Navier–Stokesove jednačine

Navier–Stokesove jednačine su nelinarna parcijalna diferencijalna jednačina u skoro svim realnim situacijama.

Turbulencija je haotično ponašanje zavisno od vrmeena, koje se sreće u mnogim primjerima strujanja fluida.

Većina radova na Navier–Stokesovim jednačinama rađena je po pretpsotavkom nestišljivog strujanja za newtonove fluide. Pretpostavke nestišljivog strujanja često važe čak i kada se radi sa stišljivim fluidom, kao što je zrak na sobnoj temperaturi (čak i kada struji brzinom do oko Mach 0,3). Uzimajući pretpostavku nestišljivog strujanja u obzir, te pretpostaviti da je viskoznost konstantna, Navier–Stokesove jednačine će glasiti^[1] (u vektorskom obliku):

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} }$ 

f predstavlja "ostale" masene sile (sile po jedinici volumena), kao što su gravitacija ili centrifugalna sila. Značajno je i posmatrati značenje svakog člana (upotedite sa Cauchyjevom momentnom jednačinom):

${\displaystyle \overbrace {\rho {\Big (}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Promjenljivo}}\\{\text{ubrzanje}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Konvektivno}}\\{\text{ubrzanje}}\end{smallmatrix}}{\Big )}} ^{\text{Inercija (po volumenu)}}=\overbrace {\underbrace {-\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Gradijent}}\\{\text{pritiska}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} } _{\text{Viskoznost}}} ^{\text{Divergencija napona}}+\underbrace {\mathbf {f} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Ostale}}\\{\text{masene}}\\{\text{sile}}\end{smallmatrix}}}$ 

Eksplicitno zapisujemo vektorsku jednačinu,

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+\rho g_{x}}$ 

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)+\rho g_{y}}$ 

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)+\rho g_{z}}$ 

Uočite da je gravitacija uvrštena kao masena sila, te da će vrijednosti ${\displaystyle g_{x},g_{y},g_{z}}$  zavisiti od orijentacije gravitacija u odnosu na odabrane koordinate.

Jednačina kontinuiteta glasi:

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}=0}$ 

Uočite da su komponente brzine (zavisne varijable za koje će problem biti riješen) ${\displaystyle u}$ , ${\displaystyle v}$  i ${\displaystyle w}$ . Ovaj sistem od četiri jednačine predstavlja najčešće korišteni i proučavani oblik. On predstavlja nelinearni sistem parcijalnih diferencijalnih jednačina, čija rješenja je prilično teško pronaći.

Promjena varijabli u jednačinama u pravouglom koordinatnom sistemu dobit ćemo^[1] slijedeće momentne jednačine za r, θ i z:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+u_{z}{\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {u_{\theta }^{2}}{r}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial r}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial z^{2}}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}\right]+\rho g_{r}}$ 

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{z}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\frac {u_{r}u_{\theta }}{r}}\right)=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial z^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {u_{\theta }}{r^{2}}}\right]+\rho g_{\theta }}$ 

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right]+\rho g_{z}}$ 

Komponente gravitacije, općenito, neće biti konstantne, međutim, za većinu primjena se, ili koordinate izaberu tako da komponente gravitacije budu konstantnu ili se pretpostavi da se gravitaciji suprostavlja polje pritiska (na primjer, strujanje u horizontalnoj cijevi se tretira normalno, bez gravitacije i bez gradijenta vertikalnog pritiska). Jednačina kontinuiteta glasi:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}=0.}$ 

Ovo predstavljanje Navier–Stokesovih jednačina za nestišljivo strujanje u cilindričnim koordinatama je drugo po frekvenciji pojavljivanja i korištenja u teoriji i praksi (prvo je bilo predstavljanje u pravouglim koordinatama, opisano iznad). Cilindrične koordinate se biraju kako bi se iskoristila simetrija, tako da se komponente brzine mogu poništiti. Vrlo čest primjer osno simetričnog strujanja, gdje nema tangencijalne brzine (${\displaystyle u_{\theta }=0}$ ), dok ostale veličine ne zavise od ${\displaystyle \theta }$ :

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+u_{z}{\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial r}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial z^{2}}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right]+\rho g_{r}}$ 

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right]+\rho g_{z}}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(ru_{r}\right)+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}=0.}$ 

U sfernim koordinatama, momentne jednačine za ${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle \theta }$  i ${\displaystyle \phi }$  su^[2]):

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {u_{\phi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial r}}+\rho g_{r}}$ 

${\displaystyle \mu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}\right)-2{\frac {u_{r}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{\theta }\cot(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}\right]}$ 

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\phi }^{2}\cot(\theta )}{r}}\right)=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+\rho g_{\theta }}$ 

${\displaystyle \mu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {u_{\theta }+2\cos(\theta ){\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}\right]}$ 

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}+{\frac {u_{r}u_{\phi }+u_{\phi }u_{\theta }\cot(\theta )}{r}}\right)=-{\frac {1}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial p}{\partial \phi }}+\rho g_{\phi }}$ 

${\displaystyle \mu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}\right)+{\frac {2{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+2\cos(\theta ){\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}-u_{\phi }}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}\right]}$ 

Jednačina kontinuiteta mase će glasiti:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta )u_{\theta }\right)=0}$ 

Ove jednačine mogle bi biti pojednotavljene sa, na primjer, faktorizovanjem ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}}$  iz članova koji opisuju viskoznost. Međutim, ovo se ne radi kako bi se očuvala struktura Laplacijana i ostalih veličina.

Računajući rotor Navier–Stokesove jednačine rezultira eliminacijom pritiska. Ovo je posebno lagano za uočiti ako se pretpostavi dvodimenzionalno strujanje u pravouglim koordinatama (${\displaystyle w=0}$ , te da da postoji veličina koja zavisi od ${\displaystyle z}$ ). Tada se jednačina svodi na:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}}$ 

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}}$ 

Diferenciranjem prve po ${\displaystyle y}$ , a druge po ${\displaystyle x}$ , te oduzimanjem, dobijamo jednačine u kojima je eliminisan pritisak i svaka potencijalna sila. Definisanjem funkcije strujanja ${\displaystyle \psi }$  preko

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\quad ;\quad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$ 

rezultira time da je uslov kontinuiteta mase bezuslovno zadovoljen (ako je data funkcija strujanja neprekidna), te se tada početna jednačina svodi na jednu, koja glasi:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$ 

gdje je ${\displaystyle \nabla ^{4}}$  biharmonijski operator i ${\displaystyle \nu }$  je kinematska viskoznost, ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ . Ova jednačina, zajedno sa određenim graničnim uslovima, opisuje dvodimenzionalno strujanje fluida, uzimajući samo kinematsku viskoznost kao parametar. Uočite da se jednačina za Stokesovo strujanje dobija kada se pretpostavit da je desna strana jednačine jednaka nuli.

Postoji neki izuzetni fenomeni koji su usko povezani sa stišljivošću fluida. Jedan od očitih primjera je zvuk. Opisivanje takvom fenomena zahtijeva općenitije predstavljanje Navier–Stokesovih jednačina, koje uzima u obzir stišljivost fluida. Ako se pretpostavi da je viskoznost konstantna, pojavljuje se jedan dodatni član, kao što je ovdje prikazano:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} +(\mu /3+\mu ^{v})\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )}$ 

gdje je ${\displaystyle \mu ^{v}}$  drugi koeficijent viskoznosti. Ovaj koeficijent povezan je sa volumskom viskoznosti. Ovaj dodatni član nestaje kada imamo nestišljiv fluid, kada je divergencija strujanja jednaka nuli.

• Računarska dinamika fluida
• Reynoldsov transportni teorem
• Reynoldsov broj
• Machov broj
• Višefazno strujanje
• Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant
• Detalji milenijumskog problema
• Churchill-Bernsteinova jednačina
• Reynoldsove uproštene Navier–Stokesove jednačine
• Coandăov efekt
• Fokker-Planckova jednačina
• Boltzmannova jednačina
• Vlasovova jednačina

• Acheson, D. J. (1990). Elementary Fluid Dynamics. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Oxford University Press. ISBN 0198596790.
• Batchelor, G.K. (1967), An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, ISBN 0521663962 CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Rhyming, Inge L. (1991), Dynamique des fluides, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne
• Polyanin, A.D.; Kutepov, A.M.; Vyazmin, A.V.; Kazenin, D.A. (2002), Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, ISBN 0-415-27237-8

• Simplified derivation of the Navier–Stokes equations Arhivirano 29. 11. 2017. na Wayback Machine
• QEDen Millennium Prize Problems Wiki
• CFD online software list A compilation of codes, including Navier–Stokes solvers.