Practica10 LCA1 Scilab
Practica10 LCA1 Scilab
Practica10 LCA1 Scilab
Objetivo. Analizar con ayuda de Scilab y Xcos las características más importantes de la respuesta
de sistemas lineales de segundo orden ante entradas típicas, tales como impulso y escalón.
Analizar el efecto de añadir ceros y de incrementar el orden del sistema.
Introducción.
En la práctica anterior se presentaron las herramientas de Scilab para obtener la respuesta ante
diferentes tipos de entradas de un SLIT de cualquier orden, especialmente se caracterizó
teóricamente la respuesta de un SLIT de primer orden y se verificó en simulación lo que predice la
teoría. La caracterización teórica de sistemas de orden mayor que 2 puede ser muy complicada,
pero se pueden usar las caracterizaciones de primero y segundo orden como base en la mayoría
de los casos.
y está caracterizada por sus tres parámetros (positivos para el caso estable):
K : Es la Ganancia del sistema (El valor de estado estable de la respuesta al escalón unitario)
ωn : Es la frecuencia natural del sistema (Su valor es la frecuencia a la que oscilaría el sistema si no
tuviera amortiguamiento).
ζ : Es el factor de amortiguamiento.
y (t ) + 2ζωn yɺ (t ) + ωn 2 y (t ) = K ωn 2 x (t )
ɺɺ (10.3)
La solución de la ecuación diferencial anterior no resulta tan directa como en el caso de primer
orden, ya que la forma de la solución cambia completamente dependiendo de los valores de los
polos. Por esta razón se consideran tres casos de acuerdo al valor de ζ :
A diferencia del caso de primer orden, la respuesta al escalón unitario de un sistema de segundo
orden, dada por (10.5) es más complicada y su forma exacta depende de tres parámetros: K , ζ y
ωn . En la figura 10.1 se muestra el caso K = 1, ωn = 1 , para diferentes valores de ζ .
1.6
1.4
1.2
Amplitud
0.8
0.6 ζ =0.1
ζ =0.3
0.4 ζ =0.5
ζ =0.7
0.2 ζ =0.9
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo (sec)
Figura 10.1.- Respuesta al escalón unitario de un sistema de 2º orden con diferentes factores de
amortiguamiento (menores que 1).
Mp
Valor final=K 2%
0
4 6 8 10 12 14 16 18 20
ts tiempo
tp
tr
Figura 10.2.- Especificaciones de respuesta transitoria.
El tiempo de crecimiento tr, al cual lo definen como el tiempo que tarda la respuesta en ir
desde el 10% al 90% de su valor final. (y no del 0 al 100%)
El tiempo de establecimiento ts, el cual lo definen como el tiempo a partir del cual la
respuesta se mantiene a menos del 4% (y no del 2%) de su valor final.
El máximo sobreimpulso Mp, al cual lo miden con respecto cero (y no con respecto al
valor final).
Scilab cuenta con un cursor interactivo que se activa mediante el icono 'Toggle datatip mode'
mostrado en la figura 10.3, el cual está ubicado en la barra de herramientas de la ventana de toda
figura. Este cursor permite activar y desactivar el modo "datatip", en el cual se puedem encontrar
y marcar los valores una gráfica de manera interactiva con el mouse.
Step Response
1.5 System: G
Time (sec): 3.32
Amplitude: 1.37
1
System: G System: G
Time (sec): 1.92 Time (sec): 14.3
Amplitude
0.5
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Time (sec)
Figura 10.4.- Marcadores colocados mediante el cursor interactivo del modo "datatip".
En este caso los polos del sistema son puramente reales y están dados por (10.2). La solución
analítica de la ecuación diferencial (10.3) con una entrada escalón unitario ahora no presenta
oscilaciones y es simplemente una combinación de los exponenciales e p1t , e p2t , en donde
predomina el efecto del exponencial más lento. La expresión analítica de la respuesta al escalón es
ωn 1 p2t 1 p1t
y (t ) = K 1 + e − e (10.8)
2 ζ 2 − 1 p2 p1
Donde p1 y p2 son los polos del sistema y están dados por (10.9). Obsérvese que entre más
grande es ζ , más se alejan los valores de p1 y p2 .
valor final =K
0.8
Amplitude
0.6
0.4 ζ =1.01
ζ =1.5
ζ =3
0.2 ζ =6
0
0 5 10 15 20 25 30
Time (sec)
Figura 10.5.- Respuesta al escalón unitario en el caso sobreamortiguado de un sistema de 2° orden
Observación: De acuerdo a la ecuación (10.8) las constante que multiplican al tiempo en los
exponenciales decreciente son los polos: p1 y p2 , por lo tanto la rapidez con que desaparece
el transitorio la determina el polo más cercano a cero, (polo dominante) a dicho polo le
corresponderá la constante de tiempo más lenta (grande) y será la que hace el papel de
constante de tiempo dominante del sistema:
1 1
T = max , (10.10)
p1 p2
es decir, la respuesta del sistema llegará al 99% del valor final en aproximadamente
1 1
5T = 5 max ,
p1 p2
La forma que tiene la respuesta en este caso contiene sólo el efecto del exponencial multiplicado
por el tiempo: te − ωnt y se asemeja mucho a la curva con línea continua (azul) de la figura 10.5.
K ωn 2
y (t ) = L−1 2 2
(10.14)
s + 2ζωn s + ωn
Observación: Derivando los resultados anteriores y evaluando en cero se verifica que en los
tres casos:
yɺ (0) = K ωn 2 (10.18)
Respuesta (sin entrada) a condiciones iniciales diferentes a cero. Sistemas de segundo orden.
Para obtener la respuesta sin entrada a las condiciones iniciales diferentes a cero
y (0) = y0 , yɺ (0) = y1 (10.19)
Observación: Comparando (10.23) con (10.14) Es fácil ver que la respuesta del sistema con
condiciones iniciales cero ante un impulso unitario coincide con la respuesta del sistema sin
entrada ante las condiciones iniciales y (0) = 0, yɺ (0) = K ωn 2
Y (s) 2
= (10.24)
X (s) s 2 + s + 4
Solución: En este caso ωn = 2 , K = 0.5 , ζ = 0.25 . Se trata del caso bajo amortiguado. El intervalo
de tiempo adecuado para la simulación será de unas 8 constantes de tiempo, es decir, se
simulará de 0 a 8 / ζωn = 16 seg , para poder apreciar el transitorio completo y una porción del
estado estable. La respuesta a las condiciones iniciales dadas se puede obtener de dos maneras:
A=[0 1;-4 -1]; B=[0;2]; C=[1 0]; D=0; // Matrices del sistema
S=syslin('c',A,B,C,D); // Define El modelo de estado del sistema
t=0:0.01:16; //Intervalo de tiempo de simulación
x0=[0;1]; //Condiciones iniciales
u=zeros(t); // Entrada cero
y=csim(u,t,S,x0); //obtiene la respuesta al impulso unitario
plot(t,y,'linewidth',4); xgrid;
a=get("current_axes");
a.font_size=4;
title('Respuesta condiciones iniciales y(0)=0, dy(0)=1','fontSize',4);
xlabel('t (seg)','fontSize',4);
ylabel('y(t)','fontSize',4);
Un sistema de orden superior a dos se puede expresar de manera factorizada para hacer explícito
el efecto de los subsistemas de primero y de segundo orden que lo forman.
den=[1 8 4 1];
p=roots(den)
p =
- 7.4833361
- 0.2583320 + 0.2586404i
- 0.2583320 - 0.2586404i
//Los dos polos complejos corresponden a un factor de segundo orden
//Obtenemos dicho factor a continuación:
s=poly(0,'s','r');
fact=(s-p(2))*(s-p(3))
fact =
Parte real
2
0.1336302 + 0.5166639s + s
Parte imaginaria
0
1 / 7.4833
G(s) ≈ 2
(10.30)
s + 0.5167 s + 0.1336
En la figura 10.7 se muestra la respuesta al escalón unitario del sistema original (10.27) comparada
con la respuesta de la aproximación (10.30). En dicha figura se observa que el polo despreciado
prácticamente no influye en la respuesta.
0.8
Amplitude
0.6
0.4
0.2
respuesta sistema original
respuesta sistema aproximado
0
0 5 10 15 20 25 30
Time (sec)
Figura 10.7.- Respuesta de un sistema dominante de segundo orden.
Cuando un polo está muy lejos del origen comparado con los otros polos, este polo se puede
despreciar de la función de transferencia, cuidando solamente de mantener el valor final de la
respuesta al escalón unitario, es decir, la Ganancia del sistema. La Ganancia K del sistema dado
por la función de transferencia G ( s ) se puede calcular como
K = G (0) (10.32)
Ejemplo: Retomando el ejemplo anterior cuya función de transferencia está dada por (10.27), se
tiene que
K = G (0) = 1
los polos de este sistema eran: p1= -7.4833, p2=-0.2583 + 0.2586i, p3=-0.2583 - 0.2586i. El polo
p1= -7.4833 está muy lejos del origen comparado con las partes reales de los otro dos, por lo tanto
los polos dominantes son p2 y p3. Entonces simplemente eliminamos el factor (s-p1) del
denominador, pero esto altera la ganancia. Para no alterarla dividimos el numerador entre p1.
Laboratorio de Electrónica “Ing. Luis García Reyes”. UMSNH-FIE 10
Elaboró: José Juan Rincón Pasaye
Laboratorio de Control Analógico I Práctica No. 10. Análisis de respuesta transitoria. Sistemas de segundo orden
Ahora el polo dominante es el de primer orden, además , K = G (0) = 0.5 , por lo tanto podremos
aproximar la función de transferencia eliminando los dos polos complejos, es decir,
0.5
G(s) ≈ (10.35)
s +1
Step Response
0.5
0.45
0.4
0.35
Amplitude
0.3
0.25
0.2
0.15
respuesta sistema original
0.1
respuesta sistema aproximado
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6
Time (sec)
Ejercicio.- Efecto de agregar ceros a un sistema: Genera una gráfica para representar la respuesta
del sistema de segundo orden con un cero en diferentes posiciones ( z = −1 / a) , es decir, la
función de transferencia es
(as + 1)
G(s) = 2 (10.36)
s + 0.6 s + 1
y se graficará la respuesta para los valores: a = 0, 0.1, 0.3, 0.5, 1, 3 . ¿Cuando afecta más el cero?,
¿cuando afecta menos?, ¿a partir de qué valor se puede despreciar el efecto del cero?
Desarrollo de la Práctica.
1. Probar todos los ejemplos propuestos por el profesor conforme los va explicando.
2. Realizar todos los ejercicios propuestos.
Reportar:
1.- Escribe un programa que calcule el tiempo de establecimiento (ts) de la respuesta al escalón
unitario de un SLIT a partir de su función de transferencia de orden arbitrario. (Sugerencia:
Obtener las partes reales de todos los polos del sistema, verificar que todas sean negativas y elegir
la de menor valor absoluto como polo dominante).
2.- Utiliza el programa anterior para generar un intervalo de tiempo de simulación adecuado
(mayor que ts) para que otro programa pueda obtener la respuesta de un SLIT al escalón unitario y
calcular los parámetros: tiempo de subida (tr), tiempo de pico (tp), Máximo sobreimpulso (Mp), a
partir de los datos generados por la función csim. Coloca comentarios adecuados en las líneas del
programa.
4.- Investiga las expresiones analíticas en términos de K , ζ y ωn para los parámetros que calcula
el programa del ejercicio 2. Ejecuta el programa y compara los resultados que calcula el programa
con los que predicen las expresiones analíticas para la función de transferencia (10.37).