Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

Sei

• ${\displaystyle V_{n,p}:=V_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$  die Stiefel-Mannigfaltigkeit, wir können die Mannigfaltigkeit als ${\displaystyle V_{n,p}=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=I_{p},\;p\leq n\}}$  identifizieren,
• ${\displaystyle [dX]}$  das Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle V_{n,p}}$ ,
• ${\displaystyle {}_{0}F_{1}^{(2)}(b;S)}$  die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument, d. h. ${\displaystyle b\in \mathbb {C} }$  und ${\displaystyle S\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$  symmetrisch,
• ${\displaystyle \operatorname {etr} (S)=\exp(\operatorname {tr} (S))}$ ,

dann ist die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung zum ${\displaystyle n\times p}$ -Parameter ${\displaystyle F}$  definiert als^[2]

${\displaystyle L(X;F)={\frac {\operatorname {etr} (F'X)[dX]}{{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}},\quad X\in V_{n,p}.}$ 

${\displaystyle {}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}$  kann mit Hilfe von zonalen Polynome als Reihe dargestellt werden.

Die Integraldarstellung

${\displaystyle \int _{V_{n,p}}\operatorname {etr} (F'X)[dX]={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}FF'\right)}$ 

wurde 1961^[3] von Alan T. James bewiesen. Sei ${\displaystyle F}$  vom Rang ${\displaystyle p}$  und ${\displaystyle F=MDV^{T}}$  die Singulärwertzerlegung, dann gilt

${\displaystyle {}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)={}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}D^{2}\right)}$ 

mit ${\displaystyle D^{2}=\operatorname {diag} (d_{1}^{2},\dots ,d_{p}^{2})}$ .

Die momenterzeugende Funktion ist

${\displaystyle M_{X}(Z)=\int _{V_{n,p}}\operatorname {etr} (F'X)\operatorname {etr} (ZX)[dX]={\frac {{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}(F'+Z)(F'+Z)'\right)}{{}_{0}F_{1}^{(2)}\left({\tfrac {1}{2}}n;{\tfrac {1}{4}}F'F\right)}}.}$ ^[4]

Down studierte die Verteilung auf der Stiefel-C-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle S(C)=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=C,\;p\leq n\}}$ , wobei ${\displaystyle C}$  eine positiv definite ${\displaystyle p\times p}$ -Matrix ist.^[5]

• Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch). 
• Yasuko Chikuse: Concentrated matrix Langevin distributions. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 85, 2003, S. 375–394, doi:10.1016/S0047-259X(02)00065-9 (englisch). 
• Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817 (englisch). 

1. ↑ Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817. 
2. ↑ Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 281. 
3. ↑ Alan T. James: The Distribution of Noncentral Means with Known Covariance. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Mathematical Statistics. Band 32, Nr. 3, 1961, S. 874 - 882, doi:10.1214/aoms/1177704980. 
4. ↑ Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5, S. 282. 
5. ↑ Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676.