Deilliant

Mae deilliant ffwythiant newidyn real yn fesur o sensitifrwydd o newid gwerth y ffwythiant (gwerth yr allbwn) mewn perthynas â newid yn ei ymresymiad (gwerth y mewnbwn). Mae'n weithred defnyddiol o fewn calcwlws.

Er enghraifft, 'deilliant' safle cerbyd neu wrthrych arall sy'n symud, o ran amser, yw cyflymder y cerbyd: mae hyn yn fesur o ba mor gyflym mae safle'r gwrthrych yn newid wrth i amser dreulio.

Yn y diagram ar y dde, y linell dangiad yw'r brasamcan gorau o'r ffwythiant ger gwerth y mewnbwn. Oherwydd hyn, disgrifir y deilliant yn aml fel "graddfa'r newid ar un amrantiad o amser".

Mesuriad o sut mae ffwythiant mathemategol yn newid wrth i'r mewnbynnau newid yw differu - y weithred o gyfrifo'r deilliant.

Nid dim ond y sy'n ffwythiant o x, mae graddiant y gromlin y = f(x) yn ffwythiant o x hefyd gan nad ydyw'n gyson. Y differiad yw'r ffwythiant hwn. Ystyriwch ddau bwynt sy'n agos iawn at ei gilydd ar y gromlin: (x,y) ac (x + Δx, y + Δy). Po leiaf yw Δx yr agosaf y mae Δy/Δx at y graddiant ar y pwynt (x,y), a phan fo Δx yn agosáu at 0, mae Δy/Δx yn agosáu at derfyn sy'n hafal i raddiant y gromlin ar y pwynt (x,y). Y differiad yw'r terfyn (lim) hwn ac fel arfer fe ddefnyddir y nodiant dy/dx i'w symboleiddio:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(y+\Delta y)-y}{(x+\Delta x)-x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Cyflwynwyd y symbolau ${\displaystyle dx}$, ${\displaystyle dy}$, a ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ gan Gottfried Wilhelm Leibniz yn 1675.^[1] Mae'n dal i gael ei ddefnyddio pan fo'r hafaliad y = f(x) yn cael ei weld fel perthynas ffwythiannol rhwng newidynnau dibynnol ac annibynnol. Bryd hyn, dynodir y deilliant cyntaf fel

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ neu }}{\frac {d}{dx}}f,}$

Mae deilliannau uwch yn cael eu mynegi gan y nodiant

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f}$

ar gyfer y'r nfed deilliant o ${\displaystyle y=f(x)}$.

Erbyn heddiw, dyma'r nodiant mwyaf cyffredin. Fe'i cyflwynwyd gan Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813), mathemategydd Eidalaidd. Yma, dynodir deilliant y ffwythiant ${\displaystyle f}$ gan ${\displaystyle f'}$. Yn yr un modd, dynodir yr ail a'r trydydd eilliant

${\displaystyle (f')'=f''}$   a   ${\displaystyle (f'')'=f'''.}$

I ddynodi rhagor o ddeilliannau wedi'r pwynt hwn, defnyddir rhifolion Rhufeinig mewn uwch-sgript, ond mae rhai mathemategwyr yn rhoi'r rhif rhwng cromfachau:

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}$   neu   ${\displaystyle f^{(4)}.}$^[2]

Gelwir Nodiant Newton, weithiau'n 'Nodiant y Dotyn' (dot notation), gan y rhoddir dotyn bychan uwch ben enw'r ffwythiant, i gynrychioli deilliant amser. Os ${\displaystyle y=f(t)}$, yna mae

${\displaystyle {\dot {y}}}$   a   ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

yn dynodi'r deilliannau cyntaf ac ail ${\displaystyle y}$.

• Calcwlws differol