Control y Simulacion de Procesos
Control y Simulacion de Procesos
Control y Simulacion de Procesos
Modelamiento y Anlisis de
Sistemas Lineales y No Lineales
Melanio A. Coronado H.
2013
ii
Contenido
Prlogo
VII
1
27
29
67
107
127
147
169
199
229
251
265
267
287
325
351
369
iii
iv
Prlogo
El estudio de la dinmica de un sistema consiste en el conocimiento de su
comportamiento a travs del tiempo, cuando su estado en condiciones estacionarias
es perturbado. El procedimiento se inicia con el modelamiento matemtico de los
fenmenos de transporte de materia, energa y cantidad de movimiento transcurridos
durante su operacin y termina con el anlisis sobre las caractersticas de la
respuesta del sistema ante cambios en algunas de sus condiciones determinantes de
su estado y, especialmente, sobre las posibilidades alcanzar estados estables
deseables.
Segn la naturaleza del sistema y las consideraciones asumidas en su planteamiento,
el modelo resultante puede ser distribuido o globalizado. En el primero de los casos
se incluyen las variaciones, tanto espaciales como del tiempo, de las condiciones del
sistema y el modelo matemtico se expresa mediante ecuaciones diferenciales
parciales; en el segundo tipo solo se tiene en cuenta el tiempo como variacin de las
condiciones del sistema y el modelo matemtico se expresa mediante ecuaciones
diferenciales ordinarias. Cualquiera que sea el tipo de modelo, se complementa con
ecuaciones algebraicas como las que expresan el equilibrio entre varias fases y las
relaciones de velocidad de una reaccin, entre otras.
Los modelos matemticos que expresan la dinmica de un sistema pueden incluir
una o ms variables como determinantes de su estado y presentar, en su expresin
matemtica, trminos lineales o no lineales. Todo lo descrito anteriormente hace que
un sistema desde un punto de vista dinmico se caracterice como de modelo
distribuido o globalizado, multivariable o univariable, lineal o no lineal.
El Mdulo I de esta serie denominada DINMICA DE SISTEMAS slo incluye
el tratamiento de sistemas afines a los procesos qumicos cuya dinmica se modela
en forma globalizada y las ecuaciones matemticas correspondientes son lineales o
no lineales. El libro est subdividido en tres secciones: la primera seccin es la
leccin 1 que trata de conceptos fundamentales para el modelamiento matemtico de
sistemas de la ingeniera qumica; la segunda seccin trata de la dinmica de los
sistemas lineales y comprende desde la leccin 2 hasta la leccin 10 y la tercera
seccin trata de la dinmica de sistemas no lineales y la constituyen las lecciones 11
a 15. Las lecciones 2, 3, 4, 5 y 6 estudian la dinmica de sistemas lineales con una
v
SECCIN I
MODELAMIENTO Y SIMULACIN
vii
viii
de
de
de
de
de
ci (v z ci )
Ri mi(t )
t
z
Balance de energa
C p
T
T
(t )
vz
SR E
consiste en decir que cuando el tiempo tiende hacia el infinito desaparecen los
estados transitorios y el sistema es invariante con respecto al tiempo y, por lo tanto,
los trminos derivativos se hacen iguales a cero Los procesos en estado no
estacionario tambin se pueden llamar transitorios o dinmicos.
Aun cuando ha sido una prctica usual de los procedimientos de diseo de procesos,
desarrollarlos para la operacin en estado estacionario, cuando comenz a estudiarse
ampliamente el control de procesos se encontr que la operacin en estado no
estacionario era muy importante. Por supuesto que el anlisis y el diseo de un
proceso en estado no estacionario requiere ms tipos diferentes y detallados de
informacin que en el caso de estado estacionario, pero el anlisis dinmico de la
operacin prolongada suele con frecuencia conducir a un mejor diseo desde el
punto de vista econmico, que al fin y al cabo, es lo que importa.
Un ejemplo tpico de un proceso en estado no estacionario puede ser la puesta en
marcha de una columna de destilacin, que alcanzar eventualmente un conjunto de
condiciones de operacin en estado estacionario. De hecho, cuando se examina con
ms detalle, se encuentra que la columna siempre opera en estado estacionario con
pequeas fluctuaciones de temperatura y concentracin, que se producen en todo
momento, pero que posiblemente oscilan alrededor de los valores medios en estado
estacionario. El anlisis dinmico ayuda a minimizar las desviaciones de las
especificaciones del producto durante la puesta en marcha, parada o cambios en los
niveles de operacin.
As, para ver si debe utilizarse una ecuacin de parmetro distribuido o globalizado,
es necesario conocer algo acerca de los detalles internos del elemento en cuestin.
Debido a que los procedimientos matemticos para la resolucin de sistemas de
parmetro globalizado son ms sencillos que para los sistemas de parmetro
distribuido, con frecuencia se aproxima este ltimo por un sistema equivalente de
parmetro globalizado. Mientras que la globalizacin resulta, con frecuencia, posible
es preciso tener mucho cuidado en evitar el enmascaramiento de las caractersticas
sobresalientes del elemento distribuido (lo que dar lugar a la construccin de un
modelo inadecuado) debido a la globalizacin. Adems, la variabilidad o no
linealidad del modelo de parmetro globalizado puede dar lugar a un tratamiento
matemtico tan difcil como el modelo original no globalizado.
Un ejemplo importante es el tanque de mezcla que se emplea para el mezclado de
fluidos o para efectuar reacciones qumicas. Generalmente, se basan los clculos en
la suposicin de que el tanque est perfectamente agitado de forma que todo el
volumen del mismo consiste en un material homogneo de caractersticas idnticas
al producto que sale del tanque. Ahora bien, en un tanque real existen placas
deflectoras, esquinas, etc., y la mezcla no es perfecta en todas las regiones, lo que
conduce a falta de uniformidad en el tanque. Con frecuencia se ignoran estas
variaciones y se emplean ciertos valores medios para las propiedades del material
contenido en el tanque. Para muchos propsitos la suposicin globalizada resulta
bastante satisfactoria, aunque para ciertos tipos de reacciones qumicas el mezclado
no ideal puede tener efectos importantes. Las variaciones espaciales consideradas en
los modelos de parmetro distribuido pueden ser para una dimensin solamente o
para dos o tres. Por ejemplo, en los mtodos habituales de diseo de un absorbedor
de gases con relleno se supone que las concentraciones varan en forma continua en
la direccin axial o de flujo, pero en cambio se ignoran en la direccin radial. En un
reactor tubular o de partculas de relleno se le considera, generalmente, en la misma
forma pero en este caso los gradientes radiales de temperatura pueden ser
importantes. Para tener en cuenta lo anterior se hace necesario utilizar un modelo de
parmetro distribuido de dos o tres dimensionasen el que se consideren las
variaciones radial y axial de la temperatura y la concentracin.
de
Entrada
de
Salida
de Masa
(1.1)
En la ecuacin (1.1) cada uno de los trminos expresa unidades de masa por unidad
de tiempo. El miembro derecho de la ecuacin corresponde a un trmino rapidez de
cambio de masa, es decir, a una derivada con respecto al tiempo
de
de
de
de
de
(1.2)
Entrada Salida
Generacin Consumo Acumula c i n
En la ecuacin (1.2) cada uno de los trminos expresa una cantidad de moles de
componente por unidad de tiempo. Los flujos molares de entrada y salida son tanto
convectivos como difusivos. Los trminos Rapidez de Generacin, Rapidez de
consumo y Rapidez de Acumulacin se expresan como derivadas con respecto al
tiempo. En el planteamiento de un modelo se requieren tantos balances de materia
como componentes estn presentes en el sistema.
de Energia de Energia Aadido al
Entrada Salida Sistema
por el
de Energa
Sistema
en el Sistema
(1.3)
11
En la ecuacin (1.3) cada uno de los trminos expresa una cantidad de energa por
unidad de tiempo. Los flujos energticos totales de entrada y salida incluyen energa
interna, cintica y potencial tanto por conveccin como difusin. El flujo calrico
aadido al sistema incluye las transferencias por conduccin, radiacin y de
reaccin. El trabajo realizado por el sistema sobre los alrededores incluye trabajo de
eje y de tipo presin por flujo volumtrico. El trmino rapidez de cambio de energa
en el sistema es la del cambio en energa interna y potencial del sistema.
(1.4)
FlujodeCal or
(1.5)
Ecuaciones de estado
En el planteamiento de un modelo pueden necesitarse las relaciones entre algunas
propiedades fsicas o termodinmicas con la temperatura, presin o concentracin.
Lo anterior se puede plantear con respecto a la densidad y a la entalpa de la
siguiente forma:
DensidadLquido L
DensidadVapor V
f ( P, T , xi )
f ( P, T , yi )
(1.6)
(1.7)
EntalpaL quido h
f ( P, T , xi )
(1.8)
EntalpaVa por H
f ( P, T , yi )
(1.9)
12
(1.10)
(1.11)
h C P (T )dT
To
(1.12)
x h M
i 1
N
i i
x M
i 1
(1.13)
i
Las densidades de los lquidos pueden asumirse como constantes siempre y cuando
no se observen grandes cambios en ellas con los cambios de temperatura y
composicin. Las densidades de los vapores no pueden considerarse constantes y
para sus clculos se aplica, generalmente, una ecuacin de estado. Considerando un
comportamiento ideal, la densidad de un vapor se puede calcular con la ecuacin
nM MP
V
RT
13
(1.14)
Estado de Equilibrio
La segunda ley de la termodinmica nos facilita las ecuaciones que nos expresan las
condiciones de un sistema para que se mantenga en estado de equilibrio, ya sea que
se trate del equilibrio de un sistema reaccionante (Equilibrio Qumico) o del
equilibrio entre varias fases (Equilibrio Fsico)
Equilibrio Qumico
En una reaccin qumica en estado de equilibrio se cumple que la suma total de los
potenciales qumicos de cada uno de los componentes de la reaccin es igual a cero
(considerando al potencial de los reaccionantes con signos negativos y el de los
productos con signos positivos).
(1.15)
C e De
Ke
Aea Bbe
(1.16)
Ke
Pcc,e Pdd,e
Paa,e Pbb.e
14
(1.17)
Equilibrio Fsico
El equilibrio entre dos fases ocurre cuando el potencial qumico de cada componente
es el mismo en ambas fases. Para un sistema de dos fases lquido y vapor se pueden
aplicar las siguientes leyes o considerandos:
Ley de Dalton: Para una fase vapor con comportamiento ideal se aplica la ley de
Dalton que calcula la presin parcial de cada componente como el producto de la
fraccin molar del componente en la fase vapor y la presin total
Pi yi PT
(1.18)
Ley de Raoult: Para una fase lquida con comportamiento ideal se aplica la ley de
Raoult en la cual se iguala la presin parcial de un componente en la fase vapor con
la presin de saturacin del componente puro en la fase lquida de la siguiente
manera:
yi PT xi Pi o
(1.19)
PT xi Pi o
(1.20)
i 1
ij
y i / xi
yj / xj
(1.21)
x
1 ( 1) x
(1.22)
Ki
yi
xi
(1.23)
Cintica Qumica
El modelamiento de reactores requiere del manejo de las relaciones y la
terminologa que se utiliza al describir la cintica de las reacciones qumicas
mediante sus ecuaciones de velocidad de reaccin. Estas ecuaciones expresan la
dependencia de la velocidad de una reaccin con la concentracin de los
reaccionantes y la temperatura de la reaccin.
16
(1.24)
Los exponentes a y b son los rdenes de la reaccin con respecto a cada uno de los
reaccionantes Con esta definicin suelen caracterizarse las reacciones desde el punto
de vista cintico como de primer orden, segundo orden, etc.
Ecuacin de Arrhenius
La dependencia de la velocidad de reaccin con la temperatura se incluye en la
constante especfica de velocidad de reaccin. La ecuacin de Arrhenius es muy
usual para considerar la influencia de la temperatura en la constante de velocidad de
reaccin de la siguiente forma:
E
k A exp
RT
(1.25)
17
dY (t )
Y (t ) KX (t )
dt
Primer Orden:
Segundo Orden:
d 2Y (t )
dY
2
Y (t ) KX (t )
2
dt
dt
18
(1.26)
(1.27)
dY (t )
Y (t ) KX (t )
dt
(1.28)
19
X (t ) x(t ) x(o)
(1.29)
para t 0
x(t ) 0
para t 0
(1.30)
para t 0
(1.31)
La representacin grfica de una funcin paso es una lnea recta horizontal como se
observa en la Figura 1.1. Si el tamao del paso es igual a la unidad, la perturbacin
se Funcin Paso Unitario y se simboliza
20
U (t ) 1
para t 0
(1.32)
X(t)
(1.33)
(1.34)
x(t)
t
to
Impulso de rea k
(1.35)
22
(1.36)
Siendo k, una constante. Este tipo de cambio se aplica, por ejemplo, en el modo de
variar con el tiempo del valor deseado de la presin o de la temperatura de un
reactor operado por lotes. La representacin grfica de una funcin rampa de
pendiente k se observa en la Figura 1.4:
X(t)
x(t) = kt
t
0
Respuesta Sinusoidal
La variacin sinusoidal de una variable de entrada se expresa como una funcin
seno con una determinada frecuencia, w, y amplitud, A, de la siguiente manera:
x(t ) ASen (wt )
(1.37)
x(t)
x(t) = Asen(wt)
A
t
Dominio Tiempo
En el dominio del tiempo, las variables se manejan directamente en funcin del
tiempo y los mtodos de solucin de las ecuaciones diferenciales, tanto analticos
como numricos, se resuelven directamente en trminos del tiempo. Para cada uno
de los cambios descritos anteriormente para una variable de entrada, las funciones
empleadas son las definidas en funcin del tiempo.
Dominio Laplace
Al aplicar transformada de Laplace tanto a las variables de entrada como a las
ecuaciones diferenciales, el anlisis no se plantea en trminos del tiempo sino de una
nueva variable s. Para cada una de las perturbaciones anteriores las
correspondientes transformadas de Laplace son:
24
Respuesta Paso:
Respuesta Pulso:
Respuesta Impulso:
Respuesta Rampa:
Respuesta Seno:
h
s
h( s ) h ( s ) e t o s h
X ( s)
(1 e to s )
s
s
s
X ( s) k
k
X ( s) 2
s
Aw
X ( s) 2
s w2
X ( s)
(1.38)
(1.39)
(1.40)
(1.41)
(1.42)
dY (t )
Y (t ) KX (t )
dt
Y (s)
K
X ( s ) s 1
Dominio Frecuencia
El estudio dinmico de un sistema en el dominio de la frecuencia se fundamenta en
las caractersticas que muestra la respuesta de un sistema de primer orden lineal ante
una perturbacin sinusoidal de cierta frecuencia y amplitud en su variable de
entrada. A partir de estas caractersticas se definen unas propiedades que dependen
de la frecuencia de la onda sinusoidal de entrada como son la relacin entre las
amplitudes entre la funcin sinusoidal de entrada y la respuesta del sistema y el
25
desfase entre ellas y a partir de estas se plantean unos conceptos como los de Bode y
Nyquist muy tiles y aplicables en el anlisis de cualquier sistema. Los mtodos de
anlisis en el dominio de la frecuencia son un poco ms abstractos que los
correspondientes en los otros dominios y se apoyan en el concepto de funcin de
transferencia propio de los estudios en el dominio de Laplace.
Y CX Du
Cada una de las letras A, B, C, D representa una matriz. X es el vector de las
variables de estado del sistema y el punto arriba simboliza el vector de sus derivadas
con respecto al tiempo; Y es el vector de las variables de salida del sistema y u
es el vector de las variables de entrada. A y B son las matrices de los coeficientes de
cada uno de los trminos lineales en cada una de las ecuaciones diferenciales. C y D
son matrices que expresan una relacin entre las variables de estado y de entrada con
las de salida
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation.
Prentice Hall International Series. 1998
Edgar T.F., Himmelblau D.M. Optimization of Chemical Processes.
McGraw-Hill International Editions. 1989
Himmelblau D.M., Bischoff K.B. Anlisis y Simulacin de Procesos.
Editorial Reverte S.A. 1976
Luyben W.L. Process Modeling, Simulation and Control for Chemical
Engineers. Second Edition. McGraw-Hill International Editions. 1990
26
SECCIN II
SISTEMAS LINEALES
27
28
a1
dy(t )
ao y(t ) b1 x(t ) bo
dt
(2.1)
(2.2)
a1
dY (t )
aoY (t ) b1 KX (t )
dt
(2.3)
ara el anlisis dinmico de un sistema lineal de primer orden SISO, los parmetros
de la ecuacin diferencial (2.3) suelen reagruparse dividiendo toda la ecuacin por
a o de tal manera que se transforma a:
29
a1 dY (t )
b
Y (t ) 1 X (t )
ao dt
ao
(2.4)
Las relaciones entre los parmetros fsicos del sistema que se observan en la
ecuacin (2.4) suelen sustituirse por smbolos que expresan parmetros de
significado dinmico como son la constante de tiempo y la ganancia K ,
resultando la ecuacin diferencial caracterstica de un sistema lineal de primer orden
SISO as:
dY (t )
Y (t ) KX (t )
dt
(2.5)
Y ( s)
K
X ( s)
s 1
G( s)
Y ( s)
X ( s)
(2.6)
G( s)
Y (s)
K
X ( s)
s 1
(2.7)
Respuesta Paso
Al considerar que en la funcin de transferencia (2.7) la variable de entrada es
perturbada con un cambio paso constante h, la transformada de Laplace es X ( s)
h
,
s
Y ( s)
Kh /
s( s 1 / )
(2.8)
Y ( s)
A
B
s
s 1/
(2.9)
A lim
s 0
Kh /
Kh
s 1/
32
B lim
s 1 /
Kh /
Kh
s
t
Y (t ) Kh 1 exp
(2.10)
33
(2.11)
Capacidad
Capaci tan cia
(2.12)
(2.13)
Respuesta Rampa
Al considerar que en la funcin de transferencia (2.7) la variable de entrada es
perturbada con un cambio rampa de pendiente r, la transformada de Laplace es
34
X ( s)
r
y la respuesta del sistema en el dominio de Laplace se puede escribir
s2
como:
Y ( s)
Kr /
s (s 1 / )
2
(2.14)
Y ( s)
A
B
C
2
s
s
s 1/
(2.15)
d Kr /
Kr
s0 ds s 1 /
Kr
B lim
Kr
s0 s 1 /
Kr /
C lim
Kr
s1 /
s2
A lim
t
Y (t ) Kr exp t
(2.16)
(2.17)
Y (t )
y el tiempo es lineal con
K
Respuesta Seno
Al considerar que en la funcin de transferencia (2.7) la variable de entrada es
perturbada con un cambio seno de amplitud A y frecuencia angular w, la
36
transformada de Laplace es X ( s)
Aw
y la respuesta del sistema en el dominio
s w2
2
Y (s)
KAw /
( s w2 )( s 1 / )
2
(2.18)
Y ( s)
A
B
C
s jw s jw s 1 /
(2.19)
KAw /
KA
1
A lim
(w j)
2
2
s jw ( s jw)( s 1 / )
2(1 w )
KAw /
KA
1
B lim
(
w
j)
s jw ( s jw)( s 1 / )
2(1 w2 2 )
C lim
s 1 /
KAw /
KAw
2
2
s w
1 w2 2
37
Y (t )
KAw
KA
t
exp
Senwt
2
1 ( w )
1 ( w ) 2
(2.20)
Y (t )
KA
1 ( w ) 2
Senwt
(2.21)
Arespuesta
KA
1 ( w ) 2
(2.22)
Y (t ) KX (t )
(2.23)
39
Y (s) KX (s)
G( s) K
(2.24)
(2.25)
Kh
s
Y (t ) Kh
Y ( s)
(2.26)
(2.27)
La figura 2.4 muestra una respuesta paso de un sistema de ganancia pura que es una
amplificacin de la variable de entrada.
r
, y la respuesta del sistema en el dominio de Laplace se puede escribir
s2
como:
40
Y (s)
Kr
s2
(2.28)
(2.29)
La Figura 2.5 muestra una respuesta rampa con una pendiente mayor que la funcin
rampa de la variable de entrada
Aw
y la respuesta del sistema en el dominio
s w2
2
Y ( s)
KAw
s w2
2
(2.30)
(2.31)
La figura 2.6 muestra una respuesta seno con una amplitud mayor y con la misma
frecuencia que la funcin seno de la variable de entrada.
h, Cabeza
F
Flujo
de
Lquido
Mediante manmetros, se miden las presiones corrientes arriba y abajo, por medio
de los niveles de lquido. Se observa que el valor de la cabeza, h, cambia cuando
varia el flujo de lquido, F. Por lo tanto, en este caso, la variable de entrada es F,
mientras que la de salida es h.
Debido a que el capilar constituye una resistencia laminar, la relacin entre la cabeza
y el flujo es dada por la siguiente ecuacin
h(t ) RF (t )
(2.32)
43
Vlvula de Control
Sistemas de orden mayor que el primero y que son extremadamente rpidos pueden
convenientemente aproximarse como de ganancia pura. Por ejemplo, una vlvula de
control neumtica pequea con respuesta muy rpida puede considerarse como un
proceso de ganancia pura si las otras partes del proceso tienen constantes de tiempo
muy pequeas
m(t ) K c e(t )
(2.33)
dY (t )
KX (t )
dt
(2.34)
Y (t ) K X (t )dt
0
44
(2.35)
Y (s)
K
G( s)
X (s)
s
(2.36)
h
,
s
Y (s)
Kh
s2
(2.37)
(2.38)
45
r
, y la respuesta del sistema en el dominio de Laplace se puede escribir
s2
como:
Y (s)
Kr
s3
(2.39)
Y (t ) Kr
t2
2
46
(2.40)
Aw
y la respuesta del sistema en el dominio
s w2
2
Y ( s)
KAw
s ( s 2 w2 )
(2.41)
Y (t )
KA
1 cos(wt )
w
47
(2.42)
fi
Ac
d h
i f i f
dt
(2.43)
Ac
dh
fi f
dt
(2.44)
dh
1
Fi
dt Ac
(2.45)
H ( s)
K
Fi ( s)
s
(2.46)
dm(t )
Ke(t )
dt
(2.47)
G( s)
M ( s) K
E ( s)
s
(2.48)
Otros ejemplos
Otros ejemplos de procesos de capacidad pura son el calentamiento de sistemas por
lotes bien aislados, el llenado de tanques sin corriente de salida, la preparacin de
soluciones por lotes mediante la adicin de qumicos a un solvente, etc.
Y ( s) K
ld s 1
X ( s)
lg s 1
(2.49)
Es importante observar que una diferencia, y bastante crtica, entre esta funcin de
transferencia y la de un sistema de primer orden es la presencia de un trmino de
primer orden en el numerador, correspondiente al adelanto. Por otra parte, ambas
funciones de transferencia contienen en el denominador un polinomio de primer
orden, correspondiente al atraso. Adems de las constantes de tiempo, este sistema
incluye como parmetros caractersticos la ganancia y la relacin entre las
constantes de tiempo ld / lg . La funcin de transferencia tiene un polo localizado
en s 1 / lg y un zero localizado en s 1 / ld . Aunque es extrao encontrar un
proceso qumico cuyo comportamiento se caracterice por una funcin de
transferencia como la ecuacin (2.49), es necesario comprenderlos porque estos
sistemas tienen aplicaciones importantes en diseo de sistemas de control, tales
como en la implementacin de sistemas de control por anticipacin
t / lg
ld
Y (t ) K 1
1e
lg
(2.50)
Y (t ) K lg ld e
t / lg
t ld lg
(2.51)
La Figura 2.13 muestra la respuesta rampa unitaria para un sistema adelanto atraso
para dos casos, uno en la cual el adelanto es mayor que el atraso y otra en la que el
atraso es mayor que el adelanto, adems de la entrada rampa.
Obsrvese que despus que cesa el estado transitorio, la respuesta es una rampa que
o se adelanta o atrasa, con respecto a la entrada rampa, en un tiempo que es la
diferencia entre el adelanto y el atraso, dependiendo de cul es mayor. Es esta
respuesta la que asigna el trmino adelanto y atraso a los trminos del numerador y
denominador de la funcin de transferencia.
Aw( lg ld ) t / lg
1 ( w ld ) 2
Y (t ) K
e
A
Sen
(
wt
)
(2.52)
2
1 ( w lg ) 2
1 ( w lg )
( w ld ) ( w lg )
y representa la fase de la respuesta con
1 ( w ld )( w lg )
1
Siendo tan
AB
54
r (t ) kc(t )
F,
Ci(t)
F,
C(t)
(2.53)
ci (t )
F KV dt
F KV
(2.54)
V
F KV
F
Ks
F KV
(2.55)
(2.56)
dC (t )
C (t ) K s Ci (t )
dt
(2.57)
G(s)
Ks
C ( s)
Ci ( s ) s 1
(2.58)
f o (t ) K o h(t )
(2.59)
fi(t)
h(t)
fo(t)
(2.60)
Un anlisis de las ecuaciones (2.59) y (2.60) nos muestra que en el modelo se tienen
dos ecuaciones y tres variables, una de salida y dos de entrada. Al combinar las dos
ecuaciones anteriores resulta la siguiente ecuacin diferencial:
dh(t )
K o h(t ) f i (t )
dt
(2.61)
La ecuacin (2.61) contiene una variable de salida h(t ) y una variable de entrada
f i (t ) lo que permite simular su solucin para un cambio en la variable de entrada. No
se plantea el balance de energa porque las simplificaciones introducidas consideran
que no hay efectos calricos. Una transposicin de trminos en la ecuacin (2.61),
permite expresarla de tal manera que se deduzcan las expresiones para calcular los
parmetros dinmicos del sistema de acuerdo a la ecuacin general de un sistema de
primer orden.
A
Ko
dh(t )
1
h(t )
dt
Ko
f i (t )
(2.62)
A
Ko
1
K
Ko
(2.63)
(2.64)
dH (t )
H (t ) KFi (t )
dt
(2.65)
G( s)
H ( s)
K
Fi ( s ) s 1
(2.66)
Ts(t)
F, Ti(t)
F, T(t)
(2.67)
(2.68)
(2.69)
(2.70)
h(t ) C pT (t )
hi (t ) C pTi (t )
(2.71)
La ecuacin (2.71) nos muestra una variable de salida y dos variables de entrada. Al
plantear la ecuacin (2.71) en trminos de variables desviacin resulta lo siguiente:
60
FC p
VCV
d(t )
UA
(t )
i (t )
s (t )
FC p UA dt
FC p UA
FC p UA
(2.72)
(2.73)
Ks
FC p
FC p UA
(2.74)
(2.75)
d(t )
(t ) K s i (t )
dt
(2.76)
G( s)
Ks
( s )
i ( s) s 1
61
(2.77)
Ts(t)
Resistencia
de
Pelcula
Tb(t)
Mercurio
(2.78)
MC dTb (t )
Tb (t ) Ts (t )
hA dt
(2.79)
(2.80)
MC
hA
Ks 1
Constante de tiempo:
Ganancia en estado estacionaria, adimensional:
(2.81)
(2.82)
db (t )
b (t ) i (t )
dt
(2.83)
G(s)
b ( s )
1
i ( s) s 1
(2.84)
d Ah (t )
f i (t ) 0
dt
(2.85)
dH (t ) 1
Fi (t )
dt
A
(2.86)
G( s)
H ( s)
1
Fi ( s) As
(2.87)
H ( s)
0.2
As 2
(2.88)
Y en el dominio del tiempo, la variacin del nivel de fluido es dada por la siguiente
ecuacin:
H (t )
0.2
0.2
t
t 0.1t
A
2
(2.89)
65
Para hallar el nivel de fluido a los 2 minutos se requiere determinar el valor del
mismo a las condiciones estacionarias iniciales. Se requiere relacionar
matemticamente el flujo con la cabeza valindose de la relacin grfica mostrada
en la Figura 2.19. Siendo una relacin lineal se puede escribir una igualdad de
pendientes de la siguiente forma:
qo 1
2.4 1
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation.
Prentice Hall International Series. 1998
Coughanowr D.R. Process Systems Analysis and Control. Segunda Edicin.
McGraw-Hill International Editions. 1991
Luyben W.L. Process Modeling, Simulation and Control for Chemical
Engineers. Second Edition. McGraw-Hill International Editions. 1990
Smith C.A, Corripio A. Principles and Practice of Automatic Process
Control. Tercera Edicin. Jhon Wiley. 2006
66
a2
d 2 y(t )
dy(t )
a1
ao y(t ) b1 x(t ) bo
2
dt
dt
(3.1)
a2 d 2Y (t ) a1 dY (t )
b
Y (t ) 1 X (t )
2
ao dt
ao dt
ao
(3.2)
Las relaciones entre los parmetros fsicos del sistema que se observan en la
ecuacin (3.2) suelen sustituirse por smbolos que expresan parmetros de
significado dinmico como son la constante de tiempo , el factor de
amortiguamiento y la ganancia K , resultando la ecuacin diferencial
caracterstica de un sistema lineal de segundo orden SISO as:
Siendo
d 2Y (t )
dY (t )
2
Y (t ) KX (t )
2
dt
dt
a2
ao
1 a1 1 a1
2 ao 2 ao a2
b
K 1
ao
67
(3.3)
Las anteriores ecuaciones expresan que estos tres parmetros se calculan con
ecuaciones en funcin de caractersticas fsicas del sistema. La constante de tiempo
expresa un atraso dinmico, el valor del factor de amortiguamiento determina el tipo
de respuesta del sistema y la ganancia tiene el mismo significado definido para los
sistemas de primer orden.
La ecuacin diferencial (3.3) es la forma estndar completa que expresa la dinmica
de un sistema lineal de segundo orden SISO. Para la solucin de la ecuacin (3.3) se
requieren las especificaciones de los parmetros dinmicos o en su defecto los
parmetros fsicos y el tipo de cambio que se ejerce a la variable de entrada. Es
importante anotar que por expresarse la ecuacin (3.3) en trminos de las variables
desviacin, los valores iniciales de cada una de ellas es cero. Para el clculo de los
parmetros dinmicos es posible que se requieran los valores iniciales de las
variables de entrada y salida los que se calculan considerando la ecuacin (3.1) en el
estado estacionario. La solucin de la ecuacin diferencial (3.3), tanto en el dominio
del tiempo como en el de Laplace, nos permite analizar la variacin en el tiempo de
la variable desviacin de salida ante un determinado tipo de cambio en la variable
desviacin de entrada, es decir, la dinmica del sistema cuyo fenmeno fsico se
expresa mediante dicha ecuacin.
Teniendo en cuenta que Y (0) 0, Y ' (0) 0 se puede reorganizar la igualdad anterior
y expresarla como la respuesta del sistema en el dominio de Laplace de la siguiente
manera:
Y ( s)
K
X ( s)
s 2 s 1
2
G( s)
Y ( s)
K
2 2
X ( s) s 2 s 1
(3.4)
2 r 2 2 r 1 0
(3.5)
2 1
(3.6)
La ecuacin (3.6) muestra que la naturaleza de sus races depende del factor de
amortiguamiento, lo que determina el tipo de respuesta que se obtiene para la
ecuacin diferencial (3.3) o el comportamiento del sistema. Cuando las dos races de
la ecuacin caracterstica (3.6) sean reales se definen dos atrasos dinmicos 1 y 2
como los inversos negativos de cada una de las races lo que permite escribir que:
r1 2 1
69
(3.7)
r2 2 1
(3.8)
G( s)
K
( 1s 1)( 2 s 1)
(3.9)
1 2
2
1
2 1 2
(3.10)
(3.11)
71
Y ( s)
Kh
s ( s 2 s 1)
2
(3.12)
Respuesta Sobreamortiguada
Para que un sistema de segundo orden responda ante una perturbacin paso en su
variable de entrada con un comportamiento sobreamortiguado las dos races de su
ecuacin caracterstica deben ser reales. Si son reales negativas, diferentes o iguales,
el sistema es de respuesta estable monotnica pero si son reales positivas, diferentes
o iguales, el sistema es de respuesta inestable monotnica. Para una respuesta paso
sobreamortiguada de un sistema de segundo orden es preferible utilizar la funcin de
transferencia en la forma de polos y zeros de tal manera que:
Y ( s)
Kh
s ( 1s 1)( 2 s 1)
(3.13)
Y ( s)
A
B
C
s 1s 1 2 s 1
(3.14)
Kh
Kh
s 0 ( s 1)( s 1)
1
2
A lim
72
Kh
12 Kh
B lim
1 s ( s 1)
1 2
s
2
1
C lim
s
Kh
2 Kh
2
s( 1s 1)
2 1
1
2
Y (t ) Kh 1
e ( t / 1 )
e ( t / 2 )
2 1
1 2
(3.15)
Y ( s)
Kh
s (s 1) 2
(3.16)
Y ( s)
A
B
C
2
1
s
1
s
s
Kh
A lim
Kh
2
1
2 s
d Kh
B lim
2 Kh
1
s ds s
s 0
Kh
Kh
2
1
s s
C lim
74
(3.17)
Y (t ) Kh 1 1e (t / )
(3.18)
Respuesta Subamortiguada
Para que un sistema lineal de segundo orden responda ante una perturbacin paso en
su variable de entrada con un comportamiento subamortiguado las dos races de su
ecuacin caracterstica deben ser complejas conjugadas. Si la parte real de las races
complejas es negativa, el sistema es de respuesta estable oscilatoria pero si la parte
real es positiva, el sistema es de respuesta inestable oscilatoria.
Para este tipo de respuesta, la transformada de Laplace para la respuesta paso del
sistema lineal de segundo orden SISO se puede escribir en la siguiente forma:
Y ( s)
Kh
s( s r1 )( s r2 )
2
(3.19)
j 1 2
(3.20)
En las races complejas conjugadas dadas por (3.20) la parte real Re y la parte
imaginaria Im corresponden a las siguientes expresiones:
Re
76
Im
1 2
A
B
C
s
s r1
s r2
(3.21)
Kh
Kh
2
Kh
s 0 ( s r )( s r )
r1r2
1
2
A lim
B lim
s r1
Kh
Kh
2
s( s r2 ) r1 (r1 r2 )
2
Kh
Kh
2
s r2 s ( s r )
r2 (r2 r1 )
1
C lim
1
Y (t ) Kh 1
e ( / )t Sen(t )
1 2
Siendo
1 2
tan
(3.23)
(3.22)
1 2
(3.24)
77
Sobrepaso exp
1 2
(3.25)
2
Razn de decaimient o Sobrepaso 2 exp
1 2
(3.26)
2
1 2
(3.27)
En radianes/tiempo
En ciclos/tiempo
fn
(3.28)
1
2
(3.29)
Y ( s)
Kh
s ( s 2 1)
2
81
(3.30)
A
B
C
1
1
s
s j s j
Y ( s)
(3.31)
A lim
s 0
Kh
1
s2 2
B lim1
Kh
s j
C lim
1
s j
Kh
2 s s
1
j
Kh
2 s s
1
j
Kh
2
Kh
2
t
Y (t ) Kh 1 Cos
(3.32)
82
r
, entonces se puede escribir que la respuesta en el dominio de Laplace es
s2
Y ( s)
Kr
s ( s 2 s 1)
2
(3.33)
Respuesta Sobreamortiguada
Para una respuesta sobreamortiguada la ecuacin (3.33) se puede transformar a la
siguiente forma si se tiene en cuenta que para este caso la ecuacin caracterstica
tiene races reales y diferentes:
83
Y ( s)
Kr
1 2 s ( s r1 )( s r2 )
2
(3.34)
Y ( s)
A
B
C
D
2
s
s
s r1
s r2
(3.35)
A lim
s0
d
Kr
Kr ( 1 2 )
ds 1 2 ( s r1 )( s r2 )
Kr
Kr
s0 ( s r )( s r )
1 2
1
2
B lim
.
Kr
Kr 12
C lim
sr1 s 2 ( s r )
1 2
1 2
2
Kr
Kr 22
sr2 s 2 ( s r )
2 1
1 2
1
D lim
22
Y (t ) Kr 1 e (t / 1 )
e (t / 2 ) t ( 1 2 )
2 1
1 2
84
(3.36)
Y ( s)
Kr
s (s r ) 2
2
(3.37)
Y ( s)
A
B
C
D
2
s
s
sr
(s r ) 2
(3.38)
A lim
s 0
d
Kr
2 Kr
2
2
ds ( s r )
Kr
Kr
s0 ( s r ) 2
B lim
C lim
sr
d Kr
2 Kr
ds 2 s 2
Kr
Kr
sr 2 s 2
D lim
Y (t ) Kr t 2 e (t / ) t 2
(3.39)
Respuesta Subamortiguada
Para este tipo de respuesta, las dos races son complejas conjugadas con parte real
negativa. La transformada de Laplace para la respuesta del sistema se puede escribir
en la siguiente forma:
86
Y ( s)
Kr
s ( s r1 )( s r2 )
2
(3.40)
Y ( s)
A
B
C
D
2
s
s
s r1
s r2
(3.41)
A lim
s0
Kr (r1 r2 )
d
Kr
2
ds ( s r1 )( s r2 )
2 r1r2
Kr
Kr
2
s0 ( s r )( s r )
r1r2
1
2
B lim
Kr
Kr
2 2
sr1 s ( s r )
r1 (r1 r2 )
2
C lim
2 2
Kr
Kr
2 2
sr2 s ( s r )
r2 (r2 r1 )
1
D lim
2 2
Y (t ) Kr
e ( / )t Sen(t ) t 2
1 2
Siendo
1 2
, la frecuencia en radianes/tiempo
87
(3.42)
tan 1
2 1 2
, la fase en radianes
2 2 1
t
Y (t ) Kr Sen t
88
(3.43)
Aw
, entonces la respuesta del sistema en el dominio de Laplace est
s w2
2
Y ( s)
KAw
( s w )( 2 s 2 2 s 1)
2
(3.44)
89
Respuesta Sobreamortiguada
Teniendo en cuenta que para una respuesta sobreamortiguada la ecuacin
caracterstica de un sistema lineal de segundo orden tiene races reales negativas y
diferentes, entonces la respuesta de dicho sistema en el dominio de Laplace se puede
escribir de la siguiente manera:
Y ( s)
KAw
1 2 ( s jw)( s jw)(s r1 )( s r2 )
(3.45)
Y ( s)
A
B
C
D
s jw s jw s r1 s r2
(3.46)
Y (t ) A1e (t / 1 ) A2 e (t / 2 )
Siendo
KA
1 ( w 1 ) 2 1 ( w 2 ) 2
Sen( wt )
(3.47)
(3.48)
La amplitud As del perfil sinusoidal de la respuesta viene dado por el coeficiente del
trmino sinusoidal incluido en la ecuacin (3.47), es decir:
As
KA
1 ( w 1 ) 2 1 ( w 2 ) 2
(3.49)
Y ( s)
A
B
C
D
s jw s jw s r ( s r ) 2
91
(3.50)
Y (t ) A1 A2 t e (t / )
Siendo
KA
Sen( wt )
1 ( w ) 2
(3.51)
2w
, la fase en radianes
2 2
1 w
tan 1
Respuesta Subamortiguada
Para este caso, la transformada de Laplace de la ecuacin diferencial lineal de
segundo orden se expande en fracciones parciales y se tiene en cuenta que las races
son complejas conjugadas. La evaluacin de los coeficientes numeradores A, B, C y
D de cada una de dichas fracciones y con la inversin de la transformada de Laplace
se demuestra que la respuesta seno subamortiguada de un sistema lineal de segundo
orden tiene la siguiente forma:
1
Y (t ) KA De ( / )t Sen(t )
Sen( wt )
(1 w 2 2 ) 2 (2 w) 2
Siendo
1 2
tan
1 2
2w
2 2
1 w
tan 1
92
(3.52)
As
KA
(1 w2 2 ) 2 (2 w) 2
(3.49)
3.7.
Resorte, K
F(t)
Amortiguador, C
94
m d 2 X (t )
dX (t )
KX (t ) C
F (t )
2
g c dt
dt
Siendo
g c 32.2
(3.50)
lbm pie
lbf s 2
lbf
pie / s
m d 2 X (t ) C dX (t )
1
X (t ) F (t )
2
g c K dt
K dt
K
(3.51)
Siendo X(t) la variable desviacin del desplazamiento del bloque y F(t) la variable
desviacin para la fuerza ejercida sobre el bloque. A partir de la ecuacin (3.51) se
obtienen las siguientes ecuaciones para calcular la constante de tiempo, el factor de
amortiguamiento y la ganancia del sistema masa resorte amortiguador viscoso, a
partir de sus parmetros fsicos.
m
gc K
(3.52)
gcC 2
4mK
(3.53)
Ks
1
K
(3.54)
d 2 X (t )
dX (t )
2
X (t ) K s F (t )
2
dt
dt
(3.55)
G( s)
Ks
X ( s)
2 2
F ( s) s 2 s 1
(3.56)
ws = 250 lb/min
Ti(t), F
T1(t), F
T2(t), F
VCv
1
dT1 (t )
ws C pTi (t ) - ws C pT1 (t )
dt
dT1 (t )
T1 (t ) K1Ti (t )
dt
(3.57)
(3.58)
G1 ( s)
T1 ( s)
K1
Ti ( s) 1 s 1
97
(3.59)
VC v
ws C p
K1
ws C p
ws C p
2 min
(3.60)
(3.61)
VC v
2
dT2 (t )
ws C pT1 (t ) - ws C pT2 (t )
dt
dT2 (t )
T2 (t ) K 2T1 (t )
dt
(3.62)
(3.63)
G2 ( s )
T2 ( s)
K2
T1 ( s) 2 s 1
(3.64)
K2
VC v
ws C p
ws C p
ws C p
2 min
(3.65)
(3.66)
98
G( s) G1 ( s)G2 ( s)
T2 ( s)
K1 K 2
Ti ( s) 1 s 1 2 s 1
(3.67)
99
f(t)
h1(t)
f1(t)
h2(t)
f2(t)
A1
dh1 (t )
f (t ) - f1 (t )
dt
La relacin entre el flujo de salida del primer tanque y las cabezas en los tanques es
dada por la siguiente ecuacin:
f1 (t ) C1 h1 (t ) - h2 (t )
A1 dH 1 (t )
1
H 1 (t ) H 2 (t )
F (t )
C1 dt
C1
Siendo
dH 1 (t )
H 1 (t ) H 2 (t ) K1 F (t )
dt
A1
C1
K1
1
C1
H 1 ( s)
K1
1
H 2 (t )
F (t )
1s 1
1s 1
El balance de materia a travs del segundo tanque es dado por la siguiente ecuacin
A2
dh2 (t )
f1 (t ) - f 2 (t )
dt
A2 dH 2 (t )
C1
H 2 (t )
H 1 (t )
C1 C 2 dt
C1 C 2
dH 2 (t )
H 2 (t ) K 2 H 1 (t )
dt
101
Siendo
A2
C1 C 2
K2
C1
C1 C 2
H 2 ( s)
K2
H 1 (s)
2s 1
Las dinmicas de cada una de los tanques muestran que el sistema es interactuante
porque una variacin en el nivel del primer tanque influye en la dinmica del
segundo tanque y viceversa.
Si se combinan las dos funciones de transferencia para expresar las funciones de
transferencia en cada uno de los tanques con respecto a la variable flujo de la
corriente inicial de entrada se obtienen las siguientes ecuaciones:
H 2 ( s)
K1 K 2
2
F ( s) 1 2 s 1 2 s 1 K 2
H 1 ( s)
K1 2 s 1
2
F ( s) 1 2 s 1 2 s 1 K 2
Las anteriores dos funciones de transferencia expresan que ambos tanques son de
una dinmica de segundo orden, pero el zero incluido en la funcin de transferencia
del primer tanque indica que responde con menos atraso que el segundo tanque ante
cambios en el flujo de la corriente de entrada al sistema.
Una reorganizacin de dichas dos funciones de transferencia en la forma estndar
caracterstica de un sistema lineal de segundo orden es:
K
H 2 ( s)
2 2 s2
F ( s)
s 2 s 1
102
K s 1
H 1 ( s)
2 2s1 2
F ( s) s 2 s 12
Siendo
1 2
1 K2
1 2
2 1 2 1 K 2
K1 K 2
1 K2
K1
K s1
1 K2
K s2
G( s)
Y ( s)
10
2
X ( s) s 1.6s 4
G( s)
Y ( s)
2.5
2
X ( s) 0.25s 0.4s 1
103
0.4
Sobrepaso exp
1 2
exp 0.4
1 0.4 2
25%
2. El valor ltimo de Y(t) se puede calcular con el teorema del valor final as:
Y (t ) ltimo sY ( s)s 0
10s
10 unidades de Y(t)
s(0.25s 0.4s 1)
2
ltimo
1
Y (t ) Kh 1
e ( / )t Sen(t ) 10
1 2
104
1 2
t tan
1 2
2
1 2
La siguiente figura muestra la respuesta paso en forma grfica del sistema lineal de
segundo orden con la funcin de transferencia del problema:
105
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation.
Prentice Hall International Series. 1998
Coughanowr D.R. Process Systems Analysis and Control. Segunda Edicin.
McGraw-Hill International Editions. 1991
Luyben W.L. Process Modeling, Simulation and Control for Chemical
Engineers. Second Edition. McGraw-Hill International Editions. 1990
Smith C.A, Corripio A. Principles and Practice of Automatic Process
Control. Tercera Edicin. Jhon Wiley. 2006
106
a
..... a1
ao y (t )
n 1
n
n 1
dt
dt
dt
d m x(t )
dx m1 (t )
dx(t )
bm
bm1
..... b1
bo x(t ) co
m
m 1
dt
dt
dt
an
(4.1)
a
..... a1
aoY (t )
n 1
n
n 1
dt
dt
dt
d m X (t )
dX m 1 (t )
dX (t )
bm
b
..... b1
bo X (t )
m 1
m
m 1
dt
dt
dt
an
(4.2)
an
d nY (t )
dY n1 (t )
dY (t )
a
..... a1
aoY (t ) 0
n 1
n
n 1
dt
dt
dt
107
(4.3)
(4.4)
Forma estndar
Si a la ecuacin diferencial (4.2) se le aplica la transformada de Laplace se puede
escribir la funcin de transferencia de un sistema lineal SISO de orden mayor en la
siguiente forma estndar:
cm s m cm1 s m1 .... 1
Y ( s)
G( s)
K
X (s)
cn s n cn1 s n1 .... 1
(4.5)
Siendo n > m.
G( s)
(4.6)
Siendo p n el valor del ensimo polo y z m el valor del emsimo polo. Cuando los
polos y los zeros son reales negativos los inversos negativos de sus valores expresan
atrasos o adelantos dinmicos y la funcin de transferencia (4.6) suele escribirse de
la siguiente manera:
G( s)
Siendo pn
X ( s)
( p1 s 1)( p 2 s 1)( p 3 s 1)....( pn s 1)
(4.7)
1
1
el valor del ensimo atraso dinmico y zn el valor del
pn
zn
109
G( s)
Y ( s)
K
n
n 1
X ( s) cn s cn1 s .... c1 s 1
(4.8)
G( s)
Y ( s)
K
(4.9)
G( s)
Y ( s)
K
(4.10)
G( s)
.....
( s p1 )(s p 2 )(s p3 )....( s p n )
s p1 s p 2 s p3
s pn
(4.11)
Si los polos son reales negativos diferentes los trminos exponenciales hacen que
respuesta del sistema sea monotnica estable, es decir sobreamortiguada. Si alguno
de los polos de la funcin de transferencia es positivo la respuesta es inestable
exponencial
110
G( s)
.....
n
2
3
s p ( s p)
( s p1 )
( s p)
( s p) n
K 2t K 3t 2
K n1t n2
K nt n1 pt
G(t ) K1
.....
e
1!
2!
(n 2)! (n 1)!
(4.12)
Si el valor de los polos iguales es real negativo el trmino exponencial hace que
respuesta del sistema sea monotnica estable, es decir sobreamortiguada pero si los
polos son de valores reales iguales positivos la respuesta es monotnica inestable.
G( s)
K1
K2
A( s)
B( s) s (a bj ) s (a bj )
111
G (t )
Siendo
1 A(a jb ) at
e Sen (bt )
b B(a jb )
(4.13)
A(a jb )
. La funcin (4.3) se
B(a jb )
G( s)
0.8
800s 320s 2 34s 1
3
112
0.8
800s 0.25s 0.1s 0.05
0.8
G( s)
4s 110s 120s 1
G( s)
Y ( s)
0.8
s4s 110s 120s 1
Y (t ) 0.81 e t / 10 e t / 4 e t / 20
6
2
G(s)
8
s 24
Y (s)
8
4
ss 2
114
1
4
Y (t ) 1 1 2t 2t 2 t 3 e 2t
2
3
3. Las races reales negativas e iguales permiten anticipar que la respuesta paso
unitario del sistema es sobre amortiguada. Mediante el teorema del valor final
o mediante la evaluacin de la respuesta analtica para tiempos
indeterminados se puede calcular que el valor ltimo de la respuesta es 0.5.
La suma de trminos exponenciales de signos negativos en sus exponentes
verifican lo anterior y anticipan que la respuesta es estable monotnica como
se observa en la figura.
G(s)
0.8
4s 110s 120s 1
Y ( s)
0.8
s4s 110s 120s 1
Y (t ) 0.81 e t / 10 e t / 4 e t / 20
6
2
116
G( s)
1.
2.
3.
4.
0.5
s 3s 3s 2 2s 1
4
0.7449i. Dos races son reales negativas diferentes y las otras dos son
complejas conjugadas con parte real negativa
2. La respuesta paso unitario en forma grfica se muestra en la figura 4.3.
3. Dos races reales negativas y diferentes y dos races complejas conjugadas
con parte real negativa permiten anticipar que la respuesta paso unitario del
sistema es sub amortiguada. Mediante el teorema del valor final o mediante la
evaluacin de la respuesta analtica para tiempos indeterminados se puede
calcular que el valor ltimo de la respuesta es 0.5.
0.1226
1 2
0.7449
118
1 2
0.1226
0.7449
0.376
Razn de Decaimiento e 2 /
1 2
0.356
G( s)
50
s 3s 27 s 2 75s 50
4
G(s)
0.5
s 3s 3s 2 2s 45
4
Y ( s)
Kh( m s 1)
s( 1s 1)( 2 s 1)
(4.14)
Y ( s)
A
B
C
s 1s 1 2 s 1
121
(4.15)
A lim
s0
B lim
s
C lim1
s
Kh( m s 1)
1
Kh m
s( 2 s 1)
1 2
Kh( m s 1)
2
Kh m
s( 1s 1)
2 1
2 (t / 2 )
Y (t ) Kh 1 m 1 e (t / 1 ) m
e
2 1
1 2
(4.16)
respuesta del sistema es atrasada y con un perfil invertido durante un cierto tiempo
inicial, lo que se denomina una Respuesta Inversa. Valores positivos en m
equivalen a zeros negativos en la funcin de transferencia mientras que valores
negativos en m equivalen a zeros positivos en la funcin de transferencia y como
conclusin, se puede expresar que en una funcin de transferencia de cualquier
orden los zeros de signo negativo aceleran la respuesta del sistema mientras que los
zeros de signo positivo retrasan y produce una respuesta inversa.
G( s)
3( m s 1)
(5s 1)(10s 1)
El perfil mostrado, en la Figura 4.6, con una lnea a trazos es el de la respuesta del
sistema planteado sin dinmica en el numerador. Se observa que las respuestas
adelantadas corresponden a los valores positivos para m de 15, 10 y 5 y las
respuestas inversas atrasadas corresponden a los valores negativos de m -5, -10 y 15. Se verifica, entonces, el efecto que tienen los zeros de una funcin de
transferencia en la dinmica del sistema: los zeros negativos adelantan o aceleran la
respuesta mientras que los zeros positivos atrasan e invierten la respuesta del
sistema.
G( s)
1
s 6s 9s 10
3
G( s)
s 1
s 6s 2 9s 10
3
G( s)
s 1
s 6s 2 9s 10
3
3. La respuesta paso unitario del sistema inicial comparada con la del segundo
sistema se muestra en la figura 4.7.
4. Las races complejas conjugadas con parte real negativa junto con la raz real
negativa de la ecuacin caracterstica anticipan que las respuestas de cada
uno de los sistemas son sub amortiguadas estables. En la primera
comparacin el segundo sistema muestra un adelanto, con respecto a la
dinmica del sistema inicial, que se explica por la presencia de un zero
negativo igual a -1 en su funcin de transferencia. En la segunda
comparacin el segundo sistema muestra una respuesta inversa atrasada, con
respecto a la dinmica del sistema inicial, que se explica por la presencia de
un zero positivo igual a 1 en su funcin de transferencia.
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation.
Prentice Hall International Series. 1998
Coughanowr D.R. Process Systems Analysis and Control. Segunda Edicin.
McGraw-Hill International Editions. 1991
Smith C.A, Corripio A. Principles and Practice of Automatic Process
Control. Tercera Edicin. Jhon Wiley. 2006
Ogunnaike B.A., Harmon Ray W. Process, dynamics, modeling and control.
Oxford University Press. 1994
Ogata K. Ingeniera de Control Moderna. 4. Edicin, Pearson Prentice Hall.
2003
126
5.1 INTRODUCCION
Considere un sistema cuya dinmica al representarla mediante su diagrama de
bloques est dado por la Figura 5.1.
G1(s)
MODO PRINCIPAL
X(s)
Y(s)
G2(s)
MODO OPOSICION
127
Y ( s) G1 ( s) X ( s) G2 ( s) X ( s)
o
Y ( s) Y1 ( s) Y2 ( s)
(5.1)
(5.2)
G(s)
K1
K2
1s 1 2 s 1
(5.3)
Respuesta ltima
Para un cambio paso unitario, la respuesta ltima es positiva y se calcula con la
siguiente diferencia
Y (ultima ) K1 K 2 0
128
(5.4)
Pendiente Inicial
El Teorema del Valor inicial en el dominio de Laplace, permite determinar la
expresin con el cual calcular la pendiente inicial de la respuesta del sistema as,
dY (t )
dY (t )
s
s 2 Y ( s ) t
dt t 0 dt t
(5.5)
K K
dY (t )
1 2
dt t 0 1 2
(5.6)
Si los valores de los atrasos dinmicos son tales que el segundo trmino de la
ecuacin (5.6) es mayor que el primero, entonces la pendiente inicial (a tiempo cero)
de la respuesta del sistema es negativa y la respuesta ultima es positiva (segn la
ecuacin (5.4)). Es decir, que inicialmente la respuesta es en direccin inversa a la
del estado final y, por lo tanto, es un sistema de respuesta inversa.
Un sistema de respuesta inversa con estado estacionario ltimo positivo con modos
de primer de orden, por lo tanto, se presenta cuando se cumple que:
K1 K 2
K2
K1
(5.7)
La ecuacin (5.7) se puede entender como que el modo oposicin tiene una ganancia
menor que la del modo principal, pero responde con una pendiente inicial ms
rpida que la del modo principal. Se puede explicar que un sistema de respuesta
inversa con estado estacionario ltimo negativo con modos de primer de orden se
presenta cuando se cumple que:
129
K1 K 2
K1 0
K2 0
K2
21
(5.8)
K1
Anlisis Matemtico
Considrese una combinacin de las funciones de transferencia de los dos procesos
de la Figura 5.1 en uno solo con el propsito de ilustrar las caractersticas de
sistemas lineales que muestran respuesta inversa. La funcin de transferencia
resultante es:
G( s)
K1
K2
( K K 2 1 ) s ( K1 K 2 )
1 2
1s 1 2 s 1
( 1 s 1)( 2 s 1)
(5.9)
G( s)
Siendo,
K (s 1)
( 1 s 1)( 2 s 1)
K K1 K 2
(5.10)
(5.11)
130
K1 2 K 2 1 ) K1 K 2
( K1 K 2 )
2
1
1 2
( K1 K 2 )
(5.12)
G( s)
Siendo,
K (s 1)
( 1 s 1)( 2 s 1)
(5.13)
Y ( s)
K (s 1) 1
( 1 s 1)( 2 s 1) s
131
(5.14)
Respuesta ltima
Aplicando el Teorema del Valor Final a la funcin de transferencia (5.14) se
encuentra el valor ultimo de Y(t)
Y (t ) t sY (s)t 0 K
(5.15)
Pendiente Inicial
Aplicando el Teorema del Valor Inicial, se encuentra la ecuacin para calcular la
pendiente inicial de la respuesta, es decir,
dY (t )
K
s 2Y ( s) t
dt t 0
1 2
(5.16)
t / 1 2 t / 2
e
e
Y (t ) K 1 1
1
2
2
1
132
(5.17)
La Figura 5.2 muestra el perfil dinmico de la respuesta del sistema con funcin de
transferencia (5.14) y los siguientes valores para los parmetros, K1 = 1, 1 = 2
segundos, 2 = 5 segundos y = 3 segundos. La funcin de transferencia es
G(s)
(3s 1)
(2s 1)(5s 1)
(5.18)
t min imo
1 2
ln 1
( 2 1 ) 2
133
(5.19)
Siendo,
i
;
i
i 1,2
G( s)
(5.20)
G(s)
K (s 1) ( i s 1)
i 1
( s 1)
(5.21)
i 1
Siendo, p > q + 1, es decir que el nmero total de zeros es menor que el nmero
total de polos. La pregunta que surge ahora es acerca de la influencia que tiene la
inclusin de zeros y polos adicionales en la respuesta del sistema.
La adicin de atrasos dinmicos (polos negativos), en la funcin de transferencia
del sistema, disminuye la rapidez de la respuesta y la adicin de adelantos
dinmicos (zeros negativos) aumentan la rapidez de la respuesta. Pero la presencia
de un zero positivo hace que la respuesta sea inicialmente inversa.
Para ilustrar en forma grfica el comportamiento descrito en el prrafo anterior se
considera tres sistemas. El sistema A tiene como funcin de transferencia la
ecuacin (5.18), dos polos negativos y un zero positivo; el sistema B tiene, en su
funcin de transferencia, un polo adicional con respecto al sistema A y el sistema C
tiene un zero adicional negativo con respecto al sistema B. Las funciones de
transferencia consideradas son:
134
Sistema A:
G(s)
(3s 1)
(2s 1)(5s 1)
(5.22)
Sistema B:
G( s)
(3s 1)
(2s 1)(5s 1)(4s 1)
(5.23)
Sistema C:
G( s)
(3s 1)( s 1)
(2s 1)(5s 1)(4s 1)
(5.24)
135
Sistema D:
G( s)
(3s 1)( s 1)
(2s 1)(5s 1)(4s 1)
(5.25)
Sistema E:
G( s)
(5.26)
Sistema F:
G( s)
(5.27)
Las Figuras 5.6, 5.7 y 5.8 muestras los perfiles grficos de las respuestas pasos
unitarios para cada sistema.
La respuesta paso de un sistema con dos zeros positivos muestra dos inversiones en
la regin inicial (Figura 5.6) con las siguientes consecuencias: Para que esta
respuesta termine en la direccin del estado estacionario final debe ejecutar dos
137
Modo Principal:
G1 ( s)
8/3
5s 1
Modo Oposicin:
G2 ( s )
5/3
2s 1
140
G( s) G1 ( s) G2 ( s)
3s 1
(5s 1)(2s 1)
Y ( s)
3s 1
s(5s 1)(2s 1)
Y ( s)
C3
C
C
3s 1
1 2
s(5s 1)(2s 1)
s 5s 1 2 s 1
C1 lim
3s 1
40
1
3
s s ( 2 s 1)
C 2 lim
C3 lim
1
s
2
3s 1 10
s(5s 1) 3
141
Y ( s)
1 40 1
10 1
s 3 5s 1 3 2 s 1
10
40
Y (t ) 1 e t / 5 e t / 2
6
15
G( s)
( s) 2(2.5s 1)
F ( s) 9s 2 3s 1
142
1. Calcule los valores de los zeros y los polos y describa el comportamiento que
se deduce de la respuesta del sistema ante alguna perturbacin en su variable
de entrada.
2. Para un cambio paso de +3 litros/minuto en el flujo de la corriente de entrada,
Cunto es el valor ltimo de la temperatura despus de un tiempo
considerable si el valor inicial en estado estacionario es de 75 C?
3. Determine analticamente la respuesta del sistema
4. Muestre grficamente la respuesta del sistema.
5. Determine el valor mnimo que alcanza la temperatura y el instante de tiempo
correspondiente
6. Para un cambio paso de 3 litros/ minuto en el flujo de la corriente de
entrada, muestre grficamente la respuesta del sistema y responda la pregunta
2.
1. Para calcular los zeros de la funcin de transferencia se iguala su numerador a
cero, es decir:
2(2.5s 1) 0
Se obtiene una solucin para un valor de s igual a 0.4, es decir que la funcin de
transferencia tiene un polo positivo con valor de 0.4. Para calcular los polos de la
funcin de transferencia se iguala su denominador a cero, es decir:
9s 2 3s 1 0
1
3
r
j
6 6
polos complejos conjugados con parte real negativa, pero con una respuesta
inversa inicialmente con respecto a su perfil final porque presenta un polo
positivo
2. El valor ltimo de la temperatura en el reactor se puede determinar a sabiendas
del valor de la magnitud del cambio paso (3) y de la ganancia del sistema (2). El
valor ltimo se halla por:
(t ) ltimo Kh 3(2) 6
Otra forma de calcular el valor ltimo de la respuesta es con el teorema del valor
final as:
6(2.5s 1)
(t ) ltimo s( s)s 0 l im
6
s 0 s (9 s 2 3s 1)
( s )
6(2.5s 1)
s(9s 2 3s 1)
( s )
C
C
C
6(2.5s 1)
1 2 3
9s( s r1 )(s r2 )
s s r1 s r2
144
6(2.5s 1)
6
s 0 9( s r )( s r )
1
2
C1 lim
6(2.5r1 1)
8 3
3
j
s r1 9 s ( s r )
3
2
C 2 lim
6(2.5r2 1)
8 3
3
j
s r2
9s( s r1 )
3
C3 lim
( s )
6
8 3
3
s
3
8 3
j
3
3
s r1
1
j
s r2
3 8 3
3 t / 6
T (t ) 61 Cos
t
Sen
t e
9
6
6
A partir de esta expresin analtica se puede determinar que para tiempos muy
grandes el trmino exponencial se hace despreciable y, por lo tanto la respuesta
ltima desviacin es 6 C. La respuesta del sistema en forma grfica se muestra
en la siguiente figura. Se observa que la respuesta es subamortiguada con un
comportamiento inicial inverso al perfil ltimo. Adems se observa que el valor
ltimo de la variable desviacin de salida es 6 C. Tanto por el resultado
analtico como en el perfil grfico se puede determinar la disminucin en la
temperatura durante un tiempo inicial, que posteriormente toma la direccin en
aumento esperada por un aumento en el flujo de la corriente de entrada.
4. Mediante un procedimiento numrico en el cual se calculen las pendientes en
cada punto calculado del perfil grfico se comparan donde se observan los
cambios de signo negativo a positivo de las pendientes y de esta manera se
determina el valor mnimo que alcanza la variable desviacin de temperatura en
145
Bibliografa
Ogunnaike, B.A., Harmon Ray W. Process dynamics, modeling and control,
Oxford University Press. 1994
146
Area Seccional = A
Ti(t)
Q
T(t)
L
Se considera como estado inicial, las temperaturas del fluido en estado estacionario
y que adems son iguales, es decir que
Ti (0) T (0)
(6.1)
to
to
AL
Q
(6.2)
Ti(t)
T(t)
to
Ti(t)
T(t)
to
Se puede observar a partir de las figuras 6.2 y 6.3 que la relacin entre Ti(t) y T(t) es
148
T (t ) Ti (t t o )
(6.3)
(t ) i (t t o )
(6.4)
( s )
e sto
i ( s)
(6.5)
(6.6)
Atraso Dinmico
X(s)
K1
s 1
Y1(s)
Y(s)
K2e-sto
Atraso dinmico:
K
Y1 ( s) 1 X ( s)
s 1
Atraso total:
Ke sto
Y ( s)
X (s)
(6.7)
Ke sto
Y ( s)
X ( s)
(
1
)(
1
)
1
2
150
(6.8)
Ke sto
Y (s) 2 2
X ( s)
(6.9)
Respuesta Paso
Si en la respuesta en el dominio de Laplace de un sistema de primer orden con
tiempo muerto -Ecuacin (6.7) - se considera un cambio paso de magnitud h en la
variable de entrada y luego se halla la transformada inversa de Laplace se obtiene
que la respuesta paso en el dominio del tiempo es:
(6.10)
Siendo to el tiempo muerto y en donde u(t to) muestra que la respuesta es cero para
t < to. En la ecuacin (6.10) se observa que el trmino exponencial muestra para un
determinado tiempo el valor correspondiente a un tiempo anterior t t o .
151
Figura 6.5. Respuesta Paso de un Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto
Respuesta Rampa
Si en la respuesta en el dominio de Laplace de un sistema de primer orden con
tiempo muerto -Ecuacin (6.7) - se considera un cambio rampa de pendiente r en la
variable de entrada y luego se halla la transformada inversa de Laplace se obtiene
que la respuesta rampa en el dominio del tiempo es:
:
Y (t ) u(t to ) Kre (t to ) / Kr (t to )
(6.11)
tiempo muerto. Se observa el atraso adicional que muestra la respuesta que adems
del atraso dinmico presenta una dinmica con tiempo muerto.
Figura 6.6. Respuesta Rampa de un Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto
Respuesta sinusoidal
Si en la respuesta en el dominio de Laplace de un sistema de primer orden con
tiempo muerto -Ecuacin (6.7) - se considera un cambio seno de amplitud A y
frecuencia angular w en la variable de entrada y luego se halla la transformada
inversa de Laplace se obtiene que la respuesta seno en el dominio del tiempo es
KA (t to ) /
KA
Y (t ) u (t t o )
e
Sen
(
t
t
)
o
2 2
1 2 2
1
(6.12)
El nico efecto del tiempo muerto sobre la respuesta a largo plazo es el aumento en
el atraso fase en t o . Este aumento en el atraso fase es proporcional a la frecuencia
de la onda sinusoidal de entrada.
La Figura 6.7 muestra la grfica correspondiente a la respuesta seno de un sistema
de primer orden sin tiempo muerto y se observa el atraso de la misma respuesta
cuando se incluye en la dinmica del sistema un tiempo muerto.
153
Figura 6.7. Respuesta Seno de un Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto
Respuesta Pulso
Un pulso es una funcin paso durante un intervalo de tiempo finito; esto se entiende
como un pulso rectangular. Para definirlo matemticamente, la funcin pulso se
plantea como la diferencia entre una funcin paso positiva de magnitud h y una
funcin paso positiva ejercida con un tiempo muerto t o de la siguiente manera:
x(t ) hu(t ) hu(t t o )
(6.13)
t
to
(6.14)
(6.15)
X ( s)
h he to s
s
s
(6.16)
ss 1 ss 1
(6.17)
La respuesta pulso de un sistema de primer orden en el dominio del tiempo est dada
por la ecuacin:
Y (t ) h 1 et / h 1 et to / u(t )
Siendo u (t ) 0 para t t o y u (t ) 1 para t t o .
155
(6.18)
Respuesta Impulso
La funcin impulso es un pulso de altura infinita, anchura cero y rea igual a k
unidades. Es como una ficcin puramente matemtica pero de mucha utilidad en
ciertos tratamientos matemticos para el anlisis dinmico de sistemas. La
representacin grfica de una funcin impulso de rea k se observa en la Figura
6.10. Cuando el rea del impulso es igual a la unidad, la funcin se define como la
Funcin Delta Dirac (t ) .
La funcin impulso de rea k suele escribirse como un factor de la funcin Delta
Dirac de la siguiente manera:
x(t ) k (t )
(6.19)
156
x(t)
Impulso de rea k
(6.20)
u (t ) u (t t o )
x(t ) k lim
t o 0
to
(6.21)
t o 0
sto
(6.22)
X ( s) k
(6.23)
Y (t )
Khe t /
(6.24)
Y (s)
K
A
s 2 s 1
2
(6.25)
Respuesta sobreamortiguada 1
Para una respuesta sobreamortiguada, la ecuacin caracterstica de la transformada
de Laplace (6.25) tiene races reales negativas diferentes de tal manera que puede
expandirse en fracciones parciales de la siguiente forma:
Y ( s)
KA
C1
C2
s r1 s r2 s r1 s r2
2
KA
KA
s r1 s r
2 2 1
2
C1 lim
KA
KA
s r2 s r
2 2 1
1
C2 lim
Y (t )
Senh 1 2
2 1
KA
159
(6.26)
Y ( s)
KA
C1
C2
2
s r s r 2
s r
2
C1 0
C2 lim
s r
KA
KA
Y (t )
t
t exp
KA
(6.27)
Respuesta subamortiguada 1
Para una respuesta subamortiguada, la ecuacin caracterstica de la transformada de
Laplace (6.25) tiene races complejas conjugadas diferentes con parte real negativa
de tal manera que puede expandirse en fracciones parciales de la siguiente forma:
Y ( s)
KA
C1
C2
s r1 s r2 s r1 s r2
2
KA
KA
s r1 s r
2 1
2
C1 lim
160
KA
KA
s r2 s r
2 1
1
C2 lim
Y (t )
KA
e t/ Sen 1
(6.28)
Y (t )
y para el tiempo con el
KA
Primer Orden:
Segundo Orden:
e t o s
to s
to
s
2
t
1 o s
2
1
(6.29)
(to ) 2 s 2 6to s 12
(to ) 2 s 2 6to s 12
(6.30)
G ( s)
e 5 s
5s 1
162
Figura 6.13 Respuesta Paso Unitario Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto
G1 ( s)
2.5s 1
(1 2.5s)(5s 1)
G2 ( s)
25s 2 30s 12
(25s 2 30s 12)(5s 1)
163
Figura 6.14 Respuesta Paso Unitario Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto
Figura 6.15 Respuesta Paso Unitario Sistema de Primer Orden con Tiempo
Muerto
164
Y ( s)
3e 0.5 s
X ( s ) 5s 0.2
Y ( s ) 15e 0.5 s
X ( s ) 25s 1
X ( s)
165
3e 2 s
s
45e 2.5 s
Y ( s)
s25s 1
Y el valor final de la variable desviacin respuesta del sistema se determina
aplicando el teorema del valor final as:
Y () sY ( s)s 0
45e 2.5 s
45
25s 1 s 0
y() y(0) Y () 47
Y (s)
e 2 s
X ( s ) s 2 1.2s 1
=1
=1
= 0.6
=2
Sobrepaso Mximo exp
1 2
9.5%
2
Razn de Decaimient o exp
1 2
0.009
2
1 1 1
f
0.13 oscilacion es / tiempo
T 2
Bibliografa
Coughanowr D.R. Process Systems Analysis and Control. 2o Edicin.
McGraw-Hill International Editions. 1991
Ogunnaike B.A., Harmon Ray W. Process dynamics, modeling and control.
Oxford University Press. 1994
Smith C.A, Corripio A. Principles and Practice of Automatic Process
Control. Tercera Edicin. Jhon Wiley. 2006
168
(7.1)
.
.
dxn (t )
An1 x1 An 2 x2 ..... Ann xn Bn1u1 (t ) Bn 2 u 2 (t ) ..... Bnmu m (t )
dt
.
.
dxn (t )
An1
dt
A12
. . .
A22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
An 2 . . .
A1n x1 (t )
B11
B
A2 n x2 (t )
21
.
. .
.
. .
.
.
. .
Ann xn (t )
Bn1
169
B12
B22
.
.
.
Bn 2
. . . B1m u1 (t )
. . . B2 m u 2 (t )
. . .
. .
.
(7.2)
. . .
. .
. . .
. .
. . . Bnm u m (t )
Los coeficientes de las variables de salida simbolizados por Aij y los de las variables
de entrada simbolizados por Bij pueden ser constantes o funciones del tiempo. En la
ecuacin (7.2) se consideran dos matrices A y B cuyos elementos son:
A11
A
21
.
A
.
.
An1
A12
A22
An 2
A1n
A2 n
.
.
.
.
Ann
B11
B
21
.
B
.
.
Bn1
B12
. . .
B22
. . .
. . .
. . .
. . .
Bn 2
. . .
B1m
B2 m
.
.
.
.
Bnm
dt
.
.
dxn (t )
dt
x1 (t )
x (t )
2
.
x(t )
.
.
x n (t )
u1 (t )
u (t )
2
.
u (t )
.
.
u m (t )
dx(t )
Ax (t ) Bu (t )
dt
(7.3)
dY1 (t )
Y1 (t ) K1 X (t )
dt
dY (t )
2 2 Y2 (t ) K 2Y1 (t )
dt
dY3 (t )
3
Y3 (t ) K 3Y2 (t )
dt
.........................................
dY (t )
n n Yn (t ) K nYn1 (t )
dt
(7.4)
Segundo:
d 2Y2 (t )
dY (t )
1 2
( 1 2 ) 2 Y2 (t ) K1 K 2 X (t )
2
dt
dt
Tercero:
1 2 3
d 3Y3 (t )
d 2Y3 (t )
dY (t )
)
( 1 2 3 ) 3 Y3 (t ) K1 K 2 K 3 X (t )
1 2
1 3
2 3
3
dt
dt
dt
Se entiende, entonces, que el tercero y los sucesivos sistemas son de una dinmica
lineal de orden mayor.
El conjunto de ecuaciones diferenciales (7.4) escrito explcitamente para los
trminos derivadas en forma de matrices corresponde a la siguiente ecuacin
1
dY1 (t )
dt
1
dY (t )
K2
2
2
dt
.
.
.
.
.
dYn (t )
0
dt
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
Kn
0
K1
Y1 (t )
Y (t )
1
0
2
.
. .
. X (t )
.
.
.
.
1 Yn (t )
0
Primer sistema:
Segundo sistema:
Tercer sistema:
Sistema n-esimo:
K1
X ( s)
1s 1
K2
Y2 ( s)
Y1 ( s)
2s 1
K3
Y3 ( s)
Y2 ( s)
3s 1
Kn
Yn ( s)
Yn1 ( s)
ns 1
Y1 ( s)
172
(7.5)
(7.6)
(7.7)
(7.8)
Segundo sistema:
Y2 ( s)
K1 K 2
X ( s)
( 1 s 1)( 2 s 1)
Tercer sistema:
Y3 ( s)
K1 K 2 K 3
X ( s)
( 1 s 1)( 2 s 1)( 3 s 1)
(7.10)
Sistema n-simo:
Yn ( s)
K1 K 2 K 3 ....K n
X ( s)
( 1 s 1)( 2 s 1)( 3 s 1)....( n s 1)
(7.11)
(7.9)
n
Yn ( s)
Ki
X ( s) i 1 i s 1
(7.12)
Diagrama de Bloques
Un diagrama de bloques es una representacin de la dinmica de un sistema
mediante bloques que representan funciones de transferencia con su variable de
entrada y salida indicada con las correspondientes saetas. Para un sistema de n
subsistemas conectados en serie en forma no interactuante, el diagrama de bloques
que lo representa es el mostrado en la figura 7.1.
X(t)
K1
1s 1
Y1(t)
P-2
K2
2s 1
Y2(t)
K3
3s 1
Y3(t)
Yn - 1
Kn
(t)
ns 1
173
Yn(t)
K1
1 s 1
K 2
1
0 .....
.....
0
0 Y2 ( s )
2s 1
Y (s)
3
K
3
0 X ( s)
0
1 .....
.....
0
0
...........
3s 1
.....
.....
..... .....
.....
.....
..... ........... ......
......
.....
..... .....
.....
.....
.....
.....
Y
(
s
)
K n 1
1
n 1 0
n 1 s 1
Kn
0
0
0
0 .....
1
Y
(
s
)
ns 1
.....
n
(7.13)
Las matrices de la ecuacin (7.13) se pueden simbolizar por letras de tal manera que
una escritura compacta de dicha ecuacin es:
G(s)Y (s) H (s) X (s)
(7.14)
Siendo Y(s) y X(s), los vectores cuyos elementos son las variables de salida y
entrada, respectivamente, G(s) es la matriz cuyos elementos de una fila son las
funciones de transferencia de una de las variables de salida con respecto a las otras
174
variables de salida y H(s) es la matriz cuyos elementos de una fila son las funciones
de transferencia de una de las variables de salida con respecto a cada una de las
variables de entrada. Multiplicando la ecuacin (7.14) por la inversa de la matriz
G(s), se obtiene el vector cuyos elementos son las transformadas de Laplace de las
variables de salida del sistema. Es decir:
Y (s) G 1 (s) H (s) X (s)
(7.15)
(7.16)
Se observa que los perfiles del segundo sistema y subsiguientes son en forma de S y
que la respuesta cambia muy lentamente inmediatamente despus de la perturbacin
paso. El atraso que se observa en los sucesivos sistemas es llamado, algunas veces,
atraso por transferencia y est siempre presente cuando dos o ms sistemas de
primer orden son conectados en serie.
(7.17)
176
d 2Y1 (t )
dY (t )
dX (t )
( 1 2 ) 1 1 K12 K 21 Y1 (t ) K10 2
X (t )
2
dt
dt
dt
Primero:
1 2
Segundo:
d 2Y2 (t )
dY (t )
1 2
( 1 2 ) 2 1 K12 K 21 Y2 (t ) K10 K 21 X (t )
2
dt
dt
0
dt
.
.
.
.
.
0
dYn (t )
dt
K12
K 23
K 34
K 32
.
.
.
.
.
.
.
.
K nn1
.
1
n
Y1 (t )
K10
Y2 (t )
1
Y
(
t
)
3
0
Y (t )
4
. X (t )
.
.
.
.
Y
(
t
)
n1
0
Yn (t )
Primer sistema:
Segundo sistema:
Tercer sistema:
Sistema n-esimo:
K
K12
Y2 ( s) 10 X ( s)
1s 1
1s 1
K 23
K 21
Y2 ( s)
Y1 ( s)
Y3 ( s)
2s 1
2s 1
K 32
K 34
Y3 ( s)
Y2 ( s)
Y4 ( s)
3s 1
3s 1
K
Yn ( s) nn1 Yn1 ( s)
ns 1
Y1 ( s)
177
(7.18)
(7.19)
(7.20)
(7.21)
Primero:
Y1 ( s)
K10 2 s 1
X ( s)
1 2 s 1 2 s (1 K12 K 21 )
(7.22)
Segundo:
Y2 ( s)
K10 K 21
X ( s)
1 2 s 1 2 s (1 K12 K 21 )
(7.23)
Las funciones de transferencia (7.22) y (7.23) permiten observar que las dinmicas
del primer y segundo subsistema son del mismo tipo o comportamiento (segundo
orden) pero adelantada la del primer subsistema, caracterstica que se deduce por la
presencia de un zero negativo en la funcin de transferencia (7.20).
Diagrama de Bloques
Para un sistema de dos subsistemas conectados en serie en forma interactuante, el
diagrama de bloques que lo representa es el mostrado en la figura 7.3.
K10
1s 1
Y1(s)
X(s)
K1
1s 1
K2
2s 1
Y2(s)
12
0
.....
1
1s 1
K 23
K 21
1
.....
s 1
2s 1
2
K32
K34
0
3s 1
3s 1
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
0
0
.....
0
.....
.....
.....
.....
.....
.....
Y ( s) K
0 1
10
1s 1
Y2 ( s )
0
0
0
Y3 ( s)
0 X ( s)
...........
0
0 ...........
.....
.....
0
Y
(
s
)
.....
..... n 1
K nn1
1
0
ns 1
Yn ( s )
0
(7.24)
(7.25)
Siendo Y(s) y X(s), los vectores cuyos elementos son las variables de salida y
entrada, respectivamente, G(s) es la matriz cuyos elementos de una fila son las
funciones de transferencia de una de las variables de salida con respecto a las otras
variables de salida y H(s) es la matriz cuyos elementos de una fila son las funciones
de transferencia de una de las variables de salida con respecto a cada una de las
variables de entrada. El orden de la matriz cuadrada G(s) es igual al nmero de
variables de salida y H(s) es una matriz de n x m, siendo n el nmero de variables de
salida y m el nmero de variables de entrada. La funcin de transferencia matricial
del sistema multivariable es:
179
(7.26)
La Figura 7.4 muestra la respuesta de cada uno de los dos sistemas conectados en
serie en forma interactuante. Para los valores asignados a los parmetros dinmicos
las respuestas son sobreamortiguadas con valores ltimos de acuerdo a los valores
asignados a las ganancias. El primer sistema muestra una dinmica adelantada con
respecto a la del segundo, lo que est de acuerdo con el zero que incluye la funcin
de transferencia del primer sistema.
(7.27)
......................................................................................................
GN 1 ( s )Y1 ( s ) ... GNN ( s)YN ( s ) H N 1 ( s ) X 1 ( s ) ... H NM ( s) X M ( s)
En el sistema (7.27) los coeficientes de las variables de salida expresan las funciones
de transferencia de una variable de salida con respecto a la otra, y los coeficientes de
la variable de entrada expresan las funciones de transferencia de cada una de las
variables de salida con respecto a las variables de entrada. En una forma general, se
puede escribir de la siguiente manera:
G11 ( s )
G21 ( s )
...
GN 1 ( s )
... G2 N ( s ) Y2 ( s ) H 21 ( s )
...
...
... ...
... GNN ( s ) YN ( s ) H M 1 ( s)
... H1M ( s) X 1 ( s)
... H 2 M ( s) X 2 ( s )
...
... ...
... H MM ( s) X M ( s )
(7.28)
(7.29)
(7.30)
(7.31)
T1(t), F
ws = 250 lb/min
Ti(t), F
T2(t), F
T3(t), F
VCv
1
dT1 (t )
ws C pTi (t ) - ws C pT1 (t )
dt
dT1 (t )
T1 (t ) K1Ti (t )
dt
(7.32)
(7.33)
Segundo tanque:
dT2 (t )
T2 (t ) K 2T1 (t )
dt
(7.34)
Tercer tanque:
dT3 (t )
T3 (t ) K 3T2 (t )
dt
(7.35)
183
1 2 3
VC v
ws C p
K1 K 2 K 3
2 min
ws C p
ws C p
(7.36)
(7.37)
2 tanque:
1 2
3 tanque: 1 2 3
d 2T2 (t )
dT (t )
( 1 2 ) 2 T2 (t ) K1 K 2Ti (t )
2
dt
dt
d 3T3 (t )
dt 3
( 1 2 1 3 2 3 )
(7.38)
d 2T3 (t )
( 1 2 3 )T3 (t ) T3 (t ) K 1 K 2 K 3Ti (t )
dt
(7.39)
184
Primer tanque:
T1 ( s)
K1
Ti ( s)
1s 1
(7.40)
Segundo tanque:
T2 ( s)
K2
T1 ( s)
2s 1
(7.41)
Tercer tanque:
T3 ( s)
K3
T2 ( s)
3s 1
(7.42)
Segundo tanque:
T2 ( s)
K1 K 2
Ti ( s)
( 1 s 1)( 2 s 1)
(7.43)
Tercer tanque:
T3 ( s)
K1 K 2 K 3
Ti ( s)
( 1 s 1)( 2 s 1)( 3 s 1)
(7.44)
1
0
0
T1 ( s ) 1 s 1
K2
1
0 T2 ( s ) 0
s 1
T ( s)
T3 ( s ) 0
K3
1
3
(7.45)
(7.46)
Siendo T(s) y Ti(s), los vectores cuyos elementos son las variables de salida y
entrada, respectivamente, G(s y H(s)), son las matrices cuyos elementos son las
funciones de transferencia con respecto a cada una de las variables de salida y de
entrada, respectivamente.
T1 ( s )
T ( s ) T2 ( s )
T3 ( s )
0
0
1
K 2
1
0
G ( s) 2 s 1
K3
0
3 s 1
K1
s 1
1
H (s)
0
(7.47)
(7.48)
Para los tres tanques se observa una respuesta monotnica estable con un valor
ltimo para la temperatura igual en cada uno de ellos. El primer tanque muestra una
dinmica ms rpida caracterstica de un sistema de primer orden, pero el segundo y
tercer tanque son de una dinmica ms atrasada debido a los dos y tres atrasos
dinmicos, respectivamente, en cada uno de ellos. El perfil de la respuesta para el
segundo y tercer tanque muestra la caracterstica forma de S itlica que se hace ms
notoria con el aumento en el atraso de la respuesta.
f1, m3/min
T10(t), K
, kg/m3
Cp, kJ/kg-K
V1
V2
T2(t), K
T1(t), K
f1 + f2, m3/min
f2, m3/s
T20(t), K
, kg/m3
Cp, kJ/kg-K
Modelo matemtico
Un balance de energa en estado no estacionario travs del primer tanque es
188
V1Cv
dT1 (t )
f1 C pT10 (t ) 0.2( f1 f 2 ) C pT2 (t ) - f1 0.2( f1 f 2 )C pT1 (t )
dt
dT1 (t )
T1 (t ) K1T2 (t ) K10T10 (t)
dt
(7.49)
(7.50)
V1Cv
C p f1 0.2( f1 f 2 )
K10
K1
2.5 min
(7.51)
f1
0.75
f1 0.2( f1 f 2 )
(7.52)
0.2( f1 f 2 )
0.25
f1 0.2( f1 f 2 )
(7.53)
V2Cv
dT2 (t )
f1 0.2( f1 f 2 )C pT1 (t ) f 2 C pT20 (t ) 1.2( f1 f 2 ) C pT2 (t ) (7.54)
dt
dT2 (t )
T2 (t ) K 2T1 (t ) K 20T20 (t )
dt
(7.55)
2
K 20
V2Cv
2 min
1.2 C p ( f1 f 2 )
f2
0.333
1.2( f1 f 2 )
189
(7.56)
(7.57)
K2
f1 0.2( f1 f 2 )
0.666
1.2( f1 f 2 )
(7.58)
Primer tanque:
T1 ( s)
K
K1
T2 ( s) 10 T10 ( s)
1s 1
1s 1
(7.59)
Segundo tanque:
T2 ( s)
K 20
K2
T1 ( s)
T20 ( s)
2s 1
2s 1
(7.60)
T1 ( s)
K10 ( 2 s 1)
K 20 K1
T10 ( s)
T20 ( s)
( 1 s 1)( 2 s 1) K1 K 2
( 1 s 1)( 2 s 1) K1 K 2
(7.61)
Segundo tanque:
T2 ( s)
K10 K 2
K 20 ( 1 s 1)
T10 ( s)
T20 ( s)
( 1 s 1)( 2 s 1) K1 K 2
( 1 s 1)( 2 s 1) K1 K 2
(7.62)
A partir de las ecuaciones (7.61) y (7.62) se deduce que las dinmicas de las
respuestas tanto en el primer como en el segundo tanque son de segundo orden con
respecto a las variables de entrada. Adems, muestran que con respecto a una
variacin en T10, manteniendo a T20 constante, la dinmica de la respuesta en el
primer tanque es ms rpida que en el segundo porque en la funcin de transferencia
de T1 con respecto a T10, se incluye un trmino en el numerador, es decir, un zero.
En forma similar, se muestra que con respecto a una variacin en T20, manteniendo a
T10 constante, la dinmica de la respuesta en el segundo tanque es ms rpida que en
el primero porque en la funcin de transferencia de T2 con respecto a T20, se incluye
un trmino en el numerador, es decir, un zero.
K10
1s 1
T1(s)
T10(s)
K1
1s 1
K2
2s 1
+
T20(s)
K 20
2s 1
T2(s)
191
K
K10
1
0
1 s 1 T1 ( s) 1 s 1
T10 ( s)
K
T
(
s
)
K
T
(
s
)
2
20 20
2 0
1
s 1
2s 1
2
(7.63)
(7.64)
Siendo T(s) y U(s), los vectores cuyos elementos son las variables de salida y
entrada, respectivamente, G-1(s) la inversa de una matriz, G(s), cuyos elementos son
las funciones de transferencia con respecto a cada una de las variables de salida y
H(s) una matriz cuyos elementos son las funciones de transferencia con respecto a
cada una de las variables de entrada.
T1 ( s )
T ( s)
T (s)
2
T10 ( s )
U ( s)
T (s)
20
1
1
1s 1
G( s)
1
K2
s 1
K10
0
s 1
1
H ( s)
K 20
0
2 s 1
Se observa que la respuesta dinmica del primer tanque es ms rpida que la del
segundo tanque, lo que se deduce por la inclusin de un zero negativo en la funcin
de transferencia del primer tanque y los valores ltimos de las temperaturas son 18
F y 12 F en el primer y segundo tanque, respectivamente. Lo anterior se puede
verificar aplicando el teorema del valor final a las funciones de transferencia (7.58)
y (7.59). La Figura 7.10 muestra la respuesta del sistema de los dos tanques para un
cambio paso de 20 F en la temperatura de la corriente de entrada al segundo tanque
manteniendo constante la temperatura de la corriente de entrada al primer tanque.
193
Se observa que la respuesta dinmica del segundo tanque es ms rpida que la del
primer tanque, lo que se deduce por la inclusin de un zero negativo en la funcin de
transferencia del segundo tanque y los valores ltimos de las temperaturas son 2 F
y 8 F en el primer y segundo tanque, respectivamente. La Figura 7.11 muestra la
respuesta del sistema de los dos tanques para un cambio paso de 20 F tanto en la
temperatura de la corriente de entrada al primer tanque como a la del segundo
tanque.
Se observa que la respuesta dinmica del primer tanque es ms rpida que la del
segundo tanque, lo que se deduce por el valor del zero que resulta en la funcin de
transferencia del primer tanque y el valor ltimo de la temperatura en ambos tanques
es de 20 F.
A1
dh1 (t )
f (t ) f1 (t )
dt
f1 (t ) c1 h1 (t ) h2 (t )
A1 dh1 (t )
1
h1 (t ) h2 (t ) f (t )
c1 dt
c1
Siendo
dH1 (t )
H1 (t ) H 2 (t ) K1 F (t )
dt
A1
1 min
c1
K1
1
1 pie / pie 3 / min
c1
A2
dh1 (t )
f1 (t ) f 2 (t )
dt
f 2 (t ) c2 h2 (t )
A2 dh2 (t )
c1
h2 (t )
h1 (t )
c1 c2 dt
c1 c2
dH 2 (t )
H 2 (t ) K 2 H1 (t )
dt
196
Siendo
A2
5
min
c1 c2 9
K2
c1
4
c1 c2 9
H1 ( s)
K1
1
H 2 ( s)
F ( s)
1s 1
1s 1
H 2 ( s)
K2
H1 ( s)
2s 1
H 2 ( s)
K 2 K1
0.8
F ( s) 2
F ( s)
2 s 1 1s 1 K 2
s 2.8s 1
1.8 s 1
K1 2 s 1
9
F (s)
H1 ( s)
F (s) 2
2 s 1 1s 1 K 2
s 2.8s 1
3. Las funciones de transferencia para cada uno de los tanques dicen que la
conexin entre ellos es interactuante porque una variacin en el nivel de
lquido en el tanque uno afecta el nivel de lquido en el segundo tanque y
viceversa.
Comparando el polinomio de segundo grado del denominador de las
funciones de transferencia con el considerado en la forma estndar de la
funcin de transferencia de un sistema de segundo orden se obtiene que el
factor de amortiguamiento correspondiente es de un valor de 1.4 lo que
permite deducir que las races de la ecuacin caracterstica son reales
197
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation.
Prentice Hall International Series. 1998
Coughanowr D.R. Process Systems Analysis and Control. Segunda Edicin.
McGraw-Hill International Editions. 1991
Smith C.A, Corripio A. Principles and Practice of Automatic Process
Control. Tercera Edicin. Jhon Wiley. 2006
198
.
.
dxn (t )
An1
dt
A12
. . .
A22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
An 2 . . .
A1n x1 (t )
B11
B
A2 n x2 (t )
21
.
. .
.
. .
.
.
. .
Ann xn (t )
Bn1
199
B12
B22
.
.
.
Bn 2
. . . B1m u1 (t )
. . . B2 m u 2 (t )
. . .
. .
.
. . .
. .
. . .
. .
. . . Bnm u m (t )
Los coeficientes de las variables de salida simbolizados por Aij y los de las variables
de entrada simbolizados por Bij pueden ser constantes o funciones del tiempo.
Cada una de las matrices y vectores incluidos en el arreglo anterior se representan
por los smbolos x, A, x, B, u y la escritura generalizada de un sistema de
ecuaciones lineales en la forma del espacio de los estados es:
x Ax Bu
y Cx Du
(8.1)
x Ax
(8.2)
y Cx
x( s) ( sI A) 1 x(0)
y ( s) C ( sI A) 1 x(0)
(8.3)
Axs Bu s 0
(8.4)
La solucin de (8.4) es el vector cuyos elementos son los valores de las variables de
estado en estado estacionario y se halla a partir de la siguiente ecuacin matricial
algebraica.
xs A1Bu s
201
(8.5)
(8.6)
(8.7)
(8.8)
(8.9)
(8.10)
G(s) C (sI A) 1 B
(8.11)
(8.12)
(8.13)
Por lo tanto, para sistemas con modelos matemticos expresados en la forma del
Espacio de los Estados, la estabilidad de un sistema se determina con la siguiente
prueba:
Un sistema lineal con un modelo matemtico escrito en la forma del espacio de
los estados es estable, si y solo si todos sus valores caractersticos son nmeros
reales negativos o cantidades complejas conjugadas con parte real negativa, de tal
manera que ellos se localizan en el plano izquierdo del plano complejo
En la actualidad es muy fcil la determinacin de los valores caractersticos de un
sistema mediante la ayuda de herramientas computacionales como Matlab. Con solo
expresar como argumento la matriz A, un comando definido dentro del lenguaje
203
V
y1
L
xf
1
2
3
N-2
N-1
N
V
yN+1
L
xN
yi kxi
(1)
xi
yi
205
Etapa de Equilibrio
El concepto de etapa de equilibrio es importante para el desarrollo de un modelo
dinmico de una columna de absorcin. Una etapa de equilibrio est representada
esquemticamente en la Figura 8.2.
L, xi -1
V, yi
L, xi
V, yi +1
(2a)
Como el lquido es mucho ms denso que el vapor, podemos asumir que la mayor
contribucin al termino de acumulacin es Mxi . Ecuacin (2a) puede ser escrita
como:
206
d ( Mxi )
Lxi 1 Vyi 1 Lxi Vyi
dt
(2b)
xi 1
kxi 1
xi kxi
dt M
M
M
M
(3)
xi 1
xi 1
xi
dt M
M
M
(4)
Se observa que la ecuacin (4) proporciona una matriz con estructura tri-diagonal y
es la ecuacin que expresa la variacin dinmica de la composicin del lquido en la
etapa i.
xf
x2
x1
dt M
M
M
(5)
dxN
L
Vk
L Vk
xN 1
y N 1
xN
dt
M
M
M
(6)
x1
x3
x2
dt
M
M
M
L
Vk
L Vk
x2
x4
x3
M
M
M
dx3
dt
L
Vk
L Vk
x3
x5
x4
M
M
M
dx4
dt
L
V
L Vk
x4
y6
x5
M
M
M
dx5
dt
4
0
x5
Vk
M
( L Vk )
M
L
M
0
0
0
Vk
M
( L Vk )
M
L
M
0
x1 L
0
M
x2 0
x 0
0
3
x4 0
Vk
x
M
5 0
( L Vk )
M
0
0
Vk
M
( L Vk )
M
L
M
208
0
0
x f
0
y6
0
(7)
0
0
0
0.325 0.125
0.2
0.325 0.125
0
0
A 0
0.2
0.325 0.125
0
0
0.2
0.325 0.125
0
0
0
0
0.2
0.325
0
0. 2
0
0
B 0
0
0
0
0 0.25
(8)
(9)
El vector cuyos elementos son los valores de las variables de entrada en estado
estacionario es:
x 0.0
u fs
y6s 0.1
(10)
Los valores de x para cada una de las cinco etapas en el estado estacionario se
pueden hallar resolviendo la ecuacin (8.6) y en este caso es:
0
0
0
0.325 0.125
0.2
0.325 0.125
0
0
xs 0
0.2
0.325 0.125
0
0
0.2
0.325 0.125
0
0
0
0
0.2
0.325
209
0
0.2
0
0
0.0
0
0
0.1
0
0
0 0.25
(11)
0.0076
0.0198
xs 0.0392
0.0704
0.1202
(12)
0.0038
0.0099
ys 0.5 xs 0.0196
0.0352
0.0601
(13)
X AX BU
Y CX DU
210
(14)
X x x s
X x xs
Siendo
U u us
Y y ys
0.5 0 0 0 0
211
0 0
D
0 0
La observacin de las Figuras 8.3 y 8.4 muestra que un para un cambio paso de 0.05
en el vapor de alimento la composicin del fondo (X5) responde ms rpidamente
que la composicin de vapor del tope (Y1). Esto tiene sentido fsico, porque la
perturbacin debe propagarse a travs de las seis etapas (desde el fondo hasta el tope
de la columna) para afectar la composicin del tope.
C 0
0
0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
D 0
0
0
0
0
0
0
0
215
La observacin de las Figuras 8.7 y 8.8 muestra que la composicin del fondo (X5)
responde ms lentamente a un cambio en el lquido de alimento que la composicin
del vapor de tope (Y1). Esto tiene sentido fsico, porque la perturbacin debe
propagarse a travs de las seis etapas (del tope a el fondo de la columna) para afectar
la composicin del fondo.
La Figura 8.9 muestra que la magnitud del cambio en la composicin de una etapa
es ms grande en la etapa de tope. La velocidad relativa de respuesta es ms rpida
en cuanto la etapa est ms cerca al tope de la columna.
La Figura 8.10 muestra los perfiles en cada etapa de equilibrio de las
concentraciones de la fase lquida representando en el eje de las ordenadas la
variable desviacin escalada de dichas concentraciones como Xi(t)/Xi(100) para
mayor facilidad de comparacin
Fo
V1
F1
CAo
K1
CA1
V2
F2
K2
CA2
V3
K3
F3
CA3
Modelo matemtico
Los balances de materia en cada reactor son:
Primer reactor
El balance molar del componente A:
V1
dC A1 (t )
Fo C Ao (t ) k1V1C A1 (t ) F1C A1 (t )
dt
(1)
(2)
dC A1 (t )
K
1
C A1 (t ) 1 C Ao (t )
dt
1
1
(3)
V1
10
2.86 min
k1V1 Fo (1 / 4) *10 1
K1
Fo
1
0.286
k1V1 Fo (1 / 4) *10 1
Segundo reactor
Los balances de materia para el segundo y tercer tanque corresponden a ecuaciones
similares a las del primer tanque, razn por lo cual se escriben a continuacin las
ecuaciones finales para cada uno de ellos y el clculo de sus respectivos parmetros
dinmicos as:
dC A2 (t )
K
1
C A2 (t ) 2 C A1 (t )
dt
2
2
(4)
V2
5
1.429 min
k 2V2 Fo (1 / 2) * 5 1
2
K2
Fo
1
0.286
k 2V2 Fo (1 / 2) * 5 1
Tercer reactor
dC A3 (t )
K
1
C A3 (t ) 3 C A2 (t )
dt
3
3
V3
8
3.08 min
k3V3 Fo (1 / 5) * 8 1
K3
Fo
1
0.385
k3V3 Fo (1 / 5) * 8 1
219
(5)
x A2
dt
dC A3
dt
C A1
x C A 2
C A3
1
C 0
0
0
1
0
0
D 0
0
0
0
1
0
0 C A1 0.10
0.350
x 0.200 0.700
0 C A2 0 C Ao
0
0.125 0.320 C A3 0
1 0 0 C A1 0
y 0 1 0 C A2 0C Ao
0 0 1 C A3 0
x 0.200 0.700
0 C A2 0 C Ao 0
0
0.125 0.320 C A3 0
0
0
C A1
0.350
C 0.200 0.700
0
A2
C A3
0
0.125 0.320
0.10
0 C 0
Ao
0
C A3 0.0319
K1
A
K2
B
222
rA K1C A
rB K1C A K 2CB
rC K 2CB
Balance de materia de A:
Como hay flujos de entrada ni de salida, entonces la variacin de A en el reactor es lo
debido a la descomposicin del mismo, lo que se puede escribir como
d [VC A ]
K1C AV
dt
(1)
Como el volumen del sistema es constante, el balance molar del componente A se reduce a:
dC A
K1C A
dt
(2)
Balance de materia de B:
Como en la primera reaccin se produce B y en la segunda se descompone y la relacin
estequiomtrica es de uno a uno, el balance de moles de B es dado por:
223
dC B
K1C A K 2 C B
dt
(3)
Balance de materia de C:
El componente C se produce en la segunda reaccin, por lo tanto la velocidad de su
produccin est dada por:
dCC
K 2CB
dt
(4)
Las ecuaciones diferenciales (2), (3) y (4) constituyen el modelo matemtico del sistema de
reacciones en serie en un reactor por lotes.
La ecuacin (2) es diferencial lineal cuya respuesta para la concentracin de A ser de un
perfil exponencial decreciente. Aun cuando es preferible simular la ecuacin diferencial de
(3) habiendo resuelto la ecuacin (2), la combinacin de ellas permite obtener una ecuacin
diferencial lineal de segundo orden para la variacin en el tiempo de la concentracin de B,
y que corresponde a la siguiente:
d 2CB
dC
( K1 K 2 ) B K1 K 2 C B 0
2
dt
dt
(5)
En forma similar, una combinacin de las ecuaciones (4) y (5) permite mostrar que la
variacin de la concentracin de C con el tiempo es de acuerdo a una ecuacin diferencial
lineal de tercer orden y que corresponde a la siguiente:
d 3 CC
d 2 CC
dCC
(
K
K
)
K1 K 2
0
1
2
3
2
dt
dt
dt
(6)
dC A
dt
dC
x B
dt
dCC
dt
C A
x C B
CC
0
0
0
0
1
0
0
0
1
x Ax 1 0.1 0 C A2
0 0.1 0 C A3
1 0 0 C A1
y Cx 0 1 0 C A2
0 0 1 C A3
Aplicando transformada de Laplace al modelo del espacio de los estados en trminos de las
variables desviacin se tiene que:
C A ( s)
x(0)
s K1
C B ( s)
x(0) K1
( s K1 )( s K 2 )
K1
5
C B (t )
e K1t
e K 2t x(0) e 0.1t e t
K1 K 2
9
K 2 K1
CC ( s )
x(0) K1 K 2
s( s K1 )(s K 2 )
K2
K1
10
10
CC (t ) 1
e K1t
e K 2t x(0) 0.51 e 0.1t e t
K 2 K1
9
9
K1 K 2
227
0, 0.1000, 1.0000
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation.
Prentice Hall International Series. 1998
Coughanowr D.R. Process Systems Analysis and Control. Segunda Edicin.
McGraw-Hill International Editions. 1991
Smith C.A, Corripio A. Principles and Practice of Automatic Process
Control. Tercera Edicin. Jhon Wiley. 2006
228
(9.1)
an s n an1s n1 ... ao
A( s)
G ( s)
(9.2)
numerador y
K ( s z1 )( s z2 )...( s zm )
( s p1 )( s p2 )...( s pn )
(9.3)
De tal manera que zi , i 1, 2,...m , las races del polinomio numerador, B(s), son los zeros
de G(s). En forma similar p j , i 1, 2,...n , las races del polinomio denominador, A(s), son
los polos de G(s).
Para ilustrar la respuesta del sistema a un cambio limitado en la variable de entrada, se
considera la respuesta paso unitario. En el dominio de Laplace, la respuesta es dada por,
Y ( s) G ( s)
1
s
232
(9.4)
Y ( s)
Ao n Aj
s i 1 s p j
(9.5)
Y (t ) Ao Aj e
pjt
(9.6)
j 1
En las ecuaciones (9.5) o (9.6), los polos pueden ser reales o complejos conjugados.
Se observa ahora, que las caractersticas de estabilidad de esta respuesta est
determinada completamente por n polos p j , i 1, 2,...n . La respuesta se mantendr
limitada si y solo si todos estos polos son nmeros reales negativos o cantidades
complejas conjugadas con parte real negativa. Si uno de estos polos es un nmero
positivo o una cantidad compleja con parte real positiva, el trmino exponencial
correspondiente aumentar indefinidamente y la respuesta es ilimitada. El caso
especial de un polo complejo con parte real igual a cero, es una singularidad que es
improbable que ocurra en un proceso real. Por lo tanto, este caso es solo de especial
inters como un punto de transicin entre estabilidad e inestabilidad. Por lo tanto, se
puede expresar lo siguiente como una prueba de la estabilidad de un sistema:
Un sistema lineal es estable, si y solo si todos sus polos son o nmeros reales
negativos o cantidades complejas conjugadas con parte real negativa. Es decir, que
se localicen en el plano izquierdo del plano complejo; en caso contrario es
inestable
El resultado expresado anteriormente establece que la estabilidad de un sistema
lineal depende solo de sus polos; los zeros no afectan la estabilidad del sistema. Por
lo tanto, la prueba para la determinacin del carcter de estabilidad de un sistema
lineal no es ms que la determinacin de la naturaleza de sus polos; no es necesario
determinar los detalles de la respuesta dinmica del sistema. La Figura 9.4 muestra
el plano complejo con algunos polos y zeros localizados en el plano izquierdo. A
partir de la prueba de estabilidad enunciada, si algn polo se localiza en el plano
derecho del plano complejo, el sistema es inestable.
Por lo tanto, la respuesta a la pregunta Cundo es estable un sistema lineal? es:
Cuando todos los polos de la funcin de transferencia (las races del polinomio
denominador) son nmeros reales negativos o cantidades complejas conjugadas con
233
parte real negativa. Es decir, cuando se localizan en el plano izquierdo del plano
complejo
Eje Imaginario
Plano Estable
Plano Inestable
Eje Real
Plano Izquierdo
Plano Derecho
Figura 9.4 Plano Complejo Localizacin de polos (X) y zeros ( ) del sistema
an
d nY (t )
d n1Y (t )
d 2Y (t )
dY (t )
...
a
a1
aoY (t ) f [u(t )]
n 1
2
n
n 1
2
dt
dt
dt
dt
(9.7)
Siendo f [u(t)] una funcin de la variable de entrada (que puede incluir derivadas
de dicha variable). Entonces, es fcil demostrar que la solucin de la ecuacin (9.7),
es de la misma forma que la ecuacin (9.6)
Y (t ) Ao Aj e
j 1
234
rj t
(9.8)
(9.9)
(9.10)
Yn1 Yn
Yn
1
an1Yn an2Yn1... aoY1 Ku
an
0
Y1
Y2
Yn1
Y
n
0
a
o
a
n
a1
an
0
0
Y
1
Y2
Yn1
Yn
1
K
an1
an
an
0
(9.11)
(9.12)
0
0
0
D
236
Se demuestra, por medio del algebra lineal que la solucin de las ecuaciones (9.11) y
(9.12) es de la forma,
Y (t ) Ao Aj e
jt
(9.13)
j 1
(9.14)
(9.15)
Por lo tanto, para sistemas con modelos matemticos expresados en la forma del
Espacio de los Estados, la prueba de estabilidad de un sistema se determina con la
siguiente prueba:
Un sistema lineal con un modelo matemtico escrito en la forma del espacio de
los estados es estable, si y solo si todos sus valores caractersticos son nmeros
reales negativos o cantidades complejas conjugadas con parte real negativa, de tal
manera que ellos se localizan en el plano izquierdo del plano complejo
237
G ( s)
K
s 1
(9.16)
Inestabilidad Exponencial
La respuesta paso unitaria del sistema cuya funcin de transferencia est dada por la
ecuacin (9.16) es la siguiente:
Y (t ) K (1 e t / )
(9.17)
238
G( s)
2
5s 1
(9.18)
G( s)
2
(5s 1)(3s 1)
(9.19)
G ( s)
2(4s 1)
5s 1
(9.20)
El sistema con la funcin de transferencia (9.18) tiene un polo RHP y, por lo tanto,
su respuesta es inestable exponencial (Figura 9.5)
239
Inestabilidad Oscilatoria
Cuando los polos de un sistema inestable en lazo abierto son complejos conjugados
con parte real positiva, la respuesta paso ser exponencial sinusoidal con amplitud
creciente; por lo tanto, se tendr una inestabilidad oscilatoria diferente a la
exponencial en la que no hay oscilaciones. Para ilustrar lo anterior, se considera la
respuesta paso unitario del sistema cuya funcin de transferencia es:
G( s)
10
s 2s 629
2
(9.21)
241
CLTF ( s)
G( s) K c
1 G( s) K c
(9.22)
242
G ( s)
6
2s 1
(9.23)
6Kc
0
2s 1
(9.24)
La solucin de la ecuacin (9.24) da una raz que depende del valor de la ganancia
del controlador proporcional y est dada por
r 0.5 6Kc
(9.25)
Es evidente que para valores de ganancia mayores que cero la raz siempre ser
negativa, es decir, que la respuesta del lazo cerrado de control siempre ser estable.
G ( s)
6
(2s 1)(4s 1)
(9.26)
6Kc
0
(2s 1)(4s 1)
(9.27)
3 1 48K c
8
(9.28)
1
las races son reales negativas y el lazo cerrado de control
48
1
las races son complejas conjugadas con parte real negativa y
48
G( s)
4.5
3s 1
(9.29)
4.5K c
0
3s 1
(9.30)
La solucin de la ecuacin (9.30) da una raz que depende del valor de la ganancia
del controlador proporcional y est dada por
1 4.5K c
3
(9.31)
244
2
9
G ( s)
6
(2s 1)(4s 1)
(9.32)
6Kc
0
(2s 1)(4s 1)
(9.33)
2 36 32 K c
16
(9.34)
(9.35)
determinar los valores de los parmetros del sistema que pueden causar una prdida
en la estabilidad.
Arreglo de Routh
Si todos los coeficientes de la ecuacin caracterstica (9.35) son positivos, se
satisface la condicin necesaria para la estabilidad. El siguiente arreglo (Seborg,
Edgar & Mellichamp, 1989) se construye para evaluar las condiciones suficientes
para estabilidad.
Fila
1
an
a n -2
a n -4
...
a n-1
a n-3
a n-5
...
b1
b2
b3
...
c1
c2
...
...
n 1
Siendo n el orden del polinomio caracterstico. Observe que las dos primeras filas
contienen los coeficientes del polinomio caracterstico.
Los elementos de la tercera fila se calculan de la siguiente manera:
b1
an 1an 2 an an 3
an 1
b2
an 1an 4 an an 5
an 1
247
b1an 3 an 1b2
b1
b a an 1b3
c2 1 n 5
b1
c1
Y as sucesivamente.
d 3Y (t )
d 2Y (t )
dY (t )
2
3
Y (t ) 0
3
2
dt
dt
dt
3 22 3 1 0
El arreglo de Routh es el siguiente
Fila
1
5/2
1
248
d 3Y (t )
d 2Y (t )
dY (t )
2
3
Y (t ) 0
3
2
dt
dt
dt
3 22 3 0
Fila
Siendo
1
2
1
2
b1
c1
b1 3 / 2
c1
249
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation.
Prentice Hall International Series. 1998
Ogunnaike, B.A., Harmon Ray W. Process dynamics, modeling and control,
Oxford University Press. 1994
250
G1 ( s)
10.3
(1.5s 1)5 (15.2s 1)
251
(10.1)
10.3e 7.5 s
G1 ( s )
15.2s 1
(10.2)
En la Figura 10.1 se observa una gran aproximacin del modelo ajustado a la curva
de reaccin del proceso. Los parmetros correspondientes al modelo ajustado de
primer orden con tiempo muerto son: la ganancia en estado estacionario 10.3, el
atraso dinmico 15.2 y el tiempo muerto 7.5.
(10.3)
252
En este caso, se puede determinar la ganancia efectiva, a partir del valor ltimo
observado en la Curva de Respuesta del proceso y la magnitud del cambio paso X,
es decir, mediante la ecuacin:
(10.4)
Se debe tener presente que Ym( ) es la variable desviacin de salida con respecto
al valor inicial; es decir, no es la medida absoluta de la variable de salida de proceso.
La Figura 10.2 muestra que a partir de la Curva de Reaccin de un proceso se puede
determinar el valor ltimo de la variable desviacin de salida y con ello aplicar la
ecuacin (10.3) para la estimacin de la ganancia.
un modelo de primer orden con tiempo muerto, la rapidez de cambio inicial mxima
de la variable desviacin de salida es:
dY (t )
1 Y ( )
Km m
dt to
muestra el perfil de la curva que se obtiene con el ajuste de primer orden con tiempo
muerto.
Figura 10.4. Curva de Reaccin del Proceso Ajuste de Primer orden con tiempo
muerto: Procedimiento 1
Y (t o ) 0.632Ym ()
La Figura 10.5 muestra el punto comn entre la curva de reaccin del proceso y el
grafico ajustado de primer orden con tiempo muerto. Es fcil observar que en este
procedimiento se obtiene un valor menos sobredimensionado para el atraso
dinmico que el que se obtiene con el procedimiento 1 y, por lo tanto, la curva del
ajuste es ms aproximada a la curva de reaccin del proceso.
255
Y to 0.283Ym ()
Estos dos puntos son simbolizados como t2 y t1, respectivamente, en la Figura 10.6.
Los valores del tiempo muerto y del atraso dinmico pueden determinarse
fcilmente mediante la solucin del siguiente conjunto de ecuaciones
t o
t1
3
to t 2
256
3
t 2 t1
2
to t 2
reaccin del proceso por cada uno de los tres procedimientos explicados
anteriormente.
2. Escriba las funciones de transferencia del modelo ajustado para cada uno de
los tres procedimientos y
3. Muestre los grficos comparativos de la curva de reaccin con las respuestas
obtenidas con el ajuste obtenido para cada uno de los tres procedimientos:
1. Para el desarrollo de los procedimientos de ajuste a un modelo de primer
orden se elabora el siguiente archivo en la plataforma de Matlab:
% Tiempo de simulacin
% Funcin de Transferencia del Proceso
% Curva de Reaccin del Proceso
for r = 1:i
dy = abs(y(r)/y(end));
if dy < 0.64 && dy > 0.62
t3 = t(r);
y3 = y(r);
else
end
end
t3
tau2 = t3 - to1;
disp(' ')
disp('Ajuste -2- de Primer Orden con Tiempo Muerto - 2')
h2 = tf([K],[tau2 1], 'inputdelay', to1)
[y2,t1] = step(h2,ts);
figure(4)
plot(t,y,'k')
hold on
plot(t1,y2,'--k')
title({'Curva de Reaccin del Proceso'; 'Ajuste de Primer Orden con Tiempo Muerto';
'Procedimiento 2'}, 'Fontsize', 18)
xlabel('Tiempo', 'FontSize', 18)
ylabel('Respuesta', 'FontSize', 18)
legend('Curva de Reaccion del Proceso','Ajuste -2- de Primer Orden con Tiempo
Muerto',4)
hold on
plot([to1 to1 + tau1], [0 K], '--k')
plot([t3 t3],[y3 0], '--k')
text(to1 + 0.45*tau2,0.018, '\tau', 'FontSize', 20)
plot([to1 to1 + 0.45*tau2], [0.015 0.015],'k')
plot([to1 + 0.55*tau2 to1 + tau2], [0.015 0.015],'k')
plot([to1 to1], [0 0.03],'k')
text(0.4*to1,0.018, 'to', 'FontSize', 12)
text(to1 + 2.5*tau1, K/2, '\DeltaY_m(\infty)', 'FontSize', 20);
plot([to1 + 2.6*tau1 to1 + 2.6*tau1], [0 0.45*K], 'k');
plot([to1 + 2.6*tau1 to1 + 2.6*tau1], [0.55*K K], 'k')
to3 = t3 - tau3;
disp(' ')
disp('Ajuste -3- de Primer Orden con Tiempo Muerto - 3')
h3 = tf(K,[tau3 1], 'inputdelay', to3)
[y5,t1] = step(h3, ts);
figure(5)
plot(t, y, 'k')
hold on
plot(t1, y5, '--k')
title({'Curva de Reaccin del Proceso'; 'Ajuste de Primer Orden con Tiempo Muerto';
'Procedimiento 3'}, 'Fontsize', 18)
xlabel('Tiempo', 'FontSize', 18)
ylabel('Respuesta', 'FontSize', 18)
legend('Curva de Reaccion del Sistema', 'Ajuste -3- de Primer Orden con Tiempo
Muerto', 4)
text(to1 + 2.5*tau1, K/2, '\DeltaY_m(\infty)','FontSize',20);
plot([to1 + 2.6*tau1 to1 + 2.6*tau1], [0 0.45*K], 'k');
plot([to1 + 2.6*tau1 to1 + 2.6*tau1], [0.55*K K], 'k');
plot([t3 t3],[y3 0], '--k')
plot([t4 t4],[y4 0], '--k')
text(t3, -0.02, 't_2', 'FontSize',12);
text(t4, -0.02, 't_1', 'FontSize',12);
text(t3 + 0.15, y3/2, '63.2 % \DeltaY_m(\infty)', 'FontSize', 12);
text(t4 + 0.15, y4/2, '28.3 % \DeltaY_m(\infty)', 'FontSize', 12)
Primero se obtiene la respuesta paso unitario del sistema en lazo abierto con
la funcin de transferencia planteada en el enunciado. Se grafica entonces la
denominada Curva de Reaccin del proceso que se muestra en la Figura 10.7.
La Figura 10.9 muestra la curva de reaccin del proceso, la curva que resulta
con la aproximacin de primer orden con tiempo muerto obtenido con el
procedimiento de ajuste 1.
262
La Figura 10.10 muestra la curva de reaccin del proceso, la curva que resulta
con la aproximacin de primer orden con tiempo muerto obtenido con el
procedimiento de ajuste 2.
Bibliografa
Smith C.A, Corripio A. Principles and Practice of Automatic Process
Control. Tercera Edicin. Jhon Wiley. 2006
264
SECCIN III
SISTEMAS NO LINEALES
265
266
dY (t )
Y (t ) KX (t )
dt
dY (t )
Y 2 (t ) KX (t )
dt
2
dY (t )
Y (t ) KX (t )
dt
dY (t )
Y (t ) X (t ) KX (t )
dt
f ( x(t )) f ( x)
df
dx
...
(11.1)
Siendo x trazo, el valor base alrededor del cual se expande la funcin. La linealizacin de
la funcin f(x(t)) consiste en aproximar su expansin a solo los dos primeros trminos de la
Serie de Taylor, es decir:
f ( x(t )) f ( x)
df
dx
x(t ) x ...
(11.2)
V
y(t)
F
z(t)
x(t)
L
x(t)
El tanque se alimenta con un flujo molar F(t). La fase vapor emerge con un flujo
molar V(t) y tiene una composicin y(t) con respecto al componente ms voltil, y la
fase liquida emerge con un flujo molar L(t) y tiene una composicin x(t) con
respecto al componente ms voltil. La masa total, M(t), de lquido y vapor
acumulada en el separador, la temperatura y la presin pueden considerarse
constantes. Asumiendo que las fases vapor y lquida en el separador se encuentran
en condiciones de equilibrio tales que la volatilidad relativa, , es constante,
entonces se puede establecer la siguiente relacin entre y(t) y x(t).
y (t )
x(t )
1 ( 1) x(t )
Balance de Materia
De acuerdo al planteamiento y a las suposiciones se requiere el planteamiento de un
balance de materia que establezca la igualdad entre el flujo de materia suministrado
con la alimentacin, el flujo de materia que sale en las corrientes de vapor y la
rapidez de acumulacin en el interior del tanque separador. Esto es, para el
componente ms voltil en estado dinmico
Fz (t ) Vy (t ) Lx(t ) M
dx(t )
dt
Fz (t )
Vx (t )
dx(t )
Lx(t ) M
1 ( 1) x(t )
dt
Estado Estacionario
El balance de materia en estado estacionario se reduce a la siguiente ecuacin
algebraica.
Fz (t )
Vx (t )
Lx(t ) 0
1 ( 1) x(t )
7.5 x s2 11.5 xs 4 0
La raz real que se selecciona como respuesta por su significado fsico es la positiva
con un valor de 0.2922, se descarta la raz negativa de -1.8255. La fase vapor se
encuentra con la relacin establecida as:
ys
xs
2.5(0.2922)
0.508
1 ( 1) xs 1 1.5(0.2922)
270
Linealizacin
Observando el miembro izquierdo del modelo matemtico, se encuentra que el
segundo trmino es no lineal. Una linealizacin de la relacin de equilibrio, y(t), con
respecto a la composicin de la corriente liquida en estado estacionario, de esta
expresin no lineal la transforma a
y(t )
xs
x(t ) xs
1 ( 1) xs 1 ( 1) xs 2
Y (t )
Siendo
X (t ) X (t )
1 ( 1) xs 2
1 ( 1) xs 2
271
dX (t )
V L X (t ) FZ (t )
dt
M dX (t )
F
X (t )
Z (t )
V L dt
V L
Siendo,
dX (t )
X (t ) KZ (t )
dt
M
V L
F
V L
Funcin de Transferencia
Al aplicar la transformada de Laplace al modelo linealizado se obtiene la
correspondiente funcin de transferencia:
X ( s)
K
Z ( s) s 1
observa que en las cercanas de las condiciones del estado estacionario los cambios
son aproximadamente iguales a los obtenidos con la solucin del modelo no ideal.
Modelo
fi(t)
pie3/min
h(t), pie
fo(t)
pie3/min
273
El flujo de lquido a travs del plato est dado por la frmula de Francis (adaptada
del Perry, 1984):
f o (t ) 24.9wh1.5 (t ) 2 g pie 3 / min
Donde
h(t ) = nivel de lquido en el plato por encima del tope del vertedero, ft
El flujo de entrada en el estado de estacionario y los parmetros del proceso son los
siguientes:
rea seccional del plato, A = 11.2 ft2,
Altura del vertedero,
w = 3 ft,
Flujo de la corriente de entrada inicial: fi(0) = 30 ft3/min.
Desarrollar el modelo matemtico que exprese el balance de materia a travs
del plato de la columna
Determinar el valor de la altura del lquido en el plato en condiciones
estacionarias
Mostrar la en forma grfica la respuesta del sistema para un cambio paso
unitario en el flujo de entrada al plato de la columna
Linealizar el modelo matemtico no lineal y determine el valor de los
parmetros dinmicos del sistema linealizado.
Escribir la funcin de transferencia del sistema que relaciona la altura de
lquido sobre el vertedero y el flujo de lquido de la corriente de entrada del
plato.
Mostrar en una misma figura el perfil grfico de la respuesta tanto para el
modelo no linealizado como para el linealizado
Balance de Materia
Escribiendo un balance de materia para el lquido a travs del plato se tiene que:
274
i f i (t ) o f o (t )
d ( V )
dt
dV
dt
Asumiendo que el volumen de lquido sobre el plato est dado por V = Ah(t), siendo
A el rea del plato considerada constante
f i (t ) f o (t ) A
dh(t )
dt
Reemplazando el valor de f o (t )
fi (t ) 24.9wh1.5 (t ) 2 g A
dh(t )
dt
Condiciones estacionarias
La altura del lquido en el plato en condiciones iniciales, se puede calcular a partir
de la ecuacin diferencial no lineal obtenida considerada en condiciones
estacionarias, de tal manera que resulta la siguiente ecuacin:
1 / 1.5
fis
hs
24.9w 2 g
1 / 1.5
30
24.9(3) 2(32.2)
275
0.1358 ft
Linealizacin
Linealizando el trmino no lineal del miembro izquierdo del modelo matemtico
desarrollado resulta que
24.9wh1.5 (t ) 2 g 24.9whs1.5 2 g 24.9(1.5)whs0.5 2 g h(t ) hs
276
dh(t )
dt
En estado estacionario:
dhs
dt
Fi (t ) 24.9(1.5) whs0.5 2 g H (t ) A
dH (t )
dt
Fi (t ) bH (t ) A
dH (t )
dt
A dH (t )
1
H (t ) Fi (t )
b dt
b
Entonces, la ecuacin diferencial del modelo linealizado con los trminos dinmicos
correspondientes es
Siendo
dH (t )
H (t ) KFi (t )
dt
A
A
b 24.9(1.5) whs0.5 2 g
277
1
1
b 24.9(1.5) whs0.5 2 g
Los valores numricos de los parmetros dinmicos del sistema se calculan con sus
respectivas expresiones matemticas, as:
ft 3 / min
ft
A
11.2 ft 2
0.0338 min
b 331.4 ft 3 / min/ ft
1
1
ft
0.00302 3
b 331.4
ft / min
Funcin de Transferencia
Al aplicar la transformada de Laplace al modelo linealizado se obtiene la
correspondiente funcin de transferencia:
H ( s)
K
Fi ( s) s 1
278
Balances de Materia
Se han de plantear dos balances de materia debido a que en el sistema de reaccin
existen dos sustancias A y B. A continuacin se plantea un balance para el
componente A y un balance global de materia:
Balance Molar de A:
d Vc A (t )
f i (t )ci (t ) VkcA2 (t ) f o (t )c A (t )
dt
Balance Global:
d V
f i (t ) f o (t )
dt
dc A (t )
fci (t ) VkcA2 (t ) fc A (t )
dt
Estado Estacionario
El valor de la concentracin de A en estado estacionario se halla igualando a cero la
ecuacin diferencial del balance molar de A lo que resulta en la siguiente ecuacin
algebraica de grado dos:
2
0 fcio VkcAs
fc As
2
1.6c As
c As 1.25 0
La raz real que se selecciona como respuesta por su significado fsico es la positiva
con un valor de 0.625, se descarta la raz negativa de -1.25.
280
Linealizacin
Linealizando el trmino no lineal del miembro izquierdo del modelo matemtico
desarrollado resulta que
2
VkcA2 (t ) VkcAs
2VkcAs cA (t ) cAs
dcA (t )
2
fci (t ) VkcAs
2VkcAs cA (t ) cAs fc A (t )
dt
En estado estacionario:
281
dcAs
2
fcis VkcAs
2VkcAs cAs cAs fc As
dt
dCA (t )
fCi (t ) 2VkcAs C A (t ) fC A (t )
dt
V
dC A (t )
f
C A (t )
Ci (t )
2VkcAs f dt
2VkcAs f
Entonces, la ecuacin diferencial del modelo linealizado con los trminos dinmicos
correspondientes es
dCA (t )
CA (t ) KCi (t )
dt
Siendo
V
2VkcAs f
f
2VkcAs f
Los valores numricos de los parmetros dinmicos del sistema se calculan con sus
respectivas expresiones matemticas, as la constante de tiempo es igual a
V
5
1.67 min
2VkcAs f 2(5)(0.32)(0.625) 1
282
f
2VkcAs f
1
0.333
2(5)(0.32)(0.625) 1
Funcin de Transferencia
Al aplicar la transformada de Laplace al modelo linealizado se obtiene la
correspondiente funcin de transferencia:
C A ( s)
K
Ci ( s) s 1
f
Ti(t)
f
T(t)
RT
K o , factor de frecuencia , kmol / m 3 s
Donde,
Utilice los siguientes smbolos para los parmetros fsicos del problema:
, densidad de los reactantes y productos,constante, kmol / m3
f , flujo de la corriente de entrada y de la corriente de salida, constante, m3 / s
Ti (t ), temperatura de la corriente de entrada, K
T (t ), temperatura del reactor , K
H r , calor de reaccin, constante y negativo, J/kmol
Cp , Cv , capacidad calorfica , J/kmol
V, volmen de lquido en el tanque, m3
Balance de Energa
Realizando un balance de energa a travs de la masa dentro del reactor expresa que
el flujo de energa suministrado por la corriente de entrada ms la rapidez con que se
absorbe la energa liberada por la reaccin exotrmica menos el flujo de energa que
se pierde en la corriente de salida es igual a la rapidez de acumulacin de energa
dentro del reactor:
fC pTi (t ) fC pT (t ) rA H rV
VC v
d VC vT (t )
dt
dT (t )
E
fC pTi (t ) fC pT (t ) K o H rV exp
dt
RT (t )
Esta ecuacin expresa el modelo matemtico no lineal que muestra que la variacin
de la temperatura en el reactor es dependiente de la temperatura de la corriente de
entrada, manteniendo constante los parmetros fsicos
Linealizacin
El trmino exponencial del miembro derecho de la ecuacin diferencial es no lineal.
Por lo tanto, la linealizacin de la ecuacin es la de dicho trmino as:
E E
E
E
exp
T (t ) Ts
exp
exp
2
RT
RTs RTs
RTs
285
VC v
E
dT (t )
fC p Ti (t ) fC p T (t ) K o H r V exp
dt
RT s
E
2
RT s
E
exp
RT
T (t ) Ts
VC v
E
d(t )
fC p K o H r V
2
dt
RT s
(t ) fC p i (t )
d(t )
(t ) Ki (t )
dt
La ganancia es:
E
exp
RT
VC v
E
fC p K o H r V
2
RT s
E
exp
RT
fC p
E
fC p K o H r V
2
RT s
E
exp
RT
A dim ensional
Funcin de Transferencia
Al aplicar la transformada de Laplace al modelo linealizado se obtiene la
correspondiente funcin de transferencia:
( s )
K
i ( s) s 1
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation.
Prentice Hall International Series. 1998
Smith C.A, Corripio A. Principles and Practice of Automatic Process
Control. Tercera Edicin. Jhon Wiley. 2006
286
dy(t )
x1 (t ) x2 (t ) - x1 (t ) y(t ) y2 (t)
dt
Las derivadas parciales con respecto a cada una de las variables se evalan con los
valores de x1 (t ), x2 (t ),...) en un punto base xs ( x1s , x2 s ,...) , y as sucesivamente.
fi(t), m3/min
cAi(t), kmoles/m3
Reactor CSTR
f(t), m3/min
cA(t), kmoles/m3
d ( V )
fi (t ) - f (t )
dt
Balance de Materia de A
Un balance de moles de A en estado no estacionario del fluido a travs del reactor es
dcA (t )
fi (t )cAi (t ) - f (t )cA (t ) - kr Vc 2A (t)
dt
Combinando las ecuaciones resultantes de los dos balances de materia resulta que la
ecuacin diferencial que expresa la rapidez de cambio en la concentracin de A en el
reactor es
dcA (t )
fi (t )cAi (t ) - fi (t )cA (t ) - kr Vc 2A (t)
dt
Se observa que es una ecuacin diferencial no lineal con dos variables de entrada cAi (t) y fi
(t) y una variable de salida cA (t), siendo el volumen y la constante de velocidad de reaccin
parmetros constantes.
Estado Estacionario
El balance de materia en estado estacionario se reduce a la siguiente ecuacin:
fiscAis - fiscAs - kr Vc 2As 0
La raz real que se selecciona como respuesta por su significado fsico es la positiva
con un valor de 0.5 kmol/m3, se descarta la raz negativa
290
Linealizacin
Linealizando los trminos no lineales del miembro izquierdo del modelo matemtico
desarrollado resulta que
fi (t )cAi (t ) fiscAis cAis fi (t ) fis fis cAi (t ) cAis fiscAis cAis F (t ) fisCAi (t )
fi (t )cA (t ) fiscAs cAs fi (t ) fis fis cAi (t ) cAis fiscAs cAs F (t ) fisCA (t )
2
2
Vkr cA2 (t ) Vkr cAs
2Vkr cAs cA (t ) cAs Vkr cAs
2Vkr cAsCA (t )
dcA (t )
2
fis cAis cAis F (t ) fisCAi (t ) fiscAs cAs F (t ) fisCA (t ) Vk r cAs
2VkcAs CA (t )
dt
dc (t )
2
V As fis cAis fiscAs Vk r cAs
dt
291
dCA (t )
cAis F (t ) fisCAi (t ) cAs F (t ) fisCA (t ) 2Vk r cAs CA (t )
dt
V
dC A (t )
fis
c c
C A (t )
C Ai (t ) Ais As F (t )
2Vk r cAs fis dt
2Vk r cAs fis
2Vk r cAs fis
Entonces, la ecuacin diferencial del modelo linealizado con los trminos dinmicos
correspondientes es
dCA (t )
CA (t ) KCCAi (t ) K F F (t )
dt
V
2Vk r c As f is
fis
KC
2Vk r cAs fis
cAis cAs
KF
2Vk r cAs fis
Siendo
Los valores numricos de los parmetros dinmicos del sistema se calculan con sus
respectivas expresiones matemticas as:
V
15
3.75 min
2Vk r cAs fis 2(15)(0.2)(0.5) 1
KC
fis
1
0.25
2Vk r cAs fis 2(15)(0.2)(0.5) 1
KF
cAis cAs
1.25 0.5
kmol / m3
0.1875 3
2Vk r cAs fis 2(15)(0.2)(0.5) 1
m / min
292
Funcin de Transferencia
Al aplicar la transformada de Laplace al modelo linealizado se obtiene la
correspondiente funcin de transferencia:
C A ( s)
KC
K
CAi ( s) F F ( s)
s 1
s 1
K1
K2
A B C
K3
2A D
F
CAf(t)
F
CA(t)
gmol
litro
K1
5
min 1
6
5
K 2 min 1
3
294
1
K 3 litro / mol min
6
Balances de Materia
Un balance de materia del componente A en el reactor, a volumen constante, es:
dc A (t ) f (t )
c Af c A (t ) K1c A (t ) K3c A2 (t )
dt
V
(1)
dcB (t )
f (t )
cB (t ) K1c A (t ) K 2 cB (t )
dt
V
(2)
dcC (t )
f (t )
cC (t ) K 2 cB (t )
dt
V
(3)
dcD (t )
f (t )
1
cD (t ) K 3c A2 (t )
dt
V
2
295
(4)
Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) son no lineales porque incluyen trminos no
lineales como el producto de flujo por concentracin y otro de grado dos con
respecto a la concentracin de A. Por lo tanto, el modelo es no lineal con cuatro
variables de salida y una variable de entrada.
Estado Estacionario
Las ecuaciones (1) a (4) escritas para el estado estacionario son:
fs
c Af c As K1c As K3c As2 0
V
f
s cBs K1c As K 2 cBs 0
V
f
s cCs K 2 cBs 0
V
F
1
2
s cDs K 3c As
0
V
2
(5)
(6)
(7)
(8)
Las ecuaciones (5) a (8) se pueden combinar y deducir las expresiones matemticas
para calcular las concentraciones de los componentes del sistema de reacciones en el
estado estacionario, as:
f
f
K1 s
K1 s 4 K 3 s c Af
V
V
V
c As
2K3
2K3
(10)
K1c As
fs
K2
V
Kc
2 Bs
fs
V
2
K 3c As
f
2 s
V
cBs
cCs
cDs
(9)
(11)
(12)
Estos perfiles se alcanzan asignando un valor inicial para la velocidad espacio de 4/7
min-1 en estado estacionario y un cambio paso de 0.6 min-1. Los valores iniciales de
las concentraciones de A, B, C y D se calculan con las ecuaciones (12.9) - (12.12) y
son: 3, 1.1170, 3.2580 y 1.3125 mol/litro, respectivamente.
Linealizacin
Simbolizando la velocidad espacio por fv y linealizando los trminos no lineales de
los miembros derechos de las ecuaciones diferenciales no lineales del modelo
matemtico desarrollado resultan las siguientes ecuaciones diferenciales lineales
Para el componente A:
A
Siendo
dC A (t )
C A (t ) K F1 FV (t )
dt
(13)
1
f vs K1 2 K3cAs
K F1
cAf cAs
f vs K1 2 K3cAs
Siendo
dCB (t )
CB (t ) K A2C A (t ) K F 2 FV (t )
dt
1
f vs K 2
299
(14)
K A2
K1
f vs K 2
KF 2
cBs
f vs K 2
Siendo
dCC (t )
CC (t ) K B 3CB (t ) K F 3 FV (t )
dt
(15)
1
f vs
KB2
K2
f vs
KF 3
cCs
f vs
Siendo
dCD (t )
CD (t ) K A4C A (t ) K F 4 FV (t )
dt
1
f vs
K A4
K3cAs
f vs
KF4
c Ds
f vs
300
(16)
CH CH3 + H2O
H2 C
H2 C
OH
O
Oxido de Propileno
CH CH3
OH
Propilenglicol
N i, V
Q
Figura 12.12 Reactor por lotes
302
Informacin Adicional
El modelo matemtico que expresa los cambios estructurales y energticos que
ocurren en el reactor requiere de la siguiente informacin. (Se emplean los
siguientes smbolos, A: oxido de propileno; B: Agua; C: Propilenglicol; M:
Metanol; I: Inerte)
43.04
lbmol / pie 3
46.62
802.8
B
lbmol / pie 3
233.10
71.87
C
lbmol / pie 3
46.62
Densidades molares:
Calores especficos:
C pA 35 BTU / lbmol F
C pB 18 BTU / lbmol F
C pC 46 BTU / lbmol F
C pM 19.5 BTU / lbmol F
Calores de formacin:
(1)
(2)
Modelo Matemtico
La Figura 12.12 muestra un esquema de un reactor por lotes. Se entiende que, en un
reactor por lotes, no hay flujos de entrada de reactivos, f A0 , ni flujo de salida de
productos, f A , mientras la reaccin se est efectuando. Es decir, que al aplicar esto
para el componente A:
f A0 f A 0
(3)
Los reactores por lotes, generalmente, estn bien mezclados y, por lo tanto, se
pueden despreciar las variaciones especiales en la temperatura y la concentracin de
las especies.
dN A
rA (T , C A )V
dt
(4)
(5)
N A0
dX
rA (T , C A )V
dt
(6)
N A0
(1 X )
V
(7)
dX
32400
(4.71 109 ) exp
(1 X )
dt
RT
(8)
Balance de Energa
En un reactor por lotes adiabtico como el utilizado en la produccin de
propilenglicol (Q 0) en donde se desprecie el trabajo requerido por el agitador
(Ws 0) , el balance de energa se puede simplificar a la forma:
H RX (T ) rA (T , C A )V
d n
N i C piT
dt i 1
(9)
N i N i 0 vi XN A0
(10)
Haciendo:
Resulta que:
Ni N A0 (i vi X )
(11)
H RX (T ) rA (T , C A )V
d n
N A0 ( i vi X )C piT
dt i 1
(12)
Haciendo
C
i 1
pi
C p CC C A C B
(13)
C ps i C pi A C A B C B C CC I C I
(14)
i 1
H RX (T ) rA (T , C A )V N A0 C ps XC p dT
dt
dT H RX (T ) rA (T , C A )V
dt
N A0 C ps XC p
(15)
(16)
306
H RX (T ) H RX (TR ) C p (T TR )
(17)
(18)
[H RX (T )]
dX
dT
C ps XC p
dt
dt
(19)
C ps T To
[H RX (T )]
T To
[H RX (To )] X
C ps XC p
(20)
(21)
Resultados
Mediante un procedimiento codificado con Matlab se estima el tiempo requerido
para alcanzar la temperatura mxima de 585 R y la conversin correspondiente que
es de 0.54798. El cdigo elaborado hace que se desplieguen estos valores. El
tiempo es de 878.2268 segundos. La solucin del modelo matemtico tambin
determina la temperatura ltima que se alcanza en el reactor que es de 626.972 R. La
Figura 12.13 muestra el perfil de la temperatura y en ella se pueden visualizar los
anteriores resultados
Informacin Adicional
Utilizando los siguientes smbolos: A: Acetato de etilo; B: Hidrxido de sodio; C:
Acetato de sodio; D: Etanol; W: Agua, se suministra la siguiente informacin:
Concentracin del alimento:
309
CW 0 55 kmol/m3
CB 0 1kmol/m3
C A (0) 5 kmol/m3
CB (0) 0
CC (0) 0
NW (0) Vi CW (0) (0.2m3 )(30.7 kmol/m3 ) 6.14Kmol
T (0) 300 K
Informacin termodinmica:
C pA 170.7 J/mol K
C pB C pC C pD C pW C p 175.24 J/mol K
H RX 79076 kJ / kmol
Constante de equilibrio:
K c 103885.44/ T
(1)
Informacin cintica:
Se considera que la reaccin de saponificacin es de primer orden con respecto al
acetato de etilo e hidrxido de sodio. Es decir, que la ecuacin de velocidad de
reaccin es:
rA kCACB
(2)
1
1
k 0.39175 exp 5472.7
, m 3 / kmol s
273 T
310
(3)
Modelo Matemtico
La Figura 12.15 muestra un esquema de un reactor que opera por semi lotes. En un
reactor operado por semi lotes como el descrito en el planteamiento se alimenta en
forma continua un reactivo (en este caso, hidrxido de sodio en solucin) con flujos
volumtricos f 0 y concentraciones CB 0 , CW 0 , respectivamente, y el otro reactivo
(acetato de etilo) se carga en un solo lote previamente.
fo
Ni, V
Q
rAV
d
(VC A )
dt
(4)
(5)
fC
dC A
rA 0 A
dt
V
(6)
f 0C B 0 rBV
d
(VC B )
dt
(7)
Combinando las ecuaciones (5) y (7) se obtiene la ecuacin que expresa la rapidez
de cambio en la concentracin de B, es decir,
f (C C B )
dC B
rB 0 B 0
dt
V
(8)
rCV
d
(VCC )
dt
(9)
Combinando las ecuaciones (5) y (9) se obtiene la ecuacin que expresa la rapidez
de cambio en la concentracin de C, es decir,
dCC
fC
rC 0 C
dt
V
312
(10)
dNW
CW 0 f 0
dt
(11)
(12)
Kc
CC C D k1
C AC B k 2
(13)
C C
rA k C AC B C D
KC
(14)
(15)
F C
i 1
n
i 1
Siendo
i0
i0
pi
FB 0C pB FW 0C pW
C pi FB 0 (C pB W C pW )
FW 0 CW 0 55
55
FB 0 C B 0
1
314
Y como C pW C pB , entonces:
F C
i 1
i0
pi
FB 0C pB (1 W )
N C
i 1
pi
dT
FB 0C pB (1 W )(To T ) (H RX )(rAV ) UA(T Ta )
dt
n
dt
N i C pi
(16)
(17)
i 1
N C
Siendo
i 1
pi
N AC pA N B C pB N C C pC N D C pD NW C pW
dt
C pAN A C p N B NC N D NW
(18)
Resultados
La solucin del modelo matemtico del reactor por semi lotes en donde se lleva a
cabo el planteamiento descrito para la saponificacin del acetato de etilo se
desarroll con un cdigo en Matlab. Los resultados obtenidos se muestran
315
grficamente en las Figura 12.16, 12.17 y 12.18 para el perfil de temperatura, los
perfiles de las concentraciones de A, B y C y el perfil del nmero de moles de W,
respectivamente. La Figura 12.16 incluye la lnea que resalta la mxima temperatura
que debe alcanzarse de 315 K y se observa, por lo tanto, que el sistema de
refrigeracin instalado no permite que la temperatura se acerque a dicha
restriccin. Antes de los 250 segundos se alcanza un mximo de aproximadamente
313 K y posteriormente se desarrolla un descenso regularmente rpido.
Figura 12.18 Reactor Semi Lotes Perfil del Nmero de Moles de Agua
k1 A
2A
k2 B
3C
B
317
Inicialmente, el reactor contiene 100 dm3 de una solucin que contiene el reactivo A
con una concentracin de 1 mol / dm3 y el catalizador cido sulfrico con una
concentracin de 1 mol / dm3 . La temperatura inicial del reactor es de 290 K .
En forma continua, se alimenta una corriente con un flujo volumtrico de 240 dm3 / h
y que contiene el reactivo A con una concentracin de 4 mol / dm3 a una temperatura
de 305 K . La reaccin se efectuar en un reactor semi lotes que tiene un
intercambiador de calor interno para el cual UA 35000 cal / h K y se encuentra en
un ambiente cuya temperatura es 298 K . Determinar los perfiles de la temperatura y
la concentracin de A en el reactor.
Informacin Adicional
A continuacin se incluyen las propiedades termodinmicas y cinticas que se
aplicarn para la solucin del modelo matemtico del sistema de reacciones en serie
planteado
Calores de reaccin
Calores especficos:
Ecuaciones de velocidad de reaccin: Todas las reacciones son de primer orden con
respecto a la concentracin del reactivo e independientes de la concentracin del
catalizador. Por lo tanto:
r1A k1AC A
r2 B k 2 B CB
(1)
(2)
318
k1A 1.25 h1
k1B 0.08 h1
Energas de activacin
Modelo Matemtico
De acuerdo al nmero de componentes que intervienen en el sistema de reacciones,
se hace necesario el planteamiento de tres balances de materia, uno para cada uno de
los componentes A, B y C. Al establecer una dependencia entre la velocidad de
reaccin y la temperatura se requiere del balance de energa para la determinacin
del perfil de temperatura en el reactor semi lotes como el esquematizado en la Figura
12.19
fo
Ni, V
Q
f 0C A0 rAV
d
(VC A )
dt
319
(3)
Siendo
rA r1A k1AC A
(4)
(5)
(6)
rBV
d
(VC B )
dt
(7)
Combinando las ecuaciones (5) y (7) se obtiene la ecuacin que expresa la rapidez
de cambio en la concentracin de B, es decir,
fC
dC B
rB 0 B
dt
V
Siendo:
(8)
rB r1B r2 B
(9)
r1 A
2
(10)
k1 AC A
k2 B CB
2
(11)
r1B
Por lo tanto
rB
rCV
d
(VCC )
dt
(12)
Combinando las ecuaciones (5) y (12) se obtiene la ecuacin que expresa la rapidez
de cambio en la concentracin de C, as
dCC
fC
rC 0 C
dt
V
(13)
(14)
(15)
r2C 3k 2 B CB
(16)
321
(17)
N C
i 1
pi
dT
UA(Ta T ) FA0C PA (T T0 ) (H RX 1 A )r1 A (H RX 2 B )r2 B V
dt
n
Siendo
NC
i 1
pi
(18)
NC
i 1
pi
322
(19)
Resultados
La solucin del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que constituyen el
modelo se muestra grficamente en las Figuras 12.20 y 12.21.
En la Figura 12.20 se muestra el perfil de temperatura en el reactor y se observa que
se alcanza una temperatura mxima de, aproximadamente, 435 K a un tiempo de
reaccin cercano a los 0.7 horas.
323
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation.
Prentice Hall International Series. 1998
Fogler H. Scott. Elementos de Ingeniera de las Reacciones Qumicas.
Prentice Hall. 2001
324
dx1 (t )
f1 ( x1 , x2 ,....., xn , u1 , u2 ,....., um )
dt
dx2 (t )
f 2 ( x1 , x2 ,....., xn , u1 , u2 ,....., um )
dt
.
.
.
dxn (t )
f n ( x1 , x2 ,....., xn , u1 , u2 ,....., um )
dt
El sistema anterior escrito con sus miembros derechos linealizados se escribe como:
f
f
dx1 (t )
f1s 1 x1 (t ) x1s 1
dt
x1 xs
x 2
x 2 (t ) x 2 s .... 1
xs
x n
f
f
x n (t ) x ns 1 u1 (t ) u1s 1
u1 xs
u 2
xs
u 2 (t ) u 2 s .... 1
xs
u m
u m (t ) u ms
xs
f
f
dx 2 (t )
f 2 s 2 x1 (t ) x1s 2
dt
x1 xs
x 2
x 2 (t ) x 2 s .... 2
xs
x n
f
f
x n (t ) x ns 2 u1 (t ) u1s 2
u1 xs
u 2
xs
.
u 2 (t ) u 2 s .... 2
xs
u m
u m (t ) u ms
xs
u 2 (t ) u 2 s .... n
xs
u m
u m (t ) u ms
xs
f
f
dx n (t )
f ns n x1 (t ) x1s n
dt
x1 xs
x 2
x 2 (t ) x 2 s .... n
xs
x n
.
.
f
f
x n (t ) x ns n u1 (t ) u1s n
u1 xs
u 2
xs
f
f
dX 1 (t ) f1
X 1 (t ) 1 X 2 (t ) .... 1
dt
x1 xs
x2 xs
xn
f
f
f
X n (t ) 1 U 1 (t ) 1 U 2 (t ) .... 1
u1 xs
u 2 xs
xs
u m
U m (t )
xs
f
f
dX 2 (t ) f 2
X 1 (t ) 2 X 2 (t ) .... 2
dt
x1 xs
x2 xs
xn
f
dX n (t ) f n
X 1 (t ) n
dt
x1 xs
x 2 xs
f
f
f
X n (t ) 2 U 1 (t ) 2 U 2 (t ) .... 2 U m (t )
u1 xs
u 2 xs
xs
u m xs
.
.
.
f
f
f
f
X 2 (t ) .... n X n (t ) n U 1 (t ) n U 2 (t ) .... n U m (t )
u1 x
u 2 x
x n x
u m x
s
325
Una escritura ms compacta mediante una ecuacin matricial que exprese la relacin
entre la rapidez de cambio de las variables de estado con ellas mismas y con las
variables de entrada es la siguiente:
f1
dX 1 (t )
x1 xs
dt
f 2
dX 2 (t )
x
dt
. 1 xs
.
.
.
.
dX . (t )
f
n
dt
n
x1 xs
f1
x2 xs
f 2
x2 xs
.
.
.
f n
x2 x
s
f1
f1
. . . xn xs
u1 xs
X
(
t
)
1
f 2 X (t )
f 2
2
. . .
x
n xs . . u1 xs
. . .
.
.
.
.
. . .
.
.
X (t )
.
. . .
.
f
f n n
. . .
n
u1 xs
xn xs
f1
u 2 xs
f 2
u 2 xs
.
.
.
f n
u 2 x
s
f1
. . . u m xs
U (t )
1
f 2 U (t )
2
. . .
u m xs . .
. . .
.
.
. . .
.
.
U (t )
. . .
.
f n m
. . .
u m xs
X AX BU
f1
x1 xs
f 2
x
A 1 xs
.
.
.
f
n
x1 xs
f1
x2 xs
f 2
x2 xs
.
.
.
f n
x2 xs
. .
. .
. .
. .
. .
. .
f1
u1 x s
f 2
u
B 1 x s
.
.
.
f
n
u1 x s
f1
. xn xs
f
. 2
xn xs .
.
.
.
.
.
.
f n
.
xn xs
f1
u2 x s
f 2
u2 x s
.
.
.
f n
u2 x s
. .
. .
. .
. .
. .
. .
f1
. um x s
f
. 2
um x s .
.
.
.
.
.
.
f n
.
um x s
Y CX DU
K1
K2
A B C
K3
2A D
Los balances de materia para cada uno de los componentes que intervienen en el
conjunto de reacciones son dados por las siguientes ecuaciones diferenciales no
lineales:
dc A (t ) f (t )
(c Af c A (t )) K1c A (t ) K 3c A2 (t )
dt
V
dcB (t )
f (t )
cB (t ) K1c A (t ) K 2 cB (t )
dt
V
dcC (t )
f (t )
cC (t ) K 2 cB (t )
dt
V
dcD (t )
f (t )
1
cD (t ) K 3c A2 (t )
dt
V
2
Los miembros derechos de cada una de las anteriores ecuaciones diferenciales son
funciones de la velocidad espacio y las concentraciones de A, B, C y D, de tal
manera que se pueden escribir de la siguiente manera:
dC A (t )
F
f1 (C A , CB , CC , CD , )
dt
V
dCB (t )
F
f 2 (C A , CB , CC , CD , )
dt
V
dCC (t )
F
f 3 (C A , CB , CC , CD , )
dt
V
dCD (t )
F
f 4 (C A , CB , CC , CD , )
dt
V
328
f1 (C A , CB , CC , CD ,
F
F (t )
)
(C Af C A (t )) K1C A (t ) K 3C A2 (t )
V
V
f 2 (C A , CB , CC , CD ,
F
F (t )
)
CB (t ) K1C A (t ) K 2CB (t )
V
V
f 3 (C A , CB , CC , CD ,
F
F (t )
)
CC (t ) K 2CB (t )
V
V
f 4 (C A , CB , CC , CD ,
F
F (t )
1
)
CD (t ) K 3C A2 (t )
V
V
2
Para este sistema, los elementos de las matrices A y B, del modelo escrito en la
forma del espacio de los estados, son:
f1
C A Cs
f
2
C A Cs
A
f 3
C A C
s
f 4
C
A Cs
f1
C B
f 2
C B
f 3
C B
f 4
C B
Cs
Cs
Cs
Cs
f1
CC
f 2
CC
f 3
CC
f 4
CC
Cs
Cs
Cs
Cs
f vs K1 2 K 3c As
K1
s
.
f 3
0
C D Cs
f 4
K 3c As
C
D Cs
f1
C D Cs
f 2
C D C
f vs K 2
K2
f vs
0
.
f vs
0
f1
c c As
( F / V ) Cs Af
f 2
Bs
( F / V ) Cs
B
.
.
f 3
cCs
( F / V ) Cs
f
4
Ds
( F / V ) C
s
C
0
329
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
0
D
0
0
Caso 1
En la Figura 13.1 se muestra la comparacin grfica para la variacin de la
concentracin de B que resulta mediante la solucin de tanto el modelo no lineal
como el linealizado para una velocidad espacio de 4/7 min-1 y un cambio paso en
esta de 0.01 Solo se ha representado la respuesta con respecto a B para analizar su
respuesta inversa
Se observa una buena aproximacin del modelo lineal al no lineal cuando la variable
de entrada es perturbada con un pequeo cambio paso. En el archivo codificado con
Matlab para obtener esta respuesta se incluye la determinacin de la funcin de
transferencia de la concentracin de B con respecto a la velocidad espacio y la
solucin de dicho programa muestra que es:
330
C B ( s)
1.1170s 3.1472 F
0.5848(0.3549s 1) F
( s)
( s)
s 2 4.6429s 5.3821 V
0.1858s 2 0.8627s 1 V
(13.1)
La Figura 13.2 muestra el resultado obtenido con un cambio paso ms grande de 0.1
observndose una diferencia mayor entre los modelos, con una ganancia
significativamente inferior para el modelo no lineal. La aproximacin entre los
modelos se limita a las cercanas prximas al estado estacionario de la condicin
inicial. Las Figuras 13.1 y 13.2 son caractersticas de un sistema con ganancia
positiva y respuesta inversa (zero a la derecha del plano)
Caso 2
En la Figura 13.3 se muestra la comparacin grfica para la variacin de la
concentracin de B que resulta mediante la solucin de tanto el modelo no lineal
como el linealizado para una velocidad espacio de 2.8744 min-1 y un cambio paso en
esta de 0.1. La Figura 13.3 es la respuesta caracterstica de un sistema con una
331
C B ( s)
1.1170s 3.1472 F
0.01362(0.3549s 1) F
( s)
( s)
s 10.2778s 26.0508 V
0.0384s 2 0.3945s 1 V
2
(13.2)
332
Es interesante anotar que todos los puntos de operacin a la izquierda del ptimo en
la curva de condiciones estacionarias tienen zeros en el plano derecho de
representacin numrica (respuesta inversa), mientras que todos aquellos a la
derecha del ptimo no lo tienen.
Caso 3
En la Figura 13.5 se muestra la comparacin grfica para la variacin de la
concentracin de B que resulta mediante la solucin de tanto el modelo no lineal
como el linealizado para el valor ptimo de la velocidad espacio, es decir, 1.2921
min-1 y para un pequeo cambio paso en esta de 0.04. La funcin de transferencia de
la concentracin de B con respecto a la velocidad espacio obtenida con el mismo
cdigo en Matlab es:
CB ( s )
1.2660s
F
( s)
s 6.5825s 10.7217 V
2
(13.3)
333
Calor Removido
Condensador
1
Producto
Destilado
2
Reflujo
Alimento
NF
NS - 1
Vapor
Sobrecalentado
NS
Calor Agregado
Rehervidor
Producto
de
Fondo
fluye hacia abajo en la columna. El vapor que sale del primer plato se condensa en el
tope y parte de ese condensado se recircula como un reflujo. El resto del vapor se
retira como una corriente de producto de tope. Esta corriente de tope est
concentrada en el componente ligero. Una parte del lquido en el fondo de la
columna se retira como producto de fondos (conteniendo una gran cantidad del
componente pesado concentrado), mientras que el resto se evapora en el re hervidor
y se regresa a la columna. El lquido de una etapa pasa a travs de un rebosadero y
llega a la otra etapa en forma de cascada a travs de un bajante. A medida que el
lquido se transporta a travs del plato, establece un contacto con el vapor que
procede de la etapa inferior. El diagrama esquemtico para un plato perforado se
muestra en la Figura 13.7.
Vapor
Bajante
Lquido
Lquido
Li - 1, xi - 1
Vi, yi
Li, xi Vi + 1, yi + 1
d M i xi
Li1 xi1 Vi1 yi1 Li xi Vi yi
dt
difiere de la Figura 13.8 en que tiene una entrada adicional por el alimento a la
columna.
F
zF
nf
VNF VNF 1 F (1 qF )
Donde
NF
es
el
nmero
de
la
etapa
de
alimento.
Similarmente, el flujo molar de lquido que sale de la etapa de alimento es:
LD D V2
B LNS 1 VRehervidor
Donde Vrehervidor es el flujo molar del vapor en el rehervidor, LNS 1 es el flujo molar
del lquido que viene del fondo de la columna y B es el flujo molar de la corriente de
fondos.
LR LD
Ls L R FqF
338
VS VRe hervidor
VR VS F (1 qF )
dx1
1
VR y2 x1
dt M D
339
dxi
1
LR xi1 VR yi1 LR xi VR yi
dt M T
dxNF
1
LR xNF1 VS yNF1 Fz F LS xNF VR yNF
dt
MT
dxi
1
LS xi1 VS yi1 LS xi VS yi
dt M T
dxNS
1
LS xNS 1 BxNS VS yNS
dt
MB
Relacin de equilibrio
Se asume que el vapor que sale de una etapa est en equilibrio con el lquido que
sale en esa etapa. La relacin entre las concentraciones en la fase liquida y la de
vapor en una etapa en particular se puede calcular a partir de la expresin de
volatilidad relativa constante:
yi
xi
1 1 xi
f1 y2 x1 0
fi LR xi1 VR yi1 LR xi VR yi 0
De la etapa de alimento:
341
fi LS xi1 VS yi1 LS xi VS yi 0
343
xi
yi
No.
xi
yi
0.9900
0.9933
22
0.4742
0.5749
0.9851
0.9900
23
0.4455
0.5466
0.9789
0.9858
24
0.4130
0.5135
0.9712
0.9806
25
0.3770
0.4759
0.9617
0.9742
26
0.3385
0.4343
0.9501
0.9661
27
0.2986
0.3898
0.9358
0.9563
28
0.2587
0.3437
0.9187
0.9443
29
0.2202
0.2975
0.8983
0.9298
30
0.1842
0.2530
10
0.8744
0.9126
31
0.1516
0.2114
11
0.8468
0.8924
32
0.1229
0.1737
12
0.8158
0.8692
33
0.0983
0.1405
13
0.7816
0.8430
34
0.0776
0.1120
14
0.7449
0.8141
35
0.0605
0.0881
15
0.7065
0.7831
36
0.0467
0.0684
16
0.6675
0.7507
37
0.0355
0.0524
17
0.6290
0.7178
38
0.0267
0.0395
18
0.5921
0.6853
39
0.0197
0.0293
19
0.5578
0.6542
40
0.0143
0.0212
20
0.5265
0.6252
41
0.0100
0.0149
21
0.4987
0.5988
344
En la Figura 13.11 muestra que para flujos de la corriente de reflujo menores que 2.7
moles/min la ganancia en estado estacionario para la composicin del destilado es
345
grande mientras que para flujos mayores que 2.71 moles/min la ganancia en estado
estacionario es pequea.
En la Figura 13.12 se observa el efecto opuesto para la composicin del producto de
fondo donde la ganancia estacionaria es pequea cuando el flujo del reflujo es
menor que 2.71 moles/min pero es grande para flujo del reflujo mayor que 2.71
moles/min.
MB =
346
0.5 moles
mximo que puede alcanzar dicha concentracin es de 0.01 porque la fraccin molar
no puede ser mayor que uno, mientras que una disminucin paso de -1% en el flujo
del reflujo puede disminuir mucho ms que eso. El efecto opuesto se observa con
respecto a la composicin de fondo; un cambio paso positivo en el flujo del reflujo
produce un cambio considerable en la composicin de fondo mientras que un
cambio paso negativo produce un pequeo cambio en la composicin de fondo.
Para la etapa i = 1
Ki
yi
xi 1 1xis 2
A1,1
f1
V
R
x1
MD
A1, 2
f1 VR K 2
x2
MD
Ai , j 1
fi
L
R
xi 1 M T
L VR K i
fi
R
xi
MT
fi
VR K i 1
Ai , j 1
xi 1
MT
Ai , j
ANF , NF 1
L VR K i
f NF
S
xNF
MT
f NF
VS K NF 1
xNF 1
MT
ANF , NF
ANF , NF 1
348
f NF
L
R
xNF 1 M T
Ai , j 1
fi
L
S
xi 1 M T
L VS K i
fi
S
xi
MT
f
VK
Ai , j 1 i S i 1
xi 1
MT
Ai , j
ANS , NS 1
f NS
L
S
xNS 1 M B
B VS K NS
f NS
xNS
MB
Para la etapa i = 1
B1,1
f1
0
u1
B1, 2
f1
0
u2
Bi ,1
f i xi 1 xi
u1
MT
Bi , 2
f i
y yi
i 1
u2
MT
BNS ,1
Bi , 2
f NS xNS 1 xNS
u1
MB
f NS xNS y NS
u2
MB
Si las variables de salida son las composiciones de tope y fondo, entonces C es una
matriz de ceros con 2 filas y NS columnas (41) exceptuando los siguientes:
C1,1 1,
C2, NS 1
349
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation. Prentice
Hall International Series. 1998
350
dxi
f i ( x1 , x2 ,..., xn , u, d , t )
dt
(14.1)
dx
f (x)
dt
Siendo
x1
x
2
x n
(14.2)
f1 (x)
f ( x )
2
f
f n (x)
351
(14.3)
Xj
i 1,2,...,n
(14.4)
xo
dX
AX
dt
Siendo
X1
X
2
X n
(14.5)
f 1
x
1
f 2
x
A 1
..
..
f n
x
1
f 1
x2
f 2
x2
..
..
f n
x1
.. .. ..
.. .. ..
.. .. ..
.. .. ..
.. .. ..
f 1
xn
f 2
xn
..
..
f n
xn
(14.6)
det(I A) 0
(14.7)
Siendo , los valores propios de la matriz A. Para un sistema con dos variables de
salida, la matriz de la ecuacin (4.7) es:
A11 A12
I A
A21 A22
Y el determinante de la matriz (4.8) es:
353
(14.8)
(14.9)
(14.10a)
2 (Traza A) det( A) 0
(14.10b)
x1 (t ) f1 ( x1 , x2 )
(14.11a)
x 2 (t ) f 2 ( x1 , x2 )
(14.11b)
Se entiende por Punto de Equilibrio, todos aquellos puntos del sistema para los
cuales
x1 (t ) x 2 0
(4.12)
354
x (t ), x (t) R
Comportamiento Nodal
Comportamiento en Espiral
AB
355
f (t ) V (t )
fi(t), ci(t)
c, v
f(t), c(t)
d v(t )c(t )
dt
(1)
i f i (t ) f (t )
d v(t )
dt
(2)
f i (t ) f (t )
dv(t )
dt
(3)
dc(t ) f i (t )
ci (t ) c(t ) kc2 (t )
dt
v(t )
(4)
dv(t )
f i (t ) v(t )
dt
(5)
El modelo matemtico es no lineal y lo constituyen las ecuaciones (4) y (5) con dos
variables de entrada fi(t) y ci(t) y dos variables de salida c(t) y v(t)
357
f is
cis cs kcs2 0
vs
(6)
fis vs 0
(7)
Resolviendo simultneamente las ecuaciones (6) y (7) se obtiene que los valores de
la concentracin de A en el reactor y del volumen de masa reaccionante en el reactor
en estado estacionario sean: vs 1 litro cs 0.5 gmol/ litro
f c c
c c
dC (t )
f
is 2kcs C (t ) is s 2 is V (t ) is Ci (t ) is s Fi (t )
dt
vs
vs
vs
vs
(8)
dV (t )
V (t ) Fi (t )
dt
(9)
dC (t ) f is 2kcs
dt s
dV (t )
0
dt
f is cs cis
f is
2
C
(
t
)
vs
vs
V (t ) 0
358
cis cs
vs
1
C (t )
i
F (t )
i
C (t ) 1
V (t ) 0
0 C (t ) 0
1 V (t ) 0
f is
2kcs
vs
0 Ci (t )
0 Fi (t )
f is cs cis
vs2
3
0.5
A B C
En un reactor de 500 galones de capacidad, inicialmente, solo hay agua a 75 F al
0.1% en peso de H 2 SO4 . La corriente de alimentacin consiste en 80 lbmol / h de
xido de propileno y 1000 lbmol / h de agua que contienen 0.1% en peso de H 2 SO4 y
100 lbmol / h de metanol (M). La mezcla agua-xido de propileno-metanol sufre una
ligera reduccin en volumen al mezclarse, pero esta reduccin se despreciara en los
clculos. La temperatura de la corriente de alimentacin es 75 F (Figura 14.3).
fo, CAo, To
CA T
ma, Ta2(t)
ma, Ta1(t)
El refrigerante (agua) fluye a travs del intercambiador de calor con un flujo msico
m a de 5 lb / s (1000 lbmol / h) y la temperatura, Ta1 , de entrada es 60 F . El
intercambiador de calor tiene un tamao tal que el valor de UA 16000 BTU / h F .
El calor especfico del refrigerante es C pa 18 BTU / lbmol F . Con la informacin
adicional suministrada a continuacin se requiere un anlisis dinmico que
determine la variacin de la temperatura y la concentracin de xido de propileno
con respecto al tiempo y el diagrama plano-fase que muestre la variacin de la
concentracin contra la temperatura para diferentes temperaturas de entrada y
concentraciones iniciales de A en el reactor.
Informacin Adicional
Para la solucin numrica de las ecuaciones que expresan los balances de materia y
energa en el reactor, de acuerdo al planteamiento anterior se requiere la siguiente
informacin:
Densidades molares:
Calores especficos:
C pA 35 BTU / lbmol F
C pB 18 BTU / lbmol F
C pC 46 BTU / lbmol F
C pM 19.5 BTU / lbmol F
(1)
(2)
Las unidades de la energa de activacin son BTU / lbmol . Las condiciones iniciales
en el reactor son:
CA (0) 0 , CB (0) 3.45 lbmol / pie3 , CC (0) 0 , CM (0) 0 , T (0) 75 F
Modelo Matemtico
El modelo matemtico para el planteamiento del reactor lo constituye el balance de
materia para cada uno de los componentes que intervienen en el proceso y el balance
de energa implicado en el proceso
d
(VC A )
dt
(C C A )v0
dC A
rA A0
dt
V
362
(3)
(4)
Siendo:
v0
f A0
A0
C A0
f B0
B0
fM 0
(5)
M 0
f A0
v0
(6)
d
(VC B )
dt
(C CB )v0
dCB
rB B 0
dt
V
Siendo
CB0
f B0
v0
(7)
(8)
(9)
rA rB
(10)
v0CC rCV
d
(VCC )
dt
dCC
vC
rC 0 B
dt
V
(11)
(12)
363
rC rA
Siendo
(13)
d
(VC M )
dt
dt
V
Siendo
CM 0
(14)
(15)
fM 0
v0
(16)
dT
dt
Q f A0 i C pi (T To ) (H RX )(rAV )
i 1
(17)
N C
i 1
pi
Siendo
N i Ci V
n
Por lo tanto
N C
i 1
pi
(18)
N AC pA N B C pB N C C pC N M C pM
364
(19)
C
i 1
pi
C pA
f B0
f
f
C pB C 0 C pC M 0 C pM
f A0
f A0
f A0
(20)
ma C pa (Ta1 TR ) ma C pa (Ta 2 TR ) UA
ma C pa (Ta1 Ta 2 )
(T Ta1 ) (T Ta 2 ) 0
(T Ta1 )
ln
(
T
T
)
a2
UATa 2 Ta1
0
T Ta1
ln
T Ta 2
(21)
(22)
Q ma C pa (Ta1 Ta 2 )
UATa1 Ta 2
T Ta1
ln
T Ta 2
(23)
Ta 2 T (T Ta1 ) exp
mC
a pa
(24)
365
UA
Q ma C pa (Ta1 T ) 1 exp
m C
a pa
(25)
Resultados
Los resultados se muestran en las Figuras 14.8 y 14.9. La Figura 14.8 muestra que
las variaciones en el tiempo de las concentraciones de A, B, C y M alcanzan valores
estables despus de un cierto tiempo y la Figura 4.9 muestra la variacin en el
tiempo de la temperatura en el reactor. Se observa que, para una temperatura inicial
de 75F y solo agua en el tanque CAi = 0 se alcanza un estado estacionario
correspondiente, aproximadamente, a una temperatura T = 138F y una
concentracin de A de CA = 0.039 lb mol/pie3. Se nota que las concentraciones de A
y C muestran un perfil oscilatorio alrededor de este estado estacionario hasta
estabilizarse en dicho estado estacionario. Despus de, aproximadamente, 2 horas,
el reactor alcanza una operacin en estado estacionario con los siguientes valores:
CA = 0.0379 lb mol/pie3, CB = 2.12
lb mol/pie3, CC = 0.143 lb mol/pie3, CM =
3
0.2265 lb mol/pie , T = 138.5F
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation. Prentice
Hall International Series. 1998
H. Scott Fogler. Elementos de Ingeniera de las Reacciones Qumicas. Tercera
Edicin. Prentice Hall. 2001
368
F, CAf(t)
CA T
FJ, Tj(t)
FJ, Tji(t)
F, CA(t)
Modelo Matemtico
Por simplificacin, se asume que la temperatura de enfriamiento en la camisa puede
manipularse directamente de tal manera que no se requiera el balance de energa en
la camisa. Adems, se incluyen las siguientes consideraciones: mezclado perfecto,
volumen constante y parmetros constantes. El modelo se plantea con un balance
global de materia, un balance del componente A y un balance de energa a travs del
reactor as:
(1)
(2)
dcA (t )
Fc Af (t ) Fc A (t ) r (cA , T )V
dt
(3)
VC p
dT (t )
FC p (T f (t ) T (t )) (H )r (T )V UA(T (t ) T j (t ))
dt
(4)
dcA (t ) F
(cAf cA (t )) r (t )
dt
V
(5)
dT (t ) F
H
UA
(T f (t ) T (t )) (
)r (t )
(T (t ) T j (t ))
dt
V
C p
VC p
(6)
E
cA (t )
r (t ) ko exp
RT (t )
(7)
Combinando las ecuaciones (5), (6) y (7) se reduce el modelo a las siguientes
ecuaciones diferenciales
dcA (t ) F
E
cA (t )
(cAf (t ) cA (t )) ko exp
dt
V
RT (t )
371
(8)
dT (t ) F
H
E
UA
cA (t )
(T f (t ) T (t )) (
)ko exp
(T (t ) T j (t ))
dt
V
C p
VC p
RT (t )
(9)
Las ecuaciones (8) y (9) son no lineales porque incluyen trminos no lineales como
el exponencial de la temperatura.
f1 (c As , Ts ) 0
E
Fs
(c Af c As ) ko exp
V
RTs
c As
f 2 (c As , Ts ) 0
E
Fs
H
(T f Ts ) (
)ko exp
V
C p
RTs
(10)
UA
c As
(Ts T j )
VC p
(11)
1
9703*3600
5960
11843
500
Tf, C
CAf, kg mol/m3
UA/V, kcal/(m3-C-h)
Tj, C
R, kcal/(kg mol-K)
25
10
150
25
1.987
temperaturas del alimento y la camisa son 298 K. Se observa, tambin, que deberan
correlacionarse la concentracin de A con la temperatura. Si la concentracin de A
es alta, significa que no ha ocurrido mucha reaccin de manera que se ha liberado
muy poca energa por la reaccin y por lo tanto la temperatura no ser muy diferente
con respecto a la de la camisa y el reactor. Se observa en la Tabla 15.1, que las
condiciones iniciales que se fijen para la solucin del sistema muestran diferentes
resultados para la concentracin de A y la temperatura en estado estacionario. El
caso nmero uno es de alta concentracin y baja temperatura, el nmero dos de
concentracin y temperatura intermedia y el caso tres de baja concentracin y alta
temperatura.
NMERO
CONDICIONES INICIALES
SOLUCIN
cAs, kgmol/m 3
Ts, K
cAs, kgmol/m 3
Ts, K
300
8,564
311,2
350
5,518
339,1
450
2,359
368,1
(12)
dT (t )
f 2 c A (t ), T (t ), c Af (t ), T f (t ) T j (t )
dt
(13)
Siendo
f1 c A (t ), T (t ), c Af (t ), T f (t ) T j (t )
f 2 c A (t ), T (t ), c Af (t ), T f (t ) T j (t )
F
E
c A (t )
(c Af (t ) c A (t )) ko exp
V
RT (t )
F
H
E
UA
c A (t )
(T f (t ) T (t )) (
)ko exp
(T (t ) T j (t ))
V
C p
VC p
RT (t )
(14)
(15)
C Af (t ) f1
T
xs
f
f (t ) f1 j (t )
T
xs
j xs
(16)
f
d(t ) f 2
f
C A (t ) 2 (t ) 2
c
dt
T xs
c A xs
Af
C Af (t ) f 2
T
xs
f
f (t ) f 2
T
xs
j
(17)
376
j (t )
xs
dC A (t ) f1
dt c A
xs
d(t ) f 2
dt c A xs
f
f1
1
T xs C A (t ) c Af
f 2 (t ) f 2
c
T xs
Af
xs
f1
T
f
xs
xs
f 2
T
f
xs
C Af (t )
xs
(t )
f
f 2
T (t )
j xs j
f1
T
j
(18)
Al desarrollar cada una de las derivadas parciales se determinan los elementos de las
matrices A y B para una escritura del modelo en la forma del espacio de los estados.
Estas son:
F
V ks
A
(H )
C k s
p
Siendo
F
UA
(H )
C As k s'
V VC p
C p
C As k s'
V
B
0
0
F
V
UA
VC P
ks ko exp
RT
s
E
E
exp
ks' ko
2
RT
RT
s
s
1 0
0 1
0 0 0
0 0 0
Caso 1
Para una condicin inicial en estado estacionario con una concentracin de 8.564 kg
mol/m3 y una temperatura de 38.2 C, la matriz A y los valores propios son:
1.1680 0.0886
2.0030 0.2443
0.8957
0.5166
Caso 2
Para una condicin inicial en estado estacionario con una concentracin de 5.518 kg
mol/m3 y una temperatura de 66.1 C, la matriz A y los valores propios son:
1.8124 0.2324
9.6837 1.4697
0.8369
0.4942
Caso 3
Para una condicin inicial en estado estacionario con una concentracin de 2.359 kg
mol/m3 y una temperatura de 95.1 C, la matriz A y los valores propios son:
378
4.2445 0.3367
38.6748 2.7132
0.7657 0.9548i
0.7657 0.9548i
Como los valores propios son nmeros complejos conjugados con parte real
negativa, se verifica que la condicin estacionaria de alta temperatura es estable.
379
El diagrama muestra los tres estados estacionarios; dos estables (alta y baja
temperatura) sealados con pequeos crculos y uno inestable (temperatura
intermedia), sealado con una pequea cruz. Se observa que a condiciones iniciales
de bajas concentraciones (0.5 kgmol/m3) y temperaturas relativamente bajas o
intermedias (300 365 K) todas las trayectorias de fase convergen al estado
estacionario de baja temperatura. Cuando la temperatura inicial se aumenta por
encima de 365 K, las trayectorias de fase convergen al estado estacionario de alta
temperatura.
Por otra parte, a condiciones iniciales con alta concentracin (10 kgmol/m3) y baja
temperatura (300 325 K), las trayectorias de fase convergen al estado estacionario
de baja temperatura. Cuando la temperatura inicial se aumenta por encima de 325 K,
las trayectorias de fase convergen al estado estacionario de alta temperatura.
Tambin se observa que cuando la temperatura inicial se aumenta,
aproximadamente, a valores mayores que 340 K, ocurre un sobresalto de
temperatura a ms de 425 K antes de que el sistema converja al estado estacionario
de alta temperatura. No se observa en la Figura 15.6, que a temperaturas iniciales
mayores pueden ocurrir sobresaltos a temperaturas mayores que 500 K antes de la
convergencia al estado estacionario de alta temperatura. Esto podra ser la causa de
potenciales problemas de seguridad si, por ejemplo, ocurren algunas reacciones de
descomposicin a temperaturas altas. El anlisis del comportamiento de un sistema
mediante un diagrama de fase nos permite sealar condiciones iniciales problemas.
Se observa, adems, que para ninguna condicin inicial las trayectorias de fase no
convergen en el estado estacionario de temperatura intermedia debido a que es un
estado inestable. Debera observarse que puede utilizarse un control por
retroalimentacin para operar el reactor en unas condiciones estacionarias de
temperatura intermedia. El controlador medira la temperatura en el reactor y
manipulara la temperatura en el fluido de enfriamiento que se mueve por la camisa
(o el flujo) para mantener el estado estacionario en la temperatura intermedia.
Tambin, podra utilizarse un controlador por retroalimentacin para asegurarse que
no ocurra un gran sobresalto de temperatura a partir de ciertas condiciones iniciales.
k2
A B C
380
fo, CAo, To
CA T
Informacin Adicional
Para la solucin numrica de las ecuaciones que expresan los balances de materia y
energa en el reactor, de acuerdo al planteamiento anterior se requiere la siguiente
informacin:
Calores de reaccin:
H RX 1A 55000 J/molA
H RX 2 B 71500 J/molB
Calores especficos:
Energas de activacin:
Intercambiador de calor:
UA 40000 J/ min -K
Ta 57 C
Condiciones iniciales:
CB (0) 0
CC (0) 0
T (0) 283 K
d
VC A
dt
(1)
Siendo:
E 1
1
k1 3.03 exp 1
R 300 T
(2)
(3)
382
v0CB rBV
d
VC B
dt
(4)
Siendo:
rB k1CA k2CB
(5)
E 1
1
k 2 4.58 exp 2
R 500 T
(6)
v0CC rCV
d
VCC
dt
(7)
rC k2CB
(8)
UA(Ta T ) FA0CPA (T T0 ) V r1 AH RX 1 A r2 B H RX 2 B
Siendo:
r1 k1CA
d
N i CPiT
dt i
(9)
(10)
383
r2 k2CB
(11)
N C
i
Pi
CP VCi VC P Ci VC P C A CB CC
dt
VC P C A CB CC
(12)
d
VC A 0 , resulta en:
dt
Despejando C A se obtiene:
CA
Siendo:
C A0
1 k1
V
v0
(13)
(14)
(15)
384
d
VC B 0 resulta que:
dt
v0CB rBV
(16)
k1C A0
1 k1 1 k2
(17)
(18)
Siendo.
(19)
r1 A k1C A
k1C A0
1 k1
(20)
r2 B k2CB
k1k2C A0
1 k1 1 k2
(21)
385
Primer Mtodo
Los estados estacionarios se pueden determinar considerando el miembro izquierdo
de la ecuacin (19) como una funcin de la temperatura, es decir:
F (T ) UA(Ta T ) FA0CPA (T T0 ) V r1AH RX 1A r2 B H RX 2 B
(22)
Esta expresin se puede resolver por algn mtodo numrico para estimar las
temperaturas a las cuales el valor de F (T ) se aproxima a cero.
Segundo Mtodo
Al combinar las ecuaciones (19), (20) y (21) resulta la ecuacin:
UA(Ta T ) FA0CPA (T T0 )
Realizando la sustitucin:
VH RX 1 Ak1C Ao VH RX 2 Bk1k2C Ao
0
1 k1
(1 k1 )(1 k2 )
386
UA
FAo C pA
(23)
k (Ta T ) (T T0 )
VH RX 1 Ak1C Ao
VH RX 2 Bk1k2C Ao
0
FAo C pA (1 k1 ) FAo C pA (1 k1 )(1 k2 )
(24)
FA0 voC Ao
Como:
(kTa T0 ) (1 k )T
H RX 1 Ak1
H RX 2 B 2 k1k2
0
C pA (1 k1 ) C pA (1 k1 )(1 k2 )
Tc
Introduciendo la sustitucin
(25)
(kTa T0 )
1 k
H RX 1 Ak1 H RX 2 B 2 k1k2
0
1 k1
(1 k1 )(1 k2 )
H RX 1 Ak1 H RX 2 B 2 k1k2
C pA (1 k )(T Tc )
1 k1
(1 k1 )(1 k2 )
(26)
(27)
G(T )
H RX 1 Ak1 H RX 2 B 2 k1k2
1 k1
(1 k1 )(1 k2 )
R(T ) C pA (1 k )(T Tc )
387
(28)
(29)
Resultados
El conjunto de ecuaciones que expresan el modelo matemtico se resuelven
mediante una codificacin
en Matlab que permita hacer un anlisis del
comportamiento del reactor tanto en estado estacionario como en estado dinmico.
Primer Mtodo
El primer mtodo es la representacin grfica de una funcin F(T) definida en la
ecuacin (22) que significa el flujo neto de calor intercambiado y que se muestra en
la Figura 15.8 para un intervalo de temperaturas entre 250 K y 750 K.
SS
1
2
3
4
5
T(K)
309.8705
370.3824
446.7384
559.2246
676.2396
Ca (mol/dm3)
0.2853
0.1753
0.0371
0.0044
0.0010
Cb (mol/dm3)
Cc (mol/dm3)
0.0147
0.1247
0.2624
0.1629
0.0054
0.0000
0.0000
0.0005
0.1327
0.2937
Segundo Mtodo
En el segundo mtodo se determinan los valores de G(T) y R(T) en el intervalo de
temperaturas entre 250 y 750 K y se grafican en una misma ventana como se
muestran en la Figura 15.9.
Las intersecciones entre los perfiles grficos del calor liberado y del calor absorbido,
corresponden a los estados estacionarios, observndose los mismos resultados
anteriores. Adems, se puede hacer un anlisis en base a los cambios trmicos y
explicar que los estados estacionarios 1, 3 y 5 son estables, mientras que los estados
estacionarios 2 y 4 son inestables
391
Bibliografa
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation. Prentice
Hall International Series. 1998
H. Scott Fogler. Elementos de Ingeniera de las Reacciones Qumicas. Tercera
Edicin. Prentice Hall. 2001
392