + 7 < 3
x 1
1
3
c) x - 4 < 2x - 6 < x + 2
b) -4 <
d)
3x 4
6x 3
7 x 12
2
6
3
a) 2(x + 3) > 3x + 4
b) (x + 3) (x - 4) < (x + 5) (x - 7)
201

17. Hallar el intervalo solucin para "x" en:
3
5x
3
3
5( 5 2)
2x
24.En IR definimos la operacin binaria * por:

a*b=a-b+2
segn esto, resolver:
2-1 * x (2x * 5) * (3 * 1)
25.Vas a invertir $ 20 000, una parte al 12% y otra al 16%.
Cul es la mxima cantidad que puedes invertir al 12%
a fin de que el inters al cabo de un ao sea al menos
de $ 3 000?
18.Resuelva en ZZ+.
7x - 3y > 1
3x + y < 13
y>2
Indique: y2 - x2
19.Si: {x,y,z} IN , resolver:

3y < 2x
4y > 8
2x + 5 < 2z
z < 12
Indicar un valor de: E = x + y
20.Resolver:
n3 m3
n
m
(4x
+1)
m2n
n
m2
2
Si: m < n < 0

x x
x
x
1 1 1
1
1
1
1
1
3 15 35 63 2 6 12 20 30 42 56 72
22.Resuelva:
3x 2 a
< 4x + 5, siendo: a < 1
a 1
26.Se tienen 2 bolsas llenas de pelotitas de manera que el

triple de lo que hay en la primera aumentado en lo que
contiene la segunda es ms de 40, adems el exceso
del primero sobre el doble del segundo es ms de 4.
Calcula el nmero de preguntas que hay en la primera
bolsa, si el triple de estos es menor que 42.
27. El quntuplo de la edad de una nia de 8 aos aumentado
en el doble de la edad de un nio es ms de 46 aos; y
el doble de la edad de la nia, ms la edad del nio es
menor que 21 aos. Cul es la edad del nio?
28.El dinero de Juan es el triple del dinero de Pedro,
aumentado en 6; adems, el quntuplo del dinero de
Pedro, ms el cudruplo del dinero de Juan es mayor
que S/.500. Cunto tiene como mnimo Pedro?
29.Un carpintero hizo un cierto nmero de sillas. Vende 49
y despus le quedan por vender ms de la mitad. Hace
despus 9 sillas y vende 20 quedndole menos de 41
sillas. Cuntas sillas ha hecho sabiendo que inicialmente
fabric un nmero par de sillas?
30.Se compra un nmero par de naranjas; si se vende la
cuarta parte quedan menos de 118 por vender, y si se
vendiera la sexta parte, quedara ms de 129 por vender;
cuntas naranjas se compraron?
23.Determinar para qu valor de "k",

k > 0 y 2x + 3 <
202
3 x 4k
, es x > 3.
k
19
Inecuaciones de
segundo grado
Son aquellas inecuaciones de la forma:

I. ax2 + bx + c > 0
II. ax2 + bx + c 0
III. ax2 + bx + c < 0
IV. ax2 + bx + c 0
Donde: a IR - {0} ; b, c IR
Mtodo de Resolucin de Inecuaciones de Segundo Grado con una Incgnita.

Existen tres mtodos:
Ojo:
Cuidado!
I. Mtodo de completar cuadrados.

II. Mtodo de la ley de signos de la multiplicacin.
III. Mtodo de los puntos crticos.
Si el coeficiente de x2 es
negativo se multiplica por -1
para el cambio
del sentido del smbolo en la
inecuacin.
Mtodo de completar cuadrados

Sea:
ax2 + bx + c >
< 0(>, <, , )
a0
1. El coeficiente de x2 debe ser 1, si no lo fuese entonces se divide a ambos miembros entre "a".
x2 +
bx
c
>0
+
a
a <
2. El trmino independiente se pasa al segundo miembro.

x2 +
b
c
x>
<- a
a
3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto, sumando a ambos miembros la mitad del coeficiente de "x" elevado
al cuadrado.
2
b
c
b
b
+ > - +
x2 + 2(x)
<
a
2a
2a
2a
4. Escribiendo el primer miembro como un binomio al cuadrado y reduciendo el segundo miembro.

2
b 2 4 ac
b
x
>
2a <
4a2
5. Finalmente:
TEOREMA
x2 m x
m x- m ;m>0
x2 m x
m x- m ;m>0
203
Inecuaciones de 2do Grado

Ejemplo
x2 - 2x - 24 0
* Resolver:
Resolucin:
1) x2 - 2x - 24 0
{El coeficiente de x2 debe ser 1
2) x2 - 2x 24
{El trmino independiente se pasa al segundo miembro.
3) x2 - 2x + 1 24 + 1
Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto
sumando a ambos miembros la mitad del coeficiente

de " x " elevado al cuadrado.
4) (x - 1)2 25
Escribiend o el primer miembro como binomio diferencia
al cuadrado y reduciendo el segundo miembro.
5) x - 1 -5 x - 1 5
Si : x 2 b
x b x b
x -4 x 6
llevando a la recta numrica.
+
x <-; -4] [6; +>

* Resolver:
2x2 + 3x - 5 < 0
{Forma general de la inecuacin cuadrtica
El coeficiente de x 2 debe ser uno, entonces dividiendo
a todos los trminos entre 2.
3
5
x +
x- <0
2
2
2
3
5 3
3
x2 + 2(x) + <
+
2 4
4
4

Para obtener en el primer miembro un trinomio cuadrado
perfecto sumamos a ambos miembros, la mitad del coeficiente de "x" elevado al cuadrado.
2
Si: x b
x - b x
3
49
x 4 16
x+
3
7
3
7
>- x+
<
4
4
4
4
5
x 1
2
Llevando a la recta numrica:
-
204
C.S. : x <-
5
; 1>
2
LGEBRA
Ejercicios bsicos
1. Conecta con una lnea las inecuaciones con el trmino
que se debe sumar para formar un trinomio cuadrado
perfecto.
a)
b)
c)
d)
x2 + 2x > 0
x2 - 6x < 0
y2 - 8y 0
x2 + 4x 0
a) x - 2x < 0
C.S.: ______________
b) x2 - 4x > 0
C.S.: ______________
c) x + 6x 0
C.S.: ______________
MTODO DE LA LEY DE SIGNOS DE MULTIPLICACIN
* Resolver: 2x2 + x - 1 0
Resolucin:
2x2 + x - 1 0 (factorizando)
2x
-1
-x
2x
x
(2x-1)(x+1) 0
TEOREMA
ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
(2x - 1 0 x + 1 0) (2x - 1 0 x + 1 0)
Ejemplo:
(x
* Resolver: x2 - 5x + 6 > 0
1
1
x -1) (x
x -1)
2
2
-
-1
x2 - 5x + 6 > 0 (factorizando)
x
-3 -3x
-2 -2x
1
2
-5x
(x - 3) (x - 2) > 0
C.S. : x <-; 2> <3; +>
I. ab > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)

II. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
III. ab < 0 (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0)
IV. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
Resolucin:
Sea: ax2 + bx + c >

< 0 (>, <, , )
1. Se factoriza el trinomio
(factor comn, diferencia de cuadrados, aspa simple)
2. Aplica uno de los teoremas siguientes:
3
x>3 x<2
I. 9
II. 4
III. 16
IV. 1
2. Resuelve las inecuaciones completando cuadrados:
+ -
-
-
-1
1
2
x 1;
2
C.S. : x 1;
2
TEOREMA
ab > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0)
Para el ejercicio:
(x - 3 > 0 x - 2 > 0) (x - 3 < 0 x - 2 < 0)
(x > 3 x > 2) (x < 3 x < 2)
Ejercicios bsicos
1. Relaciona ambas columnas
a)
b)
c)
d)
x(x - 2)<0
(x + 2)(x - 2)>0
(x - 5)(x - 2)<0
(x + 5) x > 0
I. x<-;-5><0;+>
II. x<2; 5>
III. x<0; 2>
IV. x<-;-2> <2;+>
205

x + 3 = 0 x = -3 {Hallar los puntos crticos
x + 1 = 0 x = -1
2. Resuelve las inecuaciones mediante la ley de signos de

la multiplicacin.
a) x2 + 3x > 0
C.S.: ________________
b) x2 - 9x < 0
C.S.: ________________
c) x2 - 7x + 12 0
C.S.: ________________
Ubicando los puntos
crticos en la recta
numrica.
+
-1
-3
+ +
Denotando zonas o
regiones determinados
por los puntos crticos,
colocando signos
empezando por la
derecha con signo
positivo.
+ +
Si: P(x) 0
El conjunto solucin
es la unin de intervalos
positivos (cerrados)
MTODO DE LOS PUNTOS CRITICOS

Sea:
- +
ax
c >
bx
< 0 (<, >, , )
-1
-3
P( x )
CONSIDERACIONES PREVIAS
* En la resolucin de una inecuacin cuadrtica es
necesario transponer, todos los trminos a un slo
miembro de la desigualdad.
* El coeficiente de x2 debe tener signo positivo, si fuese
negativo, se debe multiplicar por (-1) a la inecuacin.
1. Factorizar la inecuacin cuadrtica si es posible; si no
se puede factorizar aplicar la frmula cuadrtica.
2. Hallar los puntos crticos (valor de "x") igualando a cero
el factor o los factores.
3. Ubica los puntos crticos en la recta numrica real.
4. Denotar las zonas o regiones determinados por los
puntos crticos colocando los signos intercalados
empezando por la derecha con signo positivo.
5. I. Si: P(x) > 0, el conjunto solucin es la
intervalos positivos (abiertos).
II. Si: P(x) 0, el conjunto solucin es la
intervalos positivos (cerrados).
III. Si: P(x) < 0, el conjunto solucin es el
negativo (abierto).
IV. Si: P(x) 0, el conjunto solucin es el
negativo (cerrado).
-1
-3
x <-;-3] [-1;+>
* Resolver: x2 + x - 1 < 0
Resolucin:
aplicando la frmula de la ecuacin de segundo grado.
Recuerda:
Si: ax2 + bx + c = 0
unin de
x1,2 =
unin de
b b 2 4 ac
2a
intervalo
Se tiene: x2 + x - 1 < 0
intervalo
x2 + x - 1 = 0 {se escribe como una ecuacin.
Se sustituye en la frmula de la ecuacin de segundo

grado.
x2 + 4x + 3 0
Resolucin: x2 + 4x + 3 0
3x
x1,2 =
4x
(x+3)(x+1) 0 {factorizando
206
a = 1, b = 1, c = -1
Ejemplo:
* Resolver:
- +
x1,2 =
1 (1) 2 4(1)(1)
2(1)
1 5
2
LGEBRA
x2 =
1 5
2
x1 =
Puntos crticos
1 5
2
-
-1-5 -1+5
2
2
- +
+ +
-1-5
2
Denotando zonas o
regiones determinados
por los puntos crticos,
colocando signos
intercalados empezando
por la derecha
con signo positivo.
-1+5
2
-1-5
2
Ubicando los puntos
crticos en la recta
numrica.
+
-1+5
2
Si : P(x) 0
El conjunto solucin es
el intervalo negativo
(abierto)
1 5 1 5
;
2
2
Ejercicio bsico
Completar el cuadro
INECUACIN
x2 + 3x < 0
RECTA NUMRICA
0; -3
x2 - 5x > 0
x2 - 16 0
x2 - 4x + 3 > 0
x2 - 3x + 2 0
-3
-4
CONJUNTO SOLUCIN
x <-3;0>
207
TEOREMA 1
TEOREMA 3
Sea: ax2 + bx + c > 0 ; a > 0

Si: = b2 - 4ac = 0
Sea: ax2 + bx + c > 0 ; a > 0

Si: b2 - 4ac < 0
b
Se verifica para todo "x" diferente de
.
2a
C.S.: x IR - {
b
}
2a
Se verifica para todo valor real "x".

C.S.: x IR
Ejemplo:
9x2 - 11x + 6 > 0
= (-11)2 - 4(9)(6) = -95 < 0
Ejemplo:
Resuelve la inecuacin:
Como el discriminante es negativo la inecuacin siempre

ser positiva y se verifica para todo x IR.
4x2 - 12x + 9 > 0

= (-12)2 - 4(4)(9) = 0
3
C.S.: x IR -
2
TEOREMA 2
C.S.: x IR
TEOREMA 4
Sea: ax2 + bx + c < 0 ; a > 0
Si: b2 - 4ac < 0
La inecuacin no se verifica para ningn valor real "x".
Sea: ax2 + bx + c < 0 ; a > 0

Si: = b2 - 4ac = 0
C.S.: x
Ejemplo: Resuelve la inecuacin:
No se verifica para ningn valor real "x".
x2 - 3x + 5 < 0
= (-3)2 - 4(1)(5) = -11 < 0
< 0
C.S.: x
Ejemplo: Resuelve la inecuacin:
x2 - 8x + 16 < 0
El trinomio x2 - 3x + 5 siempre ser positivo y por lo

tanto no puede ser menor que cero.
C.S.: x
= (-8)2 - 4(1)(16) = 0
C.S.: x
Ejercicio bsico
* Conecta con una lnea las inecuaciones con sus
a)
b)
c)
d)
208
x2 - 4x + 4 > 0
x2 - 6x + 9 < 0
x2 - 4x + 7 > 0
x2 - 6x + 9 0
I. x IR
II. x IR - {2}
III. x {3}
IV. x
LGEBRA
Test de Aprendizaje
1. Indique el intervalo que verifica:
(x - 1) (x - 2) < 0
2. Resolver:
x2 - 7x > 0
3. Resolver:
x2 - 49 0
4. Resolver:
x2 - 6x + 8 > 0
5. Resolver:
x2 + 21 < 10x
209
6. Halle la suma de valores enteros que verifica:

x(x + 3) 3(x + 12)
7. Resolver:
5x2 - 4x + 1 > 3x + 4 - x2
8. Indique cuntos valores positivos verifican:

-x2 + x + 12 > 0
3( x 1) 2( x 1)
2
x 64
10.Resolver: 16 - 9x2 0
dar el mayor valor entero que verifica.
210
LGEBRA
Practiquemos
Bloque I
9. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x2 + 4x > 0
b) 4x2 - 3x > 0
c) x2 > 7x
d)
2 x 2 3x
>0
3
2

a) x2 + 2x 0
b) 3x2 6x
c) x2 - 3x > 0
d)
4 x 2 5x
0
5
4

a) x2 + 3x < 0
2
c) x < -12x
b) 5x2 - 2x < 0
3x 2 2 x
d)
<0
4
3

a) x2 + 5x 0
b) x2 13x
c) 4x2 - 7x 0
d)
3x 2 4 x
0
4
3

a) x2 - 1 > 0
c) 100x2 > 4
b) 4x2 - 1 > 0
2
d)
x
1
4
49

a) x2 - 4x 0
b) 9x2 12x
c) x2 121
d)
x2
1
9
25

a) x2 - 9 < 0
b) 16x2 - 1 < 0

a) x2 - 16 0
b) 25x2 - 1 0
c) x2 169
d)
x2 1
81 4
a) x2 + x - 2 > 0
c) x2 - 4x - 21 > 0
b) x2 - x - 6 > 0
d) 6x2 + x - 2 > 0
10.Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x2 + 2x - 3 0
c) x2 - x - 30 0
b) x2 - 2x - 48 0
d) 2x2 - 5x - 3 0
Bloque II
a) x2 + 3x - 4 < 0
c) x2 - x - 20 < 0
b) x2 - 2x - 35 < 0
d) 3x2 + 5x - 2 < 0

a) x2 + 4x - 5 0
c) x2 - 13x + 40 0
b) x2 - x - 42 0
d) 4x2 - 11x + 6 0

a) x2 + x - 1 > 0
c) x2 + 2x - 4 > 0
b) x2 > 5x - 1
d) 2x2 > x + 3

a) x2 4x - 1
c) x2 - x 4
b) x2 + 3x - 2 0
d) x2 + 5x 3

a) x2 - x - 3 < 0
c) x2 - x < 5
b) x2 + 4x - 3 < 0
d) x2 + 4x < 1

a) x2 + x - 4 0
c) x2 - x 6
b) x2 + 5x - 4 0
d) x2 + 4x 2

a) -x2 + 4x < 0
c) 9 - x2 < 0
b) -5x2 - 6x 0
d) 16 - 25x2 0

a) -x2 + 5x > 0
c) -4x2 - 8x 0
b) 42 - x - x2 > 0
d) 40 - 3x - x2 0

a) x2 - 2x + 3 > 0
c) x2 - 20x > -100
b) x2 + 10x + 26 0
d) x2 14x - 49
211

a) x2 + x + 1 < 0
c) x2 - 2x + 4 < 0
b) x2 + 4x + 5 0
d) x2 + 3x + 5 0
a) -125
d) 12
Bloque III
a) x2 - 2x + 1 > 0
c) x2 - 6x + 9 > 0
b) x2 + 4x + 4 > 0
d) x2 + 10x + 25 > 0

2
a) x - 4x + 4 0
c) x2 - 12x + 36 0
b) x + 8x + 16 0
d) x2 + 20x + 100 0

a)
b)
c)
d)
26.Si la inecuacin:
-5x2 + mx + n > 0; presenta como conjunto solucin:
<-5;5>. Luego el valor de "m - n".
(x + 2)(3x + 2) > (x + 2)(2x + 1)

(x + 1)2 9
(x + 1)(x + 2)(x + 3) < (x + 2)(x + 3)(x + 4)
(2x + 1)2 + (x - 2)2 + (x - 3)2 > 0
24.Resolver: x2 - 5x + 3 0
Indique "m + n"

a) 1
d) -5
b) 3
e) -3
a) <-; 2>
d) <1; 5>
Hallar: m + n
212
b) 21
e) 24
b) <4; +>
e) <4; 5>
c) <2; 4>
28.Indicar
el menor
nmero "n" entero que permita:

(3 + 2 + x)(3 - 2 - x) < n
Se verifica para todo "x" real.
a) 4
d) 6
b) 2
e) 10
c) 3
29.Si: 9 - 2t - 4x2 - 7x; x IR, hallar el menor valor de

"t" que satisfaga la desigualdad.
a)
25
8
b)
193
32
d)
8
25
e)
64
9
c)
32
144
c) 5
25.Si la inecuacin:
x2 - mx + n < 0
Se obtiene como conjunto solucin: x <3;5>
a) 20
d) 23
c) 10
27. Resolver:
5x - 1 < (x + 1)2 < 7x - 3
Indicar un intervalo solucin.
Se obtiene como conjunto solucin.

x IR - <m; n>
b) 5
e) 25
c) 22
30.Para qu valores de "a" en la inecuacin cuadrtica

siguiente, se cumple para todo x IR?
x2 + ax - 2 < 2x2 - x + 2
a) a <-6; 2>
c) a <-5; 3>
e) a <3; 6>
b) a <-10; -7>
d) a <-15; -10>
LGEBRA
Autoevaluacin
1. Resolver la inecuacin:
a2x2 - abx - 2b2 < 0
si: a, b R+
4. Resolver: 2x - 1 < (x - 1)2 < 21 - x

indicar un intervalo.
b 2b
b) <-b;2b>
a) ;
a a
d)
b b
;
a a
e) 0;
2b b
;
c)
a a
b) [-a - 2b;a + 2b]

d) [a - b;a + b]
2>
b) <2 -
c) <-4;5>
e) 2 -
2. Resolver: (x + a + 2b)2 + (x - a - 2b)2 (2a + 4b)2

si: a; b R+
a) [a;b]
c) [a - 2b;a + 2b]
e) IR
a) <-4;2 -
2 ;5>
d) <-4;2 +
2 ;2 +
2>
2>
5. Si la inecuacin: x2 - ax + b < 0
tiene como conjunto solucin a: <1;6>
hallar "a + b"
a) 10
d) 13
b) 11
e) 14
c) 12
3. Si: 6 - 4a - 2x2 - 6x; x IR

calcular el menor valor entero de "a" que satisface la
desigualdad.
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
Tarea domiciliaria
a) x2 - 4x > 0
b) x2 > -8x

a) x2 - 2x 0
b) x2 -9x

a) x2 - 3x < 0
b) x2 < -11x

a) x2 - 5x 0
b) x2 -13x

a) x2 - 9 > 0
b) 9x2 - 25 > 0

a) x2 - 2x 0
b) x2 169

a) x2 - 25 < 0
b) x2 < 196

a) x2 - 36 0
b) x2 121

a) x2 + x - 6 > 0
b) x2 + 8x + 15 > 0

a) x2 - 2x - 3 0
b) x2 - 3x - 18 0

b) x2 + x - 20 < 0
b) x2 + 2x - 35 < 0

a) x2 - 4x - 5 0
b) x2 +2x - 63 0
213

2
a) x + 4x - 3 > 0
a) x2 - 8x + 16 0
b) 25x2 - 10x + 1 0
b) x - x < 5

a) x2 + 5x - 4 0
b) x2 - x 8

a) x2 + 2x - 4 < 0
b) x2 - x < 3

a) x2 - x 4
b) x2 4x - 1

a) -x2 + 8x < 0
b) 20 - x - x2 < 0

a) -x2 + 7x > 0
b) 6 - x - x2 > 0

a) 25x2 - 20x + 4 0
b) 36x2 + 12x + 1 0

a) x2 - x + 2 < 0
b) x2 + 3x + 4 0

a) x2 - 4x + 4 > 0
214
a) (x + 3)(4x + 3) > (x + 3)(3x - 1)

b) (x + 2)2 25
24.Resolver: x2 - 7x + 2 0
Se obtiene como conjunto solucin: x IR - <m; n>
Indique: m + n
25.Si la inecuacin: x2 - mx + n < 0
Se obtiene como conjunto solucin: x<2;7>
Hallar: m + n
26.Si la inecuacin:
-3x2 + mx + n > 0; presenta como conjunto solucin:
<-1; 2>. Luego el valor de "m - n" es:
27. Resolver:
3x + 2 < x2 + 4 < 2x + 1
28.Para qu valores de "m" la siguiente desigualdad se
cumple x IR.
x2 + 4x + (m - 2)2 > 0
29.Hallar el menor nmero "M" con la propiedad de que
x IR se cumpla: 1 + 6x - x2 M
30.Sea el polinomio: P(x,y) = ky2 + (x+y)2 + 2x + 2
Para que valores de "k"; el polinomio es siempre no
negativo; x, y IR.
b) 81x2 - 18x + 1 > 0
20
Valor absoluto
DEFINICIN
El valor absoluto de un nmero real "a", denotado por |a|, se define por la regla:
a, si : a 0
a, si : a 0
Se lee: El valor absoluto de "a", es igual al mismo nmero "a", si "a" es positivo o cero o igual a su opuesto -a, si
"a" es negativo.
Ejemplo:
Slo se borran las barras,

pues 5 es positivo.
|5| = 5
Al borrar las barras,

se cambia de signo de -3 a 3.
Pues -3 es negativo.
|-3| = - (-3) = 3
Interpretacin geomtrica del valor absoluto de un nmero real

El valor absoluto de un nmero real indica grficamente la distancia del origen al nmero "a" o la distancia del origen
al nmero -a.
|a|
|a|
-
-a
Ejemplo:
|5|
|-5|
-
+
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Para dos nmeros "a" y "b": |a - b| = |b - a| Representa la distancia entre estos puntos, sin importar la direccin; as,
la distancia entre a = -4 y b = 3 es:
|a - b| = |-4 - 3| = |-7| = 7;
|b - a| = |3 - (-4)| = |7| = 7
Geomtricamente se representa:
|a - b| = 7
+
-
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
a
b
215
Valor Absolut o
Ejercicios bsicos
TEOREMA
Completa la siguiente tabla:

Nmero
a IR : |a| =
Opuesto del
nmero
Valor absoluto del

nmero
op(a)
|a|
a2
DEMOSTRACIN:
Se sabe: |a|2 = a2
219
2
2
Entonces: | a | a
-2006
5 - 3
2 - 7
52 - 7
23 - 32
|a| =
a2
TEOREMA:
a IR : |a| = |-a|
DEMOSTRACIN:
* Completa usando los smbolos: < >.
Si:
a > 0 |a| = a
a) |-5|
_____
Por (-1) : -a < 0 |-a| = -(-a) = a |a| = |-a|
b) -|-2006|
_____
-2007
Si:
c) | 3 - 2 |
_____
1-
d) |2 -
_____
a = 0 |a| = 0
Por (-1) : -a = 0 |-a| = 0

Si:
5|
5 -3
TEOREMAS SOBRE VALOR ABSOLUTO
|a| = |-a|
a < 0 |a| = -a
Por (-1) : -a > 0 |-a| = -a
|a| = |-a|
TEOREMA
a,b IR : |ab| = |a| |b|
TEOREMA
a IR : |a| 0
DEMOSTRACIN:
DEMOSTRACIN:
Si consideramos:
Se sabe: |ab| =
(ab) 2
Si: a < 0 |a| = -a -|a| = a -|a|< 0 |a| > 0

Si: a = 0 |a| = a = 0
Si: a > 0 |a| = a |a| > 0
Teorema de potencia: |ab| =
|a| 0
Entonces: |ab| =
TEOREMA
a2 .
a 2b 2
b 2 = |a| |b|
TEOREMA
2
a IR : |a| = a
DEMOSTRACIN:
a,b IR, b 0, entonces:
Por definicin de potencia: |a|2 = |a| |a|

Si: a 0 |a|2 = a . a |a|2 = a2
Si: a < 0 |a|2 = (-a)(-a) |a|2 = a2
Sea:
a
=c
b
a
b
| a|
|b|
a
=|c| ................ (i)
b
|a|2 a2
216
LGEBRA
Entonces: a = bc|a|=|bc|=|b||c|
| a|
=|c| ... (ii)
|b|
Ejemplo:
Resolver:
Luego, de (i) y (ii) :
a
b
| a|
|b|
* |x| = 5
|x| = 5 5 0 (x = 5 v x = -5)
TEOREMA
a,b IR : |a+b||a|+|b| (desigualdad triangular)
DEMOSTRACIN:
C.S.: x {-5; 5}
Resolver:
* |x + 1| = 8
Resolucin:
Consideremos: |a| |b| ab
|x+1| = 8 8 0 (x + 1 = 8 v x +1 = -8)
x = 7 v x = -9
2 |a| |b| 2ab

a2 + b2 + 2|a| |b| a2 + b2 + 2ab
C.S.: x {7; -9}
|a|2 + |b|2 + 2|a| |b| a2 + b2 + 2ab

(|a| + |b|)2 (a + b)2
Resolver:
* |3x+2| = 5
(| a | | b |) 2 (a b) 2
|a| + |b| |a+b|
Resolucin:
|a+b| |a| + |b|
|3x+2| = 5 5 0 (3x + 2 = 5 v 3x + 2 = -5)

3x = 3
3x = -7
|x+y| = |x| + |y| xy 0
x=1
|x+y| < |x| + |y| xy < 0

C.S.: x {1; -
OBSERVACIN
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Los teoremas que permiten la resolucin de ecuaciones
con valor absoluto son los siguientes:
TEOREMA:
x=-
7
3
7
}
3
TEOREMA
|a| = |b| a = b v a = -b
DEMOSTRACIN
Consideremos dos casos: b 0 y b < 0
|a| = b b 0 (a = b v a = -b)
i) Si: b 0 |b| = b
DEMOSTRACIN:
Luego: |a| = |b| |a| = b a = b v a = -b
Se sabe |a| 0, a IR
Entonces, si: |a| = b, implica que: b 0
... (i)
Por definicin: |a| = a v |a| = -a

Luego, si: |a| = b b = a v b = -a a = b v a=-b ...(ii)
Por lo tanto, de (i) (ii): |a| = b (b 0) (a=b v a=-b)
ii) Si: b < 0 |b| = -b > 0

Luego: |a| = |b| |a|= -b a = -b v a = -(-b)
a = -b v a = b
Por lo tanto: |a| = |b| a = b v a = -b
217
Valor Absolut o
Ejemplo: Resolver:
Luego, se tiene tres puntos crticos: P.C.: 2; -2; 5 los

cuales representaremos sobre la recta numrica real.
* |2x - 1| = |3x - 5|
Resolucin:
C.S.: x {4;
6
5
I. [5;+>:
6
}
5
II. [2; 5>:
III. [-2;2> :
v x - 2 = -2
x=0
Cuando se presenta diversos valores absolutos, podemos

aplicar el mtodo del seccionamiento, que a continuacin
vers:
* Resolver:
|x - 2| + |x + 2| + |x - 5| = 13
Resolucin:
Cada valor absoluto lo igualamos a cero y los valores
obtenidos los llamaremos puntos crticos, as:
218
x - 2 + x + 2 + x - 5 = 13
3x = 18
x=6
x - 2 + x + 2 + 5 - x = 13
x=8
Pero 8 [2; 5>
S(II) :
Resolucin:
|x - 2| = 0 x = 2
|x + 2| = 0 x = -2
|x - 5| = 0 x = 5
S(I) : {6}
( x 2) 2 + |3x - 6| = 8
|x - 2| + |3(x -2)| = 8
|x - 2| + |3| |x - 2| = 8
|x - 2| + 3 |x - 2| = 8
4|x - 2| = 8
|x - 2| = 2 x - 2= 2
x=4
C.S.: x {4;0}
II
Ahora se analiza cada zona o seccin:
Resolver:
*
III
-2
2x - 1 = 3x - 5 v 2x - 1 = -(3x - 5)
4=x
v
5x = 6
x=
IV
2 - x + x + 2 + 5 - x = 13
x = -4
Pero -4 [-2; 2>
S(III) =
IV. <-; -2>:
2 - x + (-x-2) + 5 - x = 13
-3x = 8
8
x =
3
8
C.S.: S(I) S(II) S(III) S(IV) = ; 6
3
Ejercicios bsicos
Hallar el valor de "x", si existe:
a) |x| = 12
d) |x-2|=3
b) |x| = 219
e) |3x| = 1,5
c) |x+1| = 2
f) |7x| = 2,1
LGEBRA
Test de Aprendizaje
1. Calcular:
a) |5| =
b) |-9| =
c) |-4 + 3| =
2. Calcular:
M = |-4| + |-10| - |-12|
3. Si: |-5 + 3 - 4| = a
|7 - 9 + 5| = b
hallar:
a) mayor valor de: a = ___________
b) menor valor de: b = ___________
4. Resolver:
|x - 7| = 0
5. Resolver:
|x - 1| = 6
219
Valor Absolut o
6. Resolver: |2x - 7| = 5
indicar la suma de soluciones.
7. Resolver:
||x - 2| - 1| = 0
8. Hallar "x" en:

|2x + 1| = |x - 3|
9. Hallar "x" en:

|x + 1| = |x - 2|
10.Resolver:
|x2 - 5x| = 6
220
LGEBRA
Practiquemos
Bloque I
9. Resolver las ecuaciones siguientes:
1. Resuelve las siguientes operaciones:

a) |4+7|
h) |-4| x 2
b) |7-9|
i) |-2| |-5|
c) |-4 - 5|
j) |10| - |-5|
d) |-4| + |5|
k)
( 4 ) 2 | 2 |
e) |-7| + |7|
l)
( 9) 2 81
f) |-9| + |-10|
m) | |7| - |-5| |
g) |-3| - |-3|
n) | |-8| - |-9| |
2. Hallar el valor de "x", si existe:

a) |x| = 219; x Z+
b) |x| = 2006; x Z
c) |x+1| = 4; x Z+
d) |x - 2| = 6; x Z
a)
b)
c)
d)
|x + 2| = -x
|x - 3| = -x
|3x - 2| = -x
|2x + 5| = -x
10.Resolver las ecuaciones siguientes:

a)
b)
c)
d)
|x - 4| = 3x
|x + 2| = 2x
|3x + 2| = -3x
|5x + 1| = 7x
Bloque II
a)
b)
c)
d)
|x + 2| = x - 3
|2x + 1| = x + 2
|3x - 2| = x - 1
|4x - 3| = 2x + 1
12.Hallar el conjunto solucin de:

3. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) |x - 3| = 0
b) |x+1| = 0
c) |2x + 1| = 0
d) |3x - 2| = 0

a) |x - 3| = 2
b) |x+1| = 5
c) |4x + 1| = 9
d) |5x - 2| = 8

a) |x2| = 0
b) |x2 + 2x| = 0
c) |3x2 - 5x| = 0
d) |7x2 - 6x| = 0

a) ||x - 1| -1| = 0
b) ||x + 1| -2| = 0
c) ||3x - 2| - 6| = 0
d) ||5x + 3| - 8| = 0

a) ||x - 1| -1| = 1
b) ||x + 1| -2| = 1
c) ||4x - 6| - 9| = 3
d) ||3x - 7| - 6| = 2

a) |x+1| = x
b) |x - 2| = x
c) |3x - 2| = x
d) |2x + 5| = x
a)
b)
c)
d)
|x + 1| = x + 1
|x - 2| = x - 2
|4x + 3| = 4x + 3
|5x - 2| = 5x - 2

a)
b)
c)
d)
1 - x = |x + 1|
2 - x = |x + 2|
3 - 4x = |4x + 3|
5 - 6x = |6x + 5|

a) ||x - 2| - x| = 1
b) ||x - 1| - x| = 2
c)
x4
x 4
2
d)
x 5
x 3
3
15.Resolver:
|7 - x - x2 + x4| - |x2 - x4 - 7 + x| + |x2 - 16| = 0
Hallar la suma de soluciones.
a) 2
d) -2
b) 4
e) -4
c) 0
221
Valor Absolut o
16.Resolver:
|x3 - 7 + 2x - x2| - |x2 + 7 - x3 - 2x| + |x2 - 9| = 0
Hallar la suma de soluciones
a) 1
d) 4
b) 2
e) 0
c) 3
a)
x 1
1
x 1
c)
x2
1
3x 1
b)
x2
1
x 3
d)
x8
3
x4

|x + 8| = |6x + 3|
|3x + 2| = |x + 3|
|2x + 1| = |x - 4|
|4x - 3| = |2x + 5|
x2 - 4|x| + 4 = 0
x2 - 6|x| + 9 = 0
x2 + 6 = 5|x|
x2 + 8 = 6|x|

a)
b)
c)
d)
x2 + 2x - |x + 1| - 1 = 0
x2 - 4x + 2|x - 2| + 1 = 0
x2 + 6x + 15 = 5|x + 3|
x2 + 24 + 6|x - 4| = 8x
Bloque III
a)
b)
c)
d)
a) {-4}
d) {-4; -2}
Entonces:
b) -|y| < x
d) |y| x

|6x - 3| + |x -
c) {-2}
25.Resolver: ||x| + 1| = 6x - 2
3 3
a) ;
5 7
5 7
b) ;
3 3
3
d)
5
5 3
e) ;
3 5
1 1
c) ;
7 5
a) 9
4
b) 1
4
d) 9
4
e) Ms de una es correcta
c) 1
4
27. Resuelva: |3x - 9| + |x + 2| = |2x - 6| + |2x + 4|

a) {2}
b) 1
2
1
d)
2
e) {-2}
c) {0}
28.Resolver:
|x - 3| + |x2 - 1| = 8
b) {2;-3}
e) {2;-2}
a) {-2}
10
b)
3
10
d) 2,
3
10
e) 2,
3
27
a) x + |y| < 0
c) |x| - |y| > 0
e) |y| - |x| < 1
b) {2}
e) {-4; 2}
c) {1;2}
29.Resuelva: |x - 6| - |x - 3| = |x - 1|
22.Si: |x| = 3 3 + 4 2 ; y
222
1 3
e) ;
2 2
a) {3;-2}
d) {3;-3}
|x2 - 4| = x - 2
|x2 - 9| = x + 3
|4x2 - 1| = 2x - 1
|x2 - 4| = -2x+4
|y| = 3 6 +
d) 3 ; 3
2 2
c) 3
2
26.Resolver x IR:
|5 - |x - 2|| = |3x - 2|

a)
b)
c)
d)
b) 3
2
24.Resuelva: |x+3| + |x - 1| = 6
a)
b)
c)
d)
a) 1
2
1
|=7
2
10
c)
3
30.Resolver x IR
|x| - 2|x + 1| + 3 |x + 2| = 0
a) {1}
d) {2}
b) {-2}
e) {0}
c) {-1}
LGEBRA
Autoevaluacin
1. Resolver:
3. Hallar la menor solucin de:

||x + 2| - 1|2 - 5||x + 2| - 1| -6 = 0
2
2
| x | 25x 2 (5 | x |)x
72
7| x 2|
| 7x 14 |
a) -10
d) 5
indicar la mayor solucin

a) -3
d) -4
b) 8
e) 5
b) 8
e) 7
c) -9
4. Sea: A = {x Q/ ||x - 1| - 2x + 1| = 0}
B = {x R/(x - 5)2 + 2|x - 5| + 1 = 0
hallar: A BC (BC: complemento de B)
c) 9
2. Resolver:
x2
| x 2 16 |
x 1
x4
a)
b) IR
2
d) 0;
3
2
e)
3
c) {0;5}
5. Resolver:
|3x - 1| - |x + 2| = 1
2
a)
5
b)
4
d)
5
e) IR+
c) IR
1
a)
2
b) IR
1
d) ;2
2
e)
c) {1}
Tarea domiciliaria
1. Realiza las siguientes operaciones:
a) |5 + 8|
f) |-10| + |-8|
b) |6 - 11|
g) |-4| - |-4|
c) |-3 - 4|
h) |-5| 3
d) |-6| + |3|
i) |-7| |-3|
e) |-8| + |8|
j) |-9| - |-6|

a) |x2| = 0

a) ||x - 2| - 1| = 0
a) ||x - 2| - 1| = 1
a) |x - 2| = 0
b) |2x + 3| = 0

a) |x - 2| = 1
b) |5x + 1| = 11
b) ||x+1| - 3| = 2
b) |x|=2007; x Z
b) ||x+1|- 3| = 0
2. Halla el valor de "x", si existe:

a) |x|=220; x Z
b) |x2+3x| = 0
a) |x + 2| = x
b) |2x - 3| = x

a) |x - 2| = -x
b) |3x+4| = -x
10.Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) |x+4| = 3x
b) |x - 2| = 2x
223
Valor Absolut o
a) |x - 2| = x+3
a) |x2 - 49| = x+7
b) |5x+2| = 2x - 3
21.Si: |x| = 2 3 + 2 11

a) |x - 1| = x - 1
b) |9x2 - 1| = 3x - 1
|y| = 3 5 +
12
b) |4x - 3| = 4x - 3
Entonces:

a) -2 - x = |x+2|
b) -3 - x = |x+3|
b) -|y| < x
c) |x|-|y|>0
22.Al resolver:

a) ||x - 1| - x| = 1
a) x+|y| < 0
d) |y| x
| x 4 | 4
3
x
x 1
x 1
2
b)
Indicar la mayor solucin

15.Resolver:
|3 + x - x3 - 4x7| - |4x7 + x3 - x -3| + |x2 - 25| = 0
hallar la suma de soluciones.
a)
x2
1
x 3
b)
x3
1
2x 1
c) |2x+3| = |x - 4|
d) |5x - 2| = |2x+1|

a) x2 - 2|x| + 1 = 0
b) x2 - 6 = 5|x|

a) x2 - 2x + |x - 1| - 1 = 0
b) x2 + 4x - |x+2| - 2 = 0
224
|6x - 12| +
x
13
1
2
2
24.Resuelva: |x + 2| + |x - 3| = 5
25.Resolver:
||x| + 2| = 3x - 1
26.Resolver: ||x| - 3| = |3x + 2|
17. Resolver las ecuaciones:

a) |x+4| = |2x+1|
b) |3x+1| = |x+3|
23.Indicar el conjunto solucin de:
27. Resuelve:
|4x - 2| + |x + 3| = |2x - 1| + |3x + 9|
28.Resolver: |x - 2| + |x2 - 9| = 9
Indicar el nmero de soluciones.
29.Resuelva: |x - 3| - |x - 2| = |x|
30.Determina el conjunto solucin de la ecuacin:
|x+1| + 2|x - 2| = |x - 8|
21
Inecuaciones con
valor absoluto
TEOREMA
b 0 y |a| b -b a b
I. Demostraremos que si: b 0 y |a| b -b a b
I. a IR : a |a|, por hiptesis: |a| b
II. Por transitividad: a b
III. De(I): -b - |a|
IV. Adems, a IR : -|a| a
V. De (III) y (IV) : -b a (por transitividad)
VI. De (II) y (V): -b a b
Ejemplo:
Resuelve: |x| < 4, despus representa grficamente el conjunto solucin.
Solucin:
Las soluciones de |x| < 4 son aquellos nmeros cuya distancia a partir de 0 es menor que 4.
El conjunto solucin es: {x/-4 < x < 4}
La grfica es la siguiente:
-
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Ejemplo:
Resuelve:
|3x - 2| < 4
-4 < 3x - 2 < 4
-2 < 3x < 6 . . . sumando 2
-
2
< x < 2 . . . dividiendo entre 3
3
TEOREMA
|a| b a b v a -b
Se tiene: |a| b . . . (I)
I CASO
II CASO
Si: a 0 |a| = a ... (II)
Si: a < 0 |a| = -a . . . (III)
Sustituyendo (II) en (I): a b
Sustituyendo (III) en (I) : -a b a -b

|a| b a b v a -b
225
Inecuaciones con V alor A bsoluto

Ejemplo:
* Resuelve: |x| 4. Despus, representa grficamente al conjunto solucin.
Solucin:
Las soluciones de |x| 4 son aquellos nmeros cuya distancia a partir de 0 es mayor o igual a 4; en otras palabras
aquellos nmeros "x" tales que x -4 x 4.
El conjunto solucin es: {x/x -4 v x 4}
+
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
* Resuelve:
|4x + 2| 6
4x + 2 -6
4x -8
x -2
v
v
v
4x + 2 6
4x 4
x1
(sumando -2)
(multiplicando por 1/4)
+
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Ojo:
Para eliminar un valor absoluto
generalmente este se debe elevar
al cuadrado, as tenemos el
siguiente teorema:
2> 2
|x| >
< |y| x < y
Ejercicio bsicos
* Completa el siguiente cuadro:
NOTACIN DE VALOR ABSOLUTO
|x| < 1
|x| > 2
NOTACIN DE INTERVALOS
x <-1;1>
x <-;-2><2;+>
NOTACIN DE DESIGUALDAD
-1 < x < 1
x < -2 x > 2
|x| 3
x [-5; 5]
|x| 4
x -4 x 4
226
LGEBRA
Test de Aprendizaje
1. Resolver:
a) |x| > 5
b) |x| < 7
2. Indicar el conjunto solucin de:

|x - 1| 5
3. Resolver:
|x + 2| 3
4. Indicar cuntos valores enteros verifican:

|x - 5| + 1 < 3
5. Resolver:
| x 8|
3
2
227
6. Luego de resolver: |x - 3| - 4 0
se obtiene: x [a;b]; entonces:
a) a = __________
b) b = __________
7. Resolver: |x + 5| > |x - 7|
indique el intervalo solucin:
8. Luego de resolver:
|2x - 1| |x - 8|
calcule la suma de los enteros positivos que lo verifican.
2 x 5 x 6
| x 1 | 2
10.Resolver:
|x|2 - 3|x| - 4 < 0
228
LGEBRA
Practiquemos
Bloque I
8. Hallar el conjunto solucin de:
1. Representa en la recta numrica los siguientes conjuntos

de nmeros.
a) |x| > 2
b) |x| 3
c) |x| < 4
d) |x| 3
2. Expresa empleando valor absoluto.

a) x <-2; 2>
c) x <-;-4><4; +>
b) -3 < x < 3
d) y < -13 y > 13
a) |x+1| > |x+2|

b) |x - 1| < |x-3|

a) |x+1| > x
b) |x - 2| x
c) |x+3| > x + 1
d) |x - 4| x + 2
10.Resuelve las inecuaciones siguientes:

a) |x+2| < x
b) |x-3| x
c) |x+4| < x + 2
d) |x-5| x + 3
Bloque II
3. Resuelve:
a) |x+5|< 4
c) 3|x+9|< 18
b) |x - 3|+2< 5
d) | x 6 | < 6
2
4. Resuelve:

a) |x|>2 |x| < 4
c) |x|>1 |x - 3| 4
b) |x+1|>3 |x| < 3
d) |x+1|2 |x+3| 6
12.Si: 1 < x < 2
a) |x+1| 3
c) 3|x+6| 21
b) |x - 2|+4 5
d)
|x 4|
1
3
5. Resuelve:
a) |x+7| > 6
c) 5|x-6| > 20
b) |x-4|+2 > 5
d) | x 1 | > 6
2
Calcular: E
b) 9
d) 16
x
e) 1
c) 16x
13.Si: x <-2; 5>

Determine el valor que toma la expresin:
6. Resuelve:
a) 4|x - 8| 12
a) -5
b) |x+6| 5
d) 4
c) |x - 3|+4 8
| 2x 1 | | x 1 |
x
a) 7
d)
c) |3x+1| > |2x+1|

d) |4x-3| < |3x-2|
| 2x 7 | | x 6 |
| 2x 26 |
c) 1
2
b) 1
5
e) 7x
14.Resolver las siguientes inecuaciones:
|x 4|
1
3
a) ||x| - 2| < 2
b) ||x+1| - 2| 3

I) |x - 1| 0
a) x
II) |x - 2| 0
b) x IR - {4}
III) |x - 3| < 0
c) x {2}
IV) |x - 4| > 0
d) x IR
c) ||x - 1| - 2| < 3
d) ||x - 3| + 2| 4

a) |x2 - 1|<3
c) |x2 - 3| > 6
b) |x2 + 2| 3
d) |2x2 + 5|55

a) |x2 + 5x| < 6
c) |2x2 - 8x - 5| 5
b) |x2 + 2x| > 3

d) |3x2 - 7x + 2| 2
229

a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
e)
|x2 - 2x - 5| > |x2 + 4x + 1|

|3x2 - 2x + 1| 3|x2 + x - 7|
|6x2 - 9x - 3| < |2x2 - 9x + 2|
|2x2 + x - 1| |2x2 - x - 1|
18.Al resolver:
24.Determina el conjunto solucin de la inecuacin dada:
x3
1
6 2x
2
(|x - 2| + |x - 3|)(|2 - x| - |3 - x|) > x2 - 1
Se obtiene como conjunto solucin:

+
a) R0 - {3}
-
d) R0 - {-3}
b)
+
R_
- {3}
a) [ 3 - 1 ;
c) R - {3}
e) R0
c) [ 3 ; 5 +1]
e)
a)
b)
c)
d)
e)
M = |x| + 2
A = |x| - 3
= |x - 1| + 1
S = |x + 2| - 3
20.Resolver las inecuaciones siguientes:

a)
b)
c)
d)
3|x - 3| - 2|x - 3| < 8

|x2 - x|2 - 5|x2 - x| + 6 0
|x2 - 5|2 - |x2 - 5| > 12
|2x - 1|2 - 6|2x - 1| 16
"a" solo pertenece al intervalo <-1; 0>

(a-1) siempre es positivo.
"a" puede ser menor que -1.
(a+1) es positivo a.
(a-1)(a)(a+1) no puede ser positivo.
a) {3}
d) <-; 3]
c) [3; +>
|x2 - 4| - |x - 9| |x - 2|
21.Determine el menor nmero "Q" y el mayor nmero "P"

tal que |x| < 1 y adems:
P<
x5
Q
5x
b) 16
e) 5
4,5
x0
+
2x 0+1
2
b) x<9;11>
b) [ 11 ;5]
d) [-5; 11 ]
e) [-5;5]
a) x[-5; 2]
d) x IR
c) 21
22.Resolver: |x - x0| < , si se tiene el siguiente esquema:

( > 0)
a) [- 11 ;5]
c) [- 11 ; 11 ]
28.Resolver: |5x - 4| |3x+2| + 2|x - 3|
Dar el valor de: 9P + 10Q
c) x<4;6>
9 11
1 9
d) x< ;
> e) x< ; >
2 2
2 2
23.Si: a, b IR , cumple que a > 0 y |b| > 1

Entonces: ab + a + 1 es:
230
b) <3; +>
e) [-3; +>
Bloque III
1
a) x< ;5>
2
d) [-2;2]
26.Resolver: |x - 1| + |3x - 15| |10 - 2x| + |2 - 2x|
a) 6
d) 8
b) [ 3 -1;2]
3 +1]
25.Si: |a+1| < |a| < |a-1|; solo es cierta la afirmacin:
19.Si: x IR, entre qu valores vara:

a)
b)
c)
d)
Siempre mayor que 2.

Siempre mayor que 1.
Puede ser menor que 1.
Siempre es menor que 2.
Puede ser negativo.
b) x <-5; 2> c) x
e) x IR - {0}
29.Resuelva en IR.
|||x+3| - |x+5||| < 5
a) <-3;5>
d) <-;-
3
>
2
b) [-3;5>
c) <
3 7
; >
2 2
e)
30.Resolver: |2x - 1| + |3x - 1| + |7x - 2| + |3x - 5| < 14x - 42

a) 1
d)
1
2
e) 0
b)
c)
1
3
LGEBRA
Autoevaluacin
1. Halle el conjunto "A" por extensin; si:
A = {x IR /|x3 - 1| |x2 + x + 1|}
a) [1;2]
d) [0;2]
b) <2;3>
e) [0;4]
c) [0; 2 ]
2. Resolver:
(x2 + 6) |1 - |1 - x|| |||x2 + 10| - 2| -2|
a) [1;3]
d) [-1;3]
b)
e) [-3;3]
c) <-;3]
3. Dadas las desigualdades:

3
a) menor que -2
c) menor que 1
e) menor que -1
b) menor que 2
d) menor que 0
4. Luego de resolver:
|x2 + 5| + 2x > |x2 - x + 1| + 7
dar como respuesta el cuadrado del menor valor entero
que lo comprueba.
a) 2
d) 16
b) 4
e) 25
c) 9
5. Indicar el conjunto solucin de:

(x - 2) (x - 4) + 3|x - 3| < 2(|x - 3| - 1)
2 2
x y 2 ( x 2) 0
(y-3) |1 + |axy|| > 0; a < 0

luego podemos afirmar que: "x - y" es:
a) IR+
d) IR
c) IR+0
b)
e) IR-
Tarea domiciliaria
1. Representa en la recta numrica los siguientes conjuntos
de nmeros:
a) |x| > 1
b) |x| 4
c) |x| < 6
d) |x| 7
2. Expresa empleando valor absoluto.

a) x <-4;4>
c) x<-;-7><7;+>
b) -5 < x < 5
d) y < -11 y > 11
3. Resuelve:
a) |x + 3| < 5
I. |x+3| 0
II. |x+4| 0
III. |x+5| < 0
IV. |x+6| > 0
b) |x - 2| + 3 < 7
a) |x + 2| > |x + 3|
b) |x - 3| < |x - 5|
b) |x + 2| x

b) |x + 4| x

a) |x| > 3 |x| < 5
5. Resuelve:
x
x IR
x IR - {-6}
x {-4}
a) |x - 3| < x
b) |x + 4| - 2 3
a)
b)
c)
d)
a) |x - 1| > x
4. Resuelve:
a) |x - 1| 4
7. Relaciona segn corresponda:
b) |x + 2| > 4 |x|<4
12.Si: x <-3;-2>, calcular:

a) |x - 7| > 5
b) |x + 2| + 3 > 7
6. Resuelve:
a) |x - 6| 3
E=
| 5 x 20 | | 3x 20 |
x
b) |x + 4| - 5 2
231

13.Si: x <-1; 6>
Reducir:

a) |x2 - 3x - 6| < |x2 + 5x + 2|
b) |4x2 - 3x + 1| > 4|x2 + x - 2|
x(| x 8 | | x 1 |)
A=
| x 7| | x 7|
21.Si: x [10; +>; indicar a que intervalo pertenece "a":

|x-1|+|1-x|+|x-2|+|2-x|+ ... + |x-10|+|10-x|=a+50

a) ||x| - 3| < 1
15.Resolver:
b) ||x+2| -1| 2
x2
<4
2x 3
a) M = |x| + 4
a) |x - 1|2 + 2|x - 1| - 3 < 0

b) |x2 - x|2 - 7|x2 - x| + 12 0
1
1
n
n4
3x
24.Determina el conjunto solucin de la inecuacin dada:

(|x - 1|+|x - 2|) (|1 - x| - |2 - x|) x2 - 6
luego, de "n" se puede afirmar:

a) n < 4
b) n 4
d) 1 n
e) n
c) n 1
1
2
17. Si: |x - a| < 2b

Donde: b > 0, a que intervalo pertenece:
e) [
1
;1]
5
c) <
1
;1>
5
1
; +>
5
b) |x2+5| 9

a) |x2 + 6x| < 5
232
26.Resolver: |x - 3| + |2x - 8| |4 - x| + |6 - 2x|

2|x + 1| - 3|x - 2| + |x - 5| x + 2
29.Resuelva en IR.
||x + 2| - |x - 1|| < 2
30.Hallar el conjunto solucin del sistema:

a) |x2 - 3| > 1
25.Sean "a", "b", "c" nmeros enteros positivos y

consecutivos tal que a = 1. Si: x IR, resolver:
||x - a| - b| (c - x)

|4x + 2| |x2 - 1| + 3 |x2 - 9|
b
x a 3b
d)
b) A = |x| - 5
16.Si: |x| < 2, entonces:
b) <
b) a <-400; +>
d) a <-20; +>
22.Si: x IR, entre qu valores vara?
Se obtiene como conjunto solucin:
1
a) ;1
5
a) a <20; +>
c) a <-;-400>
e) a [40; +>
4 | 4 x |
|x|4 4
|| x 1 | x | x
b) |x2 + 3x| > 4
22
Nmeros Complejos I
NMEROS IMAGINARIOS
En el conjunto de los nmeros reales, los nmeros negativos no tienen races cuadradas. Ecuaciones como x2 = -49
no tienen solucin. Los nmeros imaginarios se crearon para que los nmeros negativos tuviesen races cuadradas y
ciertas ecuaciones tuviesen solucin. Estos nmeros se concibieron por medio de una unidad imaginaria llamada "i", con
la convencin de que i2 = -1, o i = 1 .
Por lo dems suponemos que "i" se comporta como un nmero real. Las races cuadradas de todos los nmeros
negativos se pueden expresar como un producto de "i" y un nmero real.
Ejemplo:
Expresa los siguientes nmeros en trminos de i.
5 1.5
1 . 5 5 i
*
*
7 1.7
1. 7 7 i
i
99 1.9.11
1
9 11 3 11 i
Ejercicios bsicos
* Expresa los siguientes nmeros en trminos de i.
a)
3 = ______________
e)
32 = ______________
b)
11 = ______________
f) 48 = ______________
c)
4 = ______________
g)
d)
9 = ______________
h) 160 = ______________
125 = ______________
* Los nmeros imaginarios son todos los nmeros de la forma "bi", donde "b" es un nmero real e "i" es la unidad
imaginaria, con la propiedad de que i2 = -1.
Notacin de Euler:
i=
POTENCIA DE LA UNIDAD IMAGINARIA

i1 = i
i2 = -1
i3 = -i
i4 = 1
i5 = i
i 6 = -1
i7 = -i
i8 = 1
i9 = i
i10 = -1
i11 = -i
i12 = 1
Del cuadro observamos que las potencias de "i" se repiten cada cuatro veces y pueden tomar uno de estos valores:
i, -1, -i 1.
233
Nmer os Comp le j os I
DEDUCIMOS LO SIGUIENTE:
Ejemplo:
I. La unidad imaginaria elevada a una potencia mltiplo

de 4 siempre ser igual a la unidad.
* Calcular: i138
i =1
Solucin:
i138 = i1 36 + 2 = i 4 +2 = -1
Ejemplo:
Ejemplo:
* Calcular: i4267
* i =1
* i12 = 1
* i20 = 1
Solucin:
i4267 = i42 64 + 3 = i4 +3 = -i
i
16
16
1

i
1
i 32
i
32
116
16
132
i32
1
1
1
1
1
1
i 4 = 1
Generalizando:
III. Si sumamos las cuatro primeras potencias su resultado

es cero.
2
i
+ i3 + i4 = 0
Podemos generalizar diciendo: la suma de 4 potencias

consecutivas de la unidad imaginaria es igual a cero, es
decir:
i n + i n+1 + i n +2 + i n+3 = 0
Recuerda:
Un nmero es divisible por 4
cuando sus 2 ltimas cifras
son ceros o forman un
nmero mltiplo de 4.
Ejercicio bsico
Completa la siguiente tabla:
II. La unidad imaginaria elevada a una potencia mltiplo

de cuatro ms un residuo, siempre ser igual a la unidad
imaginaria elevada a ese mismo residuo.
i 4 +r = i r
IMPORTANTE!
i 4+1 = i
i 4+2 = -1
i 4 +3 = -i
BASE
EXPONENTE
POTENCIA
i15 = -i
15
234
9 876
22 222
1 234 567
Ejemplo:
* Calcular: i 21
Solucin:
i 21 = i 20 + 1 = i 4 +1 = i
234
LGEBRA
NMEROS COMPLEJOS
Para construir un sistema complejo, deberamos definir
lo que se entiende por la suma de un nmero real con un
nmero imaginario. A estos los llamamos nmeros
complejos.
DEFINICIN:
Los nmeros complejos se componen de todas las sumas
a + bi, donde "a" y "b" son nmeros reales e "i" es la
unidad imaginaria. La parte real es "a", y la parte imaginaria
es "b".
Todo nmero real "a" es un nmero complejo, pues
a = a + 0i. De este modo, los nmeros complejos son una
extensin del sistema de los nmeros reales. Todos los
nmeros imaginarios son "b", pues bi = 0 + bi.
REPRESENTACIN GRFICA DE LOS NMEROS

COMPLEJOS
Los nmeros reales se representan grficamente sobre
una recta. Los nmeros complejos a + bi se representan
grficamente de la misma manera que los pares ordenados
de nmeros reales (a,b). En el lugar del eje "x" tenemos un
eje real y en lugar del eje "y" tenemos un eje imaginario.
Ejemplo:
REPRESENTA GRFICAMENTE
A : 3 + 2i
B : -4 + 5i
C : -5 - 4i
D:i
E:5
Eje
imaginario
NMEROS COMPLEJOS
NMEROS REALES
B: -4+5i
NMEROS IMAGINARIOS
5
4
Suponemos que "i" se comporta como un nmero real,

respetando las propiedades conmutativa, asociativa y
distributiva. En consecuencia, para sumar o restar
nmeros complejos, podemos manipular "i" como si se
tratase de una variable.
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
1 2
E:5
4 5 6
Eje
real
-2
-3
Ejemplos:
Suma o resta:
A:3+2i
D:i
-5-4i
-4
-5
-6
*
*
*
*
3i + 4i = (3+4)i = 7i
8i - 6i = (8 - 6)i = 2i
(-2+5i) + (3-7i) = (-2+3) + (5-7)i = 1 - 2i
(3+2i) - (4+2i) = (3-4) + (2-2)i = -1 + 0i = -1
Ejercicio bsico
La distancia horizontal corresponde a la parte real de

un nmero complejo. La distancia vertical corresponde
a la parte imaginaria.
Intenta lo siguiente:
a) 2i + 4i + 5i
b) 8i - 5i + 7i - 2i
c) (2+i) + (5 + 2i)
235
Ejercicio bsico
Representa grficamente:
a)
b)
c)
d)
e)
5 - 3i
-3 + 4i
-5 - 2i
-5i
-3
Imaginario
7
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-11 2
4 5 6
7 8
Real
-2
-3
-4
-5
-6
-7
IGUALDAD DE NMEROS COMPLEJOS

La igualdad de nmeros complejos es la misma que para los nmeros reales. Un enunciado como a + bi = c + di
dice que a + bi y c + di representan el mismo nmero. Para que esto sea cierto, "a" y "c" deben ser iguales y "b"
y "d" tambin deben ser iguales entre s. Por lo tanto
a + bi = c + di a = c b = d
Ejemplo:
Determina "x" "y", en:
3x + yi = 5x + 1 + 2i
Igualamos las partes reales:
Igualamos las partes imaginarias
3x = 5x + 1
yi = 2i
1
2
y=2
x=-
236
LGEBRA
MULTIPLICACIN DE NMEROS
COMPLEJOS
OPUESTO DE COMPLEJOS (Z*)

El opuesto de a + bi es -a - bi
Multiplicamos nmeros complejos como si

multiplicasemos monomios o binomios, tratando las
partes imaginarias como trminos semejantes.
Ejemplo:
Encuentra el opuesto de cada nmero:
Ejemplo:
a) El opuesto de 2 + i es - 2 - i.
b) El opuesto de -3 + 2i es 3 - 2i.
c) El opuesto de 4i es -4i, pues 0 - 4i es el opuesto de
0 + 4i.
d) El opuesto de -3 es 3 pues 3 - 0i es el opuesto de -3+0i.
Multiplica:
* (2i) (4i) = (2.4)i2 = 8i2 = -8
* (7i)2 = 72 . i2 = 49i2 = -49
Ejercicio bsico
* (4+3i) (7+2i) = 4(7) + 4(2i) + 3i(7) + (3i)(2i)
= 28 + 8i + 21i + 6i
* En los siguientes ejercicios, calcular el complejo

conjugado y el complejo opuesto de:
= 28 + (8 + 21)i - 6
= 22 + 29i
a) 2 + 4i
Z* = __________
Ejercicio bsico
Intenta lo siguiente:
a)
b)
c)
d)
(3i)(-4i)
(-2i)(5i)
(-3i)(-4i)
(-i)(2i2)(-3i3)
_
CONJUGADOS DE COMPLEJOS (Z)
b) 5 - 2i
c) -3 + 7i
d) -4 - 3i
El conjugado de a + bi es a - bi
* Ejemplo:
e) 219i
Encuentra el conjugado de cada nmero.

a) El conjugado de 3 + 4i es 3 - 4i.
b) El conjugado de -4 - 7i es -4 + 7i.
c) El conjugado de 5i es -5i, pues 0 - 5i es el conjugado
de 0 + 5i.
d) El conjugado de 6 es 6 pues 6 - 0i es el conjugado
de 6 + 0i.
_
Z = __________
f) 2006
_
Z = __________
Z* = __________
_
Z = __________
Z* = __________
_
Z = __________
Z* = __________
_
Z = __________
Z* = __________
_
Z = __________
Z* = __________
237
Test de Aprendizaje
1. Expresar en trminos de i:
a)
c)
121
b)
49
d)
12
2. Calcular:
M 9 3 16 5 4
3. Calcular:
a) i19 =
c) i122 =
b) i96 =
d) i57 =
4. Efectuar:
M = i10 + i36 + i49 + i83
5. Resolver las ecuaciones en C:

a) x2 + 25 = 0
238
b) 4x2 + 9 = 0
LGEBRA
6. Dados los nmeros complejos: Z = -3 + 4i; W = i + 2
indicar:
a) Re(Z) + Im(W) =
b) Re(W) + Im(Z) =
7. Si se cumple: (2a - 3) + 5i = b + (a - 1)i

hallar "b"
8. Efectuar:
a) (4 + 7i) + (3 - 5i) =
b) 2(4 - i) - 3(1 - 7i) =
9. Calcular:
a) (5 + 2i) (3 - i) =
10.Dados: Z = 6 - 7i; W = -4 + i
calcular:
_
a) Z + Z =
b) (4 + i) (4 - i) =
b) W + Wop =
239
Practiquemos
Bloque I
1. Completa la tabla:
3 i
2i
22
3i
23
4i
5i
2
3
2. Simplifica las siguientes expresiones:
a) i10
d) i99
b) i16
e) i158
c) i23
f) i222
3. Completa las siguientes frases para que se conviertan

en proposiciones verdaderas:
a) La unidad imaginaria elevada a una potencia mltiplo
de cuatro siempre ser igual a ___________.
b) La unidad imaginaria elevada a una potencia mltiplo
de cuatro mas residuo tres siempre ser igual a
______________.
a) (1 + i) (2 + i)
b) (3 + 2i) (1 - i)
8. Completa la siguiente tabla:
Z
c)
97 factores
3-5i
3+5 i
Siendo:
1234 factores
i
.i.i
.........
i.i
5 - 3i
-4 + 2i
4-i
6. Calcular los valores reales de "x" e "y", que satisfacen

las ecuaciones:
a) x + yi = 3 + 4i
b) x - 4 + (2y -1)i = 7 + 3i
c) 3x + y + (3x - 2y - 9)i = 0
240
Z = Nmero complejo
Z = Complejo conjugado
Z* = Complejo opuesto
a) 3+2i , 2 - 5i, -4 - 2i
b) -4+2i , -8 - 4i, 2 - 3i
10.Calcular:
M = (1 + i) + (2 + i2) + (3 + i3) + ..... + (4n + i4n)
a) 2n(4n + 1)
d) 2n(4n - 2)
-2 + 3i
-219 + 2006 i
9. Representa grficamente:
98765 factores
5. Completa los nmeros complejos que faltan, sabiendo

que debajo de cada casilla hay otros dos cuyos nmeros
sumados equivalen al nmero de la casilla de arriba.
3 - 4i
Z*
4+i
2006 factores
i
.i.i..........
i.i
Z*
b) i
.i.i..........
i.i i
.i.i
.........
i.i
219 factores
c) i(3 + 2i)
d) (4 + i)(4 - i)
219 - 2006 i
.i.i..........
i.i i
.i.i
.........
i.i
a) i
35 factores
7. Expresar cada uno de los siguientes productos en la forma

a + bi, donde "a" y "b" son nmeros reales:
b) 2n(4n - 1)
e) 8n2
c) 2n(4n + 2)
Bloque II
11.Determina si los nmeros dados son soluciones de la
ecuacin:
a) 2i, -2i,
x2 + 4 = 0
b) 4i, -4i;
x2 + 16 = 0
c) i 2 , -i 3 ;
x2 + 3 = 0
d) i 3 , -i 2 ;
x2 + 2 = 0
LGEBRA
12.Calcular:
J = (1 + 2 i3) (2 + i15) (3 + i9) (3 + i19)
13.Reducir las siguientes expresiones:
M = i12 + i16 + i20 + i24
T = i2005 + i2006 + i2007 + i2008
2002
S=i
30003
+i
+i
21.Cuntos valores diferentes puede tomar la expresin?

S = i n + i -n ; si: n N*
Siendo i =
A = i3 + i5 + i7 + i9
101
Bloque III
a) 4
d) 1
400004
+i
b) 3
e) 0
c) 2
22.Calcular el valor de:

14.Siendo: i =
1 , el valor ms simplificado de:
K i
i i3 i8 i13 i30
K=
i i2 i16
i=

A = i + i2 + i3 + i4 + ....... + i219
i =
16.Demuestra que: ab a. b no es vlido para todos

los nmeros reales.
17. Sumar: A = i2 + 2i4 + 3i6 + 4i8 + 5i10 + .... + (4n)i 8n
1
b) 2n
e) 4n2
a) i -32
b) i -837
IV. -i
19.Siendo: i =
2i
1 , el valor mas simplificado de:
10
i15
a) 1
d) 2i
b) i
e) -2i
33
i3
i4
44
55
i5
i6
66
i7
77
a) 1
d) 3 i
b) 2i
e) 3
c) i
24.Simplifique:
2 4 6 ... m
1 3 5 ... n
donde: n = 1 2 3 4 ..... n (n ZZ )
0
a) 1
d) i
b) -1
e) 2
c) -i
25.Calcular:
S = 3 i + 5 i2 + 7 i3 + 9 i4 + 11 i5+....+(8n+1) i4n - 4n
Donde: i =
a) 2ni
d) -5ni
b) -4ni
e) 6ni
c) 5ni
(23 + i -1) + (43 + i -2) + (63 + i-3) + .... + (8n3 + i-n)
1 1 1 1
1
.......... 224
i i2 i3 i4
i
Siendo: i =
22
i2
26.Hallar la suma de:

1
c) 4i
III. 1
d) i -44451
c) 4n
I. i
II. -1
9918
24
23
22
21
b) -4
e) 0
18.Une con flechas los nmeros imaginarios equivalentes.
a) 4
d) -4i
11
B = 1 + i + i2 + ....... + i666
a) n
d) 2n2
20
19
18
17
Y i1
E = 1 + i + i2 + ....... + i 99
Siendo: i =
16
15
14
13
23.Calcular:
L = i + i2 + i3 + i4 + ....... + i2006
c)
12
11
10
9
c) -i
Si: n = 4
a) 4n2(n+1)2
d) n2(n+1)2
b) 2n(n+1)2
e) 2n2(n+1)2
c) 2n(n+1)2
241
27. Determine aquel nmero "n" entero positivo mltiplo de
cuatro que verifica la igualdad:
i + 2 i 2 + 3 i 3 + 4 i 4 + .... +ni n = 64 - 64i
Siendo: i =
b) 32
e) 256
Calcular: M = S1 + S2 + S3 + ......... + S2006

a) 2005 i
d) 2006
a) 16
d) 128
29.Si: Sn = i5 + i-3 ; n IN.
b) 2005 n
e) 2006 i
c) 2006 n
c) 64
30.Determina aquel nmero "n" entero positivo 4 que

verifica:
28.Si: Sn = i n + i n-1 , calcular:
i + 2i2 + 3i3 + 4i4 + ... + nin = 64(1 - i)
S = S1 + S2 + S3 + ......... + S4n
a) 1
d) 4
b) 2
e) 0
c) 3
a) 12
d) 84
b) 48
e) 128
c) 72
a) 6
d) 12
b) 4
e) 10
c) 8
Autoevaluacin
1. Calcular:
E 2. 8 12. 3 32. 2
a) 18
d) 18i
b) -18i
e) 0
c) -18
i28 i321 i49 i50 i17

1921
1932
a) i
d) -1
1960
1973
b) -i
e) 1 - i
3. Si: m, n, x, y IR
adems:
(2 i)(3 4i)(2 i)(3 4i)4 (M

5)(N
2)i
hallar:
2. Simplificar:
4. Si:
m ni x yi
2003
c) 1
MN
a) 1
d) -2
b) 2
e) -1
c) 3
5. Hallar la suma "A" de nmeros complejos:

A = (1 + i) + (2 + i2) + (3 + i3) + (4 + i4) + ... +(4n + i4n)
a) n(2n + 1)
c) 0
e) 2n(4n - 1)
b) 2n(4n + 1)
d) n(4n + 1)
calcular:
242
n2
my 2 y 4
LGEBRA
Tarea domiciliaria
1. Completa la tabla:
7. Completa la siguiente tabla:
5 i
3i
32
_
Z
6i
_
Z*
Z*
3 - 2i
5 + 7i
2i
5 - 7i
2006 - 219i

a) i8
d) i52
g) i1336
b) i15
e) i161
h) i9321
c) i27
f) i219
3. Completa las siguientes frases para que se conviertan

en proposiciones verdaderas:
a) La unidad imaginaria elevada a una potencia mltiplo
de cuatro ms residuo dos siempre ser igual a
________________.
Siendo:
. i .
i
. .
......
i
. i i
. i .
i . ......
i.i
a) i
37 factores
81 factores
b) i . i . i . . ...... i . i i . i . i . ...... i . i

201 factores
4536 factores
c) i . i . i . . ...... i . i i . i . i . ...... i . i

9876 factores
12345 factores
5. Calcular los valores reales de "x" e "y", que satisfacen

las ecuaciones:
Z = Nmero complejo
Z = Complejo conjugado
Z* = Complejo opuesto
8. Representa grficamente:
a) 4 + 3i
d) -3 - 3i
9. En una prueba un alumno escribi la siguiente cadena

de igualdades:
-1 = i2 = 1 . 1 = ( 1)( 1) =
(I) (II)
b) La unidad imaginaria elevada a una potencia mltiplo

de cuatro ms residuo uno siempre ser igual a
________________.
-2006+219i
a)
b)
c)
d)
e)
(III)
(IV)
(V)
La igualdad II es incorrecta.
La igualdad III es incorrecta.
La igualdad IV es incorrecta.
La igualdad V es incorrecta.
Las igualdades II y IV son correctas.
10.Determina si los nmeros dados son soluciones de la

ecuacin:
a) i; -i;
b) 3i; -3i;
x2 + 1 = 0
x2 + 9 = 0
c) i 5 ; i 7 ;
x2 + 7 = 0
d) i 2 ; i 5 ;
x2 + 5 = 0
11.Halla el conjunto solucin de:

a) x + yi = 7 + 5i
b) x - 5 + (2y - 3)i = 9 + 5i
c) 2x + y + (2x - y - 12)i = 0
6. Expresar cada uno de los siguientes productos en la forma
a + bi, donde "a" y "b" son nmeros reales.
a) (1 - i) (3 + 2i)
b) (4 + i) (2 + i)
c) i (5 + 2i)
a) x2 + 4 = 0
b) x2 + 49 = 0
12.Reducir:
J = (1 + 2i7) (3 + i17) (2 + i13) (2 - i15)
M = i 48 + i52 + i 56 +i 60
A = i 11 + i13 + i15 + i 17
T = i 5001 + i5002 + i 5003 +i 5004
243
14.Siendo: i =
J=
21
K i1
i2003 i219 2i 48
i70 3 i666
i2
Siendo: i =
i3
43
i4
54
i5
65
24.Calcular:
A = i + i2 + i3 +i 4 + ..... + i 313
56
Y i
L = i + i2 + i3 +i 4 + ..... + i 3 218
B = 1 + i + i2 + ..... + i 217
32
78
1920
1718
Siendo: i =
2930
3132
4142
4344
16.Calcular "n", si:

1 - 2i + 3 - 4i + 5 - 6i + ..... + (2n-1) - 2ni = a - (a + 50)i
25.Simplifique:
1 + 2 + 3 + 4 + .... + m
M = i 2 + 4 + 6 + 8 + .... + n ; m > 100; n > 100

i
17. Calcular:
M = (1 - i) + (2 - i2) + (3 - i3) + ..... + (8n - i 8n)
n = 1 2 3 ... n ; n ZZ o
18.Sumar: A = i + 2i3 + 3i5 + 4i7 + 5i9 + ..... + ni 2n-1

siendo: "n" par.
26.Calcular:
19.Une con flechas los nmeros imaginarios equivalentes.

a) i -52
I. 1
b) i -275
II. i
c) i
-4438
III. -i
d) i
-333
IV. -1
20.Siendo: i =
i8 i13 i22
2 i9 i14 i23
1 1 1
1
....... 448
i i2 i3
i
Siendo: i =
22.Cuntos valores diferentes puede tomar la expresin?
S = 2i + 4i2 + 6i3 + 8i4 + ....... + 2nin ; n = 4

Donde: i =
27. Hallar la suma de:

(22 + i -1) + (42 + i -2) + (62 + i -3) + ....... + (4n2 + i -n)
Si: n = 4
28.Si: Sn = i2n+1 + i2n-1, calcular:

S = S1 + S2 + S3 + ......... + S2n ; n IN.
29.Si: Sn = i 9 + i -7
Calcular:
M = S1 + S2 + S3 + ....... + S2006
S = i n+1 + i n-1 ; si: n IN?

Siendo: i =
244
23
Nmeros complejos II
DIVISIN DE NMEROS COMPLEJOS:

Dados dos nmeros complejos:
Z1 = a + bi , y
Z2 = c + di , 0
Se define el cociente
Z1
Z1
como el nmero complejo:
Z2
Z2
-1
= Z1 . Z2 .
En la prctica, para calcular el cociente de dos nmeros complejos y expresar el resultado en su forma cannica se
siguen los pasos anlogos a los del clculo del inverso
multiplicativo Z-1; es decir, multiplicando el numerador y el
_
denominador por el conjugado del denominador (Z2).
Si: Z1 = a + bi y
Z2 = c + di 0
Z1 a bi (a bi) (c di)
.
Z 2 c di (c di) (c di)
Ojo:
-1
Z1
ac adi bci bd i2
Z2
c 2 d 2 i2
Si: Z = a + bi entonces el producto Z

por su conjugado Z da como
resultado un nmero real. Veamos:
-1
-1
Z1 ac bd (bc ad) i
Z2
c 2 d2
Z.Z = (a+bi)(a-bi) = a2 - (bi)2 = a2 - b2 i2 = a2+b2
Z1
ac bd bc ad
2
i
Z 2 c d2 c 2 d2
Ejemplo:
* Si: Z1 = 2 + i , Z2 = 3 - i
-1
Z1 2 i 2 i 3 i 6 5i i2 5 5i 5
5i 1 i

2
2
Z2 3 i 3 i 3 i
10
10 10 2 2
3 i
-1
* Si: Z1 = 2 - 9i , Z2 = 1 + i
Z1
Z2
-1
2 9i 2 9i 1 i 2 11i 9 i2
7 11i 7 11i
2
2
1i
1i 1i
2
2
2
1 i
-1
245
Nmer os Comp lej os I I

Ejercicios bsicos
EJEMPLO
1. Relaciona ambas columnas:
Calcular:
a)
b)
c)
* (1+i)2 = 12 + 2i + i2 = 2i
2
1i
I. 2 + i
5
2i
II. 1 + i
5
1 2i
-1
* (1 - i)2 = 12 - 2i + i2 = -2i
-1
* (3+2i)2 = 32 + 12i + (2i)2 = 9+ 12i + 4 i2 = 5 + 12i
III. 1 - i
-1
* (5 - 3i)2 = 52 - 30i + (3i)2 = 25 - 30i + 9 i2 = 16 - 30i
d)
2
1i
IV. 1 + 2i
* (1+i)3
= 13 + 3(1)2(i) + 3(1)(i)2 + (i)3

= 1 + 3i
Dado el nmero complejo: Z = a + b i , ser:

* Nmero complejo real Im (Z) = 0 a 0
* Nmero complejo imaginario puro Re (Z) = 0 b 0
* Nmero complejo nulo a = b = 0
2. Si: Z = a - 2 + (b - 3)i
Escribe "V" "F" entre los parntesis, segn las
proposiciones sean verdaderas o falsas:
a)
b)
c)
d)
Si: a = 2 entonces Z es imaginario puro.

(
Si: b = 3 y a 2 entonces Z es real puro.
(
Si: a = 3 y b = 2 entonces Z es complejo nulo. (
Si: a 2 y b 3 entonces Z es un complejo nulo.(
)
)
)
)
*
*
246
Z0 = 1, Z 0
Z1 = Z
Zm+n = Zm . Zn , m, n ZZ
Zmn = (Zm)n ; m, n ZZ
2i
-1
2 3
(1 i)[(1
i)] (2i)8

i
8i
2i
-i
= [(2 - i)2]2 (2 - i)
= [22 - 4i + i2 ]2 (2 - i)
= [3 - 4i]2 (2 - i)
= [32 - 24i + 16 i2 ] (2 - i)
)
)
)
)
Para efectuar esta operacin se debe tener en cuenta el

desarrollo del binomio de Newton, es recomendable
aplicarlo para exponentes pequeos.
*
*
*
*
4
2
(1 i)[(1
i)] 2 (2i)4
i
* (2 - i)5 = (2 - i)4 (2 - i)
= [9 - 24i + 16 i2 ] (2 - i)
-1
= (-7 - 24i) (2 - i)
= - 14 + 7i - 48i + 24 i2
POTENCIACIN DE NMEROS COMPLEJOS
Sea: Z un nmero complejo, definimos:
- i
Qu opinas? qu mtodo es ms fcil?
Escribe V F entre los parntesis, segn las

proposiciones sean verdaderas o falsas:
Si: a=-2 y b3 entonces Z es imaginario puro. (
Si: b= 3 y a=2 entonces Z es imaginario puro.(
Si: a2 y b=3 entonces Z es real puro.
(
Si: a=2 y b=3 entonces Z es complejo nulo.
(
(1 + i)3 = -2 + 2i
3. Si: Z = aa + (bb - 27)i - 4
a)
b)
c)
d)
(2 - i)5 = -38 - 41i
-1
Recuerda! (1-i)2 = -2i
1 i 1 i 1 i (1 i) 2
2i
i
1 i 1 i 1 i 12 i2
2
Recuerda! (1+i)2 = 2i
*
2
1 i 1 i 1 i (1 i)2i
i
1 i 1 i 1 i 1 2 i2
2
LGEBRA
Ejercicios bsicos
RECUERDA:
1i
i
1i
* Completa lo que falta para que se verifique la igualdad:

1i
i
1i
Calcular:
*
1i 1i
0
1
i 1
i
i
1i 1i
2i
1
i 1
i
i
)2 = 16 + 24i - 9
a) (4 +
b) (5 i - 2)2
c) (3 + 5 i)2
= 9 + 30 i +
- 20i + 4
* Une con una flecha las expresiones equivalentes:

a) (1 + i)3
I. -8i
b) (1 + i)6
II. -2(1 + i)
c) (1 - i)
III. -2(1 - i)
d) (1 - i)
IV. 8i
247
Test de Aprendizaje
1. Si el complejo: Z = (2a + 3) + (a - 5)i
es real puro, entonces: Z = _____________
2. Luego de efectuar: E = 4(5 + i) - 10(2 + i); el resultado es:

a) real puro
b) imaginario puro
c) complejo puro
3. Si el nmero complejo: Z = (a - 1) + (b - 2)i es nulo, calcular: a2 + b3
4. Efectuar:
a)
3i
2i
b)
1i
1i
5. Calcular:
a) (3 + i)2
248
b) (1 - i)2
LGEBRA
6. Indicar la parte real del resultado de:
1
5
3i 3i
7. Calcular:
(1 + 2i)2 - 4i
8. En cada caso, calcular:

a) (1 + i)2 =
b) (1 + i)6 =
c) (1 + i)10 =
9. Si: (1 + i)2 + (1 + i)6 + (1 + i)8 = a - bi

Entonces: a = ________
b = ________
10.Hallar un nmero complejo tal que, si al dividirlo entre 5 + i y al resultado aumentado en 3, se obtiene 9 + i.
249
Practiquemos
Bloque I
8. Calcula "x" en las ecuaciones siguientes:
1. Efecta las siguientes divisiones:

a) 5 9i
1i
c)
b) 2 3i
3 5i
d) 5 10i
3 4i
8 3i
2 7i
b) 2 - 3i
d) 7 - 2i
3. Si: Z = (m2 - mn + 7) + (m - n)i;

n IR, siendo Z un complejo real puro.
Obtener "Z".
D
a) 4
d) 7
b) 5
e) 8
c) 6
4. Si: Z = (m3 + n3 + 219) + (m3 + n3 + 2006)i

Donde: m n IR; siendo Z un complejo imaginario
puro.
(3 + i)x + i = 5i
3ix - (1 + i) = -4 + 7i
(2 + i)x - i = 5 + i
3 - 4i + 2ix = 3i - (1 - i)x
9. Efecta las siguientes operaciones:
a)
2. Encuentra el recproco de:

a) 5 + 2i
c) 4 + i
a)
b)
c)
d)
i2
i3
1 2i 1 3i
i5
i7
1 5i 1 7i
b)
10.Simplificar:
M
2
5
13
17
i
1 i 2 i 3 2i 4 i
a) 5
d) 35
b) 7
e) 40
c) 10
Bloque II
11.Si: Z = a + bi, donde "a", "b" IR;
Hallar los valores de "a" y "b" que verifican la igualdad:
3Z
3Z
4
1i
i
3i
Sealar: (a + b)2
Obtener "Z"
a) 219 i
d) 2225 i
b) 2006 i
e) 3210 i
c) 1787 i
a) 13
4
d)
5. Si el complejo: Z = (m - 4) + (n - 27)i es nulo

determine "mn".
a) 6
d) -6
b) 8
c) -8
e) Ms de una es correcta.
6. Efecta los siguientes binomios:

a) (2 + i)2
c) (4 + 3i)2
b) (3 - 2i)2
d) (5 - i)2
7. Relaciona las siguientes expresiones:

a)
b)
c)
d)
e)
f)
250
(1 +i)4
(i - 1)5
(1 + i)6
(1 - i)7
(i + 1)8
(1 - i)9
I. 8(1+i)
II. -8i
III. 16
IV. -4
V. 16(1 - i)
VI. 4(1 - i)
15
3
b)
16
25
c) 28
e) 2
12.Si:
1
1
1
1
1 1
1
...1
a bi
i
i 1
i 2
i 99
Calcular: a - b; siendo:
a) 101
d) 201
b) 102
e) 219
1 = i
c) 103
13.Simplificar:
Z i
a) 0
d) 2
b) 1
e) -i
1i
1i
1
1i
1
1i
c) i
LGEBRA
14.Cul es la relacin existente entre "m" y "n" para que
el producto: (m + ni) (2 + 3i); sea un nmero imaginario
puro?
2n
3
a) m = nn
b) m =
d) mn = n
e) m3 = n
c) m =
3n
2
15.Si: n IR y
3(n i)5(n
3i)
1 2i
b) A = (1 - i)2 + (1 + i)4 + (1 - i)6 + (1 + i)8

c) T =
(1 i)15
3
8
9
4
b)
9
8
e)
3
4
(1 i)13
(2 i)18
(1 2i)18
20.Efectuar:
2
1 i219 1 i219 1 i2007 1 i2007
Z=
219
1 i219 1 i2007 1 i2007
1 i
Es un complejo real, calcular "n".
d)
a) M = (1 + i)2 + (1 - i)4 + (1 - i)6
d) T =
a) -
19.Efectuar:
c) 9
a) 0
d) i
b) 1
e) -i
219
b) -1
Bloque III
16.Si la grfica del nmero complejo:
21.Indique la parte real de:
1 mi
Z
; m IR
1 mi
Es la parte que se muestra en la figura, encontrar el

valor de "m".
Im(Z)
Z = (1 + i)2 + (1 + 2i)2 + (1 + 3i)2 + ... + (1 +ni)2;

nZ+
a)
n(n 1)
2
b) n
d)
n(n 1)
6
e) n (2n 5)(1 n)
6
Re(Z)
c)
n(2n 5)
3

Z = (1 + i)25 + (1 - i)25 + 10(1 + i)15(1 - i)10+
10(1 + i)10 (1 - i)15 + 5(1 + i)20(1 - i)5 + 5(1 + i)5(1 - i)20
a) 4
d) -1
b) -2
e) 2
c) 1
17. Si: Z1 y Z2 son opuestos, determinar (m-n) siendo:

Z1 =
a) 1
d) 4
m
1
+n; Z2 = -m 1i
i
b) 2
e) -6
b) 4
e) 7
b) -213
e) -810
nmero:
870
11 13i
a) 3 + 36i
d) -3 + i
c) 5
c) -215
23.Halle un complejo que multiplicado por (1 + i) da el
c) 6
18.Si un nmero complejo se divide entre 5 + i, y al cociente

se le suma 2, se obtiene 3 - i. Hallar la parte real del
complejo original.
a) 3
d) 6
a) -815
d) -820
b) 3 - 36i
e) -3 + 36i
c) -3 - 36i
24.Hallar el valor de "K" y seale su parte real:
K=
13 26i 50 75i 123 164i
... "n" sumandos

2 3i
3 4i
4 5i
251

a)
n 2
(n + 6n + 3)
3
b)
n 2
(n + 9n - 13)
4
c)
n
(2n2 + 9n - 13)
6
d)
n 2
(n - 9n + 13)
3
e)
n
(2n2 + 9n + 13)
3
Calcular la parte imaginaria del conjugado de:
a) -100
d) 99
a 2i
; es un nmero real
b 3i
b (a 8)i
; es un nmero imaginario puro.
a bi
hallar "a - b"
b) 10
e) -10
b) -9
e) 101
c) 100
a) -12
d) 8
b ai
; a, b IR; a 0
a(1 i) i
f(1 + 2i) . f(2 + 3i) . f(3 + 4i) . f(4 + 5i).....f(99 + 100i)
25.Sabiendo que:
Z
27. Si: f(a+bi) =
c) 24
2005
k k 2i
E=
2
ki k
k 1
Donde: i =
a) 1
d) -i
b) i
e) 0
c) -1
a) 36
b) 45
c) 54
d) 0
e) 4 2
26.Calcular:
3
1 3i
1 3i
1 3i
M

... "n"sumandos
1 3i
1 3i
1 3i
a) n - 1
d) n + 2
b) n
e) n + 3
c) n + 1
Autoevaluacin
1. Sabiendo que: Z
a 2i
es un nmero real.
b 3i
ab
a
Hallar el valor de: E

b)
a) 1
d)
1
4
e)
1
2
4. Si: ab 0; i i ; reducir:
c)
1
4
1
2
a) 1
d) ai
2. Si se cumple: Z1 = Z2
donde: Z1 = m2 + n + 4i
Z2 = 3 + m2ni
adems: m, n IR
calcular: E = m4 + 2m2n2 + n4
a) 4
d) 25
b) 9
e) 36
a bi a bi
a bi
b
M ai b ai
b a bi a bi
a
2 b ai b ai
b) a
e) bi
c) b
5. Reducir:
3
c) 16
3. Dado: Z = (3 + 2i)4 + (5 - 2i)3 + 22i
1 3i
1 3i
M
1 3i
1 3i
a) 1
d) 6
b) 2
e) 8
c) 4
hallar: Im(Z)
252
LGEBRA
Tarea domiciliaria
3 2i
a)
1i
11.Simplificar:
5i
b)
2i
2
10
25
29
1 i 3 i 4 3i 5 2i
12.Si: Z = a + b i; donde: a, b IR; Hallar los valores de "a"

y "b" que verifican la igualdad:
2. Encuentra el recproco de:

a) 5 - 2i
M=
3Z
Z
17i

2i i
4i
b) 3 + 2i
3. Si: Z = (9m2 - 4n2 + 5) + (3m - 2n)i

Donde: m n IR, siendo Z un complejo real puro.
Obtener "Z"
4. Si: Z = (m5 + n6 + 2006) + (m5 + n6 + 219)i
Donde: m n IR, siendo Z un complejo imaginario
puro.
Obtener "Z"
5. Si el complejo: Z = (m2 - 9) + (n3 - 125)i es nulo
Determine "mn"
13.Si:
1
1
1
1
1 1
1
.....1
a bi
i
1 i
2 i
219 i
Calcular: (a + b)(2192 + 1)
a) 1
d) -2
14.Si: Z =
6. Halle: (a - b) si el complejo siguiente:
Z = (3a - 4b) + (a + b - 21)i es nulo.
a) (2 - i)2
b) (2 + 3i)2
b) 2
e) 3
1
1
a bi b ai
1i
2
2
Calcular: (a -1) + (b - 1)2
Se sabe que: Z =
15.Cul es la relacin existente entre "m" y "n" para que

el producto: (m - ni) (3 + 4i); sea un nmero real puro?
8. Relaciona las siguientes expresiones:

a)
b)
c)
d)
e)
f)
(1 - i)
(i + 1)5
(1 - i)6
(i + 1)7
(1 - i)8
(1 + i)9
I) 8(1 - i)
II) -4(1 + i)
III) 16
IV) 16(1 + i)
V) -4
VI) 8 i
9. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (2 + i)x - i= 3i
b) 4 ix - (2 + i)x = -3 + 2i
10.Efecta las siguientes operaciones:
a)
i 1 1 2i
1i i2
b)
c) -1
a) 3m = 2n
n 2
m 3
d)
b) m =
4
n
3
c)
m 3
n
4
e) mn = 43
16.Calcular "x", para que el complejo:

Z=
2 xi
; sea imaginario puro.
1 2i
17. Qu valor debe tener "a" para que E sea un nmero

real puro?
E
5a 2i
3 2i
i4
i6
1 4i 1 6i
253

18.Si la grfica del nmero complejo:
Z=
m 1
; m IR, es la que se muestra en la figura,
1 mi
encontrar el valor de "m".
24.Indique la parte imaginaria del complejo definido por:

Z = (1+2i)2 + (1+3i)2 + (1+4i)2 + ... + [1+(n+1)i]2
25.Reducir la siguiente expresin:
1a i 1a 1a i 1a
1 a i 1 a 1 a i 1 a
Im(Z)
Re(Z)
Si: a = i3, siendo: i = 1

26.Reducir la expresin:
19.Cunto vale "b", si los complejos Z1 y Z2 son opuestos?

Z1 = (a - 3)i3 + (b - 2)i2 - ai + 2b
Z2 = (b + 1)i3 + (1 - a)i2 - 3i - 1
20.Calcular "a2+b2", sabiendo que:
Z1 = a2 + b + 4i
Z2 = 3 + a2 bi
Son complejos conjugados; {a;b} IR
21.Halle un complejo que multiplicado por: 1 - i da el
148
7 5i
nmero
n=4
27. Hallar un nmero complejo tal que si al dividirlo entre

(4 + 5i) y al cociente sumarlo con 4; se obtiene (5 + i).
Dar como respuesta su parte imaginaria.
28.Si: M =
(a i) 9
(a i)5
es un nmero imaginario puro. Calcular
la suma del valor de "a" con la parte imaginaria de "M".

29.Siendo: Z1 Z2 dos nmeros complejos conjugados
entonces que clase de complejo ser: Z = (Z1+Z2)4
22.Efectuar:
a) M = (1 - i)2 + (1 - i)4 + (1 - i)6
b) A = (1 + i)2 + (1 - i)4 + (1 + i)6 + (1 - i)8
23.Reducir:
1 3i
3 5i
5 7i
i 3 3i 5 5i 7 ... "n" trminos; "n" es par
a) Real Negativo
c) Imaginario Puro
30.Si: f(a+bi) =
1i
1i
1
1i
1
1i
1
1
b) Real Positivo
d) Complejo nulo
b ai
; a, b IR; a 0.
a(1 i) i
Calcular la parte real del conjugado de:

f(1 + 2 i) .f(2 + 3 i).f(3 + 4 i) .......f(49 + 50 i)
1i
1i
1
1i
Dar como respuesta: M + i
254
24
Repaso
Test de Aprendizaje
1. Si: x <3;7>, a qu intervalo pertenece:
M
4x 3
5
2. Resolver la inecuacin: 2(x + 1) + 3(x + 2) > 18

e indique el intervalo solucin.
3. Resolver:
4x 2 x 1
4
5
2
indique el menor valor entero que toma "x"
4. Resolver:
x2 - x - 20 0
5. Resolver:
(x - 2)2 16
255
Repaso
6. Resolver:
|x - 5| = 9
7. Cuntos valores enteros negativos verifican: 2|x + 3| 12?
8. Efectuar: M = (3 + i) (5 - 2i) + i - 1
9. Si: Z = 5 + 3i, calcular:

a) Z = ______________
b) Zop = ______________
10.Si el complejo: Z = (a - 3b + 2) + (b - 2)i

es nulo, hallar: 3 ab
256
LGEBRA
Practiquemos
Bloque I
6. Si: M = <-4;7]
N = [0;4>
hallar:
1. Escribe mediante intervalos:

a) 5 < x 8
: __________________
b) x 2
: __________________
c) x < -4
: __________________
2. Escribe "V" si es verdadero o "F" si es falso, segn

corresponda:
a) (-2) [-2;2] ................. (
b) <-;-3> IR ................ (
c) [2;3] [0;4] ................. (
a) M N
b) M N
7. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 5x - 3 + x 2x + 15
b) 2 - 3x 37 + 2x
8. Resolver las siguientes inecuaciones:

a) 3(x + 4) + 3x < 4x - 5 + 2(x + 1)
b) 8(x - 1) - 2(5x - 2) > 8
3. En cada caso, hallar: A B

a) 18 - 3x 3(x + 4)
b) 3x 5
3x 1 x
2
3
A
a)
-2
10.Resolver los sistemas:

a) 5x - 2 < 10x + 8 < 2x + 16
B
b) 3x < 4 - 5x < 5 + 3x
A
b)
-4
11.Un matrimonio dispone de S/.32 para ir al cine con sus

hijos. Si compra las entradas de S/.5 le falta dinero y si
compra las de S/.4, le sobra dinero. Cuntos hijos tiene?
B
A
a)
-2
-1
-2
5. En cada caso, hallar el complemento de los siguientes

intervalos.
a)
b)
-3
a) x2 - x - 2 > 0
b) x2 + x - 6 < 0
13.Resolver las inecuaciones:
B
b)
Bloque II
a) (x - 2)2 16
b) (x - 4)2 9
14.Si la inecuacin: x2 - ax + b < 0

presenta como solucin: x <3;5>
hallar: 2a + b
15.Reducir:
E = |-5| + 3|-7| - 2|-4|
M = |-8| - 2|-2| + 5|-7|
16.Resolver las ecuaciones:
-1
a) |x - 10| = 3
b) |2x - 1| = 5
257
Repaso
17. Hallar "x" en cada ecuacin:
a) |x - 5| = x - 3

b) |2x - 7| = x + 2
a)
18.Si: 3 < x < 8

calcular:
E
19.Resolver:
b) |2x - 1| 7
20.Dar el conjunto solucin de las siguientes inecuaciones:

a) |x + 3| 9
a) 5
d) 35
28.Para nmeros reales cualquiera, escribe entre los

parntesis verdadero (V) o falso (F), segn corresponda:
III. -a<b<a (a-b) < 4a

b) 4x2 + 25 = 0
1 , el valor mas simplificado de:
-1
c)
7 2i
1 3i
b)
4 2i
3i
6 5i
4a i
es un complejo real, hallar "a"
.......
.......
-1
.......
29.Si: a R+ y -b R+; escribe entre los parntesis V o F

segn corresponda.
a)
i70 3 i665
....... (
IV. ab<0 y a 0
a) x2 + 100 = 0
a)
b) 7
e) 40
I. a 14
Bloque III
22.Siendo: i =
i5
i7
1 5i 1 7i
b)
27. Simplificar:
| x 8| | x 3|
5
a) |x - 13| < 4
i2
i3
1 2i 1 3i
1
1
 0 ................
b3
- b2 < 0 ................
a
c)
d) a2 - b2 < 0
................
30.Encontrar el error en el siguiente razonamiento:
24.Si la expresin:
25.Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)
b)
c)
d)
258
(3 + i)x + i = 5i
3ix - (1 + i) = -4 + 7i
(2 + i)x - i = 5 + i
3 - 4i + 2ix = 3i - (1 - i)x
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Sean a = 3, b = 5, es decir:
Multiplicando por "a".
Restando b2.
Descomponiendo en factores.
Dividiendo por a - b.
Sustituyendo a=3, b=5
a<b
a2 < ab
a2-b2 < ab - b2
(a+b)(a-b)<b(a-b)
a+b<b
8<5
LGEBRA
Autoevaluacin
1. La suma de dos nmeros enteros positivos es mayor
que 76; su diferencia menor que 10, y si al mayor se le
suma el duplo del menor, el resultado no llega a 112.
Cul es el mayor?
a) 34
d) 43
b) 38
e) 83
c) 42
a)
3
4
b) 1
d)
4
3
e)
c) 2
1
2
4. El equivalente de:
4
1 7i
1 7i
2
2
2. Luego de resolver: x2 - ax + 75 > 0

se obtiene: x R - [15;b]
hallar "a"
a) 5
d) 20
b) 10
e) 25
c) 15
a) 1
d) 5
Es:
b) -1
e) 6
c) 3
5. Calcular "n" si:
3. A partir de: |x - b| < a (0 < a < b)

se sabe que:
b
b

;m
xa
2a b
hallar el valor de "m"
nn
(1 i)(1 i)
0,25
1
4
e) 3
a) 6
b)
d) 2
c) 1
Tarea domiciliaria
1. Expresar mediante intervalos:

a) 0 x < 10
: __________________
b) x > -5
: __________________
c) x < 7
: __________________
2. Escribe "V" si es verdadero o "F" si es falso, segn

corresponda:
a) (5) <3;7> .................. (
b) <5;+> IR ................. (
c) <-2;4] <3;+] ........... (
B
a)
-1
b)
+
B
A
b)
-3
A
-
a)
A
-2
-1
-4
-2
5. En cada caso, hallar el complemento de los siguientes

intervalos.
B
-
b)
a)
6. Si: A = [-7;+>
B = <0;4]
hallar:
a) A B
b) A B
259
Repaso
7. Resolver las siguientes inecuaciones:
a) 7x - 16 < 5x
18.Si: -2 < x < 5; obtener el valor de:
b) 13 + 4x 28 + 9x
8. Resolver las inecuaciones:
| x 2| | x 5|
7
19.Resolver:
a) 2(x + 3) + 4(x - 2) 5x + 1
a)
b) 3(x - 2) - 4(x - 3) 2
| x 3|
5
4
b) |x + 4| - 2 3
a) |3x + 1| |x + 4|
x 3 1

a)
3 2 6
x x x
2
b)
2 3 6
x2
x3
2
3
b)
10.Resolver los sistemas:
a) 4x - 3 < 7x + 6 < 10x + 9
21.Siendo: i =
b) 2x < 3 - 3x < 4 + x
11.La edad de uno de mis hermanos es tal que su doble
aumentado en 5 es menor que 19 y su triple aumentado
en 7 es mayor que 22. Calcular la edad de mi hermano.
i i3 i8 i13 i30
K=
i i2 i16
22.Efecta las siguientes divisiones:

a) x2 10x
b) x2 +x - 42 > 0
a)
3 2i
1i
b)
5i
2i
13.Resolver las inecuaciones:

a) (x - 1)2 > 25
b) (x - 7)2 < 16
14.Si la inecuacin: x2 - mx + n > 0
tiene como solucin: x <-;5> <9;+>
hallar: m - n

a) (2 - i)2
b) (5 + 3i)2
24.Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (2 + i)x - i= 3i
b) 4 ix - (2 + i)x = -3 + 2i
15.Reducir:
E = |-9| + 2|-5| - 5|-1|
M = 3|-5| - |-9| + 2|-6|
16.Resolver las ecuaciones:
a) |x + 2| = 3
b) |3x - 4| = 2
17. Hallar "x" en:
a) |4x - 3| = x + 2
a)
i 1 1 2i
1i i2
b)
i4
i6
1 4i 1 6i
26.Simplificar:
M
2
10
25
29
1 i 3 i 4 3i 5 2i
b) |2x - 1| = x - 2
260
LGEBRA
27. {x, y, z} IR / x, y, z 0, entonces podemos afirmar
que:
I. Si :
29.Si: -1 < x < 0, entonces:
x
1 x y
y
II. Si: x < y x2 < y2

III. Si: x < y
1
1
>
y
x
a) Slo I es falsa
c) Slo III es falsa
e) Todas son falsas
ab
< -1
b
b) Slo II es falsa
d) Slo I y II falsa
................ (
II. ab - a2 > b2 - ab ................ (
III.
1 1
a b
IV. a (a - b) > 0
x
x
<
<0
2
3
e) -1 <
28.Si: a, b IR y a < 0 < b, escribe entre los parntesis

verdadero (V) o falso (F), segn corresponda:
I.
-1 < x2 < x3 < 0

-1 < x3 < x6 < 0
-1 < x < x2 < 0
-1 < 4x < 5x < 0
a)
b)
c)
d)
................ (
................ (
30.
a(b c)
0 donde: a, b, c ZZ, cul
c
de las siguientes proposiciones es correcta?
D
a)
b)
c)
d)
e)
l a
l a
a>0b>0c>0
b < 0 a > c
a > 0 c > 0 b > -c
a > -c b > 0
a + c > 0 b < 0
261
Repaso
Examen bimestral de lgebra

Ao 2006
Tiempo: 50 min
I.
rea conceptual
(5 puntos)
A. Relacionar las columnas:

Columna A
Relacionando
Columna B
1.
|x|=a
1.
a)
2.
|x|=|a|
2.
b)
a>0 ; <0
3.
|x|a
3.
c)
a 0 (x = a x = -a)
4.
|x|a
4.
d)
x {-2}
5.
|x|>|y|
5.
e)
x IR
6.
ax2 + bx + c > 0
x IR
6.
f)
x = a x = -a
7.
(x + 2)2 0
7.
g)
x a x -a
8.
(x + 2)2 > 0
8.
h)
a 0 -a x a
9.
(x + 2)2 < 0
9.
i)
x IR - {-2}
10.
(x + 2)2 0
10.
j)
x2 > y2
B. Completar los espacios en blanco:

1. Sea el complejo: Z = 5 + 3i
(0,5 puntos c/u)
a) Z * = ________
b)
Z = ________
c)
= ________
2. Hallar el Valor Absoluto de las siguientes

expresiones:
(0,5 puntos c/u)
a) |x2 + 3|
= _______________
b)
2 5
= _______________
c)
7 3
= _______________
(0,5 puntos c/u)
3. Indicar V o F segn corresponda:

a) Z = 5; es un complejo real puro ............................................................................ (
b) Z = -3i; es un complejo imaginario puro ................................................................ (
c) |-5|2 = -52 ..............................................................................................................(
d)
262
7 ..............................................................................................................(
LGEBRA
II. rea procedimental
(1 punto c/u)
6. Resolver: |x + 2| < 6
1. Resolver: x2 - x - 6 > 0
7. Simplificar:
2. Resolver:
x-5 x 4 x 3
x
5
2
3
30
3. Resolver: |x + 2| = 5
4. Resolver: ||x + 4| - 7| = 0
i i3 i8
1 i 2 i16
8. Calcular: W = (2 + 3i)(3 + 2i)
9. Reducir:
i + i2 + i3 + i4 + ... + i219
5. Resolver: |x - 9| 2
10. Efectuar:
i2
i3
1 2i 1 3i
263

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17

Solo es verdad para "x" mayor que 8.

Las desigualdades a > b y c > d son del mismo sentido.

TEOREMAS RELATIVOS A DESIGUALDADES

Lo mismo se puede decir de los simbolos <, y .

Lo mismo se puede decir de los smbolos <, y .

Lo mismo se puede decir de los smbolos <, y .

5 > 4; se tiene: 5 > 4 125 > 64

* Coloca V o F entre los parntesis segn la proposicin sea verdadera o falsa:

c) x < 3,7 <

Organizacin Educativa TRILCE

Si: a = b [a; b] = {a} o {b}

x <a; b> a < x < b

Si: a = b <a; b> =

[a; b> = {x IR / a x < b}

Si: x [a; b> a x < b

<a; +> = {x IR / x > a}

* Intervalo acotado superiormente

<-; a> = {x IR / x < a}

* Expresa cada grfica en notacin de intervalo.

<0; 3] [0; 2>

OPERACIONES CON INTERVALOS

Organizacin Educativa TRILCE

Para que un nmero sea

x < 1 se puede abreviar - 2 < x < 1.

La grfica es la interseccin de las grficas individuales.

Est lloviendo o sopla el viento.

Smbolo que representa la disyuncin

Solucin: el conjunto solucin consiste en la unin de los conjuntos solucin individuales.

Organizacin Educativa TRILCE

Los elementos que no pertenecen al conjunto "B":

A' = <-; -3] <12; +>

Organizacin Educativa TRILCE

II. A' = <-; -3] <6; +>

II. Halla el complemento de los siguientes conjuntos:

2. Complete con la relacin adecuada (>; =; <)

3. Expresar mediante desigualdades los intervalos:

5. Representar mediante intervalos:

Organizacin Educativa TRILCE

7. Si: x <2;5>, hallar el intervalo al que pertenece: M = 2x + 4

8. Si: x <1;5>, hallar el intervalo de variacin de: M = 4 - x

10.Si: x [7;12> y sabiendo que: a

1. En cada caso, halla A B

4. En cada caso, halla el complemento de los siguientes

2. En cada caso, halla A B.

Organizacin Educativa TRILCE

5. Si: M = <-2;6] y N = [5;7>

6. Si: M = [-4;5> y N = <-2;+>

16.Si: x [-1;4>, entonces:

7. Si: P = <-5;1] <2;8]

8. Siendo: A = <-2;1>; B = [-1;2]; C = [-3;0>

9. Simplificar los siguientes conjuntos:

a) (<-2;3] <0;4>) - [2;6]

20.En qu intervalo se encuentra: x2 + 6x + 12?

Indicar verdadero (V) o falso (F), segn corresponda:

b) 0 < x < x2 < 1

22.Sabiendo que: a < b, donde: a; b IR. Cul (es) de las

23.Si: a, b, c, d son nmeros reales tales que:

25.Si: 3 x2 - 2x + 3 11, entonces, a qu intervalo