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    Matlab Control

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    Marcos Medrano
    Este documento presenta una introducción al uso de Matlab y Simulink para el análisis y solución de problemas de control de ingeniería. Explica cómo crear funciones de transferencia, modelos en espacio de estado, y construir sistemas complejos mediante conexiones en serie, paralelo y realimentación. También cubre el cálculo de polos, ceros y la visualización de mapas de polos y ceros, así como el análisis de respuestas transitorias a estímulos como escalones e impulsos.

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    Attribution Non-Commercial (BY-NC)
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    Matlab Control

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    Este documento presenta una introducción al uso de Matlab y Simulink para el análisis y solución de problemas de control de ingeniería. Explica cómo crear funciones de transferencia, modelos en espacio de estado, y construir sistemas complejos mediante conexiones en serie, paralelo y realimentación. También cubre el cálculo de polos, ceros y la visualización de mapas de polos y ceros, así como el análisis de respuestas transitorias a estímulos como escalones e impulsos.

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    Este documento presenta una introducción al uso de Matlab y Simulink para el análisis y solución de problemas de control de ingeniería. Explica cómo crear funciones de transferencia, modelos en espacio de estado, y construir sistemas complejos mediante conexiones en serie, paralelo y realimentación. También cubre el cálculo de polos, ceros y la visualización de mapas de polos y ceros, así como el análisis de respuestas transitorias a estímulos como escalones e impulsos.

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    Ingeniera Elctrica y Electrnica

    Matlab/Simulink para Control


    Taller Intersemestral Agosto 2005

    Ingeniera Elctrica y Electrnica

    Objetivo:
    Usar Matlab y Simulink como herramientas auxiliares para el anlisis y solucin de problemas de Ingenieria de Control

    Ingeniera Elctrica y Electrnica

    Desglose de temas:
    Iniciando problemas de control

    Ingeniera Elctrica y Electrnica

    Iniciando problemas de control


    Creando funciones de transferencia:
    Para crear funciones de transferencia se usa el comando tf(num,den), por ejemplo la funcin de transferencia

    Se puede definir como num=[18 360]; den=[1 40.4 391 150]; sys=tf(num,den); Se listan los coeficientes del los polinomios en s, en potencias decrecientes.

    Ingeniera Elctrica y Electrnica O bien, directamente en la funcin tf sys=tf([18 360], [1 40.4 391 150]) Resultando, Transfer function:

    18 s + 360 ---------------------------s^3 + 40.4 s^2 + 391 s + 150


    La variable sys representa entonces a una funcin de transferencia.

    Ingeniera Elctrica y Electrnica En el caso de la siguiente funcin de transferencia

    Podemos definirla como sys=tf([1 0 0], [1 0 2 10]) Resultando, Transfer function: s^2 -------------s^3 + 2 s + 10 Los coeficientes iguales a cero que estan a la derecha de coeficientes distintos de cero deben ser listados.

    Ingeniera Elctrica y Electrnica En el estudio de sistemas LTI (linear Time-Invariant), es muy comn el anlisis de sistemas de segundo orden de la forma

    n Y (s) = 2 U ( s ) s + 2n s + n 2
    2

    Estos sistemas pueden ser definidos con la funcin ord2, por ejemplo: >> [num,den]=ord2(10,1) num =1 den = 1 20 100

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Matlab puede generar funciones de transferencia aleatorias con la funcion rmodel, por ejemplo: >> [num,den]=rmodel(3) num = 0 0 0 1.6154 1.1909 1.1551 0.2360

    den = 1.0000

    >> [num,den]=rmodel(3) num = den = 0 1.0000 0 0 0.7258

    7.3984 24.5843 15.8755

    Las funciones de transferencia generadas con rmodel son siempre estables.

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Para sistemas con tiempo de retraso, con representacion en s dada por e sT , Matlab no provee un medio exacto para describirlo. Sin embargo la funcion pade puede ser usado para generar una funcion de transferencia que puede aproximar el tiempo de retraso. Por ejemplo: >> [num,den]=pade(5,2) num = den =

    1.0000 -1.2000 1.0000 1.2000

    0.4800 0.4800

    >> sys=tf(num,den) Transfer function: s^2 - 1.2 s + 0.48 -----------------s^2 + 1.2 s + 0.48

    Ingeniera Elctrica y Electrnica

    Matlab impone una restriccin muy importante a la definicin de sistemas a trves de funciones de transferencia. Esta es que los sistemas deben ser propios, es decir, el orden del numerador debe ser igual o menor al orden del denominador.

    Ingeniera Elctrica y Electrnica

    Creando modelos con variables de estado


    Para definir el sistema:

    x1 (t ) 40.4 391 150 x1 (t ) 1 x (t ) = 1 0 0 x2 (t ) + 0u (t ) 2 x3 (t ) 0 1 0 x3 (t ) 0


    x1 (t ) y (t ) = [0 18 360] x2 (t ) x3 (t )

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Matlab provee la funcion ss, por ejemplo:


    >> a=[-40.4 -391 -150; 1 0 0; 0 1 0]; >> b=[1 0 0]'; >> c=[0 18 360]; >> d=0; >> sys=ss(a,b,c,d) a= x1 x2 x3 b= x1 x2 x3 c= y1 d= y1 x1 -40.4 1 0 u1 1 0 0 x1 0 u1 0 x2 18 x3 360 x2 -391 0 1 x3 -150 0 0

    Continuous-time model.

    Ingeniera Elctrica y Electrnica De manera similar que con funciones de transferencia, podemos usar la funcin ord2 para definir sistemas de segundo orden, especificando n y .
    >> wn=2; >> zeta=.707; >> [a1,b1,c1,d1]=ord2(wn,zeta) a1 = 0 1.0000

    -4.0000 -2.8280 b1 = 0 1 c1 = d1 = 1 0 0

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Cambiando de Espacio de Estado a Funcin de Transferencia La funcin ss2tf puede ser usada para cambiar un sistema con definicin en espacio de estado a funcin de transferencia.
    >> [numcss,dencss]=ss2tf(a1,b1,c1,d1) numcss = dencss = 0 0 1 2.8280 4.0000

    1.0000

    >> tf(numcss,dencss) Transfer function: 1 ----------------s^2 + 2.828 s + 4

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Cambiando de Funcin de Transferencia a Espacio de Estado La funcin tf2ss puede ser usada para cambiar un sistema definido con funcin de transferencia, a espacio de estado.
    >> [actf,bctf,cctf,dctf]=tf2ss(numcss,dencss) actf = -2.8280 -4.0000 1.0000 bctf = 1 0 cctf = dctf = 0 0 1 0

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Construyendo Sistemas Matlab provee funciones para la construccion de sistemas complejos. Por ejemplo, para las siguientes configuraciones:

    SERIE PARALELO

    REALIMENTACION UNITARIA REALIMENTACION

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Coneccin Serie


    Para la coneccin serie, Matlab provee la funcin series, por ejemplo:
    >> G=tf(4,[1 2]) Transfer function: 4 ----s+2 >> H=tf([10 0.5],[1 2 4]) Transfer function: 10 s + 0.5 ------------s^2 + 2 s + 4 >> sys_serie=series(G,H) Transfer function: 40 s + 2 --------------------s^3 + 4 s^2 + 8 s + 8

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Coneccin Paralelo


    Para la coneccin paralelo, Matlab provee la funcin parallel, por ejemplo:
    >> sys_paralelo=parallel(G,H) Transfer function: 14 s^2 + 28.5 s + 17 --------------------s^3 + 4 s^2 + 8 s + 8

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Coneccin con Realimentacin


    Para la coneccin con realimentacin, Matlab provee la funcin feedback. Con realimentacin unitaria:
    >> sys_realim_uni=feedback(G,1) Transfer function: 4 ----s+6

    Con realimentacin:
    >> sys_realim=feedback(G,H) Transfer function: 4 s^2 + 8 s + 16 ----------------------s^3 + 4 s^2 + 48 s + 10

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Sistemas complejos:


    Para construir sistemas mas complejos, Matlab provee el archivo m blkbuild.m. Por ejemplo para el sistema

    R(s)

    Y(s)
    G0(s)
    1

    G1(s)

    G2(s)

    G3(s)

    2 3

    H2(s)
    6

    H3(s)
    7

    H1(s)
    5

    Ingeniera Elctrica y Electrnica


    sistema_complejo.m
    %Usando blkbuild para construir un sistema complejo n1=1; d1=1; n2=1; d2=[1 1]; n3=1; d3=[1 2]; n4=1; d4=[1 3]; n5=4; d5=1; n6=8; d6=1; n7=12; d7=1; nblocks=7; blkbuild q=[2 1 -5 0 0 3 2 -6 0 0 4 2 -6 3 -7 5 3 0 0 0 6 3 0 0 0 7 4 0 0 0]; inpt=1; output=4; [aa,bb,cc,dd]=connect(a,b,c,d,q,inpt,output); [num,den]=ss2tf(aa,bb,cc,dd); tf(num,den)

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Calculando Polos y Ceros


    Para calcular los polos y ceros de un sistema, a partir de los polinomios del numerador y denominador, Matlab provee la funcin tf2zp. Por ejemplo para el sistema:

    3s 4 + 2 s 3 + 5 s 2 + 4 s + 6 G ( s) = 5 s + 3s 4 + 4 s 3 + 2 s 2 + 7 s + 2
    Corremos el siguiente cdigo: >> num=[3 2 5 4 6]; >> den=[1 3 4 2 7 2]; >> [z,p,]=tf2zp(num,den)

    Ingeniera Elctrica y Electrnica


    Resultando
    >> [z,p,k]=tf2zp(num,den) z= 0.4019 + 1.1965i 0.4019 - 1.1965i -0.7352 + 0.8455i -0.7352 - 0.8455i p= -1.7680 + 1.2673i -1.7680 - 1.2673i 0.4176 + 1.1130i 0.4176 - 1.1130i -0.2991 k= 3

    Ingeniera Elctrica y Electrnica

    Los polos y ceros tambien pueden ser calculados a partir de un sistema descrito en espacio de estado. Por ejemplo:

    usando_ss2zp.m vec=[1 2 5 3 6 1]; A=compan(vec); c=[1 0 0 0 0]; b=[0;0;0;0;1]; [z,p,k]=ss2zp(A,b,c,0)

    Ingeniera Elctrica y Electrnica

    Resultando
    z = 1.0e-005 * 0.8792 -0.4396 + 0.7614i -0.4396 - 0.7614i p= -1.0433 + 1.6215i -1.0433 - 1.6215i 0.1323 + 1.2217i 0.1323 - 1.2217i -0.1781 k = -1

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    Mapa de polos y ceros Para visualizar el mapa de polos y ceros, Matlab provee la funcin pzmap. Al correr esta funcin se crea una figura mostrando en forma grfica la ubicacin de polos y ceros. Al correr el cdigo, >> pzmap(p,z) Resulta en la siguiente grfica

    Ingeniera Elctrica y Electrnica

    Ingeniera Elctrica y Electrnica


    Creando Funciones de Transferencia a partir de Polos y Ceros

    Es posible definir funciones de transferencia a partir del listado explicto de polos, ceros y ganancia. polocero2ft.m z=[0;0;0;-1]; p=[-1+i 1-i -2 -3.15+2.63i -3.15-2.63i]; k=2; [num,den]=zp2f(z,p,k); tf(num,den)
    Transfer function: 2 s^4 + 2 s^3 -------------------------------------------------------------------s^5 + 10.3 s^4 + 48.04 s^3 + 109.2 s^2 + 126.2 s + 67.36

    Ingeniera Elctrica y Electrnica


    Creando sistemas en Espacio de Estado a partir de Polos y Ceros
    usandozp2ss.m
    [a,b,c,d]=zp2ss( [-1] , [-2 pause poles=eig(a) pause ceros=tzero(a,b,c,d) pause k=dcgain(a,b,c,d)
    a= -2.0000 -1.0000 0 1 1 0 0 0 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i -2.0000 -1 0 0 0 -2.0000 -1.4142 1.4142 0

    1+i

    1-i ], 2);

    b=

    c= d=

    1.4142

    poles =

    ceros = k=

    0.5000

    Ingeniera Elctrica y Electrnica

    Anlisis de respuesta transitoria


    Matlab provee funciones para la aplicacin de estmulos a sistemas LIT definidos a trves de funciones de transferencia o variables de estado. Las funciones mas comunes son: la entrada escaln (step), el impulso (impulse), condicin inicial (initial), y seal arbitraria (lsim). Ejemplo: Un sistema con no ceros, polos en s=-13i, y ganancia 3, tiene la siguiente respuesta a una estrada escalon.

    Ingeniera Elctrica y Electrnica


    >> [num,den]=zp2tf([ ],[-1+3i -1-3i],3) num = 0 den = 1 0 2 3 10

    >> sys=tf(num,den) Transfer function: 3 -------------s^2 + 2 s + 10 >> step(sys)

    Ingeniera Elctrica y Electrnica La funcin step puede ser invocada con argumentos de salida, >> [y,t]=step(num,den); Donde y es el vector de la respuesta del sistema, y t es el vector del tiempo de simulacin. Ejercicio: Crear un archivo m que obtenga: El valor de pico, tiempo de pico, tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento y frecuencia natural.

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Respuesta al Impulso

    >> [num,den]=zp2tf([ ],[-1+3i -1-3i],3) num = 0 den = 1 0 2 3 10

    >> sys=tf(num,den) Transfer function: 3 -------------s^2 + 2 s + 10 >> impulse(sys)

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Respuesta a la Rampa


    Matlab no provee una funcin para una entrada rampa. Sin embargo, provee la funcin lsim que permite definir una seal arbitaria. La sintaxis de lsim es lsim(sys,u,t) donde t es el vector de tiempo y u es la seal de entrada para cada instante de tiempo en t. Entonces, una rampa con pendiente unitaria y duracin de 10 segundos pude ser definida como, >> t=0:.01:10; >> u=t;

    Ingeniera Elctrica y Electrnica Respuesta a la Rampa


    >> lsim(sys,u,t) >> hold Current plot held >> plot(t,u)

    Ingeniera Elctrica y Electrnica


    Respuesta a una Condicin Inicial
    Una de las ventajas de la representacion de sistemas LIT con variables de estado es la respuesta a condiciones iniciales. Matlab provee la funcin initial para simular la respuesta a una condicin inicial.
    >> [a,b,c,d]=zp2ss([ ],[-1+6i -1-6i],10); >> sys=ss(a,b,c,d); >> [y,t,x]=initial(sys,[-10 10]'); >> subplot(1,2,1), plot(t,x(:,1),t,x(:,2)) >> subplot(1,2,2), plot(x(:,1),x(:,2))

    Ingeniera Elctrica y Electrnica


    Respuesta a una Condicin Inicial
    >> [a,b,c,d]=zp2ss([ ],[6i -6i],10); >> sys=ss(a,b,c,d); >> [y,t,x]=initial(sys,[-10 10],5); >> subplot(1,2,1), plot(t,x(:,1),t,x(:,2)) >> subplot(1,2,2), plot(x(:,1),x(:,2))

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    Respuesta a una Condicin Inicial
    >> [a,b,c,d]=zp2ss([ ],[1+6i 1-6i],10); >> sys=ss(a,b,c,d); >> [y,t,x]=initial(sys,[-10 10],5); >> subplot(1,2,1), plot(t,x(:,1),t,x(:,2)) >> subplot(1,2,2), plot(x(:,1),x(:,2))

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