단변 행렬

수학에서 단변수 행렬 M은 결정인자 +1 또는 -1을 갖는 제곱 정수 행렬이다. 동등하게, 정수에 대해 반전할 수 없는 정수 행렬이다: 정수의 역행렬인 정수 행렬 N이 있다(이들은 크레이머의 법칙에 따라 동등하다). 따라서 모든 방정식 Mx = b는 M과 b 모두 정수 성분을 가지고 있고 M은 단수성분을 가지고 있다. $\mathbb {Z}$ × n 단변형 행렬은 Z ${\$ 위에 n × n 일반 선형 그룹이라고 하는 그룹을 형성하며 $\mathbb {Z}$ $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ ( $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ ) $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ {\ $displaysty \operatorname {GL} _{n}(\mathb {Z}$ )로 표시된다 $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

단변형 행렬의 예

단모형 행렬은 행렬 곱셈에서 일반 선형 그룹의 하위 그룹을 형성한다. 즉, 다음 행렬은 단모형이다.

아이덴티티 매트릭스
단변형 행렬의 역행렬
두 개의 단변성 매트릭스의 제품

그 밖의 예는 다음과 같다.

파스칼 행렬
순열 행렬
원시 피타고라스 삼쌍둥이의 삼나무에 있는 세 가지 변형 행렬
회전, 피복(결정인자 1) 및 반사(결정인 -1)에 대한 특정 변환 행렬.
격자 감소와 헤르미트의 정상적인 형태의 행렬에 사용된 단모형 행렬(아마도 암묵적으로 사용되었을 것이다).
두 개의 단모형 행렬의 크로네커 제품도 단모형이다. 이는 $\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},$ ( $\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},$ b $\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},$ B $\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},$ ) = $\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},$ ( $\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},$ A ) $\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},$ ( $\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},$ ) p $\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},$ , ${\displaystyle \det(A\otimes B)=(\det$ A $)^{q}(\det B)^{p},$ 여기서 $\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},$ p와 q는 각각 A와 B의 치수인 것이다.

총단일성

완전히 단음행렬 행렬^[1](TU 매트릭스)은 모든 사각형 비음속 하위 행렬이 단음행렬인 행렬이다. 동등하게, 모든 사각형 서브마트릭스는 0, +1 또는 -1 결정자를 가지고 있다. 완전히 단일 기질이라고 해서 정사각형 그 자체가 될 필요는 없다. 그 정의에서 그것은 완전히 비모듈적 매트릭스의 모든 하위 거주자는 그 자체로 완전히 비모듈적(TU)이라는 것을 따른다. 또한 모든 TU 매트릭스는 0, +1 또는 -1 항목만 가지고 있다. 정반대되는 것은 아니다. 즉, 0, +1 또는 -1 항목만 있는 행렬이 반드시 비정형인 것은 아니다. 매트릭스는 TU의 전이가 TU인 경우에만 TU이다.

다면 결합체 및 결합체 최적화에 있어 완전히 단변형 행렬은 선형 프로그램이 적분(최적값이 존재하는 경우 일체형 최적)인지 확인할 수 있는 빠른 방법을 제공하기 때문에 매우 중요하다. Specifically, if A is TU and b is integral, then linear programs of forms like $\{\min cx\mid Ax\geq b,x\geq 0\}$ or $\{\max cx\mid Ax\leq b\}$ have integral optima, for any c. 따라서 A가 완전히 비정형이고 b가 일체형인 경우, 실현 가능한 영역의 모든 극한 지점( $\{x\mid Ax\geq b\}$ { x $\{x\mid Ax\geq b\}$ ∣ A $\{x\mid Ax\geq b\}$ $\{x\mid Ax\geq b\}$ $\{x\mid Ax\geq b\}$ $\{x\mid Ax\geq b\}$ ${\displaystyle \{x\mid Ax\geq b$ 이 일체형이며 따라서 실현 가능한 영역은 일체형 다면체이다.

공통적으로 완전히 단변형 행렬

1. 초당적 일치에 대한 계수 행렬인 초당적 그래프의 미지향적 발생 행렬은 완전히 단변수(TU). (비양분 그래프의 비지향적 발생 행렬은 TU가 아니다.) 보다 일반적으로 헬러와 톰킨스의 논문 부록에 ^[2]A.J.호프만과 D. 게일은 다음과 같은 것을 증명한다. $A$ $A$ 을(를) m by n matrix로 하고 $A$ 행을 두 개의 분리 집합 $B$ $B$ 과 $B$ C $C$ 로 분할할 수 있도록 한다 $C$ 그러면 A가 완전히 비형상적일 수 있는 4가지 조건이면 충분하다.

$A$ $A$ 의 모든 항목은 0, +1 또는 -1이며 $A$ ,
$A$ $A$ 의 모든 열에는 0이 아닌 항목(예: +1 또는 -1)이 최대 2개 포함되며 $A$ ,
$A$ $A$ 열의 0이 아닌 두 항목이 동일한 기호를 가진 경우 $A$ , 한 $B$ 은 B ${\displaystyle$ B $}$ 이고 $B$ 다른 $C$ 은 C ${\displaystyle C$
$A$ $A$ 열의 0이 아닌 항목 두 개가 반대 기호를 갖는 $A$ 경우 두 행이 모두 $B$ $B$ 또는 $C$ ${\displaystyle C$ 에 있는 경우

이러한 조건들이 균형 잡힌 서명된 그래프의 발생 행렬을 정의한다는 것은 나중에 밝혀졌다. 따라서, 이 예에서는 서명된 그래프가 균형을 이룬다면 서명된 그래프의 발생 행렬이 완전히 비이상적이라고 말한다. 반향은 반 에지가 없는 부호화된 그래프에 유효하다(이것은 그래프의 비방향 발생 행렬의 속성을 일반화한다).^[3]

2. 최대 흐름과 최소 비용 흐름 문제의 제약조건은 이러한 특성(빈 C 포함)으로 계수 행렬을 산출한다. 그러므로 경계 정수 용량과 관련된 그러한 네트워크 흐름 문제는 적분된 최적값을 갖는다. 이는 경계 정수 용량으로도 부분 최적값을 가질 수 있는 다중 계량 흐름 문제에는 적용되지 않는다는 점에 유의한다.

3. 연속 원 속성: A가 각 행에 대해 1이 연속적으로 나타나는 0-1 행렬인 경우(또는 허용할 수 있는 경우) A는 TU이다. (TU 행렬의 전이가 TU이기 때문에 열의 경우에도 동일한 홀드가 TU이기 때문에).

4. 모든 네트워크 매트릭스는 TU이다. 네트워크 매트릭스의 행은 나무 T = (V, R)에 해당하며, 호는 각각 임의의 방향을 가지고 있다(트리가 "r로 뿌리내리" 또는 "r로" 되는 루트 꼭지점 r이 존재할 필요는 없다).열은 동일한 꼭지점 집합 V에 있는 호들의 또 다른 집합 C에 해당한다. R행과 C열 = st에서 항목을 계산하려면 T의 s-t 경로 P를 살펴보십시오. 그러면 항목은 다음과 같다.

+1 호 R이 P에서 앞으로 나타날 경우,
-1 호 R이 P에서 거꾸로 나타날 경우,
호 R이 P에 나타나지 않는 경우 0.

Schrijver(2003)에서 자세히 알아보십시오.

5. Ghuila-Huri는 행의 모든 부분 집합 R에 대해 매트릭스가 TU iff이고, 할당 $s:R\to \pm 1$ : $s:R\to \pm 1$ → ± ${\displaystyle s:$ $R\to \pm 1}$ of signs to rows so that the signed sum $\sum _{r\in R}s(r)r$ (which is a row vector of the same width as the matrix) has all its entries in $\{0,\pm 1\}$ (i.e. the row-submatrix has discrepancy at most one). 이것과 몇 가지 다른 if-and-only-only 특성화는 Schrijver(1998년)에서 입증되었다.

6. 호프만과 크러스칼은^[5] 다음과 같은 정리를 증명했다. Suppose $G$ is a directed graph without 2-dicycles, $P$ is the set of all dipaths in $G$ , and $A$ is the 0-1 incidence matrix of $V(G)$ versus $P$ . Then $A$ is totally unimodu $G$ $G$ 의 모든 단순 임의 지향 주기가 앞뒤 호를 번갈아 사용하는 경우 $G$ 및 그 경우에만 larr.

7. 행렬에 0- $\pm$ $\pm$ $\pm$ ) 항목이 있고 각 열에서 항목이 위에서 아래로 감소하지 않는다고 가정하십시오(따라서 모든 -1이 위에 있고, 그 다음이 0s, 그 다음이 1s). Fujishige는 매 2x2 $0,\pm 1$ 마다 0 $0,\pm 1$ ± $0,\pm 1$ ${\displaystyle$ 0 $,\pm 1}$ 에서 결정인자가 있다면 매트릭스는 TU라는 것을 보여주었다^[6] $0,\pm 1$

8. 시모어(1980)^[7]는 우리가 여기서 비공식적으로만 기술하는 모든 TU 매트릭스의 완전한 특성화를 증명했다. 시모어의 정리는 일부 네트워크 매트릭스와 특정 5-by-5 TU 매트릭스의 일부 사본의 특정 자연 조합인 경우에만 매트릭스가 TU라는 것이다.

구체적인 예

1. 다음 행렬은 완전히 단수형이다.

A=\왼쪽[{\begin{array}{rrrrr}-1&0&0&0&0&+1\\\+1&#1&#1&#1&#1&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#1&#1&#1&#1}{array\}오른쪽].

이 행렬은 다음 네트워크에서 최대 흐름 문제의 선형 프로그래밍 공식에서 제약 조건의 계수 행렬로 발생한다.

2. 양식의 모든 행렬

A=\left[{\begin{array}{ccccc}&\vdots &&\vdots \\\dotsb &+1&\dotsb &+1&\dotsb \\&\vdots &&\vdots \\\dotsb &+1&\dotsb &-1&\dotsb \\&\vdots &&\vdots \end{array}}\right].

결정인자 -2의 정사각형 서브트리셔를 가지고 있기 때문에 완전히 단조로운 것은 아니다.

추상 선형대수학

추상 선형 대수학에서는 정수에 국한되지 않고 정류 $링$ R ${\displaystyle$ R $}$ 의 항목이 있는 행렬을 고려한다 $R$ 이러한 맥락에서, 단변성 매트릭스는 링 위에서 돌이킬 수 없는 매트릭스다. 동등하게, 결정인자가 단위인 것이다. 이 그룹 GLn(R){\displaystyle \operatorname{GL}_ᆬ(R)⁡}.[표창 필요한]직사각형 k{k\displaystyle}-by- m{m\displaystyle}행렬이 m− k{\displaystyle m-k}수와 Rm{\displaystyle R^{m}에}는 행렬식의 제곱 행렬까지 확대할 수 있행렬이라고 합니다 표시됩니다.[8][9][10]

들판 위에서 단음체는 비음향과 같은 의미를 갖는다. 여기서 Unimodular는 어떤 링에 계수가 있는 행렬(종종 정수)을 말하며, 어떤 링은 그 링 위에 반전될 수 없고, 어떤 링은 필드 위에 반전될 수 없는 행렬을 의미하기 위해 비음향 행렬을 사용한다.

참고 항목

메모들

^ 그 용어는 Claude Berge에 의해 만들어졌다. Hoffman, A.J.; Kruskal, J. (2010), "Introduction to Integral Boundary Points of Convex Polyhedra", in M. Jünger; et al. (eds.), 50 Years of Integer Programming, 1958-2008, Springer-Verlag, pp. 49–50
^ Heller, I.; Tompkins, C.B.Gh (1956), "An Extension of a Theorem of Dantzig's", in Kuhn, H.W.; Tucker, A.W. (eds.), Linear Inequalities and Related Systems, Annals of Mathematics Studies, vol. 38, Princeton (NJ): Princeton University Press, pp. 247–254
^ T. 자슬라프스키(1982), "서명 그래프", 이산 적용 수학 4, 페이지 401–406.
^ Fulkerson, D. R.; Gross, O. A. (1965). "Incidence matrices and interval graphs". Pacific Journal of Mathematics. 15 (3): 835–855. ISSN 0030-8730.
^ Hoffman, A.J.; Kruskal, J.B. (1956), "Integral Boundary Points of Convex Polyhedra", in Kuhn, H.W.; Tucker, A.W. (eds.), Linear Inequalities and Related Systems, Annals of Mathematics Studies, vol. 38, Princeton (NJ): Princeton University Press, pp. 223–246
^ Fujishige, Satoru (1984), "A System of Linear inequalities with a Submodular Function on (0, ±1) Vectors", Linear Algebra and Its Applications, 63: 253–266, doi:10.1016/0024-3795(84)90147-2
^ Seymour, P. D. (1980), "Decomposition of regular matroids", Linear Inequalities and Related Systems, Journal of Combinatorial Theory (B), vol. 28, Elsevier, pp. 305–359
^ Rosenthal, J.; Maze, G.; Wagner, U. (2011), Natural Density of Rectangular Unimodular Integer Matrices, Linear Algebra and its applications, vol. 434, Elsevier, pp. 1319–1324
^ Micheli, G.; Schnyder, R. (2016), The density of unimodular matrices over integrally closed subrings of function fields, Contemporary Developments in Finite Fields and Applications, World Scientific, pp. 244–253
^ Guo, X.; Yang, G. (2013), The probability of rectangular unimodular matrices over Fq [x], Linear algebra and its applications, Elsevier, pp. 2675–2682

참조

Papadimitriou, Christos H.; Steiglitz, Kenneth (1998), "Section 13.2", Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity, Mineola, N.Y.: Dover Publications, p. 316, ISBN 978-0-486-40258-1
알렉산더 슈리히버(1998), 선형 및 정수 프로그래밍 이론. 존 와일리 & 선즈, ISBN 0-471-98232-6 (수학)
Alexander Schrijver (2003), Combinatorial Optimization: Polyhedra and Efficiency, Springer

외부 링크

[1] 그 용어는 Claude Berge에 의해 만들어졌다. Hoffman, A.J.; Kruskal, J. (2010), "Introduction to Integral Boundary Points of Convex Polyhedra", in M. Jünger; et al. (eds.), 50 Years of Integer Programming, 1958-2008, Springer-Verlag, pp. 49–50

[2] Heller, I.; Tompkins, C.B.Gh (1956), "An Extension of a Theorem of Dantzig's", in Kuhn, H.W.; Tucker, A.W. (eds.), Linear Inequalities and Related Systems, Annals of Mathematics Studies, vol. 38, Princeton (NJ): Princeton University Press, pp. 247–254

[3] T. 자슬라프스키(1982), "서명 그래프", 이산 적용 수학 4, 페이지 401–406.

[4] Fulkerson, D. R.; Gross, O. A. (1965). "Incidence matrices and interval graphs". Pacific Journal of Mathematics. 15 (3): 835–855. ISSN 0030-8730.

[5] Hoffman, A.J.; Kruskal, J.B. (1956), "Integral Boundary Points of Convex Polyhedra", in Kuhn, H.W.; Tucker, A.W. (eds.), Linear Inequalities and Related Systems, Annals of Mathematics Studies, vol. 38, Princeton (NJ): Princeton University Press, pp. 223–246

[6] Fujishige, Satoru (1984), "A System of Linear inequalities with a Submodular Function on (0, ±1) Vectors", Linear Algebra and Its Applications, 63: 253–266, doi:10.1016/0024-3795(84)90147-2

[7] Seymour, P. D. (1980), "Decomposition of regular matroids", Linear Inequalities and Related Systems, Journal of Combinatorial Theory (B), vol. 28, Elsevier, pp. 305–359

[8] Rosenthal, J.; Maze, G.; Wagner, U. (2011), Natural Density of Rectangular Unimodular Integer Matrices, Linear Algebra and its applications, vol. 434, Elsevier, pp. 1319–1324

[9] Micheli, G.; Schnyder, R. (2016), The density of unimodular matrices over integrally closed subrings of function fields, Contemporary Developments in Finite Fields and Applications, World Scientific, pp. 244–253

[10] Guo, X.; Yang, G. (2013), The probability of rectangular unimodular matrices over Fq [x], Linear algebra and its applications, Elsevier, pp. 2675–2682

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[7]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제한된 항목	교번트 반대각형 반헤르미티아누스 반대칭 화살촉 밴드 비다이각형 이대칭 블록 대각선 블록 블록삼각형 부울 카우치 중심대칭 회의 콤플렉스 하다마드 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초급 등가 프로베니우스 일반화 순열 하다마드 행클 에르미트어 헤센베르크 할로우 정수 논리적인 매트릭스 단위 메츨러 무어 비음성 펜타디각형 순열 당칭 다항식 쿼터니온어 서명 스큐헤르미티안 스큐 대칭 스카이라인 스파스 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형 삼두각형 유니타리 반데르몽드 월시 Z
상수	교환 힐베르트 아이덴티티 레머 1개 중 파스칼 파울리 레데퍼 시프트 영
고유값 또는 고유벡터 조건	동반자 수렴성 결함이 있는 대각선 가능 후르비츠 포지티브-확정성 슈틸트제스
제품 또는 역에 대한 만족도 조건	컨그루엔트 Idempotent 또는 Projection 되돌릴 수 없는 비자발적 닐포텐트 정상 직교 단모듈라 전지전능 완전히 단변성 체중 측정
특정 애플리케이션 사용	애드주게이트 교대 부호 증강됨 베주트 칼레만 카르탄 서큘런트 공동 인자 정류 혼란 콕시터 거리 중복 및 제거 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 제너레이터 그램 헤시안 세대주 야코비안 모멘트 모두 다 갚다, 청산하다 뽑다 무작위 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 완전히 긍정적이다. 변환
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 디자인 이중 확률적 피셔 정보 모자 정밀도 스토카스틱 전이
그래프 이론에 사용됨	인접 바이애드제이컨시 정도 에드먼즈 발생 라플라시안 사이델 인접 투테
이공계에 사용됨	카비보-코바야시-마사와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연관성 감마 겔만 해밀턴어 불규칙한 겹치다 S 국가전환 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정상 형태 선형독립 행렬 지수 원뿔 단면의 행렬 표현 퍼펙트 매트릭스 사이비인버스 행 에슐론 양식 룬스키안
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