크레이머의 법칙

선형대수학에서 Cramer's rule은 알 수 없는 수만큼 많은 방정식을 갖는 선형 방정식의 해에 대한 명시적인 공식으로, 시스템이 고유한 해를 가질 때마다 유효합니다. 한 열을 방정식의 우변 열 벡터로 대체하여 (제곱) 계수 행렬의 행렬식과 그 행렬식의 행렬식으로 해를 표현합니다. 1750년에 임의의 수의 미지수에 대한 규칙을 발표한 가브리엘 크레이머의 이름을 ^[1][2]따서 명명되었지만 콜린 매클로린도 1748년에 규칙의 특별한 사례를 발표했고 ^[3]아마도 1729년에 이 규칙을 알고 있었을 것입니다.^[4][5][6]

순진한 방법으로 구현된 크레이머의 법칙은 2개 또는 3개 이상의 방정식 체계에 계산상 비효율적입니다.^[7] n개의 미지수에 있는 n개의 방정식의 경우 n+1 행렬식의 계산이 필요한 반면, 가우시안 소거는 단일 행렬식의 계산과 동일한 계산 복잡도로 결과를 생성합니다.^{[8][9][verification needed]} Cramer의 규칙은 2×2 시스템에서도 수치적으로 불안정할 수 있습니다.^[10] 그러나 최근 Cramer의 규칙이 가우시안 제거와 동일한 복잡성으로 구현될 수 있음이 나타났습니다(^[11][12]동일한 순열 행렬을 적용할 때 지속적으로 두 배의 산술 연산이 필요하고 동일한 수치 안정성이 있음).

일반적인 경우

행렬 곱셈 형태로 표현되는 n개의 미지수에 대한 n개의 선형 방정식 체계를 다음과 같이 생각해 보자.

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

여기서 n × n 행렬 A는 0이 아닌 행렬식을 가지며, $벡터$ x =${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$1, …, x n) T {\displaystyle \mathbf {x} = (x_{1},\ldots,x_{n})^{\mathsf {T}}는 변수의 열 벡터입니다. 그러면 이 정리는 이 경우 시스템이 고유한 해를 가지며, 미지수에 대한 개별 값은 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n}$

$여기$서 ${\displaystyle {Ai}_{}}$ ${\$는 A의 i번째 열을 열 벡터 b로 대체하여 형성된 행렬입니다.

더 일반적인 형태의 Cramer's^[13] rule은 행렬 방정식을 고려합니다.

${\displaystyle AX=B}$

여기서 n × n 행렬 A는 0이 아닌 행렬식을 가지며, X, B는 n × m 행렬입니다. Given sequences ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$ and ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq m}$, let ${\displaystyle X_{I,J}}$ be the k × k submatrix of X with rows in ${\displaystyle I:=(i_1,\dots ,}$${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle$:=($i_$$1},\ldots,$i_${k}}$ ${\displaystyle 및}$ ${\displaystyle J_{}}$$:=($j 1, $…,$j k) {\displaystyle ${\displaystyle J_{}}$:=(j_{1},\ldots,j_{k)}의 열을 표시합니다. AB (I,J) {\displaystyle A_{B}(I,$J)$}은 모든 $s$ $=$ 1${\displaystyle ,\dots ,}$ $k$ {\displaystyle s $=$ 1,\ldots,k}에 대하여 $A$의 is ${\displaystyle i_{s}$ 열을 ${\displaystyle B_{}}$의 j ${\displaystyle j_{s}$ 열로 치환하여 형성한 n 행렬입니다. 그러면

${\displaystyle \det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}.}$

$k$ = ${\$displaystyle k = 1}의 경우, 이는 일반적인 Cramer's rule로 축소됩니다.

이 규칙은 실수뿐만 아니라 어떤 분야에서든 계수와 미지수를 가진 방정식 체계에 적용됩니다.

증명

Cramer's rule에 대한 증명은 행렬식의 다음 속성을 사용합니다: 주어진 열에 대한 선형성과 두 열이 같을 때마다 행렬식이 0이라는 사실. 이 속성은 두 열을 바꾸면 행렬식의 부호가 뒤집힌다는 것을 의미합니다.

열의 인덱스 j를 고정하고 다른 열의 항목이 고정된 값을 갖는다고 생각합니다. 이렇게 하면 행렬식이 j번째 열의 항목에 대한 함수가 됩니다. 이 열에 대한 선형성은 이 함수가 다음과 같은 형태를 가짐을 의미합니다.

${\displaystyle D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j},}$

${\displaystyle {Ci,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 열 j에 없는 A의 항목에 의존하는 계수입니다$$. 그래서, 한 명은.

${\displaystyle \det(A)=D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j}}$

(라플라스 확장은 ${\displaystyle {Ci,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$를 계산하는 공식을 제공하지만$$ 여기서는 이들 표현이 중요하지 않습니다.)

함수 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$를 A의 다른 열 k에 적용하면$$ 열 j를 열 k의 복사본으로 대체하여 A에서 얻은 행렬식이 되므로 결과 행렬식은 0이 됩니다(두 개의 동일한 열인 경우).

이제 n개의 미지수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 n개의 선형 방정식 체계를 생각해 보자$.$ 계수 행렬은 A이고 det(A)는 0이 아니라고 가정합니다.

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}}$

만약 어떤 사람이_1,j 첫 번째 방정식의 C배에 두_2,j 번째 방정식의 C배를 더해서 이 방정식들을 결합한다면, 그_n,j 결과 x의_k 계수는 매 k에 대해 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle D_{j}(a_{1,k},\ldots ,a_{n,k}).}$

따라서 ${\displaystyle det(A)}$가 되는 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 계수를 제외한 모든 계수는 0이 됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \det(A).$$}$마찬가지로$$ 상수 계수는 ${\displaystyle {Dj}_{}}$(${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ b ${\displaystyle n_{}),}$ ${\displaystyle D_{j}(b_{1},\ldots, b_{n})$가 되며$$, 결과 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \det(A)x_{j}=D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),}$

${\displaystyle {이}_{}}$ 값은 x$j$ {\$displaystyle$x_{$j}$의 값을 다음과$$ 같이 제공합니다.

${\displaystyle x_{j}={\frac {1}{\det(A)}}D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}).}$

구성상 분자는 열 j를 b로 대체하여 A에서 얻은 행렬의 행렬식이므로, 우리는 해의 필요조건으로 Cramer's rule이라는 표현을 얻습니다.

미지수에 대한 이러한 값이 해를 형성한다는 것을 증명해야 합니다. ${\displaystyle j_{}}$ 행으로 ${\displaystyle \mathrm{dj}}$ ${\displaystyle D_{j}$의 계수를 가지는 n × n 행렬을 M이라 하자. ${\displaystyle j}$ = 1${\displaystyle ,}$…${\displaystyle }$, n${\$displaystyle j = 1,\ldots, n}에 대하여 (이는 A에 대한 인접 행렬입니다. 행렬식으로 표현하면, 우리는 다음을 증명해야 합니다.

${\displaystyle \mathbf {x} = {\frac {1} {\det(A)}}M\mathbf {b}$

는 해결책입니다. 즉,

${\displaystyle A\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\mathbf {b} =\mathbf {b} .}$

그것을 위해서는 그것을 증명하는 것으로 충분합니다.

${\displaystyle A\,\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)=I_{n}}$

$여기$서$${\$displaystyle I_{$}}는$$ 항등 행렬입니다.

함수 ${\displaystyle {Dj}_{}}$ ${\displaystyle D_{j}}$의 위 속성은 MA = det(A)I를 가지므로,

${\displaystyle \left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\,A=I_{n}}$

정사각형 행렬의 왼쪽 역행렬도 오른쪽 역행렬이므로 증명이 완료됩니다(역행렬 정리 참조).

기타 증명은 아래를 참조하십시오.

역행렬 찾기

A가 필드 F에 원소가 있는 n × n 행렬이라고 하자. 그리고나서

${\displaystyle A\,\operatorname {adj}(A)=\operatorname {adj}(A)\,A=\det(A)I}$

여기서 adj(A)는 인접 행렬, det(A)는 행렬식, I는 항등 행렬입니다. det(A)가 0이 아닌 경우 A의 역행렬은

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operator name {adj}(A)}$

이것은 det(A) ≠ 0인 경우 A의 역에 대한 공식을 제공합니다. 실제로 이 공식은 det(A)가 단위인 경우 F가 교환환일 때마다 작동합니다. det(A)가 단위가 아닌 경우, A는 링 위에서 가역적이지 않습니다(F의 일부 비단위 요소가 가역적일 수 있는 더 큰 링 위에서 가역적일 수 있습니다).

적용들

소형 시스템에 대한 명시적 공식

선형 시스템을 고려합니다.

${\displaystyle \left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color{red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color{red}c_{2}}\end{matrix}\right.}$

행렬 형식에서

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color{red}c_{1}}\{\color{red}c_{2}}\end{bmatrix}}}$

ab₁₂ - ba가₁₂ 0이 아니라고 가정합니다. 그런 다음, 행렬식의 도움을 받아 x와 y는 Cramer의 법칙으로 구할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}.}$

3 × 3 행렬의 규칙은 비슷합니다. 정해진