Rayleigh-Verteilung

Eine stetige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$  heißt Rayleigh-verteilt mit Parameter ${\displaystyle \sigma >0}$ , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x|\sigma )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$ 

besitzt. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\displaystyle 1-e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$ 

Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:

${\displaystyle \mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,}$ ,

wobei ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$  die Gammafunktion darstellt.

Der Erwartungswert ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$ .

Die Varianz der Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$ .

Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\sqrt {\frac {2}{4-\pi }}}={\sqrt {\frac {\pi }{4-\pi }}}\approx 1{,}91}$ .

Für die Schiefe erhält man

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0{,}6311}$ .

Die Wölbung ergibt sich zu

${\displaystyle \beta _{2}(X)=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0{,}2451}$ .

Die charakteristische Funktion ist

${\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left(\operatorname {erf} \!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right)}$ .

wobei ${\displaystyle \operatorname {erf} (\cdot )}$  die komplexe Fehlerfunktion ist.

Die momenterzeugende Funktion ist gegeben durch

${\displaystyle M(t)=1+\sigma te^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right)}$ ,

wobei ${\displaystyle \operatorname {erf} (\cdot )}$  wiederum die Fehlerfunktion ist.

Die Entropie, ausgedrückt in nats, ergibt sich zu

${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$ ,

wobei ${\displaystyle \gamma }$  die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für ${\displaystyle x=\sigma }$ , denn für ${\displaystyle x\geq 0}$  gilt

${\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\left(x\right)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma ^{2}}}-x^{2}{\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma ^{4}}}\quad \Longleftrightarrow \quad x=\sigma }$ .

Damit ist ${\displaystyle \sigma }$  der Modus der Rayleigh-Verteilung.

Im Maximum hat ${\displaystyle f}$  den Wert

${\displaystyle f\left(\sigma \right)={\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}}}$ .

Die Maximum-Likelihood-Schätzung von ${\displaystyle \sigma }$  aus Messwerten ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$  erfolgt über:

${\displaystyle \sigma \approx {\sqrt {{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$ 

Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleigh-Verteilung.

Wenn ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$ , dann ist ${\displaystyle R^{2}}$  Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden: ${\displaystyle R^{2}\sim \chi _{2}^{2}}$ 

${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma ^{2})=\mathrm {Wei} \left({\frac {1}{2\sigma ^{2}}},2\right)}$ 

${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )}$ 

Wenn ${\displaystyle X}$  exponentialverteilt mit ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$  ist, dann ist ${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} \left({\frac {1}{\sqrt {2\lambda }}}\right)}$ .

Wenn ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$ , dann ist ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$  gammaverteilt mit den Parametern ${\displaystyle N}$  und ${\displaystyle 2\sigma ^{2}}$ : ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})}$ .

${\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$  ist Rayleigh-verteilt, wenn ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$  und ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$  zwei stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen sind.

• Edgar Dietrich, Alfred Schulze: Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation. 6. Auflage. Carl Hanser Verlag, 2009, ISBN 978-3-446-41525-6.