Espacios métricos

Óscar Vega Amaya

Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora

Enero, 2021

Índice

1. De…nición y ejemplos 5
2. Espacios normados 13

2.1. Normas y métricas inducidad por normas . 13

2.2. Normas en Rn . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Normas en espacios de sucesiones . . . . 32

2.4. Normas en espacios de funciones . . . . . 34

3. Conceptos topológicos básicos 37

3.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . 37

3.2. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . 41

3.3. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . 49

3.4. Métricas equivalentes . . . . . . . . . . . 58

3.5. Métricas en espacios producto . . . . . . 62

3.6. Espacios topológicos . . . . . . . . . . . 63

4. Los números reales 65

5. Completez, densidad y separabilidad 78

6. Funciones continuas 103

7. Espacios de funciones 136

8. Compacidad secuencial 150

9. Compacidad por cubiertas 155

10.Joyas del análisis matemático 175

10.1. Teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . 175

10.2. Teorema de Arzelà-Ascoli . . . . . . . . . 183

10.3. Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . 196

11.Propiedades topológicas 205
1. De…nición y ejemplos

De…nición 1.1 Sea X un conjunto no-vacio. Una métri-

ca en X es una función d : X X ! R que satisface
las siguientes propiedades para todo x; y; z 2 X :

(a) positividad: d(x; y ) > 0 si x 6= y; y d(x; x) = 0;

(b) simetría: d(x; y ) = d(y; x);

(c) desigualdad del triángulo: d(x; y ) d(x; z )+d(z; y ):

Si d es una métrica en X diremos que (X; d) es un espa-

cio métrico. Nos referiremos a los elementos de X como
puntos.

Ejemplo 1.2 En el conjunto de los números reales R

usualmente se considera la métrica del valor absoluto

d(x; y ) := jx yj; x; y 2 R: (1)

Recuerde que el valor absoluto j j se de…ne de la siguiente
manera:
(
a si a 0;
jaj :=
a si a < 0;
para a 2 R: Note que jaj = 0 si y sólo si a = 0: Además
es claro que se satisfacen las desigualdades

a jaj y a jaj 8a 2 R: (2)

De estas desigualdades se sigue la desigualdad del trián-
gulo para el valor absoluto:

ja + bj jaj + jbj 8a; b 2 R: (3)

Para veri…car que la desigualdad anterior es cierta con-

sideremos por separado los dos siguientes casos:

(i) ja + bj = a + b;

(ii) ja + bj = (a + b):
Si se da el caso (i), tenemos de (2) que

ja + bj = a + b jaj + jbj;
Si se da el caso (ii), igualmente se sigue que

ja + bj = (a + b) jaj + jbj:
Por lo tanto, (3) se cumple.

Ejemplo 1.3 (a) Sobre el conjunto de los números reales

R se puede de…nir un sin…n se métricas. Para ilustrar este
hecho considere una función no-decreciente

' : [0; 1) ! [0; 1)

tal que '(0) = 0 y '(x) > 0 para x > 0: De…na la
función

d'(x; y ) := '(d(x; y )); x; y 2 R:

Si la función ' es sub-aditiva, es decir,

'(x + y ) '(x) + '(y ) 8x; y 2 [0; 1);

entonces d'( ; ) es una métrica sobre R:
(b) Si la función ' : [0; 1) ! [0; 1)es cóncava, en-
tonces es una función sub-aditiva. Para veri…car esta a…r-
mación observe que
y x
x= 0+ (x + y ) 8x; y > 0:
x+y x+y
Entonces, de la concavidad de ' se sigue que
y x
'(x) '(0) + '(x + y ):
x+y x+y
De forma análoga se obtiene
x y
'(y ) '(0) + '(x + y ):
x+y x+y
Entonces
'(y ) + '(x) '(0) + '(x + y )

'(x + y ):

(c) Las funciones

p
'1(x) := x; x 0;

'2(x) := ln(x + 1); x 0:

son funciones cóncavas, de modo que
q
d'1 (x; y ) := jx yj

d'2 (x; y ) := ln(jx yj + 1)

de…nen métricas en R:

Ejercicio 1.4 Dé un par más de ejemplos de métricas en

R usando funciones sub-aditivas.

Ejercicio 1.5 Sea (X; d) un espacio métrico. Demuestre

que
d(x; y )
d (x; y ) := ; x; y 2 X;
1 + d(x; y )
también es una métrica en X: En particular,
jx yj
d (x; y ) = ; x; y 2 R;
1 + jx yj
es una métrica en R: Sugerencia: considere la función
'(x) = x=(1 + x); x 0:
Ejercicio 1.6 Métrica discreta. Sea X un conjunto ar-
bitrario no-vacío. La función
(
1 si x 6= y
d(x; y ) :=
0 si x = y
es una métrica sobre X: Por consiguiente, todo subcon-
junto no-vacío puede metrizarse.

Ejercicio 1.7 Considere la función '(0) := 0 y '(x) :=

1 si x > 0: Veri…que que d'(x; y ) := '(jx yj) es la
métrica discreta en R:

Ejercicio 1.8 Sea X la familia de todos los intervalos

cerrados, esto es,

X = f[a; b] : a; b 2 R; a < bg:

De…na la distancia entre dos intervalos cualquiera I1 =
[a1; b1] y I2 = [a2; b2] de la siguiente manera:

d (I1; I2) := maxfja2 a1j; jb2 b1jg:

Pruebe que d es una métrica en X:

De…nición 1.9 Sean A y B subconjuntos de un espacio
métrico (X; d):

(a) La distancia de x 2 X a al subconjunto A se de…ne

como

dist(x; A) := nf fd(x; a) : a 2 Ag:

(b) La distancia entre A y B se de…ne como

dist(A; B ) := nf fd(a; b) : a 2 A; b 2 Bg

(c) El diámetro de A se de…ne como

diam(A) := supfd(a; b) : a; b 2 Ag:

Ejercicio 1.10 Muestre que la función dist(A; B ) no es

una métrica.
Ejemplo 1.11 Métrica de Hausdor¤ (1868–1942). Sea
(X; d) un espacio métrico. La distancia de Hausdor¤ en-
tre subconjuntos A; B de X se de…ne como

dH (A; B ) := maxf sup dist(a; B ); sup dist(b; A)g:

a2A b2B

Denotemos por K(X ) la familia de los subconjuntos “com-

pactos” de X: Entonces, dH ( ; ) es una métrica sobre
K(X ):

Observación 1.12 La métrica de Hausdor¤ es impor-

tante en varias ramas de las matemáticas, por ejemplo,
en el estudio de fractales, control estocástico y teoría de
juegos. En estas dos últimas se utiliza para estudiar fun-
ciones multi-valuadas o correspondencias.

Sean (X; d1) y (Y; d2) espacios métricos. Denotemos por

P (Y ) a la familia de los subconjuntos no-vacios de X:
Una correspondencia ' de X en Y es una función

' : X ! P (Y ):
La métrica de Hausdor¤ se utiliza para introducir la no-
cion de continuidad para correspondencias que toman val-
ores compactos, es decir, para correspondencias tales que
'(x) es un subconjunto compacto para cada x 2 X:

2. Espacios normados

Una famila muy importante de espacios métricos son los

espacios (vectoriales) normados.

2.1. Normas y métricas inducidad por nor-

mas

De…nición 2.1 Sea X un espacio vectorial sobre el cam-

po K de los reales o los complejos. Diremos que el mapeo
jj jj : X ! R es una norma si satisface las siguientes
propiedades:

(a) jjxjj > 0 si x 6= 0; y jj0jj = 0:

(b) jj xjj = j j jjxjj para todo 2 K; x 2 X ;

(c) jjx + yjj jjxjj + jjyjj para todo x; y 2 X:

Al par (X; jj jj) se le llama espacio normado.

Proposición 2.2 Sea (X; jj jj) un espacio normado. En-

tonces
d(x; y ) := jjx yjj; x; y 2 X; (4)
es una métrica en X: Además:

(a) d( ; ) es invariante bajo traslaciones, es decir,

d(x + z; y + z ) = d(x; y ) 8x; y; z 2 R:

(b) d( ; ) es homogénea, es decir,

d( x; y ) = j jd(x; y ) 8x; y 2 R; 2 K:
Observación 2.3 Claramente el valor absoluto es una
norma; así pues, la métrica usual en R es una métrica
inducida por una norma:

d(a; b) = ja bj; a; b 2 R:

Observación 2.4 ¿Todas las métricas están de…nidas por

una norma como en (4)? La respuesa es negativa: por
ejemplo, la métrica
q
draiz (x; y ) = jx yj; x; y 2 R;
no es inducida por una norma pues no satisface la propiedad
de homogeneidad:
q
draiz ( x; y ) = j x yj

q
= j jdraiz (x; y )

6= j jdraiz (x; y ) 6= 1:
Ejercicio 2.5 Diga si las siguientes métricas son induci-
das por una norma:

(a) La métrica discreta en R;

(b) La métrica de…nida como

jx yj
d (x; y ) = ; x; y 2 R:
1 + jx yj

(c) La métrica dada por

d(x; y ) := j ln(x=y )j; x; y 2 R++:

Observación 2.6 ¿Todo espacio vectorial admite una nor-

ma?
2.2. Normas en Rn

En esta sección presentaremos una familia de normas en

Rn conocidas como p-normas donde el parámetro p toma
valores en [1; 1]: Iniciaremos la presentación con los ca-
sos p = 1 y p = 1:

Para cada vector x = (x1; x2; : : : ; xn) 2 Rn de…na

jjxjj1 := max jxij;

i=1;:::;n

n
X
jjxjj1 := jxij:
i=1

Theorem 2.7 Las funciones jj jj1 y jj jj1 son normas

en Rn:

La prueba de este teorema se obtiene directamente de las

propiedades del valor absoluto.
Ejercicio 2.8 Pruebe el teorema anterior.

Para p 2 [1; 1); la norma p-ésima en Rn se de…ne como

0 11
n
X p
jjxjjp := @ jxijpA
i=1
donde x = (x1; : : : ; xn). Claramente jj jjp satisface las
dos primeras propiedades que de…nen a una norma. La
tercera, la desigualdad del triángulo, se le conoce como
desigualdad de Minkowski. Su prueba requiere un par de
resultados preliminares: la desigualdad de Young y la de-
sigualdad de Hölder.

De…nición 2.9 Diremos que : [0; 1) ! R es una

función de Young si satisface las siguientes condiciones:

(a) es continua y estrictamente creciente;

(b) (0) = 0;

(c) l mx!1 (x) = 1:

Ejercicio 2.10 Pruebe que si es una función de Young,
entonces su inversa también es una función de Young.

Theorem 2.11 Desigualdad generalizada de Young.

Sea una función de Young y su inversa. Entonces
Z a Z b
ab (x)dx + (x)dx 8a; b 0: (5)
0 0
La igualdad se da si y sólo si b = (a):

Demostración. Demostración grá…ca.

Ejemplo 2.12 De la desigualdad de Young se derivan

muchas desigualdades inesperadas e interesantes. Veamos
un par de ejemplos.

(a) Note que (x) := x2; x 0; es una función de

Young. Para esta función la desigualdad de Young es-
tablece que
Z a Z b
1
ab x2dx + x dx
2
0 0

a3 2 3
+ b 2 8a; b 0:
3 3

(b) Ahora consideremos la función de Young (x) :=

ln(1 + x); x 0: Entonces
Z a Z b
ab ln(1 + x)dx + (ex 1)dx
0 0

(1 + a) ln(1 + a) a + eb 1 b 8a; b 0:

En el siguiente teorema presentamos otra desigualdad

que se deriva de (5). Muchos autores también llaman
desigualdad de Young a esta desigualdad.

Diremos que dos números reales p; q 2 (1; 1) son ex-

ponentes conjugados si
1 1
+ = 1:
p q
Note que si p y q son exponentes conjugados entonces
q p
p= y q= :
q 1 p 1

Si convenimos que 1=1 := 0, entonces p = 1 y q = 1

son exponentes conjugados.

Corolario 2.13 Sean p; q 2 (1; 1) exponentes conju-

gados. Entonces
ap bq
ab + 8a; b 0: (6)
p q
La igualdad se cumple si y sólo si b = ap 1 (bq = ap):

Demostración. Tomemos (x) := xp 1; x 0: Puesto

1
que la inversa de es (x) := x 1; x
p 0; entonces la
desigualdad de Young (5) implica que para todo a; b 0
se cumple que
Z a Z b 1
ab xp 1dx + x 1 dx
p
0 0

b
a 1+ p 1 1
xp x
+
p 0 1 + 11p
0

ap bq
+ :
p q

A continuación presentamos una segunda prueba de (6).

Primero note que si ab = 0 la desigualdad se cumple
trivialmente. Entonces …jemos b > 0 y consideremos la
función
ap bq
f (a) := + ab; a 0:
p q
Entonces,

f 0(a) = ap 1 b y f 00(a) = (p 1)ap 2 8a 0;

 1
de donse se sigue que a0 := b p 1 es el único punto crítico
y que f 00(a0) = bq 1 > 0: Puesto que

l m f (a) = 1;
a!1
concluimos que

f (b) f (b0) = 0 8b 0;
lo cual prueba la desigualdad deseada.

Ejercicio 2.14 Use el método de prueba en la segunda

demostración de (6) para probar la desigualdad (5).

Proposición 2.15 (Desigualdad de la media arimética-

media geométrica) Si x > 0; y > 0 y 2 (0; 1); en-
tonces
x y1 x + (1 )y:
Demostración. Puesto que la función ln x; x > 0; es
cóncava se cumple que
ln( x + (1 )y ) ln x + (1 ) ln y

= ln x + ln y 1

= ln(x y 1 );
de donde se sigue el resulado deseado.

Ejercicio 2.16 Use la desigualdad de la media aritmética-

media geométrica para dar otra demostración de (6).

Lema 2.17 Desigualdad de Hölder. Sean p y q expo-

nentes conjugados. Entonces
n
X
jxiyij jjxjjp jjyjjq 8x; y 2 Rn:
i=1
Si p = 1, la igualdad se cumple si y sólo y es un vector
p
constante. Si p > 1, la igualdad se cumple si c1jxji =
q
c2jyijq para cada i = 1; : : : ; n, donde c1 = jjyjjq y
p
c2 = jjyjjp:
Demostración. La desigualdad se obtiene directamente
para p = 1 y q = 1: Consideremos entonces el caso p 2
(1; 1): Es obvio que la desigualdad se cumpe si x = 0
o y = 0: Supongamos entonces que ambos vectores son
no-nulos. La desiguald de Young (6) implica que
jxij jyij 1 jxijp 1 jyijq
p+ q:
jjxjjp jjyjjq p jjxjjp q jjyjjq
Sumando sobre i se obtiene la desigualdad
n n n
X jxij jyij 1X jxijp 1X jyijq
p+ q;
i=1 jjxjjp jjyjjq p i=1 jjxjjp q i=1 jjyjjq
la cual implica que
Xn
1 1 1
jxiyij + = 1;
jjxjjp jjyjjq i=1 p q
de donde se deduce la desigualdad deseada.

La prueba de la segunda a…rmación se deja al lector.

Ejercicio 2.18 Demuestre que la desigualdad de Hölder

p
se cumple con igualdad si y sólo si c1jxji = c2jyijq para
q p
cada i = 1; : : : ; n, donde c1 = jjyjjq y c2 = jjyjjp:
Theorem 2.19 Desigualdad de Minkowski. Sea p 2 [1; 1]:
Entonces

jjx + yjjp jjxjjp + jjyjjp 8x; y 2 Rn:

La igualdad se cumple si y sólo si c1x = c2y para ciertas
constantes c1; c2:

Demostración. La demostración para p = 1 y p = 1 es

directa. Probaremos a continuación la desigualdad para
p 2 (1; 1): Claramente la desigualdad se cumple si x =
0 o y = 0:

Supongamos entonces que ambos vectores son distintos

de cero. A continuación observe que
n
X n
X
jxi + yijp = jxi + yij jxi + yijp 1
i=1 i=1

n
X n
X
jxij jxi + yijp 1 + jyij jxi + yijp 1:
i=1 I=1
Apliquemos la desigualdad de Hölder al primer sumando
del lado derecho de la desigualdad anterior para obtener
0 11
n
X n
X q
jxij jxi + yijp 1 jjxjjp @ jxi + yij(p 1)q A
i=1 i=1

0 11
n
X q
jjxjjp @ jxi + yijpA
i=1

p
q
jjxjjp jjx + yjjp :
De la misma manera se obtiene la desigualdad
n
X p
jyij jxi + yijp 1 q
jjyjjp jjx + yjjp :
I=1
Entonces
n
X
jjx + yjjpp = jxi + yijp
i=1

p p
q q
jjxjjp jjx + yjjp + jjyjjp jjx + yjjp :
p
q
Dividiendo por jjx + yjjp se obtiene el resultado deseado.

La prueba de la segunda a…rmación se deja al lector.

Ejercicio 2.20 Demuestre que la desigualdad de Minkows-

ki se cumple con igualdad si y sólo si c1x = c2y para
ciertas constantes c1; c2:

Corolario 2.21 Las funciones

0 11
n
X p
dp(x; y ) := @ jxi yijpA
k=1

d1(x; y ) := max jxi yij

i=1;:::N
son métricas en Rn:
Observación 2.22 Para tener una idea concreta de la
geometría de…nidas por las p-normas veamos como son
las “esferas” centradas en el origen y radio uno:

B1(0) := fx 2 R2 : jx1j + jx2j 1g

Bp(0) := fx 2 R2 : jx1jp + jx2jp 1g; p 2 [1; 1);

B1(0) := fx 2 R2 : maxfjx1j; jx2jg 1g:

Theorem 2.23 jjxjj1 = l mp!1 jjxjjp para todo x 2
Rn :
Observación 2.24 El diámetro de las esferas unitarias
Bp(0) es
Dp := supfdp(x; y ) : x; y 2 Bp(0)g:
Entonces, el valor de pi en la geometría dp( ; ) es
perímetro de Bp(0)
p=
Dp

perímetro de Bp(0)
= :
2
2.3. Normas en espacios de sucesiones

Denotemos por R1 al espacio de todas las sucesiones

reales x = fxng: Este espacio es un espacio vectorial
con las operaciones usuales de suma y producto por un
escalar. Sean x = fxng; y = fyng sucesiones reales:

(a) x + y := fxn + yng;

(b) x := f xng:

De…nición 2.25 Sea x = fxng 2 RI

(a) Diremos que x 2 l1 si es acotada, en cuyo caso

de…nimos
jjxjj1 := sup jxnj:
n2N

(b) Diremos que x 2 lp si

1
X
jxijp < 1;
i=1
en cuyo caso de…nimos
0 11
1
X p
jjxjjp := @ jxijpA
i=1

Observe que

lp = fx 2 R1 : jjxjjp < 1g:

Ejercicio 2.26 Desigualdad de Hölder. Sean p y q ex-

ponentes conjugados. Demuestre que si x = fxng 2
lp; y = fyng 2 lq entonces la sucesión z = fxnyng 2 l1
y que se cumple la desigualdad

jjzjj1 jjxjjp jjyjjq :

Ejercicio 2.27 Veri…que que lr lp l1 si 1 p<

r < 1:

Ejercicio 2.28 Demuestre que lp es un sub-espacio vec-

torial de R1 y que jj jjp es una norma en lp para cada
p 2 [1; 1]:
Ejercicio 2.29 Demuestre que
1
X
n jxn ynj
d (x; y ) := 2
n=1 1 + jxn ynj
es una métrica en R1: Determine si d ( ; ) es inducida
o no por una norma.

2.4. Normas en espacios de funciones

Denotems por B ([a; b]) a la familia de las funciones aco-

tadas v : [a; b] ! R y por C ([a; b]) a la subfamilia de
las funciones continuas. Tanto B ([a; b]) como C ([a; b])
son espacios vectoriales con respecto a las operaciones
usuales de suma y producto por un escalar. De…na
jjvjj1 := sup jv (x)j; v 2 B ([a; b]);
x2[a;b]

Z b !1
p
jjvjjp := jv (x)jpdx ; v 2 C ([a; b]); p 2 [1; 1):
a
Ejercicio 2.30 Demuestre que jj jj1 es una norma en
B ([a; b]) y que jj jjp; p 2 [1; 1); es una norma en
C ([a; b]):

Ejercicio 2.31 Para cada v 2 B ([a; b]) de…na

jjvjjsp := sup v (x) nf v (x):

x2[a;b] x2[a;b]

(a) Pruebe que jj jjsp no es una norma en B ([a; b]):

(b) Sea z 2 [a; b] un punto …jo arbitrario y denote por

Bz ([a; b]) a las funciones v 2 B ([a; b]) que se anulan en
z , es decir, v (z ) = 0: Pruebe que Bz ([a; b]) es un espacio
vectorial y que jj jjsp es una norma en Bz ([a; b]):

(c) Demuestre que

jjvjjsp jjvjj1 8v 0; v 2 B ([a; b]);

jjvjj1 jjvjjsp 8v 2 Bz ([a; b]):

Ejercicio 2.32 Sea W : R ! [1; 1) una función …ja.
La norma ponderada de v : R ! R con respecto a W se
de…ne como
jv (x)j
jjvjjW := sup :
x2R W (x)
Demuestre que la familia

BW (R) := fv : R ! R : jjvjjW < 1g

es un espacio vectorial y que jj jjW es una norma en
BW (R):
3. Conceptos topológicos básicos

3.1. Sucesiones convergentes

De…nición 3.1 Sea (X; d) un espacio métrico.

(a) Una sucesión en X es una función

x : N ! X:
Denotaremos por xn al valor de la función x en n 2 N;
es decir, xn := x(n); y a la función misma como la
colección ordenada fxng1
n=1 ; o más brevemente como
fxng:

(b) Una subsucesión fxng es una subcolección fxnk g

de fxng donde nk ; k = 1; 2; : : : ; es una colección de
naturales tales que

n1 < n2 < < nk <

De…nición 3.2 Sea fxng una sucesión en el espacio métri-
co (X; d): Diremos que fxng converge x 2 X si para
cada " > 0 existe un número natural N" tal que
d(xn; x) < " 8n N" :

Al elemento x se le llama límite de la sucesión fxng:

Para indicar este hecho, escribiremos xn ! x o bien
x = l mn!1 xn:

Proposición 3.3 El límite de una sucesión convergente

es único.

Demostración. Probaremos que si x ! x y xn ! y ,

entonces x = y: Supongamos que x 6= y y tomemos
1
" = d(x; y ) > 0:
2
Por hipótesis, existen naturales N"; M" tales que
d(xn; x) < " 8n N" ;

d(xn; y ) < " 8n M" :

Entonces, para n max(N"; M") se cumplen las de-
sigualdades

d(x; y ) d(x; xn) + d(xn; y )

< " + " = d(x; y );

lo cual es falso. Por lo tanto, x = y:

Proposición 3.4 Toda subsucesión de una sucesión con-

vergente también es convergente y converge al límite de
la sucesión.

Demostración. Sea fxng una sucesión convergente en

el espacio métrico (X; d) y denote por x a su límite. Sea
fxnk g una subsucesión de fxng.

Probaremos que la sucesión fyk g de…nida como yk :=

xnk ; k 2 N; también converge a x: Puesto que xn ! x,
para cada " > 0 existe N" 2 N tal que

d(xn; x) < " 8n N" :

Entonces,

d(yk ; x) = d(xnk ; x) < " 8nk N" :

Puesto que nk > k para todo k = 1; 2; : : : ; entonces

d(yk ; x) < " 8k N" ;

lo cual prueba que yk ! x:

Ejercicio 3.5 Sea fxng una sucesión en un espacio métri-

co (X; d) y x 2 X . Obseve que an := d(xn; x); n 2 N;
es una sucesión en R:Pruebe que xn ! x 2 X si y sólo
si an ! 0 con la métrica usual (valor absoluto).

Ejercicio 3.6 Describa a las sucesiones convergentes en

(X; d); donde d es la métrica discreta, en los siguientes
casos:

(a) X = N; (b) X = R; (c) X = Q:

3.2. Conjuntos abiertos

De…nición 3.7 Sea (X; d) un espacio métrico. Para ca-

da x 2 X y r > 0 de…na los conjuntos
Bd(x; r) := fy 2 X : d(x; y ) < rg;

Bd[x; r] := fy 2 X : d(x; y ) rg:

A B (x; r) le llamaremos bola abierta con centro en x
y radio r; mientras que a B [x; r] le llamaremos bola
cerrada con centro en x y radio r:

Para simpli…car la notación, si no hay riesgo de confusion,

escribiremos B (x; r) y B [x; r] en lugar de Bd(x; r) y
Bd[x; r]; respectivamente.

Ejemplo 3.8 Considere al conjunto de los números reales

con la métrica usual. Entonces:
B (x; r) = (x r; x + r);

B [x; r] = [x r; x + r]:
Ejemplo 3.9 Sea X un conjunto no-vacío y d la métrica
discreta. Entonces:
B (x; r) = B [x; r] = fxg si r < 1;

B (x; r) = B [x; r] = X si r 1:

Ejemplo 3.10 Considere el conjunto X = f 23 ; 1; 0; 1; 32 g

con la métrica d(x; y ) = jx yj; x; y 2 X: Observe que
B (0; 2) = X;

B ( 32 ; 3) = X f 23 g:

Ejercicio 3.11 Sea (X; d) un espacio métrico.

(a) Pruebe que B (x; r) B (x; s) para todo x 2 X; s >

r > 0: Muestre que se puede dar la igualdad.

(b) Pruebe que si (X; jj jj) es un espacio normado y d

es la métric inducida por la norma, entonces
B (x; r) ( B (x; s) 8x 2 X; s > r:
(c) También pruebe que
B (x; r) = x + rB (0; 1) 8x 2 X; r > 0:

Nota: si A y B son subconjuntos de un espacio normado

la suma de A y B se de…ne como
A + B := fa + b : a 2 A; b 2 Bg:
Si A = fxg usualmente se escribe x + B en lugar de
fxg + B:

Ejercicio 3.12 Propiedad de Hausdor¤. Para cada par

de puntos x; y 2 X distintos existe r > 0 tal que
B (x; r) \ B (y; r) = ;:
¿Ésta a…rmación es cierta si consideramos bolas cerradas
en lugar de bolas abiertas?

Ejercicio 3.13 Sea fxng una sucesión en un espacio

métrico (X; d): Pruebe que xn ! x 2 X si y sólo si
para cada r > 0 existe Nr
xn 2 B (x; r) 8n Nr :
Demuestre la unicidad del límite de una sucesión usando
la propiedad de Hausdor¤.

De…nición 3.14 Sea (X; d) un espacio métrico y A

X:

(a) Diremos que un elemento x 2 X es un punto inte-

rior de A si existe r > 0 tal que B (x; r) A:

Denotaremos por A al conjunto de los puntos interiores

de A:

(b) Diremos que A es un conjunto abierto si todos sus

elementos son puntos interiores, es decir, si A = A :

(c) Diremos que x es un punto exterior a A si es un

punto interior de Ac. Denotaremos al conjunto de puntos
exteriores de A como Aex:

Ejercicio 3.15 Describa, con español llano, los conjuntos

abiertos de (X; d) si d es la métrica discreta.
Proposición 3.16 Las bolas abiertas y los complementos
de las bolas cerradas de un espacio métrico son conjuntos
abiertos.

Demostración. Sea (X; d) un espació métrico. Probare-

mos que los conjuntos

Bd(x; r) = fy 2 X : d(x; y ) < rg;

(Bd[x; r])c = fy 2 X : d(x; y ) > rg:

son abiertos para cada x 2 X y r > 0:

Sea z0 un punto cualquiera de B (x; r): Tomemos

r0 := r d(x; z0):
Entonces para cada y 2 B (z; r0) se cumple que

d(x; y ) d(x; z0) + d(z0; y )

< d(x; z ) + r d(x; z0) = r;

lo cual prueba que y 2 B (x; r): Entonces,

B (z; r0) B (x; r):

Esto prueba que z0 es un punto interior de B (x; r):
Puesto que z0 es arbitrario, concluimos que B (x; r) es
un conjunto abierto.

Ahora probaremos que (Bd[x; r])c es un conjunto abier-

to. Tomemos z 2 (Bd[x; r])c y observemos que

d(x; z0) = r + h; h > 0:

Tomemos r0 < h y y 2 B (z0; r0). Entonces

r + h = d(x; z0)

d(x; y ) + d(y; z0)

< d(x; y ) + r0:

De esta desigualdad se sigue

d(x; y ) > r + h r0 > r;

lo cual prueba que y 2 (Bd[x; r])c : Entonces,

B (z0; r0) (Bd[x; r])c ;

lo cual prueba que z0 es un punto interior de (Bd[x; r])c :
Por lo tanto, (Bd[x; r])c es un conjunto abierto.

Theorem 3.17 Sea (X; d) un espacio métrico. Denote-

mos por a la familia de los subconjuntos abiertos de
X:

(a) ; y X 2 .

Sea fOi : i 2 Ig una colección de elementos de :

Entonces:

(b) [i2I Oi 2 ;

(c) \i2I Oi 2 si I es un conjunto …nito.

Ejemplo 3.18 Considere el conjunto de los números reales
R con la métrica usual.

(a) Q y I no son conjuntos abiertos.

(b) Las intersecciones in…nitas de abiertos no necesaria-

mente es un abierto. Por ejemplo, considere los abiertos
1 1
On := ( ; 1 + ); n 2 N;
n n
y observe que
T1
n=1 On = [0; 1];
el cual no es un conjunto abierto.

De…nición 3.19 Sea (X; d) un espacio métrico. Dire-

mos que V X es una vecindad abierta de x 2 X si
x 2 V y V es un conjunto abierto.

Ejemplo 3.20 Sea (X; d) un espacio métrico. La bola

abierta B (x; r) es una vecindad abierta de cualquier pun-
to y 2 B (x; r)
Ejercicio 3.21 Sea (X; d) un espacio métrico.

(a) Pruebe que xn ! x 2 X si y sólo si para cada

vecindad abierta V de x existe un natural NV tal que

xn 2 V 8n NV :

(b) Propiedad de Hausdor¤: para cada par de puntos

x; y 2 X distintos existe una vecindad U de x y una
vecindad V de y tales que

U \ V = ;:

(c) Demuestre la unicidad de límite de una sucesión con-

vergente usando la propiedad de Hausdor¤ dada en (b).

3.3. Conjuntos cerrados

De…nición 3.22 Sea (X; d) un espacio métrico.

(a) Una sucesión fxng en X es una sucesión eventual-
mente constante si existe x[ 2 X y N 2 N tal que
xn = x
xn = x 8n N:

(b) Un elemento x 2 X es un punto límite* de A X

si existe una sucesión de puntos de A que converge a x:

(c) Un elemento x 2 X es un punto de acumulación

de A si existe una sucesión de puntos de A que converge
a x pero no es eventualmente constante.

Ejemplo 3.23 (a) Consideremos a R con la métrica usu-

al y el subconjunto A = (0; 1] [ f2g: El conjunto de los
puntos límite de A es

B = [0; 1] [ f2g
y el de los puntos de acumulación es

C = [0; 1]:
Algunos autores le llaman punto adherente.
(b) Observe que el conjunto de puntos de acumulación
de Q es R.

(c) Ahora consideremos a R pero con la métrica discreta.

En este caso, todo racional es un punto límite de Q; sin
embargo, Q no tiene puntos de acumulación.

Observación 3.24 En todo espacio métrico los elemen-

tos de un conjunto son puntos límite del mismo. Los pun-
tos interiores son puntos de acumulación.

De…nición 3.25 Diremos que x 2 A es un punto ais-

lado de A si no es punto de acumulación de A:

Ejercicio 3.26 Sea (X; d) un espacio métrico y A X:

Demuestre las siguientes a…rmaciones:

(a) x 2 X es un punto límite de A si y sólo si

B (x; r) \ A 6= ; 8r > 0:
(b) x 2 X es un punto de acumulación de A si y sólo si

[B (x; r) fxg] \ A 6= ; 8r > 0:

(c) todo punto de acumulación de A es un punto límite.

Ejercicio 3.27 ¿Todo punto interior es punto de acumu-

lación?

De…nición 3.28 Sea (X; d) un espacio métrico. Dire-

mos que un subconjunto A de X es cerrado si contiene
todos sus puntos límite.

Theorem 3.29 Un subconjunto de un espacio métrico

es cerrado si y sólo si su complemento es abierto.

Demostración. Primero mostraremos que si A es cer-

rado, entonces Ac es abierto. Supongamos que Ac no
es abierto, es decir, que existe z 2 Ac que no es punto
interior. Entonces,

B (z; r) \ A 6= ; 8r > 0:
Esto último signi…ca que z es un punto de acumulación
de A; lo cual a su vez implica que z 2 A (puesto que
A es cerrado). El supuesto de que Ac no es abierto nos
lleva a la existencia de un punto z que pertenece tanto a
A como a Ac: Por lo tanto, Ac es abierto.

Demostraremos ahora que si Ac es abierto, entonces A es

cerrado (contiene todos sus puntos límite). Supongamos
que A no es cerrado, es decir, que existe x 2 Ac y una
sucesión fxng de elementos de A tales que xn ! x: De
esto último y dado que Ac es abierto, existe r > 0 y un
natural Nr tal

xn 2 B (x; r) Ac 8n Nr ;
lo cual contradice que la sucesión fxng está formada con
elementos de A: Por lo tanto, A es un conjunto cerrado.
De…nición 3.30 Sea (X; d) un espacio métrico y A un
subconjunto de X:

(a) Al conjunto formado por los puntos límite de A le

llamaremos la cerradura de A y la denotaremos como
cl(A):

(b) Al conjunto de los puntos de acumulación de A le

llamaremos conjunto derivado de A y lo denotaremos
por A0:

Observación 3.31 Observe que cl(A) = A [ A0:

Theorem 3.32 Sea A un subconjunto de un espacio met-

rico (X; d):

(a) cl(A) es un conjunto cerrado.

(b) A es cerrado si y sólo si A = cl(A):

Demostración. (a) Supongamos que cl(A) no es cer-
rado. Entonces su complemento no es abierto; es decir,
existe z 2
= cl(A) tal que

B (z; r) \ cl(A) 6= ; 8r > 0:

Entonces, existe una sucesión fxng de elementos de cl(A)
que convergen a z 2 = cl(A): Consideremos los siguientes
casos:

(i) xn 2 A para todo índice n 2 N exceptuando posible-

mente una cantidad …nita de ellos. Esto no puede ocurrir
pues de lo contrario z 2 cl(A):

(ii) existe una colección in…nita de índices

n1 < n2 < < nk <

tal que xnk 2 A0 para todo k 2 N: A continuación
probaremos que en este caso también lleva a que z 2
cl(A):
 k g de elementos
Para cada k 2 N existe una sucesion fyn
de A tal que
k !x
ym cuando m ! 1:
nk

Entonces para cada k existe mk 2 N tal que

d(ymk ;x ) < 1 :
k nk
nk
De la desigualdad del tríangulo tenemos que
k ; z)
d(ym k ; x ) + d(x ; z )
d(ym
k k nk nk

1
< + d(xnk ; z ) ! 0
nk
cuando k ! 1; lo cual signi…ca que z 2 cl(A):

Por lo tanto, cl(A) es un conjunto cerrado.

De…nición 3.33 Sea (X; d) un espacio métrico y A

X . Diremos que x 2 X es un punto de frontera de A
si es un punto de acumulación de A y de Ac; es decir,

[B (x; r) fxg] \A 6= ; y [B (x; r) fxg] 6= ; 8r > 0:

Denotaremos por @A al conjunto de puntos de frontera
de A:

Ejercicio 3.34 Pruebe las siguientes a…rmaciones:

(a) cl(A) = A [ @A;

(b) A es cerrado si y sólo si @A A:

(c) X = Aex [ A0 [ fpunt. aisladosg [ @A:

Corolario 3.35 Sea (X; d) un espacio métrico. Denote

por b a la familia de los subconjuntos cerrados de X:
Demuestre que:

(a) X; ; 2 b;

(b) la intersección de cualquier colección de conjuntos

cerrados pertenece a b;

(c) la unión de cualquier colección …nita de conjuntos

cerrados pertenece a b:
3.4. Métricas equivalentes

De…nición 3.36 Dos métricas de…nidas en un mismo con-

junto son equivalentes si toda sucesión convergente con
una métrica es convergente con la otra y tienen el mismo
límite.

Theorem 3.37 Dos métricas son equivalentes si y sólo

si de…nen la misma topología.

Observación 3.38 El teorema anterior muestra que la

convergencia es una propiedad que depende de la topología,
no de la métrica misma. Para indicar este hecho se dice
que la convergencia es una propiedad topológica.

Ejercicio 3.39 Pruebe que las métricas inducidas por las

normas p-ésimas en Rn; p 2 [1; 1]; son equivalentes.
¿Esta a…rmación se cumple para espacios de sucesiones
o funciones?
Ejemplo 3.40 Sea (X; d) un espacio métrico. La métri-
cas d = d=(1 + d) y d = m nfd; 1g son equivalentes
a d:

Ejercicio 3.41 Sea (X; d) un espacio métrico y d' la

métrica de…nida en el Ejemplo 1.3.

d' d
(a) Pruebe que si xn ! x, entonces xn ! x;

(b) Diga si la a…rmación recíproca es cierta. En el ca-

so a…rmativo dé una prueba; en el caso negativo dé un
contra-ejemplo y condiciones adicionales sobre ' para que
dicha a…rmación sea verdadera.

De…nición 3.42 Sean jj jj y jj jj normas en un espacio

vectorial X . Diremos que las normas son equivalentes si
las métricas d(x; y ) := jjx yjj y d (x; y ) := jjx
yjj ; x; y 2 X; son equivalentes.
Theorem 3.43 Dos normas jj jj y jj jj son equivalentes
si y sólo si existen constantes positivas c1; c2 tales que

c1jj jj jj jj c2jj jj:

Ejemplo 3.44 Sea (X; d) un espacio métrico, Y un con-

junto no-vacío y ' : X ! Y una función biyectiva.
Demuestre que

dY (y1; y2) := d( (y1); (y2)); y1; y2 2 Y:

es una métrica en Y:
Observación 3.45 Los reales extendidos R := R [
f 1g: Considere la biyección ' : R ! ( 1; 1) dada
como
x
'(x) := ; x 2 R:
1 + jxj
Su función inversa es
x
(x) = ; x 2 ( 1; 1):
1 jxj
De…na ' : R ! [ 1; 1] como
'(x) := '(x); x 2 R;

'(+1) := 1; '( 1) := 1:
Claramente ' es una biyección. Denotemos por su in-
versa. Entonces,
d(x; y ) := d( (x); (y )) 8x; y 2 R = [ 1; +1];
es una métrica en R; donde d es la métrica usual en
[ 1; 1]:

La métrica d restringida a R es equivalente a la métrica

usual.
3.5. Métricas en espacios producto

Observación 3.46 Espacios productos. Sean (X; d); (Y; d)

espacios métricos. El producto cartesiano

X Y := f(x; y ) : x 2 X; y 2 Y g
se puede metrizar de muchas maneras manteniendo la
consistencia con los espacios métricos originales.

d1((x1; y1); (x2; y2)) := maxfdX (x1; x2); dY (y1; y2)g:

Para p 2 [1; 1);
q
p
dp((x1; y1); (x2; y2)) := [dX (x1; x2)]p + [dY (y1; y2)]p:

Ejemplo 3.47 En espacios de funciones: bolas abiertas,

sucesiones convergentes, conjuntos cerrados
3.6. Espacios topológicos

De…nición 3.48 Sea X un conjunto no-vacío y una

familia de subconjuntos de X: Diremos que es una
topología en X si satisface las condiciones:

(a) ; y X 2 ;

(b) la unión arbitraria de elementos de pertenece a ;

(c) la intersección de colecciones …nitas de elementos de

pertenece a :

A los elementos de se les llama conjuntos abiertos de

X y a la pareja (X; ) se le llama espacio topológico.

Observación 3.49 Sea X un conjunto arbitrario. Las

siguientes familias de subconjuntos de X son topologías:

(a) = f;; Xg;

(b) = P (X ) := fA : A Xg:
De…nición 3.50 Diremos que una sucesión fxng en un
espacio topológico (X; ) converge a x 2 X si para cada
O 2 que contiene x existe NO 2 N tal que

xn 2 O 8n NO :

Ejercicio 3.51 Sea (X; ) un espacio topológico.

(a) Identi…que a las suceciones convergentes en los sigu-

ientes casos: (i) 1 = f;; Xg; (ii) 2 = P (X ):

(c) Diga si los límites de las sucesiones convergentes con

las topologías 1 y 2 son únicos o no.
4. Los números reales

El conjunto de los números reales R está dotado de dos

operaciones binarias: suma o adición “+”, y producto o
multiplicación “ ”. Estas operaciones satisfacen un con-
junto de propiedades que hacen que R sea un campo.

Axiomas de la adición:

(a1) cerradura: x + y 2 R para todo x; y 2 R;

(a2) conmutatividad: x + y = y + x para todo x; y 2 R;

(a3) asociatividad: x + (y + z ) = (x + y ) + z para todo

x; y; z 2 R;

(a4) existencia del neutro aditivo: existe un elemento

0 2 R tal que x + 0 = x para todo x2 R;
(a5) existencia de inversos aditivos: para cada x 2 R
b 2 R tal que x + x
existe x b = 0: Usualmente a x b se le
denota como x:

Axiomas del producto:

(p1) cerradura: x y 2 R para todo x; y 2 R;

(p2) conmutatividad: x y = y x para todo x; y 2 R;

(p3) asociatividad: x (y z ) = (x y ) z para todo

x; y; z 2 R;

(p4) existencia del neutro multiplicativo: existe un el-

emento 1 2 R tal que x 1 = x para todo x2 R;

(p5) non-triviality: 1 6= 0;

(p6) existencia de inversos multiplicativos: para cada

x 2 R; x 6= 0 existe x
e 2 R tal que x x
b = 1: Usualmente
axe se le denota como x 1 o 1=x:
Axioma de la adición con respecto a la producto:

(ap) distributividad: (x + y ) z = x z + y z para todo

x; y; z 2 R:

Además el sistema (R; +; ) es un campo ordenado, es

decir, existe una relación de orden que permite comparar
a cada par de números reales.

Axiomas de orden. Existe un subconjunto R+ de R con

las siguientes propieades:

(o1) cerradura: x + y 2 R+ y x y 2 R+ para todo

x; y 2 R+;

(o2) tricotomía: Para cada x 2 R se cumple una y sólo

una de las siguientes a…rmaciones:

(i) x 2 R+; (ii) x = 0; (iii) x 2 R+ :

Si x 2 R+ diremos que x es un número real positivo
y nos referiremos a R+ como el conjunto de los reales
positivos. Al conjunto

R := fx 2 R : x 2 R+ g
le llamaremos el conjunto de los números reales neg-
ativos. De la propiedad de tricotomía se sigue que los
conjuntos R+; R ; f0g son ajenos por pares y tambien
que
R = R+ [ R [ f0g:

El conjunto R+ permite comparar los números reales por

medio de la siguiente relación de orden. Diremos que el
número real x es mayor que el número real y si se cumple
que
x y 2 R+ :
Si x es mayor que y escribiremos x > y o y < x: Esto
último se lee “y es menor que x”.
Proposición 4.1 (a) el neutro aditivo y los inversos adi-
tivos son únicos;

(b) el neutro multiplicativo y los inversos multiplicativos

son únicos;

(c) x 2 R+ si y sólo si x > 0:

(d) x 2 R si y sólo si x < 0

(e) para cada par de números reales una y sólo una de

las siguientes a…rmaciones se cumple:

(i) x > y ; (ii) x = y ; (iii) x < y :

(f) x; y 2 R ) x y 2 R+;

(g) x 2 R+; y 2 R ) xy 2 R ;

(h) 1 > 0:
Axioma del supremo

Diremos que un subconjunto A R es acotado supe-

riormente si existe M 2 R tal que

a M 8a 2 A:
Diremos que un conjunto A acotado superiormente sat-
isface la propiedad del supremo si existe 2 R tal
que

(i) es cota superior de A;

(ii) si es una cota superior, entonces :

A se le llama el supremo de A y lo denotaremos como

:= sup A:

(s1) Todo subconjunto de R acotado superiormente tiene

la propiedad del supremo.
Theorem 4.2 Sean A; B subconjuntos no vacíos de R
que satisfacen la siguiente propiedad:

a 2 A; b 2 B ) a b:
Entonces:

(a) sup A nf B ;

(b) sup A = nf B si y sólo si para cada " > 0 existen

a 2 A; b 2 B tales ja bj < ":

De…nición 4.3 Un subconjunto A R es inductivo si

cumplen las siguientes propiedades:

(a) 1 2 A;

(b) si x 2 A, entonces x + 1 2 A:

De…nición 4.4 (Números naturales) Sea N la intersec-

ción de todos los conjuntos inductivos.
Lema 4.5 (a) N es inductivo;

(b) si A R es inductivo, entonces N A;

(c) si n 2 N; entonces n 1:

Theorem 4.6 Inducción matemática. De…na la función

s : N ! N como
s(n) := n + 1:

(a) No existe n 2 N tal que s(n) = 1;

(b) la función s es injectiva;

(c) Sea G N tal que

(i) 1 2 G;

(ii) si g 2 G; entonces s(g ) 2 G:

Entonces,
G = N:
De…nición 4.7 (a) Z := N [ f0g [ f n : n 2 Ng

(b) Q := fx 2 R : x = ab ; a; b 2 Z; b 6= 0g;

(c) I := R Q:

Observación 4.8 (a) Q satisface los axiomas de campo

y de orden pero no el axioma del supremo: el conjunto

fx 2 Q : x > 0; x x < 2g
no tiene tiene supremo en Q:

(b) Q y I son densos en R : para reales cualesquiera

a < b existen q 2 Q; r 2 I tal que

a < q; r < b:

Theorem 4.9 Propiedad arquimediana. Sean a; b 2 R+:

Existe n 2 N tal que

na > b:
Demostración. Si a > b la a…rmación claramente se
cumple. Supongamos que a b y que la a…rmación es
falsa. El conjunto
A := fna : n 2 Ng
es no-vacío y está acotado superiormente por b. Sea
su supremo de A (la mínima cota superior). Para cada
m 2 N; (m + 1) 2 N; entonces
(m + 1)a ;

ma a;
lo cual implica que a es una cota superior. Esto
contradice la de…nición de :

Theorem 4.10 La sucesión fang; an := 1=n; n 2 N;

converge a cero.

Theorem 4.11 Sea fang una sucesión en R tal que

an an+1 para todo n 2 N: Si fang está acotada
superiormente existe 2 R tal que
an ! :
Demostración. Tomemos := supfan : n 2 Ng: En-
tonces, para cada " > 0 existe N" 2 N tal que

" < aN" aN" +1 < + ";

lo cual se re-escribe equivalentemente como

jan j < " 8n N" :

Por lo tanto an ! :

Corolario 4.12 Sea fang una sucesión en R tal que

an an+1 para todo n 2 N: Si fang está acotada
inferiormente existe 2 R tal que

an ! :

Lema 4.13 Toda sucesión en R tiene una subsucesión

monótona[11].

Demostración. Sea fang una sucesión cualquiera en R:

De…na
Ak := fak ; ak+1; : : :g:
 Para cada k 2 N el conjunto Ak tiene un máximo.
Denotemos por ank a uno de esos máximos. Puesto que
Ak+1 Ak ; tenemos que

ank+1 = max Ak+1 max Ak = ank :

Por lo tanto la sucesión fank g es monótona.

Existe k1 tal que Ak1 no tiene máximo. Entonces Ak

no tiene máximo para todo k k1: Por lo tanto, existe
una subsucesión monótona creciente de elementos de Ak :

Theorem 4.14 Bolzano-Weierstrass. Toda sucesión en

R acotada tiene una subsucesión convergente.

Theorem 4.15 Caracterización de las sucesiones conver-

gentes por medio del limites superior e inferior.
Theorem 4.16 Sean (F1; +; ; <) y (F2; ; ; ) cam-
pos ordenados que satisfacen la propiedad del supremo.
Existe una función biyectiva

f : F1 ! F2
tal que:

(a) f (x + y ) = f (x) f (y );

(b) f (x y ) = f (x) f (y );

(c) x < y ) f (x) f (y ):

Observación 4.17 Una axiomática alternativa es el sis-

tema de Tarski formado por 9 axiomas.
5. Completez, densidad y separa-
bilidad

De…nición 5.1 Sea (X; d) un espacio métrico.

(a) Diremos que un subconjunto A X es acotado si

existe x0 2 X y r0 > 0 tal que
A B (x0; r0):

(b) Para cada A X , se de…ne el diámetro como

diam(A) := supfd(x; y ) : x; y 2 Ag:

Ejemplo 5.2 Pruebe que diam(A) < 1 si y sólo si A

es acotado

De…nición 5.3 Diremos que una sucesión fxng en un

espacio métrico (X; d) es una sucesión de Cauchy si
para cada " > 0 existe N" tal que
d(xn; xm) < " 8n; m N" :
Proposición 5.4 (a) Toda sucesión convergente en un
espacio métrico es de Cauchy.

(b) Toda sucesión de Cauchy es acotada; por lo tanto,

las sucesiones convergentes son acotadas.

(c) Si una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión con-

vergente, entonces es convergente.

Demostración. (a) Suponga que xn ! x: Para cada

" > 0 existe N" tal que

d(x; xn) < "=2 8n N" :

Entonces,

d(xn; xm) d(xn; x) + d(x; xm)

< "=2 + "=2

para todo n; m N": Por lo tanto, la sucesión es de
Cauchy.
(b) Sea fxng una sucesión de Cauchy. Entonces existe
N tal que
xn 2 B (xN ; 1) 8n N:
Ahora tomemos
n
X
r =1+ d(xN ; xi):
i=1
Claramente,
xn 2 B (xN ; r) 8n 2 N:

(c) Sea fxng una sucesión de Cauchy y fxnk g una sub-

sucesión que converge a x 2 X: Para cada " > 0 existen
N" y M" tales que
d(xn; xnk ) < "=2 8n; k N" ;

d(x; xnk ) < "=2 8k M" :

Entonces,
d(x; xn) d(x; xnk ) + d(xnk ; xn)

< " 8n max(N"; M"):

Por lo tanto, xn ! x:

De…nición 5.5 Sea (X; d) un espacio métrico y A X:

La función

dA(x; y ) := d(x; y ); x; y 2 A;
es una métrica en A. Le llamaremos la métrica inducida
(heredada) en A y denotaremos por A a la topología
que ella induce. Diremos que (A; dA) es un subespa-
cio métrico de (X; d): Por brevedad, nos referiremos al
subconjunto A como subespacio métrico de (X; d). Las
bolas abiertas y cerradas con respecto a la métrica dA las
denotaremos como BA(x; r) y BA[x; r]; x 2 A; r > 0:

Observación 5.6 Sea A un subconjunto de un espacio

métrico (X; d):

(a) Para cada x 2 A y r > 0; se cumple que

BA(x; d) = B (x; r) \ A
(b) Entonces

A = fA \ W : W 2 g
donde es la topología inducida por la métrica d;

(c) además
A2 () A :

Observación 5.7 Tomemos X = R con la métrica usual

y A := (0; 1]:

(a) Observe que la sucesión xn := 1=n; n 2 N; es una

sucesión de Cauchy tanto en (R; d) como en (A; dA):
Note que dicha sucesión sí converge en (R; d) pero no
converge en (A; dA):

(b) Por otra parte, note que A = (0; 1] es cerrado y

abierto con respecto a dA:

De…nición 5.8 Diremos que un espacio métrico es com-

pleto si toda sucesión de Cauchy es convergente.
Ejemplo 5.9 (a) El conjunto de los números reales con
la métrica usual es completo. Sea fxng una sucesión de
Cauchy; por la Proposición 5.4(b),dicha sucesión es aco-
tada. Luego, por el Teorema 4.14 (Teorema de Bolzano-
Weierstrass), fxng tiene una subsucesión convergente.
Finalmente, por la Proposición 5.4(c) concluimos que la
sucesión fxng es convergente.

(b) El espacio métrico (Rm; dp); p 2 [1; 1]; es com-

pleto. Puesto que las métricas dp son equivalentes, es
su…ciente demostrar que Rm es completo con respecto a
d1 :

Proposición 5.10 Sea (X; d) un espacio métrico com-

pleto y A un subespacio de X:

(a) Si (X; d) es completo y A es cerrado en X; entonces

(A; dA) es completo;

(b) si (A; dA) es completo, entonces A cerrado en (X; d):

Ejemplo 5.11 El espacio de las funciones acotadas sobre
un espacio métrico (X; d1) es completo. El subconjunto
de las funciones continuas es completo puesto que es un
subconjunto cerrado. Convergencia puntual vs convergen-
cia uniforme, convergencia puntual vs convergencia d1:

Ejemplo 5.12 El espacio de las funciones acotadas/ con-

tinuas v : (X; d) ! (Y; d ) es completo si (Y; d ) es
completo.

Ejemplo 5.13 El espacio de las funciones continuas C ([0; 1])

con la métrica
Z 1
d1(f; g ) = jf (x) g (x)jdx
0
no es completo. Para mostrar esta a…rmación considere
la sucesión
8
>
>
> 0 si x 2 [0; 21 1]
n
>
<
fn(x) := nx + 1 n si x 2 ( 12 1; 1 + 1)
>
> 2 2 4 n 2 n
>
>
: 1 si x 2 [ 12 + n1 ; 1]
Con cálculos directos se obtiene
Z 1
d1 ( fn ; f m ) = jfn(x) fm(x)jdx
0

1
= ( n1 m 1 ) 8n; m 2 N:
2
Entonces, para cada " > 0 se cumple que

d1(fn; fm) < " 8n; m > "=2;

lo cual prueba que ffng es una sucesión de Cauchy en
(C ([0; 1]); d1):

Probaremos a continuación que no existe f 2 C ([0; 1])

tal que
Z 1
d1(fn; f ) = jfn(x) f (x)jdx ! 0:
0

Supongamos que tal función sí existe.

Tome " 2 (0; 1=2) arbitrario y note que
Z 1 " Z 1 1 "
2 2 n
jf (x)jdx = l m jf (x)jdx
0 n!1 0

Z 1
2
lm jfn(x) f (x)jdx
n!1 0

Z 1
lm jfn(x) f (x)jdx = 0:
n!1 0
Entonces f (x) = 0 8x 2 [0; 21 "]; lo cual implica que
f (x) = 0 8x 2 [0; 12 ): (7)
Ahora observe que
Z 1 Z 1
1 +"
j1 f (x)j = l m j1 f (x)jdx
n!1 1 + 1 +"
2 2 n

Z 1
lm jfn(x) f (x)jdx ! 0:
n!1 0
Entonces f (x) = 1 para todo x 2 [ 21 + "; 1]: Entonces,
puesto que " es arbitrario,
f (x) = 1 8x 2 ( 12 ; 1]: (8)
De (7) y (8) se sigue que f no es continua. Por lo tanto,
ffng es un sucesión de Cauchy en (C ([0; 1]); d1) pero no
tiene límite en dicho espacio.

De…nición 5.14 Diremos que una sucesión fFng de sub-

conjuntos de un espacio métrico (X; d) es un encaje de
Cantor si para cada n 2 N :

(a) Fn es un subconjunto cerrado;

(b) Fn+1 Fn ;

(c) diam(Fn) ! 0:

Theorem 5.15 Teorema de encaje de Cantor. Si fFng

es un encaje de Cantor en un espacio métrico completo
(X; d), entonces \1
n=1 Fn contiene un solo elemento.
Demostración. Supongamos sin pérdida de generalidad
que Fn+1 Fn para cada n 2 N: Para cada n 2 N
elijamos
xn 2 Fn:
Observe que para cada k 2 N;

xn 2 Fk 8k n:
Sea " > 0 y N" tales que

dim(FN" ) < ":

Si tomamos n; m N"; entonces

d(xn; xm) diam(FN" ) < ":

Esto prueba que fxng es una sucesión de Cauchy. Como
el espacio (X; d) es completo, existe x 2 X tal que

xn ! x :
Puesto que cada conjunto Fn; n 2 N; es cerrado, ten-
emos que x 2 \1 n=1 Fn :
No existe otro elemento x en \1 n=1 Fn distinto de x ;
pues de lo contrario tendríamos

0 < d(x ; x ) diam(Fn) ! 0;

lo cual obviamente es una contradicción.

Observación 5.16 La conclusión del Teorema 5.15 puede

no cumplirse si la hipótesis de completez del espacio
(X; d) o la condición diam(Fn) ! 0 no se satisface.

(a) Considere el espacio X = (0; 1] con la métrica usual.

Claramente este espacio no es completo. La sucesión de
conjuntos cerrados

Fn = (0; n1 ]; n 2 N;
es decreciente y sus diámetros convergen a cero pero su
intersección es vacía.

(b) Ahora tomemos X = [1; 1) con la métrica usual y

la sucesión de cerrados

Fn0 = [n; 1); n 2 N;

es decreciente y tiene intersección vacía.

(c) La situación es similar si en lugar de la métrica usual

se considera la métrica equivalente dada por
jx yj
d (x; y ) := ; x; y 2 X = [1; 1):
1 + jx yj
Note que el díametro de Fn0 con respecto a esta métrica
es 1 para todo n 2 N:

Proposición 5.17 Sea (X; d) un espacio métrico. En-

tonces
diam(A) = diam(cl(A))
para todo subconjunto A:

Demostración. La contención A cl(A) implica que

diam(A) diam(cl(A)):
A contiuación probaremos la desigualdad contraria. Ob-
serve que para cada par de elementos x; y 2 cl(A) y cada
" > 0 existen puntos a; b 2 A tales que

d(x; a) < "=2 y d(y; b) < "=2:

Esta implica que

d(x; y ) < " + d(a; b):

Entonces,

diam(cl(A)) " + diam(A):

Puesto que " > 0 es arbitrario, vemos que

diam(cl(A)) diam(A):
Por lo tanto, diam(A) = diam(cl(A)):

Theorem 5.18 Si todo encaje de Cantor en un espa-

cio métrico (X; d) tiene intersección no-vacía, entonces
(X; d) es completo.
Demostración. Sea fxng una sucesión de Cauchy. Con-
sidere los conjuntos

Fn := clfxn; xn+1; : : :g n 2 N:
Claramente esta es una sucesión decreciente de conjuntos
cerrados. Probaremos a continuación que sus diámetros
convergen a cero. Para cada " > 0 existe N" tal que

d(xn; xm) < "=2 8n; m N" ;

lo cual implica que

diam(Fn) < " 8n N" :

Tenemos entonces que fFng es un encaje de Cantor. Por

hipótesis, existe x 2 \Fn: Finalmente note que

d(x; xn) diam(Fn) ! 0;

lo cual prueba que la sucesión de Cauchy fxng es con-
vergente.

Observe que \Fn tiene un solo elemento.

De…nición 5.19 Sea (X; d) un espacio métrico.

(a) Diremos que un subconjunto D de (X; d) es denso

en X si

D \ B (x; r) 6= ; 8x 2 X; r > 0:

(b) Diremos que el espacio métrico (X; d) es separable

si tiene un subconjunto D denso numerable.

Observación 5.20 Las siguientes a…rmaciones son equiv-

alentes:

(a) D es denso en X ;

(b) para cada x 2 X existe fdng D tal que dn ! x

(c) cl(D) = X ;

(d) @D = X ;

(e) todo abierto contiene elementos de D:

Ejemplo 5.21 (a) Q es denso en R con la métrica usual;
por lo tanto, R es separable;

(b) La densidad de Q implica la densidad de I := R Q;

p
(c) El conjunto de los reales fq 2 : q 2 Qg también es
denso en R;

(d) Qn es denso en Rn:

Theorem 5.22 Si (X; d) un espacio métrico separable,

entonces todo subespacio Y de X también es separable.

Demostración. Sea Y un subconjunto arbitrario de X y

D = fx1; x2; : : :g un subconjunto denso en X y numer-
able. De…na
1
A := f(n; m) : 9y 2 Y; d(xn; y ) < g:
m
Para cada (n; m) 2 A elijamos yn;m 2 Y de manera
que
1
d(xn; yn;m) < :
m
Tomemos

CY := fyn;m : (n; m) 2 Ag:

Fijemos y 2 Y; " > 0 y elijamos m 2 N tal que 1=m
"=2: Puesto que D es denso en X; existe xn 2 D tal
que
1:
d(y; xn) < m
Entonces, (n; m) 2 A: Entonces,
2
d(y; yn;m) d(y; xn) + d(xn; yn;m) < < ":
m
Por lo tanto, cl(CY ) = Y:

Ejemplo 5.23 Los conjuntos de los racionales y los irra-

cionales son subespacios separables de R; de hecho, como
se a…rma en el teorema anterior, todo subconjunto de R
es separable.
Observación 5.24 (a) La familia de las funciones x :
N !f0; 1g es no-numerable.

(b) Sea (X; d) un espacio discreto. Observe que si D

X es denso, entonces D = X: Si (X; d) es separable,
necesariamente X es numerable.

Ejemplo 5.25 Sea X el espacio de las sucesiones aco-

tadas en R equipado con la métrica del supremo:

d1(x; y) := sup jxn ynj

n2N
donde x = fxng y y = fyng: Mostraremos que este
espacio métrico no es separable.

Supongamos que sí lo es. Entonces, el subespacio Y for-

mado por las sucesiones que toman valores en el conjunto
f0; 1g también es separable.

Por otra parte, note que

(
1 si x = y;
d1(x; y) =
0 si x 6= y:
Esto signi…ca que (Y; d1) es un espacio métrico discreto
(separable); esto implica que Y es numerable, lo cual es
falso.

Por lo tanto, (X; d1) no es separable.

Ejemplo 5.26 El espacio de las funciones continuas C ([a; b])

es separable (teorema Stone-Weierstrass); el espacio de
las funciones acotadas B ([a; b]) no lo es.

De…nición 5.27 Sean (X; d); (X ; d ) espacios métri-

cos. Una isometría I de X a X es una función

I:X!X
tal que

d (I (x); I (y )) = d(x; y ) 8x; y 2 X:

Ejemplo 5.28 (a) Las rotaciones, traslaciones y re‡ex-

iones de R2 a R2 son isometrías.
(b) Considere la función I : R ! R2 de…nida como
I (x) := (x; 0) es una isometría cuando R está dotado
con la métrica usual y R2 con la métrica dp; p 2 [1; 1]:

(c) La función I : R ! R2 de…nida como I (x) :=

p p
(x= 2; x= 2) es una isometría con respecto a d2; pero
no lo es con respecto a dp; p 2 [1; 1]; p 6= 2:

Observación 5.29 Sea I una isometría de X a X :

(a) entonces I es una función inyectiva: si I (x) = I (y );

entonces d(x; y ) = 0; lo cual implica que x = y:

(b) si identi…camos a (X; d) con el subespacio métrico

(I (X ); d ); podemos pensar a X como un subconjunto
de X :

Observación 5.30 Suponga que I es una isometría de

X a X : Si fxng X es una sucesión de Cauchy en
X , entonces fI (xn)g es una sucesión de Cauchy en X :
De…nición 5.31 Diremos que dos espacios métricos (X; d)
y (X ; d ) son isométricamente isomorfos si existe una
isometría biyectiva I : X ! X : Al mapeo I se le lla-
ma isomor…smo isométrico entre X y X .

De…nición 5.32 Sean (X; d); (X ; d ) espacios métri-

cos. Diremos que (X ; d ) es la completación de (X; d)
si:

(a) el espacio (X ; d ) es completo;

(b) existe una isometría I : X ! X ;

(c) I (X ) es denso en X :

Theorem 5.33 Todo espacio métrico tiene una completación,

la cual es única salvo por isomor…smos isométricos.
Demostración. Sea B (X ) la familia de las funciones
u : X ! R acotadas dotadas con la métrica

d1(u; v ) = sup ju(x) v (x)j:

z2Z
Recuerde que (B (X ); d1) es un espacio métrico com-
pleto.

Sea x0 2 X un punto …jo. Para cada x 2 X; de…na la

función

fx(z ) := d(z; x) d(z; x0); z 2 X:

Note que

d(z; x) d(z; x0) + d(x0; x);

de donde se sigue que

d(z; x) d(z; x0) d(x0; x):

De igual manera se obtiene que

d(z; x0) d(z; x) d(x0; x):

Entonces

jfx(z )j = jd(z; x) d(z; x0)j d(x0; x) 8z 2 X:

Por lo tanto, fx( ) es una función acotada.

A continuación de…na el mapeo I : X ! B (X ) como

I (x) = fx; x 2 X:
Probaremos que I es una isometria de X a B (X ): El
valor de la función I (x) en el punto z lo denotaremos
como I (x)(z ); es decir,
I (x)(z ) = fx(z ) = d(z; x) d(z; x0):
Entonces, …jemos x; y 2 X y observemos que
d1(I (x); I (y )) = sup jI (x)(z ) I (y )(z )j
z2X

= sup j(d(z; x) d(z; x0)) (d(z; y ) d(z; x

z2X

= sup jd(z; x) d(z; y )j d(x; y ):

z2X
Ahora observe que si tomamos z = y resulta que
I (x)(z ) I (y )(z ) = I (x)(y ) I (y )(y )

= d(z; x):
Por lo tanto,

d1(I (x); I (y )) = d(x; y );

lo cual prueba que I es una isometría de X a B (X ):

La completación de (X; d) se obtiene tomando X =

cl(I (X )): Puesto que (B (X ); d1) es completo y X
es un subconjunto cerrado de X; entonces el subespacio
(X ; d1) es completo.
6. Funciones continuas

De…nición 6.1 Sean (X; d); (X ; d ) espacios métricos.

Diremos que una función f : X ! X es continua en
x 2 X si para toda sucesión xn ! x se cumple que
f (xn) ! f (x):

Si f es continua en todo punto x 2 X diremos que f es

continua en X:

Proposición 6.2 Sea (X; d) un espacio métrico. Si f; g :

X ! R son continuas en X , entonces:

(a) las funciones f + g; f g son continuas en X ;

(b) f =g es continua en A = fx 2 X : g (x) 6= 0g:

Theorem 6.3 Teorema del valor intermedio. Sea f :
[a; b] ! R una función continua. Si

f (a)f (b) < 0;

existe x 2 (a; b) tal que

f (x ) = 0:

Theorem 6.4 Teorema de Bolzano. Sea f : [a; b] ! R

una función continua. Entonces:

(a) f está acotada, es decir, existe una constante M 0

tal que
jf (x)j M 8x 2 [a; b]:

(b) existen x ; x 2 [a; b] tales que

f (x ) = max f (x) = sup f (x);

x2[a;b] x2[a;b]

f (x ) = m n f (x) = nf f (x):
x2[a;b] x2[a;b]
Proposición 6.5 Sea (X1; d1); (X2; d2) y (X3; d3) es-
pacios métricos. Suponga que f : X1 ! X2 es con-
tinua en x1 2 X1 y que g : X2 ! X3 es continua en
x2 = f (x1): Entonces, la función h : X1 ! X2 de…nida
como h(x) := g (f (x)); x 2 X1; es continua en x1:

Proposición 6.6 Sea (X; d) un espacio métrico. Si xn !

x y yn ! y; entonces

d(xn; yn) ! d(x; y ):

Demostración. Sea x 2 X …jo y yn ! y: La desigual-

dad de triángulo implica que

d(x ; y ) d(x ; yn) d(yn; y )

d(x ; yn) d(x ; y ) d(y; yn);

de donde se sigue que

jd(x ; y ) d(x ; yn)j d(yn; y ):

Puesto que d(yn; y ) ! 0; de la desigualdad anterior
concluimos
d(x ; yn) ! d(x ; y ):
En otras palabras, la función d(x ; ) es continua.

Ahora consideremos sucesiones xn ! x y yn ! y: Nue-

vamente, por la desigualdad del tríangulo, tenemos que

d(xn; yn) d(x; y ) d(xn; x) + d(y; yn):

De igual forma se obtiene

d(x; y ) d(xn; yn) d(xn; x) + d(y; yn):

Entonces

jd(xn; yn) d(x; y )j d(xn; x) + d(y; yn):

Puesto que d(xn; x) ! 0 y d(y; yn) ! 0; concluimos
que
d(xn; yn) ! d(x; y ):
De…nición 6.7 Sean (X; d) un espacio métrico, A un
subconjunto no-vacío de X . La distancia de x 2 X al
conjunto A se de…ne como

A (x) := nf fd(a; x) : a 2 Ag:

Note que A(x) = 0 si x 2 cl(A) y A(x) > 0 en caso
contrario.

Lema 6.8 Para cada subconjunto A 6= ;, la función

A ( ) es continua.

Demostración. Por la desigualdad del triángulo, tenemos

que
d(x; ) d(x; y ) + d(y; ) 8x; y 2 X:
Entonces,

nf d(x; a) d(x; y ) + nf d(y; a);

a2A a2A

A (x) d(x; y ) + A(y ):

De igual forma se obtiene

A (y ) d(x; y ) + A(x):
Entonces,

j A(x) A (y )j d(x; y ):
Si xn ! x; entonces

j A(xn) A (x)j d(xn; x) ! 0:

Theorem 6.9 Lema de Urysohn. Sean A; B conjuntos

cerrados ajenos de un espacio métrico (X; d). Existe una
función continua f : X ! [0; 1] tal que

f (x) = 0 8x 2 A;

f (x) = 1 8x 2 B:
Demostración. Primero observe que las funciones A( )
y B ( ) no se anulan simultaneamente. Entonces, la fun-
ción
A (x)
f (x) := ; x 2 X;
A (x) + B (x)
está bien de…nida y cumple los requisitos especi…cados.
Theorem 6.10 Teorema de Tietze. Sea A un subcon-
junto cerrado no-vacío de (X; d) y

g:A!R
una función continua. Existe una función continua f :
X ! R tal que

f (x) = g (x) 8x 2 A:
Si la función g esta acotada por M; entonces f también
esta acotada por M:

En otras palabras: f es una extensión continua de g a X:

Theorem 6.11 Sean (X; d); (X ; d ) espacios métricos
y f : X ! X : Las siguientes a…rmaciones son equiva-
lentes:

(a) f es continua en x0 2 X ;

(b) para cada " > 0 existe > 0 tales que

d (f (x); f (x0)) < "

para todo x 2 X tal que d(x; x0) < ;

(c) para cada " > 0 existe > 0 tal que

f (x) 2 Bd (f (x0); ") 8x 2 Bd(x0; );

(d) para cada vecindad abierta V de f (x0) existe una

vecindad abierta U de x0 tal que

f (U ) V:
Demostración. (a) ) (b). Suponga que (b) es falso.
Entonces existe "0 > 0 tal que para > 0 la desigual-
dades

d (f (x); f (x0)) "0 y d(x; x0) <

se cumplen para algún x 2 X: Tomemos = 1=n y
denotemos por xn a dicho punto. Entonces, xn ! x y
f (xn) 9 f (x0); lo cual contradice la hipótesis (a).

(b) ) (c). Obvia!

(c) ) (d). Sea V una vecindad abierta de f (x0): Puesto

que f (x0) es un punto interior de V , existe " > 0 tal
que
f (x0) 2 Bd (f (x0); ") V:
Por hipótesis, existe > 0 tal que

f (x) 2 Bd (f (x0); ") 8x 2 Bd(x0; ):

Puesto que Bd(x0; ) es una vecindad abierta de x0; el
resultado queda demostrado.
(d) ) (a). Suponga que xn ! x: Sea " > 0 arbitrario.
Por hipótesis existe una vecindad U de x tal que

f (U ) Bd (f (x0); ");
es decir,

f (x) 2 Bd (f (x0); ") 8x 2 U:

Puesto que x es un punto interior de U , existe r > 0 tal
que
Bd(x; r) U:
Por otra parte, puesto xn ! x; existe Nr 2 N tal que

xn 2 Bd(x; r) 8n Nr :
Por lo tanto,

d (f (xn); f (x0)) < " 8n Nr :

Proposición 6.12 Suponga que f : R ! R es continua.

(a) si f (x0) > 0; entonces existe > 0 0 > 0 tales que

f (x) > 8x 2 (x0 0 ; x0 + 0):

(b) Si f 0y
Z b
f (x)dx = 0; (9)
a
entonces f = 0 en [a; b]:

Demostración. (a) Para probar esta a…rmación tomemos

"0 = f (x0)=3 y = 2f (x0)=3: Por la continuidad de f
en x0 existe 0 tal que si

x 2 B (x0; 0) = (x0 0 ; x0 + 0);

entonces

f (x) 2 B (f (x0); "0) = (f (x0) "0; f (x0) + "0):

Esto implica que

f (x) > f (x0) "0 = >0

para cada x 2 (x0 0 ; x0 + 0); lo cual prueba la
a…rmación.

(b) Supongamos que f 6= 0: Existe x0 2 [a; b] tal que

f (x0) > 0: Por la continuidad de f , existen constantes
> 0 y 0 > 0 tal que
f (x) > 8x 2 (x0 0 ; x0 + 0):
Entonces
Z b Z x +
0 0
f (x)dx f (x)dx
a x0

0> 0,
lo cua contradice la hipótesis (9). Por lo tanto, f (x) = 0
para todo x 2 [a; b]:

Theorem 6.13 Sean (X; d); (X ; d ) espacios métricos

y f : X ! X : Las siguientes a…rmaciones son equiva-
lentes:

(a) f es continua en X ;

(b) f 1(V ) 2 d para todo V 2 d :

Demostración. (a) ) (b) Sea V 2 d arbitrario y
x0 2 f 1(V ) arbitrarios. Probaremos que x0 es un pun-
to interior de f 1(V ):

Puesto que f es continua en x0; por el Teorema 6.11(d),

existe una vecindad abierta U de x0 tal que

f (U ) V;
debido a que V es una vecindad de f (x0): Ahora observe
que
x0 2 U f 1[f (U )] f 1(V ):
Esto prueba que x0 es un punto interior de f 1(V ):
Puesto que x0 es arbitrario, concluimos que f 1(V ) es
abierto.

(b) ) (a) Sea x0 2 X arbitrario. Tomemos una vecindad

abierta V de f (x0): Entonces U = f 1(V ) 2 d es una
vecindad de x0 y

f (U ) = f [f 1(V )] = V:
Por lo tanto, f es continua en x0:
De…nición 6.14 Sean (X; ); (X ; ) espacios topológi-
cos. Diremos que una función f : X ! X es continua
si
f 1 (V ) 2 8V 2 :

Ejemplo 6.15 Describa a las funciones continuas f :

X ! X en los siguientes casos:

(a) = f;; Xg;

(b) = P (X ):

Ejemplo 6.16 Sea X un conjunto no-vacío, (X ; ) un

espacio topológico y f : X ! X :

(a) La famila

f := ff 1(V ) : V 2 g
es una topología en X:
(b) f es continua con respecto a las topologías f y ;

(c) Si b una topología en X tal que f es continua con

respecto al par b; ; entonces f b:

En otras palabras: f es la topología más gruesa (mínima

topología) que hace continua a f:
Ejemplo 6.17 Considere la función f (x) = 1=x; x >
0:

Observe que
jx yj 1
jf (x) f (y )j = 2
jx yj 8x; y
xy
Entonces, para cada " > 0 arbitrario y " = 12 " :
8x; y : jx yj < " ) jf (x) f (y )j < "

La propiedad anterior no se cumple sobre el dominio

(0; 1): Por ejemplo, tomemos " = 1 y observe que
jf ( n1 ) 1 )j = jn
f (m mj 1 8n; m 2 N
y también que j n1 1j
m puede hacerse arbitrariamente
pequeña.

De…nición 6.18 Sea f : (X; d) ! (X ; d ) y A X:

Diremos que f es uniformemente continua en A si para
cada " > 0 existe > 0 tal que
d (f (x); f (y )) < " si d(x; y ) < ; x; y 2 A:
De…nición 6.19 Diremos que f : (X; d) ! (X ; d ) es
una función de Lipschitz si existe L > 0 tal

d (f (x); f (y )) Ld(x; y ) 8x; y 2 X ;

A L le llamaremos constante de Lipschitz de f:

Observación 6.20 Claramente una función de Lipschitz

es uniformemente continua. La función
p
f (x) = x; x 0;
es uniformemente continua en [0; 1) pero no es de Lip-
schitz.

Observe que
p p q
j x yj jx yj 8x; y 0;
lo cual implica que f es uniformemente continua en [0; 1):
Si fuese de Lipschitz con constante L > 0 tendríamos
que
s
1 1 1
= L 2
n n2 n

1
1 L 8n 2 N;
n
lo cual es falso.

De…nición 6.21 Sea f : R ! R una función continua.

El módulo de continuidad de f se de…ne como
mc(") := supfjf (x) f (y )j : d(x; y ) < "g
para cada " > 0:

Proposición 6.22 Sea f : R ! R una función contin-

ua. Las siguientes a…rmaciones son equivalentes:

(a) f es uniformemente continua en R;

(b) f (xn) f (yn) ! 0 si xn yn ! 0;

(c) l m"!0 mc(") = 0:

De…nición 6.23 Sea f : (X; d) ! (X ; d ) y x0 2 X:
Diremos que el límite de f cuando x tiende a x0 es y0 2
X si
xn ! x0 ) f (xn) ! y0:
Si éste es el caso, escribiremos

l m f (x) = y0:
x!x0

Theorem 6.24 Sea D un subconjunto denso de un es-

pacio métrico (X; d) y (X ; d) un espacio métrico com-
pleto. Si
f : (D; d) ! (X ; d )
es uniformemente continua, entonces existe una única
función
g : (X; d) ! (X ; d )
uniformemente continua tal que

g (x) = f (x) 8x 2 D:
Demostración. Sea x0 2 X arbitrario. Por la densidad
de D; existe una sucesión fxng de elementos de D que
converge a x0: Probaremos que ff (xn)g es una sucesión
de Cauchy.

Tomemos " > 0 arbitrario. Por la continuidad uniforme

de f en D; existe " > 0 tal que

d(x; y ) < " ) d (f (x); f (y )) < ":

Puesto que la sucesión fxng es convergente, también es
de Cauchy: existe N " 2 N tal que

n; m N " ) d(xn; xm) < ":

Combinando estos dos hechos obtenemos que

n; m N " ) d (f (xm); f (xn)) < ";

lo cual prueba que ff (xn)g es de Cauchy.

Por la completez de (X ; d ) existe y0 2 X tal que

y0 = l m f (xn):
n!1
Sea fx0ng otra sucesión en D que converge a x0: Por la
argumentación dada anteriormente, existe y00 2 X tal
que
y00 = l m f (x0n):
n!1

A continuación probaremos que y0 = y00 : Para cada " >

0 existen N"; N"0 ; M" tales que

n N" ) d (y0; f (xn)) < "=3

n N"0 ) d (y00 ; f (x0n)) < "=3

n M" ) d (f (xn); f (x0n)) < "=3:

Entonces,

d (y0; y00 ) d (y0; f (xn))

+ d (f (xn); f (x0n)) + d (f (x0n); y00 )

<"
para n max(N"; N"0 ; M"): Por lo tanto, y0 = y00 :
La regla de asociación

x0 ! y0
de…ne una función g : X ! X : Observe que

g (x) = f (x) 8x 2 D:

Ahora probaremos que g es continua en cada x 2 X: Sea

xn ! x:

Para cada n 2 N; existe x0n 2 D tal que:

(i) d(xn; x0n) < n;

(ii) d(g (xn); g (x0n)) < 1=n;

(iii) n ! 0:

De (i) y (ii) se sigue que x0n ! x; lo cual implica que

g (x0n) ! g (x):
De igual manera, de (ii) se sigue que g (xn) ! g (x):

Por lo tanto, g es continua en x 2 D:

A continuación probaremos que g es uniformemente con-

tinua. Puesto que g es uniformemente continua en D,
para cada " > 0 existe > 0 tal que

a; b 2 D : d(a; b) < ) d (g (a); g (b)) < "

Sean x; y 2 X tales d(x; y ) < =3:

(a) existen sucesiones en D : xn ! x; yn ! y: Tomem-

os N1 tal que

d(x; xn) < =3; d(y; yn) < =3 8n N1 ;

d(xn; yn) d(xn; x) + d(x; y ) + d(y; yn) <

(b) g (xn) ! g (x); g (yn) ! y: Tomemos N2 tal que

d(g (x); g (xn)) < "=3; d((g (y ); g (yn)) < "=3 8n N2 :

Entonces, para N = max(N1; N2);

d(g (x); g (y )) d(g (x); g (xN )) + d(g (xN ); g (yN ))

+ d((g (yN ); g (y ))

< ":

Así hemos probado

d(x; y ) < =3 ) d(g (x); g (y )) < ":

De…nición 6.25 Sea T : (X; d) ! (X; d): Diremos que
x 2 X es un punto …jo de T si T (x ) = x : Al
conjunto de puntos …jos de T lo denotaremos como FT :

Ejemplo 6.26 (a) T (x) = x2 + 5x + 4; FT = f 2g;

(b) T (x) = x2 x; FT = f0; 2g;

(c) T (x) = x + 1; FT = ;;

(d) T (x) = x; FT = R:

Observación 6.27 (a) Sin duda, los teoremas de punto-

…jo más célebres son el teorema de punto-…jo de Brouw-
er y el teorema de punto-…jo de Banach. El primero
de ellos establece que toda función continua

T : B [0; 1] ! B [0; 1]
tiene al menos un punto …jo, donde B [0; 1] es la bola cer-
rada en Rn con centro en origen y radio uno. Schauder
extendió este resultado a espacios topológicos de Haus-
dor¤ para conjuntos convexos cerrados.

El teorema de punto-…jo de Banach se presenta y se de-

muestra más adelante.

(b) Para n = 1; tpf de Brower a…rma lo siguiente: si

T : [ 1; 1] ! [ 1; 1] es continua, entonces FT 6= ;:
Este resultado es una consecuencia directa del teorema
del valor intermedio. Considere la función

f (x) := T (x) x; x 2 [ 1; 1]:

Note que

f (x ) = 0 , T (x ) = x ;

f ( 1) 0; f ( 1) 0:
Si f ( 1) = 0 o f (1) = 0; el resultado queda probado.
Si f ( 1) > 0 y f (1) < 0; el teorema del valor medio
garantiza que f (x ) = 0 para algún x 2 ( 1; 1):
De…nición 6.28 Sea T : (X; d) ! (X; d):

(a) T es un mapeo no-expansivo

d(T (x); T (y )) d(x; y ) 8x; y 2 X ;

(b) T es un mapeo de contracción si existe 2 [0; 1)

tal que

d(T (x); T (y )) d(x; y ) 8x; y 2 X ;

a la constante le llamaremos factor de contracción;

(c) diremos que

d(T (x); T (y )) < d(x; y ) 8x; y 2 X ;

Observación 6.29 (c.f. Palais) Suponga que T : X !

X es de contracción con factor : (Para facilitar la no-
tación escribiremos T x en lugar de T (x))

Entonces:
(a) T es uniformemente continuo en X ;

(b) la propiedad de contracción y la desigualdad del trián-

gulo implican

d(x; y ) d(x; T x) + d(T x; T y ) + d(T y; y )

d(x; T x) + d(x; y ) + d(T y; y ):

Por lo tanto,
1
d(x; y ) [d(x; T x) + d(y; T y )] 8x; y 2 X:
1

(c) La última desigualdad implica que T tiene a lo más

un punto …jo, es decir, x = T x :
Theorem 6.30 (Teorema de punto-…jo de Banach) Supon-
ga que T es de contracción con factor 2 (0; 1): En-
tonces:

(a) T nw; n 2 N; es una sucesión de Cauchy para cada

w 2 X:

(b) Si el espacio métrico (X; d) es completo, entonces

T tiene un único punto …jo x 2 X: Además,
n
d(T nw; x ) d(w; T w);
1

d(T nw; x ) n d(w; x )

para cada w 2 X; n 2 N: Entonces:

T nw ! x 8w 2 X:

Demostración. (a) Por la desigualdad en la observación

anterior tenemos
1
d(x; y ) [d(x; T x) + d(y; T y )]:
1
Tomemos
x = T nw y y = T mw:
Entonces
1
d(T nw; T mw) [d(T nw; T n+1w)
1

+ d(T mw; T m+1w)]

n + m
d(w; T w) ! 0;
1
lo cual prueba que fT nwg es de Cauchy.

(b) Supongamos que (X; d) es completo. Para cada w 2

X; la sucesión

wn := T nw ! w :
La continuidad de T implica que

wn+1 = T wn ! T w :
Por lo tanto, w es un punto …jo de T: Por la observación
anterior el punto …jo es único.
Tomemos x = T nw y y = w en la desigualdad
1
d(x; y ) [d(x; T x) + d(y; T y )]:
1
Entonces
1
d(T nw; w ) [d(T nw; T n+1w) + d(w ; T w )]
1

n
d(w; w )
1
La otra desiguadad se sigue directamente de la propiedad
de contracción.

Ejemplo 6.31 La función

f (x) := 12 sin x + 14 tan 1 x; x 2 R;

tiene un único punto …jo. Para probar esta a…rmación
observe que
jf 0(x)j 3 8x 2 R:
4
Por el teorema del valor medio, para cada par x; y 2 R
existe zx;y tal que

jf (x) f (y )j = jf 0(zx;y )j jx yj

3 jx yj;
4
lo cual prueba que f es una contracción.

Observación 6.32 Sea T : (X; d) ! (X; d): Si T n0

tiene un único punto …jo w para algún n0 2 N; entonces
w es el único punto …jo de T: Para probar la a…rmación
observe que

T w = T T n0 w = T n0 T w
lo cual muestra que T w es un punto …jo de T n0 ; por la
unicidad concluimos que w = T w :

No existe otro punto …jo de T ; de lo contrario, T n0 ten-

dría más de un punto …jo.
Observación 6.33 Un espacio tiene la propiedad de punto-
…jo de Banach si todo mapeo de contracción tiene un
punto …jo. En el Teorema 6.30 se demostró que todo es-
pacio métrico completo tiene la propiedad de punto …jo.
El recíproco también es cierto; consulte, por ejemplo, [7,
p. 137].

7. Espacios de funciones

De…nición 7.1 Diremos que una función f : (X; d) !

(X ; d ) está acotada si f (X ) esta acotado, es decir,
existe una bola abierta B (r0; x0) tal que

f (X ) B (r0; x0):

Denotaremos con B (X; X ) a la familia de las funciones

acotadas f : (X; d) ! (X ; d ) y por C (X; X ) a la
subfamilia de las funciones continuas y acotadas.
Los espacios B (X; R) y C (X; R) serán denotados sim-
plemente como B (X ) y C (X ), respectivamente, si R
está dotado con la métrica usual o con alguna métrica
equivalente.

De…nición 7.2 Sean f; fn : (X; d) ! (X ; d ) fun-

ciones arbitrarias.

(a) Diremos que la sucesión ffng converge puntual-

mente a f si
fn(x) ! f (x)
para cada x 2 X: La convergencia puntual de ffng a f
la denotaremos como
fn ! f:

(b) Diremos que la sucesión ffng converge uniformente

a f si para cada " > 0 existe N" tal que
d (fn(x); f (x)) < " 8x 2 X; n N" ;
La convergencia uniforme ffng a f la denotaremos como
unif orm
fn ! f:
 unif orm
Observación 7.3 Note que fn ! f si y sólo si

sup d (fn(x); f (x)) ! 0:

x2X

Ejemplo 7.4 Considere la función f (x) := 0 si x 2

[0; 1) y f (1) := 1; y la sucesión

fn(x) := xn; x 2 [0; 1]; n 2 N:

Claramente fn ! f; pero no converge uniformemente

puesto que

sup jfn(x) f (x)j = 1:

x2[a;b]

Lema 7.5 Sea ffng una sucesión en B (X; X ):

unif orm
Si fn ! f; entonces f 2 B (X; X ):
Demostración. Por la hipótesis de acotamiento de las
funciones fn; n 2 N; existe una constante positiva Ln
tal que

d (fn(x); fn(y )) Ln 8x; y 2 X:

unif orm
Por otra parte, puesto que fn ! f; para cada " >
0 existe N" 2 N tal que

d (fn(x); f (x)) < " 8x 2 X; n N" :

Entonces, para todo x; y 2 X se cumple que

d (f (x); f (y )) d (f (x); fN" (x)) + d (fN" (x); fN" (y ))

+ d (fN" (y ); f (y ))

< " + LN" + ":

Por lo tanto, f es acotada.
Theorem 7.6 Sean (X; d) y (X ; d ) espacios métri-
cos.

(a) La función

dsup(f; g ) := sup d (f (x); g (x))

x2X
es una métrica en B (X; X ):

(b) Si (X ; d ) es un espacio métrico completo, entonces

(B (X; X ); dsup) es completo.

Demostración. (a) La demostración se deja al lector.

(b) Sea ffng B (X; X ) una sucesión de Cauchy. Para

" > 0 existe N" 2 N tal que

d (fn(x); fm(x)) < "=2 8x 2 X; n; m N" :

Entonces, para cada x 2 X; ffm(x)g es una sucesión de
Cauchy. Por la completez del espacio métrico (X ; d );
la función

f (x) = l m fm(x); x 2 X;
m!1
está bien de…nida.

Por otra lado, de la continuidad de d se sigue que

d (fn(x); f (x)) = l m d (fn(x); fm(x)) "=2 < "

m!1
para todo x 2 X y n N": Entonces,

dsup(fn; f ) ! 0:
Por lo tanto, por Proposición 7.5 f 2 B (X; X ); lo cual
prueba que dicho espacio completo.

Lema 7.7 Sea ffng una sucesión en C (X; X ):

unif orm
Si fn ! f; entonces f 2 C (X; X ):

Demostración. Probaremos que f es continua en x0 2

X . Para " > 0 existe N" 2 N tal que

d (f (x); fN" (x)) < "=3 8x 2 X:

Luego, por la continuidad de fN" existe > 0 tal que

d (fN" (x); fN" (x0)) < "=3 8x 2 B (x0; ):

Si x 2 B (x0; ); entonces

d (f (x); f (x0)) d (f (x); fN" (x)) + d (fN" (x); fN" (x0))

+ d (fN" (x0); f (x0))

< "=3 + "=3 + "=3;

lo cual prueba que f es continua en x0 2 X:

Theorem 7.8 Si (X ; d ) es un espacio métrico com-

pleto, entonces (C (X; X ); dsup) es completo.

Demostración. Puesto que B (X; X ) es completo, por

la Proposición 5.10(a), para probar la completez de C (X; X )
es su…ciente con probar que es un subconjunto cerra-
do. Sea f 2 B (X; X ) un punto de acumulación de
C (X; X ): Entonces existe una sucesión ffng C (X; X )
tal que
dsup(fn; f ) ! 0:
Por el Lema 7.7, f 2 C (X; X ): Por lo tanto, dicho
espacio es cerrado.

Ejemplo 7.9 Existencia local y unicidad soluciones de

una ecuación diferencial ordinaria. Sean y0 2 R y H :
R ! R una función de Lipschitz

jH (x) H (y )j Ljx yj 8x; y 2 R:

Considere el siguiente problema: “encontrar” > 0 y una

función f 2 C (I ); I := [x0 ; x0 + ]; tal que

f 0(x) = H (f (x)); (10)

f (x0) = y0: (11)

Observe que el problema (10)-(11) es equivalente a la
ecuación integral
Z x
f (x) = y0 + H (f (t))dt; x 2 I :
x0

De…namos el operador T : C (I ) ! C (I ) como

Z x
T f (x) := y0 + H (f (t))dt:
x0

Observe que
Z x
jT f (x) T g (x)j = [H (f (t)) H (g (t))]dt
x0

Ljx x0j sup jf (x) g (x)j

x2I

Ld1(f; g ):

Tomemos tal que := L < 1: Entonces, T es

un operador de contracción con factor : Puesto que
(C (I ); d1) es un espacio métrico completo, existe f 2
C (I ) tal que

f (x) = T f (x)

Z x
= y0 + H (f (t))dt 8x 2 I :
x0

Theorem 7.10 Ecuaciones de Volterra. Sea 2 R y

'; K tales que:

(i) ' 2 C ([a; b]);

(ii) K 2 C ([a; b] [a; b]):

Entonces la ecuación integral

Z x
h(x) = '(x) + K (x; t)h(t)dt 8x 2 [a; b]:
a

tiene una unica solución h 2 C ([a; b]).

Demostración. En la demostración de este resultado us-
aremos un hecho que será probado posteriormente: una
función continua sobre una conjunto cerrado y acotado
(“compacto”) es uniformemente continua en dicho con-
junto. Es decir, para cada " > 0 existe 2 (0; ") tal
que:

(i) j'(x) '(y )j < " si jx yj < ;

(ii) jK (x; s) K (y; t)j < " si maxfjx yj; js tjg < :

Consideraremos el espacio C ([a; b]) dotado con la métri-

ca del supremo, es decir,

d1(f; g ) = sup jf (x) g (x)j:

x2[a;b]

Para cada u 2 C ([a; b]) de…na

Z x
T u(x) := '(x) + K (x; t)h(t)dt; x 2 [a; b]:
a
Probaremos que T u 2 C ([a; b]) para cada u 2 C ([a; b])
y que
T N : C ([a; b]) ! C ([a; b])
es un mapeo de contración para algún N 2 N: Entonces,
el Teorema 6.30 y la Observación 6.32 garantizan que
existe un único punto …jo h 2 C ([a:b]) de T , es decir,
h(x) = T h(x)

Z x
= '(x) + K (x; t)h(t)dt 8x 2 [a; b]:
a

Sean L y M cotas de las funciones ' y K; respecti-

vamente. Tomemos u 2 C ([a; b]) y sea R una cota.
Entonces,
T u(x) T u(y ) = ['(x) '(y )]

Z x
+ [K (x; t) K (y; t)]u(t)dt
a

Z y
+ K (y; t)u(t)dt;
x
Usando la igualdad anterior y (i)-(ii), se obtiene

jT u(x) T u(y )j " + j jR(b a)" + j jM R

< "(1 + j jR(b a) + j jM R)

lo cual prueba la continuidad (uniforme) de T u:

Note que

jT nu(x) T nw(x)j = jT T n 1u(x) T T n 1w(x)j

j (b a)M jd1(T n 1u; T n 1w);

de donde vemos que

d1(T nu; T nw) j (b a)M jd1(T n 1u; T n 1w):

Iterando esta desigualdad obtenemos
j M (b a)jn
d1 (T nu; T nw) d1(f; g ) 8n 2 N:
n!
para cada f; g 2 C ([a; b]):
Puesto que
j M (b a)jn
! 0;
n!
existe N 2 N tal que
j M (b a)jN
:= < 1:
N!
Por lo tanto, T N es de contracción con factor :

Ejemplo 7.11 La ecuación

Z x
h(x) = 4x 3 sin(x t)h(t)dt
0
tiene una única solución. De hecho, esta solución es
3
h(x) = x + sin(2x):
2
8. Compacidad secuencial

Problema 8.1 Sea A un subconjunto de un espacio métri-

co (X; d) y f : X ! R una función continua.

¿Qué propiedades debe tener el subconjunto A para que

las conclusiones del Teorema de Bolzano (Teorema 6.4)
sean válidas?

De…nición 8.2 Un subconjunto A de un espacio métri-

co (X; d) es secuencialmente compacto si toda suce-
sión en A tiene una subsucesión convergente y su límite
pertenece a A: Por facilidad, si A es secuencialmente
compacto diremos que es s-compacto.

Ejemplo 8.3 (a) El conjunto vacío y los subconjuntos

…nitos son s-compactos;

(b) por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, todo conjun-

to cerrado y acotado en R es s-compacto;
(c) todo subconjunto cerrado y acotado en Rn es -s-
compacto;

(d) el intervalo (0; 1] no es s-compacto;

(e) el intervalo [0; 1) no es s-compacto.

Theorem 8.4 Si A es un subconjunto s-compacto de

un espacio métrico (X; d) y f : X ! R una función
continua, entonces:

(a) f (A) es acotado;

(b) existen x ; x 2 A tales que

f (x ) = sup f (x); f (x ) = nf f (x):

x2A x2A

Theorem 8.5 Si A es un subconjunto s-compacto de un

espacio métrico (X; d); entonces A es cerrado y acotado.
Demostración. Sea x 2 X un punto límite de A y fxng
que converge a x: Entonces xnk ! x para toda sub-
sucesión fxnk g: Por la compacidad de A conluimos que
x 2 X: Por lo tanto, A es cerrado.

Supongamos que A no es acotado. Entonces existe p 2

X y una sucesión fxng de A tales que
d(p; xn) n:
Por la compacidad de A, existe una subsucesión fxnk g
y x 2 A tales que
xn k ! x :
Ahora, por la continuidad de la función d(p; ); vemos
que
d(p; x ) = l m d(p; xnk ) = 1;
k!1
lo cual es falso. Por lo tanto, A es un subconjunto aco-
tado.

Theorem 8.6 Teorema de “Heine-Borel”. Un subcon-

junto A de Rm es s-compacto si y sólo si es cerrado
y acotado.
Ejemplo 8.7 El Teorema de Bolzano-Weierstrass no se
cumple en espacios de dimensión in…nita; en consecuen-
cia, el recíproco del Teorema 8.6 es falso.

Tomemos X = C ([0; 1]) con la métrica del supremo. El

conjunto
A = ff 2 X : jjf jjsup 1g
es cerrado y acotado (Teorema 7.8) pero no es s-compacto.
La sucesión

fn(x) := xn; x 2 [0; 1]; n 2 N;

está formada con elementos de A y converge puntual-
mente a
(
0 x 2 [0; 1);
f (x) :=
1 x = 1:
Esto implica que no existe una subsucesión ffnk g que
converja a una función g 2 A con la métrica dsup; debido
a que g necesariamente sería continua.
Theorem 8.8 Si fFng es una sucesión decreciente de
subconjuntos s-compactos de (X; d), entonces

\1
n=1 Fn 6= ;:
Si adicionlmente, diam(Fn) ! 0; entonces \1
n=1 Fn
tiene solamente un elemento.

Proposición 8.9 Si A es un subconjunto s-compacto de

un espacio métrico y B A es cerrado, entonces B
también es s-compacto.

Theorem 8.10 Sea f : (X; d) ! (X; d ) una función

continua. Si A es un subconjunto s-compacto de X , en-
tonces f (A) es s-compacto.

Theorem 8.11 Si A y B son subconjuntos s-compactos

de espacios métricos (X; d) y (X ; d ); entonces A B
es s-compacto en el espacio producto X Y:
Theorem 8.12 Sea f : (X; d) ! (X; d ) una función
continua. Si A es un subconjunto s-compacto de X , en-
tonces f es uniformemente continua en A:

Demostración. Suponga que f no es uniformemente

continua en A: Entonces, existen "0 > 0; xn; yn 2 A
tales que
d (f (xn); f (yn)) "0 y d(xn; yn) < 1=n:
Puesto que A es compacto, existe x 2 A y fxnk g tales
que xnk ! x: Esto implica que ynk ! x también. Por
la continuidad de f y de la métrica tenemos que
0 = l m d (f (xnk ); f (ynk )) "0 > 0;
k!1
lo cual es una contradicción.

9. Compacidad por cubiertas

Ejemplo 9.1 Familias de subconjuntos:

Para cada 2 = [0; 1) de…na los subconjuntos
C := f(x; y ) 2 R2 : x2 + y 2 = 2g;

B := f(x; y ) 2 R2 : x2 + y 2 < 2g

Observe que familia fC : 2 g y la familia fB :

2 g “cubren” al espacio R2, es decir,
S
R2 = 2 C

S
= 2 B :

Por otra parte, note que ninguna subfamilia de fC :

2 g cubre R2; es decir, si entonces
S 2:
2 C R
Por el contrario, la familia fB : 2 g admite una
in…nidad de subfamilias que cubren a R2. Si no
esta acotado superiormente, entonces
R2 = [ 2 C ;
en particular, R2 no puede cubrirse con subfamilias …nitas
de fC : 2 g:
De…nición 9.2 Sea (X; d) un espacio métrico y A
X: Diremos que una familia U = fU : 2 g de
subconjuntos de X es una cubierta abierta de A si U
es un abierto en X para cada 2 y además
S
A 2 U :

Si es un subconjunto de y U := fU : 2 g es
una cubierta de A; es decir,
S
A 2 U ;

diremos que U es una subcubierta de U :

Si existe un suconjunto …nito de tal que U es

una cubierta de A diremos que U tiene una subcubierta
…nita.

Ejemplo 9.3 (a) La familia Q formada por los conjuntos

Qr = (r; 1); r 2 (0; 1) \ Q;

es una cubierta abierta de A = (0; 1); mientras que la
familia I formada por los subconjuntos
In = ( n1 ; 1); n 2 N;
es una subcubierta de Q. Note que Q no tiene subcu-
biertas …nitas.

(b) Considere ahora la familia Q0 de los conjuntos

fQr : r 2 (0; 1) \ Qg [ fI0g
donde el intervalo abierto I0 = (a0; b0) contiene al cero.
Si r0 2 (0; a0), entonces fQr0 ; I0g es una subcubierta
…nita de Q0.

De…nición 9.4 Un subconjunto A de un espacio métrico

(X; ) es un subconjunto compacto por cubiertas si
toda cubierta abierta de A tiene una subcubierta …nita.

Por brevedad, si A es compacto por cubiertas diremos

que es c-compacto.

Diremos que el espacio métrico (X; d) es c-compacto si

X es c-compacto.
De…nición 9.5 (a) Un subconjunto A es totalmente
acotado si para cada > 0 existe una colección …nita
de bolas abiertas de radio que cubren a A.

(b) Diremos que una familia de conjuntos tiene la propiedad

de intersección …nita si toda subcolección …nita tiene
intersección no-vacía.

Ejemplo 9.6 (a) Si A es totalmente acotado, entonces

es acotado. El recíproco es falso: el conjunto de los nat-
urales con la métrica discreta es acotado pero no es to-
talmente acotado.

(b) si A es c-compacto, entonces es totalmente acotado.

El recíproco es falso: el conjunto A = (0; 1) es total-

mente acotado pero no es c-compacto.

Theorem 9.7 Sea (X; d) un espacio métrico. Las sigu-

ientes a…rmaciones son equivalentes:
(a) X es c-compacto;

(b) cada familia de conjuntos cerrados con la propiedad

de intersección …nita tiene intersección no-vacia.

(c) X es s-compacto;

(d) Toda función continua f : X ! R es acotada;

(e) Toda función continua f : X ! R alcanza su supre-

mo (ín…mo);

(f) X es totalmente acotado y completo.

Demostración. (a) ) (b) Sea F = fF : 2 g una

colección de cerrados que tiene la propiedad de intersec-
ción …nita y suponga que
T
2 F = ;:
Entonces
S c
X= 2 F :
Puesto que cada F c es abierto, de la c-compacidad de X
se sigue que
Sn c
X= F
i=1 i
para alguna colección …nita 1; : : : ; n: De esto se con-
cluye que
Tn
i=1 F i
= ;;
lo cual contradice que F tiene la propiedad de intersec-
ción …nita.

(b) ) (a) Suponga que existe una cubierta abierta V =

fV : 2 g que no tiene una subcubierta …nita:
S
2 0V 6= X 8 0 …nito,

Tn
i=1 F i
6= ; 8 0 …nito.
La familia de cerrados F =fV c : 2 g tiene la propiedad
de intersección …nita y
T c
2 V = ;;
lo cual contradice la hipotesis.
(b) ) (c) Sea fxng una sucesión en X . La familia
Fn := cl(fxn; xn+1; : : :g)
esta formada por conjuntos cerrados y tiene la propiedad
de intersección …nita (puesto que es decreciente). Por
hipótesis, tenemos que
\1
n=1 Fn 6= ;:
Tomemos x 2 \1
n=1 Fn : Entonces:

(i) xn = x para una in…nidad de valores de n; en cuyo

caso existe una subsucesión convergente;

(ii) xn = x solo para una cantidad …nita de valores de

n; en cuyo caso x es un punto de acumulación de fxng
y por lo tanto existe una subsucesión convergente.

(c) ) (d) Esta a…rmación ya fue probada.

(d) ) (e) Suponga que existe una función continua f :

X ! R que no alcanza su supremo. Entonces la función
1
g (x) = ; x 2 X;
f (x)
es continua y no esta acotada, lo cual contradice la hipóte-
sis (d).

(e) ) (f) Supongamos que X no es totalmente acotado.

Entonces existe > 0 y un conjunto in…nito

D = fx1; x2; : : :g
separados por una distancia : Este conjunto es cerrado
(no tiene puntos de acumulación). La función

f :D!R

f (xn) = n
tiene una extensión continua a X por el Teorema de
Tietze; pero dicha extensión no es acotada.

Ahora probaremos que X es completo: existe una suce-

sión de Cauchy fxng que no tiene límite en X:

Sea (X ; d ) es la completación de (X; d):

(i) espacio (X ; d ) es completo;

(ii) existe una isometría I : X ! X ;

(iii) I (X ) es denso en X :

Consideremos la sucesión

xn = I (xn); n 2 N:
La sucesión fxng es de Cauchy; puesto que X es com-
pleto, xn ! x 2 X :

Note que x 2 = I (X ); pues de lo contrario, si x = I (x)

para algún x 2 X; tendríamos

d(xn; x) = d (I (xn); I (x))

= d (xn; x ) ! 0:

De…namos la función

f (x) = d (I (x); x ); x 2 X:
La función f es continua y
f (x) > nf f (x) = 0 8x 2 X;
x2X
puesto que I (X ) es denso en X : Esto último contradice
la hipótesis.

(c) ) (a) Sea V = fV : 2 g una cubierta abierta

de X: Para cada x 2 X existe y r > 0 tal que
B (x; r) V :
De…namos
rx := supfr > 0 : B (x; r) V para algún g;

" := nf frx : x 2 Xg:

La constante " es positiva. De lo contrario existiría una
sucesión fxng tal que
rxn # 0:
Por hipótesis, xnk ! x 2 X: Tomemos 2 y r > 0
tales que x 2 B (x; r) V : Existe Nr tal que
d(x; xnk ) < r=2 8nk N" ;
entonces,
rxnk > r=2 > 0:
Por lo tanto, " > 0:

Sea x1 2 X un elemento arbitrario; a continuación tome

= B (x1; "=2);
x2 2

x3 2 = B (x1; "=2) [ B (x2; "=2);

...
S 1
xn 2 = ni=1 B (xi ; "=2):
El proceso anterior no puede repetirse inde…nidamente,
puesto que X es totalmente acotado. Entonces, para al-
gún N; se cumple que
SN SN
X= i=1 B (xi ; "=2) i=1 V i :
Por lo tanto, V tiene una subcubierta …nita.

(f) ) (c) Sea fxng una sucesión en X y consideremos

el conjunto
I0 := fxn : n 2 Ng:
Por hipótesis, para cada n 2 N existe un subconjunto
…nito Fn = fz1n; : : : ; zN
n g tal que
n

N
Sn
X= B (zin; n1 ):
i=1

Para n = 1; alguna de las bolas

N N N
B (z1 1 ; 1); B (z2 1 ; 1); : : : ; B (z2 1 ; 1);
contiene una in…nidad de términos de la sucesión. Tomem-
os y1 2 F1 tal que el conjunto

I1 := I0 \ B (y1; 1) 6= 0
tenga una in…nidad de términos de la sucesión. Observe
que
N
S2
I1 B (zi2; 21 ):
i=1
Para algún y2 2 F2 el conjunto

I2 := I1 \ B (y2; 12 )
tiene una in…nidad de términos de la sucesión.
Repitiendo la argumentación anterior se obtiene una suce-
sión de conjuntos:

(i) para cada n 2 N; el conjunto

In := In 1 \ B (yn; n1 )
tiene una in…nidad de términos de la sucesión fxng;

(ii) In+1 In :

Tomemos m > n y a 2 Im :

d(ym; yn) d(ym; a) + d(a; xn)

1 + 1 < 2:
<m n n
Puesto que X es completo,

yn ! y 2 X;

d(y; yn) = l m d(ym; yn) 1:

n!1 n
Entonces, si z 2 B (yn; n1 )

d(z; y ) d(z; yn) + d(yn; y ) 2:

n
Entonces
B (yn; n1 ) B (y; n2 ):
La bola B (y; n2 ) contiene una in…nidad de términos de
la sucesión fxng puesto que B (yn; n1 ) contiene una in-
…nidad. Por lo tanto, y es un punto de acumulación de
dicha sucesión.

Theorem 9.8 Teorema de Heine-Borel. Sea A un sub-

conjunto de R2. Las siguientes a…rmaciones son equiva-
lentes:

(a) A es c-compacto;

(b) A es cerrado y acotado.

De…nición 9.9 Sea (X; d) un espacio métrico y fn :
X ! R; n 2 N; una sucesión de funciones.

(a) Diremos que ffng es monótona creciente si

fn+1 fn para todo n 2 N;

(b) Diremos que ffng es monótona decreciente si

fn+1 fn para todo n 2 N.

Si la sucesión ffng es monótona creciente o monótona

decreciente diremos simplemente que que monótona.

Theorem 9.10 Teorema de Dini. Sea (X; d) un espacio

métrico y f; fn : X ! R funciones tales que:

(i) fn ! f;

(ii) ffng es monótona;

(iii) f; fn 2 C (X ) para cada n 2 N;

(iv) X es compacto.

Entonces
unif
fn ! f:

Demostración. Supongamos que ffng es monótona cre-

ciente. Entonces, las funciones continuas

gn = f fn ; n 2 N;
forman una sucesión monótona decreciente que converge
a la función cero:

gn(x) # 0 8x 2 X:

Sea " > 0 arbitrario y de…namos

Xn(") := fx 2 X : gn(x) < "g; n 2 N:

Esta sucesión de conjuntos tienen las siguientes propiedades:

(i) Xn(") es un conjunto abierto;

(ii) Xn Xn+1;

1
S
(iii) X = Xn("):
n=1

Puesto que X es compacto, existe s 2 N tal que

s
S
X= Xni (") = Xns (")
i=1
Entonces
0 gns (x) < " 8x 2 X:
Puesto que fgng es monótona decreciente, concluimos
que

gn(x) = f (x) fn(x) < " 8x 2 X; n ns:

unif
Por lo tanto, fn ! f:

Proposición 9.11 Si (X; d) es un espacio métrico c-

compacto, entonces es separable.
Demostración. Para cada k 2 N; existe un subconjunto
…nito de X

Dk = fy1k ; y2k ; : : : ; yn
k g
k

tal que
nSk
X= k ; 1 ):
B (ynk k
i=1

El conjunto
1
S
D= Dk
k=1
es numerable y denso en X: En efecto, para cada x 2 X
se cumple que
k )< 1
d(x; yni k
para algun nki :
Observación 9.12 Sea (X; d) un espacio métrico y A
X: Al conjunto A se le puede considerar como un espacio
métrico cuando se considera la métrica inducida/heredada

dA(x; y ) := d(x; y ); x; y 2 A:

La familia de los conjuntos abiertos A del espacio métri-

co (A; dA) es

A = fA \ U : u 2 g
y se le llama topología relativa.

Entonces, A es un subconjunto c-compacto de X si y

sólo si (A; dA) es un espacio métrico compacto.

De este equivalencia se sigue que los resultados en los

teoremas anteriores se cumplen para cada subconjunto
compacto A de un espacio métrico.
10. Joyas del análisis matemático

10.1. Teorema de Baire

Observación 10.1 Sea (X; d) un espacio métrico. Las

siguientes a…rmaciones son equivalentes:

(a) D es un subconjunto denso en X :

D \ B (x; r) 6= ; 8x 2 X; r > 0;

(b) para cada x 2

= D y r > 0, B (x; r) tiene una in…nidad
de puntos de D.

(c) cl(D) = X ;

(d) A(x) = 0 para todo x 2 X ;

(e) [Dc] = ;;

(f) D \ B [x; r] 6= ; para todo x 2 X; r > 0:

De…nición 10.2 Un subconjunto A de un espacio métri-
co es denso en ninguna parte (nowhere dense) si

(cl(A)) = ;:

Ejemplo 10.3 (a) Si el espacio métrico X no tiene pun-

tos aislados, todo subconjunto …nito es denso en ninguna
parte.

(b) Si fxng tiene un número …nito de puntos de acumu-

lación, entonces el conjunto A = fxn : n 2 Ng es denso
en ninguna parte:

(c) El conjunto de Cantor es denso en ninguna parte, no-

numerable, perfecto, compacto y tiene dimensión
log 2= log 3 0;631!

De…nición 10.4 Un subconjunto A de un espacio métri-

co es de primera categoría (magro) si es la unión numer-
able de conjuntos densos en ninguna parte. Si A no es de
primera categoría diremos que es de segunda categoría.
Lema 10.5 Sea A un subconjunto denso en ninguna parte
de un espacio métrico (X; d): Si U es un subconjunto
abierto no-vacío de X , entonces existe un abierto no-
vacío V U tal que

V \ A = ;:

Demostración. Supongamos que el lema es falso. En-

tonces, para cada x 2 U se tiene que

B (x; r) \ A 6= ; 8r > 0:
Esto signi…ca que todo elemento x 2 U es un punto
acumulación de A; es decir,

U cl(A);
lo cual contradice que cl(A) no tiene puntos interiores.
Por lo tanto, la conclusión del lema es cierta.

Theorem 10.6 Teorema de Baire. Un espacio métrico

completo es de segunda categoría, es decir, si fAng es
una colección numerable de subconjuntos densos en ningu-
na parte, entonces
S
X 6= An :
n=1

Demostración. Supongamos que el teorema es falso, es

decir, existe una sucesión fAng de subconjuntos densos
en ninguna parte tales que
S
X= An : (12)
n=1

Tomemos U = X y A = A1 y usemos el lema anterior.

Entonces, existe un abierto no-vacío V U tal que

V \ A1 = ;:
Tomemos x1 2 V y r1 > 0 tal que B (x1; r1) V:
Entonces
B (x1; r1) \ A1 = ;;
lo cual implica que

B [x1; r21 ] \ A1 = ;:
Repitamos la argumentación anterior tomando U = B (x1; r21 )
y A = A2: Entonces existe x2 2 X tal que

B [x2; r41 ] \ A2 = ;:

Entonces, existe una sucesión fxng de X y una sucesión

de bolas cerradas B [xn; 2rn1 ]; n 2 N; tales que

B [xn; 2rn1 ] \ An = ;

r1
B [xn+1; 2n+1 ] B [xn; 2rn1 ];
para todo n 2 N:

Por el teorema de encaje de Cantor,

1
T
B [xn; 2rn1 ] = fx g:
n=1
Finalemente, note que x 2
= [nAn, lo cual contradice
(12).
Corolario 10.7 Sea (X; d) un espacio métrico completo.
Si
1
S
X= Cn;
n=1
donde cada Cn; n 2 N; es cerrado, entonces

(CN ) 6= ;
para algún N 2 N:

Sea (X; d) un espacio métrico completo. Si Dn; n 2 N;

es una colección de subconjuntos densos abiertos, en-
tonces
1
T
Dn 6= ;
n=1
es un conjunto denso.

Demostración. Primero observe que si V es un subcon-

junto abierto y denso, entonces el subconjunto cerrado
F = V c es denso en ninguna parte. De lo contrario,
existiría x0 2 F y r > 0 tal que

B (x0; r0) F;
lo cual implica que
V \ B (x0; r0) = ;;
contradiciendo que V es denso.

Entonces, la colección
c ; n 2 N;
Fn := Dn
esta formada por densos en ninguna parte. Por el teorema
de Baire se sigue que
S
Fn 6= X:
n=1
Por lo tanto,
1
T
Dn 6= ;:
n=1

Corolario 10.8 Sea (X; d) un espacio métrico completo.

Si Dn; n 2 N; es una colección de subconjuntos densos
abiertos, entonces
1
T
D := Dn
n=1
es un subconjunto denso en X:

Demostración. Probaremos que

D \ B [x; r] 6= ; 8x 2 X; r > 0:

Fijemos x 2 X y r > 0: El conjunto

Y := B [x; r]
es un subconjunto cerrado en X: Entonces, (Y; dY ) es
completo.

Por otra parte, para cada n 2 N; el conjunto

Un := Dn \ Y
es denso en Y: Del corolario anterior se sigue que
1
T
D\Y =( Dn) \ Y
n=1

1
T
= (Dn \ Y ) 6= ;;
n=1
lo cual prueba el resultado deseado.
Observación 10.9 Sea F C ([a; b]) la familia de las
funciones que no tienen derivada en ningún punto. La
familia F c es un conjunto de primera categoría.

10.2. Teorema de Arzelà-Ascoli

De…nición 10.10 Sean (X; d) y (X ; d ) espacios métri-

cos y F una familia de funciónes f : X ! X:

(a) la familia F es puntualmente acotada si el conjunto

ff (x) : f 2 Fg
es un conjunto acotado en X para cada x 2 X:

(b) la familia F es acotada si el conjunto

ff (x) : x 2 X; f 2 Fg
es un conjunto acotado en X :
Observación 10.11 Sea (X; d) espacio métrico y F una
familia de funciones f : X ! R:

(a) F es puntualmente acotada si y sólo si para cada

x 2 X existe Mx > 0 tal que

jf (x)j Mx 8f 2 F :

(b) F es uniformemente acotada si y sólo si existe M >

0 tal que

jf (x)j M 8x 2 X; f 2 F :

Ejemplo 10.12 La sucesión de funciones

1
fn(x) := 1
; x 2 [0; 1); n 2 N;
x+ n
está puntualmente acotada:
1
0 fn(x) 8n 2 N:
Mx :=
x
Note que esta sucesión no está uniformemente acotada:

fn(0) = n 8n 2 N:
Lema 10.13 Sea ffng una sucesión de funciones con
valores reales de…nidas sobre un conjunto S: Si ffng es
puntualmente acotadas y S es numerable, entonces existe
una subsuceción convergente ffmk g.

Demostración. Denotemos por x1; x2; : : : ; a los ele-

mentos de S: Por hipótesis, para cada xi; i 2 N; existe
una constante Mi tal que

jfn(xi)j Mi 8n 2 N:
Entonces, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe
una colección de naturales n1k ; k 2 N; tal que

fn1 (x1) ! y1 2 R:
k
De nuevo por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe
una subcolección de naturales fn2k g de fn2k g tal que

fn2 (xi) ! yi 2 R; i = 1; 2:
k

La repetición de la argumentación anterior genera una

j
colección de naturales fnk gk:j=1 con las siguientes prop-
idades:
 j+1 j
(a) fnk g es subcolección de fnk g para cada j =
1; 2; : : : ;

(b) f j (xi) ! yi; i = 1; 2; : : : ; j:

nk k!1

Ahora observe que la colección

mk = nkk ; k 2 N;
j
es una subcolección de cada fnk gk=1; j = 1; : : : : En-
tonces:
fmk (xi) ! yi 8i 2 N;
lo cual prueba el resultado deseado.

De…nición 10.14 Sean (X; d); (X ; d ) espacios metri-

cos y F una familia de funciones de X en X :

(a) F es una familia equicontinua en x0 2 X si para

cada " > 0 existe = ("; x0) > 0 tal que si d(x; x0) <
entonces

d (f (x); f (x0)) < " 8f 2 F :

Si la familia F es equicontinua en todo punto x0 2 X
diremos simplemente que es equicontinua en X:

(b) F es una uniformemente equicontinua en X si para

cada " > 0 existe = " > 0 tal que si d(x; y ) <
entonces

d (f (x); f (y )) < " 8f 2 F :

Ejemplo 10.15 (a) Cualquier familia …nita de funciones

es equicontinua. Si el dominio es compacto, entonces
también es uniformemente equicontinua.

(b) Sean X; X ; Y espacios métricos y F : X X ! Z

una función continua. Si X; X son compactos, entonces
la familia
fy ( ) := F ( ; y ); y 2 X ;
es uniformemente equicontinua.
(c) Sea F una familia de funciones de X en X : Si la
familia es uniformemente de Lipschitz, es decir, existe
L > 0 tal que

d (f (x); f (y )) Ld(x; y ) 8x; y 2 X; f 2 F ;

entonces F es uniformemente equicontinua.

(d) La sucesión de funciones

fn(x) := xn; x 2 [0; 1]; n 2 N;

no es equicontinua en x0 = 1.

Proposición 10.16 Sean (X; d); (X ; d ) espacios métri-

cos, f; fn : X ! X funciones y F := ffn : n 2 N g:

(a)Si F es equicontinua (uniformemente equicontinua,

resp.) y fn ! f; entonces f es continua (uniforme-
mente continua, resp.) y

F [ ff g
es (uniformemente equicontinua, resp.) equicontinua.
 unif orm
(b) Si fn; n 2 N; es continua, fn ! f y X es
compacto, entonces F es equicontinua.

Demostración. (a) Para cada " > 0 y x0 2 X existe

= ("; x0) > 0 tal que

d (fn(x); fn(y )) < " 8n 2 N:

Tomando límite cuando n ! 1 resulta que

d (f (x); f (y )) < " 8x 2 B (x0; );

lo cual prueba que f es continua en x0 y que F [ ff g
es equicontinua.

La segunda a…rmación se prueba de forma similar.

(b) De la convergencia uniforme, para cada " > 0 existe

N = N (") > 0 tal que

d (fn(x); fN (x)) < "=3 8x 2 X; n N:

Puesto que X; es compacto, cada fi; n = 1; : : : ; N es
uniformemente continua: existe i > 0 tal que

d (fn(x); fn(y )) < "=3 si d(x; y ) < n; n = 1; : : : ; N:

Tomando d(x; y ) < := m nf i : n = 1; : : : ; N g se
obtiene

d (fn(x); fn(y )) < "=3 8n = 1; : : : ; N

Por otra parte, si d(x; y ) < yn N entonces

d (fn(x); fn(y )) d (fn(x); fN (y )) + d (fN (y ); fN (x))

+ d (fN (x); fn(y ))

< ":

Resumiendo, si d(x; y ) < entonces

d (fn(x); fn(y )) < " 8n 2 N:

Proposición 10.17 Sean (X; d) y (X ; d ) espacios métri-
cos y C (X; X ) la familia de funciones continuas f :
X ! X . Si X es compacto, entonces:

(a) toda familia F C (X; X ) equicontinua es uniforme-

mente equicontinua;

(b) toda familia F C (X; X ) equicontinua y puntual-

mente acotada es uniformemente acotada.

Theorem 10.18 Teorema de Arzelà-Ascoli. Sean (X; d)

y (X ; d ) espacios métricos; X es compacto. Si ffng es
una sucesión en C (X ) puntualmente acotada y equicon-
tinua, entonces ffng tiene una subsucesión uniforme-
mente convergente.

Demostración. Comencemos observando los siguientes

hechos.
(i) ffng es uniformemente acotada y uniformemente equicon-
tinua (Proposicíon *.*): para cada " > 0 existe > 0
tal que si d(x; y ) < " entonces

d (fn(x); fn(y )) < "=4 8n 2 N:

(ii) Puesto que X es compacto X es separable, es decir,

exise un subconjunto denso numerable D (Proposición
*.*). Entonces
S
X= d2D B (d; )
para cada > 0: Por la compacidad de X nuevamente,
existe una colección …nita d1; : : : ; dM de elementos de
D tales que
SM
X = i=1B (di; ):
Note que dicha colección depende de :

(iii) existe una subsucesión fgng de ffng que converge

puntualmente en D (Proposición *.*). Entonces, para
cada i = 1; : : : ; M existe Ni tales que

d (gn(di); gm(di)) < "=4 8n; m Ni :

De esto se sigue que

d (gn(di); gm(di)) < "=4 8n; m N; i = 1; : : : ; M;

donde N = maxi=1;:::;M Ni:

A continuación mostraremos que la sucesión fgng es de

Cauchy con la métrica del supremo:

dsup(f; g ) = sup d (f (x); g (x)):

x2X

Sea x 2 X arbitrario y " > 0: Tomemos > 0 tal que

se cumpla la propiedad de continuidad de ffng y di tal
que x 2 B (di; ): Entonces

d (gn(x); gm(x)) d (gn(x); gn(di)) + d (gn(di); gm(di))

+ d (gm(di); gm(x))

< 3"=4 8n; m N:

En consecuencia,

dsup(gn; gm) < " 8n; m N;

lo cual prueba que fgng es de Cauchy con respecto a
dsup:

Puesto que el espacio (C (X ); dsup) es completo, con-

cluimos que fgng es convergente.

Theorem 10.19 Sea (X; d) un espacio métrico com-

pacto y F un subconjunto de (C (X ); dsup). Las sigu-
ientes a…rmaciones son equivalentes:

(a) F es un subconjunto compacto de C (X );

(b) F es una familia cerrada, puntualmente acotada y

equicontinua.

Demostración. (a) =) (b) Si F es una familia com-

pacta, entonces es cerrada y acotada. Sólo resta probar
que F es equicontinua.
Fijemos " > 0 y observemos que de la compacidad se
sique
S
F = f 2F B (f; ")

S
= f 2F0 B (f; ");
donde F0 es un subconjunto …nito de F :

Puesto que una función continua sobre un compacto es

uniformemente continua y la famila F0 es …nita, existe
> 0 tal que
d (g (x); g (y )) < "=3 si d(x; y ) <
para todo g 2 F0:

Sea f 2 F arbitraria y tomemos g 2 F0 tal que f 2

B (g; "): Entonces
d (f (x); f (y )) d (f (x); g (x)) + d (g (x); g (y ))

+ d (g (x); f (y ))

<"
siempre que d(x; y ) < : Esto prueba que F es equicon-
tinua.

(a) =) (b) Esta implicación es el Teorema de Arzelá-

Ascoli.

10.3. Teorema de Stone-Weierstrass

Theorem 10.20 Teorema de aproximación de Weierstrass.

La familia de los polinomios es densa en (C ([a; b]; dsup),
es decir, para cada f 2 C ([a; b]) y cada > 0 existe un
polinomio p : [a; b] ! R tal que
jjf pjj1 = sup jf (x) p(x)j < ":
x2[a;b]

Para n 2 N de…na Bn : C ([0; 1]) ! C ([0; 1])

n
X
Bnf (x) := k ) n xk (1
f (n x)n k
k
k=0
Proposición 10.21 Sea n 2 N …jo.

(a) Bn es un operador lineal:

Bn( f + g ) = Bnf + Bng ;

(b) Bn es un operador monótono: si f g entonces

Bn f Bn g ;

(c) en particular,
jBnf j Bnjf j

Proposición 10.22 Para cada n 2 N :

Bn 1 = 1 ;

Bn x = x;

n 1 2 1
Bn x2 = x + x
n n

x x2
= x2 + :
n
Demostración. Derivando con respecto a a las expre-
siones de la igualdad
n
X n k n k
k a b = (a + b)n;
k=0
se obtiene
n
X
k n
k ak 1 bn k = n(a + b)n 1 : (13a)
k=0
Tomemos a = x; b = 1 x y multipliquemos por x=n
en la igualdad anterior:
n
X x n k 1 x
k k x (1 x)n k = n(x + 1 x)n 1;
k=0
n n

Xn
k n k
k x (1 x)n k = x;
k=0
n

Bnx = x:
Multipliquemos (13a) por a :
n
X
k n
k ak bn k = na(a + b)n 1 :
k=0
 n
X
k n
k ak bn k = na(a + b)n 1 :
k=0

Derivemos con respecto a a ambas partes de la igualdad:

n
X
k2 n
k ak 1 bn k = n(a+b)n 1 +n(n 1)a(a+b)n 2 :
k=0
Como se hizo antes, tomemos a = x y b = 1 x:
n
X
k2 n
k xk 1 (1 x)n k = n + n(n 1)x
k=0
y luego multipliquemos por x=n2 :
n
X k2 n k x
2 k
x (1 x)n k = 2 [n + n(n 1)x];
k=0
n n

x n 1 2
= + x ;
n n

x n 1 2
Bnx2 = + x :
n n
Demostración. del teorema de aproximación de Weier-
strass. Sea f 2 C ([0; 1]): Puesto que [0; 1] es compacto,
f es uniformemente continua.

Sea " > 0 arbitrario. Tomemos = (") > 0 tal que

jf (x) f (y )j < " si d(x; y ) < :

Además f es acotada:

M := sup jf (x)j:
x2[0;1]
Probaremos que para a 2 [0; 1] se cumple la desigualdad
" 2M
jf (x) f (a)j + 2 (x a)2 8x 2 [0; 1]:
2
Si jx aj < ; esta desigualdad se cumple por la con-
tinuidad uniforme. Si jx aj ; entonces

(x a)2
2
1;
lo cual a su vez implica que

jf (x) f (a)j 2M

(x a)2
2M 2

" 2M
+ 2 (x a)2:
2

De las propiedades del operador Bn resulta que

" 2M
jBnf (x) f (a)j + 2 Bn(x a)2:
2
Por otra parte, tenemos que

Bn(x a)2 = Bn(x2 2ax + a2)

= Bn x2 2aBnx + Bna2

x x2
= x2 + 2ax + a2
n

x x2
= (x a)2 + :
n
Entonces
" 2M x x2
jBnf (x) f (a)j + 2 [(x a)2 + ]
2 n

" 2M a a2
jBnf (a) f (a)j + 2
2 n

" 2M 1 " M 1
+ 2 = + 2 :
2 4n 2 2 n
Resumiendo:
" M 1
jBnf (a) f (a)j + 8a 2 [0; 1];
2 2 2n

" M 1
jjBnf f jj1 + :
2 2 2n
Para concluir, tomemos n tal que
M 1 "
2
< :
2 n 2

Observación 10.23 El teorema de aproximación de Weier-

strass implica que (C ([a; b]; d1) es separable.
De…nición 10.24 Sea (X; ) un espacio topológico y
C (X ) el espacio de las funciones continuas f : X ! R:

(a) Una familia A C (X ) es un álgebra (de funciones)

si para toda f; g 2 A se cumple:

(i) f + f 2 A para todo ; 2 R;

(ii) f g 2 A;

(b) Un álgebra A no se anula en X si para cada x 2 X

existe f 2 A tal que f (x) 6= 0;

(c) Un álgebra A separa puntos de X si para cada x 2

X existe f; g 2 A tales que f (x) 6= g (x):

Theorem 10.25 Teorema de Stone-Weierstrass. Sea (X; )

un espacio topológico de Hausdor¤. Si A C (X ) es una
álgebra que separa puntos de X y que contiene las fun-
ciones constantes, entonces A es densa en C (X ):
Ejemplo 10.26 La familia de los polinomios trigonométri-
cos
n
X
T (x) = a0 + (ak sin kx + bk cos kx)
k=1
es un álgebra que separa puntos y contiene a las funciones
constantes. Por el teorema de Stone-Weierstrass dicha
familia es densa en el espacio de las funciones continuas
periódicas con periodo 2 de…nidas sobre R:

11. Propiedades topológicas

!Sección en proceso de redacción!

De…nición 11.1 Un espacio topológico (X; ) es com-

pacto si toda cubierta abierta de X contiene una subcu-
bierta …nita. Un subconjunto A de X es compacto si el
espacio topológico (A; A) es compacto.
Theorem 11.2 Sean (X; ) y (Y; ) espacios topológi-
cos. Suponga que (X; ) es compacto.

(a) todo subconjunto cerrado A de X es compacto;

(b) si adicionalmente (X; ) es de Hausdor¤, todo sub-

conjunto compacto A de X es cerrado;

(c) si f : (X; ) ! (Y; ) es continua, entonces f (X )

es compacto

De…nición 11.3 Diremos que dos espacios topológicos

(X; ) y (X ; ) son homeomorfos si existe función

f :X!X
tal que:

(a) f es biyectiva;

(b) f es continua;
(c) f 1 es continua.

A f se le llama homeomor…smo entre los espacios topológi-

cos (X; ) y (X ; ):

Ejemplo 11.4 Las propiedades (a) y (b) en la De…nición

(11.3) no implican (c). Por ejemplo, considere el conjunto

S1 := f(x; y ) 2 R : x2 + y 2 = 1g;
y la función f : [0; 2 ) ! S1 de…nida como

f (t) = (cos t; sin t); t 2 [0; 2 ):

La función f es una biyección continua, pero su función

inversa f 1 : S1 ! [0; 2 ) no es continua en p = (0; 0):
Para veri…car esta a…rmación tomemos tn # 0 y sn " 2 :

(cos tn; sin tn) ! p;

f 1(cos tn; sin tn) = tn ! 0;

(cos sn; sin sn) ! p;

f 1(cos sn; sin sn) = sn ! 2 :

Theorem 11.5 Suponga que f : (X; ) ! (X ; ) es

una biyección continua. Si X es compacto, entonces f
es un homeomor…smo, es decir, f 1 es continua.

De…nición 11.6 Un invariante topológico o propiedad

topológica es una propiedad de un espacio topológico
que se conserva bajo homeomor…smos.

Ejemplo 11.7 (a) La compacidad es una propiedad topológ-

ica, es decir, si (X; ) y (X ; ) son homeomorfos y X
es compacto, entonces X es compacto.
(b) La completez no es una propiedad topológica. La fun-
ción

f : [1; 1) ! (0; 1]

f (x) = 1=x
es un homeomor…smo. Note que (0; 1] no es completo
pero [1; 1) sí lo es.

(c) La propiedad de separabilidad es una propiedad topológ-

ica. Recuerde que un espacio es separable si existe un
subconjunto denso numerable.

Ejemplo 11.8 (a) Los conjuntos [0; 1] y R no son home-

omorfos.

(b) Los conjuntos S1 y D = f(x; y ) 2 R2 : y = x2g no

son homeomorfos.

(c) S1 y el conjunto F = [0; 1] [0; 1] son homeomorfos.

De…nición 11.9 Diremos que A es un conjunto dirigi-
do si existe una relación binaria “<” en A con las sigu-
ientes propiedades:

(a) a < a para todo a 2 A;

(b) a < b; b < c ) a < c;

(c) para cada a; b 2 A existe c 2 A tal que c < a y

c < b:

A la relación “<” le llamaremos dirección en A:

Ejemplo 11.10 (a) El conjunto N es un conjunto dirigi-

do con la relación de orden natural: m < n si m n:

Ejemplo 11.11 (b) Sea x un elemento de un espacio

topológico (X; ) y Fx la familia de las vecindades abier-
tas de x: Para V; U 2 Fx de…nimos la relación
V <U si V U:
Claramente Fx es un conjunto dirigido con respecto a
<:
De…nición 11.12 (a) Una red sobre un conjunto X es
una función : D ! X donde D es un conjunto di-
rigido. A un elemento de D se le llama índice y a D
conjunto de índices. A la red usualmente se le deno-
ta como fx g 2D ; si no hay posibilidad de confusión,
también se denota como fx g:

(b) fy g 2 es una subred de fx g 2D si existe una

función ' : ! D tal que:

(i) y = x' ; donde ' := '( );

De…nición 11.13 (ii) para cada 0 2 D existe 0 2

tal que < 0 implica que ' <D 0:

De…nición 11.14 Sea fx g 2D una red en un espacio

topológico (X; ). Diremos que fx g 2D converge a
x 2 X si para cada vecindad V de x existe 0 tal que
x 2 V 8 < 0:
Si esto ocurre se denota como x ! x. Además, a x se
le llama límite de la red fx g 2D .
Theorem 11.15 Sea (X; ) un espacio topológico de
Hausdor¤. Si la red fx g 2D en X tiene límite, este
es único.

Theorem 11.16 Sean (X; ); (Y; ) espacio topológi-

cos y f : X ! Y: Las siguientes a…rmaciones son equiv-
alentes:

(a) f es continua en x 2 X ;

(b) para toda red x ! x se cumple que f (xa) ! f (x):

Theorem 11.17 Sea (X; ) un espacio topológico.

(a) X es compacto (por cubiertas);

(b) cada red en X tiene una subred convergente.

Referencias

[1]

[2] An elementary derivation of the Cauchy, Holder and

Minkowski inequalities Tolsted 1964

[3] ED Bloch (2011), The Real Numbers and Real

Analysis, Springer.

[4] MM Deza, E Deza (2009), Encyclopedia of Dis-

tances, Springer-Verlag.

[5] JR Giles (1987), Introduction to the Analysis of Met-

ric Spaces, Cambridge University Press.

[6] S Kumaresan (2005), Topology of Metric Spaces,

Alpha Science Intl. Ltd.
 [7] EA Ok (2007), Real Analysis with Economic Appli-
cations, Princeton University Press.

[8] V Montesinos, P Zizler, V Zizler (2015), An Intro-

duction to Modern Analysis, Springer.

[9] RS Palais (2007), A simple proof of the Banach con-

traction principle, J. of Fixed Point Theory and Ap-
plications 2, 221-223

[10] Manya Raman-Sundström (2015), A pedagogical

history of compactness, The American Mathemat-
ical Monthly 122, 619-635.

[11] H Thurston (1994), Math bite: a simple proof that

every sequence has a monotone subsequence, Math-
ematics Magazine 67,344.
[12] Wikipedia contributors (2013), Helly metric, Wiki
pedia, The Free Encyclopedia, Retrieved 17 Au-
gust 2018 01:01 UTC, https://en.wikipedia.org/w/
index.php?title=Helly_metric&oldid=558883774.

[13] Wikipedia contributors (2018), Metric spaces,

Wikipedia, The Free Encyclopedia, Retrieved 13
August 2018 17:40 UTC, https://en.wikipedia.org/
w/index.php?title=Metric_space&oldid=850154980.

[14] Wikipedia contributors (2018), Young’s inequality

for products, Wikipedia, The Free Encyclope-
dia, Retrieved 17 August 2018 00:33 UTC,
https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Young
%27s_inequality_for_products&oldid=840814376.