משוואות נאוויה-סטוקס

משוואות נאוויה-סטוקס מתארות תנועה של זורם צמיג כמו נוזל או גז. המשוואות נקראות על שם מפתחיהן קלוד לואי נאוויה וג'ורג' גבריאל סטוקס. הן נובעות מפיתוח של החוק השני של ניוטון, ומההנחה כי המאמצים בזורם נובעים מהפרש הלחצים בזורם ומצמיגות הזורם.

המשוואות הן בעלות חשיבות גדולה, מכיוון שהן שימושיות ונפוצות בתחומים רבים, כגון מידול מזג האוויר וזרמים בים, זרימה בצנרת, וזרימה מסביב כנף של מטוס. יתר על כן, ישנו עניין במשוואות מבחינה מתמטית, שכן טרם הוכח שקיים להן תמיד פתרון (מד"ח עם מקדמים לא קבועים, קוואזי ליניאריות, בשלושה ממדים), וכן לא הוכח שבאופן כללי פתרונות המשוואה אינם סובלים מסינגולריות או אי רציפויות. בעיות אלו הוכרזו על ידי מכון קליי למתמטיקה כאחת משבע הבעיות הפתוחות החשובות ביותר במתמטיקה, ואף הוצע פרס כספי בשווי של 1,000,000 דולרים לחוקר שיצליח להוכיח טענה זו. הפרכת הטענה, לעומת זאת, לא תזכה בפרס המדובר, שכן לשם מציאת מקרה המפריך את הטענה ניתן להשתמש במחשב.

משוואות נאוויה-סטוקס הן משוואות דיפרנציאליות. הנחת היסוד של המשוואות היא שהזורם הוא רציף, והן פותחו מתוך עקרונות בסיסיים של שימור מסה, שימור תנע ושימור אנרגיה. פתרון המשוואות הוא שדה מהירות שהוא תיאור של מהירות הזורם בכל נקודה במרחב ובזמן. מתוך שדה המהירות ניתן לחשב גדלים פיזיקליים אחרים.

בכתיב וקטורי, הצורה הכללית ביותר של המשוואות היא:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbb {T} +\mathbf {f} +(\mu /3+\zeta )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )}$

כאשר ${\displaystyle \rho }$ הוא צפיפות הזורם, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ הוא וקטור המהירות, t הוא הזמן, p הוא הלחץ, ${\displaystyle \mathbf {f} }$ מייצג את הכוחות החיצוניים הפועלים במערכת (כמו כוח הכבידה או כוחות צנטריפוגליים), ${\displaystyle \mu }$ היא הצמיגות, ${\displaystyle \zeta }$ היא הצמיגות השנייה, ו- ${\displaystyle \mathbb {T} }$ הוא טנזור הנגזר מתוך טנזור המאמצים ${\displaystyle \sigma _{ij}}$, והמקיים את הקשר:

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\mathbb {I} +\mathbb {T} }$

כאן ${\displaystyle \mathbb {I} }$ היא מטריצת היחידה.

עבור זורם ניוטוני בלתי דחיס ומתוך משוואת הרציפות - דיברגנץ המהירות מתאפס ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$, כמו גם ${\displaystyle \mathbb {T} }$ הוא מאמץ הגזירה ${\displaystyle \tau }$. לכן, מתקיים

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbb {T} =\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} }$

כתוצאה מכך מתקבלת הכללה למעשה של החוק השני של ניוטון עבור זורם רציף, ולכל אחד מהאיברים ניתן לשייך משמעות פיזיקלית מוגדרת:

${\displaystyle \overbrace {\rho {\Big (}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Unsteady}}\\{\text{acceleration}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convective}}\\{\text{acceleration}}\end{smallmatrix}}{\Big )}} ^{\text{Inertia}}=\underbrace {-\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} } _{\text{Viscosity}}+\underbrace {\mathbf {f} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Other}}\\{\text{forces}}\end{smallmatrix}}}$

פתרון המשוואות נעשה בהינתן תנאי ההתחלה ותנאי השפה של הבעיה.

משוואות נאוויה-סטוקס הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא-ליניאריות בכמעט כל מצב ריאלי, חוץ מכמה מקרים בודדים - כגון זרימה חד־ממדית וזרימה זוחלת - בהם ניתן לפשט את המשוואה לצורה ליניארית. העובדה שהמשוואות אינן ליניאריות היא הסיבה העיקרית לקושי בפתרונן.

עבור נוזל ניוטוני בלתי דחיס האיבר הלא ליניארי היחיד הוא איבר ה"הסעה" שמייצג תאוצה שנגרמת משינוי המהירות כפונקציה של המקום. דוגמה למקרה כזה היא מעבר זורם דרך זרבובית הולכת וצרה. במקרה זה מהירות הנוזל גדלה עם ההתקדמות בזרבובית, אך אף על פי שהמהירות של כל חלקיק יחיד תלויה בזמן, שדה המהירות קבוע בזמן.

יחד עם משוואות משלימות (לדוגמה, משוואת הרצף) ותנאי שפה מנוסחים היטב, משוואות נאוויה-סטוקס מסוגלות למדל תנועה זורמת באופן מדויק, תחת ההנחה של זורם רציף (שאפשר לגזור אותו אינסוף פעמים ואינו מורכב מאטומים או מולקולות בדידות) וניוטוני (צמיגות קבועה). כאשר מדובר בקנה מידה קטן מאוד או תחת תנאים קיצוניים, נוזלים אמיתיים העשויים ממולקולות בדידות יפיקו תוצאות שונות מאלו המחולצות מהמשוואה. בהתאם למספר קנודסן, ייתכן כי גישה מתאימה יותר לפתרון שדה הזרימה היא שימוש במכניקה סטטיסטית או לעיתים רחוקות בדינמיקה מולקולרית.

עבור נוזלים טורבולנטיים קשה יותר לקבוע בוודאות שהמשוואות מהוות מידול מדויק עבור שדה הזרימה, אך לרוב התוצאות המתקבלות על ידי שימוש במשוואות מתאימות לתצפיות ניסויות. הפתרון הנומרי של משוואות נאוויה-סטוקסל עבור זרימה טורבולנטית היא קשה מאוד, וצורך רזולוציית רשת קטנה במיוחד כאשר ממדלים את הבעיה בעזרת מחשב, מה שגורם לכך שקשה עד בלתי אפשרי להגיע לפתרון. ניסיונות לפתור את הזרימה הטורבולנטית באמצעות מידול למינרי מביאים בדרך כלל לפתרון לא יציב בזמן, אשר לא מצליח להתכנס כראוי. על מנת להתמודד עם בעיה זו, לעיתים נעשה שימוש במשוואות שלוקחות בחשבון זמן ממוצע - כגון משוואות נאוויה-סטוקס עם מיצוע של מספר ריינולדס (RANS) - בתוספת דגמים טורבולנטיים, עבור דינמיקה חישובית של נוזלים (CFD). טכניקה נוספת לפתרון הבעיה היא שימוש ב-Large Eddy Simulation, או בקצרה LES (ראה ערך באנגלית). גישה זו יקרה יותר מאשר שיטת RANS (בזמן ובזיכרון מחשב), אבל מייצרת תוצאות טובות יותר.

כשאנו מתייחסים לוקטור המהירות כאל ${\displaystyle \mathbf {v} =(u,v,w)}$ (כאשר u,v,w מייצגים את רכיבי המהירות בכיוון הצירים של המערכת), נוכל להפריד את המשוואה הווקטורית לשלוש משוואות סקלריות.

${\displaystyle u:\rho \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+\rho g_{x}}$

${\displaystyle v:\rho \left({\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)+\rho g_{y}}$

${\displaystyle w:\rho \left({\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)+\rho g_{z}}$

יצוין שg_x, g_y, g_z תלויים באוריינטציה של התאוצה הגרוויטציונית במערכת הצירים אותו אנו בוחרים.

משוואת הרציפות בקואורדינטות קרטזיות היא:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\partial (\rho u) \over \partial x}+{\partial (\rho v) \over \partial y}+{\partial (\rho w) \over \partial z}=0}$

תחת ההנחה של נוזל בלתי דחיס - ${\displaystyle \rho }$ קבוע - וההנחה של זרימה תמידית, שגוררת את ההתאפסות של הנגזרות לפי הזמן, נוכל לפשט את משוואת הרצף למשוואה:

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}=0.}$

המערכת של ארבע המשוואות הללו מהווה את הצורה הכי שכיחה ונלמדת של משוואות נאוויה-סטוקס.

שימוש בקואורדינטות גליליות יתן לנו את מערכת המשוואות הבאה:

${\displaystyle r:\;\;\rho \left({\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {u_{\phi }^{2}}{r}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial r}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial z^{2}}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}\right]+\rho g_{r}}$

${\displaystyle \phi :\;\;\rho \left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial z}}+{\frac {u_{r}u_{\phi }}{r}}\right)=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial \phi }}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial z^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {u_{\phi }}{r^{2}}}\right]+\rho g_{\phi }}$

${\displaystyle z:\;\;\rho \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{z}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right]+\rho g_{z}.}$

לרוב נבחר את מערכת הצירים כך שרכיבי התאוצה הגרווטציונית יהיו קבועים - הן על ידי בחירת ציר z כך שיהיה בכיוון הגרוויטציה והן על ידי בחירת מערכת הצירים כך שכח המשיכה יתבטל עם כוח הנובע מהפרש לחצים.

משוואת הרצף בקואורדינטות גליליות:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\rho ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (\rho u_{\phi })}{\partial \phi }}+{\frac {\partial (\rho u_{z})}{\partial z}}=0.}$

נוח מאוד לקבוע את מערכת הצירים כך שהמערכת תהייה אקסי-סימטרית. במקרה זה אין למשוואות תלות בזווית ${\displaystyle \phi }$.

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+u_{z}{\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial r}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial z^{2}}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right]+\rho g_{r}}$

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right]+\rho g_{z}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(ru_{r}\right)+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}=0.}$

משוואות נאוויה-סטוקס בקואורדינטות כדוריות הם:

${\displaystyle r:\;\;\rho \left({\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {u_{\phi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial r}}+\rho g_{r}+}$

${\displaystyle \mu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}\right)-2{\frac {u_{r}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{\theta }\cot(\theta )}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}\right]}$

${\displaystyle \phi :\;\;\rho \left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}+{\frac {u_{r}u_{\phi }+u_{\phi }u_{\theta }\cot(\theta )}{r}}\right)=-{\frac {1}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial p}{\partial \phi }}+\rho g_{\phi }+}$

${\displaystyle \mu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}\right)+{\frac {2\sin(\theta ){\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+2\cos(\theta ){\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}-u_{\phi }}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}\right]}$

${\displaystyle \theta :\;\;\rho \left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\phi }^{2}\cot(\theta )}{r}}\right)=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+\rho g_{\theta }+}$

${\displaystyle \mu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {u_{\theta }+2\cos(\theta ){\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}}{r^{2}\sin(\theta )^{2}}}\right].}$

כאשר ${\displaystyle \theta }$ היא קו הרוחב, ו-${\displaystyle \phi }$ היא האזימוט.

משוואת הרצף בקואורדינטות כדוריות:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\rho r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial \rho u_{\phi }}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta )\rho u_{\theta }\right)=0.}$

מספר ריינולדס הוא גודל חסר ממד, המבטא את היחס בין כוחות האינרציה של הזורם לבין כוחות החיכוך הפועלים בין הזורם לסביבה.

${\displaystyle {\mbox{Re}}={\frac {\textrm {PressureForces}}{\textrm {ViscousForces}}}={\rho v_{s}L \over \mu }={v_{s}L \over \nu }={{QL} \over {\nu }A}}$

אם לזורם יש מספר ריינולדס גדול, אזי כוחות האינרציה של הזורם גדולים יחסית מהכוחות שנובעים מצמיגותו של הגוף, וניתן להזניח את האיברים במשוואת נאוויה-סטוקס התלויים בצמיגות. מאידך, נוזל עם מספר ריינולדס קטן במיוחד יושפע הרבה יותר מצמיגותו מאשר מכוחות האינרציה, וניתן להזניח את כל איברי המשוואה התלווים ב-${\displaystyle \rho }$, המהווים את כלל האיברים מצדו השמאלי של השוויון.

להלן רשימה של כמה הנחות אשר מפשטות את משוואות נאוויה סטוקס, ובכך גורמות לכך שיהיה יותר קל למצוא פתרון אנליטי או נומרי.

הנחה	משמעות מתמטית	הסבר
זרימה תמידית	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=0}$	הזורם התייצב במצב מתמיד אחרי זמן יחסית ארוך, כך שכבר אינו משתנה כפונקציה של הזמן.
זרימה מפותחת בכיוון ${\displaystyle i}$	${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial i}}=0}$	המהירות אינה מושפעת מאפקטי הקצוות של הבעיה הנתונה, ונשארת קבועה בכיוון ${\displaystyle i}$. יש לציין כי הנחה זו אינה תקפה עבור פרופיל הלחץ.
אקסיסימטריות	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}=0}$	(עבור משוואת נאוויה סטוקס בקואורדינטות גליליות) - המהירות והלחץ אינם משתנים בכיוון המשיקי, זאת אומרת שאין שינוי בלחץ ובמהירות כתלות בזווית ${\displaystyle \theta }$.
דו-ממדיות	${\displaystyle w=0,{\frac {\partial }{\partial w}}=0}$	הערכים בבעיה תלויים בשני ממדים בלבד וקבועים לאורך הכיוון השלישי. כמו כן, אין מהירות בכיוון זה.

• קירוב אוסין

בעיות המילניום של מכון קליי
הבעיות	השערת בירץ' וסווינרטון-דייר • השערת רימן • השערת פואנקרה (נפתרה) • השערת הודג' • משוואות נאוויה-סטוקס • P=NP • תורות יאנג-מילס
פותרים	גריגורי פרלמן (השערת פואנקרה)
23 הבעיות של הילברט • בעיות לנדאו

• משוואות נאוויה-סטוקס, באתר MathWorld (באנגלית)
• משוואות נאוויה-סטוקס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)