Exponentialverteilung

Eine stetige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$  genügt der Exponentialverteilung ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$  mit dem positiven reellen inversen Skalenparameter ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{>0}}$ , wenn sie die Dichtefunktion

${\displaystyle f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda {\rm {e}}^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0\end{cases}}}$ 

besitzt. Wenn eine Zufallsvariable diese Dichte hat, dann schreibt man auch ${\displaystyle X\sim {\mathcal {E}}(\lambda )}$  oder ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$ .

Der Parameter ${\displaystyle \lambda }$  besitzt den Charakter einer Ereignisrate und ${\displaystyle 1/\lambda }$  den eines Ereignisabstandes (mittlere Reichweite oder mittlere Lebensdauer).

Eine (vor allem im angelsächsischen Raum übliche) alternative Parametrisierung führt zur Dichtefunktion

${\displaystyle f_{\mu }(x)={\begin{cases}\displaystyle {\tfrac {1}{\mu }}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{\mu }}}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$ 

Die Beziehung zur obigen Parametrisierung ist dabei einfach ${\displaystyle \mu =1/\lambda }$ . Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, den Erwartungswert explizit anzugeben, also von einer Exponentialverteilung mit Erwartungswert ${\displaystyle 1/\lambda }$  zu sprechen.

 

Die (kumulative) Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{0}^{x}f_{\lambda }\left(t\right)\ {\rm {d}}t={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&,x>0,\\0&,x\leq 0.\end{cases}}}$ 

Sie erlaubt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens des nächsten Ereignisses im Intervall von ${\displaystyle 0}$  bis ${\displaystyle x}$ .

Die Wahrscheinlichkeit für eine Intervalllänge größer als ${\displaystyle x}$  bis zum nächsten Ereignis beträgt ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\lambda x}}$ .

Die Exponentialverteilung besitzt den Erwartungswert ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$ , denn

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int \limits _{0}^{\infty }x\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\lambda }}}$ .

Der Erwartungswert entspricht der mittleren Betriebsdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen. Er wird in diesem Zusammenhang als Mean Time Between Failures (MTBF) bezeichnet.

Die Exponentialverteilung besitzt ihren Median bei

${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {\ln 2}{\lambda }}\approx {\frac {0{,}693}{\lambda }}}$ .

Den maximalen Wert nimmt die Dichtefunktion der Exponentialverteilung bei ${\displaystyle x=0}$  an, d. h., der Modus ist

${\displaystyle x_{D}=0}$ .

Die Varianz ergibt sich analog mittels

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int \limits _{0}^{\infty }\left(x-{\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\lambda \int \limits _{0}^{\infty }x^{2}\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x-2\int \limits _{0}^{\infty }x\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{\lambda }}\int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$ .

Für die Standardabweichung ergibt sich

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}={\frac {1}{\lambda }}}$ .

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten. Es gilt

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\frac {\sqrt {\sigma ^{2}(X)}}{\operatorname {E} (X)}}={\frac {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}{\operatorname {E} (X)}}}$ .

Also gilt

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)=1}$ .

Das Geometrische Mittel der Exponentialverteilung ist

${\displaystyle \operatorname {GM} (X)=\exp \left(\int \limits _{0}^{\infty }\ln(x)\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x\right)=\exp \left(\ln \left({\frac {1}{\lambda }}\right)-\gamma \right)={\frac {1}{\lambda \mathrm {e} ^{\gamma }}}}$ ,

wobei ${\displaystyle \gamma }$  die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Die mittlere absolute Abweichung

${\displaystyle e={\frac {2/\mathrm {e} }{\lambda }}\approx {\frac {0{,}736}{\lambda }}}$ 

ist kleiner als die Standardabweichung, die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians

${\displaystyle {\mathit {MD}}={\frac {\ln 2}{\lambda }}\approx {\frac {0{,}693}{\lambda }}}$ 

ist noch etwas kleiner.

Die Schiefe besitzt unabhängig vom Parameter ${\displaystyle \lambda }$  immer den Wert 2. Die Verteilung ist ein typischer Vertreter einer rechtsschiefen Verteilung, für die auch ${\displaystyle {\tilde {x}}<E(X)}$  gilt.

Die Wölbung besitzt unabhängig vom Parameter ${\displaystyle \lambda }$  immer den Wert 9. Somit hat der Exzess den Wert 6.

Die Quantilfunktion der Exponentialverteilung lässt sich angeben und ist

${\displaystyle F_{\lambda }^{-1}(p)={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}}$ .

Damit ist der Interquartilabstand ${\displaystyle {\frac {\ln 3}{\lambda }}\approx {\frac {1{,}10}{\lambda }}}$ .

Die k-ten Momente sind

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})={\frac {k!}{\lambda ^{k}}}}$ .

Dies lässt sich zum Beispiel mit der k-ten Ableitung der momenterzeugenden Funktion zeigen.

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

${\displaystyle g_{X}(t)=\ln \left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)}$  für ${\displaystyle t<\lambda }$ .

Damit ist die k-te Kumulante ${\displaystyle \kappa _{k}={\frac {(k-1)!}{\lambda ^{k}}}}$ 

Die charakteristische Funktion hat die Form

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -\operatorname {i} t}}}$ .

Die momenterzeugende Funktion der Exponentialverteilung ist

${\displaystyle m_{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}}$  für ${\displaystyle t<\lambda }$ .

Die Entropie der Exponentialverteilung beträgt

${\displaystyle H(X)=1-\ln(\lambda )}$ .

Da die Exponentialverteilung auch als Lebensdauerverteilung und im technischen Bereichen als Ausdruck für die Zuverlässigkeit eines Gerätes verwendet wird, ist es möglich, damit zusammenhängende Größen wie Überlebensfunktion und die Ausfallrate mit Hilfe der Verteilungsfunktion anzugeben. So nennt man das Komplement der Verteilungsfunktion die Überlebensfunktion:

${\displaystyle P(X\operatorname {>} x)=1-F(x)=\mathrm {e} ^{-\lambda x}}$ 

Damit ergibt sich unmittelbar die auf einen Zeitpunkt ${\displaystyle x_{0}}$  bezogene bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(X>x_{0}+x|X>x_{0})={\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda (x_{0}+x)}}{\mathrm {e} ^{-\lambda x_{0}}}}=\mathrm {e} ^{-\lambda x}}$ 

Die Exponentialverteilung ist eine gedächtnislose Lebensdauerverteilung, d. h. die Überlebenswahrscheinlichkeit in Bezug auf einen bestimmten Zeitpunkt ist unabhängig vom bisher erreichten Alter. Im Gegensatz zur Weibull-Verteilung kann die Exponentialverteilung nur für sogenannte ermüdungsfreie Systeme verwendet werden

Die Ausfallrate ${\displaystyle h(x)}$  ergibt sich zu

${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{1-F(x)}}={\frac {\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\mathrm {e} ^{-\lambda x}}}=\lambda }$ 

Sie ist für die Exponentialverteilung zeitlich und räumlich konstant und wird in der Literatur üblicherweise mit der Konstanten λ bezeichnet.

Die Exponentialverteilung ist im folgenden Sinne gedächtnislos: Ist bekannt, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$  den Wert ${\displaystyle x}$  überschreitet, so ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sie ${\displaystyle x}$  um mindestens ${\displaystyle t}$  überschreitet, genau so groß wie die, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable (mit gleichem Parameter ${\displaystyle \lambda }$ ) den Wert ${\displaystyle t}$  überschreitet, formal

${\displaystyle P\left(X\geq x+t\,\mid \,X\geq x\right)=P\left(X\geq t\right)}$ .

Die Gedächtnislosigkeit ist sogar eine definierende Eigenschaft der Exponentialverteilung; diese ist die einzig mögliche stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft. Dies folgt direkt mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und der daraus entstehenden Funktionalgleichung. Das diskrete Pendant hierzu ist die geometrische Verteilung als einzig mögliche diskrete gedächtnislose Verteilung.

Die Exponentialverteilung ist folglich auch die einzige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine konstante Ausfallrate aufweist.

Sind ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{1}),\,\ldots \,,X_{n}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{n})}$  stochastisch unabhängig, so ist ${\displaystyle \min(X_{1},\ldots ,X_{n})\sim \operatorname {Exp} (\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n})}$ 

Sind ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Exp} (\lambda ),\,\ldots \,,X_{n}\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$  stochastisch unabhängig, so die Summe ist ${\displaystyle X_{1}+\ldots +X_{n}\sim \operatorname {Erl} (n,\lambda )}$  Erlang-verteilt.

Wenn ${\displaystyle X}$  eine auf dem Intervall ${\displaystyle [0,1]}$  gleichverteilte stetige Zufallsvariable ist, dann genügt ${\displaystyle Y=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(X)}$  der Exponentialverteilung mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda }$ .

Sind die Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$  und ${\displaystyle Y}$  standardnormalverteilt und unabhängig, so ist ${\displaystyle X^{2}+Y^{2}}$  exponentialverteilt mit Parameter ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{2}}}$ .

In Analogie zur diskreten geometrischen Verteilung bestimmt die stetige Exponentialverteilung die Wartezeit bis zum ersten Eintreffen eines Ereignisses, das gemäß einem Poisson-Prozess auftritt; die geometrische Verteilung kann also als diskretes Äquivalent zur Exponentialverteilung betrachtet werden.

• Wenn ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$ , dann ist ${\displaystyle \lfloor X\rfloor \sim \operatorname {Geo} (1-e^{-\lambda })}$ , eine geometrische Verteilung auf ${\displaystyle 0,1,2,3,...}$ .
• Wenn ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$ , dann ist ${\displaystyle \lceil X\rceil \sim \operatorname {Geo} (1-e^{-\lambda })}$ , eine geometrische Verteilung auf ${\displaystyle 1,2,3,4,...}$ .

• Die Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, d. h. die Wartezeit bis zum Eintreffen des ${\displaystyle n}$ -ten Ereignisses eines Poisson-Prozesses, wird mit der Gammaverteilung beschrieben. Die Exponentialverteilung mit Parameter ${\displaystyle \lambda }$  ist also identisch mit der Gammaverteilung mit Parametern ${\displaystyle 1}$  und ${\displaystyle \lambda }$ . Die Exponentialverteilung besitzt demnach auch alle Eigenschaften der Gammaverteilung. Insbesondere ist die Summe von ${\displaystyle n}$  unabhängigen, ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ -verteilten Zufallsvariablen gamma- oder Erlang-verteilt mit Parametern ${\displaystyle n}$  und ${\displaystyle \lambda }$ .

• Die Faltung von zwei Exponentialverteilungen mit demselben ${\displaystyle \lambda }$  ergibt eine Gammaverteilung mit ${\displaystyle p=2}$ , ${\displaystyle b=\lambda }$ .

Ist der Parameter ${\displaystyle \lambda }$  der Exponentialverteilung ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$  eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung ${\displaystyle G(a,b)}$  verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung ${\displaystyle G(a,b,1)}$  verteilt.

Wenn ${\displaystyle X}$  Pareto-verteilt ${\displaystyle \operatorname {Par} (\lambda ,1)}$  mit Parametern ${\displaystyle \lambda }$  und ${\displaystyle 1}$  ist, dann ist ${\displaystyle \log {X}}$  exponentialverteilt ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$  mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda }$ .

Die Abstände zwischen dem Eintreten zufälliger Ereignisse können häufig mit der Exponentialverteilung beschrieben werden. Insbesondere gilt, dass der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen eines Poisson-Prozesses mit Rate ${\displaystyle \lambda }$  exponentialverteilt mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda }$  ist. In diesem Fall ist die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall der Länge ${\displaystyle \Delta w}$  Poisson-verteilt mit Parameter ${\displaystyle \lambda \cdot \Delta w}$ .

Herleitung: Sei w eine Orts- oder Zeitvariable und ${\displaystyle \lambda }$  die kleine konstante Eintretenshäufigkeit von Ereignissen im Einheitsintervall von w. Dann findet man mit den poissonschen Annahmen die Wahrscheinlichkeit für das nächste Eintreten eines Ereignisses im kleinen Intervall ${\displaystyle [w,w+\Delta w]}$  als Produkt der Wahrscheinlichkeit, kein Ereignis bis w und eins im Intervall ${\displaystyle [w,w+\Delta w]}$  zu haben:

${\displaystyle P_{1}(w+\Delta w)=\mathrm {e} ^{-\lambda \cdot w}\cdot \lambda \Delta w}$ 

Daraus ergibt sich nach Division durch ${\displaystyle \Delta w}$  die Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle f_{\lambda }(w)=\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda \cdot w}}$  der Exponentialverteilung mit ${\displaystyle \lambda }$  als Ereignisrate und ${\displaystyle 1/\lambda }$  als mittlerem Ereignisabstand.

• Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung bestimmt, die zufällige Zeit bis zum ${\displaystyle n}$ -ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall ${\displaystyle n=1}$  geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über ${\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,1)=\operatorname {Exp} (\lambda )}$ , mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.

• Die Summe von ${\displaystyle n}$  unabhängigen ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$  exponentialverteilten Zufallsgrößen hat die Erlang-Verteilung ${\displaystyle n}$ -ter Ordnung ${\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,n)}$ .

• Mit ${\displaystyle \beta =1}$  geht die Weibull-Verteilung in die Exponentialverteilung über. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate ${\displaystyle \lambda }$ . Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender (${\displaystyle \lambda >1}$ ) oder fallender (${\displaystyle \lambda <1}$ ) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
• Wenn ${\displaystyle X}$  exponentialverteilt ist, dann ist ${\displaystyle X^{\lambda }}$  Weibull-verteilt.

Die Chi-Quadrat-Verteilung geht für ${\displaystyle n=2}$  in die Exponentialverteilung mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{2}}}$  über.

Wenn ${\displaystyle X}$  exponentialverteilt ist mit Rate ${\displaystyle \lambda }$ , dann ist ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$  Rayleigh-verteilt mit Skalenparameter ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\lambda }}}}$ .

Sind ${\displaystyle X_{\lambda },Y_{\lambda }}$  zwei unabhängige Zufallsvariablen, die beide Exponentialverteilt zum Parameter ${\displaystyle \lambda }$  sind, dann ist sowohl ${\displaystyle X_{\lambda }-Y_{\lambda }}$  als auch ${\displaystyle Y_{\lambda }-X_{\lambda }}$  Laplace-verteilt.

Die Dichte des Logarithmus einer standard-exponentialverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda =1)}$  folgt einer Standard-Gumbel-Verteilung (Minimum)

${\displaystyle f(z)=\operatorname {exp} \left(z\right)\operatorname {exp} \left(-\operatorname {exp} \left(z\right)\right)}$  .

Die Exponentialverteilung ist eine typische Lebensdauerverteilung. So ist beispielsweise die Lebensdauer von elektronischen Bauelementen häufig annähernd exponentialverteilt. Hierbei spielt besonders die Gedächtnislosigkeit eine bedeutende Rolle: die Wahrscheinlichkeit, dass ein x Tage altes Bauelement noch mindestens t Tage hält, ist demnach genauso groß wie die, dass ein neues Bauelement überhaupt t Tage hält. Charakteristisch bei der Exponentialverteilung ist die konstante Ausfallrate ${\displaystyle \lambda }$ .

Dies ist zum Beispiel bei Glühlampen nur annähernd richtig, da diese nur beim Einschalten stark beansprucht werden. Auf Lebewesen darf ebenfalls keine Exponentialverteilung angewendet werden, sonst wäre zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein Achtzigjähriger noch weitere fünfzig Jahre lebt, genauso hoch wie die, dass ein Neugeborener das fünfzigste Lebensjahr erreicht.

Beispiel: In einer Elektronikfirma werden Funkwecker produziert. Im Rahmen der Qualitätssicherung wird anhand von Reklamationen die Funktionsdauer der Wecker untersucht. Es stellt sich heraus, dass durchschnittlich pro Tag 5 ‰ der Wecker unabhängig von ihrem Alter ausfallen.

Die Zufallsgröße ${\displaystyle X=}$  „Zeitdauer der Funktionsfähigkeit eines Funkweckers in Tagen“ ist also exponentialverteilt mit der Ausfallrate ${\displaystyle \lambda =0{,}005}$ . Entsprechend beträgt die durchschnittliche Zeitdauer, bis ein Wecker ausfällt, ${\displaystyle 1/\lambda =200}$  Tage.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wecker höchstens (noch) 20 Tage hält, ist

${\displaystyle 1-\mathrm {e} ^{-0{,}005\cdot 20}=0{,}0952}$ 

d. h. nach 20 Tagen sind durchschnittlich ca. 10 % der Wecker ausgefallen.

Entsprechend ist der Anteil der Wecker, die mindestens 180 Tage aushalten,

${\displaystyle 1-\left(1-\mathrm {e} ^{-0{,}005\cdot 180}\right)=1-0{,}5934=0{,}4066}$ 

also halten durchschnittlich ca. 40 % der Wecker länger als 180 Tage.

Obwohl bei einer exponentialverteilten Lebensdauerverteilung am Anfang absolut betrachtet mehr Geräte ausfallen, ist die Ausfallrate konstant: in jedem Zeitintervall fallen relativ betrachtet immer gleich viele Geräte aus. Dieser Umstand darf nicht mit den Frühausfällen der Badewannenkurve verwechselt werden. Hier ist zu Beginn die Ausfallrate ${\displaystyle \lambda }$  höher und nicht konstant über die Lebensdauer. Zur Beschreibung der Badewannenkurve ist eine andere Lebensdauerverteilung (Weibull-Verteilung) notwendig.

Zur Erzeugung exponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Inverse der Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x)=1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}}$  lautet hierbei ${\displaystyle F^{-1}(y)=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-y)}$ . Zu einer Folge von Standardzufallszahlen ${\displaystyle u_{i}}$  lässt sich daher eine Folge ${\displaystyle x_{i}:=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-u_{i})}$  exponentialverteilter Zufallszahlen berechnen. Einfacher kann stattdessen auch ${\displaystyle x_{i}:=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(u_{i})}$  gerechnet werden.

• Mortalität (Übergang von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung)
• Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Doppelexponentialverteilung

• www.exponentialverteilung.de – Erklärung, Aufgaben, Veranschaulichung