Bernoullijeva jednačina

 

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su piezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog pritiska mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj pritiska usljed kretanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Piezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću piezometarske i Pitotove cijevi. Zbir tih visina je konstantna i jednaka H, bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički pritisak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća, iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički pritisak veći, a na mjestima veće brzine manji.

ρ – Gustoća - ${\displaystyle (kg/m^{3})}$ 

S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka - ${\displaystyle (m^{2})}$ .

p - statički pritisak - (Pa)

v - brzina - (m/s)

m – masa tekućine - (kg)

R - mehanički rad - (W)

V - volumen mase tekućine - ${\displaystyle (m^{3})}$ 

• Bernoullijeva jednačina koristi SI sistem jedinica.
  • ${\displaystyle \ z}$  geodetska visina, odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravan u ${\displaystyle \ (m)}$ 
  • ${\displaystyle \ p \over \rho g}$  piezometarska ili visina pritiska, odnosno visina piezometarskog pritiska koju pokazuje visina stupca tekućine u piezometarskoj cijevi u ${\displaystyle \ (m)}$ 
  • ${\displaystyle \ {v^{2} \over 2g}}$  je brzinska visina u ${\displaystyle \ (m)}$ , a brzina ${\displaystyle \ v}$  predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
  • Ukupan zbir energija daje Bernoullijevu jednačinu

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka ${\displaystyle S_{2}}$  i statičkog pritiska ${\displaystyle p_{2}}$ , tekućina dobije veću brzinu ${\displaystyle v_{2}}$ . Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:

${\displaystyle {\frac {m\cdot v_{1}^{2}}{2}}}$ 

a kad uđe u uži dio:

${\displaystyle {\frac {m\cdot v_{2}^{2}}{2}}}$ 

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao zbog razlike pritisaka (${\displaystyle p_{1}-p_{2}}$ ) ${\displaystyle s_{1}}$  pri kretanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = (${\displaystyle p_{1}-p_{2}}$ ) ${\displaystyle s_{1}}$  ΔS

R= (${\displaystyle p_{1}-p_{2}}$ ) V , gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

(${\displaystyle p_{1}-p_{2}}$ ) V = ${\displaystyle {\frac {m\cdot v_{2}^{2}}{2}}}$  - ${\displaystyle {\frac {m\cdot v_{1}^{2}}{2}}}$ 

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ = ${\displaystyle {\frac {m}{V}}}$ , dobijamo Bernoullijevu jednačinu:

${\displaystyle p_{1}}$  + ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{1}^{2}}{2}}}$  = ${\displaystyle p_{2}}$  + ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{2}^{2}}{2}}}$  = ${\displaystyle p_{3}}$  + ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{3}^{2}}{2}}}$  = konst.

Izrazi ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{1}^{2}}{2}}}$  , ${\displaystyle p_{2}}$  + ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{2}^{2}}{2}}}$  i ${\displaystyle p_{3}}$  + ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{3}^{2}}{2}}}$  prikazuju pritisak koji je nastao usljed strujanja tekućine i zove se dinamički pritisak.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ova jednačina jesu:

1. tekućina je idealna - nestišljiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
2. Stacionarno strujanje

• • ${\displaystyle \ H}$  predstavlja hidrodinamički pritisak ili ukupnu specifičnu energiju u ${\displaystyle \ (m)}$ .

Bernoullijeva jednačina je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine kretanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod jesu:

1. fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
2. Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

Eulerove diferencijalne jednačine kretanja tekućine - implicitni oblik

${\displaystyle \ \rho =konst}$  - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

Osnovna pretpostavka:

• imamo stacionarno strujanje

matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i saberemo dobivene jednačine.

pa dobijemo jednačinu:

možemo derivirati

Dakle, sada imamo ovaj oblik jednačine

• ako imamo strujnu cijev u kojoj djeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sistemu. Možemo pojednostavniti ovako:

• • ${\displaystyle \ \Delta H}$  je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u ${\displaystyle \ (m)}$ .

Naziva se i koeficijent kinetičke energije ${\displaystyle \ \alpha _{1,2}}$ . On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim tačkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

Koeficijent kinetičke energije najčešće ima sljedeće vrijednosti:

• • kod strujanja u cijevima ${\displaystyle \alpha =1,0}$ 
  • kod strujanja u otvorenim vodotocima ${\displaystyle \alpha =1,1}$ 
  • vrijednost ${\displaystyle \alpha }$  možemo računati ovom formulom:

 

Znamo: ${\displaystyle \ d=konstantno,Q=konstantno\quad \rightarrow \quad v=konstantno}$ .

gubitak pritiska predstavlja razliku piezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi: ${\displaystyle z_{1}=z_{2}}$ 

${\displaystyle \ p_{s}+\ p_{d}=p_{u}=konst.}$ 

gdje je ${\displaystyle \ p_{s}}$  statički pritisak, ${\displaystyle \ p_{d}={\frac {\rho \cdot v^{2}}{2}}}$  dinamički pritisak, a ${\displaystyle \ p_{u}}$  ukupni pritisak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.

• Bernoullijev zakon ili Bernoullijeva jednačina služi za proračun brzine, pritiska ili gubitaka kod protoka tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama, tj. fluidima, ova jednačina služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.

• Navier–Stokesove jednačine
• Hidraulika

 

Commons ima datoteke na temu: Bernoullijeva jednačina