모멘트 행렬

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수학에서 모멘트 행렬은 행과 열이 단일 행렬로 색인되는 특수 대칭 제곱 행렬이다. 매트릭스의 항목은 인덱싱 단수(cf)의 제품에만 의존한다. 행클 매트릭스)

모멘트 행렬은 다항식 적합, 다항식 최적화(양수 세미데마인 모멘트 행렬이 제곱합인 다항식에 해당하기 때문에)^[1] 및 계량학에서 중요한 역할을 한다.^[2]

회귀 분석의 적용

다중 선형 회귀 모형은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle y=\property_{0}+\properties _{1}x_{1}+\properties _{2}+\properties _{k}x_{k}+u}$

where ${\displaystyle y}$ is the explained variable, ${\displaystyle x_{1},x_{2}\dots ,x_{k}}$ are the explanatory variables, ${\displaystyle u}$ is the error, and ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1}\dots ,\beta _{k}}$ are unknown coefficients to be estimated. 관측치${\displaystyle {}_{}^{}}${${\displaystyle {y{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}^{}}$, ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}{}_{}}_{}^{}}$, x ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{i\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$,${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}^{}}$ i${\displaystyle {{}_{}}_{\}}^{}}$ = ${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle \left\{y_},x_${1i$},x_{2i},\dots,x_${ki$}\}\i=1}^{n$ 행렬 표기법으로 표현할 수 있는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystystystystyleann}$ 선형$$ 방정식의 시스템이 있다.^[3]

${\displaystyle{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&, x_{11}&, x_{12}&, \dots &, x_{1k}\\1&, x_{21}&, x_{22}&, \dots, x_{2k}\\\vdots, \vdots & &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\1& &, x_{n1}&, x_{n2}&, \dots &, x_{nk}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\vdots cm이다.\\beta _{k}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots)\u_{n}\end{bmatrix}}}$

또는

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta}+\mathbf {u}}$

where ${\displaystyle \mathbf {y} }$ and ${\displaystyle \mathbf {u} }$ are each a vector of dimension ${\displaystyle n\times 1}$, ${\displaystyle \mathbf {X} }$ is the design matrix of order ${\displaystyle N\times (k+1)}$, and ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ is a vector of dimension ${\displaystyle (k+1)\times 1}$. Under the Gauss–Markov assumptions, the best linear unbiased estimator of ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ is the linear least squares estimator ${\displaystyle \mathbf {b} =\left(\mathbf {X} ^{\mathsf$${T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$, involving the two moment matrices ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} }$ and ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$ defined as

${\displaystyle \mathbf{X}^{\mathsf{T}};\dots, \sum x_{ik}\\\sum x_{i1}& &\sum x_{i1}x_{i2}&, \dots, \sum x_{i1}x_{ik}\\\sum x_{i2}& &, \sum x_{i1}x_{i2}&, \sum x_{i2}^{2}&, \dots, \sum x_{i2}x_{ik}\\\vdots & &, \vdots &, \vdots &, \ddots{X}={\begin{bmatrix}n&, \sum x_{i1}&, \sum x_{i2}& \sum x_{i1}^{2}& \mathbf.&\vdots \\\sum x_{ik}&, \sum x_{i1}x_{ik}&, \sum x_{i2}x_{ik}&, \.점 &\sum x_{ik}^{2}\end{bmatrix}}}$

그리고

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}\mathbf {y} = {\begin{bmatrix}\sum y_{i}\\sum x}y}\\\vdots\\\\sum x_{ik}y}y}}}}}}}}}y}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

where ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} }$ is a square normal matrix of dimension ${\displaystyle (k+1)\times (k+1)}$, and ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$ is a vector of dimension ${\displaystyle (k+1)\times 1}$.

참고 항목

• 설계 행렬
• 그래미안 행렬
• 투영 행렬

참조

외부 링크

• "Moment matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]